Caderno de Estudos: Variáveis Aleatórias e Distribuições de Probabilidade

BrasíliaDF VariáVeis aleatórias Discretas e contínuas e suas PrinciPais Distribuições De ProbabiliDaDes Elaboração Alina Marcondes Talarico Produção Equipe Técnica de Avaliação Revisão Linguística e Editoração Sumário APRESENTAÇÃO 5 ORGANIZAÇÃO DO CADERNO DE ESTUDOS E PESQUISA 6 INTRODUÇÃO 8 UNIDADE I VARIÁVEIS ALEATÓRIAS 9 CAPÍTULO 1 CONCEITO DE VARIÁVEL ALEATÓRIA 9 CAPÍTULO 2 VARIÁVEIS ALEATÓRIAS DISCRETAS E DISTRIBUIÇÕES DE PROBABILIDADES 12 CAPÍTULO 3 VALOR ESPERADO DE VARIÁVEIS ALEATÓRIAS DISCRETAS 16 CAPÍTULO 4 VARIÂNCIA E DESVIO PADRÃO DE VARIÁVEIS ALEATÓRIAS DISCRETAS 19 UNIDADE II VARIÁVEIS ALEATÓRIAS DISCRETAS PRINCIPAIS DISTRIBUIÇÕES 21 CAPÍTULO 1 IDENTIFICAÇÃO DO EXPERIMENTO BINOMIAL E DISTRIBUIÇÃO BINOMIAL 21 CAPÍTULO 2 DISTRIBUIÇÃO POISSON 25 CAPÍTULO 3 DISTRIBUIÇÃO HIPERGEOMÉTRICA 28 UNIDADE III VARIÁVEIS ALEATÓRIAS CONTÍNUAS 31 CAPÍTULO 1 VARIÁVEIS ALEATÓRIAS CONTÍNUAS E FUNÇÃO DE DENSIDADE E PROBABILIDADE 31 CAPÍTULO 2 VALOR ESPERADO DE VARIÁVEIS ALEATÓRIAS CONTÍNUAS 35 CAPÍTULO 3 VARIÂNCIA E DESVIO PADRÃO DE VARIÁVEIS ALEATÓRIAS CONTÍNUAS 38 UNIDADE IV VARIÁVEIS ALEATÓRIAS CONTÍNUAS PRINCIPAIS DISTRIBUIÇÕES 40 CAPÍTULO 1 DISTRIBUIÇÃO UNIFORME 40 CAPÍTULO 2 DISTRIBUIÇÃO NORMAL E SUAS PROPRIEDADES 42 CAPÍTULO 3 CÁLCULO DE PROBABILIDADES NORMAIS 46 CAPÍTULO 4 DISTRIBUIÇÃO EXPONENCIAL 56 CAPÍTULO 5 DISTRIBUIÇÃO DE UMA FUNÇÃO DE VA 61 UNIDADE V EXEMPLOS DOS MODELOS USANDO MICROSOFT EXCEL 65 CAPÍTULO 1 EXEMPLOS DA DISTRIBUIÇÃO BINOMIAL 65 CAPÍTULO 2 EXEMPLOS DA DISTRIBUIÇÃO POISSON 77 CAPÍTULO 3 EXEMPLOS DA DISTRIBUIÇÃO HIPERGEOMÉTRICA 88 CAPÍTULO 4 EXEMPLOS DA DISTRIBUIÇÃO UNIFORME 93 CAPÍTULO 5 EXEMPLOS DA DISTRIBUIÇÃO NORMAL 95 CAPÍTULO 6 EXEMPLOS DE GERAÇÃO DE DADOS QUE SEGUEM UMA DISTRIBUIÇÃO NORMAL 106 CAPÍTULO 7 EXEMPLOS DA DISTRIBUIÇÃO EXPONENCIAL 109 REFERÊNCIAS 117 ANEXOS 118 5 Apresentação Caro aluno A proposta editorial deste Caderno de Estudos e Pesquisa reúne elementos que se entendem necessários para o desenvolvimento do estudo com segurança e qualidade Caracterizase pela atualidade dinâmica e pertinência de seu conteúdo bem como pela interatividade e modernidade de sua estrutura formal adequadas à metodologia da Educação a Distância EaD Pretendese com este material leválo à reflexão e à compreensão da pluralidade dos conhecimentos a serem oferecidos possibilitandolhe ampliar conceitos específicos da área e atuar de forma competente e conscienciosa como convém ao profissional que busca a formação continuada para vencer os desafios que a evolução científicotecnológica impõe ao mundo contemporâneo Elaborouse a presente publicação com a intenção de tornála subsídio valioso de modo a facilitar sua caminhada na trajetória a ser percorrida tanto na vida pessoal quanto na profissional Utilizea como instrumento para seu sucesso na carreira Conselho Editorial 6 Organização do Caderno de Estudos e Pesquisa Para facilitar seu estudo os conteúdos são organizados em unidades subdivididas em capítulos de forma didática objetiva e coerente Eles serão abordados por meio de textos básicos com questões para reflexão entre outros recursos editoriais que visam tornar sua leitura mais agradável Ao final serão indicadas também fontes de consulta para aprofundar seus estudos com leituras e pesquisas complementares A seguir apresentamos uma breve descrição dos ícones utilizados na organização dos Cadernos de Estudos e Pesquisa Provocação Textos que buscam instigar o aluno a refletir sobre determinado assunto antes mesmo de iniciar sua leitura ou após algum trecho pertinente para o autor conteudista Para refletir Questões inseridas no decorrer do estudo a fim de que o aluno faça uma pausa e reflita sobre o conteúdo estudado ou temas que o ajudem em seu raciocínio É importante que ele verifique seus conhecimentos suas experiências e seus sentimentos As reflexões são o ponto de partida para a construção de suas conclusões Sugestão de estudo complementar Sugestões de leituras adicionais filmes e sites para aprofundamento do estudo discussões em fóruns ou encontros presenciais quando for o caso Atenção Chamadas para alertar detalhestópicos importantes que contribuam para a sínteseconclusão do assunto abordado 7 Saiba mais Informações complementares para elucidar a construção das síntesesconclusões sobre o assunto abordado Sintetizando Trecho que busca resumir informações relevantes do conteúdo facilitando o entendimento pelo aluno sobre trechos mais complexos Para não finalizar Texto integrador ao final do módulo que motiva o aluno a continuar a aprendizagem ou estimula ponderações complementares sobre o módulo estudado 8 Introdução Prezado aluno Neste Caderno de Estudos e Pesquisa será introduzido o conceito de variáveis aleatórias Elas poderão ser divididas em dois grupos a saber variáveis aleatórias discretas e contínuas Serão apresentadas na sequência suas principais distribuições de probabilidades Aprenderemos também a calcular esperança variância e desvio padrão Para variáveis aleatórias discretas apresentaremos os modelos Binomial Poisson e Hipergeométrica Já para as variáveis aleatórias contínuas os modelos serão Uniforme Normal e Exponencial Por fim teremos uma seção com aplicações dos modelos em Excel Bom estudo Objetivos Introduzir os principais conceitos relacionados a variáveis aleatórias Fornecer explicações para o aluno saber diferenciar os possíveis casos relacionados a variáveis aleatórias Apresentar os principais modelos usados em situações reais bem como capacitar o aluno a resolvêlos usando o Microsoft Excel 9 UNIDADE I VARIÁVEIS ALEATÓRIAS CAPÍTULO 1 Conceito de variável aleatória Considere Ω um espaço amostral ou seja um conjunto que contém todos os resultados possíveis de um experimento Então seja Ω o espaço amostral associado a um experimento aleatório Uma variável aleatória va X é uma função que tem como domínio Ω e contradomínio um subconjunto dos números reais Podemos compreender melhor com o seguinte esquema Figura 1 Esquema do conceito de VA Fonte Própria autora Vamos recordar alguns conceitos importantes Uma função é uma expressão que relaciona valores pertencentes a dois conjuntos por exemplo A e B Domínio são todos os elementos do conjunto A Contradomínio são todos os elementos do conjunto B No caso da definição acima podemos pensar que A Ω e B x 10 UNIDADE I VARIÁVEIS ALEATÓRIAS Para estudo complementar consulte httpswwwsomatematicacombremediofuncoesfuncoes2php A ideia intuitiva é entender a va como uma variável quantitativa cujo valor depende de fatores aleatórios Variável quantitativa é aquela que contém características que podem ser medidas em alguma escala quantitativa ou seja que podem ser representadas por valores numéricos sejam eles representados por um número ou um conjunto de valores Vejamos um exemplo Retiramos lâmpadas de um lote da fábrica e definimos as seguintes variáveis X tempo de vida da lâmpada Y número de defeitos das lâmpadas O espaço amostral Ω associado a este experimento pode ser escrito como Ω l1 l2 l3 Assim os possíveis valores de X são números reais não negativos ou seja x x x 0 x є E os de Y são 0 1 2 isto é y y y 0123 Um outro exemplo seria considerar um experimento que consiste em lançar uma moeda honesta três vezes Considere ainda a va X definida como X nc nk Onde nc representa o número de caras e nk o número de coroas O espaço amostral é Ω KKKKKCKCKCKKKCCCKCCCKCCC É fácil notar que neste exemplo x 3 11 3 Se considerarmos a va Y como sendo o número de caras teremos y 01 2 3 Uma observação interessante a ser feita é que as VA serão sempre representadas por letras maiúsculas Uma definição importante para va é a de função de distribuição fd também conhecida como função de distribuição acumulada fda 11 VARIÁVEIS ALEATÓRIAS UNIDADE I A função de distribuição da va X é denotada por Fx e definida como F x P X x x Fx deve satisfazer as seguintes propriedades 1 0 F x 1 2 Fxé não decrescente e contínua à direita 3 x x lim F x 0 lim F x 1 Durante o curso serão apresentadas as funções de distribuição acumuladas para va discretas e contínuas Vamos relembrar a definição de função decrescente para melhor compreensão da definição vista acima Sejam A e B dois conjuntos e f uma função Dizemos que a função f A B é decrescente em algum conjunto A contido em A se e somente se para quaisquer x1 є A e x2 є A com x1 x2 tivermos fx1 fx2 Para estudo complementar de limites laterais consulte httpswwwsomatematicacombrsuperiorlimiteslimites3php Como veremos as va poderão se classificadas em dois grupos va discretas e va contínuas No exemplo das lâmpadas acima Y é discreta e X é contínua Um breve resumo do que vimos até agora está apresentado a seguir Vimos que uma função real definida a partir do resultado de um experimento probabilístico é chamada de va Esta será sempre representada por letras maiúsculas Se X é uma variável aleatória então a função Fx definida como F x P X x x é chamada de função distribuição de X e todas as probabilidades relacionadas a X podem ser escritas em termos de Fx As va podem ser classificadas como va discretas ou contínuas 12 CAPÍTULO 2 Variáveis aleatórias discretas e distribuições de probabilidades Definição de variável aleatória discreta Seja X uma va Se os possíveis resultados estiverem contidos em um conjunto finito ou infinito enumerável dizemos que X é uma va discreta vad isto é x é finito ou infinito enumerável Um conjunto infinito enumerável é aquele que possui infinitos termos porém conseguimos nomear cada um deles através de bijeções Por exemplo considere que após um exame médico pacientes são diagnosticados como tendo pressão alta A e não tendo pressão alta N Três pacientes são escolhidos ao acaso e essa classificação é atribuída Neste caso temos como espaço amostral Ω AAA AAN ANA NAA NNA NAN ANN NNN Suponha que o interesse seja saber quantas pessoas com pressão alta foram encontradas não interessando a ordem de escolha Ou seja queremos estudar a va X que atribui a cada resultado w Ω o número de pessoas com pressão alta Como consequência temos X 0 1 2 3 portanto X é VA discreta Uma va é considerada discreta se seus valores podem ser contados Alguns exemplos número de chamadas à central de telefonia no período da tarde número de acessos a um determinado site das 10h às 22h número de inadimplentes dentre 500 pessoas que pegaram empréstimo num banco nos últimos 3 anos número de consultas ao médico num determinado ano número de escolas com crianças menores de 6 anos número de carros que passam por uma rodovia em uma manhã 13 VARIÁVEIS ALEATÓRIAS UNIDADE I Definição de distribuição de probabilidade Se X é uma va que tem como contradomínio x uma função fx é chamada função de probabilidade ou função de distribuição de probabilidade da va X se tem como domínio x e contradomínio um subconjunto dos números Reais que satisfaz as seguintes condições 4 f x 0 x 5 x 0 f x 1 x 6 x x f x 1 Representação Figura 2 Representação da função de probabilidade Fonte Própria autora Vejamos um exemplo Uma moeda é lançada três vezes Seja a VA X como o número de caras nos três lançamentos Vamos determinar fx assumindo que a probabilidade de cara é p 0 p 1 Denotamos por C cara e K coroa Para determinarmos fx vamos construir a tabela a seguir Tabela 1 Tabela das probabilidades wi Pwi Xwi x KKK 1p3 0 KKC 1p2 p 1 KCK 1p2 p 1 CKK 1p2 p 1 CCK 1pp2 2 CKC 1pp2 2 14 UNIDADE I VARIÁVEIS ALEATÓRIAS wi Pwi Xwi x KCC 1pp2 2 CCC p3 3 Fonte Própria autora Assim é fácil notar que X 0 1 2 3 fx PX x 1p3 31p2 p 31p2 p p3 Logo 3 x 3 px 1 p 01 2 3 x f x P X x 0 x casocontrário c c A seguir apresentamos a fda Seja X uma vad com fp fxi PX xi i 1 2 3 Sua fda Fx é dada por i i i i x i i x x i x x F x P X x f x x e x X x o P Vejamos um exemplo Suponha que X tenha a seguinte fp 115 1 f x 7 15 2 3 0 x x c c Vamos determinar Fx Se x 1 Fx PX x 0 Se 1 x 2 Fx PX x f1 115 Se 2 x 3 Fx PX x f1 f2 815 Se x 3 Fx PX x f1 f2 f3 1 Logo 0 1 115 1 2 F x 8 15 2 3 1 3 x x x x Podemos citar algumas propriedades da fda para o caso discreto Seja X uma vad 15 VARIÁVEIS ALEATÓRIAS UNIDADE I 1 Para todo x 0 Fx 1 2 Fx é uma função monótona não decrescente 3 Se a e b