Cálculo Diferencial e Integral III - José de França Bueno e Ednaldo Alves Frezza

CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL III Cálculo diferencial e integral III KLS KLS José de França Bueno Ednaldo Alves Frezza Cálculo diferencial e integral III Dados Internacionais de Catalogação na Publicação CIP Bueno José de França ISBN 9788584825356 1 Cálculo diferencial 2 Cálculo integral I Frezza Ednaldo Alves II Título CDD 51533 Ednaldo Alves Frezza Londrina Editora e Distribuidora Educacional SA 2016 248 p B928c Cálculo diferencial e integral III José de França Bueno 2016 por Editora e Distribuidora Educacional SA Todos os direitos reservados Nenhuma parte desta publicação poderá ser reproduzida ou transmitida de qualquer modo ou por qualquer outro meio eletrônico ou mecânico incluindo fotocópia gravação ou qualquer outro tipo de sistema de armazenamento e transmissão de informação sem prévia autorização por escrito da Editora e Distribuidora Educacional SA Presidente Rodrigo Galindo VicePresidente Acadêmico de Graduação Mário Ghio Júnior Conselho Acadêmico Alberto S Santana Ana Lucia Jankovic Barduchi Camila Cardoso Rotella Cristiane Lisandra Danna Danielly Nunes Andrade Noé Emanuel Santana Grasiele Aparecida Lourenço Lidiane Cristina Vivaldini Olo Paulo Heraldo Costa do Valle Thatiane Cristina dos Santos de Carvalho Ribeiro Revisão Técnica Junior Francisco Dias Editorial Adilson Braga Fontes André Augusto de Andrade Ramos Cristiane Lisandra Danna Diogo Ribeiro Garcia Emanuel Santana Erick Silva Griep Lidiane Cristina Vivaldini Olo 2016 Editora e Distribuidora Educacional SA Avenida Paris 675 Parque Residencial João Piza CEP 86041100 Londrina PR email editoraeducacionalkrotoncombr Homepage httpwwwkrotoncombr Sumário Unidade 1 Integrais múltiplas Seção 11 Equações do plano e plano tangente Seção 12 Integral tripla Seção 13 Volume e centro de massa Seção 14 Área de superfícies 7 9 20 33 45 59 61 71 87 101 115 117 132 142 159 179 181 192 208 223 Unidade 3 Equações diferenciais ordinárias Seção 31 Definição de EDOs Seção 32 Classificação de EDOs Seção 33 EDOs de 1ª ordem Seção 34 Equações diferenciais lineares de ordem superior Unidade 2 Integrais múltiplas em outras coordenadas Seção 21 Mudança de variáveis Seção 22 Integrais triplas as coordenadas cilíndricas Seção 23 Coordenadas esféricas Seção 24 Aplicações de integrais triplas em outras coordenadas Unidade 4 Transformada de Laplace Seção 41 Definição de Transformada de Laplace Seção 42 Inversa da Transformada de Laplace Seção 43 Propriedades da Transformada de Laplace Seção 44 Transformada de Laplace e problemas de valor inicial Palavras do autor Prezado aluno a aprendizagem é um processo contínuo uma vez que voltando ao passado podemos nos deparar desde a época em que éramos crianças e nos primeiros anos da vida na escola começamos a aprender os conceitos matemáticos que começaram do básico e nos proporcionaram conhecer os números e contálos até operacionalizálos algebricamente e geometricamente O tempo passou chegamos ao curso superior e conhecemos o cálculo que foi desenvolvido por Gottfried Wilhelm von Leibniz 16461716 e Isaac Newton 16431727 e que nos proporcionou aplicações de movimentos variações distâncias etc Nesta etapa vislumbraremos a unidade curricular Cálculo Diferencial e Integral III que proporcionará a compreensão de medidas de comprimento de curvas cálculos de áreas em regiões irregulares no plano volume e massa em sólidos arbitrários entre outros Para isso é necessário estudar as integrais triplas como calcular integrais triplas em coordenadas esféricas e cilíndricas equações diferencias e o uso da Transformada de Laplace para resolver equações diferenciais lineares A fim de sistematizar esse aprendizado dividimos o livro didático em quatro partes ou unidades Na Unidade 1 os estudos tratarão as integrais triplas que são bem utilizadas em ciências exatas sendo aplicadas em cálculo de volumes massa centro de massa e momentos de inércia Continuamos nosso estudo sobre integrais triplas na Unidade 2 introduzindo a questão do cálculo de integrais triplas em coordenadas cilíndricas e coordenadas esféricas Dependendo da simetria do problema que você estiver estudando pode ser bem mais simples utilizar outros sistemas de coordenadas que não as coordenadas retangulares Na Unidade 3 é a vez das equações diferenciais que são recursos ótimos a serem utilizados nas ciências exatas humanas e sociais e que servem para modelar fenômenos e determinar índices ou taxas de crescimento ou decrescimento Por fim na Unidade 4 vamos estudar as Transformadas de Laplace Com essa transformada é possível transformar equações diferenciais em equações polinomiais o que em geral facilita bastante os cálculos Lembrese de criar e manter sua rotina diária de estudos Mantenha seu local de estudos organizado crie pastas e cadernos separados para cada unidade curricular Não deixe suas dúvidas se acumularem e esclareçaas o mais rápido possível Preparado para mais este desafio em sua vida acadêmica Vamos lá Unidade 1 Integrais múltiplas Convite ao estudo Olá aluno Seja bemvindo à Unidade 1 deste livro didático Ela tratará uma parte muito importante das integrais múltiplas e nos contemplará com conhecimentos e aprendizagens sobre os conteúdos de equação do plano e plano tangente integral tripla volume e centro de massa e área de superfícies Esses assuntos são recursos que podem ser utilizados na matemática propriamente dita e também nas demais ciências exatas Eles podem e devem ser extremamente importantes à sua formação e no decorrer destas etapas você perceberá algumas aplicações ao seu entorno nas mais diversas situações do seu cotidiano Você já ouviu falar em Oscar Niemeyer Pois bem ele foi um renomado arquiteto brasileiro conhecido mundialmente e responsável por maravilhosos projetos arquitetônicos Entre muitos podemos citar o Congresso Nacional Brasileiro Figura 11 localizado em Brasília que teve a sua idealização a partir de formas geométricas Fonte httpscommonswikimediaorgwikiFileNationalCongressofBraziljpg Acesso em 27 dez 2015 Figura 11 Congresso Nacional em Brasília U1 Integrais múltiplas 8 As mais belas e interessantes construções necessitam em algum momento serem reformadas com o propósito de estarem sempre atraentes e interessantes Desta forma imagine que você trabalha em uma empresa de engenharia e foi designado o responsável por todas as obras e melhorias estruturais deste edifício Uma grande responsabilidade não é Sendo assim para que tudo aconteça da melhor forma possível no decorrer desta unidade você será incumbido a desempenhar alguns cálculos a fim de aperfeiçoar essas tarefas Seção 11 Equações do plano e plano tangente Diálogo aberto O Congresso Nacional é um marco arquitetônico de Brasília e ícone do Brasil