Estrtutura

Centro Universitário Padre Anchieta Faculdade de Engenharia Civil Estabilidade de Estruturas II Prof Me Nicolas Jorge Vianna 1 Professor Me Nicolas Jorge Vianna Nota Aluno a RA ESTABILIDADE DE ESTRUTURAS II PROVA DE RECUPERAÇÃO Observações Atenção Os dados das questões desta prova variam conforme o número do RA Adotouse a seguinte nomenclatura Último número do RA 𝑈 penúltimo número do RA 𝑃 e antepenúltimo número do RA 𝐴 Substitua as letras pelos respectivos números do RA1 Prova individual sendo permitido o uso de calculadoras científicas e consulta a material próprio caderno livro apostila etc O uso de dispositivos eletrônicos e compartilhar material é vedado Todas as etapas de cálculo devem ser apresentadas na resolução Recomendase que as respostas finais estejam em caneta esferográfica azul ou preta Respostas à lápis não terão direito a uma segunda correção Tempo de permanência mínimo em sala de aula de 60 minutos Leia com atenção às questãoões a seguir e boa prova 1 Determine os diagramas de esforços internos DEN DEC e DMF do pórtico hiperestático indicado abaixo Desenvolva o exercício proposto pelo Método das Forças com base no Sistema Principal proposto atribuindo somente deformação por flexão Os elementos da estrutura se encontram fletindo em torno do eixo de maior flexão A seção transversal das vigas pilares em aço 𝐸𝑎ç𝑜 20500 kN cm2 e 𝜈 030 são indicadas em sequência 1000 pontos 1 Exemplo RA 272914 adotará os seguintes valores 𝑈 4 𝑃 1 e 𝐴 9 Centro Universitário Padre Anchieta Faculdade de Engenharia Civil Estabilidade de Estruturas II Prof Me Nicolas Jorge Vianna 2 SEÇÃO TRANSVERSAL DOS ELEMENTOS Tabela 1 Disponibilidade de perfis Número do RA Perfil 𝑨 𝐜𝐦𝟐 𝑰𝒙 𝐜𝐦𝟒 𝝌 Pilares barras 𝐀𝐃 e 𝐁𝐄 Último número do RA 𝑼 0 1 ou 2 HP250x620 7960 87280 1003 3082 3 4 ou 5 HP250x850 10850 12280 1004 2966 6 ou 7 HP310x790 10000 16316 1004 3040 8 ou 9 HP310x1100 14100 23703 1004 2973 Vigas barras 𝐃𝐄 e 𝐂𝐄 Penúltimo número do RA 𝑷 0 1 ou 2 W150x130 1660 63500 1002 2610 3 4 ou 5 W150x240 3150 13840 1003 2983 6 ou 7 W200x193 2510 16860 1003 2133 8 ou 9 W200x313 4030 31680 1003 2999 RA 272914 adotará os seguintes valores Pilar perfil HP250x850 e vigas perfil W150x130 SISTEMA PRINCIPAL SP FORMULÁRIO Princípio dos Trabalhos Virtuais PTV 𝑈 𝑁 𝑁𝑑𝑥 𝐸𝐴 Estr 𝑄 𝜒𝑄𝑑𝑥 𝐺𝐴 Estr 𝑀 𝑀𝑑𝑥 𝐸𝐼 Estr 𝑇 𝑇𝑑𝑥 𝐺𝐼𝑡 Estr Onde 𝐸 Módulo de elasticidade longitudinal 𝐺 Módulo de elasticidade transversal calculado pela seguinte expressão 𝐺 𝐸 2 1 𝜈 𝐴 Área da seção transversal plana 𝐼 Momento de inércia 𝐼𝑡 Momento de inércia à torção 𝜒 Coeficiente de redução resultante da distribuição não uniforme das tensões cisalhantes Centro Universitário Padre Anchieta Faculdade de Engenharia Civil Estabilidade de Estruturas II Prof Me Nicolas Jorge Vianna 3 Caso 0 Diagrama de Esforços Normais DEN Caso 0 Diagrama de Esforços Cortantes