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Zootecnia ·

Probabilidade e Estatística 1

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Terceira lista de exercıcios Variaveis Aleatorias e Modelos Discretos Disciplina PROBABILIDADE E ESTATISTICA 06110004760 Curso AGRONOMIA FCA Prof ALEXANDRE PITANGUI CALIXTO 14 de marco de 2023 1 Considere o lancamento de trˆes moedas onde c cara e k coroa Se ocorrer o evento ccc dizemos que temos uma sequˆencia ao passo que se ocorrer o evento ckc temos trˆes sequˆencias Defina a va discreta X numero de caras obtidas e Y numero de sequˆencias isto para cada resultado possıvel Por exemplo Xckk 1 e Y ckk 2 a Obter as distribuicoes de probabilidade ou funcao de probabilidade de X e Y b Calcule EX EY V arX e V arY c Obter a fda funcao densidade de probabilidade da va discreta Y e faca o grafico 2 Considerando c cara e k coroa suponha que uma moeda perfeita e lancada ate que cara apareca pela primeira vez Seja a va discreta X o numero de lancamentos ate que isto aconteca Obtenha a funcao de probabilidade de X 3 Uma moeda perfeita e lancada 4 vezes Considere a variavel aleatoria discreta Y para representar o numero de caras obtidas Obtenha a distribuicao de probabilidade calcule a media e a variˆancia da va Y 4 Seja X uma variavel aleatoria discreta com distribuicao dada por X x 0 x 1 x 2 TOTAL px 1 2 1 4 1 4 1 a Calcule o valor esperado EX da va discreta X b Calcule o valor esperado EY onde a va Y e definido como Y X 12 5 Um vendedor de equipamentos pesados pode visitar um ou dois clientes em um dia com probabilidade de 1 3 ou 2 3 respectivamente De cada contato pode resultar a venda de um equipamento de 50 mil reais com probabilidade de 1 10 ou nenhuma venda com probabilidade 9 10 Se o valor total de vendas diarias deste vendedor e representado pela va Y escreva a funcao de probabilidade e calcule o valor esperado de Y vendas diarias 6 Das variaveis aleatorias abaixo descritas assinale quais sao binomiais e para estas dˆe os respectivos espacos amostrais Ω e funcao de probabilidade PX x Quando julgar que a variavel nao e binomial aponte as razoes de sua conclusao a De uma urna com 10 bolas brancas e 20 pretas vamos extrair com reposicao cinco bolas A variavel aleatoria discreta X e o numero de bolas brancas nas 5 extracoes b Refaca o item anterior mas desta vez as n 5 extracoes sao sem reposicao c Considerando 5 urnas com bolas pretas e brancas vamos extrair de cada uma delas uma bola Suponha que X e o numero de bolas brancas obtidas no final d Vamos realizar uma pesquisa em 10 cidades brasileiras escolhendo ao acaso um habitante de cada uma delas e classificandoo em favor ou contra um certo projeto federal Suponha que X e o numero de indivıduos contra o projeto no final da pesquisa 1 e Em uma industria existem 100 maquinas que fabricam determinada peca Cada peca e classificada como sendo boa ou defeituosa Escolhemos ao acaso um instante de tempo e verificamos uma peca de cada uma das maquinas Suponha que X seja o numero de pecas defeituosas Seja X uma variavel aleatoria discreta com distribuicao binomial com parˆametros n e p A notacao para representar a frase acima e X Binn p 7 Seja X uma variavel aleatoria discreta com distribuicao binomial X Binn p onde n e o numero de vezes que o ensaiofoi repetido e p a probabilidade de sucesso Sabese que EX 12 e σ2 3 Determine a o valor de n b a probabilidade PX 14 c a probabilidade PX 12 d o valor esperado da variavel aleatoria Z ou seja EZ onde Z X 12 3 ou se preferir Z 3 3 X 4 3 8 Suponha que a probabilidade de que um item produzido por uma