Ele é constituído por um edifício horizontal uma cúpula voltada para baixo onde fica a Câmara dos Deputados uma cúpula voltada para cima onde fica o Senado Federal e duas torres de 28 andares o anexo da Câmara e do Senado Desta forma a sua primeira tarefa a ser realizada neste trabalho será encontrar uma forma algébrica para determinar um plano Para isso você terá como orientação a passarela de ligação das duas torres verticais e a cúpula maior voltada para cima na Figura 12 Desta forma vamos imaginar que o centro desta passarela é exatamente o ponto que você poderá designar o vetor normal n 007 tendo a partir do solo o ponto A211 Agora é com você determine a equação deste plano Figura 12 Desenho do Congresso Nacional Fonte elaborada pelo autor Como o seu trabalho é completo e deverá ser realizado sobre toda a estrutura física do Congresso Nacional você também deverá determinar uma equação do plano que toque a superfície z 8 x² 4y² em um ponto qualquer¹ Essa superfície será uma parte integrante da cúpula menor voltada para baixo Baseandose parcialmente na sua primeira resolução você seria capaz de determinar a equação do plano que toque a superfície z 8 x² 4y² no ponto P113 ¹ Observação a equação apresentada não representa fidedignamente a cúpula menor Para detalhes sobre o projeto arquitetônico do Congresso sugerimos que acesse os links httpwwwdocomomoorgbrseminario 10 pdfsST04pdf e httpaupinicombrarquiteturaurbanismo241historiaem detalhecamaradosdeputadosnocongressonacionalde3106891aspx Acesso em 16 fev 2016 Para uma aprendizagem mais efetiva sobre os conteúdos desta seção vamos relembrar alguns conceitos necessários Desta forma começamos abordando a ideia de vetores que é um conceito abordado em Geometria Analítica e Álgebra Vetorial Dados os vetores mathbfk 233 e mathbfw 342 determine o produto escalar entre eles Seja P x0y0z0 um ponto do plano pi e mathbfn abc um vetor ortogonal a pi A equação geral do plano que passa pelo ponto P x0y0z0 e tem mathbfn abc como vetor normal é definida por ax by cz d 0 com d ax0 by0 cz0 Consulte o link a seguir e relembre sobre os conceitos de diferenciabilidade Disponível em www3ufsmbrcarmendisciplinas CalculoIIaulasFvar5pdf Acesso em 23 jan 2016 Além disso temos as derivadas direcionais que são recursos utilizados para sabermos as taxas de variação quando xy se deslocam em outras direções Para sabermos as taxas de variações fxy quando xy se desloca paralelamente aos eixos x ou y determinamos as derivadas em relação a x e y E também o plano que toca a superfície S em um único ponto denominado plano tangente Seja f diferenciável no ponto Px0y0z0 de uma superfície S dada por Fxyz 0 onde fx0y0z0 0 O plano contendo P e perpendicular a fx0y0z0 é chamado plano tangente de S em P veja um exemplo na Figura 16 Tomamos Ax1y1z1 um ponto conhecido e Pxyz um ponto qualquer de forma que eles formem o vetor AP pertencente ao plano E o vetor normal n abc ortogonal ao vetor AP Desta forma temos AP P A AP xyz x1y1z1 AP x x1y y1z z1 Lembrando que o produto escalar entre dois vetores perpendiculares entre si é nulo então n AP 0 abcx x1y y1z z1 0 ax x1 by y1 cz z1 0 ax ax1 by by1 cz cz1 0 ax by cz ax1 by1 cz1 0 n AP 0 Sabendo que de acordo com a definição ax1 by1 cz1 d chegamos à equação ax by cz d 0 denominada equação geral do plano Você sabia que também podemos representar a equação do plano na forma paramétrica Veja esse excelente material Disponível em httpwwwmatufmgbrgaalaulasonlineat403html Acesso em 4 jan 2016 De forma análoga vamos entender como determinar a equação genérica de um plano tangente a uma superfície entretanto precisamos relembrar alguns conceitos necessários para isso Veja mais detalhes sobre vetor gradiente e derivadas direcionais no texto da aula 6 do Instituto de Matemática Estatística e Computação Científica da Unicamp Disponível em wwwimeunicampbrvalle PastCoursesMA21114Aula6pdf Acesso em 4 jan 2016 E sobre definição do plano tangente no texto da aula 9 da Universidade Federal de Santa Maria Disponível em httpw3ufsmbrcarmen disciplinasCalculoIIaulasFvar6pdf Acesso em 20 jan 2016 Para obtermos genericamente a equação do plano tangente à superfície S de equação z fxy ou Fxyz fxy z 0 em P com f diferenciável tomamos os pontos Px0y0z0 e Qxyz ambos pertencentes à superfície a fim de formar o vetor PQ e também um vetor gradiente a essa mesma superfície Sabemos que f fx fy fz Fazendo o produto escalar entre eles temos fx0y0z0PQ 0 fxx x0 fyy y0 fzz z0 0 Obtendo a equação do plano tangente a uma superfície no ponto Px0y0z0 fxx x0 fyy y0 fzz z0 0 O vetor gradiente representa quantitativamente a variação de uma grandeza com o espaço O vetor gradiente é ortogonal à superfície O vetor gradiente de um campo escalar fx1x2xn é um vetor no qual cada componente é definida pela derivada parcial de f em relação às variáveis x1 x2 xn Determine a equação do plano tangente que toca a superfície z x² y² 4 no ponto P2 1 7 A sua outra tarefa nesta situação de aprendizagem seria determinar uma equação do plano que tocasse a superfície z 8 x² 4y² no ponto P1 1 3 Com certeza você desempenhou de forma satisfatória as suas atividades anteriores Sendo assim foi designado mais uma vez a trabalhar com esses conteúdos a fim de solucionar outros problemas U1 Integrais múltiplas 19 d Uma de suas notações é feita por uma reta sobreposta a uma letra minúscula do alfabeto e Não podem se anular 2 Entre os vetores a seguir qual possui as suas componentes definidas a partir de derivadas parciais a Vetor normal b Vetor equipolente c Vetor gradiente d Vetor nulo e Vetor soma 3 O sistema cartesiano é formado por três eixos xyz que correspondem a profundidade largura e altura Esses eixos podem possuir vetores unitários que formam uma base do tipo B i j k rr uru Essa base é nomeada por a Base perpendicular b Base vetorial c Base ortogonal d Base ortonormal e Base cartesiana Seção 12 Integral tripla Diálogo aberto Nesta seção de autoestudo é importante que você se lembre do que viu e aprendeu em integrais duplas pois será conveniente a utilização do cálculo de integral iterada Se você já viu o Congresso Nacional de perto sabe que as cúpulas são grandes Se ainda não teve oportunidade de conhecer deve imaginar que são pois assim parecem nas reportagens e fotos Nesta situação imagine que você e sua equipe terão que substituir alguns pedaços feitos de concreto de algumas regiões das paredes da cúpula maior Entretanto é sabido que apesar dela ter um formato geométrico esse não é regular e é aí que mais uma vez você poderá aplicar os seus conhecimentos sobre integrais Comparandose com o tamanho total do edificado esses pedaços contemplarão pequenas regiões Para não desperdiçar material tempo e demanda de mão de obra você deverá fazer um teste em apenas um espaço tridimensional