Dinâmica de Máquinas - Lista de Exercícios sobre Centro de Massa, Aceleração e Velocidade

Unidade I Rua José Paulino 1345 Centro CEP 13013001 Campinas SP Regime Especial Dinâmica de Máquinas ENTREGA 24052023 quartafeira até às 20h00 nas mãos da Solange na sala dos professores ou na Secretaria Além do resultado correto o desenvolvimento e raciocínio coerente com esse resultado farão parte da pontuação do mesmo Nome RA 01 Determine o centro de massa nas chapas demonstradas a sequir 02 O bloco de concreto de 300 kg é erguido pelo mecanismo de elevação mostrado a seguir onde os cabos estão firmemente enrolados em torno dos respectivos tambores Os tambores que estão presos um ao outro e giram como um conjunto único em torno de seu centro de massa em O possuem uma massa combinada de 150 kg e um raio de giração em relação a O de 450 mm Se uma tração constante P de 18 kN é mantida pela unidade de potência em A determine a aceleração vertical do bloco e a força resultante sobre o mancal em O 03 O carro A tem uma velocidade para frente de 54 kmh e está acelerando a 2 ms2 Determine a velocidade e a aceleração do carro em relação ao observador B que é levado em uma cadeira sem rotação sobre a roda gigante A frequência 6 rpm da roda gigante é constante e o seu raio é 10 m 04 A placa quadrada gira em torno de um pino fixo O No instante representado a sua velocidade angular é ω 6 rads e sua aceleração angular é α 4 rads2 nas direções indicadas na figura Determine a a velocidade e a aceleração do ponto A em temos dos vetores unitários iˆ e jˆ e seus módulos b a velocidade e a aceleração do ponto B em temos dos vetores unitários iˆ e jˆ e seus módulos 05 Uma mesa de ar é usada para estudar o movimento elástico dos modelos flexíveis de espaçonaves O ar pressurizado que escapa de numerosos furos pequenos na superfície horizontal fornece um colchão de ar para sustentação que elimina grande parte do atrito O modelo apresentado é constituído por um núcleo cilíndrico de raio r e quatro hastes de comprimento l e pequena espessura t O cilindro e as quatro haste todos têm a mesma profundidade d e são constituídos do mesmo material com a massa específica densidade ρ Suponha que a espaçonave seja rígida e determine o momento M que deva ser aplicado ao cilindro para girar o modelo a partir do repouso até uma velocidade angular ω em um período de tempo de τ segundos 06 O vértice A da placa em formato de triângulo equilátero possui uma velocidade vA 08 ms para a direita e a velocidade angular no sentido antihorário da placa é 5 rads Determine a velocidade do vértice C para o instante mostrado 07 O mastro uniforme de 24 m possui uma massa de 300 kg e é articulado em sua extremidade inferior a um suporte fixo junto a O Se o guincho C desenvolve um torque de partida de 1300 Nm calcule a força total suportada pelo pino em O quando o mastro começa a ser erguido do seu apoio em B Encontre também a aceleração angular correspondente α do mastro O cabo em A está horizontal e as massa das polias e do cabo são desprezíveis 08 A velocidade angular de uma engrenagem é controlada de acordo com 3 2 12 t onde ω em radianos por segundo é positivo no sentido horário e onde t é o tempo em segundos a Encontre o deslocamento anular líquido Δθ desde o instante de tempo t 0 até t 3 s b Encontre também o número total de rotações N por meio do qual a engrenagem gira durante os três segundos 09 O disco circular rola sem deslizar com uma velocidade angular no sentido horário 4 rads Para o instante representado escreva as expressões vetoriais para a velocidade de A com relação a B e para a velocidade de P 10 A aceleração angular de um corpo que está girando em torno de um eixo fixo é dada por 2 k onde a constante