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Sistemas de Informação ·
Estatística 2
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DISTRIBUIÇÃO NORMAL O histograma por densidade é o seguinte Exemplo Observamos o peso em kg de 1500 pessoas adultas selecionadas ao acaso em uma população Introdução 30 40 50 60 70 80 90 100 000 001 002 003 004 Peso Densid ade 2 a distribuição dos valores é aproximadamente simétrica em torno de 70 kg A análise do histograma indica que a maioria dos valores 88 encontrase no intervalo 5585 existe uma pequena proporção de valores abaixo de 48 kg 12 e acima de 92 kg 1 3 Consideremos a variável aleatória A curva contínua da figura denominase curva Normal ou curva de Gauss Como se distribuem as probabilidades associadas aos valores da variável aleatória X isto é qual é a distribuição de probabilidades de X X peso de uma pessoa adulta escolhida ao acaso da população em kg 30 40 50 60 70 80 90 100 0000 0015 0030 P eso Densidade 4 A distribuição Normal é uma das mais importantes distribuições contínuas de probabilidade pois Muitos fenômenos aleatórios comportamse próximos a essa distribuição 1 altura 2 pressão sangüínea 3 Peso 4 muitas outras Pode ser utilizada para calcular de forma aproximada probabilidades para outras distribuições como por exemplo para a distribuição binomial como veremos aula que vem O modelo normal de probabilidade foi desenvolvido por Carl Friedrich Gauss 5 Exemplo Considere a variável aleatória Y duração de uma lâmpada de certa marca selecionada ao acaso A experiência sugere que esta distribuição deve ser assimétrica grande proporção de valores entre 0 e 500 horas e pequena proporção de valores acima de 1500 horas Nem todos os fenômenos se ajustam à distribuição Normal 6 Modelos Contínuos de Probabilidade Variável Aleatória Contínua Associamos probabilidades a intervalos de valores da variável Assume valores num intervalo de números reais Não é possível listar individualmente todos os possíveis valores da variável aleatória contínua 7 Uma va X contínua é caracterizada por sua função densidade de probabilidade fx com as propriedades i A área sob a curva de densidade é 1 ii Pa X b área sob a curva da densidade fx e acima do eixo x entre os pontos a e b iii fx 0 para todo x iv PX x0 0 para x0 fixo Propriedades dos modelos contínuos Assim Pa X b Pa X b Pa X b Pa X b 8 A DISTRIBUIÇÃO NORMAL ou Gaussiana 2 1 2 1 e 2 x f x x Pode ser mostrado que 1 é o valor esperado média de X com 2 2 é a variância de X com 2 0 Notação X N 2 A v a X tem distribuição Normal com parâmetros e 2 se sua função densidade de probabilidade é dada por 9 Propriedades de X N 2 EX média ou valor esperado VarX 2 e portanto DPX x é ponto de máximo de fx fx 0 quando x e são pontos de inflexão de fx a curva Normal é simétrica em torno da média 10 Curvas Normais com mesma variância 2 mas médias diferentes 2 1 A distribuição Normal depende dos parâmetros e 2 1 2 N 1 2 N 2 2 x 11 Curvas Normais com mesma média mas com variâncias diferentes 