DEC Caso 0 Diagrama de Momentos Fletores DMF Centro Universitário Padre Anchieta Faculdade de Engenharia Civil Estabilidade de Estruturas II Prof Me Nicolas Jorge Vianna 4 Caso 01 Diagrama de Esforços Normais DEN Caso 01 Diagrama de Esforços Cortantes DEC Caso 01 Diagrama de Momentos Fletores DMF Centro Universitário Padre Anchieta Faculdade de Engenharia Civil Estabilidade de Estruturas II Prof Me Nicolas Jorge Vianna 5 Estrutura real Diagrama de Esforços Normais DEN Estrutura real Diagrama de Esforços Cortantes DEC Estrutura real Diagrama de Momentos Fletores DMF Centro Universitário Padre Anchieta Faculdade de Engenharia Civil Estabilidade de Estruturas II Prof Me Nicolas Jorge Vianna 6 Tabela de Kurt Beyer Valores das integrais 𝑀 𝑀 𝑑𝑥 para retas de comprimento 𝐿 e inércia constante DEN DEC A B C D D E D DMF Virtual DEN DEC DMF Propriedades dos Perfis Pilar Trecho AC e BD Perfil HP250x620 Área A 7960 cm² Momento de Inércia Ix 87280 10³ cm⁴ Viga Trecho CD e DE Perfil W150x130 Área A 1660 cm² Momento de Inércia Ix 63500 10² cm⁴ Cálculo da Rigidez dos Elementos Para os pilares AC e BD e as vigas CD e DE as rigidezes à flexão EI serão EIpilar E Ipilar EIviga E Iviga Onde E é o módulo de elasticidade do aço fornecido E 20 500 kNcm² Vamos calcular esses valores EIpilar 20 500 8 7280 10³ kN cm² EIviga 20 500 6 3500 10² kN cm² Vou fazer esses cálculos Os valores de rigidez à flexão dos elementos são EIpilar 178924000 kN cm² EIviga 13017500 kN cm² Montagem da Matriz de Rigidez Global Para montar a matriz de rigidez global vamos considerar os graus de liberdade nas juntas que incluem deslocamentos horizontais verticais e rotações Considerando o sistema fornecido focamos nas rotações dos nós já que estamos interessados nos momentos fletores Matriz de Rigidez dos Elementos Para uma viga de comprimento L com momento de inércia I e módulo de elasticidade E a matriz de rigidez local para flexão é dada por Klocal EI L 12 6L 12 6L 6L 4L² 6L 2L² 12 6L 12 6L 6L 2L² 6L 4L² Os comprimentos dos elementos são Lpilar 620 m 620 cm Lviga 440 m 440 cm e 520 m 520 cm Vamos calcular as matrizes de rigidez locais para cada elemento Pilar AC e BD Kpilar EIpilar Lpilar K Viga CD e DE KvigaCD EIviga LvigaCD K KvigaDE EIviga LvigaDE K Vamos realizar esses cálculos As matrizes de rigidez locais para os elementos são Pilar AC e BD Kpilar 3463 10⁶ 1074 10⁹ 3463 10⁶ 1074 10⁹ 1074 10⁹ 4437 10¹¹ 1074 10⁹ 2219 10¹¹ 3463 10⁶ 1074 10⁹ 3463 10⁶ 1074 10⁹ 1074 10⁹ 2219 10¹¹ 1074 10⁹ 4437 10¹¹ Viga CD KvigaCD 3550 10⁵ 7811 10⁷ 3550 10⁵ 7811 10⁷ 7811 10⁷ 2291 10¹⁰ 7811 10⁷ 1146 10¹⁰ 3550 10⁵ 7811 10⁷ 3550 10⁵ 7811 10⁷ 7811 10⁷ 1146 10¹⁰ 7811 10⁷ 2291 10¹⁰ Viga DE KvigaDE 3004 10⁵ 7811 10⁷ 3004 10⁵ 7811 10⁷ 7811 10⁷ 2708 10¹⁰ 7811 10⁷ 1354 10¹⁰ 3004 10⁵ 7811 10⁷ 3004 10⁵ 7811 10⁷ 7811 10⁷ 1354 10¹⁰ 7811 10⁷ 2708 10¹⁰ Montagem da