são tais que a b então PX a Fa PX a 1 PX a Pa X b Fb Fa Pa X b Fb Fa PX a Pa X b Fb Fa PX b 16 CAPÍTULO 3 Valor esperado de variáveis aleatórias discretas Valor esperado Segundo Magalhães 2015 p 179 Valor esperado ou média de uma va é uma quantidade frequentemente utilizada como resumo do comportamento da variável Veremos nos próximos capítulos que esta quantidade também serve de parâmetro para vários modelos como por exemplo o modelo Normal A seguir apresentamos a definição para vad Seja X uma vacom fp fx O valor esperado ou esperança matemática ou simplesmente esperança ou ainda média da va é denotado por EX μx e definido como x x E X x f x Supondose a existência do somatório Vejamos um exemplo Suponha que a demanda diária de uma peça é uma vad com fp dada por 2x 1 2 3 4 f x 6x 0 x c c Vamos determinar a demanda esperada ou seja EX Pela definição temos que x 4 i 1 2 E X x f x 19 9 6x Vejamos outro exemplo no qual a representação das probabilidades já é indicada Considere a seguinte representação da va X X 0 1 2 PX x 1 4 1 2 1 4 Suponha que queremos encontrar EX 17 VARIÁVEIS ALEATÓRIAS UNIDADE I Então devemos calcular 3 i 1 1 1 1 E X xf 0 1 2 1 4 2 4 x Determine EX onde X é o resultado que obtemos quando jogamos um dado honesto Sabemos que a probabilidade de sair as faces 1 2 3 4 5 6 será sempre 16 visto que o dado é honesto Assim EX 1 1 1 1 1 1 1 7 2 3 4 5 6 6 6 6 6 6 6 2 Frequentemente poderemos encontrar variáveis indicadoras em alguns problemas Vejamos então uma definição que poderá ser útil em nosso estudo Dizemos que I é uma variável indicadora do evento A se c 1 I 0 A se Aocorre se ocorre Vamos determinar EI Como p1 PA p0 1 PA temos EI PA Ou seja o valor esperado da variável indicadora do evento A é igual à probabilidade de ocorrência de A A seguir apresentamos as principais propriedades da esperança Elas também são válidas para o caso de va contínuas Seja X uma va com fp fx Sejam a e b constantes reais Então 1 Ea a 2 EaX aEX 3 EaX b aEX b 4 EaX bY aEX bEY com Y sendo va Em alguns problemas poderemos ter interesse em calcular a esperança de uma função de va Por exemplo suponha que conhecemos uma vad e sua função de probabilidade Queremos calcular o valor esperado de alguma função de X digamos gX 18 UNIDADE I VARIÁVEIS ALEATÓRIAS Como gX é ela mesma uma vad ela tem uma fp que pode ser determinada a partir da fp de X Uma vez que tenhamos determinado a fp de gX podemos calcular Egx usando a definição de valor esperado Veremos um exemplo a seguir Mais formalmente podemos encontrar a seguinte definição Se X é uma vad que pode receber os valores xi com i 1 com as respectivas probabilidades pxi então para qualquer função real g i i i E g X g x p x Vejamos um exemplo Seja X uma va que pode receber os valores 10 e 1 com respectivas probabilidades PX 1 02 PX 0 05 PX 1 03 Determinar EX2 Observe que podemos fazer Y X2 Assim PY 1 PX 1 PX 1 05 e PY 0 PX 0 05 Logo EX2 EY 105 005 05 Poderíamos ter resolvido também de acordo com a definição formal apresentada Veja EX2 12020 0205 1203 05 19 CAPÍTULO 4 Variância e desvio padrão de variáveis aleatórias discretas Variância Também conhecida como momento central de ordem 2 a variância da va X denotada por 2 x σ é definida como o valor esperado de X μx2 onde μx é o valor esperado de X como vimos na seção anterior Assim sendo X uma vad com fp fx por definição temos que x 2 2 x x x Var X σ x f x No exemplo da seção anterior determinar VarX Vimos que EX 199 Logo aplicando a definição acima segue que x 4 2 i 1 2 Var X x 1 9 9 80 81 6x A seguir como feito para a esperança apresentamos as principais propriedades da variância Elas também são válidas para o caso de va contínuas Seja X uma va com fp fx Sejam a e b constantes reais Então 1 Vara 0 2 VaraX a²VarX 3 VaraX b a²VarX 4 Se X e Y são independentes VaraX bY a²VarX b²VarY Se X é uma va com média μx EX então VarX EX2 EX2 Desvio padrão O desvio padrão é a raiz quadrada da variância e é denotado por σx ou simplesmente σ 20 UNIDADE I VARIÁVEIS ALEATÓRIAS Vejamos um exemplo relacionando esperança e variância de vad Suponha que temos 3 caixas com dois tipos de materiais A e B A caixa 1 tem 40 itens dos quais 10 são do tipo A e 30 do tipo B A caixa 2 tem 20 itens do tipo A e 20 do tipo B A caixa 3 tem apenas itens do tipo B Sorteamos ao acaso um item de cada caixa e definimos a va Y como sendo o número de itens escolhidos do tipo B Qual a média e a variância de itens do tipo B Vamos definir Bi item do tipo B escolhido da caixa i Ai item do tipo A escolhido da caixa i Assim temos Ω A1A2B3 A1B2B3 B1A2B3 B1B2B3 Portanto temos que Y assumirá os valores 1 2 e 3 com as seguintes probabilidades PY 1 18 PY 2 48 PY 3 38 Logo podemos representar Y 1 2 3 PY y 1 8 4 8 3 8 Assim 3 i 1 1 4 3 E Y yf y 1 2 3 225 8 8 8 Agora 3 2 2 i 1 1 4 3 E Y y f y 1 4 9 55 8 8 8 Portanto μy EY 225 e 2 y σ VarY EY2 EY2 04375 Nas próximas unidades serão apresentados os principais modelos discretos São eles Modelo Binomial Poisson e Hipergeométrico É importante que saibamos definir corretamente as variáveis aleatórias para que possamos identificar corretamente o modelo Os exemplos de aplicação destes modelos serão apresentados na última seção usando o Microsoft Excel 21 UNIDADE II VARIÁVEIS ALEATÓRIAS DISCRETAS PRINCIPAIS DISTRIBUIÇÕES CAPÍTULO 1 Identificação do experimento binomial e distribuição binomial Identificação do experimento binomial Para identificarmos um experimento Binomial precisamos antes identificar a ocorrência de um ensaio de Bernoulli pois como veremos o experimento ou modelo Binomial é uma repetição de n ensaios de Bernoulli independentes Na prática muitos experimentos admitem apenas dois resultados possíveis Por exemplo uma peça pode ser classificada como boa ou defeituosa o lançamento de uma moeda pode resultar em cara ou coroa Estes experimentos recebem o nome de ensaios de Bernoulli e a va X assume apenas dois valores a saber X 1 caso ocorra sucesso ou X 0 caso ocorra fracasso Admitimos que a probabilidade de sucesso é p 0 p 1 Assim temos que a distribuição de probabilidade da Bernoulli é dada por x px 1 p 01 f x 0 x c c Notação X Bernoulli p Propriedades EX p e VarX p1p A repetição de n ensaios de Bernoulli independentes e todos com a mesma probabilidade de sucesso p gera o modelo Binomial que será apresentado a seguir Distribuição binomial Vimos anteriormente que a repetição de n ensaios de Bernoulli independentes e todos com a mesma probabilidade de sucesso p dá origem ao modelo Binomial Assim 22 UNIDADE II VARIÁVEIS ALEATÓRIAS DISCRETAS PRINCIPAIS DISTRIBUIÇÕES seja X a va que conta o número de sucessos em n ensaios de Bernoulli Dizemos que X tem distribuição Binomial com parâmetros n e p e sua função de probabilidade é dada por n x px 1 p 01 f x 0 n x n x c c Notação X Binomial np Propriedades EX np e VarX np1p Vejamos alguns exemplos 1 Suponha que um dado equilibrado é lançado 3 vezes Qual é a probabilidade de se obter a face 5 duas vezes Denotamos por S sucesso ocorrer face 5 F fracasso não ocorrer face 5 Note que p Psucesso 16 e q 1 p Pfracasso 56 Nosso espaço amostral é então Ω SSS SSF SFS FSS SFF FSF FFS FFF Nosso interesse é o número total de sucessos que no caso é o número de vezes que a face 5 é observada nos 3 lançamentos do dado Assim Tabela 2 Tabela de probabilidades Número de Sucessos Probabilidade 0 q3 1 3pq2 2 3p2q 3 p3 Fonte Própria autora Neste caso temos n3 e x 3 x 3 P X x p q x para x 0 1 2 3 Aqui queremos encontrar portanto PX 2 sabendo que p16 Logo PX 2 00694 23 VARIÁVEIS ALEATÓRIAS DISCRETAS PRINCIPAIS DISTRIBUIÇÕES UNIDADE II 2 Suponha que o nascimento de bebês do sexo masculino e feminino seja igualmente provável e que o nascimento de qualquer bebê não afeta a probabilidade do sexo do próximo nascimento Determinar a probabilidade nascerem exatamente 4 meninos em 10 nascimentos Vamos definir a va X como sendo o número de meninos em 10 nascimentos e os seguintes eventos de interesse S nascimento de um menino F nascimento de uma menina Logo podemos perceber que X Binomial10 05 Assim calculamos PX 4 0205 3 Cinco moedas honestas são jogadas Se os resultados são por hipóteses independentes determinar a função de probabilidade do número de caras obtido Se X é a va que representa o número de caras sucessos que aparecem então X Binomial 5 12 Portanto 0 5 5 P X 0 1 2 1 2 1 32 0 1 4 5 P X 1 1 2 1 2 5 32 1 2 3 5 P X 2 1 2 1 2 10 32 2 3 2 5 P X 3 1 2 1 2 10 32 3 4 1 5 P X 4 1 2 1 2 5 32 4 5 0 5 P X 5 1 2 1 2 1 32 5 4 Um jogo de azar conhecido como roda da fortuna é bastante popular em muitos parques de diversões e cassinos 24 UNIDADE II VARIÁVEIS ALEATÓRIAS DISCRETAS PRINCIPAIS DISTRIBUIÇÕES Um jogador aposta em um número de 1 a 6 Três dados são então lançados e se o número apostado sair i vezes i 1 23 então o jogador ganha i unidades se o número apostado não sair em nenhum dos dados então o jogador perde 1 unidade Este jogo é justo para o jogador Vamos considerar que os dados sejam honestos e agem independentemente uns dos outros Então o número de vezes que o número apostado aparece é uma va binomial com parâmetros 3 16 Se X representa o número de vitórias do jogador neste jogo temos 0 3 3 P X 1 1 6 5 6 125 216 0 1 2 3 P X 1 1 6 5 6 75 216 1 2 1 3 P X 2 1 6 5 6 15 216 2 3 0 3 P X 3 1 6 5 6 1 216 3 Para determinar se este jogo é justo ou não para o jogador devemos calcular EX Das probabilidades anteriores temos que EX 17216 ou seja a longo prazo o jogador perderá 17 unidades a cada 216 jogos que jogar 25 CAPÍTULO 2 Distribuição Poisson Esta distribuição tem muitas aplicações não somente na área de probabilidade aplicada mas também nos diferentes ramos da engenharia É caracterizada por experimentos que consistem em observar a ocorrência dos eventos em uma determinada unidade que pode ser de tempo área volume etc Alguns dos exemplos que podemos citar são número de consultas a uma base de dados em um minuto número de clientes chegando a uma fila em duas horas número de manchas por m² no esmaltado de um fogão número de defeitos em cada televisão produzida por uma fábrica Um exemplo clássico modelado pela Poisson é o de chamadas telefônicas que chegam a uma central em um intervalo de tempo Sua dedução pode ser feita por meio da distribuição Binomial quando n é muito grande tendendo ao infinito e p pequeno tendendo a zero Seja X uma va assumindo valores 0 1 2 3 Dizemos que X tem distribuição de Poisson com parâmetro λ se λ e λk P X k k 0123 k Onde λ 0 é o parâmetro que indica a taxa de ocorrência por unidade de medida Notação X Poisson λ Propriedades EX λ e VarX λ Uma propriedade importante envolvendo a distribuição de Poisson é apresentada a seguir A soma de va independentes com distribuição de Poisson também será Poisson Isto é se X1 Xn são va independentes com distribuição de Poisson com parâmetros respectivamente λ1 λn então a va Y X1 Xn tem distribuição Poisson com parâmetro λ λ1 λn 26 UNIDADE II VARIÁVEIS ALEATÓRIAS DISCRETAS PRINCIPAIS DISTRIBUIÇÕES Vejamos alguns exemplos 1 Suponha que uma central telefônica receba em média 3 chamadas a cada 4 minutos Determine a probabilidade de que a central recepcione 2 ou menos chamadas em um intervalo de 2 minutos Vamos considerar X a va que representa o número de chamadas que a central recebe em 2 minutos Assim neste caso temos que λ 15 Portanto X Poisson15 e temos interesse em calcular PX 2 PX 2 PX 0 PX 1 PX 2 08088 2 Suponha que uma garrafa de água contém certas bactérias na razão de 4 bactérias por cm3 Uma amostra de 1cm3 desse líquido é tomado Determine a probabilidade de que a amostra não contenha nenhuma bactéria Determine também a probabilidade de que em 05cm3 da água tenha pelo menos uma bactéria Vamos definir X como a va que indica o número de bactérias em 1cm3 de água Então X Poisson 4 Estamos interessados em calcular primeiramente PX 0 40 e40 00183 Agora para responder a segunda questão vamos considerar a va Y como sendo o número de bactérias em 05cm3 de água Então agora Y Poisson2 Queremos portanto calcular PY 1 1 PY 1 0864 3 Em uma fábrica foram registrados em 3 semanas a média de acidentes 25 na primeira semana 2 na terceira semana e 15 na terceira semana Suponha que o número de acidentes por semana