Lista de Exercícios Resolvidos - Distribuições Contínuas Probabilidade e Estatística

Quarta Lista de Exercícios Distribuições Contínuas Disciplina PROBABILIDADE E ESTATÍSTICA 06110004760 Curso AGRONOMIA FCA Professor ALEXANDRE PITANGUI CALIXTO Data 22 de março de 2023 1 Uma fábrica de pneumáticos fez um teste para medir o desgaste de seus pneus e verificou que ele obedecia a uma distribuição normal de média 48000 km e desvio padrão 2000 km Calcular a probabilidade de uma pneu escolhido ao acaso a dure mais que 46000 km b dure entre 45000 e 50000 km Respostas a 08413 b 07745 2 Um avião de turismo de 4 lugares pode levar uma carga útil de 350 kg sem contar com o peso do piloto Suponha que os pesos dos passageiros tem distribuição normal com média de 70 kg e desvio padrão de 20 kg e que o peso da bagagem de cada passageiro também tem uma distribuição normal com média 12 kg e desvio padrão 5 kg Calcular a probabilidade de a haver sobrecarga no avião sabendo que o piloto não terá tempo de pesar os 4 passageiros e respectivas bagagens antes do voo b que o piloto tenha de tirar pelo menos 50 kg de gasolina para evitar sobrecarga Respostas a 02981 b 00401 3 Suponha que o diâmetro médio dos parafusos produzidos por uma fábrica é de 025 polegadas e o desvio padrão 002 polegadas Um parafuso é considerado defeituoso se seu diâmetro é maior que 028 polegadas ou menor que 020 polegadas a Encontre a porcentagem de parafusos defeituosos b Qual deve ser a medida mínima para que tenhamos no máximo 12 de parafusos defeituosos Respostas a 73 b 02266 4 Certa máquina de empacotar determinado produto oferece variação e peso com desvio padrão de 20 g Em quanto deve ser regulado o peso médio do pacote para que apenas 10 tenham menos de 400 g Calcule a probabilidade de um pacote sair com mais de 450 g Respostas a 42560 b 01112 5 O diâmetro X de rolamentos de esfera fabricados por certa fábrica tem distribuição N 06140 00025² O lucro T de cada esfera depende de seu diâmetro onde T010 se a esfera é boa 06100 X 06180 T005 se a esfera é recuperável 06080 X 06100 ou 06180 X 06200 T010 se a esfera é defeituosa X 06080 ou X 062 1 a Calcular as probabilidades das esferas serem boas recuperaveis e defeituosas b Calcular o valor esperado ET 6 As alturas de 10000 alunos de um colegio tem distribuicao aproximadamente normal com media 170 cm e desvio padrao 5 cm a Qual o numero esperado de alunos com altura superior a 165 cm b Qual o intervalo simetrico em torno da media que contera 75 das alturas dos alunos 7 Seja X uma va contınua com distribuicao normal com parˆametros X N10 100 encontre a P8 X 10 b P9 X 12 c PX 10 d PX 8 ou X 11 8 As notas dos alunos do curso de Estatıstica Econˆomica de uma determinada Universidade distribuemse de acordo com uma distribuicao normal com media 64 e desvio padrao 08 O professor atribui conceitos A B e C da seguinte forma NOTAS CONCEITOS x 5 C 5 x 7 5 B 7 5 x 10 A Em uma sala de 80 alunos qual o numero esperado de alunos com conceito A E qual o numero esperado de alunos com conceito B E com conceito C 9 Suponha que as amplitudes de vida de dois aparelhos eletricos D1 e D2 tenham distribuicoes N42 36 e N45 9 respectivamente Se o aparelho e para ser usado por perıodo de 45 horas qual aparelho deve ser escolhido E se for por um perıodo de 49 horas qual o aparelho devo escolher 10 A variavel aleatoria contınua Xs que mede a glicemia basal em indivıduos com boa saude tem distribuicao normal Xs Nµ 80 σ2 100 Ja a variavel aleatoria