Variáveis Aleatórias Discretas - Ana Maria Lima de Farias

Universidade Federal Fluminense Instituto de Matemática e Estatística Variáveis Aleatórias Discretas Ana Maria Lima de Farias Departamento de Estatística Agosto 2015 Sumário 1 Variáveis Aleatórias 1 11 Variável Aleatória 1 12 Função de probabilidade 5 13 Função densidade de probabilidade 5 14 Função de distribuição acumulada 7 2 Variáveis aleatórias discretas 9 21 Cálculo da função de probabilidade 9 22 Função de Distribuição 12 23 Funções de Variáveis Aleatórias 18 24 Esperança de Variáveis Aleatórias Discretas 19 241 Esperança de Funções de Variáveis Aleatórias 20 242 Propriedades da Esperança 21 25 Variância e desviopadrão de uma variável aleatória 22 251 Propriedades da variância e do desvio padrão 23 3 Algumas Distribuições Discretas 29 31 Introdução 29 32 Distribuição Uniforme Discreta 30 321 Esperança e Variância 30 33 Distribuição de Bernoulli 32 331 Esperança e Variância 33 i ii SUMÁRIO 34 Distribuição Binomial 34 341 A Distribuição Binomial 38 342 Esperança e Variância 40 35 Distribuição Geométrica 42 351 Introdução 42 352 A Distribuição Geométrica 43 353 Esperança e Variância 44 36 Distribuição binomial negativa 44 361 Definição 44 37 Distribuição hipergeométrica 46 371 Introdução 46 372 A Distribuição Hipergeométrica 47 373 Esperança e Variância 50 374 Distribuição binomial versus distribuição hipergeomtrica 50 38 A distribuição de Poisson 50 381 Aproximação da binomial 50 382 A distribuição de Poisson 53 39 Alguns resultados de cálculo 54 391 Séries geométricas 54 392 O número e base dos logaritmos naturais 55 4 Exercícios 57 41 Enunciados 57 42 Solução 59 A Demonstrações de propriedades de variáveis aleatórias discretas 67 A1 Distribuição Binomial 67 A11 Esperança 67 A12 Variância 68 SUMÁRIO iii A2 Distribuição geométrica 69 A21 Esperança 69 A22 Variância 69 A3 Distribuição Hipergeométrica 70 A31 Condições definidoras de uma função de probabilidade 70 A32 Esperança 72 A33 Variância 72 vy Capitulo 1 eofmv e y e Variavets Aleatortas Neste capitulo vocé aprendera um conceito muito importante da teoria de probabilidade o conceito de varidvel aleatoria Vocé vera que as variaveis aleatdrias e suas distribuicées de probabilidade sdo as ferramentas fundamentais na modelagem de fenémenos aleatorios Nesse capitulo definiremos as variaveis aleatorias discretas e continuas bem como funcdes que determinam seu comportamento probabilistico funcdo de probabilidade para o caso discreto e funcdo densidade de probabildiade para o caso continuo Definiremos ainda a funcao de distribuicdo acumulada que também caracteriza completamente as variaveis aleatorias tanto discretas quanto continuas 11 Variavel Aleatoria Consideremos o seguinte experimento aleatdrio sorteto de uma amostra de 20 funcionarios de uma empresa que tem 500 funcionarios O espaco amostral deste experimento é formado por todas as amostras possiveis e como a ordem nao importa e nado deve haver repeticdo de funcionarios 0 nlimero total de tais amostras é nQ 3 Cada elemento desse espaco amostral é formado pela relacdo dos 20 funcionarios sorteados Em situag6es como essa em geral o interesse nao esta no funcionario em si mas sim em alguma caracteristica cleste funcionario por exemplo sua altura se tem curso superior ou nado numero de dependentes Dessa forma poderiamos calcular a altura média dos funcionarios da amostra 0 nlimero médio de dependentes a proporcao de funcionarios com curso superior etc Entado a cada amostra possivel ou seja a cada ponto do espaco amostral associamos um numero Essa é a definicao de varidvel aleatoria 2 CAPÍTULO 1 VARIÁVEIS ALEATÓRIAS DEFINIÇÃO Variável aleatória Uma variável aleatória é uma função real isto é que assume valores em R definida no espaço amostral Ω de um experimento aleatório Dito de outra forma uma variável aleatória é uma função que associa um número real a cada evento de Ω Por questões de simplicidade muitas vezes abreviaremos a expressão variável aleatória por va A convenção usual para representar uma va consiste em usar letras maiúsculas como X Y etc Um valor específico mas genérico desta variável será representado pela letra minúscula correspondente x y etc Continuando com o exemplo da amostra de funcionários podemos então definir as seguintes variáveis aleatórias X altura média em centímetros e Y número máximo de dependentes Estas variáveis têm naturezas distintas quando levamos em conta os possíveis valores de cada uma Para a variável X os valores possíveis formam um intervalo por exemplo 140 200 Para a variável Y os valores possíveis são números inteiros variando de 0 a 20 por exemplo Isso nos leva à seguinte definição DEFINIÇÃO Variáveis aleatórias discretas e contínuas Uma variável aleatória é discreta se sua imagem ou conjunto de valores que ela assume for um conjunto finito ou enumerável Se a imagem for um conjunto não enumerável dizemos que a variável aleatória é contínua A questão que se coloca agora é como atribuir probabilidade aos valores ou intervalo de valores de uma variável aleatória EXEMPLO 11 Dois dados Consideremos o lançamento de dois dados equilibrados Como já visto o espaço amostral desse experimento é formado pelos pares ordenados i j em que i j 1 2 3 4 5 6 Esse é um experimento em que o espaço amostral não é formado por números Suponhamos que nosso interesse esteja no máximo das faces dos dois dados Neste caso a va X máximo das 2 faces é uma variável discreta que pode assumir os valores 1 2 3 4 5 6 conforme ilustrado na Tabela 11 11 VARIÁVEL ALEATÓRIA 3 Tabela 11 Variável aleatória X máximo das faces de 2 dados Pontos do espaço amostral Valor de X 11 1 122221 2 1323333231 3 14243444434241 4 152535455554535251 5 1626364656666564636261 6 Podemos ver que o valor X 2 corresponde ao evento A 1 2 2 1 2 2 enquanto o valor X 1 corresponde ao evento B 1 1 Sendo assim é de se esperar que o valor 2 seja mais provável que o valor 1 uma vez que todos os pares são equiprováveis Podemos calcular a probabilidade de X 2 usando a seguinte equivalência de eventos X 2 A 1 2 2 1 2 2 Dessa forma obtemos PX 2 PA 3 36 De maneira análoga obtemos P X 1 1 36 P X 3 5 36 P X 4 7 36 P X 5 9 36 P X 6 11 36 Observe que conseguimos estabelecer uma probabilidade para cada valor da variável aleatória Esse exemplo ilustra o conceito de função de probabilidade de uma va discreta que será apresentado mais adiante EXEMPLO 12 Altura média de uma amostra de funcionários Considere agora que retiremos várias amostras de 20 funcionários da empresa considerada anteriormente e para cada amostra registremos a altura média Na Figura 11 temos o histograma e o polígono de frequência para essas alturas Este histograma foi construído de forma que as áreas de cada retângulo são iguais às frequências relativas das respectivas classes Sabemos então que a soma das áreas dos retângulos é 1 4 CAPÍTULO 1 VARIÁVEIS ALEATÓRIAS Figura 11 Histograma e polígono de frequência da altura média Tendo em mente que cada frequência relativa é uma aproximação para a probabilidade de um elemento pertencer à respectiva classe podemos estimar a probabilidade de a altura média estar entre dois valores quaisquer como a área dos retângulos envolvidos Veja a Figura 12 onde a área sombreada corresponde à frequência probabilidade de alturas entre os valores 168 e 178 cm Esta área pode ser aproximada também pela área sob o polígono de frequência conforme ilustrado na Figura 13 As áreas sombreadas de cinza mais escuro correspondem às diferenças abaixo e acima dopolígono de frequências note que elas tendem a se compensar Figura 12 Probabilidade como frequência relativa Figura 13 Probabilidade como área sob o polígono de frequência Como estamos trabalhando com uma variável aleatória contínua faz sentido pensarmos em reduzir cada vez mais o comprimento de classe δ até a situação limite em que δ 0 Nessa situação limite o polígono de frequências se transforma em uma curva na parte positiva ou nãonegativa do eixo vertical tal que a área sob ela é igual a 1 Essa curva será chamada curva de densidade de probabilidade Na situação limite a diferença entre as áreas sombreadas mais escuro também tenderá a zero o que nos permite concluir o seguinte no limite quando δ 0 podemos estimar a probabilidade de a variável de interesse estar entre dois valores A e B pela área sob a curva de densidade de probabilidade delimitada por esses pontos Isso nos permitirá calcular probabilidade de intervalos de valores de qualquer variável aletatória contínua Iremos agora apresentar as definições formais relativas às variáveis aleatórias discretas e contínuas 12 FUNCAO DE PROBABILIDADE 5 12 Fungcao de probabilidade O comportamento de uma variavel aleatéria discreta fica perfeitamente determinado através da fundo de probabilidade DSS S X Funcao de probabilidade Seja X uma variavel aleatdoria discreta A funcao de probabilidades de X é a funcao fy x que associa a cada valor possivel x de X sua respectiva probabilidade calculada da seguinte forma fx x é a probabilidade do evento X x que consiste em todos os resultados do espaco amostral que dao origem ao valor x fx PUXx Yo Pla 11 wEQXwx Para nao sobrecarregar o texto omitiremos os colchetes oriundos da notacdo de evento conjunto e escreveremos PX x no lugar de P X x que seria a forma correta Das propriedades axiomas da probabilidade resultam os sequintes fatos sobre a funcgdo de probabilidacdes de uma va discreta X fxx 0 12 fxx 1 13 x em que indica somatdério ao longo de todos os possiveis valores de X Note que a segunda x propriedade é decorrente do axioma PQ 1 pois os eventos X x sdo mutuamente exclusivos e formam uma particgdo do espaco amostral Estas sao as condicées definidoras de uma fundo de probabilidade 13 Fungao densidade de probabilidade O comportamento de uma variavel aleatdria continua fica perfeitamente determinado através da fundo densidade de probabilidade 6 CAPITULO 1 VARIAVEIS ALEATORIAS DSS S Funcao densidade de probabilidade Uma fungao densidade de probabilicdacde é uma fungao fx que satisfaz as sequintes propriedades 1 fx 0 2 A area total sob o grafico de fx é igual a 1 isto é f fxdx 1 Dada uma funcao fx satisfazendo as propriedades acima entdo fx representa alguma variavel aleatoria continua X de modo que Pa X b éa area soba curva limitada pelos pontos a e b veja a Figura 14 isto é b PiaXb fxdx a Pla X b a b Figura 14 Probabilidade como area sob a curva da funcao censidade de probabilidade Uma observagaéo importante que resulta da interpretacdo geométrica de probabilidade como area sob a curva de densidade de probabilidade é a segquinte se X é uma va continua entdo a probabilidade do evento X a é zero ou seja a probabilidade de X ser exatamente igual a um valor especifico é nula Isso pode ser visto na Figura 14 0 evento X a 2 a corresponde a um segmento de reta e tal segmento tem area nula Lembrese que fxdx 0 Como consequéncia sdo valias as seguintes iqualdades PiaXbPaXbPaX