Introducao a Sistemas Logicos - Calculo Proposicional Classico CPC - Slides

Introducao a Sistemas Logicos Prof Julio Cesar da Silva Slides 3 CPC Texto baseado no Livro Introducao a Logica de S Mortari Faculdade Cotemig Belo HorizonteMG Prof Julio Cesar da Silva Introducao a Sistemas Logicos 1 71 Sumario 1 Calculo Proposicional Classico CPC Introducao ao CPC Sintaxe do CPC Definicao 1 Semˆantica do CPC Definicao 2 Tabela Verdade A Tabela Verdade A B Tabela Verdade A B Tabela Verdade A B Tabela Verdade A B Tautologia e Consequˆencia Tautologica Definicao 3 Definicao 4 Definicao 5 Definicao 6 Definicao 7 8 e 9 Prof Julio Cesar da Silva Introducao a Sistemas Logicos 2 71 DICA DE ESTUDO Enquanto o professor explica cada um dos Slides tenha em maos algum meio de fazer anotacoes Pode ser um caderno ou algum programa que permita deixar comentarios no PDF Tenha em maos tambem algum local documento digital ou caderno para resolver os exercıcios Dicas de anotacoes em PDF httpsupdfcombrannotatepdfpdfannotator Prof Julio Cesar da Silva Introducao a Sistemas Logicos 3 71 Introducao ao CPC Para analisar a verdade de um argumento podemos deixar de lado o seu conteudo concentrandonos apenas em seus aspectos formais A logica hoje em dia faz uso de linguagens artificiais para lidar com a forma dos argumentos Uma linguagem em Java Python C e um exemplo de linguagem artificial Prof Julio Cesar da Silva Introducao a Sistemas Logicos 4 71 Introducao ao CPC A motivacao para o uso de tal linguagem artificial e que os argumentos originalmente apresentados em linguagem natural por exemplo o portuguˆes sao traduzidos para uma linguagem cuja estrutura esta precisamente especificada o que nos permite evitar problemas de de ambiguidade Prof Julio Cesar da Silva Introducao a Sistemas Logicos 5 71 Introducao ao CPC A linguagem artificial e portanto uma linguagem na qual um argumento tera uma forma imediatamente reconhecıvel e para a qual se pode dar uma definicao precisa de consequˆencia logica Prof Julio Cesar da Silva Introducao a Sistemas Logicos 6 71 Introducao ao CPC O CPC pode ser tambem chamado de calculo proporcional classico calculo sentencial ou ainda calculo de enunciados As formulas sao construıdas sob proposicoes ou sentencas Ja o CQC calculo de Predicados de primeira ordem logica de primeira ordem logica elementar ou teoria da quantificacao tem como proposito a quantificacao de primeira ordem isto e referese ao fato de quantificar sobre indivıduos Prof Julio Cesar da Silva Introducao a Sistemas Logicos 7 71 Introducao ao CPC Se o CQC e uma logica de primeira ordem podemos dizer que o CPC e uma logica de ordem zero pois nao tem quantificacao Essa logica do CPC e um subsistema interessante do CQC Por subsistema queremos dizer entre outras coisas que a linguagem do CPC corresponde a uma parte da linguagem do Calculo de Predicados Prof Julio Cesar da Silva Introducao a Sistemas Logicos 8 71 Pausa para Pensar 1 Qual a diferenca entre a lıngua portuguesa e uma linguagem formal artificial usada no CPC 2 Qual e o beneficio de usar uma linguagem artificial na logica Prof Julio Cesar da Silva Introducao a Sistemas Logicos 9 71 Introducao ao CPC Considere a sentenca Dory e um peixe Esse tipo de sentenca e chamada de sentenca atˆomica ou simples ou ainda proposicao atˆomica ou enunciado atˆomico porque nao pode ser decomposta em outras sentencas mais simples Essa frase tem sentido