Controle PID e Modelagem de Motor CC - Análise de Sistemas de Controle

QUESTÃO 1 Para o controle da variável de um processo de primeira ordem foi desenvolvido um sistema em malha fechada utilizandose controle proporcional integral e derivativo PID O diagrama de blocos da figura a seguir representa o sistema implementado Após um ajuste do sistema e testes preliminares obtevese a resposta representada no gráfico a seguir A referência foi fixada na amplitude 5 no entanto a variável do processo estabilizouse abaixo desta referência caracterizando erro em regime permanente 1 Com base no gráfico apresentado em qual ganho do PID devemos atuar de forma a eliminar o erro estacionário 2 Qual a consequência desse ajuste na resposta do sistema 3 A ação integral pode atuar sozinho num sistema Por quê QUESTÃO 2 Um motor elétrico de corrente contínua é composto por uma parte móvel rotor definida por um conjunto de espiras e uma parte fixa estator geradora de campo magnético O seguinte esquema eletromecânico representa o motor elétrico CC Após realizado o modelamento matemático encontrase a seguinte função de transferência que expressa a relação entre a velocidade angular e a tensão aplicada na entrada Considere o motor modelo SRV02 Quanser cujos parâmetros são mostrados abaixo Quando aplicados à função de transferência 1 obtémse a seguinte expressão Com base nos dados apresentados faça o que se pede 1 Simplifique a expressão e coloquea na forma reduzida K1Ts em seguida calcule o valor de K e de T 2 Calcule o polo da função Gs e plote o diagrama de polos e zeros usando o Octave mostre os comandos Responda se o sistema é estável ou instável Justifique 3 Usando o Octave ou o Matlab versão online gere o Diagrama de Bode de Ganho e Fase do motor Mostre os comandos usados 4 Utilizando o Diagrama de Bode indique o ponto e o valor da frequência de corte da faixa de passagem e da margem de fase do sistema Gs 5 Usando o Ocatve ou o Matlab gere a resposta ao degrau unitário do sistema e anote o tempo de resposta Explique a relação entre a localização do polo no Diagrama de Bode e o tempo de resposta do sistema Questão 1 1 O controlador dado é da forma Cs P I s Ds Ds2 Ps I s Se a planta for modelada por uma função transferência Gs da forma Gs Ns Ds sendo N o numerador e D o denominador A malha fechada é descrita por Fs CsGs 1 CsGs NsDs2 Ps I NsDs2 Ps I sDs Lembrando que a saída estacionária é obtida pelo Teorema do Valor Final ao qual temos yss lim s0 sRsFs 5 lim s0 Fs lim s0 NsDs2 Ps I NsDs2 Ps I sDs 5 lim s0 N0I N0I 5 em que foi usado que a referência passada é do tipo degrau de amplitude 5 ou seja Rs 5s Como o erro estacionário é definido como ess rss yss temos ess 5 5 0 ou seja a ação integral GARANTE erro nulo de regime permanente para entradas em degrau Assim devemos atuar no ganho integral do controlador a fim de eliminar o erro estacionário 2 A ação integrativa garante erro nulo para entradas degrau porém ela torna o sistema mais lento isto é atrasa o tempo de acomodação do sistema 3 Considere um controlador da forma Cs I s Observe que se a planta controlada é descrita por Gs podese definir uma função transferência Hs tal que Hs Gs s Perceba que Hs é o processo Gs apenas com um polo na origem a mais Assim a malha fechada é descrita por Fs CsGs 1 CsGs IHs 1 IHs isto é a abordagem do Lugar Geométrico das Raízes para sistemas