bPaX b 14 FUNÇÃO DE DISTRIBUIÇÃO ACUMULADA 7 Para deixar clara a relação entre a função densidade de probabilidade e a respectiva va X usaremos a notação fXx 14 Função de distribuição acumulada A função de probabilidade e a função densidade de probabilidade nos dão toda a informação sobre a variável aleatória X Existe uma outra função com tal característica na verdade sob determinadas condições podemos achar outras funções com essa característica que é a função de distribuição acumulada de X cuja definição apresentamos a seguir DEFINIÇÃO Função de distribuição acumulada Dada uma variável aleatória X a função de distribuição acumulada de X ou simplesmente função de distribuição é definida por FXx P X x x R 14 É interessante notar que a função FX está definida para todo número real x Os axiomas da probabilidade e as propriedades deles decorrentes nos permitem obter as seguintes propriedades da função de distribuição de uma va X 1 Como 0 PA 1 segue que 0 FX x 1 15 2 Do axioma PΩ 1 resulta que lim x FX x 1 16 Note que o evento X corresponde a todos os números reais e portanto inclui todos os valores de X 3 Da propriedade P 0 resulta que lim x FX x 0 17 Note que o evento X corresponde ao evento impossível 4 FX x é uma função não decrescente isto é se a b FX a FX b 18 Esse resultado segue do fato de que se a b então o evento X a X b e portanto PX a PX b ou seja FX a FX b 8 CAPITULO 1 VARIAVEIS ALEATORIAS 5 Fy x 6 uma fungdéo continua a direita isto é Fx b lim Fx b h Fx b 19 Capítulo 2 Variáveis aleatórias discretas Nesse capítulo vamos estudar em mais detalhes as variáveis aleatórias discretas 21 Cálculo da função de probabilidade Da definição de função de probabilidade resulta que o seu cálculo se dá em três etapas primeiro temos que identificar todos os possíveis valores x da va X segundo temos que identificar os resultados que dão origem a cada valor x e suas respectivas probabilidades finalmente temos que somar todas essas probabilidades para obter fXx PX x EXEMPLO 21 Dois dados máximo das faces Considerando novamente a va definida na Tabela 11 podemos resumir a sua função de probabilidade na seguinte tabela x 1 2 3 4 5 6 fX x 1 36 3 36 5 36 7 36 9 36 11 36 21 EXEMPLO 22 Dois dados soma das faces Consideremos novamente o lançamento de dois dados mas agora vamos definir a seguinte va X soma das 2 faces Para facilitar a solução deste problema vamos construir uma tabela de duas entradas em que cada dimensão representa o resultado de um dado e em cada cela temos a soma das duas faces 10 CAPÍTULO 2 VARIÁVEIS ALEATÓRIAS DISCRETAS 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 7 2 3 4 5 6 7 8 3 4 5 6 7 8 9 4 5 6 7 8 9 10 5 6 7 8 9 10 11 6 7 8 9 10 11 12 Como todos os pontos do espaço amostral são equiprováveis a função de probabilidade de X é x 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 fXx 1 36 2 36 3 36 4 36 5 36 6 36 5 36 4 36 3 36 2 36 1 36 22 EXEMPLO 23 Chaves Um homem possui quatro chaves em seu bolso Como está escuro ele não consegue ver qual a chave correta para abrir a porta de sua casa que se encontra trancada Ele testa cada uma das chaves até encontrar a correta a Defina um espaço amostral para esse experimento b Defina a va X número de chaves experimentadas até conseguir abrir a porta inclusive a chave correta Quais são os valores de X c Encontre a função de probabilidade de X Solução a Vamos designar por C a chave da porta e por E1 E2 e E3 as outras chaves Se ele para de testar as chaves depois que acha a chave correta então o espaço amostral é Ω C E1C E2C E3C E1E2C E2E1C E1E3C E3E1C E2E3C E3E2C E1E2E3C E1E3E2C E2E1E3C E2E3E1C E3E1E2C E3E2E1C b Podemos ver na listagem de Ω que os possíveis valores de X são x 1 2 3 4 c Note que todas as chaves têm a mesma chance de serem sorteadas e obviamente cada chave testada não é colocada de volta no bolso Feitas essas observações podemos ver 21 CALCULO DA FUNCAO DE PROBABILIDADE 11 que 1 PX 1 PC 7 PX 2 PECUE2CUE3C PEC PE2C PE3C fi tity tytl 4343434 PX 3 PE E2C PE2EC PE E3C PE3EC PE2E3C PE3E2C 1 171 7 6xxxs 4 3 2 4 PX 4 PE E2E3C PE E3E2C PE2E E3C PE2E3EC PE3EE2C PE3E2E1C 6x pxgxgxty Logo a funcao de probabilidade de X é x 1 2 3 4 23 PIXxq 9 7 G 2 4 EXEMPLO 24 Nota média de dois alunos Dentre os cinco alunos de um curso com coeficiente de rendimento CR superior a 85 dois serdo sorteados para receber uma bolsa de estucdos Os CRs desses alunos sao 88 92 89 95 90 a Designando por A B C D E os alunos defina um espacgo amostral para esse experimento b Seja X CR médio dos alunos sorteados Liste os possiveis valores de X c Liste o evento X 90 d Encontre a fungdo de probabilidade de X e calcule PX 9 Solugao a Note que aqui a ordem nao importa logo nQ 10 Mais especificamente of ABMAOMAD AE BC BD B EC DC E D E b Usando uma tabela de duas entradas podemos representar os valores de X da seguinte forma 12 CAPÍTULO 2 VARIÁVEIS ALEATÓRIAS DISCRETAS A8 8 B9 2 C8 9 D9 5 E9 0 A8 8 8892 2 9 0 8 85 9 15 8 90 B9 2 9 05 9 35 9 10 C8 9 9 20 8 95 D9 5 9 25 E9 0 c X 9 A B A D B C B D B E C D D E d Como todos os pontos do espaço amostral são equiprováveis o sorteio é aleatório a função de probabilidade de X é x 885 890 895 900 905 910 915 920 925 935 PX x 1 10 1 10 1 10 1 10 1 10 1 10 1 10 1 10 1 10 1 10 e P X 9 7 10 22 Função de Distribuição Vamos calcular a função de distribuição para as variáveis aleatórias definidas nos Exemplos 21 a 23 EXEMPLO 25 Dois dados máximo das faces Considere a função de probabilidade da va X máximo das faces de 2 dados dada em 21 Devemos notar inicialmente que nenhum valor menor que 1 é possível Logo FXx 0 x 1 24 Para x 1 temos que FX 1 P X 1 P X 1 P X 1 25 0 1 36 1 36 Para qualquer valor de x tal que 1 x 2 temos fXx 0 Logo FX x P X 1 P 1 X x FX 1 0 FX 1 x 1 x 2 26 Juntando os resultados 25 e 26 obtemos FX x FX 1 1 36 x 1 x 2 22 FUNCAO DE DISTRIBUICAO 13 Com raciocinio analogo obtemos Fx2 PX 2 27 PX 1P1 xX 2PX 2 t40424 36 3636 e para x 2 3 Fy x PX 2P2X x Fy20 Fy 2 Vx 2x3 28 Usando 27 e 28 obtemos 4 Fx x Fx 2 36 Wx 2x3 Continuando obtemos 9 Fx x Fx 3 3 Vx 3x4 16 Fxx Fx 4 VWx4x5 25 Fy x Fx 9 36 Wx 5x 6 Para x 6 devemos notar que o evento X x corresponde ao espaco amostral completo logo Fy x 1 Vx 6 Dessa forma a funcdo de distribuigdo de X é 0 xi 136 1x2 436 2x3 Fx 936 3x4 1636 4x5 2536 5x6 1 x6 Na Figura 21 temos o grafico de tal fungdo em que a escala vertical esta em multiplos de 4 e a horizontal em multiplos de 1 Note que esse grafico tem a forma de uma escada com saltos de descontinuidade nos valores da va X A fungao de probabilidade de X pode ser calculada a partir da funcdo de distribuicdo da seguinte forma fx x Fx x lim Fx x 6 Fx x Fx x 29 Isso significa que fxx é igual ao tamanho do salto da fungao de distribuigdo no ponto x A conclusdo que podemos tirar é a seguinte a funcdo de probabilidades e a funcdo de distribuigdo ambas nos dao todas as informacées sobre a variavel aleatoria X e a partir de uma podemos obter a outra de forma inequtvoca 14 CAPÍTULO 2 VARIÁVEIS ALEATÓRIAS DISCRETAS Figura 21 Função de distribuição de X máximo das faces de 2 dados EXEMPLO 26 Dois dados soma das faces Considere a função de probabilidade da va X soma das faces de 2 dados obtida em 22 Devemos notar inicialmente que nenhum valor menor que 2 é possível Logo FXx 0 x 2 210 Para x 2 temos que FX 2 P X 2 P X 2 P X 2 211 0 1 36 1 36 Para qualquer valor de x tal que 2 x 3 temos fXx 0 Logo FX x P X 2 P 2 X x FX 2 0 FX 2 x 2 x 3 212 Juntando os resultados 211 e 212 obtemos FX x FX 2 1 36 x 2 x 3 Com raciocínio análogo obtemos FX 3 P X 3 213 P X 2 P 2 X 3 P X 3 1 36 0 2 36 3 36 e para x 3 4 FX x P X 3 P 3 X x FX 3 0 FX 3 x 3 x 4 214 22 FUNÇÃO DE DISTRIBUIÇÃO 15 Usando 213 e 214 obtemos FX x FX 3 3 36 x 3 x 4 Continuando obtemos FX x FX 4 6 36 x 4 x 5 FX x FX 5 10 36 x 5 x 6 FX x FX 6 15 36 x 6 x 7 FX x FX 7 21 36 x 7 x 8 FX x FX 8 26 36 x 8 x 9 FX x FX 9 30 36 x 9 x 10 FX x FX 10 33 36 x 10 x 11 FX x FX 11 35 36 x 11 x 12 Para x 12 devemos notar que o evento X x corresponde ao espaço amostral completo logo FX x 1 x 12 Dessa forma a função de distribuição de X é FXx 0 x 2 136 2 x 3 336 3 x 4 636 4 x 5 1036 5 x6 1536 6 x 7 2136 7 x 8 2636 8 x 9 3036 9 x 10 3336 10 x 11 3536 11 x 12 1 x 12 Os pontos de descontinuidade são 2 3 12 que correspondem aos valores de X Como antes podemos obter a função de probabilidade de X em cada um desses pontos pelo tamanho do salto Por exemplo PX 7 PX 7 PX 7 21 36 15 36 6 36 16 CAPITULO 2 VARIAVEIS ALEATORIAS DISCRETAS EXEMPLO 27 Chaves Considere a funcdo de probabilidade da va X Chaves de uma porta dada em 23 Seguindo raciocicnio analogo ao adotado nos dois exemplos anteriores obtemos a seguinte fungao de distribuicdo acumulada de Xntimero de chaves testadas até abrir a porta 0 x 1 14 1x2 Fyx 4 24 2x3 34 3x4 1 x4 EXEMPLO 28 Fungao de distribuicado e funcdo de probabilidade Dada a fungao 0 x 1 12 1x2 Fx4 k 2x3 34 3x4 1 x4 em que k é uma constante determine os possiveis valores de k para que Fx seja a funcdo de distribuigdo acumulada de uma variavel aleatéria X Em seguida determine a funcdo de probabilidade desta va X Solugao Como a fungao de distribuicdo de qualquer va X tem que ser uma funcdo nao decrescente concluimos que k tem que ser maior ou igual a 7 Pela mesma razao k tem que ser menor ou igual a 3 Dessa forma os possiveis valores de k pertencem ao intervalo 5 3 Os valores possiveis da va X correspondem aos pontos de descontinuidade da funcado Fx Logo X assume os valores 1234 As probabilidades desses valores sdo dadas pelo a 1 3 tamanho do salto de Fx Entao Vk 5 k 7 temos PX 1 7 2 5 1 PX 2 k 2 3 PX 3 k 4 31 PX 4 1 4 4 22 FUNÇÃO DE DISTRIBUIÇÃO 17 EXEMPLO 29 Demanda por produto A demanda por um certo produto pode ser vista como uma variável aleatória X cuja função de probabilidade fXx é estimada por Número de unidades demandadas x 1 2 3 4 fXx PX x 0 25 0 45 0 15 0 15 a Verifique que fXx realmente define uma função de probabilidade b Obtenha a função de distribuição acumulada de X c Usando a função de distribuição calculada no item anterior calcule PX 3 5 Solução a 0 250 450 150 15 1 e todos os valores são não negativos Logo fX é uma função de probabilidade b FXx 0 se x 1 025 se 1 x 2 070 se 2 x 3 085 se 3 x 4 100 se x 4 c Temos que PX 3 5 FX3 5 0 85 EXEMPLO 210 Uma variável aleatória discreta X tem a seguinte função de probabilidade fXx k x2 x 0 1 0 x 0 e x 1 onde k é uma constante a Determine o valor de k b Calcule a função de distribuição FXx 18 CAPÍTULO 2 VARIÁVEIS ALEATÓRIAS DISCRETAS Solução a Os valores possíveis da va são 0 e 1 Então temos que ter fX0 fX1 1 k 2 k 3 1 k 2 k 6 1 3k k 6 1 k 6 4 3 2 Logo fX0 3 2 2 3 4 fX1 3 2 6 1 4 b A função de distribuição de X é FXx 0 se x 0 3 4 se 0 x 1 1 se x 1 23 Funções de Variáveis Aleatórias Dada uma va X podemos obter outras variáveis aleatórias através de funções de X e da mesma forma que calculamos a função de probabilidade de X podemos calcular a função de probabilidade dessas novas variáveis