segue a distribuição de Poisson Determine a probabilidade de que haja 4 acidentes nas 3 semanas Vamos definir as variáveis X1 número de acidentes na primeira semana X2 número de acidentes na segunda semana X3 número de acidentes na terceira semana Note que todas elas são independentes e que a va X X1 X2 X3 segue a distribuição Poisson com parâmetro 25 2 15 6 Isto é X Poisson 6 27 VARIÁVEIS ALEATÓRIAS DISCRETAS PRINCIPAIS DISTRIBUIÇÕES UNIDADE II Logo temos que PX 4 01339 4 O número de erros tipográficos em uma única página deste caderno de estudos tem uma distribuição de Poisson com λ 12 Calcule a probabilidade de que exista pelo menos um erro nesta página Vamos definir X como sendo a va que representa o número de erros nesta página temos então que X Poisson12 Queremos encontrar PX 1 Logo PX 1 1 P X 0 1 e12 0393 28 CAPÍTULO 3 Distribuição hipergeométrica Suponha uma população finita de N elementos divididos em duas classes Uma classe com M M N elementos do tipo sucesso e outra com NM elementos do tipo fracassos Uma amostra aleatória de tamanho n n N é sorteada sem reposição A va X definida como sendo o número de elementos com a característica de interesse sucesso na amostra de tamanho n tem distribuição Hipergeométrica com parâmetros N M n e sua função de probabilidade é dada por M N M x n x max 0 n N M N f x n 0 x min n M c c Notação X H N M n Propriedades EX nMN e VarX nMN1 MNNnN1 A função de probabilidade pode ser entendida como sendo número de casos favoráveis número de casos possíveis A seguir apresentamos um exemplo Suponha que o gerente de crédito de um estabelecimento recebe 10 pedidos de crédito dos quais 4 têm documentação incompleta e deverão ser devolvidos aos clientes Escolhese ao acaso 5 pedidos sem reposição Determine a probabilidade de devolver mais do que 3 pedidos de crédito Seja X a va que indica o número de pedidos de crédito devolvido em uma amostra de 5 pedidos O sucesso neste caso será considerado como o pedido de crédito devolvido Logo X H10 4 5 Como queremos PX 3 devemos calcular PX 3 PX 4 4 6 4 1 10 5 00238 29 VARIÁVEIS ALEATÓRIAS DISCRETAS PRINCIPAIS DISTRIBUIÇÕES UNIDADE II Se quiséssemos determinar EX e VarX bastaria calcularmos EX 5 410 2 e Var X 5 410 1 410 105 101 0667 Antes de prosseguirmos com o estudo das va vamos resumir o conteúdo visto até agora destacando os pontos mais importantes Uma variável aleatória cujo conjunto de valores possíveis é formado por um conjunto finito ou infinito enumerável é dita ser discreta Se X é uma vad então a função fx PX x é chamada de função de probabilidade O valor esperado ou esperança de X é definido como sendo x x E X x f x e pode ser denotado por EX μx Uma propriedade importante envolvendo uma função g nos permite observar que x p x 0 E g X g x p x A variância é definida como sendo x 2 2 x x x Var X σ x μ f x E uma identidade muito útil é VarX EX2 EX2 Por fim o desvio padrão indicado por σ nada mais é do que a raiz quadrada de VarX Aprendemos ainda as principais distribuições que envolvem as vad São elas Ensaio de Bernoulli a va X assume dois valores 1 caso ocorra sucesso ou 0 caso ocorra fracasso A probabilidade de sucesso é p 0 p 1 30 UNIDADE II VARIÁVEIS ALEATÓRIAS DISCRETAS PRINCIPAIS DISTRIBUIÇÕES X Bernoulli p tem a seguinte fd 1 01 0 x c c x px p f x E mais EX p VarX p1p Binomial a va X conta o número de sucessos em n ensaios independentes de Bernoulli X Binomial np tem a seguinte fd 1 01 0 x n c c n x px p f x n x E mais EX np VarX np1p Poisson experimentos que consistem em observar a ocorrência dos eventos em uma determinada unidade e a va X assume valores 0 1 2 X Poisson λ se λ e λk P X k k k E mais EX λ VarX λ é o parâmetro que indica a taxa de ocorrência por unidade de medida Hipergeométrica X é a va que conta o número de elementos com a característica de interesse sucesso na amostra de tamanho n de uma população finita com N elementos e M elementos do tipo sucesso X HN M n se max 0 0 x min n M c c M N M x n x n N M N f x n E mais EX nMN VarX nMN1 MNNnN1 31 UNIDADE III VARIÁVEIS ALEATÓRIAS CONTÍNUAS CAPÍTULO 1 Variáveis aleatórias contínuas e função de densidade e probabilidade Definição de variável aleatória contínua Seja X uma va Supondo que o contradomínio x de X seja um intervalo ou uma coleção de intervalos dizemos que X é uma va contínua vac isto é x é infinito e não enumerável Por exemplo se ao retirarmos ao acaso um item produzido de um lote de seis unidades e definirmos a va X como sendo o tempo de vida do item em horas esta será contínua Uma va é considerada contínua quando seu valor não é um número inteiro e existe entre um número inteiro e outro uma indeterminada quantidade de valores Alguns exemplos período de tempo que uma válvula eletrônica instalada em um circuito funciona área atingida pelo derramamento de óleo de um navio altura de um adulto saldo em aplicações financeiras ganho de peso após um programa de dieta distância percorrida em uma prova de campeonato 32 UNIDADE III VARIÁVEIS ALEATÓRIAS CONTÍNUAS Definição da função de densidade e probabilidade Uma função fx é chamada de fp ou função de densidade e probabilidade fdp da vac X se satisfaz as seguintes condições 1 f x 0 x 2 f x dx 1 Além disso os eventos em x são da seguinte forma A x a x b e PA b a f x dx Se X é vac então 1 PX x0 0 2 Pa X b Pa X b Pa X b 3 PX a PX a Vejamos um exemplo suponha que o tempo até a primeira falha de uma componente elétrica é uma va X com a seguinte fdp 1 e x100 0 f x 100 0 x c c Vamos determinar PX 100 Pela definição temos que PX 100 x100 100 1 e dx 100 e1 A seguir assim como foi apresentado para o caso discreto apresentamos a fda para o caso contínuo Seja X uma vac com fdp fx Sua fda é dada por x F x P X x f u du x Vejamos um exemplo Considere a va X com a seguinte fdp 5 x 2 4 f x 4 0 x c c 33 VARIÁVEIS ALEATÓRIAS CONTÍNUAS UNIDADE III Vamos determinar Fx Se x 2 Fx PX x x f u du 0 Se 2 x 4 Fx PX x 2 x 9 5 f u du 8 x Se x 4 Fx PX x x f u du 1 Logo 2 0 2 9 5 x F x 2 4 8 1 4 x x x Podemos citar algumas propriedades da fda para o caso contínuo Seja X uma vac 1 Fx é contínua para todo x 2 fx ddx Fx ddx x f u du Vamos observar que a FDA de X permite o cálculo de probabilidades de eventos da forma E x a x b com a b Isto é PE Fb Fa Vejamos alguns exemplos 1 Suponha que X seja uma vac cuja função densidade de probabilidade é dada por 2 4 2x 0 2 f x 0 C x x c c Vamos determinar o valor de C e PX 1 Ora como fx é fdp devemos ter f x dx 1 logo 2 2 0 C 4x 2x dx 1 C 3 8 Agora para calcular PX 1 basta calcularmos 2 2 1 3 8 4x 2x dx 1 2 34 UNIDADE III VARIÁVEIS ALEATÓRIAS CONTÍNUAS 2 A quantidade de tempo em horas que um computador funciona sem ser danificado é uma vac com fdp e x100 0 f x 0 x c c λ Qual é a probabilidade de que o computador funcione entre 50 e 150 horas antes de ser danificado E a probabilidade de que ele funcione menos de 100 horas Assim como vimos anteriormente precisamos determinar o valor da constante λ Seguindo o mesmo raciocínio visto acima obteremos λ 1100 Agora para calcularmos as probabilidades pedidas basta calcularmos P50 X 150 150 x100 50 1 e dx 0384 100 Similarmente para PX 100 fazemos PX 100 100 x100 0 1 e dx 0633 100 35 CAPÍTULO 2 Valor esperado de variáveis aleatórias contínuas Valor esperado Seja X uma va com fdp fx O valor esperado ou esperança matemática ou simplesmente esperança ou ainda média da va é denotado por EX μx e definido como E X xf x dx Supondose a existência da integral Vejamos um exemplo Considere X uma vac com fdp dada por 1 2 1 1 f x 0 x c c Vamos determinar EX Pela definição temos que 1 1 1 E X xf x dx x dx 0 2 A seguir apresentamos alguns exemplos 1 Seja X o tempo em minutos durante o qual um equipamento elétrico é utilizado em carga máxima em um certo período de tempo especificado Então X é uma variável aleatória contínua e sua fdp é dada por 2 2 1 0 1500 1500 1 f x x 3000 1 500 3000 1500 0 x se x se x c c Vamos calcular o valor esperado de X Pela definição temos 1500 3000 2 0 1500 1 E X x f x dx x dx x x 3000 dx 1500 1500 36 UNIDADE III VARIÁVEIS ALEATÓRIAS CONTÍNUAS EX 1500 minutos 2 Seja X uma variável aleatória com função densidade de probabilidade dada por x 0 2 f x 2 0 se x c c Vamos calcular o valor esperado de X Novamente pela definição devemos calcular 2 0 x E X x f x dx x dx 4 3 2 3 Seja X uma variável aleatória com função densidade dada por e λx 0 f x 0 λ Vamos encontrar o valor esperado da variável aleatória X e X2 Primeiramente vamos determinar EX assim como fizemos anteriormente λx 0 E X x f x dx x λe dx 1 λ Agora 2 2 λx 2 0 E X x λe dx 2 λ 4 Seja X uma variável aleatória com função densidade de probabilidade dada a seguir 2 4x 9 0 3 f x 81 0 x se x c c Vamos calcular o valor esperado de X 3 2 2 0 4 E X x f x dx x 9 x dx 8 5 81 5 Considere X uma variável aleatória com função densidade dada por 6e 6x 0 f x 0 se x c c 37 VARIÁVEIS ALEATÓRIAS CONTÍNUAS UNIDADE III Vamos encontrar o valor esperado da variável aleatória X e X2 Primeiramente vamos determinar EX assim como fizemos anteriormente 6x 0 E X x f x dx 6e dx 1 6 38 CAPÍTULO 3 Variância e desvio padrão de variáveis aleatórias contínuas Variância Seja X uma vac com fdp fx Por definição temos que 2 2 x x Var X σ x μ f x dx Vejamos um exemplo Seja X uma va com a seguinte fdp 3 4x 0 1 f x 0 x c c Vamos determinar VarX Temos que EX 45 verifique Assim pela definição segue que 1 2 3 0 Var X x 4 5 4x dx 2 75 Desvio padrão O desvio padrão segue a mesma definição vista em 142 Por exemplo suponha que as vendas diárias de uma empresa em milhares de dólares sejam uma va com a seguinte função de densidade 0 1 f x 2 1 2 0 x x x x c c Um dia de venda é escolhido ao acaso e queremos determinar a probabilidade de que as vendas sejam maiores do que 5000 dólares e menores que 15000 dólares a média e o desvio padrão das vendas diárias Vamos considerar X a va que indica vendas diárias de uma empresa em milhares de dólares Seja A o evento A x x 05 x 15 e temos interesse em determinar PA Basta fazermos PA P05 X 15 15 15 1 05 05 1 3 f x dx x dx 2 x dx 4 39 VARIÁVEIS ALEATÓRIAS CONTÍNUAS UNIDADE III Para calcularmos a média basta fazermos EX 1 2 2 0 1 x f x dx x dx x 2 x dx 1 E para o desvio padrão EX2 1 2 2 3 2 0 1 x f x dx x dx x 2 x dx 7 6 Portanto a média de X será 10000 dólares e o desvio padrão será de 40824829 dólares Nas próximas unidades serão apresentadas as principais distribuições contínuas São elas distribuição Uniforme Normal e Exponencial Destas a distribuição Normal é a mais importante 40 UNIDADE IV VARIÁVEIS ALEATÓRIAS CONTÍNUAS PRINCIPAIS DISTRIBUIÇÕES CAPÍTULO 1 Distribuição uniforme É a distribuição contínua mais simples Pode ser interpretada como a probabilidade de acontecer um fenômeno de mesmo comprimento é a mesma ou ainda um número finito de resultados com chances iguais de acontecer Uma va X tem distribuição Uniforme com parâmetros α e β com α β se sua fdp é dada por 1 β α f x 0 α β Representação Gráfica de fx Figura 3 Gráfico da fdp da Uniforme ab Fonte Magalhães 2006 Notação X U α β Propriedades EX α β2 e VarX α β²12 41 VARIÁVEIS ALEATÓRIAS CONTÍNUAS PRINCIPAIS DISTRIBUIÇÕES UNIDADE IV Função de distribuição acumulada 0 x α F x β α 1 x x x Representação Gráfica de Fx Figura 4 Gráfico da fda da Uniforme ab Fonte Magalhães 2006 Por exemplo se a va X é uniformemente distribuída ao longo de 010 vamos determinar a probabilidade de que X 3 X 6 e 3 X 8 Como X U010 segue que PX 3 3 0 1 dx 310 10 PX 6 10 6 1 dx 4 10 10 P3 X 8 8 3 1 dx 1 2 10 42 CAPÍTULO 2 Distribuição normal e suas propriedades Conhecida também como distribuição Gaussiana é a mais importante distribuição contínua por vários motivos dentre eles o Teorema Central do Limite Este Teorema é um resultado fundamental em aplicações práticas e teóricas pois ele garante que mesmo que um conjunto de dados não seja normalmente distribuído a sua média converge para uma distribuição normal à medida que os dados aumentam Dizemos que a va X tem distribuição normal com parâmetros µ média e σ² variância se sua fdp é dada por 2 2 2 1 1 x μ f x exp x σ 0 2 σ 2πσ Representação Gráfica de fx Figura 5 Gráfico da fdp da Normalµσ² Fonte Magalhães 2006 Notação X N µ σ² Propriedades EX µ e VarX σ² Função de