Física III: Eletromagnetismo - 14ª Edição

ISBN 9788543015910 Engenharia w w w p e a r s o n c o m b r Física w w w p e a r s o n c o m b r svpearsoncombr A Sala Virtual oferece para professores apresentações em PowerPoint manual de soluções e exercícios adicionais em inglês Para estudantes exercícios adicionais Este livro também está disponível para compra em formato ebook Para adquirilo acesse nosso site 14e ELETROMAGNETISMO YOUNG FREEDMAN III FÍSICA Desde sua primeira edição esta obra tem sido referência por sua ênfase nos princípios fundamentais de física e em como aplicálos Estruturado de maneira clara e com uma didática minuciosa aliada a uma extensa gama de exercícios e exemplos explicativos este livro permite que os alunos desenvolvam habilidades de identificação estabele cimento execução e avaliação de problemas Fundamental para estudantes dos cursos de graduação em matemática física e para todos os ramos da engenharia esta 14a edição foi totalmente atualizada e revisada para oferecer um aprendizado eficaz por meio de uma abordagem mais explicativa somada a uma quantidade maior de figuras fotos e exercícios E todo esse conteúdo é complementado por notas explicativas nas principais equações quadros com os erros mais comuns conteúdo atualizado da física moderna e aplicações de biociência o que o torna a grande referência para os estudiosos da área SEARS ZEMANSKY 14e YOUNG FREEDMAN SEARS ZEMANSKY FÍSICA III ELETROMAGNETISMO ELETROMAGNETISMO III FÍSICA 14e YOUNG FREEDMAN SEARS ZEMANSKY VIRA VIRA VIRA VIRA 9788543015910SEARSFÍSICA IIIindd 1 18122015 102746 III FÍSICA ELETROMAGNETISMO 14e YOUNG FREEDMAN SEARS ZEMANSKY BookSEARSVol3indb 1 101115 655 PM BookSEARSVol3indb 2 101115 655 PM 14e YOUNG FREEDMAN III FÍSICA SEARS ZEMANSKY Hugh D Young Roger A Freedman Universidade da Califórnia Santa Bárbara Colaborador A Lewis Ford Universidade AM do Texas Tradutores Daniel Vieira e Lucas Pilar Revisão técnica Adir Moysés Luiz Doutor em ciência Professor associado aposentado do Instituto de Física da Universidade Federal do Rio de Janeiro ELETROMAGNETISMO BookSEARSVol3indb 3 101115 655 PM Dados Internacionais de Catalogação na Publicação CIP Câmara Brasileira do Livro SP Brasil Young Hugh D Física III Sears e Zemansky eletromagnetismo Hugh D Young Roger A Freedman colaborador A Lewis Ford tradução Lucas Pilar da Silva e Daniel Vieira revisão técnica Adir Moysés Luiz 14 ed São Paulo Pearson Education do Brasil 2015 Título original University physics with modern physics ISBN 9788543018157 1 Eletromagnetismo 2 Física I Freedman Roger A II Ford A Lewis III Título 1509796 CDD537 Índice para catálogo sistemático 1 Eletromagnetismo Física 537 2016 by Pearson Education do Brasil Ltda Copyright 2016 2014 2012 by Pearson Inc Todos os direitos reservados Nenhuma parte desta publicação poderá ser reproduzida ou transmitida de qualquer modo ou por qualquer outro meio eletrônico ou mecânico incluindo fotocópia gravação ou qualquer outro tipo de sistema de armazenamento e transmissão de informação sem prévia autorização por escrito da Pearson Education do Brasil Gerente editorial Thiago Anacleto Supervisora de produção editorial Silvana Afonso Coordenador de produção editorial Jean Xavier Editor de aquisições Vinícius