Material de Apoio para Curso Presencial de Indução Magnética e Circuitos - Prof. Diego Alexandre Duarte

Física 3 EMB5043 Indução magnética e circuitos MATERIAL DE APOIO PARA CURSO PRESENCIAL Prof Diego Alexandre Duarte Universidade Federal de Santa Catarina Centro Tecnológico de Joinville Sumário Fluxo magnético Lei de Faraday Lei de Lenz Transferência de energia Campo elétrico induzido Indutores e indutância Autoindução Circuito RL Energia em indutores Indução mútua Resolução de problemas da Lista 10 Material para estudos Capítulo 30 do Halliday volume 3 e capítulo 9 do Moysés volume 3 Estudar os problemas da Lista 10 que está disponível em diegoduartepaginasufscbr Fluxo magnético Lei de Faraday Lei de Faraday A equação 1 também é válida ao variarmos a intensidade do campo magnético com os componentes do circuito em repouso Lei de Lenz Heinrich Friedrich Emil Lenz propõe logo após Faraday a lei que dá interpretação para o sinal negativo da lei de Faraday A corrente induzida em uma espira tem um sentido tal que o fluxo magnético produzido pela corrente se opõe a variação do fluxo magnético externo Transferência de energia Considere uma espira de largura L imersa numa região de campo magnético uniforme B perpendicular ao plano A espira é deslocada bruscamente para direita com velocidade v Com isso o fluxo magnético é reduzido gerando uma fem induzida onde o sinal negativo indica que o fluxo induzido se opõe ao fluxo do campo magnético externo Considerando que a espira d BLx d dx BLx BL BLv dt dt dt ξ Φ Φ possui uma resistência elétrica R podemos escrever a fem como pela lei de Ohm BLv Ri BLv i R Como existe corrente elétrica pelo circuito haverá dissipação de energia por efeito Joule Para obter a potência dissipada considere 2 2 2 2 2 BLv B L v P i R R R R Campo elétrico induzido Campo elétrico induzido O campo elétrico induzido é não conservativo ξ E dl N dΦB dt o que é diferente dos campos elétricos que estudamos até o momento ΔV E dl 0 Os campos elétricos que estudamos são provocados por cargas elétricas e possuem geometria aberta ao passo que campos elétricos induzidos formam linhas fechadas e como campos induzidos não são conservativos não podemos atribuir o conceito de potencial elétrico apenas o conceito de força eletromotriz Resolução de problemas LISTA 10 PROBLEMA 1 Item a Vista superior Para determinar a frequência a amplitude da fem devemos calcular o fluxo magnético através da área da espira ΦB B dA BA B A0 πa² 2 cos θ em que A0 representa a área estática O ângulo θ é dinâmico e dado por θ ωt ΦB B dA BA B A0 πa² 2 cosωt com ω 2πf f ω 2π 40Hz Para obter a fem induzida devemos obter a primeira derivada de ΦB Resolução de problemas LISTA 10 PROBLEMA 1 Item b A amplitude da fem induzida é o termo que multiplica a função seno 2 2 0 cos sin 2 2 d B d a B a B A t t dt dt π π ω ξ ω ω Φ 2 2 2 0020 0020 40 32 mV 2 B a A B a f π ω π π 2 Resolução de problemas LISTA 10 PROBLEMA 4 Item a O fluxo magnético é dado por ΦB B dA BdA μ0i 2π y x dy μ0i x 2π 1 y dy e o módulo da fem induzida será ξ dΦB dt d dt μ0i x 2π ln a L a μ0i v 2π ln a L a Substituindo os valores do enunciado obtemos ξ μ0i v 2π ln a L a 4π10⁷100500 2π ln001 010 001 240 μV Resolução de problemas LISTA 10 PROBLEMA 4 Item bd A corrente elétrica que atravessa a barra metálica é dada por A potência dissipada é 240 600 A 0600 mA 0400 Ri i R ξ ξ µ 0400 0600 10 3 2 0144 μW P Para que a barra se mova com velocidade constante a soma das forças que atuam sobre ela deve ser zero Isso indica que existe a força magnética causada pela corrente induzida calculada no item b e outra força F0 de origem desconhecida Vamos atribuir arbitrariamente essa força a uma corrente i0 que pode ser devido a um circuito ligado numa fonte omitida Logo iIND i0 dFIND dF0 0 IND dm dv dF dF dt dm y Resolução de