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Álgebra 2
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Questão 01 Dê exemplos de elementos que sejam divisores de zero e elementos que sejam inversíveis nos conjuntos Z Z9 Z12 e Z30 Questão 02 Mostre que num anel A com unidade um elemento NÃO pode ser ao mesmo tempo inversível e divisor de zero Questão 03 Seja f Z Z um homomorfismo de Anéis Mostre que f1 1 ou fa a a Z Questão 04 Seja A um anel tal que x²x x A a Mostre que x x x A b Mostre que A é um anel comutativo Dica Note que xy² xy x y A Questão 06 Seja D um domínio de integridade e x D a Quantas soluções têm a equação x³ x b Determine as soluções de x³ x em Z8 Questão 07 Seja Ij j N uma coleção de ideais de um anel A Mostre que I Ij é um ideal de A Questão 08 Seja Ij j N uma coleção de ideais de um anel A tais que Ij Ij1 Mostre que I Ij é um ideal de A Questão 10 a Seja A um anel e I J ideais de A Mostre que I J xy x I y J é um ideal de A b Se A Z I 10 e J 12 determine um gerador para o ideal I J Questão 11 Seja A um anel com unidade Definimos em A duas novas operações dadas por a b a b 1 a b ab a b a Mostre que A é um anel com unidade b Se A é um anel comutativo então A também o é Questão 12 Sejam A um anel e I J ideais de A tais que I J 0 Mostre que xy 0 x I y J Questão 13 Seja p um número primo e A mn m n Z n 0 mdcp n 1 Seja I mn A pm a Mostre que A é um subanel de Q b Mostre que I é um ideal de A Questão 1 lembrando em Zn com n 1 temos que a Zn é um divisor de zero se mdca n 1 b Zn é inversível se mdcb n 1 Em Z não existem divisores de zero e os elementos inversíveis são 1 e 1 Em Z9 temos que 3 é um divisor de zero É 2 é um elemento inversível Em Z12 os elementos 3 e 4 são exemplos de elementos divisores de zero Os elementos 1 5 são exemplos de inversíveis Em Z30 2 3 são exemplos de elementos divisores de zero 1 7 são exemplos de inversíveis Questão 2 Ém um anel A com unidade um elemento não pode ser ao mesmo tempo inversível e divisor de zero Prova Sejam A um anel com unidade e a A Suponha que a é divisor de zero e inversível Logo existe b A b 0 tal que ab 0 Multiplicando à esquerda ambos lados por a1 temos a1ab a10 a1ab 0 1b 0 b 0 contradição Pois b 0 Portanto um elemento de A não pode ser ao mesmo tempo inversível e divisor de zero Questão 3 Se f Z Z é um homomorfismo de anéis então f11 ou faa a Z Prova Seja f Z Z um homomorfismo de anéis Para n 1 temos fn f1 1 f1 f1 n f1 e fn f1 1 n f1 Ainda temos f1 f1 f1 1 f0 0 por propriedade de homomorfismo Além disso f1 f1 Logo f é determinada por f1 via fa a f1 a Z Além disso devemos ter f1 f12 Z ou seja f1 1 ou f1 0 Como 1 é a unidade em Z e por propriedade de homomorfismo f1 1 Então f id Portanto fa a a Z Questão 4 seja A um anel tal que x2 x x A a x x x A Prova Seja x A Então x x A Logo x x x x2 x2 xx xx x2 x x x x x x x x Ou seja x x x x x x somando x x à esquerda em ambos lados x x x x x x x x x x 0 x x Novamente somando x à esquerda em ambos lados x 0 x x x x x x x por associatividade x 0 x x x Portanto x x x A b A é um anel comutativo Prova Sejam x y A então x y A Temos x y x y² x² xy yx y² x xy yx y x