Calculo 3

Cálculo III Pré Projeto Descrição do projeto Neste projeto os alunos terão a oportunidade de aplicar os conhecimentos adquiridos no curso de Cálculo III para entender uma descrição prática e relevante no campo da física e principalmente das engenharias e áreas correlatas A modelagem matemática de sistemas A situaçãoproblema central do projeto está baseada no movimento de uma partícula que é descrita em coordenadas polares Esta é a equação que caracteriza o movimento de um elétron em movimento em uma região com campo elétrico O préprojeto e o projeto final deverão seguir uma abordagem que integre conceitos fundamentais de cálculo III como equações diferenciais derivadas parciais e funções de várias variáveis para a modelagem e o estudo deste problema Inicialmente os alunos deverão utilizar as técnicas de derivadas e funções de várias variáveis Em seguida estas técnicas devem serem aplicadas para determinar as grandezas mecânicas velocidade e aceleração É importante destacar que este tipo de movimento é um dos fenômenos mais explorados no desenvolvimento tecnológico da sociedade e é utilizada em todas as áreas do conhecimento Por isso sua modelagem matemática e física seguindo as leis da natureza e as propriedades do cálculo diferencial e integral são fundamentais Assim o projeto integrará todos os elementos abordados ao longo do curso proporcionando uma aplicação prática e completa das técnicas estudadas Esse estudo não apenas reforçará a compreensão dos conceitos de cálculo mas também demonstrará a importância dessas ferramentas na resolução de problemas complexos e reais como a análise de sistemas dinâmicos 1 REGRAS A SEREM UTILIZADAS Vamos imaginar duas funções quaisquer de três variáveis dadas por 𝑓𝑥 𝑦 𝑧 e 𝑔𝑥 𝑦 𝑧 Estas funções podem ser escalares ou vetoriais dependendo da situação estudada Imagine que precisamos obter a derivada do produto entre estas funções em relação ao tempo Matematicamente isso quer dizer 𝑑 𝑑𝑡 𝑓𝑥 𝑦 𝑧 𝑡 𝑔𝑥 𝑦 𝑧 𝑡 Aqui é importante reparar que temos uma regra do produto a ser aplicada e dentro de cada função 𝑓𝑥 𝑦 𝑧 𝑡 e 𝑔𝑥 𝑦 𝑧 𝑡 podem existir regras da cadeia a serem aplicadas também Agora imagine que precisamos obter a derivada de uma função composta em relação ao tempo Neste caso matematicamente isso quer dizer que 𝑡 𝑓𝑔𝑥 𝑦 𝑧 𝑡 𝑡 𝑓𝑔𝑥 𝑦 𝑧 𝑡 𝑡 𝑔𝑥 𝑦 𝑧 𝑡 2 O MOVIMENTO ESPIRAL Com estas informações vamos considerar a seguinte função posição de uma partícula em movimento dadas em coordenadas polares 𝑥 𝑅 𝑐𝑜𝑠𝜔𝑡 𝜑 𝑦 𝑅 𝑠𝑒𝑛𝜔𝑡 𝜑 𝑧 𝑧 Nestes casos considere que 𝜔 𝜑 e 𝑅 são constantes quaisquer a princípio Em outras palavras isso quer dizer que a posição é dada como a soma de suas componentes resultando em 𝑆 𝑅 𝑐𝑜𝑠𝜔𝑡 𝜑 𝑅 𝑠𝑒𝑛𝜔𝑡 𝜑 𝑧 A representação esquemática da trajetória da partícula segundo a posição é dada por Figura 1 Trajetória espiral 3 MÃO NA MASSA A partir das informações mencionadas considerando o sistema de coordenadas polares e seus conhecimentos em sistemas naturais juntos as técnicas de cálculo diferencial e integral desenvolvidas neste curso sua missão será No PréProjeto I Estudar conceitualmente destacando os princípios físicos envolvidos no estudo dos movimentos II Entender como por meio de derivadas e integrais de funções de várias varáveis é possível obter as grandezas