problemas LISTA 10 PROBLEMA 4 Item d e e Quando a aceleração é zero v constante obtemos 0 0 2 IND IND IND i dF dF i dyB y i dy y µ π 0 0 0 ln 2 2 a L IND IND IND a i i i dy a L F F i y a µ µ π π Substituindo os valores obtemos A taxa de realização de trabalho é a potência desta força 2 2 a y a π π 7 3 0 0 4 10 0600 10 100 001 010 ln ln 287 nN 2 2 001 IND IND i i a L F F a π µ π π 287 10 9 500 0144 μW IND P F v A potência transmitida pela força é integralmente consumida pelo circuito Indutores e indutância Considere um solenóide com corrente i que produz um fluxo magnético em seu interior O fluxo produzido por unidade de corrente é chamado de indutância L em que N é o número de enrolamentos do solenóide A indutância de um indutor é dada em henry H N B L i Φ henry H 1 H 1 Tm2A Um solenoide de área A comprimento L e N espiras é percorrido por uma corrente elétrica i ΦB B dA BA μ0 ηi A em que η Nl é a densidade de espiras Com o resultado obtemos a indutância por unidade de comprimento do solenoide L NΦBi N μ0 ηi A i η lμ0 η A μ0 η² A A indutância depende apenas de propriedades geométricas do indutor Ll μ0 η² A Considere um indutor de indutância L conectado em série com uma fonte de tensão com fem ξ e um resistor de resistência R O circuito possui corrente i Quando a fonte é ligada ou desligada ou a fem é aumentada ou reduzida produzimos um fluxo variável pelo indutor De acordo com a lei de Faraday haverá a produção de uma fem induzida ξL no indutor que produzirá um fluxo em oposição ao fluxo produzido dentro do solenoide ξL N dΦBdt dNΦBdt dLidt L didt A fem induzida vai gerar uma corrente induzida iind que tem mesmo sentido da corrente de fonte caso i seja reduzida tem o sentido oposto da corrente da fonte caso i seja aumentada Indutores e indutância INDUTORES EM SÉRIE Considere os indutores L1 e L2 em série conforme a figura ao lado Aplicando a lei da malhas temos 1 2 0 di di L L dt dt ξ que pode ser escrito como ξ ξ que pode ser escrito como O termo entre parênteses pode ser escrito como uma indutância equivalente Leq Desta forma para um circuito com N indutores em série a indutância equivalente é dada por 1 2 eq di di L L L dt dt ξ 1 N eq i i L L Indutores e indutância INDUTORES EM PARALELO Considere os indutores L1 e L2 em paralelo conforme a figura ao lado Considerando que a corrente i1 passa pelo indutor L1 e a corrente i2 pelo indutor L2 temos que pode ser reescrito como 1 2 1 2 di di di i i i dt dt dt que pode ser reescrito como em que ξ1 ξ2 ξ Logo para um circuito com N indutores em paralelo Leq é dado por 1 1 1 N eq i i L L ξ ξ 1 2 1 2 1 2 1 2 eq eq L L L L L L ξ ξ ξ ξ ξ ξ Circuito RL Considere um indutor de indutância L conectado em série com um resistor de resistência R e com uma fonte de tensão com fem ξ por meio de uma chave S Ao conectarmos a chave no terminal a obtemos a EDO 0 di Ri L dt ξ Que pode ser reescrita como Que pode ser reescrita como A solução é obtida considerando a condição de contorno A corrente no circuito é zero em t0 0 A corrente aumenta até i no instante t 0 di R i dt L L ξ a solução é análoga do circuito RC 1 Rt L i t e R ξ Circuito RL SOLUÇÃO GRÁFICA A solução it é apresentada abaixo considerando ξ 10 V e diferentes valores para R e L 1 Rt L i t e R ξ O termo LR é chamado de constante de tempo indutiva τL e mede o quão rápido a corrente aumenta ou diminui no circuito Quando t τL a corrente no circuito é 632 da corrente total Circuito RL SOLUÇÃO GRÁFICA As curvas abaixo foram obtidas com ξ 10 V R 2000 Ω e L 40 H 1 Rt L VR t Ri t e ξ Rt L L di V t L e dt ξ Resolução de problemas LISTA 10 PROBLEMA 7 Itens a e b Enquanto o fusível não queima a corrente passa por ele pois tem resistência muito menor que R Assim Desta forma o fusível de 30 A queima em 15 s após ligar o 10 0 2 5 L di i t t t dt L ξ ξ Desta forma o