Trabalho Externo e Energia de Deformacao - Principio do Trabalho Virtual e Carga Unitaria

ruthepiresacademicodomhelderedubr Análise de Estruturas II Aula 8 Trabalho externo e energia de deformação 𝑈 𝐹 𝑑 Sendo F força submetida a um ponto material d deslocamento a força F na mesma direção U trabalho realizado por F e d Forças externas irão realizar um trabalho externo Ue Princípio da Conservação de Energia será convertido em energia de deformação que é armazenada na estrutura quando esta se deforma Ui trabalho interno é a mesma energia de deformação liberada com a retirada das forças externas atuantes no corpo fazendo com que o corpo retorne à sua configuração indeformada caso não seja excedido o limite elástico do material Princípio da Conservação de Energia é a base do Princípio do Trabalho Virtual Ue Ui Princípio do Trabalho Virtual PTV método da carga unitária Proporciona um meio geral de se obter o deslocamento e a inclinação em um ponto específico em uma estrutura seja ela uma viga pórtico ou treliça Se tomarmos uma estrutura deformável de qualquer forma ou tamanho e aplicarmos uma série de cargas externas P a ela isto vai provocar cargas internas u em pontos através da estrutura As forças externas P1 P2 e P3 irão provocar esforços internos nos vários pontos internos ao longo do corpo Corpo submetido a um conjunto de forças externas E necessário que as cargas externas e internas sejam relacionadas pelas equações de equilíbrio Princípio do Trabalho Virtual PTV método da carga unitária Deformação deslocamentos externos n nos pontos de aplicação das forças externas carga P deslocamentos internos d ou 𝛿 em cada ponto da carga interno u esses deslocamentos não precisam ser elásticos e eles podem não ser relacionados às cargas os deslocamentos externos e internos têm de ser relacionados pela compatibilidade dos deslocamentos Princípio do Trabalho Virtual PTV método da carga unitária seja necessário determinar o deslocamento do ponto A no corpo causado pelas cargas reais P1 P2 e P3 essas cargas não causam movimento dos apoios entretanto elas podem tensionar o material além do limite elástico nenhuma carga externa atua sobre o corpo em A e na direção de o deslocamento pode ser determinado primeiro colocando sobre o corpo uma carga virtual carga força P atue na mesma direção que P tenha uma magnitude unitária isto é P1 Princípio do Trabalho Virtual PTV Trabalho externo força externa x deslocamento externo que ocorre na direção dessa força no ponto de sua aplicação Trabalho interno esforço interno em um determinado ponto interior x deslocamento interno que ocorre nesse mesmo ponto Princípio da Conservação de Energia Princípio do Trabalho Virtual PTV Princípio da Conservação de Energia Determina o deslocamento do ponto A submetido ao conjunto de forças externas reais indicadas No corpo indeformado aplicase uma força virtual externa P na mesma direção do deslocamento que se deseja determinar São esforços virtuais internos fv compatíveis com as condições de equilíbrio Termo virtual força imaginária com uma intensidade qualquer mas agora P 1 Princípio do Trabalho Virtual PTV Princípio da Conservação de Energia Com o corpo indeformado antes da atuação das forças externas reais aplicase uma força virtual externa P na mesma direção do deslocamento que se deseja determinar A força virtual pode ter uma intensidade qualquer mas aqui adota P 1 A força virtual externa provoca esforços virtuais internos fv compatíveis com as condições de equilíbrio Depois Forças externas reais que irão provocar o deslocamento externo real no ponto A e deslocamentos internos reais d compatíveis nos pontos internos do corpo Força virtual externa P irá realizar um trabalho virtual externo ao se mover ao longo do deslocamento real Corpo com aplicação da força virtual externa P Quando cargas virtuais são aplicadas o corpo é sujeito às cargas reais P1 P2 e P3 O ponto A será deslocado um montante fazendo com que o elemento deforme um montante dL Princípio do Trabalho Virtual PTV método da carga unitária P 1 carga unitária virtual externa atuando na direção de u carga virtual interna atuando sobre o elemento na direção de dL deslocamentos externos causados pelas cargas reais dL deformação interna do elemento causada pelas cargas reais Corpo com aplicação da força virtual externa P Princípio do Trabalho Virtual PTV método da carga unitária P 1 σ u dL o deslocamento rotacional ou inclinação da tangente em um ponto na