Xd que mede a glicemia dos diabeticos segue o modelo Xd Nµ 160 σ2 985 96 que tambem e normal Em um indivıduo ao acaso qual a probabilidade da glicemia basal ser maior que 90 e a diabete ser menor que 140 11 Entre os diabeticos o nıvel de glicose no sangue em jejum e uma va contınua X podemos supor que tenha distribuicao aproximadamente normal com media 106 mg100ml e desvio padrao 8 mg100ml Responda a PX 120 b P106 X 110 c Ache o ponto x caracterizado pela propriedade de que 25 de todos os diabeticos tem um nıvel de glicose em jejum inferior ou igual a x 12 Em um determinado concurso havia 600 candidatos para 120 vagas Realizada a prova o numero medio de pontos foi 75 com desvio padrao de 8 pontos Qual a nota mınima para que um candidato se classifique 2 13 Uma enchedora automatica de garrafas de refrigerante esta regulada para que o volume medio de lıquido em cada garrafa de refrigerante seja de 1000 cm3 e o desvio padrao de 10 cm3 Podese admitir que a distribuicao da variavel seja normal a Qual a porcentagem de garrafas em que o volume de lıquido e menor que 990 cm3 b Qual a porcentagem de garrafas em que o volume de lıquido esta situado entre 2 desvios padroes 14 Uma empresa produz automoveis e garante a restituicao da quantia paga se qualquer automovel apresentar algum defeito grave no prazo de seis meses A empresa produz automoveis do tipo A linha de entrada e do tipo B top de linha com lucro de R 100000 e R 200000 respectivamente caso nao haja restituicao e com um prejuızo de R 300000 e R 800000 respectivamente se houver restituicao Suponha que o tempo para a ocorrˆencia de algum defeito grave seja em ambos os casos uma variavel aleatoria com distribuicao normal respectivamente com medias 9 meses e 12 meses e variˆancias 4 meses e 9 meses Se tivesse que planejar uma estrategia de marketing para a empresa vocˆe incentivaria as vendas dos automoveis do tipo A ou do tipo B Justifique 15 O peso bruto de latas de conserva e uma variavel aleatoria normal com media 1000g e desvio padrao 20g As latas tem peso medio de 100g e desvio padrao de 10g tambem com distribuicao normal de peso a Qual a probabilidade de uma lata conter menos de 850g de peso lıquido b Qual a probabilidade de uma lata conter mais de 920g de peso lıquido 3 Terceira lista de exercıcios Variaveis Aleatorias e Modelos Discretos Disciplina PROBABILIDADE E ESTATISTICA 06110004760 Curso AGRONOMIA FCA Prof ALEXANDRE PITANGUI CALIXTO 14 de marco de 2023 1 Considere o lancamento de trˆes moedas onde c cara e k coroa Se ocorrer o evento ccc dizemos que temos uma sequˆencia ao passo que se ocorrer o evento ckc temos trˆes sequˆencias Defina a va discreta X numero de caras obtidas e Y numero de sequˆencias isto para cada resultado possıvel Por exemplo Xckk 1 e Y ckk 2 a Obter as distribuicoes de probabilidade ou funcao de probabilidade de X e Y b Calcule EX EY V arX e V arY c Obter a fda funcao densidade de probabilidade da va discreta Y e faca o grafico 2 Considerando c cara e k coroa suponha que uma moeda perfeita e lancada ate que cara apareca pela primeira vez Seja a va discreta X o numero de lancamentos ate que isto aconteca Obtenha a funcao de probabilidade de X 3 Uma moeda perfeita e lancada 4 vezes Considere a variavel aleatoria discreta Y para representar o numero de caras obtidas Obtenha a distribuicao de probabilidade calcule a media e a variˆancia da va Y 4 Seja X uma variavel aleatoria discreta com distribuicao dada por X x 0 x 1 x 2 TOTAL px 1 2 1 4 1 4 1 