Finalizar Tcc - Analise Modal Experimental - Simulação no Matlab

MARCOS FERNANDO DE BARROS ROGENSKI COMPARAÇÃO ENTRE DIFERENTES FUNÇÕES OBJETIVOS PARA ATUALIZAÇÃO ESTRUTURAL DE SISTEMAS MECÂNICOS NO DOMÍNIO DA FREQUÊNCIA TELÊMACO BORBA 2024 MARCOS FERNANDO DE BARROS ROGENSKI 2 COMPARAÇÃO ENTRE DIFERENTES FUNÇÕES OBJETIVOS PARA ATUALIZAÇÃO ESTRUTURAL DE SISTEMAS MECÂNICOS NO DOMÍNIO DA FREQUÊNCIA Projeto de TCC apresentado ao curso de Graduação em Engenharia de Mecânica do Centro Universitário de Telêmaco Borba como requisito parcial à obtenção do grau de Bacharel em Engenharia Mecânica Orientador Prof Dr Kevin Mauricio Menon Ribeiro TELÊMACO BORBA 2024 RESUMO 3 A atualização estrutural de modelos por elementos finitos FEM é crucial para garantir que modelos computacionais representem com precisão o comportamento real de estruturas físicas Com os avanços tecnológicos e o aumento da complexidade dos sistemas estruturais a demanda por métodos sofisticados de atualização e validação tem crescido Algoritmos genéticos GA e Programação Quadrática Sequencial SQP destacamse como técnicas de otimização não linear eficazes para aumentar a precisão dos modelos Algoritmos genéticos baseados em processos de seleção natural e genética são eficazes na busca de ótimos globais e na exploração de grandes espaços de solução especialmente em problemas complexos com múltiplos pontos de mínimos e máximos Por outro lado a SQP é uma abordagem de otimização local não linear que oferece soluções precisas com convergência eficaz em torno de um ótimo local A combinação dessas duas técnicas em uma abordagem híbrida aproveita a exploração global dos algoritmos genéticos e a convergência local eficaz da SQP Estudos recentes mostram que essa abordagem híbrida melhora significativamente a precisão dos modelos estruturais comparada aos métodos tradicionais Nesse contexto o presente trabalho examina a utilização de uma técnica híbrida de otimização que combina algoritmos genéticos e SQP para a atualização estrutural de modelos FEM visando otimizar a precisão dos modelos A abordagem proposta testa uma variedade de funções objetivo baseadas em respostas em frequências e parâmetros modais obtidos da análise modal experimental no domínio da frequência A avaliação dessas funções objetivo permitirá determinar quais fornecem dados mais precisos sobre a correlação entre modelos numéricos e resultados experimentais melhorando assim a confiabilidade e precisão dos modelos estruturais atualizados Palavraschave Método dos Elementos Finitos Atualização Estrutural Técnicas de Otimização Não Linear Algoritmos Genéticos Programação Quadrática Sequencial ABSTRACT 4 The structural updating of finite element models FEM is crucial to ensure that computational models accurately represent the real behavior of physical structures With technological advances and the increasing complexity of structural systems the demand for sophisticated updating and validation methods has grown Genetic algorithms GA and Sequential Quadratic Programming SQP stand out as effective nonlinear optimization techniques to enhance model accuracy Genetic algorithms based on processes of natural selection and genetics are effective in searching for global optima and exploring large solution spaces especially in complex problems with multiple minima and maxima On the other hand SQP is a local nonlinear optimization approach that offers precise solutions with effective convergence around a local optimum Combining these two techniques in a hybrid approach leverages the global exploration of genetic algorithms and the effective local convergence of SQP Recent studies show that this hybrid approach significantly improves the accuracy of structural models compared to traditional methods In this context the present work examines the use of a hybrid optimization technique that combines genetic algorithms and SQP for the structural updating of FEM models aiming to optimize model accuracy The proposed approach tests a variety of objective functions based on frequency responses and modal parameters obtained from experimental modal analysis in the frequency domain Evaluating these objective functions will determine which provide the most accurate data on the correlation between numerical models and experimental results thus improving the reliability and accuracy of the updated structural models Keywords Finite Element Method Structural Updating Nonlinear Optimization Techniques Genetic Algorithms Sequential Quadratic Programming LISTA DE FIGURAS 5 FIGURA 1 COMPARAÇÃO ENTRE UM GDL X MÚLTIPLOS GDL12 FIGURA 2 ESTRUTURA REAL X MODELO CONTÍNUO E DISCRETO13 FIGURA 3 MODELO MASSA MOLA AMORTECIDO15 FIGURA 4 MOLA SOB DEFORMAÇÃO14 FIGURA 5 CILINDRO HIDRÁULICO SOB AMORTECIMENTO VISCOSO 16 FIGURA 6 DIAGRAMA DE CORPO LIVRE 17 FIGURA 7 FRFS DE RECEPTÂNCIA MOBILIDADE E ACELERAÇÃO EM 1 GDL EM GRÁFICO LINEARLINEAR 21 FIGURA 8 FRFS DE RECEPTÂNCIA MOBILIDADE E INERTÂNCIA EM 1 GDL EM GRÁFICO LOGLOG 22 FIGURA 9 a SISTEMA COM MÚLTIPLOS GDL b DCL DAS MASSAS 23 FIGURA 10 ROTA DE ANÁLISE MODAL EXPERIMENTALError Reference source not found FIGURA 11 ESQUEMATIZAÇÃO DA FUNÇÃO MODALFITError Reference source not found FIGURA 12 MÍNIMO LOCAL X MÍNIMO GLOBAL Error Reference source not found6 FIGURA 13 ESQUEMATIZAÇÃO DE UM PROCESSO DE OTIMIZAÇÃO Error Reference source not found8 FIGURA 14 EXPERIMENTO VIRTUAL EM UMA VIGA ENGASTADA Error Reference source not found0 FIGURA 15 REPRESENTAÇÃO ESQUEMÁTICA DE UM ELEMENTO DE EULER BERNOULLI COM DOIS GRAUS DE LIBERDADE POR NÓ 41 6 7 SUMÁRIO 1 INTRODUÇÃO 8 11 CONTEXTUALIZAÇÃO 8 12 OBJETIVOS 9 121 Objetivo geral 9 122 Objetivos específicos 9 13 ESTRUTURA DO TRABALHO 9 2 REVISÃO BIBLIOGRÁFICA 11 21 MODELAGEM MATEMÁTICA DE SISTEMAS VIBRATÓRIOS 11 22 MODELOS DE UM GRAU DE LIBERDADE 13 221 Elementos de Inércia e Rigidez 14 222 Dissipação de Energia 16 223 Equação do Movimento de um sistema de um GDL 18 224 Transformada de Fourier e Função Resposta em Frequência20 23 SISTEMAS MECANICOS COM MULTIPLOS GRAUS DE LIBERDADE 23 24 ANÁLISE MODAL TEÓRICA PARA SISTEMAS COM MÚLTIPLOS GRAU DE LIBERDADE 26 25 ANÁLISE MODAL EXPERIMENTAL 31 26 OTIMIZAÇÃO DE MODELOS MATEMÁTICOS 35 261 Função Objetivo e Funções de Restrição36 262 O Problema Padrão 38 263 Técnicas de Otimização 39 3 METODOLOGIA 41 31 EXPERIMENTO VIRTUAL 41 311 Modelagem Matemática 42 312 Processamento de Sinais 44 32 ANALISE MODAL EXPERIMENTAL 45 33 ATUALIZAÇÃO ESTRUTURAL UTILIZANDO TONL 45 331 Funções objetivos baseadas nos parâmetros modais 46 332 Funções objetivos baseadas nas funções resposta em frequência 46 4 CRONOGRAMA 47 8 1 INTRODUÇÃO 11 