Estudo Preparatorio

GEOMETRIA ANALÍTICA 1 Dados os vetores 𝑢 e 𝑣 abaixo construa os vetores a 𝑢 𝑣 b 𝑣 2𝑢 2 Dados os vetores 𝑢 e 𝑣 e 𝑤 de acordo com a figura abaixo construir o vetor 2𝑢 3𝑣 1 2 𝑤 𝑠 3 Represente graficamente os vetores a 𝑎 1 4 b 𝑏 1 4 c 𝑐 1 2 3 d 𝑑 1 3 2 4 Calcule e represente graficamente os seguintes vetores a 2𝑢 3𝑣 𝑜𝑛𝑑𝑒 𝑢 1 1 𝑒 𝑣 2 1 b 1 2 𝑣 𝑢 2𝑤 𝑜𝑛𝑑𝑒 𝑢 3 2 𝑣 1 4 𝑒 𝑤 0 5 5 Se 𝐴𝐵 5 8 e 𝐴 3 2 calcule o ponto 𝐵 6 Calcule o módulo dos vetores abaixo a 𝑎 0 4 b 𝑏 1 2 c 𝑐 12 2 d 𝑑 1 2 1 7 Dados 𝑢 3𝑖 𝑗 e 𝑣 6𝑖 e 𝑤 3𝑖 7𝑗 calcule o módulo dos vetores 𝑢 𝑣 e 𝑤 8 Sejam 𝑎 𝑖 2𝑗 3𝑘 e 𝑏 2𝑖 𝑗 2𝑘 Determine um versor dos vetores abaixo a 𝑎 𝑏 b 2𝑎 3𝑏 c 5𝑎 4𝑏 9 Dados os pontos 𝐴123 𝐵6 23 e 𝐶121 determinar o versor 𝑤 tal que 𝑤 3𝐵𝐴 2𝐵𝐶 10 Determine um vetor da mesma direção de 𝑣 2𝑖 𝑗 2𝑘 e que a Tenha módulo igual a 9 b Seja versor de 𝑣 c Tenha módulo igual a metade de 𝑣 11 Calcule o produto escalar 𝑢 𝑣 para a 𝑢 231 𝑒 𝑣 145 b 𝑢 12 3 𝑒 𝑣 201 c 𝑢 111 𝑒 𝑣 2 1 1 d 𝑢 134 𝑒 𝑣 111 12 Determine o ângulo entre o vetor 𝑢 11 𝑒 𝑣 10 13 Sendo 𝑎 2 11 𝑏 1 2 2 𝑒 𝑐 11 1 Calcule um vetor 𝑣 𝑥 𝑦 𝑧 tal que 𝑣 𝑎 4 𝑣 𝑏 9 𝑣 𝑐 5 14 Calcule o produto vetorial 𝑢 𝑣 para a 𝑢 543 𝑒 𝑣 101 b 𝑢 312 𝑒 𝑣 225 c 𝑢 1 11 𝑒 𝑣 2 34 d 𝑢 1 2 2 𝑒 𝑣 20 1 e 𝑢 21 1 𝑒 𝑣 1 13 9 A123 B623 e C121 w 3BA 2BC w 3A B 2C B 3123 623 2121 623 w 3740 2742 21120 1484 744 w sqrt49 216 9 Assim o versor de w é 79 49 49 10 v 2i j 2k a v sqrt4 1 4 3 v 23 i 13 j 23 k Assim u 9 23 i 93 j 9 23 k u 6i 3j 6k b v 23 i 13 j 23 k c z 12 23 i 13 j 23 k z 13 i 16 j 13 k 11 a u v 231 145 2 12 5 19 b u v 123 201 2 0 3 1 c u v 111 211 2 1 1 4 d u v 134 111 1 3 4 8 Geometria Analítica 1 a u v b v 2u 2 2u 3v 12w s 3 a a 14 b b 14 c c 123 d d 132 4 a 2u 3v onde u 11 e v 21 2u 3v 211 321 22 63 4 5 b 12 14 32 205 12 2 32 010 52 14 5 AB 58 e A 32 AB B A B AB A 58 32 810 6 a a 04 a sqrt42 4 b b 12 b sqrt122 sqrt5 c c 122 c sqrt122222 sqrt3 d d 121 d sqrt122212 sqrt6 7 u 3i j u sqrt3212 sqrt10 v 6i v sqrt62 6 w 3i 7j w sqrt3272 sqrt58 8 a i 2j 3k e b 2i j 2k a a b 3i 3j 5k a b sqrt9 9 25 sqrt43 Assim um versor de a b é v 3sqrt43 i 3sqrt43 j 5sqrt43 k b 2a 3b 2i 4j 6k 6i 3j 6k 4i j 2a 3b sqrt16 1 sqrt17 Assim um versor de 2a 3b é v 4sqrt17 i 1sqrt17 j c 5a 4b 5i 10j 15k 8i 4j 8k 13i 14j 23k 5a 4b sqrt894 Assim um versor de 5a 4b é v 13sqrt894 i 14sqrt894 j 23sqrt894 k 12 u 11 e v 10 u v 11 10 1 mas u v u v cosθ cosθ u v u v θ arccos u v u v θ arccos 12 1 45 13 a 2 1 1 b 12 2 e c 11 1 v x y z v a x y z 2 1 1 4 2x y z 4 I v b x y z 12 2 9 x 2y 2z 9 II v c x y z 1 1 1 5 x y z 5 III I III 3x 9 x 3 II 2y 2z 9 3 2y 2z 12 y z 6 y 6 z III 3 6 z z 5 2z 4 z 2 I 6 y 2 4 y 4 v 3 4 2 14 a u 5 4 3 e v 1 0 1 u x v i j k 5 4 3 1 0 1 4i 3j 4k 5j 4i 2j 4k 4 2 4 b u 3 1 2 e v 2 2 5 u x v i j k 3 1 2 2 2 5 5i 4j 6k 2k 4i 15j i 19j 8k 1 19 8 c u 1 1 1 e v 2 3 4 u x v i j k 1 1 1 2 3 4 4i 2j 3k 2k 3i 4j i 2j k 1 2 1 d u 1 2 2 e v 2 0 1 u x v i j k 1 2 2 2 0 1 2i 4j 4k j 2i 5j 4k 2 5 4 e u 2 1 1 v 1 1 3 u x v i j k 2 1 1 1 1 3 3i j 2k k i 6j 2i 7j 3k 2 7 3