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Engenharia de Processos Químicos e Bioquímicos ·
Cálculo 1
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Questões 1 Calcule os seguintes limites a lim 𝑥1 𝑥23 𝑥1 b lim 𝑥5 𝑥225 𝑥5 c lim 𝑥2 𝑥24𝑥4 𝑥2 d lim 𝑥0 23𝑥 𝑥 e lim 𝑥 3𝑥22𝑥5 2𝑥2𝑥4 2 Ache a derivada de cada função a 𝑓𝑥 𝑥7 2𝑥4 3𝑥 5 b 𝑓𝑥 6𝑥3 𝑥 sen 𝑥 c 𝑓𝑥 2𝑥4𝑥 𝑒𝑥 d 𝑓𝑥 2𝑒𝑥 ln 𝑥 1 e 𝑓𝑥 1 2𝑥5 1 𝑥2 3 1 𝑥 f 𝑓𝑥 4 ln𝑥3 2𝑥 g ℎ𝑥 cos𝑥2 5 3 Ache a equação da reta tangente às curvas abaixo nos pontos indicados e use o winplot ou wplotpr para plotar a curva a reta tangente e o ponto a 𝑓𝑥 2𝑥2 5𝑥 3 𝑥 2 b 𝑦 2𝑥 3 𝑥 3 4 Mostre que a derivada de 𝑓𝑥 1 cos 𝑥 é 𝑓𝑥 sec 𝑥 tg 𝑥 5 Demonstre as seguintes derivadas a 𝑑 𝑑𝑥 sen𝑥 ln 𝑥 cos 𝑥 ln 𝑥 sen𝑥 𝑥ln 𝑥2 b 1 sen𝑥 cos 𝑥 sen𝑥2 cotg 𝑥 cossec 𝑥 c 𝑑 𝑑𝑥 lnsec 𝑥 tan 𝑥 sec𝑥 6 Para as funções abaixo ache os pontos de mínimo local de máximo local e de inflexão e faça o gráfico com o winplot mostrando os pontos a 𝑓𝑥 𝑥3 5𝑥2 3𝑥 2 b 𝑓𝑥 𝑥3 3 𝑥2 2 2𝑥 1 Fórmulas Funções elementares f x Derivadas f x Linear fx ax c c constante f x a Potência fx xn f x nxn1 Logarítmica fx lnx f x 1x Exponencial base e fx eax f x aeax Exponencial base a fx ax f x axlna Seno fx senx f x cosx Cosseno fx cosx f x senx Tangente 𝑓𝑥 𝑡𝑔𝑥 sen𝑥 cos𝑥 f x sec2x 𝑓 𝑢 𝑣 𝑓 𝑢𝑣 𝑢𝑣 𝑣2 𝑓 𝑢 𝑣 𝑓 𝑢𝑣 𝑢𝑣 𝑥𝑛𝑥𝑚 𝑥𝑚𝑛 𝑥𝑛 1 𝑥𝑛 𝑥 𝑚 𝑛 𝑥𝑚 𝑛 𝑎 𝑏 𝑐 𝑑 𝑎𝑑 𝑏𝑐 𝑏𝑑 𝑥 𝑎2 𝑥2 2𝑎𝑥 𝑎2 𝑥2 𝑎2 𝑥 𝑎𝑥 𝑎 𝑉 𝐴𝐵ℎ 𝑓𝑥 𝑐 𝑔𝑥 𝑓𝑥 𝑐 𝑔𝑥 sec 𝑥 1 cos 𝑥 sen2 𝑥 cos2 𝑥 1 𝑏2 4𝑎𝑐 1 tg2 𝑥 sec2 𝑥 𝑥 𝑏 2𝑎 𝑓𝑥 𝑓𝑦𝑥 𝑓𝑥 𝑓𝑦 𝑦𝑥 𝑦𝑥 𝑑𝑦 𝑑𝑥 Nome Curso Trabalho 2 de Fundamentos de Matemática para Cálculo Prof Aurimar valor 40 pontos Grupos de até 4 alunos Entregar em 28112022 Nota a lim x1 x23x1 Substituindo o valor de 1 no limite nenhuma indeterminação é encontrada então 12311 132 1 lim x1 x23x1 1 b lim x5 x225x5 O no denominador é uma indeterminação então usase fatoração para eliminar a indeterminação x225x5 x5x5x5 x5 lim x5 x225x5 lim x5 x5 10 c lim x2 x24x4x2 220 indeterminação x24x4x2 x2x2x2 x2 lim x2 x24x4x2 lim x2 x2 0 d lim x0 23xx Como existe indeterminação x0 no denominador e a função não pode ser fatorada analisase a condição de existência por limites laterais lim x0 fx lim x0 fx limite não existe lim x0 23xx lim x0 3x 23x 1 