y xy yx Logo x y x y xy yx Somando x y em ambos lados temos x y x y x y x y xy yx 0 xy yx Somando xy em ambos lados xy 0 xy xy yx xy yx Além disso pelo item a sabemos que x x x A Logo xy yx xy yx xy A Portanto A é comutativo Questão 6 Seja D um domínio de integridade e x D a Quantas soluções têm a equação x3x solução Temos x3 x x3 x 0 xx2 1 0 x0 ou x2 1 Logo ou x 0 ou x 1 ou x 1 Portanto temos 3 soluções b Soluções de x3 x em Z8 solução Z8 017 Pelo item a segue que a solução da equação em Z8 são x0 x1 ou x7 Questão 7 Seja Ij j N uma coleção de ideais de um anel A Então I Ij é um ideal de A Prova Primeiro note que I Ij Pois j N Ij é um ideal de A logo o elemento neutro 0 pertence à Ij então 0 Ij Sejam xy I Ij Como xy Ij então xy Ij j N como cada Ij é um ideal logo xy Ij j N Portanto xy I Ij Sejam a A x I Ij Como x Ij então x Ij j N Logo a x Ij j N pois cada Ij é um ideal de A implicando a x I Ij Portanto I Ij é um ideal de A Questão 8 Seja Ij j N uma coleção de ideais de A tais que Ij Ij1 ie I1 I2 I3 In Então I Ij é um ideal de A Prova Note que I Ij Pois cada Ij é um ideal de A logo o elemento neutro 0 Ij j Portanto 0 I Ij Sejam xy I Ij Temos x Ij j0 tal que x Ij0 y Ij jN tal que y IjN Considere os seguintes casos 1 j0 jN se j0 jN então xy Ij0 como Ij0 é um ideal de A então x y Ij0 Logo x y Ij 2 j0 jN como Ij Ij1 j então Ij0 IjN Logo xy IjN como IjN é um ideal de A então x y IjN Portanto x y Ij 3 j0 jN então Ij0 IjN Logo xy Ij0 implicando x y Ij0 pois Ij0 é ideal de A Portanto x y Ij Por 12 e 3 segue que se xy Ij então x y I Ij Agora sejam a A x I Ij Se x Ij então existe j0 tal que x Ij0 Logo a x Ij0 pois Ij0 ideal de A Daí segue que a x I Ij Portanto I Ij é um ideal de A Questão 10 a Sejam A anel I e J ideais de A Então I J x y x I y J é um ideal de A Prova Note que I J Pois 0 I e 0 J logo 0 0 I J Sejam x y I J então x a₁ b₁ e y a₂ b₂ com a₁ a₂ I b₁ b₂ J Logo x y a₁ b₁ a₂ b₂ a₁ a₂ b₁ b₂ I J I J Agora sejam a A x I J Como x I J então x a₁ b₁ com a₁ I e b₁ J Logo ax aa₁ b₁ aa₁ ab₁ I J I J Portanto I J é um ideal de A b A Z I 10 J 12 Determine gerador de I J Solução Afirmação Sejam a b ideais de Z Então mdca b a b De fato suponha que d mdc a b Provaremos que a b d Seja x Z temos x a b x ra sb r s Z e da db dx x d Logo a b d Por outro lado se a b é um ideal de Z então a b é principal Seja d um gerador de a b Então a a 0 a a b da b 0 b b a b db Logo dd implicando d d portanto d a b Conclusão d a b onde d mdc a b Daí segue I J mdc1012 2 Portanto I J 2 Questão 11 a Vejamos se A é um anel com unidade Sejam a b c A Temos i a b c a b c 1 a b c 1 1 a b c 2 Por outro lado a b c a b 1 c a b 1 c 1 a b c 2 Logo a b c a b c ii a b a b 1 b a 1 b a Logo a b b a iii Temos que mostrar que existe n A tal que a n a Suponha que n A seja um candidato então a n a n 1 a Como a n 1 a n 1 Portanto o elemento neutro é 1 a 1 a 1 1 a a A iv Temos que mostrar que a A a A tal que a a 1 se a a 1 então a a 1 1 a a 2 Logo elemento oposto de a A é a 2 a a 2 a a 2 1 1 v a b c a bc b c abc b c a bc b c abc ab ac a bc b c Por outro lado a b c ab a b c ab a bc ab a b c abc ac bc ab a b c abc ab ac a bc b c Logo