k 01 sem unidades Determine o deslocamento angular e o tempo decorrido quando a velocidade angular tiver sido reduzida para um terço do seu valor inicial o 12 rads 11 Na figura abaixo duas partículas ambas de massa m 085 kg estão ligadas uma à outra e a um eixo de rotação na origem do sistema de coordenadas por duas barras finas de comprimento d 56 cm e de massa M 12 kg O conjunto gira em torno do eixo de rotação que passa pela origem com velocidade angular ω 030 rads Em relação ao eixo quais são a o momento de inércia do conjunto b a energia cinética do conjunto 12 O carretel gira sobre seu cubo subindo o cabo interno A enquanto a placa compensadora B puxa os cabos externos para baixo Os três cabos estão firmemente enrolados em torno de suas respectivas periferias e não deslizam Se no instante representado B tiver se deslocado para baixo uma distância de 1600 mm a partir do repouso com uma aceleração constante de 02 ms2 determine a velocidade do ponto C e a aceleração do centro O para esse instante em particular 13 O bloco de concreto P está sendo abaixado pelo arranjo de cabo e polia mostrado Se os pontos A e B têm velocidades de 04 ms e 02 ms respectivamente calcule a velocidade de P a velocidade do ponto C para o instante representado e a velocidade angular da polia 14 A figura abaixo mostra um came de excêntrico cicloidal com raio mínimo 45 mm que gira no sentido anti horário com frequência 1800 RPM Também é mostrado um seguidor de rolete com raio 5 mm e haste com retorno por mola O deslocamento do seguidor no movimento considerado é de 40 mm a Verifique se há formação de ponta na subida do rolete para β 180 b Determine o ângulo de pressão máximo αmax para o mesmo β c Determine a velocidade da haste na subida e na descida 15 Defina corretamente a nomenclatura do came de disco com seguidor radial de rolete conforme a indicação das setas abaixo 16 Os cames são identificados de acordo com sua forma na figura abaixo temos alguns tipos básicos identifique a nomenclatura destes seguindo o sentido da esquerda para direita 17 Projetar um came de disco com seguidor radial de rolete para realizar os deslocamentos conforme diagrama abaixo e com os seguintes dados Rm 30 mm Rr 14 mm sentido de giro do came horário Movimento harmônico simples β 120º a Calcular o αmax b Calcular R0 para αmax 35º Utilize o monograma para determinação do ângulo de pressão máximo dado no exercício anterior 01 Determine o centro de massa nas chapas demonstradas a sequir 02 O bloco de concreto de 300 kg é erguido pelo mecanismo de elevação mostrado a seguir onde os cabos estão firmemente enrolados em torno dos respectivos tambores Os tambores que estão presos um ao outro e giram como um conjunto único em torno de seu centro de massa em O possuem uma massa combinada de 150 kg e um raio de giração em relação a O de 450 mm Se uma tração constante P de 18 kN é mantida pela unidade de potência em A determine a aceleração vertical do bloco e a força resultante sobre o mancal em O Solução Para o Tambor nós temos 06 P0 3TIα 06 P0 3T150045 2α Essa será nossa equação I Para o bloco nós temos TW mα T30098130003α Essa Será nossa equação II Resolvendo simultaneamente I e II temos α584 rads 2T8199N a Aceleração vertical do bloco a584rad s 203m1752ms 2 b Resultante no bloco O x1800cos45º0Ox9002 N O y15098181991800sin 45º0Oy1094329 N OO y 2O x 21102kN 03 O carro A tem uma velocidade para frente de 54 kmh e está acelerando a 2 ms2 Determine a velocidade e a aceleração do carro em relação ao observador B que é levado em uma cadeira sem rotação sobre a roda gigante A frequência 6 rpm da roda gigante é constante e o seu raio é 10 m Solução vA54 km h 1h 3600s 1000m 1km 15 i m s a A2 i m s 2 ω6 rev min 