2 1 N 1 2 N 2 2 2 1 Influência de 2 na curva Normal 12 Cálculo de probabilidades Pa X b Pa X b a b Área sob a curva e acima do eixo horizontal x entre a e b 13 EZ 0 VarZ 1 a b x fx X N 2 a b z fz Z N Se X N 2 definimos X Z 14 A va Z N01 denominase normal padrão ou reduzida Portanto Dada a va Z N01 podemos obter a va X N 2 através da transformação inversa X Z 15 b Z P a b X P a b X P a USO DA TABELA NORMAL PADRÃO Denotamos Az PZ z para z 0 Tabela 16 Exemplo Seja Z N0 1 calcular a PZ 032 PZ 032 A032 06255 Tabela 17 Encontrando o valor na Tabela N01 z 0 1 2 00 05000 05039 05079 01 05398 05437 05477 02 05792 05831 05870 03 06179 06217 06255 Tabela 18 b P0 Z 171 PZ 171 PZ 0 Obs A0PZ 0PZ 005 A171 A0 09564 05 04564 c P132 Z 0 P0 Z 132 PZ 132 PZ 0 A132 05 09066 05 04066 Tabela 19 d P132 Z 179 PZ 179 PZ 132 A179 A132 09633 09066 00567 e P 23 Z 149 P149 Z 23 A23 A149 09893 09319 00574 Z Tabela 20 149 23 f PZ 15 1 PZ 15 1 A15 1 09332 00668 g PZ 13 Obs Pela simetria PZ 13 PZ 13 PZ 13 1 PZ 13 1 A13 1 09032 00968 Tabela 21 13 h P15 Z 15 PZ 15 PZ 15 2 PZ 15 1 2 A15 1 PZ 15 PZ 15 PZ 15 1PZ 15 2 09332 1 08664 i P1 Z 2 PZ 2 PZ 1 A2 PZ 1 A2 1 A1 09773 1 08413 09773 01587 08186 Tabela 22 Como encontrar o valor z da distribuição N01 tal que i PZ z 0975 z é tal que Az 0975 Pela tabela z 196 Z 0 z ii P0 Z z 04975 z é tal que Az 05 04975 09975 Pela tabela z 281 Z z Tabela 23 iii PZ z 03 z é tal que Az 07 Pela tabela z 053 Z z iv PZ z 0975 a é tal que Aa 0975 e z a Pela tabela a 196 Então z 196 Z z Tabela 24 v PZ z 010 a é tal que Aa090 e z a Pela tabela a 128 e assim z 128 Z z Tabela 25 vi P z Z z 080 z é tal que PZ z PZ z 01 Z z z Isto é PZ z Az 090 z 128 pela tabela Exemplo Seja X N10 64 10 2 64 e 8 Calcular a P6 X 12 Z 8 10 12 8 10 8 6 10 X P 025 05 Z P A025 1 A05 05987 1 06915 05987 03085 02902 Tabela 26 b P X 8 ou X 14 Z 0 5 0 25 P Z P Z 1 A025 1 A05 1 05987 1 06915 07098 8 10 14 8 8 10 14 8 P Z P Z P X X P Tabela 27 Logo k 10 164 8 2312 c k tal que P X k 005 z é tal que Az 095 Pela tabela z 164 Z 164 8 10 Então k z 005 8 10 8 10 8 10 005 k P Z k P X k P X Tabela 28 z d k tal que P X k 0025 Logo k 10 196 8 568 z é tal que Az 0975 Pela tabela z 196 Z 196 8 Então 10 z k 0025 8 10 8 10 8 10 0025 k P Z k P X k P X Tabela 29 Observação Se X N 2 então i X P Z 2 A1 05 2 08413 05 06826 ou seja P X 0683 ii P 2 X 2 P 2 Z 2 0955 P1 Z 1 iii P 3 X 3 P 3 Z 3 0997 68 2 2 955 3 3 997 Tabela Z P 30 Analogamente Exemplo O tempo gasto no exame vestibular de uma universidade tem distribuição Normal com média 120 min e desvio padrão 15 min a Sorteandose um aluno ao acaso qual é a probabilidade dele terminar o exame antes de 100 minutos X tempo gasto no exame vestibular X N120 152 Z 1 A133 1 09082 00918 133 15 100 120 100 P Z P Z P X Tabela 31 b Qual deve ser o tempo de prova de modo a permitir que 95 dos vestibulandos terminem no prazo estipulado z tal que Az 095 Pela tabela z 164 x 120 164 15 x 1446 min X tempo gasto no exame vestibular X N120 152 Z 095 15 120 095 x P Z x P X 15 120 164 