Prova de Estruturas de Concreto Armado - Dimensionamento de Pilar Intermediário

01 Dimensione a área necessária para o pilar intermediário abaixo e use um coeficiente de majoração da área da seção Fck do concreto 35 Mpa O agregado da região será do tipo gnaisse Aço CA50 A nossa estrutura será executada na ora da cidade de Governador Valadares MG A carga aplicada ao pilar NK em toneladas N do RA110 Coeficiente majorador da área N do RA150 Comprimento destravado do pilar 320 cm nas duas direções Boa prova a todos FACULDADE PITÁGORAS CAMPUS GOVERNADOR VALADARES MG CURSO Engenharia civil DISCIPLINA Estruturas de concreto armado 02 PROFESSOR Matheus Oliveira Silva NATUREZA DO TRABALHO Avaliação 02 VALOR 1000 NOTA NOME CURSOPERÍODOTURMA DATA Durante o anteprojeto para consideração dos momentos atuantes no pilares na estimativa inicial de dimensões a carga atuante deve ser corrigida por um fator de acordo com a posição do mesmo α13 para pilares intermediários α16 para pilares de extremidades α18 para pilares de canto Lembrando ainda que a norma brasileira aplica coeficientes de majoração adicionais para pilares com a menor dimensão inferior a 19 cm Coeficiente de majoração adicional para pilares Com os fatores acima apresentados a carga estimada por ser calculado por Nd estγ f γ nα NK Adotando b 14 cm Nd est140125131134 Nd est2579tf Nd est2579kN A partir do Ndest podemos chegar em uma área de concreto apenas arbitrando uma deformação para o aço e uma taxa de aço Considerando uma deformação no aço de 0002 e uma taxa de aço de 2 é possível estimar a área de concreto através da equação abaixo AC est Nd est 085Fcd084 Para a formulação acima o valor de Ndest deve estar em kN e o valor de fcd deve estar em kNcm² Temos AC est 2579 085 35 140 084 AC est8699cm 2 Multiplicando o resultado pelo coeficiente de majoração de área calculado pelo RA K163 temos AC est869916314138cm² Como a área é menor que a área mínima de 360 cm² adotase A360 cm² Adotando b14 cm temos que h a AC estbh 36014h h26cm Área de aço Adotando d 40 cm Fck35 Mpa L 320 cm Nd 1134x140x125 1985 1985 kN 1 Comprimento L320cm 2 Cálculo do índice de esbeltez de pilares retangulares λex346 320 14 7908 λe y346 320 26 4258 Pilar medianamente esbelto na dir x Logo o pilar é do tipo esbelto ou seja há efeitos de segunda ordem 3 Momento Fletor minimo M 1 xd min15003hx Nd001500314 198538096 kN cm M 1 yd min15003h yNd001500326198 545239kN cm e1 x min38096 1985 191cm e1 y min45239 1985 227cm Cálculo do momento de segunda ordem na direção x 1 r 0005 hv05 0005 h v Nd Ac Fcd 19850 364351 400218 1 r 0005 14021805 0005 14 1 r 0 000497400003571 1 r 00003571 M 2cx Ndlex 2 10 1 r M 2cx19850320 2 10 0000357172585kN cm Cálculo do momento de segunda ordem na direção y 1 r 0005 hv05 0005 h v Nd Ac Fcd 19850 364351 400218 1 r 0005 26021805 0005 26 1 r 0000267800001923 1 r 00001923 M 2c y Ndlex 2 10 1 r M 2c y19850320 2 10 00001923390 89kN cm Dir x Mdtotx M1dmínx M2dx 39096 72585 111680 kNcm Dir y Mdtoty M1dmíny M2dy 45239 39089 84328 kNcm Maior momento na direção X Md 111680 kNcm 3 Cálculo da armadura v 19850 01402635000140218 μ Md Ach Fcd 111680 1426143514000876 dh 4260153 Ábaco A3 ω0050 As Acωfcd fyd 1426005035140 50115 10465cm² Como As 4 ϕ 1000 mm 314 cm² Adotase 4 barras de 1000 mm Durante o anteprojeto para consideração dos momentos atuantes no pilares na estimativa inicial de dimensões a carga atuante deve ser corrigida por um fator de acordo com a posição do mesmo α13 para pilares intermediários α16 para pilares de extremidades α18 para pilares de canto Lembrando ainda que a norma brasileira aplica coeficientes de majoração adicionais para pilares com a menor dimensão inferior a 19 cm Coeficiente de majoração adicional para pilares Com os fatores acima apresentados a carga estimada por ser calculado por 𝑁𝑑𝑒𝑠𝑡 𝛾𝑓 𝛾𝑛 𝛼 𝑁𝐾 Adotando b 14 cm 𝑁𝑑𝑒𝑠𝑡 140 125 13 1134 𝑁𝑑𝑒𝑠𝑡 2579 𝑡𝑓 𝑁𝑑𝑒𝑠𝑡 2579 𝑘𝑁 A partir do Ndest podemos chegar em uma área de concreto apenas arbitrando uma deformação para o aço e uma taxa de aço Considerando uma deformação no aço de 0002 e uma taxa de aço de 2 é possível estimar a área de concreto através da equação abaixo 𝐴𝐶𝑒𝑠𝑡 𝑁𝑑𝑒𝑠𝑡 085 𝐹𝑐𝑑 084 Para a formulação acima o valor de Ndest deve estar em kN e o valor de fcd deve estar em kNcm² Temos 𝐴𝐶𝑒𝑠𝑡 2579 085 35 140 084 𝐴𝐶𝑒𝑠𝑡 8699 𝑐𝑚2 Multiplicando o resultado pelo coeficiente de majoração de área calculado pelo RA K163 temos 𝐴𝐶𝑒𝑠𝑡 8699 163 14138 𝑐𝑚² Como a área é menor que a área mínima de 360 cm² adotase A360 cm² Adotando b14 cm temos que h a 𝐴𝐶𝑒𝑠𝑡 𝑏 ℎ 360 14 ℎ ℎ 26 𝑐𝑚 Área de aço Adotando d 40 cm Fck35 Mpa L 320 cm Nd 1134x140x125 1985 1985 kN 1 Comprimento L320cm 2 Cálculo do índice de esbeltez de pilares retangulares 𝜆𝑒𝑥 346 320 14 7908 𝜆𝑒𝑦 346 320 26 4258 Pilar medianamente esbelto na dir x Logo o pilar é do tipo esbelto ou seja há efeitos de segunda ordem 3 Momento Fletor minimo 𝑀1𝑥𝑑 𝑚𝑖𝑛 15 003ℎ𝑥 𝑁𝑑 0015 003 14 1985 38096 𝑘𝑁 𝑐𝑚 𝑀1𝑦𝑑 𝑚𝑖𝑛 15 003ℎ𝑦 𝑁𝑑 0015 003 26 1985 45239 𝑘𝑁 𝑐𝑚 𝑒1𝑥 𝑚𝑖𝑛 38096 1985 191 𝑐𝑚 𝑒1𝑦 𝑚𝑖𝑛 45239 1985 227 𝑐𝑚 Cálculo do momento de segunda ordem na direção x 1 𝑟 0005 ℎ𝑣 05 0005 ℎ 𝑣 𝑁𝑑 𝐴𝑐 𝐹𝑐𝑑 19850 364 35140 0218 1 𝑟 0005 14 0218 05 0005 14 1 𝑟 00004974 00003571 1 𝑟 00003571 𝑀2𝑐𝑥 𝑁𝑑 𝑙𝑒𝑥 2 10 1 𝑟 𝑀2𝑐𝑥 19850 3202 10 00003571 72585 𝑘𝑁 𝑐𝑚 Cálculo do momento de segunda ordem na direção y 1 𝑟 0005 ℎ𝑣 