CONTEXTUALIZAÇÃO Uma prática importante na engenharia é a atualização estrutural de modelos por elementos finitos que visa garantir que os modelos computacionais representem com precisão o comportamento real de estruturas físicas A demanda por métodos sofisticados para atualizar e validar esses modelos tem aumentado significativamente como resultado dos avanços tecnológicos e do aumento da complexidade dos sistemas estruturais Os algoritmos genéticos GA e a Programação Quadrática Sequencial SQP são dois exemplos de técnicas de otimização não linear que têm se destacado como ferramentas poderosas para aumentar a precisão dos modelos Os algoritmos genéticos baseados em processos de seleção natural e genética são eficazes na busca de ótimos globais e na exploração de grandes espaços de solução YANG 2020 Esses algoritmos são especialmente úteis para problemas complexos em funções objetivos que demonstram múltiplos pontos de mínimos e máximos Por outro lado a abordagem SQP é uma abordagem de otimização local não linear que oferece soluções aproximadas com ajuste preciso e convergência eficaz em torno de um ótimo local BIEGLER 2010 Uma técnica híbrida poderosa que aproveita a exploração global dos algoritmos genéticos e a exploração local eficaz da SQP pode ser desenvolvida por uma combinação dessas duas abordagens Estudos recentes mostram que abordagens híbridas que integram algoritmos genéticos e SQP são eficazes na atualização de modelos por elementos finitos Por exemplo Medeiros 2010 Medeiros et al 2019 Soares 2021 e Ribeiro 2023 demonstram em seus estudos que a combinação dessas abordagens pode aumentar significativamente a precisão dos modelos estruturais em comparação com os métodos tradicionais Neste contexto o presente trabalho examina a utilização de uma abordagem híbrida que combina algoritmos genéticos com a Programação Quadrática Sequencial SQP para a atualização estrutural de modelos de elementos finitos Essa técnica visa otimizar a precisão dos modelos ao testar uma variedade de funções objetivo que são baseadas nas funções respostas em frequências e nos parâmetros modais obtidos da análise modal experimental no domínio da 9 frequência A avaliação numérica dessas funções objetivo permitirá determinar quais fornecem dados mais precisos sobre a correlação entre os modelos numéricos e os resultados experimentais 12 OBJETIVOS 121 Objetivo geral O objetivo geral deste trabalho consiste em avaliar numericamente uma metodologia que utiliza uma técnica de otimização não linear híbrida combinando algoritmos genéticos com programação quadrática sequencial aplicada a uma variedade de funções objetivo para a atualização estrutural 122 Objetivos específicos Tendo em vista o objetivo geral os seguintes objetivos específicos são listados Realizar um experimento virtual com base em um modelo construído por elementos finitos que simula uma condição real de medição Aplicar técnicas de análise modal experimental visando a identificação de grandezas modais experimentais Avaliar diferentes funções objetivo baseadas em parâmetros modais e funções resposta em frequência com o objetivo de atualizar o modelo das grandezas a serem identificadas Comparar os resultados obtidos numericamente com os resultados do experimento virtual visando validar o método desenvolvido 13 ESTRUTURA DO TRABALHO No Capítulo 2 é realizada uma breve revisão bibliográfica abordando os principais conceitos relacionados às vibrações mecânicas à análise modal e às técnicas de otimização não linear para atualização estrutural No capítulo 3 é apresentada a metodologia para atingir os objetivos do trabalho 10 No capítulo 4 é apresentado o cronograma das atividades de acordo com a metodologia proposta 11 2 REVISÃO BIBLIOGRÁFICA A presente pesquisa tratase de uma comparação entre diferentes funções objetivos para atualização estrutural de sistemas mecânicos no domínio da frequência utilizando técnicas de otimização não linear Todavia para que haja um bom entendimento do trabalho é necessário realizar um breve estudo abordando os principais conceitos relacionados às vibrações mecânicas a análise modal e às técnicas de otimização não linear para atualização estrutural 21 MODELAGEM MATEMÁTICA DE SISTEMAS VIBRATÓRIOS O estudo de vibrações visa definir parâmetros que orientem a correção de um problema pela modificação estrutural ou atuação direta decorrente das excitações Esses parâmetros devem ser definidos matematicamente Porém sistemas mecânicos reais são difíceis de serem descritos em um sistema matemático e para isso tornase necessário aplicalos em um modelo matemático buscando uma aproximação do sistema físico real tornando possível a aplicação de conceitos e princípios da dinâmica Diversos métodos estão disponíveis para a modelagem de estruturas e sistemas mecânicos Existem duas formas na qual os modelos de sistemas mecânicos podem ser divididos sendo eles os modelos discretos também referidos como parâmetros concentrados e os modelos contínuos de parâmetros distribuídos MEIROVITCH 2010 Nos modelos discretos o sistema é representado por um conjunto finito de componentes individuais como massas molas e amortecedores cada um com a sua própria posição velocidade e aceleração As interações entre esses componentes são representadas por equações diferenciais ordinárias ODEs De maneira geral os sistemas discretos podem ser classificados em modelos de um grau de liberdade e modelos com múltiplos graus de liberdade Em um modelo de um grau de liberdade GDL o sistema é restrito a se mover ao longo de uma única direção ou grau de liberdade Isso significa que suas características dinâmicas são totalmente determinadas por uma única variável como a posição velocidade ou aceleração ao longo dessa direção específica Um exemplo 12 clássico é o pêndulo simples onde a posição angular é o único parâmetro necessário para descrever o movimento INMAN 1994 RAO 2007 Por outro lado nos modelos com múltiplos graus de liberdade o sistema mecânico possui a capacidade de se mover em mais de uma direção independente Aqui múltiplas variáveis de posição velocidade e aceleração são necessárias para descrever completamente o estado do sistema Esses modelos são frequentemente encontrados em sistemas de múltiplos corpos nos quais várias partes interagem entre si e contribuem com seus próprios graus de liberdade para o comportamento dinâmico do sistema como um todo Por exemplo um veículo pode ser modelado com múltiplos graus de liberdade considerando as diferentes articulações e movimentos possíveis como a rotação das rodas a inclinação do chassi entre outros INMAN 1994 RAO 2007 Na FIGURA 1 é ilustrada