Cálculo V Módulo A: Equações Diferenciais de 1ª Ordem

ESAMC Cálculo V Módulo A CÁLCULO V MÓDULO A EQUAÇÕES DIFERENCIAIS DE 1ª ORDEM Equações contendo derivadas são equações diferenciais É necessário conhecer equações diferenciais para Compreender e investigar problemas envolvendo o fluxo de corrente elétrica em circuitos a dissipação de calor em objetos sólidos a propagação e detecção de ondas sísmica o aumento ou diminuição de populações o movimento de fluidos entre outros Note que toda a parte do cálculo chamado de cálculo de primitivas compreende a determinação de soluções de uma equação diferencial CÁLCULO V MÓDULO A EQUAÇÕES DIFERENCIAIS DE 1ª ORDEM Você aprendeu em cálculo que a derivada dydx de uma função y x é em si uma outra função x 1 2 e0 x y A função é diferencial no intervalo e a sua derivada é Se substituirmos no lado direito da derivada pelo símbolo y obteremos 0 1 2 0 2 x xe dx dy 1 2 0 x e xy dx dy 02 1 Como resolver essa equação na função incógnita y x A equação construída em 1 é chamada de equação diferencial CÁLCULO V MÓDULO A EQUAÇÕES DIFERENCIAIS DE 1ª ORDEM Uma equação que contém as derivadas ou diferenciais de uma ou mais variáveis dependentes em relação a uma ou mais variáveis independentes é chamada de equação diferencial ED Para poder discutilas melhor classificaremos as equações diferenciais por tipo ordem e linearidade CÁLCULO V MÓDULO A EQUAÇÕES DIFERENCIAIS CLASSIFICAÇÃO Equações Diferenciais Ordinárias EDO se a função desconhecida depende de uma única variável independente Neste caso aparecem apenas derivadas simples ex y dx dy 5 0 6 2 2 y dx dy dx d y y x dt dy dt dx 2 2 Equações Diferenciais Parciais EDP se a função desconhecida depende de diversas variáveis independentes Neste caso aparecem as derivadas parciais 0 2 2 2 2 y u x u t u t u x u 2 2 2 2 2 x v y u 3 CÁLCULO V MÓDULO A EQUAÇÕES DIFERENCIAIS Notação de Leibniz 3 3 2 2 dx y d dx y d dx dy Notação linha y y y Notação de Leibniz Notação linha ex y dx dy 5 0 6 2 2 y dx dy dx d y y x dt dy dt dx 2 ex y y 5 0 6 y y y A notação linha é usada somente para denotar as três primeiras derivadas a quarta derivada é escrita como y4 em vez de y CÁLCULO V MÓDULO A EQUAÇÕES DIFERENCIAIS DE 1ª ORDEM Sistema de equações diferenciais se existem duas ou mais funções que devem ser determinadas precisamos de um sistema de equações Uma solução de um sistema como 8 é um par de funções diferenciais x 1t y 2t definidas em um intervalo comum I que satisfazem cada equação do sistema neste intervalo f t x y dt dx g t x y dt dy 8 CÁLCULO V MÓDULO A EQUAÇÕES DIFERENCIAIS DE 1ª ORDEM Notação ponto de Newton cocô de mosca é às vezes usada em Física ou Engenharia para denotar derivadas em relação ao tempo Assim sendo a equação diferencial 32 2 2 dt d s tornase 32 s Derivadas parciais são geralmente denotadas por uma notação em subscrito Assim sendo a equação diferencial t tt xx u u u 2 t tornase u t u x u 2 2 2 2 2 CÁLCULO V MÓDULO A EQUAÇÕES DIFERENCIAIS DE 1ª ORDEM Ao estudar alguns fenômenos é difícil estabelecer diretamente a relação de dependência entre uma variável independente x e uma dependente y Todavia é mais fácil estabelecer a relação entre x y e as derivadas yx yx Ynx Esta relação constitui uma equação diferencial Note que a grande maioria dos fenômenos físicos é modelada através de equações diferenciais CÁLCULO V MÓDULO A EQUAÇÕES DIFERENCIAIS DE 1ª ORDEM Equação diferencial é uma equação envolvendo uma função desconhecida e algumas de suas derivadas Equação diferencial ordinária de ordem n equação que envolve derivadas até a ordem n da forma Ynx fx yx yx yx Yn1x a x b CÁLCULO V MÓDULO A EQUAÇÕES DIFERENCIAIS Ordem a ordem de uma ED é a ordem da mais alta derivada que aparece na equação Exemplos É uma equação diferencial de segunda ordem ex y dx dy dx d y 4 5 3 2 2 segunda ordem primeira ordem CÁLCULO V MÓDULO A EQUAÇÕES DIFERENCIAIS DE 1ª ORDEM Equações diferenciais ordinárias de primeira ordem são ocasionalmente escritas na forma diferencial Mx y dy Nx y dx 0 Por exemplo supondo que y seja a variável dependente em y x dx 4x dy 0 então y dydx Portanto dividindo pela diferencial dx obtemos a forma alternativa 4xy y x CÁLCULO V MÓDULO A EQUAÇÕES DIFERENCIAIS DE 1ª ORDEM Por razões práticas e teóricas também consideraremos 1 n n n n y f x y y y y dx y d Geralmente a equação Fy y y yn 0 4 é uma equação diferencial ordinária de ordem n em uma variável dependente Onde F é uma função de valores reais de n 2 variáveis x y y yn e onde yn dny dxn 5 CÁLCULO V MÓDULO A EQUAÇÕES DIFERENCIAIS DE 1ª ORDEM para representar equações diferenciais ordinárias de primeira e segunda ordem Quando servir aos nossos propósitos usaremos a forma normal f x y dx dy x y y f dx d y 2 2 e Por exemplo a forma normal da equação de primeira ordem 4xy y x é y x y4x CÁLCULO V MÓDULO A EQUAÇÕES DIFERENCIAIS DE 1ª ORDEM Equações Lineares e nãolineares A equação diferencial 0 yn x y y F É dita linear se F é uma função linear das varáveis y y y yn1 Assim a equação diferencial ordinária linear geral de ordem n é 0 0 1 1 1 g x x y a a x y x y a x y a n n n n g x x y a dx x dy a dx y x d a dx x d y a n n n n n n 0 1 1 1 1 6 4 CÁLCULO V MÓDULO A EQUAÇÕES DIFERENCIAIS DE 1ª ORDEM Em 2 observamos as duas propriedades características de uma equação diferencial linear 1 A variável dependente e todas as suas derivadas são do 1º grau isto é a potência de cada termo envolvendo y é 1 2 Cada coeficiente depende no máximo da variável independente x As equações diferenciais ordinárias lineares abaixo são respectivamente de 1ª 2ª e 3ª ordem g x x y a dx x dy a dx y x d a dx x d y a n n n n n n 0 1 1 1 1 2 y x dx 4x dy 0 y 2y y 0 e x dt dy dx d y e y x 5 3 3 CÁLCULO V MÓDULO A EQUAÇÕES DIFERENCIAIS DE 1ª ORDEM A equação diferencial que não é da forma 1 é uma equação nãolinear Exemplo 4 2 t yy e y y t Equações nãolineares Uma equação diferencial ordinária nãolinear é simplesmente uma que não é linear Funções nãolineares da variável dependente ou de suas derivadas como seny ou e y não podem aparecer em uma equação linear Assim sendo 0 2 2 seny dx d y ex y y y 2 1 0 2 4 4 y dx y d Termo nãolinear Coeficiente dependente de y Termo nãolinear Função nãolinear