Eixos de Transmissao - Conceitos Basicos e Projeto

EIXOS EIXOS Prof Alexandre A Pescador Prof Alexandre A Pescador Sard Sardáá Eixos Objetivo Transmitir movimento de rotação e torque de uma posição a outra Carga em eixos Torção devido ao torque transmitido Flexão devido às cargas transversais em engrenagenspolias Caso geral torque variado e momento variado em combinação Conexões e Concentração de tensões cubo eixo chaveta cubo mancal anel retentor pino cônico polia carcaca folga axial ajuste sob pressão roda dentada engrenagem degrau degrau degrau degrau degrau Conexões e Concentração de tensões Chavetas Anéis retentores usados para não permitir movimento axial do eixo contra o mancal Pinos transversais Usados para segurar elementos fixados ao eixo a fim de trasmitir o torque requerido ou prender a peça axialmente Contribuem na concentração de tensões Materiais para eixos Aço alto módulo de elasticidade minimizando deflexões Ferro fundido engrenagens fundidas com o eixo Bronze e aço inoxidável ambientes marítimos ou corrosivos Aço endurecido eixo se apóia em mancal de deslizamento Aços liga alta resistência Potência no eixo T rd s P Tmed rd s P med med Projeto de Eixos Definições O termo EIXO normalmente se refere a um elemento relativamente longo de secção circular que gira e transmite potência Por outro lado porém um eixo pode possuir uma secção não circular e que não precisa necessariamente girar sendo assim um elemento estacionário que serve para suportar um elemento girante como os eixos de um automóvel por exemplo Projeto de Eixos Preliminares o dimensionamento das engrenagens polias mancais e demais elementos deverão ter sido preliminarmente analisados com definições acerca dos seus tamanhos e espaçamentos tais parâmetros permitirão uma análise mediante os critérios de deflexão e rigidez como também de tensão e resistência Projeto de Eixos Deflexões e inclinações a geometria de um eixo corresponde geralmente a um cilindro escalonado sendo que as análises referentes as deflexões e inclinações somente poderão ser realizadas após a definição completa da geometria do eixo deflexões inclinações Projeto de Eixos Exemplo Projeto de Eixos Tensões normais no eixo I M c I c M m m a a fm f k k kf fator de concentração de tensão de fadiga por flexão alternada kfm fator de concentração de tensão de fadiga por flexão média Projeto de Eixos Para eixo de dimensão sólida e circular 2 c r d 64 d4 I 3 m m 3 a a d 32M d M 32 Fm F k k Projeto de Eixos As tensões torcionais de cisalhamento média e alternante são dadas por J r k J r k fsm fs m m a a T T kfse kfsm são fatores de concentração de tensão torcional de fadiga para componentes médias e alternantes Projeto de Eixos Para eixo de dimensão sólida e redonda Pag 920 2 r d c 32 d4 J 3 m m 3 a a 16T T 16 d k d k fsm fs Projeto de Eixos Para Fz estática peso 2 c r d 32 d4 J 2 z z m 4F F d k A k Fm Fm Critérios de falhas em caregamento combinado Combinação de torção e flexão em materiais dúcteis em fadiga segue a relação elíptica 1 2 m 2 a ys e S S resistência deescoamentoàtorção S estáticatorcional tensão itede fadigaem flexão pura S flexional tensão ys e lim m a Flexão alternada x torção estática Critérios de falhas em caregamento combinado Critérios de falhas em carregamento combinado Combinação de torção e flexão em materiais dúcteis em fadiga segue a relação elíptica 1 2 a 2 a es e S S itede fadigaemtorção pura S reversatorcional tensão itede fadigaem flexão pura S flexional tensão es e lim lim a a Flexão reversa x torção reversa Projeto do Eixo Deflexão geralmente é o fator crítico porque deflexões excessivas causarão desgaste rápido dos mancais dos eixos Engrenagens correias ou correntes comandadas pelo eixo podem também sofrer por desalinhamento introduzido