uma comparação entre os modelos de um grau de liberdade e os modelos de múltiplos graus de liberdade FIGURA 1 COMPARAÇÃO ENTRE UM GDL X MÚLTIPLOS GDL FONTE O Autor 2024 Já nos modelos contínuos de parâmetros distribuídos o sistema é tratado como um meio contínuo onde as propriedades são distribuídas uniformemente em uma região específica Nesse modelo o sistema é descrito por equações diferenciais 13 parciais EDPs que descrevem como as quantidades físicas variam continuamente no espaço e no tempo INMAN 1994 RAO 2007 De maneira geral a discretização de sistemas contínuos é realizada por meio de técnicas específicas sendo o Método dos Elementos Finitos MEF uma das abordagens mais amplamente empregadas ALVES 2009 Neste método o domínio contínuo é fragmentado em elementos discretos possibilitando a representação aproximada das variáveis físicas e a resolução numérica das Equações Diferenciais Parciais EDPs associadas A aplicação do MEF é ilustrada na FIGURA 2 demonstrando a subdivisão do domínio contínuo em elementos finitos para a análise numérica de sistemas mecânicos estruturais complexos FIGURA 2 ESTRUTURA REAL X MODELO CONTÍNUO E DISCRETO FONTE Adaptado de ALVES 2009 22 MODELOS DE UM GRAU DE LIBERDADE O modelo de um GDL é a representação mais simples um sistema mecânico principalmente tratandose de um sistema complexo Apesar de sua 14 simplicidade ele é um ótimo início para estudos de vibrações que podem auxiliar no entendimento e solução de problemas mecânicos A compreensão precisa da dinâmica de um sistema deve ser entendida analisando não o sistema em si mas sim o seu modelo matemático Para isso devese considerar que um equipamento em análise aplicado nesse modelo deve possuir uma massa e um fator que gera esforço dinâmico que excita o sistema resultando em um deslocamento em relação à sua configuração de equilíbrio estática De acordo com Balachandran 2009 os elementos de um sistema mecânico sob vibração podem ser divididos em três categorias principais massa rigidez e amortecimento Esses componentes são essenciais para descrever o comportamento dinâmico do sistema A massa representa a inércia do sistema a rigidez está relacionada à sua capacidade de resistir à deformação e o amortecimento descreve a dissipação de energia Esses pontos serão detalhados nos tópicos seguintes tratando suas representações e equacionamentos 221 Elementos de Inércia e Rigidez A Primeira Lei de Newton estabelece que um corpo tende a permanecer em repouso ou movimento uniforme em linha reta a menos que sofra alteração de uma força externa Este é o princípio da inércia INMAN 1994 RAO 2007 As características de inércia dos sistemas vibratórios são determinadas pela massa dos elementos que os compõem Elas estão ligadas a capacidade de armazenamento de energia cinética bem como à energia potencial gravitacional Quanto maior for a massa de um corpo maior será a sua inércia BALACHANDRAN 2009 Já os elementos de rigidez são capazes de armazenar energia potencial do sistema Os elementos mais utilizados são as molas que ao se deformarem elasticamente acabam armazenando e liberando energia potencial INMAN 1994 RAO 2007 A FIGURA 3 representa um sistema massamola para um sistema ideal com 1 GDL 15 FIGURA 3 MODELO MASSA MOLA AMORTECIDO FONTE O Autor 2024 Nesse modelo a variável corresponde a massa do equipamento a constante de amortecimento e indica a constante de rigidez da mola sendo equivalente as duas vigas que suportam o equipamento Considerando uma força aplicada de forma gradual em uma mola apresentase a seguinte representação conforme ilustrado na FIGURA 4 MEIROVITCH 2010 FIGURA 4 MOLA SOB DEFORMAÇÃO FONTE O Autor 2024 Em consequência dessa excitação a mola sofrerá deformação que será na direção da força Nesse contexto considerase que a deformação da mola para uma força será Então a rigidez pode ser definida como MEIROVITCH 2010 16 21 O armazenamento de energia potencial elástica acontece no momento da deformação entre e sendo igual ao trabalho da força aplicada portanto resultando na seguinte expressão MEIROVITCH 2010 22 Em geral a rigidez depende do estado de deformação da mola Porém em casos práticos as excitações vibracionais representam pequenos deslocamentos em relação à configuração de equilíbrio Se representa a deformação elástica de referência da estrutura a rigidez pode ser considerada constante durante esses movimentos e igual a ou até mesmo já que será pequeno Essa suposição configura uma linearização da mola MEIROVITCH 2010 Portanto as equações 21 e 22 podem ser reduzidas em 23 e 24 considerando como a deformação da mola restrita à faixa de validade da lei de Hooke 222 Dissipação de Energia O terceiro ponto abordado trata o amortecimento viscoso que representa a dissipação de energia mecânica decorrente de uma resistência viscosa resultante 17 de um movimento de massa através do fluido MEIROVITCH 2010 Uma representação esquemática de um sistema hidráulico facilita a compreensão de funcionamento desse amortecimento A FIGURA 5 representa o movimento de um cilindro hidráulico pontuando os fatores de força e amortecimento FIGURA 5 CILINDRO HIDRÁULICO SOB AMORTECIMENTO VISCOSO FONTE O Autor 2024 No cilindro o fluido preenche seu interior através do orifício do pistão em movimento Esse deslocamento contra a viscosidade do fluido gera uma força chamada viscosa contrária ao movimento e proporcional à velocidade 1 do êmbolo Para a força viscosa considerase a seguinte relação MEIROVITCH 2010 25 onde representa a constante de amortecimento dependente das características do amortecedor 1 O termo representa a primeira derivada temporal de ou seja 18 Dado que a força viscosa sempre será contrária a velocidade do sistema seu trabalho sempre será negativo Assim sendo o amortecimento viscoso irá retirar continuamente a energia mecânica do sistema 223 Equação do Movimento de um sistema de um GDL Partindo das idealizações discutidas anteriormente podese determinar a equação diferencial que rege o movimento do equipamento conforme o modelo estabelecido Para determinala é necessário construir um diagrama de corpo livre para o sistema conforme mostra a FIGURA 6 FIGURA 6 DIAGRAMA DE CORPO LIVRE FONTE O Autor 2024 No diagrama é possível encontrar todas as forças que atuam sobre o equipamento onde é a força de excitação é o peso próprio é a força estática aplicada ao corpo pela mola para equilibrar o próprio peso é a força elástica aplicada ao corpo pela mola decorrente do deslocamento em relação a posição inicial de equilíbrio e é a força viscosa aplicada ao corpo pelo amortecedor 19 A partir de um corpo rígido em translação a segunda lei de