Exercicios Resolvidos - Metodo das Projecoes Ortogonais e Vetores

Atividade 01 Método das projeções ortogonais Assim como qualquer número real pode ser obtido a partir da soma de outros dois números qualquer vetor pode ser obtido a partir da soma de outros dois vetores ortogonais denominados componentes do vetor A vantagem em trabalhar com vetores ortogonais é a possibilidade de aplicar diretamente o teorema de Pitágoras Componentes ortogonais do vetor As componentes e também são vetores A componente tem direção do eixo e a tem direção do eixo Contudo para o caso de vários vetores podemos adicionar vetorialmente todas as componentes na direção do eixo e também separadamente obter a soma de todas as componentes na direção do eixo usando operações algébricas Chamamos de projeção a medida algébrica do segmento que a componente determina no eixo de acordo com os seguintes critérios se o sentido da componente concorda com a orientação do eixo a projeção é positiva se o sentido da componente for contrário à orientação do eixo a projeção é negativa A soma das projeções no eixo corresponde à projeção da resultante nesse eixo o que também acontece no eixo Determinamos assim a soma das projeções no eixo e a soma das projeções no eixo Portanto o módulo do vetor soma pode ser obtido pelo teorema de Pitágoras Exemplo para estudo de caso Em determinado intervalo de tempo durante uma partida de futebol os deslocamentos de um jogador foram representados por vetores Primeiro ele se deslocou 4m para frente depois 10m para esquerda em seguida 5m em direção inclinada 6m para trás e finalmente 2m para direita A figura a seguir representa esses deslocamentos utilizando vetores com uma origem comum O módulo de cada um desses vetores está indicado na figura a Considere e e determine usando o método das projeções b Determine os componentes ortogonais nas direções do eixo e de cada um dos deslocamentos c Represente o vetor correspondente à soma de todos esses deslocamentos utilizando as projeções obtidas Terminada essa sequência de deslocamentos a quantos metros estará o jogador do ponto de partida Atividade 02 O conceito do momento de uma força é extremamente importante no projeto de engenharia O seu conhecimento é necessário nas determinações dos esforços internos sobre uma estrutura metálica ou estrutura de concreto Este conceito está diretamente ligado a decomposição das forças grandeza vetorial que atuam no sistema O momento de uma força é a capacidade dessa força em fazer girar um objeto Consideremos uma força de intensidade aplicada num ponto A de uma barra que pode girar livremente em torno do ponto O pólo conforme figura O momento da força em relação a um ponto fixo é o produto vetorial da força pelo vetor distância do ponto à reta suporte da força Ponto 0 polo do momento Momento da força F em relação ao ponto Dado uma viga engastada semelhante a ilustrada na imagem acima A viga é fixa no lado esquerdo e livre no direito Na borda livre existe uma força de intensidade 10 N aplicada de cima para baixo A viga tem comprimento de 20 metros Conhecendo o sistema ordenado apresentado abaixo defina a A expressão vetorial da força b A expressão vetorial do vetor deslocamento c Calcule o produto vetorial Atividade 1 a Primeiro vamos decompor o vetor D que é o único que não está sobre o eixo ortogonal Dx Dcos α 508 4 Dy Dsen α 506 3 D 43 Assim a resultante da soma dos vetores R A B C D E R 04 20 06 43 100 R 125 m O módulo ao vetor R R² 12² 5² R² 144 25 169 R 13 m b Os componentes ortogonais nas direções Ox A x 0 Bx 2 m Cx 0 Dx 4m Ex 10m Os componentes ortogonais nas direções Oy Ay 4 m By 0 Cy 6 m Dy 3 m Ey 0 c vetor correspondente a soma R 125 m Distância do ponto de partida R 13 m Atividade 2 a F 0100 N b D 200 m c Mo F x D Mo 0100 x 200 Mo i j k 0 10 0 2 0 0 Mx 100 00 0 My 02 00 0 Mz 00 102 20 Nm Mo 0020 Nm Scanned with CamScanner