Prova de Matemática

Global Solution Resolução Diferenciada de Problemas Nome RM Turma Instruções A realização da GS é individual O aluno deve estar identificados no documento de entrega da prova com RM e nome completo e turma Resposta sem resolução não será considerada Resolva as questões no espaço a isso destinado e organizadamente Digitem as suas respostas utilizando o Editor de Equações do Word a fim de escrever as expressões matemáticas Digite as suas resoluções de forma organizada e clara Utilize este documento do Word completo para resolver as questões e resolva as questões nos espaços destinados para as resoluções Ou seja entregue esse documento com as questões resolvidas de forma organizada e detalhada Quanto mais organizado detalhado e correto estiver as resoluções melhores notas serão atribuídas Quanto mais completo estiver o desenvolvimento resolução e a organização das respostas maior será a nota atribuída as suas resoluções Respostas desorganizadas e sem resolução não serão aceitas Resoluções que não atenderem a esses critérios serão anuladas Por tentativa de fraude cola identificação falsa uso de IA etc a prova será sujeita a avaliação zero Não serão aceitos documentos enviados após a data limite Boa prova a todos Bhaskara b 24 ac e xb 2a Vértice xvb 2a e yv 4a Forma fatorada da função do 2o grau yaxx xx Q1 Valor 30 Um hospital de uma cidade do interior do Estado de São Paulo realiza em seu pronto socorro atendimentos relacionados a problemas respiratórios infantis No ano de 2017 foi realizado um total de 3112 atendimentos e em 2023 foi realizado um total de 3742 atendimentos Considerando que esse crescimento seja linear quantos atendimentos serão realizados no ano de 2042 É necessário apresentar a resolução da questão de forma organizada o desenvolvimento que justifica a resposta final Questões que apresentarem apenas a resposta final não serão consideradas Q2 Valor 30 No Norte e no Nordeste do nosso país há a maior incidência de raios solares Por essa razão observase que o crescimento do uso da energia solar tornase um meio energético sustentável tanto economicamente como ecologicamente Dados da ANEEL apresenta que a cidade de Teresina no Piauí produziu no ano de 2023 aproximadamente 277 MW de energia utilizandose de placas solares residenciais Supondo que o ritmo de crescimento da produção da energia solar em Terezina cresça a um ritmo de 492 ao ano determine o ano no qual a produção de energia solar alcançará o valor aproximado de 500 MW Utilize 4 casas decimais nos seus cálculos É necessário apresentar a resolução da questão de forma organizada o desenvolvimento que justifica a resposta final Questões que apresentarem apenas a resposta final não serão consideradas Q3 Valor 40 Uma pequena empresa constrói e vende pequenas placas solares para uso residencial Essa empresa vende cada placa a um valor 800 reais Sabendo que o custo de produção diário na produção dessas placas é dado pela função C x 18 x 23196 x208656 onde x representa o número de placas diárias produzidas e vendidas Determine a quais os valores que devem variar x para que não haja prejuízo na venda desse produto L x0 É necessário apresentar a resolução da questão de forma organizada o desenvolvimento que justifica a resposta final Questões que apresentarem apenas a resposta final não serão consideradas b calcule o valor de x para que o lucro seja máximo e determine esse lucro máximo É necessário apresentar a resolução da questão de forma organizada o desenvolvimento que justifica a resposta final Questões que apresentarem apenas a resposta final não serão consideradas Global Solution Resolução Diferenciada de Problemas Nome RM Turma Instruções A realização da GS é individual O aluno deve estar identificados no documento de entrega da prova com RM e