Souza Editora de texto Sabrina Levensteinas Editores assistentes Marcos Guimarães e Karina Ono Preparação Renata Siqueira Campos Revisão Oitava Rima Capa Solange Rennó Projeto gráfico e diagramação Casa de Ideias 2015 Direitos exclusivos para a língua portuguesa cedidos à Pearson Education do Brasil Ltda uma empresa do grupo Pearson Education Avenida Santa Marina 1193 CEP 05036001 São Paulo SP Brasil Fone 11 38213542 vendaspearsoncom A01SEARS00001SEA01indd 4 111115 916 AM FÍSICA III ELETROMAGNETISMO 21 CARGA ELÉTRICA E CAMPO ELÉTRICO 1 211 Carga elétrica 2 212 Condutores isolantes e cargas induzidas 5 213 Lei de Coulomb 8 214 Campo elétrico e forças elétricas 13 215 Determinação do campo elétrico 18 216 Linhas de um campo elétrico 24 217 Dipolos elétricos 25 Resumo 30 Problemasexercíciosrespostas 32 22 LEI DE GAUSS 43 221 Carga elétrica e fluxo elétrico 43 222 Determinação do fluxo elétrico 46 223 Lei de Gauss 51 224 Aplicações da lei de Gauss 55 225 Cargas em condutores 61 Resumo 65 Problemasexercíciosrespostas 67 23 POTENCIAL ELÉTRICO 75 231 Energia potencial elétrica 75 232 Potencial elétrico 82 233 Determinação do potencial elétrico 89 234 Superfícies equipotenciais 93 235 Gradiente de potencial 96 Resumo 99 Problemasexercíciosrespostas 101 24 CAPACITÂNCIA E DIELÉTRICOS 111 241 Capacitância e capacitores 112 242 Capacitores em série e em paralelo 116 243 Armazenamento de energia em capacitores e energia do campo elétrico 120 244 Dielétricos 124 245 Modelo molecular da carga induzida 130 246 Lei de Gauss em dielétricos 132 Resumo 134 Problemasexercíciosrespostas 136 25 CORRENTE RESISTÊNCIA E FORÇA ELETROMOTRIZ 145 251 Corrente 146 252 Resistividade 150 253 Resistência 152 254 Força eletromotriz e circuitos 156 255 Energia e potência em circuitos elétricos 162 256 Teoria da condução em metais 167 Resumo 169 Problemasexercíciosrespostas 171 26 CIRCUITOS DE CORRENTE CONTÍNUA 180 261 Resistores em série e em paralelo 180 262 Leis de Kirchhoff 186 263 Instrumentos de medidas elétricas 191 264 Circuitos RC 196 265 Sistemas de distribuição de potência 201 Resumo 205 Problemasexercíciosrespostas 207 27 CAMPO MAGNÉTICO E FORÇAS MAGNÉTICAS 218 271 Magnetismo 219 272 Campo magnético 221 273 Linhas do campo magnético e fluxo magnético 225 274 Movimento de partículas carregadas em um campo magnético 228 275 Aplicações do movimento de partículas carregadas 232 276 Força magnética sobre um condutor conduzindo uma corrente 235 277 Força e torque sobre uma espira de corrente 238 278 O motor de corrente contínua 245 279 O efeito Hall 247 Resumo 249 Problemasexercíciosrespostas 251 28 FONTES DE CAMPO MAGNÉTICO 263 281 Campo magnético de uma carga em movimento 264 282 Campo magnético de um elemento de corrente 266 283 Campo magnético de um condutor retilíneo conduzindo uma corrente 269 284 Força entre condutores paralelos 272 285 Campo magnético de uma espira circular 274 286 Lei de Ampère 277 287 Aplicações da lei de Ampère 281 288 Materiais magnéticos 284 Resumo 291 Problemasexercíciosrespostas 293 SUMÁRIO BookSEARSVol3indb 5 101115 655 PM VI Física III 29 INDUÇÃO ELETROMAGNÉTICA 304 291 Experiências de indução 305 292 Lei de Faraday 306 293 Lei de Lenz 315 294 Força eletromotriz produzida pelo movimento 317 