lim x0 3x23x 1x lim x0 2x 3 lim x0 2x lim x0 3 3 3 Fazendo mesma simplificação para x 0 lim x0 2x 3 lim x0 2x lim x0 3 3 Como lim x0 fx lim x0 fx O limite diverge e não existe 1 lim x 3x2 2x 5 2x2 x 4 Dividido todos os termos pela maior potência lim x 3x2 x2 2x x2 5 x2 2x2 x2 x x2 4 x2 lim x 3 2x 5x2 2 1x 4x2 O limite do quociente é o quociente dos limites lim x 3 2x 5x2 lim x 2 1x 4x2 32 Então lim x 3x2 2x 5 2x2 x 4 32 2 Derivada de função polinomial xn n xn1 a x7 2x4 3x 5 fx fx 7x71 24x41 3 fx 7x6 8x3 3 b 6x3 x sen x fx Aplicando a regra do produto fx u v u v u 6x3 x u 18x2 1 v sen x v cos x fx 18x2 1 sen x 6x3 x cos x Cl fx 2x4 x ex Aplicando o rego do quociente fx uv uv v2 u 2x4 x u 8x3 1 2x v ex v ex fx 8x3 1 2x ex 2x4 x ex ex2 fx 8x3 1 2x 2x4 x ex d fx 2ex ln x 1 u 2ex u 2ex v lnx v 1x fx 2ex lnx 2ex 1x ln x2 fx 2ex ln x 1x ln x2 e fx 12x5 1 ³x² 1x fx 0 25 x4 2x52 0 23 x13 x232 1 x2 fx 10x4 4x10 23 x13 x43 1 x2 fx 5 2x6 23 x13 x43 1 x2 fx 5 2x6 23 x53 1 x2 ³x² x23 x13 43 53 fx 4lnx3 2x Aplicando a regra do Cordeia a x3 2x b 4ln a fx ab fx 3x2 24x3 2x fx 3x2 2x3 2x x 4 3 a fx 2x2 5x 3 em x2 fx 4x 5 f2 42 5 3 INCLINAÇÃO DA RETA TANGENTE A inclinação da reta tangente é a derivada no ponto especificado e temos que m ΔyΔx Δy y y0 Δx x x0 m 3 3 y y0x x0 fx0 y0 x0 2 f2 2x2 5x 3 222 52 3 5 3 y 5x 2 3x 2 y 5 3x 6 5 y y 3x 11 Então a equação da reta tangente é y 3x 11 no ponto P25 b y sqrt2x 3 x3 y 212sqrt2x3 1sqrt2x3 y3 1sqrt23 3 1sqrt9 13 INCLINAÇÃO DA RETA TANGENTE m 13 m ΔyΔx x0 3 y0 sqrt23 3 sqrt9 3 y0 3 13 y 3x 3 3y 3 x 3 y x 33 3 x3 1 3 y x3 2 Então a reta tangente à função y em x3 é y x3 2 no ponto 33 4 Derivado de fx 1 cos x Aplicando a regra do quociente fx uv uv v2 u1 u 0 v cos x v sen x fx 0 cos x 1 sen x cos2 x fx sen x cos x2 sen x cos x 1 cos x tg x sec x fx tg x sec x b 1 sen x Aplicando a regra do quociente fx uv uv v2 u1 u0 vsen x v cos x fx 0 sen x 1 cos x sen x2 cos x sen x2 fx cos x sen x 1 sen x cotg x cossec x fx cotg x cossec x a ddx sen x ln x Aplicando a regra do quociente fx uv uv v2 usen x u cos x v ln x v 1x fx cos x ln x sen x 1x ln x2 fx cos x ln x ln x2 sen x x ln x2 fx cos x ln x sen x x ln x2 e ddx ln sec x tan x a