desta região que se aproxima muito de um paralelepípedo e sendo assim poderá ter uma função escrita em coordenadas cartesianas Após terminar os seus esboços a respeito desta tarefa você concluiu que a região contemplará uma integral tripla e será indicada por R dV sendo que R pode ser considerado um paralelepípedo retângulo 121513 Fig 17 Esboço do paralelepípedo retângulo Visualização dinâmica em wwwgeogebraorgm2594319 Acesso em 4 fev 2016 Fonte elaborada pelo autor através do site de GeoGebra 5020003D Desta forma como você desenvolveria este cálculo a fim de calcular o volume dessa região Não pode faltar Integral definida Para resolver as situações dessa seção é preciso relembrar alguns conceitos fundamentais aprendidos anteriormente a fim de proporcionar um melhor entendimento Entre eles chegamos à definição de integral definida que nos ajudou a resolver problemas para determinar áreas Figura 18 Notação simplificada da integral definida L da função f de a até b L lim m Δx 0 n 1 i 0 f x i Δx i L b a f x dx Fonte elaborada pelo autor Sendo assim precisamos rever também a Soma de Riemann e o Teorema Fundamental do Cálculo conceitos importantíssimos para dar continuidade aos estudos dessa seção e também da unidade Veja mais detalhes sobre a soma de Riemann com aplicações no GeoGebra Disponível em httpwwwgeogebraorgm32106 e httpswwwgeogebraorgmaterialsimpleid66012 E sobre o Teorema Fundamental do Cálculo Disponível em wwwimeunicamp brvallePastCoursesMA11114Aula21pdf Acesso em 11 jan 2016 Integrais Duplas As integrais duplas são apresentadas analogamente às integrais definidas por uma variável e são excelentes recursos no cálculo de áreas de figuras planas e superfícies além de serem eficientemente úteis na obtenção de massa e volumes de regiões Uma superfície no espaço pode ser definida por uma função contínua de duas variáveis zfxy em uma região R fechada e limitada ao plano xy Desta forma temos R fxydA ou R fxydxdy A interpretação geométrica da integral dupla está associada ao cálculo de volume Fig 19 Interpretação geométrica da integral dupla Fonte elaborada pelo autor Nem sempre teremos uma região retangular entretanto podemos encontrar a área e o volume de qualquer região se o limite das somas de Riemann em x e em y existirem Segundo Stewart 2013 p 876 a integral dupla de f sobre o retângulo R é R fxydA lim mn mn i 1 j 1 fx ij y ij ΔA se esse limite existir E ainda esse limite sempre existe se a função f for contínua Integral iterada É uma forma de expressar a integral dupla a fim de obter o seu resultado calculando duas integrais de funções de uma variável real Em outras palavras é fazer a integração parcial em relação à y e x ou x e y respectivamente É expressa da seguinte forma Axdx b a fxydy dx Onde Ax é definida por Ax d c fxydy Teorema de Fubini se f for contínua no retângulo R xy a x b c y d então R fxydA b a d c fxydxdy d c b a fxydxdy De modo mais geral esse resultado vale se supormos que f seja limitada Veja mais detalhes sobre resolução de exercícios com integrais duplas no material da professora Salete Souza de Oliveira Buffoni da Escola de Engenharia Metalúrgica de Volta Redonda da Universidade Federal Fluminense UFF Disponível em wwwprofessoresuffbrsaletecdiiiCalculo21pdf Acesso em 15 jan 2016 Integral tripla A aprendizagem das integrais triplas ocorre de forma análoga pois já as definimos para funções de uma variável integral definida e de duas variáveis integrais duplas Sendo assim podemos também definila para três variáveis Temos o caso mais simples quando a função é definida sobre uma caixa em formato retangular ou seja Rxyzℝ³ axb cyd mzn Figura 110 Caixa retangular Visualização dinâmica em httpswwwgeogebraorgm2745717 Acesso em 26 fev 2016 Fonte elaborada pelo autor Observando a figura vemos uma caixa retangular subdividida em caixas menores e divididas em subintervalos Δx Δy e Δz Logo concluímos que o seu volume é dado por ΔV Δx Δy Δz E assim como ocorre com a integral dupla que é definida com o limite das somas de Riemann temos o mesmo acontecendo com a tripla entretanto com três somas Desta forma assim como a integral dupla podemos expressar a integral tripla de forma iterada Se f é contínua em uma caixa retangular D abcdmn então fxyzdV fxyzdx dy dz Determine o valor da Integral Resolução 2120212xyzdxdydz21202xdxdz212xdx21dydz212x2² dx2²1²3 Também conseguimos representar a integral tripla em uma região limitada genérica de um sólido qualquer ou seja tridimensionalmente Entretanto precisamos restringir f a funções contínuas e três tipos de regiões Região do tipo I Definese região do tipo I uma região do espaço contida entre os gráficos de duas funções contínuas nas variáveis x e y A região está contida entre os gráficos de duas funções contínuas ou seja Rxyzℝ³ xyD f₁xyzf₂xy Desta forma podemos escrever a integral e os seus limites de integração de acordo com os seus eixos Definese região do Tipo III uma região do espaço contida entre os gráficos de duas funções contínuas nas variáveis x e z Da propriedade I temos que a integral de multiplicação de uma função por uma constante é a multiplicação da constante pela integral da função Da propriedade II temos que a integral da soma de duas funções é a soma das integrais de cada uma delas U1 Integrais múltiplas 29 Lembrese Para cálculos de volumes em superfícies regulares utilizamos as fórmulas que aprendemos em Geometria Espacial Entretanto vale lembrar que na aprendizagem das integrais triplas é aconselhável que você utilize seus conceitos pois assim você estará treinando e melhorando a sua aprendizagem para determinar volumes em qualquer superfície Pesquise mais Aprenda mais sobre as integrais triplas consultando o link do Instituto de Matemática da Universidade Federal FluminenseUFF Disponível em wwwprofessoresuffbrpaulabM04alunopdf Acesso em 11 jan 2016 Avançando na prática Pratique mais Instrução Desafiamos você a praticar o que aprendeu transferindo seus conhecimentos para novas situações que pode encontrar no ambiente de trabalho Realize as atividades e depois compareas com a de seus colegas Trabalhando com planos paralelos 1 Competência de fundamentos de área Conhecer e ser capaz de aplicar na engenharia e área de exatas os cálculos referentes a integrais múltiplas equações diferencial ordinárias e à teoria de transformada de Laplace 2 Objetivos de aprendizagem Aplicar os conceitos de Integrais triplas em cálculos de volumes em situações do cotidiano 3 Conteúdos relacionados Integrais triplas integral iterada Imagine que você precisa calcular uma pequena região a ser restaurada do hemisférico na Cidade das Artes e das Ciências em ValênciaEspanha Calcule o valor da integral 010xy yzdzdxdy 1 Sobre as integrais duplas é correto afirmar que a A integral será a massa obtida pela soma de uma região finita