Newton estabelece que MEIROVITCH 2010 26 onde representa a força resultante e a aceleração do centro de massa do corpo rígido Quando os movimentos ocorrem em somente uma direção essa equação pode ser escrita de forma escalar sendo 2 Ao aplicar a equação 26 ao digrama de corpo livre da figura 5 chegase em 27 como a equação acaba em3 28 A Eq 28 consiste em uma equação diferencial ordinária de segunda ordem que define o movimento do sistema A solução expressa por bem como suas derivadas e representam a vibração do sistema e serão determinadas por e pelas propriedades mecânicas do sistema A natureza dessa vibração está associada à natureza de excitação assim como às condições iniciais do movimento Obtendose pela via clássica a solução completa da equação 28 é normalmente composta de duas partes de modo que MEIROVITCH 2010 29 onde é a solução homogênea e é a solução particular 2 O termo representa a primeira derivada temporal de ou seja 3 A Eq 28 pode alternativamente ser escrita como 20 A solução homogênea consiste na solução do lado esquerdo da Eq 28 com o lado direito igual a zero A solução homogênea depende das condições iniciais de movimento isto é pelo deslocamento e velocidade no instante e também da excitação Essa solução é sempre transitória tendendo a desaparecer com o tempo INMAN 1994 RAO 2007 Já a solução particular não depende das condições iniciais sendo apenas funções de Quando for do tipo permanente por exemplo então também o será INMAN 1994 RAO 2007 224 Transformada de Fourier e Função Resposta em Frequência Aplicando a transformada de Fourier4 em ambos os lados da equação 28 chegase sucessivamente nas seguintes relações 211 212 ou ainda como 4 A transformada de Fourier de uma função é denotada por e definida por KREYSZIG 2009 Essa operação transforma a função real do tempo variável independente real na função complexa de frequência também variável independente real A inversão dessa operação se dá pela transformada inversa de Fourier que é definida por KREYSZIG 2009 Essas duas expressões formam o chamado par de Fourier 21 213 onde é a resposta do deslocamento no domínio da frequência e é força no domínio da frequência sendo essa razão conhecida como receptância Existem também outras funções que relacionam vibração e excitação no domínio da frequência Um exemplo é a mobilidade que relaciona velocidade e força sendo definida por 214 Há também a inertância relacionando aceleração e força sendo expressa por 215 Essas funções complexas que relaciona a resposta de vibração e excitação no domínio da frequência tal como receptância mobilidade e inertância são conhecidas como funções resposta em frequência FRFs Os elementos de receptância mobilidade e inertância são funções do sistema e não são influenciadas pela excitação específica que atua nesse sistema portanto suas definições podem ser relacionadas Uma vez que a expressão analítica de uma FRF é determinada pelos parâmetros do sistema massa rigidez e amortecimento bem como pela variável esperase que esses parâmetros possam ser derivados facilmente do gráfico da FRF He Fu 2001 No entanto o gráfico linearlinear de uma FRF é dominado pelo pico de ressonância conforme mostrado na FIGURA 7 22 FIGURA 7 FRFS DE RECEPTÂNCIA MOBILIDADE E ACELERAÇÃO EM 1 GDL EM GRÁFICO LINEARLINEAR FONTE HE FU 2001 Por conta desses picos é difícil apreciar toda a curva FRF já que o pico de ressonância alta supera o resto da curva Não é tão óbvio como os parâmetros físicos podem ser derivados A partir da teoria de vibração de um sistema com 1 GDL sabese que em baixas frequências a FRF é dominada pela característica de rigidez do sistema Em altas frequências a característica de massa prescreve a FRF Na vizinhança da ressonância a característica de amortecimento comanda a função O gráfico linear linear não ajuda Mas é possível utilizar um gráfico loglog para estudar as características de massa e rigidez do sistema uma vez que o gráfico realça as regiões fora da ressonância HE FU 2001 A partir dos gráficos de amplitude da FRF como função da frequência a forma da FRF pode ser detectada em escala logarítmica conforme os gráficos apresentados na FIGURA 8 23 FIGURA 8 FRFS DE RECEPTÂNCIA MOBILIDADE E INERTÂNCIA EM 1 GDL EM GRÁFICO LOGLOG FONTE BILOŠOVÁ 2011 Nesse caso a magnitude da FRF é convertida para escala de decibéis definida como 216 23 SISTEMAS MECANICOS COM MULTIPLOS GRAUS DE LIBERDADE 24 Um sistema simples com múltiplos graus de liberdade é apresentado na FIGURA 9 FIGURA 9 a SISTEMA COM MÚLTIPLOS GDL b DCL DAS MASSAS FONTE RAO 2007 De acordo com Rao 2007 para um sistema com múltiplos GDL é mais conveniente usar a notação matricial para expressar as equações de movimento e descrever a resposta vibracional Seja o deslocamento da massa medido a partir de sua posição de equilíbrio estático As equações de movimento do sistema graus de liberdade mostrado na 9a podem ser derivadas dos diagramas de corpo livre das massas mostrados na figura 9b e podem ser expressas em forma matricial como 217 onde e denotam as matrizes de massa amortecimento e rigidez respectivamente 25 218 219 220 Os vetores e representam na ordem os vetores de deslocamento velocidade e aceleração de várias massas enquanto o vetor indica a ação das forças sobre a massa 221 onde cada ponto sobre representa uma derivada temporal de Rao 2008 O esquema apresentado na figura 9 trata um sistema de massamola amortecido sendo um sistema com n GDL De forma geral as matrizes de massa amortecimento e rigidez são povoadas na equação 217 sendo expressas como 26 222 223 224 A equação 217 representa um sistema de equações diferenciais ordinárias de segunda ordem acopladas Esse conjunto de equações pode ser desacoplado através de um processo conhecido como análise modal que envolve a determinação das frequências naturais e dos modos normais também chamados de modos naturais do sistema Para encontrar tais frequências naturais e modos normais é necessário resolver o problema de autovalor associado à vibração do sistema não amortecido RAO 2008 24 ANÁLISE MODAL TEÓRICA PARA SISTEMAS COM MÚLTIPLOS GRAU DE LIBERDADE A equação de movimento de um sistema com múltiplos graus de liberdade é determinada pela equação 217 Fazendo assumese a solução homogênea na forma 225 27 Supondo que a solução da Eq 225 é dada por EWINS2009 226 Substituindo a solução na equação do sistema temse que 227 ou 228 Sendo chegase ao seguinte problema de autovalores 229 onde representa o iésimo autovalor iésima frequência natural do sistema não amortecido e o iésimo autovetor associado iésimo modo de vibrar As frequências naturais para o sistema não amortecido determinam