distribuição acumulada 2 x 2 1 1 t F x exp dt 2 σ 2πσ A seguir apresentamos as principais propriedades da distribuição Normal São elas Gráfico em forma de sino 43 VARIÁVEIS ALEATÓRIAS CONTÍNUAS PRINCIPAIS DISTRIBUIÇÕES UNIDADE IV Veja abaixo novamente o gráfico da distribuição normal Note como se assemelha com forma de sino Figura 6 Gráfico da forma de sino da Normalµσ² Fonte Magalhães 2006 Representações gráficas em forma de sino Muitas vezes estamos interessados em analisar aspectos de mais de uma população que tenha distribuição normal Podemos notar no gráfico da figura a seguir que mostra as diferentes representações gráficas quando temos médias e desvios que são modificados para o caso em que temos médias iguais e desvios diferentes mais afunilada a curva da normal fica Porém para médias diferentes e desvios iguais a mudança está no eixo do x perceba como a curva percorre este eixo conforme o valor do desvio é alterado Quanto menor for o desvio mais forma de sino a curva terá Figura 7 Gráfico de Normais com médias e desvios diferentes Fonte httpportalactioncombr Acesso em 1112018 44 UNIDADE IV VARIÁVEIS ALEATÓRIAS CONTÍNUAS PRINCIPAIS DISTRIBUIÇÕES A distribuição é simétrica em relação à média Como a área total sob curva é igual a 1 à esquerda e à direita de µ a área é igual a 05 Cálculo de probabilidades relacionadas com desvios Temos que Pµ σ X µ σ 06896 Pµ 2σ X µ 2σ 09546 Pµ 3σ X µ 3σ 09973 Pµ 4σ X µ 4σ 09999 E graficamente podemos representar as áreas acima Figura 8 Gráfico das probabilidades relacionadas aos desvios Fonte httpportalactioncombr Acesso em 1112018 A função de distribuição acumulada de uma va X N µ σ² é dada por 2 x 2 1 1 t F x exp dt 2 σ 2πσ Note que a integral acima não possui solução analítica Portanto o cálculo de probabilidades normais é feito por meio de tabelas como vermos adiante 45 VARIÁVEIS ALEATÓRIAS CONTÍNUAS PRINCIPAIS DISTRIBUIÇÕES UNIDADE IV Se µ 0 e σ² 1 temos a distribuição Normal Padrão ou Reduzida Indicamos a va como sendo Z N01 e sua fdp é dada por 2 1 z f z exp z 2 2π 46 CAPÍTULO 3 Cálculo de probabilidades normais Vimos que a função de distribuição acumulada de uma va N µ σ² consiste em calcular uma integral cuja solução não é analítica Ora então como faremos os cálculos de probabilidades normais Usando a distribuição normal padrão com o auxílio de tabelas Seja Z a va com distribuição N01 Vimos que sua fdp é dada por 2 1 z f z exp z 2 2π Logo sua função de densidade acumulada é x 2 1 1 Φ Z P Z z exp t dt 2 2π Note que esta integral corresponde graficamente a calcular a seguinte área sob a curva da Normal Figura 9 Gráfico da Área sob a curva da Normal 01 Fonte Walpole 2013 Com o uso de tabelas conseguimos calcular diretamente a probabilidade desejada Neste curso usaremos a tabela disponível no Apêndice Vamos aprender a procurar os valores na tabela Veja que a primeira coluna da tabela indica a parte inteira de z e sua primeira casa decimal E a primeira linha indica a segunda casa decimal de z Assim para encontrarmos o valor procurado basta cruzar as informações Vejamos um exemplo para ficar mais claro Suponha que Z N01 e queremos encontrar PZ 125 Devemos procurar na primeira coluna 12 e na primeira linha 005 Feito isso basta ver qual o valor resultante do cruzamento 47 VARIÁVEIS ALEATÓRIAS CONTÍNUAS PRINCIPAIS DISTRIBUIÇÕES UNIDADE IV Observe a ilustração a seguir Tabela 3 Representação simplificada da tabela Normal Padrão z 00 01 02 03 04 05 06 07 08 09 34 0003 0003 0003 0003 0003 0003 0003 0003 0003 0002 12 1151 1131 1112 1093 1075 1056 1038 1020 1003 0985 00 5000 4960 4920 4880 4840 4801 4761 4721 4681 4641 Fonte Própria autora Portanto PZ 125 01056 Veremos também nas próximas seções como encontrar estas probabilidades por meio do Excel Antes de passarmos para a próxima seção apresentaremos alguns resultados muito importantes envolvendo a distribuição Normal 1o Resultado Se X Nµ σ² então dada a parametrização Y X µσ Segue que Y N01 2o Resultado Transformação linear de uma variável normal Se X Nµ σ² então sendo Y a bX segue que Y N 2 Y Y σ Note que μY a bμ e 2 2 2 σY b σ 48 UNIDADE IV VARIÁVEIS ALEATÓRIAS CONTÍNUAS PRINCIPAIS DISTRIBUIÇÕES 3c Resultado Sejam X1 Xn n va independentes onde 2 i i X N σi i1 n Sejam a1 an constantes reais Seja Y a va que indica a combinação linear das va normais isto é Y a1 X1 an Xn Então Y N 2 y y σ onde μy a1 μ1 an μn e 2 2 2 2 2 y 1 1 n σ σ σ 4o Resultado Propriedade reprodutiva da distribuição normal Sejam X1 Xn n va independentes onde Xi Nμ σ2 i 1 n Então a va 1 n i 1 Y X X X n i é tal que Y Nnμ nσ2 5o Resultado Se Xi N01 i 1 n então a va 2 i 1 Y X n i tem distribuição QuiQuadrado com n graus de liberdade e sua fdp é dada por n x 2 1 2 n 2 1 x e 0 0 n f x 2 Γ 2 0 Observação w 1 x 0 Γ w x e dx 0 Notação 2 Y χ n 6o Resultado Sejam X N01 e 2 Y χ n 49 VARIÁVEIS ALEATÓRIAS CONTÍNUAS PRINCIPAIS DISTRIBUIÇÕES UNIDADE IV Então a va X T Yn tem distribuição tStudent com n graus de liberdade e sua fdp é dada por 1 2 2 1 Γ 1 2 Γ 1 2 π Notação T tn Abaixo temos alguns exemplos envolvendo a distribuição Normal 1 Um perito utilizado em um julgamento de paternidade testifica que a extensão em dias da gestação humana é normalmente distribuída com parâmetros µ 270 e σ2 100 O réu é capaz de provar que estava fora do país durante um período que começou 290 dias antes do nascimento da criança e terminou 240 dias depois do nascimento Se o réu é de fato o pai da criança qual é a probabilidade de que a mãe possa ter tido a gestação muito longa ou muito curta indicada pela testemunha Seja X a extensão da gestação e suponha que o réu é o pai Então X N270 100 e a probabilidade de que o nascimento pudesse ocorrer dentro do período indicado é PX 290 ou X 240 PX 290 PX 240 X 270 X 270 P 2 P 3 1 2 1 3 00241 10 10 2 Calcular a área sob a curva da normal para Z maior que 275 A área sob a curva normal para Z maior do que 275 é dada por 2 275 1 x P Z 275 exp 0003 2 2π ou seja a probabilidade de Z ser maior do que 275 é de 03 3 Determine a área sob a curva de uma normal padronizada para Z entre 0204 e 193 Precisamos calcular P02 Z 193 PZ 193 PZ 02 05525 4 Suponha que a espessura média de arruelas produzidas em uma fábrica tenha distribuição normal com média 1115mm e desvio padrão 2238mm Qual a porcentagem de arruelas que tem espessura entre 87mm e 147mm 50 UNIDADE IV VARIÁVEIS ALEATÓRIAS CONTÍNUAS PRINCIPAIS DISTRIBUIÇÕES Para encontrar a porcentagem de arruelas com a espessura desejada devemos encontrar a área abaixo da curva normal compreendida entre os pontos 87 e 147mm Para isso temos que encontrar dois pontos da distribuição normal padronizada O primeiro ponto é Z1 87 11152238 109 A área para valores maiores do que 109 é 08621 ou seja 8621 Portanto a área para valores menores do que 109 é de 01379 O segundo ponto é Z2 147 11152238 158 A área para valores maiores do que 158 é 00571 ou seja 571 Logo o que procuramos é a área entre Z1 e Z2 que é dada por 1 01379 00571 08050 Logo a porcentagem de arruelas com espessura entre 87 e 147mm é de 805 5 Suponha que o peso médio de 800 porcos de uma certa fazenda é de 64kg e o desvio padrão é de 15kg Supondo que este peso seja distribuído de forma normal quantos porcos pesarão entre 42kg e 73kg Para resolvermos este problema primeiramente devemos padronizálo ou seja Z x 6415 N01 Então o valor padronizado de 42kg é de 42 6415 147 e de 73kg é de 06 Assim a probabilidade é de P147 Z 06 P Z 06 PZ 147 06549 Portanto o número aproximado que se espera de porcos entre 42kg e 73kg é 524 6 Considere X uma va N39 Determinar a P2 X 5 b PX 0 c PX 3 6 51 VARIÁVEIS ALEATÓRIAS CONTÍNUAS PRINCIPAIS DISTRIBUIÇÕES UNIDADE IV a P2 X 5 2 3 X 3 5 3 1 2 2 1 P P Z 3 3 3 3 3 3 3 03779 b PX 0 X 3 0 3 P P Z 1 1 1 08413 3 3 c PX 3 6 PX 9 PX 3 X 3 9 3 X 3 3 3 P P P Z 2 P Z 2 1 2 2 00456 3 3 3 3 X 3 9 3 X 3 3 3 P P P Z 2 P Z 2 1 2 2 00456 3 3 3 3 7 Uma prova é frequentemente considerada boa no sentido de determinar uma dispersão de conceitos válida para aqueles que os recebem se as notas daqueles que a fizeram puderem ser aproximadas por uma função densidade normal O professor utiliza com frequência as notas dos alunos para estimar os parâmetros normais µ e σ2 e então atribuir o conceito A para aqueles cujas notas forem maiores que µ σ B para aqueles cujas notas estiverem entre µ e µ σ C para aqueles cujas notas estiverem entre µ σ e µ D para aqueles cujas notas estiverem entre µ 2σ e µ σ E para aqueles com abaixo de µ 2σ essa estratégia é às vezes chamada de dar o conceito com base na curva Como X P X σ P 1 1 1 01587 σ X P X σ P 0 1 1 0 03413 σ X P σ X P 1 0 0 1 03413 σ X P 2σ X σ P 2 1 2 1 01359 σ X P X 2σ P 2 2 00228 σ Temse que aproximadamente 16 da classe receberão um conceito A na prova 34 um conceito B 34 um conceito C e 14 um conceito D 2 serão reprovados 8 Suponha que uma mensagem binária formada por 0s e 1s deva ser transmitida por fio do ponto A para o ponto B 52 UNIDADE IV VARIÁVEIS ALEATÓRIAS CONTÍNUAS PRINCIPAIS DISTRIBUIÇÕES Entretanto dados enviados por fio estão sujeitos a ruídos de canal Para reduzirse a possibilidade de erro o valor 2 é enviado quando a mensagem é 1 e o valor 2 é enviado quando a mensagem é 0 Se x x 2 é o valor enviado a partir do ponto A então R o valor recebido no ponto B é dado por R x N onde N é o ruído de canal Quando a mensagem é recebida no ponto B o receptor decodifica a mensagem de acordo com a regra a seguir Se R 05 então concluise que 1 foi enviado Se R 05 então concluise que 0 foi enviado Como o ruído de canal é com frequência normalmente distribuído vamos determinar as probabilidades de erro quando N é uma variável aleatória normal padrão Dois tipos de erro podem ocorrer um é que a mensagem 1 seja incorretamente identificada como sendo 0 e o outro é que o 0 possa ser incorretamente identificado como 1 O primeiro tipo de erro ocorre se mensagem for 1 e 2 N 05 enquanto o segundo erro ocorre se a mensagem for 0 e 2 N 2 05 Assim Perro mensagem é 1 PN 15 1 Ф15 00668 e Perro mensagem é 0 PN 25 1 Ф25 00062 9 Uma empresa desenvolve um conjunto restrito de atividades Xi i 1 2 3 Suponha que o lucro Y em unidades monetárias associado às diferentes atividades é dado pela seguinte equação Y 2X1 3X2 X3 Considerando que as diferentes atividades da empresa são va independentes com distribuição normal tais que X1 N10 5 X2 N15 20 X3 N1210 Determinar a probabilidade de que a empresa tenha um lucro de no máximo 80 unidades monetárias 53 VARIÁVEIS ALEATÓRIAS CONTÍNUAS PRINCIPAIS DISTRIBUIÇÕES UNIDADE IV Dos resultados vistos anteriormente temos que Y Nµy σy 2 onde µy 2EX1 3EX2 EX3 77 e σy 2 4VarX1 9VarX2 VarX3 210 Portanto queremos PY 80 80 77 P Z P Z 021 058317 210 10 Suponha que a carga máxima suportada X1 por um pilar de concreto é uma va normal com média 110kg e desvio de 16kg Além disso admitese que sua resistência é uma outra va X2 também normalmente distribuída com média 215kg e desvio de 30kg Determinar a probabilidade de ruptura deste pilar Vamos considerar a va Y X2 X1 O pilar se rompe quando X1 X2 Ou seja isto é equivalente a Y 0 Novamente das propriedades vistas anteriormente e sabendo que X1 e X2 são va normais independentes teremos que Y N105 1156 Assim PY 0 PZ 309 0001 11 O peso de peixes pescados por uma embarcação tem distribuição normal com média 45kg e desvio de 05kg Se os peixes são embalados em caixas que contém 20 peixes determinar a probabilidade de que o peso total dos peixes contidos na caixa seja maior do que 92kg Vamos definir a va X como sendo o peso de um peixe Então X N45 025 Agora seja Y a va que representa o peso total da caixa com 20 peixes Então temos que Y X1 X2 X3 Xn onde Xi é o peso do iésimo peixe na caixa Logo Xi N45 025 i 1 20 Novamente dos resultados já vistos teremos que Y N2045 20025 Portanto queremos PY 92 PZ 089 1 PZ 089 018673 Uma importante observação a ser feita neste momento é que em alguns casos podemos fazer uma aproximação da distribuição Binomial pela Normal da seguinte forma aumentase o tamanho da amostra Desta forma a variável do tipo discreto passa a ter o mesmo tratamento que uma variável do tipo contínuo 54 UNIDADE IV VARIÁVEIS ALEATÓRIAS CONTÍNUAS PRINCIPAIS DISTRIBUIÇÕES Ou seja se considerarmos