Equacoes Diferenciais - Classificacao Solucoes e Verificacao

I Introdução às Equações Diferenciais 1 Sobre o estudo da classificação de uma equação diferencial complete a tabela abaixo Item Equação Diferencial O ou P L ou NL Ordem Var Indep Var Dep a 1 xy 4xy 5y cos x b y2 1dx xdy 0 c t5 y4 t3 y 6y 0 d d2 y dx2 sqrt1 dydx2 e senθ y cosθ y 2 f y x2 5y g y 4y 5y e3x h Ut 4 2 U x2 Uy i d3 s dt32 d2 s dt23 s 3t j drdφ sqrtrφ k d2 x dy2 3x sen y l 2 V x2 3 sqrtVy m 2x y dx x 3y dy 0 n y xy sen y o 2 T x2 2 T y2 2 T z2 0 2 Verifique que a função indicada é uma solução explícita da equação diferencial dada Admita um intervalo de definição apropriado I a 2y y 0 y ex2 b y 6y 13y 0 y e3x cos 2x c y 4y 32 y 8 d dydx 2y e3x y e3x 10e2x e dydt 20y 24 y 65 65 e20t f y 25 y2 y 5 tan5x g dydx sqrtyx y sqrtx c12 h dydx y sin x y 12 sin x 12 cos x 10ex i 2xy dx x2 2y dy 0 x2 y y2 c1 j x2 dx 2xy dy 0 y 1x2 k y 2 sqrty y x x l y 2xy 1 y ex2 0 to x et2 dt c1 ex2 m x2 y2 dx x2 xy dy 0 c1 x y2 x eyx n y y y cosh x sinh x o y y2 0 y ln x c1 c2 p y y tan x y cos x ln sec x tan x c2 q x2 y xy 2y 0 y x cos ln x x 0 3 Considere a equação diferencial dXdt X 11 2X Verifique que ln2X 1X 1 t é uma solução implícita da equação Encontre pelo menos uma solução explícita e o intervalo de definição I de cada solução φ 4 Prove que a relação dada é uma solução implícita da equação diferencial fornecida a x2 y2 6 y xy b y ln y x2 1 y 2xy y 1 c exy y x 1 y exy y exy x d x2 senx y 1 y 2x secx y 1 e x3 3xy2 1 2x y y x2 y2 0 I 0 1 f 5x2 y2 2x3 y2 1 x y y x3 y3 I 0 52 g sen y xy x3 2 y 6x y y3 sen y 2y2 3x2 y 5 Verifique que a família de funções indicadas é uma solução da equação diferencial dada Admita um intervalo de definição I apropriado de cada solução a P P1 P P c1 et 1 c1 et b d2 y dx2 4 dydx 4y 0 y c1 e2x c2 x e2x 6 Decida se são verdadeiras V ou falsas F as afirmações abaixo justificando sua resposta a As funções y φ1x x2 e y φ2x x2 são soluções da equação diferencial xy 2y 0 no intervalo b A função definida por partes y x2 se x 0 x2 se x 0 não é uma solução de xy 2y 0 no intervalo 7 a Encontre o domínio da função y x 2 sqrtx 3 b A função dada no item a não é uma solução da equação diferencial y x y y x 2 em algum intervalo I Analise se a afirmação dada é verdadeira ou falsa Caso seja falsa encontre o maior intervalo de definição I dessa solução 8 Os valores de m para os quais a função y emx é solução das equações y 2y 0 e y 5y 6y 0 são respectivamente a 2 2 3 b 2 2 3 c 2 2 3 d 2 2 3 e 2 2 3 9 Considere uma família a um parâmetro y 1 1 c1 ex de soluções de y y y2 Encontre uma solução para o PVI que consiste na equação diferencial e na condição y0 13 10 Seja x c1 cos t c2 sent uma família a dois parâmetros de soluções de x x 0 Determine uma solução para o PVI que consiste na equação diferencial e nas condições a x0 1 x0 8 b xπ6 12 xπ6 0 11 Seja y c1 ex c2 ex uma família a dois parâmetros de soluções de y y 0 Determine uma solução para o PVI que consiste na equação diferencial e nas condições a y0 1 y0 2 b y1 5 y1 5 12 Encontre por inspeção pelo menos duas soluções para o PVI y 3y23 y0 0 13 y tgx c é uma