de densidades b A integral será o volume obtido pela soma de uma infinidade de volumes infinitesimais inscritos em forma de paralelepípedos c A integral será a área obtida em uma região finita de uma superfície retangular d A integral será o volume do sólido formado pela sua integral iterada de volumes infinitesimais em forma de paralelepípedos e A integral será o volume obtido pela soma de uma infinidade de volumes finitos inscritos em forma de vários paralelepípedos Seção 13 Volume e centro de massa Diálogo aberto Em continuidade nas práticas das obras de revitalização do Congresso Nacional sua equipe deparouse com um entrave ao ter que solucionar alguns problemas de dutos e encaminhamentos localizados dentro das paredes externas da cúpula menor do edifício Um estagiário detectou que esses dutos se encontram atrás de uma placa com formato triangular e fez vários esboços da região retratada na Figura 116 Debatendo com os demais membros da equipe chegouse à conclusão que para mexer na estrutura dessa parede seria necessário que isso ocorresse única e exclusivamente nessa superfície Desta forma através de cálculos obtidos no escritório a fim de determinar tal região obtiveram a equação 2x y z 1 como modelo Entretanto antes de pôr o trabalho em prática eles se depararam com uma situação a ser resolvida seria preciso determinar o centro de massa e o volume da região obtida Com essas informações você seria capaz de resolver esse problema matemático contribuindo com a sua equipe Aqui vão algumas dicas para a resolução desse problema as integrais triplas são uma extensão das integrais duplas considere a densidade da placa descrita pela função ρxyz kz em que k 0 é uma constante Não pode faltar Para resolver as situações dessa seção precisaremos relembrar as integrais duplas Elas foram recursos importantes que nos ajudaram a calcular áreas de regiões planas e volumes Além disso podemos aplicálas em outras situações como na determinação da massa dos momentos e centro de massa utilizando uma função densidade considerada Sendo assim vamos relembrar esses conceitos A massa total m de uma lâmina pode ser deduzida após um cálculo de limite de modo semelhante ao usado na dedução das integrais duplas Desta forma tendo no plano xy uma determinada região D e a sua densidade em unidades de massa por unidade de área dada por ρxy em que ρ é uma função contínua sobre D em um ponto com coordenadas x e y pertencente à região D essa massa é determinada pela integral dupla m D ρxydA Momentos e centro de massa Se considerarmos uma lâmina que tenha a sua densidade variável ocupando determinada região D e ρxy sendo a sua função densidade Figura 117 O centro de massa é o ponto que representa o comportamento da lâmina como se toda a massa dela estivesse concentrada neste ponto Figura 117 Lâmina na posição horizontal equilibrada no centro de massa Desta forma o centro de massa dessa lâmina é exatamente o ponto nas coordenadas xy Ou seja é o ponto de massa única que uma partícula teria simultaneamente os mesmos momentos Sendo assim temos que essas coordenadas são dadas em x Mym e y Mxm em que Mx D yρxydA e My D xρxydA são os momentos em relação aos eixos x e y respectivamente Determine a massa e o centro de massa de uma lâmina triangular que passe pelos vértices 00 10 e 01 cuja densidade é dada por ρxy x 2y Resolução A lâmina triangular região D é limitada pelas retas x 0 y 0 e y 1 x Desta forma temos que D xy 0 x 1 0 y 1 x Ou seja os limites de integração em relação a x estão entre 0 inferior e 1 superior e em relação a y está entre 0 inferior e 1 x superior Para determinar a massa resolvemos a integral m D ρxydA fxyz1 para todos os pontos da região de integração E sendo representada por V E dV Uma forma fácil de resolvêla é por integral iterada assim como já vimos na aula da seção anterior Vale lembrar que neste caso não é necessário utilizar a integral tripla para calcular o volume entretanto ela é um recurso alternativo para estabelecer os cálculos Massa e centro de massa Assim como nas integrais duplas podemos determinar a massa e o centro de massa nas integrais triplas Desta forma se a densidade de uma região E é ρxyz em unidades de massa por unidade de volume em qualquer ponto x y z temos Massa m E ρxyzdV Primeiros momentos em relação aos três planos coordenados Myz E xρxyzdV Representa o primeiro momento em relação ao plano yz Mxz E yρxyzdV Representa o primeiro momento em relação ao plano xz Mxy E zρxyzdV Representa o primeiro momento em relação ao plano xy As coordenadas do centro de massa CM x y z são dadas por x Myzm y Mxzm z Mxym Calculado pela integral tripla Iy E x² z²ρxyzdV Iz momento de inércia em relação ao eixo z Calculado pela integral tripla Iz E x² y²ρxyzdV Aprenda mais sobre aplicações de integrais triplas consultando o link do Departamento de Matemática Estatística e Computação Científica da Unicamp Disponível em wwwimeunicampbrvallePastCourses MA21114Aula13pdf Acesso em 1 fev 2016 Outra sugestão é consultar o tópico 163 do livro disponível no endereço a seguir ROGAWSKI Jon Cálculo volume 2 recurso eletrônico Porto Alegre Bookman 2009 Disponível em httpsintegradaminhabiblioteca combrbooks9788577804115cfi395 Acesso em 2 mar 2016 z 0 temos 2x y 1 e isolando x chegamos a equação 0 x 12 y2 Em relação ao eixo z percebese que ele vai depender dos valores atribuídos a x e y Ou seja os valores variam de zero até a superfície Então isolando temos z 1 2x y Observando a Figura 119 é possível assimilar melhor Portanto temos que os limites de integração são 0 y 1 0 x 12 y2 0 z 1 2x y Começamos calculando a massa m E ρxyzdV m k ₀¹ ₀¹2 y2 z dzdxdy k ₀¹ ₀¹2 1 2x y² dxdy k12 ₀¹ 1 y³ dy k48 Concluímos que a massa é m k48 Avançando na prática Pratique mais Não pode faltar Resolução O cálculo do produto vetorial entre dois vetores é efetuado da mesma forma que o determinante de uma matriz Regra de Sarrus Se z fxy podemos escrever fx fx e fy fy Existem outras notações para as derivadas parciais Vale lembrar que fx não pode ser interpretada como a razão dos dois diferenciais Você lembrase das relações trigonométricas no triângulo retângulo Pois bem aqui recordaremos duas O seno cateto oposto e o cosseno cateto adjacente hipotenusa E a partir delas ficará mais fácil entender e trabalhar em coordenadas polares Pois na Figura 122 temos senθ coh senθ yr y r senθ e cosθ cah senθ xr x r cosθ Então quando for conveniente a fim de facilitarmos cálculos podemos transformar uma integral escrita em coordenadas cartesianas xy em uma integral em coordenadas polares rθ Desta forma se f for contínua em uma região escrita em coordenadas polares na integral dupla temos Rxy fxydA Rrθ fr cosθ r senθ r dr dθ Relembre e aprenda mais sobre integrais duplas e coordenadas polares lendo um texto do departamento de Matemática