a va X Binomialn p a medida que n tender ao infinito X Nnp npq E temos ainda que para X np Z npq Z N01 Na prática esta aproximação é satisfeita sempre que np 5 e p 12 Alguns autores sugerem np 10 e nq 10 ou ainda np 15 e nq 15 Por fim recomendase fazer uma correção de continuidade que nada mais é do que acrescentar ou subtrair 05 da va X conforme o seguinte Subtrair 05 de X quando a probabilidade de X ser PX Xi Subtrair 05 de X quando a probabilidade de X ser PX Xi Acrescentar 05 a X quando a probabilidade de X ser PX Xi Acrescentar 05 a X quando a probabilidade de X ser PX Xi Vejamos algumas aplicações Seja X o número de vezes nas quais uma moeda honesta que é jogada 40 vezes dá cara Determinar a probabilidade de que X 20 Usar a aproximação normal e então a compare com a solução exata Para usarmos a aproximação normal note que como a va binomial é uma vad inteira enquanto que a va normal é uma variável contínua é melhor escrevermos PX i como Pi 12 X i 12 antes de aplicarmos a aproximação normal correção de continuidade Logo P X 20 P 195 X 205 195 20 X 20 205 20 P 10 10 10 X 20 P 016 016 10 P 016 Z 016 016 016 01272 55 VARIÁVEIS ALEATÓRIAS CONTÍNUAS PRINCIPAIS DISTRIBUIÇÕES UNIDADE IV Enquanto o resultado exato é dado por 40 40 P X 20 1 2 01254 20 O tamanho ideal de uma turma de primeiro ano em uma faculdade particular é de 150 alunos A faculdade sabendo de experiências anteriores que em média apenas 30 dos alunos aceitos vão de fato seguir o curso usa a prática de aprovar os pedidos de matrícula de 450 estudantes Calcular a probabilidade de que mais de 150 estudantes de primeiro ano frequente as aulas nesta faculdade Seja X a va que representa o número de estudantes que seguem o curso Então X Binomial 450 03 Usando a correção de continuidade vemos que a aproximação normal resulta em X 450 03 1505 450 03 P X 1505 P 1 159 00559 450 03 07 450 03 07 56 CAPÍTULO 4 Distribuição exponencial É uma distribuição que se caracteriza por ter uma função de taxa de falhas constante Usada frequentemente como modelo para o tempo de vida de certos produtos e materiais Uma va X tem distribuição exponencial com parâmetro λ 0 se sua fdp é dada por e λx 0 f x 0 λ Representação Gráfica de fx Figura 10 Gráfico da fdp da Exponencialλ Fonte Magalhães 2006 Notação X Expλ Propriedades EX 1λ VarX 1λ² Função de distribuição acumulada 1 e λx 0 F x 0 Figura 11 Gráfico da fda da Exponencialλ Fonte Magalhães 2006 57 VARIÁVEIS ALEATÓRIAS CONTÍNUAS PRINCIPAIS DISTRIBUIÇÕES UNIDADE IV É possível encontrarmos X Expα onde α 1λ estabelecendo a seguinte relação α parâmetro de escala λ parâmetro de taxa A fdp fica 1 e 0 f x 0 x x c c α α Vejamos alguns exemplos 1 O tempo entre paralisações não programadas em uma usina de energia elétrica tem uma distribuição exponencial com uma média de 20 dias Encontre a probabilidade de que o tempo entre duas paralisações não programáveis seja menor do que 14 dias e depois determine a probabilidade de que o tempo entre duas paralisações não programáveis seja menor do que 7 dias Seja X a va que representa o tempo entre paralisações não programadas em dias Então XExp 20 Queremos encontrar PX 14 então basta calcularmos PX 14 14 20x 280 0 20e dx e 1 Depois queremos PX 7 Seguindo o mesmo raciocínio chegaremos ao resultado e140 1 2 Um acidente de trabalho ocorre uma vez a cada 10 dias em média em uma montadora de automóveis Determine a probabilidade de que o próximo acidente ocorra em 10 dias Seja X a va que representa a ocorrência de acidente de trabalho em dias Então X Exp10 Logo PX 10 1 3 Chamadas telefônicas chegam à central de informações de uma grande companhia de software a uma taxa de 15 por hora Determine a probabilidade de que a próxima chamada chegue dentro de 3 minutos Vamos definir X a va que representa o número de chamadas telefônicas em uma hora Então X Exp15 Logo PX 005 05276 4 Suponha que a duração de um telefonema em minutos seja uma variável aleatória exponencial com parâmetro λ 110 Se alguém chega logo na sua frente em uma cabine telefônica determine a probabilidade de que você tenha que esperar 58 UNIDADE IV VARIÁVEIS ALEATÓRIAS CONTÍNUAS PRINCIPAIS DISTRIBUIÇÕES a mais de 10 minutos b entre 10 e 20 minutos Seja X a duração da chamada feita pela pessoa na cabine Então X Exp110 e as probabilidades desejadas são a PX 10 1 F10 e1 0368 b P10 X 20 F20 F10 0233 A distribuição Exponencial possui uma propriedade importante conhecida como perda de memória Podemos interpretar X como sendo o tempo de vida útil de algum instrumento Esta propriedade diz que a probabilidade do instrumento durar por pelo menos s t horas dado que ele tenha durado t horas é igual à probabilidade inicial de que ele dure por pelo menos s horas Em outras palavras se o instrumento tem a idade t a distribuição da quantidade de tempo restante que ele durará é igual à distribuição original de seu tempo de vida útil em outras palavras é como se o instrumento não se lembrasse de que já tenha sido usado por um tempo t Formalmente escrevemos PX s t X t P X s para todo s t 0 que é equivalente a escrevermos PX s t X t PX s PX t Ou PX s t PX sPX t Um breve resumo do conteúdo de vac é apresentado a seguir Uma variável aleatória cujo conjunto de valores possíveis é formado por um intervalo ou uma coleção de intervalos é dita ser contínua Se X é uma vac e existe uma função fx que satisfaz 1 f x 0 x 2 f x dx 1 então a função fx é chamada de função de densidade e probabilidade Em outras palavras sendo A um evento tal que A x a x b então 59 VARIÁVEIS ALEATÓRIAS CONTÍNUAS PRINCIPAIS DISTRIBUIÇÕES UNIDADE IV PA b a f x dx Se X é contínua então sua função distribuição F é derivável e d F x f x dx O valor esperado ou esperança de X é definido como sendo E X xf x e pode ser denotado por EX μx Uma propriedade importante envolvendo qualquer função g nos permite observar que E g X g x f x A variância é definida como sendo x 2 2 x x x Var X σ x f x Assim como no caso discreto uma identidade muito útil é VarX EX2 EX2 Por fim o desvio padrão indicado por σ nada mais é do que a raiz quadrada de VarX Aprendemos ainda as principais distribuições que envolvem as vac São elas Uniforme um número finito de resultados com chances iguais de acontecer X U α β se α β β α f x E mais EX α β2 VarX α β²12 e a fda é α α β β x α F x β α 60 UNIDADE IV VARIÁVEIS ALEATÓRIAS CONTÍNUAS PRINCIPAIS DISTRIBUIÇÕES Normal A va X tem distribuição normal com parâmetros µ média e σ² variância se sua fdp é dada por 2 2 2 1 1 x f x exp x σ 0 2 σ 2πσ Indicamos por X N µ σ² E mais EX µ VarX σ² e a fda é 2 x 2 1 1 t F x exp dt 2 σ 2πσ Ainda se µ 0 e σ² 1 temos a distribuição Normal Padrão ou Reduzida Indicamos a va como sendo Z N01 e sua fdp é dada por 2 1 z f z exp z 2 2π E sua fda é x 2 1 1 Φ Z P Z z exp t dt 2 2π Que como vimos também pode ser calculada diretamente pela tabela de probabilidades normais apresentada no Apêndice Exponencial função de taxa de falhas constantetempo de vida X Expλ se e λx 0 f x 0 λ E mais EX 1λ VarX 1λ² e sua fda é 1 e λx 0 F x 0 61 CAPÍTULO 5 Distribuição de uma função de VA Na maioria dos casos conhecemos a distribuição de probabilidade de uma va e estamos interessados em determinar a distribuição de alguma função dessa variável Por exemplo suponha que conhecemos a distribuição de X e queremos determinar a distribuição de gX Para fazer isso é necessário expressar o evento em que gX y em termos de X em algum conjunto Suponha que X seja uniformemente distribuído ao longo do intervalo 0l Obtemos a distribuição da va Y definida como Y Xn da seguinte maneira para 0 y 1 temos que FYy PY y PXn y PX y1n Fx y1n y1n Assim a fd de Y será dada por 1 n 1 Y 1 y 0 1 f y n 0 y c c Se X é uma vac com densidade de probabilidade fx então a distribuição de Y X2 é determinada fazendo para y 0 FYy PY y PX2 y P y X y Fx y Fx y E derivando obtemos Y X X 1 f y f y f y 2 y Mais intuitivamente a ideia seria considerarmos executar o experimento e observar w e Ω Calculamos Xw e Yw que são números reais Depois calculamos Z HXwYw ou seja Z também é va Alguns exemplos Z X Y Z X Y Z X Y Z XY Y 0 No caso de vad consideramos X e Y duas vad com fp conjunta pxy Para melhor compreensão da fp conjunta consulte MAGALHÃES M N Probabilidade e variáveis aleatórias 2 ed EDUSP 2006 pp 120124 62 UNIDADE IV VARIÁVEIS ALEATÓRIAS CONTÍNUAS PRINCIPAIS DISTRIBUIÇÕES Seja Z hXY Z também é discreta assumindo valores no contradomínio de h e sua fp é dada por ε Vejamos um exemplo Suponha que a fp conjunta de X e Y seja dada por PX 0 Y 0 14 PX 0 Y 1 18 PX 0 Y 2 18 PX 1 Y 0 14 PX 1 Y 1 0 PX 1 Y 2 14 Suponha também que queremos determinar a fd de Z X Y Os possíveis valores de Z são 0 1 2 e 3 Logo pela informação dada anteriormente sobre a fp conjunta de X e Y temos que PZ 0 14 PZ 1 38 PZ 2 18 PZ 3 14 No caso de vac é mais conveniente obter a função de distribuição Assim sejam X e Y duas vac com fdp conjunta fxy e seja Z hXY Temos então FZ z P Z z P h X Y z A fdp de Z pode ser obtida derivando a FZ z 63 VARIÁVEIS ALEATÓRIAS CONTÍNUAS PRINCIPAIS DISTRIBUIÇÕES UNIDADE IV A densidade pode ser obtida diretamente se for possível reescrever FZ z g w dw g w é a fdp de Z Vamos estudar o seguinte exemplo seja X uma vac com fdp fx 13 1 x 2 I Vamos determinar a fdp de Y eX Primeiramente vamos observar que Y será contínua e com valores no intervalo e e3 Então FYy 0 se y e e FYy 1 se y e3 Agora para e y e3 FYy logy 12 Portanto a densidade de Y será dada por fYy 3 e e 1 I 2y Há ainda outro método para o caso das vac conhecido como Método do Jacobiano Seja X uma vac com fdp fx 0 para a x b Suponha que y Hx seja uma função estritamente monótona crescente ou decrescente Admitese que H seja derivável e portanto contínua para todo x Então a va YHX possui a fdp 1 dx g y f H y dy Podemos aplicar este método considerando o seguinte sejam X1 X2 X3 va independentes com densidade N01 Vamos obter a densidade conjunta de Y1 Y2 e Y3 sendo que Y1 X1 X2 X3 Y2 X1 X2 Y3 X1 X3 Temos que a densidade conjunta de X é 2 i 3 x 2 X i i 1 1 f x e x i 123 2π Usando a notação Y gX segue que Y1 g1 X1 X2 X3 X1 X2 X3 64 UNIDADE IV VARIÁVEIS ALEATÓRIAS CONTÍNUAS PRINCIPAIS DISTRIBUIÇÕES Y2 g2 X1 X2 X3 X1 X2 Y3 g3 X1 X2 X3 X1 X3 Logo o Jacobiano será dado por 1 1 1 J x 1 1 0 3 1 0 1 E portanto Jhy1 13 Assim o sistema y1 x1 x2 x3 y2 x1 x2 y3 x1 x3 tem solução única dada por 1 2 3 1 1 1 2 3 y y y x h y y y 3 1 2 3 2 2 1 2 3 y 2y y x h y y y 3 1 2 3 3 3 1 2 3 y y 2y x h y y y 3 Sabendo que fY y fX x hy Jhy 1 Segue que 2 2 2 1 2 3 2 3 y 2y 2y 2y y 1 2 3 Y 32 i 1 f y e i 123 y 32π A partir desta densidade conjunta somos capazes de determinar as densidades marginais de interesse Para melhor compreensão deste método bem como exemplos de aplicação consulte MAGALHÃES M N Probabilidade e variáveis aleatórias 2 ed EDUSP 2006 pp 161167 65 UNIDADE V EXEMPLOS DOS MODELOS USANDO MICROSOFT EXCEL Nas unidades anteriores vimos como resolver exemplos envolvendo os modelos discretos e contínuos explicitamente Nesta unidade apresentaremos outros exemplos também envolvendo os modelos discretos e contínuos porém veremos como resolvêlos usando o Microsoft Excel Interessante observarmos que toda vez que o cursor estiver sobre a função desejada aparecerá um resumo contendo os argumentos usados na função e uma breve descrição sobre ela CAPÍTULO 1 Exemplos da distribuição binomial No Excel usamos a seguinte função DISTRBINOMnúmerostentativasprobabilidadescumulativo Onde números é o número de tentativas bemsucedidas Tentativas é o número de tentativas independentes Probabilidades é a probabilidade de sucesso em cada tentativa Cumulativo é um valor lógico verdadeiro ou falso que determina a forma da função Se cumulativo for VERDADEIRO DISTRBINOM retornará a função de distribuição cumulativa que é a probabilidade de que exista no máximo números sucessos se for FALSO retornará a função massa de probabilidade que é a probabilidade de que exista números sucessos 66 UNIDADE V EXEMPLOS DOS MODELOS USANDO MICROSOFT EXCEL A seguir apresentamos as figuras com o passo a passo para determinar as soluções Seguiremos sempre os passos 1 a 4 Depois de abrir o Excel 1 vá em Arquivo 2 depois em Mais funções 3 procure por Estatística 4 