família a um parâmetro de soluções da equação diferencial y 1 y2 Justifique 14 y senln x é uma solução particular da equação x2 y xy y 0 Justifique 15 Mostre que cada função dada é uma solução da equação diferencial a uxx uyy 0 u1x y cos x cosh y u2x y lnx2 y2 b α2 uxx ut u1x t eα2 t sen x u2x t eα2 λ2 t sen λ x λ uma constante real c a2 uxx utt u1x t sen λ x sen λ a t u2x t senx a t λ uma constante real d α2 uxx ut u πt12 ex2 4 α2 t t 0 16 Uma certa população é modelada pela equação diferencial dPdt 12 P 1 P4200 a Para quais valores de P a população está aumentando b Para quais valores de P a população está diminuindo c Quais são as soluções constantes da equação 17 Considere uma população P de ratos do campo que crescem a uma taxa proporcional à população atual de modo que dPdt rP Encontre a taxa de crescimento r se a população dobra em 30 dias 18 Encontre uma equação diferencial que tenha como solução geral y c₀e2x 3x 4 Verifique que sua resposta está correta 19 Ache uma equação diferencial cuja solução seja y c₁x c₂x³ Cheque que a família a dois parâmetros dada é de fato solução da equação diferencial encontrada 20 Encontre uma equação diferencial para a família de círculos com raio 1 e centro em qualquer ponto do plano cartesiano II Equações Separáveis 21 Resolva as equações diferenciais dadas usando o método de separação de variáveis a dydx sen 5x b dx e³ˣdy 0 c x dydx 4y d dydx e³ˣ2y e 1 x² y² x²y²dy y² dx f sec²x dy cossec y dx 0 g dPdt P P² h ydy x1 x²121 y²12 dx i dNdt N Ntet2 j x 1 dydx x 6 k 4y yx²dy 2x xy²dx 0 l y ln x dydx y 1x² m sec x dy xcotg y dx n y yx² dydx y 1² 22 Resolva os problemas de valor inicial que seguem a dxdt 4x² 1 xπ4 1 b x² y y xu y1 1 23 Encontre uma solução implícita e outra explícita do problema de valor inicial dado abaixo 1 x⁴dy x1 4y²dx 0 y1 0 24 Analise a afirmação que segue decidindo sobre a veracidade ou não e justifique sua resposta Uma solução implícita de 2x sen²y dx x² 10 cos y dy 0 é dada por lnx² 10 cossec y c 25 Decaimento Exponencial Radioatividade Se Qt indica a quantidade de uma substância radioativa em um tempo t então sua taxa de variação dQdt é proporcional à quantidade de substância presente para alguma constante k que depende do material a Mostre que Qt cekt b A constante k para o rádio é dada por 14 10¹¹ s¹ Sabendo que em t 0 há 2 gramas desta substância em um laboratório determine quanto restará desta substância 100 anos depois c A meiavida de uma substância radioativa é o tempo no qual metade da substância dada desaparece Calcule em anos a meiavida do rádio 26 Reduzindo a Variáveis Separáveis Considere uma equação diferencial ordinária da forma y gyx onde g é uma função real diferenciável Ponha u yx e transformea em u xu gu a qual separando as variáveis fica dugu u dxx Usando esta técnica encontre a solução geral das equações abaixo a 2xyy y² x² 0 b xy x y c xy 1 xy 27 Aplicações Geométricas a Encontre a curva em R² que passa por 11 e tem em cada ponto xy a inclinação yx b Encontre todas as curvas tais que a tangente em cada ponto xy intercepta o eixox em x 10 c Ache uma curva que passe pelo ponto 11 de tal maneira