Aplicada da Unicamp Disponível em wwwimeunicampbrvallePastCoursesMA21114Aula11pdf Acesso em 11 fev 2016 Superfícies Parametrizadas Definição Uma superfície parametrizada em ℝ³ é uma aplicação x D ℝ² ℝ³ Em outras palavras parametrizar uma superfície é trabalhar uma função de duas variáveis para uma superfície em três dimensões Podemos dizer que se trata de uma aplicação que pega um objeto no plano bidimensional ℝ² e joga para o espaço tridimensional ℝ³ fazendo com que esse objeto caracterizese por uma superfície Desta forma temos uma função que depende de duas variáveis u e v e tem como imagem três variáveis x y e z dependentes de u e v Parametrizando chegamos à x xuv y yuv z zuv Assim também podemos escrever o vetor posição da superfície por ruv xuvî yuvĵ zuvk Determine a representação paramétrica da superfície 2z 3x 4y 5 Resolução z 52 3x2 2y Como u x e v y z 52 3u2 2v Determine a representação paramétrica do paraboloide z 4 x² y² E escreva o vetor posição parametrizado dessa superfície Área de Superfície Superfície no ℝ³ é dada por uma parametrização no ℝ³ em que a função a ser trabalhada é suficientemente diferenciável Como vimos anteriormente parametrização é uma aplicação que possui duas variáveis no domínio e associa três variáveis na imagem Ou seja é uma aplicação do ℝ² no ℝ³ Como o domínio é bidimensional então podemos imaginar um objeto bidimensional no espaço em três dimensões em que as coordenadas estão descritas em termos das duas coordenadas de u e v Desta forma dada uma superfície S podemos pensar em dois vetores tangentes a ela xu xu yu zu e xv xv yv zv Para parametrizar esta equação chamamos x u e y v E consequentemente temos z 1 u² v² Derivando a função chegamos a x 1 0 2u e v 0 1 2v Em seguida calculamos o produto vetorial u x v i j k 1 0 2u xu xv 2u 2v 1 0 1 0 0 2v 1 cujo módulo é dado por xu xv 2u² 2v² 1 4u² 4v² 1 Substituímos na integral D xu xv du dv Como na Figura 125 da superfície temos um raio variando conforme z aumenta e um ângulo θ podemos escrever as coordenadas cartesianas em coordenadas polares a fim de facilitar os cálculos Desta forma fazemos a representação da Figura 126 no eixo xy região do chão Figura 126 Região do chão y v 0 0 θ 2π 0 r 1 du dv r dr dθ u² v² r² Portanto a área da superfície é igual a π6 55 1 Se S for uma superfície que possa ser representada pela função z fx y f com derivadas parciais de primeira ordem contínuas em uma região D do plano x y então temos AS D fx² fy² 1 dx dy Como na equação do exemplificando z está isolado resolvao novamente utilizando a expressão dada acima Desafiamos você a praticar o que aprendeu transferindo seus conhecimentos para novas situações que pode encontrar no ambiente de trabalho Realize as atividades e depois compareas com a de seus colegas Como o parabolóide já está na forma parametrizada é necessário escrevêla de uma forma que facilite encontrar a área procurada Continuando encontramse as derivadas parciais em relação a u e v Portant a área da superfície em formato de parabolide a ser construída no terreno particular é fracpi6frac1717frac55 U1 Integrais múltiplas 58 Referências BOULOS Paulo ABUD Zara Issa Cálculo diferencial e integral São Paulo Makron Books 2000 v 2 EDWARDS C H PENNEY David E Cálculo com geometria analítica Rio de Janeiro LTC 1999 v 3 GUIDORIZZI Luiz Hamilton Um curso de cálculo 5 ed Rio de Janeiro LTC 2002 v 3 STEWART James Cálculo 7 ed São Paulo Cengage Learning 2013 v 1 STEWART James Cálculo 7 ed São Paulo Cengage Learning 2013 v 2 WEIR Maurice D HASS Joel GIORDANO Frank R Cálculo 12 ed São Paulo Pearson 2012 v 2 Unidade 2 Integrais múltiplas em outras coordenadas Convite ao estudo Olá Na Unidade 1 deste livro didático tratamos de integrais triplas Você efetuou cálculos de volumes e massas em coordenadas retangulares Nesta unidade você expandirá as suas capacidades de cálculos com integrais triplas para situações que apresentem determinadas simetrias Para isso vamos supor que você faz parte de um escritório de engenharia de projetos civis Seu superior solicitou a você que calculasse o volume interno de algumas edificações É possível que ele também venha a solicitar a massa e o centro de massa de outras estruturas de destaque na construção brasileira e mundial Para que possa efetuar estes cálculos você deverá observar a particular geometria de cada edificação para poder tirar vantagem desta geometria e facilitar seus cálculos Talvez você esteja se perguntando mas será que eu já fiz algo parecido anteriormente Figura 21 Nova Biblioteca de Alexandria Fonte httpsptwikipediaorgwikiBibliothecaAlexandrina Acesso em 6 abr 2016 Sim com certeza Você já efetuou mudanças de variáveis tanto nas integrais simples quanto nas integrais duplas Então é importante para sua aprendizagem que você estabeleça as conexões entre este tópico com integrais triplas e o que já foi visto em Cálculo I e Cálculo II ok Os pesquisadores de aprendizagem asseguram que ao estabelecermos conexões entre um novo objeto de aprendizagem e assuntos que já estudamos anteriormente aprendemos de forma mais significativa Uma dessas estruturas é a nova Biblioteca de Alexandria Figura 21 na cidade de Alexandria no Egito Você consegue notar que há um recorte no prédio na parte de trás no fundo da foto E agora Como resolver este problema Foi nessa mesma cidade entre o século III aC e o século V dC que existiu a famosa Biblioteca de Alexandria Nesta biblioteca trabalharam matemáticos e outros cientistas da Antiguidade Não pode faltar Você se lembra de como resolver integrais simples por substituição Nós utilizamos a seguinte relação intab fxdx intcd fgsgsds com c ga d gb e x gs Uma mudança de variáveis em integrais duplas é definida por uma transformação T que leva uma região A do plano uv em uma região B do plano xy xy Tuv com x fuv e y guv A mudança de coordenadas em integrais triplas é análoga àquela vista para integrais duplas A diferença é que agora teremos uma transformação T biunívoca que leva uma região A do espaço uvw em uma região B do espaço xyz da seguinte forma x fuvw y guvw z huvw O jacobiano de T é o determinante Jxyz xyzuvw As hipóteses que devem ser feitas sobre a transformação T para integrais triplas são análogas àquelas realizadas para integrais duplas Considere A uma região no espaço uvw e B uma região no espaço xyz Suponha T a transformação biunívoca com a possível exceção apenas nos pontos da fronteira da região A que transforma a região A na região B por meio das equações x fuvw y guvw e z huvw onde f g e h são funções de classe C1 ou seja f g e h são funções deriváveis com primeiras derivadas contínuas Então é válida a fórmula seguinte para mudanças de coordenadas em integrais triplas B fxyz dV A fxuvwyuvwzuvw JxyzJuvw du dv dw U2 Integrais múltiplas em outras coordenadas 66 0 9 0 2 4 