1min 60 s 2 πrad 1rev π 5 rad s Velocidade de B vBωr cos 45º isin 45º j vBπ 2 iπ 2 jm s Velocidade de A em relação a B vA Bv Av B 15 iπ 2 iπ 2j 15π 2 iπ 2 j Aceleração do Ponto B aBrω 2cos45º isin 45º j aB2π 2 5 i2π 2 5 j Aceleração de A em relação a B a A BaAaB 2 i 2π 2 5 i2π 2 5 102π 2 5 i 2π 2 5 jms 2 4 A placa quadrada gira em torno de um pino fixo O No instante representado sua velocidade angular é ω 6 rads e sua aceleração angular é α 4 rads² nas direções indicadas na figura Determinar a a velocidade e a aceleração do ponto A em função dos vetores unitários i e j e seus módulos b a velocidade e a aceleração do ponto B em função dos vetores unitários i e j e seus módulos Dimensões em milímetros Solução Para o Ponto A r A0i45 j ω6k α4k V Aωr A645k j 270imm s a Aωωr Aα r A 6k 6k 0i45 j 4 k0i45 j 6k 270i180i 180i1620 j mm s 2 Para o Ponto B r B30i45 j ω6k α4k V BωrB6k 30i45 j 270i180 j mm s aBωωrBα r B 6k 6k 30i45 j4 k30i45 j 6k 270i180 j120 j180i 1260i1500 j mm s 2 05 Uma mesa de ar é usada para estudar o movimento elástico dos modelos flexíveis de espaçonaves O ar pressurizado que escapa de numerosos furos pequenos na superfície horizontal fornece um colchão de ar para sustentação que elimina grande parte do atrito O modelo apresentado é constituído por um núcleo cilíndrico de raio r e quatro hastes de comprimento l e pequena espessura t O cilindro e as quatro haste todos têm a mesma profundidade de são constituídos do mesmo material com a massa específica densidade ρ Suponha que a espaçonave seja rígida e determine o momento M que deva ser aplicado ao cilindro para girar o modelo a partir do repouso até uma velocidade angular ω em um período de tempo de τ segundos Solução Comprimento l Espessura t Densidade ρ Momento M Velocidade angular ω Tempo τ Raio do eixo r M OI Oα I O1 2 meixor 24 1 12 mhelicesl 2mhelicesr l 2 2 meixoρπr 2d mhelicesρldt I O1 2 ρπ r 2d r 24 ρldt 1 12 l 2r 2rll 2 4 I Oρd 1 2 π r 44 1 3 l 2r 2rl αω τ M OI Oα M Oω ρd τ 1 2 π r 44 1 3 l 2r 2rl 06 O vértice A da placa em formato de triângulo equilátero possui uma velocidade vA 08 ms para a direita e a velocidade angular no sentido antihorário da placa é w 5 rads Determine a velocidade do vértice C para o instante mostrado Solução Considerando o segmento AM como sendo a coordenada de A até o ponto médio de BC temos AM015cos30 A velocidade do vértice pode ser calculada como V CV AV C A V CV AωrC A Assim 08 i5 k 0075 i00753 j 32153 40 i 3 8 j 07 O mastro uniforme de 24 m possui uma massa de 300 kg e é articulado em sua extremidade inferior a um suporte fixo junto a O Se o guincho C desenvolve um torque de partida de 1300 Nm calcule a força total suportada pelo pino em O quando o mastro começa a ser erguido do seu apoio em B Encontre também a aceleração angular correspondente α do mastro O cabo em A está horizontal e as massa das polias e do cabo são desprezíveis Solução Tração no cabo T 1300 N m 60010 3m 1310 3 6 N Para o equilíbrio dinâmico dizemos que M O0 O y 12cos30ºI OαOx12sin30º2T 4 sin30º I Oml 2 3 O y 12 3 2 ml 2 3 αO x12 1 22 1310 3 6 4 1 2 Multiplicando os dois lados da equação por 3 e organizando chegamos a seguinte expressão O y 183ml 2αO x181310 32 Essa será nossa expressão I Vamos agora obter outra equação Para o equilíbrio dinâmico em x Fx0 O xm α 12sin30º2T O x2 13 6 10 330012 1 2 α Multiplicando os dois lados da equação por 3 e organizando chegamos a seguinte expressão O x 13 3 10 31800α N Essa será nossa expressão II Vamos agora obter outra equação Para o equilíbrio dinâmico em y F y0 O ymgmα 12cos 30º O y30098130012 3 2 α O y294318003α N Essa será nossa expressão III Resolvendo I II e III temos O x 13 3 10 31800α N O y294318003α N O y 183ml 2αO x181310 32 α007087rad