EXEMPLO 211 Função de variável aleatória Y X 2 Considere a va X cuja função de probabilidade é dada na tabela abaixo x 2 1 0 1 2 3 fX x 01 02 02 03 01 01 Consideremos a função Y gX X 2 Então Y é uma nova variável aleatória cujos possíveis valores são 0 1 4 9 Para calcular as probabilidades desses valores temos que identificar os valores de X que originaram cada um deles Temos a seguinte equivalência de eventos Y 0 X 0 Y 1 X 1 X 1 Y 4 X 2 X 2 Y 9 X 3 24 ESPERANCA DE VARIAVEIS ALEATORIAS DISCRETAS 19 O simbolo representa é equivalente a Como os eventos sdo mutuamente exclusivos segue que PY0 PX 002 PY1 PX 1PX 105 PY4 PX 2PX 202 PY9 PX 301 e podemos resumir essa fungdo de probabilidade como y 0 1 4 9 215 fyy 02 05 02 01 4 I Xe Funcao de Variavel Aleatoria Seja X uma variavel aleatéria discreta com fungdo de probabilidade fy x Se definimos uma nova va Y gX onde g é uma funcdo real qualquer entdo a funcdo de probabilidade de Y é calculada como fyyPYy Y fxx x gxy 24 Esperanca de Variaveis Aleatorias Discretas No estudo de variaveis aleatérias e suas distribuigdes de probabilidades associamos numeros aos pontos do espaco amostral ou seja o resultado é sempre uma variavel quantitativa note que os resultados cara e coroa nao definem uma variavel aleatoria para tal temos que associar numeros 0 e 1 por exemplo a esses resultados Sendo assim faz sentido perguntar qual é o valor médio da variavel aleatoria X SSN Xe Esperanca de uma variavel aleatéria discreta Seja X uma variavel aleatoria discreta que assume os valores x1 X2 com probabilidades p41 p2 respectivamente A esperanga ou média de X é definida como EX pixi xi PX xi 216 i i onde o somatorio se estende por todos os valores possiveis de X 20 CAPÍTULO 2 VARIÁVEIS ALEATÓRIAS DISCRETAS Podemos ver então que a esperança de X é uma média dos seus valores ponderada pelas respectivas probabilidades EXEMPLO 212 Vendas e comissões Em determinado setor de uma loja de departamentos o número de produtos vendidos em um dia pelos funcionários é uma variável aleatória P com a seguinte distribuição de probabilidades esses números foram obtidos dos resultados de vários anos de estudo Número de produtos 0 1 2 3 4 5 6 Probabilidade de venda 01 04 02 01 01 005 005 Cada vendedor recebe comissões de venda distribuídas da seguinte forma se ele vende até dois produtos em um dia ele ganha uma comissão de R1000 por produto vendido A partir da terceira venda a comissão passa para R5000 por produto Qual é o número médio de produtos vendidos por cada vendedor e qual a comissão média de cada um deles Solução O número médio de produtos vendidos por funcionário é EP 0 0 1 1 0 4 2 0 2 3 0 1 4 0 1 5 0 05 6 0 05 2 05 Com relação à comissão vamos construir sua função de probabilidade Número de produtos P 0 1 2 3 4 5 6 Comissão C 0 10 20 70 120 170 220 Probabilidade de venda 01 04 02 01 01 005 005 A partir dessa função de probabilidade podemos calcular EC 0 0 1 10 0 4 20 0 2 70 0 1 120 0 1 170 0 05 220 0 05 46 5 ou seja a comissão média diária de cada vendedor é R 4650 Note que a esperança de X tem a mesma unidade de medida dos valores de X 241 Esperança de Funções de Variáveis Aleatórias Vimos que é possível obter novas variáveis aleatórias a partir de funções gX de uma variável X e através da função de probabilidade de X podemos obter a função de probabilidade 24 ESPERANCA DE VARIAVEIS ALEATORIAS DISCRETAS 21 de Y Sendo assim podemos calcular a esperanca de Y Foi exatamente isso o que fizemos no caso das comiss6es no exemplo anterior onde tinhamos CH 10P se P 2 20450xP2 seP2 Analisando atentamente aquele exemplo e notando que por definigdo de fungao a cada valor de X corresponde um unico Y gX obtemos o resultado geral sobre a esperanca de fungdes de variaveis aleatorias S 5 Xe Esperanca de Funcées de uma Variavel Aleatoria Seja X uma variavel aleatoria discreta com funcdo de probabilidade fy x Se definimos uma nova va Y gX entao EY Elg X 9 fx x 217 x EXEMPLO 213 Considere a va X ja analisada no Exemplo 211 onde calculamos EX x 2 1 0 1 an fy x 01 02 02 03 01 01 Naquele exemplo calculamos a funcdo de probabilidade da va Y X resumida em 215 e a partir dela podemos calcular EY E x 0x0241x0544x0249x0122 Usando o resultado 217 podemos fazer simplesmente E x 2 x0141 x 0202 x 024 17 x 0342 x 0143 x 0122 sem necessidade do calculo da funcgdo de probabilidade de Y ry 242 Propriedades da Esperanca No que segue X é uma variavel aleatéria discreta com fungdo de probabilidade fxx e ab 0 sao constantes reais quaisquer Temos entdo os seguintes resultados cujas demonstracées sao imediatas a partir da definicdo de esperanca Eaa 218 22 CAPÍTULO 2 VARIÁVEIS ALEATÓRIAS DISCRETAS EX a EX a 219 EbX b EX 220 xmin EX xmax 221 Nessa última propriedade xmin e xmax são os valores mínimo e máximo da variável X 25 Variância e desviopadrão de uma variável aleatória A esperança de uma variável aleatória X é o centro de gravidade da distribuição de probabilidades Sendo assim a esperança é uma medida de posição No entanto é possível que duas variáveis bem diferentes tenham a mesma esperança como é o caso das duas distribuições apresentadas na Figura 22 Nestas duas distribuições a dispersão dos valores é diferente Figura 22 Funções de probabilidade com mesma esperança e diferentes dispersões A dispersão de uma variável aleatória X será inicialmente medida pela sua variância DEFINIÇÃO Variância de uma variável aleatória A variância de uma variável aleatória X é definida como Var X E X E X2 222 O termo X EX é o desvio em torno da média Sendo assim a variância é a média dos desvios quadráticos em torno da média EX 25 VARIANCIA E DESVIOPADRAO DE UMA VARIAVEL ALEATORIA 23 Vamos ver como calcular a varidncia de uma va discreta Para isso vamos definir gX X EX Entdo usando o resultado dado na equacao 217 temos que 2 Var X Eg X 2 bx EXE xx x Desenvolvendo o quadrado e usando as propriedades clo somatério e da esperanga vistas na secao anterior resulta VarX x 2x EX Ew fyx x 2 2 J xfxx 2EX xfxx EQXQP fxx x x x xfxx 2EX EX EX x 1 x Fx 2EXP EXP xfxx 2EXF EXF x 2 2 2 x hxx EX x Mas se definimos hX X2 entao EhX 1 xfxx Logo podemos escrever x Var X EX EX 223 que pode ser lida de maneira mais facil como a varidncia é a esperanca do quadrado menos o quadrado da esperanca Da definicdo de variancia resulta que sua unidade de medida é 0 quadrado da unidade de medida da variavel em estucdo sendo assim uma unidade sem significado fisico Para se ter uma medida de dispersdo na mesma unidade dos dados definese 0 desviopadrao como a raiz quadrada da variancia SSN Xe Desvio padrao de uma variavel aleatoria O desviopadrao de uma variavel aleatoria X é definido como a raiz quadrada de sua variancia DP X Var X 224 251 Propriedades da varidncia e do desvio padrao Sendo a varidncia e o desviopadrao medidas de dispersao é facil ver que sao validas as seguintes propriedades onde ab 0 sao constantes quaisquer VarX 0 225 DPX 0 226 24 CAPÍTULO 2 VARIÁVEIS ALEATÓRIAS DISCRETAS Var a 0 227 DPa 0 228 Var X a Var X 229 DP X a DPX 230 Var bX b2 Var X 231 DPbX b DPX 232 EXEMPLO 214 Considere a va Y com função de probabilidade dada por y 3 1 0 2 5 8 9 fY y 0 25 0 30 0 20 0 10 0 07 0 05 0 03 e seja Z 2Y 3 Vamos calcular a esperança e a variância de Y e Z Solução EY 3 0 25 1 0 30 0 0 20 2 0 10 5 0 07 8 0 05 9 0 03 0 17 EZ 2 EY 3 2 0 17 3 2 66 Vamos calcular agora EY 2 EY 2 9 0 25 1 0 30 0 0 20 4 0 10 25 0 07 64 0 05 81 0 03 10 33 Logo VarY 10 33 0 172 10 3011 Usando as propriedades da variância temos que VarZ 22 VarY 41 2044 EXEMPLO 215 Um lojista mantém extensos registros das vendas diárias de certo aparelho O quadro a seguir dá a distribuição de probabilidades do número de aparelhos vendidos em uma semana Se o lucro por unidade vendida é de R50000 qual o lucro esperado em uma semana Qual é o desviopadrão do lucro 25 VARIANCIA E DESVIOPADRAO DE UMA VARIAVEL ALEATORIA 25 x numero de aparelhos 0 1 2 3 4 5 fx x 01 01 02 03 02 01 Solugao Seja X o numero de aparelhos vendidos em uma semana e seja L 0 lucro semanal Entdao L500X Ex 0x0141x012x023x0344x025x01 27 aparelhos Ex 07x 0141 x 0142 x023 x 0344 x 02 5 x 01 102 aparelhos Var X 10 2 27 291 aparelhos DP X 1 706 aparelhos Com relacgdo ao lucro semanal temos que E L 500 E X R1350 00 DP L 500 DPX R852 94 4 EXEMPLO 216 Seja uma va X com fungdo de probabilidade dada na tabela a seguir x 5 fxx p a Encontre o valor de p para que fyx seja de fato uma funcgdo de probabilidade b Calcule PX 4 e PX 3 c Calcule P X 3 2 d Calcule EX e VarX Solugao 26 CAPITULO 2 VARIAVEIS ALEATORIAS DISCRETAS a Como fxx 1 temos que ter 3p 2p 1 3p2p105 24 V412 244 p p 3 Ou 6 6 1 P3 Como p é uma probabilidade temos que ter p 0 Logo o valor correto é p 114 b PX 4 PX 4 PX 5 ptp434535 PrX 3 PX 1 4 PX 2 2p c Aqui temos que notar o seguinte fato sobre a funcdo modulo ilustrado na Figura 23 Valores y x no eixo vertical menores que k abaixo da linha horizontal solida correspondem a valores de x no intervalo kk e valores y no eixo vertical maiores que k correspondem ou a x k ou a x k Mais precisamente x k xk ou xk Ixk kxk a k Figura 23 Fungdo modulo Usando esses fatos temos que PX32 PX32 U X32 PX32PX32 PX 1PX5 PX 1PX 5 2 2p P 9 25 VARIANCIA E DESVIOPADRAO DE UMA VARIAVEL ALEATORIA 27 d Temos que EX 1x p2xp3xp4xp5x p 14244454 9 9 39 29 32222 9 EX 12x p2x p43x p4 x p45 x p 143 16 25 9 9 3 9 105 35 9 3 35 29 14 VarX arX 3 9 81 4 EXEMPLO 217 Jogo de dados Um jogador A paga R500 a B e lanca um dado Se sair face 3 ganha R2000 Se sair face 4 5 ou 6 perde Se sair face 1 ou 2 tem o direito de jogar novamente Desta vez lanca dois dados Se sairem duas faces 6 ganha R5000 Se sair uma face 6 recebe o dinheiro cde volta Nos demais casos perde Seja L o lucro liquido do jogador A nesse jogo Calcule a funcado de probabilidade de L e o lucro esperado do jogador A Solugao Sabemos que o dado é honesto e que os lancamentos sao independentes O diagrama de arvore para 0 espaco amostral desse experimento é dado na Figura 24 Para calcular a probabilidade dos eventos associados aos lancamentos dos dois dados parte inferior da arvore usamos o fato de que a probabilidade da intersecdo de eventos incdependentes é 0 produto das probabilidades No calculo da probabilidade de uma face 6 multiplicamos por 2 porque a face 6 pode estar em qualquer um dos dois dados Vemos que os valores do lucro L sao 5 0 15 45 e a fungdo de probabilidade de L é lo S 0B P 4 4ex 2x gx2xixe exixy ou lure S 0 S 158 0 PL 215 158 36 2 160 EL 5 x 415 x 445x 074 9 596 FX a6 276 216 4 28 CAPÍTULO 2 VARIÁVEIS ALEATÓRIAS DISCRETAS Figura 24 Espaço amostral para o Exemplo 217 Capítulo 3 Algumas Distribuições Discretas 31 Introdução Considere as seguintes situações 1 a Lançase uma moeda viciada e observase o resultado obtido e b perguntase a um eleitor se ele vai votar no candidato A ou B 2 a Lançase uma moeda n vezes e observase o número de caras obtidas e b de uma grande população extraise uma amostra de n eleitores e perguntase a cada um