sec x tan x b ln a a 1cos x sen xcos x 1cos x 0cos x 1 sen x cos x2 sen x cos x2 sen x cos x cos xcos x sen x sen x cos x2 cos2 x sen2 x cos2 x sen x cos x cos2 x cos2 x sen2 x cos2 x 1 tg2 x sen x cos x sec2 x pois 1 tg2 x sec2 x IDENTIDADE TRIGONOMÉTRICA a sen x cos x2 sec2 x sen x cos x2 1 cos2 x 1 sen x cos2 x b 1 a 1 sec x tg x fx ab fx 1 sen x cos2 x x 1 sec x tg x sec x tg x 1 cos x sen x cos x 1 sen x cos x fx 1 sen x cos2 x x cos x 1 sen x fx 1 cos x sec x fx sec x 6 a fx x3 5x2 3x 2 fx 3x2 10x 3 Fazendo fx 0 ache os pontos onde as retas horizontais tangentes determinam máximo ou mínimo 3x2 10x 3 0 Δ 102 433 Δ 100 36 64 x12 10 64 23 x1 10 8 6 18 6 3 x2 10 8 6 23 13 Então em x 3 e x 13 ocorre mínimo e máximo local pontos críticos Assíntotas verticais lim x fx lim x fx não existe assíntotas verticais Segunda derivada fx1 6x 10 0 6x 10 x 106 53 ponto de inflexão f13 613 10 63 10 8 f3 63 10 18 10 8 f3 0 e f3 0 f13 0 e f13 0 Como f3 0 concavidade para cima Então em 3 é um mínimo local Como f13 0 concavidade para baixo Então em 13 é um máximo local E o ponto 53 x é um ponto de inflexão Ponto de mínimo X 3 fx f3 33 532 33 2 f3 27 45 9 2 11 Ponto de mínimo local 3 11 Ponto de máximo X 13 f13 133 5132 313 2 f13 4127 Ponto de máximo local 13 4127 Ponto de inflexão X 53 f53 533 5532 353 2 f53 16927 Ponto de inflexão 53 16927 b fx x33 x22 2x 1 fx 133x2 122x 2 fx x2 x 2 Ponto crítico x2 x 2 0 Δ 12 412 1 8 9 x12 1 9 21 x1 1 32 42 2 x2 1 3 2 2 2 1 pontos críticos Assíntota vertical lim x fx e lim x fx não existe assíntotas verticais Segunda derivada fx 2x 1 fx 0 inflexão fx 2x 1 0 2x 1 x 12 Teste da segunda derivada para os pontos críticos f2 22 1 3 f1 21 1 3 f2 0 e f2 0 f1 0 e f1 1 Como f2 0 concavidade para cima Então em 2 ocorre um mínimo local Como f1 0 concavidade para baixo Então em 1 ocorre um máximo local O ponto x 12 é uma inflexão Ponto de máximo local x 1 fx 133 122 21 1 f1 13 12 2 1 2 36 3 3 56 18 56 f1 136 Ponto de máximo local 1 136 Ponto de mínimo local x 2 f2 233 222 22 1 f2 83 2 4 1 83 5 8 153 73 Ponto de mínimo local 2 73 Ponto de infleção x 12 f12 1233 1222 212 1 f12 183 142 1 1 1 324 224 112 Ponto de infleção 12 112 QUESTÃO 3 LETRA A QUESTÃO 3 LETRA B QUESTÃO 6 LETRA A QUESTÃO 6 LETRA B