pelas deflexões dos eixos Projetado pela primeira vez usando considerações de tensão e as deflexões são calculadas uma vez que a geometria esteja completamente definida Projeto do Eixo Freqüência natural do eixo deve ser diferente da freqüência de excitação caso contrário vibrações tensões elevadas e grandes deflexões devido à ressonância poderão ocorrer Projeto do Eixo Regras gerais para projetos de eixos 1 L menor possível para minimizar tensões e deflexões 2 Biapoiado ao invés de balanço 3 Usar eixos vazados melhor razão rigidezmassa 4 Colocar concentradores de tensão longe das regiões de grandes momentos fletores aliviar o efeito com alívio de tensões R grandes 5 Minimizar deflexões usar aço baixo carbono baixo custo 6 Para cargas axiais de compressão utilizar somente um mancal axial para evitar de sobrecarregar os mancais na expansão 7 Freqüência natural do eixo deve ser maior do que 3 vezes a freqüência de excitação Projeto do Eixo Um diagrama SN traçado a partir dos resultados de testes de fadiga axial completamente inversa Material aço UNS G41300 normalizado Sut 116 kpsi Shigley pg310 Projeto do Eixo Projeto para flexão alternada e torção fixa 0 0 0 0 m m a a Derivação da equação de eixo da ASME 1 2 m 2 a ys e S S Fator de segurança Nf 1 2 m 2 a ys f e f S N S N Projeto do Eixo Para cisalhamento puro Tensão equivalente de Von Mises definida como a tensão de tração uniaxial que criaria a mesma energia de distorção criada pela combinação atual das tensões apicadas Permite tratar casos de tensão multiaxial combinada a tensões de cisalhamento como se fossem devidos a um carregamento de tração pura max 1 577 0 3 y y S S 3 y ys S S tensãodeescoamento S resistênciadeescoamentoàtorção S y ys Projeto do Eixo 1 3 2 m 2 a y f e f S N S N Substituindose as tensões 1 3 16 32 2 3 m 2 3 a y f fsm e f f S N d T k S N d M k ou 3 1 2 1 2 m 2 a f 4 3 32 y fsm e f S T k S k M N d Projeto do Eixo Padronização ASME kfsm10 3 1 2 1 2 m 2 a f 4 3 32 y e f S T S k M N d Projeto para flexão alternada e torção alternada Projeto do Eixo 3 1 2 fs 2 m 2 fs 2 a f 4 3 4 3 32 ut m fm f a f S k T M k S k T k M N d Projete um eixo circular para suportar uma potência de 1000 W a 1800 rpm e submetido a um momento fletor alternado de 20 Nm Utilizar um fator de segurança de pelo menos 30 e material aço 1020 com tensão limite de fadiga em flexão pura de 200 Mpa e tensão de escoamento em tração de 393 MPa T P Projeto do Eixo 60 1800 T 2 1000 W 5 30Nm Tm Ma 20 0 Nm 3 1 2 1 2 m 2 a f 4 3 32 y e f S T S k M N d Projeto do Eixo MPa S y 393 MPa Se 200 3 1 2 1 2 2 393 5300 4 3 200 120000 3 32 N mm d mm d 1454 Projeto de Eixos por Restrições Geométricas Primeiro passo consiste em dimensionar as engrenagens e polias para a velocidade e a potência especificadas O diâmetro de raiz dos dentes de engrenagem ou sulco de polia somado ao espaço radial para um rasgo de chaveta fixa uma restrição no tamanho do eixo Com o tamanho de engrenagem e polia as forças no sistema são fixadas O segundo passo é selecionar mancais para prover vida adequada sob essas forças e velocidades Após serem selecionados os mancais a distância entre eles será definida Projeto de Eixos por Restrições Geométricas Restrições geométricas x deformações limites Premissa definir um eixo de diâmetro uniforme que satisfaça todas as condições de distorção condições contorno Projeto de Eixos por Restrições Geométricas E I M dx y d 2 2 Eqdiferencial da linha elástica Projeto de Eixos por Restrições Geométricas M EI 1 dx dy cuja integração permite escrever possibilitandose obter um diâmetro preliminar para o eixo pela imposição das condições de contorno e pela substituição do momento de inércia de uma secção circular maciça visto que 64 d I 4 dados do problema Projeto de Eixos