as frequências para as quais o sistema possui uma impedância muito baixa ou nula Ao ser excitado nessa frequência o sistema responderá com grandes amplitudes de vibração E os modos de vibrar representam a forma de vibrar do sistema para cada frequência natural correspondente EWINS 2009 Sendo os autovalores e distintos entre si temse que 230 231 28 Pré multiplicando as Eq 230 e 231 por e é possível encontrar que 232 233 Considerando que as matriz e são simétricas mostrase que 234 235 então 236 Com isso se tem que portanto 237 ou seja os autovetores e são ortogonais em relação as matrizes e Fazendo agora temse matricialmente que 238 29 Ortonormalizando os autovetores por ou seja 239 obtêmse como resultado as seguintes relações 240 onde é a matriz de identidade Considerando o caso de amortecimento proporcional tal que 241 onde e são duas constantes de proporcionalidade Aplicando a transformação modal na matriz de amortecimento dada pela Eq 241 chegase que 242 onde e são respectivamente a razão de amortecimento e a frequência natural relativos ao iésimo modo de de vibrar A razão de amortecimento modal relativa ao iésimo modo pode ser ainda escrita como 30 243 Para obtenção da Função resposta em frequência do sistema supõese que a solução do sistema é dada por5 244 onde é o vetor das coordenadas generalizadas do espaço de configuração e é o vetor das coordenadas generalizadas no espaço modal do sistema Pré multiplicando todos os termos da Eq 244 por resulta em EWINS2009 245 Aplicando a transformada de Fourier na equação anterior obtémse como resultado 246 Aplicando a transformada de Fourier na Eq 244 de modo que 247 substituindo a Eq 246 na Eq 247 obtémse a seguinte relação 248 5 A Eq 244 representa uma transformação linear de coordenadas do espaço de configuração para o espaço modal através da matriz de autovetores 31 Na Eq 248 o termo 249 representa por sua vez a função resposta em frequência do sistema em especial a sua receptância Pode se ver em Ewins 2010 que um termo particular da Eq 249 pode ser obtido através da seguinte relação 250 onde a função representa a função resposta em frequência do sistema medida na coordenada generalizada quando excitada na coordenada 25 ANÁLISE MODAL EXPERIMENTAL A análise modal experimental AME é uma metodologia fundamental para entender e validar os princípios e fenômenos relacionados à vibração Durante a AME aplicase uma força conhecida à estrutura em análise para observar as respostas em diversos pontos Normalmente a excitação é feita usando um martelo de impacto ou excitadores eletrodinâmicos shakers Os sinais gerados pela excitação e as respostas são captados por sensores e processados por analisadores digitais de sinais Esses analisadores possibilitam a obtenção das funções de resposta em frequência FRFs e a extração dos parâmetros modais da estrutura RIBEIRO 2023 Esse processo é apresentado na FIGURA 10 32 FIGURA 10 ROTA DE ANÁLISE MODAL EXPERIMENTAL FONTE RIBEIRO 2023 Segundo Ewins 2009 há três razões principais para se estudar a AME sendo elas Determinação da origem e do nível de resposta vibratória Validação de modelos de simulação assim como suas previsões de vibração Medição de parâmetros materiais A análise modal experimental AME é um método utilizado para extrair parâmetros modais sendo as frequências naturais razões de amortecimento e constantes modais através de dados experimentais obtidos em testes de vibração Os dados medidos podem estar na forma de funções resposta em frequência FRFs ou funções de resposta ao impulso permitindo o uso de técnicas de AME tanto no domínio da frequência quanto no domínio do tempo RIBEIRO 2023 A base da AME no domínio da frequência utilizando FRFs envolve o ajuste de curvas aos dados experimentais com um modelo matemático predefinido da estrutura analisada Esse modelo considera o número de graus de liberdade GDL da estrutura o tipo de amortecimento e possivelmente o número de modos de 33 vibração dentro da faixa de frequência medida Essas suposições determinam a expressão matemática de cada curva de FRF Como resultado o processo subsequente consiste no ajuste das curvas visando derivar todos os parâmetros modais a partir de uma expressão matemática de uma FRF utilizando os dados medidos RIBEIRO 2023 Considere uma estrutura que pode ser discretizada em um sistema com N graus de liberdade A expressão analítica da função resposta em frequência receptância com amortecimento viscoso é RIBEIRO 2023 251 onde representa a receptância entre os graus de liberdade e Caso somente os primeiros modos sejam abrangidos dentro da faixa de frequência medida em uma determinada banda considerando a frequência logo acima de zero então a expressão 252 remove o impacto dos modos além da faixa de medição Uma alternativa para obter o efeito desses modos observado nas medições é adicionar um termo residual de alta frequência de forma que 253 Em geral esse termo residual é definido como uma função linear o que viabiliza a análise modal sem complicações ocasionadas pelos modos invisíveis FU HE 2001 34 Assim como geralmente ocorre no ajuste de curvas a função de erro é definida como a diferença entre a FRF estimada numericamente e a FRF medida experimentalmente de modo que 254 onde é a FRF medida experimentalmente Muitos métodos de análise modal baseiamse na minimização dessa função de erro É importante destacar que a validade e a precisão dos resultados dependem tanto da precisão dos dados experimentais quanto da validade da expressão analítica da FRF RIBEIRO 2023 O software de computação numérica MATLAB oferece um pacote de processamento de sinais que possui a função modalfit Essa função é aplicada na análise modal experimental para determinar os parâmetros modais de uma estrutura em análise Ela possibilita a utilização de três métodos sendo eles RIBEIRO 2023 Método da detecção dos picos PP Peak Picking Método da exponencial complexa por mínimos quadrados LSCE Least Squares Complex Exponential Método das funções racionais por mínimos quadrados LSRF Least Squares Rational Function O método Peak Picking considerado o mais simples para análise modal experimental no domínio da frequência baseiase na suposição de sistemas de um grau de liberdade SDOF em torno de cada ressonância Esse método envolve a separação de cada modo próximo a um ponto de ressonância para a extração dos parâmetros modais RIBEIRO 2023 O método da exponencial complexa por mínimos quadrados LSCE é uma técnica de análise de sistemas com múltiplos graus de liberdade MDOF utilizada no domínio do tempo e apropriada para múltiplas entradas e saídas Esse método examina as funções de resposta