295 Campos elétricos induzidos 320 296 Correntes de Foucault 322 297 Corrente de deslocamento e equações de Maxwell 323 298 Supercondutividade 328 Resumo 330 Problemasexercíciosrespostas 332 30 INDUTÂNCIA 343 301 Indutância mútua 344 302 Indutores e autoindutância 347 303 Energia do campo magnético 351 304 O circuito RL 354 305 O circuito LC 359 306 O circuito LRC em série 363 Resumo 366 Problemasexercíciosrespostas 367 31 CORRENTE ALTERNADA 376 311 Fasor e corrente alternada 376 312 Resistência e reatância 380 313 O circuito LRC em série 386 314 Potência em circuitos de corrente alternada 391 315 Ressonância em circuitos de corrente alternada 394 316 Transformadores 397 Resumo 401 Problemasexercíciosrespostas 402 32 ONDAS ELETROMAGNÉTICAS 410 321 Equações de Maxwell e ondas eletromagnéticas 411 322 Ondas eletromagnéticas planas e a velocidade da luz 414 323 Ondas eletromagnéticas senoidais 421 324 Energia e momento linear em ondas eletromagnéticas 425 325 Ondas eletromagnéticas estacionárias 431 Resumo 434 Problemasexercíciosrespostas 435 FÍSICA I MECÂNICA 1 UNIDADES GRANDEZAS FÍSICAS E VETORES 11 A natureza da física 12 Solução de problemas de física 13 Padrões e unidades 14 Utilização e conversão de unidades 15 Incerteza e algarismos significativos 16 Estimativas e ordens de grandeza 17 Vetores e soma vetorial 18 Componentes de vetores 19 Vetores unitários 110 Produtos de vetores Resumo ProblemasExercíciosRespostas 2 MOVIMENTO RETILÍNEO 21 Deslocamento tempo e velocidade média 22 Velocidade instantânea 23 Aceleração instantânea e aceleração média 24 Movimento com aceleração constante 25 Queda livre de corpos 26 Velocidade e posição por integração Resumo ProblemasExercíciosRespostas 3 MOVIMENTO EM DUAS OU TRÊS DIMENSÕES 31 Vetor posição e vetor velocidade 32 Vetor aceleração 33 Movimento de um projétil 34 Movimento circular 35 Velocidade relativa Resumo ProblemasExercíciosRespostas 4 LEIS DE NEWTON DO MOVIMENTO 41 Força e interações 42 Primeira lei de Newton 43 Segunda lei de Newton 44 Massa e peso 45 Terceira lei de Newton 46 Exemplos de diagramas do corpo livre Resumo ProblemasExercíciosRespostas 5 APLICAÇÕES DAS LEIS DE NEWTON 51 Uso da primeira lei de Newton partículas em equilíbrio 52 Uso da segunda lei de Newton dinâmica de partículas 53 Forças de atrito 54 Dinâmica do movimento circular 55 Forças fundamentais da natureza Resumo ProblemasExercíciosRespostas 6 TRABALHO E ENERGIA CINÉTICA 61 Trabalho 62 Energia cinética e o teorema do trabalhoenergia 63 Trabalho e energia com forças variáveis 64 Potência Resumo ProblemasExercíciosRespostas BookSEARSVol3indb 6 101115 655 PM Sumário VII 7 ENERGIA POTENCIAL E CONSERVAÇÃO DA ENERGIA 71 Energia potencial gravitacional 72 Energia potencial elástica 73 Forças conservativas e forças não conservativas 74 Força e energia potencial 75 Diagramas de energia Resumo ProblemasExercíciosRespostas 8 MOMENTO LINEAR IMPULSO E COLISÕES 81 Momento linear e impulso 82 Conservação do momento linear 83 Conservação do momento linear e colisões 84 Colisões elásticas 85 Centro de massa 86 Propulsão de um foguete Resumo ProblemasExercíciosRespostas 9 ROTAÇÃO DE CORPOS RÍGIDOS 91 Velocidade angular e aceleração angular 92 Rotação com aceleração angular constante 93 