Então x z Tabela 32 c Qual é o intervalo de tempo simétrico em torno da média intervalo central tal que 80 dos estudantes gastam para completar o exame z tal que Az 090 Pela tabela z 128 x1 120 1 28 15 x1 1008 min x2 120 128 15 x2 1392 min X tempo gasto no exame vestibular X N120 152 Z 080 15 120 15 120 080 2 1 2 1 x Z P x x X x P 128 15 120 1x z 128 15 120 x2 z Tabela 33 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 00 05000 05040 05080 05120 05160 05199 05239 05279 05319 05359 01 05398 05438 05478 05517 05557 05596 05636 05675 05714 05753 02 05793 05832 05871 05910 05948 05987 06026 06064 06103 06141 03 06179 06217 06255 06293 06331 06368 06406 06443 06480 06517 04 06554 06591 06628 06664 06700 06736 06772 06808 06844 06879 05 06915 06950 06985 07019 07054 07088 07123 07157 07190 07224 06 07257 07291 07324 07357 07389 07422 07454 07486 07517 07549 07 07580 07611 07642 07673 07704 07734 07764 07794 07823 07852 08 07881 07910 07939 07967 07995 08023 08051 08078 08106 08133 09 08159 08186 08212 08238 08264 08289 08315 08340 08365 08389 10 08413 08438 08461 08485 08508 08531 08554 08577 08599 08621 11 08643 08665 08686 08708 08729 08749 08770 08790 08810 08830 12 08849 08869 08888 08907 08925 08944 08962 08980 08997 09015 13 09032 09049 09066 09082 09099 09115 09131 09147 09162 09177 14 09192 09207 09222 09236 09251 09265 09279 09292 09306 09319 15 09332 09345 09357 09370 09382 09394 09406 09418 09429 09441 16 09452 09463 09474 09484 09495 09505 09515 09525 09535 09545 17 09554 09564 09573 09582 09591 09599 09608 09616 09625 09633 18 09641 09649 09656 09664 09671 09678 09686 09693 09699 09706 19 09713 09719 09726 09732 09738 09744 09750 09756 09761 09767 20 09772 09778 09783 09788 09793 09798 09803 09808 09812 09817 21 09821 09826 09830 09834 09838 09842 09846 09850 09854 09857 22 09861 09864 09868 09871 09875 09878 09881 09884 09887 09890 23 09893 09896 09898 09901 09904 09906 09909 09911 09913 09916 24 09918 09920 09922 09925 09927 09929 09931 09932 09934 09936 25 09938 09940 09941 09943 09945 09946 09948 09949 09951 09952 26 09953 09955 09956 09957 09959 09960 09961 09962 09963 09964 27 09965 09966 09967 09968 09969 09970 09971 09972 09973 09974 28 09974 09975 09976 09977 09977 09978 09979 09979 09980 09981 29 09981 09982 09982 09983 09984 09984 09985 09985 09986 09986 30 09987 09987 09987 09988 09988 09989 09989 09989 09990 09990 31 09990 09991 09991 09991 09992 09992 09992 09992 09993 09993 32 09993 09993 09994 09994 09994 09994 09994 09995 09995 09995 33 09995 09995 09995 09996 09996 09996 09996 09996 09996 09997 34 09997 09997 09997 09997 09997 09997 09997 09997 09997 09998 35 09998 09998 09998 09998 09998 09998 09998 09998 09998 09998 36 09998 09998 09999 09999 09999 09999 09999 09999 09999 09999 37 09999 09999 09999 09999 09999 09999 09999 09999 09999 09999 38 09999 09999 09999 09999 09999 09999 09999 09999 09999 09999 39 10000 10000 10000 10000 10000 10000 10000 10000 10000 10000 Distribuição Normal Valores de P Z z Az Segunda decimal de z Parte inteira e primeira decimal de z Volta 34