completo e pode ou nao ser verdadeira ou falsa Por isso para a logica ela e uma sentenca ou proposicao Prof Julio Cesar da Silva Introducao a Sistemas Logicos 10 71 Introducao ao CPC Considere a sentenca Dory e um peixe e Bidu e um cachorro Essa sentenca e composta pela proposicao Dory e um peixe e pela proposicao Bidu e um cachorro Ambas sao proposicoes pois sao frases que podem ou nao ser verdadeiras Prof Julio Cesar da Silva Introducao a Sistemas Logicos 11 71 Introducao ao CPC Considere a sentenca Dory e um peixe e Bidu e um cachorro A esse tipo de sentenca isto e uma sentenca que contem uma ou mais sentencas como partes chamamos de sentencaproposicao molecular ou complexa Prof Julio Cesar da Silva Introducao a Sistemas Logicos 12 71 Introducao ao CPC Considere a sentenca Dory e um peixe e Bidu e um cachorro Proposicoes moleculares sao construıdas usando sentencas atˆomicas conectadas com as seguintes palavras e e tambem ou seentao nao se e somente se que damos o nome de operador logico ou conectivo logico De modo geral operadores sao expressoes do portuguˆes ou de uma linguagem natural que aplicados a uma ou mais sentencas geram sentencas mais complexas Prof Julio Cesar da Silva Introducao a Sistemas Logicos 13 71 Pausa para Pensar Classifique as frases abaixo como Proposicao simples Proposicao Complexa ou Nao e proposicao 1 Bom dia 2 Se ontem choveu muito entao o chao da rua esta molhado 3 O culpado e o mordomo ou e o jardineiro 4 Um triˆangulo e isosceles se e somente se dois dos seus trˆes sao de mesmo tamanho 5 Nao choveu ontem 6 2 2 4 e 4 e um numero impar 7 Tchau Isabela Prof Julio Cesar da Silva Introducao a Sistemas Logicos 14 71 Introducao ao CPC Na logica proposicional nao vamos entrar nos detalhes da estrutura interna das sentencas A logica proposicional se ocupa da validade de argumentos que envolvem sentencas simples e combinacoes dessas sentencas simples por meio de certos operadores conectivos logicos Prof Julio Cesar da Silva Introducao a Sistemas Logicos 15 71 Introducao ao CPC O que faremos 1 Construir a linguagem proposicional artificial com regras precisas por meio de definicoes 2 Determinar como devemos interpretar as formulas da linguagem artificial para determinar se e verdadeira ou falsa 3 Traduzir as frases da linguagem natural portuguˆes para a linguagem proposicional e interpretalas Prof Julio Cesar da Silva Introducao a Sistemas Logicos 16 71 Sintaxe do CPC A linguagem Proposicional linguagem artificial tera como componentes 1 Letras sentenciais 2 Operadores 3 Sinais de Pontuacao Prof Julio Cesar da Silva Introducao a Sistemas Logicos 17 71 Sintaxe do CPC Para especificar uma linguagem formal devemos inicialmente definir o seu alfabeto conjunto de sımbolos basicos e depois a sua gramatica sequˆencia finitas de sımbolos da linguagem para definir as expressoes bemformadas o que seria por sua vez uma palavra ou uma sentenca Prof Julio Cesar da Silva Introducao a Sistemas Logicos 18 71 Sintaxe do CPC O primeiro grupo de expressoes bemformadas sao os que representam sentencas atˆomicas isto e as letras sentenciais ou seja as variaveis proposicionais Usaremos neste ensaio letras maiusculas A T admitindo o uso de subscritos A1 B2 C3 o que garante um conjunto finito enumeravel de constantes A B C T A1 B1 C1 T1 A2 B2 C2 T2 As sentencas bemformadas sao formulas as quais nao entramos nos detalhes sobre sua estrutura interna conforme