Relações entre a cinemática linear e a angular 94 Energia no movimento de rotação 95 Teorema dos eixos paralelos 96 Cálculos do momento de inércia Resumo ProblemasExercíciosRespostas 10 DINÂMICA DO MOVIMENTO DE ROTAÇÃO 101 Torque 102 Torque e aceleração angular de um corpo rígido 103 Rotação de um corpo rígido em torno de um eixo móvel 104 Trabalho e potência no movimento de rotação 105 Momento angular 106 Conservação do momento angular 107 Giroscópios e precessão Resumo ProblemasExercíciosRespostas 11 EQUILÍBRIO E ELASTICIDADE 111 Condições de equilíbrio 112 Centro de gravidade 113 Solução de problemas de equilíbrio de corpos rígidos 114 Tensão deformação e módulos de elasticidade 115 Elasticidade e plasticidade Resumo ProblemasExercíciosRespostas FÍSICA II TERMODINÂMICA E ONDAS 12 GRAVITAÇÃO 121 Lei de Newton da gravitação 122 Peso 123 Energia potencial gravitacional 124 Movimento de satélites 125 As leis de Kepler e o movimento de planetas 126 Distribuição esférica de massa 127 Peso aparente e rotação da Terra 128 Buraco negro Resumo Problemasexercíciosrespostas 13 MOVIMENTO PERIÓDICO 131 Causas da oscilação 132 Movimento harmônico simples 133 Energia no movimento harmônico simples 134 Aplicações do movimento harmônico simples 135 O pêndulo simples 136 O pêndulo físico 137 Oscilações amortecidas 138 Oscilações forçadas e ressonância Resumo Problemasexercíciosrespostas 14 MECÂNICA DOS FLUIDOS 141 Gases líquidos e densidade 142 Pressão em um fluido 143 Empuxo 144 Escoamento de um fluido 145 Equação de Bernoulli 146 Viscosidade e turbulência Resumo Problemasexercíciosrespostas 15 ONDAS MECÂNICAS 151 Tipos de ondas mecânicas 152 Ondas periódicas 153 Descrição matemática das ondas 154 Velocidade de uma onda transversal 155 Energia no movimento ondulatório 156 Interferência de ondas condições de contorno de uma corda e princípio da superposição 157 Ondas sonoras estacionárias em uma corda 158 Modos normais de uma corda Resumo Problemasexercíciosrespostas 16 SOM E AUDIÇÃO 161 Ondas sonoras BookSEARSVol3indb 7 101115 655 PM VIII Física III 162 Velocidade das ondas sonoras 163 Intensidade do som 164 Ondas estacionárias e modos normais 165 Ressonância e som 166 Interferência de ondas 167 Batimentos 168 O efeito Doppler 169 Ondas de choque Resumo Problemasexercíciosrespostas 17 TEMPERATURA E CALOR 171 Temperatura e equilíbrio térmico 172 Termômetros e escalas de temperatura 173 Termômetro de gás e escala Kelvin 174 Expansão térmica 175 Quantidade de calor 176 Calorimetria e transições de fase 177 Mecanismos de transferência de calor Resumo Problemasexercíciosrespostas 18 PROPRIEDADES TÉRMICAS DA MATÉRIA 181 Equações de estado 182 Propriedades moleculares da matéria 183 Modelo cinéticomolecular de um gás ideal 184 Calor específico 185 Velocidades moleculares 186 Fases da matéria Resumo Problemasexercíciosrespostas 19 A PRIMEIRA LEI DA TERMODINÂMICA 191 Sistemas termodinâmicos 192 Trabalho realizado durante variações de volume 193 Caminhos entre estados termodinâmicos 194 Energia interna e a primeira lei da termodinâmica 195 Tipos de processos termodinâmicos 196 Energia interna de um gás ideal 197 Calor específico de um gás ideal 198 Processo adiabático de um gás ideal Resumo Problemasexercíciosrespostas 20 A