Lista de Exercícios Resolvidos - Eletrostática - Carga Elétrica e Força de Coulomb

20231 Primeira Lista de Exercícios 1 Calcule o número de coulombs de carga positiva em um copo com 250cm³ de água Resp 13 4 10⁶C 2 Uma carga Q é fracionada em duas partes Q q e q Determine a relação entre q e Q para que quando separadas as duas partes apresentem máxima repulsão Resp q Q2 3 Duas cargas pontuais Q estão no eixo oz nos posições z a e z a Mostre que o valor máximo da força elétrica sobre uma carga q colocada no eixo ox é expressa por F qQ3 9πε₀a² 4 A figura ao lado mostra uma barra não condutora de massa desprezível e comprimento L articulada no centro e equilibrada por um bloco de massa m a uma distância x da extremidade esquerda Nas extremidades da barra existem esferas condutoras de cargas q e 2q que estão a uma distância vertical h das esferas fixas de carga Q Mostre que o valor de x para que a barra fique equilibrada na horizontal é x L2 Q²qL 8πε₀mgh² Mostre também que o valor de h para que a barra não exerça força sobre o apoio é h 3Qq 4πε₀mg 5 Na figura ao lado as quatro partículas formam um quadrado de lado a 5cm e têm cargas q₁ 10nC q₂ 20nC q₃ 20nC e q₄ 10nC Qual é o valor da força elétrica exercida pelas quatro cargas sobre uma quinta carga Q 50μC colocada no centro do quadrado Resp Fy 0 049N 6 Considere uma partícula pontual de carga positiva q e massa m viajando a uma velocidade horizontal v₀ numa região onde existe um campo elétrico uniforme E Ej conforme figura ao lado A carga penetra na região onde existe o campo praticamente tangenciando a placa superior Mostre que a distância d entre a placa superior e a partícula no instante em que deixa a região entre as placas é d L²m₀qE 2mv₀² 7 Considere três bolas pequenas cada uma com massa m e que estão suspensas no mesmo ponto cada uma por um fio de seda de comprimento L As bolas são carregadas igualmente e a seguir penduradas nos vértices de um triângulo equilátero de lado ℓ Assumindo que L 23ℓ 3 calcule a carga de cada bola Resp 4πε₀mgℓ²3 8 Um cubo de lado ℓ possui uma carga pontual q em cada vértice Mostre que a força elétrica sobre qualquer uma das cargas é expressa por F 0 262q²ε₀ℓ² 9 Duas carga positivas Q são mantidas fixas a uma distância d de separação Uma partícula de carga q e massa m é posicionada a meio caminho das cargas então é dada à partícula um pequeno deslocamento perpendicular a uma linha hipotética que liga as cargas e depois é liberada Mostre que a partícula descreve um movimento harmônico simples de período T ε₀mπ³d³ qQ 10 Considere uma barra fina não condutora de comprimento L e densidade linear de carga λ Determine a força elétrica que a barra exerce sobre uma carga pontual q colocada no ponto P situado a uma distância x da extremidade direita da barra Resp Fx qλ 4πε₀ L xxL 11 O mostrador de um relógio tem cargas pontuais negativas q 2q 3q 12q fixas nas posições correspondentes aos numerais Os ponteiros do relógio não perturbam o campo A que horas o ponteiro de horas aponta na mesma direção e mesmo sentido do campo elétrico existente no centro do mostrador Resp 9 30h 12 Uma partícula massiva e com carga q é liberada a partir do repouso em uma região onde existe um campo elétrico uniforme E orientado verticalmente para baixo A partícula atinge o solo com uma velocidade igual a v2 onde v é velocidade que a partícula alcançaria na ausência do campo elétrico Calcule a massa desta partícula Resp m qE g 13 Considere um disco de densidade de carga σ e raio R sobre o plano yz tendo seu centro na