por Restrições Geométricas M EI 1 y uma segunda integração permite ainda escrever Projeto de Eixos por Restrições Geométricas Caso mais geral de carregamento eixo com cargas concentradas momentos aplicados Projeto de Eixos por Restrições Geométricas l b x 6EIl Fb x y 2 2 i 2 i i AB i variável em função do número de cargas atuantes sobre o eixo princípio da superposição efeitos Tabela A96 Apêndice pg909 Projeto de Eixos por Restrições Geométricas l2 6 3 x 6EIl M x l b x 6EIl Fb x y 2 2 i 2 i 2 2 i 2 i i AB a l a i i variável em função do número de cargas atuantes sobre o eixo princípio da superposição efeitos Mancal esquerdo Projeto de Eixos por Restrições Geométricas diferenciando e impondo a condição x 0 mancal da esquerda resulta em 2l 6 l M 3 l IL Fb b 6E 1 2 2 i i 2 2 i i i A ia a Para um número de forças concentradas e de momentos no plano xy fazendose uso da sobreposição 2l 6 l M 3 l Fb b IL 6E 1 2 2 i i 2 2 i i i A ia a Projeto de Eixos por Restrições Geométricas Considerando o plano xy como o plano vertical V e o plano xz como o plano horizontal H para carregamentos em ambos os planos os resultados podem ser adicionados como vetores 2 1 2 2 2 i i 2 2 i i i 2 2 2 i i 2 2 i i i A 2l 6 l M 3 l b b F 2l 6 l M 3 l b b F IL 6E 1 V i H i a a a a Projeto de Eixos por Restrições Geométricas Considerando o plano xy como o plano vertical V e o plano xz como o plano horizontal H para carregamento em ambos os planos os resultados podem ser adicionados como vetores de modo a prover 2 1 2 2 2 i i 2 2 i i i 2 2 2 i i 2 2 i i i A l2 6 M 3 l b b F l2 6 M 3 l b b F l 6EI 1 a l a a l a i i Projeto de Eixos por Restrições Geométricas Para restrição de inclinação do mancal esquerdo 4 1 2 1 2 2 2 i i 2 2 i i i 2 2 2 i i 2 2 i i i LIM 2l l 6 M 3 b b F 2l l 6 M 3 b b F El 3 32CS d V i H i a a l a a l Para restrição de inclinação do mancal direito 4 1 2 1 2 2 2 i i 2 i 2 i i 2 2 2 i i 2 2 i i LIM l M 3 a F l M 3 a F El 3 32CS d V H i a a l a a l Projeto de Eixos por Restrições Geométricas EXERC EXERCÍÍCIO 18 CIO 1811 O eixo de aço ilustrado carrega duas engrenagens retas e dispõe de carregamento como mostrado Os mancais localizados em A e B são mancais de rolos cilíndricos A inclinação espacial de linha de centro nos mancais está limitada a 0001 rad com um fator de projeto de 15 Estime o diâmetro de um eixo uniforme que satisfaça às restrições de inclinação impostas pelos mancais Projeto de Eixos por Restrições Geométricas 4 1 2 1 2 2 2 i i 2 2 i i i 2 2 2 i i 2 2 i i i LIM 2l l 6 M 3 b b F 2l l 6 M 3 b b F El 3 32CS d V i H i a a l a a l 4 1 2 1 2 2 2 2 2 2 9 0 406 0305 30 05 4450 0 406 0152 10 52 1335 0406m 0 001 210 10 3 32 51 d V H rd Pa Para restrição de inclinação do mancal esquerdo mm m 88 2 0 0882 d Projeto de Eixos por Restrições Geométricas Dados o diagrama de momento fletor e a geometria do eixo a deflexão e a inclinação em vários pontos podem ser encontradas Se ao examinar as deflexões qualquer valor encontrado for maior que a deflexão admissível ylim um novo diâmetro poderá ser determinado a partir de 4 1 lim old old new y CSy d d 4 1 lim old old new CS d d Similarmente se qualquer inclinação for maior do que a inclinação admissível lim um novo diâmetro pode ser determinado a partir de Projeto de Eixos por Velocidades Críticas Preliminares quando um eixo está girando a excentricidade causa uma deflexão devido a força centrífuga a qual é resistida pela rigidez EI do eixo para deflexões pequenas nenhum dano será ocasionado porém para determinadas velocidades o eixo tornase instável com as deflexões podendo aumentar sem um limite superior tal problema é designado por velocidades críticas As primeiras velocidades críticas devem ser superiores a pelo menos duas vezes a velocidade operacional Premissas na