a b c a b c vi Temos a b c a b c 1 ab c 1 a b c 1 ab ac a a b c 1 Por outro lado a b a c ab a b ac a c ab a b ac a c 1 ab ac a a b c 1 Logo a b c a b a c vii Temos a b c a b 1 c a b 1c a b 1 c ac bc c a b c 1 Por outro lado a c b c ac a c bc b c ac a c bc b c 1 ac a c bc b c 1 Logo a c b c a b c viii A é um anel com unidade se 1A A tal que a 1A a a A Suponha a 1A a então a 1A a 1A a a 1A 1A 0 a 1 1A 0 1A 0 Logo a unidade de A é zero a 0 a0 a 0 a Portanto A é um anel com unidade b suponha que A é um anel comutativo Vamos mostrar que A também é comutativo Temos sejam a b A a b ab a b ba b a pois ab ba b a ou seja a b b a Portanto A é um anel comutativo Questão 12 A anel I J ideais de A tais que I J 0 T então xy 0 x I y J Prova Queremos mostrar que xy I J 0 T com x I e y J Seja y J A com I é ideal de A e x I então xy I Além disso x I A como J ideal de A então xy J Portanto xy I J 0 T ou seja xy 0 x I y J Questão 13 a Vamos mostrar qe A mn mn Z n 0 mdc pn 1 com p primo é um subanel de Q i A Pois 01 0 A ii sejam a b A Então a m1n1 b m2n2 como m1 m2 n1 n2 Z n1 n2 0 e mdcpn1 mdcpn2 1 Temos a b m1n1 m2n2 m1n2 m2n1 n1n2 A Pois m1n2 m2n1 Z n1n2 Z com n1n2 0 Além disso por propriedade de mdc segue que mdcpn1n2 1 ii Temos ab m1n1 m2n2 m1m2 n1n2 A Pois m1m2 n1n2 Z n1n2 0 e por propriedade mdc mdc p n1n2 1 Portanto A é um subanel de Q b Vejamos se I mn A p m é um ideal de A Sejam x m1n1 y m2n2 I Temos x y m1n1 m2n2 m1n2 m2n1 n1n2 I Como p m1 e p m2 então p m1n2 m2n1 Agora sejam a A então a mn e x m1n1 I Temos ax mn m1n1 mm1 nn1 I Pois como p1 m então p1 m Portanto I é um ideal de A
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Questão 01 Dê exemplos de elementos que sejam divisores de zero e elementos que sejam inversíveis nos conjuntos Z Z9 Z12 e Z30 Questão 02 Mostre que num anel A com unidade um elemento NÃO pode ser ao mesmo tempo inversível e divisor de zero Questão 03 Seja f Z Z um homomorfismo de Anéis Mostre que f1 1 ou fa a a Z Questão 04 Seja A um anel tal que x²x x A a Mostre que x x x A b Mostre que A é um anel comutativo Dica Note que xy² xy x y A Questão 06 Seja D um domínio de integridade e x D a Quantas soluções têm a equação x³ x b Determine as soluções de x³ x em Z8 Questão 07 Seja Ij j N uma coleção de ideais de um anel A Mostre que I Ij é um ideal de A Questão 08 Seja Ij j N uma coleção de ideais de um anel A tais que Ij Ij1 Mostre que I Ij é um ideal de A Questão 10 a Seja A um anel e I J ideais de A Mostre que I J xy x I y J é um ideal de A b Se A Z I 10 e J 12 determine um gerador para o ideal I J Questão 11 Seja A um anel com unidade Definimos em A duas novas operações dadas por a b a b 1 a b ab a b a Mostre que A é um anel com unidade b Se A é um anel comutativo então A também o é Questão 12 Sejam A um anel e I J ideais de A tais que I J 0 Mostre que xy 0 x I y J Questão 13 Seja p um número primo e A mn m n Z n 0 mdcp n 1 Seja I mn A pm a Mostre que A é um subanel de Q b Mostre que I é um ideal de A Questão 1 lembrando em Zn com n 1 temos que a Zn é um divisor de zero se mdca n 1 b Zn é inversível se mdcb n 1 Em Z não existem divisores de zero e os