selecione a função desejada Figura 12 Passo a passo no Excel para encontrar a função desejada Fonte Excel 2010 A figura anterior nos mostra como chegamos na função da distribuição Binomial Veja que quando o cursor está nela a caixa com informações sobre a função sintaxe e descrição aparece automaticamente Feito isso aparecerá uma janela para introduzirmos os argumentos Estes mudarão conforme os exercícios 67 EXEMPLOS DOS MODELOS USANDO MICROSOFT EXCEL UNIDADE V Figura 13 Caixa onde deverão ser introduzidos os argumentos da função selecionada Fonte Excel 2010 Na Figura 13 ao preencher todos os argumentos da função desejada o resultado também já é informado como veremos mais adiante Agora que já aprendemos a sintaxe da Binomial no Excel vamos estudar os exemplos a seguir 1 Suponha que um uma fábrica numa determinada linha de produção a probabilidade de se obter uma peça defeituosa é p 01 Uma amostra de 10 peças é inspecionada Qual a probabilidade de encontrarmos uma peça defeituosa Solução Queremos encontrar PX1 em que X é a va que indica número de peças com defeito Temos então X Binomial10 01 Logo basta calcularmos f1 conforme expressão da seção 25 n x 10 1 x 1 n 10 P X 1 f 1 p 1 p 01 1 01 03874 x 1 No Excel como podemos ver nas figuras a seguir bastaria calcularmos DISTRBINOM númerostentativasprobabilidadescumulativo DISTRBINOM11001FALSO 68 UNIDADE V EXEMPLOS DOS MODELOS USANDO MICROSOFT EXCEL Figura 14 Passos para a função da Binomial Figura 15 Argumentos da função sendo informados de acordo com o exercício Fonte Excel 2010 Observe pela Figura 15 que ao preenchermos os argumentos da função o resultado já é mostrado Ao apertarmos o botão OK o resultado irá para a célula da planilha selecionada conforme vemos na seguinte figura 69 EXEMPLOS DOS MODELOS USANDO MICROSOFT EXCEL UNIDADE V Figura 16 Resultado da função na planilha Fonte Excel 2010 Resposta A probabilidade de encontrarmos uma peça defeituosa é 038742 2 E se no exemplo anterior estivéssemos interessados em encontrar duas peças defeituosas Solução Ora queremos encontrar agora PX2 Analogamente n x 10 2 x 2 n 10 P X 2 f 2 p 1 p 01 1 01 01937 x 2 No Excel como podemos ver nas figuras a seguir bastaria calcularmos DISTRBINOM21001FALSO Figura 17 Argumentos da função sendo informados de acordo com o exercício Fonte Excel 2010 70 UNIDADE V EXEMPLOS DOS MODELOS USANDO MICROSOFT EXCEL Figura 18 Resultado da função na planilha Fonte Excel 2010 Resposta A probabilidade de encontrarmos duas peças defeituosas é 019371 3 Suponha agora que para o mesmo exercício estamos interessados na probabilidade de obtermos no máximo duas peças defeituosas Solução Agora queremos encontrar PX 2 DISTRBINOM21001VERDADEIRO Figura 19 Argumentos da função sendo informados de acordo com o exercício Fonte Excel 2010 71 EXEMPLOS DOS MODELOS USANDO MICROSOFT EXCEL UNIDADE V Figura 20 Resultado da função na planilha Fonte Excel 2010 Resposta A probabilidade de encontrarmos no máximo duas peças defeituosas é 0929809 4 O professor da disciplina de Estatística elaborou uma prova de múltipla escolha composta de 10 questões cada uma com 5 alternativas Aprovação na disciplina requer pelo menos 6 questões corretas Se um aluno responde a todas as questões baseado em palpite chute qual a probabilidade de ser aprovado Solução Primeiramente vamos identificar a va Seja X a va número de questões respondidas corretamente nas 10 questões Neste problema podemos definir dois eventos S questão respondida corretamente PS 15 F questão respondida incorretamente PF 45 Logo temos que X Binomial10p Como queremos a probabilidade de aprovação queremos encontrar PX 6 1 PX 5 Vamos então encontrar PX 5 72 UNIDADE V EXEMPLOS DOS MODELOS USANDO MICROSOFT EXCEL Note que deveremos calcular DISTRBINOM51002VERDADEIRO Seguindo os passos 14 e preenchendo os argumentos segue que Figura 21 Argumentos da função sendo informados de acordo com o exercício Fonte Excel 2010 Pela Figura 21 vimos como calcular PX 5 Porém no exemplo devemos ainda fazer 1 PX 5 indicado na Figura 22 abaixo Figura 22 Cálculo final da probabilidade pedida no exercício Fonte Excel 2010 73 EXEMPLOS DOS MODELOS USANDO MICROSOFT EXCEL UNIDADE V Figura 23 Resposta final Fonte Excel 2010 Resposta A probabilidade de aprovação é de 0006369 5 Um fabricante adquire certo tipo de componente de um fornecedor Segundo este fornecedor a proporção de componentes defeituosos é 2 O fabricante seleciona 15 componentes de um lote para inspeção Qual a probabilidade de que seja encontrado pelo menos um componente defeituoso neste lote Solução Neste exercício definimos a va X como sendo o número de componentes defeituosos em n 15 componentes Do enunciado temos que a probabilidade de sucesso ou seja de selecionar um componente defeituoso é de 002 Logo supondo independência X Binomial 15 002 Queremos calcular PX 1 1 PX 1 Então devemos fazer DISTRBINOM 0 15 002 FALSO 74 UNIDADE V EXEMPLOS DOS MODELOS USANDO MICROSOFT EXCEL No Excel Figura 24 Argumentos da função sendo informados de acordo com o exercício Fonte Excel 2010 Figura 25 Cálculo da probabilidade final Fonte Excel 2010 75 EXEMPLOS DOS MODELOS USANDO MICROSOFT EXCEL UNIDADE V Figura 26 Resultado da função na planilha Fonte Excel 2010 Resposta A probabilidade de encontrar pelo menos um componente defeituoso no lote é 026 6 Suponha que no ex 5 o fabricante adquire 10 lotes por mês e de cada lote são selecionados 15 componentes para inspeção Qual a probabilidade de que sejam encontrados três lotes com pelo menos um componente defeituoso Solução Novamente definimos a va Y como sendo o número de lotes com pelo um componente defeituoso em n 10 lotes Note que agora a probabilidade de sucesso é a probabilidade encontrada no ex 5 ou seja p 026 Logo supondo independência Y Binomial10 026 Queremos encontrar PY 3 No Excel DISTRBINOM3 10 0261 FALSO 76 UNIDADE V EXEMPLOS DOS MODELOS USANDO MICROSOFT EXCEL Figura 27 Argumentos da função sendo informados de acordo com o exercício Fonte Excel 2010 Figura 28 Resultado da função na planilha Fonte Excel 2010 Resposta A probabilidade de encontrarmos três lotes com pelo menos um componente defeituoso é 0256 Nas demais seções serão apresentados exemplos de acordo com os respectivos modelos O uso do Excel para as resoluções seguirá os mesmos passos 1 a 4 que vimos até agora O que mudará será a função que selecionaremos no passo 4 77 CAPÍTULO 2 Exemplos da distribuição Poisson Na distribuição de Poisson o comando em Excel segue a seguinte sintaxe DISTPOISSONxmédiacumulativo E tem os seguintes argumentos x é o número de eventos média é o valor numérico esperado cumulativo é um valor lógico que determina a forma da distribuição de probabilidade fornecida Se cumulativo for VERDADEIRO DISTPOISSON retornará a probabilidade Poisson de que o número de eventos aleatórios estará entre zero e x inclusive se FALSO retornará a função massa da probabilidade Poisson de que o número de eventos será equivalente a x Figura 29 Passos para a função da Poisson Fonte Excel 2010 Vamos aos exemplos 1 As chegadas a um posto de atendimento ocorrem de forma independente seguindo a distribuição de Poisson Suponha que a média de chegadas é 3 a cada 4 minutos 78 UNIDADE V EXEMPLOS DOS MODELOS USANDO MICROSOFT EXCEL Qual é a probabilidade de que este posto receba no máximo 2 solicitações em um intervalo de 2 minutos Solução Seja X a va que representa número de chegadas ao posto a cada 2 minutos Então X Poisson15 pois temos t2 minutos e a taxa é de ¾ 075 Logo o parâmetro da Poisson será 2 075 15 Queremos calcular PX 2 Ou seja devemos calcular PX 0 PX 1 PX 2 Usando a fórmula vista na seção 26 segue que P X 2 P X 0 P X 1 P X 2 15 0 15 1 15 2 e 15 e 15 e 15 0809 0 1 2 No Excel POISSON215 VERDADEIRO Figura 30 Argumentos da função sendo informados de acordo com o exercício Fonte Excel 2010 79 EXEMPLOS DOS MODELOS USANDO MICROSOFT EXCEL UNIDADE V Figura 31 Resultado da função na planilha Fonte Excel 2010 Resposta a probabilidade de que este posto receba no máximo 2 solicitações em um intervalo de 2 minutos é 0809 2 O número de pedidos de empréstimos que um banco recebe por dia é uma variável aleatória sendo que em média são recebidos 75 empréstimos por dia Determine a probabilidade de que em um dia qualquer o banco receba exatamente 2 pedidos de empréstimo Solução Seja X a va que indica o número de pedidos de empréstimos que o banco recebe por dia Então de acordo com o enunciado X Poisson75 Queremos calcular PX 2 Assim como feito no exercício anterior basta calcularmos f2 ou seja 75 2 e 75 P X 2 00156 2 No Excel POISSON275 FALSO 80 UNIDADE V EXEMPLOS DOS MODELOS USANDO MICROSOFT EXCEL Figura 32 Argumentos da função sendo informados de acordo com o exercício Fonte Excel 2010 Figura 33 Resultado da função na planilha Fonte Excel 2010 Resposta a probabilidade de que em um dia qualquer o banco receba exatamente 2 pedidos de empréstimo é 00156 3 Seguindo as informações do ex anterior determine agora a probabilidade de que em um dia qualquer o banco receba no máximo 2 pedidos de empréstimo Solução 81 EXEMPLOS DOS MODELOS USANDO MICROSOFT EXCEL UNIDADE V Analogamente queremos agora calcular PX 2 Ou seja queremos calcular P X 2 P X 0 P X 1 P X 2 75 0 75 1 75 2 e 75 e 75 e 75 00203 0 1 2 No Excel POISSON275 VERDADEIRO Figura 34 Argumentos da função sendo informados de acordo com o exercício Fonte Excel 2010 Figura 35 Resultado da função na planilha Fonte Excel 2010 82 UNIDADE V EXEMPLOS DOS MODELOS USANDO MICROSOFT EXCEL Resposta agora a probabilidade de que em um dia qualquer o banco receba no máximo 2 pedidos de empréstimo é 00203 4 Seguindo as informações do ex anterior determine agora a probabilidade de que em um dia qualquer o banco receba no mínimo 8 pedidos de empréstimo Solução Analogamente queremos agora calcular PX 8 Ou seja queremos calcular 75 2 7 0 e 75 P X 8 1 P X 8 1 F 7 1 04754 2 x No Excel podemos calcular de 2 maneiras diferentes A primeira é fazer 1 DISTPOISSON775VERDADEIRO Figura 36 Argumentos da função sendo informados de acordo com o exercício Fonte Excel 2010 A segunda seria montar uma tabela com as probabilidades PXx PX x e depois calcular diretamente com o valor obtido como vemos nas figuras seguintes 83 EXEMPLOS DOS MODELOS USANDO MICROSOFT EXCEL UNIDADE V Figura 37 Argumentos da função sendo informados para montar as probabilidades do tipo PX x Fonte Excel 2010 Figura 38 PXx calculada e inserida na planilha Fonte Excel 2010 84 UNIDADE V EXEMPLOS DOS MODELOS USANDO MICROSOFT EXCEL Primeiro calculamos PXx como nas Figuras 37 e 38 acima Figura 39 Arrastando a função para completar a tabela Fonte Excel 2010 Feito isto arrastamos para o cálculo da tabela completa como mostra a Figura 38 acima Figura 40 Argumentos para cálculo da função acumulada Fonte Excel 2010 85 EXEMPLOS DOS MODELOS USANDO MICROSOFT EXCEL UNIDADE V A seguir obtemos as probabilidades acumuladas como observamos na anterior Observe que somente o último argumento da função foi alterado para este cálculo Figura 41 Cálculo da probabilidade final Fonte Excel 2010 Por fim calculamos o complementar Figura 42 Resultado da função na planilha Fonte Excel 2010 86 UNIDADE V EXEMPLOS DOS MODELOS USANDO MICROSOFT EXCEL Resposta a probabilidade de que em um dia qualquer o banco receba no mínimo 8 pedidos de empréstimo é 0475361 5 Contaminação é um problema de fabricação de discos ópticos O número de partículas de contaminação que ocorrem em um disco óptico tem uma distribuição de Poisson e o número médio de partículas por cm2 de superfície é 01 A área da superfície do disco em estudo é 100 cm2 Encontre a probabilidade de que 12 partículas sejam encontradas em um disco Solução Vamos considerar a va X como sendo o número de partículas na superfície do disco Então X Poisson10 pois do enunciado a área do disco é t 100 cm2 e o número médio de partículas é 01 Queremos calcular PX 12 Pelo Excel temos DISTPOISSON1210FALSO Figura 43 Argumentos da função sendo informados de acordo com o exercício Fonte Excel 2010 87 EXEMPLOS DOS MODELOS USANDO MICROSOFT EXCEL UNIDADE V Figura 44 Resultado da função na planilha Fonte Excel 2010 Resposta a probabilidade de que 12 partículas sejam encontradas em um disco é 0095 