Introducao ao Calculo UFGD - Notas de Aula e Exercicios

UFGD MATEMÁTICA Faculdade de Ciências Exatas e Tecnologias Introdução ao Cálculo Universidade Federal da Grande Dourados Faculdade de Ciências Exatas e Tecnologia Notas de aula de Introdução ao Cálculo Anderson Novaes Martinhão 2024 Sumário 1 Conjuntos inteiros e racionais 6 11 Conjuntos 6 111 União 10 112 Interseção 11 113 Diferença e Complementar 13 Lista de Exercícios 15 12 Conjuntos numéricos 18 121 Números Naturais 18 122 Números inteiros 21 123 Números racionais 23 Lista de Exercícios 30 2 Números reais 33 21 A reta real 33 211 Existência de números irracionais 34 212 Propriedade de Arquimedes 37 Lista de Exercícios 39 22 Álgebra dos Números Reais 40 221 Associatividade 41 222 Comutatividade 41 223 Distributividade 42 224 Elementos neutros e inversos 43 225 Inversos Multiplicativos e a Álgebra de Frações 45 Lista de Exercícios 51 23 Desigualdade Intervalo e Módulo 53 231 Números Positivos e Negativos 53 232 Desigualdades 54 233 Inequações em R 58 234 Módulo de um número real 62 235 Intervalos reais 69 Lista de Exercícios 72 3 3 Funções e seus Gráficos 78 31 Funções 78 311 Domínio e Contradomínio 82 312 Igualdade de Funções 85 313 Imagem 87 Lista de Exercícios 88 32 Gráfico 95 321 Plano das coordenadas 95 322 Gráfico 98 323 Determinando o Domínio e a Imagem a Partir de um Gráfico 101 324 Quais Conjuntos São Gráficos de Funções 105 Lista de Exercícios 107 33 Transformações de Funções e Seus Gráficos 111 331 Transformações Verticais 111 332 Transformações Horizontais 120 333 Combinações e Transformações Verticais de Funções 127 334 Funções Pares 132 335 Funções Ímpares 133 Lista de Exercícios 134 34 Construção de Funções 138 341 Operações com funções 138 342 Função Composta 140 343 Ordem da Função Composta 142 344 Função Identidade 143 345 Composta de Várias Funções 144 346 Transformações e Funções Compostas 145 Lista de Exercícios 147 35 Funções Injetoras Sobrejetoras Bijetoras e Função Inversa 152 351 O Problema Inverso 153 352 Função Injetora 153 353 Função Sobrejetora 154 354 Função Bijetora 155 355 Função Inversa 155 356 O Domínio e a Imagem de uma Função Inversa 158 357 Composta de uma Função com sua Inversa 159 Lista de Exercícios 161 36 Uma Abordagem Gráfica de Funções Inversas 166 361 O Gráfico de uma Função Inversa 166 362 Interpretação Gráfica de uma Função Bijetora 169 363 Funções Crescentes e Decrescentes 171 Lista de Exercícios 178 4 Funções Lineares Quadráticas Polinomiais e Racionais 180 4 41 Retas e Funções Lineares 180 411 Inclinação de uma Reta 180 412 Equação de uma Reta 182 413 Função Linear 184 414 Função Constante 185 Lista de Exercícios 186 42 Funções Quadráticas 187 Lista de Exercícios 193 43 Potências 195 431 Expoentes Inteiros Positivos 195 432 Definindo x0 199 433 Expoentes Inteiros Negativos 200 434 Raízes 202 435 Expoentes Racionais 207 436 Propriedades de Expoentes 208 Lista de Exercícios 211 44 Função cúbica 213 45 Função polinomial 214 46 Função modular 215 47 Função exponencial 216 48 Função logarítmica 221 Lista de Exercícios 228 5 Trigonometria 230 51 Triângulo retângulo 230 52 Ciclo trigonométrico 233 53 Identidades trigonométricas 234 54 Funções trigonométricas 236 55 Funções trigonométricas inversas 243 56 Funções hiperbólicas 245 Lista de Exercícios 248 Referências Bibliográficas 249 Índice remissivo 250 Capıtulo1 Conjuntos inteiros e racionais 11 Conjuntos A noção matemática de conjunto é praticamente a mesma que se usa na linguagem comum é o mesmo que agrupamento classe cole ção sistema e família Eis alguns exemplos conjunto das vogais conjunto dos algarismos romanos conjunto dos números ímpares positivos conjunto dos planetas do sistema solar conjunto dos números primos conjunto dos naipes das cartas de um baralho conjunto dos nomes dos meses de 31 dias Assumiremos como noções primitivas a existência de conjunto a existência de elemento e a existência da relação de pertinência A re lação de pertinência será denotada por Se A é um conjunto e a é ele mento de A a expressão a A pode ser lida das seguintes formas a pertence a A ou a está em A Utilizaremos as seguintes convenções Conjuntos A B C X Y e Z Elementos a b c x y e z Ao explicitarmos um conjunto pelos seus elementos escreveremos o conjunto com seus elementos entre chaves Exemplos 1 1 Os números naturais N formam um conjunto assim 0 N 1 N 2 N 3 N 1 N 2 N 1 2 N π N 2 Os números inteiros Z formam um conjunto logo 2 Z 1 Z 0 Z 1 Z 2 Z 3 Z 1 2 Z 1 2 Z 2 Z π Z 3 Em geometria euclidiana plana e espacial temos quatro con juntos importantes ponto reta plano espaço Nesse contexto os elementos do espaço de um plano e de uma reta são os seus pontos Definição 2 Sejam A e B dois conjuntos Dizemos que A e B são iguais e denotamos A B se todo elemento de A é um elemento de B todo elemento de B é um elemento de A Simbolicamente A B x x A x B e x B x A A B A e B são iguais A B A e B são diferentes 7 Exemplos 3 1 Os conjuntos A 1 2 3 4 e B 4 2 1 3 são iguais Observe que a ordem dos elementos do conjunto não é importante 2 a b c d a a a c c b c d d d b b b c d d d a a a a 3 Note que N Z pois 1 Z e 1 N 4 x R 2x 1 5 2 Definição 4 Sejam A e B dois conjuntos Diremos que A está contido em B ou que B contém A ou que A é um subconjunto de B se todo elemento de A é um elemento de B Se A está con tido em B utilizaremos as seguintes notações A B A B B A B A Simbolicamente A B x x A x B Definição 5 Sejam A e B dois conjuntos quaisquer Dizemos que A é um subconjunto próprio de B quando A B e A B Se A é um subconjunto próprio de B denotaremos A B B A Para mostrar que A B devemos provar que todo elemento de A está em B existe um elemento de B que não está em A 8 Exemplos 6 1 O conjunto 14 está contido em 1234 logo 14 1234 2 O conjunto ac está contido em abc Assim ac abc Sabemos que mathbbN 0123 mathbbZ 2 1 012 mathbbQ fracpq pq in mathbbZ e q eq 0 Desse modo mathbbN subseteq mathbbZ subseteq mathbbQ subseteq mathbbR subseteq mathbbC mathbbI mathbbRsetminus mathbbQ subseteq mathbbR subseteq mathbbC Sejam A e B dois conjuntos Quando A não for um subconjunto de B denotaremos tal fato por A subseteq B A otsubset B B supseteq A B otsupset A É evidente que A subseteq B se e somente se existe ao menos um elemento de A que não pertence a B Exemplos 7 1 ab otsubset axz 2 123 otsubseteq 456 3 mathbbZ otsubseteq mathbbN pois 1 in mathbbZ e 1 otin mathbbN 4 ab subset abc 5 xyz subset xyz123 Proposição 8 Para quaisquer conjuntos A B e C temos as se guintes propriedades Reflexiva A A Transitiva Se A B e B C então A C Antissimétrica A B e B A se e somente se A B 111 União Definição 9 Sejam A e B dois conjuntos e U o conjunto universo A união ou reunião de A e B denotada A B é o conjunto for mado por todos os elementos x U tais que x A ou x B Simbolicamente A B x U x A ou x B Note que x A B se e somente se x A ou x B Exemplos 10 Sejam A 1 2 3 4 5 B 1 5 6 3 C 2 4 8 9 e D a b Temos que 1 A B 2 B A 3 A B C 4 A C 5 A D 6 B C 7 B D 8 C D 9 A A 10 10 B B 11 C C 12 D D Se C A B não é verdade que C A ou C B De fato bastanos considerar C 1 2 A 1 3 e B 2 3 Proposição 11 Sejam A B e C conjuntos quaisquer Então Associativa A B C A B C Elemento neutro A A Comutativa A B B A 112 Interseção Definição 12 Sejam A e B dois conjuntos e U o conjunto universo A interseção de A e B denotada A B é o conjunto formado por todos os elementos x U tais que x A e x B Dois conjuntos A e B são disjuntos quando A B Quando A e B são disjuntos a união A B é denominada união disjunta Simbolicamente A B x U x A e x B Note que x A B se e somente se x A e x B Exemplos 13 1 Sejam A 1 2 3 4 5 B 1 5 6 3 C 2 4 8 9 e D a b Temos que a A B b B A c A B C d A C 11 e A D f B C g B D h C D i A A j B B k C C N Z Z N Z N Q R R Q R Q I R R I R I Q I R Q I 2 3 Na geometria euclidiana plana dadas duas retas quaisquer r e s temos três situações distintas possíveis elas são coin cidentes concorrentes ou paralelas Na linguagem de con juntos escrevemos r s ou r s P ou r s Na geometria euclidiana espacial temos mais uma situação que é a de retas reversas 4 Na geometria euclidiana espacial dados dois planos quais quer π1 e π2 têmse três situações distintas possíveis eles são coincidentes concorrentes ou paralelos Na linguagem de conjuntos escrevemos π1 π2 ou π1 π2 r ou π1 π2 Proposição 14 Sejam A B e C conjuntos quaisquer Então 1 A B A 2 A A B A 3 A A B A 4 A 12 5 C A B C A e C B Proposição 15 Sejam A B e C conjuntos quaisquer Então Associativa A B C A B C Comutativa A B B A Distributiva A B C A B A C Distributiva A B C A B A C Idempotência A A A 113 Diferença e Complementar Definição 16 Dados dois conjuntos A e B a diferença entre A e B denotada por AB ou AB é o conjunto formado pelos elementos que pertencem a A mas que não pertencem a B Simbolicamente AB x A x B Note que x A B se e somente se x A e x B Definição 17 Sejam A e E dois conjuntos Quando A E dizemos que a diferença EA é o complementar de A em E Utilizaremos as seguintes notações A Ac A CEA 13 Exemplos 18 1 Sejam A 1 2 3 4 5 B 1 5 6 3 C 2 4 8 9 D a b e E 1 2 3 4 5 6 8 9 a b Temos que a AB 2 4 b AC 1 3 5 c AD 1 2 3 4 5 d AE e BC 1 5 6 3 f EA A 6 8 9 a b g ED D 1 2 3 4 5 6 8 9 2 RI Q RQ I Q I I Q ZN 1 2 3 14 Proposição 19 Sejam A e B dois subconjuntos de um conjunto U Então 1 CA B CA CB 2 CA B CA CB 3 AA 4 A B AB 5 A B BA B 6 A A 7 A 8 A A 9 A B se e somente se B A Lista de Exercícios 1 Dê os elementos dos seguintes conjuntos a A x x é letra da palavra matemática desconsidere o acento b B x x é cor da bandeira brasileira c C x x é nome de estado brasileiro que começa com a letra a 2 Descreva através de uma propriedade característica dos elementos cada um dos seguintes conjuntos a A 0 2 4 6 8 b B 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 c C Brasília Rio de Janeiro Salvador 3 Escreva com símbolos a conjunto do múltiplos inteiros de 3 entre 10 e 10 b conjunto dos divisores inteiros de 42 c conjunto dos múltiplos inteiros de 0 4 Descreva por meio de uma propriedade dos elementos 15 a A 1 1 2 2 3 2 6 6 b B 0 10 20 30 40 c C 1 4 9 16 25 36 5 Quais dos conjuntos abaixo são vazios a A x 0 x 0 b B x x 2 e x 1 c C x x é um divisor de zero d D x x é divisível por zero 6 Dados A 1 2 3 4 e B 2 4 pedese a escrever com símbolos da teoria dos conjuntos as seguintes sentenças i 3 é um elemento de A ii B é um subconjunto de A iii 4 pertence a B iv 1 não está em B v B é igual a A b classificar as sentenças anteriores como falsa F ou verdadeira V 7 Sejam A 1 2 B 2 3 C 1 3 4 e D 1 2 3 4 Classifique como verdadeira ou falsa cada sentença abaixo e justifique suas res postas a A D b D B c A B d C D e B C f A C 8 Quais das igualdades abaixo são verdadeiras a a a a b b a b b x x2 4 x x 0 e x3 4x 0 c x 2x 7 11 2 d x x 0 e x 0 9 Dizer se é verdadeira ou falsa cada uma das sentenças abaixo 16 a 0 0 1 2 3 4 b a a b c 0 d 0 e a f a a a g a a a h a i a j a b a b c d 10 Dados os conjuntos A 0 2 4 6 e B x x2 11x 18 0 use os símbolos ou para relacionar a 0 e A b 0 e B c 2 e A d 2 e B e 4 e A f 4 e B g 9 e A h 9 e B 11 Suponha que A B e C sejam conjuntos quaisquer Classifique as seguintes afirmações como verdadeiras ou falsas a A B b A A B c B A B d A B A e A B A B f A B A B C 12 Dados os conjuntos A a b c d B b c d e e C c e f deter mine A B A C C B e A B C 13 São dados os conjuntos A x N x é ímpar B x Z 3 x 4 C x Z x 6 Determine A B A C C B e A B C 14 Se A e B são dois conjuntos não vazios tais que AB 1 2 3 4 5 6 7 8 AB 1 3 6 7 e BA 4 8 determine A B 15 Dados os conjuntos A 1 2 3 B 3 4 e C 1 2 4 determine um conjunto X que satisfaça X B A C e X B 16 Encontre todos os subconjuntos do conjunto das letras da palavra matemáticadesconsidere o acento 17 Apresente conjuntos A B e C que satisfazem as condições simulta neamente 17 A B a b c 1 2 4 A B a b B C 4 A C a b 1 2 3 4 A C 1 2 A B C a b c 1 2 3 4 18 Sejam U a b c d e f g h A a b c d B c d e f e C e f g h Encontre a A B b A C c B C d AC e A C f U g A h C i A C j B C k A B C l AB m AB n A B o A B C p CB q B r B B s BC 19 A diferença simétrica entre dois conjuntos A e B é definida como AB AB BA a Determine 1 2 3 4 51 3 4 b Mostre que AA c Mostre que ABC ABC d Mostre que A A e Mostre que AB BA 12 Conjuntos numéricos 121 Números Naturais Em 1889 Giuseppe Peano formaliza o conjunto dos números natu rais Eles surgiram com a necessidade de contagem Tem por conceitos primitivos zero número natural a relação de é sucessor de São cinco os axiomas que formam a base da estrutura dos números naturais 18 zero é um número natural Se a é um número natural então a tem um único sucessor que também é um número natural Representamos o sucessor de a por a Zero não é sucessor de nenhum número natural Se dois números naturais têm sucessores iguais então eles próprios são iguais Simbolicamente se a e b são números naturais e a b então a b Se uma coleção S de números naturais contém o zero e também o sucessor de todo elemento de S então S é o conjunto de todos os naturais Utilizaremos as seguintes notações mathbbN 012 mathbbN 123 Assim 0 1 1 2 2 3 3 4 No conjunto dos números naturais duas operações são definidas a adição e a multiplicação A adição é uma função que leva cada par de números naturais xy à soma xy ou seja é a função representada por que associa ao elemento xy de mathbbN imes mathbbN o elemento xy de mathbbN mathbbN imes mathbbN o mathbbN xy mapsto x y leftbeginarrayll x se quad y 0 x b se quad y eq 0 quad e quad y b endarrayright Exemplo 20 Vamos determinar 31 e 42 usando a definição 3 1 3 0 3 0 3 4 4 2 4 1 4 1 4 0 4 0 4 5 6 A multiplicação é definida como uma função que associa cada par xy de números naturais ao número natural x cdot y Ela é uma consequência da adição de parcelas iguais mathbbN imes mathbbN o mathbbN xy mapsto x cdot y leftbeginarrayll 0 se quad x 0 by y se quad x eq 0 quad e quad x b endarrayright Exemplo 21 Vamos determinar 3 1 e 4 2 usando a definição 3 1 2 1 2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 0 1 1 1 0 1 1 1 1 0 1 1 1 3 4 2 3 2 3 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 2 2 2 12222 02222 022222 02222 8 Propriedades 22 A1 Associativa Para todos x y z N x y z x y z A2 Comutativa Para todos x y N x y y x A3 Elemento neutro Para todo x N x 0 x M1 Comutativa Para todos x y N xy yx M2 Elemento neutro Para todo x N x 1 x M3 Associativa Para todos x y z N xyz xyz D Distributiva Para todos x y z N xy z xy xz x yz xz yz Para definir a subtração e a divisão de números naturais precisamos do conceito da relação de ordem 20 Definição 23 Sejam a e b pertencentes a N Dizemos que a é me nor ou igual a b e denotamos a b quando existe um número natural x tal que b a x Nesse caso x é a diferença entre b e a e é denotado por x b a Note que a diferença b a somente está definida em N se a b Isto quer dizer que a relação que associa ao par a b o elemento b a não é uma função Portanto a subtração não é uma operação em N Por exem plo não há como calcular 2 3 no universo dos números naturais Também em N definimos a relação menor Definição 24 Sejam a e b pertencentes a N Dizemos que a é menor do que b e denotamos a b quando existe um número natural x diferente de zero tal que b a x Simbolicamente a b se e somente se a b e a b A relação menor ou igual satisfaz as seguintes propriedades Teorema 25 Reflexiva Para todo a N a a Transitiva Para todos a b c N se a b e b c então a c Antissimétrica Para todos a b N se a b e b a então a b Logo a relação menor ou igual em N é uma relação de ordem em N Além disso é uma relação de ordem total o que significa que dados a e b naturais temos que a b ou b a 122 Números inteiros Utilizaremos as seguintes notações Z 3 2 2 0 1 2 3 Z 0 1 2 3 N Z 0 1 2 3 Z 3 2 2 1 2 3 Z 1 2 3 N 21 Proposição 26 A4 Elemento oposto Para todo x ℤ existe x ℤ denominado oposto de x que satisfaz x x 0 Definição 27 Chamase conjunto dos números racionais denotado por ℚ ao conjunto de todas as frações ou seja ℚ pq pq ℤ e q 0 total de partes iguais em que o todo foi dividido O número p é o nume rador de p q e o número q é o denominador de p q Exemplo 28 A fração 1 2 é o mesmo que metade de um inteiro utilizada para se referir a algo que deve ser dividido igualmente em duas partes A fração 2 5 representa duas partes de um inteiro dividido em cinco partes iguais Analogamente a fração 4 6 repre senta quatro partes de um inteiro dividido em seis partes iguais 1 2 4 6 2 5 2 10 Figura 15 Frações Observe que a fração 2 10 também pode ser representada por 1 5 Esta equivalência ocorre quando multiplicamos o numerador e o denomina dor de uma fração simultaneamente por um inteiro diferente de zero Isto equivale a multiplicar a fração por 1 como mostramos abaixo 1 5 1 5 1 1 5 2 2 1 2 5 2 2 10 Assim as frações 1 5 e 2 10 representam a mesma parte do todo e por tanto o mesmo número racional Neste caso dizemos que elas são equi valentes Definição 29 Duas frações a b e c d são equivalentes quando ad bc Dois números racionais a b e c d são iguais quando a b e c d são equivalentes 24 Exemplo 30 Para encontrar uma fração equivalente basta mul tiplicar ou dividir os numeradores e denominadores por algum número inteiro que seja diferente de zero Lembrese tudo que for feito no numerador deve ser igualmente feito no denomina dor 1 2 2 4 4 8 Figura 16 Frações equivalentes Dividimos as definições das operações de soma e de subtração de números racionais em dois casos Definição 31 Sejam a b e c b dois números racionais A soma de a b e c b e a diferença entre a b e c b são dadas respectivamente por a b c b a c b a b c b a c b 25 Exemplos 32 1 9 7 6 7 2 3 4 2 4 3 18 43 5 43 3 43 Definição 33 Sejam a b e c d dois números racionais A soma de a b e c d e a diferença entre a b e c d são dadas respectivamente por a b c d ad bc bd a b c d ad bc bd Exemplo 34 1 3 4 7 8 2 5 6 3 8 3 4 5 2 7 4 2 3 1 5 Definição 35 Dado um número racional a b o oposto de a b é o racional a b a b a b Sejam a b e c d dois números racionais O produto de a b e c b é dado por a b c d ac bd 26 Exemplo 36 1 75 34 2 118 56 12 3 64 97 Definição 37 Dado um número racional ab com a 0 o inverso de ab é o racional ab1 ba Em particular se a 0 é um número inteiro o inverso de a é a1 1a Definição 38 Sejam ab e cd dois racionais com c 0 A divisão entre ab e cb é dada por ab ab ab cd ab cd1 ab dc adbc Exemplos 39 1 45 23 2 13 5 125 Proposição 42 A1 Associativa Para todos ab cd ef Q ab cd ef ab cd ef A2 Comutativa Para todos ab cd Q ab cd cd ab A3 Elemento neutro Para todo ab Q ab 0 ab A4 Elemento oposto Para todo ab Q ab ab 0 M1 Associativa Para todos ab cd ef Q ab cd ef ab cd ef M2 Comutativa Para todos ab cd Q ab cd cd ab M3 Elemento neutro Para todo ab Q ab 1 ab M4 Elemento inverso Para todo ab Q ab ba 1 D Distributiva Para todos ab cd ef Q ab cd ef ab cd ab ef Demonstração A1 Sejam ab cd ef Q temos que ab cd ef ad bcbd ef ad bcfbdf bdebdf adf bcf debdf ab cf dedf ab cd ef A2 Sejam ab cd Q temos que ab cd ad bcbd cb dadb cd ab A3 Seja ab Q temos que ab 0 ab 01 a 1 b 0b 1 ab A4 Seja ab Q temos que ab ab ab ab ab babb 0b² 0 M1 Sejam ab cd ef Q temos que ab cd ef acbd ef acebdf acebdf ab cedf ab cd ef M2 Sejam ab cd Q temos que ab cd acbd cadb cd ab M3 Seja ab Q temos que ab 1 ab 11 a 1b 1 ab M4 Seja ab Q temos que ab ab1 ab ba a bb a 1 D Sejam ab cd ef Q temos que ab cd ef ab cfdf dedf acf debdf acbf bdaebdbf acbd aebf ab cd ab ef Lista de Exercícios 1 Considerando o conjunto A 10 9 3 1 12 30 indique neste conjuntos quais números são pertencentes ao conjunto dos números naturais 2 A diferença entre os números naturais 20010 e 3291 é igual a 3 Realize a diferença entre o conjunto dos naturais nãonulos e o con junto dos números naturais 4 Escreva o sucessor e o antecessor dos números naturais abaixo a 23 b 1092 c 18 d 92 e 1 5 Determine se a soma dos números naturais 48 e 57 é par ou ímpar 6 Calcule o produto de 15 e 7 Qual é o menor número natural que você deve adicionar ao resultado para obter um múltiplo de 10 7 Se você tem uma sequência de números naturais começando em 1 e indo até 100 quantos desses números são divisíveis por 5 8 Encontre os primeiros cinco múltiplos do número natural 9 9 Simplifique a fração 36 48 e escreva o resultado na forma mais redu zida 10 Calcule o resultado da operação 3 4 5 6 e expresse o resultado como uma fração imprópria 11 Se x é um número racional tal que x 2 3 qual é o valor de 3x 1 2 12 Determine o produto dos números racionais 5 8 e 4 7 Expresse sua resposta como uma fração na forma mais reduzida 13 Um recipiente contém 3 5 litros de suco Se você retirar 1 4 litros do recipiente que fração de litros de suco permanecerá 14 Quais das proposições abaixo são verdadeiras a 0 N b 2 3 N c N Z d N Z Z e Z Z f 32 Z g 45 Z h 0 Z i 5 11 Z 31 15 Quais das seguintes proposições abaixo são verdadeiras a N Q b N Q c 0 Q d 517 Q e 0474747 Q f 47 611 Q g 1 Q Z h 27 Q Z i 142 Q Z j 2114 é irredutível 16 Mostrar que se x1 e x2 são dois números racionais tais que x1 x2 então existe um número racional x tal que x1 x x2 17 Representar sobre uma reta orientada os seguintes números racionais 2 32 1 14 0 23 1 43 2 73 e 62 Capıtulo2 Números reais 21 A reta real É possível associar os números reais aos pontos de uma reta r de tal modo que a cada número real x corresponda um único ponto e reci procamente a cada ponto P r corresponda precisamente um único número real Tal associação é uma correspondência biunívoca função bijetora entre a reta r e o conjunto dos números reais Os números reais podem ser representados geometricamente pelos pontos de uma reta chamada reta real Escolhese um ponto O para representar o número real zero e um outro ponto A à direita de O para representar o número real 1 O A Figura 21 Reta real Usando a distância entre O e A como unidade de medida a todo ponto da reta real corresponderá um único número real e inversamente a todo número real corresponderá um único ponto dessa reta Em ou tras palavras há uma correspondência biunívoca entre o conjunto R dos números reais e o conjunto dos pontos da reta real Os números reais à direita do zero que estão do mesmo lado que o 1 formam o conjunto R dos números reais positivos já os números reais à esquerda do zero formam o conjunto R dos números reais negativos O número 0 não é positivo nem negativo A demonstração que essa correspondência é biunívoca é um problema bem mais delicado e depende de vários resultados mais profundos Tendo em vista o fato deste curso ser introdutório vamos assumir esse resultado