mecânicas velocidade e aceleração III Destacar como a combinação das equações as funções de várias variáveis e as derivadas parciais se relacionam produzindo informações importantes para descrever movimentos 4 APRESENTAÇÃO DE RESULTADOS E PESQUISAS Apresente os resultados de forma estruturada na forma de um pequeno artigo ou mini relatório MOVIMENTO EM ESPIRAL DE UMA CARGA EM UM CAMPO ELÉTRICO O exemplo de um movimento em espiral pode ser dado da seguinte forma xtR t cosωtφ yt R tsen ωtφ ztf t Em que Rt é uma função que indica como o raio da espiral varia com o tempo e f t outra função que indica como a partícula percorre o eixo z Nesse contexto a escolha dessas funções descreve a trajetória tridimensional de uma partícula sob a influência de forças externas como a força de um campo elétrico Dessa forma a posição da carga pode ser dada pela função vetorial SR t cos ωtφ R tsen ωtφf t Consideremos para este relatório que R t t e f t t logo St cosωtφ t senωtφ t Figura 1 Vista superior da curva descrita Figura 2 Vista em perspectiva da curva descrita A função Rt t significa que o raio da espiral aumenta de forma linear ao longo do tempo ou seja a partícula se move para fora ao longo de um caminho espiral à medida que o tempo passa A f tt indica que simultaneamente a partícula se desloca no eixo z em uma velocidade constante Isso caracteriza um movimento espiral isto é uma combinação de rotação em torno de um eixo e deslocamento ao longo desse eixo A partir disso é necessário realizar as derivadas da posição para encontrar a velocidade e a da velocidade para encontrar a aceleração Ou seja vd S dt ad v dt Dessa forma temos que d S dt d dt t cos ωtφ d dt tsen ωtφ d dt t No caso das duas primeiras coordenadas será necessária a utilização das regras da cadeia e do produto na derivação realizando esse processo temos vd S dt ωtsen ωtφcos ωtφωtcos ωtφ senωtφ1 De forma análoga encontrase a aceleração ad v dt d dt ωtsen ωtφcos ωtφ d dt ωtcos ωtφsen ωtφ d dt 1 aω 2tcos ωtφ 2ωsen ωtφω²tsen ωtφ2ωcos ωtφ0 Da terceira lei de Newton temos que Fm a Isso significa que a força aplicada à partícula é diretamente proporcional à sua aceleração com a massa m como fator de proporcionalidade No cenário proposto sabese que há apenas um campo elétrico presente no espaço Portanto Fq E Aqui q representa a carga da partícula e E o vetor campo elétrico A partir disso podemos relacionar o campo elétrico com a aceleração da partícula Em a q Então Em ω 2tcos ωtφ2ωsen ωtφ q m ω 2tsen ωtφ 2ω cos ωtφ q 0 Portanto encontrase o formato que o campo elétrico deve ser para que o movimento da partícula seja uma espiral Visto que por meio das derivadas foi possível encontrar como o elétron varia no tempo e utilizando conceitos físicos relacionar sua aceleração com a força resultante Além disso o movimento descrito pela partícula é uma consequência direta da combinação de um campo elétrico com uma força centrífuga devido à rotação da partícula em torno de um eixo o que resulta na trajetória espiral A análise detalhada das derivadas revela como a posição da partícula evolui ao longo do tempo e por meio das leis de Newton como o campo elétrico influencia o movimento Logo o projeto mostra que uma combinação eficaz de equações e conceitos físicos pode