a Calcule o valor esperado EX da va discreta X b Calcule o valor esperado EY onde a va Y e definido como Y X 12 5 Um vendedor de equipamentos pesados pode visitar um ou dois clientes em um dia com probabilidade de 1 3 ou 2 3 respectivamente De cada contato pode resultar a venda de um equipamento de 50 mil reais com probabilidade de 1 10 ou nenhuma venda com probabilidade 9 10 Se o valor total de vendas diarias deste vendedor e representado pela va Y escreva a funcao de probabilidade e calcule o valor esperado de Y vendas diarias 6 Das variaveis aleatorias abaixo descritas assinale quais sao binomiais e para estas dˆe os respectivos espacos amostrais Ω e funcao de probabilidade PX x Quando julgar que a variavel nao e binomial aponte as razoes de sua conclusao a De uma urna com 10 bolas brancas e 20 pretas vamos extrair com reposicao cinco bolas A variavel aleatoria discreta X e o numero de bolas brancas nas 5 extracoes b Refaca o item anterior mas desta vez as n 5 extracoes sao sem reposicao c Considerando 5 urnas com bolas pretas e brancas vamos extrair de cada uma delas uma bola Suponha que X e o numero de bolas brancas obtidas no final d Vamos realizar uma pesquisa em 10 cidades brasileiras escolhendo ao acaso um habitante de cada uma delas e classificandoo em favor ou contra um certo projeto federal Suponha que X e o numero de indivıduos contra o projeto no final da pesquisa 1 e Em uma industria existem 100 maquinas que fabricam determinada peca Cada peca e classificada como sendo boa ou defeituosa Escolhemos ao acaso um instante de tempo e verificamos uma peca de cada uma das maquinas Suponha que X seja o numero de pecas defeituosas Seja X uma variavel aleatoria discreta com distribuicao binomial com parˆametros n e p A notacao para representar a frase acima e X Binn p 7 Seja X uma variavel aleatoria discreta com distribuicao binomial X Binn p onde n e o numero de vezes que o ensaiofoi repetido e p a probabilidade de sucesso Sabese que EX 12 e σ2 3 Determine a o valor de n b a probabilidade PX 14 c a probabilidade PX 12 d o valor esperado da variavel aleatoria Z ou seja EZ onde Z X 12 3 ou se preferir Z 3 3 X 4 3 8 Suponha que a probabilidade de que um item produzido por uma maquina seja defeituoso e de 0 2 Se 10 itens produzidos por esta maquina sao selecionados ao acaso qual e a probabilidade de que nao mais do que um defeituoso seja encontrado Use a binomial e a distribuicao de Poisson e compare os resultados 9 Se X tem distribuicao binomial a Considere os parˆametros n 5 e p 1 2 faca o grafico da distribuicao de X e da fda Fx b Considere agora n 5 e p 1 4 Obtenha o grafico da distribuicao de X Qual a diferenca entre esse grafico e o correspondente do item anterior O que ocasionou a diferenca c Refaca o item a agora considerando os parˆametros n 6 e 1 2 10 Se X tem distribuicao binomial com parˆametros n 5 e p 1 2 faca o grafico da distribuicao de X e da fda Fx 11 Em um estudo foi examinado 2000 ninhadas de 5 porcos cada um segundo o numero de machos Os dados estao representados na tabela a seguir NUMERO DE MACHOS NUMERO DE NINHADAS 0 20 1 360 2 700 3 680 4 200 5 40 TOTAL 2000 2 a Calcule o numero medio de machos b Calcule o numero esperado de ninhadas se a va X tem distribuicao binomial com probabilidade de sucesso p sendo a proporcao media de machos calculada no item a 12 Numa central telefˆonica o numero de chamadas chega segundo uma distribuicao de Poisson com media de 8 chamadas por minuto Determinar qual a