citado anteriormente Prof Julio Cesar da Silva Introducao a Sistemas Logicos 19 71 Sintaxe do CPC A definicao de formula que temos no proximo slide e o que se chama uma definicao indutiva ou recursiva 1 apresentar elementos iniciais do conjunto a ser definido 2 listar regras que permitem obter novos elementos a partir daqueles ja existentes 3 a base sao as formulas atˆomicas Prof Julio Cesar da Silva Introducao a Sistemas Logicos 20 71 Definicao 1 Definicao Uma formula da linguagem do CPC e uma expressao que pode ser obtida atraves das seguintes regras 1 Uma letra sozinha e uma formula 2 Se α e uma formula entao α e uma formula 3 Se α e β sao formulas entao α β α β α β e α β sao formulas 4 Nada mais e uma formula Prof Julio Cesar da Silva Introducao a Sistemas Logicos 21 71 Definicao 1 α e β nao fazem parte da linguagem do CPC sao variaveis metalinguısticas Se uma sentenca for a letra A sabemos pela regra 1 da definicao que e uma formula pois e uma letra sozinha Se uma sentenca for a letra B sabemos pela regra 1 da definicao que e uma formula pois e uma letra sozinha Se A e uma formula entao α A Se B e uma formula entao β B Prof Julio Cesar da Silva Introducao a Sistemas Logicos 22 71 Definicao 1 Se A e uma formula entao α A Se B e uma formula entao β B Entao pela regra 3 da definicao 1 A B tambem e uma formula pois α β e uma formula Entao pela regra 3 da definicao 1 A B tambem e uma formula pois α β e uma formula Entao pela regra 3 da definicao 1 A B tambem e uma formula pois α β e uma formula Prof Julio Cesar da Silva Introducao a Sistemas Logicos 23 71 Pausa para Pensar Responda as perguntas abaixo 1 D e uma formula Justifique 2 E A e uma formula Justifique 3 A T e uma formula Justifique 4 BA e uma formula Justifique 5 D F e uma formula Justifique 6 AD e uma formula Justifique Prof Julio Cesar da Silva Introducao a Sistemas Logicos 24 71 Definicao 1 Relembrando α e β nao fazem parte da linguagem do CPC sao variaveis metalinguısticas α nao e uma formula do CPC e no maximo um esquema de formula algo que podemos transformar em uma formula substituindo α por alguma formula Prof Julio Cesar da Silva Introducao a Sistemas Logicos 25 71 Definicao 1 nao e ou seentao e se e somente se sao sımbolos logicos da linguagem ou assinatura logica A T sao sımbolos nao logicos Prof Julio Cesar da Silva Introducao a Sistemas Logicos 26 71 Pausa para Pensar Quais sao os conectivos logicos das seguintes formulas 1 D 2 E A 3 A T 4 P A 5 D F Prof Julio Cesar da Silva Introducao a Sistemas Logicos 27 71 Definicao 1 O conectivo negacao e chamado de operador unitario pois e aplicado a uma sentenca apenas para gerar uma nova sentenca Os demais conectivos sao considerados operadores binarios ou seja aplicamse a duas sentencas para formar uma terceira Os parenteses introduzidos na clausula 3 da definicao 1 ajudam a evitar ambiguidades estruturais nas formulas Sao sinais de pontuacao Prof Julio Cesar da Silva Introducao a Sistemas Logicos 28 71 Definicao 1 Como faremos agora a traducao da linguagem natural para a linguagem artificial do CPC 1 Traduzimos cada proposicao atˆomica ou simples para uma das letras disponıveis A T 2 Traduzimos as proposicoes moleculares ou complexas unindo as letras disponıveis com os conectores e Exemplo Dory e um Peixe e traduzido como P Bidu e um cachorro e traduzido como Q Dory e um peixe e Bidu e um cachorro e traduzido como P Q Prof Julio Cesar