nome completo e turma Resposta sem resolução não será considerada Resolva as questões no espaço a isso destinado e organizadamente Digitem as suas respostas utilizando o Editor de Equações do Word a fim de escrever as expressões matemáticas Digite as suas resoluções de forma organizada e clara Utilize este documento do Word completo para resolver as questões e resolva as questões nos espaços destinados para as resoluções Ou seja entregue esse documento com as questões resolvidas de forma organizada e detalhada Quanto mais organizado detalhado e correto estiver as resoluções melhores notas serão atribuídas Quanto mais completo estiver o desenvolvimento resolução e a organização das respostas maior será a nota atribuída as suas resoluções Respostas desorganizadas e sem resolução não serão aceitas Resoluções que não atenderem a esses critérios serão anuladas Por tentativa de fraude cola identificação falsa uso de IA etc a prova será sujeita a avaliação zero Não serão aceitos documentos enviados após a data limite Boa prova a todos Bhaskara b 24 ac e xb 2a Vértice xvb 2a e yv 4a Forma fatorada da função do 2o grau yaxx xx Q1 Valor 30 Um hospital de uma cidade do interior do Estado de São Paulo realiza em seu pronto socorro atendimentos relacionados a problemas respiratórios infantis No ano de 2017 foi realizado um total de 3112 atendimentos e em 2023 foi realizado um total de 3742 atendimentos Considerando que esse crescimento seja linear quantos atendimentos serão realizados no ano de 2042 Para modelar o crescimento linear dos atendimentos definimos o ano como variável Y e a quantidade de atendimentos como função de 1º grau A Y mY b onde m é o coeficiente angular taxa de crescimento anual e b o coeficiente linear valor no ano zero do modelo Sabemos que A 2017 3112 A 20233742 Para encontrar m calculamos a variação de atendimentos dividida pelo número de anos Δ A37423112630 ΔY 202320176 m Δ A ΔY 630 6 105 Em seguida determinamos b usando um dos pontos Tomando A20173112 m 20171052017105200010517 2100001785211785 b3112211785208673 Logo a função que descreve o número de atendimentos é A Y 105Y 208673 Para o ano de 2042 basta substituir Y2042 m 204210520421052000 105 422100004 410214 410 A 2042214 4102086735737 Portanto sob o crescimento linear assumido o número de atendimentos no ano de 2042 será 5737 atendimentos Q2 Valor 30 No Norte e no Nordeste do nosso país há a maior incidência de raios solares Por essa razão observase que o crescimento do uso da energia solar tornase um meio energético sustentável tanto economicamente como ecologicamente Dados da ANEEL apresenta que a cidade de Teresina no Piauí produziu no ano de 2023 aproximadamente 277 MW de energia utilizandose de placas solares residenciais Supondo que o ritmo de crescimento da produção da energia solar em Terezina cresça a um ritmo de 492 ao ano determine o ano no qual a produção de energia solar alcançará o valor aproximado de 500 MW Utilize 4 casas decimais nos seus cálculos Para modelar o crescimento da produção de energia solar em Teresina usamos uma função exponencial de 1º grau em variável t anos após 2023 P tP0 1r t onde P027700MW é a produção em 2023 e r 00492 é a taxa de crescimento anual Queremos achar t tal que P t50000MW Começamos escrevendo 5000027700 100492 t Dividindo ambos os lados por 27700 50000 2770010492 t No numerador fazemos 2 7 9 mas consideramos o valor completo 50000 27700180578014 com 8 casas para demonstrar Embora apenas 4 casas sejam exigidas nos cálculos finais mantemos 8 para clareza Para resolver em t aplicamos logaritmo em ambos os lados log 180578014 log 10492 t log 180578014 t log 10492 Isolando t tlog 180578014 log 10492 Calculando cada logaritmo e mantendo 4 casas decimais finais ln 180578014 025667ln 1049200209 t025667 00209 122968 anos