fusível de 30 A queima em 15 s após ligar o circuito Após a queima do fusível o circuito sofre uma transição e a corrente passa principalmente pelo resistor R pois o fusível adquire resistência infinita Logo teremos um circuito RL Para obter a evolução da corrente no tempo resolvemos a lei das malhas 15 30 15 0 30 i t R t L di di R Ri L dt i t e dt L R R i R ξ ξ ξ ξ Resolução de problemas LISTA 10 PROBLEMA 7 Itens b 0 0 i 0 0 15 30 A 0666 A i i t i t Energia em indutores Considere um indutor de indutância L conectado em série com uma fonte de tensão com fem ξ e um resistor de resistência R O circuito possui corrente i A EDO que descreve este circuito é 0 di Ri L dt ξ dt Podemos reescrever a EDO para identificarmos quem transfere e absorve potência 2 0 di i Ri L dt i ξ Potência fornecida pela fonte Potência dissipada no resistor Potência absorvida no indutor Energia em indutores A potência absorvida pelo indutor é o que permite obter a energia armazenada no dispositivo dUL di P L i dt dt 2 1 i L L dU Lidi U L idi Li 0 2 L L dU Lidi U L idi Li Considerando que o indutor possui área A e comprimento l a densidade de energia uL é 2 2 2 2 0 0 0 2 2 2 L L Al U Li B B u Al Al Al µ η µ η µ 2 0 2 L B u µ Indução mútua Considere dois circuitos iguais onde cada um é formado por dois solenóides com um ligado em uma fonte com fem constante e outro conectado em um amperímetro Na figura da esquerda a bobina 1 possui corrente elétrica i1 e N1 enrolamentos que produzem um campo magnético B e um fluxo magnético sobre 1 1 campo magnético B1 e um fluxo magnético sobre a bobina 2 dado por N2Φ21 em que N2 é o número de enrolamentos na bobina 2 e Φ21 o fluxo em 2 devido 1 Na figura da direita a bobina 2 possui corrente elétrica i2 e N2 enrolamentos que produzem um campo magnético B2 e um fluxo magnético sobre a bobina 1 dado por N1Φ12 em que N1 é o número de enrolamentos na bobina 1 e Φ12 o fluxo em 1 devido 2 Indução mútua Esse arranjo faz surgir a chamada indutância mútua e em que M21 é a indutância da bobina 2 devido 1 e M12 é a indutância da bobina 1 devido 2 As indutâncias mútuas são iguais desta forma 2 21 21 1 N M i Φ 1 12 12 2 N M i Φ 21 12 M M M Quando existe variação de corrente nas bobinas as equações acima mostram que haverá fem induzida sendo um resultado fundamental para a construção de transformadores de indução 1 12 12 2 1 1 2 21 21 1 2 2 d N d di N M dt dt dt d N d di N M dt dt dt ξ ξ Φ Φ Φ Φ Resolução de problemas LISTA 10 PROBLEMA 10 O fio infinito produz um campo magnético sobre a espira desta forma gera um fluxo magnético A indutância do enrolamento devido o campo produzido pelo fio é dada por 0 2 a b a b B a a i N N N M BdA ldy i i i y µ π Φ y dy a a 0 0 ln 2 2 a b a Nl Nl dy a b M y a µ µ π π Substituindo os valores temos 7 0 4 10 100 030 90 ln ln 132 μH 2 2 10 Nl a b M a π µ π π Dúvidas diegoduarteufscbr Skype diegoad Encontrou algum erro nesta aula Me informe via email Física 3 EMB5043 Corrente alternada e circuitos MATERIAL DE APOIO PARA CURSO PRESENCIAL Prof Diego Alexandre Duarte Universidade Federal de Santa Catarina Centro Tecnológico de Joinville Sumário Circuitos LC Circuitos RLC Corrente alternada Carga resistiva Carga capacitiva Carga Indutiva Carga Indutiva Circuito RLC em série Constante de fase Potência Transformadores Resolução de problemas da Lista 11 Material para estudos Capítulo 31 do Halliday volume 3 e capítulo 10 do Moysés volume 3 Estudar os problemas da Lista 11 que está disponível em diegoduartepaginasufscbr Circuitos LC Considere um circuito formado por um indutor de indutância L e um capacitor de capacitância C carregado com carga q conectados em série 2 2 0 0 q di d q q L C dt dt LC Como o capacitor está carregado q0 q0 e a solução da equação acima é dada por em que q0 é a carga do capacitor em t0 0 A frequência