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DISTRIBUIÇÃO NORMAL O histograma por densidade é o seguinte Exemplo Observamos o peso em kg de 1500 pessoas adultas selecionadas ao acaso em uma população Introdução 30 40 50 60 70 80 90 100 000 001 002 003 004 Peso Densid ade 2 a distribuição dos valores é aproximadamente simétrica em torno de 70 kg A análise do histograma indica que a maioria dos valores 88 encontrase no intervalo 5585 existe uma pequena proporção de valores abaixo de 48 kg 12 e acima de 92 kg 1 3 Consideremos a variável aleatória A curva contínua da figura denominase curva Normal ou curva de Gauss Como se distribuem as probabilidades associadas aos valores da variável aleatória X isto é qual é a distribuição de probabilidades de X X peso de uma pessoa adulta escolhida ao acaso da população em kg 30 40 50 60 70 80 90 100 0000 0015 0030 P eso Densidade 4 A distribuição Normal é uma das mais importantes distribuições contínuas de probabilidade pois Muitos fenômenos aleatórios comportamse próximos a essa distribuição 1 altura 2 pressão sangüínea 3 Peso 4 muitas outras Pode ser utilizada para calcular de forma aproximada probabilidades para outras distribuições como por exemplo para a distribuição binomial como veremos aula que vem O modelo normal de probabilidade foi desenvolvido por Carl Friedrich Gauss 5 Exemplo Considere a variável aleatória Y duração de uma lâmpada de certa marca selecionada ao acaso A experiência sugere que esta distribuição deve ser assimétrica grande proporção de valores entre 0 e 500 horas e pequena proporção de valores acima de 1500 horas Nem todos os fenômenos se ajustam à distribuição Normal 6 Modelos Contínuos de Probabilidade Variável Aleatória Contínua Associamos probabilidades a intervalos de valores da variável Assume valores num intervalo de números reais Não é possível listar individualmente todos os possíveis valores da variável aleatória contínua 7 Uma va X contínua é caracterizada por sua função densidade de probabilidade fx com as propriedades i A área sob a curva de densidade é 1 ii Pa X b área sob a curva da densidade fx e acima do eixo x entre os pontos a e b iii fx 0 para todo x iv PX x0 0 para x0 fixo Propriedades dos modelos contínuos Assim Pa X b Pa X b Pa X b Pa X b 8 A DISTRIBUIÇÃO NORMAL ou Gaussiana 2 1 2 1 e 2 x f x x Pode ser mostrado que 1 é o valor esperado média de X com 2 2 é a variância de X com 2 0 Notação X N 2 A v a X tem distribuição Normal com parâmetros e 2 se sua função densidade de probabilidade é dada por 9 Propriedades de X N 2 EX média ou valor esperado VarX 2 e portanto DPX x é ponto de máximo de fx fx 0 quando x e são pontos de inflexão de fx a curva Normal é simétrica em torno da média 10 Curvas Normais com mesma variância 2 mas médias diferentes 2 1 A distribuição Normal depende dos parâmetros e 2 1 2 N 1 2 N 2 2 x 11 Curvas Normais com mesma média mas com variâncias diferentes 2 1 N 1 2 N 2 2 2 1 Influência de 2 na curva