de y Termo nãolinear Potência diferente de 1 CÁLCULO V MÓDULO A EQUAÇÕES DIFERENCIAIS DE 1ª ORDEM Definição Toda função definida em um intervalo I que tem pelo menos n derivadas contínuas em I as quais quando substituídas em uma equação diferencial ordinária de ordem n reduzem a equação a uma identidade é denominada uma solução da equação diferencial no intervalo Em outras palavras uma solução de uma equação diferencial ordinária de ordem n 4 é uma função que tem pelo menos n derivadas e para qual Fx x x nx 0 para todo x em I CÁLCULO V MÓDULO A EQUAÇÕES DIFERENCIAIS DE 1ª ORDEM Soluções Uma solução da equação yn f x y y y yn1 em x é uma função tal que n existem e satisfazem nx f x x x x n1 x para todo x em x 1 2 e0 x y Em nossa discussão introdutória vimos que é uma solução de no intervalo 0 1 2 0 2 x xe dx dy CÁLCULO V MÓDULO A EQUAÇÕES DIFERENCIAIS DE 1ª ORDEM Exemplo 1 Verifique se a função indicada é uma solução da equação diferencial dada no intervalo a dydx xy12 y x416 b y 2y y 0 y xex Solução Uma maneira de verificar se a solução dada é uma solução é observar depois de substituir se ambos os lados da equação são iguais para cada x no intervalo a dydx xy12 y x416 lado esquerdo lado direito 3 3 4 1 16 4 1 x x dx dy 3 2 2 1 4 2 1 4 1 4 1 16 1 x x x x x xy CÁLCULO V MÓDULO A EQUAÇÕES DIFERENCIAIS DE 1ª ORDEM Verifique se a função indicada é uma solução da equação diferencial dada no intervalo a dydx xy12 y x416 lado esquerdo lado direito 3 3 4 1 16 4 1 x x dx dy 3 2 2 1 4 2 1 4 1 4 1 16 1 x x x x x xy Vemos que ambos os lados são iguais para cada número real x Note que y12 ¼ x2 é por definição a raiz quadrada não negativa de 116 x4 CÁLCULO V MÓDULO A EQUAÇÕES DIFERENCIAIS DE 1ª ORDEM Verifique se a função indicada é uma solução da equação diferencial dada no intervalo b y 2y y 0 y xex Das derivadas y xex ex e y xex 2ex temos para x lado esquerdo lado direito 0 0 2 x x x x xe e x e xe y y y 2 e 2 x Observe que neste exercício cada equação diferencial tem a solução constante y 0 x Uma solução de uma equação diferencial identicamente nula no intervalo I é chamada de solução trivial CÁLCULO V MÓDULO A EQUAÇÕES DIFERENCIAIS DE 1ª ORDEM O gráfico de uma solução de uma EDO é chamado de curva integral Uma vez que é uma função diferenciável ela é contínua no intervalo de definição I Assim sendo pode haver uma diferença entre o gráfico da função e a solução da função Posto de outra forma o domínio da função não precisa ser igual ao intervalo I de definição ou domínio da solução O exemplo 2 ilustra a diferença CÁLCULO V MÓDULO A EQUAÇÕES DIFERENCIAIS DE 1ª ORDEM Exemplo 2 O domínio de y 1x é 0 A função racional y 1x é descontínua em zero A função não é diferenciável em x 0 uma vez que o eixo y cuja equação é x 0 é uma assíntota vertical do gráfico Entretanto y 1x é também solução da equação diferencial linear de primeira ordem xy y 0 verifique Mas quando afirmamos que y 1x é uma solução dessa ED queremos dizer que é uma função definida em um intervalo I no qual é diferenciável e satisfaz a equação Portanto tomamos I como sendo 0 ou 0 O gráfico ilustra as duas curvas integrais CÁLCULO V MÓDULO A EQUAÇÕES DIFERENCIAIS DE 1ª ORDEM Exemplo 2 a Função y 1x x 0 b Solução y 1x 0 CÁLCULO V MÓDULO A EQUAÇÕES DIFERENCIAIS DE 1ª ORDEM Solução Explícita É quando numa solução a variável dependente é expressa somente em termos da variável independente e das constantes y x416 y xex e y 1x são soluções explícitas de dydx xy12 y 2y y 0 e xy y 0 Além disso a solução trivial y 0 é uma solução explícita de todas as três equações CÁLCULO V MÓDULO A EQUAÇÕES DIFERENCIAIS DE 1ª ORDEM Solução Implícita Dizemos que uma relação Gx y 0 é uma solução implícita de uma equação diferencial 4 em um intervalo I quando existe pelo menos uma função que satisfaça a relação bem como a equação diferencial em I Exemplo 3 A relação x2 y2 25 é uma solução implícita da ED y x dx dy no intervalo 5 x 5 Por diferenciação implícita obtemos 0 yn F x y y 4 25 2 2 dx d dx y d dx x d ou 0 2 2 dx y d x CÁLCULO V MÓDULO A EQUAÇÕES DIFERENCIAIS DE 1ª ORDEM Exemplo 3 Uma solução implícita e duas explícitas de y xy aSolução implícita x2 y2 25 b Solução explícita 5 5 25 2 1 x x y c Solução explícita 5 5 25 2 2 x x y CÁLCULO V MÓDULO A EQUAÇÕES DIFERENCIAIS DE 1ª ORDEM Exercícios destinados a Laboratório de Computação Use um SAC Sistema Algérico Computacional para computar todas as derivadas e fazer as simplificações necessárias à constatação de que a função indicada é uma solução particular da equação diferencial dada 1 y4 20 y 158y 580y 841y 0 y xe5x cos 2x 2 x3y 2x2y 20xy 78y 0 x x sen x x y ln cos ln 5 3 5 20 CÁLCULO V MÓDULO A EQUAÇÕES DIFERENCIAIS DE 1ª ORDEM A solução de 5 ynx fx yx yx yx Yn1x 5 a x b é qualquer função y Fx que é definida em 1 b e tem n derivadas neste intervalo e que satisfaz 5 Se a função é de uma só variável então a equação se chama ordinária As equações que estabelecem relações entre uma variável e depende de duas ou mais variáveis independentes e as derivadas agora parciais são chamadas de equações diferenciais parciais CÁLCULO V MÓDULO A EQUAÇÕES DIFERENCIAIS DE 1ª ORDEM Na solução de uma EDO dois caminhos podem ser seguidos Método analítico O que tenta levar à uma solução exata do problema Método numérico O que encontra uma solução aproximada Do ponto de vista analítico resolver uma EDO do tipo y fxy é encontrar uma função y Fx que satisfaça a equação dada Por exemplo dada equação diferencial y fxy 2x 3 sua solução é obtida por y 2x3dx x2 3x C Na verdade temos uma família de soluções para cada C R tem uma solução particular A figura 1 próximo slide mostra algumas soluções para C 0 C 2 e C 4 CÁLCULO V MÓDULO A EQUAÇÕES DIFERENCIAIS DE 1ª ORDEM Representações de soluções particulares para alguns valores de C da função y x 2 3 x C C 0 C 2 C 4 x y Note que à medida que C varia temse uma família de soluções CÁLCULO V MÓDULO A EQUAÇÕES DIFERENCIAIS DE 1ª ORDEM Para determinarmos uma solução específica é necessária a atribuição do valor de y em um dado x Em outras palavras deve ser dado um ponto x a y s por onde a solução particular deve obrigatoriamente passar O processo para encontrar esta solução específica