88 CAPÍTULO 3 Exemplos da distribuição hipergeométrica Na distribuição Hipergeométrica o comando em Excel segue a seguinte sintaxe DISTHIPERGEOMNamostrasamostranúmpopulaçãosnúm populaçãocumulativo E tem os seguintes argumentos amostras é o número de sucessos em uma amostra amostranúm é o tamanho da amostra populaçãos é o número de sucessos na população númpopulação é o tamanho da população cumulativo é m valor lógico que determina a forma da função Se cumulativo for VERDADEIRO DISTHIPERGEOMN retornará a função de distribuição cumulativa se for FALSO retornará a função de probabilidade de massa Figura 45 Passos para a função da Hipergeométrica Fonte Excel 2010 A distribuição Hipergeométrica é mais usada normalmente em problemas que envolvem controle de qualidade Desta forma apresentaremos menos exercícios pois o raciocínio usado nas resoluções será sempre o mesmo 89 EXEMPLOS DOS MODELOS USANDO MICROSOFT EXCEL UNIDADE V Vejamos alguns exemplos 1 Em um departamento de inspeção de recebimento lotes de eixo de bomba são recebidos periodicamente Os lotes contêm 100 unidades e o seguinte plano de amostragem de aceitação é usado selecionase uma amostra de 10 unidades sem reposição o lote é aceito se a amostra tiver no máximo um eixo defeituoso Suponha que um lote seja recebido e que 5 dos itens sejam defeituosos Qual a probabilidade de que o lote seja aceito Solução Vamos identificar a va X do exercício como sendo o número de eixos defeituosos na amostra De acordo com o enunciado temos N 100 população total M 5 porcentagem de eixos defeituosos e n 10 amostra selecionada Então X H100 5 10 Estamos interessados em determinar PX 1 Por meio da fórmula vista anteriormente segue que 5 95 5 95 0 10 1 9 P X 1 P X 0 P X 1 092 100 100 10 10 Em Excel deveremos fazer o cálculo para cada probabilidade e depois somálas DISTHIPERGEOMN0105100FALSO DISTHIPERGEOMN 1105100FALSO 90 UNIDADE V EXEMPLOS DOS MODELOS USANDO MICROSOFT EXCEL Figura 46 Argumentos da função sendo informados de acordo com o exercício para calcularmos PX0 Fonte Excel 2010 Figura 47 Argumentos da função sendo informados de acordo com o exercício para calcularmos PX 1 Fonte Excel 2010 Figura 48 Cálculo do resultado da probabilidade na planilha Fonte Excel 2010 91 EXEMPLOS DOS MODELOS USANDO MICROSOFT EXCEL UNIDADE V Pela Figura 48 a resposta final será a soma das probabilidades PX 0 PX 1 Figura 49 Resultado da função na planilha Fonte Excel 2010 Resposta a probabilidade de que o lote seja aceito é 0923 2 Suponha que 3 moedas comemorativas foram colocadas por engano em um cofrinho que já continha algumas moedas e agora passou a ter um total de 12 moedas Suponha que devido à dificuldade de tirar as moedas do cofrinho sem quebrálo vamos retirar ao acaso um total de 4 moedas Qual a probabilidade de retirarmos no mínimo 1 moeda comemorativa Solução Seja X a va que representa o número de moedas comemorativas retiradas do cofrinho Neste problema temos N 12 população total de moedas M 3 total de moedas comemorativas e n 4 total de retiradas Logo X H12 3 4 e estamos interessados no cálculo de PX 1 que é dado por 1 PX 1 1 PX 0 Assim pelo Excel fazemos DISTHIPERGEOMN04312FALSO 92 UNIDADE V EXEMPLOS DOS MODELOS USANDO MICROSOFT EXCEL Figura 50 Argumentos da função sendo informados de acordo com o exercício Fonte Excel 2010 Figura 51 Resultado da função na planilha Fonte Excel 2010 Obtivemos PX 0 Agora basta calcularmos o complementar Resposta a probabilidade de retirarmos no mínimo 1 moeda comemorativa é 0745455 93 CAPÍTULO 4 Exemplos da distribuição uniforme A distribuição Uniforme não está definida no Excel Desta forma nesta seção apresentaremos exercícios que serão resolvidos com base na fórmula já vista na apresentação desta distribuição 1 A dureza de uma peça de aço pode ser pensada como sendo uma variável aleatória uniforme no intervalo 5070 unidades Qual a probabilidade de que uma peça tenha dureza entre 55 e 60 Solução Seja X a va que representa a dureza de uma peça de aço Pelo enunciado do exercício temos que X U5070 Queremos então encontrar P55 X 60 Como estamos num caso contínuo a probabilidade pedida é calculada da seguinte maneira 60 55 1 5 P 55 X 60 dx 025 70 50 20 Resposta a probabilidade de que uma peça tenha dureza entre 55 e 60 é 025 2 A ocorrência de panes em qualquer ponto de uma rede telefônica de 7 km foi modelada por uma distribuição Uniforme no intervalo 07 Qual é a probabilidade de que uma pane venha a ocorrer nos primeiros 800 metros Solução Seja X a va que representa a ocorrência de panes da rede telefônica Pelo enunciado do exercício temos que X U07 Observe que aqui temos uma diferença nas unidades 7km 800 metros Então deixaremos tudo na unidade km Assim a probabilidade pedida nada mais é do que calcular PX 08 94 UNIDADE V EXEMPLOS DOS MODELOS USANDO MICROSOFT EXCEL Como estamos num caso contínuo a probabilidade pedida é calculada da seguinte maneira 08 0 1 P X 08 dx 01142 7 Resposta a probabilidade ocorrer pane nos primeiros 800 metros é 01142 3 Com base no exercício anterior qual a probabilidade de que ocorra pane nos 3km centrais da rede Solução Analogamente basta calcularmos P2 X 5 5 2 1 P 2 X 5 dx 04285 7 Resposta a probabilidade ocorrer pane nos 3km centrais é 04285 95 CAPÍTULO 5 Exemplos da distribuição normal Temos dois tipos de distribuição Normal que são abordadas no curso A distribuição Normal e a Normal Padrão como definidas anteriormente Assim sintaxe da distribuição Normal no Excel é dada por DISTNORMNx média desvpadrão cumulativo E tem os seguintes argumentos x é o valor cuja distribuição pretende obter média é a média aritmética da distribuição desvpadrão é o desviopadrão da distribuição Cumulativo é um valor lógico que determina a forma da função A sintaxe da distribuição Normal Padrão no Excel é dada por DISTNORMPNz cumulativo E tem os seguintes argumentos z é o valor cuja distribuição pretende obter Cumulativo é um valor lógico que determina a forma da função Na Normal Padrão não é necessário informarmos média e desvio pois eles sempre valerão 0 e 1 respectivamente Em ambas as sintaxes se cumulativo for VERDADEIRO DISTNORMAL devolve a função cumulativa de distribuição se for FALSO devolve a função de densidade de probabilidade 96 UNIDADE V EXEMPLOS DOS MODELOS USANDO MICROSOFT EXCEL Figura 52 Passos para a função da Normal Fonte Excel 2010 Na Figura 52 vamos as duas possibilidades que temos de funções normais para usarmos nos exercícios Na maioria das vezes utilizaremos sempre a da Normal Padrão Vimos no Capítulo 2 da Unidade IV como fazer o cálculo de probabilidades normais Por meio da Normal Padrão com o auxílio de tabelas Nos próximos exemplos veremos como podemos obter os valores diretamente usando o Excel Vejamos então alguns exemplos 1 Seja a va Z tal que Z N01 Determinar PZ 180 2 Seja a va Z tal que Z N01 Determinar P080 Z 140 3 Seja a va Z tal que Z N01 Determinar PZ 057 4 Seja a va Z tal que Z N01 Determinar o valor de k tal que PZ k 005 Solução 1720 via tabela Da tabela do Apêndice B teríamos PZ 180 Ф180 09641 P080 Z 140 Ф140 Ф080 0919207881 01311 97 EXEMPLOS DOS MODELOS USANDO MICROSOFT EXCEL UNIDADE V PZ 057 1 PZ 057 1 02843 07127 O valor de k tal que PZ k 005 k 164 Solução 1720 via Excel Pelo Excel basta usarmos os comandos ilustrados a seguir PZ 180 DISTNORMPN18VERDADEIRO Figura 53 Argumentos da função sendo informados de acordo com o exercício Fonte Excel 2010 P080 Z 140 DISTNORMPN14VERDADEIRO DIST NORMPN 08VERDADEIRO Figura 54 Argumentos da função sendo informados de acordo com o exercício 98 UNIDADE V EXEMPLOS DOS MODELOS USANDO MICROSOFT EXCEL Fonte Excel 2010 PZ 057 1 PZ 057 1DISTNORMPN 057VERDADEIRO Figura 55 Argumentos da função sendo informados de acordo com o exercício Fonte Excel 2010 O valor de k tal que PZ k 005 INVNORMPN005 Figura 56 Argumentos da função sendo informados de acordo com o exercício Fonte Excel 2010 99 EXEMPLOS DOS MODELOS USANDO MICROSOFT EXCEL UNIDADE V Note que para resolvermos esta questão estamos usando outra função INV NORMPN Aqui informamos diretamente o valor da probabilidade que já nos foi passada no exercício Considere X uma va N90100 Determine P80 X 100 Solução Este ex será resolvido de duas maneiras A primeira será usando a Normal Padrão juntamente com o Excel A segunda será usando o Excel diretamente com a Normal que nos foi passada Temos que X N90100 Vimos que em casos assim usamos a padronização X Z σ Onde Z N01 Assim teremos então 80 90 X 100 90 P 80 X 100 P 10 σ 10 P 1 Z 1 1 1 08143 01586 06826 Usamos o Excel para obter os valores de 1 e 1 que poderíamos obter da tabela também através dos comandos DISTNORMPN1VERDADEIRO e DISTNORMP N1VERDADEIRO Que estão ilustrados a seguir Figura 57 Argumentos da função sendo informados de acordo com o exercício 100 UNIDADE V EXEMPLOS DOS MODELOS USANDO MICROSOFT EXCEL Fonte Excel 2010 Agora vamos resolver usando diretamente a N80100 Lembrando queremos P80 X 100 Por meio do Excel usaremos agora os comandos DISTNORMN809010VERDADEIRO e DISTNORMN1009010VERDADEIRO Figura 58 Argumentos da função sendo informados de acordo com o exercício Fonte Excel 2010 101 EXEMPLOS DOS MODELOS USANDO MICROSOFT EXCEL UNIDADE V Fazendo 08413 01586 06826 chegaremos na mesma resposta Com base no ex anterior determinar PX 90 30 Solução Observe que temos um módulo na probabilidade pedida Vamos então abrilo e usarmos a Normal Padrão da seguinte forma PX 90 30 P30 X 90 30 Note que temos X 90 na expressão anterior o que equivale a X µ Então dividindo por σ obteremos a padronização vista anteriormente e poderemos usar a normal padrão 30 90 30 P 30 X 90 30 3 3 10 10 10 X X P P µ σ P 3 Z 3 3 3 09987 00013 09974 Por meio do Excel usamos DISTNORMPN3VERDADEIRO e DISTNORMP N3VERDADEIRO Figura 59 Argumentos da função sendo informados de acordo com o exercício Fonte Excel 2010 102 UNIDADE V EXEMPLOS DOS MODELOS USANDO MICROSOFT EXCEL O tempo necessário para produzir um lote de itens tem distribuição normal com média 120 minutos e desvio padrão 15 minutos Sorteandose um lote produzido qual a probabilidade de que tempo de produção seja inferior a 100 minutos Solução Considerando X a va que representa o tempo para produção de um lote de itens segue do enunciado que X N12015² Queremos PX 100 Vamos usar a normal padrão Para isso fazemos X 100 120 P X 100 P P Z 133 133 00918 σ 15 Usamos o comando DISTNORMPN133VERDADEIRO conforme figura a seguir Figura 60 Argumentos da função sendo informados de acordo com o exercício Fonte Excel 2010 Considerando o ex anterior qual o tempo correspondente à produção de 95 dos itens Solução Estamos interessados em encontrar x tal que PX x 095 Seguindo o mesmo raciocínio que estamos usando X x 120 x 120 P P Z 095 σ 15 15 103 EXEMPLOS DOS MODELOS USANDO MICROSOFT EXCEL UNIDADE V Vamos encontrar Фz 095 z 164 Usamos o comando INVNORMPN095 conforme a seguinte figura Figura 61 Argumentos da função sendo informados de acordo com o exercício Fonte Excel 2010 Assim x 120 164 15 1446 min No Excel basta fazer 120 INVNORMPN095 15 A altura dos alunos da Unyleya é normalmente distribuída com a média de 170 cm e desvio padrão 5 cm Determine a probabilidade de um aluno aleatoriamente selecionado ter altura entre 170 e 175 cm Solução Seja X a va que representa a altura dos alunos Então X N170 25 Queremos P170 X 175 Vamos resolver usando a Normal Padrão 170 170 X 175 170 P 170 X 175 P 5 σ 5 P 0 Z 1 084 05 034 Para encontrarmos os valores correspondentes de P0 Z 1 fazemos Figura 62 Argumentos da função sendo informados de acordo com o exercício 104 UNIDADE V EXEMPLOS DOS MODELOS USANDO MICROSOFT EXCEL Fonte Excel 2010 Uma variedade de soja sofrendo de certa praga é submetida a um controle intensivo cujo tempo foi modelado por uma densidade normal com média 15 e desvio padrão 2 em dias Qual a probabilidade de que esta variedade demore mais do que 17 dias para o extermínio total da praga Solução Seja X a va que mede o tempo do controle intensivo para extermínio de praga Então X N15 4 Queremos PX 17 Ou equivalentemente 1 PX 17 Novamente usaremos a normal padrão X 17 15 P P Z 1 08413 σ 2 Logo a probabilidade de demorar mais do que 17 dias é de 01587 O peso de uma caixa de peças é uma va normal com