Exercícios Resolvidos de Topografia - Trilateração e Cálculos de Azimute

Universidade Federal de Pelotas UFPEL Faculdade de Agronomia Eliseu Maciel FAEM Departamento de Engenharia Rural DER Disciplina de Topografia I Curso de Agronomia Professora Suelen Cristina Movio Huinca Exercícios de Revisão Unidade IX 1 Dada a figura abaixo e caderneta de campo de um levantamento por trilateração calcule o que se pede a O perímetro e a área Perímetro aT1aT2aT3bT3cT1 8660662015652831011402 50644 mm Área total Fórmula do semiperímetro Triângulos a b c Semiperímetro Área Triângulo 1 8660 15339 11402 17701 487867 Triângulo 2 6620 15339 12966 17463 425188 Triângulo 3 15652 8310 12966 18464 538383 Área total m² 1451439 b Os ângulos faltantes formados pelos alinhamentos Ré Estação Vante Ângulo Horizontal P5 P1 P2 B 98491575 P1 P2 P5 C 47160669 P2 P5 P1 A 33543756 P5 P2 P3 C 56521667 P2 P3 P5 B 97485469 P3 P5 P2 A 25184864 P5 P3 P4 B 32023919 P3 P4 P5 C 55524192 P4 P5 P3 A 92043889 Lei dos cossenos A cos¹ b² c² a² 2 b c B cos¹ a² c² b² 2 a c C cos¹ b² c² a² 2 b c Universidade Federal de Pelotas UFPEL Faculdade de Agronomia Eliseu Maciel FAEM Departamento de Engenharia Rural DER Disciplina de Topografia I Curso de Agronomia Professora Suelen Cristina Movio Huinca Exercícios de Revisão Unidade IX 2 c Os ângulos faltantes formados pelos alinhamentos para compor a poligonal fechada Ré Estação Vante Ângulo Horizontal P5 P1 P2 B T1 98º491575 98º4916 P1 P2 P3 C T1 CT2 47º160669 56º521667 104º0823 P2 P3 P4 BT2 BT3 97º485469 32º023919 129º51338 129º5134 P3 P4 P5 C T3 55º524192 55º5242 P4 P5 P1 A T3 AT2AT1 92º043889 25º184864 33º543756 151º1805 Somatório 540º Teórico n2 x 180º 52 x 180º 540º d O azimute formado pelos alinhamentos sabendo que o azimute P1P2 é 180º Alinhamentos Azimutes P1P2 180º P2P3 180º 104º0823 180º 104º0823 P3P4 104º0823129º5134180º 53º5354 P4P5 53º5954 55º5242180º 289º5236 P5P1 289º5236151º1805180º 261º1041 Recalcular P1P2 261º104198º4919 180º 180º0000 180o 1 1 i i i i i A AZ AZ 2 Dada a figura abaixo e caderneta de campo de um levantamento por irradiação calcule o que se pede Caderneta de campo Ré Estação Vante Ângulo Horizontal DH m 1 P1 2 88º4608 5010 2 P1 3 92º4553 6000 3 P1 4 60º0421 2995 4 P1 5 33º2542 8890 5 P1 1 85º0356 5210 Universidade Federal de Pelotas UFPEL Faculdade de Agronomia Eliseu Maciel FAEM Departamento de Engenharia Rural DER Disciplina de Topografia I Curso de Agronomia Professora Suelen Cristina Movio Huinca Exercícios de Revisão Unidade IX a O ângulo horizontal corrigido Ré Estação Vante Ângulo Horizontal Correção angular Ângulo Horizontal Corrigido 1 P1 2 884608 00112 884456 2 P1 3 924553 00112 924441 3 P1 4 600421 00112 600309 4 P1 5 332542 00112 332430 5 P1 1 850356 00112 850244 Somatório 3600600 00600 3600000 b As distâncias entre os alinhamentos que compõe a área a b C c DH m DH 12 5210 5010 88º 44 5600 7149 DH 23 5010 6000 92º 44 4100 7999 DH 34 6000 2995 60º 03 0900 5199 DH 45 2995 8890 33º 24 3000 6599 DH 51 8890 5210 85º 02 4400 9908 Lei dos cossenos c² a² b² 2 a b cosC c O perímetro e a área total formada pelos 5 vértices Perímetro DH 12 DH 23 DH 34 DH 45 