deles em qual dos candidatos A ou B eles votarão e contase o número de votos do candidato A 3 a De uma urna com P bolas vermelhas e Q bolas brancas extraemse n bolas sem reposição e contase o número de bolas brancas e b de uma população com P pessoas a favor do candidato A e Q pessoas a favor do candidato B extraise uma amostra de tamanho n sem reposição e contase o número de pessoas a favor do candidato A na amostra Em cada uma das situações anteriores os experimentos citados têm algo em comum em certo sentido temos a mesma situação mas em contextos diferentes Por exemplo na situação 1 cada um dos experimentos tem dois resultados possíveis e observamos o resultado obtido Na situação 3 temos uma população dividida em duas categorias e dela extraímos uma amostra sem reposição o interesse está no número de elementos de uma determinada categoria Na prática existem muitas outras situações que podem se encaixar nos modelos acima e mesmo em outros modelos O que veremos nesse capítulo são alguns modelos de variáveis aleatórias discretas que podem descrever situações como as listadas anteriormente Nesse contexto um modelo será definido por uma variável aleatória e sua função de probabilidade explicitandose claramente as hipóteses de validade De posse desses elementos poderemos analisar diferentes situações práticas para tentar encaixálas em algum dos modelos dados 30 CAPITULO 3 ALGUMAS DISTRIBUICOES DISCRETAS Neste capitulo serdo descritas as distribuicgées de probabilidade discretas mais usuaisA introducdo de cada uma delas sera feita através de um exemplo classico moeda urna baralho etc e em seguida serdo explicitadas as caractertsticas do experimento Tais caracteristicas sao a ferramenta necessaria para sabermos qual modelo se aplica a uma determinada situacdo pratica Definida a distribuicdo calculamse a média e a variancia 32 Distribuigao Uniforme Discreta Suponha que seu professor de Estatistica decida dar de presente a um dos alunos um livro de sua autoria Nao querendo favorecer qualquer aluno em especial ele decide sortear aleatoriamente o ganhador dentre os 45 alunos da turma Para isso ele numera os nomes dos alunos que constam do diario cde classe de 1 a 45 escreve esses nlimeros em pedacos iguais de papel dobrandoos ao meio para que o numero nao fique visivel e sorteia um desses papéis depois de bem misturados Qual é a probabilidade de que vocé ganhe o livro Qual é a probabilidade de que o aluno que tirou a nota mais baixa na primeira prova ganhe o livro E 0 que tirou a nota mais alta O importante a notar nesse exemplo é 0 seguinte 0 professor tomou todos os cuidados necessarios para nao favorecer qualquer aluno em especial Isso significa que todos os alunos tém a mesma chance de ganhar o livro Temos assim um exemplo da distribuigdo uniforme discreta DSS N Distribuicao uniforme discreta A variavel aleatoria discreta X que assume os valores x1 x2Xn tem distribuigao uniforme se 1 fx xi PX xj Vi12n 31 n Note que em uma distribuicgdo discreta uniforme todos os valores séo igualmente provaveis Além disso para que uma va X tenha distribuicgdo uniforme discreta é necessario que X assuma um numero finito de valores ja que fxx 1 321 Esperanga e Variancia Seja X uma va discreta uniforme que assume valores x1 X2Xn Por definigdo a esperanca de X é 1 1 1 EX x xX2 Xy X n n n ou seja EX é a média aritmética dos valores possiveis de X 32 DISTRIBUICAO UNIFORME DISCRETA 31 Com relacgdo a varidncia temos por definicdo que 2 VarX EX EX 1 1 1 2 av 2 2 x1 xX X20 X 4 Xn X OK n n n EXEMPLO 31 Lancgamento de uma moeda Considere o langamento de uma moeda Vamos definir a seguinte variavel aleatoria X associada a esse experimento X 0 se ocorre cara X 1 se ocorre coroa Para que essa va tenha distribuicgdo uniforme é necessario supor que a moeda seja honesta e nesse caso 1 fx0 fxIb5 2 O1 1 EX 2 2 2 2 1 1 1 1 VarX x O x 1 2 2 2 2 1 1 4 1 1 1 x x 2 4 2 4 4 EXEMPLO 32 Conserto de maquina Os defeitos em determinada maquina ocorrem aproximadamente na mesma frequéncia Dependendo do tipo de defeito 0 técnico leva 1 2 3 4 ou 5 horas para consertar a maquina a Descreva 0 modelo probabilistico apropriado para representar a duracdo do tempo de reparo da maquina b Qual é o tempo médio de reparo desta maquina E o desviopadrao deste tempo de reparo c Sdo 15 horas e acaba de ser entregue uma maquina para reparo A jornada normal de trabalho do técnico termina as 17 horas Qual é a probabilidade cde que o técnico nao precise fazer hora extra para terminar o conserto desta maquina Solugao Seja 7 tempo de reparo em horas 32 CAPITULO 3 ALGUMAS DISTRIBUICOES DISCRETAS a Como os defeitos ocorrem na mesma frequéncia o modelo probabilistico apropriado é uma distribuicgdo uniforme t 12 3 4 5 fjPTt 2 Ei 142434445 b ET ss 3 horas 17 22 3 4 4 5 VarT a 9 2 DPT 141 horas c Seja E 0 evento técnico vai ter que fazer hora extra Entdo 3 PE PT 2 5 06 Logo a probabilidade de que ele nao tenha que fazer hora extra é 04 4 33 Distribuigao de Bernoulli Considere o lancamento de uma moeda A caracteristica de tal experimento aleatdrio é que ele possui apenas dois resultados possiveis Uma situagdo analoga surge quando da extragdo da carta de um baralho em que o interesse esta apenas na cor preta ou vermelha da carta sorteada Ss Xe Experimento de Bernoulli Um experimento de Bernoulli um experimento aleatdrio com apenas dois resultados possiveis por convencdo um deles é chamado sucesso e o outro fracasso DS5IN Xe Variavel aleatéria de Bernoulli A va de Bernoulli é a va X associada a um experimento de Bernoulli em que se define 1 se ocorre sucesso X 0 se ocorre fracasso Chamando de p a probabilidade de sucesso 0 p 1 a distribuicao de Bernoulli é x 0 1 32 fxx 1p Pp 33 DISTRIBUIÇÃO DE BERNOULLI 33 Obviamente as condições definidoras de uma função de probabilidade são satisfeitas uma vez que p 0 1 p 0 e p 1 p 1 O valor de p é o único valor que precisamos conhecer para determinar completamente a distribuição ele é então chamado parâmetro da distribuição de Bernoulli Vamos denotar a distribuição de Bernoulli com parâmetro p por Bernp A função de distribuição acumulada é dada por FXx 0 se x 0 1 p se 0 x 1 1 se x 1 33 Na Figura 31 temos os gráficos da função de probabilidade e da função de distribuição acumulada de uma variável de Bernoulli Figura 31 Distribuição de Bernoulli função de probabilidade e função de distribuição 331 Esperança e Variância Seja X Bernp lêse a variável aleatória X tem distribuição de Bernoulli com parâmetro p Então EX 0 1 p 1 p p EX 2 02 1 p 12 p p VarX EX 2 EX2 p p2 Em resumo X Bernp EX p VarX p1 p 34 É comum denotar a probabilidade de fracasso por q isto é q 1 p EXEMPLO 33 Lançamento de uma moeda 34 CAPITULO 3 ALGUMAS DISTRIBUICOES DISCRETAS Considere novamente o lancamento de uma moeda e a seguinte variavel aleatoria X associada a esse experimento ye 1 se ocorre cara 0 se ocorre coroa Seja p a probabilidade de cara 0 p 1 Entado X tem distribuicdo de Bernoulli com parametro p Note que nesse caso a Bernoulli com parametro p 12 é equivalente a distribuigao uniforme EXEMPLO 34 Auditoria da Receita Federal Um auditor da Receita Federal examina declaracées de Imposto de Renda de pessoas fisicas cuja variacdo patrimonial ficou acima do limite considerado aceitavel De dados histdricos sabese que 10 dessas declaracdes sao fraudulentas Vamos consicderar 0 experimento correspondente ao sorteio aleatério de uma dessas declaracées Esse é um experimento cde Bernoulli em que o sucesso equivale a ocorréncia de declaracdo fraudulenta e 0 pardmetro da distribuigdo de Bernoulli é p 01 Esse exemplo ilustra 0 fato de que sucesso nesse contexto nem sempre significa uma situacao feliz na vida real Aqui sucesso é definido de acordo com o interesse estatistico no problema Em uma situacdo mais dramatica sucesso pode indicar a morte de um paciente por exemplo 34 Distribuigao Binomial Vamos introduzir a distribuicdo binomial uma das mais importantes distribuicgdes discretas através de um exemplo Em seguida discutiremos as hipdteses feitas e apresentaremos os resultados formais sobre tal distribuigdo e novos exemplos EXEMPLO 35 Langamentos de uma moeda Considere 0 seguinte experimento uma moeda é lancada 4 vezes e sabese que p Pcara Vamos definir a seguinte variavel aleatoria associada a este experimento X numero de caras Como visto antes cada lancamento da moeda representa um experimento de Bernoulli e como o interesse esta no numero de caras vamos definir sucesso cara Para encontrar a funcao de probabilidade de X 0 primeiro fato a notar é que os valores possiveis de X sdo 0 que equivale a ocorréncia de nenhuma cara e portanto de 4 coroas 1 que equivale a ocorréncia de apenas 1 cara e portanto 3 coroas 2 que equivale a ocorréncia 34 DISTRIBUIÇÃO BINOMIAL 35 de 2 caras e portanto 2 coroas 3 que equivale à ocorrência de 3 caras e 1 coroa e finalmente 4 que equivale à ocorrência de 4 caras e nenhuma coroa Assim os possíveis valores de X são X 0 1 2 3 4 Vamos agora calcular a probabilidade de cada um desses valores de modo a completar a especificação da função de probabilidade de X Para isso vamos representar por Ki o evento cara no iésimo lançamento e por Ci o evento coroa no iésimo lançamento X 0 Temos a seguinte equivalência de eventos X 0 C1 C2 C3 C4 É razoável supor que os lançamentos da moeda sejam eventos independentes ou seja o resultado de um lançamento não interfere no resultado de qualquer outro lançamento Dessa forma os eventos Ci e Kj são independentes para i j Note que os eventos Ci e Ki são mutuamente exclusivos e portanto não são independentes se sair cara em um lançamento específico não é possível sair coroa nesse mesmo lançamento e viceversa Analogamente os eventos Ci e Cj são independentes para i j bem como os eventos Ki e Kj i j Pela regra da probabilidade da interseção de eventos independentes resulta que P C1 C2 C3 C4 PC1 PC2 PC3 PC4 1 p 1 p 1 p 1 p 1 p4 X 1 O evento X 1 corresponde à ocorrência de 1 cara e consequentemente de 3 coroas Uma sequência possível de lançamentos é K1 C2 C3 C4 Vamos calcular a probabilidade desse resultado Como antes os lançamentos são eventos independentes e portanto PK1 C2 C3 C4 PK1 PC2 PC3 PC4 p 1 p 1 p 1 p p1 p3 Mas qualquer sequência com 1 cara resulta em X 1 ou seja a face cara pode estar em qualquer uma das quatro posições e todas essas sequências resultam em X 1 Além disso definida a posição da face cara as posições das faces coroas já estão determinadas são as posições restantes Então temos a seguinte equivalência X 1 K1 C2 C3 C4 C1 K2 C3 C4 C1 C2 K3 C4 C1 C2 C3 K4 36 CAPÍTULO 3 ALGUMAS DISTRIBUIÇÕES DISCRETAS Mas os eventos que aparecem no lado direito da expressão anterior são eventos mutuamente exclusivos Logo PX 1 PK1 C2 C3 C4 PC1 K2 C3 C4 PC1 C2 K3 C4 PC1 C2 C3 K4 p 1 p 1 p 1 p 1 p p 1 p 1 p 1 p 1 p p 1 p 1 p 1 p 1 p p 4p1 p3 X 2 O evento X 2 corresponde à ocorrência de 2 caras e consequentemente de 2 coroas Qualquer uma dessas sequências