estrutura deve ser determinado um momento binário virtual M Princípio do Trabalho Virtual PTV Princípio da Conservação de Energia Nos pontos internos do corpo cada esforço virtual interno fv irá realizar um trabalho virtual interno ao se mover ao longo do deslocamento interno real d É possível formular a equação do Princípio do Trabalho Virtual igualando o trabalho virtual externo com o trabalho virtual interno realizado em todos os pontos do corpo Princípio do Trabalho Virtual PTV Princípio da Conservação de Energia As forças externas e internas são virtuais e os deslocamentos externo e internos são reais Os deslocamentos e d não são provocados pelas forças P e fv Forças externas e internas devem estar em equilíbrio e os deslocamentos externos e internos devem ser compatíveis as forças internas virtuais fv são provocadas pela aplicação da força externa virtual P e seus valores são obtidos respeitando as condições de equilíbrio Os deslocamentos internos reais d são provocados pelo deslocamento externo real e seus valores são obtidos respeitando as condições de compatibilidade de deslocamentos Os sistemas de forças e deslocamentos tem o fato de atuarem sobre o mesmo corpo Princípio do Trabalho Virtual PTV PTV determina um único deslocamento em uma determinada direção que ocorre em um ponto de uma estrutura treliça viga ou pórtico Determinar o deslocamento em uma determinada direção de um ponto da estrutura submetida a um conjunto de forças reais aplicar no ponto em estudo uma força ou momento unitária força externa virtual na mesma direção do deslocamento desejado Serão provocados esforços internos virtuais fv que podem ser o esforço normal esforço cortante momento fletor ou momento torçor nos diversos pontos ao longo da estrutura Esses esforços internos determinados estrutura isostática traçando os seus diagramas de esforços solicitantes quando ela está submetida somente à força unitária Princípio do Trabalho Virtual PTV Cada um dos esforços solicitantes provoca as seguintes deformações em um elemento dx da estrutura Deformação axial devido ao esforço normal N Deformação de cisalhamento devido ao esforço cortante Q Em que E Módulo de elasticidade longitudinal do material G Módulo de elasticidade transversal do material A Área da seção transversal I Momento de inércia da seção transversal em relação ao eixo de flexão It Momento de inércia a torção da seção transversal x fator de forma varia conforme o tipo de seção transversal dx essas deformações são correspondentes a um elemento infinitesimal Princípio do Trabalho Virtual PTV Cada um dos esforços solicitantes provoca as seguintes deformações em um elemento dx da estrutura Giro devido ao momento fletor M Giro de torção devido ao momento torçor T Em que E Módulo de elasticidade longitudinal do material G Módulo de elasticidade transversal do material A Área da seção transversal I Momento de inércia da seção transversal em relação ao eixo de flexão It Momento de inércia a torção da seção transversal x fator de forma varia conforme o tipo de seção transversal dx essas deformações são correspondentes a um elemento infinitesimal Princípio do Trabalho Virtual PTV O trabalho virtual interno é dado pela multiplicação entre o esforço interno virtual e a deformação real N Q M e T esforços internos virtuais provocados pela força virtual unitária N Q M e T esforços internos reais provocados pelas forças reais São funções da posição x na estrutura tanto os esforços virtuais quanto os esforços reais variem ao longo do comprimento total da estrutura Princípio do Trabalho Virtual PTV Pode desprezar parcelas dos trabalhos virtuais internos pois resultam em trabalhos muito pequenos em comparação com as outras parcelas de trabalhos virtuais internos Nas treliças considerar somente a parcela referente ao esforço normal Nas vigas e pórticos somente a parcela referente ao momento fletor a parcela da cortante só é utilizada em casos de vãos muito curtos ou cargas elevadas Estruturas espaciais grelhas e pórticos espaciais parcela da torção Método do trabalho virtual vigas e pórticos Tensões em razão de flexão são a principal causa de deflexões em vigas e pórticos deslocamento do ponto A será determinado Para calcular uma carga unitária virtual atuando na direção de é colocada sobre a viga em A e o momento virtual interno m é determinado pelo método das seções em um local arbitrário x a partir do apoio esquerdo Método do trabalho virtual vigas e pórticos