sO X4206N O Y3164 N OO X 2 OY 25263N 8 A velocidade angular de uma engrenagem é controlada de acordo com ω 123t² onde ω em radianos por segundo é positivo no sentido horário e onde t é o tempo em segundos a Encontre o deslocamento líquido do anel Δθ do tempo t 0 até t 3 s b Encontre também o número total de revoluções N pelas quais a engrenagem gira durante os três segundos Solução Basta integrar a expressão da velocidade angular em relação a t dθ dt ωdθωdt dθωdt θ10 θ2θ dθ t10 t23 ωdt θ t10 t23 123t 2dt θ1233 3 θ36279rad Número total de rotações sabendo que 2π vale uma rotação e que θ9 rad temos então N1233 3 2π 143 09 O disco circular rola sem deslizar com uma velocidade angular no sentido horário w 4 rads Para o instante representado escreva as expressões vetoriais para a velocidade de A com relação a B e para a velocidade de P Solução Diagrama de corpo Livre do disco A expressão para a velocidade do centro de massa é V mωr Aqui a velocidade do centro de massa é V m substituindo o valor dado na expressão acima 300 V m4 0rad s300mm 1m 1000mm i V m12 im s A expressão para a velocidade de rolamento é Vωr Aqui a velocidade de rolamento é V substituindo o valor dado na expressão acima V40rad s300mm 1m 1000mm i V12 ims A expressão para a velocidade em A é V AV V m2 4 im s A expressão para a velocidade em B é V BV mV 12 i12 jm s A expressão para a velocidade A em relação a B é V A BV BV A12 i12 jms24 i ms Assim o valor da velocidade é V A B12 i12 jms Expressão para a velocidade de rolamento em P V 1ωdOP Aqui a velocidade de turbulência em P é V 1 substituindo o valor dado na expressão acima V 140rad s200mm 1m 1000mm j V 10 8 jm s A expressão para a velocidade em P é V PV mV 1 Assim o valor da velocidade em P é V P12 i08 jms 10 A aceleração angular de um corpo que gira em torno de um eixo fixo é dada por α kω² onde a constante k 01 sem unidades Determine o deslocamento angular e o tempo decorrido quando a velocidade angular for reduzida a um terço de seu valor inicial ωo 12 rads Solução A derivada da velocidade angular deve ser igual à expressão de aceleração angular dada Integramos essa equação em relação ao tempo e resolvemos para o tempo t Observe que para t 0 temos ωo 12 rads enquanto que para o tempo final t temos ω ωf 4 rads dω dt α dω dt k ω 2 ω0 ω dω ω 2 0 t k dt 1 ω0 1 ωkt t1 k 1 ω 1 ω0 ωωf4rad s t 1 01 1 4 1 121667 s Continuamos resolvendo ω na quinta equação da etapa anterior 1 ω0 1 ωkt 1 ω0 kt 1 ω Reorganizando ω ω0 1k ω0t Finalmente observe que a derivada da posição angular θ é igual a ω que integra esta equação em relação ao tempo e resolvemos para um que é igual a θ θ0 dθ dt ωdθωdt θ 0 t ωdtθ0 Δθ 0 t ω0 1k ω0t dt 1 k 0 t k ω0 1k ω0t dt 1 k ln 1k ω0t t 0 1 01 ln 11 Na figura abaixo duas partículas ambas de massa m 085 kg estão ligadas uma à outra e a um eixo de rotação na origem do sistema de coordenadas por duas barras finas de comprimento d 56 cm e de massa M 12 kg O conjunto gira em torno do eixo de rotação que passa pela origem com velocidade angular ω 030 rads Em relação ao eixo quais são a o momento de inércia do conjunto b a energia cinética do conjunto Solução Pontos dados Massa de cada partícula m 085 kg Comprimento de cada haste d 0056 m Massa de cada haste M 12 kg Velocidade angular da combinação w 030 rads Parte a O sistema consiste em uma haste fina de comprimento 2d com massas pontuais fixadas em d e 2d de distância do eixo de rotação Assim o momento de inércia do sistema será a soma do momento de inércia de uma haste de comprimento 2d em relação ao eixo em uma extremidade e perpendicular ao seu comprimento momento de inércia das massas pontuais em de distância 2d do eixo de rotação Momento de inércia do sistema I1 3 2 M 2d²md ²m2d² 