maquina seja defeituoso e de 0 2 Se 10 itens produzidos por esta maquina sao selecionados ao acaso qual e a probabilidade de que nao mais do que um defeituoso seja encontrado Use a binomial e a distribuicao de Poisson e compare os resultados 9 Se X tem distribuicao binomial a Considere os parˆametros n 5 e p 1 2 faca o grafico da distribuicao de X e da fda Fx b Considere agora n 5 e p 1 4 Obtenha o grafico da distribuicao de X Qual a diferenca entre esse grafico e o correspondente do item anterior O que ocasionou a diferenca c Refaca o item a agora considerando os parˆametros n 6 e 1 2 10 Se X tem distribuicao binomial com parˆametros n 5 e p 1 2 faca o grafico da distribuicao de X e da fda Fx 11 Em um estudo foi examinado 2000 ninhadas de 5 porcos cada um segundo o numero de machos Os dados estao representados na tabela a seguir NUMERO DE MACHOS NUMERO DE NINHADAS 0 20 1 360 2 700 3 680 4 200 5 40 TOTAL 2000 2 a Calcule o numero medio de machos b Calcule o numero esperado de ninhadas se a va X tem distribuicao binomial com probabilidade de sucesso p sendo a proporcao media de machos calculada no item a 12 Numa central telefˆonica o numero de chamadas chega segundo uma distribuicao de Poisson com media de 8 chamadas por minuto Determinar qual a probabilidade de que em um minuto se tenha a 10 ou mais chamadas b menos do que 9 chamadas c entre 7 inclusive e 9 exclusive chamadas 13 O numero de petroleiros que chegam em uma refinaria em cada dia ocorre segundo uma distribuicao de Poisson com λ 2 As atuais instalacoes podem atender no maximo a 3 petroleiros por dia Se mais de 3 aportarem num dia o excesso e enviado a outro porto a Em um dia qual a probabilidade de se enviar petroleiros para outro porto b De quanto deverao ser aumentadas as instalacoes para permitir atender a todos os navios que chegarem pelo menos em 95 dos dias c Qual o numero medio de petroleiros que chegaram por dia 14 Suponha que X e uma variavel aleatoria discreta com funcao de probabilidade px 2x onde x 1 2 3 Calcule a PX 3 b PX 10 c PX ser par 15 Pequenos motores eletricos sao expedidos em lotes de 50 unidades Antes que uma remessa seja aprovada um inspetor escolhe 5 desses motores e os inspeciona Se nenhum dos motores inspecionados for defeituoso o lote e aprovado Se um ou mais forem verificados defeituosos todos os motores da remessa sao inspecionados Suponha que existam de fato trˆes motores defeituosos no lote Qual e a probabilidade de que a inspecao 100 seja necessaria 16 Em um canal de comunicacao digital a probabilidade de se receber um bit com erro e de 00002 Se 10000 bits forem transmitidos por esse canal qual e a probabilidade de que mais de quatro bits sejam recebidos com erro 17 Suponha que 10 dos clientes que compram a credito em uma loja deixam de pagar regularmente suas contas prestacoes Se num particular dia a loja vende a credito para 10 pessoas qual e a probabilidade de que mais de 20 delas deixem de pagar regularmente as contas Suponha que as 10 pessoas que fizeram crediario nesse dia correspondam a uma amostra aleatoria de clientes potenciais desta loja 18 Um item e vendido em lotes de 200 unidades Normalmente o processo de fabricacao gera 5 de itens defeituosos Um comprador compra cada caixa pro R 10000 alternativa 1 Um outro comprador faz a seguinte proposta de cada lote ele escolhe uma amostra de 15 pecas se a caixa tem 0 defeituoso ele paga R 20000 1 defeituoso ele paga R 5000 mais que 1 defeituoso ele paga R 500 alternativa 2 Em media qual alternativa e mais vantajosa para o fabricante Calcule os valores esperados das duas alternativas 