SEGUNDA LEI DA TERMODINÂMICA 201 Sentido de um processo termodinâmico 202 Máquinas térmicas 203 Máquinas de combustão interna 204 Refrigeradores 205 Segunda lei da termodinâmica 206 O ciclo de Carnot 207 Entropia 208 Interpretação microscópica da entropia Resumo Problemasexercíciosrespostas FÍSICA IV ÓTICA E FÍSICA MODERNA 33 NATUREZA E PROPAGAÇÃO DA LUZ 331 Natureza da luz 332 Reflexão e refração 333 Reflexão interna total 334 Dispersão 335 Polarização 336 Espalhamento da luz 337 Princípio de Huygens Resumo Problemasexercíciosrespostas 34 ÓTICA GEOMÉTRICA E INSTRUMENTOS DE ÓTICA 341 Reflexão e refração em uma superfície plana 342 Reflexão em uma superfície esférica 343 Refração em uma superfície esférica 344 Lentes delgadas 345 Câmera 346 O olho 347 A lupa 348 Microscópios e telescópios Resumo Problemasexercíciosrespostas 35 INTERFERÊNCIA 351 Interferência e fontes coerentes 352 Interferência da luz produzida por duas fontes 353 Intensidade das figuras de interferência 354 Interferência em películas finas 355 O interferômetro de Michelson Resumo Problemasexercíciosrespostas 36 DIFRAÇÃO 361 Difração de Fresnel e difração de Fraunhofer 362 Difração produzida por uma fenda simples 363 Intensidade na difração produzida por uma fenda simples 364 Fendas múltiplas 365 A rede de difração 366 Difração de raios X 367 Orifícios circulares e poder de resolução 368 Holografia Resumo Problemasexercíciosrespostas BookSEARSVol3indb 8 101115 655 PM Sumário IX 37 RELATIVIDADE 371 Invariância das leis físicas 372 Relatividade da simultaneidade 373 Relatividade dos intervalos de tempo 374 Relatividade do comprimento 375 As transformações de Lorentz 376 O efeito Doppler para as ondas eletromagnéticas 377 Momento linear relativístico 378 Trabalho e energia na relatividade 379 Mecânica newtoniana e relatividade Resumo Problemasexercíciosrespostas 38 FÓTONS ONDAS DE LUZ SE COMPORTANDO COMO PARTÍCULAS 381 Luz absorvida como fótons o efeito foloelétrico 382 Luz emitida como fótons produção de raios X 383 Luz dispersa como fótons dispersão de Compton e produção de pares 384 Dualidade ondapartícula probabilidade e incerteza Resumo Problemasexercíciosrespostas 39 A NATUREZA ONDULATÓRIA DAS PARTÍCULAS 391 Ondas de elétrons 392 O átomo nuclear e espectros atômicos 393 Níveis de energia e o modelo do átomo de Bohr 394 O laser 395 Espectros contínuos 396 Revisão do princípio da incerteza Resumo Problemasexercíciosrespostas 40 MECÂNICA QUÂNTICA I FUNÇÕES DE ONDA 401 Funções de onda e a equação unidimensional de Schrödinger 402 Partícula em uma caixa 403 Poços de potencial 404 Barreira de potencial e efeito túnel 405 O oscilador harmônico 406 Medição na mecânica quântica Resumo Problemasexercíciosrespostas 41 MECÂNICA QUÂNTICA II ESTRUTURA ATÔMICA 411 A equação de Schrödinger em três dimensões 412 Partícula em uma caixa tridimensional 413 O átomo de hidrogênio 414 O efeito de Zeeman 415 Spin eletrônico 416 Átomos com muitos elétrons e o princípio de exclusão 417 Espectro de raios X 418 Entrelaçamento quântico Resumo Problemasexercíciosrespostas 42 MOLÉCULAS E MATÉRIA CONDENSADA 421 Tipos de ligações moleculares 422 Espectro molecular 423 Estrutura de um sólido 424 Bandas de energia 425 Modelo do elétron livre para um metal 426 