05 0005 ℎ 𝑣 𝑁𝑑 𝐴𝑐 𝐹𝑐𝑑 19850 364 35140 0218 1 𝑟 0005 26 0218 05 0005 26 1 𝑟 00002678 00001923 1 𝑟 00001923 𝑀2𝑐𝑦 𝑁𝑑 𝑙𝑒𝑥 2 10 1 𝑟 𝑀2𝑐𝑦 19850 3202 10 00001923 39089 𝑘𝑁 𝑐𝑚 Dir x Mdtotx M1dmínx M2dx 39096 72585 111680 kNcm Dir y Mdtoty M1dmíny M2dy 45239 39089 84328 kNcm Maior momento na direção X Md 111680 kNcm 3 Cálculo da armadura 𝑣 19850 014 026 3500014 0218 𝜇 𝑀𝑑 𝐴𝑐 ℎ 𝐹𝑐𝑑 111680 14 26 14 35140 00876 dh 4260153 Ábaco A3 𝜔 0050 𝐴𝑠 𝐴𝑐 𝜔 𝑓𝑐𝑑 𝑓𝑦𝑑 14 26 0050 35140 50115 10465 𝑐𝑚² Como As 4 ϕ 1000 mm 314 cm² Adotase 4 barras de 1000 mm UNIVERSIDADE DE SÃO PAULO ESCOLA DE ENGENHARIA DE SÃO CARLOS DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA DE ESTRUTURAS DIMENSIONAMENTO DE PEÇAS RETANGULARES DE CONCRETO ARMADO SOLICITADAS À FLEXÃO RETA WILSON SÉRGIO VENTURINI ROGÉRIO DE OLIVEIRA RODRIGUES São Carlos 1987 REIMPRESSÃO2000 I N D I C E 1 INTRODUÇÃO 1 2 HIPÓTESES DE CÁLCULO ESTADO LIMITE ÚLTIMO 2 3 COMPATIBILIDADE DE DEFORMAÇÕES 6 4 EQUAÇÕES DE EQUILÍBRIO SEÇÃO RETANGULAR 12 5 CÁLCULO SIMPLIFICADO SEÇÕES RETANGULARES 14 6 EQUAÇÕES ADIMENSIONAIS 18 7 ÁBACOS DE DIMENSIONAMENTO 24 8 EXEMPLOS 31 81 Exemplo de verificação 32 82 Exemplo de dimensionamento 33 1 INTRODUÇÃO Este texto faz parte do material bibliográfico utilizado nas disciplinas de concreto armado oferecidas pelo Departamento de Estruturas da Escola de Engenharia de São Carlos USP para os alunos do curso de engenharia civil As notações aqui utilizadas já foram definidas em textos anteriormente mostrados Nos casos de novos símbolos estes serão definidos a medida que forem utilizados O assunto aqui tratado é sobre o dimensionamento de peças de concreto armado solicitadas à flexão reta Notese que até essa fase do curso sobre resistência do concreto armado as hipóteses básicas do estado limite último para o cálculo de peças fletidas já foram estudadas tendo sido mostrado o dimensionamento de peças solicitadas à flexão simples apenas Para o dimensionamento de peças de concreto armado submetidas à flexão composta reta ou oblíqua a resultante das tensões resistentes na seção considerada NR não é nula Neste caso devese igualar essa resultante à força normal de cálculo Nd permitindose estabelecer assim uma das condições de equilíbrio Com relação ao momento fletor a equação de equilíbrio a ser imposta na resolução do problema é a mesma utilizada para o caso da flexão simples ou seja MR Md isto é momento solicitante de cálculo igual a momento resistente Na flexão normal composta caso que se pretende abranger neste texto as grandezas MR e Md ficam definidas por apenas uma das componentes já que neste caso particular o plano do momento já está definido e coincide com o eixo de simetria da peça Assim essas grandezas serão sempre referidas como MR e Md O objetivo do equacionamento a ser mostrado é apresentar uma maneira simples de encontrar a solução para o sistema de duas equações não lineares resultantes da imposição do equilíbrio entre esforços resistentes e atuantes levandose em conta as hipóteses relativas a deformações e as relações tensãodeformação dos dois materiais É ainda oportuno salientar que neste texto variações dos esforços solicitantes nas peças de concreto armado decorrentes da mudança de forma da peça não serão estudadas O estado limite último de instabilidade deverá ser tratado em ocasião oportuna 2 HIPÓTESES DE CÁLCULO ESTADO LIMITE ÚLTIMO As hipóteses básicas para o estudo das peças de concreto armado com relação a sua capacidade resistente referentes a solicitações normais abrangem os limites de deformações já anteriormente descritos e os diagramas convencionais tensãodeformação para o concreto e o aço Admitese para o concreto no estado limite último uma relação tensãodeformação de cálculo biunívoca onde o valor das tensões é dado por um diagrama parábolaretângulo fig 21 na região onde as deformações são de compressão e é nulo na região de deformações positivas uma vez que qualquer resistência do concreto a tração é desprezada Algebricamente essa relação pode ser expressa na seguinte forma Fig 21 Diagrama tensãodeformação de cálculo para o concreto σc 085 fcd para 0002 εc 00035 σc 850 fcd 1250 εc εc para 0 εc 0002 21 σc 0 para εc 0 O sinal menos é mantido aqui para caracterizar tensões e deformações de compressão de modo que as equações decorrentes do equacionamento a ser mostrado sejam consistentes evitandose assim análises particulares para atribuir sinal aos esforços resultantes Para o aço Classe A o diagrama tensãodeformação indica material elastoplástico perfeito A tensão varia linearmente até o limite de escoamento e é constante para valores de deformação superior a esse ponto A simetria indicada no diagrama da figura 22 é outra característica do comportamento desse aço tanto para tração como para compressão o início do escoamento é dado pelos mesmos valores absolutos da tensão e da deformação Entretanto para valores de εs inferiores a 00035 o uso do diagrama perde sentido uma vez que a solidariedade entre os materiais é admitida perfeita para a existência do concreto armado não podendo portanto os valores da deformação ultrapassar o limite estabelecido para o concreto No caso do aço Classe B obtidos por encruamento a frio o diagrama adotado para a relação tensãodeformação de cálculo é apresentado na figura 23 Diferentemente do caso anterior