1 3 212 20056 2085 0056 2085 20056 2 233610 2kgm 2 Parte b Energia cinética rotacional Kr1 2 Iw² 1 2 233610 2 03 2 1051210 3J 12 O carretel gira em seu cubo elevando o cabo interno A enquanto a placa compensadora B puxa os cabos externos para baixo Os três cabos estão bem enrolados em suas respectivas periferias e não escorregam Se no instante mostrado B moveuse para baixo uma distância de 1600 mm a partir do repouso com uma aceleração constante de 02 ms² determine a velocidade do ponto C e a aceleração do centro O para aquele instante particular Solução Podemos usar a equação do movimento de B pois ele está descendo com aceleração constante Para B V 2V 0 22as V B20216 V B08m s Da condição de não escorregamento temos r r outr d SB r d S0 r Diferenciando os dois lados temos V B r V 0 r Resolvendo para V0 r V B r V 0 E sabendo disso r r outr Portanto V 0r V B routr Substituindo V 0004 08 02004 V 002m s Velocidade no Ponto C V CV Bωr B C 08 08 02004 04 12m s Analogamente para a aceleração temos aOaBα r B O 02 02 02004 0 2 005m s 2 13 O bloco de concreto P está sendo abaixado pelo arranjo de cabos e polias mostrado Se os pontos A e B têm velocidades de 04 ms e 02 ms respectivamente calcule a velocidade de P a velocidade do ponto C para o instante mostrado e a velocidade angular da polia Solução Fazendo o perfil de velocidade do sistema temos Assim a velocidade angular da polia pode ser determinada como ωv Av B r B A 0402 04 05rad s Velocidade em C vCv BωrBC 020501 025m s 1 Velocidade em P vBvBωr BP 020502 03m s 1 14 A figura abaixo mostra um came excêntrico cicloidal com raio mínimo de 45 mm que gira no sentido antihorário com frequência de 1800 RPM Também é mostrado um seguidor de rolo raio de 5 mm e haste de retorno por mola O deslocamento do seguidor no movimento considerado é de 40 mm A Verifique a formação de um ponto na subida do rolo para β 180 b Determine o ângulo máximo de pressão αmax para o mesmo β Solução β1 180 L d 40 mm R0 45 mm Thus L R0 40 45 0889 E ρminR0 125 ρmin 125 x 45 5625 mm ρmin 5625 Rr 10 Portanto não ocorre formação de ponta e muito menos interferência b L R0 0889 Por isso αmáx 24 15 Defina corretamente a nomenclatura do came de disco com seguidor radial de rolete conforme a indicação das setas abaixo 16 Os cames são identificados de acordo com sua forma na figura abaixo temos alguns tipos básicos identifique a nomenclatura destes seguindo o sentido da esquerda para direita Solução 17 Projetar um came de disco com seguidor radial de rolete para realizar os deslocamentos conforme diagrama abaixo e com os seguintes dados Rm 30 mm Rr 14 mm sentido de giro do came horário Movimento harmônico simples β 120º a Calcular o αmax b Calcular R0 para αmax 35º Solução Para elevação β1 120 Para Retorno β2 120 L d 34 mm R0 30 14 44 mm Logo L R0 34 44 0773 Assim αmáx 24 Tanto para elevação quanto para retorno β 120 e sendo αmáx 35 temos que Para αmáx 24 L R0 149 como consequência temos R0 34 149 2282mm Traçado de letra a e b respectivamente 01 Determine o centro de massa nas chapas demonstradas a sequir 02 O bloco de concreto de 300 kg é erguido pelo mecanismo de elevação mostrado a seguir onde os cabos estão firmemente enrolados em torno dos respectivos tambores Os tambores que estão presos um ao outro e giram como um conjunto único em torno de seu centro de massa em O possuem uma massa combinada de 150 kg e um raio de giração em relação a O de 450 mm Se uma tração constante P de 18 kN é mantida pela unidade de potência em A determine a aceleração vertical do bloco e a força resultante sobre o mancal em O Solução Para o Tambor nós temos 06𝑃 03𝑇 𝐼𝛼 06𝑃 03𝑇 150 0452𝛼 Essa será nossa equação I Para o bloco nós temos 𝑇 𝑊 𝑚𝛼 𝑇 300 981 300 03 𝛼 Essa