tem probabilidade p21 p2 As sequências de lançamentos com 2 caras e 2 coroas são as seguintes K1K2C3C4 K1C2K3C4 K1C2C3K4 C1C2K3K4 C1K2C3K4 C1K2K3C4 Todas essas 6 sequências têm a mesma probabilidade e correspondem a eventos mutuamente exclusivos Temos a seguinte equivalência X 2 K1 K2 C3 C4 K1 C2 K3 C4 K1 C2 C3 K4 C1 C2 K3 K4 C1 K2 C3 K4 C1 K2 K3 C4 e portanto PX 2 PK1 K2 C3 C4 PK1 C2 K3 C4 PK1 C2 C3 K4 PC1 C2 K3 K4 PC1 K2 C3 K4 PC1 K2 K3 C4 6p21 p2 X 3 e X 4 34 DISTRIBUIÇÃO BINOMIAL 37 Os casos X 3 e X 4 são análogos aos casos X 1 e X 0 respectivamente basta trocar caras por coroas e viceversa Assim PX 3 4p31 p PX 4 p4 É importante notar que a hipótese de independência dos lançamentos da moeda foi absolutamente fundamental na solução do exemplo foi ela que nos permitiu multiplicar as probabilidades dos resultados de cada lançamento para obter a probabilidade da sequência completa de n lançamentos Embora essa hipótese seja muito razoável nesse exemplo ainda assim é uma hipótese subjetiva Outra propriedade utilizada foi a da probabilidade da união de eventos mutuamente exclusivos Mas aqui essa propriedade é óbvia ou seja não há qualquer subjetividade os eventos C1 K2 e K1 C2 são mutuamente exclusivos pois no primeiro lançamento ou sai cara ou sai coroa não pode sair cara e coroa no primeiro lançamento ou seja cada lançamento é um experimento de Bernoulli EXEMPLO 36 Bolas em uma urna Uma urna contém quatro bolas brancas e seis bolas verdes Três bolas são retiradas dessa urna com reposição isto é depois de tirada a primeira bola ela é recolocada na urna e sorteiase a segunda que também é recolocada na urna para finalmente ser sorteada a terceira bola Vamos definir a seguinte variável aleatória associada a esse experimento X número de bolas brancas sorteadas O importante a notar aqui é o seguinte como cada bola sorteada é recolocada na urna antes da próxima extração a composição da urna é sempre a mesma e o resultado de uma extração não afeta o resultado de outra extração qualquer Dessa forma em todas as extrações a probabilidade de bola branca e também bola verde é a mesma e podemos considerar as extrações como independentes Assim temos uma situação análoga à do exemplo anterior temos três repetições de um experimento sorteio de uma bola essas repetições são independentes em cada uma delas há dois resultados possíveis bola branca sucesso ou bola verde fracasso e as probabilidades de sucesso e fracasso são as mesmas Assim cada extração equivale a um experimento de Bernoulli e como o interesse está nas bolas brancas vamos considerar sucesso bola branca e da observação anterior resulta que Psucesso 4 10 Os valores possíveis de X são 0 1 2 3 uma vez que são feitas três extrações Vamos calcular a probabilidade de cada um dos valores de X Como antes vamos denotar por Vi o evento bola verde na iésima extração e por Bi o evento bola branca na iésima extração Da discussão anterior resulta que para i j os eventos Vi e Bj são independentes assim como os eventos Bi e Bj e os eventos Vi e Vj 38 CAPITULO 3 ALGUMAS DISTRIBUICOES DISCRETAS e X0 Esse resultado equivale a extracdo de bolas verdes em todas as trés extracées X 0 Vy N V2 V3 Logo PX 0 PWNWN V3 PW x PV2 x PV3 6 6 6 xxX 10 10 10 3 6 10 eo X1 Esse resultado equivale a extracdo de uma bola branca e por consequéncia duas bolas verdes A bola branca pode sair em qualquer uma das trés extragdes e definida a posicao da bola branca as posicdes das bolas verdes ficam totalmente estabelecidas Logo 2 4 6 PX 13 10 10 eX2eX3 Os casos X 2 e X 3 sdo analogos aos casos X 1 e X 0 respectivamente basta trocar bola branca por bola verde e viceversa Assim 2 4 6 PX 23 a 10 10 3 4 PX 3 49 Esses dois exemplos ilustram a distribuicdo binomial que depende de dois pardmetros o numero de repetigdes e a probabilidade de sucesso de um experimento de Bernoulli No Exemplo 35 n 4 e temos uma probabilidade de sucesso qualquer p No Exemplo 36 n 3 4 ep P 10 341 A Distribuigao Binomial Nos dois exemplos anteriores tinhamos repeticdes de um experimento de Bernoulli que podiam ser consideradas independentes e a probabilidade de sucesso se mantinha constante ao longo de todas as repeticdes Essas sao as condicées definidoras de um experimento binomial 34 DISTRIBUICAO BINOMIAL 39 DSS S e Experimento binomial Um experimento binomial consiste em repetigdes independentes de um experimento de Bernoulli com probabilidade p de sucesso probabilidade essa que permanece constante em todas as repeticdes A variavel aleatéria que associamos aos experimentos binomiais dos dois exemplos foi X numero de sucessos Se o experimento binomial consiste em n repeticdes entdo os valores possiveis de X sao 012n O evento X x corresponde a todas as sequéncias de resultados com x sucessos e nx fracassos Como as repeticgdes sdo independentes cada uma dessas sequéncias tem probabilidade p1p O numero total de tais sequéncias é dado pelo coeficiente binomial n definido a seguir x DSSS N Coeficiente binomial Para nek inteiros cm n k definese o coeficiente binomial como n n 35 k kn k em que n representa o fatorial de n definido como nnxn1xn2xKx2x1 36 Por definicdo 0 1 Temos condicées agora de definir a varidvel aleatéria binomial 40 CAPITULO 3 ALGUMAS DISTRIBUICOES DISCRETAS DSS Ne Variavel aleatéria binomial Para um experimento binomial consistindo em n repeticdes independentes de um experimento de Bernoulli com parametro p defina a variavel aleatoria X numero de sucessos Entao X tem distribuicdo binomial com pardmetros n e p cuja fungdo de probabilidade é dada por N k nk PX k k p1p k 012n 37 Verificagao das condigdes definidoras de uma funcao de probabilidade G I E imediato ver da Equacao 37 que PX k 0 Para mostrar que a soma das probabilidades é 1 usaremos o teorema do binédmio de Newton TEOREMA 31 Dados dois nimeros reais quaisquer x e a e um inteiro qualquer n entdo n n n kV nk x a Ro 38 k0 a Aplicando esse teorema a distribuigdo binomial temos que n n n yop K Pott py f 4 1p 1 k0 k0 Assim a equacao 37 realmente define uma funcdo de probabilidade Vamos denotar por X binn p o fato de ava X ter distribuicdo binomial com pardmetros n e p 342 Esperanga e Variancia No Apéndice A provase que EX np X binnp 39 Var X np 1 p 34 DISTRIBUICAO BINOMIAL 41 Note que a esperanca e a varidncia da binomial sdo iguais a esperanca e a variancia da distribuicdo de Bernoulli multiplicadas por n o numero de repeticdes Podese pensar na distribuigdo de Bernoulli como uma distribuigdo binomial com pardmetros 1 p EXEMPLO 37 Tiro ao alvo Um atirador acerta na mosca do alvo 20 dos tiros Se ele da 10 tiros qual a probabilidade de ele acertar na mosca no maximo uma vez Solugao Podemos pensar os tiros como experimentos de Bernoulli independentes em que o sucesso é acertar no alvo e a probabilidade de sucesso é 020 Entdo 0 problema pede PX 1 em que X numero de acertos em 10 tiros Logo X bin100 20 e PX 1 PX 04 PX 1 10 10 g 0 20 0 80 0 20 0 80 037581 4 EXEMPLO 38 Partidas de um jogo Dois adversarios A e B disputam uma série de oito partidas de um determinado jogo A probabilidade de A ganhar uma partida é 06 e ndo ha empate Qual é a probabilidade de A ganhar a série Solugao Note que sé podem ocorrer vitdrias ou derrotas 0 que significa que temos repeticdes de um experimento de Bernoulli com probabilidade 06 cde sucesso vitdria do jogador A Assumindo a independéncia das provas se definimos X ntimero de vitérias de A entao X bin806 e o problema pede PX 5 isto é a probabilidade de A ganhar mais partidas que B PX 5 PX 5PX 64PX 74PX 8 8 8 5 3 6 2 0 6 0 4 0 6 0 4 5 6 8 8 7 1 8 0 0 6 04 0 6 0 4 7 8 05940864 42 CAPÍTULO 3 ALGUMAS DISTRIBUIÇÕES DISCRETAS EXEMPLO 39 Em uma distribuição binomial sabese que a média é 45 e a variância é 315 Encontre os valores dos parâmetros da distribuição Solução Temos que np 4 5 np1 p 3 15 Substituindo a primeira equação na segunda resulta 4 51 p 3 15 1 p 0 7 p 0 3 Substituindo na primeira equação obtemos que n 4 50 3 15 35 Distribuição Geométrica 351 Introdução Considere as seguintes situações i uma moeda com probabilidade p de cara é lançada até que apareça cara pela primeira vez ii em uma população muito grande pense na população mundial p das pessoas sofrem de uma rara doença desconhecida e portadores precisam ser encontrados para estudos clínicos Quais são as semelhanças entre essas daus situações No primeiro caso matematicamente falando poderíamos ter que fazer infinitos lançamentos No segundo caso muito grande pode ser uma aproximação para infinitos Em ambos os casos temos repetições de um experimento de Bernoulli No primeiro caso as repetições certamente podem ser consideradas independentes No segundo caso também podemos assumir independência desde que esqueçamos os fatores genéticos por um momento Então temos repetições independentes de um experimento de Bernoulli e estamos interessados no número de repetições até a ocorrência do primeiro sucesso cara no caso da moeda pessoa portadora no estudo epidemiológico Vamos agora formalizar a definição de tal variável e obter a sua função de probabilidade 35 DISTRIBUIÇÃO GEOMÉTRICA 43 352 A Distribuição Geométrica Consideremos então repetições independentes de um experimento de Bernoulli com probabilidade p de sucesso Vamos definir a variável aleatória que representa o número de repetições até a ocorrência do primeiro sucesso Os possíveis valores dessa variável são 1 primeiro sucesso na primeira repetição 2 primeiro sucesso na segunda repetição e portanto fracasso na primeira 3 primeiro sucesso na terceira repetição e portanto fracasso nas duas primeiras etc Esse é um exemplo de va discreta em que o espaço amostral enumerável é infinito Para calcular a probabilidade do evento X k k 1 2 3 devemos notar que tal evento corresponde à ocorrência de fracassos nas k 1 primeiras repetições e sucesso na késima repetição Denotando por Fi e Si a ocorrência de fracasso e sucesso na iésima repetição respectivamente temos a seguinte equivalência de eventos X k F1 F2 Fk1 Sk Como as repetições são independentes segue que P X k P F1 F2 Fk1 Sk P F1 P F2 P Fk1 P Sk 1 p 1 p 1 p p ou seja PX k 1 pk1p k 1 2 3 DEFINIÇÃO Variável aleatória geométrica Para repetições independentes de um experimento de Bernoulli com parâmetro p defina a variável aleatória X número de repetições até a ocorrência do primeiro sucesso Então X tem distribuição geométrica com parâmetro p cuja função de probabilidade é dada por PX k 1 pk1p k 1 2 3 310 Dizemos que X tem distribuição geométrica com parâmetro p o único valor necessário para especificar completamente a fdp e vamos representar tal fato por X Geomp As características definidoras desse modelo são i repetições de um mesmo experimento de Bernoulli o que significa que em todas elas a probabilidade de sucesso e portanto de fracasso é a mesma e ii as repetições são independentes No caso do lançamento de uma moeda essas hipóteses são bastante plausíveis mas no caso da doença a hipótese de independência