como verdadeiro 211 Existência de números irracionais Sabemos de que todo número racional corresponde a um ponto sobre uma reta A pergunta agora é será que todo ponto sobre uma reta corresponde a um número racional Em outras palavras todo número real é racional Provavelmente as primeiras pessoas que ponderaram esses assuntos pensavam que os números racionais preencheriam toda a reta Entretanto os antigos gregos descobriram que isso não é verdadeiro Para ver como eles chegaram a essa conclusão faremos um breve desvio para a geometria Lembrese de que para todo triângulo retângulo a soma dos quadrados dos comprimentos dos dois lados que formam o ângulo reto é igual ao quadrado do comprimento da hipotenusa A Figura 23a seguir ilustra esse resultado que é chamado de Teorema de Pitágoras Considere agora o caso especial em que ambos os lados que formam o ângulo reto têm comprimento 1 Neste caso o Teorema de Pitágoras estabelece que o comprimento a da hipotenusa satisfaz a equação c2 2 Acabamos de ver que existe um número real positivo a tal que a2 2 Isto nos leva a questionar se existe um número racional a tal que a2 2 Poderíamos por tentativa procurar um número racional cujo quadrado fosse igual a 2 Um exemplo surpreendente é 99702 98014900 aqui o numerador do lado direito tem apenas uma unidade de diferença do dobro do denominador Embora 99702 seja muito próximo de 2 não 1 O nome desse teorema é uma homenagem ao matemático e filósofo grego Pitágoras que o demonstrou há mais de 2500 anos Mil anos antes disso os babilônios já tinham descoberto esse resultado c b a Figura 23 O Teorema de Pitágoras para triângulos retângulos a2 b2c2 é exatamente igual a 2 Outro exemplo é 9369319 6625109 O quadrado desse número racional é apro ximadamente 1 9999999999992 que é muito próximo de 2 mas novamente não é exatamente o que procuramos Como encontramos números racionais cujos quadrados eram muito próximos de 2 poderíamos suspeitar que com um pouco mais de esper teza poderíamos determinar um número racional cujo quadrado fosse igual a 2 Entretanto os antigos gregos demonstraram que isso é impos sível A demonstração dos gregos de que não existe número racional cujo quadrado seja igual a 2 é um dos grandes feitos intelectuais da humani dade Deve ser experimentada por toda pessoa com certo grau de instru ção Assim apresentamos abaixo essa prova para o seu enriquecimento O que segue é uma demonstração por contradição Iniciaremos su pondo que exista um número racional cujo quadrado seja igual a 2 Com essa suposição vamos chegar a uma contradição Assim concluiremos que nossa suposição estava incorreta e que portanto não existe número racional cujo quadrado seja igual a 2 Compreender o padrão lógico de pensamento utilizado nessa demonstração pode ser um recurso valioso para lidar com questões complexas 35 Teorema 43 2 não é racional Demonstração Suponhamos por absurdo que 2 seja racional Então existem inteiros p e q com q 0 tais que 2 p q Sem perda de generali dade podemos supor que p q é irredutível Então p2 2q2 donde p2 é par e consequentemente p é par digamos p 2k para algum inteiro k Assim 2k2 2q2 ou seja 2k2 q2 donde q é par e também q é par Portanto p q não é irredutível o que é um absurdo Portanto 2 não é racional O Teorema 43 nos garante que existem números que não são racio nais Mais geralmente temos Teorema 44 Se p é número natural primo então p não é racio nal Acabamos de demonstrar que 2 é um número irracional Os núme ros reais π e e com os quais trabalharemos nos próximos capítulos tam bém são números irracionais Uma vez que determinamos um número irracional determinar outros é muito mais fácil como demonstraremos nos próximos dois exemplos Exemplo 45 Demonstre que 3 2 é um número irracional De fato suponhamos que 3 2 seja um número racional Como 2 3 2 3 isto implica que 2 é a diferença entre dois números racionais o que por sua vez implica que é um número racional o que não é verdadeiro Então nossa suposição de que 3 2 fosse um número ra cional estava incorreta Em outras palavras 3 2 é um número irracional 36 Exemplo 46 Demonstre que 8 2 é um número irracional Com efeito suponhamos que 8 2 seja um número racional Como 2 8 2 1 8 isto implica que 2 é o quociente entre dois números racionais o que por sua vez implica que é um número racional o que não é verdadeiro Então nossa suposição de que 8 2 fosse um número racional estava incorreta Em outras palavras 8 2 é um número irracional Vamos introduzir agora um conjunto que contém o conjunto dos nú meros racionais e onde a radiciação pode ser definida Definição 47 O conjunto dos números reais R é o conjunto for mado por todos os números que são racionais com os que os que não são racionais irracionais Em R destacamos os seguintes subconjuntos R x R x 0 R x R x 0 R x R x 0 212 Propriedade de Arquimedes A seguir destacaremos uma propriedade fundamental dos números reais Teorema 48 Propriedade de Arquimedes Se x 0 e y são dois números reais então existe pelo menos um número natural n tal que nx y 37 Exemplos 49 1 Para todo x 0 existe pelo menos um nú mero natural n tal que 1 n x De fato como x 0 pela Pro priedade de Arquimedes existe pelo menos um natural n tal que nx 1 ou seja 1 n x 2 Para todo número real y existe pelo menos um número na tural n tal que n y Com efeito como 1 0 pela Proprie dade de Arquimedes existe pelo menos um natural n tal que n 1 y Os dois próximos exemplos mostramnos que entre dois números reais quaisquer sempre existem pelo menos um número racional e pelo menos um número irracional Exemplo 50 Sejam x e y dois números reais quaisquer Se x y então existe pelo menos um número irracional t tal que x t y De fato note que y x 0 Vamos considerar dois casos Caso 1 Se x é irracional Segue da Propriedade de Arquimedes que existe um número natural n tal que ny x 1 ou seja x 1 n y Como 1 n 0 segue que x x 1 n y Como x é irracional temos que x 1 n é o irracional procurado Caso 2 Se x é racional Segue da Propriedade de Arquimedes que existe um número natural n tal que ny x 2 isto é x 2 n y Como 2 n 0 segue que x x 2 n y Como 2 é irracional temos que x 2 n é o irracional procu rado 38 Exemplo 51 Sejam x e y dois números reais quaisquer Se x y então existe pelo menos um número racional r tal que x r y Com efeito note que y x 0 Vamos considerar dois casos Caso 1 Se 0 x y Segue da Propriedade de Arquimedes que existe um número natural k tal que k 1 y e existe um nú mero natural n tal que ny x k e nx k ou equivalente mente k n y x e k n x Sejam a1 k n a2 2k n a3 3k n aj jk n Seja j0 maxj aj x Assim aj01 x Também aj01 j0 1k n j0k n k n aj0 k n x y x y Desse modo x aj01 y donde r aj01 é o racional pro curado Caso 2 Se x 0 y Bastanos considerar r 0 Caso 3 Se x y 0 Nesse caso 0 x y logo pelo Caso 1 existe um número racional s tal que x s y Assim bastanos considerar r s Caso 4 Se x 0 e 0 y Segue da Propriedade de Arquimedes que existe um número natural n tal que ny 1 ou seja 1 n y Assim bastanos considerar o racional r 1 n pois x 0 1 n y Caso 5 Se x 0 e y 0 Nesse caso 0 x e y 0 e pelo Caso 4 segue que existe um racional s tal que y 0 s x Portanto bastanos considerar r s pois x s 0 y Lista de Exercícios 1 Quais das proposições a seguir são verdadeiras 39 a 3 R b N R c Z R d 1 2 RQ e 4 RQ 2 Demonstre que 3 2 é um número irracional 3 Demonstre que 8 2 é um número irracional 4 Demonstre que 6 7 2 é um número irracional 5 Demonstre que 5 2 é um número irracional 6 Demonstre que 3 2 é um número irracional 7 Demonstre que 3 2 5 é um número irracional 8 Demonstre que 4 9 2 é um número irracional 9 Explique por que a soma de um número racional com um número irracional é um número irracional 10 Suponha que t seja um número irracional Explique por que 1 t tam bém é um número irracional 11 Dê um exemplo de dois números irracionais cuja soma seja um nú mero irracional 12 O produto de um racional diferente de zero com um irracional é um racional ou um irracional Justifique 13 Prove que se a b c e d são racionais e p é um número primo positivo são tais que a bp c dp então a c e b d 22 Álgebra dos Números Reais As operações de adição subtração multiplicação e divisão estendem se dos números racionais para os números reais Podemos adicionar subtrair multiplicar e dividir quaisquer dois números reais e permane cer dentro do sistema de números reais novamente com a exceção de que não é permitida a divisão por 0 Nesta seção revisaremos as propriedades algébricas básicas dos nú meros reais Como este material deve ser realmente uma revisão não foi feito nenhum esforço no sentido de demonstrar como algumas dessas 40 propriedades podem ser obtidas a partir de outras Em vez disso o en foque desta seção é destacar propriedadeschave que devem tornarse tão familiares que você consiga usálas confortavelmente e sem nenhum esforço Aqui e ao longo desta seção a b e outras variáveis representam tanto números quanto expressões reais que assumem valores que sejam nú meros reais 221 Associatividade Associatividade é o nome formal atribuído à propriedade de que na adição e na multiplicação o agrupamento não importa Propriedades 52 Associativa Para todos x y z R x yz x y z Associativa Para todos x y z R xyz xyz Expressões dentro de parênteses devem ser calculadas antes dos de mais cálculos Por exemplo a b c deve ser calculada primeiro adicio nando a e b e depois adicionando c a essa soma A propriedade associa tiva da adição estabelece que esse número será o mesmo que a b c em que deve ser calculada primeiro a adição de b e c e depois adicionar a a essa soma Devido à associatividade da adição podemos dispensar o uso de parênteses quando adicionarmos três ou mais números e es crever expressões como a b c d sem nos preocupar a respeito de como os termos são agrupados Do mesmo modo devido à propriedade associativa da multiplicação não necessitamos usar parênteses quando multiplicarmos três ou mais números Assim podemos escrever expres sões tais como abcd sem especificar a ordem de multiplicação ou o agru pamento Nem a subtração nem a divisão são associativas pois para essas ope rações o agrupamento importa Por exemplo 9 6 2 3 2 1 mas 9 6 2 9 4 5 que demonstra que a subtração não é associativa 222 Comutatividade Comutatividade é o nome formal atribuído à propriedade de que na adição e na multiplicação a ordem não importa Por exemplo a co 41 mutatividade da adição implica que x2 x 5 x 5 x2 Proposição 53 Comutativa Para todos x y R x y y z Comutativa Para todos x y R xy yz Nem a subtração nem a divisão são comutativas pois para essas ope rações a ordem importa Por exemplo 5 3 3 5 e 6 2 2 6 223 Distributividade Consideremos a expressão 2 3 7 Essa expressão não contém pa rênteses para guiarnos com relação a qual operação deve ser efetuada primeiro Deveríamos começar por adicionar 2 e 3 e depois multiplicar o resultado por 7 Se for assim estaríamos interpretando a expressão acima como 2 3 7 que é igual a 35 Ou para calcular 2 3 7 deve mos primeiro multiplicar 3 por 7 e depois somar 2 a esse resultado Se for assim estaríamos interpretando 2 3 7 como 2 3 7 que é igual a 23 Então será que 2 3 7 é igual a 2 3 7 ou a 2 3 7 A resposta a essa pergunta depende mais de costumes do que de algo inerente à si tuação matemática Qualquer pessoa que tenha estudado matemática interpretaria 237 como significando 237 Em outras palavras as pes soas adotaram a convenção de que multiplicações devem ser efetuadas antes das adições a menos que existam parênteses que estabeleçam diferentemente Você precisa acostumarse a essa convenção Assim por exemplo a bc é interpretado como significando a bc embora quase sempre dispensemos os parênteses e escrevamos apenas a bc Como ilustração adicional do princípio anterior consideremos a expressão 4m 3n 11p q A interpretação correta dessa expressão é que 4 deve ser multiplicado por m 3 deve ser multiplicado por n 11 deve ser multiplicado por p q e depois os três números 4m 3n e 11p q devem ser adicionados Em outras palavras a expressão acima é igual a 4m 3n 11p q Os três novos pares de parênteses na expressão acima não são ne cessários A versão sem os parênteses desnecessários é mais clara e mais fácil de ler Quando parênteses estão dentro de outros parênteses deve se começar por calcular as expressões que estão nos parênteses mais internos A propriedade distributiva conecta adição e multiplicação conver tendo um produto com uma soma na soma de dois produtos 42 Proposição 54 Distributiva Para todos x y z R xy z xy xz Distributiva Para todos x y z R x yz xz yz Às vezes você usará a propriedade distributiva para transformar uma expressão do tipo ax y em ax ay Às vezes você usará a propriedade distributiva em sentido contrário transformando uma expressão do tipo axay em axy Colocar o a em evidência O sentido da transformação depende do contexto O exemplo a seguir demonstra o uso da proprie dade distributiva em ambos os sentidos Exemplo 55 Vamos simplificar a expressão 23m x 5x Com efeito começamos por usar a propriedade distributiva para transformar 23m x em 6m 2x 23m x 5x 6m 2x 5x Agora usaremos novamente a propriedade distributiva mas no outro sentido para transformar 2x 5x em 2 5x 6m 2x 5x 6m 2 5x 6m 7x Assim usamos a propriedade distributiva duas vezes para trans formar 23m x 5x na expressão mais simples 6m 7x 224 Elementos neutros e inversos O inverso aditivo de um número real a é o número a de forma que a a 0 O inverso aditivo de a é às vezes chamado de simétrico de a A conexão entre a subtração e os inversos aditivos é obtida pela iden tidade a b a b De fato a equação acima pode ser adotada como a definição de subtra ção Você precisa se sentir confortável ao usar as seguintes identidades que envolvem inversos aditivos e subtração 43 Propriedades 56 Identidades envolvendo inversos aditivos e sub tração Para todos os números reais a b x e y a a a b a b ab ab ab ab ab a bx ax bx ax y ax ay Assegurese de distribuir corretamente o sinal de menos quando usar a propriedade distributiva como mostrado aqui Exemplo 57 Expanda a ba b De fato comece pensando em ab como um único número e aplicando a propriedade distributiva Depois aplique mais duas vezes a propriedade distributiva a ba b a ba a bb a2 ba ab b2 a2 b2 Você precisa tornarse suficientemente confortável com as seguintes identidades de modo a poder usálas com facilidade Propriedades 58 Identidades que decorrem da propriedade dis tributiva Para todos os números reais a b x e y 1 a b2 a2 2ab b2 2 a b2 a2 2ab b2 3 a ba b a2 b2 44 Exemplo 59 Sem usar calculadora efetue 43 37 Com efeito 43 37 40 340 3 402 32 1600 9 1591 225 Inversos Multiplicativos e a Álgebra de Frações O inverso multiplicativo de um número real b 0 é o número real 1 b pois b 1 b 1 O inverso multiplicativo de b é às vezes chamado de recíproco de b A conexão entre a divisão e os inversos multiplicativos é obtida pela identidade a b a 1 b De fato a equação acima pode ser adotada como a definição de divisão Você precisa se sentir confortável ao usar várias identidades que en volvam inversos multiplicativos e divisão Começamos com as seguintes identidades Propriedades 60 Multiplicação de frações e cancelamento Da dos a b c d R temos que a b c d ac bc e ac ad c d em que c d 0 A primeira identidade acima estabelece que o produto de duas fra ções pode ser calculado multiplicandose todos os numeradores entre si e todos os denominadores entre si A segunda identidade acima quando utilizada para transformar ac ad em c d é a simplificação normal de cancelar um fator comum ao numerador e o denominador Quando utilizada em sentido contrário para transformar c d em ac ad a segunda identidade acima tornase o procedimento familiar de multiplicar o numerador e o deno minador pelo mesmo fator Observe que a segunda identidade decorre 45 da primeira como se segue ac ad a a c d 1 c d c d Exemplo 61 Simplifique a expressão 3 x2 1 x 1 x Com efeito utilizando as identidades acima temos 3 x2 1 x 1 x 3x 1 x2 1x 3x 1 x 1x 1x 3 x 1x Vejamos agora a identidade usada para adicionar duas frações Propriedade 62 Adição de frações Dados a b c d R temos que a b c d ad bc bd em que c d 0 A fórmula para adicionar frações é mais complicada que a fórmula para multiplicar frações A dedução da identidade anterior é simples se aceitarmos a fórmula para a adição de duas frações que possuam o mesmo denominador Corolário 63 Dados a b c R temos que a b c b a c b em que b 0 Demonstração Observe que a b c b ab bc b b a cb b b a c b 46 Por exemplo 2 9 5 9 7 9 como você pode visualizar pensando em uma pizza dividida em 9 fatias de igual tamanho depois juntando 2 fatias que é 2 9 da pizza com outras 5 fatias 5 9 da pizza para obter um total de 7 fatias da pizza 7 9 da pizza Para obter a fórmula para a adição de duas frações com denomina dores diferentes utilizamos a identidade da multiplicação para reescre ver as frações de modo que elas passem a ter o mesmo denominador Nunca cometa o erro de pensar que a b c d a c b d 47 Exemplo 64 Escreva a soma 2 ww 1 3 w2 como uma única fração De fato utilizando a identidade para adicionar frações obtém se 2 ww 1 3 w2 w2 w2 2 ww 1 3 w2 ww 1 ww 1 2w2 w2ww 1 3ww 1 w2ww 1 2w2 3ww 1 w2ww 1 2w2 3w2 3w w2ww 1 5w2 3w w2ww 1 w5w 3 w2ww 1 5w 3 w2w 1 48 Observação Às vezes quando adicionamos duas frações é mais fácil usar um múltiplo comum dos dois denominadores o que é mais simples que o produto dos dois denominadores Por exemplo os dois de nominadores no exemplo anterior são ww 1 e w2 Seu produto é w3w 1 e este foi o denominador utilizado no cálculo acima No entanto w2w 1 também é um múltiplo comum dos dois de nominadores A seguir apresentamos o cálculo usando w2w 1 como novo denominador 2 ww 1 3 w2 w w 2 ww 1 3 w2 w 1 w 1 2w w2w 1 3w 1 w2w 1 2w 3w 1 w2w 1 2w 3w 3 w2w 1 5w 3 w2w 1 Os dois métodos levaram à mesma resposta qualquer um dos métodos funciona bem Se você puder encontrar facilmente um múltiplo comum que seja mais simples do que o produto dos dois denominadores usálo significa que depois vai ser necessário efetuar menos cancelamen tos para simplificar seu resultado final Vejamos agora a identidade para realizar a divisão por uma fração Os tamanhos dos traços de fração aqui utilizados indicam que x b c deve ser interpretado como significando xbc 49 Propriedade 65 Divisão por uma fração Dados x b c R temos que x c b em que b c 0 Quando você estiver diante de expressões complicadas envol vendo frações cujos elementos por sua vez também são frações lembrese que dividir por uma fração é o mesmo que multiplicar por esta invertida Essa identidade fornece a chave para desembaraçar frações que en volvem frações como mostrado no seguinte exemplo Exemplo 66 Simplifique a expressão y x b c De fato o tamanho dos traços de fração indica que a expres são a ser simplificada é yxbc Usaremos a identidade acima pensando em como y x como x na qual vemos que dividir por b c é o mesmo que multiplicar por c b Temos portanto y x b c y x c b yc xb Por fim concluímos esta subseção registrando algumas identidades envolvendo frações e inversos aditivos 50 Propriedades 67 Sejam a b c d R em que b d 0 1 ab ab ab 2 ab ab 3 ab cd ad bcbd Lista de Exercícios 1 Expanda a expressão dada a x yz w t b x y rz w t c 2x 32 d 3b 52 e 2c 72 f 4a 52 g x y z2 h x 5y 3z2 i x 1x 2x 3 j y 2y 3y 5 k a 2a 2a2 4 l b 3b 3b2 9 m xyx y1x 1y n a2 zz a1z 1a o t 2t2 2t 4 p m 2m4 2m3 4m2 8m 16 q n 3n2 3n 9 r y 2y4 2y3 4y2 8y 16 2 Simplifique a expressão dada o máximo possível a 42m 3n 7m b 32m 4n 5p 6n c 34 67 d 25 78 e 34 1439 f 23 1522 g 57 72 3 h 65 57 4 i m12 3n j m3 5n2 k 23 45 34 2 l 35 27 54 2 m 25 m 37 12 n 34 n25 73 o 2x3 y45 p x34 5y2 q 4t 1t2 3t r 5u2 1 2uu3 s 3vv 2 v1v3 t w 1w3 2ww 3 u 1xy xy yx 0 1 2 3 1 2 3 5 2 115 76 2 3 1 3 257 101 12 7 2 3 1 3 x números negativos números positivos Figura 24 Números negativos e positivos 2 A soma de dois números negativos é negativa 3 O inverso aditivo de um número positivo é negativo 4 O inverso aditivo de um número negativo é positivo 5 O produto de dois números positivos é positivo 6 O produto de dois números negativos é positivo 7 O produto de um número positivo por um número negativo é negativo 8 O inverso multiplicativo de um número positivo é positivo 9 O inverso multiplicativo de um número negativo é negativo 232 Desigualdades Dizemos que um número a é menor que um número b escrevese a b se a estiver à esquerda de b sobre a reta real Equivalentemente a b se e somente se b a for positivo Em particular b é positivo se e somente se 0 b Veja a Figura 25 a b x Figura 25 a b Dizemos que a é menor ou igual a b escrevese a b se a b ou a b Então a afirmativa x 4 é verdadeira se x for igual a 3 e é falsa se x for igual a 4 enquanto a sentença x 4 é verdadeira se x for igual a 3 e é também verdadeira se x for igual a 4 Dizemos que b é maior que a escrevese b a se b estiver à direita de a sobre a reta real Então b a significa o mesmo que a b Similarmente dizemos que b é maior ou igual a a escrevese b a se b a ou b a Então b a significa o mesmo que a b 54 v 1y 1x y 1x y w x a2 x2a x 1x a 1x y ax 2 yzx 2 x 4 y 3y 3 x 4 3 Demonstre que a 12 a2 1 se e somente se a 0 4 Explique por que a b2 a2 b2 se e somente se a 0 ou b 0 5 Demonstre que a 12 a2 1 se e somente se a 1 6 Explique por que a b2 a2 b2 se e somente se b 0 ou b a 23 Desigualdade Intervalo e Módulo 231 Números Positivos e Negativos Definição 68 Positivo e negativo Um número é dito positivo se ele estiver à direita do 0 sobre a reta real Um número é dito negativo se ele estiver à esquerda do 0 sobre a reta real Todo número ou está à direita do 0 ou está à esquerda do 0 ou é igual a 0 Assim todo número é positivo negativo ou 0 como podemos ver na Figura 24 Propriedades 69 Propriedades algébricas de números positivos e negativos Os números positivos e negativos satisfazem as seguintes propriedades algébricas 1 A soma de dois números positivos é positiva A seguir iniciaremos a discussão de várias propriedades simples mas cruciais das desigualdades A primeira propriedade que discutire mos é denominada transitividade Proposição 70 Transitividade Sejam a b c R Se a b c então a c Demonstração Para observar por que a transitividade é válida supo nhamos que a b e b c Então a está à esquerda de b sobre a reta real e b está à esquerda de c Isto implica que a está à esquerda de c o que significa que a c Veja a Figura 26 a c b x Figura 26 Transitividade Frequentemente desigualdades múltiplas são escritas juntas como uma única sequência