y da equação y f x y com y a s onde a e s são dados numéricos é chamado de problema de condição inicial Assim podemos particularizar a solução do problema anterior atribuindolhe por exemplo a seguinte condição Logo a solução geral é dada por y x 2 3 C e a particular será dada por y 0 0 0 2 3 x 0 C C 0 Ou seja y x 2 3 x 0 0 3 2 y x dx dy x CÁLCULO V MÓDULO A EQUAÇÕES DIFERENCIAIS DE 1ª ORDEM Para especificar uma das curvas que formam a família de soluções é preciso impor condições adicionais na função y Essas condições são da forma ya 1 ya 2 ya 3 yn1a n 2 Que são chamadas de condições iniciais O problema 1 com as condições iniciais 2 é chamado de problema de valor inicial ou problema de condições iniciais ynx fx yx yx yx yn1x com a x b 1 CÁLCULO V MÓDULO A EQUAÇÕES DIFERENCIAIS DE 1ª ORDEM Juntamente com o problema de valor inicial podemos ter problemas com condições de contorno isto é Além da condição no início do fenômeno temos também uma condição a atingir no fim do fenômeno EXEMPLO condição de contorno de segunda ordem é escrito como yx fx y y a x b 5 com ya 1 yb 2 CÁLCULO V MÓDULO A EQUAÇÕES DIFERENCIAIS DE 1ª ORDEM Exemplo 2 As funções x c1cos4t e x c2sen4t onde c1 e c2 são constantes arbitrárias ou parâmetros são ambas soluções da equação diferencial linear x 16x 0 Para x c1cos4t x 4c1sen4t e x 16c1cos4t Substituindo x e x obtemos x 16x 16c1cos4t 16c1cos4t 0 Para x c2sen4t x 16c2sen4t e portanto x 16x 16c2sen4t 16c2sen4t 0 É fácil constatar que a combinação linear de soluções ou a família a dois parâmetros x c1cos4t x c2sen4t é também uma solução da equação diferencial CÁLCULO V MÓDULO A EQUAÇÕES DIFERENCIAIS DE 1ª ORDEM Uma solução de uma equação diferencial na incógnita y e na variável independente x no intervalo é uma função yx que verifica a equação diferencial identicamente em todo x em Exemplo 3 Temse que yx C2sen2x C2cos2x é uma solução de y 4y 0 Isso pode ser visto através da substituição de yx na equação original Assim yx C1cos2x C1sen2x yx 4C1sen2x 4C2cos2x yx 4y 4C1 4C1sen2x 4C2 4C2cos2x 0 CÁLCULO V MÓDULO A EQUAÇÕES DIFERENCIAIS DE 1ª ORDEM Um sistema de equações diferenciais de primeira ordem tem a seguinte forma geral y1x f1x y1 y2 y3 yn y2x f2x y1 y2 y3 yn a x b ynx fnx y1 y2 y3 yn Sujeito a yka k k 11n 6b Onde f1 f2 f1n são funções de n 1 variáveis Nota se o problema 6a tem solução então ele tem em geral várias soluções uma família de soluções Com as condições 6b temos o problema do valor inicial 6a CÁLCULO V MÓDULO A EQUAÇÕES DIFERENCIAIS DE 1ª ORDEM As soluções do problema 6a são derivadas da solução de uma única equação Resolvendo o problema 6 podemos resolver o problema 4 utilizando mudanças de variáveis Assim basta definir um conjunto de n funções y1 y2 yn da seguinte forma y1x yx y2x yx ynx yn1x Então 4a pode ser escrita como ynx fx y1 y2 yn 8a 7 CÁLCULO V MÓDULO A EQUAÇÕES DIFERENCIAIS DE 1ª ORDEM Diferenciando 7 obtemos y1x y2x y2x y3x yn1x ynx De onde obtemos para 4 um sistema de equações diferenciais As condições iniciais de 4b tornamse as condições iniciais do sistema 8b CÁLCULO V MÓDULO A EQUAÇÕES DIFERENCIAIS DE 1ª ORDEM EXEMPLO yx xyx exyx x2 1 0 x 1 y0 1 y0 0 y0 1 Fazendo a mudança de variáveis obtemos y1x y2x y2x y3x 0 x 1 y3x xy2x ex y1x x2 1 y10 1 y20 0 y10 1 CÁLCULO V MÓDULO A EQUAÇÕES DIFERENCIAIS DE 1ª ORDEM Uma equação diferencial sempre tem solução existência Quantas soluções tem uma equação diferencial dada que ela tem pelo menos uma Que condições adicionais devem ser especificadas para se obter apenas uma única solução unicidade Dada uma ED podemos determinar de fato uma solução E se for o caso como CÁLCULO V MÓDULO A EQUAÇÕES DIFERENCIAIS DE 1ª ORDEM A forma geral das equações diferenciais ordinárias de primeira ordem é dydx f xy i Qualquer função diferencial y t que satisfaça essa equação para todo t em um dado intervalo é uma solução desta equação Exemplo y 2y 3et Serão estudadas três subclasses de equações de primeira ordem as equações lineares as separáveis e as equações exatas CÁLCULO V MÓDULO A EQUAÇÕES DIFERENCIAIS DE 1ª ORDEM Se a função f em 1 depende linearmente de y então ela é chamada de uma equação linear de primeira ordem Um exemplo com coeficientes constantes é dydt ay b onde a e b são constantes dadas Substituindo os coeficientes a e b por funções em t temos a forma geral da equação linear de primeira ordem dydt pty gt onde p e g são funções dadas da variável independente t CÁLCULO V MÓDULO A EQUAÇÕES DIFERENCIAIS DE 1ª ORDEM Exemplo Considere a equação diferencial dydt 2y 3 Encontre sua solução Solução Temos que dydt 2y 3 ou dydt 2 y 32 ln y 32 2t c Logo y 32 ce 2t Se gt 0 então a equação é dita equação linear homogênea CÁLCULO V MÓDULO A EQUAÇÕES DIFERENCIAIS DE 1ª ORDEM Consiste em multiplicar a equação diferencial por uma determinada função t de modo que a equação resultante seja facilmente integrável Exemplo Considere a equação dydt 2y 3 Assim podemos ter t dydt 2 t y 3 t Vamos tentar encontrar t de modo que a expressão anterior tenha a esquerda do sinal da igualdade a derivada de t y Assim dt ydt t dydt d tdt y CÁLCULO V MÓDULO A EQUAÇÕES DIFERENCIAIS DE 1ª ORDEM Comparando com a equação anterior temos que as duas primeiras parcelas são iguais e que as segundas podem ficar desde que t seja tal que d t dt 2 t Logo d t dt t 2 Donde d ln t dt 2 O que nos leva ao resultado ln t 2t c ou t c e 2 t que é um fator integrante para a equação dada Como não queremos um caso mais geral tomamos t e 2 t CÁLCULO V MÓDULO A EQUAÇÕES DIFERENCIAIS DE 1ª ORDEM Logo a equação dada fica e 2 t dydt 2 e 2 t y 3 e 2 t Ora d e 2 t ydt 3 e 2 t Então e 2 t y 32 e 2 t c donde y 32 c e 2 t que é a mesma solução encontrada anteriormente Em várias equações podese ter fator integrante como em dydt ay b o fator será t ea t basta apenas fazer as devidas substituições de a e b CÁLCULO V MÓDULO A EQUAÇÕES DIFERENCIAIS DE 1ª ORDEM Exemplo Resolver a seguinte equação diferencial com condição inicial y 2y te 2t y1 0 Solução Temos t e 2 t Logo e 2 t y 2y e 2 t t e 2 t y t e 2 t y t22 c Aplicando a condição inicial y1 0 Obtemos c ½ E finalmente a resposta y e 2t2 t2 1 CÁLCULO V MÓDULO A EQUAÇÕES DIFERENCIAIS DE 1ª ORDEM Escolha de t dydt pty