fase de projeto buscar as primeiras velocidades críticas as quais devem ser evitadas E I rads g l EI l 2 2 1 A m caso mais simples eixo de diâmetro uniforme suportado por dois mancais extremos Projeto de Eixos por Velocidades Críticas M é a massa por unidade de comprimento A é a área da secção transversal e o peso específico rads w w g i 2 i i i 1 y y Eixo com um conjunto de acessórios Método de Rayleigh para massas discretizadas Projeto de Eixos por Velocidades Críticas Em que wi é o peso na iésima localidade e yi a deflexão na iésima localidade do corpo Dificuldade matemática definir as deflexões transversais em cada ponto considerado Projeto de Eixos por Velocidades Críticas Solução prática utilização dos chamados coeficientes de influência coeficiente de influência deflexão transversal na posição i devido a uma carga unitária na posição j Para uma viga apoiada com uma carga unitária temse ji ij ij onde a x x a 2Lx 6EIL L x a a x x b L 6EIL x b i i 2 i 2 j i i j i i 2 i 2 j 2 i j Projeto de Eixos por Velocidades Críticas da onde os abaixamentos em cada ponto podem ser determinados por 3 33 32 2 1 31 3 23 3 22 2 1 21 2 3 13 2 12 1 11 1 F F F y F F F y F F F y Projeto de Eixos por Velocidades Críticas As Forças Fi podem surgir a partir dos pesos fixados wi ou das forças centrífugas mi w2 yi 33 3 2 3 32 2 2 2 31 1 2 1 3 23 3 2 3 22 2 2 2 21 1 2 1 2 13 3 2 3 12 2 2 2 11 1 2 1 1 m m m y m m m y m m m y y y y y y y y y y Podese escrever Projeto de Eixos por Velocidades Críticas 0 1 m m m 0 m 1 m m 0 m m 1 m 3 2 33 3 2 32 2 1 31 1 3 23 3 2 2 22 2 1 21 2 3 13 3 2 12 2 1 2 11 1 y y y y y y y y y Três equações simultâneas em termos de y1 y2 e y3 Para evitar a solução trivial y1y2 y30 o determinante deve ser zero problema de autovalor 0 1 m m m m 1 m m m m 1 m 2 33 3 32 2 31 1 23 3 2 22 2 21 2 13 3 12 2 2 11 1 Expandindo o determinante obtémse Projeto de Eixos por Velocidades Críticas 0 1 1 2 2 2 33 3 22 2 11 1 3 2 m m m Três raízes 1 1 1 2 3 2 2 2 1 0 1 1 1 1 1 1 2 3 2 2 2 2 2 1 2 ou 0 1 1 1 1 1 2 2 2 3 2 2 2 1 3 2 Comparando observase que Projeto de Eixos por Velocidades Críticas 33 3 22 2 1 11 2 3 2 2 2 1 1 1 1 m m m Se tivéssemos uma única massa m1 sozinha a velocidade crítica seria dada por 2 11 1 11 2 1 1 m Similarmente para m2 e m3 sozinhas 22 2 2 22 1 m 33 3 2 33 1 m 2 33 2 22 2 11 2 3 2 2 2 1 1 1 1 1 1 1 e Projeto de Eixos por Velocidades Críticas Se ordenarmos as velocidades críticas de tal forma que 3 2 1 2 33 2 22 2 11 2 1 1 1 1 1 então Para um eixo de ncorpos n i ii 1 2 2 1 1 1 Exemplo 185 Considere um eixo de aço simplesmente apoiado com diâmetro de 1 in e um vão de 31 in entre mancais carregando duas engrenagens que pesam 35 lbf e 55 lbf a Encontre os coeficientes de influência b Encontre wy e wy2 bem como a primeira velocidade crítica utilizando a equação de Rayleigh 1836 4 4 4 0 04908 64 1 64 d in I 3 8 6 2 739 10 0 04909 31 6 30 10 6 lbf in EIl Exemplo 185 ji ij ij onde a x x a 2Lx 6EIL L x a a x x b L 6EIL x b i i 2 i 2 j i i j i i 2 i 2 j 2 i j 2061 10 inlbf 7 24 10 31 2379 24 7 4 2 2 2 8 11 3534 10 in lbf 20 11 10 31 2379 11 20 4 2 2 2 8 22 2224 10 in lbf 7 11 10 31 2379 11 7 4 2 2 2 8 21 12 Exemplo 185 rads w w g i 2 i i i 1 y y in F F y 0 01950 55 2 234 10 35 2 06110 4 4 12 2 11 1 1 in F F y 0 02726 55 3 534 10 35 2 234 10 4 4 22 2 21 1 2 lbf in i yi 2 178 55 0 02722534 35 0 01945234 2 2 2 2 0 05418 55 0 02722534 35 0 01945234 lbf in i yi 1191rpm rads 124 7 05418 0 2178 3861 1 Exemplo 185 f Velocidade critica intrínseca do eixo psi E 30106 3 0 282 in lbf 2 2 0 7854 4 1 in A 4970rpm 520 4 rads 0 282 7854 0 0 04909 30 10 1 386 31 E I g l 6 2 2 A s BIBLIOGRAFIA SHIGLEY MISCHKE e BUDYNAS Projeto de Engenharia Mecânica editora Bookman HIBBELER RC Resistência dos Materiais Prentice Hall