Soluções de Sistemas de Equações Algébricas Lineares

ELE204 Algebra Linear Aplicada Robson Pires DSc IEEE Senior Member 2017 System Engineering Group GESis Institute of Electric Systems and Energy ISEE Copyright 2022 1 7 Solucao de Sistemas de Equacoes Algebricas Lineares 1 Sistemas de Equacoes Algebricas n n Se existe solucao ela e UNICA e EXATA Ann xn1 yn1 1 onde A matriz de coeficientes x vetor de incognitas variaveis dependentes y vetor do lado direito variaveis independentes Solucao Simbolica xn1 A 1 yn12 nn via algoritmos de fatoracao LU e fatoracao QR 2 7 2 Sistemas de Equacoes Algebricas Redundantes m nmn Se existe solucao o espaco de solucao e INFINITO e APROXIMADA Amn xn1 ym1 3 onde A matriz de coeficientes x vetor de incognitas variaveis dependentes y vetor do lado direito variaveis independentes Solucao Simbolica xn1 A mn yn1 4 via algoritmos de fatoracao QR Nota MoorePenrose pseudo inversa 3 7 21 Cadlculo da pseudo inversa de uma matriz al Existem duas situacdes em que a fatoracdo QR é util para conhecer a pseudo inversa de uma matriz A primeira ocorre quando a matriz A C onde m ne a matriz Rmyxn resulta da seguinte forma T Rmxn O mn 5 5 mnxn onde Tnxn uma matriz triangular superior Omnxn a particdo nula de Rmyxn Entado a pseudo inversa da matriz Am xn definida como sendo i 1 H H Anxm Taxn Omn xn Qmxm 6 nxm onde o superscrito H representa a matriz hermitiana queé igual a sua prdépria transposta conjugada Wh 47 EXEMPLO Determine a pseudo inversa da matriz A43 1 1 4 1 4 2 1 4 2 1 1 0 A fatoracao QR da matriz A resulta Q44 12 12 12 12 12 12 12 12 12 12 12 12 12 12 12 12 e R43 2 3 2 0 5 2 0 0 4 0 0 0 5 7 Por sua vez a matriz T e sua inversa i6é T1 sdo 23 2 12 310 25 T33 0 5 2 eT3J 0 15 110 00 4 0 0 614 e O1x3 0 0 0 Ent3o a pseudo inversa de A ié At T1 of Q resulta 12 310 25 0 12 12 12 12 At 0 15 110 0 12 12 12 12 0 0 14 0 12 12 12 12 12 12 12 12 15 310 110 35 120 120 320 320 18 18 18 18 67 Verificacao A A I ou seja 15 310 110 35 120 120 320 320 18 18 18 18 1 1 4 1 4 2 1 4 2 1 1 0 1 0 0 0 1 0 0 0 1 Observe que uma vez conhecida a matriz MoorePenrose pseudo inversa a solucao do sistema de equacoes algebricas lineares posta em 4 pode ser conhecida operando a multiplicacao desta matriz pelo vetor independente do lado direito 7 7