probabilidade de que em um minuto se tenha a 10 ou mais chamadas b menos do que 9 chamadas c entre 7 inclusive e 9 exclusive chamadas 13 O numero de petroleiros que chegam em uma refinaria em cada dia ocorre segundo uma distribuicao de Poisson com λ 2 As atuais instalacoes podem atender no maximo a 3 petroleiros por dia Se mais de 3 aportarem num dia o excesso e enviado a outro porto a Em um dia qual a probabilidade de se enviar petroleiros para outro porto b De quanto deverao ser aumentadas as instalacoes para permitir atender a todos os navios que chegarem pelo menos em 95 dos dias c Qual o numero medio de petroleiros que chegaram por dia 14 Suponha que X e uma variavel aleatoria discreta com funcao de probabilidade px 2x onde x 1 2 3 Calcule a PX 3 b PX 10 c PX ser par 15 Pequenos motores eletricos sao expedidos em lotes de 50 unidades Antes que uma remessa seja aprovada um inspetor escolhe 5 desses motores e os inspeciona Se nenhum dos motores inspecionados for defeituoso o lote e aprovado Se um ou mais forem verificados defeituosos todos os motores da remessa sao inspecionados Suponha que existam de fato trˆes motores defeituosos no lote Qual e a probabilidade de que a inspecao 100 seja necessaria 16 Em um canal de comunicacao digital a probabilidade de se receber um bit com erro e de 00002 Se 10000 bits forem transmitidos por esse canal qual e a probabilidade de que mais de quatro bits sejam recebidos com erro 17 Suponha que 10 dos clientes que compram a credito em uma loja deixam de pagar regularmente suas contas prestacoes Se num particular dia a loja vende a credito para 10 pessoas qual e a probabilidade de que mais de 20 delas deixem de pagar regularmente as contas Suponha que as 10 pessoas que fizeram crediario nesse dia correspondam a uma amostra aleatoria de clientes potenciais desta loja 18 Um item e vendido em lotes de 200 unidades Normalmente o processo de fabricacao gera 5 de itens defeituosos Um comprador compra cada caixa pro R 10000 alternativa 1 Um outro comprador faz a seguinte proposta de cada lote ele escolhe uma amostra de 15 pecas se a caixa tem 0 defeituoso ele paga R 20000 1 defeituoso ele paga R 5000 mais que 1 defeituoso ele paga R 500 alternativa 2 Em media qual alternativa e mais vantajosa para o fabricante Calcule os valores esperados das duas alternativas 3 19 Suponha que o numero de falhas em certo tipo de placa plastica tenha distribuicao de Poisson com taxa media de 005 defeito por m2 Na construcao de um barco e necessario cobrir uma superfıcie de 3m x 2m com essa placa a Qual e a probabilidade de que nao haja falhas nessa superfıcie b Qual e a probabilidade de que haja mais que uma falha nessa superfıcie c Na construcao de 5 barcos qual e a probabilidade de que pelo menos 4 nao apresentem defeito na superfıcie plastica 20 Na producao de rolhas de cortica nao e possıvel garantir qualidade homogˆenea devido as variacoes internas das placas de cortica Em funcao disso um equipamento separa as rolhas que saem da linha de producao em duas categorias A e B Os dados historicos mostram que 40 sao classificadas como A e 60 como B O fabricante vende por R 10000 o milhar de rolhas da categoria A e por R 6000 o milhar da categoria B Um comprador propoe comprar a producao diaria da fabrica Ele fara um plano de amostragem extraindo 8 rolhas aleatoriamente Se encontrar mais que 5 rolhas da categoria A ele paga R 20000 caso contrario ele paga R 5000 Pedese a Qual e a probabilidade do comprador encontrar