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Questões 1 Calcule os seguintes limites a lim 𝑥1 𝑥23 𝑥1 b lim 𝑥5 𝑥225 𝑥5 c lim 𝑥2 𝑥24𝑥4 𝑥2 d lim 𝑥0 23𝑥 𝑥 e lim 𝑥 3𝑥22𝑥5 2𝑥2𝑥4 2 Ache a derivada de cada função a 𝑓𝑥 𝑥7 2𝑥4 3𝑥 5 b 𝑓𝑥 6𝑥3 𝑥 sen 𝑥 c 𝑓𝑥 2𝑥4𝑥 𝑒𝑥 d 𝑓𝑥 2𝑒𝑥 ln 𝑥 1 e 𝑓𝑥 1 2𝑥5 1 𝑥2 3 1 𝑥 f 𝑓𝑥 4 ln𝑥3 2𝑥 g ℎ𝑥 cos𝑥2 5 3 Ache a equação da reta tangente às curvas abaixo nos pontos indicados e use o winplot ou wplotpr para plotar a curva a reta tangente e o ponto a 𝑓𝑥 2𝑥2 5𝑥 3 𝑥 2 b 𝑦 2𝑥 3 𝑥 3 4 Mostre que a derivada de 𝑓𝑥 1 cos 𝑥 é 𝑓𝑥 sec 𝑥 tg 𝑥 5 Demonstre as seguintes derivadas a 𝑑 𝑑𝑥 sen𝑥 ln 𝑥 cos 𝑥 ln 𝑥 sen𝑥 𝑥ln 𝑥2 b 1 sen𝑥 cos 𝑥 sen𝑥2 cotg 𝑥 cossec 𝑥 c 𝑑 𝑑𝑥 lnsec 𝑥 tan 𝑥 sec𝑥 6 Para as funções abaixo ache os pontos de mínimo local de máximo local e de inflexão e faça o gráfico com o winplot mostrando os pontos a 𝑓𝑥 𝑥3 5𝑥2 3𝑥 2 b 𝑓𝑥 𝑥3 3 𝑥2 2 2𝑥 1 Fórmulas Funções elementares f x Derivadas f x Linear fx ax c c constante f x a Potência fx xn f x nxn1 Logarítmica fx lnx f x 1x Exponencial base e fx eax f x aeax Exponencial base a fx ax f x axlna Seno fx senx f x cosx Cosseno fx cosx f x senx Tangente 𝑓𝑥 𝑡𝑔𝑥 sen𝑥 cos𝑥 f x sec2x 𝑓 𝑢 𝑣 𝑓 𝑢𝑣 𝑢𝑣 𝑣2 𝑓 𝑢 𝑣 𝑓 𝑢𝑣 𝑢𝑣 𝑥𝑛𝑥𝑚 𝑥𝑚𝑛 𝑥𝑛 1 𝑥𝑛 𝑥 𝑚 𝑛 𝑥𝑚 𝑛 𝑎 𝑏 𝑐 𝑑 𝑎𝑑 𝑏𝑐 𝑏𝑑 𝑥 𝑎2 𝑥2 2𝑎𝑥 𝑎2 𝑥2 𝑎2 𝑥 𝑎𝑥 𝑎 𝑉 𝐴𝐵ℎ 𝑓𝑥 𝑐 𝑔𝑥 𝑓𝑥 𝑐 𝑔𝑥 sec 𝑥 1 cos 𝑥 sen2 𝑥 cos2 𝑥 1 𝑏2 4𝑎𝑐 1 tg2 𝑥 sec2 𝑥 𝑥 𝑏 2𝑎 𝑓𝑥 𝑓𝑦𝑥 𝑓𝑥 𝑓𝑦 𝑦𝑥 𝑦𝑥 𝑑𝑦 𝑑𝑥 Nome Curso Trabalho 2 de Fundamentos de Matemática para Cálculo Prof Aurimar valor 40 pontos Grupos de até 4 alunos Entregar em 28112022 Nota a lim x1 x23x1 Substituindo o valor de 1 no limite nenhuma indeterminação é encontrada então 12311 132 1 lim x1 x23x1 1 b lim x5 x225x5 O no denominador é uma indeterminação então usase fatoração para eliminar a indeterminação x225x5 x5x5x5 x5 lim x5 x225x5 lim x5 x5 10 c lim x2 x24x4x2 220 indeterminação x24x4x2 x2x2x2 x2 lim x2 x24x4x2 lim x2 x2 0 d lim x0 23xx Como existe indeterminação x0 no denominador e a função não pode ser fatorada analisase a condição de existência por limites laterais lim x0 fx lim x0 fx limite não existe lim x0 23xx lim x0 3x 23x 1 lim x0 3x23x 1x lim x0 2x 3 lim x0 2x lim x0 3 3 3 Fazendo