3 4 3 9 2 0 9 0 2 2 4 3 4 3 4 9 4 9 2 w w w w u v du dv dw u uv 9 2 du dv dw 4 9 4 3 9 2 2 4 3 9 2 4 3 2 4 3 0 9 0 2 2 2 w w v w w v dv dw 4 9 12 117 4 4 9 12 2 117 4 333 0 9 2 0 9 w dw w w É claro que se você efetuar a integração tripla sem a substituição obterá o mesmo resultado Interpretação geométrica da mudança de coordenadas para integrais triplas A interpretação geométrica da mudança de coordenadas para integrais triplas também é análoga àquela realizada para a mudança de coordenadas para integrais duplas No caso de duas variáveis estamos levando uma região A do plano uv em uma região B do plano xy No caso de três variáveis estamos levando uma região A do espaço uvw em uma região B do espaço xyz Na Figura 25 foi ilustrada a mudança de coordenadas efetuada pelas equações x f u v w y g u v w e z h u v w Figura 25 Mudança de coordenadas da região A uvw para a região B xyz Figura 26 Elipsoide cuja superfície é dada pela equação x²64 y²36 z²25 1 Mudanças de coordenadas em integrais triplas Suponha que um sólido possua densidade constante em uma região V sob uma determinada simetria específica Como é feito o cálculo para determinar a massa deste sólido na região V U2 Integrais múltiplas em outras coordenadas 71 Seção 22 Integrais triplas as coordenadas cilíndricas Diálogo aberto Na seção anterior vimos como efetuar mudanças de coordenadas para simplificar o cálculo de integrais triplas em algumas situações que exibam simetria conveniente Em particular vimos o exemplo de cálculo de volume de elipsoides tomando como situaçõesexemplo as estruturas da Faculdade de Medicina de Cornell em Doha e o Elipsoide Metálico de Istambul Contudo existem edificações e máquinas que apresentam simetrias que permitem o uso de outras mudanças de coordenadas Em inúmeras situações reais a simetria pede uma mudança de coordenadas para as denominadas coordenadas cilíndricas Suponha que você continue como engenheiro responsável pelos cálculos de estruturas com simetrias não usuais Assim é continuamente levado a buscar novas estratégias de cálculos de integrais triplas Vamos retomar o exemplo da Nova Biblioteca de Alexandria consulte a Figura 21 da seção anterior Nesta unidade o escritório de engenharia no qual você trabalha recebeu a solicitação de calcular o volume interno da Nova Biblioteca de Alexandria no Egito O teto desta edificação possui uma inclinação de cerca de 16º o que aliado à estrutura cilíndrica do prédio dificulta uma aplicação imediata de coordenadas retangulares O que fazer Veremos que neste caso é adequado utilizar coordenadas cilíndricas Além disso você deverá fazer buscas na internet para estimar as medidas do prédio Vamos lá Será que existe alguma dica de quando usar coordenadas cilíndricas Sim a sugestão é que a mudança para coordenadas Não pode faltar Assim no caso de mudança de coordenadas cartesianas para coordenadas cilíndricas a integral tripla fica fx y z dV fr cosθ r senθ z r dz dr dθ Sabendo que r x² y² A equação do cilindro de raio R x² y² R² em coordenadas cilíndricas fica simplesmente r R uma vez que r x² y² Reeescreva a integral int02pi int0sqrt5 int0sqrt16x2y2 5z2 dz dr d heta em coordenadas cartesianas não é necessário efetuar o cálculo Resolução Usamos z 16 r2 16 x2 y2 para a integral em z Como a variável r tem como limites de integração zinferior 0 e zsuperior sqrt5 x2 y2 5 então xinferior sqrt5y2 e xsuperior sqrt5 y2 Finalmente sqrt5 leq y leq sqrt5 quad 5z2 dx dy A integral fica int02pi int0b intsqrtb2 r2sqrtb2 r2 r dz dr d heta int02pi left z rightsqrtb2 r2sqrtb2 r2 r dr d heta int02pi 2 sqrtb2 r2 r dr d heta int02pi leftfrac23 b2 r232right bigg0b d heta frac2pi3 b2 a232 frac4pi3 b2 a232 Considere a esfera de equação x2 y2 z2 b2 e o cilindro de equação x2 y2 a2 com a b Determine o volume da região interna à esfera e externa ao cilindro Resolução utilizando coordenadas cilíndricas escrevemos x r cos heta e y r sen heta Então a equação do cilindro fica r2 a2 e a equação da esfera se escreve r2 z2 b2 Os limites de integração ficam 0 leq heta leq 2pi e a partir da equação da circunferência temos sqrtb2 r2 leq z leq sqrtb2 r2 Na figura a seguir vemos o caso particular com a esfera de raio igual a sqrt2 os planos z1 e z1 O cilindro possui equação x2 y2 1 A equação da esfera em coordenadas cilíndricas é r² z² 18 A equação do paraboloide em coordenadas cilíndricas é r² 3z Substituímos a equação x² y² 3z na equação da esfera 3z z² 18 Resolvendo para z obtemos z3 e z6 A raiz negativa é descartada Nesta integral usamos que u 18 r² Então 3 0 18 r² r dr 13 18 3²32 18 0²32 13 1532 1832 182 515 O teto da Nova Biblioteca de Alexandria tem uma inclinação de 16 com relação ao plano horizontal O teto da Biblioteca é um círculo com 160 metros de diâmetro A altura do edifício é de 33 metros Disponível emhttpwwwmemoriasocialprobrdocumentosDissertaC3A7C3B5esDiss264pdf Disponível emhttparktetonixcombr201104arkinspiration115E28093novabibliotecadealexandria Disponível emhttpwwwegypttourismorgNew20Siteplacesbibliotecaalexandrinahtm Acesso em 18 abr 2016 4475172293963cosθ80800rdrdθ0rZrdz0r4475172293963cosθrdrdθ0r4475172293963cosθ802800803dθ080rdrdθdθ8340133π Portanto7414180x2dx80412arcsen41802862314082471436871 71141 74 41 xdx 71141 x² 2 74 41 13499 Somando os quatro resultados parciais 138091 566005 4579945 13499 111112 Finalmente somando os resultados das três etapas o volume será 1758461 m³ Um aprendizado importante desta situaçãoproblema não somos obrigados a efetuar a integração de um objeto apenas em coordenadas cilíndricas ou apenas em coordenadas cartesianas Podese dividir o objeto e aproveitar sua simetria para utilizar o sistema de coordenadas mais apropriado para aquele trecho Avançando na prática Pratique mais Instrução Desafiamos você a praticar o que aprendeu transferindo seus conhecimentos para novas situações que pode encontrar no ambiente de trabalho Realize as atividades e depois compareas com a de seus colegas Integrais triplas as coordenadas cilíndricas 1 Competências Conhecer e ser capaz de aplicar na engenharia e área de exatas os cálculos referentes a integrais múltiplas equações diferenciais ordinárias e à teoria de transformada de Laplace 2 Objetivos de aprendizagem Utilizar os conhecimentos adquiridos dos conteúdos de mudança de coordenadas nas integrais triplas aplicando os conceitos de coordenadas cilíndricas em situações do cotidiano 3 Conteúdos relacionados Mudança de coordenadas em integrais triplas coordenadas cilíndricas O Museu de Arte Contemporânea de Niterói é um marco arquitetônico e ícone da cidade É outra obra de destaque do arquiteto Oscar Niemeyer Figura 213 Museu de Arte Contemporânea de Niterói Fonte httpscommonswikimediaorgwikiFileNiteroiMuseudeArteContemporanea20050315jpg Acesso em 15 abr 2016 U2 Integrais múltiplas em outras coordenadas 