ao impulso de um sistema MDOF empregando polos e resíduos complexos por meio de exponenciais complexas A partir disso é construído um modelo autorregressivo que resulta em um polinômio cujas raízes são os polos complexos do sistema Estimando essas raízes 35 que representam as frequências naturais e razões de amortecimento é possível derivar os resíduos do modelo autorregressivo para determinar as formas modais Cada função de resposta ao impulso pode ser obtida pela transformada inversa de Fourier de uma FRF ou pelo processo de decremento aleatório RIBEIRO 2023 Já o método das funções racionais por mínimos quadrados LSRF é uma abordagem de múltiplas entradas e múltiplas saídas para sistemas com múltiplos graus de liberdade MDOF Operando no domínio da frequência este método representa cada Função de Resposta em Frequência FRF por meio de uma fração polinomial composta por um numerador e um denominador A adequação das FRFs é avaliada minimizando o erro quadrático absoluto entre a formulação analítica e os resultados experimentais RIBEIRO 2023 Um fluxograma é representado na imagem 11 resumindo a função modalfit utilizada no MATLAB FIGURA 11 ESQUEMATIZAÇÃO DA FUNÇÃO MODALFIT FONTE ADAPTADO DE RIBEIRO 2023 26 OTIMIZAÇÃO DE MODELOS MATEMÁTICOS A validação de um modelo matemático tem como objetivo assegurar sua precisão garantindo que ele represente adequadamente o sistema em estudo nas 36 condições de interesse Após a criação do modelo suas respostas são comparadas com medições experimentais A partir dessas comparações podem ser feitas modificações no modelo repetindose o processo até que se obtenha uma correlação satisfatória entre os resultados matemáticosnuméricos e os experimentais RIBEIRO 2023 As alterações mencionadas anteriormente podem ser realizadas por tentativa e erro ajustando os valores dos parâmetros estruturais até se alcançar a representação desejada Contudo uma abordagem mais sistemática pode ser adotada através da atualização estrutural Nesse método o modelo numérico é refinado de maneira criteriosa com uma préseleção dos parâmetros a serem modificados e a utilização de dados medidos para estimar por meio de técnicas de otimização os valores dos parâmetros que minimizem as discrepâncias entre os resultados numéricos e experimentais RIBEIRO 2023 As técnicas de otimização não linear TONL são ferramentas valiosas para lidar com essas situações Além de otimizarem funções com o objetivo de maximizar ou minimizar seus valores essas técnicas também podem restringir os parâmetros dentro de limites preestabelecidos definindo assim o espaço de projeto viável RIBEIRO 2023 A otimização de um modelo numérico de uma estrutura abre oportunidades de modificar diversas grandezas associadas a esse modelo Essas grandezas são representadas por um conjunto de variáveis de projeto formando um vetor denominado onde é o número total de variáveis de projeto para o problema analisado Através de um processo genérico de otimização esse vetor pode ser atualizado de modo a alcançar um ponto ótimo representado pelo vetor ARORA 2015 Um ponto ótimo representa os valores ideais das variáveis de projeto proporcionando a melhor representação do modelo numérico da estrutura em análise Portanto a atualização do modelo numérico por meio da otimização envolve a alteração do vetor de variáveis de projeto para alcançar um ponto ótimo melhorando a precisão do modelo conforme mencionado RIBEIRO 2023 261 Função Objetivo e Funções de Restrição 37 A noção de otimização está intimamente ligada a uma função que mede a eficácia da busca desejada conhecida como função objetivo e geralmente representada por De acordo com o contexto um problema de otimização pode ter um único objetivo ou vários objetivos simultâneos Quando se trata da solução ou do conjunto de soluções possíveis é importante considerar as seguintes categorias RIBEIRO 2023 Ótimo local Define a melhor solução identificada em uma região específica do espaço de busca Ótimo global corresponde à melhor solução encontrada em todo o espaço de busca É possível observar essas categorias graficamente conforme ilustrado na FIGURA 12 FIGURA 12 MÍNIMO LOCAL X MÍNIMO GLOBAL FONTE RIBEIRO 2023 É necessário pontuar que nem todas as técnicas de otimização asseguram a obtenção do ótimo global Muitas dessas técnicas tendem a convergir para a solução mais próxima do ponto de partida resultando frequentemente em um ótimo local ARORA 2015 Portanto ao realizar um processo de otimização é importante diferenciar entre ótimo local e ótimo global além de compreender as limitações das técnicas empregadas a fim de alcançar os melhores resultados possíveis dentro do espaço de busca RIBEIRO 2023 38 Em diversos problemas encontrados nos mais variados campos da engenharia é frequente impor condições que restringem o espaço de busca a valores viáveis ou de alguma forma condicionados Essas restrições são denominadas funções de restrição Segundo Arora 2015 elas podem ser agrupadas em quatro categorias diferentes sendo elas RIBEIRO 2023 Restrições geométricas referemse a limitações geométricas que o sistema deve seguir Restrições de comportamento representam limitações no comportamento ou desempenho do sistema Restrições de igualdade são aquelas que estabelecem relações de igualdade entre variáveis Restrições de desigualdade Definem relações de desigualdade entre as variáveis Ao tratar essas diferentes categorias de funções de restrição tornase viável modelar e resolver problemas de engenharia de maneira mais precisa e apropriada Isso assegura que as soluções obtidas estejam em conformidade com as condições estabelecidas pelo sistema e pelo projeto em análise RIBEIRO 2023 262 O Problema Padrão De acordo com Arora 2015 é possível formular um problema geral de otimização na forma padrão de modo que RIBEIRO 2023 Diante de um problema determinado pelos valores de um vetor contendo variáveis de projeto 250 minimizar uma função objetivo com a condição de igualdade imposta às restrições 39 251 e as restrições de igualdade 252 É possível visualizar em um fluxograma a esquematização de um projeto baseado em otimização conforme mostrado na FIGURA 13 FIGURA 13 ESQUEMATIZAÇÃO DE UM PROCESSO DE OTIMIZAÇÃO FONTE ADAPTADO DE RIBEIRO 2023 263 Técnicas de Otimização É possível empregar duas técnicas TONL de forma combinada sendo elas os algoritmos genéticos e a programação quadrática sequencial 40 O algoritmo genético inspirado na teoria da evolução de Charles Darwin é um método de otimização Nele as características mais vantajosas que contribuem para a predominância da espécie são destacadas e amplificadas em cada iteração ARORA 2015 