mesma simplificação para x 0 lim x0 2x 3 lim x0 2x lim x0 3 3 Como lim x0 fx lim x0 fx O limite diverge e não existe 1 lim x 3x2 2x 5 2x2 x 4 Dividido todos os termos pela maior potência lim x 3x2 x2 2x x2 5 x2 2x2 x2 x x2 4 x2 lim x 3 2x 5x2 2 1x 4x2 O limite do quociente é o quociente dos limites lim x 3 2x 5x2 lim x 2 1x 4x2 32 Então lim x 3x2 2x 5 2x2 x 4 32 2 Derivada de função polinomial xn n xn1 a x7 2x4 3x 5 fx fx 7x71 24x41 3 fx 7x6 8x3 3 b 6x3 x sen x fx Aplicando a regra do produto fx u v u v u 6x3 x u 18x2 1 v sen x v cos x fx 18x2 1 sen x 6x3 x cos x Cl fx 2x4 x ex Aplicando o rego do quociente fx uv uv v2 u 2x4 x u 8x3 1 2x v ex v ex fx 8x3 1 2x ex 2x4 x ex ex2 fx 8x3 1 2x 2x4 x ex d fx 2ex ln x 1 u 2ex u 2ex v lnx v 1x fx 2ex lnx 2ex 1x ln x2 fx 2ex ln x 1x ln x2 e fx 12x5 1 ³x² 1x fx 0 25 x4 2x52 0 23 x13 x232 1 x2 fx 10x4 4x10 23 x13 x43 1 x2 fx 5 2x6 23 x13 x43 1 x2 fx 5 2x6 23 x53 1 x2 ³x² x23 x13 43 53 fx 4lnx3 2x Aplicando a regra do Cordeia a x3 2x b 4ln a fx ab fx 3x2 24x3 2x fx 3x2 2x3 2x x 4 3 a fx 2x2 5x 3 em x2 fx 4x 5 f2 42 5 3 INCLINAÇÃO DA RETA TANGENTE A inclinação da reta tangente é a derivada no ponto especificado e temos que m ΔyΔx Δy y y0 Δx x x0 m 3 3 y y0x x0 fx0 y0 x0 2 f2 2x2 5x 3 222 52 3 5 3 y 5x 2 3x 2 y 5 3x 6 5 y y 3x 11 Então a equação da reta tangente é y 3x 11 no ponto P25 b y sqrt2x 3 x3 y 212sqrt2x3 1sqrt2x3 y3 1sqrt23 3 1sqrt9 13 INCLINAÇÃO DA RETA TANGENTE m 13 m ΔyΔx x0 3 y0 sqrt23 3 sqrt9 3 y0 3 13 y 3x 3 3y 3 x 3 y x 33 3 x3 1 3 y x3 2 Então a reta tangente à função y em x3 é y x3 2 no ponto 33 4 Derivado de fx 1 cos x Aplicando a regra do quociente fx uv uv v2 u1 u 0 v cos x v sen x fx 0 cos x 1 sen x cos2 x fx sen x cos x2 sen x cos x 1 cos x tg x sec x fx tg x sec x b 1 sen x Aplicando a regra do quociente fx uv uv v2 u1 u0 vsen x v cos x fx 0 sen x 1 cos x sen x2 cos x sen x2 fx cos x sen x 1 sen x cotg x cossec x fx cotg x cossec x a ddx sen x ln x Aplicando a regra do quociente fx uv uv v2 usen x u cos x v ln x v 1x fx cos x ln x sen x 1x ln x2 fx cos x ln x ln x2 sen x x ln x2 fx cos x ln x sen x x ln x2 e ddx ln sec x tan x a sec x tan x b ln a a 1cos x sen xcos x 1cos x 0cos x 1 