de oscilação nas placas do capacitor é 0 cos q t q ωt 1 LC ω Circuitos LC A corrente no circuito é dada por indicando que a corrente é máxima quando a carga no capacitor é zero e viceversa Como foi demonstrado em aulas passadas as energias em cada dispositivo são dadas por 0 sin dq i t q t dt ω ω mostrando que a energia total é conservada 2 2 2 2 2 2 2 0 0 0 2 2 2 2 0 0 sin sin sin 2 2 2 2 cos cos 2 2 2 L C L q t Lq t q t Li U C q t q t q U C C C ω ω ω ω ω ω ω 2 0 2 L C q U U U C Circuitos LC B BIND B BIND B BIND B BIND Resolução de problemas LISTA 11 PROBLEMA 2 Itens a e b A chave mantida no canal a por um longo tempo faz o capacitor atingir a carga de saturação Note que enquanto isso acontece o indutor não faz parte do circuito e temos apenas um circuito RC A chave ligada por um longo tempo significa t na equação acima Logo a carga de saturação é Cξ 2108 μC 1 t RC q C e ξ acima Logo a carga de saturação é Cξ 2108 μC Após o carregamento do capacitor a chave é trocada para o terminal b e o circuito adquire oscilação LC com frequência que vale também 275 Hz A módulo da amplitude de corrente é dado por 3 6 1 1 1728 rads 54 10 620 10 LC ω 6 0 2108 10 1728 364 mA i q ω Circuitos RLC No circuito RLC temos um resistor de resistência R conectado em série com o circuito LC A função deste componente é dissipar a energia acumulada no indutor e capacitor 2 2 0 0 q di d q R dq q Ri L C dt dt L dt LC A solução da equação acima considerando q0 q0 é O gráfico ao lado foi obtido considerando R 1 Ω C 1 F L 1 H e q0 1 C 2 0 2 2 cos com 1 e 2 Rt L q t q e t R L LC ω ω ω ω Corrente alternada CARGA RESISTIVA Considere uma fonte de tensão alternada conectada em um resistor de resistência R com corrente iR A fonte oscila com frequência forçada ωd Como existe apenas um resistor a queda de tensão vR é igual a fem da fonte m sin dt ξ ξ ω sin R R d v V ω t com VR ξm representando a amplitude de tensão O comportamento da corrente é dada pela lei de Ohm Podemos representar a tensão e a corrente no formato gráfico ou no diagrama de fasores sin sin R R d R d V i t I t R ω ω Corrente alternada CARGA RESISTIVA Os gráficos da tensão e corrente mostram que as curvas estão em fase com os picos sendo atingidos no mesmo instante O diagrama de fasores é formado por vetores dispostos na direção radial que rotacionam no sentido horário do plano cartesiano com o eixo de rotação na origem do sistema de coordenadas Cada vetor representa a amplitude de uma grandeza que está sendo medida A frequência de rotação é a grandeza que está sendo medida A frequência de rotação é a frequência de oscilação da fonte do circuito A projeção dos vetores no eixo das ordenadas representa o valor instantâneo da grandeza O diagrama ao lado mostra que os fasores de corrente e tensão do circuito com carga resistiva estão em fase ie estão sobrepostos indicando que atingem os pontos de máximo e mínimo no mesmo instante conforme vimos na análise anterior Porém conforme veremos existem casos em que os fasores não estão em fase Corrente alternada CARGA CAPACITIVA Considere agora que a mesma fonte de tensão alternada está conectada em um capacitor de capacitância C com corrente iC A fonte oscila com frequência forçada ωd Como existe apenas um capacitor a queda de tensão vC é igual a fem da fonte sin C C d v V ω t em que V é a amplitude de tensão A carga e a corrente no capacitor são dadas por em que VC é a amplitude de tensão A carga e a corrente no capacitor são dadas por onde o termo 1ωdC é chamado de reatância capacitiva XC dada em Ohms no SI sin C C C d q Cv CV ω t cos sin 90 C C d C d d C d dq i CV t CV t dt ω ω ω ω sin 90 sin 90 com C C d C d C C C C V i t I t V X I X ω ω A corrente está 90º na frente da tensão Corrente alternada CARGA CAPACITIVA A reatância capacitiva mede uma resistência variável do