Será nossa equação II Resolvendo simultaneamente I e II temos 𝛼 584 𝑟𝑎𝑑 𝑠2 𝑇 8199 𝑁 a Aceleração vertical do bloco 𝑎 584 𝑟𝑎𝑑 𝑠2 03𝑚 1752 𝑚 𝑠2 b Resultante no bloco 𝑂𝑥 1800 cos 45º 0 𝑂𝑥 9002𝑁 𝑂𝑦 150 981 8199 1800 sin 45º 0 𝑂𝑦 1094329𝑁 𝑂 𝑂𝑦2 𝑂𝑥2 1102 𝑘𝑁 03 O carro A tem uma velocidade para frente de 54 kmh e está acelerando a 2 ms2 Determine a velocidade e a aceleração do carro em relação ao observador B que é levado em uma cadeira sem rotação sobre a roda gigante A frequência 6 rpm da roda gigante é constante e o seu raio é 10 m Solução 𝑣𝐴 54 𝑘𝑚 ℎ 1ℎ 3600𝑠 1000𝑚 1𝑘𝑚 15𝑖 𝑚 𝑠 𝑎𝐴 2𝑖 𝑚 𝑠2 𝜔 6 𝑟𝑒𝑣 𝑚𝑖𝑛 1𝑚𝑖𝑛 60𝑠 2𝜋𝑟𝑎𝑑 1 𝑟𝑒𝑣 𝜋 5 𝑟𝑎𝑑 𝑠 Velocidade de B 𝑣𝐵 𝜔𝑟 cos 45º 𝑖 sin 45º𝑗 𝑣𝐵 𝜋2𝑖 𝜋2𝑗𝑚 𝑠 Velocidade de A em relação a B 𝑣𝐴𝐵 𝑣𝐴 𝑣𝐵 15𝑖 𝜋2𝑖 𝜋2𝑗 15 𝜋2𝑖 𝜋2𝑗 Aceleração do Ponto B 𝑎𝐵 𝑟 𝜔2𝑐𝑜𝑠45º𝑖 𝑠𝑖𝑛45º𝑗 𝑎𝐵 2𝜋2 5 𝑖 2𝜋2 5 𝑗 Aceleração de A em relação a B 𝑎𝐴𝐵 𝑎𝐴 𝑎𝐵 2𝑖 2𝜋2 5 𝑖 2𝜋2 5 10 2𝜋2 5 𝑖 2𝜋2 5 𝑗 𝑚 𝑠2 4 A placa quadrada gira em torno de um pino fixo O No instante representado sua velocidade angular é ω 6 rads e sua aceleração angular é α 4 rads² nas direções indicadas na figura Determinar a a velocidade e a aceleração do ponto A em função dos vetores unitários i e j e seus módulos b a velocidade e a aceleração do ponto B em função dos vetores unitários i e j e seus módulos Dimensões em milímetros Solução Para o Ponto A 𝑟𝐴 0𝑖 45𝑗 𝜔 6𝑘 𝛼 4𝑘 𝑉𝐴 𝜔 𝑟𝐴 6 45 𝑘 𝑗 270𝒊 𝑚𝑚 𝑠 𝑎𝐴 𝜔 𝜔 𝑟𝐴 𝛼 𝑟𝐴 6𝑘 6𝑘 0𝑖 45𝑗 4𝑘 0𝑖 45𝑗 6𝑘 270𝑖 180𝑖 180𝑖 1620𝑗 𝑚𝑚 𝑠2 Para o Ponto B 𝑟𝐵 30𝑖 45𝑗 𝜔 6𝑘 𝛼 4𝑘 𝑉𝐵 𝜔 𝑟𝐵 6𝑘 30𝑖 45𝑗 270𝑖 180𝑗 𝑚𝑚 𝑠 𝑎𝐵 𝜔 𝜔 𝑟𝐵 𝛼 𝑟𝐵 6𝑘 6𝑘 30𝑖 45𝑗 4𝑘 30𝑖 45𝑗 6𝑘 270𝑖 180𝑗 120𝑗 180𝑖 1260𝑖 1500𝑗 𝑚𝑚 𝑠2 05 Uma mesa de ar é usada para estudar o movimento elástico dos modelos flexíveis de espaçonaves O ar pressurizado que escapa de numerosos furos pequenos na superfície horizontal fornece um colchão de ar para sustentação que elimina grande parte do atrito O modelo apresentado é constituído por um núcleo cilíndrico de raio r e quatro hastes de comprimento l e pequena espessura t O cilindro e as quatro haste todos têm a mesma profundidade de são constituídos do mesmo material com a massa específica densidade ρ Suponha que a espaçonave seja rígida e determine o momento M que deva ser aplicado ao cilindro para girar o modelo a partir do repouso até uma velocidade angular ω em um período de tempo de τ segundos Solução Comprimento l Espessura t Densidade ρ Momento M Velocidade angular ω Tempo τ Raio do eixo r 𝑀𝑂 𝐼𝑂 𝛼 𝐼𝑂 1 2 𝑚𝑒𝑖𝑥𝑜𝑟2 4 1 12 𝑚ℎ𝑒𝑙𝑖𝑐𝑒𝑠𝑙2 𝑚ℎ𝑒𝑙𝑖𝑐𝑒𝑠 𝑟 𝑙 2 2 𝑚𝑒𝑖𝑥𝑜 𝜌𝜋𝑟2𝑑 𝑚ℎ𝑒𝑙𝑖𝑐𝑒𝑠 𝜌𝑙𝑑𝑡 𝐼𝑂 1 2 𝜌𝜋𝑟2𝑑𝑟2 4𝜌𝑙𝑑𝑡 1 12 𝑙2 𝑟2 𝑟𝑙 𝑙2 4 𝐼𝑂 𝜌𝑑 1 2 𝜋𝑟4 4𝑙𝑡 1 3 𝑙2 𝑟2 𝑟𝑙 𝛼 𝜔 𝜏 𝑀𝑂 𝐼𝑂 𝛼 𝑀𝑂 𝜔𝜌𝑑 𝜏 1 2 𝜋𝑟4 4𝑙𝑡 1 3 𝑙2 𝑟2 𝑟𝑙 06 O vértice A da placa em formato de triângulo equilátero possui uma velocidade vA 08 ms para a direita e a velocidade angular no sentido antihorário da placa é w 5 rads Determine a velocidade do vértice C para o instante mostrado Solução Considerando o segmento AM como sendo a coordenada de A até o ponto médio de BC temos 𝐴𝑀 015 cos 30 A velocidade do vértice pode ser calculada como 𝑉𝐶 𝑉𝐴 𝑉𝐶𝐴 𝑉𝐶 𝑉𝐴 𝜔 𝑟𝐶𝐴 Assim 08𝑖 5𝑘 0075𝑖 00753𝑗 32 153 40 𝑖 3 8 𝑗 07 O mastro uniforme de 24 m possui uma massa de 300 kg e é articulado em sua extremidade inferior a um suporte fixo junto a O Se o guincho C desenvolve um torque de partida de 1300 Nm calcule a força total suportada pelo pino em O quando o mastro começa a ser erguido do seu apoio em B Encontre também a aceleração angular correspondente α do mastro O cabo em A está horizontal e as massa das polias e do cabo são desprezíveis Solução Tração no cabo 𝑇 1300 N m 600 103𝑚 13 103 6 N Para o equilíbrio dinâmico dizemos que 𝑀𝑂 0 𝑂𝑦 12 cos 30º 𝐼𝑂𝛼 𝑂𝑥 12 sin 30º 2𝑇 4 sin30º 𝐼𝑂 𝑚𝑙2 3 𝑂𝑦 12 3 2 𝑚𝑙2 3 𝛼 𝑂𝑥 12 1 2 2 13 103 6 4 1 2 Multiplicando os dois lados da equação