DH 51 7149 7999519965999908 36854 m Triângulos a b C Área m² T1 5210 5010 88º 44 5600 130479 T2 5010 6000 92º 44 4100 150128 T3 6000 2995 60º 03 0900 77854 T4 2995 8890 33º 24 3000 73300 T5 8890 5210 85º 02 4400 230719 área total 662480 Cálculo com o teorema das áreas A a b senC 2 Triângulo a b c Semiperímetro Área m² T1 5210 5010 7149 8684 130479 T2 5010 6000 7999 9504 150128 T3 6000 2995 5199 7097 77854 T4 2995 8890 6599 9242 73300 T5 8890 5210 9908 12004 230719 área total 662480 Cálculo com a fórmula de Heron A p p a p b p c a Os azimutes dos alinhamentos sabendo que o azimute P11 é 190º AZP12 AZP11 Ângulo Horizontal 1P12 AZP12 190 884456 2784456 AZP13 AZP12 Ângulo Horizontal 2P13 AZP13 2784456 924441 3712937 360º 112937 Universidade Federal de Pelotas UFPEL Faculdade de Agronomia Eliseu Maciel FAEM Departamento de Engenharia Rural DER Disciplina de Topografia I Curso de Agronomia Professora Suelen Cristina Movio Huinca Exercícios de Revisão Unidade IX AZP14 AZP13 Ângulo Horizontal 3P14 AZP14 112937 600309 713246 AZP15 AZP14 Ângulo Horizontal 4P15 AZP15 713246 332430 1045716 AZP11 AZP15 Ângulo Horizontal 5P11 AZP11 1045716 850244 190º 3 Dada a figura abaixo e caderneta de campo de um levantamento por irradiação onde os ângulos horizontais já foram corrigidos do erro angular calcule os azimutes dos alinhamentos sabendo que as coordenadas dos pontos são P1 00 e P2 15368021831490 e a DH P1 para P2 Os azimutes a serem calculados são os que são formados pelos alinhamentos irradiados a partir de P1 e a partir de P2 Caderneta de campo Ré Estação Vante Ângulo Horizontal DH m 1 P1 2 633117 182910 2 P1 3 805155 336115 3 P1 P2 295809 P2 P1 6 961158 223030 6 P1 1 892641 250000 P1 P2 3 1071411 175796 3 P2 4 662506 267213 4 P2 5 730444 165086 5 P2 6 730905 344122 6 P2 P1 400654 a Calcular o azimute inicial a partir das coordenadas dos pontos P1 e P2 P1 00 e P2 15368021831490 1º Análise do quadrante a partir do cálculo das projeções X e Y Proj X XP2XP1 1536802 0 1536802 Proj Y YP2YP1 1831490 0 1861490 1º QUADRANTE Proj X e Proj Y 2º Calcula o Rumo RU tg¹ Proj XProj Y RU tg¹ 15368021861490 RU 39595996 400000 3º Transformar rumo em azimute 1º Quadrante Rumo Azimute Azimute 40º0000 AZ P1P2 40º Universidade Federal de Pelotas UFPEL Faculdade de Agronomia Eliseu Maciel FAEM Departamento de Engenharia Rural DER Disciplina de Topografia I Curso de Agronomia Professora Suelen Cristina Movio Huinca Exercícios de Revisão Unidade IX Cálculo dos azimutes dos alinhamentos pelo método de irradiação AZEV AZER Ângulo horizontal R E V Para calcular os alinhamentos irradiados a partir do P1 sabendo que o azimute inicial é o azimute P1 para P2 buscamos na caderneta de campo e visualizamos também no croqui o ângulo no qual a ré é P2 e a estação é P1 Ângulo horizontal P2P16 Caderneta de campo Ré Estação Vante Ângulo Horizontal DH m 1 P1 2 63º3117 182910 2 P1 3 80º5155 336115 3 P1 P2 29º5809 P2 P1 6 96º1158 223030 6 P1 1 89º2641 250000 AZP16 AZP1P2 Ângulo horizontal P2 P1 6 AZP16 40º 96º1158 136º1158 AZP11 AZP16 Ângulo horizontal 6 P1 1 AZP11 136º1158 89º2641 225º3839 AZP12 AZP11 Ângulo horizontal 1 P1 2 AZP12 225º3839 