que o coeficiente angular da tangente em cada ponto seja proporcional ao quadrado da ordenada nesse ponto III Equações que se reduzem a equações separáveis 28 A equação da forma y fax by c 1 reduzse a variáveis separáveis fazendo z ax by c Calculando z a by e substituindo y em 1 Fazendo esta mudança de variável resolva as seguintes equações diferenciais a y 1 ey x 5 b y x y 1² c y 2 y 2x 3 d y tan²x y e y 1 x yx y f y x yy x 1 29 Determine se a função dada é homogênea Especifique o grau de homogeneidade quando for o caso a fxy x³ 2xy² y⁴x b fxy x y4x 3y c fxy x³y x²y²x 8y² d fxy xy² x⁴ y⁴ e fxy cosx²x y f fxy ln x² 2 ln y g fxy x¹ y¹² 30 Se a função f na equação dydx fxy puder ser expressada como uma função só de v yx então a equação é dita homogênea em particular fv f1 yx Tais equações sempre podem ser transformadas em equações separáveis por mudança da variável dependente O problema abaixo ilustra como resolver equações homogêneas de primeira ordem a Mostre que a equação dydx y 4xx y 1 pode ser colocada na forma dydx yx 41 yx 2 b Introduza uma nova variável dependente v de modo que v yx ou y xvx Expresse dydx em função de x v e dvdx c Substitua y e dydx na equação 2 pelas expressões no item b envolvendo v e dvdx Mostre que a equação diferencial resultante é x dvdx v² 41 v 3 d Resolva a equação 3 obtendo v implicitamente como função de x e Encontre a solução da equação 1 substituindo v por yx na solução encontrada no item d 31 Resolva as equações homogêneas a x ydx xdy 0 b xdx y 2xdy 0 c ydx 2x ydy d y x cotyx dx xdy 0 e y² yxdx x²dy 0 f dydx y xy x g x² 3xy y²dx x²dy 0 h x cosyx ydx xdy y sinyx xdy ydx IV Método dos Fatores Integrantes 32 Encontre a solução do problema de valor inicial dado a y 2y te2t y0 1 b xy 2y x² x 1 y1 12 x 0 c y 2ty cos tt² yπ 0 t 0 d y cotgh 2x 2y 2 y0 0 e ty 2y sen t yπ2 1 t 0 f cos² x sen xdy y cos³x 1dx 0 yπ4 4 g t 1 dydt y ln t y1 10 h ey x y 1 y3 0 33 Ache uma solução contínua que satisfaça a equação diferencial e a condição de valor inicial dadas a dydx 2y fx y0 0 fx 1 se 0 x 3 0 se x 3 b dydx 2xy fx y0 2 fx x se 0 x 1 0 se x 1 34 Considere o problema de valor inicial y exy fx y0 1 Expresse a solução do PVI para x 0 como uma integral não elementar quando fx 1 Qual é a solução quando fx 0 E quando fx ex 35 Equações de Bernoulli Uma equação diferencial ordinária do tipo y pxy gxya a ℝ é chamada equação de Bernoulli Esta equação é linear se a 0 ou a 1 a Introduza a variável dependente u por u y1a e mostre que a equação acima fica u 1 apxu 1 agx que é linear b Use a técnica acima para resolver a equação de Bernoulli dada por y Ay By2 onde A e B são constantes positivas c Resolva y y y2 d Resolva y y xy e Resolva o PVI dado por y 1xy cos xy2 y1 1 f Resolva o PVI dado por y x2y 1x2y4 y1 2 36 Mostre que a equação cos yy 2xsen y 2x pode ser transformada em uma equação linear 37 Equações de Ricatti Uma equação de Ricatti é uma equação diferencial ordinária do tipo y pxy gxy2 hx Observe que quando hx 0 obtemos a equação de Bernoulli a Mostre que a equação y x3y x2 yx é uma equação de Ricatti que tem solução y x b Seja z uma solução da equação