gt t dydt t pty t gt o segundo termo do lado esquerdo é igual a derivada do primeiro dt dt pt t supondo que t 0 dt dt t pt então ln t ptdt c escolhendo c 0 temos t que é a função mais simples ou seja t exp ptdt e ptdt CÁLCULO V MÓDULO A EQUAÇÕES DIFERENCIAIS DE 1ª ORDEM A equação geral de primeira ordem é dydx fxy que pode ser colocada na forma Mxy Nxydydx 0 Onde Mxy fxy e Nxy 1 Porém se M depende apenas de x e N apenas de y ela pode ser escrita como Mx Nydydx 0 Esta equação é dita separável pois se for escrita na forma diferencial CÁLCULO V MÓDULO A EQUAÇÕES DIFERENCIAIS DE 1ª ORDEM Mxdx Nydy 0 Então as fórmulas envolvendo cada variável pode ser separada pelo sinal da igualdade Exemplo Considere a equação diferencial Y 2xy Então podemos fazer yy 2x e daí lny x2 c logo para cada c R temos duas soluções y1 e x c e y2 e x c CÁLCULO V MÓDULO A EQUAÇÕES DIFERENCIAIS DE 1ª ORDEM Uma equação na forma Mxy Nxy y 0 é uma equação exata em R uma região se e somente se My xy Nx xy em cada ponto de R Exemplo Verifique se a equação x2 4yy 2xy 1 0 é exata Solução Neste caso Mxy 2xy 1 e Nxy x2 4y Logo My 2x e Nx 2x donde My Nx e consequentemente ela é exata CÁLCULO V MÓDULO A EQUAÇÕES DIFERENCIAIS DE 1ª ORDEM Teorema Suponha que as funções M N My Nx são contínuas na região retangular R x e y Então a equação Mxy Nxyy 0 é uma equação exata em R se e somente se Myxy Nxxy 1 em cada ponto de R Isto é existe uma equação satisfazendo as equações xxy Mxy yxy Nxy se e somente se M e N satisfazem a equação 1 CÁLCULO V MÓDULO A EQUAÇÕES DIFERENCIAIS DE 1ª ORDEM As vezes é possível transformar uma equação diferencial que não é exata em uma exata multiplicandose a equação por um fator integrante apropriado Isto é determinar uma função xy tal que My Nx seja uma equação exata Exemplo A equação xy y 0 não é exata Porém se multiplicarmos por 1x2 xy temos yx yx2 0 que é exata Facilmente podemos ver que Mxy yx2 Nxy 1x e que My 1x2 Nx CÁLCULO V MÓDULO A EQUAÇÕES DIFERENCIAIS DE 1ª ORDEM Exemplo Resolva a seguinte equação diferencial 3x2 2xy 2 dx 6y2 x2 3 dy 0 Solução Temos Myxy 2x Nxxy Logo exata Assim existe uma x y tal que x x y 3x2 2xy 2 y x y 6y2 x2 3 Integrando a x x y temos x y 3x2 2xy 2 dx x3 2 x2 y 2x hy Fazendo y N temos x2 hy 6y2 x2 3 hy 6y2 3 donde hy 2y3 3y e por fim x y x3 2 x2 y 2x 2y3 3y c CÁLCULO V MÓDULO A EQUAÇÕES DIFERENCIAIS DE 1ª ORDEM Fatores integrantes para equações exatas Podemos multiplicar Mxy dx Nxydy 0 por uma função e depois tentar escolhêla de modo que a equação resultante xy Mxy dx xy Nxydy 0 seja exata Sabemos que ela será exata se e somente se My Nx Assim ela deve satisfazer a equação diferencial M y N x My Nx 0 Vamos determinar as condições necessárias sobre M e N de modo que a equação dada tenha um fator integrante dependendo apenas de x CÁLCULO V MÓDULO A EQUAÇÕES DIFERENCIAIS DE 1ª ORDEM My Nx Nx Nx Nd dx Logo para que My seja igual a Nx é necessário que d dx My Nx N Se My Nx N depende somente de x então existe um fator integrante que depende apenas de x também Exemplo Determine o fator integrante e resolva a seguinte equação diferencial dx 2xydy 0 Solução Temos que M 1 e N 2xy Logo My 0 e Nx 2y e como são diferentes a equação dada não é exata Vamos então determinar o fator que a torna exata CÁLCULO V MÓDULO A EQUAÇÕES DIFERENCIAIS DE 1ª ORDEM Temos My Nx N 0 2y 2xy 1 x Logo xy exp 1xdx e lnx 1 x Assim temos dx x 2y dy Donde dx x 2y dy E consequentemente lnx y 2 c 0 CÁLCULO V MÓDULO A EQUAÇÕES DIFERENCIAIS DE 1ª ORDEM Teorema Existência e Unicidade Se as funções p e g são contínuas em um intervalo aberto I t contendo o ponto t t0 então existe uma única função y t que satisfaz a equação diferencial y pty gt para cada t em I e que também satisfaz a condição inicial yt0 y0 onde y0 é um valor inicial arbitrário prescrito CÁLCULO V MÓDULO A EQUAÇÕES DIFERENCIAIS DE 1ª ORDEM Exemplo Determine um intervalo no qual a equação Ty 2y 4t2 e y1 2 tem uma única solução Solução y 2t y 4t Assim pt 2 t e gt 4t e consequentemente gt é contínua para todo t e pt contínua para t 0 Logo para t 0 contém a condição inicial dando o intervalo procurado 0 t A solução é y t2 1 t2 t 0 CÁLCULO V MÓDULO A EQUAÇÕES DIFERENCIAIS DE 1ª ORDEM Teorema Suponha que as funções f e fy são contínuas em um retângulo t e y contendo o ponto to yo Então em algum intervalo to h t to h contido em t Existe uma única solução y t do problema de valor inicial y fxy e yto yo Exemplo Resolva o problema de valor inicial y y2 e y0 1 e determine o intervalo no qual a solução existe CÁLCULO V MÓDULO A EQUAÇÕES DIFERENCIAIS DE 1ª ORDEM Solução Pelo teorema temos fxy y2 e fy 2y contínuas em todo ponto de R Logo a solução dydt y2 dy y2 dt logo y 1 t c e y 1 tc Como y0 1 temos y 1 1 t que é a solução Portanto a solução existe apenas em t 1 Módulo A Item 14 Momento PBL Módulo B CÁLCULO V MÓDULO B EQUAÇÕES DIFERENCIAIS DE 2ª ORDEM Equações homogêneas com coeficientes constantes Uma equação diferencial de segunda ordem tem a forma d2dt2 f t y dydt 1 onde f é alguma função dada A equação 1 é dita linear se a função f tem a forma ft y dydt gt ptdydt qty Isto é se f é linear em y e y Devese notar que g p e q são funções da variável independente t não dependem de y CÁLCULO V MÓDULO B EQUAÇÕES DIFERENCIAIS DE 2ª ORDEM Assim a equação 1 pode ser escrita como y pty qty gt ou comumente escrita como Pty Qty Rty Gt Se Pt 0 pt Qt Pt qt Rt Pt e gt Gt Pt Um problema de valor inicial consiste em uma equação diferencial como antes junto com um par de condições iniciais yt0 y0 e yt0 y0 onde y0 e y0 são números dados Uma equação linear de segunda ordem é dita homegênea se a função gt ou Gt for igual a zero para todo t CÁLCULO V MÓDULO B EQUAÇÕES DIFERENCIAIS DE 2ª ORDEM Assim Pty Qty Rty 0 Vamos considerar P Q e R constantes E assim temos ay by cy 0 2 onde a b e c são constantes dadas Exemplo 1 Resolva a equação y y 0 Temos neste caso a 1 b 0 e c 1 Isto significa procurar uma função cuja derivada segunda é igual a ela mesma Facilmente identificamos que y1t e t e y2 t e t servem Também servem c1 y1 t c1 e t e c2 y2 t c2 e t E mais y c1 y1 t c2 y2 t c1 e t c2 e t para c1 e c2 quaisquer CÁLCULO V MÓDULO B EQUAÇÕES DIFERENCIAIS DE 2ª ORDEM A equação 2 