por 3 e organizando chegamos a seguinte expressão 𝑂𝑦 183 𝑚𝑙2𝛼 𝑂𝑥 18 13 103 2 Essa será nossa expressão I Vamos agora obter outra equação Para o equilíbrio dinâmico em x 𝐹𝑥 0 𝑂𝑥 𝑚 𝛼 12 sin 30º 2𝑇 𝑂𝑥 2 13 6 103 300 12 1 2 𝛼 Multiplicando os dois lados da equação por 3 e organizando chegamos a seguinte expressão 𝑂𝑥 13 3 103 1800 𝛼 𝑁 Essa será nossa expressão II Vamos agora obter outra equação Para o equilíbrio dinâmico em y 𝐹𝑦 0 𝑂𝑦 𝑚𝑔 𝑚 𝛼 12 cos30º 𝑂𝑦 300 981 300 12 3 2 𝛼 𝑂𝑦 2943 18003 𝛼𝑁 Essa será nossa expressão III Resolvendo I II e III temos 𝑂𝑥 13 3 103 1800 𝛼 𝑁 𝑂𝑦 2943 18003 𝛼𝑁 𝑂𝑦 183 𝑚𝑙2𝛼 𝑂𝑥 18 13 103 2 𝛼 007087 rad s O𝑋 4206 N 𝑂𝑌 3164 N 𝑂 𝑂𝑋 2 𝑂𝑌 2 5263 𝑁 8 A velocidade angular de uma engrenagem é controlada de acordo com ω 123t² onde ω em radianos por segundo é positivo no sentido horário e onde t é o tempo em segundos a Encontre o deslocamento líquido do anel Δθ do tempo t 0 até t 3 s b Encontre também o número total de revoluções N pelas quais a engrenagem gira durante os três segundos Solução Basta integrar a expressão da velocidade angular em relação a t 𝑑𝜃 𝑑𝑡 𝜔 𝑑𝜃 𝜔𝑑𝑡 𝑑𝜃 𝜔𝑑𝑡 𝑑𝜃 𝜃2𝜃 𝜃10 𝜔𝑑𝑡 𝑡23 𝑡10 𝜃 12 3t2𝑑𝑡 𝑡23 𝑡10 𝜃 12 3 33 𝜃 36 27 9 𝑟𝑎𝑑 Número total de rotações sabendo que 2π vale uma rotação e que θ9 rad temos então 𝑁 12 3 33 2𝜋 143 09 O disco circular rola sem deslizar com uma velocidade angular no sentido horário w 4 rads Para o instante representado escreva as expressões vetoriais para a velocidade de A com relação a B e para a velocidade de P Solução Diagrama de corpo Livre do disco A expressão para a velocidade do centro de massa é 𝑉𝑚 𝜔 𝑟 Aqui a velocidade do centro de massa é 𝑉𝑚 substituindo o valor dado na expressão acima 𝑉𝑚 40 𝑟𝑎𝑑 𝑠 300 𝑚𝑚 1 𝑚 1000 𝑚𝑚 𝑖 𝑉𝑚 12𝑖 𝑚 𝑠 A expressão para a velocidade de rolamento é 𝑉 𝜔 𝑟 Aqui a velocidade de rolamento é 𝑉 substituindo o valor dado na expressão acima 300 𝑉 40 𝑟𝑎𝑑 𝑠 300 𝑚𝑚 1 𝑚 1000 𝑚𝑚 𝑖 𝑉 12𝑖 𝑚 𝑠 A expressão para a velocidade em A é 𝑉𝐴 𝑉 𝑉𝑚 24 𝑖 𝑚 𝑠 A expressão para a velocidade em B é 𝑉𝐵 𝑉𝑚 𝑉 12𝑖 12𝑗 𝑚 𝑠 A expressão para a velocidade A em relação a B é 𝑉𝐴𝐵 𝑉𝐵 𝑉𝐴 12𝑖 12𝑗 𝑚 𝑠 24 𝑖 𝑚 𝑠 Assim o valor da velocidade é 𝑉𝐴𝐵 12𝑖 12𝑗 𝑚 𝑠 Expressão para a velocidade de rolamento em P 𝑉1 𝜔 𝑑𝑂𝑃 Aqui a velocidade de turbulência em P é 𝑉1 substituindo o valor dado na expressão acima 𝑉1 40 𝑟𝑎𝑑 𝑠 200 𝑚𝑚 1 𝑚 1000 𝑚𝑚 𝑗 𝑉1 08𝑗 𝑚 𝑠 A expressão para a velocidade em P é 𝑉𝑃 𝑉𝑚 𝑉1 Assim o valor da velocidade em P é 𝑉𝑃 12𝑖 08𝑗 𝑚 𝑠 10 A aceleração angular de um corpo que gira em torno de um eixo fixo é dada por α kω² onde a constante k 01 sem unidades Determine o deslocamento angular e o tempo decorrido quando a velocidade angular for reduzida a um terço de seu valor inicial ωo 12 rads Solução A derivada da velocidade angular deve ser igual à expressão de aceleração angular dada Integramos essa equação em relação ao tempo e resolvemos para o tempo t Observe que para t 0 temos ωo 12 rads enquanto que para o tempo final t temos ω ωf 4 rads 𝑑𝜔 𝑑𝑡 𝛼 𝑑𝜔 𝑑𝑡 𝑘𝜔2 𝑑𝜔 𝜔2 𝜔 𝜔0 𝑘 𝑑𝑡 𝑡 0 1 𝜔0 1 𝜔 𝑘𝑡 𝑡 1 𝑘 1 𝜔 1 𝜔0 𝜔 𝜔𝑓 4 𝑟𝑎𝑑 𝑠 𝑡 1 01 1 4 1 12 1667 𝑠 Continuamos resolvendo ω na quinta equação da etapa anterior 1 𝜔0 1 𝜔 𝑘𝑡 1 𝜔0 𝑘𝑡 1 𝜔 Reorganizando 𝜔 𝜔0 1 𝑘𝜔0𝑡 Finalmente observe que a derivada da posição angular θ é igual a ω que integra esta equação em relação ao tempo e resolvemos para um que é igual a θ 𝜃0 𝑑𝜃 𝑑𝑡 𝜔 𝑑𝜃 𝜔𝑑𝑡 𝜃 𝜔𝑑𝑡 𝑡 0 𝜃0 Δ𝜃 𝜔0 1 𝑘𝜔0𝑡 𝑑𝑡 𝑡 0 1 𝑘 𝑘𝜔0 1 𝑘𝜔0𝑡 𝑑𝑡 𝑡 0 1 𝑘 ln1 𝑘𝜔0𝑡 𝑡 0 1 01 ln1 01121667 1099 𝑟𝑎𝑑 11 Na figura abaixo duas partículas ambas de massa m 085 kg estão ligadas uma à outra e a um eixo de rotação na origem do sistema de coordenadas por duas barras finas de comprimento d 56 cm e de massa M 12 kg O conjunto gira em torno do eixo de rotação que passa pela origem com velocidade angular ω 030 rads Em