sen x cos x2 sen x cos x2 sen x cos x cos xcos x sen x sen x cos x2 cos2 x sen2 x cos2 x sen x cos x cos2 x cos2 x sen2 x cos2 x 1 tg2 x sen x cos x sec2 x pois 1 tg2 x sec2 x IDENTIDADE TRIGONOMÉTRICA a sen x cos x2 sec2 x sen x cos x2 1 cos2 x 1 sen x cos2 x b 1 a 1 sec x tg x fx ab fx 1 sen x cos2 x x 1 sec x tg x sec x tg x 1 cos x sen x cos x 1 sen x cos x fx 1 sen x cos2 x x cos x 1 sen x fx 1 cos x sec x fx sec x 6 a fx x3 5x2 3x 2 fx 3x2 10x 3 Fazendo fx 0 ache os pontos onde as retas horizontais tangentes determinam máximo ou mínimo 3x2 10x 3 0 Δ 102 433 Δ 100 36 64 x12 10 64 23 x1 10 8 6 18 6 3 x2 10 8 6 23 13 Então em x 3 e x 13 ocorre mínimo e máximo local pontos críticos Assíntotas verticais lim x fx lim x fx não existe assíntotas verticais Segunda derivada fx1 6x 10 0 6x 10 x 106 53 ponto de inflexão f13 613 10 63 10 8 f3 63 10 18 10 8 f3 0 e f3 0 f13 0 e f13 0 Como f3 0 concavidade para cima Então em 3 é um mínimo local Como f13 0 concavidade para baixo Então em 13 é um máximo local E o ponto 53 x é um ponto de inflexão Ponto de mínimo X 3 fx f3 33 532 33 2 f3 27 45 9 2 11 Ponto de mínimo local 3 11 Ponto de máximo X 13 f13 133 5132 313 2 f13 4127 Ponto de máximo local 13 4127 Ponto de inflexão X 53 f53 533 5532 353 2 f53 16927 Ponto de inflexão 53 16927 b fx x33 x22 2x 1 fx 133x2 122x 2 fx x2 x 2 Ponto crítico x2 x 2 0 Δ 12 412 1 8 9 x12 1 9 21 x1 1 32 42 2 x2 1 3 2 2 2 1 pontos críticos Assíntota vertical lim x fx e lim x fx não existe assíntotas verticais Segunda derivada fx 2x 1 fx 0 inflexão fx 2x 1 0 2x 1 x 12 Teste da segunda derivada para os pontos críticos f2 22 1 3 f1 21 1 3 f2 0 e f2 0 f1 0 e f1 1 Como f2 0 concavidade para cima Então em 2 ocorre um mínimo local Como f1 0 concavidade para baixo Então em 1 ocorre um máximo local O ponto x 12 é uma inflexão Ponto de máximo local x 1 fx 133 122 21 1 f1 13 12 2 1 2 36 3 3 56 18 56 f1 136 Ponto de máximo local 1 136 Ponto de mínimo local x 2 f2 233 222 22 1 f2 83 2 4 1 83 5 8 153 73 Ponto de mínimo local 2 73 Ponto de infleção x 12 f12 1233 1222 212 1 f12 183 142 1 1 1 324 224 112 Ponto de infleção 12 112 QUESTÃO 3 LETRA A QUESTÃO 3 LETRA B QUESTÃO 6 LETRA A QUESTÃO 6 LETRA B