circuito O aumento da 1 C d X Cω mede uma resistência variável do circuito O aumento da capacitância C faz com que mais cargas sejam acumuladas nas placas para uma mesma frequência logo a corrente iC aumenta O aumento da frequência ωd também aumenta a corrente iC devido o carregamento do capacitor num período menor O diagrama de fasores mostra que a amplitude de corrente está 90º na frente da amplitude de tensão Corrente alternada CARGA CAPACITIVA 0 0 cos cos sin t t C d d C d C d t C t V q idt t dt C V t dt CV t X ω ω ω ω 4 0 sin 1 1 1 C T C d C q CV t CV ω Carga acumulada no capacitor após ¼ de período de oscilação da fonte Amplitude da carga no capacitor não depende da frequência da fonte logo é a mesma carga total para diferentes frequências Isso mostra que o capacitor é carregado mais lentamente para frequências menores implicando na redução da corrente elétrica e aumento da reatância capacitiva Corrente alternada CARGA INDUTIVA Considere agora que a mesma fonte de tensão alternada está conectada em um indutor de indutância L com corrente iL A fonte oscila com frequência forçada ωd Como existe apenas um indutor a queda de tensão vL é igual a fem da fonte sin L L d v V ω t em que VL é a amplitude de tensão A corrente no indutor é dada por A corrente está 90º atrás da tensão em que VL é a amplitude de tensão A corrente no indutor é dada por onde o termo ωdL é chamado de reatância indutiva XL dada em Ohms no SI sin sin L L L L d L d di V v L V t i t dt L ω ω cos sin 90 L L L d d d d V V i t t L L ω ω ω ω cos cos com L L d L d L L L L V i t I t V X I X ω ω atrás da tensão Corrente alternada CARGA INDUTIVA cos sin L L d d L L L d V i t L L di V t dt ω ω ξ ω Fluxo B diminuindo Fluxo B aumentando 1 2 3 4 5 6 7 8 4 Fluxo B diminuindo Fluxo B aumentando 1 2 3 4 3 1 5 7 8 5 6 7 8 1 1 Corrente alternada CARGA INDUTIVA A reatância indutiva mede uma resistência variável do circuito O aumento da L d X ω L mede uma resistência variável do circuito O aumento da indutância L e da frequência ωd provocam a redução da corrente iL devido o aumento da fem induzida O diagrama de fasores mostra que a amplitude de corrente está 90º atrás da amplitude de tensão Corrente alternada CIRCUITO RLC EM SÉRIE E CONSTANTE DE FASE Para estudar o circuito RLC em série vamos utilizar o diagrama de fasores A corrente no circuito é a mesma para todos os componentes Assim representamos o fasor da corrente como I O fasor da resistência está em fase com a corrente enquanto o fasor do capacitor está 90º atrás e o fasor do indutor está 90º a frente O diagrama de fasores obedece a soma vetorial logo podemos realizar a subtração V V e somar em podemos realizar a subtração VL VC e somar em seguida com o fasor VR por meio da equação de Pitágoras para calcular a amplitude da fonte de tensão 2 2 2 m R L C V V V ξ Com o diagrama de fasores também é possível calcular a constante de fase do circuito que mostra se ele é mais capacitivo ou indutivo tan L C L C L C R V V IX IX X X V IR R φ 2 1 Corrente alternada CIRCUITO RLC EM SÉRIE E CONSTANTE DE FASE Com a definição de reatância podemos reescrever a equação 1 da seguinte forma 2 2 2 2 2 2 1 m L C d d IR IX IX I R L C ξ ω ω 2 2 1 m d d I R L C ξ ω ω As equações 2 e 3 mostram que 3 As equações 2 e 3 mostram que o circuito é mais capacitivo para ωd ω XL XC tan ϕ 0 o circuito é mais indutivo para ωd ω XL XC tan ϕ 0 o circuito entra em ressonância para ωd ω XC XL tan ϕ 0 1 1 0 d d d L C LC ω ω ω frequência de ressonância Resolução de problemas LISTA 11 PROBLEMA 5 Itens a b e c A corrente é máxima quando a frequência de oscilação é igual a frequência natural do circuito LC oscilante Na frequência de ressonância a corrente é dada por 6 1 224 rads 100 200 10 ω Para calcular as frequências para I Imáx2 devemos resolver a equação máx 300 600 A 500 