Lista 1 - Resistência dos Materiais

Lição 1\n\nQuestão 1\n\nTensão de cisalhamento \\( \\tau = \\frac{V}{A} \\)\n\\[ V = P \\]\nLogo, \\( V = 120 kN \\)\n\nA área da seção transversal de um parafuso é dada por \\( \\frac{\\pi d^2}{4} \\). Como há 3 parafusos, a área será multiplicada por 3.\n\\[ A = 3 \\left(\\frac{\\pi d^2}{4}\\right) \\Rightarrow A = 3 \\left(\\frac{\\pi (22mm)^2}{4}\\right) \\Rightarrow A = 1140,4 mm^2 \\]\n\n\\[ \\tau = \\frac{V}{A} \\Rightarrow \\tau = \\frac{120 kN}{1140,4 mm^2} \\Rightarrow \\tau = \\frac{120000 N}{1140,4 mm^2} \\]\n\\[ \\tau = 105,2 MPa \\]\n\nQuestão 2\n\n\\[ \\text{Cálculo da tensão em } A \\]\n\\[ 3m \\quad 25000N \\]\n\\[ 1,6 m \\quad x \\]\n\\[ TA = \\frac{F}{A} \\Rightarrow TA = \\frac{13333,33 N}{(0,10 \\times 0,15)m} \\Rightarrow TA = 888,9 kPa \\] Questão 3\n\n\\[ \\text{Cálculo da tensão em } B \\]\n\\[ 3m \\quad 25000N \\]\n\\[ 1,4 m \\quad y \\]\n\\[ y = \\frac{25000N \\times 1,4m}{3m} \\Rightarrow y = 11666,6N \\]\n\\[ T_B = \\frac{F}{A} \\Rightarrow T_B = \\frac{11666,6N}{(0,10 \\times 0,15)m} \\Rightarrow T_B = 777,8 kPa \\]\n\n\\[ \\text{Cálculo da tensão em } C \\]\n\\[ T_C = \\frac{F}{A} \\Rightarrow T_C = \\frac{25000N}{(0,15 \\times 0,15)m} \\Rightarrow T_C = 1111 kPa \\] Questão 4\n\n\\[ \\text{Cálculo do diâmetro externo da carruagem atrás da tensão nos parafusos e na compressão na madeira:} \\]\nTensão: \\( 120 + 10 \\)\n\\[ F_P = (120 + 10) \\cdot \\pi \\cdot r^2 = 32,5 \\pi \\cdot dp^2 \\]\n\\[ F_P = 32,5 \\pi \\cdot dp^2 \\]\n\n\\[ T_d = 10 = \\frac{F}{A} \\Rightarrow F_a = \\frac{10 \\pi \\cdot da^2}{4} \\]\n\nIgualando as forças:\n\\[ 3,2,5 \\cdot \\pi \\cdot dp^2 = \\frac{10 \\pi \\cdot da^2}{4} \\]\n\\[ da^2 = 3,2,5 \\cdot 4 \\cdot 20^2 \\Rightarrow da = \\sqrt{5200} \\Rightarrow da = 7,11 mm \\]\n\n\\[ \\text{Cálculo do diâmetro} \\]\n\\[ A = \\frac{\\pi d^2}{4} \\Rightarrow id = \\sqrt{\\frac{A \\cdot 4}{\\pi}} \\]\n\\[ \\Rightarrow d = \\sqrt{\\frac{80 \\times 10^3 \\cdot 4}{120 \\times 10^6}} \\Rightarrow d = 0,029 m \\Rightarrow d = 30 mm \\] -> Cálculo do alongamento total\nΔL = T·L\nE·A\nA = πd²\n4\nΔL = 80x10³·4\n2.0x10⁹·π(0,03)²\n4\n-> ΔL = 2,156 mm\n\n-> Cálculo da deformação específica\nE = ΔL\nL\nE = 2,156 mm\n4000 mm\n-> E = 0,000539\n\nQuestão 5\n\n-> Alongamento do segmento AB\nΔLAB = T·L\nE·A\n-> ΔLAB = 5,5x10³·0,4\n210x10⁹·π(6,3x10)²\n4\n-> ΔLAB = 3,36074x10⁻⁴ m\n\n-> Alongamento do segmento BC\nΔLBC = T·L\nE·A\n-> ΔLBC = 5,5x10³·0,3\n95x10⁹·(25x10³)²\n\n-> Alongamento total\nΔLT = ΔLAB + ΔLBC\nΔLT = 3,36074x10⁻⁴ m + 2,7789x10⁻⁵ m = 3,6386x10⁻⁴ m\n-> ΔLT = 0,3638 mm Questão 6\n\n-> Cálculo do diâmetro externo a partir da fórmula do ângulo de torção e da tensão máxima.