63º3117 289º0956 AZP13 AZP12 Ângulo horizontal 2 P1 3 AZP13 289º0956 80º5155 370º0151 360º 10º0151 AZP1P2 AZP13 Ângulo horizontal 3 P1 P2 AZP1P2 10º0151 29º5809 40º0000 Agora temos que calcular os azimutes dos alinhamentos irradiados a partir de P2 para isso precisamos do azimute P2P1 Para calcular esse azimute sabemos que o azimute P1P2 é 40º Portanto o azimute P2P1 Azimute P1P2180º 220º Caderneta de campo Ré Estação Vante Ângulo Horizontal DH m P1 P2 3 107º1411 175796 3 P2 4 66º2506 267213 4 P2 5 73º0444 165086 5 P2 6 73º0905 344122 6 P2 P1 40º0654 AZP1P2 AZP1P2 180º AZP16 40º 180º 220º AZP23 AZP1P2 Ângulo horizontal P1 P2 3 AZP23 220º 107º1411 327º1411 AZP24 AZP23 Ângulo horizontal 3 P2 4 AZP24 327º1411 66º2506 393º3917 360º 33º3917 AZP25 AZP24 Ângulo horizontal 4 P2 5 AZP25 33º3917 73º0444 106º4401 AZP26 AZP25 Ângulo horizontal 5 P2 6 AZP26 106º4401 73º0905 179º5306 AZP2P1 AZP26 Ângulo horizontal 6 P2 P1 AZP1P2 179º5306 40º0654 220º0000 A distância horizontal P1 para P2 é calculada a partir das coordenadas desses dois pontos P1 00 e P2 15368021831490 a² b² c² DHP1P2 Proj X² Proj Y² DHP1P2 XP2 XP1² YP2 YP1² DHP1P2 1536802 0² 1831490 0² DHP1P2 239084 m Universidade Federal de Pelotas UFPEL Faculdade de Agronomia Eliseu Maciel FAEM Departamento de Engenharia Rural DER Disciplina de Topografia I Curso de Agronomia Professora Suelen Cristina Movio Huinca Exercícios de Revisão Unidade IX 4 Dada a figura abaixo e caderneta de campo de um levantamento por interseção Calcule o que se pede Caderneta de campo Ré Estação Vante Ângulo horizontal DH m P1 P1 P2 00000 5195 P2 P1 A 3125409 P2 P1 B 319º4929 P1 P2 A 611701 P1 P2 B 915548 a A distância horizontal entre os pontos de estação e os vértices da cerca Lei dos senos Ângulo B 3603125409 47º0551 Ângulo C 180º Ângulo A Ângulo B 180º 61º170147º0551 71º3708 asen 61º1701 5195sen 71º3708 DH P1A a 4801 m bsen 47º0551 5195sen 71º3708 DH P2A b 4010 m Lei dos senos Ângulo B 360º319º4929 40º1031 Ângulo C 180º Ângulo A Ângulo B 180º 91º554840º1031 47º5341 asen 91º5548 5195sen 47º5341 DH P1B a 6982 m bsen 40º1031 5195sen 47º5341 DH P2B b 4517 m b O azimute dos alinhamentos da estação para os vértices da cerca sabendo que o azimute P1P2 é 155º AZP1P2 155º AZP2P1 155º 180º 335º Universidade Federal de Pelotas UFPEL Faculdade de Agronomia Eliseu Maciel FAEM Departamento de Engenharia Rural DER Disciplina de Topografia I Curso de Agronomia Professora Suelen Cristina Movio Huinca Exercícios de Revisão Unidade IX Caderneta de campo Ré Estação Vante Ângulo horizontal Azimutes P2 P1 A 312º5409 P2 P1 B 319º4929 AZEV AZER Angulo Horizontal R E V AZP1A AZP1P2 Angulo Horizontal P2 P1 A AZP1A 155º 312º5409 467º5409 360º 107º5409 AZP1B AZP1P2 Angulo Horizontal P2 P1 B AZP1B 155º 319º4929 474º4929 360º 114º4929 Caderneta de campo Ré Estação Vante Ângulo horizontal DH m P1 P2 A 61º1701 P1 P2 B 91º5548 AZEV AZER Angulo Horizontal R E V AZP2A AZP2P1 Angulo Horizontal P1 P2 A AZP2A 335º 61º1701 396º1701 360º 36º1701 AZP2B AZP2P1 Angulo Horizontal P1 P2 B AZP2B 335º 91º5548 426º5548 360º 66º5548 Universidade Federal de Pelotas UFPEL Faculdade de Agronomia Eliseu Maciel