pode ser escrita na forma algébrica ar2 br c 0 3 fazendo y r2 y r e y 1 r0 respectivamente Esta equação é chamada de equação característica O fato é que se r é raiz da equação polinomial 3 então y e rt é solução da equação diferencial 2 Supondo que r1 e r2 são raízes distintas de 3 então y1t e r1t e y2t e r2t são duas soluções da equação diferencial ou como no exemplo anterior y c1 y1t c2 y2t c1e r1t c2e r2t que também é solução da equação dada CÁLCULO V MÓDULO B EQUAÇÕES DIFERENCIAIS DE 2ª ORDEM Exemplo 2 Encontre a solução da equação y y 2y 0 Nesta caso a equação característica é r2 r 2 0 r1r2 0 r1 1 e r2 2 Logo y c1 e t c2 e 2t Exemplo 3 Resolva a equação diferencial y 5y 6y 0 com y0 2 e y0 3 A equação característica é r2 5r 6 0 r 2r 3 0 Logo y c1e 2t c2e 3t Pela primeira condição temos y0 2 c1 c2 Pela segunda condição y0 2c1e 2x0 3c2e 3x0 3 2c1 3c2 CÁLCULO V MÓDULO B EQUAÇÕES DIFERENCIAIS DE 2ª ORDEM Logo c1 c2 2 2c1 3c2 3 Donde c2 7 e c1 9 Assim y 9e 2t 7e 3t Para uma equação de segunda ordem sem a variável independente da forma y ft y a substituição v y e v y leva a uma equação de primeira ordem da forma v ftv Se ela puder ser resolvida em v então y pode ser encontrada integrandose dy dt v Exemplo 4 Resolva a equação y y e t Fazendo v y v y temos v v e t CÁLCULO V MÓDULO B EQUAÇÕES DIFERENCIAIS DE 2ª ORDEM Tomando a função integrante t e t temos e t v v e t e t e t ou e t v 1 e t v t c1 v te t c1 e t Ora como dydt v te t c1 e t temos por partes ò te t dt u t du dt dv e t dt v e t Logo y te t dt c1 e t dt te t e t dt c1e t c1e t c2 te t e t y c1e t c2 te t CÁLCULO V MÓDULO B EQUAÇÕES DIFERENCIAIS DE 2ª ORDEM Definimos o operador diferencial L por L p q onde p e q são funções contínuas em I O valor de L em t é dado por Lt t pt t qt t O operador L é normalmente usado como L D 2 pD q onde D é o operador derivada Usando y para representar t temos Ly y pt yt qt y 0 e as condições y t0 y0 e y t0 y0 Soluções fundamentais de equações lineares homogêneas CÁLCULO V MÓDULO B EQUAÇÕES DIFERENCIAIS DE 2ª ORDEM Teorema Considere o problema de valor inicial y pt yt qt y gt y t0 y0 y t0 y0 onde p q e g são funções contínuas em um intervalo aberto I Então existe exatamente uma solução y t desse problema e a solução existe em todo intervalo I Exemplo Encontre o maior intervalo no qual a solução do problema t2 3t y t y t 3 y 0 y 1 2 y 1 1 certamente existe Solução Calculando a forma do teorema acima temos pt 1 t3 qt t3 t 2 3t e gt 0 Os pontos de descontinuidade são t 0 e t 3 Logo o maior intervalo contendo a condição inicial t 1 é 0 t 3 CÁLCULO V MÓDULO B EQUAÇÕES DIFERENCIAIS DE 2ª ORDEM Teorema Se y1 e y2 são soluções da equação diferencial Ly y pt y qt y 0 então a combinação linear c1y1 c2y2 também é solução quaisquer que sejam os valores das constantes c1 e c2 Teorema Suponha que y1 e y2 são duas soluções de Ly y pt y qt y 0 e que o wronskiano w y1y2 y1y2 não se anule no ponto t0 onde são dadas as condições iniciais y t0 y0 y t0 y0 Então existe uma escolha das constantes c1 e c2 para os quais y c1y1t c2y2t satisfaz a equação diferencial acima e as condições iniciais y t0 y0 y t0 y0 CÁLCULO V MÓDULO B EQUAÇÕES DIFERENCIAIS DE 2ª ORDEM Teorema Se y1 e y2 são duas soluções da equação diferencial Ly y pt y qt y 0 e existe um ponto onde o wronskiano de y1 e y2 é diferente de zero então a família de soluções y c1y1t c2y2t com coeficientes arbitrários c1 e c2 inclui todas as soluções da equação acima Teorema Considere a equação diferencial Ly y pt y qt y 0 cujos coeficientes p e q são contínuos em algum intervalo aberto I Escolha algum ponto t0 em I Seja y1 a solução da equação acima que satisfaz também as condições iniciais yt0 1 e yt0 0 e seja y2 a solução da equação acima que satisfaz as condições iniciais yt0 0 e yt0 1 Então y1 e y2 formam um conjunto fundamental de soluções CÁLCULO V MÓDULO B EQUAÇÕES DIFERENCIAIS DE 2ª ORDEM Exemplo Determine o valor do Wronskiano do par de funções y1 e 2t e y 2 e 3t2 Solucão Como w y1 y 2 y1 y 2 temos e 2t 32e 3t2 2e 2t e 3t2 72 e t2 Raízes complexas de equações características Já vimos que a solução da equação ay by cy 0 com a b e c reais temos a equação característica ar2 br c 0 e se r1 e r2 são raízes então y c1 e r1t c2 e r2t Porém se as raízes forem complexas denotamos por r1 i e r2 i onde e são reais As representações para y 1 e y 2 são y1 t exp it e y 2 exp it CÁLCULO V MÓDULO B EQUAÇÕES DIFERENCIAIS DE 2ª ORDEM Fórmulas de Euler Do cálculo elementar usando a série de Taylor temos para e t em torno de t 0 t com n t e n n t 0 Nos complexos temos 1 1 2 1 0 2 0 1 2 1 2 1 n n n n n n n n it n t i n t n it e Onde foram separadas as partes real e imaginária observando os valores das potencias i 2 1 i 3 i i 4 1 etc Note que a primeira parte desta série é a série de Taylor para cost em torno de t 0 e a segunda é a série de Taylor para sent em torno de t 0 CÁLCULO V MÓDULO B EQUAÇÕES DIFERENCIAIS DE 2ª ORDEM Logo e it cost i sent ou e it cost i sent ou a fórmula generalizada de Euler e i t cost i sent Solução y c1 et cost c2 et sent onde i são raízes da equação característica Exemplo Encontre a solução geral da equação diferencial y y 0 Solução A equação característica é dada por r2 1 0 Logo r i Então y c1cost c2sent pois temos 0 e 1 CÁLCULO V MÓDULO B EQUAÇÕES DIFERENCIAIS DE 2ª ORDEM Exemplo Encontre a solução do problema de valor inicial dado por y 4y 0 y0 0 e y0 1 Solução Temos a equação característica r 2 4 0 que nos leva a r 2i Logo y c1cos2t c2sen2t Então y0 c11 c20 0 c1 0 Como y 2c1sen2t 2c2 cos2t temos y0 0 2c2 1 c2 12 Logo a solução é y 0 ½ sen2t ½ sen2t CÁLCULO V MÓDULO B EQUAÇÕES DIFERENCIAIS DE 2ª ORDEM Raízes repetidas Se as raízes forem repetidas r1 r2 b2a então y1 e bt 2a e y2 te bt 2a logo se r1 r2 A solução geral é y c1 e r1t c2 te r1t Exemplo Encontre a solução geral da equação ordinária y 2y y 0 Solução Temos a equação característica r2 2r 1 0 e consequentemente r 1 Logo a solução é dada por y c1 e t c2 te t CÁLCULO V MÓDULO B EQUAÇÕES DIFERENCIAIS DE 2ª ORDEM Exemplo Determine a solução da equação diferencial y 6y 9y 0 y0 0 y0 2 Solução Temos a equação característica r 2 6r 9 0 cujo solução é dada por r1 r2 3 Assim y c1 e 3t c2 