Semicondutores 427 Dispositivos semicondutores 428 Supercondutividade Resumo Problemasexercíciosrespostas 43 FÍSICA NUCLEAR 431 Propriedades do núcleo 432 Ligação nuclear e estrutura nuclear 433 Estabilidade nuclear e radioatividade 434 Atividade e meiavida 435 Efeitos biológicos da radiação 436 Reações nucleares 437 Fissão nuclear 438 Fusão nuclear Resumo Problemasexercíciosrespostas 44 FÍSICA DAS PARTÍCULAS E COSMOLOGIA 441 Partículas fundamentais uma história 442 Aceleradores de partículas e detectores 443 Interações entre partículas 444 Quarks e o modelo com simetria de oito modos 445 O modelo padrão e os modelos futuros 446 O universo em expansão 447 O começo do tempo Resumo Problemasexercíciosrespostas APÊNDICES A O sistema internacional de unidades 443 B Relações matemáticas úteis 445 C Alfabeto grego 447 D Tabela periódica dos elementos 448 E Fatores de conversão das unidades 449 F Constantes numéricas 450 Respostas dos problemas ímpares 453 Créditos 459 Índice remissivo 461 Sobre os autores 469 BookSEARSVol3indb 9 101115 655 PM C fF a heci anf acipios f Desde a sua primeira edigao o livro Fisica tem sido reconhecido por sua énfase nos princfpios fundamentais e cdl heci va cl f em como aplicalos O texto é conhecido por sua narrativa clara e abrangente e por seu conjunto amplo profundo e ponderado de exemplos funcionais ferramentaschave para o desenvolvimento do conhecimento conceitual e das habilidades para a solucao de problemas A décima quarta edicao melhora as caracteristicas essenciais do texto enquanto acrescenta novos recursos infl a fisi f cual influenciados pela pesquisa académica em fisica Com foco no aprendizado visual novos tipos de problemas en hori 1 isi cabegam as melhorias elaboradas para criar o melhor recurso de aprendizagem para os alunos de fisica de hoje saan BESUARRARN SOMA VETORIAL PARA FORGAS COLIEARES 4 O FOCO NA SOLUGAO DE PROBLEMAS baseado em Duas cargas puntiformes esto localizadas no eixo x de um sis By Frens Bema 112 nN i 84 wN tema de coordenadas g 10 nC esté em x 20 em e go em vem j 30 nC estd em x 40 cm Qual é a forga elérica tol 28 ani pesquisa IDENTIFICAR PREPARAR EXECUTAR exercida por q1 q2 sobre uma carga q3 50 nC em x 0 ye AVALIAR para confetir note que médulo de go tts vezes AVALIAR utilizado em cada Exemplo Essa abor SOLUGAO maior que 0 médulo de g mas q2 esta duas vezes mais distante IDENTIFICAR E PREPARAR a Figura 2113a mostraasituagio 4 43 Pela Equagdo 212 isso significa que F em 3 deve ser dagem consistente aj uda os alunos a enfrentarem os 32 7 075 vez o valor de F Isso esté de acordo com Para obter a forga total sobre qa ineSgnita do problema deve 274 2h 2 Wy Tem a4 gNVUI2 nN 075 SSOS Tes SF om IF em 3 84 wl 2 UN 075 mes conta soma Yet is as Fras ees tango as ac oe dia ida problemas de modo ponderado em vez de partir di EXECUTAR a Figura 2113b é um diagrama do corpo livre para SM0 de Fy em 3 ou seja no sentido de x a carga qs que repelida por gy qe possti mesmo sinal Figura 2448 Nossa esquematizagao do problema reto para o calculo atraida por q que possui sinal oposto F en 3 est no sentido de xe Fy 3 esta no sentido de x Convertendo as unidades a Nosso diagrama da situagio temos a partir da Equagio 212 y lg350nC g10nC gy 30nC nt aas 5 x ton ae Doom 