geral de Ricatti ou seja z pxz gxz2 hx Mostre que w y z transforma a equação geral dada no enunciado deste exercício em w p 2gzw gw2 que é uma equação de Bernoulli c Sabendo que yx x é uma solução da equação de Ricatti y x3y x2y2 1 determine as demais soluções d Sabendo que yx x2 é uma solução da equação de Ricatti y y2 2x x4 determine as demais soluções V Equações Exatas 38 Determine se a equação diferencial dada é ou não exata Para as exatas determine suas soluções gerais e não deixe de testar as soluções encontradas a ydx xdy 0 b 2x 1dx 3y 7dy 0 c y3 3xy2y 0 d 5x 4ydx 4x 8y3dy 0 e etheta dr retheta dθ 0 f x2 y2dx x2 2xydy 0 g 2x exdx xexdy 0 h x dydx 2xex y 6x2 i x3 3xy2dx 3x2y y3dy 0 j yln y exydx 1y xln y dy 0 k sen x cosh ydx cos x senh ydy 0 l tg x sen x sen ydx cos x cos y dy 0 39 Resolva os problemas de valor inicial dados a 4y 2t 5dt 6y 4t 1dy 0 y1 2 b y2 cos x 3x2y 2xdx 2ysen x x3 ln ydy 0 y0 e 40 Encontre o valor de m de modo que a equação diferencial dada seja exata y3 mxy4 2xdx 3xy2 20x2y3dy 0 41 Mostre que as seguintes equações diferenciais ordinárias não são exatas A seguir determine fatores integrantes μx y e resolvaas a ydx xdy 0 b 2sen y2 xycos y2y 0 c 2xydx 4y 3x2dy 0 d 1 2x2 4xydx 2dy 0 e 10 6y e3xdx 2dy 0 42 a Mostre que uma família de soluções a um parâmetro da equação 4xy 3x2dx 2y 2x2dy 0 é x3 2x2y y2 c b Prove que as condições iniciais y0 2 e y1 1 determinam a mesma solução implícita c Ache as soluções explícitas y1x e y2x da equação diferencial do item a dadas as condições y10 2 e y21 1 VI Teorema da Existência e Unicidade de Soluções 43 Determine sem resolver o problema um intervalo no qual a solução do problema de valor inicial dado certamente existe a t 3y ln ty 2t y1 2 b tt 4y y 0 y2 1 c y tgty sen t yπ 0 d ln ty y cotg t y2 3 44 a Verifique que ambas as funções y1t 1 t e y2t t24 são soluções do problema de valor inicial y t t2 4y122 y2 1 Onde essas soluções são válidas b Explique por que a existência de duas soluções do problema dado não contradiz a parte da unicidade do teorema 2 c Mostre que y ct c2 onde c é uma constante arbitrária satisfaz a equação diferencial no item a para t 2c Se c 1 a condição inicial também é satisfeita e obtémse a solução y y1t Mostre que não existe escolha de c que forneça a segunda solução y y2t 45 Usando o teorema de existência e unicidade determine se existe uma solução para os problemas de valor inicial dados abaixo resolvendoos quando possível a dydx 9 x2 y2 y1 2 b dydx 3y23 y2 0 c dydx y2 y0 1 VII Aplicações das Equações Diferenciais de Primeira Ordem 46 Colocase um copo à temperatura de 0F em um quarto mantido à temperatura constante de 100F Se após 10 minutos a temperatura do corpo é 25F determine a o tempo necessário para a temperatura do corpo atingir 50F b a temperatura do corpo após 20 minutos 47 Um corpo com temperatura desconhecida é colocado em um refrigerador mantido à temperatura constante de 0F Se após 20 minutos a temperatura do corpo é 40F e após 40 minutos é 20F determine a temperatura inicial do corpo 48 Certa substância radioativa decresce a uma taxa proporcional à quantidade de substância