elementos inversíveis são 1 e 1 Em Z9 temos que 3 é um divisor de zero É 2 é um elemento inversível Em Z12 os elementos 3 e 4 são exemplos de elementos divisores de zero Os elementos 1 5 são exemplos de inversíveis Em Z30 2 3 são exemplos de elementos divisores de zero 1 7 são exemplos de inversíveis Questão 2 Ém um anel A com unidade um elemento não pode ser ao mesmo tempo inversível e divisor de zero Prova Sejam A um anel com unidade e a A Suponha que a é divisor de zero e inversível Logo existe b A b 0 tal que ab 0 Multiplicando à esquerda ambos lados por a1 temos a1ab a10 a1ab 0 1b 0 b 0 contradição Pois b 0 Portanto um elemento de A não pode ser ao mesmo tempo inversível e divisor de zero Questão 3 Se f Z Z é um homomorfismo de anéis então f11 ou faa a Z Prova Seja f Z Z um homomorfismo de anéis Para n 1 temos fn f1 1 f1 f1 n f1 e fn f1 1 n f1 Ainda temos f1 f1 f1 1 f0 0 por propriedade de homomorfismo Além disso f1 f1 Logo f é determinada por f1 via fa a f1 a Z Além disso devemos ter f1 f12 Z ou seja f1 1 ou f1 0 Como 1 é a unidade em Z e por propriedade de homomorfismo f1 1 Então f id Portanto fa a a Z Questão 4 seja A um anel tal que x2 x x A a x x x A Prova Seja x A Então x x A Logo x x x x2 x2 xx xx x2 x x x x x x x x Ou seja x x x x x x somando x x à esquerda em ambos lados x x x x x x x x x x 0 x x Novamente somando x à esquerda em ambos lados x 0 x x x x x x x por associatividade x 0 x x x Portanto x x x A b A é um anel comutativo Prova Sejam x y A então x y A Temos x y x y² x² xy yx y² x xy yx y x y xy yx Logo x y x y xy yx Somando x y em ambos lados temos x y x y x y x y xy yx 0 xy yx Somando xy em ambos lados xy 0 xy xy yx xy yx Além disso pelo item a sabemos que x x x A Logo xy yx xy yx xy A Portanto A é comutativo Questão 6 Seja D um domínio de integridade e x D a Quantas soluções têm a equação x3x solução Temos x3 x x3 x 0 xx2 1 0 x0 ou x2 1 Logo ou x 0 ou x 1 ou x 1 Portanto temos 3 soluções b Soluções de x3 x em Z8 solução Z8 017 Pelo item a segue que a solução da equação em Z8 são x0 x1 ou x7 Questão 7 Seja Ij j N uma coleção de ideais de um anel A Então I Ij é um ideal de A Prova Primeiro note que I Ij Pois j N Ij é um ideal de A logo o elemento neutro 0 pertence à Ij então 0 Ij Sejam xy I Ij Como xy Ij então xy Ij j N como cada Ij é um ideal logo xy Ij j N Portanto xy I Ij Sejam a A x I Ij Como x Ij então x Ij j N Logo a x Ij j N pois cada Ij é um ideal de A implicando a x I Ij Portanto I Ij é um ideal de A Questão 8 Seja Ij j N uma coleção de ideais de A tais que Ij Ij1 ie I1 I2 I3 In Então I Ij é um ideal de A Prova Note que I Ij Pois cada Ij é um ideal de A logo o elemento neutro 0 Ij j Portanto 0 I Ij Sejam xy I Ij Temos x Ij j0 tal que x Ij0 y Ij jN tal que y IjN Considere os seguintes casos 1 j0 jN se j0 jN então xy Ij0 como Ij0 é um ideal de A então x y Ij0 Logo x y Ij 2 j0 jN como Ij Ij1 j então Ij0 IjN Logo xy IjN como IjN é um ideal de A então x y IjN Portanto x y Ij 3 j0 jN então Ij0 IjN Logo xy Ij0 implicando x y Ij0 pois Ij0 é ideal de A Portanto x y Ij Por 12 e 3 segue que se xy Ij então x y I Ij Agora sejam a A x I Ij Se x Ij então existe