40cm 10 X 10 50 X 10C 90 X 10 NmC e020m b Diagrama do corpo livre para q 112 X 107N 112 uN y F ems Poems Da mesma forma possivel demonstrar que Fem 3 84 pN Ola Portanto sabemos que Fj em 3 112 wN e Fo em3 84 wN A forca elétrica liquida sobre q3 é dada por ESTRATEGIA PARA A SOLUCAO DE PROBLEMAS 231 DETERMINACAO DO POTENCIALELETRICO IDENTIFICAR os conceitos relevantes lembrese de que 0 po para calcular a diferenga de potencial entre dois pontos ae tencial elétrico a energia potencial por unidade de carga b Quando apropriado use sua liberdade de definir como PREEARRR pre olen pertetcoateemutn eet reset zero o potencial Vem algum ponto conveniente e escolha 1 Faca um desenho indicando claramente a localizagao das lesse locallcomoopontolb Eatacarzas puntiformer geal ecsent yan emteeaetn i ceeatenrent te pee mente esse ponto esté no infinito Para outros tipos de dis continua de cargas e a escolha dos eixos de coordenadas ribui ao de care as buncipalmenteaquelas quejee 2 Indique no desenho a posigao do ponto em que vocé deseja estendem até o infinito pode ser necessario definir V calcular o potencial elétrico V Algumas vezes essa posigio como zero a uma certa distancia finita da distribuigdo de x serd arbitrdria digamos um ponto a uma distancia r do cargas Ento 0 potencial em qualquer outro ponto diga ESTRATEGIAS PARA A SOLUCAO DE PROBLEMAS EAINDCOURNCA SHORTER mos 0 ponto a pode sercalculado a partir da Equagio 2317 EXECUTAR a solucao a tek ou a 2318 com V 0 Lae if x a solucdo da seguinte forma 3 Embora o potencial V seja uma grandeza lar pode ser fornecem aos alunos taticas especificas para a resoluao 1 Para encontrar o potencal produzido por um conjunto de Seven nearonconponcntesdosvetoneeE eo auano cargas puntiformes aplique a Equaco 2315 Quando o Oral Peat eae eT d e d etermin ad 0s tipos d e pro b le ma problema fornece uma distribuigdo continua de cargas des Ooo p p cubra um modo de dividila em elementos infinitesimaise AVALIAR sua resposta confira se 0 resultado obtido esté a seguir use a Equagao 2316 Faga a integral empregando dentro das expectativas Se o resultado fornecer V em fun os limites apropriados para incluir completamente a distri go da posigdo faga um griifico dessa fungdo para verificar buigdo de cargas se isso faz sentido Se o campo elétrico for conhecido vocé 2 Se o campo elétrico for conhecido ou se vocé for capaz de poder fazer um teste qualitativo do resultado de V veri calculilo usando os métodos do Capitulo 21 ou do 22 pode ficando se ele diminui quando vocé se desloca no mesmo ser mais ficil aplicar a Equagdo 2317 ou a Equacao 2318 sentido de E Problema em destaque Calculo do campo elétrico meio anel carregado F 5 A Figura 2134 apresenta a carga positiva Q distribuida unidesses segmentos Qual o valor da carga que um seg formemente em torno de um semicfrculo de raio a Encontre o mento possui i 2 médulo a diregdo e o sentido do campo elétrico resultante no 3 Considere um segmento infinitesimal em uma posigao an 2 ponto P o centro da curvatura do semicirculo gular no semicirculo medido a partir do canto direito i ferior do semicirculo onde x a y 0 Logo 72 7 inferior dosemisenloonde x 07 0 Logo 22 4 PROBLEMAS EM DESTAQUE que ajudam os alu GUIA DA SOLUGAO componentes x e y do