presente Se para uma quantidade inicial de substância de 100 miligramas se observa um decréscimo de 5 após dois anos determine a uma expressão para a quantidade restante no tempo t b o tempo necessário para uma redução de 10 da quantidade inicial 49 Sabese que a população de determinada cidade cresce a uma taxa proporcional ao número de habitantes existentes Se após 10 anos a população triplica e após 20 anos é de 150000 habitantes determine a população inicial 50 Determine as trajetórias ortogonais da família de curvas x2 y2 c2 51 Determine as trajetórias ortogonais da família de curvas y cex 52 Determine as trajetórias ortogonais da família de curvas x2 y2 cx Sugestões e Soluções Item O ou P L ou NL Ordem Var Indep Var Dep a O L 2 x y b O LxNLy 1 x ou y y ou x c O L 4 t y d O NL 2 x y e O L 3 θ y f O L 1 x y g O L 2 x y h P 2 xyt U i O NL 3 t s j O NL 1 φ r k O L 2 y x l P 2 xy V m O NL 1 x ou y y ou x n O NL 2 x y o P 2 xyz T 2 3 X et 1 et 2 definida em ln 2 ou em ln 2 4 5 6 a V b F 7 a 3 x b F 3 x 8 d 9 y 1 1 4ex 10 a x cos t 8sen t b x 3 4 cos t 14 sen t 11 a y 32ex 12ex b y 5ex1 12 13 Sim 14 Sim 15 16 a 0 P 4200 b P 4200 c P 4200 ou P 0 17 r ln 2 30 dias 18 y 2y 6x 5 Como temos apenas uma constante diferencie uma vez a solução geral dada e encontre a constante c comparando a expressão obtida com a expressão que foi dada para y 19 x2 y 3xy 3y 0 20 y 1 y232 1 A equação de um círculo com centro AB e raio 1 é dada por x A2 y B2 1 21 a y 15 cos 5x c b y 13e3x c c y cx4 d 3e2y 2e3x c e y y1 arctg x c f 4 cos y 2x sen 2x c g P cet 1 cet h 1 y212 1 x212 c i ln N t et2 et2 t c j y x 5 ln x 1 c k y2 c4 x2 2 l 13 x3 ln x 19 x3 12 y2 2y ln y c m y sec1 ecos x x sen x n ln y 1 y 11 12 ln 1 x 1 x c 22 a x tg 4y 3π 4 b xy e1 1x 23 yx x2 1 2x2 1 24 V 25 a b Aproximadamente 19 gramas c Aproximadamente 1570 anos 26 a x c22 y2 c2 4 b y x ln x c c y cxex 27 a A hipérbole de equação y 1x b Lembre que se XY são os pontos da tangente à curva em xy então Y y y X x é a equação desta reta tangente O que fazer com o ponto dado c yx 1x 28 29 30 31 32 a y t2 1 e2t 2 b y 3x4 4x3 6x2 1 12 x2 c y sen t t2 d y 1 cosh 2x e y t2 π2 4 1 t cos t sen t f y sec x cossec x 2 cossec x g y t ln t t 21 t 1 h x 3 y ey Olhe y como a variável independente 33 a y 12 1 e2x se 0 x 3 12 e6 1 e2x se x 3 b y 12 32 ex2 se 0 x 1 12e 32ex2 se x 1 34 y eex from 0 to x eet dt e1ex y e1ex y 1 35 a b y u1 c eAx BA1 c y 1 cex1 d e Quero a solução f Quero a solução 36 Será que fazer z sen y pode ajudar 37 a b c Quero a solução d Quero a solução 38 a xy c b x2 x 32 y2 7y c c xy3 c d 52 x2 4xy 2 y4 c e reθ c f Não exata g xx ey c h xy 2xex 2ex 2x3 c i x4 6 x2 y2 y4 c j Não exata k cos x cosh y c l ln cos x cos x sen y c 39 a 4ty t2 5t 3y2 y 8 b y2 sen x x3 y x2 y ln y y 0 40 m 10 41 a y cx b x4 sen y2 c c y4 x2 y3 c d x 2y ex2 c e 2y e3x 10 3 e3x x c 42 c y1x x2 x4 x3 4 e y2x x2 x4 x3 4 43 a 0 t 3 b 0 t 4 c π2 t 3π2 d 1 t π 44 a y1t é uma solução para t 2 e y2t é uma solução t b 45 46 Tt 100e0029t 100 a 23 9 min b 44F 47 Tt 80e0035t T0 80F 48 a Nt 100e0026t b 4 05 anos 49 Nt 16 620e011t N0 16 620 50 xy k 51 y2 2x k 52 x2y y33 k