de desigualdades Assim a b c significa o mesmo que a b e b c Exemplo 71 A partir das desigualdades 15 4 e 4 21 5 pode mos concluir que 15 21 5 Nosso próximo resultado mostrará que podemos somar desigualda des Proposição 72 Adição de desigualdades Sejam a b c R Se a b e c d então a c b d Demonstração Note que se a b e c d então b a e d c são números positivos Como a soma de dois números positivos é positivo isso implica que badc é positivo Em outras palavras bdac é positivo Isto significa que a c b d como queríamos demonstrar Nosso próximo resultado mostrará que podemos somar desigualda des 55 Exemplo 73 Com base nas desigualdades 8 3 e 4 17 con cluímos que 8 4 17 3 O próximo resultado estabelece que podemos multiplicar ambos os lados de uma desigualdade por um número positivo e preservar a desi gualdade Entretanto se multiplicarmos ambos os lados de uma desi gualdade por um número negativo o sentido da desigualdade precisa ser revertido Proposição 74 Multiplicação de uma desigualdade Sejam a b c R Se a b e c 0 então ac bc Se a b e c 0 então ac bc Demonstração Vamos primeiro supor c 0 Estamos supondo a b o que significa que b a é positivo Como o produto de dois números positivos é positivo isto implica que bac é positivo Em outras palavras bc ac é positivo o que significa que ac bc Considere agora o caso em que c 0 Continuamos supondo a b o que significa ter b a positivo Como o produto de um número positivo por um número negativo é negativo isto implica que b ac é negativo Em outras palavras bc ac é negativo o que significa que ac bc O exemplo seguinte ilustra o cuidado que devemos ter ao multiplicar desigualdades Exemplo 75 Determine todos os números reais x tais que x 8 x 4 3 Com efeito o primeiro passo natural aqui é multiplicar a de sigualdade por x 4 O sentido da desigualdade permanece o mesmo se x4 for positivo mas precisa ser revertido se x4 for ne gativo Assim consideraremos esses dois casos separadamente 1º Caso Comecemos por considerar o caso em que x 4 é posi tivo então x 4 Multiplicando ambos os lados da desigual dade acima por x 4 obtemos a desigualdade equivalente x 8 3x 12 Subtraindo x de ambos os lados e depois adicionando 12 a ambos os lados obtemos a desigualdade equivalente 4 2x que é equivalente à desigualdade x 2 Entretanto nem todos os números x 2 satisfazem nossa desigualdade original acima por exemplo se x 3 o lado 56 esquerdo da desigualdade original vale 5 Nós trabalhamos com a suposição de que x 4 Como 4 2 vemos que nesse caso a desigualdade original é válida se x 4 2º Caso Consideremos agora o caso em que x 4 é negativo en tão x 4 Multiplicando ambos os lados da desigualdade original acima por x4 obtemos a desigualdade equivalente x 8 3x 12 Subtraindo x de ambos os lados e depois adicionando 12 a ambos os lados obtemos a desigualdade equivalente 4 2x que é equivalente à desigualdade x 2 Se x 2 então x 4 que é o caso em consideração Então a desigualdade original é válida se x 2 Portanto a desigualdade acima é válida se x 2 ou x 4 Se multiplicarmos ambos os lados de uma desigualdade por 1 e revertermos o sentido da desigualdade obteremos o seguinte resultado Corolário 76 Inversos aditivos e desigualdades Sejam a b R Se a b então a b Exemplo 77 Com base na desigualdade 2 3 podemos concluir que 2 3 O próximo resultado mostra que o sentido de uma desigualdade tam bém deve ser revertido se escrevermos os inversos multiplicativos de am bos os lados a menos que um dos lados seja negativo e o outro seja po sitivo Proposição 78 Inversos multiplicativos e desigualdades Sejam a b R tais que a b 1 Se a e b são ambos positivos ou ambos negativos então 1 a 1 b 2 Se a 0 b então 1 a 1 b Demonstração 1 Vamos primeiro supor que a e b sejam ambos posi tivos ou ambos negativos Em qualquer desses casos o produto ab é 57 positivo Então 1 ab 0 Assim podemos multiplicar ambos os lados da desigualdade a b por 1 ab mantendo o sentido da desigualdade Dessa forma obtemos a 1 ab b 1 ab 1 b 1 a 2 O caso em que a 0 b é mais fácil Nesse caso 1 a é negativo e 1 b é positivo Então 1 a 1 b 233 Inequações em R Os exemplos que damos a seguir mostrar como obter outras propri edades a partir das já mencionadas Exemplo 79 Quaisquer que sejam os reais x y z e w se x y e z w então x z y w De fato x y x z y z e z w y z y w Agora pela transitividade x z y w Exemplo 80 Lei do cancelamento Sejam x y z R Se x z y z então x y Com efeito x z y z x z z y z z x z z y z z x 0 y 0 x y 58 Exemplo 81 Sejam x y z w R tais que 0 x y e 0 z w Então xz yw De fato x y xz yz e z w zy wy Assim pela transitividade xz yw Exemplo 82 Resolva a inequação 5x 3 2x 7 De fato 5x 3 2x 7 5x 3 3 2x 7 3 5x 2x 4 5x 2x 2x 4 2x 3x 4 1 33x 1 34 x 4 3 Exemplo 83 Estude o sinal da expressão x 3 Note que x 3 0 se e somente se x 3 x 3 0 se e somente se x 3 x 3 0 se e somente se x 3 A discussão Exemplo 83 será representada da seguinte forma x 3 3 0 Figura 27 Sinal de x 3 59 Exemplo 84 Vamos estudar o sinal da expressão x 3 x 2 Caso 1 Se x 3 então x 3 0 e x 2 0 logo x 3 x 2 0 Caso 2 Se x 3 então x 3 0 logo x 3 x 2 0 Caso 3 Se 3 x 2 então x 3 0 e x 2 0 daí x 3 x 2 0 Caso 4 Se x 2 então a expressão x 3 x 2 não está definida Caso 5 Se x 2 então x 3 0 e x 2 0 então x 3 x 2 0 x 3 3 0 x 3 2 0 Figura 28 Sinal de x 3 e x 2 x 3 x 2 3 0 2 Figura 29 Sinal de x 3 x 2 Exemplo 85 Resolva a inequação 2x 1 x 4 0 Com efeito primeiramente estudaremos o sinal de 2x 1 x 4 As 60 sim x R 1 2 x 4 é o conjunto das soluções da inequação dada 2x 1 1 2 0 x 4 4 0 2x 1 x 4 1 2 4 0 Figura 210 Sinal de 2x 1 x 4 Exemplo 86 Resolva a inequação 3x 1 x 2 5 De fato note que se x 2 3x 1 x 2 5 3x 1 x 2 5x 2 x 2 3x 1 x 2 5x 10 x 2 3x 1 x 2 5x 10 x 2 0 3x 1 5x 10 x 2 0 2x 11 x 2 0 2x 11 x 2 0 61 Agora estudaremos o sinal de 2x 11 x 2 Assim 2x 11 x 2 0 se e somente se 11 2 x 2 e consequentemente x R 11 2 x 2 é o conjunto das soluções da inequação dada 2x 11 11 2 0 x 2 2 0 2x 11 x 2 11 2 2 0 Figura 211 Sinal de 2x 11 x 2 234 Módulo de um número real O valor absoluto ou módulo de um número é a sua distância em relação a 0 estamos aqui pensando nos números como pontos sobre a reta real Por exemplo o valor absoluto de 2 é igual a 2 mas interessan temente o valor absoluto de 2 também é igual a 2 O valor absoluto de um número é sua distância até o 0 Assim tanto 2 quanto 2 possuem valor absoluto 2 O valor absoluto de um número x é representado por O 1 2 3 4 1 2 3 4 Figura 212 O módulo de um número real é sua distância até 0 x Assim 2 2 e 2 2 Apresentamos abaixo a definição formal de valor absoluto 62 Exemplo 91 Seja a 0 um número real Vamos resolver a equa ção x a Com efeito como x 0 e a 0 segue que x a x2 a2 x2 a2 x2 a2 0 x ax a 0 x a ou x a Exemplo 92 Vamos resolver a equação 2x 1 3 De fato note que 2x 1 3 2x 12 9 4x2 4x 1 9 4x2 4x 8 0 x2 x 2 0 x 1x 2 0 x 1 ou x 2 Proposição 93 Para todo número real x x x Demonstração Se x 0 então x 0 e x x e x x logo x x Se x 0 o resultado é óbvio Se x 0 então x 0 e x x e x x x Assim x x 64 Definição 87 Seja x R O valor absoluto de x ou módulo de x é definido como x x se x 0 x se x 0 O conceito de valor absoluto é bastante simples apenas elimine o sinal de menos de qualquer número que o tenha Essa regra entretanto pode ser aplicada apenas a números e não a expressões cujo valor é desconhecido Por exemplo não é possível simplificar a expressão x para x a menos que saibamos que x 0 Se x for um número negativo então x x nesse caso eliminar o sinal de menos seria incorreto Exemplo 88 Segue da definição que 13 13 pois 13 0 e 157 157 já que 157 0 Proposição 89 Para todo x R x 0 e x 0 se e somente se x 0 Demonstração Se x 0 então x x 0 Se x 0 então x 0 logo x x 0 Agora suponhamos que x 0 Note que não se pode ter x 0 pois nesse caso teríamos que 0 x x 0 o que é um absurdo Portanto x 0 e assim x 0 x 0 Exemplo 90 Seja x um número real Vamos mostrar que x2 x2 De fato se x 0 segue que x2 x2 Se x 0 obtemos x2 x2 x2 Segue do último exemplo que x2 x para todo número real x Proposição 94 Para quaisquer números reais x e y xy x y Demonstração Se x 0 ou y 0 o resultado é óbvio Se x 0 e y 0 então xy 0 logo x x y y e xy xy e assim xy xy x y Se x 0 e y 0 então xy 0 logo x x y y e xy xy donde xy xy xy x y Se x 0 e y 0 então xy 0 logo x y x y e xy xy assim xy xy xy x y Exemplo 95 Suponha que r é um número real positivo Vamos mostrar que x r se e somente se r x r Com efeito x r x2 r2 x2 r2 0 x rx r 0 Assim x r é equivalente a dizer que x r 0 e x r 0 ou x r 0 e x r 0 Do primeiro caso segue que r x r O segundo caso não pode ocorrer Exemplo 96 Segue do Exemplo 95 anterior que x 3 se e so mente se 3 x 3 Exemplo 97 Escreva a desigualdade x2 sem usar o módulo Segue do Exemplo 95 anterior que x 2 se e somente se 2 x 2 65 Exemplo 98 Sejam r 0 e p dois números reais Vamos eliminar o módulo em x p r De fato pelo Exemplo 95 x p r r x p r p r x p r Exemplo 99 Escreva a desigualdade x 5 1 sem usar valor absoluto Com efeito pelo Exemplo 98 x 5 1 equivale a 5 1 x 5 1 ou ainda 4 x 6 Proposição 100 Para todo número real x x x x Demonstração Se x 0 então x a donde x x x 0 x x Se x 0 então x x logo x 0 x x Proposição 101 Desigualdade triangular Para quaisquer núme ros reais x e y x y x y Demonstração Pela Proposição 100 x x e y y Aplicando o Exem plo 79 obtemos que x y x y 21 Analogamente pela Proposição 100 x x e y y O Exemplo 79 nos garante que x y x y x y 22 Na última igualdade aplicamos a Proposição 93 Consideremos três ca sos Caso 1 Se x y 0 o resultado é óbvio Caso 2 Se x y 0 então x y x y donde por 21 x y x y Caso 3 Se x y 0 então x y x y x y donde por 22 x y x y 66 Exemplo 102 Elimine o módulo em x 1 x 2 Com efeito com base na Figura 213 consideremos três casos Caso 1 Se x 2 então x 1 0 e x 2 0 logo x 1 x 2 x 1 x 2 2x 1 Caso 2 Se 2 x 1 então x 1 0 e x 2 0 logo x 1 x 2 x 1 x 2 3 Caso 3 Se x 1 então x 1 0 e x 2 0 logo x 1 x 2 x 1 x 2 2x 1 Portanto x 1 x 2 2x 1 se x 2 3 se 2 x 1 2x 1 se x 1 x 1 1 0 x 2 2 0 Figura 213 Sinais de x 1 e x 2 Exemplo 103 Dados x y R vamos provar que x y x y x y Com efeito note que x x y y logo pela desigualdade triangular x x y y x y y e assim x y x y 67 Também pela desigualdade triangular e pela Proposição 100 x y x y x y x y por x 1 obtemos 2 3x 5 x 1 2 2x 2 3x 5 2 2x 2x 2 3x 5 e 3x 5 2 2x 3x 3 e 5x 7 x 1 e x 7 5 1 x 7 5 Como devemos ter x 1 segue que não existem valores de x que satisfazem 1 x 7 5 Portanto a desigualdade original vale se e somente se 7 5 x 3 235 Intervalos reais 69 Definição 105 Sejam a e b dois números reais Dizemos que a é menor ou igual a b ou que b é maior ou igual a a e denotamos a b ou b a quando b a R Analogamente dizemos que a é menor do que b ou que b é maior do que a e denotamos a b ou b a quando a b e a b As afirmações a b a b a b e a b são chamadas desigualdades Os intervalos são subconjuntos de números reais os quais definimos a seguir Sejam a b R O intervalo aberto a b é definido como a b x R a x b a b Figura 214 Intervalo aberto a b O intervalo fechado a b é definido como a b x R a x b a b Figura 215 Intervalo fechado a b O intervalo semiaberto ou semifechado a b é definido como a b x R a x b a b Figura 216 Intervalo semiaberto a b O intervalo semiaberto ou semifechado a b é definido como a b x R a x b 70 a b Figura 217 Intervalo semiaberto a b Os intervalos ilimitados são definidos da seguinte forma b x R x b b x R x b a x R x a a x R x a R a Figura 218 Intervalo a a Figura 219 Intervalo a a Figura 220 Intervalo a a Figura 221 Intervalo a Figura 222 Intervalo 71 Exemplo 106 Expresse o conjunto x ℝ 2x 3 x 1 em notação de intervalo Note que 2x 3 x 1 se e somente se x 4 Assim x ℝ 2x 3 x 1 4 Lista de Exercícios 1 Representar sobre a reta real cada um dos seguintes conjuntos a x ℝ 1 x 2 b x ℝ 0 x 3 c x ℝ x 0 ou x 2 d x ℝ 1 x 0 ou x 3 2 Descrever conforme a notação da teoria dos conjuntos os seguintes intervalos 1 3 0 2 3 4 5 e 1 3 Utilizando a representação gráfica dos intervalos sobre a reta real determinar A B e A B sendo A 0 3 e B 1 4 4 Descrever os seguintes conjunto a 0 2 1 3 b 0 2 1 3 c 1 25 0 43 d 2 0 e 1 92 2 f 1 2 0 3 14 5 Determinar os seguintes conjuntos a 1 3 0 4 b 2 1 0 5 c 1 3 3 5 d 12 0 32 14 6 Sendo A 0 5 e B 1 3 descreva o complementar de B em A 7 Expresse cada um dos conjuntos abaixo em notação de intervalo a x ℝ 4x 3 6x 2 b x ℝ 2x 3 1 c x ℝ x 1 d x ℝ 3x 1 x3 8 Expresse o conjunto das soluções da inequação dada em notação de intervalo a x² 3x 2 0 b x² x 1 0 c 2x 1 x 3 0 d x² 9 0 9 Efetue 4 4 10 Efetue 5 6 11 Determine todos os números cujo módulo é 9 12 Determine todos os números cujo módulo é 10 13 Determine todos os números x que satisfaçam a equação dada a 2x 6 11 b 5x 8 19 c x 1 x 1 2 d 3x 2 x 4 5 e x 3 x 4 9 f x 1 x 2 7 g x 3 x 4 1 h x 1 x 2 3 i x 3 x 4 1 j x 1 x 2 2 k x 3 x 3 l x 5 5 x m x x 1 n x 3 x 5 14 Mostre que para todo número real x x² x² 15 Elimine o módulo a 5 2 b 5 8 c a a 0 d a a 0 e a f 2a 3a 16 Resolva as equações a x 2 b x 1 3 c 2x 1 1 d x 2 1 e 2x 3 0 f x 2x 1 17 Resolva as inequações a x 1 b 3x 1 2 c 2x2 1 1 d x 3 e 2x 3 3 f x 1 2x 1 g x 3 x 1 18 Elimine o módulo a x 1 x b 2x 1 x 2 c x 2 x 1 d x x 1 x 2 19 Elimine o módulo a 5 2 b 5 8 c a a 0 d a a 0 e 2a 3a f x 1 x g 2x 1 x 2 20 Resolva as seguintes equações e inequações a x 2 b x 2 1 c x 1 3 d 2x 3 0 e 2x 1 1 f x 2x 1 g x 1 h 3x 1 2 i 2x2 1 1 j x 3 k 2x 3 6 l x 1 2x 1 m x 3 x 1 21 Prove que x y x y se somente se xy 0 22 Apresente quatro exemplos de pares de números reais a e b tais que a b 2 e a b 8 23 Apresente quatro exemplos de pares de números reais a e b tais que a b 3 e a b 11 24 Escreva cada uma das uniões sob a forma de um único intervalo 74 a 2 7 5 20 b 8 3 6 1 c 2 8 1 4 d 9 2 7 5 e 3 2 8 f 4 2 6 g 3 5 h 6 8 12 i 3 5 j 10 8 25 Escreva cada uma das uniões sob a forma de um único intervalo ou uma união de intervalos a x x 4 110 b x x 2 1100 c x x 4 ε2 aqui ε 0 d x x 2 ε3 aqui ε 0 e y y a ε aqui ε 0 f y y b ε aqui ε 0 g x 3x 2 14 h x 4x 3 15 i x x 2 j x x 9 k x x 5 3 l x x 6 2 26 Escreva cada interseção como um único intervalo a 2 7 5 20 b 8 3 6 1 c 2 8 1 4 d 9 2 7 5 e 3 2 8 f 4 2 6 g 3 5 h 6 8 12 i 3 5 j 10 8 27 Representar sobre a reta real os números racionais 2 32 1 14 0 23 1 43 2 73 62 28 Represente sobre a reta real os seguintes conjuntos a A x ℝ 1 x 2 b B x ℝ 0 x 3 c C x ℝ x 0 ou x 2 d D x ℝ 1 x 0 ou x 3 29 Descreva conforme a notação da teoria dos conjuntos os seguintes intervalos 1 3 0 2 3 4 5 1 30 Utilizando a representação gráfica dos intervalos sobre a reta real determinar 0 3 1 4 e 0 3 1 4 31 Descreva os seguintes conjuntos a 0 2 1 3 b 0 2 1 3 c 1 2 5 0 4 3 d 2 0 e 1 9 2 2 f 1 2 0 3 1 4 g 1 3 0 4 h 2 1 0 5 i 1 3 3 5 j 1 2 0 3 2 1 4 32 Resolva as inequações a 3x 3 x 6 b 2x 1 3x c 1 3x 0 d 2x 1 x 1 0 e 1 x 3 x 0 f x2x 1 0 g x 1 2 x 1 h x2 r2 onde r 0 é um nú mero real 33 Estude o sinal da expressão a 3x 1 b 2 3x c x 1 x 2 d 2 3x x 2 e 2x 13 2x f xx 12x 3 g xx2 3 34 Resolva a inequação a 2x 1 x 1 0 b x 2 3x 1 0 c 3x 2 2 x 0 76 d x 2x 2 0 e x 2x 3 3 35 Dados os intervalos reais I1 1 1 I2 5 I3 0 10 I4 3 6 e I5 3 calcule a I1 I2 b I1 I3 c I1 I4 d I1 I5 e I1 I2 f I1 I3 g I1 I4 h I3 I5 i I2 I4 j I2I4 k I2 l I5 m I2 I3 n I2 I4 I1 I3 o I1 I2 I3 p I3 I4 q I2 I5 r I1 I5 s I1 t I1 I2 I3 I4 u I1 I2 I3 I4 I5 v I1 I2 I3 I4 w I1 I2 I3 I4 I5 x I1 I2 I3 I4 y I1 I2 I3 I4 I5 z I1 I2 I3 I4 I5 77 Capıtulo3 Funções e seus Grácos O tópico das funções está situado no centro da matemática moderna Iniciaremos este capítulo introduzindo a noção de função juntamente com seu domínio e sua imagem A geometria analítica que combina álgebra e geometria constitui uma poderosa ferramenta para visualizar funções Assim discutiremos o plano das coordenadas que pode ser pensado como um análogo bidi mensional da reta real Embora funções sejam objetos algébricos pode mos frequentemente compreender melhor 31 Funções O conceito de função é um das noções mais fundamentais da Mate mática e geralmente é apresentado às pessoas de uma forma intuitiva algo como uma função de A em B é uma regra que associa a cada elemento de A um único elemento do conjunto B Vamos analisar um exemplo bem conhecido de função f R R dada por fx x2 a regra aqui é associar a cada número real x o número x2 Uma forma natural de entender o comportamento de uma função é olhar para seu gráfico ou seja considerar o conjunto de pontos de x y do plano cartesiano tais que y x2 Figura 31 Gráfico da função y x² Definição 107 Sejam A e B dois conjuntos não vazios Uma função f de A em B é uma regra que a cada elemento x A associa um único elemento y B Notações Sejam A e B dois conjuntos não vazios e f uma função de A em B Se f relaciona x A com y B denotaremos fx y A função f será denotada por f A B Simplificando as notações podemos representar as duas informações acima da seguinte forma f A B x fx Assim dada uma relação f de A em B temos que f é uma função se as seguintes propriedades são satisfeitas 1 Para todo x A existe y B tal que y fx 2 Para todos x A e y₁ y₂ B se fx y₁ e fx y₂ então y₁ y₂ Exemplo 108 Sejam A 1 2 3 e B a bc e considere as re lações dadas na Figura 32 dadas pelos seus diagramas sagitais Note que f é função enquanto que g e h não são funções A f 1 2 3 B a b c A g 1 2 3 B a b c A h 1 2 3 B a b c Figura 32 Exemplos de relações Exemplo 109 Sejam A 1 2 3 e B x y z e considere as relações dadas na Figura 33 dadas pelos seus diagramas sagitais Note que f e g não funções enquanto que h é uma função A f 1 2 3 B x y z A g 1 2 3 B x y z A h 1 2 3 B x y z Figura 33 Exemplos de relações 80 Exemplo 110 Na Figura 34 temos uma relação que não é função pois o número 1 está relacionado com dois elementos dos con junto B A f 1 2 3 B a b c Figura 34 Exemplo de relação que não é função Exemplo 111 Na Figura 35 temos uma relação que não é função pois o número 2 não está relacionado com nenhum elemento do conjunto B A f 1 2 3 B a b c Figura 35 Exemplo de relação que não é função 81 Exemplo 112 Na Figura 36 temos uma relação que não é função pois o número 1 está relacionado com dois elementos do conjunto B e o número 2 não está relacionado com nenhum elemento do conjunto B Figura 36 Exemplo de relação que não é função Exemplo 113 Suponha que uma função seja definida pela fórmula fx x² para todo número real x Então f3 3² 9 f12 12² 14 f1t 1t² 1² 21t t² t² 2t 1 fx 5π x 5π² x 5²π² x² 10x 25π² 311 Domínio e Contradomínio Para definir precisamente uma função precisamos sempre deixar claro os três elementos principais que a descrevem a saber o domínio o contradomínio e a relação ou regra que estabelece a correspondência entre os elementos destes dois conjuntos Entretanto quando estes elementos estão implicitamente claros a partir do contexto podemos omitílos para não tornar o texto repetitivo ou sobrecarregado de notações Definição 114 Seja f A B uma função O conjunto A é o domí nio de f denotado por Domf e o conjunto B é o contradomínio de f denotado por Cdomf Exemplo 115 Considere os conjuntos A 1 2 3 e B a b c d e o diagrama da Figura 37 Note que este diagrama define uma função f A B dada por f1 b f2 c e f3 a Temos que Domf A Cdomf B e Imf a b c Observe que Imf Cdomf Também Grf 1 b 2 c 3 a O gráfico de f pode ser representado como podemos ver na Figura 38 A f 1 2 3 B a b c d Figura 37 Figura do Exemplo 115 Embora o domínio seja uma parte formal da caracterização da fun ção nós frequentemente ficamos perdidos quanto a esse domínio Em geral o domínio está claramente estabelecido com base no contexto ou em uma fórmula que defina uma função Quando o domínio não estiver especificado devemos usar a seguinte regra informal Domínio não especificado Se uma função for definida por uma fórmula sem especificação do domínio então podese supor que o domínio seja o conjunto de todos os números reais para os quais a fórmula faça sentido e produza um número real 83 1 2 3 a b c 1 2 2 3 3 1 Figura 38 Figura do Exemplo 115 Em cursos de cálculo é comum explicitar uma função apenas pela sua regra por exemplo fx 2x ou gx 1 x Nesse contexto está claro que Domf R e Domg R 0 e que o contradomínio de ambas as funções é o conjunto dos números reais Os próximos três exemplos ilustram essa regra Exemplo 116 Determine o domínio da função definida por fx 3x 12 De fato nenhum domínio foi especificado mas a fórmula acima faz sentido para todos os números reais x Assim a menos que o contexto indique algo diferente podemos supor que o domínio dessa função é o conjunto de todos os números reais O exemplo a seguir mostra que evitar a divisão por 0 pode determinar o domínio de uma função Exemplo 117 Determine o domínio da função h definida por ht t2 3t 7 t 4 Com efeito Domh t R t 4 0 t R t 4 R 4 O exemplo seguinte ilustra a exigência da regra informal de que a fórmula deve produzir um número real 84 Exemplo 118 Determine o domínio da função g definida por gx x 5 De fato Domg x ℝ x 5 0 x ℝ x 5 x ℝ x 5 ou x 5 5 5 312 Igualdade de Funções Definição 119 Sejam f e g duas funções Dizemos que f e g são iguais e denotamos f g quando as seguintes propriedades são satisfeitas 1 Domf Domg 2 fx gx para todo x Domf Domg Exemplo 120 Suponha que f seja a função cujo domínio é o conjunto dos números reais com f definida nesse domínio pela fórmula fx x2 Suponha que g seja a função cujo domínio é o conjunto dos números positivos com g definida nesse domínio pela fórmula gx x2 As funções f e g são iguais De fato observe que por exemplo f3 9 mas a expressão g3 não faz sentido pois gx não está definida para quando x é negativo Como f e g possuem domínios distintos essas duas funções não são iguais Exemplo 121 Suponha que f e g sejam funções cujo domínio é o conjunto constituído pelos números 1 2 com f e g definidas em seu domínio pela fórmula fx x2 e gx 3x 2 As funções f e g são iguais Com efeito aqui f e g possuem o mesmo domínio o conjunto 1 2 Assim é no mínimo possível que f e g sejam iguais Como f e g possuem fórmulas diferentes a tendência natural é dizer que f não é igual a g No entanto f1 12 1 e g1 3 1 2 1 e f2 22 4 e g2 3 2 2 4 Assim f1 g1 e f2 g2 Como f e g possuem o mesmo valor para todos os números em seu domínio 1 2 as funções f e g são iguais Exemplo 122 Suponha que f e g sejam funções cujo domínio é o conjunto dos números reais com f e g definidas em seu domínio pelas fórmulas fx 3 x2 e gt 3 t2 As funções f e g são iguais Com efeito como f e g possuem o mesmo domínio e o mesmo valor para todos os números nesse domínio f e g são funções iguais Exemplo 123 As funções f ℝ 1 ℝ x fx x2 1x 1 g ℝ ℝ x gx x 1 não são iguais Com efeito mesmo