\nφ(ud)= T·G\n0,0436333= 25000·3\n=> Ip = 2,046x10⁻⁵\nIp·84x10⁹\n\nTmax = Torq. Externo\nIp\n=> 84x10⁶ = 25000·Cext\n2,046x10⁻⁵\n\nCext = 84x2,046x10⁻⁵\n=> Cext = 0,0687456 um\n25000\n\nDext = 2·Cext\n=> Dext = 2·0,0687456 = Dext = 0,13749 m\n=> Dext = 137,5 um\n\n-> Cálculo do diâmetro interno a partir da fórmula do momento de inércia\nIp = π/2\n(Ce⁴ - Ci⁴)\n=> Ci = √([4·(Ce⁴ - 2·Ip)] / π)\n=> Ci = 4√(0,0687456)⁴ - 2x2,046x10⁻⁵\n=> Ci = 0,05524 m\n\nDiint = 2·Cint\n=> Dint = 2·0,05524 m => 0,11047 m\n\nDint = 410,5 mm Questão 7\n\nDiagrama de corpo livre da viga:\n\nΣFy = 0 -> F1 + F2 - R1 - R2 = 0\nR1 + R2 = 240 kN\n\níndices: a = apoio; f = força\nΣM = 0 -> R2(xA2 - xA1) - F1(xA1 - xA1) - F2(xA2 - xA1) = 0\n\nSubstituindo os valores:\nR2(1,85 - 0,35) = + (120)(0 - 0,35) + (120)(2,2 - 0,35)\n\n1,5R2 = 480 kN\n\n{ R1 + R2 = 240 kN\n1,5B2 = 180 kN\n\nR1 = 120 kN x R2 = 120 kN\n\n-> Cálculo do esforço cortante\nΣFy + V(x) = 0\n\nSeção 1 (0 ≤ x < 0,35)\nF1 + V(x) = 0\nV(x) = -120 Supõe 2 (0,35 ≤ x ≤ 1,85)\nF1 - R1 + V(x) = 0 V(x) = 0\nSupõe 3 (1,85 ≤ x ≤ 2,2)\nF1 - R1 - R2 + V(x) = 0 V(x) = 120\n-> Cálculo do momento fletor\n∑ Fy (x - x carga) + ∑ m + m(x) = 0\nSupõe 1 (0 < x < 0,35)\nF1 (x - xq1) + m(x) = 0 m(x) = -120 x\nSupõe 2 (0,35 ≤ x ≤ 1,85)\nF1 (x - xq1) - R1 (x - xq1) + m(x) = 0\nM(x) = -42 - 42\nSupõe 3 (1,85 ≤ x ≤ 2,2)\nF1 (x - xq1) - R1 (x - xq1) - R2 (x - xq2) + m(x) = 0 m(x) = 120 x - 264\n-> Cálculo da tensão máxima.\nm = 42 kN = 42.000 N r = 0,125 m y = 0,125 m\nI xq = πr4/4 => I x = π (0,125)4/4 => I x = 1,91 x 10-4\nσ = m/I x => σ = 42.0.125/1,91 x 10-4 => σ = 27,38 MPa Questão 8\nσ = 180 MPa = 180.10^6 N/m²\nM f max = 3,5 kNm = 3500 Nm\nWx = k.M f max/σ => Wx = 1.3500/180.10^6\nPortanto:\nWx = 0,00001944 m³ => Wx = 19,44 cm³\nWx = 58,9 cm³\nPerfil selecionado:\nL - 101, 6 x 101,6 mm Questão 9\nσ = 360 MPa = 360.10^6 N/m²\nM f max = 1,875 kNm = 1875 Nm\nl = 3√(6M f max k/σ) => l = 3√(6.1875.2.5/360.10^6) => l = 42,74 mm\n-> Equilíbrio de forças na vertical:\n∑ Fy = 0 => F1 + F2 - R1 - R2 = 0\n∑ M = 0 => R2 (xq2 - xq1) - F1 (xq1 - xq1) - F2 (xq3 - xq1) = 0\nSubstituindo os valores:\nR2 (2 - 0) = + (8)(0,5 - 0) + (4)(1,5 - 0) => 2R2 = 10 N\nR1 + R2 = 12 N => {R1 = 7 N R2 = 5 N}\n-> Cálculo do esforço cortante:\n∑ Fy + V(x) = 0\nSupõe 1 (0 < x < 0,5)\n-R1 + V(x) = 0 V(x) = 7\nSupõe 2 (0,5 < x < 1,5)\nF1 - R1 + V(x) = 0 V(x) = -1 Solução 3 (1,5 < x < 2)\nF1 + F2 - R1 + V(x) = 0\nV(x) = -5\n\n-> Cálculo do momento flector:\n∑ F(y) (x - x(c)) + ∑ m + m(x) = 0\n\nSolução 1 (0 < x < 0,5)\n-R1 (x - x(a1)) + M(x) = 0\nm(x) = 7x\n\nSolução 2 (0,5 < x < 4,5)\nF1 (x - x(4)) - R1 (x - x(a1)) + M(x) = 0\n\nSolução 3 (4,5 < x < 2)\nF1 (x - x(P1)) + F2 (x - x(P2)) - R1 (x - x(a1)) + M(x) = 0\nM(x) = -5x + 10\n\nLogo, a tensão máxima é 180MPa.\nσ\" = M/Y, onde σ\" é a tensão máxima toda uma\nI\nenunciado, M é 3,5 KNm, momento critico.