Demonstração Injetividade e Ideal em Domínio de Integridade

Questão 05 Seja D um domínio de integridade e a D 0 Mostre que a aplicação φa D D x ax é injetiva Questão 09 Seja A um anel comutativo e a A Mostre que I x A xa 0 é um ideal de A 5 Solução Sejam D um domínio de Integridade e a D 0 Vamos mostrar que φa D D x φax ax é injetiva Dados xy D tais que φax φay vamos mostrar que x y De fato φax φay ax ay ax ay 0 ax y 0 Como D é um domínio de integridade temos a 0 ou xy0 Mas a D 0 isto é a 0 Então x y 0 ou seja x y Portanto φa é injetiva 9 Solução Seja A um anel comutativo e a A Vamos mostrar que I x A xa 0 é um ideal de A Para isto precisamos mostrar que 1 0 I 2 x y I xy I 3 bx I b A x I Com efeito 1 0 I pois 0 a 0 2 Dados xy I temos xa ya 0 Assim xya xa ya 0 0 0 x y I 3 Dados b A e x I temos xa 0 e segue que bxa bxa b0 0 bx I Logo I é ideal de A