pode não ser satisfeita por exemplo pode haver um componente de hereditariedade 44 CAPITULO 3 ALGUMAS DISTRIBUICOES DISCRETAS Para estudar as propriedades da variavel geométrica faremos uso de alguns resultados sobre séries geométricas que serdo apresentados a Secao 39 Para mostrar que 310 realmente define uma funcdo de probabilidade temos que mostrar que a soma das probabilidades isto é a probabilidade do espaco amostral é 1 obviamente PX k 0 Cc Cc Cc dPIXk 1p pp 1py k1 k1 k1 Fazendo j k 1 temos que k15 j0ekoo j ow Portanto Cc co yPXkp 1p k1 j0 Usando 322 com r 1 p obtémse que 1 PX k p 1 11 hod 1 p 353 Esperanca e Variancia No Apéndice A provase que 1 Ex p XGeomp 311 1p Var X P p 36 Distribuigao binomial negativa 361 Definicao Consideremos novamente repeticdes independentes de um experimento de Bernoulli com probabilidade p de sucesso Vamos considerar agora uma generalizacao da va geométrica no seguinte sentido X ntimero de repeticdes necessarias até a obtencdo do résimo sucesso r 1 Note que r 1 corresponde a distribuigdo geométrica Para definir os possiveis valores de X devemos notar que para ter r sucessos sao necessarios no minimo r repeticdes Logo os possiveis valores de X sdo rr1r2 O evento X k indica que foram necessarias k repeticdes para obter r sucessos e portanto 36 DISTRIBUICAO BINOMIAL NEGATIVA 45 k 1 repeticoes er 1 sucessos aqui r2S X k repeticgdes Figura 32 llustracdo dos resultados da binomial negativa kr fracassos Pela definigdo da variavel a ultima repeticdo resultou em sucesso e os outros r 1 sucessos podem estar em quaisquer das k 1 posicgées restantes ver figura 32 Uma sequéncia possivel de resultados ter os r 1 sucessos nas primeiras posigdes os k r fracassos nas posicdes seguintes e o ultimo sucesso na Ultima posicdo S1S1FFe1Sx A probabilidade de tal sequéncia é dada pelo produto das probabilidades ja que as repetic6es sao independentes isto é PS1NN Spt NFO FR1 9 Sk PS x x PS1 x PF x x PFx1 x P Sx pxxpx1pxx1px pp1pk Mas existem 71 maneiras de arrumar r 1 sucessos em k 1 posigées e as sequéncias resultantes tém todas a probabilidade acima Como elas constituem eventos mutuamente exclusivos a probabilidade da unido delas que é PX k é a soma das probabilidades ou seja r k r kr r k PX kp1p p 1pp1p em que o numero de parcelas é K Logo k1 PX k Net pyit kr a SSN Xe Varidvel aleatéria binomial negativa Para repeticdes independentes de um experimento de Bernoulli com pardmetro p defina a variavel aleatoria X numero de repetic6es até a ocorréncia do r ésimo sucesso Entao X tem distribuigdo binomial negativa com pardmetros r e p cuja funcdo de probabilidade é dada por D k1 r kr PX k 1 P 1 p kr 312 a 46 CAPITULO 3 ALGUMAS DISTRIBUICOES DISCRETAS Essa distribuicdo também conhecida como distribuido de Pascal Se X tem tal distribuigdo vamos representar esse fato por X BinNegr p Como PX k 0 para mostrar que 312 realmente define uma fdp fica faltando mostrar que co Cc k1 PXk 1 p1pk 1 a kr kr Fazendo k r j temos quekrjOekrj Logo co co co rj1 r1 YPXk 1 p py p 1h py r1 r1 kr j0 j0 Usando o resultado dado na equacao 324 da Secdo 39 com k r1er1p obtemos que 1 PXkhp PX kp a apy 1 kr I vy 37 Distribuigao hipergeométrica 371 Introdugao Considere a situacdo do Exemplo 36 em que 3 bolas eram retiradas de uma urna composta por 4 bolas brancas e 6 bolas verdes Naquele exemplo as extracdes eram feitas com reposicgdo Vamos supor agora que as extracdes sejam feitas sem reposicdo O que muda A primeira observacaéo é a de que as probabilidades em cada extragdo dependem das extracdes anteriores ou seja ndéo temos mais independéncia ou probabilidades constantes A segunda observagdo é que cada subconjunto de 3 bolas é igualmente provavel ja que as extracdes sao aleatorias O ntimero total de subconjuntos de 3 bolas retiradas das 10 bolas 1 da urna é 2 e portanto cada subconjunto tem probabilidade 7 5 Vamos considerar novamente a variavel aleatoéria X que representa 0 numero de bolas brancas extraidas Como ha 6 bolas verdes na urna é possivel que todas as trés bolas extraidas sejam verdes isto é X 0 é 0 valor minimo No outro extremo como ha 4 brancas na urna é possivel que todas as bolas extraicdas sejam brancas ou seja X 3 é o valor maximo E possivel obter também 1 ou 2 bolas brancas Logo os valores possiveis de X sao 0 1 2 3 Vamos calcular a probabilidacde cle cada um desses valores e X0 Ter 0 bola branca na amostra significa que todas as 3 bolas séo verdes Como ha 6 6 bolas vedes o numero de maneiras que podemos retirar 3 bolas verdes é dado por 3 Logo PX 0 3 3 3 37 DISTRIBUICAO HIPERGEOMETRICA 47 eX1 Ter 1 bola branca na amostra significa que as outras 2 sdo verdes Como ha 4 bolas brancas 0 numero de maneiras que podemos retirar 1 bola branca é dado por 7 Analogamente como ha 6 bolas verdes 0 numero de maneiras que podemos retirar 2 bolas verdes é Pelo Principio Fundamental da Multiplicagdo o numero de maneiras que podemos retirar 1 bola branca e 2 bolas verdes é 7 x 6 Logo PX 1 i x G 5 3 eX2eX3 Analogamente PX 2 3 x 4 3 3 4 6 x pX 3 a a PX 3 9 3 Suponhamos que nossa amostra seja agora de 5 bolas Como sé ha 4 bolas brancas nao é possivel obter uma amostra formada apenas por bolas brancas Mas vamos pensar por um momento que pudéssemos ter X 5 Seguindo o racioctonio anterior teriamos que 4 6 x pX 5 6 Co PX 5 9 5 Lembrese de que o coeficiente binomial 2 foi definido para n k no entanto se definirmos n 0 senk 313 k isso resulta numa probabilidade nula para o evento impossivel X 5 Essa observacao sera util na definicdo da distribuicdo hipergeométrica apresentada a seguir 372 A Distribuicao Hipergeometrica A generalizacao do contexto do exemplo anterior é a seguinte temos uma populacdo de tamanho N a urna com as bolas dividida em 2 classes duas cores uma composta de r sucessos e a outra composta de N r fracassos Dessa populacaéo vamos extrair uma amostra de tamanho n sem reposido A variavel aleatéria de interesse é X ntimero de sucessos na amostra 48 CAPITULO 3 ALGUMAS DISTRIBUICOES DISCRETAS Valores possiveis de X Para determinar os valores possiveis de X temos que considerar diferentes possibilidades para a composicdo da populacdo em termos dos numeros de sucessos e fracassos relativos ao tamanho da amostra e Se houver sucessos e fracassos suficientes isto é se r ne Nr 1n entao os possiveis valores de X variam de 0 amostra formada sé por fracassos a n amostra formada sé por sucessos e Se houver sucessos suficientes mas nao fracassos isto é ser neNrn naoé possivel ter uma amostra formada sé por fracassos 0 nimero maximo de fracassos na amostra é Nr e portanto o numero minimo de sucessos é nNr Logo os valores de X variam de nNr an llustrando N6n 3r4 Nr 2 n como so ha dois fracassos a amostra tem que conter pelo menos 1 sucesso ou seja podemos ter 1S 2F ou 251F ou 3S OF e Se houver fracassos suficientes mas nado sucessos isto é se Nrner n nao é possivel ter uma amostra formada so por sucessos 0 nlimero minimo de sucessos na amostra é 0 e o numero maximo é r llustrando N6n3r2nNr4 nn como so ha dois sucessos 0 numero maximo possivel de sucessos na amostra é 2 ou seja podemos ter 0S 4F 1S3F e 2S 2F Calculo das probabilidades O numero total de amostras de tamanho n que podem ser extraidas de uma populacao de tamanho N sem reposicao é note que isso equivale ao numero de subconjuntos ce tamanho n do conjunto universo de tamanho N Para calcular a probabilidade de k sucessos na amostra PX k vamos considerar as 3 situacdes anteriores e Sucessos e fracassos suficientes Ha 1 maneiras de tirarmos k sucessos e maneiras de tirar os fracassos que completam a amostra Logo r Nr k k PX k 314 N n e nesse caso os valores de k vao de 0 an e Sucessos suficientes mas nado fracassos 37 DISTRIBUICAO HIPERGEOMETRICA 49 Vimos que os valores de X variam de nNr an Para qualquer valor k nNr 0 coeficiente binomial N71 sera 0 pela definicdo 313 Por exemplo se k nNr1 resulta Nr Nr Nr 0 nk nnNr1 Nr1 Entdo ainda podemos usar a Equacdéo 314 para calcular as probabilidades considerando k variando de 0 an e Fracassos suficientes mas nado sucessos Vimos que os valores X variam de 0 a r Para qualquer valor k r o coeficiente binomial 1 sera 0 pela definicdo 313 Entdo ainda podemos usar a Equacao 314 para calcular as probabilidades considerando k variando de 0 a n Resumindo r Nr k k PX k k0n 315 DSSS N Variavel aleatoria hipergeometrica De uma poupulacao de tamanho N formada por r sucessos e Nr fracassos extrai se uma amostra de tamanho n sem reposicdo Se a variavel de interesse é X numero de sucessos na amostra entao r Nr k k PX k k0n 316 N n onde se adota a convencao 2 Osekn Essa é a distribuicdo hipergeométrica com pardmetros N r en Notagdo X hiperNrn Verificagao das condigédes definidoras de uma fungao de probabilidade No Apéndice A provase que a Equacdo 316 realmente define uma funcdo de probabilidade Obviamente PX K 0 e com base em argumentos combinatorios provase n D que pg PX k 1 50 CAPÍTULO 3 ALGUMAS DISTRIBUIÇÕES DISCRETAS 373 Esperança e Variância No Apêndice A provase que X hiperN r n E X n r N V ar X n r N N r N N n N 1 317 374 Distribuição binomial versus distribuição hipergeomtrica Vamos fazer agora algumas comparações entre as distribuições binomial e hipergeométrica considerando que elas descrevem a extração de amostra de tamanho n No contexto da binomial a amostra é retirada com reposição enquanto na hipergeométrica as extrações são feitas sem reposição A esperança da binomial é igual ao produto do tamanho da amostra pela probabilidade de sucesso na hipergeométrica a esperança também é o produto do tamanho da amostra pela probabilidade de sucesso probabilidade essa tomada apenas na primeira extração A variância da binomial é igual ao produto do tamanho da amostra pelas probabilidades de sucesso e fracasso Na hipergeométrica considerando apenas a primeira extração a variância é igual a esse produto mas corrigido pelo fator N n N 1 Em pesquisas estatésticas por amostragem normalmente lidamos com amostragem sem reposição No entanto os resultados teóricos sobre amostragem com reposição são bem mais simples pois envolvem variáaveis independentes assim costumase usar uma aproximação sempre que possível Ou seja quando a população tamanho N é suficientemente grande de modo que podemos encarála como uma população infinita e o tamanho da amostra é relativamente pequeno podemos ignorar o fato de as extrações serem feitas sem reposição Lembrese que a probabilidade em extrações sucessivas são 1 N 1 N1 1 Nn Então se N é grande e n é pequeno temos que N N 1 N n Nessas condições extrações com e sem reposição podem ser consideradas como equivalentes O termo que aparece na variância da hipergeométrica Nn N1 é chamado correção para populações finitas exatamente porque se a população é pequena não podemos ignorar o fato de as extrações estarem sendo feitas sem reposição 38 A distribuição de Poisson 381 Aproximação da binomial Suponhamos que estejamos observando um determinado