Agenda de Estudos sobre Distribuição Normal e Histograma

1 Especialização em Saúde Pública Bioestatística Trilha 6 2 Agenda Histograma Distribuição normal Distribuição normal padrão Padronizando de X para Z Descobrindo as probabilidades de Z com a tabela Z Descobrindo as probabilidades de uma distribuição normal Testes estatísticos para checar a normalidade dos dados 3 Histograma É um gráfico de distribuição de frequências Ou seja é a representação gráfica em colunas de um conjunto de dados previamente tabulado e dividido em classes 4 Histograma Em geral buscamos encontrar no conjunto de dados empíricos um histograma que apresente um padrão de uma curva em formato de sino Quando encontramos dizemos que a variável apresenta distribuição normal e com isso podemos definir que nossa variável de estudo é uma distribuição teórica e que representa uma população infinita Deixamos então de considerar a média e desvio padrão amostral para considerar a média e o desvio padrão populacional 5 Distribuição normal Cada distribuição normal possui sua própria média 𝛍 e seu próprio desviopadrão 𝛅 Porém independente de seus valores de média e desviopadrão todas possuem a forma de sino FonteRumsey 2011 A B C 6 Distribuição normal As propriedades de qualquer distribuição normal são Sua forma é simétrica ie ao cortála ao meio as duas partes são iguais A média e a mediana são iguais e encontramse diretamente no meio da distribuição 7 Distribuição normal As propriedades de qualquer distribuição normal são Devido aos seu formato as probabilidades da distribuição normal possui as seguintes características 68 dos dados estão dentro de 1 desviopadrão da média 95 dos dados estão dentro de 2 desviospadrão da média Quase todos os valores ou cerca de 997 dos dados permanecem dentro de 3 desviospadrão 8 Distribuição normal Cada distribuição normal possui sua própria média 𝛍 e seu próprio desviopadrão 𝛅 Porém independente de seus valores de média e desviopadrão todas possuem a forma de sino FonteRumsey 2011 A B C 9 Distribuição normal A e B mesmo desvio padrão mas médias diferentes A média de B está 30 unidades a frente da média de A A e C mesma média mas desvio padrão diferentes Os dados em A possuem mais variabilidade Finalmente B e C são completamente diferentes B possui uma média maior e uma variabilidade maior FonteRumsey 2011 A B C 10 Distribuição normal As probabilidades para qualquer distribuição contínua são descobertas encontrando a área sob a curva Porém como esse cálculo é complexo e para cada curva teríamos de repetilo o que fazemos é transformálas em uma curva normal padrão FonteRumsey 2011 A C 11 Distribuição normal padrão A distribuição Z é uma distribuição normal com a média zero e desviopadrão 1 Os valores na distribuição Z são chamados de escorespadrão Um valor z representa o número de desviospadrão acima ou abaixo da média na qual um determinado valor fica 12 Padronizando de X para Z Para transformar os valores da distribuição normal X na distribuição normal padrão Z basta usar a fórmula abaixo e a tabela Z para descobrir qualquer probabilidade Padronizar é como mudar as unidades de Fahrenheit para Celsius Não afeta as probabilidades de X e é por isso que podemos usar a tabela Z para descobrilas 13 Padronizando de X para Z Padronizar nos permite comparar os números de diferentes distribuições Por exemplo imagine que Bob tire 80 na prova de matemática que tem uma média de 70 de dp 10 e na prova de inglês que tem uma média 85 e um dp 5 Em qual prova ele se saiu melhor considerando a sua posição relativa na turma Matemática z 80 70 10 1 escorepadrão Inglês z 80 85 5 1 escorepadrão 14 Descobrindo as probabilidades de Z com a tabela Z 1 Encontre a linha que representa o primeiro dígito de seu valor z e o primeiro dígito depois da vírgula 2 Encontre a coluna que representa o segundo dígito depois da vírgula 3 A intersecção célula da linha e coluna contém o valor da probabilidade de que a variável aleatória Z seja menor que o número z ou pZ z 15 Descobrindo as probabilidades de Z com a tabela Z Por exemplo para descobrir pZ 213 olhamos a linha 21 e a coluna 003 Com isso vemos que pZ213 09834 E para pZ 213 Temos duas maneiras ou olhamos a tabela para valores