origem dos eixos coordenados conforme figura ao lado Calcule o campo elétrico em um ponto P que está a uma distância d do seu centro e sobre o eixo ox RespEx σ 4ε₀ 1 d R² d² Ey 0 Ez σ 2πε₀ R R²d² lnd RR²d² 14 Seja E a magnitude do campo elétrico num ponto P situado a uma distância D de um plano uniformemente carregado com densidade σ A maior contribuição para E provém dos pontos mais próximos de P sobre o plano Mostre que a região do plano situada a uma distância 2D do ponto P é responsável pela metade E2 do campo em P 15 Considere duas esferas maciças não condutoras de raios iguais a R dispostas conforme figura ao lado onde C é a origem do eixo ox e de uma das esferas Obtenha os pontos sobre o eixo ox para os quais o campo elétrico é nulo nos casos em que as esferas possuem cargas de mesmo módulo e a mesmo sinal b sinais opostos Resp a x R x R35 2 x R51 2 b x 02056R x 22056R 16 Considere uma barra fina não condutora de comprimento L e densidade linear de carga λ mostrada na figura ao lado Mostre que as componentes do campo elétrico produzido pela barra no ponto P são expressas por a Ex λ 4πε₀ 1a 1 a² L² Ey λ 4πε₀ L a² L² b Ex Ey λ 4πε₀a quando L a 17 Considere ainda a barra do problema anterior porém com o ponto P sobre uma vertical a uma distância b da extremidade esquerda da mesma conforme figura ao lado Mostre que as componentes do campo elétrico produzido pela barra no ponto P são expressas por a Ex λ 4πε₀ 1 a²bL² 1 a²b² Ey λ 4πε₀a b a² b² Lb a²bL² b Mostre que o problema 16 é um caso particular deste problema quando L b c Mostre que o campo gerado pelo fio do problema 10 é um caso particular deste problema d Mostre que o campo gerado por um fio infinito é um caso particular deste problema 18 Um cilindro oco de raio R sem tampa e sem fundo e altura H possui uma densidade de carga σ sobre sua superfície lateral conforme podese perceber na figura ao lado a Mostre que o campo elétrico em um ponto P a uma altura h acima do círculo superior do cilindro e sobre seu eixo de simetria é expresso por Ey σR 2εo 1 h²R² 1 hH²R² b Considere agora que o cilindro acima é maciço e possui densidade volumétrica de carga ρ Mostre que o campo elétrico gerado pelo cilindro no ponto P é expresso por Ey ρ 2εo H h² R² h H² R² 19 Considere um cesto cilíndrico de raio R e altura H R O cesto é formado por um fundo na forma de uma placa por seis hastes laterais verticais igualmente espaçadas e um anel superior conforme figura ao lado A placa o anel e cada haste possui carga q Calcule o campo elétrico no ponto P a uma altura h R do plano do anel e sobre seu eixo de simetria Resp Ey q πεoR² 132 16 5 2 12 20 Considere uma semicircunferência de raio R feita de material isolante com densidade linear de carga λ colocada no plano yz e centro na origem conforme figura ao lado Calcule o campo elétrico gerado pela circunferência no ponto P sobre o eixo ox e a uma distância d da origem Resp E λ 4πεo1 R² d²32 πRd 0 2R² 21 Uma calota que equivale a metade de uma casca esférica de raio R possui densidade superficial de carga σ e tem seu centro na origem dos eixos coordenados conforme as figuras abaixo Calcule o campo elétrico no ponto P a uma distância x da origem e sobre o eixo ox para os casos a da Fig a b da Fig b c da Fig c Resp a x R Ex Q 8πεo x² Ey 0 Ez Q 32π²εo x 1 x R 1 R² x² x R Ex 0 Ey 0 Ez Q 32π²εo x 1 R x 1 R² x² b x 0 e x 0 Ex Q 16πεo R x² 2R R² x² x² R² R² x² Ey Ez 0 c x R Ex Ex Ey Ez 0 x R Ex Ex Ey Ez 0 onde Ex Q 16πεo R x² 2R R² x² R² x² R² x² 22 Uma rede está em um campo elétrico uniforme E