m I Z ξ 2 2 2 300 300 1 1 25 100 m d d d d I R L C C ξ ω ω ω ω Resolução de problemas LISTA 11 PROBLEMA 5 Item c Reescrevendo a equação para ωd substituindo ωd 2 x obtemos a equação que permite obter a solução 4 2 9 100075 25 10 0 d d ω ω 2 9 100075 25 10 0 x x Com a variável original obtemos 2 9 100075 100075 4 25 10 5197435 4810065 2 x 22798 rads 5197435 22798 rads 21932 rads 4810065 21932 rads d ω Resolução de problemas LISTA 11 PROBLEMA 5 Item d Potência A potência dissipada no resistor de um circuito com corrente alternada é dada por O quadrado da função seno permite calcular o valor médio da potência 2 2 2 2 sin sin d d P i R I t R I R t ω ω 2 2I R I P R em que I2 é chamada de corrente quadrática média IRMS 2 2 méd I R I P R 2 2 2 méd RMS I P R I R Similarmente podemos escrever e 2 RMS V V 2 m RMS ξ ξ Potência Com a definição de valor quadrático médio podemos calcular a corrente do circuito RLC como em que Z é chamada de impedância dada em Ohm no SI Com essa equação podemos reescrever a expressão da potência média 2 2 RMS RMS RMS L C I Z R X X ξ ξ reescrever a expressão da potência média com a razão RZ podendo ser escrita como 2 RMS méd RMS RMS RMS RMS RMS RMS R P I R I I R I R I Z Z ξ ξ cos R m V R IR Z IZ φ ξ Potência que permite escrever a potência média como onde a função cosseno recebe o nome de fator de potência e mede a potência transmitida para a carga resistiva cos méd RMS RMS RMS RMS R P I I Z ξ ξ φ para a carga resistiva Para maximizar essa transferência o fator deve ser 1 indicando que o circuito é constituído de uma resistência pura ou está operando na região de ressonância O ângulo ϕ está definido entre 90º e 90º π2 ϕ π2 e nesta faixa a função cosseno é sempre positiva cos ϕ cos ϕ Potência LINHAS DE TRANSMISSÃO Em linhas de transmissão o fator de potência é 1 desta forma a fem da fonte é igual a tensão entre os terminais da carga Considere a linha de 735 kV usada para transmitir energia da usina hidrelétrica La Grande 2 em Quebec para a cidade de Montreal situada a 1000 km de distância méd RMS RMS P I ξ de Montreal situada a 1000 km de distância Considerando que a corrente é 500 A a potência transmitida pela usina é A resistência da linha de transmissão é 0220 Ωkm Desta forma a potência dissipada na linha é 735 103 500 3675 MW méd RMS RMS P I ξ 2 2 500 220 55 MW méd RMS P I R Potência LINHAS DE TRANSMISSÃO A potência dissipada representa 15 da potência transmitida pela usina Imagine agora que a corrente transmitida seja 1000 A ao invés de 500 A A potência dissipada na linha seria que representa 60 da potência transmitida Desta forma para minimizar a potência dissipada na linha é necessário minimizar a corrente IRMS e maximizar a tensão ξRMS 2 2 1000 220 220 MW méd RMS P I R RMS RMS Como as linhas de transmissão trabalham com tensões elevadas é necessário reduzir esses valores para o consumo residencial 220 ou 110 V Para isso usamos os transformadores conforme descrito a seguir Transformadores CASO IDEAL O transformador de indução é formado por um circuito primário e um circuito secundário O circuito primário é formado por uma fonte primária com tensão alternada de sinal RMS VP conectada numa carga indutiva com Np enrolamentos O circuito secundário é formado por uma outra carga indutiva de Ns enrolamentos conectada em série com um resistor R que necessita de alimentação eletrodoméstico lâmpada etc Existe também uma chave eletrodoméstico lâmpada etc Existe também uma chave S que pode representar um interruptor ligadesliga Os dois circuitos estão conectados por um núcleo de ferro que aprisiona as linhas de campo magnético da bobina do primário e direciona até a bobina do secundário A variação da tensão no primário produz um fluxo magnético variável no secundário que produz uma corrente alternada sobre o resistor R quando a