que fx gx para todo x ℝ 1 temos que Domf Domg Diagram x f fx entrada saída Figura 39 O conjunto de entradas permitidas pelo equipamento é o domínio de f e o conjunto das saídas é a imagem de f Exemplo 124 As funções f ℝ 1 ℝ x fx x2 1x 1 g ℝ 1 ℝ x gx x 1 são iguais Note que Domf Domg ℝ 1 Imf Img ℝ 2 e que fx x2 1x 1 x 1x 1x 1 x 1 gx para todo x ℝ 1 313 Imagem Outro conjunto importante associado a uma função além do domínio é a imagem A imagem de uma função é o conjunto de todos os valores assumidos pela função Apresentamos a seguir a definição precisa Definição 125 Seja f A B uma função O conjunto imagem de f é o seguinte subconjunto de B Imf y B y fx para algum x A fx x A Em outras palavras se pensarmos em uma função como o equipamento a seguir então a imagem de f é o conjunto dos números que o equipamento produz como saídas e o domínio o conjunto das entradas permitidas Exemplo 126 Suponha que o domínio de f seja o intervalo 25 sendo f definida nesse intervalo pela equação fx 3x 1 1 O número 10 está na imagem de f 2 O número 19 está na imagem de f 1 Precisamos determinar se a equação 3x 1 10 tem uma solução no intervalo 25 que é o domínio de f A única solução para a equação acima é x 3 que está no domínio 25 Portanto 10 está na imagem de f 2 Precisamos determinar se a equação 3x 1 19 tem uma solução no intervalo 25 que é o domínio de f A única solução para a equação acima é x 6 que não está no domínio 25 Portanto 19 não está na imagem de f Para que um número y esteja na imagem de uma função f não se exige que a equação fx y tenha exatamente uma solução x no domínio de f O que se exige é que essa equação tenha no mínimo uma solução O exemplo a seguir mostra que podem facilmente existir soluções múltiplas Exemplo 127 Suponha que o domínio de g seja o intervalo 120 sendo g definida nesse intervalo pela equação gx x 5 O número 2 está na imagem de g Com efeito precisamos determinar se a equação x5 2 tem no mínimo uma solução x no intervalo 120 A equação acima tem duas soluções x 7 e x 3 e ambas estão no domínio de g Temos g7 g3 2 Portanto 2 está na imagem de g Lista de Exercícios 1 Seja f R R a função definida por fx x² 3x 4 Calcular a f2 b f13 c f1 d f3 e f12 f f1 2 2 Seja f Z Z a função definida por fx 3x 2 Calcular a f2 b f3 c f0 d f32 3 Seja f R R uma função definida por fx 1 se x Q x 1 se x Q Determine a f3 b f4 c f37 d f3 1 e f2 f f075 4 Suponha que fx x 2x² 1 para todo número real Calcule e simplifique cada uma das seguintes expressões a f0 b f1 c f1 d f2 e f2a f fb3 g f3a 1 h fx² 1 i f2x² 3 j fab 1 k f2ab 3 5 Suponha que gx x 1x 2 a Determine um número b tal que gb 4 b Determine um número b tal que gb 3 c Simplifique a expressão gx gxx 2 d Simplifique a expressão gx g3x 3 e Simplifique a expressão ga t gat f Simplifique a expressão gx b gx b2b 6 Suponha que f seja a função f definida por ft 2t 9 se t 0 3t 10 se t 0 a Calcule o valor de f1 b Calcule o valor de f2 c Calcule o valor de f3 d Calcule o valor de f4 e Calcule o valor de fx 1 f Calcule o valor de fx 5 2 g Determine dois valores distintos de t tais que ft 0 h Determine dois valores distintos de t tais que ft 4 7 Função inclusão Sejam A e B dois conjuntos tais que A B Mostre que a relação iAB xx x A é uma função 8 Função característica em B Sejam A e B conjuntos quaisquer tais que B A Mostre que a relação fB A 01 x fBx 0 se x B 1 se x B é uma função 9 Função maior inteiro Consideremos a relação φ R Z x φx x onde x representa o maior número inteiro entre todos os inteiros que são menores ou iguais a x a Calcule φ1 φ13 φ04 φe φπ φ156 φ32 b Mostre que φ é uma função 10 Determine um número b tal que a função f seja igual a função g a A função f tem como domínio o conjunto dos números reais positivos e é definida por fx 5x² 7 a função g tem domínio b e é definida por gx 5x² 7 a Calcule o valor de f1 b Calcule o valor de f2 c Calcule o valor de f3 d Calcule o valor de f4 e Calcule o valor de fx 1 f Calcule o valor de fx 5 2 g Determine dois valores distintos de t tais que ft 0 h Determine dois valores distintos de t tais que ft 4 7 Função inclusão Sejam A e B dois conjuntos tais que A B Mostre que a relação iA B xx x A é uma função 8 Função característica em B Sejam A e B conjuntos quaisquer tais que B A Mostre que a relação fB A 01 x fBx 0 se x B 1 se x B é uma função 9 Função maior inteiro Consideremos a relação φ R Z x φx x onde x representa o maior número inteiro entre todos os inteiros que são menores ou iguais a x a Calcule φ1 φ13 φ04 φe φπ φ156 φ32 b Mostre que φ é uma função 10 Determine um número b tal que a função f seja igual a função g a A função f tem como domínio o conjunto dos números reais positivos e é definida por fx 5x² 7 a função g tem domínio b e é definida por gx 5x² 7 b A função f tem como domínio o conjunto dos números cujo valor absoluto é menor que 4 e é definida por fx 3x5 a função g tem domínio bb e é definida por gx 3x5 c Ambas f e g têm domínio 35 sendo f definida em seu domínio pela fórmula fx x2 3 e g pela fórmula gx 18x bx3 d Tanto f quanto g têm domínio 34 sendo f definida em seu domínio pela fórmula fx 3x 5 e g pela fórmula gx 15 8x bx4 11 Determine o domínio de cada função a fx 2x13x4 b fx 4x97x5 c fx sqrtx5x7 d fx sqrt2x3x6 e fx sqrtx6 1 f fx sqrtx5 3 12 Determine a imagem de h sendo h definida por ht t 1 e domínio de h o conjunto dado em cada item a 14 b 83 c 35 d 82 e 0 f 0 13 Calcule a f1 e f12 sendo fx x2 2x b g0 g2 e gsqrt2 sendo gx xx2 1 c fab fabab sendo fx x2 e ab 0 d fab fabab sendo fx 3x 1 e ab 0 14 Simplifique fx fpxp x p sendo dados a fx x2 e p 1 b fx x2 e p 1 c fx x2 e p qualquer d fx 2x 1 e p 1 e fx 2x 1 e p 2 f fx x3 e p 2 a fx 3 b fx x2 1 c gx x3 x d gx 1x2 1 e fx x5 f fx x2 x g gx x4 3x2 1 h gx xx2 1 18 Uma função pode ser par e ímpar ao mesmo tempo Justifique sua resposta 19 Qual a notação das seguintes funções de R em R a f associa a cada número real ao seu oposto b g associa a cada número real ao seu cubo c h associa a cada número real ao seu quadrado menos 1 d k associa a cada número real ao número 2 20 Sejam Aabc e Bxy quantas funções de A em B existem 21 Se o conjunto A tem m elementos e o conjunto B tem n elementos quantas funções de A em B existem 22 Determine o domínio das seguintes funções de R em R a fx 3x 2 b hx x 1x2 4 c qx 1sqrtx1 d sx cuberoot2x 1 e ux cuberootx2x3 f gx 1x2 g px sqrtx 1 h rx sqrtx 2x 2 i tx 1cuberoot2x 3 23 Consideremos três funções reais com valores reais definidas por fx x3 gy y3 e hz z3 Quais delas são iguais entre si 24 As funções f R R x fx sqrtx2 g R R x gx x são iguais Justifique g fx x3 e p 2 h fx x3 e p qualquer i fx x3 3x e p 2 j fx 1x e p1 k fx 1x e p2 l fx 1x2 e p3 m fx 1x2 e p3 n fx 1x e p 0 o fx 1x2 e p 0 15 Simplifique fxh fxh h 0 sendo fx igual a a fx 2x1 b fx 3x 8 c fx 2x 4 d fx x2 e fx x2 3x f fx x2 5 g fx x2 2x h fx x2 2x 3 i fx 2x2 3 j fx 2x2 x 1 k fx x3 l fx x3 2x m fx x3 x2 x n fx 5 o fx 1x p fx 2x3 x q fx 1x2 r fx 1x2 16 Determine o domínio de cada uma das funções abaixo a fx 1x1 b y xx2 1 c gx 2xx2 1 d y xx2 e hx sqrtx2 f gx x1x2 x g y sqrtx1x1 h y sqrt2x113x 17 Uma função y fx é função par se fx fx para todo x Domf função ímpar se fx fx para todo x Domf Diga se cada uma das funções abaixo é par ímpar ou nenhuma delas l Quantos valores de x satisfazem a equação fx 12 m Quantos valores de x satisfazem a equação fx 72 6 Descreva o domínio a imagem e esboce o gráfico das seguintes funções a fx 3x b hx x 1 c fx 2x 3 d fx 2 e fx x 2 f gx x g fx 2x 1 h gx 3 i hx 13x 53 j gx x se x 2 3 se x 2 k fx 2x se x 1 x 1 se x 1 7 Considere a função fx x 1 x 2 a Mostre que fx 2x 3 se x 1 1 se 1 x 2 2x 3 se x 2 b Esboce o gráfico de f 8 Considere a função f dada por fx x² 4x 5 a Mostre que fx x 2² 1 b Esboce o gráfico de f c Qual o menor valor de fx Em qual x este menor valor é atingido 9 Esboce o gráfico das seguintes funções a fx x² b y x² 1 c y x² 1 d y x 1² e y x 1² f fx x² g y x² 1 h y x² 4 i y x 2² j y x 1² k y x² se x 1 2 x 2² se x 1 10 Considere a função fx max x 1x 94 25 As funções f R R x fx x 1 g R 1 R x gx x² 1 x 1 são iguais Justifique 26 Quantas funções f A B são possíveis construir utilizando os conjuntos A 1 2 3 e B 1 2 27 Verifique se as funções f e g são iguais onde f 1 R x fx x 1 e g 1 R x gx x 1 28 Verifique se as funções f e g são iguais onde f x R x² 3x 0 R x fx 3x e g 0 3 R x gx x² 29 Seja a função f R R x fx 2x 3 5 Qual é a préimagem de 34 30 Considere a função f R 1 R x fx 3x 2 x 1 Qual é a préimagem de 2 95 31 Considere a função f R R x fx x² 5x 9 Qual é a préimagem de 3 32 Gráfico 321 Plano das coordenadas O plano das coordenadas é construído de forma similar à nossa construção da reta real mas usandose uma reta horizontal e uma reta vertical em vez de apenas uma reta horizontal O plano das coordenadas O plano das coordenadas é construído iniciandose com uma reta horizontal e uma reta vertical em um plano Essas retas são denominadas os eixos das coordenadas O ponto de interseção dos eixos das coordenadas é denominado a origem é identificada por O em ambos os eixos Sobre o eixo horizontal escolha um ponto à direita da origem e identifiqueo como 1 Depois identifique outros pontos sobre o eixo horizontal usando a escala determinada pela origem e o ponto 1 Similarmente sobre o eixo vertical escolha um ponto acima da origem e identifiqueo como 1 Depois identifique outros pontos sobre o eixo vertical usando a escala determinada pela origem e o ponto 1 Um ponto no plano é identificado por suas coordenadas que são escritas sob a forma de um par ordenado de números colocado dentro de parênteses como descrito abaixo 3 2 1 1 2 3 3 2 1 1 2 3 x y Figura 310 O plano das coordenadas A primeira coordenada indica a distância horizontal a partir da origem com números positivos correspondendo a pontos à direita da origem e números negativos correspondendo a pontos à esquerda da origem A segunda coordenada indica a distância vertical a partir da origem com números positivos correspondendo a pontos acima da origem e números negativos correspondendo a pontos abaixo da origem O plano com esse sistema de identificação é frequentemente cha mado de plano cartesiano em homenagem ao matemático francês René Descartes 15961650 que descreveu essa técnica em seu livro Discurso sobre o Método em 1637 A notação 1 2 5 poderia representar tanto o ponto com coorde nadas 1 2 5 quanto o intervalo aberto 1 2 5 Você deve saber re conhecer a partir do contexto em que ela estiver qual é o significado pretendido Essas coordenadas são às vezes chamadas de coordenadas retan gulares pois as coordenadas de cada ponto são determinadas por um retângulo como apresentado na Figura 310 96 Exemplo 128 Localize no plano das coordenadas os seguintes pontos 1 2 1 2 1 2 5 3 2 5 2 5 4 3 2 Com efeito 1 O ponto 2 1 pode ser localizado movendose a partir da origem 2 unidades para a direita ao longo do eixo horizontal e depois 1 unidade para cima veja a figura abaixo 2 O ponto 1 2 5 pode ser localizado movendose a partir da origem 1 unidade para a esquerda ao longo do eixo horizon tal e depois 2 5 unidades para cima veja a figura abaixo 3 O ponto 2 5 2 5 pode ser localizado movendose a par tir da origem 2 5 unidades para a esquerda ao longo do eixo horizontal e depois 2 5 unidades para baixo veja a figura abaixo 4 O ponto 3 2 pode ser localizado movendose a partir da origem 3 unidades para a direita ao longo do eixo horizontal e depois 2 unidades para baixo veja a figura abaixo O eixo horizontal é frequentemente denominado o eixo dos x e o eixo vertical o eixo dos y Neste caso o plano das coordenadas pode ser denominado o plano xy Entretanto outras variáveis também podem ser usadas dependendo de cada problema em particular Se o eixo horizontal for identificado como eixo dos x então a primeira coordenada de um ponto é frequentemente chamada de coordenada x Similarmente se o eixo vertical for identificado como eixo dos y então a segunda coordenada de um ponto é frequentemente chamada de co ordenada y A confusão potencial dessa terminologia tornase aparente quando quisermos considerar um ponto cujas coordenadas são y x aqui y é a coordenada x e x é a coordenada y Além disso se chamarmos sempre a primeira coordenada de coordenada x isto poderá levar a alguma con fusão quando o eixo horizontal for identificado com outra variável como t ou θ Independentemente dos nomes dos eixos Similarmente os ter mos primeira coordenada e segunda coordenada são frequentemente 97 x y O 3 2 1 1 2 3 3 2 1 1 2 3 2 1 1 25 25 25 3 2 Figura 311 O plano das coordenadas mais adequados que os termos coordenada x e coordenada y a primeira coordenada corresponde à distância horizontal a partir da origem a segunda coordenada corresponde à distância vertical a partir da origem 322 Gráfico Uma função pode ser visualizada por seu gráfico que definiremos a seguir 98 4 2 2 4 4 2 2 4 x y Figura 312 Gráfico da função y x em 4 4 Definição 129 Seja f A B uma função O gráfico de f é o seguinte subconjunto de A B Grf x y A B y fx x fx x A Assim no plano xy o gráfico de uma função f é o conjunto de pontos x y que satisfazem a equação y fx com x no domínio de f A Figura 312 mostra o gráfico da função f cujo domínio é 4 4 com f definida por fx x Observe que o gráfico tem um vértice na origem Às vezes a única informação que temos sobre uma função é um de senho do seu gráfico O exemplo seguinte ilustra o procedimento para determinar os valores aproximados de uma função com base em um de senho de seu gráfico Exemplo 130 O website de uma corrida de quatro milhas 6 4km na montanha apresenta o gráfico dado na Figura 313 para a fun ção f no qual fx é a altitude em pés em dado ponto do percurso da corrida e x as milhas contadas a partir da linha de largada Es time a altitude em um ponto do percurso a três milhas da linha de largada De fato Precisamos estimar o valor de f3 Para isso traça mos um segmento de reta vertical a partir do ponto 3 sobre o eixo dos x até que ele intercepte o gráfico O comprimento desse seg 99 mento de reta será igual a f3 como mostrado na Figura 314 Em geral a forma mais fácil de estimarse o valor de f3 é traçar a reta horizontal mostrada na figura da direita O ponto em que essa reta horizontal intercepta o eixo vertical informa o valor de f3 Na Figura 314 vemos que f3 está um pouco além do meio caminho entre 200 e 300 Assim 260 é uma boa estimativa de f3 Em outras palavras a altitude será de aproximadamente 260 pés quando o percurso da corrida estiver a 3 milhas da linha de largada x y 1 2 3 4 100 200 300 Figura 313 O gráfico da função que informa a altitude x y 1 2 3 4 100 200 300 Figura 314 O segmento de reta vertical tem comprimento f3 260 O procedimento utilizado no exemplo acima pode ser resumido como segue 100 Determinando valores de uma função a partir de seu gráfico Para obter o valor de fb dados apenas o gráfico de f no plano xy 1 determine o ponto em que a reta vertical x b intercepta o gráfico de f 2 trace uma reta horizontal a partir desse ponto até o eixo dos y 3 a interseção dessa reta horizontal com o eixo dos y fornece o valor de fb 323 Determinando o Domínio e a Imagem a Partir de um Gráfico O exemplo a seguir mostra como se pode determinar o domínio de uma função a partir do seu gráfico Exemplo 131 Suponha que tudo o que você sabe sobre uma fun ção f é o desenho do seu gráfico mostrado na Figura 315 1 0 5 está no domínio de f 2 2 5 está no domínio de f 3 Estabeleça uma estimativa razoável para o domínio de f Com efeito lembre que o gráfico de f consiste em todos os pontos sob a forma a fa quando a varia no domínio de f As sim a reta x a no plano xy intercepta o gráfico de f se e so mente se a pertencer ao domínio de f A Figura 316 contém além do gráfico de f as retas x 0 5 e x 2 5 1 A Figura 316 mostra que a reta x 0 5 não intercepta o grá fico de f Então 0 5 não pertence ao domínio de f 2 A reta x 2 5 intercepta o gráfico de f Então 2 5 pertence ao domínio de f 3 Uma estimativa razoável para o domínio de f é o intervalo 1 4 O intervalo aberto 1 4 também seria uma estimativa razoável para o domínio de f Um gráfico pode dar apenas uma boa aproximação do domínio O verdadeiro domínio de 101 f poderia ser 1 4 001 ou até mesmo um conjunto não usual tal como todos os números no intervalo 1 4 exceto 2 e 2 5 nossos olhos não conseguiriam detectar diferenças tão sutis em um desenho do gráfico x y 1 2 3 4 1 1 2 3 Figura 315 Gráfico do Exemplo 131 x y 1 2 3 4 1 1 2 3 Figura 316 As retas verticais que interceptam o gráfico correspondem a números no domínio A técnica utilizada acima pode ser resumida como segue 102 Determinando o domínio a partir do gráfico Um número a pertence ao domínio de uma função f se e somente se a reta x a no plano xy interceptar o gráfico de f Lembre que a imagem de uma função é o conjunto de todos os va lores que a função assume Assim a imagem de uma função pode ser determinada pelas retas horizontais que interceptam o gráfico da fun ção como mostrado no próximo exemplo 103 x y 1 2 3 4 1 1 2 3 Figura 317 As retas horizontais que interceptam o gráfico correspondem a números na imagem 104 Exemplo 132 Suponha que f seja novamente a função com do mínio 1 4 cujo gráfico é aqui apresentado na Figura 315 1 1 5 está na imagem de f 2 4 está na imagem de f 3 Estabeleça uma estimativa razoável da imagem de f Com efeito lembre que o gráfico de f consiste em todos os pontos sob a forma a fa quando a varia no domínio de f As sim a reta y b no plano xy intercepta o gráfico de f se e so mente se b pertencer a imagem de f A Figura 317 contém além do gráfico de f as retas y 1 5 e y 4 1 A Figura 317 abaixo mostra que a reta y 1 5 intercepta o gráfico de f em três pontos Então 1 5 pertence à imagem de f 2 A Figura 317 acima mostra que a reta y 4 não intercepta o gráfico de f Em outras palavras a equação fx 4 não possui solução x pertencente ao domínio de f Então 4 não pertence à imagem de f 3 Traçando retas horizontais podemos ver que a imagem dessa função parece ser o intervalo 1 3 A verdadeira imagem dessa função pode ser levemente diferente disso não tería mos condições de notar a diferença no desenho desse grá fico se a imagem fosse na verdade igual ao intervalo 1 02 3 001 A técnica utilizada aqui pode ser resumida como segue Determinando a imagem a partir do gráfico Um número b pertence à imagem de uma função f se e somente se a reta horizontal y b no plano xy interceptar o gráfico de f 324 Quais Conjuntos São Gráficos de Funções Como ilustrado no exemplo a seguir nem toda curva no plano é o gráfico de alguma função 105 Exemplo 133 A curva da Figura 318 é o gráfico de alguma função De fato se essa curva fosse o gráfico de alguma função f po deríamos determinar o valor de f1 olhando para os pontos em que a reta x 1 intercepta a curva No entanto a Figura 319 a seguir mostra que a reta x 1 intercepta a curva em dois pon tos A definição de função requer que f1 seja um único número não um par de números Assim essa curva não é o gráfico de ne nhuma função x y 1 2 3 4 1 2 3 Figura 318 Curva do Exemplo 133 x y 1 2 3 4 1 2 3 Figura 319 A reta x 1 intercepta a curva em dois pontos Assim esta curva não é o gráfico de uma função De modo geral qualquer conjunto no plano das coordenadas que intercepte alguma reta vertical em mais que um ponto não poderá ser o gráfico de uma função Por outro lado um conjunto no plano das co ordenadas que intercepte toda reta vertical em no máximo um ponto é 106 o gráfico de alguma função f cujos valores são determinados como no Exemplo 130 e cujo domínio é determinado como no Exemplo 131 A con dição para que um conjunto no plano das coordenadas seja o gráfico de alguma função pode ser resumido como segue Teste da reta vertical Um conjunto de pontos no plano das coordenadas é o gráfico de alguma função se e somente se toda reta vertical interceptar o conjunto em no máximo um ponto O teste da reta vertical mostra por exemplo que nenhuma função tem um gráfico dado por uma circunferência Lista de Exercícios 1 Escreva as coordenadas do ponto especificado usando a Figura 320 x y 1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 1 2 3 A C D E F G H B Figura 320 Figura do Exercício 1 2 Esboce um plano das coordenadas mostrando os quatro pontos a seguir suas coordenadas e os retângulos determinados por cada ponto 1 2 2 2 3 1 2 3 107 3 Apresentamos na Figura 321 o gráfico de uma função f x y 1 2 3 4 1 1 2 3 Figura 321 Figura do Exercício 3 a Qual é o domínio de f b Qual é a imagem de f 4 Apresentamos na Figura 322 o gráfico de uma função f x y 1 1 2 3 4 5 1 1 2 3 Figura 322 Figura do Exercício 4 a Qual é o domínio de f b Qual é a imagem de f 108 x y 4 3 2 1 1 2 3 4 4 3 2 1 1 2 3 4 Figura 323 Figura do Exercício 4 5 Suponha que f seja a função com domínio 4 4 cujo gráfico é apre sentado na Figura 323 a Estime o valor de f4 b Estime o valor de f3 c Estime o valor de f2 d Estime o valor de f1 e Estime o valor de f0 f Estime o valor de f1 g Estime o valor de f2 h Estime o valor de f3 i Estime o valor de f4 j Estime um número a tal que fa 4 k Estime um número negativo a tal que fa 1 2 109 Exemplo 134 Sejam f e g duas funções definidas por fx x2 e gx fx 1 em que f está definida no domínio 1 1 1 Determine o domínio de g 2 Determine a imagem de g 3 Esboce o gráfico de g De fato 1 A fórmula que define g mostra que gx é definida precisa mente quando fx for definida Em outras palavras o domí nio de g é igual ao domínio de f Então o domínio de g é o intervalo 1 1 2 Lembre que a imagem de g é o conjunto de valores assu midos por g quando x varia no domínio de g Como gx fx 1 a imagem de g é obtida adicionandose 1 a cada nú mero da imagem de f Assim a imagem de g é o intervalo 1 2 3 Um ponto típico no gráfico de f tem a forma x x2 em que x está no intervalo 1 1 Como gx x2 1 um ponto tí pico no gráfico de g tem a forma x x2 1 em que x está no intervalo 1 1 Em outras palavras cada ponto no grá fico de g é obtido adicionandose 1 à segunda coordenada de um ponto no gráfico de f Assim o gráfico de g é obtido pelo deslocamento do gráfico de f uma unidade para cima como mostrado na Figura 325 O deslocamento do gráfico de uma função para baixo segue um pa drão similar substituindose o sinal de mais por um sinal de menos como mostrado no exemplo a seguir Exemplo 135 Sejam f e h duas funções definidas por fx x2 e hx fx 1 em que f está definida no domínio 1 1 1 Determine o domínio de h 2 Determine a imagem de h 3 Esboce o gráfico de h De fato 112 x y 2 1 1 1 Figura 325 Os