o diagrama tensãodeformação apresenta um trecho com encruamento cuja representação analítica é dada por uma parábola do 2º grau εs σsEs 145 σsfyd 07² σsσs 22 ou em sua forma inversa Fig 22 Diagrama tensãodeformação de cálculo Aço Classe A Fig 23 Diagrama tensãodeformação de cálculo Aço Classe B σs εs εs fyd 07 225fyd Es 225fyd Es 072 45εs 049 33 Como no caso anterior tensões e deformações de compressão têm sinal negativo para facilitar a elaboração dos algoritmos numéricos utilizados na montagem dos ábacos mostrados no final deste texto Com relação aos limites estabelecidos para as deformações os domínios de deformação já amplamente discutidos caracterizamse pelos valores máximos permitidos Para o concreto esses limites são 00035 e 0002 e para o aço 001 É entretanto oportuno mostrar que os seis domínios de finidos podem ser enquadrados em apenas três regiões bem caracterizadas Note que o estado limite último é caracterizado por uma deformação limite sendo sempre os valores das tensões decorrentes do estado de deformação da peça A partir dos valores limites 001 00035 e 0002 definemse as regiões I II e III indicadas na figura 24 A região I é definida pelo limite de deformação 001 na armadura mais tracionada abrangendo portanto os domínios 1 e 2 Nesta região a fibra de concreto menos tracionada tem de formação entre os valores 00035 e 001 A segunda região é caracterizada pelo valor 00035 de deformação na região mais comprimida da peça podendo a parte tracionada variar de uma deformação máxima igual a 001 na barra mais tracionada da armadura a uma deformação nula na fibra mais tracionada da peça Assim a região II engloba os domínios 3 4 e 4a A região III é também aqui reservada para peças totalmente comprimidas coincidindo portanto com o domínio 5 e é caracterizada pela deformação igual a 0002 para o ponto distante 37h da borda mais comprimida da peça Fig 24 Regiões de deformação 3 COMPATIBILIDADE DE DEFORMAÇÕES Assumindo válida a hipótese da conservação da seção plana e considerando que uma das deformações limites definidas para as regiões I II ou III no item anterior deva ser imposta deformações em quaisquer outros pontos da seção fica automaticamente conhecidos em função apenas da posição do eixo neutro da peça já que para a definição de uma reta seção deformada basta a fixação de dois valores Para facilitar o entendimento apresentamse abaixo as expressões das deformações ao longo de uma seção qualquer para cada uma das regiões descritas anteriormente Região I Considerando o valor último εsu 001 para a armadura tracionada podese escrever a seguinte relação para a deformação ε de um ponto genérico distante y do centro geométrico da peça d h2 h2 d εc2 x y₀ ε y εₛu 001 εc1 Fig 31 Deformações da região I εyy₀ εₛuhd x 31 Lembrando que tradicionalmente a posição do eixo neutro é indicada pelo parâmetro ξξxh e que x h2 y₀ 32 a relação 31 fica ε εₛu ξ βᵧ 05ξ 1 δ 33 onde δ dh 34 βᵧ yh A relação 33 dá os valores das deformações no aço e no concreto para qualquer posição βᵧ desde que conhecida a posição do eixo neutro ξ É importante observar que a deformação do ponto y h2 ou βᵧ 12 εc2 deve obedecer os limites descritos para a região I isto é εc2 001 e εc2 00035 Substituindo a primeira dessas desigualdades em 33 observase que essa condição significa ξ pertencente ao campo real Só não seria verificada se fosse admitido deformações na borda superior maiores que as da borda inferior Introduzindose a segunda desigualdade em 33 obtemse 001 ξξ δ 1 00035 35 Resolvendose 35 em termos de ξ vem ξ 0259 1 δ 36 Para valores de ξ acima do indicado em 36 a região de deformações não será mais a região I portanto a equação de compatibilidade neste caso deverá ser a da região II ou região III Região II Impondose para esta região o limite εcu2 00035 para a deformação εc2 figura 32 que ocorre na parte mais comprimida da peça a equação de compatibilidade fica dada pela seguinte expressão d h2 h2 d εcu2 00035 x y y₀ ε εₛ₁ εc₁ Fig 32 Deformações da região II εyy₀ 0003505h y₀ 37 Substituindose em 37 os valores de y₀ 32 e dividindose numerador e denominador por h obtemse ε εcu2 ξ βᵧ 05ξ 38 O valor de ε acima deverá obedecer os seguintes limites εₛ 001 39 εc1 0 Quando a primeira dessas condições não for atendida o caso em análise pertence a região I caso seja a segunda condição que esteja sendo violada o problema deve ser equacionado com as relações da região III Substituindose em 38 βᵧ 05δ e 1 e utilizando as expressões 39 obtemse o seguinte intervalo de variação para ξ dentro da região II 02591δ ξ 1 310 Região III Esta região corresponde exatamente ao domínio 5 os valores das deformações ficam agora dados em função do valor εcu3 fixado para o ponto situado a 37h da borda mais comprimida A figura 33 mostra o diagrama de deformações correspondentes a região III destacandose o valor último εcu3 0002 para a deformação de um ponto com y 114h Fig 33 Deformação da região III A expressão da deformação para qualquer ponto y fica novamente expressa pela equação de uma reta que neste caso é dada por ε 0002 yyox37 h 311 Substituindose o valor de yo de acordo com 32 e dividindose numerador e denominador por h vem ε εcu3 ξβy 12ξ37 312 Para que o estado de deformação da peça pertença a região III basta que se verifique a seguinte condição εcl 0 313 