Modelagem de Sistemas Mecanicos - Equacoes Diferenciais e Leis de Conservacao

A modelagem de sistemas mecânicos é uma etapa fundamental para oa engenheiroa é nessa etapa que se conhece todas as características do sistema bem como a maneira de representálas matematicamente e de se obter informações suficientemente dignas para que possa estudar a modelagem sem a necessidade de realizar paradas não programadas na fábrica sem perder tempo e principalmente sem perder dinheiro Comumente para realizar a descrição matemática fazse uso das equações diferenciais ordinárias EDOs Um exemplo disso é a realização das análises das teorias de controle moderno que se baseiam nas EDOs Estas simplificam equações formadas por derivadas e integrais fazendo uso das derivadas OGATA 2010 OLIVEIRA 2019 Os sistemas mecânicos também são considerados exemplos de sistemas dinâmicos pois possuem características de variáveis que são variantes no tempo ou que comutam em um determinado espaço de tempo a modelagem dinâmica geralmente é baseada nas leis de conservação de energia Para Sousa e Pina 1999 todo deslocamento de um corpo sobre uma superfície implica perda de energia mecânica Entretanto ao analisar esta energia sob a ótica das leis de conservação de energia percebese que ela não foi perdida mas se transformou Portanto a energia total do corpo se mantém Figura 1 Exemplo proposto Fonte Elaborada pelo autor PraCegoVer há um sistema contendo um quadrado que representa um bloco na parte superior com uma inscrição m de fundo branco acima do bloco há uma força f puxando o bloco para cima à esquerda do bloco há uma identificação de yt com uma seta apontando para cima abaixo do bloco há dois elementos uma mola com inscrição k e um amortecedor com inscrição b conectados tanto no bloco quando no solo OGATA K Engenharia de Controle Moderno 5 ed Tradução de Heloísa Coimbra de Souza São Paulo Pearson Prentice Hall 2010 OLIVEIRA R L Equações diferenciais ordinárias métodos de resolução e aplicações Curitiba InterSaberes 2019 Disponível em httpsplataformabvirtualcombrAcervoPublicacao174206 Acesso em 21 maio 2021 SOUSA C A PINA E P A lei de conservação de energia aplicação ao rolamento com e sem deslizamento Gazeta de Física s l v 22 n 2 p 1015 1999 Disponível em httpswwwspfptmagazinesGFIS83article534pdf Acesso em 10 maio 2021 Após a leitura dos parágrafos anteriores considere as leis de conservação mecânica e as equações diferenciais e apresente os mecanismos necessários para o dimensionamento de sistemas massamolaamortecedor Figura 1 identifique as equações diferenciais necessárias para descrevêlos e encontre a função de transferência do sistema Modelagem do sistema massamolaamortecedor Sabemos que a força na mola é proporcional ao deslocamento do bloco e que a força no amortecedor é proporcional à velocidade do bloco Assim podemos usar a Segunda Lei de Newton e escrever Entretanto a velocidade e a aceleração podem ser escritas em função do deslocamento por Portanto temos a seguinte equação diferencial de segunda ordem para modelar o problema Para resolver essa equação diferencial usamos as condições iniciais mais simples possíveis isto é y0 y0 0 Assim podemos aplicar a transformada de Laplace em ambos os membros e aplicar as propriedades de linearidade para obter As transformadas individuais são Então ficamos com Que podemos escrever como A função de transferência desse sistema Gs é a que relaciona a entrada Fs com a saída Ys ou seja Comparando com a expressão para Ys acima podemos escrever então