gráficos de fx x2 vermelho e gx x2 1 azul ambas com domínio 1 1 1 A fórmula acima mostra que hx é definida precisamente quando fx for definida Em outras palavras o domínio de h é igual ao domínio de f Assim o domínio de h é o intervalo 1 1 2 Como hx fx 1 a imagem de h é obtida subtraindose 1 de cada número da imagem de f Assim a imagem de h é o intervalo 1 0 3 Como hx x2 1 um ponto típico no gráfico de h tem a forma x x2 1 em que x está no intervalo 1 1 Então o gráfico de h é obtido pelo deslocamento do gráfico de f uma unidade para baixo como mostrado na Figura 326 113 a Calcule f2 f1 e f12 b Dê o domínio a imagem e esboce o gráfico de f 11 Considere a função maior inteiro fx maxn Z n x a Calcule f12 f1 f54 e f15 b Dê o domínio a imagem e esboce o gráfico de f 33 Transformações de Funções e Seus Gráficos Neste capítulo investigaremos várias transformações de funções e aprenderemos o efeito dessas transformações no domínio na imagem e no gráfico de uma função Para ilustrar essas ideias ao longo desta seção utilizaremos a função f definida por fx x² com domínio igual ao intervalo 11 Assim o gráfico dado na Figura 324 de f é parte de uma parábola familiar y 1 1 1 x Figura 324 O gráfico de fx x² com domínio 11 A imagem de 01 331 Transformações Verticais Esta subseção foca nas transformações de funções verticais que mudam a forma ou a localização vertical do gráfico de uma função Como as transformações de funções verticais afetam o gráfico apenas verticalmente elas não alteram o domínio da função Começamos com um exemplo que mostra o procedimento para deslocar para cima o gráfico de uma função Deslocamento de um gráfico para cima ou para baixo Suponha que f seja uma função e a 0 Defina as funções g e h por gx fx a e hx fx a Então o gráfico de g é obtido pelo deslocamento do gráfico de f a unidades para cima o gráfico de h é obtido pelo deslocamento do gráfico de f a unidades para baixo Em vez de memorizar as conclusões em todos os boxes de resulta dos desta seção tente entender como essas conclusões foram obtidas Depois você poderá decidir de qual delas vocês necessita dependendo do problema em questão Exemplo 137 Considere a função fx x2 e as seguintes trans lações de fx x3 gx fx 3 x3 3 e hx fx 3 x3 3 Observe na Figura 327 como estas translações alteram o gráfico da função f note a função h carregou o gráfico da f três unida des para cima no eixo y já a função g carregou o gráfico da f três unidades para baixo no eixo y O próximo exemplo mostra como se alonga verticalmente o gráfico de uma função Exemplo 138 Defina as funções g e h por gx 2fx e hx 1 2fx em que f é a função fx x2 com domínio de f o intervalo 1 1 1 Determine o domínio de g e o domínio de h 2 Determine a imagem de g 3 Determine a imagem de h 4 Esboce os gráficos de g e de h 115 x y 4 3 2 1 1 2 3 4 2 1 1 2 Figura 327 Os gráficos de fx x3 vermelho gx x3 1 azul e hx x3 1 verde Com efeito Observe na Figura 328 como estas translações al teram o gráfico da função f 1 As fórmulas que definem g e h mostram que gx e hx são definidas precisamente quando fx for definida Em outras palavras o domínio de g e o domínio de h são ambos iguais ao domínio de f Assim o domínio de g e o domínio de h são ambos iguais ao intervalo 1 1 2 Como gx é igual a 2fx a imagem de g é obtida multiplicando se por 2 cada número da imagem de f Assim a imagem de g é o intervalo 0 2 3 Como hx é igual a 1 2fx a imagem de h é obtida multiplicando se por cada número da imagem de f Assim a imagem de h 116 é o intervalo 0 1 2 4 Para cada x no intervalo 1 1 o ponto x x2 está no gráfico de g e o ponto x x2 está no gráfico de h Assim o gráfico de g é obtido pelo alongamento vertical do gráfico de f por um fator 2 enquanto o gráfico de h é obtido pelo alongamento vertical do gráfico de f por um fator 1 2 como mostrado na Figura 328 x y 1 2 1 1 Figura 328 Os gráficos de fx x3 2 vermelho gx 2x2 azul e hx 1 2x2 verde Na última parte do Exemplo 138 observamos que o gráfico de h é obtido pelo alongamento vertical do gráfico de f por um fator 1 2 Essa terminologia pode parecer um tanto estranha pois a palavra alongar11 tem frequentemente a conotação de algo que se torna maior Entre tanto considerase conveniente usar a palavra alongar em um sentido mais amplo o de multiplicar por algum número positivo que poderia ser menor que 1 Talvez a palavra encolher fosse mais apropriada aqui 117 Definição 136 Dados A e B dois conjuntos de números reais e uma função f A B definimos a função translação de f no eixo y com sendo a função g A B x gx fx c onde c é uma constante real Nos Exemplos 134 e 135 ao definir gx como fx 1 e ao definir hx como fx 1 poderíamos ter usado qualquer número positivo a em vez de 1 Similarmente não há nada de especial em relação à função particular f que nós usamos Assim valem em geral os seguintes resultados 2 Como gx é igual a fx os valores assumidos por g são os negativos dos valores assumidos por f Assim a imagem de g é o intervalo 1 0 3 Note que gx x2 para todo x no intervalo 1 1 Para cada ponto x x2 no gráfico de f o ponto x x2 está no gráfico de g Assim o gráfico de g é obtido pela reflexão do gráfico de f sobre o eixo horizontal como mostrado aqui x y 1 1 1 1 Figura 329 O gráfico de fx x2 vermelho e gx x2 azul ambas com domínio 1 1 O seguinte resultado vale para toda função f Reflexão de um gráfico sobre o eixo horizontal Suponha que f seja uma função Defina uma função g por gx fx Dessa forma o gráfico de g é obtido pela reflexão do gráfico de f sobre o eixo horizontal A palavra reflexão parece ser uma descrição mais exata de como o gráfico azul acima é obtido a partir do gráfico vermelho no Exemplo 140 119 Definição 139 Dada uma função f A B e c 0 definimos a função alongamento de f no eixo y com sendo a função g A B x gx cfx No Exemplo 138 poderíamos ter usado qualquer número positivo c em vez de 2 ou 12 no exemplo acima Similarmente não há nada de especial a respeito da função particular f que nós usamos Assim vale em geral o seguinte resultado Alongamento de um gráfico verticalmente Suponha que f seja uma função e c 0 Defina uma função g por gx cfx Então o gráfico de g é obtido pelo alongamento do gráfico de f verticalmente por um fator c O procedimento para refletir o gráfico de uma função sobre o eixo horizontal é ilustrado pelo exemplo a seguir Refletir um gráfico sobre o eixo horizontal altera apenas o aspecto vertical do gráfico Assim refletir o gráfico de uma função sobre o eixo horizontal é de fato uma transformação de função vertical Exemplo 140 Considere a função fx x² e sua reflexão gx fx x² com domínio de f o intervalo 11 1 Determine o domínio de g 2 Determine a imagem de g 3 Esboce o gráfico de g De fato 1 A fórmula que define g mostra que gx é definida precisamente quando fx for definida Em outra palavras o domínio de g é igual ao domínio de f Assim o domínio de g é o intervalo 11 332 Transformações Horizontais Agora focaremos transformações de funções horizontais que mu dam a forma ou a localização horizontal do gráfico de uma função Como as transformações de funções horizontais afetam o gráfico apenas hori zontalmente elas não alteram a imagem da função Começaremos com um exemplo que mostrará o procedimento para deslocar para a esquerda o gráfico de uma função Transformações verti cais funcionam basicamente como você esperaria Como você logo verá as ações das transformações horizontais são menos intuitivas Exemplo 141 Defina uma função g por gx fx 1 em que f é a função definida por fx x2 sendo o domínio de f o intervalo 1 1 1 Determine o domínio de g 2 Determine a imagem de g 3 Esboce o gráfico de g Com efeito 1 A fórmula que define g mostra que gx é definida precisa mente quando fx 1 for definida isto é x 1 deve estar no intervalo 1 1 portanto x deve estar no intervalo 2 0 Assim o domínio de g é o intervalo 2 0 2 Como gx é igual a fx 1 os valores assumidos por g são os mesmos assumidos por f Assim a imagem de g é igual à imagem de f que é o intervalo 0 1 3 Observe que gx x 12 para todo x no intervalo 2 0 Para cada ponto x x2 no gráfico de f o ponto x1 x2 está no gráfico de g pois gx 1 x2 Então o gráfico de g é obtido pelo deslocamento do gráfico de f uma unidade para a esquerda como mostrado na Figura 330 120 x y 1 2 1 1 2 Figura 330 Os gráficos de fx x2 vermelho com domínio 1 1 e gx x2 azul com domínio 2 0 Exemplo 142 Defina uma função h por gx fx1 em que f é a função definida por fx x2 sendo o domínio de f o intervalo 1 1 1 Determine o domínio de h 2 Determine a imagem de h 3 Esboce o gráfico de h Com efeito 1 A fórmula que define h mostra que hx é definida precisa mente quando fx 1 for definida isto é x 1 deve estar no intervalo 1 1 portanto x deve estar no intervalo 0 2 Assim o domínio de g é o intervalo 0 2 2 Como hx é igual a fx 1 os valores assumidos por h são os mesmos assumidos por h Assim a imagem de h é igual à imagem de f que é o intervalo 0 1 3 Observe que hx x 12 para todo x no intervalo 0 2 Para cada ponto x x2 no gráfico de f o ponto x1 x2 está no gráfico de h pois hx 1 x2 Então o gráfico de h é obtido pelo deslocamento do gráfico de f uma unidade para a direita como mostrado na Figura 331 121 Figura 331 Os gráficos de fx x² vermelho com domínio 1 1 e gx x² azul com domínio 2 0 Definição 143 Dados A e B dois conjuntos de números reais e uma função f A B definimos a função translação de f no eixo x com sendo a função g A B x gx fx c onde c é uma constante real De um modo mais geral ao apresentado nos Exemplos 141 e 142 poderíamos ter usado qualquer número positivo c em vez de 1 nestes exemplos quando definimos gx fx 1 e hx fx 1 Similarmente não há nada de especial a respeito da função particular f que nós usamos Assim valem em geral os seguintes resultados Deslocamento de um gráfico para a esquerda ou para a direita Suponha que f seja uma função e c 0 Defina as funções g e h por gx fx c e hx fx c Então o gráfico de g é obtido pelo deslocamento do gráfico de f c unidades para a esquerda o gráfico de h é obtido pelo deslocamento do gráfico de f c unidades para a direita O próximo exemplo mostra o procedimento para alongar horizontalmente o gráfico de uma função Exemplo 144 Defina funções g e h por gx f2x e hx f12 x em que f é a função definida por fx x² com o domínio de f o intervalo 1 1 1 Determine o domínio de g 2 Determine a domínio de h 3 Determine a imagem de g e a imagem de h 4 Esboce os gráficos de g e de h Com efeito 1 A fórmula que define g mostra que gx é definida precisamente quando f2x for definida o que significa que 2x deve estar no intervalo 1 1 isto é x deve estar no intervalo 12 12 Assim o domínio de g é o intervalo 12 12 2 A fórmula que define h mostra que hx é definida precisamente quando fx for definida o que significa que 12 x deve estar no intervalo 1 1 isto é x deve estar no intervalo 2 2 Assim o domínio de h é o intervalo 2 2 3 As fórmulas que definem g e h mostram que os valores que elas assumem são os mesmos valores assumidos por f Assim a imagem de g e a imagem de h são ambas iguais à imagem de f que é o intervalo 0 1 4 Para cada ponto x x² no gráfico de f o ponto x2 x² está no gráfico de g pois gx2 x² e o ponto 2x x² está no gráfico de h pois h2x x² Assim o gráfico de g é obtido pelo alongamento horizontal do gráfico de f por um fator 12 e o gráfico de h é obtido pelo alongamento horizontal do gráfico de f por um fator 2 como mostrado na Figura 332 Figura 332 Os gráficos de fx x² vermelho com domínio 1 1 gx 2x² azul com domínio 12 12 e hx 12² com domínio 2 2 Definição 145 Dada uma função f A B e c 0 definimos a função alongamento de f no eixo x com sendo a função g A B x gx fcx No Exemplo 144 poderíamos ter usado qualquer número positivo c em vez de 2 ou 12 quando definimos gx f2x e hx f12 x Similarmente não há nada de especial a respeito da função particular f que nós usamos Assim vale em geral o seguinte resultado Alongamento de um gráfico horizontalmente Suponha que f seja uma função e c 0 Definimos uma função g por gx fcx Assim o gráfico de g é obtido pelo alongamento horizontal do gráfico de f por um fator 1c O procedimento para refletir o gráfico de uma função sobre o eixo vertical será ilustrado pelo exemplo a seguir Para demonstrar as ideias mais claramente alteramos o domínio de f para o intervalo 12 1 Exemplo 146 Defina uma função g por gx fx em que f é a função definida por fx x² com o domínio de f o intervalo ½ 1 1 Determine o domínio de g 2 Determine a imagem de g 3 Esboce o gráfico de g 1 A fórmula que define g mostra que gx é definida precisamente quando fx for definida isto é x deve estar no intervalo ½ 1 portanto x deve estar no intervalo 1 ½ Assim o domínio de g é o intervalo 1 ½ 2 Como gx fx os valores assumidos por g são os mesmos assumidos por f Assim a imagem de g é igual à imagem de f que é o intervalo ¼ 1 3 Observe que gx x² x² para todo x no intervalo 1 ½ Para cada ponto x x² no gráfico de f o ponto x x² está no gráfico de g pois gx x² Assim o gráfico de g é obtido pela reflexão do gráfico de f sobre o eixo vertical como podemos ver na Figura 333 Figura 333 Os gráficos de fx x² vermelho com domínio ½ 1 e gx x² x² azul com domínio 1 ½ Definição 147 Dados A e B dois conjuntos de números reais e uma função f A B definimos a função reflexão de f no eixo y com sendo a função g A B x gx fx O seguinte resultado vale para toda função f Reflexão de um gráfico sobre o eixo vertical Suponha que f seja uma função Defina uma função g por gx fx Dessa forma o gráfico de g é obtido pela reflexão do gráfico de f sobre o eixo vertical O domínio de g é obtido pela multiplicação de cada número no domínio de f por 1 Exemplo 148 Considere a função fx x2 e sua reflexão gx fx x2 x2 fx Logo nesse caso temos que f coincide com a sua reflexão no eixo y Exemplo 149 Considere a função fx x3 com domínio 2 2 e sua reflexão gx fx x3 x3 Observe na Figura 334 que g é a reflexão da função f em torno do eixo y x y 8 6 4 2 8 6 4 2 2 2 Figura 334 Esboço dos gráficos das funções fx x3 vermelho e gx x3 azul ambas com domínio 2 2 333 Combinações e Transformações Verticais de Fun ções Quando trabalhamos com combinações de transformações verticais de funções a ordem na qual as transformações serão aplicadas pode ser 127 crucial Para traçar o gráfico podemos usar o seguinte procedimento simples Combinações de transformações verticais de funções Para obter o gráfico de uma função definida por combinações de transformações verticais de funções aplicamos as transformações na mesma ordem que as operações correspondentes quando cal culamos o valor da função Exemplo 150 Defina uma função g por gx 2fx1 em que f é a função definida por fx x2 com o domínio de f o intervalo 1 1 1 Registre a ordem das operações usadas para calcular o valor de gx depois de já ter calculado o valor de fx 2 Determine o domínio de g 3 Determine a imagem de g 4 Esboce o gráfico de g De fato 1 Como gx 2fx 1 as operações para calcular o valor de gx devem ser efetuadas na seguinte ordem a Multiplicar fx por 2 b Multiplicar por 1 o número obtido no passo anterior c Adicionar 1 ao número obtido nesse último passo 2 A fórmula que define g mostra que gx é definida precisa mente quando fx for definida Em outras palavras o domí nio de g é igual ao domínio de f Assim o domínio de g é o intervalo 1 1 3 A imagem de g é obtida pela aplicação das operações da res posta do Item 1 na mesma ordem para a imagem de f que é o intervalo 0 1 a Multiplicar cada número em 0 1 por 2 o que resulta no intervalo 0 2 128 b Multiplicar cada número em 0 2 por 1 o que resulta no intervalo 2 0 c Adicionar 1 a cada número em 2 0 o que resulta no intervalo 1 1 que é a imagem de g 4 Aplicando as transformações de funções na mesma ordem que na resposta do Item 1 vemos que o gráfico de g é ob tido do gráfico de f pelo alongamento vertical do gráfico de f por um fator 2 depois pela reflexão do gráfico resultante sobre o eixo horizontal e finalmente pelo deslocamento do gráfico resultante uma unidade para cima produzindo as sim os gráficos mostrados na Figura 335 x y 2 1 1 2 1 1 Figura 335 Esboço dos gráficos das funções fx x2 vermelho y 2x2 azul y 2x2 verde e gx 2x2 1 laranjado todas com domínio 1 1 129 Comparando os Exemplos 150 e 151 podemos observar a importância de aplicaremse as operações na ordem apropriada Exemplo 151 Defina uma função h por hx 2fx1 em que f é a função definida por fx x2 com o domínio de f o intervalo 1 1 1 Registre a ordem das operações usadas para calcular o valor de hx depois de já ter calculado o valor de fx 2 Determine o domínio de h 3 Determine a imagem de h 4 Esboce o gráfico de h Com efeito 1 Como hx 2fx 1 as operações para calcular o valor de hx devem ser efetuadas na seguinte ordem a Adicionar 1 a fx b Multiplicar por 2 o número obtido no passo anterior c Multiplicar por 1 o número obtido nesse último passo 2 A fórmula que define h mostra que hx é definida precisa mente quando fx for definida Em outras palavras o domí nio de h é igual ao domínio de f Assim o domínio de h é o intervalo 1 1 3 A imagem de h é obtida pela aplicação das operações da res posta do Item 1 na mesma ordem para a imagem de f que é o intervalo 0 1 a Adicionar 1 a cada número em 0 1 de que resulta o in tervalo 1 2 b Multiplicar por 2 cada número em 1 2 de que resulta o intervalo 2 4 c Multiplicar por 1 cada número em 2 4 de que resulta o intervalo 4 2 que é a imagem de h 4 Aplicando as transformações de funções na mesma ordem que na resposta do Item 1 vemos que o gráfico de h é obtido pelo deslocamento do gráfico de f uma unidade para cima 130 depois pelo alongamento vertical do gráfico resultante por um fator 1 e finalmente pela reflexão do gráfico resultante sobre o eixo horizontal o que produz o gráfico mostrado na Figura 336 x y 4 3 2 1 1 2 3 4 1 1 Figura 336 Esboço dos gráficos das funções fx x2 vermelho y x2 1 azul y 2x2 1 verde e gx 2x2 1 laranjado todas com domínio 1 1 Quando trabalhamos com uma combinação de uma transformação vertical de função e uma transformação horizontal de função as transfor mações podem ser aplicadas em qualquer ordem Para uma combina ção de múltiplas transformações verticais com uma única transformação horizontal certifiquese de aplicar as transformações verticais na ordem apropriada a transformação horizontal pode ser aplicada antes ou de pois das transformações verticais Combinações de múltiplas transfor mações horizontais de funções possivelmente com transformações ver ticais de funções são mais complicadas 131 334 Funções Pares Suponha fx x2 para todo número real x Observe que fx x2 x2 fx Essa propriedade é tão importante que lhe daremos um nome Definição 152 Uma função f é dita par se fx fx para todo x no domínio de f Para que a equação fx fx seja válida para todo x no domí nio de f a expressão fx deve fazer sentido Assim x deve estar no domínio de f para todo x no domínio de f Por exemplo não existe pos sibilidade de que uma função cujo domínio é o intervalo 3 5 seja uma função par mas é possível que uma função cujo domínio é o intervalo 4 4 seja ou não uma função par Como já observamos anteriormente y x2 é uma função par Apre sentamos a seguir outro exemplo simples Exemplo 153 Vamos mostra que a função f definida por fx x para todo número real x é uma função par De fato essa função é par porque fx x x fx para todo número real x x y 3 2 1 1 1 2 2 3 3 Figura 337 Esboço dos gráficos das funções fx x no intervalo 3 3 Suponha que f seja uma função par Como sabemos se refletirmos o gráfico de f sobre o eixo vertical obteremos o gráfico da função h definida 132 por hx fx Como f é par nós de fato temos hx fx fx o que implica que h f Em outras palavras se refletirmos o gráfico de uma função par f so bre o eixo vertical obteremos como retorno o gráfico de f Assim o grá fico de uma função par é simétrico em relação ao eixo vertical Essa si metria pode ser vista por exemplo no gráfico da Figura 337 O gráfico de uma função par Uma função é par se e somente se seu gráfico não for alterado quando refletido sobre o eixo vertical 335 Funções Ímpares Suponha fx x3 para todo número real x Observe que fx x3 x3 fx Essa propriedade é tão importante que lhe daremos um nome Definição 154 Uma função f é dita ímpar se fx fx para todo x no domínio de f Assim como para funções pares para que uma função seja ímpar x deve estar no domínio de f para todo x no domínio de f pois de outra forma não há possibilidade de a equação fx fx ser válida para todo x no domínio de f Como já observamos anteriormente y x3 é uma função ímpar Apresentamos a seguir outro exemplo simples Exemplo 155 Vamos mostra que a função f definida por fx 1 x para todo número real x 0 é uma função ímpar De fato essa função é ímpar porque fx 1 x 1 x fx para todo número real x 0 Suponha que f seja uma função ímpar Se x for um número no domí nio de f então x fx é um ponto do gráfico de f Como fx fx o ponto x fx também está no gráfico de f Em outras palavras a 133 Figura 338 Esboço dos gráficos da função fx 1x no domínio 1 ½ ½ 1 reflexão de um ponto x fx do gráfico de uma função ímpar f sobre a origem fornece o ponto x fx que também está no gráfico de f Assim o gráfico de uma função ímpar é simétrico em relação à origem Essa simetria pode ser vista por exemplo no gráfico que apresentamos aqui de fx 1x na Figura 338 O gráfico de uma função ímpar Uma função é ímpar se e somente se seu gráfico não for alterado quando refletido sobre a origem Lista de Exercícios 1 Seja f a função definida no intervalo 1 2 pela fórmula fx 4x² Assim o domínio de f é o intervalo 1 2 a imagem de f é o intervalo 1 4 e o gráfico de f está apresentado na Figura 339 Para cada função g descrita abaixo Esboce o gráfico de g Determine o domínio de g as extremidades desse intervalo devem ser marcadas sobre o eixo horizontal do seu desenho do x y 2 1 3 4 2 1 Figura 339 O gráfico de f gráfico de g Escreva uma fórmula para g Determine a imagem de g as extremidades desse intervalo de vem ser marcadas sobre o eixo vertical do seu desenho do grá fico de g a O gráfico de g é obtido pelo deslocamento 1 unidade para cima do gráfico de f b O gráfico de g é obtido pelo deslocamento 3 unidades para cima do gráfico de f c O gráfico de g é obtido pelo deslocamento 3 unidades para baixo do gráfico de f d O gráfico de g é obtido pelo deslocamento 2 unidades para baixo do gráfico de f e O gráfico de g é obtido pelo alongamento vertical do gráfico de f por um fator 2 f O gráfico de g é obtido pelo alongamento vertical do gráfico de f