Calculandose o valor da deformação εcl na fibra mais tracionada a partir de 312 com βy 12 e impondo a desigualdade 313 obtemse o seguinte intervalo para ξ na região III ξ 1 314 As equações 33 38 e 312 representam as condições de compatibilidade para as três regiões de deformações utilizadas Lembrando que essas equações na verdade representam equações de retas podese facilmente alterar as formas apresentadas de maneira a serem expressas por uma única equação que depende de apenas dois valores característicos da região Escolhendose como parâmetros indicadores da região o valor da deformação última εu 001 00035 ou 0002 respectivamente para região I II ou III e uma constante adimensional ξo obtida a partir da distância do ponto do valor último até a borda mais comprimida dividida por h a seguinte fórmula para ε pode ser escrita ε εu ξ05βyξξo 315 Considerandose as três regiões os valores assumidos por εu e ξo são Região I εu εsu 001 ξo 1δ Região II εu εcu2 00035 ξo 0 Região III εu εcu3 0002 ξo 37 4 EQUAÇÕES DE EQUILÍBRIO SEÇÃO RETANGULAR No item anterior foram mostradas as expressões para o cálculo da deformação em um ponto genérico de uma peça qualquer de concreto armado a partir dos valores limites estabelecidos pela Norma Brasileira NB178 Sendo os valores das tensões calculados sempre em função das deformações para se ter a distribuição das tensões resistentes em uma peça qualquer de concreto armado basta a utilização das relaçôes tensãodeformação 21 22 e 23 A partir dos valores das tensões assim calculados obtemse os esforços resistentes da seção No caso particular de seção retangular considerandose o eixo neutro perpendicular ao plano de simetria da peça para se ter flexão composta reta os esforços resistentes NR e MR são dados pelas seguintes expressões ver figura 41 NR Rc Σ Rsi i1N MR Mc Σ Rsi ysi i1N 41 13 Onde N é o número de barras da armadura e Rc e Mc são resultantes de tensão da seção comprimida de concreto armado relativas à força normal e ao momento fletor is to é Nc Ac σc dA 42 Mc Ac y σc dA Escrevendose as resultantes de tensão na armadura em função da tensão σsi e da área de cada barra Asi ob temse NR Ac σc dA Σi1N σsi Asi MR Ac y σc dA Σi1N yi σsi Asi Sendo a seção retangular as integrais de área pas sam a ser apenas função da variável y ficando 43 dada por NR h2yo bw σc dy Σi1N σsi Asi 44a MR h2yo bw y σc dy Σi1N ysi σsi Asi 44b As equações 44 permitem avaliar os esforços resistentes NR e MR em uma seção de concreto armado com geometria e características dos materiais definidas Devese notar que os valores dos esforços são apenas função da posição do eixo neutro yo e das tensões σc e σsi ficando 14 portanto os valores de NR e MR independentes Cada um deles depende apenas da posição deformada a ser imposta à peça Assim a equação 44 permite o cálculo de verificação de uma peça de concreto armado obtendose pares NR MR para qualquer que seja a posição do eixo neutro Notese que no caso de flexão simples o problema de verificação permite calcular um único valor de MR entretanto neste caso a condição adicional NR 0 está sendo imposta fazendo com que a posição do eixo neutro fique determinada Em problemas de dimensionamento determinação da armadura para uma solicitação dada o equilíbrio é imposto faz endo esforços solicitantes de cálculo iguais a esforços resistentes isto é Nd NR 45 Md MR Com essa condição a equação para o dimensionamento de peças retangulares fica Nd bw h2yo σc dy Σi1N Asi σsi 46 Md bw h2yo y σc dy Σi1N ysi Asi σsi 5 CÁLCULO SIMPLIFICADO SEÇÕES RETANGULARES As fórmulas 46 mostradas acima representam o equilíbrio entre esforços resistentes e solicitantes em uma seção retangular para qualquer que seja a distribuição da armadura no interior da seção Uma particularização que facilita o entendimento do problema proposto é considerar a 15 armadura constituída de barras localizadas em apenas duas posições próximas as bordas superior e inferior da seção transversal Deste modo as somatórias indicadas em 46 pas sam a ter no máximo dois termos existindo também a possibilidade de uma das armaduras ser eliminada ficando a seção com armadura simples Outra simplificação usual que pode ser adotada é a substituição do diagrama tensãodeformação no concreto constituído por um trecho parabólico e outro retangular por u ma distribuição constante de tensões Introduzindose essas duas simplificações indicadas esquematicamente na figura 51 as equações de equilíbrio 46 podem ser reescritas Fig 51 Seção de concreto armado Diagrama simplificado de tensões e resultantes Nd h208xh2 085fcd bw dy As1 σs1 As2 σs2 Md h208xh2 085fcd bw y dy As105hdσs1 As205hd σs2 51 Fazendose as integrais indicadas obtemse Nd 068fcd bw x As1 σ s1 As2 σ s2 52 Md 034fcd bw xh08x 05hdAs1 σ s1As2 σ s2 Nas equações acima o valor de x é sempre positivo e nunca maior que 125h Nos casos onde a posição do eixo neutro levaria a valores fora desse intervalo o valor de x na equação 52 deverá ser tomado igual a zero quando a seção está totalmente tracionada e igual a 125h quando totalmente comprimida O dimensionamento de peças de concreto armado submeteidas à flexão composta é sempre feito com base em 52 e levando em conta a equação de compatibilidade 315 para que as tensões nas barras fiquem definidas Em geral no dimensionamento a geometria da seção