Cálculo III: Funções Vetoriais e Comprimento de Arco

Cálculo III Funções vetoriais parte III Profa Camila Bim Comprimento de arco Seja uma curva suave C dada pela equação parametrizada റ𝑟 t x𝑡റ𝑖 y𝑡റ𝑗 zt𝑘 onde t a b O comprimento l de um arco AB é dado S 𝑎 𝑏 റ𝑟𝑡 𝑑𝑡 ou seja S 𝑎 𝑏 𝑥𝑡 2 𝑦𝑡 2 𝑧𝑡 2 𝑑𝑡 a t b Deriva Eleva ao quadrado soma e tira raiz quadrada norma Integra no intervalo indicado Exemplo 1 Obtenha o comprimento do arco da curva റ𝑟 t cost sent t 0 2π Exemplo 2 Calcule o comprimento do segmento de reta da função vetorial റ𝑟 t 23t റ𝑖 t റ𝑗 12t𝑘 0 t 2 Exemplo 3 Encontre o comprimento da hélice circular റ𝑟 t 2cost 2sent t do ponto A 200 e B20π Reparametrização de curvas por comprimento de arco Seja uma curva suave C dada por റ𝑟 t x𝑡റ𝑖 y𝑡റ𝑗 zt𝑘 onde t a b Para reparametrizar Deriva Eleva ao quadrado soma e tira raiz quadrada norma Integra de 0 até t função comprimento de arco Reescreve substituindo t por S Acha o intervalo Exemplo 4 Reparametrizar pelo comprimento de arco a curva റ𝑟 t 2cost 2sent 4 0 t 2π Exemplo 5 Parametrizar pelo comprimento de arco a hélice circular റ𝑟 t 3cos𝑡റ𝑖 3sen𝑡റ𝑗 t𝑘 0 t π Exemplo 6 Reparametrizar pelo comprimento de arco a curva dada por rt et cost et sent para t 0 Aplicação Uma formiga caminha pelo tronco de uma árvore seguindo uma trajetória modelada pela hélice circular x 3cost y3sent zt A formiga inicia no ponto de referência 300 e sobe pela hélice por uma distância de 12 unidades Quais as coordenadas finais da formiga Questões 01 Determine o comprimento de arco das seguintes curvas a റ𝑟 t 𝑡റ𝑖 sen𝑡റ𝑗 1 cos t 𝑘 0 t 2π b റ𝑟 t sent cost 2 para t 0 2π 02 Reescreva a função comprimento de arco cos2t sen2t 4 03 Reparametrize pelo comprimento de arco as seguintes curvas a റ𝑟 t 3t1 t2 b റ𝑟 t cos2t sen2t 2t