da Silva Introducao a Sistemas Logicos 29 71 Pausa para Pensar Traduza para a linguagem do CPC se for possıvel as frases abaixo 1 Um objeto pode ser comprado com outro se e somente se tiverem propriedades para serem comparadas 2 Se um numero e impar entao esse numero possui apenas 2 divisores 3 Comprei um carro e uma moto usados por um preco bom 4 Nao choveu ontem ou alguem molhou toda a rua 5 Se nao e um numero par entao nao pode ter resto 0 se dividido por 2 Prof Julio Cesar da Silva Introducao a Sistemas Logicos 30 71 Semˆantica do CPC A ideia principal que esta por tras do uso de uma linguagem artificial L e a de tomar um argumento em linguagem natural portuguˆes por exemplo traduzilo para L e entao mostrar sua validade ou invalidade Na secao anterior foi apresentado como podemos fazer essa traducao utilizando uma sintaxe definida do CPC Como um argumento e intuitivamente valido se nao e possıvel que suas premissas sejam verdadeiras e que ao mesmo tempo sua conclusao seja falsa para poder investigar a validade desse argumento devemos dizer em que condicoes certas formulas sao verdadeiras ou falsas Prof Julio Cesar da Silva Introducao a Sistemas Logicos 31 71 Semˆantica do CPC Note que isso so e possıvel se interpretarmos as formulas em questao isto e se damos a elas e as suas componentes algum tipo de significado Por conseguinte precisamos de alguma coisa que nos permita interpretar formulas e determinar sua verdade ou falsidade em todos os casos possıveis e nao apenas com relacao aos fatos e ao mundo real Essa coisa que precisamos e de uma interpretacao formal Prof Julio Cesar da Silva Introducao a Sistemas Logicos 32 71 Semˆantica do CPC A semˆantica que teremos no CPC e uma semˆantica extensional Isso quer dizer que o significado valor semˆantico associado por uma interpretacao a uma expressao bemformada simplesmente e a extensao denotacao ou referˆencia dessa expressao Prof Julio Cesar da Silva Introducao a Sistemas Logicos 33 71 Semˆantica do CPC Quando tivermos um conjunto de formulas correspondendo a um certo argumento vamos nos perguntar em uma dada situacao nao o que as formulas querem dizer mas somente se sao verdadeiras ou falsas naquela situacao Isto e qual o seu valor de verdade Para isso devemos proceder como descrevemos a seguir Prof Julio Cesar da Silva Introducao a Sistemas Logicos 34 71 Semˆantica do CPC Iniciamos com uma suposicao inicial existem dois valores de verdade verdadeiro V ou 1 e o falso F ou 0 Suposicao adicional toda sentenca ou proposicao ou enunciado e ou verdadeiro ou falsa Principio de Bivalˆencia Ao especificar o significado de uma sentenca declarativa queremos dizer como o mundo deve ser para que ela seja verdadeira Semˆantica de condicoes de verdade O significado de uma expressao complexa e uma funcao do significado de suas partes e do modo como elas se combinam Princıpio da Composicionalidade ou Princıpio de Frege Prof Julio Cesar da Silva Introducao a Sistemas Logicos 35 71 Semˆantica do CPC O sımbolo de verdadeiro portanto e 1 enquanto 1 e o numero inteiro um O sımbolo de falso portanto e 0 enquanto 0 e o numero inteiro zero 1 e 0 estao na metalinguagem Prof Julio Cesar da Silva Introducao a Sistemas Logicos 36 71 Semˆantica do CPC A partir do valor de verdade das formulas atˆomicas podemos especificar as condicoes em que as formulas sao verdadeiras Razao pela qual os operadores do CPC sao funcoes de verdade