BALTHAZAR et al 2021 De forma contextualizada o algoritmo genético inicia com uma população inicial de projetos chamada de primeira geração Cada projeto conhecido como membro da população é representado por uma string binária A próxima geração é formada a partir dessa população inicial usando três operadores reprodução cruzamento e mutação Na reprodução um projeto atual é introduzido em uma nova população transferindo suas características aos membros mais aptos O cruzamento permite que determinados membros troquem características entre si A mutação protege o processo contra a perda prematura de material genético valioso Ao final um projeto com melhor aptidão é adotado como o projeto ótimo ARORA 2015 BRASIL SILVA 2019 Por não exigir a diferenciabilidade das funções envolvidas nos problemas o algoritmo genético apenas requer que essas funções possam ser calculadas para um projeto específico Isso evita a convergência para mínimos locais visando o mínimo global ARORA 2015 BRASIL SILVA 2019 No software MATLAB o método dos algoritmos genéticos é implementado pela função ga Já os métodos de Programação Quadrática Sequencial SQP são uma categoria de técnicas empregadas para resolver problemas de otimização não linear com restrições Esses métodos tratam o problema por meio da resolução iterativa de subproblemas internos nos quais se busca minimizar ou maximizar uma função quadrática sujeita a restrições lineares ARORA 2015 É e necessário ressaltar que é necessário fornecer uma estimativa inicial da solução desejada a qual quando combinada com o método dos Algoritmos Genéticos pode ser refinada para aprimorar o resultado No ambiente MATLAB a implementação correspondente do método SQP pode ser acessada pela função fmincon 41 3 METODOLOGIA A metodologia a ser empregada neste estudo incluirá a modelagem precisa e representativa de um sistema real com o objetivo de por meio de simulações computacionais criar um experimento virtual em uma estrutura de viga Esse experimento virtual permitirá a realização de análises modais experimentais e avaliação numérica de um processo de atualização estrutural em condições operacionais típicas de laboratório garantindo a relevância e a aplicabilidade dos resultados obtidos 31 EXPERIMENTO VIRTUAL No presente trabalho será realizado um experimento virtual em uma viga engastada que possui um modulo de elasticidade Nm² um momento de inercia m4 uma densidade kgm uma área de seção transversal m2 e um comprimento O experimento virtual é ilustrado na FIGURA 14 abaixo FIGURA 14 EXPERIMENTO VIRTUAL EM UMA VIGA ENGASTADA FONTE ADAPTADO DE BRENNAN E TANG 2023 Neste experimento virtual será simulada a aplicação de uma força de excitação modelada como um ruído branco por meio de um excitador eletromecânico shaker em um ponto específico da viga Essa excitação permitirá a 42 obtenção dos deslocamentos vibracionais em 14 pontos igualmente espaçados ao longo da viga conforme ilustrado na FIGURA 14 O objetivo do experimento consiste em medir os deslocamentos vibracionais da viga em resposta à força de ruído branco aplicada pelo shaker Esses deslocamentos serão registrados nos 14 pontos mencionados permitindo a análise das características vibracionais da viga no intervalo de frequências excitadas Vale ressaltar que a realização desse experimento requer a construção de um modelo matemático que represente a resposta vibratória de uma viga engastada Ao incorporar as condições de contorno e os parâmetros materiais e geométricos este modelo deve levar em consideração as equações diferenciais que regem o comportamento dinâmico da viga Para isso o método dos elementos finitos MEF será usado para criar um modelo numérico representativo do sistema em análise Isso permitirá a obtenção de respostas de deslocamento nos pontos de interesse ao longo da viga quando submetidas à excitação de ruído branco 311 Modelagem Matemática Conforme exposto anteriormente a modelagem da viga será realizada utilizando o Método dos Elementos Finitos FEM considerando uma viga de Euler Bernoulli com dois graus de liberdade por nó um grau de liberdade de translação e um grau de liberdade de rotação conforme ilustrado na FIGURA 15 As matrizes de massa e rigidez utilizadas para esta modelagem são definidas conforme descrito em Mendonça e Fancello 2019 e são dadas respectivamente por FIGURA 15 REPRESENTAÇÃO ESQUEMÁTICA DE UM ELEMENTO DE EULER BERNOULLI COM DOIS GRAUS DE LIBERDADE POR NÓ FONTE O autor 2024 43 31 32 onde é o comprimento de um elemento Com base na matriz de conectividade entre os elementos tornase possível seguindo os procedimentos numéricos descritos em Mendonça e Fancello 2019 chegar nas matrizes globais de massa e de rigidez Assim a equação do movimento do sistema global para o problema não amortecido é dado por 33 onde e são respectivamente os vetores de deslocamentos e acelerações nodais e é o vetor de força nodal Considerando o caso de amortecimento proporcional ou seja que 34 a equação do movimento para o problema amortecido pode ser escrito agora como 35 44 Assim a função de resposta em frequência receptância em um intervalo de frequência de interesse para um determinado ponto de excitação medida em um ponto de resposta pode ser obtida utilizando a análise modal teórica tal como exposto anteriormente na seção 24 312 Processamento de Sinais Neste experimento virtual um ruído branco com uma amplitude constante de até a metade da frequência de amostragem e um desvio padrão unitário será introduzido na estrutura pelo excitador eletromecânico Os sinais de deslocamento resultantes no domínio do tempo serão então calculados aplicandose uma operação de convolução na força aplicada pelo excitador em um ponto específico da viga com as funções de resposta ao impulso do deslocamento da estrutura correspondentes a cada posição de medição Essa operação pode ser escrita matematicamente como 35 onde representa a operação de convolução e pode ser determinada fazendo BRENNAN E TANG 2023 36 onde representa a transformada inversa de Fourier Após a obtenção dos sinais no domínio do tempo procederseá à estimativa das funções de resposta em frequência simulando a configuração de um experimento real As estimativas das funções de resposta em frequência serão conduzidas empregando os métodos de processamento de sinais delineados por Brennan e Tang 20236 6 É importante destacar que na próxima fase do trabalho de conclusão de curso tais técnicas serão abordadas com maior profundidade e detalhamento 45 32 ANALISE MODAL EXPERIMENTAL Para avaliar as frequências naturais as razões de amortecimento e as formas modais a partir dos resultados das funções