Isto significa que a partir de 2023 serão necessários cerca de 122968 anos para alcançar 500 MW Somando a fração de anos 202312296820352968 A produção atinge 500 MW no início do ano de 2035 aproximadamente em abril pois 02968123562 meses Logo o ano em que a produção ultrapassará 500 MW será 2035 Q3 Valor 40 Uma pequena empresa constrói e vende pequenas placas solares para uso residencial Essa empresa vende cada placa a um valor 800 reais Sabendo que o custo de produção diário na produção dessas placas é dado pela função C x 18 x 23196 x208656 onde x representa o número de placas diárias produzidas e vendidas Determine a quais os valores que devem variar x para que não haja prejuízo na venda desse produto L x0 Para esta empresa definimos primeiro a função lucro Lx como receita menos custo A receita diária ao vender x placas a R 800 cada é R x 800 x O custo diário é dado por C x 18 x 23196 x208656 Logo L xR x C x 800 x18 x 23196 x20865618 x 23996 x208656 Para resolver 18 x 23996 x2086560 calculamos as raízes da equação 18 x 23996 x2086560 O discriminante Δ é Δb 24 ac3996 2418 208656 Primeiro 3996 215968016418 208656 15023232 logo Δ1596801615023232944784 Δ972 As raízes são xb Δ 2a 3996972 2 18 x13996972 36 3024 36 84 x23996972 36 4968 36 138 Como o coeficiente de x 2 é negativo L x0 exatamente entre as raízes Portanto não há prejuízo se 84 x138 b calcule o valor de x para que o lucro seja máximo e determine esse lucro máximo Uma parábola de concavidade voltada para baixo alcança o máximo no vértice cuja abscissa é xvb 2a 3996 2 18 3996 36 111 Substituindo em Lx L 11118 111 23996 111208656 Calculando 111 2123211812321221778 399611144355622177844355620865613122 Logo o lucro máximo diário é R 13 122 quando se produzem e vendem x111 placas Lmax13122 rea is Global Solution Resolução Diferenciada de Problemas Nome RM Turma Instruções A realização da GS é individual O aluno deve estar identificados no documento de entrega da prova com RM e nome completo e turma Resposta sem resolução não será considerada Resolva as questões no espaço a isso destinado e organizadamente Digitem as suas respostas utilizando o Editor de Equações do Word a fim de escrever as expressões matemáticas Digite as suas resoluções de forma organizada e clara Utilize este documento do Word completo para resolver as questões e resolva as questões nos espaços destinados para as resoluções Ou seja entregue esse documento com as questões resolvidas de forma organizada e detalhada Quanto mais organizado detalhado e correto estiver as resoluções melhores notas serão atribuídas Quanto mais completo estiver o desenvolvimento resolução e a organização das respostas maior será a nota atribuída as suas resoluções Respostas desorganizadas e sem resolução não serão aceitas Resoluções que não atenderem a esses critérios serão anuladas Por tentativa de fraude cola identificação falsa uso de IA etc a prova será sujeita a avaliação zero Não serão aceitos documentos enviados após a data limite Boa prova a todos Bhaskara 𝑏2 4𝑎𝑐 e 𝑥 𝑏 2𝑎 Vértice 𝑥𝑣 𝑏 2𝑎 e 𝑦𝑣 4𝑎 Forma fatorada da função do 2o grau 𝑦 𝑎𝑥 𝑥𝑥 𝑥 Q1 Valor 30 Um hospital de uma cidade do interior do Estado de São Paulo realiza em seu pronto socorro atendimentos relacionados a problemas respiratórios infantis No ano de 2017 foi realizado um total de 3112 atendimentos e em 2023 foi realizado um total de 3742 atendimentos Considerando que esse crescimento seja linear quantos atendimentos serão realizados no ano de 2042 Para modelar o crescimento linear dos atendimentos definimos o ano como variável Y e a quantidade de atendimentos como função de 1º grau 𝐴𝑌 𝑚 𝑌 𝑏 onde m é o coeficiente angular taxa de crescimento anual e b o coeficiente linear valor no ano zero do modelo Sabemos que 𝐴2017 3112 𝐴2023 3742 Para encontrar m calculamos a