ou operadores verofuncionais Funcoes de verdade tomam como argumentos valores de verdade e associam a estes um outro valor de verdade Prof Julio Cesar da Silva Introducao a Sistemas Logicos 37 71 Pausa para Pensar Responda as seguintes questoes 1 O que e o principio da bivalˆencia Exemplifique 2 Qual a relacao entre o que significa semˆantica do CPC e uma interpretacao formal Exemplifique 3 O que e o Princıpio da Composicionalidade ou Princıpio de Frege Prof Julio Cesar da Silva Introducao a Sistemas Logicos 38 71 Definicao 2 Definicao Valoracao para as formulas da Linguagem 1 vA 1 sse vA 0 2 vA B 1 sse vA 1 e vB 1 3 vA B 1 sse vA 1 ou vB 1 4 vA B 1 sse vA 0 ou vB 1 5 vA B 1 sse vA 0 e vB 0 ou vA 1 e vB 1 Prof Julio Cesar da Silva Introducao a Sistemas Logicos 39 71 Semˆantica do CPC Tabela Verdade vA 1 sse vA 0 TABELA VERDADE A A 1 0 0 1 Prof Julio Cesar da Silva Introducao a Sistemas Logicos 40 71 Pausa para Pensar Determine o valor de verdade das seguintes expressoes 1 B para o valor de verdade de B igual a 0 2 A para o valor de verdade de A igual a 1 3 D para o valor de verdade de D igual a 0 4 T para o valor de verdade de T igual a 1 Prof Julio Cesar da Silva Introducao a Sistemas Logicos 41 71 Semˆantica do CPC Tabela Verdade vA B 1 sse vA 1 e vB 1 TABELA VERDADE A B A B 1 1 1 1 0 0 0 1 0 0 0 0 Prof Julio Cesar da Silva Introducao a Sistemas Logicos 42 71 Semˆantica do CPC Tabela Verdade vA B 1 sse vA 1 ou vB 1 TABELA VERDADE A B A B 1 1 1 1 0 1 0 1 1 0 0 0 Prof Julio Cesar da Silva Introducao a Sistemas Logicos 43 71 Pausa para Pensar Determine o valor de verdade das seguintes expressoes 1 B C para o valor de verdade de B igual a 0 e o valor de verdade de C igual a 0 2 B C para o valor de verdade de B igual a 1 e o valor de verdade de C igual a 0 3 E F para o valor de verdade de E igual a 0 e o valor de verdade de F igual a 0 4 E F para o valor de verdade de E igual a 1 e o valor de verdade de F igual a 1 Prof Julio Cesar da Silva Introducao a Sistemas Logicos 44 71 Semˆantica do CPC Tabela Verdade vA B 1 sse vA 0 ou vB 1 TABELA VERDADE A B A B 1 1 1 1 0 0 0 1 1 0 0 1 Prof Julio Cesar da Silva Introducao a Sistemas Logicos 45 71 Semˆantica do CPC Tabela Verdade vA B 1 sse vA 0 e vB 0 ou vA 1 e vB 1 TABELA VERDADE A B A B 1 1 1 1 0 0 0 1 0 0 0 1 Prof Julio Cesar da Silva Introducao a Sistemas Logicos 46 71 Pausa para Pensar Determine o valor de verdade das seguintes expressoes 1 B C para o valor de verdade de B igual a 0 e o valor de verdade de C igual a 0 2 B C para o valor de verdade de B igual a 1 e o valor de verdade de C igual a 0 3 E F para o valor de verdade de E igual a 0 e o valor de verdade de F igual a 0 4 E F para o valor de verdade de E igual a 1 e o valor de verdade de F igual a 1 Prof Julio Cesar da Silva Introducao a Sistemas Logicos 47 71 Tautologia e Consequˆencia Tautologica Nesta secao apresentaremos uma primeira definicao de consequˆencia logica que funcionara para o CPC e que chamaremos de consequˆencia tautologica Prof Julio Cesar da Silva Introducao a Sistemas Logicos 48 71 Definicao 3 Definicao Definicao de subformulas imediata 1 formulas atˆomicas nao tem subformulas imediatas 2 a subformula de α e α 3 as subformulas imediata de α β α β α β e α β e α e β Prof Julio Cesar da Silva Introducao a Sistemas Logicos 49 71 Tautologia e Consequˆencia Tautologica O conjunto das subformulas de α inclui suas subformulas imediatas bem