negativos de Z ou aproveitamos a simetria da curva normal e fazemos1 pZ213 1 09834 00166 16 Descobrindo as probabilidades de uma distribuição normal 1 Faça um desenho da distribuição dos dados 2 Traduza o problema em notação de probabilidades pXa pXb ou paXb Pinte a área do gráfico relacionada a essas probabilidades 3 Padronizar os valores de a e b para um escorepadrão usando a fórmula z 4 Verifique o escore z na tabela e descubra a probabilidade correspondente 5 Se precisamos de uma probabilidade menor que isto é pXa terminamos o exercício 6 Porém se precisamos de uma probabilidade maior que isto é pXb fazemos 1 menos o resultado do passo 5 Ou seja 1 pXa 7 Por fim se precisamos de uma probabilidade entre dois valores paXb fazemos os passos 1 a 4 para o b o maior entre os dois valores e novamente os passos 1 a 4 para a o menor entre os dois valores e fazemos a subtração dos resultados 17 Descobrindo as probabilidades de uma distribuição normal Imagine que vamos participar de um campeonato de pescaria O lago da competição possui peixes cujo comprimento obedece uma distribuição normal com média 16 polegadas e dp 4 polegadas 1 Qual a probabilidade de pegar um peixe pequeno com menos de 8 polegadas 2 Imagine que um prêmio seja oferecido para qualquer peixe com mais de 24 polegadas Qual é a probabilidade de ganhar o prêmio 3 Qual a probabilidade de pegar um peixe que tenha entre 16 e 24 polegadas 18 Descobrindo as probabilidades de uma distribuição normal 2 Representando cada problema em notação de probabilidade pZ8 pZ24 p16 Z 24 1 Desenhando a distribuição normal FonteRumsey 2011 19 Descobrindo as probabilidades de uma distribuição normal pZ8 pZ 8164 pZ 2 pZ24 pZ 24 164 pZ 2 p16 Z 24 p16164 Z 24164 p0 Z 2 3 Padronizar os valores 1 Desenhando a distribuição normal FonteRumsey 2011 20 Descobrindo as probabilidades de uma distribuição normal 4 Olhar as probabilidades associadas aos valores de z na tabela Para o problema 1 basta olhar na tabela o valor de p Z 2 00228 Para o problema 2 precisamos fazer 1 pZ 2 1 09772 00228 Os problemas 1 e 2 possuem resposta igual pois a distribuição Z é simétrica Para o problema 3 encontramos os valores de pZ2 e depois pZ0 e fazemos a subtração desses valores ou seja pZ2 pZ0 09772 05 04772 1 Desenhando a distribuição normal FonteRumsey 2011 21 Os testes possuem pressupostos Por que precisamos entender a distribuição normal Porque muitos testes estatísticos possuem o pressuposto de que os nossos dados seguem este tipo de distribuição Muitos testes que pressupõem normalidade vão trabalhar com a média dos valores Dados que possuem essa distribuição são bem representados pela média 22 Os testes possuem pressupostos Uma outra suposição tem a ver com a variabilidade do dado Nesse exemplo temos duas distribuições de peso com a mesma média Alguns testes exigem que as variâncias dos grupos sejam homogêneas ou seja que os grupos estejam variando de forma aproximadamente igual 24 Miot e colaboradores 2017 estudaram pacientes portadores de úlceras venosas tratados no Serviço de Dermatologia da Faculdade de Medicina de Botucatu UNESP Miot et al 2017 Estudo de úlceras venosas 25 Figura 1 distribuição das frequências de idades dos pacientes com úlceras venosas n 89 Figura 2 distribuição das frequências das áreas das úlceras venosas dos pacientes n 125 Miot et al 2017 Estudo de úlceras venosas 26 Todos os testes pressupõem a hipótese de normalidade dos dados H0 retornando um pvalor 005 se resultarem na aderência aos parâmetros de normalidade Miot et al 2017 Estudo de úlceras venosas Visualizando a distribuição de pressões sistólicas 27 paciente pressão sistólica paciente pressão sistólica paciente pressão sistólica paciente pressão sistólica Id01 114 Id11 121 Id21 124 Id31 127 Id02 114 Id12 121 Id22 124 Id32 128 Id03 115 Id13 121 Id23 125 Id33 129 Id04 115 Id14 122 Id24 125 Id34 129 Id05 117 Id15 122 Id25 125 Id35 129 Id06 117 Id16 122 Id26 125 Id36 132 Id07 118 Id17 122 Id27 125 Id37 132 Id08 119 Id18 122 Id28 125 Id38 132 Id09 121 Id19 123 Id29 126 Id39 133 Id10 121 Id20 123 Id30 126 Id40 135 28 Bibliografia RUMSEY D Statistics for dummies Hoboken NJ Wiley 2011 BUSSAB W O MORETTIN P A Estatística básica 5 ed São Paulo Saraiva 2005