te 3t Logo y0 c1 0 0 c1 0 e y0 3c1 e 3t 3c2 te 3t c2 e 3t 3c1 c2 2 c2 2 Então y 2 te 3t CÁLCULO V MÓDULO B EQUAÇÕES DIFERENCIAIS DE 2ª ORDEM Equações não homogêneas método dos coeficientes a determinar Dada a equação não homogênea Ly y pty qty gt onde p q e g são funções contínuas em um intervalo aberto I A equação Ly y pty qty 0 é chamada de equação homogênea associada Teorema Se Y1 e Y2 são duas soluções da equação não homogênea acima então sua diferença Y1 Y2 é uma solução da equação homogênea associada Se além disso y1 e y2 formam um conjunto fundamental de soluções para a equação homogênea então Y1t Y2t c1 y1t c2 y2t onde c1 e c2 são constantes determinadas CÁLCULO V MÓDULO B EQUAÇÕES DIFERENCIAIS DE 2ª ORDEM Teorema A solução geral da equação não homogênea dada poder escrita na forma y c1 y1t c2 y2t Yt onde y1 e y2 formam um conjunto fundamental de soluções da equação homogênea associada c1 e c2 são constantes arbitrárias e Y é alguma solução específica da equação não homogênea Nota Por este teorema devemos fazer 3 coisas para resolver a equação não homogênea dada 1 Encontrar a solução geral c1 y1t c2 y2t da equação homogênea associada yh 2 Encontrar uma única solução Yt da equação não homogênea yp 3 Somar as duas funções encontradas y yh yp CÁLCULO V MÓDULO B EQUAÇÕES DIFERENCIAIS DE 2ª ORDEM O método dos coeficientes indeterminados Este método requer uma hipótese inicial sobre a forma da solução particular Yt mas com os coeficientes não especificados Substituise então a expressão hipotética na equação diferencial e tentamos determinar os coeficientes de modo que a equação seja satisfeita Exemplo Encontre uma solução particular de y 3y 4y 3e 2t Solução Procuramos uma função Y tal que Yt 3Yt 4Yt seja igual a 3e 2t Vamos supor Yt Ae 2t onde A deve ser determinado CÁLCULO V MÓDULO B EQUAÇÕES DIFERENCIAIS DE 2ª ORDEM Ora Yt 2Ae 2t e Yt 4Ae 2t Logo 4Ae 2t 6Ae 2t 4Ae 2t 3e 2t 6A 3 A 05 Então a solução particular é dada por Yt 05 e 2t CÁLCULO V MÓDULO B EQUAÇÕES DIFERENCIAIS DE 2ª ORDEM Tabela de solução particular de ay by c git git Yit Pnt a0tn a1tn1 an ts A0tn A1tn1 An Pnt e t ts A0tn A1tn1 An e t Pnt e t sent cost ts A0tn A1tn1 An etcost ts 0tn 1tn1 n etsent Onde s denota o menor inteiro não negativo s 0 1 2 que garanta que nenhuma parcela de Yit seja solução da equação homogênea correspondente CÁLCULO V MÓDULO B EQUAÇÕES DIFERENCIAIS DE 2ª ORDEM Exemplo Encontre a solução geral da equação diferencial y 2y 3y 3e 2t Solução Temos então a equação característica r 2 2r 3 0 e consequentemente r1 3 e r2 1 Logo yh c1e 3t c2e t E a solução particular é dada por y Ae 2t y 2Ae 2t y 4 Ae 2t 4 Ae 2t 4 Ae 2t 3 Ae 2t 3e 2t ou A 1 e yp e 2t Então como y yh yp temos y c1e 3t c2e t e 2t CÁLCULO V MÓDULO B EQUAÇÕES DIFERENCIAIS DE 2ª ORDEM Exemplo Resolva a equação y y 2y sen2x Solução Temos então a equação característica r 2 r 2 0 e consequentemente r1 2 e r2 1 Logo yh c1e x c2e 2x E a solução particular y y 2y sen2x y A0 sen2x 0 cos2x y 2A0 cos2x 20 sen2x e y 4A0 sen2x 40 cos2x Substituindo em y y 2y sen2x temos A0 320 e 0 120 Daí a solução y c1e x c2e 2x 320 sen2x 120 cos2x CÁLCULO V MÓDULO B EQUAÇÕES DIFERENCIAIS DE 2ª ORDEM Teorema Se as funções p q e g são contínuas em um intervalo aberto I e se as funções y1 e y2 são soluções linearmente independentes da equação homogênea associada à equação não homogênea y pty qty gt então uma solução particular desta função é t dt y y W y t g t y t t dt y y W y t g t y t Y t 2 1 1 2 2 1 2 1 e a solução geral é y c1y1t c2y2t Yt como visto antes CÁLCULO V MÓDULO B EQUAÇÕES DIFERENCIAIS DE 2ª ORDEM Equações de ordem mais alta Uma equação diferencial linear de ordem n é uma equação da forma P0tdnydtn P1tdn1ydtn1 Pn1tdydt Pnty Gt Supondo que P0 P1 Pn e G são funções reais e contínuas definidas em algum intervalo I t e que P0 nunca se anula nesse intervalo então dividindo por P0t temos Ly dnydtn p1tdn1ydtn1 pn1tdydtpnty gt Podese esperar que para se obter uma única solução será necessário especificar n condições iniciais yt0 y0 yt0 y0 yt0 y0 yn1t0 yn1 0 Onde t0 pode ser qualquer ponto de I CÁLCULO V MÓDULO B EQUAÇÕES DIFERENCIAIS DE 2ª ORDEM Teorema Se as funções p1 p2 pn e g são contínuas em I então existe exatamente uma solução y t da equação diferencial Ly que também satisfaz as condições iniciais dadas Essa solução existe em todo o intervalo I Exemplo Resolver a equação diferencial y 6y 11y 6y 0 Solução Temos a seguinte equação característica r 3 6r 2 11r 6 0 ou r 1r 2r 3 0 Logo as raízes são r1 1 r2 2 e r3 3 Assim y c1e t c2e 2t c2e 3t CÁLCULO V MÓDULO B EQUAÇÕES DIFERENCIAIS DE 2ª ORDEM Teorema Se as funções p1 p2 pn são contínuas no intervalo aberto I se as funções y1 y2 yn são soluções da equação homogênea e se Wy1 y2 yn t 0 para pelo menos um ponto t em I então toda solução da equação dada pode ser expressa como uma combinação linear das soluções y1 y2 yn CÁLCULO V MÓDULO B EQUAÇÕES DIFERENCIAIS DE 2ª ORDEM Equação homogênea com coeficientes constantes Seja a equação Ly a0yn a1yn1 an1 y any 0 ai real A solução similar ao de segunda ordem é Le rt e rt a0rn a1rn1 an1 r an e rt Zr onde Zr a0rn a1rn1 an1 r an Assim podemos escrever a equação característica na forma Zr a0 r r1 r r2 r r3 r rn Se as raízes forem reais e distintas então temos n soluções diferentes cujo expressão geral é dada por y c1e r1t c2e r2t cne rnt CÁLCULO V MÓDULO B EQUAÇÕES DIFERENCIAIS DE 2ª ORDEM Exemplo Encontre a solução geral de y iv y 0 com as condições y0 72 y0 4 y0 52 e y0 2 Temos a equação característica r4 1 0 ou r2 1r2 1 0 Donde resulta r1 1 r2 1 r3 i e r4 i Logo y c1e t c2e t c3 cost c4 sent e com as condições y0 c1 c2 c3 0 72 y0 c1 c2 0 c4 4 y0 2 e y0 2 Resulta c1 0 c2 3 c3 ½ e c4 1 e consequentemente a solução y 3e t ½ cost sent CÁLCULO V MÓDULO B EQUAÇÕES DIFERENCIAIS DE 2ª ORDEM Exemplo Encontre a solução geral de yiv 2y y 0 Neste caso temos a equação característica r 4 2r 2 1 0 ou r 2 1 r 2 1 0 cujas raízes são r i i i i Logo y c1cos t c2 sen t c3 tcos t c4 tsen t O Método dos coeficientes indeterminados Similar ao de segunda ordem Exemplo Encontrar a solução geral de y 3y 3y y 4et CÁLCULO V MÓDULO B EQUAÇÕES DIFERENCIAIS DE 2ª ORDEM Temos a equação