j0 tal que x Ij0 Logo a x Ij0 pois Ij0 ideal de A Daí segue que a x I Ij Portanto I Ij é um ideal de A Questão 10 a Sejam A anel I e J ideais de A Então I J x y x I y J é um ideal de A Prova Note que I J Pois 0 I e 0 J logo 0 0 I J Sejam x y I J então x a₁ b₁ e y a₂ b₂ com a₁ a₂ I b₁ b₂ J Logo x y a₁ b₁ a₂ b₂ a₁ a₂ b₁ b₂ I J I J Agora sejam a A x I J Como x I J então x a₁ b₁ com a₁ I e b₁ J Logo ax aa₁ b₁ aa₁ ab₁ I J I J Portanto I J é um ideal de A b A Z I 10 J 12 Determine gerador de I J Solução Afirmação Sejam a b ideais de Z Então mdca b a b De fato suponha que d mdc a b Provaremos que a b d Seja x Z temos x a b x ra sb r s Z e da db dx x d Logo a b d Por outro lado se a b é um ideal de Z então a b é principal Seja d um gerador de a b Então a a 0 a a b da b 0 b b a b db Logo dd implicando d d portanto d a b Conclusão d a b onde d mdc a b Daí segue I J mdc1012 2 Portanto I J 2 Questão 11 a Vejamos se A é um anel com unidade Sejam a b c A Temos i a b c a b c 1 a b c 1 1 a b c 2 Por outro lado a b c a b 1 c a b 1 c 1 a b c 2 Logo a b c a b c ii a b a b 1 b a 1 b a Logo a b b a iii Temos que mostrar que existe n A tal que a n a Suponha que n A seja um candidato então a n a n 1 a Como a n 1 a n 1 Portanto o elemento neutro é 1 a 1 a 1 1 a a A iv Temos que mostrar que a A a A tal que a a 1 se a a 1 então a a 1 1 a a 2 Logo elemento oposto de a A é a 2 a a 2 a a 2 1 1 v a b c a bc b c abc b c a bc b c abc ab ac a bc b c Por outro lado a b c ab a b c ab a bc ab a b c abc ac bc ab a b c abc ab ac a bc b c Logo a b c a b c vi Temos a b c a b c 1 ab c 1 a b c 1 ab ac a a b c 1 Por outro lado a b a c ab a b ac a c ab a b ac a c 1 ab ac a a b c 1 Logo a b c a b a c vii Temos a b c a b 1 c a b 1c a b 1 c ac bc c a b c 1 Por outro lado a c b c ac a c bc b c ac a c bc b c 1 ac a c bc b c 1 Logo a c b c a b c viii A é um anel com unidade se 1A A tal que a 1A a a A Suponha a 1A a então a 1A a 1A a a 1A 1A 0 a 1 1A 0 1A 0 Logo a unidade de A é zero a 0 a0 a 0 a Portanto A é um anel com unidade b suponha que A é um anel comutativo Vamos mostrar que A também é comutativo Temos sejam a b A a b ab a b ba b a pois ab ba b a ou seja a b b a Portanto A é um anel comutativo Questão 12 A anel I J ideais de A tais que I J 0 T então xy 0 x I y J Prova Queremos mostrar que xy I J 0 T com x I e y J Seja y J A com I é ideal de A e x I então xy I Além disso x I A como J ideal de A então xy J Portanto xy I J 0 T ou seja xy 0 x I y J Questão 13 a Vamos mostrar qe A mn mn Z n 0 mdc pn 1 com p primo é um subanel de Q i A Pois 01 0 A ii sejam a b A Então a m1n1 b m2n2 como m1 m2 n1 n2 Z n1 n2 0 e mdcpn1 mdcpn2 1 Temos a b m1n1 m2n2 m1n2 m2n1 n1n2 A Pois m1n2 m2n1 Z n1n2 Z com n1n2 0 Além disso por propriedade de mdc segue que mdcpn1n2 1 ii Temos ab m1n1 m2n2 m1m2 n1n2 A Pois m1m2 n1n2 Z n1n2 0 e por propriedade mdc mdc p n1n2 1 Portanto A é um subanel de Q b Vejamos se I mn A p m é um ideal de A Sejam x m1n1 y m2n2 I Temos x y m1n1 m2n2 m1n2 m2n1 n1n2 I Como p m1 e p m2 então p m1n2 m2n1 Agora sejam a A então a mn e x m1n1 I Temos ax mn m1n1 mm1 nn1 I Pois como p1 m então p1 m Portanto I é um ideal de A