por um fator 3 g O gráfico de g é obtido pelo deslocamento 3 unidades para a esquerda do gráfico de f h O gráfico de g é obtido pelo deslocamento 4 unidades para a esquerda do gráfico de f i O gráfico de g é obtido pelo deslocamento 1 unidade para a direita do gráfico de f 135 j O gráfico de g é obtido pelo deslocamento 3 unidades para a direita do gráfico de f k O gráfico de g é obtido pelo alongamento horizontal do gráfico de f por um fator 2 l O gráfico de g é obtido pelo alongamento horizontal do gráfico de f por um fator 1 2 m O gráfico de g é obtido pela reflexão do gráfico de f sobre o eixo horizontal n O gráfico de g é obtido pela reflexão do gráfico de f sobre o eixo vertical 2 Seja f uma função cujo domínio é o intervalo 1 5 cuja imagem é o intervalo 1 3 e cujo gráfico é o apresentado na Figura 340 x y 1 2 3 4 5 1 2 3 Figura 340 O gráfico de f Para cada função g descrita abaixo Determine o domínio de g Determine a imagem de g Esboce o gráfico de g a gx fx 1 b gx fx 3 c gx fx 3 d gx fx 5 e gx 2fx f gx 1 2fx 136 g gx fx 2 h gx fx 3 i gx fx 1 j gx fx 2 k gx f2x l gx f3x m gx f x2 n gx f 5x8 o gx 2fx 1 p gx 3fx 2 q gx 12 fx 1 r gx 23 fx 2 s gx 3 fx t gx 2 fx u gx fx 1 v gx fx 3 w gx fx 1 2 x gx fx 2 1 y gx f2x 1 z gx f3x 2 3 Seja f R R uma função Diremos que f é par se fx fx para todo x R e que f é ímpar se fx fx para todo x R a Mostre que a função fx x2 é par b Mostre que a função gx x3 é ímpar c Seja m N 0 Mostre que a função hx xm é par se m é par e é ímpar se m é ímpar d Encontre uma função que não é nem par e nem ímpar 34 Construção de Funções 341 Operações com funções Definição 156 Sejam f e g duas funções As funções f g f g f g e fg são definidas respectivamente por 1 f gx fx gx 2 f gx fx gx 3 fgx fx gx 4 fgx fxgx Definição 157 Sejam f uma função e k um número real A função kf é definida por kfx k fx Para que fx gx faça sentido tanto fx quanto gx devem fazer sentido Assim o domínio de f g é a interseção dos domínios de f e de g Sejam f A R e g B R duas funções e k um número real Note que Domf g Domf g Domfg A B Domkf A Domfg x A B gx 0 A adição e a multiplicação de funções são operações comutativas e associativas a subtração e a divisão de funções não satisfazem nenhuma dessas propriedades Exemplo 158 Suponha que f e g sejam as funções definidas por fx x 3 e gx 8 x 1 Calcule o valor de f g5 2 Determine uma fórmula para f gx 3 Calcule o valor de fg5 4 Determine uma fórmula para fgx De fato 1 Usando a definição de f g temos f g5 f5 g5 5 3 8 5 2 3 2 Usando a definição de f g temos f gx fx gx x 3 8 x 3 Usando a definição de fg temos fg5 f5g5 5 38 5 23 6 4 Usando a definição de fg temos fgx fxgx x 38 x x 38 x Exemplo 159 Considerando as funções fx 9 x2 e gx 5x2 2x 1 vamos determinar a função f g De fato note que Domf Domg R logo Domf g R Também para todo R f gx fx gx 9 x2 5x2 2x 1 5x2 2x 10 Exemplo 160 Considerando as funções fx 25x 4 e gx x2 25x 1 vamos determinar as funções f g e g f Com efeito note que Domf Domg R logo Domf g Domg f R Também para todo x R f gx fx gx 25x 4 x2 25x 1 4 x2 1 x2 3 g fx gx fx x2 25x 1 25x 4 x2 1 4 x2 3 Exemplo 161 Determine a função fg em que fx 7x 5 e gx x3 4x De fato não é difícil ver que Domf Domg R logo Domfg R Para todo x R temos que fgx fxgx 7x 5x3 4x 7x4 5x3 28x2 20x Exemplo 162 Determine a função fg em que fx 2x2 15x 8 e gx x2 10x 16 Note que Domf Domg R logo Domfg x R gx 0 x R x2 10x 16 0 R 8 2 342 Função Composta Estudaremos agora uma nova forma de combinar duas funções Exemplo 163 Considere a função h definida por hx x 3 O valor de hx é calculado pela execução de dois passos 1º Passo adicione 3 a x 2º Passo efetue a raiz quadrada dessa soma Escreva h em termos de duas funções mais simples que correspondem a esses dois passos De fato defina fx x e gx x 3 Então hx x 3 gx fgx No último termo acima f gx calculamos f em gx Esse tipo de construção ocorre tão frequentemente que lhe foi dado um nome Ao calcular o valor de f o gx começase por calcular o valor de gx e depois o valor de fgx Definição 164 Se f e g forem funções então a composição de f e g representada por f o g é a função definida por f o gx fgx O domínio de f o g é o conjunto de números x tais que fgx faça sentido Portanto o domínio de f o g é o conjunto de números x do domínio de g tais que gx esteja no domínio de f Exemplo 165 Suponha que fx 1x 4 e gx x2 1 Calcule o valor de f o g3 2 Determine uma fórmula para a composição f o g 3 Qual é o domínio de f o g Com efeito 1 Usando a definição de composição temos f o g3 fg3 f32 f9 19 4 15 2 Usando a definição de composição temos f gx fgx fx2 1 x2 4 3 Os domínios de f e de g não foram especificados isto signi fica que vamos supor que cada domínio seja o conjunto de números tais que as fórmulas que definem essas funções fa çam sentido Portanto o domínio de f é igual ao conjunto dos números reais exceto 4 e o domínio de g é igual ao con junto dos números reais Do Item 2 vemos que fgx faz sentido contanto que x2 4 Assim o domínio de f g igual ao conjunto de todos os números exceto 2 e 2 Já vimos que uma função g pode ser pensada como um equipa mento que recebe uma entrada x e produz uma saída gx A compo sição f g pode então ser pensada como o equipamento que transfere a saída do equipamento g para a entrada do equipamento f x entrada gx fgx saída g f Figura 341 A composição fg como a combinação de dois equipamentos Na Figura 341 gx é a saída do equipamento g e gx é também a entrada do equipamento f Exemplo 166 Considere as funções fx x gx x 1 e hx x 1 Note que as funções f g f h g f e h f são funções dadas por 1 f gx fgx fx 1 x 1 2 f hx fhx fx 1 x 1 3 g fx gfx gx x 1 4 h fx hfx hx x 1 343 Ordem da Função Composta 142 A composição não é comutativa Em outras palavras não é neces sariamente verdadeiro que f g g f como pode ser demonstrado escolhendose quase qualquer par de funções Exemplo 167 Suponha fx 1 x e gx x2 1 Calcule o valor de f g4 2 Calcule o valor de g f4 3 Determine uma fórmula para a composição f g 4 Determine uma fórmula para a composição g f Com efeito 1 Usando a definição de composição temos f g4 fg4 f42 f16 1 16 17 2 Usando a definição de composição temos g f4 gf4 g1 4 g5 52 25 3 Usando a definição de composição temos f gx fgx fx2 1 x2 4 Usando a definição de composição temos g fx gfx g1 x 1 x2 1 2x x2 344 Função Identidade 143 Definição 168 A função Id R R x Idx x é chamada função identidade real O gráfico da função identidade é esboçado na Figura 342 Se f for qualquer função e x for qualquer número no domínio de f então f o Idx fIdx fx e Id o fx Idfx fx Temos assim o seguinte resultado A função Id é a identidade para a composição Se f for qualquer função então f o Id Id o f f Isso explica por que Id é denominada a função identidade 345 Composta de Várias Funções Embora a composição não seja comutativa ela é associativa Teorema 169 Se f g e h forem funções então f g h f g h Demonstração Observe que para todo x f g hx f ghx fghx e f g hx fg hx fghx As equações acima mostram que as funções f g hx f g hx para todo número x em seu domínio Então f g h f g h Como a composição é associativa podemos dispensar os parênteses e escrever simplesmente f g h que é a função cujo valor em um número x é fghx Observação O domínio de f g h é o conjunto dos números x no domínio de h tais que hx está no domínio de g e ghx está no domínio de f Exemplo 170 Suponha que Tx x² 3 x² 7 Escreva T sob a forma de uma composição de três funções mais simples Com efeito queremos escolher funções f g e h razoavelmente simples tais que T f g h Provavelmente a melhor escolha aqui é fx x gx x² 3 x² 7 e hx x² Com essas escolhas temos fghx fgx² fx² 3 x² 7 x² 3 x² 7 346 Transformações e Funções Compostas Todas as transformações de funções discutidas no Capítulo podem ser consideradas como composições com funções lineares que definiremos abaixo Definição 171 Uma f é dita ser uma função linear se ela é da forma fx ax b em que a e b são números reais Transformações de funções verticais podem ser expressas sob a forma de composições com uma função linear à esquerda como mostrado no exemplo seguinte Exemplo 172 Suponha que f seja uma função Defina uma fun ção g por gx 2fx 1 1 Escreva g como a composição de uma função linear com f 2 Descreva como o gráfico de g é obtido do gráfico de f De fato 1 Defina uma função linear h por hx 2x 1 Para cada x no domínio de f temos gx 2fx 1 hfx h fx Portanto g h f 2 O gráfico de g é obtido pelo alongamento vertical do gráfico de f por um fator 2 depois pela reflexão do gráfico resultante sobre o eixo horizontal e por fim pelo deslocamento desse gráfico uma unidade para cima Transformações de funções horizontais podem ser expressas como composições com uma função linear à direita como mostrado no pró ximo exemplo Exemplo 173 Suponha que f seja uma função Defina uma fun ção g por gx f2x 1 Escreva g como a composição de uma função linear com f 2 Descreva como o gráfico de g é obtido do gráfico de f Com efeito 146 1 Defina uma função linear h por hx 2x Para x no domínio de f temos gx f2x fhx f hx Portanto g f h 2 O gráfico de g é obtido pelo alongamento horizontal do grá fico de f por um fator 1 2 Combinações de transformações de funções verticais e transforma ções de funções horizontais podem ser expressas como composições com uma função linear à esquerda e uma função linear à direita como mostrado no próximo exemplo Exemplo 174 Suponha que f seja uma função Defina uma fun ção g por gx f2x 1 1 Escreva g como a composição de uma função linear h e outra função linear 2 Descreva como o gráfico de g é obtido do gráfico de f Com efeito 1 Defina funções lineares h e p por hx x1 e px 2x Para x no domínio de g temos gx f2x 1 hf2x hfpx h f px Portanto g h f p 2 O gráfico de g é obtido pelo alongamento horizontal do grá fico de f por um fator 1 2 e depois pelo deslocamento do grá fico resultante uma unidade para cima Lista de Exercícios 1 Considere as funções fx x e gx x2 x 6 Determine f g e g f 2 Considere as funções fx 2x 4 e gx x2 Determine f g e g f 147 3 Considere as funções fx x² 8x 7 e gx x se x 9 x 3 se x 9 Determine f g e g f 4 Dê os domínios e esboce os gráficos de f g e gf a fx x e gx x² 1 b fx 1 e gx x 1 c fx 1 se x Q 1 se x Q e gx 1 se x Q 1 se x Q d fx x e gx 1x e fx 1 e gx 1x 2² 5 Se fx x 5 e gx x² 3 resolva a f g0 b f gx c f f5 d f fx e g f0 f g fx g g g2 h g gx 6 Se fx x 1 e gx 1x1 resolva a f g12 b f gx c f f2 d f fx e g f12 f g fx g g g2 h g gx 7 Se ux 4x 5 vx x² e fx 1x encontre as fórmulas para as seguintes funções a u v fx b v u fx c f u vx d u f vx e v f ux f f v ux 8 Sejam fx x 3 gx x hx x³ e jx 2x Expresse cada das funções abaixo como função composta envolvendo uma ou mais funções de f g h e j a y x 3 b y x14 c y x 3³ d y 2x 3 e y x9 f y 2x 3 g y 2x h y 4x i y 2x 6³ j y x32 k y x 6 l y x³ 3 9 Verifique que Imf Domg e determine a composta g f a gx 3x 1 e fx x 2 b gx x e fx 2 x² c gx x 1 x 2 e fx x² 3 d gx x² 3x 1 e fx 2x 3 e gx 2 x 2 e fx x 1 x 1 f gx x 1 x 1 e fx x x 1 g gx x e fx x² x x 0 ou x 1 h gx x 1 x 2 e fx 2x 1 x 1 10 Determine o maior conjunto A tal que Imf Domg Em seguida construa a composta g f a gx 2 x 2 e f A ℝ fx x 3 b gx x 1 e f A ℝ fx x² c gx x 1 e f A ℝ fx 2x 1 x 3 d gx 1 x e f A ℝ fx x³ x² e gx x² 1 e f A ℝ fx x² 2 11 Determine f de modo que gfx x para todo x Domf sendo g dada por a gx 1x b gx x2 x 0 c gx 2 3x1 d gx x 2x 1 e gx x2 2x x 1 f gx x2 4x 3 x 2 12 Consideremos as funções f R R g R R x fx 2 3x x gx x2 5x 3 Determine f g e g f e os seus respectivos domínios 13 Consideremos as funções f R R g R R x fx 1 x2 x gx 1 x Determine f g e g f e os seus respectivos domínios Determine também f g e g f em 1 0 e 12 14 calcule o valor da expressão indicada supondo que fx sqrtx gx x 1x 2 e hx x 1 a f g3 b g h6 c gh7 d fh9 e fh10 f hg11 g f g4 h f g5 i g f4 j g f5 k f h3 l f h15 m f g h0 n h g f0 15 Dadas as funções f e g determine fórmulas para f g e g f Simplifique seus resultados tanto quanto possível a fx x2 1 e gx 1x b fx x 12 e gx 3x c fx x 1x 1 e gx x2 2 d fx x 2x 3 e gx 1x 1 e ft t 1t2 1 e gt t 3t 4 f ft t 2t 3 e gt 1t 22 16 Determine um número b tal que f g g f em que fx 2x b e gx 3x 4 17 Determine um número c tal que f g g f em que fx 5x 2 e gx cx 3 18 Determine funções f e g cada uma delas mais simples que a função h dada tais que h f g a hx x2 12 b hx sqrtx2 1 c hx 32 x2 d hx 23 sqrt1 x 19 Suponha que f e g sejam duas funções definidas pelas expressões dadas Escreva g sob a forma de uma composição de f e uma ou duas funções lineares Descreva como o gráfico de g pode ser obtido do gráfico de f a gx 3fx 2 b gx 4fx 7 c gx f5x d gx f2 3x e gx 2f3x 4 f gx 5f4 3x 8 20 Suponha fx ax b e gx cx d em que a b c e d são números reais Demonstre que f g g f se e somente se da 1 bc 1 21 Suponha que f e g sejam funções Demonstre que a composição f g tem o mesmo domínio que g se e somente se a imagem de g estiver contida no domínio de f 22 Demonstre que a soma de duas funções pares com o mesmo do mínio é uma função par 23 Demonstre que o produto de duas funções pares com o mesmo domínio é uma função par 24 Verdadeiro ou falso O produto de uma função par por uma função ímpar com o mesmo domínio é uma função ímpar Justifique sua resposta 25 Verdadeiro ou falso A soma de uma função par com uma função ímpar com o mesmo domínio é uma função ímpar Justifique sua resposta 26 Suponha que g seja uma função par e f seja uma função qualquer Demonstre que f g é uma função par 27 Suponha que f seja uma função par e g seja uma função ímpar De monstre que f g é uma função par 28 Suponha que f e g sejam ambas funções ímpares A composição f g é uma função par ímpar ou nenhuma dessas Justifique 35 Funções Injetoras Sobrejetoras Bijetoras e Função Inversa O conceito de função inversa tem um papel fundamental na defini ção de raízes logaritmos e funções trigonométricas inversas Para moti var esse conceito começamos com alguns exemplos simples 152 351 O Problema Inverso Suponha que f seja a função definida por fx 3x Dado um valor de x podemos determinar o valor de fx usando a fórmula que define f Por exemplo para x 5 vemos que f5 é igual a 15 No problema inverso temos o valor de fx e queremos determinar o valor de x O seguinte exemplo ilustra a ideia do problema inverso Exemplo 175 Suponha que f seja a função definida por fx 3x 1 Determine x tal que fx 6 2 Determine x tal que fx 300 3 Para cada número y determine um número x tal que fx y Com efeito 1 Resolvendo a equação 3x 6 para x obtemos x 2 2 Resolvendo a equação 3x 300 para x obtemos x 100 3 Resolvendo a equação 3x y para x obtemos x y 3 Para cada número y o Item 3 do exemplo acima quer saber qual é o número x tal que fx y Esse número x é denominado f 1y que se lê f inversa de y O exemplo acima mostra que se fx 3x então f 16 2 f 1300 100 e de forma geral f 1y y 3 para todo número y Para observar as dificuldades que podem surgir dos problemas in versos precisaremos estudar as funções bijetoras 352 Função Injetora Uma das condições que qualquer função deve cumprir para ser cha mada de função é que qualquer préimagem produz uma única ima gem Mas muito cuidado Esta exigência não deve ser confundida com a possibilidade de diferentes préimagens produzirem o mesma ima gem lembre da função constante ou da função f R R definida por fx x2 Para essas duas funções temos 2 2 e f2 f2 É bastante comum que duas préimagens diferentes produzam a mesmo imagem Se uma função levar préimagens diferentes em imagens diferentes da remos a ela um nome especial diremos que ela é injetiva ou injetora ou ainda que essa função é umaum ou que é uma injeção 153 Definição 176 Uma função f A B é injetora se a seguinte propriedade é satisfeita Para todos x1 x2 A temos que se x1 x2 então fx1 fx2 Dizemos que a função f A B é injetora se ela associar imagens diferentes a cada par de préimagens diferentes Em símbolos f A B é injetora equivale a x1x2A x1 x2 fx1 fx2 Alternativamente podemos expressar esta condição usando a contrapo sitiva f A B é injetora equivale a x1x2A fx1 fx2 x1 x2 Exemplo 177 Observe que uma função ser ou não ser injetora pode depender também de seu domínio e não apenas na regra Com efeito a função f R R definida por fx x2 não é injetora como observamos logo acima porém a função g 0 R definida por gx x2 é injetora 353 Função Sobrejetora Vamos focar nossa atenção no contradomínio o conjunto B das ima gens possíveis para uma função f A B Note que o contradomí nio é parte integrante de uma função mas não é exigido que todos os elementos de B sejam imagem de elementos de A como ocorre nova mente com uma função constante e com a função f R R definida por fx x2 Para essa função quadrática para qualquer x R tere mos x2 1 ou seja o valor 1 não faz parte do conjunto imagem de f No caso especial em que todos os elementos do contradomínio de uma função pertencem a imagem dessa função diremos que f é uma função sobrejetora ou sobrejetiva 154 Definição 178 Dizemos que a função f A B é sobrejetora se o seu contradomínio for igual a sua imagem ou seja B Imf Em símbolos f A B é sobrejetora se e somente se yB xA fx y Exemplo 179 Retornando ao exemplo f R R definida por fx x2 vimos que f não é sobrejetora pois nenhum número real negativo pertence a imagem dessa função Porém a função h R R definida pela mesma regra hx x2 é sobrejetora pois dado qualquer y R basta tomar x y e teremos fx x2 y2 y 354 Função Bijetora Unindo as condições de injetividade e sobrejetividade obtemos uma classe especial de funções Definição 180 Uma função f A B é denominada bijetora ou correspondência biunívoca se for injetora e sobrejetora Exemplo 181 Observe que uma função ser ou não ser bijetora pode depender também de seu domínio e do seu contradomínio e não apenas na regra De fato a função f R R definida por fx x2 não é injetora como observamos logo acima porém a função g 0 R definida por gx x2 é injetora A fun ção g 0 R definida por gx x2 é injetora mas não é sobrejetora pois nenhum número real negativo pertence a ima gem dessa função Porém a função h 0 0 definida pela mesma regra hx x2 é injetora e sobrejetora pois dado qualquer y 0 basta tomar x y e teremos hx x2 y2 y Portanto h 0 0 definida por hx x2 é bijetora 355 Função Inversa 155 Definição 182 Definição de f1 Suponha que f seja uma função bijetora Se y estiver na imagem de f então f1y é definida como o número x tal que fx y A função f1 é denominada a função inversa de f f1x y equivale a dizer que fx y Exemplo 183 Suponha fx 2x 3 1 Calcule f111 2 Determine uma fórmula para f1y Com efeito 1 Para calcular f111 devemos determinar o número x tal que fx 11 Em outras palavras devemos resolver a equação 2x 3 11 A solução dessa equação é x 4 Assim f4 11 e portanto f111 4 2 Escolha um número y fixo Para determinar uma fórmula para f1y devemos determinar o número x tal que fx y Em outras palavras devemos resolver a equação 2x 3 y para x A solução dessa equação é x y 32 Assim fy 32 y e portanto f1y y 32 Se f for uma função bijetora então para cada y na imagem de f teremos um número f1y unicamente definido Assim f1 é ela própria uma função A função inversa não é definida para uma função que não seja bijetora Uma função f pode ser pensada como um equipamento que recebe uma entrada x e produz uma saída fx Da mesma forma podemos pensar em f1 como um equipamento que recebe uma entrada fx e produz uma saída x O procedimento para determinar uma fórmula para uma função inversa pode ser descrito como segue fx entrada x saída f 1 Figura 343 Se a imaginarmos um equipamento f 1 reverte a ação de f Determinando uma fórmula para uma função inversa Suponha que f seja uma função bijetora Para determinar uma fór mula para f 1y resolvemos a equação fx y para x em termos de y 157 Exemplo 184 Suponha que fx 4x 5 2x 3 para todo x 2 3 Deter mine uma fórmula para f 1 De fato Para determinar uma fórmula para f 1y precisa mos resolver a equação 4x 5 2x 3 y para x em termos de y Isto pode ser feito multiplicandose ambos os lados da equação acima por 2x 3 assim 4x 5 2xy 3y que pode então ser reescrita como 4 2yx 3y 5 que pode por sua vez ser resolvida para x obtendo x 3y 5 4 2y Assim f 1y 3y 5 4 2y para todo y 2 356 O Domínio e a Imagem de uma Função Inversa O domínio e a imagem de uma função bijetora são satisfatoriamente relacionados com o domínio e a imagem da sua inversa Para entender essa relação considere uma função f bijetora Observe que f 1y é defi nida precisamente quando y está na imagem de f Assim o domínio de f 1 é igual à imagem de f Da mesma forma como f 1 reverte a ação de f observamos de imediato que a imagem de f 1 é igual ao domínio de f Podemos resumir a relação entre os domínios e as imagens de funções e suas inversas como segue Domínio e imagem de uma função inversa Se f é uma função bijetora então 1 o domínio de f 1 é igual à imagem de f 2 a imagem de f 1 é igual ao domínio de f Exemplo 185 Suponha que o domínio de f seja o intervalo 0 2 com f definida nesse domínio pela equação fx x2 1 Qual é a imagem de f 2 Determine uma fórmula para a função inversa f 1 3 Qual é o domínio da função inversa f 1 4 Qual é a imagem da função inversa f 1 De fato 158 Teorema 187 A composição de uma função e sua inversa Supo nha que f seja uma função bijetora Então 1 ff 1y y para todo y na imagem de f 2 f 1fx x para todo x no domínio de f Demonstração 1 Seja y na imagem de f então existe um único x no domínio de f tal que fx y ou seja f 1y x Portanto ff 1y fx y 2 Seja x no domínio de f então existe y na imagem de f tal que fx y ou seja f 1y x Portanto f 1fx f 1y x Lembre que Id é a função identidade definida por Idx x em que deixamos vago o domínio ou poderíamos da mesma forma ter definido Id pela equação Idy y Assim os resultados do teorema acima pode riam ser expressos pelas equações f f 1 Id e f 1 f Id Aqui a função Id na primeira equação tem domínio igual à imagem de f que é igual ao domínio de f 1 e a função Id na segunda equação tem o mesmo domínio que f As equações acima justificam o porquê da terminologia inversa que é usada para a função inversa f 1 é a inversa de f sob composição no sentido de que a composição de f e f 1 em qualquer ordem fornece a função identidade A Figura 344 ilustra a equação f 1 f Id pensando em f e em f 1 como equipamentos x entrada fx x saída f f 1 Figura 344 Começamos com x como entrada O primeiro equipamento produz como saída fx que depois se torna entrada para o segundo equipamento a saída é x porque o segundo equipamento que é ba seado em f 1 reverte a ação