Quando as cargas reais atuam sobre a viga o ponto A é deslocado de estas cargas causem resposta material elástica linear então da Equação o elemento dx deforma ou gira 𝑑𝜃 𝑀 𝐸𝐼 𝑑𝑥 M é o momento interno em x causado pelas cargas reais O trabalho virtual externo realizado pela carga unitária é 1 e o trabalho virtual interno realizado pelo momento m é 𝑑𝜃 𝑀 𝐸𝐼 𝑑𝑥 Método do trabalho virtual vigas e pórticos 1 න 0 𝐿 𝑚𝑀 𝐸𝐼 𝑑𝑥 1 carga unitária virtual externa atuando sobre a viga ou pórtico na direção de m momento virtual interno na viga ou pórtico expresso como uma função de x e causado pela carga unitária virtual externa deslocamento externo do ponto causado pelas cargas reais atuando sobre a viga ou pórtico M momento interno na viga ou pórtico expresso como uma função de x e causado pelas cargas reais E módulo de elasticidade do material I momento de inércia da área da seção transversal calculado em tomo do eixo neutro Método do trabalho virtual vigas e pórticos 1 න 0 𝐿 𝑚𝑀 𝐸𝐼 𝑑𝑥 Se a rotação tangente ou o ângulo de inclinação 𝜃 em um ponto A na curva elástica da viga será determinado um momento binário unitário é primeiro aplicado no ponto e os momentos internos correspondentes 𝑑𝜃 têm de ser determinados O trabalho do momento binário unitário é 1𝜃 então 1𝜃 න 0 𝐿 𝑚𝜃𝑀 𝐸𝐼 𝑑𝑥 Integrais definidas do lado direito na realidade representam o montante de energia de deformação virtual que está armazenado na viga Método do trabalho virtual vigas e pórticos Com relação a esta viga para determinar o D quatro regiões da viga têm de ser consideradas quatro integrais tendo a forma 𝑚𝑀 𝐸𝐼 têm de ser avaliadas Usando 𝑥1 para determinar a energia de deformação na região AB 𝑥2 para região BC 𝑥3 para região DE e 𝑥4 para região DC Cada coordenada x deve ser selecionada de maneira que ambos m e M ou mesmo 𝑚𝜃 possam ser formulados Método do trabalho virtual vigas e pórticos Método tabular Estrutura é sujeita a uma carga relativamente simples a solução para um deslocamento exige diversas integrações Fazer os diagramas de momento para cada membro são primeiro traçados tanto para as cargas reais quanto virtuais Exercício passo a passo Instruction Manual 6 Tape Measure Exercício 1 Determine a inclinação 𝜃 no ponto B da viga de aço Considere E 200 GPa I 60 106 𝑚𝑚4 1 Momento virtual 𝒎𝜽 Inclinação em B uma unidade virtual de momento binário de 1kNm em B Duas coordenadas x devem ser selecionadas a fim de determinar a energia de deformação virtual total na viga A coordenada x1 é responsável pela energia de deformação dentro do segmento AB A coordenada x2 é responsável pela do segmento BC Os momentos internos 𝒎𝜽 dentro de cada um desses segmentos são calculados usando o método das seções Exercício 1 Determine a inclinação 𝜃 no ponto B da viga de aço Considere E 200 GPa I 60 106 𝑚𝑚4 2 Momentos reais M Usando as mesmas coordenadas x1 e x2 os momentos internos M são calculados Exercício 1 Determine a inclinação 𝜃 no ponto B da viga de aço Considere E 200 GPa I 60 106 𝑚𝑚4 1 Momento virtual 𝒎𝜽 2 Momentos reais M 3 Equação de trabalho virtual O a inclinação em B Traçar os diagramas de momento Tendo em vista que não há momento m para 0x5 m áreas sombreadas retangular e trapezoidal para avaliar a integral Exercício 1 3 Equação de trabalho virtual O a inclinação em B Exercício 2 Determine o deslocamento do ponto B da viga de aço mostrada na figura Considere E 200 GPa 1 500 106 𝑚𝑚4 O deslocamento vertical do ponto B uma carga unitária virtual de 1 kN em B Não há descontinuidades de carga sobre a viga tanto para cargas virtuais como para caras reais Uma única coordenada x pode ser usada para determinar energia de deformação virtual Esta coordenada será selecionada com sua origem em B tendo em vista que então as reações em A não precisam ser determinadas a fim de calcular os momentos internos m e M Usando o método das seções o momento interno m é Formulado 1 Momento virtual m Exercício 2 Determine o deslocamento do ponto B da viga de aço mostrada na figura Considere E 200 GPa 1 500 106 𝑚𝑚4 2 Momento real M Usando a mesma coordenada x o momento interno M é formulado 2 Momento real M 3 Equação de trabalho virtual O deslocamento vertical de B Exercício 2 Determine o deslocamento do ponto B da viga de aço mostrada na figura Considere E 200 GPa 1 500 106 𝑚𝑚4 3 Equação de trabalho virtual O deslocamento vertical de B 1 kN𝐵 0 𝐿 𝑚𝑀 𝐸𝐼 𝑑𝑥 0 10 1𝑥 6𝑥2 𝑑𝑥 𝐸𝐼 Simplificando 1x6𝑥2 6𝑥3 6 𝑥4 4 0 10 60 10 𝑥3𝑑𝑥 lim 𝑥10 104 4 104 4 2500 6 2500 15000