característica r 3 3r 2 3r 1 0 r 1 3 Logo a solução da equação homogênea é y c1e t c2te t c3 t2 e t Para a solução particular Yt vamos supor Yt Ae t Como e t te t e t2 e t são soluções da equação homogênea temos Yt A t3 e t Assim 6A e t 4 e t donde A 23 Portanto a solução particular é Yt 23 t3 e t e Consequentemente a solução geral y c1e t c2te t c3 t2 e t 23 t3 e t Módulo B Item 26 Momento PBL Módulo C CÁLCULO V MÓDULO C TRANSFORMADA DE LAPLACE A Transformada de Laplace O método consiste em resolver equações diferenciais como se fossem equações algébricas Definição Dada uma função ft definida no intervalo 0 definimos a sua transformada de Laplace Fs por 0 L f t f t dt e s F st Supondo que a integral convirja pelo menos para algum valor de s CÁLCULO V MÓDULO C TRANSFORMADA DE LAPLACE Transformamos através do operador L funções ft na variável t em funções Fs na variável s Sabese que uma integral definida em um intervalo ilimitado é chamada de integral imprópria é definida como um limite de integrais definidas em intervalos finitos Assim a A a A f t dt f t dt lim Onde A é um real positivo Se a integral de a até A existe para todo A a e se o limite quando A existir então dizemos que a integral imprópria converge para aquele valor limite Caso contrário diverge CÁLCULO V MÓDULO C TRANSFORMADA DE LAPLACE Exemplo 1 Seja ft 1 t t 1 então 1 1 dt t Converge A t dt t dt t dt f A A A lim ln 1 lim 1 1 1 1 Logo a integral imprópria diverge Exemplo 2 Seja ft 1 t 2 t 2 então a integral 2 diverge f t dt CÁLCULO V MÓDULO C TRANSFORMADA DE LAPLACE Temos que 1 2 1 lim 1 lim 1 2 2 2 2 2 A A A A t t dt dt t Logo a integral dada converge para o valor ½ Teorema Se f é seccionalmente contínua em t a se ft gt quando t M para alguma constante positiva M e se a M f t dt converge então g t dt também converge Por outro lado se ft gt 0 para t M e se a M f t dt diverge então g t dt também diverge CÁLCULO V MÓDULO C TRANSFORMADA DE LAPLACE Teorema Existência da transformada de Laplace Suponha que 1 f seja seccionalmente contínua no intervalo 0 t A para qualquer A positivo 2 ft Keat quando t M onde K a e M são constantes reais com K e M necessariamente positivas Então a transformada de Laplace Lft Fs definida pela equação Lft Fs 0 t dt f e st Existe para s a Exemplo 3 Seja ft 1 t 0 Então 0 1 lim 1 1 0 0 s s dt e dt e L A st A st CÁLCULO V MÓDULO C TRANSFORMADA DE LAPLACE Exemplo 4 Seja ft senat t 0 Então 0 sen sen 0 at dt s e F s at L st Temos integrando por partes cos cos lim 0 0 at dt e a s a at e s F A st A st A Finalmente Fs a s 2 a 2 s 0 Exemplo 5 Seja ft eat t 0 então dt e e dt e F s L e a t s at st at 0 0 CÁLCULO V MÓDULO C TRANSFORMADA DE LAPLACE 1 lim lim 0 0 a s s a s a e dt e s F A s t a A A s t a A Existem 3 propriedades extremamente importantes nas transformadas como i O sistema é linear isto é La ft b gt a Lft b Lgt ii O sistema destrói derivadas isto é se ft entra na caixa ela sai como sFs f0 iii O sistema é inversível isto é existe uma outra caixa denominada L1 que se atravessada pela função de saída Fs fornece ft de volta assim L1Ft ft CÁLCULO V MÓDULO C TRANSFORMADA DE LAPLACE L Fs aFs bFs sFs f0 s 2Fssf0f0 ft aft bft ft ft Transformada de Laplace CÁLCULO V MÓDULO C TRANSFORMADA DE LAPLACE Teorema Suponha que f seja contínua e que f seja seccionalmente contínua em qualquer intervalo 0 t A Suponha além disso que existam constantes k a e M tais que ft ke at para t M Então Lft existe para s a e além disso Lft sLft sLft f0 Corolário Suponha que as funções f f f fn1 sejam contínuas e que fn seja seccionalmente contínua em qualquer intervalo 0 t A Suponha além disso que existam constantes k a e M tais que ft ke at ft ke at fn1t ke at para t M Então Lfnt existe para s a e é dado por Lfnt snLft sn1f0 sfn20 fn10 CÁLCULO V MÓDULO C TRANSFORMADA DE LAPLACE Exemplo 6 Determine Fs se fx 3 2x 2 Por definição e tabela de transformada temos Fs L3 2x 2 3L1 2Lx 2 3 1 s 2 2 s3 3 s 4 s 3 Exemplo 7 Resolva a equação diferencial y y 2y 0 com y0 1 y0 0 Facilmente podese encontrar a solução y 23et 13e2t usando equação característica Usando transformada de Laplace temos Ly Ly 2Ly 0 s2Ly sy0 y0 sLy y0 2Ly 0 CÁLCULO V MÓDULO C TRANSFORMADA DE LAPLACE ou s2 s 2Ys 1sy0 y0 0 Ys s 1 s2 s 2 s 1 s 2 s 1 que acaba chegando à mesma solução CÁLCULO V MÓDULO C TRANSFORMADA DE LAPLACE Exemplo 8 Usando a transformada de Laplace resolva a equação y y 6 0 y0 1 y0 1 Solução Ly Ly 6Ly 0 s2Ly sy0 y0 sLy y0 6Ly 0 Como Ly Ys temos s2Ys sy0 y0 sYs y0 6Ys 0 Yss2 s 6 1 s 1 0 Ys s 2 s2 s 6 s 2 s 3s 2 Separando em frações temos Ys 15s3 45s2 Consultando a tabela de Laplace temos Ys 15e3t 45e2t 15e3t 4e 2t CÁLCULO V MÓDULO C TRANSFORMADA DE LAPLACE Exemplo 9 Resolva por Laplace a equação y y senx y0 1 Solução sYs y0 Ys 1 s2 1 sYs 1 Ys 1 s2 1 Yss1 1 1 s2 1 Ys 1s1 1 s1s21 Separando em frações temos 1s1s21 As1 BsC s21 Donde A ½ B ½ e C ½ Então Ys 1s1 12s1 ½ss21 ½ 1s21 Logo y 32e x 12cosx 12senx ½ 3e x cosx senx CÁLCULO V MÓDULO C TRANSFORMADA DE LAPLACE Função Degrau A função Degrau unitário denotado por c é definida por c t c t c 0 1 A função de Laplace de c é determinada por 0 0 s s e dt e t dt e t L cs c st c st c CÁLCULO V MÓDULO C TRANSFORMADA DE LAPLACE y t 1 c y 1 c t y c 1 y c t CÁLCULO V MÓDULO C TRANSFORMADA DE LAPLACE Teorema Se Fs Lft existe para s a 0 e se c é uma constante positiva então Lµctftc e cs Lft e cs Fs s a Reciprocamente se ft L 1Fs então µctftc L 1e cs Fs Teorema Se Fs Lft existe para s a 0 e se c é uma constante positiva então Lectft Fsc s a c Reciprocamente se ft L 1 ft então ect L 1 fsc CÁLCULO V MÓDULO C TRANSFORMADA DE LAPLACE Exemplo 10 Usando a função t a se o a a t se c 0 1 Reescreva a função t a se a t se t a t f 0 sen Assim podemos escrever ft atsenta ou a t se a t se a g t a a t g t t f 0 CÁLCULO V MÓDULO C TRANSFORMADA DE LAPLACE Teorema Se f é de ordem exponencial e é de período p então sp p st e e f t dt f t L 1 0 Exemplo 11 Ache a transformada de Laplace da função cujo gráfico é 1 1 2 3 4 t ft Neste caso f é periódica com período 2 donde CÁLCULO V MÓDULO C TRANSFORMADA DE LAPLACE 1 1 1 1 1 1 2 1 2 1 0 2 2 0 s s s st s st e s e s e e dt e e e f t dt f t L Exemplo 12 Encontre a transformada de Laplace da função