de f Suponha que você precise calcular a inversa de uma função f Como discutido anteriormente para determinar uma fórmula para f 1 você precisa resolver a equação fx y para x em termos de y Uma vez que você obteve uma fórmula para f 1 uma boa forma de testar se seu resultado está correto é verificar ff 1y y e f 1fx x 160 Exemplo 188 A inversa da função f Z Z x fx x 3 é a função g Z Z x gx x 3 De fato para todo x Z f gx fgx fx 3 x 3 3 x e g fx gfx gx 3 x 3 3 x Portanto f¹ g Lista de Exercícios 1 Consideremos as funções f R R x fx x² g R R x gx x 2 a Calcule f0 g0 e as préimagens f¹1 e g¹1 b Calcule as funções compostas f g e g f e verifique se são iguais c Verifique as funções f e g são injetoras eou sobrejetoras justificando sua resposta d Calcule as préimagens g f¹4 e f g¹4 2 Verifique se as funções abaixo são injetoras e sobrejetoras provando ou exibindo um contraexemplo a f N Z n fn n 12 se n é ímpar n2 se n é par b f R R x fx ax b a b R e a 0 c f R R 1 x fx x² 1 d f N N x fx 2x e f R R x fx 2x f f 0 1 1 x fx 1x g f R R x fx x x 3 Seja b B um elemento fixado e considere a função constante f A B x fx b Mostre que f é sobrejetora se e somente se B b Sob qual condição é possível afirmar que f é injetora 4 Construa uma função bijetora entre o conjunto dos números naturais e o conjunto dos números naturais pares Determine sua inversa 5 Construa uma função bijetora entre o conjunto dos números inteiros e o conjunto dos números inteiros ímpares Determine sua inversa 6 Consideremos as funções f R R x fx x 1 g R R x gx x² x 1 a Calcule as funções compostas f f f g e g f 1 A imagem de f é o intervalo 0 4 porque esse intervalo é o conjunto dos quadrados dos números no intervalo 0 2 2 Suponha que y esteja na imagem de f que é o intervalo 0 4 Para determinar uma fórmula para f¹y temos que resolver para x a equação fx y Em outras palavras precisamos resolver a equação x² y para x A solução x deve estar no domínio de f que é 0 2 e em particular x deve ser não negativo Assim temos x y Em outras palavras f¹y y 3 O domínio da função inversa f¹ é o intervalo 0 4 que é a imagem de f 4 A imagem da função inversa f¹ é o intervalo 0 2 que é o domínio de f 357 Composta de uma Função com sua Inversa O exemplo seguinte irá nos motivar nosso próximo resultado Exemplo 186 Suponha que f seja a função cujo domínio é o conjunto dos números reais com f definida por fx 2x 3 1 Determine uma fórmula para f f¹ 2 Determine uma fórmula para f¹ f De fato já vimos que f¹ y 32 assim 1 f f¹y ff¹y fy 32 2y 32 3 y 2 f¹ fx f¹fx f¹2x 3 2x 3 32 x Equações similares valem para a composição de qualquer função bijetora e sua inversa b Demonstre que f é uma função bijetora e calcule a sua inversa c Mostre que g não é injetora e não é sobrejetora 7 Verifique se as funções f ℝ ℝ x fx x³ g ℝ ℝ x gx 3x1 e h ℝ ℝ x gx x⁴ são bijetoras 8 Determine todas as funções injetoras de 1 2 em 3 4 5 9 Determine todas as funções sobrejetoras de 1 2 3 em 4 5 10 Determine todas as funções bijetoras de 1 2 3 em 4 5 6 11 Mostre que a função f ℕ ℤ dada por fn n2 se n é par n 12 se n é ímpar é bijetora 12 Seja f A B uma função qualquer Mostre que f IdA f e IdB f f 13 Sejam f A B uma função qualquer e f¹ B A sua inversa Mostre que f f¹ IdB e f¹ f IdA 14 Dada uma função f A B suponha que existam funções g h B A tais que g f IdA e f h IdB Prove que f é bijetora e que f¹ h g 15 Mostre que a composta de funções injetoras ainda é injetora 16 Mostre que a composta de funções sobrejetoras ainda é sobrejetora 17 Sejam f A B e g B C duas bijeções Prove que a composta g f é uma bijeção e que g f¹ f¹ g¹ 163 18 Teste sua resposta calculando o valor da função apropriada para sua resposta a Suponha fx 4x 6 Calcule o valor de f 15 b Suponha fx 7x 5 Calcule o valor de f 13 c Suponha gx x 2 x 1 Calcule o valor de g13 d Suponha gx x 3 x 4 Calcule o valor de g12 e Suponha fx 3x 2 Determine uma fórmula para f 1 f Suponha fx 8x 9 Determine uma fórmula para f 1 g Suponha ht 1 t 2 t Determine uma fórmula para h1 h Suponha ht 2 3t 4 5t Determine uma fórmula para h1 19 Suponha que fx 2 x 5 x 6 a Calcule o valor de f 14 b Calcule o valor de f41 c Calcule o valor de f41 20 Suponha gx x24 sendo o domínio de g o conjunto dos números positivos Calcule o valor de g17 21 Suponha gx 3x2 5 sendo o domínio de g o conjunto dos núme ros positivos Calcule o valor de g18 22 Suponha hx 5x2 7 sendo o domínio de h o conjunto dos núme ros positivos Determine uma fórmula para h1 23 Para cada uma das funções f dadas faça o que se pede Determine o domínio de f Determine a imagem de f Determine uma fórmula para f 1 Determine o domínio de f 1 Determine a imagem de f 1 a fx 3x 5 b fx 2x 7 164 c fx 1 3x 2 d fx 4 5x 3 e fx 2x x 3 f fx 3x 2 4x 5 g fx x2 8 sendo o domínio de f igual a 0 h fx 2x2 5 sendo o domínio de f igual a 0 24 O número exato de metros m em y jardas é fy m em que f é a função definida por fy 0 9144y a Determine uma fórmula para f 1m b Qual é o significado de f 1m 25 O número exato de quilômetros K em milhas M é fM em que f é a função definida por fM 1 609344M a Determine uma fórmula para f 1K b Qual é o significado de f 1K 26 Uma temperatura de F graus Fahrenheit corresponde a gF K na escala de temperaturas Kelvin em que gF F 255 37 a Determine uma fórmula para g1K b Qual é o significado de g1K c Calcule o valor de g10 Este é o zero absoluto a temperatura mais baixa possível porque toda a atividade molecular cessa a 0 Kelvin 27 Suponha que f seja a função cujo domínio é o conjunto dos núme ros reais com f definida nesse domínio pela fórmula fx x 6 Explique por que f não é uma função bijetora 28 Demonstre que se f for a função definida por fx mxb em que m 0 então f é uma função bijetora 29 Demonstre que se f for a função definida por fx mx b em que m 0 então a função inversa f 1 é definida pela fórmula f 1 1 my b m 165 30 Considere a função h cujo domínio é o intervalo 4 4 com h defi nida nesse domínio pela fórmula hx 2 x2 A função h possui uma inversa Em caso afirmativo determinea bem como seu do mínio e sua imagem Em caso negativo justifique por que não 31 Considere a função h cujo domínio é o intervalo 3 3 com h defi nida nesse domínio pela fórmula hx 3 x2 A função h possui uma inversa Em caso afirmativo determinea bem como seu do mínio e sua imagem Em caso negativo justifique por que não 32 Suponha que f seja uma função bijetora Justifique por que a in versa da inversa de f é igual a f Em outras palavras justifique por que f 11 f 33 Suponha que f seja uma função cujo domínio é igual a 2 4 7 8 9 e cuja imagem é igual a 3 0 2 6 7 Explique por que f é uma função bijetora 34 Suponha que f seja uma função cujo domínio é igual a 2 4 7 8 9 e cuja imagem é igual a 3 0 2 6 Explique por que f não é uma função bijetora 35 Demonstre que a composição de duas funções bijetoras é uma fun ção bijetora 36 Dê um exemplo para mostrar que a soma de duas funções bijetoras não é necessariamente uma função bijetora 37 Dê um exemplo para mostrar que o produto de duas funções bije toras não é necessariamente uma função bijetora 38 Dê um exemplo de uma função f tal que o domínio de f e a imagem de f sejam ambos iguais ao conjunto dos inteiros mas f não seja uma função bijetora 39 Dê um exemplo de uma função bijetora cujo domínio é igual ao conjunto dos inteiros e cuja imagem é igual ao conjunto dos inteiros positivos 36 Uma Abordagem Gráfica de Funções Inver sas 361 O Gráfico de uma Função Inversa Começaremos com um exemplo que ilustra como o gráfico de uma função inversa é relacionado ao gráfico da função original 166 Exemplo 189 Suponha que f seja a função com domínio 0 2 de finida por fx x2 Qual é a relação entre o gráfico de f e o gráfico de f 1 De fato gráfico de f é parte da parábola familiar definida pela curva y x2 A imagem de f é o intervalo 0 4 A função inversa f 1 tem por domínio 0 4 com f 1x x Os gráficos de f e de f 1 mostrados na Figura 345 abaixo são si métricos com relação à reta y x o que significa que poderíamos obter qualquer um deles refletindo o outro sobre essa reta x y 1 3 2 4 1 2 3 4 f f 1 y x Figura 345 O gráfico de x2 azul e o gráfico de sua inversa x vermelho são simétricos em relação à reta y x preta A relação acima entre o gráfico de fx x2 e o gráfico da sua in versa f 1x x vale para o gráfico de qualquer função bijetora e de sua inversa Exemplo 190 suponha que o ponto 2 1 esteja sobre o gráfico de alguma função bijetora f Isto significa que f2 1 o que é equivalente a f 11 2 significando que 1 2 está sobre o gráfico de f 1 A Figura 346 mostra que o ponto 1 2 pode ser obtido refletindose o ponto 2 1 sobre a reta y x De forma geral um ponto a b está sobre o gráfico de uma função bijetora f se e somente se b a estiver sobre o gráfico da sua função in versa f 1 Em outras palavras o gráfico de f 1 pode ser obtido permutando se a primeira e segunda coordenadas de cada ponto sobre o gráfico de f 167 x y 1 2 1 2 y x Figura 346 Pela reflexão do ponto 2 1 azul sobre a reta y x obtém se o ponto 1 2 vermelho Se estivermos trabalhando no plano xy permutar a primeira e a segunda coordenadas resulta em fazer uma reflexão sobre a reta y x O gráfico de uma função bijetora e da sua inversa Um ponto a b está sobre o gráfico de uma função bijetora se e somente se b a estiver sobre o gráfico da sua função inversa O gráfico de uma função bijetora e o gráfico da sua inversa são simétricos com relação à reta y x Cada gráfico pode ser obtido a partir do outro por meio de uma reflexão sobre a reta y x Às vezes não é possível obter uma fórmula explícita para f 1 pois a equação fx y não pode ser resolvida para x ainda que f seja uma fun ção bijetora No entanto mesmo em tais casos podemos obter o gráfico de f 1 168 Exemplo 191 Suponha que f seja a função com domínio 0 1 e definida por fx 1 2x5 3 2x3 e com gráfico esboçado na Figura 347 Esboce o gráfico de f 1 Com efeito O gráfico de f curva azul mostrado na Figura 347 foi produzido por um programa de computador que pode traçar o gráfico de uma função quando é dada uma fórmula para essa função Embora f seja uma função bijetora nem humanos nem com putadores conseguem resolver a equação para x em termos de y Portanto nesse caso não existe uma fórmula para f 1 que um computador possa utilizar para produzir o gráfico de f 1 No entanto podemos traçar o gráfico de f 1 pela reflexão do gráfico de f sobre a reta y x com mostrado na Figura 347 x y 1 2 1 2 f f 1 y x Figura 347 O gráfico de fx 1 2x5 3 2x3 362 Interpretação Gráfica de uma Função Bijetora O gráfico de uma função pode ser usado para determinar se a função é ou não bijetora e assim se a função possui ou não uma inversa 169 Exemplo 192 Suponha que f seja a função com domínio 1 4 cujo gráfico é mostrado na Figura 348 A função f é bijetora Com efeito Para que a função f seja bijetora é necessário que para todo número y exista no máximo um número x tal que fx y Desenhe a reta y 1 no mesmo plano de coordenadas que o gráfico como mostrado na Figura 348 A reta y 1 intercepta o gráfico de f em cinco pontos Assim existem cinco números x no domínio de f tais que fx 1 Portanto f não é uma função bijetora x y 1 2 3 4 1 f Figura 348 O gráfico de f O método apresentado no exemplo acima pode ser usado com o grá fico de qualquer função Escreveremos aqui o enunciado formal do teste resultante Teste da reta horizontal Uma função é bijetora se e somente se toda reta horizontal inter ceptar o gráfico da função em no máximo um ponto Se você determinar ainda que uma única reta horizontal intercepta o gráfico em mais de um ponto então a função não é bijetora Por sua vez determinar uma reta horizontal que intercepte o gráfico em no máximo um ponto não repercute em nada no fato de a função ser ou não bijetora Para a função ser bijetora toda reta horizontal deve interceptar o gráfico em no máximo um ponto 170 As funções que possuem inversas são precisamente as funções bi jetoras Assim o teste da reta horizontal pode ser usado para de terminar se uma função possui ou não uma inversa Exemplo 193 Suponha que f seja a função com domínio 2 2 cujo gráfico é mostrado aqui A função f é bijetora De fato para que a função f seja bijetora toda reta horizontal deve interceptar o gráfico de f em no máximo um ponto A Figura 349 mostra o gráfico de f juntamente com as retas horizontais y 1 e y 3 Como mostrado nessa figura a reta y 1 intercepta o gráfico de f em um único ponto e a reta y 2 também inter cepta o gráfico em um único ponto Além disso a figura mostra que toda reta horizontal intercepta o gráfico em no máximo um ponto Portanto f é uma função bijetora x y 2 1 1 2 1 1 2 3 f Figura 349 O gráfico de f 363 Funções Crescentes e Decrescentes O domínio da função mostrada na Figura 350 é o intervalo 1 6 No intervalo 1 3 o gráfico dessa função sobe quando o percorremos da es querda para a direita Dizemos então que essa função é crescente no intervalo 1 3 No intervalo 3 6 o gráfico da função desce quando o per corremos da esquerda para a direita Dizemos então que essa função é 171 x y 1 3 6 Figura 350 decrescente no intervalo 3 6 Estabelecemos abaixo as definições formais Definição 194 Crescente em um intervalo Uma função f é dita crescente em um intervalo se para quaisquer a e b no intervalo sendo a b tivermos fa fb Definição 195 decrescente em um intervalo Uma função f é dita decrescente em um intervalo se para quaisquer a e b no in tervalo sendo a b tivermos fa fb Exemplo 196 A função f cujo gráfico é mostrado na Figura 351 tem domínio 1 6 1 Determine o maior intervalo no qual f é crescente 2 Determine o maior intervalo no qual f é decrescente 3 Determine o maior intervalo contendo o número 6 no qual f 172 é decrescente De fato 1 Vemos que 1 5 é o maior intervalo no qual f é crescente 2 Vemos que 1 1 é o maior intervalo no qual f é decrescente 3 Vemos que 5 6 é o maior intervalo que contém o número 6 no qual f é decrescente x y 1 2 3 4 5 6 1 Figura 351 Uma função é dita crescente se seu gráfico subir ao ser percorrido da esquerda para a direita em todo seu domínio Abaixo a definição formal Como explicado aqui os termos crescente e decrescente são às vezes usados sem referência a nenhum intervalo específico Definição 197 Função crescente Uma função f é dita crescente se fa fb sempre que a b estando a e b no domínio de f Da mesma forma uma função é dita decrescente se seu gráfico des cer ao ser percorrido da esquerda para a direita em todo seu domínio como definido abaixo 173 Definição 198 Função decrescente Uma função f é dita cres cente se fa fb sempre que a b estando a e b no domínio de f Exemplo 199 Mostramos nas Figuras 352 353 e 354 os gráficos de três funções o gráfico de cada função está representando todo o seu domínio 1 A função f é crescente decrescente ou nenhuma delas 2 A função g é crescente decrescente ou nenhuma delas 3 A função h é crescente decrescente ou nenhuma delas Com efeito 1 Quando percorrido da esquerda para a direita em seu domí nio o gráfico de f desce cada vez mais Então f é decres cente 2 Quando percorrido da esquerda para a direita em seu domí nio o gráfico de g sobe cada vez mais Então g é crescente 3 Quando percorrido da esquerda para a direita em seu domí nio temse que em parte do domínio o gráfico de h desce cada vez mais e na outra parte o gráfico de h sobe cada vez mais Então h não é nem crescente nem decrescente 174 x y f Figura 352 O gráfico de f x y g Figura 353 O gráfico de g Toda reta horizontal intercepta o gráfico de uma função crescente 175 x y h Figura 354 O gráfico de h em no máximo um ponto e o mesmo ocorre para o gráfico de uma fun ção decrescente Então temos Funções crescentes e decrescentes são bijetoras Toda função crescente é bijetora e toda função decrescente é bi jetora Esse resultado implica que uma função que é ou crescente ou decrescente tem uma inversa O resultado acima leva à seguinte questão será que toda função bi jetora deve ser crescente ou decrescente O gráfico que apresentamos na Figura 355 responde essa questão Especificamente esta função é bi jetora pois toda reta horizontal intercepta o gráfico em no máximo um ponto Entretanto esta função não é nem crescente nem decrescente O gráfico no exemplo aqui apresentado não é um segmento conec tado em uma única parte você não consegue desenhálo sem levan tar o seu lápis do papel Uma função bijetora cujo gráfico consiste em uma única parte conectada deve ser ou crescente ou decrescente En tretanto uma explicação rigorosa da razão por que esse resultado é vá lido requer ferramentas estudadas no conteúdo da disciplina de cálculo Suponha que f seja uma função crescente e que a e b sejam números no domínio de f com a b Assim fa fb Lembre que fa e fb 176 x y Figura 355 O gráfico de uma função bijetora que não é nem crescente nem decrescente são números no domínio de f 1 Temos f 1fa a b f 1fb A desigualdade acima mostra que f 1 é uma função crescente Em outras palavras acabamos de demonstrar que a inversa de uma função crescente é crescente Um resultado similar vale para funções decrescentes Inversas de funções crescentes e decrescentes A inversa de uma função crescente é crescente e a inversa de uma função decrescente é decrescente 177 Lista de Exercícios 1 Considere as funções f e g com domínios 0 4 e 1 5 respectiva mente dadas pelos seus gráficos Ver Figuras 356 e 357 x y 1 2 3 4 1 1 2 3 Figura 356 O gráfico de f x y 1 1 2 3 4 5 3 2 1 1 Figura 357 O gráfico de g a Qual é o maior intervalo no domínio de f no qual f é crescente b Qual é o maior intervalo no domínio de g no qual g é crescente c Representemos por F a função obtida de f pela restrição do domínio para o intervalo que você respondeu no Item a Qual é o domínio de F 1 178 d Representemos por G a função obtida de g pela restrição do domínio para o intervalo que você respondeu no Item b Qual é o domínio de G1 e Com F do Item c qual é a imagem de F 1 f Com G do Item d qual é a imagem de G1 g Qual é o maior intervalo no domínio de f no qual f é decres cente h Qual é o maior intervalo no domínio de g no qual g é decres cente i Representemos por H a função obtida de f pela restrição do domínio para o intervalo que você respondeu no Item g Qual é o domínio de H1 j Representemos por J a função obtida de g pela restrição do do mínio para o intervalo que você respondeu no Item h Qual é o domínio de J1 k Com H do Item i qual é a imagem de H1 l Com J do Item j qual é a imagem de J1 2 Desenhe o gráfico de uma função que seja crescente no intervalo 2 0 e decrescente no intervalo 0 2 3 Desenhe o gráfico de uma função que seja decrescente no intervalo 2 1 e crescente no intervalo 1 5 4 Dê um exemplo de uma função crescente cujo domínio é o intervalo 0 1 mas cuja imagem não é igual ao intervalo f0 f1 5 Demonstre que a soma de duas funções crescentes é crescente 6 Dê um exemplo de duas funções crescentes cujo produto não é crescente 7 Dê um exemplo de duas funções decrescentes cujo produto é cres cente 8 Mostre que a composição de duas funções crescentes é crescente 9 Explique por que uma função par cujo domínio contenha um nú mero diferente de zero não pode ser uma função bijetora 179 Capıtulo4 Funções Lineares Quadráticas Polinomiais e Racionais Neste capítulo nos concentraremos em quatro importantes classes especiais de funções Funções lineares constituem nossa primeira classe especial de funções Embora retas e suas inclinações sejam conceito sim ples são de uma importância imensa A seguir estudaremos funções quadráticas nossa segunda classe especial de funções Veremos como completar quadrados e como resol ver equações quadráticas Depois vamos fazer um pequeno desvio para estudar potências Ve remos por que x0 é definido como igual a 1 xm é definido como igual a 1 xm e x1m é definido como o número cuja mésima potência é igual a x Nosso trabalho com potências nos permitirá lidar com as funções polinomiais nossa terceira classe especial de funções Partindo das fun ções polinomiais vamos em direção às funções racionais nossa quarta classe especial de funções 41 Retas e Funções Lineares 411 Inclinação de uma Reta Considere uma reta no plano xy juntamente com quatro pontos x1 y1 x2 y2 x3 y3 e x4 y4 sobre a reta Desenhe dois triângulos re tângulos com lados horizontais e verticais como mostrado na Figura 41 Os dois triângulos retângulos na figura acima são semelhantes por que seus ângulos são iguais Assim a razão entre os lados corresponden tes dos dois triângulos é igual Escrevendo a razão entre o lado vertical e 180 x1 y1 x2 y2 x3 y3 x5 y4 x y Figura 41 Triângulos semelhantes o lado horizontal de cada triângulo temos y2 y1 x2 x1 y4 y3 x4 x3 Assim para cada par de pontos x1 y1 e x2 y2 sobre a reta a razão não depende do par particular de pontos escolhidos sobre a reta Se escolher mos outro par de pontos sobre a reta digamos x3 y3 e x4 y4 em vez de x1 y1 e x2 y2 a diferença entre as segundas coordenadas dividida pela diferença entre as primeiras coordenadas permanece a mesma Mostramos que a razão y2 y1 x2 x1 é um número que depende apenas da reta e não dos pontos particulares x1 y1 e x2 y2 que escolhemos sobre a reta Esse número é denominado a inclinação da reta 181 Definição 200 Se x1 y1 e x2 y2 com x1 x2 forem dois pontos quaisquer sobre uma reta então a inclinação da reta é o número y2 y1 x2 x1 412 Equação de uma Reta Considere uma reta com inclinação m e suponha que x1 y1 seja um ponto sobre essa reta Representemos por x y um ponto qualquer so bre a reta como mostrado na Figura x1 y1 x y x y Como essa reta tem inclinação m temos m y y1 x x1 y y1 mx x1 182 Definição 201 A equação de uma reta dados sua inclinação e um ponto sobre ela A reta no plano xy que tem inclinação m e contém o ponto x1 y1 é dada pela equação yy1 mxx1 A equação acima pode ser resolvida para y fornecendo uma equação para a reta sob a forma y mx b como mostrado no exemplo a seguir Exemplo 202 Determine a equação da reta no plano xy cuja in clinação seja e que contenha o ponto 4 1 Com efeito representamos essa reta na Figura 42 Nesse caso a equação apresentada acima tornase y 1 1 2x 4 y 1 2x 2 1 y 1 2x 1 x y 1 3 5 2 4 1 2 1 2 4 1 Figura 42 A reta com inclinação 1 2 que contém o ponto 4 1 Como caso especial de determinação da equação de uma reta quando forem dados a inclinação e um ponto sobre ela suponha que desejamos determinar a equação da reta no plano xy com inclinação m e que inter cepta o eixo dos y no ponto 0 b Nesse caso a fórmula acima tornase y b mx 0 y mx b Obtemos o seguinte resultado 183 Definição 