mais de 5 rolhas da classe A b Qual e o lucro esperado do fabricante por milhar de rolhas vendidas se ele aceitar a proposta do comprador Em termos de lucro esperado a proposta do comprador e mais vantajosa do que a venda separada por categoria c Qual e a variˆancia do lucro do fabricante por milhar de rolhas vendidas se ele aceitar a proposta do comprador 4 LISTA 04 9 D1 N 42 36 D2 N 45 9 x 45 h P D1 45 P Z 4542 6 P Z 05 030854 P D2 45 P Z 4545 3 P Z 0 050 NESSE CASO D2 DEVE SER PREFERIDO POIS EXISTE UMA PROBABILIDADE MAIOR DE FUNCIONAR MAIS QUE 45 H 49 h P D1 49 P Z 4942 6 P Z 117 0121 P D2 49 P Z 4945 3 P Z 133 009176 JA NESSE CASO PREFERIDO É O D1 10 X N μ 80 σ² 100 A PROBABILIDADE DE X 90 é P X 90 1 P X 90 LOGO P X 90 08413 PORTANTO P X 90 1 08413 01587 ISSO FOI PRO INDIVÍDUO SAUDÁVEL TER GLICEMIA BASAL MAIOR QUE 90 INDIVÍDUO DIABÉTICO TER GLICEMIA MENOR QUE 140 Xd N μ 160 σ² 98596 Xd 140 é P Xd 140 P Z 140 160 98596 ONDE Z é UMA VARIÁVEL ALEATÓRIA PADRÃO LOGO USANDO A TABELA P Z 06393 02611 SENDO ASSIM P X 90 P Xd 140 01587 02611 00414 13 a X N 1000 10 P X 990 P Z 990 1000 10 P Z 1 P Z 1 1 P Z 1 1 08413 0159 159 b σ 10 2σ 20 μ 2σ 1000 20 980 e μ 2σ 1000 20 1020 P 980 x 1020 P 980 1000 10 Z 1020 1000 10 P 2 Z 2 P Z 2 P Z 2 P Z 2 P Z 2 P Z 2 1 P Z 2 2 09772 1 09544 95 14 A LUCRO 1000 SEM RESTRIÇÃO PREJU 3000 COM RESTRIÇÃO B LUCRO 2000 SEM RESTRIÇÃO PREJU 8000 COM RESTRIÇÃO XA N94 XB N129 PX 61A PZ 15 0066 PX 61B PZ 2 0023 A 1000 0934 3000 0066 736 B 2000 0977 8000 0023 1770 15 1000 100g 900g LIQUIDO MÉDIO FÓRMULA DA SOMA OD DIFERENÇA DE 2 VARIÁVEIS ALEATÓRIAS INDEPENDENTES NORMALMENTE DISTRIBUÍDAS 20² 10² 500 2236g TABELA 2 a PZ 850 1 PZ 850 900 PZ 223 0013 b PZ 920 900 PZ 089 0186 LISTA 3 1315171920 Questão 13 O número de petroleiros que chegam em uma refinaria em cada dia ocorre segundo uma distribuição de Poisson com λ 2 As atuais instalações podem atender no máximo a 3 petroleiros por dia Se mais de 3 aportarem num dia o excesso é enviado a outro porto a Em um dia qual a probabilidade de se enviar petroleiros para outro porto A probabilidade de k ocorrências de um evento em uma distribuição de Poisson é dada pela fórmula Pk λk eλ k Neste caso queremos encontrar a probabilidade de que mais de 3 petroleiros cheguem em um determinado dia o que significa que precisamos calcular a probabilidade de que 4 ou mais petroleiros cheguem Uma maneira de fazer isso é calcular a probabilidade de que 0 1 2 ou 3 petroleiros cheguem e subtrair esse valor de 1 Isso nos dá PX 3 1 PX 0 PX 1 PX 2 PX 3 Substituindo os valores para λ e k na fórmula para Pk obtemos PX 3 1 20 e20 21 e21 22 e22 23 e23 Calculando essa expressão obtemos um valor aproximado de 01429 então há cerca de 1429 de chance de que petroleiros sejam enviados para outro porto em um determinado dia b De quanto deverão ser aumentadas às instalações para permitir atender a todos os navios que chegarem pelo menos em 95 dos dias Para responder a esta pergunta precisamos encontrar o menor número de petroleiros que podem ser atendidos pelas instalações de modo que a probabilidade de que mais petroleiros cheguem em um determinado dia seja menor ou igual a 005 5 A probabilidade de k ocorrências de um evento em uma distribuição de Poisson é dada pela fórmula Pk λk eλ k Neste caso queremos encontrar o menor valor de k tal que PX k 005 Uma maneira de fazer isso é calcular a probabilidade cumulativa de que 0 1 2 k petroleiros cheguem e subtrair esse valor de 1 Isso nos dá PX k 1 PX 0 PX 