é previamente estabelecida ficando como incógnitas as variáveis As1 As2 e x Assim o sistema tem infinitas soluções Portanto para se ter uma solução do sistema uma dessas variáveis deve ser necessariamente arbitrada Fixandose a linha neutra as incógnitas do problema ficam sendo as armaduras Se ao contrário for fixada uma armadura ou a relação entre elas as incógnitas neste caso ficam sendo a posição do eixo neutro x e o valor de uma das armaduras Embora pelo descrito acima pareça que a solução seja muito simples bastando adotar uma das variáveis é importante lembrar que a fixação desse valor deve obedecer características impostas pela solicitação A coerência em relação ao parâmetro adotado pode ser verificada pelo significado dos valores obtidos Assim se uma das áreas da armadura calculada for negativa fica claro que a imposição feita está incompatível com a solicitação e outro valor para o parâmetro deve ser adotado para reanalisar o problema Para ilustrar o dito acima tomase um tirante solicitado por uma força normal Nd e com momento Md nulo É óbvio que o parâmetro adotado é x acarretando σ s1 σ s2 fyd Das equações 52 obtemse As1 As2 12 Ndfyd 53 Se outra condição diferente fosse imposta algum absurdo resultaria dos valores calculados Por exemplo fixandose x obtemse duas armaduras iguais e negativas Exemplo Numérico Dados geometria h 50cm bw 20cm d 3cm materiais aço CA50A concreto C18 solicitação Nd 1029kN Md 1582kNcm Pedese calcular as armaduras Impondo As As1 As2 restam como incógnitas do problema x e As podendose escrever 52 na seguinte forma Nd 068fcd bw x Asσ s1σ s2 54 Md 034fcd bw xh08x As05hdσ s1σ s2 O sistema acima deve ser resolvido sempre levandose em conta a equação de compatibilidade 315 Uma das maneiras de se obter a área As desejada é através de tentativas Adotandose x obtemse a partir da primeira equação de 54 o valor de As Com os valores de x e As verificase a segunda equação Se os momentos calculado e aplicado forem diferentes adotamse outros valores de x até que a convergência seja verificada Assim fazendose x 50cm domínio 5 obtemse σ s1 441kNcm² e σ s2 435kNcm² podendose portanto calcular As para a primeira tentativa As¹ 688cm² Substituindose esse valor na segunda equação estimase o valor do momento Md¹ Md¹ 9413kNcm Md O procedimento acima deve ser repetido para outros valores de x até encontrar Md¹ Md dentro de uma tolerância aceitável No exercício proposto chegase a x 625cm e As 260cm² 6 EQUAÇÕES ADIMENSIONAIS As integrais do diagrama de tensão indicadas em 44 podese por facilidade de entendimento ser separadas em dois termos que correspondem as partes parabólica e retangular do diagrama de tensão Assumindose que o trecho parabólico é definido entre os valores y₁ e y₂ e o trecho retangular é válido de y₂ e y₃ e substituindo o valor de σc de acordo com 21 obtemse NR 850fcd bw from yc1 to yc2 1 250 εc εc dy 085fcd bw y2 y3 from i1 to N σsi Asi 61 MR 850 fcd bw y2 to y1 y 1250εc εc dy 0425 fcd bw y22 y32 i1 to N ysi σsi Asi As expressões 61 permitem a avaliação dos esforços resistentes NR e MR para um seção retangular Os limites de integração e a relação entre σc e y são sempre dadas em função da posição da linha neutra ξ É importante observar que os valores limites y1 y2 e y3 não devem em módulo ser maiores que h2 para se ter integração apenas sobre as dimensões reais da peça Para o estudo de seções de concreto armado é conveniente escrever as relações 61 independentes das dimensões da peça h e bw e da tensão de cálculo fcd Para isso definemse agora os valores adimensionais da força normal e do momento fletor resistentes ν NR Ac fcd μ MR Ac h fcd Dividindose as equações 61 por Ac fcd e Ac h fcd respectivamente obtemse ν 850 β2 to β1 1250εc εc dβy 085β2 β3 ω fyd i1 to N σsi ηsi 63 μ 850 β2 to β1 βy 1250εc εc dβy 0425 β22 β22 ω fyd i1 to N σsi βsi ηsi onde ω definido como a taxa mecânica de armadura da seção vale ω fyd As fcd Ac 64 ηsi é relação entre a área de uma barra e a área total ηsi Asi As 65 e βsi são as coordenadas adimensionais das posições das barras βsi ysi h 66 As expressões 63 podem ser transformadas substituindose o valor de εc pela equação de compatibilidade dada em 35 obtendose ν 850 β2 to β11250 εu ξ 05βyξξo εu ξ 05 βyξ ξo dβy 085β2 β3 ω fyd i1 to N σsi ηsi 67a μ 850 β2 to β1 βy 1250 εu ξ 05 βy ξ ξo εuξ 05βyξ ξo dβy 0425 β22 β32 ω fyd i1 to N σsi βsi ηsi 67b Integrandose 67 e substituindo os limites β1 e β2 chegase a ν 850 εu ξ ξo 250 εu ξ ξo β13 β233 ξ 05β12 β22 ξ 052 β1 β2 β12 β222 ξ 05β1 β2 085β2 β3 ω fyd i1 to N σsi ηsi 68a μ 850 εu ξ ξo β13 β233 ξ 05β12 β222 250 εu ξ ξo 2 ξ 05β13 β233 ξ 052 β12 β222 β14 β244 0425 β22 β32 ω fyd i1 to N σsi βsi ηsi 68b As expressões acima permitem a determinação dos esforços adimensionais em uma seção retangular de concreto armado Para o dimensionamento de uma seção devese procurar fazer o par de esforço resistente ser igual aos valores dos esforços adimensionais de cálculo garantindose portanto o equilíbrio no estado limite último Considerandose em 68 ν e μ de cálculo obtémse um sistema não linear que resolvi do fornecerá o valor da taxa mecânica de armadura ω para uma disposição de barras previamente fixada Na resolução desse sistema será também determinada o parâmetro ξ que apenas indica a posição do eixo neutro e portanto o domínio