83 U2 Integrais múltiplas em outras coordenadas 87 Seção 23 Coordenadas esféricas Diálogo aberto Nesta seção continuamos a discutir a estratégia de mudança de coordenadas em integrais triplas com a finalidade de facilitar o cálculo Na última seção estudamos as coordenadas cilíndricas e vimos que a simetria sendo em torno de um eixo podemos usála obtendo cálculos mais fáceis Nesta seção estudaremos as coordenadas esféricas Desta forma qual dica poderíamos seguir para saber se devemos ou não mudar as coordenadas para esféricas Bem quando a região de integração apresentar simetria com respeito a um ponto sugerese a mudança para coordenadas esféricas Você como engenheiro de um escritório de cálculos para estruturas incomuns vem tendo seus conhecimentos postos à prova Em diversas situações práticas podemos nos aproveitar da simetria para facilitar os cálculos de integrais triplas Você já trabalhou com mudanças de coordenadas em geral na Seção 21 e coordenadas cilíndricas na Seção 22 Mas será que existiriam outras simetrias relevantes que merecem ser estudadas por um profissional como você atuando em um escritório de alto nível Sim Você já ouviu falar na Biosfera de Montreal Veja a Figura 215 Ela foi construída para a Feira Mundial de 1967 Expo 67 A Biosfera de Montreal possui 76 metros de diâmetro e 62 metros de altura Ela é usada como um museu interativo sobre o meio ambiente dos Grandes Lagos Como Fonte httpscommonswikimediaorgwiki FileBiosphC3A8reMontrC3A9alCAjpg Acesso em 18 abr 2016 Figura 215 Biosfera de Montreal U2 Integrais múltiplas em outras coordenadas 101 Seção 24 Aplicações de integrais triplas em outras coordenadas Diálogo aberto Nas três primeiras seções desta unidade estudamos mudança de coordenadas em integrais triplas e o uso de coordenadas cilíndricas e esféricas em integrais triplas Utilizamos estas mudanças de coordenadas para cálculos de volume O cálculo de volumes é comumente a primeira aplicação de integrais triplas que se estuda nos cursos de Cálculo Diferencial e Integral mas existem outras aplicações Nesta seção veremos aplicações das mudanças de coordenadas em integrais triplas determinação de massa centro de massa momentos em relação aos planos coordenados e momentos de inércia Você já viu a esfera da Times Square em Nova Iorque na comemoração do anonovo Mesmo que já tenha visto leia mais Disponível em httpg1globocommundonoticia201601 novayorkentraem2016comfestaeforteesquemade segurancahtml Acesso em 9 mai 2016 Conhecer um pouco sobre a esfera da Times Square será importante para sua próxima tarefa Suponha que um empresário brasileiro tenha encomendado ao escritório de engenharia em que você trabalha um enfeite semelhante ao da Times Square Ele quer que a esfera seja construída no pátio da sua empresa e que suba um mastro girando em torno de seu eixo Para prosseguir com o projeto você e seus colegas do escritório Fonte httpsenwikipediaorgwikiTimes SquareBallmediaFileTSB2010cropped jpg Acesso em 9 maio 2016 Figura 225 Esfera da Times Square U2 Integrais múltiplas em outras coordenadas 113 Referências BOULOS Paulo ABUD ZaraIssa Cálculo diferencial e integral São Paulo Makron Books 2000 v 2 EDWARDS C H PENNEY David E Cálculo com geometria analítica Rio de Janeiro LTC 1999 v 3 FLEMMING Diva Marília GONÇALVES Miriam Buss Cálculo B 2 ed São Paulo Pearson Prentice Hall 2007 GUIDORIZZI Luiz H Um Curso de Cálculo 5 ed Rio de Janeiro LTC 2013 v 3 Disponível em httpsintegradaminhabiblioteca combrbooks9788521625414 Acesso em 2 maio 2016 ROGAWSKI Jon Cálculo recurso eletrônico Porto Alegre Bookman 2009 Disponível em httpsintegradaminhabiblioteca combrbooks9788577804115cfi0 Acesso em 2 mar 2015 v 2 STEWART James Cálculo 7 ed São Paulo Cengage Learning 2013 v 2 THOMAS George B et al Cálculo 10 ed São Paulo Pearson AddisonWesley 2003 v 2 Unidade 3 Equações diferenciais ordinárias Convite ao estudo Olá aluno Seja bemvindo à Unidade 3 deste livro didático Ela tratará de um campo extremamente rico e útil pertencente à matemática e aplicado a diversas ciências e também na engenharia as equações diferenciais ordinárias EDOs Com essa aprendizagem será possível ver distintas aplicações desse conteúdo a partir do qual mediante modelos matemáticos você poderá lidar com diversas situações muito próximas das vivenciadas em seu cotidiano Você aprenderá ainda no decorrer desta unidade a definição de EDOs e a maneira como elas se classificam Além disso por meio de algumas situações você também agregará aos seus conhecimentos a facilidade em trabalhar a matemática do mundo real por meios de modelos matemáticos você encontrará soluções extremamente próximas a problemas reais que ocorrem verdadeiramente no seu dia a dia E isso você observará ao lidar com as equações diferenciais de 1ª ordem e com as equações diferenciais lineares de ordem superior Você deve estar se perguntando para que servem as EDOs não é mesmo Pois bem com as EDOs podemos tratar diversos fatores sociais e também econômicos como os estudos populacionais por meio do crescimento e decrescimento populacional a propagação de doenças e a variação do número de pessoas infectadas queda livre aquecimento e resfriamento além de poder também aprender a lidar com assuntos relacionados a finanças variação de preços de mercado moedas etc U3 Equações diferenciais ordinárias 116 Dessa forma suponha que você possui uma empresa de consultoria em soluções matemáticas A fim de sempre estar conquistando novos clientes você então fará um treinamento com toda a sua equipe para tratar as demandas solicitadas com melhor qualidade Você também vai trabalhar com modelos matemáticos representados pelas EDOs para cálculos de aplicações em conta poupança resfriamento de caldeira na fundição de peças e na determinação de uma solução específica na fabricação de molas Vamos lá Fonte httpsptwikipediaorgwikiTC3B3quiomediaFileTokyofromthetopof theSkyTreeJPG Acesso em 16 abr 2016 Figura 31 Tóquio Em 2014 foi o 19º ano consecutivo de crescimento populacional U3 Equações diferenciais ordinárias 178 BOYCE William DIPRIMA Richard C Equações diferenciais elementares e problemas de valores de contorno 8 ed Rio de Janeiro LTC 2006 BRANNAN James R BOYCE William E Equações diferenciais uma introdução a métodos modernos e suas aplicações Rio de Janeiro LTC 2013 Disponível em httpsintegradaminhabibliotecacom brbooks9788521623373cfi042100000 Acesso em 14 jun 2016 BRONSON Richard COSTA Gabriel Equações diferenciais Tradução Fernando Henrique Silveira 3ed Porto Alegre Bookman 2008 Disponível em httpsintegradaminhabibliotecacombr books9788577802982pageid0 Acesso em 14 jun 2016 ÇENGEL Yunus A PALM III William J Equações diferenciais Tradução Marco Elisio Marques Porto Alegre Bookman 2014 Disponível em httpsintegradaminhabibliotecacombr books9788580553499pageid0 