203 A equação de uma reta dadas sua inclinação e sua interseção y A reta no plano xy com inclinação m e que intercepta o eixo dos y no ponto 0 b é dada pela equação y mx b Suponha agora que desejamos determinar a equação da reta que contém dois pontos específicos Podemos reduzir esse problema a um problema que já resolvemos calculando a inclinação da reta e depois usando um resultado anterior Especificamente suponha que desejamos determinar a equação da reta que contém os pontos x₁ y₁ e x₂ y₂ com x₁ x₂ Essa reta tem inclinação y₂ y₁x₂ x₁ Então nossa fórmula para escrever a equação de uma reta quando forem dados sua inclinação e um ponto sobre ela fornece o seguinte resultado Definição 204 A equação de uma reta dados dois pontos sobre ela A reta no plano xy que contém os pontos x₁ y₁ e x₂ y₂ com x₁ x₂ é dada pela equação y y₁ y₂ y₁x₂ x₁ x x₁ Exemplo 205 Determine a equação da reta no plano xy que contém os pontos 2 4 e 5 1 Com efeito representamos essa reta na Figura 43 Nesse caso a equação apresentada acima tornase y 4 1 4 5 2 x 2 y 6 x 413 Função Linear Vimos que uma reta no plano xy com inclinação m é caracterizada pela equação y mx b em que b é um número Para expressar novamente essa conclusão em termos de funções seja f a função definida por fx mx b em que m e b são números reais Assim o gráfico de f é uma reta com inclinação m Funções sob essa forma são tão importantes que possuem um nome funções lineares 184 x y 1 3 5 2 4 6 1 2 3 4 5 6 2 4 5 1 Figura 43 A reta que contém os pontos 2 4 e 5 1 Definição 206 Função linear Uma função linear é uma função f sob a forma fx mx b em que m e b são números reais fixos O gráfico de uma função constante é uma reta horizontal que tem inclinação 0 414 Função Constante Um tipo especial de função linear é obtido quando consideramos funções sob a forma fx mx b com m 0 Definição 207 Função constante Uma função constante é uma função f sob a forma fx b em que b é um número real fixo O gráfico de uma função constante é uma reta horizontal que tem inclinação 0 como podemos ver na Figura 44 185 x y 1 3 2 4 1 2 3 4 Figura 44 A reta horizontal azul é o gráfico da função constante f de finida por fx 2 no intervalo 0 4 A reta vertical vermelha mostra os pontos que satisfazem a equação x 2 Lista de Exercícios 1 Determine a inclinação da reta que contém os pontos 3 4 e 7 13 2 Determine a inclinação da reta que contém os pontos 2 11 e 6 5 3 Determine um número w tal que a reta que contém os pontos 1 w e 3 7 tenha inclinação 5 4 Determine um número d tal que a reta que contém os pontos d 4 e 2 9 tenha inclinação 3 5 Determine a equação da reta no plano xy com inclinação 2 que con tém o ponto 7 3 6 Determine a equação da reta no plano xy com inclinação 4 que contém o ponto 5 2 7 Determine a equação da reta que contém os pontos 2 1 e 4 9 8 Determine a equação da reta que contém os pontos 3 2 e 5 7 9 Determine um número t tal que o ponto 3 t esteja sobre a reta que contém os pontos 7 6 e 14 10 10 Determine um número t tal que o ponto 2 t esteja sobre a reta que contém os pontos 5 2 e 10 8 186 11 Determine um número c tal que o ponto c 13 esteja sobre a reta que contém os pontos 4 17 e 6 33 12 Determine um número c tal que o ponto c 19 esteja sobre a reta que contém os pontos 2 1 e 4 9 13 Demonstre que a composição de duas funções lineares é uma fun ção linear 14 Demonstre que se f e g forem funções lineares então os gráficos de f g e de g f possuem a mesma inclinação 42 Funções Quadráticas Definição 208 Uma função quadrática é uma função sob a forma fx ax2 bx c em que a b e c são números reais com a 0 A função quadrática mais simples é a função f definida por fx x2 essa função é obtida da equação acima estabelecendo a 1 b 0 e c 0 Parábolas podem ser definidas geometricamente mas para nossos propósitos é mais simples definir uma parábola algebricamente Definição 209 Parábola Uma parábola é o gráfico de uma fun ção quadrática x y 1 1 1 f Figura 45 O gráfico de fx x2 no intervalo 1 1 Por exemplo o gráfico da função quadrática f definida por fx x2 é a familiar parábola mostrada aqui Essa parábola é simétrica em relação 187 ao eixo vertical isto é ela não varia se for refletida sobre o eixo vertical Observe que a reta de simetria intercepta a parábola na origem que é seu ponto mais baixo Toda parábola é simétrica em relação a alguma reta O ponto em que a reta de simetria intercepta a parábola é importante o suficiente para merecer um nome Definição 210 Vértice O vértice de uma parábola é o ponto em que a reta de simetria da parábola a intercepta Definição 211 Seja fx ax² bx c uma função quadrática Os zeros de f são os números reais x que satisfazem a equação do 2 grau ax² bx c 0 Considere fx ax² bx c uma função quadrática Note que temos três possibilidades para Δ b² 4ac Se Δ 0 então a equação ax² bx c 0 não possui raiz real logo a função f não admite um zero Se Δ 0 então a equação ax² bx c 0 admite uma única raiz real logo a função f tem um único zero Se Δ 0 então a equação ax² bx c 0 admite duas raízes reais distintas logo a função f tem dois zeros Graficamente os zeros de f quando existem são exatamente os pontos de interseção do gráfico de f com o eixo x Com relação a concavidade do gráfico de f ela será voltada para cima se a 0 e será voltada para baixo se a 0 O vértice V do gráfico de f é dado por V b2a Δ4a Se a 0 então b2a é ponto de mínimo de f enquanto que Δ4a é valor de mínimo de f Se a 0 então b2a é ponto de máximo de f enquanto que Δ4a é valor de máximo de f 188 c fx x 22 3 d fx x 32 4 e fx 2x 52 6 f fx 7x 32 5 2 Determine o valor mínimo de fx x2 6x 2 3 Determine o valor mínimo de gx 3x2 5x 1 4 Determine o valor máximo de hx 7 2x x2 5 Determine o valor máximo de px 9 5x 4x2 6 Considere a função fx x2 2x 3 determine a Os zeros de f b O vértice de f c Esta função tem concavidade para cima ou para baixo d O vértice desta função é ponto de máximo ou mínimo e Qual o intervalo no qual a função é crescente f Qual o intervalo no qual a função é decrescente 7 Suponha que fx x2 6x 11 Determine o menor número b tal que f seja crescente no intervalo b 8 Suponha que fx x2 8x 5 Determine o menor número b tal que f seja crescente no intervalo b 9 Considere a função fx x2 2x 8 determine a Os zeros de f b O vértice de f c Esta função tem concavidade para cima ou para baixo d O vértice desta função é ponto de máximo ou mínimo e Qual o intervalo no qual a função é crescente f Qual o intervalo no qual a função é decrescente 194 Se m for um número inteiro positivo então podemos definir uma fun ção f por fx xm Para m 1 o gráfico da função definida por y x é uma reta que passa pela origem e que possui inclinação igual a 1 Para m 2 o gráfico da função definida por y x2 é a parábola familiar com vértice na origem como mostrado na Figura 411 x y 2 1 1 2 2 1 1 2 y x y x2 Figura 411 Os gráficos de y x azul e de y x2 vermelho no intervalo 1 5 1 5 A seguir mostramos os gráficos de y x3 y x4 y x5 e y x6 separados em dois grupos de acordo com sua forma Observe na Figura 412 que y x3 e y x5 são funções crescentes mas y x4 e y x6 são funções decrescentes no intervalo 0 e crescentes no intervalo 0 como podemos ver na Figura 413 Embora os gráficos de y x4 e de y x6 tenham formato do tipo parábola esses gráficos não são verdadeiras parábolas Até agora vimos os gráficos de y xm para m 1 2 3 4 5 6 Para valores maiores ímpares de m o gráfico de y xm tem aproximadamente a mesma forma que os gráficos de y x3 e y x5 para valores maiores pares de m o gráfico de y xm tem aproximadamente a mesma forma que os gráficos de y x2 y x4 e y x6 As propriedades das potências com expoentes inteiros positivos de rivam da definição de xm como uma multiplicação repetida 196 válida para todo x 0 sugere que precisamos definir 00 1 A equação 0m 0 válida para todos os inteiros positivos m sugere que precisamos definir 00 0 Se optarmos por definir 00 igual a 1 como sugerido pelo primeiro ponto acima estaremos violando a equação 0m 0 sugerida pelo se gundo ponto Se optarmos por definir 00 igual a 0 como sugerido pelo segundo ponto acima estaremos violando a equação x0 1 sugerida pelo primeiro ponto De qualquer forma não podemos manter a consis tência de nossas propriedades algébricas envolvendo potências Entender que 00 é indefinido será importante quando você estudar conteúdos da disciplina de cálculo Para resolver esse dilema deixamos 00 indefinido em vez de esco lher uma definição que violará uma de nossas propriedades algébricas Existe um posicionamento semelhante em Matemática com relação à divisão por zero As equações x y x y e 0 y x 0 não podem ser satis feitas simultaneamente se x 0 e y 1 independentemente de como definimos 1 0 Dessa forma deixamos 1 0 indefinido Em resumo aqui está nossa definição de x0 Definição 223 Definição de x0 Seja x um número real Se x 0 então x0 1 A expressão 00 é indefinida 433 Expoentes Inteiros Negativos Até o momento definimos xm sempre que x 0 e m é um natural Vamos agora voltar nossa atenção para definir o significado de potências com expoentes inteiros negativos Assim como para a definição de potência com expoente zero buscaremos o significado dos expoentes inteiros negativos de tal modo que haja uma consistência com as propriedades algébricas anteriores Lembre que se x 0 e m e n forem inteiros não negativos então xmxn xmn 200 Queremos escolher o significado das potências com expoentes inteiros negativos de tal forma que a equação acima seja válida sempre que m e n forem inteiros incluindo a possibilidade de que um ou ambos m e n sejam negativos Na equação acima se fizermos n m obtemos xmxm xmm x0 1 Assim vemos que não temos outra escolha a não ser definir xm 1 xm Definição 224 Expoente inteiro negativo Sejam x 0 um nú mero real e m um inteiro positivo então xm 1 xm Para evitar a divisão por 0 não nos podemos permitir ter x igual a 0 nessa definição Assim se m for um inteiro positivo deixaremos 0m indefinido Exemplo 225 Calcule o valor de 32 Com efeito 32 1 32 1 9 Podemos ter alguma ideia sobre o comportamento da função xm com m como um inteiro negativo olhando para seu gráfico Exemplo 226 Compare o gráfico de y x1 com o gráfico de y x2 De fato as Figuras 414 e 415 mostram que os módulos de x1 e x2 são ambos altos para valores de x próximos de 0 Por sua vez x1 e x2 estão ambos próximos de 0 quando o módulo de x for muito alto Tanto a função quanto a são decrescentes no intervalo 0 Entretanto no intervalo 0 x1 é decrescente mas é x2 cres cente Outra diferença entre esses gráficos é que o gráfico de x2 situase inteiramente acima do eixo dos x 201 Exemplo 228 Como devemos definir 9 1 2 Com efeito na equação escolhemos x 9 e m 2 para obter 9 1 2 2 9 Assim 9 1 2 deve ser definido como um número que elevado ao quadrado dá 9 Tanto 3 quanto 3 têm quadrado igual a 9 assim temos uma escolha Quando isso acontece sempre escolhemos a possibilidade positiva Portanto 9 1 2 é definido como igual a 3 O próximo exemplo mostra o problema que surge quando tentamos definir x 1 m com x negativo e m como um inteiro par Exemplo 229 Como podemos definir 9 1 2 De fato na equação escolhemos x 9 e m 2 para obter 9 1 2 2 9 Assim 9 1 2 deve ser definido como um número que elevado ao quadrado dá 9 Mas não existe um número real que satisfaça essa condição pois o quadrado de um número real nunca é nega tivo Portanto enquanto trabalhamos apenas com números reais deixamos 9 1 2 indefinido Os números complexos foram inventados para dar algum signifi cado a expressões do tipo 9 1 2 mas aqui restringimos nossa aten ção a números reais Com a experiência dos exemplos anteriores estamos agora prontos para estabelecer a definição formal de x 1 m Definição 230 Raiz mésima Se m for um inteiro positivo e x um número real então x 1 m é definido como o número real que satisfaz a equação x 1 m m x sujeito às seguintes condições Se x 0 e m um inteiro par então x 1 m é indefinido 204 x y 4 8 4 8 8 4 4 8 y x3 y 3x Figura 416 O gráfico de y 3x vermelho é obtido pela reflexão do gráfico de y x3 azul sobre a reta y x 435 Expoentes Racionais Após ter definido o significado de expoentes sob a forma 1 m em que m é um inteiro positivo concluiremos agora que é fácil definir o signifi cado de expoentes racionais Na Proposição 222 vimos que xpn xpn para todo número real x Se supusermos que a equação acima deve valer inclusive quando p não é inteiro positivo isso nos leva ao significado de expoentes racionais Especificamente supondo que m seja um inteiro positivo e estabelecendo p 1 m na equação acima obtemos x n m x 1 m n x 1 m n mxn O lado esquerdo da equação acima ainda não faz sentido porque 207 ainda não vimos o significado de expoente racional Entretanto o lado direito da equação faz sentido porque já definimos anteriormente x 1 m e também já definimos a nésima potência de qualquer número Po demos assim usar o lado direito da equação acima para definir o lado esquerdo como faremos a seguir Definição 235 Expoente racional Se n m for uma fração sob a forma reduzida em que m e n são inteiros e m 0 então x n m é definido pela equação x n m mxn sempre que isso fizer sentido A expressão sempre que isto fizer sentido exclui o caso em que x 0 e m é par porque nesse caso x 1 m é indefinido e o caso em que x 0 e n 0 porque nesse caso 0n é indefinido Exemplos 236 Vamos calcular 1 16 3 2 2 27 2 3 3 16 3 4 4 27 4 3 De fato 1 16 3 2 163 43 64 2 27 2 3 3 272 32 9 3 16 3 4 4 163 22 1 23 1 8 4 27 4 3 3 274 34 1 34 1 81 436 Propriedades de Expoentes 208 Capıtulo5 Trigonometria Possivelmente seu primeiro contato com trigonometria foi ao estu dar a trigonometria no triângulo retângulo neste caso definimos as fun ções trigonométricas como razões entre os lados do triângulo e estamos restringindo seu domínio aos ângulos entre 0o e 90o Quando a trigono metria aparece novamente nos currículos ela ressurge através do círculo trigonométrico que no começo fica restrito a compreensão da primeira volta do círculo ou seja ângulos entre 0o e 360o para depois ainda sobre o círculo aumentar o domínio da função Antes de estudarmos as funções trigonométricas com domínio real vamos relembrar como este conceito era abordado nestes dois contextos já conhecidos 51 Triângulo retângulo Definição 264 Seja ABC um triângulo retângulo com ângulo reto em C como na Figura 51 As razões a b a c e b c são denominadas ra zões trigonométricas Figura 51 Triângulo retângulo Para o triângulo retângulo da Figura 51 temos que segundo o Teo 230 rema de Pitágoras é válida a relação a2 b2 c2 De acordo com Howard Eves em seu livro Introdução à história da Ma temática acreditase que Pitágoras nasceu por volta de 572 ac na ilha Egéia de Samos e apesar deste teorema levar seu nome este resultado já era conhecido pelos babilônios dos tempos de Hamurabi mais de um milênio antes mas sua primeira demonstração geral pode ter sido dada por Pitágoras Este é um resultado importante já que com ele é possível encontrar o valor de um dos lados do triângulo nos casos em que não temos todos os lados dados Proposição 265 Sejam ABC e ABC dois triângulos retângulos com ângulos retos em C e C respectivamente conforme as Figu ras 51 e 52 Então a b a b a c a c e b c b c Figura 52 Triângulo retângulo Observamos pelo teorema anterior que as razões a b a c e b c depen dem somente de θ que é a medida do ângulo ˆA Podemos assim cons truir três funções cujo domínio são os possíveis valores de θ ou seja 0 θ π 2 porque esta é a condição para termos os triângulos ABC e ABC A ima gem dessas funções será R pois são razões entre números reais positi vos 231 Definição 266 Seja ABC um triângulo retângulo com ângulo reto em C como na Figura 51 A razão a c é denominada seno de θ e de notada por sinθ a c Definição 267 Seja ABC um triângulo retângulo com ângulo reto em C como na Figura 51 A razão b c é denominada cosseno de θ e denotada por cosθ b c Definição 268 Seja ABC um triângulo retângulo com ângulo reto em C como na Figura 51 A razão a b é denominada tangente de θ e denotada por tanθ a b Seja ABC um triângulo retângulo com ângulo reto em C como na Figura 51 Note que tanθ a b ac bc sinθ cosθ Destacamos aqui os valores do seno cosseno e tangente dos ângulos notáveis que são os mais conhecidos 0o 30o 45o 60o 90o sin 0 1 2 2 2 3 2 1 cos 1 3 2 2 2 1 2 0 tan 0 3 3 1 3 não existe Na próxima seção veremos como utilizar estes valores para calcular seno cosseno e tangente de ângulos maiores que 90o 232 52 Ciclo trigonométrico No plano cartesiano consideremos um círculo de centro na origem e raio 1 neste círculo representamos as imagens das funções trigono métricas aplicadas à 0o α 360o Como mostra a Figura 53 No ciclo Figura 53 Ciclo trigonométrico trigonométrico temos destacado o ângulo de 30o formado pelo raio do círculo com o eixo x A projeção ortogonal deste raio sobre o eixo x de termina um segmento cujo comprimento é o valor do cos30o sobre o eixo y determina um segmento cujo comprimento é o valor do sin30o e sobre a reta tangente determina um segmento cujo comprimento é o valor da tan30o Podemos aqui trocar o ângulo de 30o por qualquer ou tro valor e encontraremos os valores do cosseno seno e tangente deste novo ângulo da mesma forma A partir do círculo trigonométrico concluímos que 120o 135o 150o sin sin60o sin45o sin30o cos cos60o cos45o cos30o tan tan60o tan45o tan30o 210o 225o 240o sin sin30o sin45o sin60o cos cos30o cos45o cos60o tan tan30o tan45o tan60o 233 300o 315o 330o sin sin60o sin45o sin30o cos cos60o cos45o cos30o tan tan60o tan45o tan30o Os ângulos podem também ser representados em radianos respei tando a seguinte relação π radianos 180o Usando esta relação pode mos transformar graus para radianos e radianos para graus vamos ver dois exemplos Exemplo 269 Qual a medida em graus do ângulo que mede π 4 rad Bastanos usar a regra de três graus radianos 180o π x π 4 Então πx 180 π 4 x 45o Exemplo 270 Qual a medida em radianos do ângulo que mede 300 Bastanos usar a regra de três graus radianos 180o π 30o x Então 180x 30π x π 6 rad 53 Identidades trigonométricas Nesta seção vejamos algumas das principais identidades utilizadas em trigonometria 234 Fórmulas de adição e subtração sina b sina cosb sinb cosa sina b sina cosb sinb cosa cosa b cosa cosb sina sinb cosa b cosa cosb sina sinb tana b tana tanb 1 tana tanb tana b tana tanb 1 tana tanb 54 Funções trigonométricas Vamos agora definir as funções trigonométricas no maior subcon junto real possível e estudar o comportamento de seus gráficos Mas para que este estudo seja completo precisamos antes definir os conceitos de período e amplitude que são particularmente úteis para a compreen são das funções trigonométricas Estas funções fazem parte do grupo de funções periódicas que são as funções que satisfazem a seguinte de finição Definição 272 Uma função real f A R R é denominada periódica quando existe um número real positivo P tal que fx P fx para todo x A O menor número real positivo P que satisfaz esta propriedade é o período de f Assim para entender seu comportamento em R basta conhecer como ela se comporta em um período Além de periódica algumas funções tri gonométricas são limitadas ou seja admitem um valor máximo e um valor mínimo e para estas funções podemos definir o conceito de ampli tude como segue 236 Figura 515 Gráfico da função cosseno hiperbólico Definição 283 As funções tangente secante cossecante e co tangente hiperbólicas são definidas respectivamente pelas rela ções tanht sinht cosht secht 1 cosht cscht 1 sinht cotht cosht sinht Os gráficos das funções tangente secante cossecante e tangente hiperbólicas são esboçados nas figuras a seguir Figura 516 Gráfico da função tangente hiperbólico 247 Figura 517 Gráfico da função secante hiperbólico Figura 518 Gráfico da função cossecante hiperbólico Figura 519 Gráfico da função cotangente hiperbólico Lista de Exercícios 1 Determine o domínio das funções 248 a fx sin2x b fx cosx 3 c fx sinx 1 d fx cosx2 249 Referências Bibliográcas AXLER S Pré cálculo Uma preparação para o cálculo com manual de soluções para o estudante 2 ed Rio de Janeiro LTC 2016 ISBN 9788521632146 GERÔNIMO J R et al Fundamentos da matemática Uma introdução à lógica matemática teoria dos conjuntos relações e funções MaringáPR UEM 2006 GUIDORIZZI H L Um curso de cálculo 5 ed Rio de Janeiro LTC 2001 v 1 IEZZI G et al Fundamentos de matemática elementar Conjuntos funções 8 ed São Paulo SP Atual 2004 v 1 250 Índice remissivo adição 19 25 Alongamento 118 124 amplitude 237 arco cosseno 244 arco seno 243 arco tangente 245 ciclo trigonométrico 233 complementar 13 conjunto 6 conjuntos disjuntos 11 conjuntos iguais 7 contradomínio 83 cossecante 235 cossecante hiperbólico 247 cosseno 232 cosseno hiperbólico 246 cotangente 235 cotangente hiperbólico 247 desigualdades 70 diferença 13 21 divisão 27 domínio 83 elemento oposto 22 equivalência 24 fração irredutível 28 Função 79 composta 141 crescente 171 decrescente 172 identidade 144 linear 184 quadrática 187 função bijetora 155 função cúbica 213 função cossecante 240 função cosseno 237 função cotangente 242 função definida por partes 214 função do 3o grau 213 função exponencial 217 função injetora 154 função logarítmica 221 função modular 215 função periódica 236 função polinomial de grau n 214 função reflexão 126 função secante 240 função seno 237 função sobrejetora 155 função tangente 240 função translação 114 122 Funções iguais 85 lineares 180 polinomiais 180 251 quadráticas 180 racionais 180 gráfico 99 igualdade 24 imagem 87 Inclinação 181 interseção de conjuntos 11 intervalo aberto 70 intervalo fechado 70 intervalo ilimitado 71 intervalo semiaberto 70 Inverso aditivo 43 multiplicativo 45 inverso 27 logaritmo neperiano 223 módulo 63 Maior 54 maior 70 Maior ou igual 54 maior ou igual 70 Menor 54 menor 21 70 Menor ou igual 54 menor ou igual 21 70 multiplicação 19 26 Números negativos 53 positivos 53 racionais 23 números irracionais 37 números reais 37 oposto 26 Parábola 187 período 236 ponto de máximo 188 ponto de mínimo 188 Potência 195 Propriedade de Arquimedes 37 Raiz 205 mésima 205 cúbica 205 quadrada 205 razões trigonométricas 230 Recíproco 45 Reta real 33 secante 235 secante hiperbólico 247 seno 232 seno hiperbólico 246 Simétrico 43 subconjunto 8 subconjunto próprio 8 Subtração 43 subtração 25 tangente 232 tangente hiperbólico 247 Teorema de Pitágoras 34 união de conjuntos 10 união disjunta 11 Vértice 188 valor absoluto 63 valor de máximo 188 valor de mínimo 188 zero de função 188 252