média 65 kg e desvio padrão de 4 kg Um carregamento de 120 caixas de peças é despachado Qual a probabilidade de que a carga pese entre 7893 kg e 7910 kg Solução Seja Xi a va que representa o peso da iésima caixa de peças Então Xi N6516 para i1n Note que um carregamento de 120 caixas pode ser representado pela vaY como sendo Y X1 X2 X3 X120 Neste caso n 120 Então pelo 4o resultado visto anteriormente segue que Y N12065 12016 Assim queremos calcular P7893 Y 7910 105 EXEMPLOS DOS MODELOS USANDO MICROSOFT EXCEL UNIDADE V Novamente usaremos a normal padrão 7893 7800 Y 7910 7800 P 7893 Y 7910 P σ 1920 1920 P 212 Z 251 251 212 09939 09829 00110 Usando o Excel Figura 63 Argumentos da função sendo informados de acordo com o exercício Fonte Excel 2010 106 CAPÍTULO 6 Exemplos de geração de dados que seguem uma distribuição normal O Excel nos traz a opção de gerar números aleatórios que sigam determinadas distribuições Aqui apresentaremos uma maneira de fazer isso usando a distribuição normal Vamos gerar os números aleatórios que venham de uma Normal5010 Usaremos os seguintes comandos INVNORMNALEATÓRIOB4B5 nos dará o valor correspondente a distribuição com a média e desvio padrão fornecidos DISTNORMNA8B4B5FALSO nos dará o valor da probabilidade correspondente ao valor previamente gerado Note que aqui as células estão referenciadas de acordo com o que fizemos pela planilha Figura 64 Como gerar números aleatórios da distribuição normal com parâmetros fixados Fonte Excel 2010 107 EXEMPLOS DOS MODELOS USANDO MICROSOFT EXCEL UNIDADE V Vemos pela Figura 64 anterior como gerar os valores aleatórios Veremos na Figura 65 abaixo como calcular suas respectivas probabilidades Figura 65 Como calcular as probabilidades dos números aleatórios da distribuição normal com parâmetros fixados Fonte Excel 2010 Após fazermos isso podemos plotar o gráfico para confirmarmos que os dados realmente seguem a distribuição normal Observe pela figura a seguir como ficou em forma de sino uma das características da curva da normal Figura 66 Como fazer o gráfico dos dados gerados Fonte Excel 2010 108 UNIDADE V EXEMPLOS DOS MODELOS USANDO MICROSOFT EXCEL Para fazer o gráfico basta selecionar os dados e seguir os passos Arquivo Inserir Dispersão conforme indicado na Figura 66 anterior 109 CAPÍTULO 7 Exemplos da distribuição exponencial A sintaxe da distribuição Exponencial no Excel é dada por DISTREXPONxlambdacumulativo E tem os seguintes argumentos x é o valor da função lambda é o valor do parâmetro cumulativo é um valor lógico que indica a forma da função exponencial a ser fornecida Se cumulativo for VERDADEIRO DISTREXPON retornará a função de distribuição cumulativa se for FALSO retornará a função de densidade de probabilidade Figura 67 Passos para a função da Exponencial Fonte Excel 2010 Vejamos alguns exemplos O tempo de vida de um tipo de fusível segue uma distribuição exponencial com vida média de 100 horas Cada fusível tem um custo de R100 e se durar menos de 200 horas há um custo adicional de R80 Qual é a probabilidade de um fusível durar mais de 150 horas 110 UNIDADE V EXEMPLOS DOS MODELOS USANDO MICROSOFT EXCEL Solução Seja X a va que indica o tempo de vida do fusível Então temos do enunciado que X Exp001 pois foi dito que a vida média é de 100 horas isto é EX 100 Como é uma exponencial vimos pelas propriedades que EX 1λ 100 λ 001 Logo queremos encontrar PX 150 150 100 P X 150 1 P X 150 1 1 e 0223 Pelo Excel DISTREXPON150001VERDADEIRO Figura 68 Argumentos da função sendo informados de acordo com o exercício Fonte Excel 2010 Figura 69 Resultado da função na planilha Fonte Excel 2010 Basta fazermos agora 1 077687 111 EXEMPLOS DOS MODELOS USANDO MICROSOFT EXCEL UNIDADE V Resposta a probabilidade de um fusível durar mais de 150 horas é 0223 O tempo até a falha do ventilador de motores a diesel tem uma distribuição Exponencial com parâmetro λ 128700 horas Qual a probabilidade de um destes ventiladores falhar nas primeiras 24000 horas de funcionamento Solução Seja X a va que representa o tempo até a falha do ventilador Pelo enunciado temos que X Exp128700 Queremos encontrar P0 X 24000 Pelo Excel temos que DISTREXPON24000127800VERDADEIRO Figura 70 Argumentos da função sendo informados de acordo com o exercício Fonte Excel 2010 Figura 71 Resultado da função na planilha Fonte Excel 2010 112 UNIDADE V EXEMPLOS DOS MODELOS USANDO MICROSOFT EXCEL Resposta a probabilidade de um destes ventiladores falhar nas primeiras 24000 horas de funcionamento é 0578 Suponha que o tempo de resposta em um terminal de computador online tempo entre o final da consulta do usuário e o começo da resposta do sistema tenha distribuição exponencial com tempo de resposta esperado igual a 5 segundos Qual a probabilidade de o tempo de resposta ser no máximo 10 segundos Solução Seja X a va que representa o tempo de resposta do terminal Então seguindo raciocínio análogo ao ex anterior X Exp15 pois o tempo de resposta esperado é de 5 segundos ou seja EX 5 Queremos encontrar PX 10 No Excel fazemos DISTREXPON1015VERDADEIRO Figura 72 Argumentos da função sendo informados de acordo com o exercício Fonte Excel 2010 113 EXEMPLOS DOS MODELOS USANDO MICROSOFT EXCEL UNIDADE V Figura 73 Resultado da função na planilha Fonte Excel 2010 Resposta a probabilidade de o tempo de resposta ser no máximo 10 segundos é 0865 Uma empresa está gastando muito com reposição de lâmpadas e encomendou para a manutenção um estudo de confiabilidade que indique a vida útil das lâmpadas A empresa descobriu que as lâmpadas duram 100 horas Determine a probabilidade de a lâmpada queimar entre 0 e 10 horas de uso Solução Analogamente ao que fizemos seja X a va que representa a vida útil da lâmpada Temos que X Exp100 Queremos encontrar P0 X 10 ou seja 1 PX 10 Segue que DISTREXPON101100VERDADEIRO 114 UNIDADE V EXEMPLOS DOS MODELOS USANDO MICROSOFT EXCEL Figura 74 Argumentos da função sendo informados de acordo com o exercício Fonte Excel 2010 Figura 75 Resultado da função na planilha Fonte Excel 2010 Agora basta calcularmos 10905 Resposta a probabilidade de a lâmpada queimar entre 0 e 10 horas de uso é 0095 115 EXEMPLOS DOS MODELOS USANDO MICROSOFT EXCEL UNIDADE V Quando falamos em tecnologia LCD existem diversos aspectos que podem interessar ao usuário Se o intuito for jogar videogame por exemplo uma característica que deve ser observada é o tempo de resposta do aparelho O tempo de resposta é aquele em que o monitor de LCD muda completamente a imagem da tela Este fator é importante pois caso não seja rápido o suficiente teremos efeitos indesejados como objetos fantasmas ou sombra nos movimentos do jogo Supondo que esse tempo de resposta tenha distribuição exponencial com média igual a 5 milissegundos qual a probabilidade de o tempo de resposta ser de no máximo 10 milissegundos Solução A solução se dá de forma análoga ao que fizemos até agora X é a va que representa o tempo de resposta do aparelho e portanto X Exp15 Queremos PX 10 Então basta calcularmos DISTREXPON1015VERDADEIRO Figura 76 Argumentos da função sendo informados de acordo com o exercício Fonte Excel 2010 Resposta qual a probabilidade de o tempo de resposta ser de no máximo 10 milissegundos é 0865 O tempo de vida de um transistor segue uma distribuição exponencial com parâmetro 1500 Determine a média de vida do transistor Solução Temos do enunciado que sendo X a va que representa o tempo de vida do transistor X Exp1500 Logo das propriedades vistas anteriormente neste material estamos interessados em obter EX que neste caso vale 500 116 UNIDADE V EXEMPLOS DOS MODELOS USANDO MICROSOFT EXCEL Resposta a média de vida do transistor é 500 Considerando o ex anterior qual a probabilidade de que o tempo de vida do transistor seja maior que a sua média Solução Queremos encontrar PX 500 ou seja 1 PX 500 Pelo Excel vamos obter PX 500 e depois calcular o complementar DISTREXPON5001500VERDADEIRO Figura 77 Argumentos da função sendo informados de acordo com o exercício Fonte Excel 2010 Agora basta calcularmos 1 0632 Resposta a probabilidade de que o tempo de vida do transistor seja maior que a sua média é 0368 117 Referências BUSSAB W O MORETTIN P A Estatística básica 4 ed São Paulo 1987 CANCHO V G Notas de aulas ICMCSCUSP COBRE J Notas de aulas ICMCSCUSP DANTAS C AB Probabilidade um curso introdutório 2 ed EDUSP 2000 JAMES B Probabilidade um curso em nível intermediário Instituto de Matemática Pura e Aplicada CNPq 1981 v 12 MAGALHÃES M N Probabilidade e variáveis aleatórias 2 ed EDUSP 2006 MEYER PL Probabilidade aplicações à estatística 2 ed Rio de Janeiro LTC 2003 426p MONTGOMERY D C GOLDSMAN D M HINES W W Probabilidade e estatística na engenharia 4 ed LTC 2006 ROSS S A First course in probability 4 ed PrenticeHall 1994 WALPOLE R E Essentials of probability and statistics for engineers and scientists 2013 Sites httpwwwportalactioncombr Acesso em maio2018 httpssupportofficecom Acesso em junho2018 httpswwwsomatematicacombr Acesso em agosto2018 118 Anexos Apêndice A Resumo das Principais Distribuições Apêndice B Tabela da Normal Padrão Apêndice A Apresentamos a seguir um resumo das distribuições vistas neste curso Distribuição Notação Parâmetros FDP E Var Binomial Binomial n p n no de ensaios de Bernoulli p probabilidade de sucesso n x x n f x p 1 p x x 012 np np1p Poisson Poissonλ λ taxa de ocorrência por unidade λ e λk P X k k k 01 2 3 λ λ Hiper geométrica HNMn N população M elementos do tipo sucesso n amostra aleatória sorteada M N M x n x f x N n max 0 n N M x min nM M n N N n M M n 1 N N N 1 Uniforme Uαβ α β intervalos 1 f x β α α x β α β 2 2 α β 12 Normal N µ σ² µ média σ² variância 2 2 1 1 x f x exp 2 σ 2πσ 2 x σ 0 µ σ² Normal Padrão N01 µ0 média σ²1 variância 2 1 z f z exp 2 2π z 0 1 119 ANEXOS Exponencial Expλ λ taxa falha λx f x λe x 0 1 λ 2 1 λ Apêndice B Apresentamos a seguir a Tabela da Normal Padrão Tabela 4 Área sob a curva da Normal z 00 01 02 03 04 05 06 07 08 09 00 05000 05040 05080 05120 05160 05199 05239 05279 05319 05359 01 05398 05438 05478 05517 05557 05596 05636 05675 05714 05753 02 05793 05832 05871 05910 05948 05987 06026 06064 06103 06141 03 06179 06217 06255 06293 06331 06368 06406 06443 06480 06517 04 06554 06591 06628 06664 06700 06736 06772 06808 06844 06879 05 06915 06950 06985 07019 07054 07088 07123 07157 07190 07224 06 07257 07291 07324 07357 07389 07422 07454 07486 07517 07549 07 07580 07611 07642 07673 07704 07734 07764 07794 07823 07852 08 07881 07910 07939 07967 07995 08023 08051 08078 08106 08133 09 08159 08186 08212 08238 08264 08289 08315 08340 08365 08389 10 08413 08438 08461 08485 08508 08531 08554 08577 08599 08621 11 08643 08665 08686 08708 08729 08749 08770 08790 08810 08830 12 08849 08869 08888 08907 08925 08944 08962 08980 08997 09015 13 09032 09049 09066 09082 09099 09115 09131 09147 09162 09177 14 09192 09207 09222 09236 09251 09265 09279 09292 09306 09319 15 09332 09345 09357 09370 09382 09394 09406 09418 09429 09441 16 09452 09463 09474 09484 09495 09505 09515 09525 09535 09545 17 09554 09564 09573 09582 09591 09599 09608 09616 09625 09633 18 09641 09649 09656 09664 09671 09678 09686 09693 09699 09706 19 09713 09719 09726 09732 09738 09744 09750 09756 09761 09767 20 09772 09778 09783 09788 09793 09798 09803 09808 09812 09817 21 09821 09826 09830 09834 09838 09842 09846 09850 09854 09857 22 09861 09864 09868 09871 09875 09878 09881 09884 09887 09890 120 ANEXOS z 00 01 02 03 04 05 06 07 08 09 23 09893 09896 09898 09901 09904 09906 09909 09911 09913 09916 24 09918 09920 09922 09925 09927 09929 09931 09932 09934 09936 25 09938 09940 09941 09943 09945 09946 09948 09949 09951 09952 26 09953 09955 09956 09957 09959 09960 09961 09962 09963 09964 27 09965 09966 09967 09968 09969 09970 09971 09972 09973 09974 28 09974 09975 09976 09977 09977 09978 09979 09979 09980 09981 29 09981 09982 09982 09983 09984 09984 09985 09985 09986 09986 30 09987 09987 09987 09988 09988 09989 09989 09989 09990 09990 31 09990 09991 09991 09991 09992 09992 09992 09992 09993 09993 32 09993 09993 09994 09994 09994 09994 09994 09995 09995 09995 33 09995 09995 09995 09996 09996 09996 09996 09996 09996 09997 34 09997 09997 09997 09997 09997 09997 09997 09997 09997 09997 Fonte Própria Autora