levar a uma descrição precisa e detalhada de fenômenos naturais sendo fundamental para o desenvolvimento de tecnologias avançadas para a sociedade na contemporaneidade MOVIMENTO EM ESPIRAL DE UMA CARGA EM UM CAMPO ELÉTRICO O exemplo de um movimento em espiral pode ser dado da seguinte forma 𝑥𝑡 𝑅𝑡 cos𝜔𝑡 𝜑 𝑦𝑡 𝑅𝑡𝑠𝑒𝑛𝜔𝑡 𝜑 𝑧𝑡 𝑓𝑡 Em que 𝑅𝑡 é uma função que indica como o raio da espiral varia com o tempo e 𝑓𝑡 outra função que indica como a partícula percorre o eixo z Nesse contexto a escolha dessas funções descreve a trajetória tridimensional de uma partícula sob a influência de forças externas como a força de um campo elétrico Dessa forma a posição da carga pode ser dada pela função vetorial 𝑆 𝑅𝑡 cos𝜔𝑡 𝜑 𝑅𝑡𝑠𝑒𝑛𝜔𝑡 𝜑 𝑓𝑡 Consideremos para este relatório que 𝑅𝑡 𝑡 e 𝑓𝑡 𝑡 logo 𝑆 𝑡 cos𝜔𝑡 𝜑 𝑡𝑠𝑒𝑛𝜔𝑡 𝜑 𝑡 Figura 1 Vista superior da curva descrita Figura 2 Vista em perspectiva da curva descrita A função 𝑅𝑡 𝑡 significa que o raio da espiral aumenta de forma linear ao longo do tempo ou seja a partícula se move para fora ao longo de um caminho espiral à medida que o tempo passa A 𝑓𝑡 𝑡 indica que simultaneamente a partícula se desloca no eixo z em uma velocidade constante Isso caracteriza um movimento espiral isto é uma combinação de rotação em torno de um eixo e deslocamento ao longo desse eixo A partir disso é necessário realizar as derivadas da posição para encontrar a velocidade e a da velocidade para encontrar a aceleração Ou seja 𝑣 𝑑𝑆 𝑑𝑡 𝑎 𝑑𝑣 𝑑𝑡 Dessa forma temos que 𝑑𝑆 𝑑𝑡 𝑑 𝑑𝑡 𝑡 cos𝜔𝑡 𝜑 𝑑 𝑑𝑡 𝑡𝑠𝑒𝑛𝜔𝑡 𝜑 𝑑 𝑑𝑡 𝑡 No caso das duas primeiras coordenadas será necessária a utilização das regras da cadeia e do produto na derivação realizando esse processo temos 𝑣 𝑑𝑆 𝑑𝑡 𝜔𝑡𝑠𝑒𝑛𝜔𝑡 𝜑 cos 𝜔𝑡 𝜑 𝜔𝑡𝑐𝑜𝑠𝜔𝑡 𝜑 𝑠𝑒𝑛𝜔𝑡 𝜑 1 De forma análoga encontrase a aceleração 𝑎 𝑑𝑣 𝑑𝑡 𝑑 𝑑𝑡 𝜔𝑡𝑠𝑒𝑛𝜔𝑡 𝜑 cos𝜔𝑡 𝜑 𝑑 𝑑𝑡 𝜔𝑡𝑐𝑜𝑠𝜔𝑡 𝜑 𝑠𝑒𝑛𝜔𝑡 𝜑 𝑑 𝑑𝑡 1 𝑎 𝜔2𝑡𝑐𝑜𝑠𝜔𝑡 𝜑 2𝜔𝑠𝑒𝑛𝜔𝑡 𝜑 𝜔²𝑡𝑠𝑒𝑛𝜔𝑡 𝜑 2𝜔cos 𝜔𝑡 𝜑 0 Da terceira lei de Newton temos que 𝐹 𝑚𝑎 Isso significa que a força aplicada à partícula é diretamente proporcional à sua aceleração com a massa 𝑚 como fator de proporcionalidade No cenário proposto sabese que há apenas um campo elétrico presente no espaço Portanto 𝐹 𝑞𝐸 Aqui 𝑞 representa a carga da partícula e 𝐸 o vetor campo elétrico A partir disso podemos relacionar o campo elétrico com a aceleração da partícula 𝐸 𝑚𝑎 𝑞 Então 𝐸 𝑚 𝜔2𝑡𝑐𝑜𝑠𝜔𝑡 𝜑 2𝜔𝑠𝑒𝑛𝜔𝑡 𝜑 𝑞 𝑚 𝜔2𝑡𝑠𝑒𝑛𝜔𝑡 𝜑 2𝜔 cos𝜔𝑡 𝜑 𝑞 0 Portanto encontrase o formato que o campo elétrico deve ser para que o movimento da partícula seja uma espiral Visto que por meio das derivadas foi possível encontrar como o elétron varia no tempo e utilizando conceitos físicos relacionar sua aceleração com a força resultante Além disso o movimento descrito pela partícula é uma consequência direta da combinação de um campo elétrico com uma força centrífuga devido à rotação da partícula em torno de um eixo o que resulta na trajetória espiral A análise detalhada das derivadas revela como a posição da partícula evolui ao longo do tempo e por meio das leis de Newton como o campo elétrico influencia o movimento Logo o projeto mostra que uma combinação eficaz de equações e conceitos físicos pode levar a uma descrição precisa e detalhada de fenômenos naturais sendo fundamental para o desenvolvimento de tecnologias avançadas para a sociedade na contemporaneidade