fenômeno de interesse por um certo período de tempo de comprimento t com o interesse de contar o número de vezes X que 38 A DISTRIBUICAO DE POISSON 51 determinado evento ocorre Vamos fazer as seguintes hipdteses sobre a forma como esse evento ocorre H1 Em um intervalo de tempo suficientemente curto apenas 0 ou 1 evento ocorre ou seja 2 ou mais ocorréncias nado podem acontecer simultaneamente Entdo em cada um desses intervalos temos um experimento de Bernoulli H2 A probabilidade de exatamente 1 ocorréncia nesse pequeno intervalo de tempo cde comprimento At proporcional a esse comprimento ou seja AAt Logo a probabilidade de nenhuma ocorréncia é 1 AAt H3 As ocorréncias em intervalos pequenos e disjuntos sdo experimentos de Bernoulli independentes Estamos interessados na va X nlmero de ocorréncias do evento no intervalo 0 t Particionando esse intervalo em n pequenos subintervalos de comprimento At temos que o numero total de ocorréncias sera a soma do numero de ocorréncias em cada subintervalo Mas em cada subintervalo podemos aplicar as hipdteses acima Logo X é uma variavel binomial A t t y com pardmetros n At note que At e probabilidade de sucesso igual a AAt pela n hipotese 2 acima Entao para k 012n temos que k nk n n At At PX k AAt 1 AAt 1 k k n n k n 1 At At x x at x 1 x 1 knk on n n k nn 1nk1nk 1 Atk 1 At 1 At Se x xX J 1 x I n k nk k n n k nn 1nk 1 At At At KK IT OX I n k n n k n k n on1 nk1 At At At X Xe XK Xx x 1 x 1 n n n k n n Consideremos agora a situacdo em que At 0 ou equivalentemente n oo Nesse caso a va X pode assumir qualquer valor inteiro ndo negativo e k n k n n1 nk1 At At At lim PX k lim mymaty mek 1 x1 n00 noo n n n k n n k n k At At At txtxeex1x Ql stim 1 x1 AO oat k noo n k Aqui fézse uso do resultado 330 da secdo 39 que resulta em 52 CAPITULO 3 ALGUMAS DISTRIBUICOES DISCRETAS a Aproximagao da binomial pela Poisson Sejam eventos gerados de acordo com as hipoteses H1 a H3 acima Se X é o numero cde eventos em um intervalo de tempo de comprimento t entdo a funcao de probabilidade de X é At PX k I expAt k012 318 k Dizque que X tem distribuicdo de Poisson com pardmetro At X PoiAt Para mostrar que 318 realmente clefine uma fungdo de probabilidade temos que provar que PX k 1 De fato usando o resultado 331 da Secdo 39 temos que k POX k AO expat expat 9 AD expat explat 1 dPX k expAt expAt expAt expAt k0 k0 k0 Esperanca e variancia Vamos agora calcular a esperanga e a variancia de tal distribuicdo at lat EX k expAt kK al expAt k0 k1 ott At At E k1 expAt expAt k1 k1 k1 At At AtexpAt K11 At expAt d T k1 j0 At expAt expAt Logo X PoiAt EX At 319 Ex y p2aer expAt y eer expAt ko kk 1 k0 k1 at At At KEI expAt expAt kD k1 k1 co AtK7 co At At expAt dap At extn Dam 38 A DISTRIBUICAO DE POISSON 53 Cc j co j At At At y jae expAt expAt ay AtEX expAt expAt At At Aqui fézse uso dos resultados 319 e 331 da secao 39 Logo VarX At At At ou X PoiAt VarX At 320 A interpretagdo desses resultados nos da que 0 ntimero médio de ocorréncias do evento em um intervalo de comprimento t é At proporcional ao comprimento Fazendo t 1 obtém se o numero médio de ocorréncias em um intervalo unitario Note que a esperanca e a variancia sao iguais 382 A distribuigao de Poisson Vamos apresentar agora a definicgdo geral da distribuigdo de Poisson usando uma outra parametrizacao DSsINNe Distribuicdo de Poisson Dizse que uma variavel aleatoria X tem distribuigdo de Poisson com pardmetro A se sua funcao de probabilidade é dada por Ak PXke k012 k Nesse caso a esperanca e a varidncia de X sao dadas por EX VarX p 321 Pelos resultados anteriores 1 o numero médio de ocorréncias do evento de interesse em um intervalo unitario e o nlmero de ocorréncias num intervalo qualquer é proporcional ao comprimento do intervalo 54 CAPITULO 3 ALGUMAS DISTRIBUICOES DISCRETAS 39 Alguns resultados de calculo 391 Séries geométricas Recordemos inicialmente a progressdo geométrica pg de razdo r dada por 1 r02P r Para calcular a soma S 1rr24r dos n primeiros termos cle uma pg note que se r 1 podemos escrever QnS nQ4trtere4r 1trtret4rrt ret tr 1r Logo 1 pot 146 re 6 r1 r Além disso se r 1 lim r 0 Logo a soma dos termos da pg converge quando n oo noo isto é 1 lim S noo 1 fPr oo Mas S nada mais é do que a nésima soma parcial da série geométrica r Resulta i0 assim que a série geométrica converge ou seja Cc vor 7 ose Irit 322 i0 Note que podemos escrever atencdo aos indices dos somatorios co Cc 1 Cc r r 1 d To se r i0 i1 i1 ou 1 r ee se r 1 323 d 1r 1r Ir i1 Usando resultados sobre diferenciagdo de funcgdes representadas por séries de poténcias obtemos o seguinte resultado Cc co ki ki 1 rie ri 324 ee et ee 24 i0 i0 Mas note que ki 12é6162ik 1 i 2 i k 325 k J ik k 39 ALGUNS RESULTADOS DE CALCULO 55 e portanto fk i 1 2 ikK 1 me ee i0 i0 ou equivalentemente Yt 1 2 e ky 327 1 rk1 392 O numero e base dos logaritmos naturais 1 Ch lim 1 e 328 noo n 2 tim 1 hhe 329 3 A partir desses resultados obtémse que xr sy tim 1 e 330 x De fato fazendo t 7 resulta que x x 1 x sx tim 1 Lim 1 tt i e 4 a VAER 331 k0 56 CAPÍTULO 3 ALGUMAS DISTRIBUIÇÕES DISCRETAS Capítulo 4 Exercícios 41 Enunciados 1 Cinco cartas são extraídas de um baralho comum 52 cartas 13 de cada naipe sem reposição Defina a va X número de cartas vermelhas sorteadas a Quais são os possíveis valores de X b Encontre a fdp de X c Calcule a esperança de X 2 Numa urna há sete bolas brancas e quatro bolas verdes Cinco bolas são extraídas dessa urna sem reposição Defina a va X número de bolas verdes a Quais são os possíveis valores de X b Encontre a fdp de X c calcule a esperança e a variância de X 3 Repita o exercício anterior para o caso de extrações com reposição 4 Uma variável aleatória discreta X tem a seguinte função de distribuição de probabilidade fXx k x2 x 0 1 0 x 0 e x 1 onde k é uma constante a Determine o valor de k para que fX seja uma fdp b Calcule a função de distribuição FXx c Calcule a esperança e a variância de X 5 Considere o lançamento de três moedas e denote por K a ocorrência de cara e por C a ocorrência de coroa Se ocorre o evento CCC dizemos que temos uma sequência ao passo que se ocorre o evento CKC temos três sequências Defina a va X número de caras obtidas e Y número de sequências obtidas 58 CAPÍTULO 4 EXERCÍCIOS a Obtenha as distribuições de X e Y b Calcule a esperança e a variância de X e Y 6 Um vendedor de serviços de informática visita diariamente uma ou duas empresas com probabilidades 06 e 04 Em cada visita ele pode ser malsucedido e não conseguir fechar negócio com probabilidade 06 ou ser bem sucedido e conseguir fechar um contrato médio no valor de 5000 reais ou um contrato grande no valor de 20000 reais com probabilidades 03 e 01 respectivamente Determine o valor esperado das vendas diárias desse vendedor 7 Uma empresa de aluguel de carros tem em sua frota 4 carros de luxo e ela aluga esses carros por dia segundo a seguinte função de distribuição de probabilidade No de carros alugadosdia 0 1 2 3 4 Probabilidade de alugar 010 030 030 020 010 O valor do aluguel é de R200000 por dia a despesa total com manutenção é de R50000 por dia quando o carro é alugado e de R20000 por dia quando o carro não é alugado Calcule a o número médio de carros de luxo alugados por dia bem como o desvio padrão b a média e o desvio padrão do lucro diário com o aluguel dos carros de luxo 8 As chamadas diárias recebidas por um batalhão do Corpo de Bombeiros apresentam a seguinte distribuição Número de chamadasdia 0 1 2 3 4 5 Percentual de dias 10 15 30 25 15 5 a Calcule o número médio de chamadas por dia bem como o desvio padrão do número de chamadas diárias b Em um ano de 365 dias qual é o número total de chamadas 9 As probabilidades de que haja 1 2 3 4 ou 5 pessoas em cada carro que se dirige ao Barra Shopping em um sábado são respectivamente 005 020 040 025 e 010 a Qual o número médio de pessoas por carro b Se chegam ao shopping 50 carros por hora qual o número esperado de pessoas no período das 13 às 18 horas 10 Na manufatura de certa peça é sabido que uma entre dez peças é defeituosa Uma amostra de tamanho quatro é retirada com reposição de um lote da produção Qual a probabilidade de que a amostra contenha a nenhuma defeituosa b pelo menos uma defeituosa c exatamente uma defeituosa Na solução desse exercício é importante que você identifique o experimento a variável aleatória de interesse e sua respectiva fdp 42 SOLUCAO 59 11 Um supermercado faz a seguinte promocao o cliente ao passar pelo caixa lanca um dado Se sair a face 6 tem um desconto de 30 sobre o total de sua conta Se sair a face 5 o desconto é de 20 Se sair a face 4 o desconto é de 10 e se ocorrerem as faces 1 2 ou 3 0 desconto é de 5 Seja X desconto concedido a Encontre a fungdo de distribuicgdo de probabilidade de X b Calcule 0 desconto médio concedido c Calcule a probabilidade de que num grupo de cinco clientes pelo menos um consiga um desconto maior que 10 d Calcule a probabilidade de que o quarto cliente seja o primeiro a receber 30 de desconto 12 Um atirador acerta na mosca do alvo 20 dos tiros a Qual é a probabilidade de ele acertar na mosca pela primeira vez no décimo tiro b Se ele da 10 tiros qual é a probabilidade de ele acertar na mosca exatamente uma vez 42 Solucgao 1 a No baralho ha 26 cartas vermelhas 13 de ouros e 13 de copas Logo os possiveis valores de X sao O 1 2 3 4 5 b O espaco amostral desse experimento consiste em todos os possiveis subconjuntos de 5 cartas Como a ordem nao interessa 0 numero de elementos do espaco amostral énQ 3 PX P i5 PX 0 P5 pretas 2 5 26 x 25 x 24 x 23 x 22 52x 51 x 50 x 49 x 48 23 x 22 0 0253 2x51 x2x 49x 2 2 28 D P 41 PX 1 P4 pretas1 vermelha 2 5 26 x 25 x 24 x 23 6 4ax3x2 26 x 25 x 23 x 26 52x 51 x 50x 49x 48 52x 51x 10x 49x 2 5x4x3x2 5 x 23 x 13 65 x 23 01496 2xK51xK2xK49 4x51x 490 60 CAPITULO 4 EXERCICIOS 22 PX 2 P3 pretas 2 vermelhas e 5 26x 25x24 26x25 3x2 2 26x 25x 4x 13 x 25 52x 51x 50x 49x 48 52x51 x5x 49x 4 5x4x3x2 5x 13x 25 65 x 25 903251 2x51x49 2x51 x 49 Como o numero de cartas pretas e vermelhas é 0 mesmo resulta que 25 25 PX 3 P2 pretas3 vermelhas 12 0 3251 5 7 7 PX 4 P1 preta4 vermelhas e 01496 5 5 PX 5 P5 vermelhas 3 00253 5 Logo a fdp de X é x 0 1 2 3 4 5 pxx 00253 01496 03251 03251 01496 00253 c Analisando a fdp de X vemos que ela é simétrica em torno do valor 25 Como a esperanca ou média é o centro de gravidade da distribuicdo resulta que EX 25 Vamos fazer os calculos para confirmar EX 0 x 00253 1 x 01496 2 x 03251 3 x 03251 4 x 01496 5 x 00253 25 2 Note que temos bolas brancas em quantidade suficiente para podermos tirar todas brancas X 0 mas nao temos bolas verdes suficientes para tirar todas verdes a Como ha apenas 4 verdes os valores de X sao 01 2 3 4 b O ntmero de elementos do espaco amostral é O 11 1 x1Ox9x8x7 6x7 462 5 5x4x3x2 5 PX 0 P5 brancas 5 Jy oy 43 Lt 3 11 10 9 8 7 22 66 74 PX 1 P1 verde 4 brancas Tix6 x7 4 7x6x5 TX 3X7 10 20 11x6x7 33 66 42 SOLUCAO 61 33 PX 2 P2 verdes 3 brancas WT 6 x7 4x3 