Normal 12 Cálculo de probabilidades Pa X b Pa X b a b Área sob a curva e acima do eixo horizontal x entre a e b 13 EZ 0 VarZ 1 a b x fx X N 2 a b z fz Z N Se X N 2 definimos X Z 14 A va Z N01 denominase normal padrão ou reduzida Portanto Dada a va Z N01 podemos obter a va X N 2 através da transformação inversa X Z 15 b Z P a b X P a b X P a USO DA TABELA NORMAL PADRÃO Denotamos Az PZ z para z 0 Tabela 16 Exemplo Seja Z N0 1 calcular a PZ 032 PZ 032 A032 06255 Tabela 17 Encontrando o valor na Tabela N01 z 0 1 2 00 05000 05039 05079 01 05398 05437 05477 02 05792 05831 05870 03 06179 06217 06255 Tabela 18 b P0 Z 171 PZ 171 PZ 0 Obs A0PZ 0PZ 005 A171 A0 09564 05 04564 c P132 Z 0 P0 Z 132 PZ 132 PZ 0 A132 05 09066 05 04066 Tabela 19 d P132 Z 179 PZ 179 PZ 132 A179 A132 09633 09066 00567 e P 23 Z 149 P149 Z 23 A23 A149 09893 09319 00574 Z Tabela 20 149 23 f PZ 15 1 PZ 15 1 A15 1 09332 00668 g PZ 13 Obs Pela simetria PZ 13 PZ 13 PZ 13 1 PZ 13 1 A13 1 09032 00968 Tabela 21 13 h P15 Z 15 PZ 15 PZ 15 2 PZ 15 1 2 A15 1 PZ 15 PZ 15 PZ 15 1PZ 15 2 09332 1 08664 i P1 Z 2 PZ 2 PZ 1 A2 PZ 1 A2 1 A1 09773 1 08413 09773 01587 08186 Tabela 22 Como encontrar o valor z da distribuição N01 tal que i PZ z 0975 z é tal que Az 0975 Pela tabela z 196 Z 0 z ii P0 Z z 04975 z é tal que Az 05 04975 09975 Pela tabela z 281 Z z Tabela 23 iii PZ z 03 z é tal que Az 07 Pela tabela z 053 Z z iv PZ z 0975 a é tal que Aa 0975 e z a Pela tabela a 196 Então z 196 Z z Tabela 24 v PZ z 010 a é tal que Aa090 e z a Pela tabela a 128 e assim z 128 Z z Tabela 25 vi P z Z z 080 z é tal que PZ z PZ z 01 Z z z Isto é PZ z Az 090 z 128 pela tabela Exemplo Seja X N10 64 10 2 64 e 8 Calcular a P6 X 12 Z 8 10 12 8 10 8 6 10 X P 025 05 Z P A025 1 A05 05987 1 06915 05987 03085 02902 Tabela 26 b P X 8 ou X 14 Z 0 5 0 25 P Z P Z 1 A025 1 A05 1 05987 1 06915 07098 8 10 14 8 8 10 14 8 P Z P Z P X X P Tabela 27 Logo k 10 164 8 2312 c k tal que P X k 005 z é tal que Az 095 Pela tabela z 164 Z 164 8 10 Então k z 005 8 10 8 10 8 10 005 k P Z k P X k P X Tabela 28 z d k tal que P X k 0025 Logo k 10 196 8 568 z é tal que Az 0975 Pela tabela z 196 Z 196 8 Então 10 z k 0025 8 10 8 10 8 10 0025 k P Z k P X k P X Tabela 29 Observação Se X N 2 então i X P Z 2 A1 05 2 08413 05 06826 ou seja P X 0683 ii P 2 X 2 P 2 Z 2 0955 P1 Z 1 iii P 3 X 3 P 3 Z 3 0997 68 2 2 955 3 3 997 Tabela Z P 30 Analogamente Exemplo O tempo gasto no exame vestibular de uma universidade tem distribuição Normal com média 120 min e desvio padrão 15 min a Sorteandose um aluno ao acaso qual é a probabilidade dele terminar o exame antes de 100 minutos X tempo gasto no exame vestibular X N120 152 Z 1 A133 1 09082 00918 133 15 100 120 100 P Z P Z P X Tabela 31 b Qual deve ser o tempo de prova de modo a permitir que 95 dos vestibulandos terminem no prazo estipulado z tal que Az 095 Pela tabela z 164 x 120 164 15 x 1446 min X tempo gasto no exame vestibular X N120 152 Z 095 15 120 095 x P Z x P X 15 120 164 Então x z Tabela 32 c Qual é o intervalo de tempo