3 19 Suponha que o numero de falhas em certo tipo de placa plastica tenha distribuicao de Poisson com taxa media de 005 defeito por m2 Na construcao de um barco e necessario cobrir uma superfıcie de 3m x 2m com essa placa a Qual e a probabilidade de que nao haja falhas nessa superfıcie b Qual e a probabilidade de que haja mais que uma falha nessa superfıcie c Na construcao de 5 barcos qual e a probabilidade de que pelo menos 4 nao apresentem defeito na superfıcie plastica 20 Na producao de rolhas de cortica nao e possıvel garantir qualidade homogˆenea devido as variacoes internas das placas de cortica Em funcao disso um equipamento separa as rolhas que saem da linha de producao em duas categorias A e B Os dados historicos mostram que 40 sao classificadas como A e 60 como B O fabricante vende por R 10000 o milhar de rolhas da categoria A e por R 6000 o milhar da categoria B Um comprador propoe comprar a producao diaria da fabrica Ele fara um plano de amostragem extraindo 8 rolhas aleatoriamente Se encontrar mais que 5 rolhas da categoria A ele paga R 20000 caso contrario ele paga R 5000 Pedese a Qual e a probabilidade do comprador encontrar mais de 5 rolhas da classe A b Qual e o lucro esperado do fabricante por milhar de rolhas vendidas se ele aceitar a proposta do comprador Em termos de lucro esperado a proposta do comprador e mais vantajosa do que a venda separada por categoria c Qual e a variˆancia do lucro do fabricante por milhar de rolhas vendidas se ele aceitar a proposta do comprador 4 Quarta Lista de Exercícios Distribuições Contínuas Disciplina PROBABILIDADE E ESTATÍSTICA 06110004760 Curso AGRONOMIA FCA Professor ALEXANDRE PITANGUI CALIXTO Data 22 de março de 2023 1 Uma fábrica de pneumáticos fez um teste para medir o desgaste de seus pneus e verificou que ele obedecia a uma distribuição normal de média 48000 km e desvio padrão 2000 km Calcular a probabilidade de uma pneu escolhido ao acaso a dure mais que 46000 km b dure entre 45000 e 50000 km Respostas a 08413 b 07745 2 Um avião de turismo de 4 lugares pode levar uma carga útil de 350 kg sem contar com o peso do piloto Suponha que os pesos dos passageiros tem distribuição normal com média de 70 kg e desvio padrão de 20 kg e que o peso da bagagem de cada passageiro também tem uma distribuição normal com média 12 kg e desvio padrão 5 kg Calcular a probabilidade de a haver sobrecarga no avião sabendo que o piloto não terá tempo de pesar os 4 passageiros e respectivas bagagens antes do voo b que o piloto tenha de tirar pelo menos 50 kg de gasolina para evitar sobrecarga Respostas a 02981 b 00401 3 Suponha que o diâmetro médio dos parafusos produzidos por uma fábrica é de 025 polegadas e o desvio padrão 002 polegadas Um parafuso é considerado defeituoso se seu diâmetro é maior que 028 polegadas ou menor que 020 polegadas a Encontre a porcentagem de parafusos defeituosos b Qual deve ser a medida mínima para que tenhamos no máximo 12 de parafusos defeituosos Respostas a 73 b 02266 4 Certa máquina de empacotar determinado produto oferece variação e peso com desvio padrão de 20 g Em quanto deve ser regulado o peso médio do pacote para que apenas 10 tenham menos de 400 g Calcule a probabilidade de um pacote sair com mais de 450 g Respostas a 42560 b 01112 5 O diâmetro X de rolamentos de esfera fabricados por certa fábrica tem distribuição N 06140 000252 O lucro T de cada esfera depende de seu diâmetro onde T 010 se a esfera é boa 06100 X 06180 T 005 se a esfera é recuperável 06080 X 06100 ou 06180 X 06200 T 010 se a esfera é defeituosa X 06080 ou X 062 a Calcular as