resposta em frequência FRFs obtidas no experimento virtual será realizada uma análise modal experimental Esta análise utilizará o algoritmo de ajuste de curva LSRF7 conforme descrito na Seção 25 empregando a função modalfit disponível na toolbox de análise e processamento de sinais do MATLAB 33 ATUALIZAÇÃO ESTRUTURAL UTILIZANDO TONL Para avaliar o processo de identificação paramétrica e atualização estrutural do modelo de elementos finitos com base nos resultados experimentais será utilizada uma técnica híbrida de otimização Esta técnica aplicará de maneira sequencial algoritmos genéticos e programação quadrática sequencial SQP conforme detalhado na Seção 26 Nesse contexto o objetivo desta etapa será avaliar o processo de atualização e identificação paramétrica dos seguintes parâmetros Módulo de elasticidade do material da viga Espessura da seção transversal da viga Densidade do material da viga Constante que multiplica a matriz para inserção de amortecimento proporcional Constante que multiplica a matriz para inserção de amortecimento proporcional Para isso cinco funções objetivos serão avaliadas Sendo três funções objetivos baseadas nos parâmetros modais duas baseadas nas funções resposta em frequência Assim para todas as otimizações será considerada o seguinte vetor de projeto 7 Também é importante destacar que na próxima fase do trabalho de conclusão de curso o método de ajuste utilizando funções racionais por mínimos quadrados LSRF será detalhado com maior profundidade buscando proporcionar ao leitor uma melhor compreensão do método em questão 46 36 331 Funções objetivos baseadas nos parâmetros modais A primeira função objetivo a ser avaliada nesta etapa será 37 onde é a iésima frequência natural é iésima razão de amortecimento e é o número de modos Os superescritos e indicam respectivamente os valores experimentais e numéricos A segunda função objetivo a ser avaliada nesta etapa será 38 onde são as amplitudes na ressonância nos diferentes pontos de resposta para um ponto específico de excitação Por fim a terceira função objetivo a ser avaliada nesta etapa será 39 onde são as constantes modais para o iésimo modo de vibrar medidos nos diferentes pontos de resposta para um ponto específico de excitação 332 Funções objetivos baseadas nas funções resposta em frequência A primeira função objetivo a ser avaliada nesta etapa será 47 310 onde são as funções resposta em frequência para uma determinada frequência de excitação medidas nos diferentes pontos de resposta para um ponto específico de excitação A segunda função objetivo a ser avaliada nesta etapa será 311 Vale ressaltar que no processo de otimização para todas as funções objetivos avaliadas serão consideradas as seguintes restrições para as grandezas do vetor de projeto de modo que 312 Finalmente após a realização das otimizações os resultados serão avaliados por meio do cálculo do erro relativo entre as grandezas identificadas e aquelas medidas experimentalmente visando a validação da metodologia proposta 4 CRONOGRAMA 48 Este trabalho estará comprometido com a realização de dois tipos de tarefas desenvolvimentos teóricos e testes virtuais São listadas abaixo as principais tarefas a serem desenvolvidas bem como apresentado um cronograma correspondente a elas de forma a organizálas e distribuílas ao longo do período associado ao presente trabalho As tarefas são as seguintes Tarefa 1 Acompanhamento contínuo da literatura Tarefa 2 Levantamento inicial do estado da arte Tarefa 3 Redação do projeto de TCC Tarefa 4 Desenvolvimento de um experimento virtual com base em um modelo por elementos finitos Tarefa 5 Aplicação de técnicas de análise modal experimental para a extração de parâmetros modais de dados provenientes do experimento virtual Tarefa 6 Atualização estrutural e Identificação paramétrica utilizando técnicas de otimização não linear Tarefa 7 Avaliação dos resultados encontrados Tarefa 8 Redação do trabalho Tarefa 9 Publicação do trabalho no EPIC Tarefa 10 Defesa do TCC Já o cronograma de atividades correspondente é mostrado no quadro 1 49 QUADRO 1 CRONOGRAMA DAS ATIVIDADES tarefa s 2024 Jan Fev Mar Abr Maio Jun Jul Ago Set Out Nov Dez Tar 1 x x x x x x x x x x x x Tar 2 x x x x Tar 3 x x x x x Tar 4 x x Tar 5 x x Tar 6 x x x Tar 7 x x x Tar 8 x x x Tar 9 x Tar 10 x FONTE O autor 2020 50 REFERÊNCIAS ALVES A F Elementos finitos A base da tecnologia CAE Análise dinâmica 2ª edição sl Editora Érica 2009 ARORA R K Optimization Algorithms and Applications Sl CRC press 2015 BALACHANDRAN Balakumar MAGRAB Edward B Vibracoes mecânicas 2ª edição Austrália Cengage Learning 2009 BALTHAZAR J M TUSSET A M RIBEIRO M A LENZ W B PICCIRILLO V COLÓN D BUENO Á M LENZI G G JANZEN F C Sistemas dinâmicos e mecatrônicosVolume 1 Teoria e aplicação de controle Sl Editora Blucher 2021 BIEGLER Lorenz T Nonlinear programming concepts algorithms and applications to chemical processes Society for Industrial and Applied Mathematics 2010 BRASIL R M SILVA M A da Otimização de Projetos de Engenharia Sl Editora Blucher 2019 BILOŠOVÁ ALENA Experimental Modal Analysis Modal Testing Technical University of Ostrava 2011 HE J FU Z Modal Analysis Jordan Hill ButterworthHeinemann out 2001 INMAN D J Engineering Vibration Englewood Cliffs NJ Prentice Hall Englewood Cliffs NJ 1994 EWINS David J Modal testing theory practice and application John Wiley Sons 2009 51 MEDEIROS W B Caracterização Dinâmica Integrada de Elastômeros via Derivadas Fracionárias e Método GHM 172 f Dissertação Mestrado em Engenharia Mecânica Programa de PósGraduação em Engenharia Mecânica UFPR Curitiba 2010 MEDEIROS Wagner Barbosa de et al On an integrated dynamic characterization of viscoelastic materials by fractional derivative and GHM models Latin American Journal of Solids and Structures v 16 n 02 p e164 2019 MENDONÇA P T R FANCELLO E O Método de elementos finitos aplicados à Mecânica dos Sólidos 1 ed FlorianopólisOrsa Maggiore 706 p 2019 MEIROVITCH L Fundamentals of Vibrations London Waveland Press 2010 RAO S S Vibration of Continuous Systems sl John Wiley Sons 2007 RIBEIRO K M M Determinação de Rigidez à Flexão e Fator de Perda Equivalente de Cabos Condutores Aéreos de Linhas de Transmissão 242 f Tese Doutorado em Engenharia Mecânica Programa de PósGraduação em Engenharia Mecânica UFPR Curitiba 2023 SOARES I G Avaliação de Modificação Estrutural Dinâmica por Neutralizadores Viscoelásticos Baseada em Métodos de Reanálise de Resposta 125 f Dissertação Mestrado em Engenharia Mecânica Programa de PósGraduação em Engenharia Mecânica UFPR Curitiba 2021 YANG XinShe Natureinspired optimization algorithms Academic Press 2020