conforme indicado na figura ao lado O aro um círculo de raio R está alinhado de forma perpendicular ao campo Determine o fluxo através da rede Use a normal orientada para fora Resp φ π E R² 23 a Uma carga pontual q está localizada no centro de um cubo de aresta ℓ a Qual é o valor do fluxo elétrico através de uma das faces do cubo b A carga q é agora colocada em um dos vértices do cubo Qual é o valor do fluxo elétrico através de uma das faces do cubo Resp a φ q 6εo b φ q 24εo 24 Considere uma distribuição de cargas internas à um cubo de lado ℓ mostrado na figura ao lado A face esquerda do cubo está a uma distância ℓ do plano yz A distribuição de cargas gera um campo elétrico cujas componentes são expressas por E ax a2y a2 z onde a é uma constante Mostre que a carga elétrica no interior do cubo é expressa por Q εo a ℓ² 2 ℓ 25 Um esfera maciça isolante de raio a e carga Q é concêntrica com uma camada esférica condutora de raio interno b raio externo c e carga q veja figura Calcule o campo elétrico Er a uma distância r do centro da esfera nas regiões a r a b a r b c b r c d r c e Quais cargas aparecem nas superfícies interna e externa da casca Resp a Er Qr 4πε₀a³ b Er Q 4πε₀r² c Er 0 d Er qQ 4πε₀r² e Q e Q q 26 Um esfera uniformemente carregada com densidade volumétrica ρ contém em seu interior uma cavidade esférica conforme figura Mostre que o campo elétrico no interior da cavidade é uniforme e expresso por E ρ s 3ε₀ onde s é o vetor que liga os centros das duas esferas 27 Considere uma esfera maciça isolante de raio R e carga total Q Calcule as constantes A B e C e o campo elétrico gerado pela esfera em todo espaço para as densidades volumétricas a ρ Ar b ρ B r c ρ C r² onde A B e C são constantes e r é a distância ao centro da esfera Resp Constante r R r R a A Q π R⁴ E Q r² 4πε₀ R⁴ E Q 4πε₀ r² b B Q 2π R² E Q 4πε₀ R² E Q 4πε₀ r² c C Q 4πR E Q 4πε₀ R r E Q 4πε₀ r² 28 Uma camada esférica de raio interno a e raio externo b possui densidade volumétrica ρ A r onde A é uma constante e r é a distância de um ponto da camada ao seu centro No centro da cavidade envolvida pela esfera existe uma carga pontual q a Qual deveria ser o valor de A para que o campo elétrico na região a r b tenha intensidade constante b Qual o valor do campo Resp a A q 2π a² b E q 4πε₀ a² 29 Considere um cilindro maciço de raio R não condutor muito longo e com densidade constante e igual a ρ Calcule o campo elétrico Er r é a distância ao centro do cilindro nas regiões a r R b r R Resp a E ρ r 2ε₀ b E ρ R² 2ε₀ r 30 Considere um cilindro sólido de raio 15 cm não condutor muito longo e com densidade volumétrica de carga ρ A r onde A 200 nC m² Calcule a a densidade linear de carga carga por unidade de comprimento para o cilindro b o campo elétrico para todos os pontos do espaço Resp a λ 188 nC m b E 226 KN C para r 15 cm e E 339 r Nm C para r 15 cm 31 Um tratamento baseado na mecânica quântica para o átomo de hidrogênio mostra que o elétron no átomo pode ser tratado como uma distribuição espalhada de carga negativa da forma ρ ρ0e2ra onde r representa a distância ao centro do núcleo e a o raio de Bohr Calcule a ρo b o campo elétrico a uma distância r do centro do núcleo Resp aρ0 e πa3 b E e 4πε0r2 1 1 2r a 2r2 a2 e2ra 32 No modelo de quark de partículas fundamentais um próton é composto de três quarks dois up cada um com a carga de 2e3 e um quark down com a carga de e3 Suponha que os três quarks estão equidistantes uns dos outros Assuma essa distância como 1 32 1015m e calcule a a energia potencial das interações