simétrico em torno da média intervalo central tal que 80 dos estudantes gastam para completar o exame z tal que Az 090 Pela tabela z 128 x1 120 1 28 15 x1 1008 min x2 120 128 15 x2 1392 min X tempo gasto no exame vestibular X N120 152 Z 080 15 120 15 120 080 2 1 2 1 x Z P x x X x P 128 15 120 1x z 128 15 120 x2 z Tabela 33 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 00 05000 05040 05080 05120 05160 05199 05239 05279 05319 05359 01 05398 05438 05478 05517 05557 05596 05636 05675 05714 05753 02 05793 05832 05871 05910 05948 05987 06026 06064 06103 06141 03 06179 06217 06255 06293 06331 06368 06406 06443 06480 06517 04 06554 06591 06628 06664 06700 06736 06772 06808 06844 06879 05 06915 06950 06985 07019 07054 07088 07123 07157 07190 07224 06 07257 07291 07324 07357 07389 07422 07454 07486 07517 07549 07 07580 07611 07642 07673 07704 07734 07764 07794 07823 07852 08 07881 07910 07939 07967 07995 08023 08051 08078 08106 08133 09 08159 08186 08212 08238 08264 08289 08315 08340 08365 08389 10 08413 08438 08461 08485 08508 08531 08554 08577 08599 08621 11 08643 08665 08686 08708 08729 08749 08770 08790 08810 08830 12 08849 08869 08888 08907 08925 08944 08962 08980 08997 09015 13 09032 09049 09066 09082 09099 09115 09131 09147 09162 09177 14 09192 09207 09222 09236 09251 09265 09279 09292 09306 09319 15 09332 09345 09357 09370 09382 09394 09406 09418 09429 09441 16 09452 09463 09474 09484 09495 09505 09515 09525 09535 09545 17 09554 09564 09573 09582 09591 09599 09608 09616 09625 09633 18 09641 09649 09656 09664 09671 09678 09686 09693 09699 09706 19 09713 09719 09726 09732 09738 09744 09750 09756 09761 09767 20 09772 09778 09783 09788 09793 09798 09803 09808 09812 09817 21 09821 09826 09830 09834 09838 09842 09846 09850 09854 09857 22 09861 09864 09868 09871 09875 09878 09881 09884 09887 09890 23 09893 09896 09898 09901 09904 09906 09909 09911 09913 09916 24 09918 09920 09922 09925 09927 09929 09931 09932 09934 09936 25 09938 09940 09941 09943 09945 09946 09948 09949 09951 09952 26 09953 09955 09956 09957 09959 09960 09961 09962 09963 09964 27 09965 09966 09967 09968 09969 09970 09971 09972 09973 09974 28 09974 09975 09976 09977 09977 09978 09979 09979 09980 09981 29 09981 09982 09982 09983 09984 09984 09985 09985 09986 09986 30 09987 09987 09987 09988 09988 09989 09989 09989 09990 09990 31 09990 09991 09991 09991 09992 09992 09992 09992 09993 09993 32 09993 09993 09994 09994 09994 09994 09994 09995 09995 09995 33 09995 09995 09995 09996 09996 09996 09996 09996 09996 09997 34 09997 09997 09997 09997 09997 09997 09997 09997 09997 09998 35 09998 09998 09998 09998 09998 09998 09998 09998 09998 09998 36 09998 09998 09999 09999 09999 09999 09999 09999 09999 09999 37 09999 09999 09999 09999 09999 09999 09999 09999 09999 09999 38 09999 09999 09999 09999 09999 09999 09999 09999 09999 09999 39 10000 10000 10000 10000 10000 10000 10000 10000 10000 10000 Distribuição Normal Valores de P Z z Az Segunda decimal de z Parte inteira e primeira decimal de z Volta 34