ft t 0 t 1 ft1 ft s st e e tdt f t L 1 1 0 Integrando por partes temos 1 1se s s2 1 es CÁLCULO V MÓDULO C TRANSFORMADA DE LAPLACE Definição de convolução Sejam fx e gx E A convolução de fx e gx é dada por 0 x t dt f t g x x g x f Exemplo Se fx e 3x e gx e 2x então ft e 3t e gt e 2x t e x x x t x x t x t e e e dt e dt e e x g x f 2 3 0 2 2 0 3 Teorema Se Lfx Fs e Lgx Gs então Lfxgx Lfx Lgx FsGs podem ser escrita na forma L 1FsGs fxgx Módulo C Item 31 Momento PBL Módulo D CÁLCULO V MÓDULO D EQUAÇÕES DIFERENCIAIS PARCIAIS Utilizando a Separação de Variáveis determinar possíveis soluções de 1 R CÁLCULO V MÓDULO D EQUAÇÕES DIFERENCIAIS PARCIAIS 2 R 3 R CÁLCULO V MÓDULO D EQUAÇÕES DIFERENCIAIS PARCIAIS 4 R a EDP dada não é separável CÁLCULO V MÓDULO D EQUAÇÕES DIFERENCIAIS PARCIAIS 5 R CÁLCULO V MÓDULO D EQUAÇÕES DIFERENCIAIS PARCIAIS 6 CÁLCULO V MÓDULO D EQUAÇÕES DIFERENCIAIS PARCIAIS 7 Módulo D Item 41 Momento PBL Módulo E MÓDULO E SERIES DE FOURIER Série de Fourier As séries trigonométricas infinitas formadas por seno eou coseno são chamadas séries de Fourier Seja a série na forma sen cos 2 1 0 L x m b L x m a a m m m No conjunto de pontos onde ela converge ela define uma função f cujos valores em cada ponto x é a soma da série para aquele valor de x Dizemos então que esta série é a série de Fourier de f CÁLCULO V CÁLCULO V MÓDULO E SERIES DE FOURIER Periodicidade das funções seno e coseno Uma função é dita periódica com período T 0 se o domínio de f contém xT sempre que contiver x e se fxT f x para todo x Notase claramente que se T período fundamental é um período de f então 2T também o é como qualquer múltiplo inteiro de T Em particular as funções sen mxT e cos mxT m 1 2 são periódicas com período fundamental T 2L m Ortogonalidade das funções sen e coseno Duas funções u e v são ditas ortogonais em x se seu produto interno é nulo isto é se CÁLCULO V MÓDULO E SERIES DE FOURIER 0 x v x dx u As funções sen mxT e cos mxT m 1 2 formam um conjunto ortogonal de funções no intervalo L x L Senão vejamos n se m dx L x n L x m n m se L L L 0 cos cos CÁLCULO V MÓDULO E SERIES DE FOURIER n m se n m se L L L dx L x n L x m 0 sen sen 0 sen cos todo m n para dx L x n L x m L L CÁLCULO V MÓDULO E SERIES DE FOURIER Supondo que uma série da forma 2 sen 2 cos 2 1 0 x m b x m a a x f m m m converge E considerando as propriedades de ortogonalidade vistas temos que os coeficientes an e bn são dados por 0 1 2 cos 1 n dx L x n f x L a L L n 1 2 sen 1 n dx L x n f x L b L L n CÁLCULO V MÓDULO E SERIES DE FOURIER Exemplo Seja 3 sen 3 cos 2 1 0 x n b x n a a x f n m n e suponha que f x6 f x Encontre os coeficientes da série de Fourier de f Como f tem período 6 segue que L 3 Então a série de Fourier de f tem a forma 3 1 0 1 1 1 1 3 0 x x x x f onde os coeficientes an e bn são dados por CÁLCULO V MÓDULO E SERIES DE FOURIER 3 2 3 1 3 1 1 1 3 3 0 dx f x dx a 1 2 sen 3 3 2 3 cos 3 1 1 1 n n x dx n an Similarmente 1 2 0 3 sen 3 1 1 1 n x dx n bn Logo a série de Fourier de f é CÁLCULO V MÓDULO E SERIES DE FOURIER 3 2 sen 3 cos 3 1 1 x n n x n x f n cos 3 sen 3 2 3 1 x x f x Funções pares e ímpares Analiticamente f é uma função par se seu domínio contém o ponto x sempre que contiver o ponto x e se f x f x para cada x do domínio de f Analogamente f é uma função ímpar se seu domínio contém x sempre que contiver x e se f x f x para cada x no domínio de f CÁLCULO V MÓDULO E SERIES DE FOURIER Exemplos Funções pares 1 x2 cosnx x e x2n Funções ímpares x x3 sennx e x2n1 A maioria das funções não é par nem ímpar Por exemplo ex A função identicamente nula é ímpar e par ao mesmo tempo Propriedades elementares a A soma diferença e o produto quociente de duas funções pares é par b A soma diferença de duas funções ímpares é ímpar o produto quociente de duas funções ímpares é par CÁLCULO V MÓDULO E SERIES DE FOURIER c A soma diferença de uma função par e uma função ímpar não é par nem ímpar o produto quociente é ímpar d Se f é uma função par então f x dx x dx f L L L 0 2 0 x dx f L L e Se f é uma função ímpar então Como consequência das propriedades d e e os coeficientes de Fourier de f são dados por caso em coseno par 01 2 cos 2 0 n dx L x n x f L a L n CÁLCULO V MÓDULO E SERIES DE FOURIER bn 0 n 1 2 Logo cos 2 1 0 L x n a a x f n n e no caso em senos ímpar temos an 0 n 0 1 2 1 2 sen 2 0 n dx L x n f x L b L n E a série é dada por sen 1 L x n b x f n n CÁLCULO V MÓDULO E SERIES DE FOURIER Equação do calor A equação do calor tem a forma 2uxx ut 0 x L t 0 Onde 2 é uma constante conhecida como difusividade térmica O parâmetro 2 depende apenas do material do qual é feita a peça e é definida por 2 k s onde k é a condutibilidade térmica é a densidade e s é o calor específico do material utilizado As unidades de 2 comprimento2 tempo CÁLCULO V MÓDULO E SERIES DE FOURIER Alguns valores de difusividade térmica Material 2 cm2 s Prata 171 Cobre 114 Alumínio 086 Água 000144 O problema fundamental de condução de calor é encontrar ux t que satisfaz a equação diferencial 2uxx ut 0 x t t 0 a condição inicial ux0 fx 0 x L quando t 0 e as condições de contorno u0t 0 uLt 0 t 0 CÁLCULO V MÓDULO E SERIES DE FOURIER A equação de onda A equação da onda é dada por 2uxx utt 0 x L t 0 O coeficiente constate 2 é dado por 2 T onde T é a tensão na corda e é a massa por unidade de comprimento do material da corda Assim a unidade de é comprimento tempo Supondose que as extremidades permanecem fixas logo as condições de contorno são u0t 0 uLt 0 t 0 Como a equação é de segunda ordem em t é razoável ter 2 condições iniciais ux 0 fx 0 x L e a velocidade inicial utx 0 gx 0 x L onde f e g são funções dadas CÁLCULO V MÓDULO E SERIES DE FOURIER Para a consistência da equação faz necessário supor que f0 fL 0 e g0 gL 0 Equação de Laplace Em duas dimensões a equação de Laplace que tem inúmeras aplicações é uxx uyy 0 e tem três dimensões uxx uyy uzz 0 Por exemplo em um problema de calor a duas dimensões espaciais a temperatura ux y t tem que satisfazer a equação 2 uxx yxx ut onde 2 é a difusividade térmica O problema de encontrar uma solução da equação de Laplace com valores dados na fronteira é conhecido como um problema de Dirichilet Módulo E Item 55 Momento PBL