entre os quarks up e b a energia potencial elétrico total do sistema Resp a 4 84 eV b zero 33 As cargas mostradas na Figura ao lado são fixadas no espaço e possuem valores q1 2μC q2 1μC e q3 1μC Encontre o valor da coordenada x de tal forma que a energia potencial do sistema seja nula Resp x d ou x d2 34 Os dois anéis da Figura ao lado estão separados por uma distância 2R possuem raio R e mesma carga q Mostre que o potencial mínimo devido a carga dos anéis é Vmin q 22πε0R e ocorre no ponto médio entre os anéis e sobre o eixo de simetria 35 Considere duas finas lâminas carregadas infinitas e paralelas uma no plano x 0 e a outra no plano x a O potencial é zero na origem a Determine o potencial elétrico em todos os pontos do espaço se os planos têm densidades positivas e iguais a σ b Determine o potencial elétrico em todos os pontos do espaço se a lâmina no plano x 0 tem densidade de carga σ e a lâmina no plano x a tem densidade σ Resp x 0 0 x a x a a σε0 x 0 σε0 x a b 0 σε0 x 0 36 a Quanta carga está na superfície de um condutor esférico isolado que tem raio 10 0cm e está carregado com 2 00KV b Qual é a energia potencial eletrostática deste condutor Resp a 22 3 nC b22 3 μC 37 Duas esferas metálicas têm raio 10 0cm cada uma Os centros das duas esferas estão separados por 50 0cm As esferas estão inicialmente neutras mas uma carga Q é transferida de uma esfera para a outra criando uma diferença de potencial entre elas de 100V Um próton é liberado do repouso na superfície da esfera carregada positivamente e viaja para a esfera carregada negativamente Com que rapidez ele colide na esfera Resp 1 38 105 ms 38 Um condutor esférico de raio R possui potencial V Quando ele é conectado através de um fio condutor muito fino e longo a um segundo condutor esférico muito distante seu potencial cai para 3V5 Qual é o raio da segunda esfera Resp 2R3 39 Três finas cascas esféricas condutoras e concêntricas têm raios a b e c onde a b c Inicialmente a casca interna está descarregada a casca intermediária tem uma carga positiva Q e a casca externa tem uma carga Q a Determine o potencial elétrico de cada uma das três cascas Se agora as cascas interna e externa forem conectadas por um fio condutor que está isolado e que passa através de um pequeno orifício pela esfera intermediária b qual é o potencial das três cascas e c qual é a carga final em cada uma Resp a Va KQ 1 b 1 c Vb Va Vc 0 b Va 0 Vb KQ cbba b2ca Vc 0 c Qa Q acb bca Qb Q Qc Q cba bca onde K 14πε0 40 Considere duas finas cascas esféricas metálicas e concêntricas de raio a e b onde b a A casca externa tem uma carga Q mas a interna está aterrada Determine a a carga na casca interna b o potencial V r devido às duas cascas para todo o espaço Resp a q Qab b V r KQ b para r a KQ b 1 a r para a r b e V r KQ r 1 a b onde K 14πε0 41 Duas cascas cilíndricas coaxiais condutoras carregadas têm raios a e b onde a b A casca interna tem carga q e a casca externa possui potencial elétrico Vb Mostre que o potencial da casca interna é expresso po V a Vb q1 2πε0 ln ba Mostre também que a carga da casca externa deve ser igual a q para que o potencial seja constante nos pontos externos às cascas References 1 D Halliday R Renick e J Walker Fundamentos de Física Vol 3 8a Edição Ed LTC Rio de Janeiro 2009 2 H M Nussenzveig Curso de Física Básica Vol 3 2a Edição Ed Edgard Blücher São Paulo 1997 3 P A Tipler Física Vol 2 2a Edição Ed Guanabara Rio de Janeiro 1995 4 F W Sears M W Zemansky H D Young R A Freedman Física III 12a Edição Ed Pearson São Paulo 2010