chave S está fechada Logo temos um transformador de indução No dispositivo ideal a potência fornecida pelo primário é igual a potência consumida no secundário p s p p s s P P V I V I 4 Transformadores CASO IDEAL Considerando que o núcleo de ferro captura todas as linhas de campo magnético a variação de fluxo magnético é a mesma nos dois circuitos p s B B p s p s V V d d dt dt N N Φ Φ o que permite escrever s s p p N V V N 5 A equação 5 permite calcular a tensão no circuito secundário e ela combinada com a equação 4 permite calcular a corrente no secundário p p s p p s s V N I I I V N 6 Resolução de problemas LISTA 11 PROBLEMA 7 Itens a b e c O cálculo é direto e esse transformador é conhecido como abaixador de tensão O contrário seria aumentador de tensão A corrente no primário pode ser calculado substituindo as equações 5 e 6 na lei de Ohm aplicada no secundário 10 120 24 V 500 Vs 2 p p p V N V V N N A corrente no secundário é dada pela equação 6 p p p s s s s p p p s p V N V V N N I I I R N R N N R 10 2 120 32 mA 500 15 pI 500 00032 016 A 10 p s p s N I I N Dúvidas diegoduarteufscbr Skype diegoad Encontrou algum erro nesta aula Me informe via email Física 3 EMB5043 Equações de Maxwell e ondas eletromagnéticas MATERIAL DE APOIO PARA CURSO PRESENCIAL Prof Diego Alexandre Duarte Universidade Federal de Santa Catarina Centro Tecnológico de Joinville Sumário Lei de Gauss Campos elétricos Campos magnéticos Lei de Faraday Lei de Ampère Corrente de deslocamento Equações de Maxwell A equação da onda Cálculo da velocidade da luz Ondas eletromagnéticas Natureza Produção Oscilador de Hertz Material para estudos Capítulo 32 do Halliday volume 3 e capítulo 12 do Moysés volume 3 Estudar os problemas da Lista 11 que está disponível em diegoduartepaginasufscbr A lei de Gauss no formato integral para campos elétricos é dada por E dA qε0 que podemos reescrever no formato diferencial com auxílio do teorema da divergência E dA E dV E dV qε0 em que q pode ser escrito em função da densidade de carga confinada dentro da superfície gaussiana fechada que delimita o volume dV E dV 1ε0 ρ dV indicando que a divergência do campo fornece a intensidade de alguma grandeza relacionada com a produção deste campo ie mede a magnitude da fonte Lei de Gauss CAMPO ELÉTRICO ₗ EdV 1ε₀ ₗ ρdV E ρε₀ Lei de Gauss CAMPO MAGNÉTICO A lei de Gauss no formato integral para campos elétricos é dada por ₛ BdA 0 que podemos reescrever no formato diferencial com auxílio do teorema da divergência ₛ BdA ₕ BdV gerando B 0 Lei de Faraday A lei de Faraday no formato integral é dada por ₗ Edl ΦBt t ₛ BdA que podemos reescrever no formato diferencial com auxílio do teorema do rotacional ₗ Edl ₛ EdA que permite ser escrito como E Bt Lei de Ampère A lei de Ampère no formato integral é dada por c Bdl μ₀i que podemos reescrever no formato diferencial com auxílio do teorema do rotacional c Bdl s BdA s BdA μ₀i em que i pode ser escrito em função da densidade de corrente J s BdA μ₀s JdA indicando que o rotacional do campo magnético representa a densidade de corrente que atravessa a área delimitada pela curva fechada C Lei de Ampère Lei de Ampère CORRENTE DE DESLOCAMENTO Durante o carregamento de um capacitor com vácuo entre as placas é observado que existe um campo magnético circular assim como o produzido em torno da fiação externa Porém entre as placas não existe corrente elétrica desta forma como é possível explicar a produção de um campo circular por meio da lei de Ampère A reposta é o modelo está incompleto e precisa ser corrigido A carga acumulada nas placas é o que permite escrever que a variação de fluxo elétrico entre as placas produz uma corrente fictícia id 0 0 A q CV V AE d ε ε 0 0 E AE q i t t t ε ε Φ Lei de Ampère CORRENTE DE DESLOCAMENTO chamada de corrente de deslocamento Assim a lei de