variação de atendimentos dividida pelo número de anos Δ𝐴 3742 3112 630 Δ𝑌 2023 2017 6 𝑚 Δ𝐴 Δ𝑌 630 6 105 Em seguida determinamos b usando um dos pontos Tomando 𝐴2017 3112 𝑚 2017 105 2017 105 2000 105 17 210 000 1 785 211 785 𝑏 3112 211 785 208 673 Logo a função que descreve o número de atendimentos é 𝐴𝑌 105 𝑌 208 673 Para o ano de 2042 basta substituir Y2042 𝑚 2042 105 2042 105 2000 105 42 210000 4 410 214 410 𝐴2042 214 410 208 673 5 737 Portanto sob o crescimento linear assumido o número de atendimentos no ano de 2042 será 5 737 atendimentos Q2 Valor 30 No Norte e no Nordeste do nosso país há a maior incidência de raios solares Por essa razão observase que o crescimento do uso da energia solar tornase um meio energético sustentável tanto economicamente como ecologicamente Dados da ANEEL apresenta que a cidade de Teresina no Piauí produziu no ano de 2023 aproximadamente 277 MW de energia utilizandose de placas solares residenciais Supondo que o ritmo de crescimento da produção da energia solar em Terezina cresça a um ritmo de 492 ao ano determine o ano no qual a produção de energia solar alcançará o valor aproximado de 500 MW Utilize 4 casas decimais nos seus cálculos Para modelar o crescimento da produção de energia solar em Teresina usamos uma função exponencial de 1º grau em variável t anos após 2023 𝑃𝑡 𝑃0 1 𝑟𝑡 onde 𝑃0 27700𝑀𝑊 é a produção em 2023 e r 00492 é a taxa de crescimento anual Queremos achar t tal que 𝑃𝑡 50000𝑀𝑊 Começamos escrevendo 50000 27700 1 00492𝑡 Dividindo ambos os lados por 27700 50000 27700 10492𝑡 No numerador fazemos 2 7 9 mas consideramos o valor completo 50000 27700 180578014 com 8 casas para demonstrar Embora apenas 4 casas sejam exigidas nos cálculos finais mantemos 8 para clareza Para resolver em t aplicamos logaritmo em ambos os lados log180578014 log10492𝑡 log180578014 𝑡 log10492 Isolando t 𝑡 log180578014 log10492 Calculando cada logaritmo e mantendo 4 casas decimais finais ln180578014 025667 ln10492 00209 𝑡 025667 00209 122968 anos Isto significa que a partir de 2023 serão necessários cerca de 122968 anos para alcançar 500 MW Somando a fração de anos 2023 122968 20352968 A produção atinge 500 MW no início do ano de 2035 aproximadamente em abril pois 02968 12 3562 meses Logo o ano em que a produção ultrapassará 500 MW será 2035 Q3 Valor 40 Uma pequena empresa constrói e vende pequenas placas solares para uso residencial Essa empresa vende cada placa a um valor 800 reais Sabendo que o custo de produção diário na produção dessas placas é dado pela função 𝑪𝒙 𝟏𝟖𝒙𝟐 𝟑𝟏𝟗𝟔𝒙 𝟐𝟎𝟖𝟔𝟓𝟔 onde 𝑥 representa o número de placas diárias produzidas e vendidas Determine a quais os valores que devem variar x para que não haja prejuízo na venda desse produto 𝑳𝒙 𝟎 Para esta empresa definimos primeiro a função lucro Lx como receita menos custo A receita diária ao vender x placas a R 800 cada é 𝑅𝑥 800 𝑥 O custo diário é dado por 𝐶𝑥 18𝑥2 3196𝑥 208656 Logo 𝐿𝑥 𝑅𝑥 𝐶𝑥 800 𝑥 18𝑥2 3196𝑥 208656 18𝑥2 3996𝑥 208656 Para resolver 18𝑥2 3996𝑥 208656 0 calculamos as raízes da equação 18𝑥2 3996𝑥 208656 0 O discriminante Δ é Δ 𝑏2 4𝑎𝑐 39962 4 18 208656 Primeiro 39962 15968016 4 18 208656 15023232 logo Δ 15968016 15023232 944784 Δ 972 As raízes são 𝑥 𝑏 Δ 2𝑎 3996 972 2 18 𝑥1 3996 972 36 3024 36 84 𝑥2 3996 972 36 4968 36 138 Como o coeficiente de 𝑥2 é negativo 𝐿𝑥 0 exatamente entre as raízes Portanto não há prejuízo se 84 𝑥 138 b calcule o valor de x para que o lucro seja máximo e determine esse lucro máximo Uma parábola de concavidade voltada para baixo alcança o máximo no vértice cuja abscissa é 𝑥v 𝑏 2𝑎 3996 2 18 3996 36 111 Substituindo em Lx 𝐿111 18 1112 3996 111 208656 Calculando 1112 12321 18 12321 221778 3996 111 443556 221778 443556 208656 13122 Logo o lucro máximo diário é R 13 122 quando se produzem e vendem 𝑥 111 placas 𝐿𝑚𝑎𝑥 13122 reais