1 PX k Substituindo os valores para λ e k na fórmula para Pk podemos calcular a probabilidade cumulativa para diferentes valores de k até encontrar o menor valor de k tal que PX k 005 Fazendo esses cálculos encontramos que o menor valor de k que satisfaz essa condição é k 6 Isso significa que as instalações devem ser aumentadas para permitir atender pelo menos 6 petroleiros por dia para garantir que todos os navios sejam atendidos em pelo menos 95 dos dias c Qual o número médio de petroleiros que chegaram por dia O número médio de petroleiros que chegam em uma refinaria em cada dia é dado pelo parâmetro λ da distribuição de Poisson No caso em questão foi mencionado que o número de petroleiros que chegam em uma refinaria em cada dia ocorre segundo uma distribuição de Poisson com λ 2 Portanto o número médio de petroleiros que chegam por dia é 2 Questão 15 A probabilidade de que a inspeção 100 seja necessária é a probabilidade de pelo menos um dos 5 motores escolhidos aleatoriamente ser defeituoso Isso é o complemento da probabilidade de que nenhum dos 5 motores escolhidos seja defeituoso Existem 47 motores não defeituosos e 3 motores defeituosos no lote A probabilidade de que nenhum dos 5 motores escolhidos seja defeituoso é 4750 4649 4548 4447 4346 que é aproximadamente 0659 Portanto a probabilidade de que pelo menos um dos 5 motores escolhidos seja defeituoso é 1 0659 0341 Então a probabilidade de que a inspeção 100 seja necessária é de aproximadamente 341 Questão 17 Podemos modelar o número de pessoas que deixam de pagar regularmente suas contas como uma variável aleatória binomial com n 10 ensaios e probabilidade de sucesso p 010 A probabilidade de que mais de 20 das pessoas ou seja mais de 2 pessoas deixem de pagar regularmente suas contas é a probabilidade de que a variável aleatória binomial seja maior que 2 Podemos calcular essa probabilidade usando a função de distribuição acumulada da variável aleatória binomial A probabilidade de que a variável aleatória binomial seja maior que 2 é 1 PX 2 onde X é a variável aleatória binomial Usando uma calculadora ou tabela binomial encontramos que PX 2 0736 Portanto a probabilidade de que mais de 20 das pessoas deixem de pagar regularmente suas contas é aproximadamente 1 0736 0264 ou 264 Questão 19 Vamos resolver cada uma das questões a A área total da superfície é de 3m x 2m 6m² Como a taxa média é de 005 defeito por m² a taxa média de defeitos na superfície total é de 6m² x 005 03 defeito A probabilidade de não haver falhas nessa superfície é dada pela função de probabilidade da distribuição de Poisson PX 0 eλ λx x onde λ é a taxa média e x é o número de falhas Substituindo os valores temos PX 0 e03 030 0 e03 07408 b A probabilidade de haver mais que uma falha nessa superfície é dada por PX 1 1 PX 1 1 PX 0 PX 1 Substituindo os valores temos PX 1 1 e03 030 0 e03 031 1 1 e03 e0303 1 e03103 1 e0313 1 0740813 1 096304 003696 c A probabilidade de que um barco não apresente defeito na superfície plástica é a mesma que a probabilidade calculada no item a ou seja aproximadamente 07408 Como estamos construindo cinco barcos podemos modelar o problema como uma distribuição binomial com n5 e p07408 número de tentativas e probabilidade de sucesso em cada tentativa A probabilidade de que pelo menos quatro barcos não apresentem defeito na superfície plástica é dada por PX 4 PX 4 PX 5 Substituindo os valores temos PX 4 5C4 p4 q54 5C5 p5 q55 onde q1p10740802592 e nCrnrnr Portanto PX 4 5C4 