x 7x6x5 2 3x2 5 30 11x6x7 11 66 33 PX 3 P3 verdes 2 brancas Tt x6 x7 7x6 11x6x7 11 66 1 PX 4 P4 verdes 1 branca 6 x7 1x7 1 11x6x7 66 Logo a fdp de X é x 0 1 2 3 4 PXxx G66 55 556 c 20 30 12 1 120 a EX 1x 42x43x4x 1818181 6 66 66 66 66 20 30 12 1 264 Ex 12x 2422 432x 444 x o 66 667 66 66 66 264 120 264 x 66 1202 VarX 0 694214876 arX 66 66 662 3 a Se as extracédes sao feitas com reposicdo em cada extracdo podemos tirar bola branca ou verde Logo os possiveis valores de X sdo 01 23 45 b Com reposicgéo sempre temos na urna 7 brancas e 4 verdes e em cada extracao temos que Pbranca 4 e Pverde a Como as extracées sdo independentes resulta que 7 16807 DIY p PX 0 PS brancas 7 115 PX 1 P1 verde 4 brancas 5 74 48020 Nay 1 11 161051 PX 2 P2 verdes 3 brancas 5 7 4 54880 N27 11 11 161051 62 CAPITULO 4 EXERCICIOS PX 3 P3 verdes 2 brancas 5 74 31360 ABP 11 11 161051 PX 4 P4 verdes 1 branca 5 74 8960 N4y 1 11 161051 PX 5 P5 verdes 1024 an 11 161051 Logo a fdp de X é x 0 1 2 3 4 5 16807 48020 54880 31360 8960 1024 PxX 7e105T T6105T T6105T 76105T To105T TOT051 A razao de multiplicarmos pelos numeros combinatorios se deve ao fato de que as bolas verdes podem sair em qualquer uma das extracées c 48020 54880 31360 8960 1024 EX 1x 42 x 3 x 4x 5x 761051 161051 161051 161051 161051 292820 761051 1818181 48020 54880 31360 8960 1024 EX 1 x 42 x 4 3 x So 4 x 5 ot x 761051 161051 161051 161051 161051 718740 161051 718740 292820 161051 x 718740 2928202 VarX 2A 1 15702479 arX 161051 serost 1610512 4 a Os valores possiveis da va sdo 0 e 1 Entdo temos que ter k ek KO h 13 545515 k ok 3k k 6 3 276 7 6 7X42 Logo 3 5 3 fx0 4 5 x0 74 3 5 1 fy1 2 x1 6 4 42 SOLUCAO 63 b A fda de X é 0 sex0 Fxx4 7 seOx1 1 sex1 c 3 1 1 3 1 1 2 gy raqytit EX O x rn 1 x 44 1 iy 3 5 a Na tabela a seguir listamse todos os elementos do espaco amostral bem como os valores das variaveis aleatorias W y CCC 3 3 1 CCK 3 22 CKC 3 2 3 KcC 3 2 2 CKK 3 12 KCK 3 13 KKC 3 1 2 KKK q 0 1 Logo as fdps de X e Y sao x 0 1 2 3 fx g 8 8 8 y 1 2 3 fyy 3 3 b As duas distribuigé6es sdo simétricas Logo 3 EX 15 x EY 2 3 3 1 24 EX x 542x543x5 3 X gre x gtr Xgq eB 33 VarX 3J arX 5 r 2 4 2 36 9 E y2 42 2 Ss 32 fF m gre XB te XE BA 9 1 VarY 2 arY 5 5 6 Veja a Figura 41 com 0 espaco amostral deste experimento Dat podemos ver que o vendedor pode 64 CAPÍTULO 4 EXERCÍCIOS não vender qualquer projeto vender apenas um projeto médio vender apenas um projeto grande vender um projeto médio e um projeto grande vender dois projetos médios ou vender dois projetos grandes 0 06 0 M 03 5000 G 01 20000 06 0 06 0 1 M 03 5000 G 01 20000 06 2 0 04 0 06 5000 M 03 M 03 10000 G 01 25000 G 01 0 06 20000 M 03 25000 G 01 40000 Figura 41 Espaço amostral para o exercício 6 Seja V a va valor das vendas diárias Usando a regra da multiplicação que diz que PA B PA PBA e o axioma da probabilidade da união de eventos mutuamente exclusivos podemos calcular PV 0 0 6 0 6 0 4 0 6 0 6 0 504 PV 5000 0 6 0 3 2 0 4 0 6 0 3 0 324 PV 10000 0 4 0 3 0 3 0 036 PV 20000 0 6 0 1 2 0 4 0 6 0 1 0 108 PV 25000 2 0 4 0 3 0 1 0 024 PV 40000 0 4 0 1 0 1 0 004 EV 5000 0324 10000 0036 20000 0108 25000 0024 40000 0004 4900 7 Na tabela a seguir temos os resultados pertinentes para a solução do problema 42 SOLUÇÃO 65 Número de carros Probabilidade Lucro por dia alugadosdia de alugar 0 0 10 4 200 800 1 0 30 2000 500 3 200 900 2 0 30 4000 2 500 2 200 2600 3 0 20 6000 3 500 200 4300 4 0 10 8000 4 500 6000 Sejam X número de carros de luxo alugados por dia e L lucro diário com aluguel de carros de luxo a EX 1 0 30 2 0 30 3 0 20 4 0 10 1 9 carros por dia EX 2 12 0 30 22 0 30 32 0 20 42 0 10 4 9 VarX EX 2 EX2 4 9 1 92 1 29 DPX 1 1356 carros por dia b EL 800 010 900 030 2600 030 4300 020 6000 010 2430 reais EL2 8002 010 9002 030 26002 030 43002 020 60002 010 9633000 VarL EL2 EL2 9633000 24302 3728100 DPL 1930 83 reais 8 a Seja X número de chamadas por dia EX 1 0 15 2 0 30 3 0 25 4 0 15 5 0 05 2 35 chamadas por dia VarX 1 0 15 4 0 30 9 0 25 16 0 15 25 0 05 2 352 1 7275 DPX 1 3143 chamadas por dia b Seja T número de chamadas em um ano Então T 365X e ET 2 35 365 857 75 9 a Seja X número de pessoas em cada carro Então sua fdp é dada por x 1 2 3 4 5 p 0 05 0 20 0 40 0 25 0 10 e EX 0 05 0 40 1 20 1 0 0 5 3 15 pessoas por carro b Seja Y número de pessoas em 50 carros em 5 horas de contagem Então Y 50 5 X 250X e EY 250 EX 250 3 15 787 5 pessoas 66 CAPITULO 4 EXERCICIOS 10 Temos uma variavel aleatoria de Bernoulli a saber 1 se peca é defeituosa X 0 se peca é nao defeituosa e PX 1 010 0 que implica que PX 0 09 Seja Y numero de pecas defeituosas na amostra de tamanho 4 Como as pecas sao sorteadas com reposicao resulta que as extracgdes sao independentes e a probabilidade de sucesso peca defeituosa permanece constante Logo Y bin401 e a PY 0 5 0 100 9 0 6501 b PY 1 1PY 0 1 0 6501 0 3439 c PY 1 70 100 9 0 2916 11 a Supondo que o dado seja honesto a fdp de X é Valor do desconto x 030 020 010 005 PX x 16 16 16 36 b Temos que 0300200103 x 005 EX oI 0125 ou um desconto médio de 125 c A probabilidade de se ter um desconto maior que 10 20 ou 30 é de 2 Seja Y numero de clientes em um grupo de cinco que recebem desconto maior que 10 Entdo Y bin 5 2 Logo PY 1 1PY 1 1PY 0 5 2 4 1 0868313 fo 3 d Seja Z numero de clientes que passam pelo caixa até primeiro desconto de 30 O evento Z 4 corresponde a 3 clientes que nado tém desconto de 30 sequidos do primeiro que tem desconto de 30 Logo 5 1 PZ4 009645 ea 5 5 12 Temos uma variavel aleatoria de Bernoulli a saber 1 se acerta no alvo X 0 se nao acerta no alvo e PX 1 020 0 que implica que PX 0 08 a Seja Z ntimero de tiros até primeiro acerto no alvo Entao Z 10 significa que o atirador erra os 9 primeiros e acerta o décimo tiro PZ 10 0 80 20 0 026844 b Seja Y ntimero de acertos em 10 tiros Entado Y bin1002 e PY 1 70 200 8 0 26844 Apéndice A Demonstracoes de propriedades de ev e y e e variaveis aleatorias discretas A1 Distribuicao Binomial A11 Esperanga EX kPrXk YK o a prk k0 k0 n k nk Lika moe P k0 Quando k 0 a parcela correspondente no somatorio é nula Logo podemos escrever note o indice cdo somatorio FX yk mk pyrk yk m nk 1 pyrk er kin kl f om kk1nkl f e como k 0 podemos fazer a divisdo o que resulta na simplificagdo EX y ky pyrk y n n 1 p xp 1p A k1In ky F M kinky PI f np kt pyr np nT kT 1 pyr k 1 n k k1 k1 k1 Fazendo j k1temos quekj1k1j0eknjn1 Logo n1 n1 EX np 1 py J 67 68APENDICE A DEMONSTRACOES DE PROPRIEDADES DE VARIAVEIS ALEATORIAS DISCRETAS Mas note que esse somatério é a expressdo do bindmio de Newton para x y com xpey1pe portanto é igual a 1 1 Esse somatério 6 também a soma das probabilidades de uma variavel binomial com pardmetros n1 e p X binnp EXnp A1 A12 Variancia Vamos calcular E xX Usando raciocinio analogo ao usado no calculo da esperanca temos que E x y k2 n p 1 p y k2 n p 1 p k kn k k0 k1 n k2 k 1 nk Dy kKka tina ki PI k1 n k k 1 nk Dy ktlin oe PI k1 nn1 k1 k gg fo 00 Dy k1ilin ke PXP Pd k1 n 1 k1 nk mpd ktine P n1 n 1 j j1 1 p 1 p J mpd it tn jai 1 P j0 np yy ea pi t pt np a pia pyr i20 jinj1 ja nj np n 1 p 1 yT 4 n n 1 p 1 yr PL Si 4 pith P PL in1 py P j0 j0 a in1 ein 1 np i 1 py np 1 py j j j Mas o primeiro somatdério é a esperanca de uma binomial com pardmetros n 1 e p portanto pelo resultado A1 6 igual a n1p Ja 0 segundo somatdério é a soma das probabilidades dos valores de uma binomial com esses mesmos pardmetros ou bindmio de Newton logo é igual a 1 Segue entdo que E x npn 1p 1 np np np A2 DISTRIBUICAO GEOMETRICA 69 e portanto Var X np np np np np np ou seja X binnp VarXnp1p A2 A2 Distribuicdo geométrica A21 Esperanga Por definigdo temos que EXkPXk kptp p kt p k1 k1 k1 Fazendo a mudanca de variavel k 1 j resulta quek f1k1j0eko5 j 00 Logo EXp i 11p j0 Usando o resultado 327 da secdo 39 com r 1 pe k 1 obtemos que 1 p EX p x EP py Logo X Geomp EX t A3 p A22 Variancia Para calcular a varidncia temos que calcular EX7 Por definicdo Ex Ykp1p py k k 1pk1 k1 k1 Py k kV py k ph k1 Como ambos os termos convergem podemos escrever FX py k 1p py k py k1 k1 pykk11pp k1 p k1 k1 70APENDICE A DEMONSTRACOES DE PROPRIEDADES DE VARIAVEIS ALEATORIAS DISCRETAS No primeiro somatorio a parcela correspondente a k 1 é nula logo podemos escrever note o indice cdo somatorio EX p kk 11 pK21 p kp1 pK k2 k1 plp kk11p kp1 p k2 k1 O segundo somatorio é a esperanca da distribuigdéo geométrica com pardmetro p logo ele é igual a Fazendo a mudanga de variavel k 2 j no primeiro somatorio resulta que EX p1 i 2j11p X p Pot 27 101 pY 5 Usando o resultado 327 da secdo 39 com r1pek 2 obtemos que 2 1 Ex p1p x 11p Pp 21p 1 22pp 2p zy to 2 2 Pp Pp Pp p Segue que 2p 1 VarX EX EXP 5 Logo 1 X Geomp VarX A4 I A3 Distribuicao Hipergeomeétrica A31 Condigédes definidoras de uma fungao de probabilidade Vimos que se X hipernrn entao i Pxaky KAM AKE plop A5 N 7 Obviamente PX k 0 Provar que PrX k 1 equivale a provar que r Nr N R 8 06 k0 A3 DISTRIBUICAO HIPERGEOMETRICA 71 Do teorema do bindmio de Newton sabemos que in xy xy A7 Mi J e temos também a igualdade 14x 14x 14 x A8 Para provar o resultado A6 vamos calcular os coeficientes de x em ambos os termos da igualdade A8 Esses coeficientes tém que ser iguais Por A7 a expressao do lado direito de A8 é N N N N 1x J a J e portanto 0 coeficiente de x é obtido fazendo Nj n j Nn ou seja 0 coeficiente de x é N N Nn n No lado esquerdo de A8 a poténcia x decorre da multiplicacdo de x vindo do primeiro termo 1 x por x vindo do segundo termo 1 x r r 1x xt x j0 Logo o coeficiente de x é obtido fazendo rj k j rk ou seja 0 coeficiente é r r rk k Analogamente o coeficiente de x em 1 x é obtido fazendo nk Nrjj N r n k ou seja 0 coeficiente é Nr Nr Nrnk k oo konk r Nr Sendo assim os coeficientes de xx sao a k 0n 0 que implica k que o coeficiente de x no lado esquerdo de A8 é n r Nr A10 D k0 Por A8 os coefictentes dacdos em A9 e A10 tém que ser iguais Igualandoos obtemos o resultado desejado dado em A6 72APENDICE A DEMONSTRACOES DE PROPRIEDADES DE VARIAVEIS ALEATORIAS DISCRETAS A32 Esperanga Weare k k 1 r Nr Ex kA K note o indice d D k k n n 12 rr 1 Nr dE 1M ky porque k 0 k1 n org r1 Nar a TN Yanan kT n n1 r r 1 Nr IN Yan ti n n1 r r1 N1r1 GEES m0 pate n r N1 rniNn N 1 IN 1 N n 1Nn n Logo X hiperNrn 3 EX na A11 A33 Variancia Vamos calcular EX ieee k k 1 r Nr Ex x tet YH note o indice k k n n 1 SG rr1 Nr IN Yen n roo r 1 Nr ps Eetaeane or nm porque k 0 k1 n A3 DISTRIBUICAO HIPERGEOMETRICA 73 n1 r r 1 Nr N dit eee U n r r1 Nr yun j Van i j0 n n1 n1 r r1 Nr r1 Nr ey SG Me ECG Vlad F J i Ve spo Gy FP ts n No Se yN n1 n1 n1 lf n1j j n1j 7 N bs N1 Dd N1 j0 j0 n n1 n1 Mas 0 primeiro somatorio é a esperanca de uma hipergeométrica com parametros N1n1 e r1e 0 segundo somatorio é a soma das probabilidades no espaco amostral de uma hipergeométrica com os mesmos pardmetros Segue entdo que N1 1 r1 2 Ex 7 in Va 1 n my n1r1N1 ON N1 e portanto rn n1r1 N1 ni r Va r X a aX N1 N2 my Nar nNNrNN2NNoarnr ON NN 1 7 nt NIN 1 F N n ON NN 1 ou seja or NrNn XhiperNrn VarX I Nao A12