como as subformulas delas A lista das subformulas de A B A e 1 A 2 B 3 A 4 A B Veja que quando desejamos encontrar as subformulas de uma formula desejamos encontrar as partes que constituem essa formula Cada parte sera importante na tabela que vamos construir mais a frente Prof Julio Cesar da Silva Introducao a Sistemas Logicos 50 71 Pausa para Pensar Quais sao as subformulas das formulas abaixo 1 B C 2 B C 3 E F 4 Q C C P Prof Julio Cesar da Silva Introducao a Sistemas Logicos 51 71 Tautologia e Consequˆencia Tautologica Para determinar a validade de um argumento precisamos saber o valor de certas formulas em todos os casos possıveis Como calcular o valor de uma formula em todos os casos possıveis Prof Julio Cesar da Silva Introducao a Sistemas Logicos 52 71 Tautologia e Consequˆencia Tautologica A solucao e examinar todos os casos possıveis isto e examinar todas as valoracoes pois cada valoracao descreve um modo como o mundo poderia ser Devemos identificar inicialmente as formulas atˆomicas letras sentenciais para que seja listado as suas combinacoes possıveis para se tornarem as linhas de uma tabela que nos permita conferir as possibilidades de valoracao da formula Dado n formulas atˆomicas o numero de l de linhas que a tabela tera sera l 2n Prof Julio Cesar da Silva Introducao a Sistemas Logicos 53 71 Tautologia e Consequˆencia Tautologica Em seguida devemos incluir inicialmente as colunas que correspondem as formulas atˆomicas As demais colunas da tabela sao as subformulas imediatas da formula A B A A B A B A 1 1 0 0 1 1 0 0 0 1 0 1 1 1 1 0 0 1 0 1 Prof Julio Cesar da Silva Introducao a Sistemas Logicos 54 71 Tautologia e Consequˆencia Tautologica A B A A B A B A 1 1 0 0 1 1 0 0 0 1 0 1 1 1 1 0 0 1 0 1 A ultima coluna da tabela e preenchida com a formula e nela teremos o valor que a formula tem para cada valoracao Neste exemplo em cada uma das possıveis atribuicoes de valores de verdade as formulas atˆomicas A e B a formula A B A resulta verdadeira Uma vez que a verdade de uma formula e independente dos valores de verdade de seus componente mais elementares como no exemplo acima podemos dizer que uma tal formula e verdadeira apenas em funcao dos operadores logicos que nela ocorrem Prof Julio Cesar da Silva Introducao a Sistemas Logicos 55 71 EX 01 Sendo P 1 Q 0 e C 1 determine o valor de verdade das seguintes sentencas do CPC a P Q b C Q c P C Q d Q C C P e C f P D Prof Julio Cesar da Silva Introducao a Sistemas Logicos 56 71 EX 02 Determine a tabela verdade interpretacao das seguintes formulas do CPC a P Q b C Q c P C Q d Q C C P e C f P D Prof Julio Cesar da Silva Introducao a Sistemas Logicos 57 71 Tautologia e Consequˆencia Tautologica Uma vez que a verdade de uma formula e independente dos valores de verdade de seus componente mais elementares como no exemplo acima podemos dizer que uma tal formula e verdadeira apenas em funcao dos operadores logicos que nela ocorrem Formulas com essa caracterıstica sao chamadas logicamente verdadeiras ou validas ou ainda na logica proporcional tautologia Prof Julio Cesar da Silva Introducao a Sistemas Logicos 58 71 Definicao 4 Definicao Definicao para tautologia contradicao e contingˆencia 1 α e uma tautologia se para toda valoracao v vα 1 2 α e uma contradicao se para toda valoracao v vα 0 3 α e uma contingˆencia se nao for nem tautologia nem contradicao ou seja se existe pelo menos uma valoracao v1 tal que