em que o estado limite ocorre Notese que esse sistema assim apresentado tem solução única uma vez que as relações entre os diversos valores de Asi foram fixados pelos valores ηsi com todas as demais variáveis que aparecem em68 βsi σsi εu e ξo sendo funções de ξ Para ilustrar a resolução do sistema acima é analisado o caso de peças totalmente comprimidas Neste caso ξ ξ 052 β1 β2 β12 β22 2 ξ 05β1 β2 085β2 β3 ω fyd i1 to N σsi ηsi 68a μ 850 εu ξ ξo β13 β233 ξ 05β12 β222 250 εu ξ ξo 2 ξ 05β13 β233 ξ 052 β12 β222 β14 β244 0425 β22 β32 ω fyd i1 to N σsi βsi ηsi 68b As expressões acima permitem a determinação dos esforços adimensionais em uma seção retangular de concreto armado Para o dimensionamento de uma seção devese procurar fazer o par de esforço resistente ser igual aos valores dos esforços adimensionais de cálculo garantindose portanto o equilíbrio no estado limite último Considerandose em 68 ν e μ de cálculo obtémse um sistema não linear que resolvi do fornecerá o valor da taxa mecânica de armadura ω para uma disposição de barras previamente fixada Na resolução desse sistema será também determinada o parâmetro ξ que apenas indica a posição do eixo neutro e portanto o domínio em que o estado limite ocorre Notese que esse sistema assim apresentado tem solução única uma vez que as relações entre os diversos valores de Asi foram fixados pelos valores ηsi com todas as demais variáveis que aparecem em68 βsi σsi εu e ξo sendo funções de ξ Para ilustrar a resolução do sistema acima é analisado o caso de peças totalmente comprimidas Neste caso ξ passa a valer Ficam também fixados o valor ξo 37 e deformações para qualquer ponto iguais a 0002 Calculandose o limite de 68 para ξ obtemseν 850εuβ1 β221250εu 085β22 β32 ωfyd i1N σsi ηsi μ 425εuβ12 β221250εu 0425β22 β32 ωfyd i1N βsi σsi ηsi 69 Agora com a posição da linha neutra definida os de mais parâmetros dependentes de ξ ficam também definidos Assim temse para ξ εu 0002 β1 12 β2 114 β3 12 σsi σs valor da tensão na armadura para εs 0002 Substituindose esses valores em 69 vem ν 085 ωfyd σs i1N ηsi 610 μ ωfyd σs i1N βsi ηsi O sistema 610 permite a determinação da taxa mecânica de armadura ω de uma seção totalmente comprimida É evidente que se uma variável foi fixada ξ é necessário que apenas duas outras referentes a armadura sejam incógnitas para se ter solução de 511 única Escolhendose por exemplo para a seção N 2 com armaduras localizadas em βs1 05 δ e βs2 05 δ isto é peça com ar madura dupla as relações ηs1 e ηs2 ficam sendo incógnitas do sistema Sabendose que ηs1 ηs2 1 as equações 610 podem ser escritas na seguinte forma ν 085 ωσsfyd 611 μ ωfyd σs 05 δ2ηs1 1 da primeira obtemse ω ν 085 σydσs 612 podendose calcular a partir desse valor ηs1 e ηs2 ηs1 12 112δ μν 085 613 ηs2 12 112δ μν 085 Lembrandose da definição de taxa mecânica de armadura 64 obtemse As ν 085 Ac fcd σs 614 com armadura inferior dada por As1 Ac fcd 2 σs ν 085 μ 05δ 615 e armadura superior igual a As2 Ac fcd 2 σs ν 085 μ 05δ 616 Assim como as equações 68 foram particularizadas para o caso de peças com força normal predominante onde é possível a imposição de ξ outras particularizações também podem ser feitas Recomendase no entanto que qualquer particularização seja feita com a fixação de ξ ficando sem pre como incógnitas parâmetros relativos a armadura O equacionamento mostrado acima entretanto não é usual Para o cálculo direto da armadura o emprego do diagrama aproximado de tensões já mostrado no item 5 leva a um sistema relativamente mais simples sendo portanto recomendado O objetivo do equacionamento proposto é ter uma formulação que permita avaliar esforços resistentes ν e μ em uma peça com disposição e taxa mecânica da armadura definidas para qualquer que seja a deformação imposta Esse esquema permite a construção de ábacos de esforços resistentes que uma vez elaborados podem ser utilizados no dimensionamento de peças de concreto armado desde que adotada previamente a disposição das barras no interior da seção 7 ÁBACOS DE DIMENSIONAMENTO Como foi discutido no final do item anterior às equações 68 permitem avaliar os esforços adimensionais ν e μ quando os parâmetros posição do eixo neutro ξ taxa mecânica de armadura ω disposição das barras na seção e tipo de aço estão definidos Para ilustrar o descrito acima um exemplo é analisado mostrando diversos pares ν μ calculados a partir de valores de ξ e mantendo fixo o valor de ω Na figura 71 é indicada a posição adotada para as armaduras Embora a seção esteja descrita com dimensões o cálculo a ser feito é independente uma vez que é baseado em esforços adimensionais e válido portanto para qualquer que sejam as dimensões da peça desde que as relações fixadas sejam mantidas Fig 71 Exemplo numérico Geometria e disposição das barras Para o cálculo dos parâmetros ν e μ os seguintes valores da seção são dados cobrirrruento δ dh 005 posição das armaduras βs1 045 e βs2 045 armaduras ηs1 As1As 0667 e ηs2 As2As 0333 classe do aço CA50A fyd 435kNcm² taxa mecânica de armadura ω 05 Com esses valores a seção fica com a geometria de finida podendose avaliar ν e μ para qualquer ξ Fazendopor exemplo ξ 10 isto é eixo neutro passando na face inferior da seção temse β1 05 β2 114 β3 05 Os valores ξo e ξu podem ser os relativos a região II ou III pois ξ 10 representa o limite