Acesso em 14 jun 2016 STEWART James Cálculo volume 2 7 ed São Paulo Cengage Learning 2013 ZILL Dennis Equações diferenciais com aplicações em modelagem 9 ed São Paulo Cengage Learning 2011 Referências Unidade 4 Transformada de Laplace Convite ao estudo Olá aluno Vamos começar a Unidade 4 de Cálculo Diferencial e Integral III Nesta unidade você continuará a aprofundar seus conhecimentos na área de equações diferenciais com a técnica conhecida como Transformada de Laplace Esta técnica é utilizada para resolver equações diferenciais lineares O aspecto distintivo da Transformada de Laplace é que ela transforma integrações em multiplicações e derivações em divisões simplificando assim a resolução de equações diferenciais lineares Em outras palavras a transformada de Laplace transforma equações diferenciais que envolvem derivadas de uma função desconhecida em equações algébricas resolver equações algébricas usualmente é mais simples que equações diferenciais São competências específicas necessárias para o entendimento desta unidade resolver integrais em que um dos extremos é o infinito calcular limites no infinito identificar funções contínuas por partes efetuar a Transformada de Laplace e sua inversa e finalmente aplicar a Transformada de Laplace na resolução de equações diferenciais ordinárias com coeficientes constantes São objetivos específicos desta unidade apresentar a definição da Transformada de Laplace da Transformada Inversa de Laplace as propriedades da Transformada de Laplace e a aplicação na resolução de equações diferenciais Para que você consiga relacionar os conteúdos dessa unidade com a prática profissional imagine que você foi contratado por uma empresa do ramo de soluções industriais em que são desenvolvidos novos produtos Para que os produtos tenham boa aceitação dos clientes U4 Transformada de Laplace 180 eles devem ser seguros eficientes e de baixo custo e isso envolve a realização de diversos testes incluindo simulações de computador por meio de equações diferenciais Algumas das primeiras problemáticas que surgiram no seu novo emprego estão relacionadas a sistemas massamola resfriamento de materiais e sistemas elétricos Vamos encarar esse desafio profissional Então dê sequência à sua leitura e veja o primeiro problema que lhe foi apresentado U4 Transformada de Laplace 208 Seção 43 Propriedades da Transformada de Laplace Diálogo aberto Você já estudou o que é a Transformada de Laplace na primeira seção desta unidade e o que é a Transformada Inversa de Laplace na segunda seção Nesta seção você continuará seu trabalho na empresa de soluções industriais Neste momento você deverá apresentar a seus colegas de trabalho diversas propriedades e teoremas sobre Transformadas de Laplace e Transformadas Inversas de Laplace que serão posteriormente utilizadas na resolução das equações diferenciais ordinárias resultantes dos projetos da empresa Veja a seguir um exemplo de uma equação diferencial com uma força externa periódica e seccionalmente contínua associada com um dos projetos da empresa Observe como as Transformadas de Laplace atuam nesta classe de problemas Imagine um carro em uma estrada esburacada Como você acha que a indústria de suspensão pode avaliar o impacto dos buracos na suspensão do automóvel Para estudar a influência dos buracos na suspensão do automóvel a empresa de soluções industriais vai submeter a suspensão de um veículo a uma força externa do tipo dente de serra veja a Figura 412 Figura 412 Força externa Fonte elaborada pelo autor Ft t 1 1 2 3 4 U4 Transformada de Laplace 223 Seção 44 Transformada de Laplace e problemas de valor inicial Diálogo aberto Olá aluno Tudo bem Nesta seção concluiremos nossa Unidade 4 sobre Transformadas de Laplace O percurso que fizemos nestas quatro seções culmina nas soluções de EDOs não homogêneas com a força externa podendo ser uma função seccionalmente contínua periódica ou do tipo impulso Você já estudou várias técnicas para efetuar a Transformada de Laplace e a voltar ou seja efetuar a Transformada Inversa de Laplace os teoremas de deslocamento as frações parciais o teorema da convolução dentre inúmeras outras técnicas Nesta seção você como colaborador da empresa de soluções industriais deverá apresentar para seus colegas como resolver determinados problemas de engenharia que resultam em EDOs não homogêneas Em particular vocês vêm trabalhando com alguns tipos de sistemas mecânicos e sistemas elétricos Na figura a seguir o resistor é representado pela letra R o indutor pela letra L e o capacitor pela letra C A fonte é representada por E Observe que em um circuito elétrico podemos ter soluções que apresentam periodicidade dependendo dos valores numéricos de seus componentes Figura 415 Circuito elétrico ResistorIndutorCapacitor RLC Fonte elaborada pelo autor C L E R U4 Transformada de Laplace 240 BOYCE William E DIPRIMA Richard C Equações diferenciais elementares e problemas de valores de contorno 10 ed Rio de Janeiro LTC 2015 Disponível em httpsintegrada minhabibliotecacombrbooks9788521628330cfi6242 20288 Acesso em 26 jul 2016 BRANNAN James BOYCE William Equações diferenciais uma introdução aos métodos modernos e suas aplicações Rio de Janeiro LTC 2013 Disponível em httpsintegradaminhabibliotecacom brbooks9788521623373cfi04 4000000 Acesso em 10 ago 2016 BUTKOV Eugene Física matemática Rio de Janeiro Guanabara Dois 1978 COUTO Roberto Toscano Equações diferenciais resolução de equações diferenciais por séries e Transformada de Laplace Departamento de Matemática Aplicada UFF Disponível em http wwwprofessoresuffbrmarcoequacoesdiff2014eqsdifpdf Acesso em 8 ago 2016 EDWARDS JUNIOR C Henry PENNEY David E Equações diferenciais elementares com problemas de contorno 3 ed Rio de Janeiro PrenticeHall do Brasil 1995 PACHECO Antonio Luiz Schalata Transformada de Laplace algumas aplicações 2011 84 f Monografia PósGraduação em MatemáticaUniversidade Federal de Santa Catarina Florianópolis 2011 Disponível em httpsrepositorioufscbrxmluibitstream handle123456789121197AntonioLuizSchalata20Pacheco pdfsequence1isAllowedy Acesso em 3 ago 2016 SILVA Marcio Antonio Jorge da Notas de aula a transformada de Laplace Disponível em httpwwwuelbrpessoalmarciojorge arquivosLaplacepdf Acesso em 2 ago 2016 SPIEGEL Murray R Transformadas de Laplace Rio de Janeiro McGrawHill do Brasil 1981 Referências U4 Transformada de Laplace 241 STRAUCH Irene Transformada de Laplace em nove aulas Departamento de Matemática Pura e Aplicada Instituto de Matemática UFRGS Disponível em httpschasquewebufrgs brdmarconaplicada20151laplacestrauchpdf Acesso em 12 ago 2016 ZILL Dennis G Equações diferenciais com aplicações em modelagem São Paulo Thomson Learning 2003 CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL III Cálculo diferencial e integral III KLS KLS