com um zero na origem e então sabemos que conforme I aumenta é provável que instabilize o sistema ou aumente o sobressinal durante o transitório Estes efeitos são indesejados Sendo assim é possível usar somente a ação integral porém não é recomendável É melhor atuar no mínimo com um ganho proporcional a fim de minimizar os efeitos indesejados supracitados Questão 2 Considere o motor SRV02 Quanser descrito por Gs ωls Vms 0333 0005s 0189 1 Dividindo o numerador e denominador pelo termo independente do denominador segue Gs 03330189 00050189s 1 17603 00275s 1 ou seja K 17603 e T 00275 2 O polo ocorre quando o denominador é nulo logo 00275p 1 0 p 1 00275 36425 O diagrama de polos e zeros obtido é Figura 1 Diagrama de Polos e Zeros O código em MATLAB usado para a obtenção do diagrama acima foi 1 clear clc close all 2 Parâmetros TABELA 3 Kt 000767 Km Kt 4 Rm 26 5 Kg 70 6 Beq 4e3 7 Jm 46e7 Jeq 2e3 8 nm 069 ng 09 9 Função transferência 10 G tfngnmKtKg JeqRm BeqRm ngnmKmKtKg2 11 1 G na forma KTs 1 12 num den ts tfdataG vector 13 newnum numden2 14 newden denden2 15 2 polo e diagrama de polo e zero 16 p newden2newden1 17 figure1 18 pzmap G 3 O Diagrama de Bode do ganho e fase gerado pelo MATLAB foi Figura 2 Diagrama de Bode do Ganho e Fase do motor Os comandos usados para tal foram 3 Diagrama de Bode Ganho e Fase figure2 bode G grid on 4 O processo descrito por G é um sistema de primeira ordem1 então a frequência de corte acontece quando a fase atinge 45 Verificando no Bode acima percebemos que ele está entre 3 10¹ e 5 10¹ então calculando o Bode nesta frequência com bodeG3050 grid on Figura 3 Zoom no Bode de G 1Para um sistema de primeira ordem Gjω KjωT 1 tem o módulo descrito por Gjω 20 log K 20 log 1 ω²T² e a fase é descrita por Gjω tgωT Observe que a frequência de canto é ω 1T e a fase se torna Gjω tgωT tg1 45 A frequência de corte é ωc 364 rads A faixa de passagem ωBW ocorre quando o módulo decai 3 dB do ganho estático Lembrando que Kss 17603 e logo KssdB 20 log Kss 491 Então a faixa de passagem ocorre quando o Gjω 191 que ocorre em ωBW 353 rads A margem de fase é a fase do sistema quando ele atinge 0 dB obtendo o Bode entre 50 rads a 60 rads usando 1 bodeG5060 grid on Obtendo Figura 4 Bode de G para ω 50 60 rads E a margem de fase é ϕm 180 553 1247 5 No MATLAB online usando o código 1 5 stepG 2 figure5 3 stepG grid on hold on 4 plot0016kss098098kLineWidth1 A resposta temporal de G para uma entrada em degrau gerado foi Figura 5 Resposta ao degrau de G O tempo de acomodação é de aproximadamente ts 011 s E sabemos que para um sistema de primeira ordem ts 4T 4 ωc ou seja o tempo de acomodação é inversamente proporcional ao polo do Diagrama de Bode isto é a frequência de corte O código completo usado para a resolução das 5 questões foi 1 clear clc close all 2 Parâmetros TABELA 3 Kt 000767 Km Kt 4 Rm 26 5 Kg 70 6 Beq 4e3 7 Jm 46e7 Jeq 2e3 8 nm 069 ng 09 9 Função transferência 10 G tfngnmKtKg JeqRm BeqRm ngnmKmKtKg2 11 1 G na forma KTs 1 12 num den ts tfdataG vector 13 newnum numden2 14 newden denden2 15 2 polo e diagrama de polo e zero 16 p newden2newden1 17 figure1 18 pzmap G 19 3 Diagrama de Bode Ganho e Fase 20 figure2 21 bode G grid on 22 4 kss wC wBW e phim 23 kss dcgainG 24 figure3 25 bodeG3050 grid on 26 figure4 27 bodeG5060 grid on 28 5 stepG 29 figure5 30 stepG grid on hold on 31 plot0016kss098098kLineWidth1