Ampère entre as placas fica escrita como c Bdl μ₀iₑ μ₀ε₀ Φₑt No caso geral fica escrita como equação conhecida como lei de AmpèreMaxwell c Bdl μ₀i μ₀ε₀ Φₑt Para obter o formato diferencial da lei de AmpèreMaxwell aplicamos o teorema do rotacional B μ₀J μ₀ε₀ Et Equações de Maxwell A equação da onda CÁLCULO DA VELOCIDADE DA LUZ A equação da onda CÁLCULO DA VELOCIDADE DA LUZ A equação da onda CÁLCULO DA VELOCIDADE DA LUZ i 0 ii 0 ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ iii z z y y x x z E z B z E B E B B x y x y z z z t t t 0 0 ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ iii ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ iv y y x x z x y x y z z z t t t B E B E E x y x y z z z t t t µ ε As equações acima mostram que 0 z z z z E B B E z z t t A equação da onda CÁLCULO DA VELOCIDADE DA LUZ 0 0 ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ y y x x y y x x E B E B x y x y z z t t B E B E x y x y z z t t µ ε o que fornece e permite escrever os dois sistemas de equações 0 0 y x y x E B z t E B z t µ ε 0 0 y x y x B E z t B E z t µ ε A equação da onda CÁLCULO DA VELOCIDADE DA LUZ Tomando a derivada no primeiro par de equações em relação ao tempo t e a coordenada z obtemos 2 2 2 2 2 0 0 y x y x E B t z t E B µ ε 2 2 2 2 2 0 0 y x y x E B z z t E B µ ε As derivadas mistas são simétricas Isso significa que Logo obtemos as equações 0 0 2z z t µ ε 2 2 y y E E t z z t 0 0 2 t z t µ ε A equação da onda CÁLCULO DA VELOCIDADE DA LUZ 2 2 0 0 2 2 0 x x B B z t µ ε e O resultado acima mostra que existem duas ondas transversais se propagando na mesma direção e com velocidade bem definida Comparando as equações acima com a equação da onda 2 2 0 0 2 2 0 y y E E z t µ ε 2 2 1 f f em que f se comporta como uma onda de velocidade v que se propaga na direção x obtemos que é a velocidade da luz no vácuo Desta forma concluímos que a luz é formada por campos elétricos e magnéticos cruzados o que origina o nome onda eletromagnética 8 0 0 2 7 0 0 12 8 s 1 8542 1 1 1 299792 10 m 4 0 0 1 v v µ ε µ ε π 2 2 2 1 0 f f x v t Ondas eletromagnéticas NATUREZA A onda eletromagnética é um fenômeno auto sustentado pois a variação do campo elétrico cria o campo magnético e a variação do campo magnético cria o campo elétrico Na figura abaixo o campo magnético B oscila no eixo x e o campo elétrico E oscila no eixo y com ambos se propagando pelo eixo z com velocidade v conforme demonstramos httpsmundoeducacaouolcombrfisicaoquesaoondaseletromagneticashtm Ondas eletromagnéticas PRODUÇÃO A produção de ondas eletromagnéticas pode ser realizada por meio de uma corrente elétrica oscilando no tempo O campo magnético circular produz um campo elétrico oscilante que produz outro campo magnético oscilante e assim por diante Logo cargas elétricas aceleradas produzem ondas eletromagnéticas httpsphyslibretextsorgBookshelvesUniversityPhysicsBook3AUniversityPhysicsOpenStaxMap3AUniversityPhysicsII ThermodynamicsElectricityandMagnetismOpenStax163AElectromagneticWaves16023AMaxwellE28099sEquationsandElectromagnetic Waves Ondas eletromagnéticas OSCILADOR DE HERTZ Um transformador é formado por um circuito primário RLC operando na frequência de ressonância e um circuito secundário RL Uma corrente alternada é produzida no circuito primário que produz um arco e uma onda eletromagnética no gap A onda emitida produz um corrente elétrica num circuito próximo Aqui temos a produção de uma antena Heinrich Hertz 18571894 18571894 httpsphyslibretextsorgBookshelvesUniversityPhysicsBook3AUniversityPhysicsOpenStaxMap3AUniversityPhysicsII ThermodynamicsElectricityandMagnetismOpenStax163AElectromagneticWaves16023AMaxwellE28099sEquationsandElectromagnetic Waves httpsptwikipediaorgwikiHeinrich Hertz Dúvidas diegoduarteufscbr Skype diegoad Encontrou algum erro nesta aula Me informe via email