074084 025921 5C5 074085 025920 5454 074084 025921 5555 074085 025920 507408402592 074085 50300702592 024039 038936 024039 062975 Questão 20 A Para calcular a probabilidade do comprador encontrar mais de 5 rolhas da classe A em uma amostra de 8 rolhas podemos usar a distribuição binomial A probabilidade de sucesso encontrar uma rolha da classe A é de 04 e o número de ensaios número de rolhas na amostra é 8 A probabilidade de encontrar mais de 5 rolhas da classe A é igual a 1 menos a probabilidade de encontrar 5 ou menos rolhas da classe A Isso pode ser calculado como PX 5 1 PX 5 1 PX 0 PX 1 PX 2 PX 3 PX 4 PX 5 Onde PX k é a probabilidade de encontrar exatamente k rolhas da classe A em uma amostra de 8 rolhas e pode ser calculada usando a fórmula da distribuição binomial PX k nCkpk1pnk Onde n é o número de ensaios 8 p é a probabilidade de sucesso 04 k é o número de sucessos e nCk é o coeficiente binomial que pode ser calculado como n knk Substituindo os valores na fórmula acima podemos calcular a probabilidade do comprador encontrar mais de 5 rolhas da classe A em uma amostra de 8 rolhas Claro Vamos continuar os cálculos PX 0 8C0040068 00066 PX 1 8C1041067 00419 PX 2 8C2042066 01209 PX 3 8C3043065 02149 PX 4 8C4044064 02508 PX 5 8C5045063 01877 Substituindo esses valores na fórmula que calculamos anteriormente PX 5 1 PX 5 1 PX 0 PX 1 PX 2 PX 3 PX 4 PX 5 1 00066 00419 01209 02149 02508 01877 1 0823 0177 Portanto a probabilidade do comprador encontrar mais de 5 rolhas da classe A em uma amostra de 8 rolhas é aproximadamente 177 b O lucro esperado do fabricante por milhar de rolhas vendidas se ele aceitar a proposta do comprador pode ser calculado como a soma dos produtos das probabilidades de cada resultado pelo lucro correspondente Como já calculamos anteriormente a probabilidade do comprador encontrar mais de 5 rolhas da classe A em uma amostra de 8 rolhas é aproximadamente 177 Portanto a probabilidade do comprador encontrar 5 ou menos rolhas da classe A é 1 0177 0823 Se o comprador encontrar mais de 5 rolhas da classe A ele pagará R20000 e o lucro do fabricante será de R20000 por milhar de rolhas vendidas Caso contrário ele pagará R5000 e o lucro do fabricante será de R5000 por milhar de rolhas vendidas Portanto o lucro esperado do fabricante por milhar de rolhas vendidas se ele aceitar a proposta do comprador é Elucro 0177200 082350 354 4115 R7655 Se o fabricante vender separadamente por categoria ele receberá R10000 por milhar de rolhas da categoria A e R6000 por milhar de rolhas da categoria B Como 40 das rolhas são classificadas como A e 60 como B o lucro esperado do fabricante por milhar de rolhas vendidas seria Elucro 04100 0660 40 36 R76 Comparando os dois valores podemos ver que em termos de lucro esperado a proposta do comprador é ligeiramente mais vantajosa para o fabricante c Para calcular a variância do lucro do fabricante por milhar de rolhas vendidas se ele aceitar a proposta do comprador podemos usar a fórmula da variância para uma variável aleatória discreta VarX EX2 EX2 Onde EX2 é o valor esperado do quadrado da variável aleatória X e pode ser calculado como a soma dos produtos das probabilidades de cada resultado pelo quadrado do lucro correspondente EX2 01772002 0823502 7080 103225 174025 Substituindo os valores na fórmula acima VarX EX2 EX2 174025 76552 174025 5856 115465 Portanto a variância do lucro do fabricante por milhar de rolhas vendidas se ele aceitar a proposta do comprador é aproximadamente 115465