probabilidades das esferas serem boas recuperaveis e defeituosas b Calcular o valor esperado ET 6 As alturas de 10000 alunos de um colegio tem distribuicao aproximadamente normal com media 170 cm e desvio padrao 5 cm a Qual o numero esperado de alunos com altura superior a 165 cm b Qual o intervalo simetrico em torno da media que contera 75 das alturas dos alunos 7 Seja X uma va contınua com distribuicao normal com parˆametros X N10 100 encontre a P8 X 10 b P9 X 12 c PX 10 d PX 8 ou X 11 8 As notas dos alunos do curso de Estatıstica Econˆomica de uma determinada Universidade distribuemse de acordo com uma distribuicao normal com media 64 e desvio padrao 08 O professor atribui conceitos A B e C da seguinte forma NOTAS CONCEITOS x 5 C 5 x 7 5 B 7 5 x 10 A Em uma sala de 80 alunos qual o numero esperado de alunos com conceito A E qual o numero esperado de alunos com conceito B E com conceito C 9 Suponha que as amplitudes de vida de dois aparelhos eletricos D1 e D2 tenham distribuicoes N42 36 e N45 9 respectivamente Se o aparelho e para ser usado por perıodo de 45 horas qual aparelho deve ser escolhido E se for por um perıodo de 49 horas qual o aparelho devo escolher 10 A variavel aleatoria contınua Xs que mede a glicemia basal em indivıduos com boa saude tem distribuicao normal Xs Nµ 80 σ2 100 Ja a variavel aleatoria Xd que mede a glicemia dos diabeticos segue o modelo Xd Nµ 160 σ2 985 96 que tambem e normal Em um indivıduo ao acaso qual a probabilidade da glicemia basal ser maior que 90 e a diabete ser menor que 140 11 Entre os diabeticos o nıvel de glicose no sangue em jejum e uma va contınua X podemos supor que tenha distribuicao aproximadamente normal com media 106 mg100ml e desvio padrao 8 mg100ml Responda a PX 120 b P106 X 110 c Ache o ponto x caracterizado pela propriedade de que 25 de todos os diabeticos tem um nıvel de glicose em jejum inferior ou igual a x 12 Em um determinado concurso havia 600 candidatos para 120 vagas Realizada a prova o numero medio de pontos foi 75 com desvio padrao de 8 pontos Qual a nota mınima para que um candidato se classifique 2 13 Uma enchedora automatica de garrafas de refrigerante esta regulada para que o volume medio de lıquido em cada garrafa de refrigerante seja de 1000 cm3 e o desvio padrao de 10 cm3 Podese admitir que a distribuicao da variavel seja normal a Qual a porcentagem de garrafas em que o volume de lıquido e menor que 990 cm3 b Qual a porcentagem de garrafas em que o volume de lıquido esta situado entre 2 desvios padroes 14 Uma empresa produz automoveis e garante a restituicao da quantia paga se qualquer automovel apresentar algum defeito grave no prazo de seis meses A empresa produz automoveis do tipo A linha de entrada e do tipo B top de linha com lucro de R 100000 e R 200000 respectivamente caso nao haja restituicao e com um prejuızo de R 300000 e R 800000 respectivamente se houver restituicao Suponha que o tempo para a ocorrˆencia de algum defeito grave seja em ambos os casos uma variavel aleatoria com distribuicao normal respectivamente com medias 9 meses e 12 meses e variˆancias 4 meses e 9 meses Se tivesse que planejar uma estrategia de marketing para a empresa vocˆe incentivaria as vendas dos automoveis do tipo A ou do tipo B Justifique 15 O peso bruto de latas de conserva e uma variavel aleatoria normal com media 1000g e desvio padrao 20g As latas tem peso medio de 100g e desvio padrao de 10g tambem com distribuicao normal de peso a Qual a probabilidade de uma lata conter menos de 850g de peso lıquido b Qual a probabilidade de uma lata conter mais de 920g de peso lıquido 3