entre essas duas regiões Fazendose ξo 00 e ξu 00035 região II e empregando a equação 315 calculamse as deformações nas armaduras εs1 00035 100504510 175x10⁴ εs2 00035 100504510 333x10³ A partir desses valores das deformações as tensões nas armaduras podem ser avaliadas σs1 175x10⁴x21x10⁵ 36kNcm² σs2 435kNcm² εs2 εyd Com esses parâmetros fixados podese calcular os valores de ν e μ a partir de 68 Para um melhor entendimento dessa operação é melhor avaliar separadamente as influências do concreto e da armadura nos valores de ν e μ assim podese escrever μ νc νs 71 μ μc μs Deste modo considerando que nas equações 68 as parcelas νs e μs são os termos que contêm ω e νc e μc o restante da expressão obtemse νc 0688 νs 0193 μc 0055 μs 0063 Somandose as partes referentes ao concreto e à armadura vem ν 0881 μ 0118 Note que os valores calculados para o concreto são bastante próximos dos valores obtidos com o uso do diagrama de tensões aproximado Neste caso o retângulo de tensões teria uma altura igual a 08 com a resultante aplicada a 01 do CG da peça figura 72 podendose avaliar νc e μc com as seguintes expressões νcapr 085 x 08 068 μcapr 085 x 08 x 01 0068 Sendo portanto bastante próximos dos valores calculados sem a simplificação do diagrama Fig 72 Diagramas reduzidos de tensão com resultantes adimensionais De uma maneira análoga o cálculo poderia ser repetido para outros valores de ξ obtendose uma série de pares ν μ como é mostrado na tabela 71 ξ 50 00 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 30 50 β1 05 05 04 03 02 01 00 01 02 03 04 05 05 05 05 β2 050 050 050 045 037 033 029 024 020 016 011 007 007 007 007 β3 05 05 05 05 05 05 05 05 05 05 05 05 05 05 05 ξ 095 095 095 095 000 000 000 000 000 000 000 000 043 043 043 εlim 00100 00100 00100 00100 00035 00035 00035 00035 00035 00035 00035 00035 00020 00020 00020 εsl 00100 00100 00100 00100 00076 00048 00032 00020 00013 00007 00002 00002 00016 00018 00020 εc2 00085 00005 00017 00020 00029 00031 00032 00032 00035 00033 00033 00033 00023 00022 00020 σsl 435 435 435 435 435 435 435 429 263 138 041 35 335 372 420 σs2 435 105 370 420 435 435 435 435 435 435 435 435 435 435 420 ν 050 038 025 005 004 010 017 024 044 060 075 088 127 130 133 μ 007 013 019 027 030 032 032 033 026 021 016 012 004 005 007 Tabela 71 Valores de esforços adimensionais resistentes em função da posição do eixo neutro ξ Os valores de ν e μ dados na tabela 21 podem ser lançados em diagramas adimensionais ν μ conforme indicadona figura 73 Embora apenas pontos discretos tenham sido calculados e fácil perceber que uma curva contínua relacionado os valores de μ e ν pode ser obtida A continuidade dessa curva é garantida pelas equações 68 onde todos os termos são contínuos uma vez que estão baseados nas relações tensão de formação dos materiais e na equação de compatibilidade A curva obtida também pode ser interpretada como um critério de resistência da peça Pares νμ na região interna obedecem ao critério estabelecido enquanto que pares sobre a curva estão no limite último de resistência Para pares νμ fora da área determinada pela curva não é possível encontrar uma posição deformada da peça que produza esforços resistentes necessários ao equilíbrio μ 04 03 02 01 ν Tração 050 025 0 025 050 075 100 ν Compressão Fig 73 Relação entre esforços adimensionais últimos em uma seção retangular com ω 05 e aço CA50A A não uniformidade na distribuição dos pontos indicados na figura 73 é explicada pela não linearidade mostrada nas equações dos esforços resistentes Observase também que para valores de ξ que correspondem ao eixo neutro definido fora da seção ξ 10 e ξ 00 pouca variação nos valores de ν e μ é observada enquanto que os pontos obtidos com ξ entre 00 e 10 correspondem a uma grande extensão da curva O gráfico também mostra um trecho com valores negativos de μ Isto só vai ocorrer para diagramas onde não há simetria de armadura Curvas similares as indicadas em 73 podem ser obtidas para valores de ω usuais em peças de concreto armado estabelecendose um ábaco que fornece valores de esforços resistentes ν μ para qualquer que seja a posição do eixo neutro Este ábaco possibilita o cálculo de ω em peças de concreto armado A partir dos valores ν e μ de cálculo escolhese o valor de ω de maneira a se ter ν e μ resistentesque satisfaçam o equilíbrio Isto é sabendose que valores de cálculo e esforços resistentes devem ser iguais entrase com ν e μ no ábaco obtendose ω e interpolandose quando ne cessário No final deste texto estão apresentados ábacos para os aços CA50A e CA50B para as disposições simétricas mais usuais de armadura permitindo assim o cálculo de seções de concreto armado de uma maneira rápida e segura O dimensionamento de uma peça de concreto armado pode ser feito facilmente empregandose tais ábacos Es colhida uma disposição construtiva para a armadura a ser calculada figura 74 o cálculo de As total da seção é iniciado pela obtenção dos esforços adimensionais de cálculo ν Nd Acfcd 72 μ Md Achfcd onde Ac é a área total da seção Ac bh A distância e excentricidade da força normal de cálculo que é indicada para ressaltar a direção do momento fletor aplicado vale e Md Nd ou e μ ν 73 Os valores m e n indicam respectivamente o número total de barras dispostas na seção e a quantidade de ca madas utilizadas Na