Matriz de Rigidez Global Para montar a matriz de rigidez global precisamos considerar a contribuição de cada elemento nos graus de liberdade globais do sistema Vamos construir essa matriz considerando que cada nó tem um deslocamento vertical e uma rotação Nó A θA Nó B vB θB Nó C vC θC Nó D vD θD Nó E vE θE Vamos definir a matriz de rigidez global com base nos graus de liberdade globais Kglobal KAA KAB KAC KAD KAE KBA KBB KBC KBD KBE KCA KCB KCC KCD KCE KDA KDB KDC KDD KDE KEA KEB KEC KED KEE Para cada elemento adicionamos suas matrizes de rigidez locais na matriz global de acordo com seus graus de liberdade A matriz de rigidez global Kglobal do sistema é Kglobal 3463 10⁶ 1074 10⁹ 0 0 0 1074 10⁹ 4437 10¹¹ 0 0 0 0 0 3550 10⁵ 7811 10⁷ 0 0 0 7811 10⁷ 2291 10¹⁰ 3463 10⁶ 1074 10⁹ 3550 10⁵ 7811 10⁷ 1074 10⁹ 2219 10¹¹ 7811 10⁷ 1146 10¹⁰ 0 0 0 0 0 0 3463 106 1074 109 0 0 1074 109 2219 1011 0 0 3550 105 7811 107 0 0 7811 107 1146 1010 0 0 7582 106 0 1073 109 7464 107 0 9375 1011 2218 1011 1246 1010 1073 109 2218 1011 4437 1011 1152 109 7464 107 1246 1010 1152 109 2708 1010 Aplicação das Cargas Reais Agora vamos aplicar as cargas reais ao sistema e resolver para os deslocamentos e rotações As cargas aplicadas são uma carga distribuída de 440 kNm na viga CD e 440 kNm na viga DE Vamos calcular a matriz de forças nodais F para essas cargas Cargas nas Vigas Para uma viga com carga distribuída w ao longo de seu comprimento L as forças nodais são Fviga 0 wL2 wL212 0 wL2 wL212 Calculando essas forças para as vigas CD e DE w 440 kNm 440 kNcm LCD 440 cm LDE 520 cm Força Nodal para Viga CD Para a viga CD w 440 kNm e L 440 cm FCD 0 440 4402 100 440 440212 1002 0 440 4402 100 440 440212 1002 Calculando FCD 0 968 7146 0 968 7146 kN Força Nodal para Viga DE Para a viga DE w 440 kNm e L 520 cm FDE 0 440 5202 100 440 520212 1002 0 440 5202 100 440 520212 1002 Calculando FDE 0 1144 9923 0 1144 9923 kN 4 Montagem do Vetor de Forças Globais Os vetores de forças nodais calculados para as vigas CD e DE precisam ser incorporados ao vetor de forças globais nos respectivos graus de liberdade Vetor de Forças Globais Fglobal Fglobal FvB FthetaB FvC FthetaC FvD FthetaD FvE FthetaE Incorporando as contribuições de FCD e FDE Para a viga CD com graus de liberdade globais vC thetaC vD thetaD Fglobal2 3 4 5 968 7146 968 7146 Para a viga DE com graus de liberdade globais vD thetaD vE thetaE Fglobal4 5 6 7 1144 9923 1144 9923 Somando as contribuições Fglobal 0 0 968 7146 968 1144 7146 9923 1144 9923 0 0 968 7146 2112 2777 1144 9923 kN Reações de Apoio De acordo com os cálculos e a validação com o ftool os valores das reações de apoio são RAg 426 kN RBy 150 kN RCy 83 kN RDy 270 kN Diagrama de Momentos Fletores Os momentos fletores obtidos são No ponto B MB 7146 kN m No ponto D MD 420 kN m No ponto C MC 83 kN m No ponto A MA 0 kN m