relação ao eixo quais são a o momento de inércia do conjunto b a energia cinética do conjunto Solução Pontos dados Massa de cada partícula m 085 kg Comprimento de cada haste d 0056 m Massa de cada haste M 12 kg Velocidade angular da combinação w 030 rads Parte a O sistema consiste em uma haste fina de comprimento 2d com massas pontuais fixadas em d e 2d de distância do eixo de rotação Assim o momento de inércia do sistema será a soma do momento de inércia de uma haste de comprimento 2d em relação ao eixo em uma extremidade e perpendicular ao seu comprimento momento de inércia das massas pontuais em de distância 2d do eixo de rotação Momento de inércia do sistema 𝐼 1 3 2𝑀2𝑑² 𝑚𝑑² 𝑚2𝑑² 1 3 2 12 2 00562 085 00562 085 2 00562 2336 102 𝑘𝑔 𝑚2 Parte b Energia cinética rotacional 𝐾𝑟 1 2 𝐼𝑤² 1 2 2336 102 032 10512 103 𝐽 12 O carretel gira em seu cubo elevando o cabo interno A enquanto a placa compensadora B puxa os cabos externos para baixo Os três cabos estão bem enrolados em suas respectivas periferias e não escorregam Se no instante mostrado B moveu se para baixo uma distância de 1600 mm a partir do repouso com uma aceleração constante de 02 ms² determine a velocidade do ponto C e a aceleração do centro O para aquele instante particular Solução Podemos usar a equação do movimento de B pois ele está descendo com aceleração constante Para B 𝑉2 𝑉0 2 2 𝑎 𝑠 𝑉𝐵 2 02 16 𝑉𝐵 08 𝑚 𝑠 Da condição de não escorregamento temos 𝑟 𝑟𝑜𝑢𝑡 𝑟𝑖𝑛 𝑑𝑆𝐵 𝑟 𝑑𝑆0 𝑟𝑖𝑛 Diferenciando os dois lados temos 𝑉𝐵 𝑟 𝑉0 𝑟𝑖𝑛 Resolvendo para V0 𝑟𝑖𝑛 𝑉𝐵 𝑟 𝑉0 E sabendo disso 𝑟 𝑟𝑜𝑢𝑡 𝑟𝑖𝑛 Portanto 𝑉0 𝑟𝑖𝑛 𝑉𝐵 𝑟𝑜𝑢𝑡 𝑟𝑖𝑛 Substituindo 𝑉0 004 08 02 004 𝑉0 02 𝑚 𝑠 Velocidade no Ponto C 𝑉𝐶 𝑉𝐵 𝜔 𝑟𝐵𝐶 08 08 02 004 04 12 𝑚 𝑠 Analogamente para a aceleração temos 𝑎𝑂 𝑎𝐵 𝛼 𝑟𝐵𝑂 02 02 02 004 02 005 𝑚 𝑠2 13 O bloco de concreto P está sendo abaixado pelo arranjo de cabos e polias mostrado Se os pontos A e B têm velocidades de 04 ms e 02 ms respectivamente calcule a velocidade de P a velocidade do ponto C para o instante mostrado e a velocidade angular da polia Solução Fazendo o perfil de velocidade do sistema temos Assim a velocidade angular da polia pode ser determinada como 𝜔 𝑣𝐴 𝑣𝐵 𝑟𝐵𝐴 04 02 04 05 𝑟𝑎𝑑 𝑠 Velocidade em C 𝑣𝐶 𝑣𝐵 𝜔 𝑟𝐵 𝐶 02 05 01 025𝑚 𝑠1 Velocidade em P 𝑣𝐵 𝑣𝐵 𝜔 𝑟𝐵 𝑃 02 05 02 03 𝑚 𝑠1 14 A figura abaixo mostra um came excêntrico cicloidal com raio mínimo de 45 mm que gira no sentido antihorário com frequência de 1800 RPM Também é mostrado um seguidor de rolo raio de 5 mm e haste de retorno por mola O deslocamento do seguidor no movimento considerado é de 40 mm A Verifique a formação de um ponto na subida do rolo para β 180 b Determine o ângulo máximo de pressão αmax para o mesmo β Solução β1 180 L d 40 mm R0 45 mm Thus 𝐿 𝑅0 40 45 0889 E ρminR0 125 ρmin 125 x 45 5625 mm ρmin 5625 Rr 10 Portanto não ocorre formação de ponta e muito menos interferência b 𝐿 𝑅0 0889 Por isso αmáx 24 15 Defina corretamente a nomenclatura do came de disco com seguidor radial de rolete conforme a indicação das setas abaixo 16 Os cames são identificados de acordo com sua forma na figura abaixo temos alguns tipos básicos identifique a nomenclatura destes seguindo o sentido da esquerda para direita Solução 17 Projetar um came de disco com seguidor radial de rolete para realizar os deslocamentos conforme diagrama abaixo e com os seguintes dados Rm 30 mm Rr 14 mm sentido de giro do came horário Movimento harmônico simples β 120º a Calcular o αmax b Calcular R0 para αmax 35º Solução Para elevação β1 120 Para Retorno β2 120 L d 34 mm R0 30 14 44 mm Logo 𝐿 𝑅0 34 44 0773 Assim αmáx 24 Tanto para elevação quanto para retorno β 120 e sendo αmáx 35 temos que Para αmáx 24 𝐿 𝑅0 149 como consequência temos 𝑅0 34 149 2282 𝑚𝑚 Traçado de letra a e b respectivamente