figura 34 o número total de barras m é igual a 20 distribuídas em 7 n camadas Fig 74 Parâmetros utilizados no dimensionamento de seção retangular de concreto armado Escolhendose o ábaco a partir do tipo de aço adotado e do valor da relação δδ dh entrase com o par vμ e obtemse a taxa mecânica ω Para o cálculo da armadura total utilizase64 em sua forma inversa ou seja As ωAcfcdfyd 74 Com esse valor podese estabelecer a área individual de cada barra As1 Asm 75 8 EXEMPLOS Para ilustrar o processo de dimensionamento descrito nos itens anteriores são mostrados agora exemplos de aplicação 81 Exemplo de verificação Dada uma seção retangular com 50cm de altura 25cm de base e armadura de 388cm2 fig 81 disposta apenas próximas as faces inferior e superior e com d 5cm pedese a força normal que a peça resiste para uma relação μv 04 e considerando ainda concreto com resistência característica fcd 18 MPa e aço CA50A Fig 81 Seção transversal Geometria e disposição da armadura Valores necessários a resolução do problema δ 550 01 ω AsfydAcfcd 05 Resolução Escolhendose o ábaco A2 em função do aço e de δ 01 marcase a partir da origem uma reta μ 04v fig 82 Do ponto de interseção dessa reta com a curva ω 05 obtemse v 063 e μ 024 Utilizandose a definição de v μ equação obtémse os seguintes valores de cálculo Fig 82 Interseção da reta μ 04v e o diagrama ω 05 Nd vfcdAc 063 1814 x 50 x 25 10125kN Md μfcdAc h 024 1814 x 50 x 25 x 50 19286kNm Considerandose γf 14 os esforços características correspondentes são Nk 101214 7232kN Mk 1928614 13775kNm 82 Exemplo de dimensionamento A partir da geometria da seção de concreto e da posição da armadura indicada na figura 81 determinar a armadura da peça para resistir a uma solicitação Nk 800kN e Mk 100kNm para o concreto C18 e aço CA50A Valores adimensionais necessários δ 550 01 v 14x800 50251814 070 μ 14x10000 50x25x50x1814 017 Entrandose com esses valores no ábaco obtemse ω 046 A partir desse valor a armadura da peça pode ser determinada As ωfcd Ac fyd As 046 18x115x50x25 500x14 1700 cm² A armadura necessária para a peça é 1700 cm² isto é 85 cm² 3 barras de 20mm para cada lado ÁBACO A1 CA50A γs 115 dh 005 COMPREENSÃO TRAÇÃO v Nd μ ω 2 As 2 As 2 As 2 As V Nd Ac fcd μ Md Ac h fcd ω As fyd Ac fcd DOMÍNIO 5 DOMÍNIO 4a DOMÍNIO 4 DOMÍNIO 3 DOMÍNIO 2 DOMÍNIO 1 ÁBACOS PARA O DIMENSIONAMENTO DE PEÇAS RETANGULARES DE CONCRETO ARMADO CA50A ÁBACO A2 CA50A γs 115 dh 010 COM PRESSÃO TRAÇÃO γ NdAc f cd μ Md A c h f cd ω As f yd Ac f cd ÁBACO A3 CA50A γs 115 dh 015 COM PRESSÃO TRAÇÃO γ NdAc f cd μ Md A c h f cd ω As f yd Ac f cd ÁBACO A4 CA50A γs 115 dh 020 COM PRESSÃO TRAÇÃO γ NdAc f cd μ Md A c h f cd ω As f yd Ac f cd ÁBACO A5 γs 115 dh 025 DOMÍNIO 5 DOMÍNIO 4a DOMÍNIO 4 DOMÍNIO 3 DOMÍNIO 2 COMPRESSÃO TRAÇÃO υ Nd Ac fcd μ Md Ac h fcd ω As fyd Ac fcd CA50A 2As 2 ÁBACO A6 γs 115 dh 005 DOMÍNIO 5 DOMÍNIO 4a DOMÍNIO 4 DOMÍNIO 3 DOMÍNIO 2 DOMÍNIO 1 COMPRESSÃO TRAÇÃO υ Nd Ac fcd μ Md Ac h fcd ω As fyd Ac fcd CA50A 3As 6 ÁBACO A7 γs 115 dh 010 DOMÍNIO 5 DOMÍNIO 4a DOMÍNIO 4 DOMÍNIO 3 DOMÍNIO 2 DOMÍNIO 1 COMPRESSÃO TRAÇÃO υ Nd Ac fcd μ Md Ac h fcd ω As fyd Ac fcd CA50A 3As 6 ÁBACO A8 γ 115 dh 015 DOMÍNIO 5 DOMÍNIO 4a DOMÍNIO 4 DOMÍNIO 3 DOMÍNIO 2 DOMÍNIO 1 COMPRESSÃO TRAÇÃO γ Nd Ac fcd μ Md Ac h fcd ω As fyd Ac fcd ÁBACO A9 γ 115 dh 020 DOMÍNIO 5 DOMÍNIO 4a DOMÍNIO 4 DOMÍNIO 3 DOMÍNIO 2 COMPRESSÃO TRAÇÃO γ Nd Ac fcd μ Md Ac h fcd ω As fyd Ac fcd ÁBACO A10 γs 115 dh 005 DOMÍNIO 5 DOMÍNIO 4a DOMÍNIO 4 DOM 3 DOMÍNIO 2 DOMÍNIO 1 COMPRESSÃO TRAÇÃO γ Nd Ac fcd μ Md Ac h fcd ω As fyd Ac fcd ÁBACO A11 CA50A γs 115 dh 010 DOMÍNIO 5 DOMÍNIO 4a DOMÍNIO 4 DOMÍNIO 3 DOMÍNIO 2 DOMÍNIO 1 COMPRESSÃO TRAÇÃO V Nd Ac fcd μ Md Ach fcd ω As fyd Ac fcd ÁBACO A12 CA50A γs 115 dh 015 DOMÍNIO 5 DOMÍNIO 4a DOMÍNIO 4 DOMÍNIO 3 DOMÍNIO 2 DOMÍNIO 1 COMPRESSÃO TRAÇÃO V Nd Ac fcd μ Md Ach fcd ω As fyd Ac fcd ÁBACO A13 CA50A γs 115 dh 020 DOMÍNIO 5 DOMÍNIO 4a DOMÍNIO 4 DOMÍNIO 3 DOMÍNIO 2 DOMÍNIO 1 COMPRESSÃO TRAÇÃO V Nd Ac fcd μ Md Ach fcd ω As fyd Ac fcd ÁBACO A14 CA50A γs 115 dh 005 COMPRESSÃO TRAÇÃO μ DOMÍNIO 5 DOMÍNIO 4a DOMÍNIO 4 DOMÍNIO 3 DOMÍNIO 2 DOMÍNIO 1 ν Nd Ac fcd μ Md Ach fcd ω As fyd Ac fcd ÁBACO A15 CA50A γs 115 dh 010 COMPRESSÃO TRAÇÃO μ DOMÍNIO 5 DOMÍNIO 4a DOMÍNIO 4 DOMÍNIO 3 DOMÍNIO 2 DOMÍNIO 1 ν Nd Ac fcd μ Md Ach fcd ω As fyd Ac fcd ÁBACO A16 CA50A γs 115 dh 015 COMPRESSÃO TRAÇÃO μ DOMÍNIO 5 DOMÍNIO 4a DOMÍNIO 4 DOMÍNIO 3 DOMÍNIO 2 DOMÍNIO 1 ν Nd Ac fcd μ Md Ach fcd ω As fyd Ac fcd ÁBACO A17 CA50A γs 115 dh 005 COMPRESSÃO TRAÇÃO DOMÍNIO 5 DOMÍNIO 4a DOMÍNIO 4 DOM 3 DOMÍNIO 2 DOMÍNIO 1 ν Nd Ac fcd μ Md Ach fcd ω As fyd Ac fcd ÁBACO A18 CA50A γs 115 dh 010 COMPRESSÃO TRAÇÃO DOMÍNIO 5 DOMÍNIO 4a DOMÍNIO 4 DOM 3 DOMÍNIO 2 DOMÍNIO 1 ν Nd Ac fcd μ Md Ach fcd ω As fyd Ac fcd ÁBACO A19 CA50A γs 115 dh 015 COMPRESSÃO TRAÇÃO DOMÍNIO 5 DOMÍNIO 4a DOMÍNIO 4 DOMÍNIO 3 DOMÍNIO 2 DOMÍNIO 1 ν Nd Ac fcd μ Md Ach fcd ω As fyd Ac fcd ÁBACO A20 CA50A Ys 115 dh 005 DOMÍNIO 5 DOMÍNIO 4a DOMÍNIO 4 COMPRESSÃO DOM 3 TRAÇÃO DOMÍNIO 2 DOMÍNIO 1 ν NdAcfcd µ MdAchfcd ω AsfydAcfcd ÁBACO A21 CA50A Ys 115 dh 010 DOMÍNIO 5 DOMÍNIO 4a DOMÍNIO 4 COMPRESSÃO DOM 3 TRAÇÃO DOMÍNIO 2 DOMÍNIO 1 ν NdAcfcd µ MdAchfcd ω AsfydAcfcd ÁBACO A22 CA50A Ys 115 dh 005 DOMÍNIO 5 DOMÍNIO 4a DOMÍNIO 4 COMPRESSÃO DOM 3 TRAÇÃO DOMÍNIO 2 DOMÍNIO 1 ν NdAcfcd µ MdAchfcd ω AsfydAcfcd