FAEM Departamento de Engenharia Rural DER Disciplina de Topografia I Curso de Agronomia Professora Suelen Cristina Movio Huinca Exercícios de Revisão Unidade IX 8 5 Dada a figura abaixo e caderneta de campo de um levantamento planimétrico misto perimétrico irradiação e intersecção a vante calcule o que se pede Ré Estação Vante Ângulo horizontal DH m E4 E1 E2 102º3131 5410 E1 E2 E3 63º2807 4020 E2 E3 E4 120º3606 4480 E3 E4 E1 73º2416 3990 E2 E1 1A 38º1928 9000 1A E1 1B 132º4830 5210 E3 E2 2A 61º1803 4900 2A E2 1A 125º4518 E4 E3 3A 44º0432 8590 2A E3 E2 68º4805 4020 3A E4 E3 73º3634 4480 E1 E4 1B 54º5235 1B E4 3A 6228 Visualmente pelo croqui e observando a caderneta de campo podemos verificar que o método de caminhamento perimétrico foi aplicado no levantamento dos dados da poligonal formado pelos vértices E1E2E3 e E4 E os demais métodos para levantar os vértices 1A 2A 3A e 1B Como temos um método de levantamento planimétrico aplicado que permite a verificação do erro angular o método de caminhamento perimétrico devemos somar os ângulos horizontais medidos para verificar se tem erro Faz se a soma se o somatório não for igual a 360º temse um erro angular Nesse exercício não há erro angular Universidade Federal de Pelotas UFPEL Faculdade de Agronomia Eliseu Maciel FAEM Departamento de Engenharia Rural DER Disciplina de Topografia I Curso de Agronomia Professora Suelen Cristina Movio Huinca Exercícios de Revisão Unidade IX a Calcule os ângulos e as distâncias faltantes que possibilitam o cálculo da área total e do perímetro Para calcular a área divide a figura em triângulos Triângulo 1 Falta a DH E2E4 Cálculo da DH E2E4 Aplica a lei dos cossenos onde se conhece 2 lados e o ângulo formado por eles a5410 b3990 e C 102º3131 c²a²b²2 x a x b x cosC c²5410² 3990²2 x 5410 x 3990 x cos102º3131 c7386 m Cálculo da área do triângulo 1 Teorema das áreas A a x b x sen C 2 A 5410x3990xsen 102º3131 2 105361 m² Triângulo 2 a4480 b4020 e C 120º3606 Cálculo da área do triângulo 2 A 4480 x 4020 x sen 120º3606 2 A 77507 m² Triângulo 3 Cálculo da DH E21A a9000 b5410 e C 38º1928 c²9000² 5410²2 x 9000 x 5410 x cos38º1928 c5820 m Cálculo da área do triângulo 3 A 9000 x 5410 x sen 38º1928 2 A 150967 m² Triângulo 4 Cálculo da DH 1A2A a5820 b4900 e C 125º4518 c²5820² 4900²2 x 5820 x 4900 x cos125º4518 c9550 m Cálculo da área do triângulo 4 A 5820 x 4900 x sen 125º4518 2 A 115715 m² Triângulo 5 a4020 b4900 e C 61º1803 Cálculo da área do triângulo 5 A 4020x4900xsen 61º1803 2 86391 m² OU a4020 b4610 e C 68º4805 A 4020x4610xsen 68º4805 2 86391 m² Universidade Federal de Pelotas UFPEL Faculdade de Agronomia Eliseu Maciel FAEM Departamento de Engenharia Rural DER Disciplina de Topografia I Curso de Agronomia Professora Suelen Cristina Movio Huinca Exercícios de Revisão Unidade IX Para calcular a área divide a figura em triângulos Triângulo 6 Falta a DH E2E4 Cálculo do ângulo 3AE32A C C360º 68º4805120º360644º0432 126º3117 Cálculo da DH 2A3A c a4610 b8590 e C 126º3117 c²4610² 8590²2 x 4610 x 8590 x cos126º3117 c11924 m Cálculo da área do triângulo 6 A 4610x8590xsen 126º3117 2 159119 m² Triângulo 7 a8590 b4480 e C 44º0432 