v1α 1 e ao menos uma valoracao v2 tal que v2α 0 Prof Julio Cesar da Silva Introducao a Sistemas Logicos 59 71 Tautologia e Consequˆencia Tautologica Por serem sempre verdadeiras logicamente verdadeiras as tautologias sao aquelas formulas a que se costuma dar o nome de Leis da Logica Prof Julio Cesar da Silva Introducao a Sistemas Logicos 60 71 EX 03 Determine se as seguintes formulas sao classificadas como Tautologia ou valida Contradicao ou Contingˆencia a P Q R b P Q R P Q R c P P d P P Q Q Prof Julio Cesar da Silva Introducao a Sistemas Logicos 61 71 Definicao 5 Definicao Uma formula β e equivalente a uma formula α se a coluna resultado da tabela verdade de cada formula for igual Ou seja elas possuem os mesmos valores de verdade Ou seja β α Prof Julio Cesar da Silva Introducao a Sistemas Logicos 62 71 EX 04 Determine se as seguintes formulas sao ou nao equivalentes a P Q P Q b P R P R c P Q P Q d P Q P Q Q P e P P Prof Julio Cesar da Silva Introducao a Sistemas Logicos 63 71 Definicao 6 Definicao Uma formula β seguese semanticamente de uma formula α ou uma formula α implica uma formula β se a tabela verdade de α β for uma tautologia Ou seja α β Prof Julio Cesar da Silva Introducao a Sistemas Logicos 64 71 EX 05 Para cada opcao abaixo podemos afirmar que β e seguese semanticamente de α isto e α β a α P P Q e β Q b α P P Q e β Q R c α P Q Q R e β P R d α P Q P e β Q Prof Julio Cesar da Silva Introducao a Sistemas Logicos 65 71 Definicao 7 Definicao Uma formula β e uma consequˆencia tautologica de uma formula α ou α implica tautologicamente β se para toda valoracao v tal que vα 1 temos que vβ 1 Ou seja α β Prof Julio Cesar da Silva Introducao a Sistemas Logicos 66 71 Definicao 8 e 9 Definicao Uma valoracao v e modelo de um conjunto de formulas Γ se para toda γ Γ vγ 1 Definicao Um conjunto de formulas Γ e satisfatıvel sse tem modelo ou seja se ha pelo menos uma valoracao v que e modelo de Γ caso contrario Γ e insatisfatıvel Prof Julio Cesar da Silva Introducao a Sistemas Logicos 67 71 EX 06 Seja Γ um conjunto de formulas que representam as premissas de um argumento de tal maneira que Γ P P Q verifique se a Q e uma conclusao consequˆencia tautologica de Γ b P e uma consequˆencia tautologica conclusao de Γ c Q R e consequˆencia tautologica uma conclusao de Γ Neste tipo de exercıcio devemos fazer uma conjuncao das premissas implicando a conclusao Se a tabela verdade da implicacao for uma tautologia entao a conclusao esta correta Prof Julio Cesar da Silva Introducao a Sistemas Logicos 68 71 Referˆencias 1 Para Todxs httpsgithubcomGrupodeEstudosemLogicada UFRNParaTodxsNatal 2 SOUZA Sergio Guedes de org Logica de programacao algorıtmica 1 ed Sao Paulo SP Pearson 2014 Ebook Disponıvel em httpsplataformabvirtualcombrLeitorPublicacao22146pdf0 3 STEIN C S et al Matematica discreta para ciˆencia da computacao 1 ed Sao Paulo SP Pearson 2013 Ebook Disponıvel em httpsplataformabvirtualcombrLeitorPublicacao3824pdf0 4 ASCENCIO Ana Fernanda Gomes CAMPOS Edilene Aparecida Veneruchi de Fundamentos da programacao de computadores algoritmos PASCAL CC padrao ANSI e JAVA 2 ed Sao Paulo Pearson 2012 Ebook Disponıvel em httpsplataformabvirtualcombrLeitorPublicacao3272pdf0 Prof Julio Cesar da Silva Introducao a Sistemas Logicos 69 71 juliocesarcotemigcombr Prof Julio Cesar da Silva Introducao a Sistemas Logicos 70 71 Prof Julio Cesar da Silva Introducao a Sistemas Logicos 71 71