Cálculo da área do triângulo 7 A 8590 x 4480 x sen 44º0432 2 A 133846 m² Antes de calcular os dados do Triângulo 8 necessitamos dos dados do triângulo 9 portanto vamos calcular o triângulo 9 Triângulo 9 Ângulo 1BE1E4 C C360º102º313138º1928132º4830 86º2031 Cálculo da DH E41B a5210 b3990 e C 86º2031 c² 5210² 3990² 2 x 5210 x 3990 x cos86º2031 c 6357 m Cálculo da área do triângulo 9 A 5210 x 3990 x sen 86º2031 2 A 103728 m² Triângulo 8 Cálculo do ângulo 1BEA3A C C360º 73º363473º241654º5235 158º0635 a6357 b6210 e C158º0635 Cálculo da DH 3A1B c²6357² 6210²2 x 6357 x 6210 x cos158º0635 c12338 m Cálculo da área do triângulo 8 A 6357 x 6210 x sen 158º0635 2 A73591 m² Triângulo 10 a5210 b9000 e C 132º4830 Cálculo da DH 1B1A c² 5210² 9000² 2 x 5210 x 9000 x cos132º4830 c 13110 m Cálculo da área do triângulo 5 A 521x9000xsen 132º4830 2 172000 m² Universidade Federal de Pelotas UFPEL Faculdade de Agronomia Eliseu Maciel FAEM Departamento de Engenharia Rural DER Disciplina de Topografia I Curso de Agronomia Professora Suelen Cristina Movio Huinca Exercícios de Revisão Unidade IX Perímetro DH 1A2A DH 2A3A DH 3A1B DH 1B1A 9550 11924 12338 13110 46922 m Área Total AT1AT2AT3AT3AT4AT5AT6AT7AT8AT9AT10 105361 77507 150967 115715 86391 159119 133846 103728 73591 172000 1178225 m² b Calcule os azimutes dos alinhamentos sabendo que o azimute E1E2 é 165º Iniciamos calculando os azimutes dos alinhamentos da poligonal formada pelo caminhamento perimétrico Sentido de caminhamento antihorário ângulos internos Ré Estação Vante Ângulo horizontal Azimutes E4 E1 E2 102º3131 165º0000 E1 E2 E3 63º2807 48º2807 E2 E3 E4 120º3606 349º0413 E3 E4 E1 73º2416 242º2829 AZE1E2 165º0000 AZE2E3 165º0000 63º2807 180º 48º2807 AZE3E4 165º0000 63º2807 180º 349º0413 AZE4E1 349º0413 73º2416180º 242º2829 AZE1E2 242º2829102º3131180º 165º0000 Universidade Federal de Pelotas UFPEL Faculdade de Agronomia Eliseu Maciel FAEM Departamento de Engenharia Rural DER Disciplina de Topografia I Curso de Agronomia Professora Suelen Cristina Movio Huinca Exercícios de Revisão Unidade IX Cálculo dos azimutes dos demais alinhamentos obidos pelo método de irradiação e intersecção Azimute E33A Azimute E11AAzimute E11B Azimute E22A Azimute E21A Azimute E32A Azimute E41B Azimute E41B Azimute E33AAzE3E4Ângulo Horizontal E4E33A AzE33A349º041344º0432393º0845360º33º0845 Azimute E32A AzE32AAzE33AÂngulo Horizontal 3AE32A AzE32A33º0845126º3117159º4002 Azimute E41B AzE41BAzE4E1Ângulo Horizontal E1E41B AzE41B242º282954º5235297º2104 Azimute E41B AzE41BAzE41BÂngulo Horizontal 1BE43A AzE41B297º2104158º0635455º2739360º95º2739 Ré Estação Vante Ângulo Horizontal Azimutes E2 E1 1A 38º1928 203º1928 1A E1 1B 132º4830 336º0758 E3 E2 2A 61º1803 109º4610 2A E2 1A 125º4518 235º3128 E4 E3 3A 44º0432 33º0845 3A E3 2A 126º3117 159º4002 E1 E4 1B 54º5235 295º4530 1B E4 3A 158º0635 95º2739 AZEVAZERAngulo Horizontal REV AZE11AAZE1E2Ângulo Horizontal E2E11A AZE11A165º38º1928203º1928 AZE11BAZE11AÂngulo Horizontal 1AE11B AZE11B203º1928132º4830336º0758 AZE22AAZE2E3Ângulo Horizontal E3E22A AZE22A48º280761º1803109º4610 AZE21AAZE22AÂngulo Horizontal 2AE21A AZE21A109º4610125º4518235º3128 12