campo elétrico em P dE dE noe IDENTIFICAR E PREPARAR produzidos apenas por esse segmento nos a passarem de exemplos resolvidos de um Unico E 1 As incégnitas da questdo sdo os componentes do campo Eyeey TAR i elétrico no ponto P ot 7 2 Divide o semietreulo em sezmentos infnitesimais cada 4 Ineste suas expresses para dF e dE ene Oe 0 a 3 conceito para problemas multiconceituais ao final um representando um segmento de arco circular curto que Os resales Serdo os componentes xe y do campo elétrico Posul moe Sngulo d Qual Co comprimente dem Tress ress dep pra encontrar ml do capitulo foram revisados com base no feed Figura 2134 Carga distribuida uniformemente diregio e o sentido do campo elétrico no ponto P Femtomo de um semicirelo AVALIAR back dos revisores garantindo que sejam eficazes e y 6 Seu resultado para o médulo do campo elétrico esté ex un e bresso nas uidades conta estejam no nivel de dificuldade apropriado 2 7 Explique como vocé poderia encontrar 0 componente x do campo elétrico usando um argumento de simetria i 8 Qual seria o campo elétrico no ponto P caso o semicirculo x passasse a ser um cfrculo completo cujo centro se localiza P no ponto P HA DE MAIS NOVO EM PESQUISA ACADEMICA PEDAGOGIA INSPIRADA POR DADOS E PESQUISA 4 NOTAS DADOS MOSTRAM alertam os alunos para Os erros estatisticamente DADOS MOSTRAM mais comuns cometidos na solugao de problemas de determinado tdpico Forca elétrica e campo elétrico Quando os alunos recebiam um problema sobre forga elétrica e campo elétrico mais Médulo docampo Componente de E de 28 davam uma resposta Reed iB jw perpendicular a superficie incorreta Erros comuns Sd ace ico om o é a Fsqucer qe oeampo wae em Boosda ida Bad 2s el tucode atuando sobre Angulo entre Ee a Blemento dat Elemento vetorial da uma carga puntiforme nao normal a superficie area da superficie drea da superficie depende dessa carga puntiforme O valor de E depende das cargas que 0 produzem e nao da carga que sofre seus efeitos A Todas as EQUAGOES PRINCIPAIS AGORA ESTAO COMENTADAS para Esquecer que E é um vetor ajudar os alunos a fazer uma ligacao entre entendimento conceitual e ma Quando 0 campo EF em um Lee ys ponto P resulta de duas ou tematico da fisica mais cargas puntiformes E é a soma vetorial dos campos produzidos pelas cargas individuais De modo geral esse valor é diferente da soma eee reams 2471 DADOS Vocé est realizando experiéncias com PROBLEMAS DE DADOS um capacitor plano de placas paralelas com ar entre as placas aparecem em cada capi Vocé conecta o capacitor a uma bateria com tensao elétrica igual tulo Esses problemas de a 240 V Inicialmente a distancia d entre as placas é igual a Loe 00500 cm Em uma das experiéncias vocé deixa a distancia raciocinio baseados em entre as placas aumentar com a bateria conectada e mede a ener dados muitos deles ricos gia elétrica armazenada entre as placas para cada um dos valores em contexto exigem que de d Em uma outra experiéncia vocé desconecta a bateria antes yA de iniciar o aumento da distancia entre as placas Um conjunto de os alunos usem evidéncia dados obtidos é indicado na Figura P2471 na qual vocé plotou experimental apresen a eneroia acumulada em fungao de 1d a Para qual das duas tada no formato de tabela sees conjunto de dados se aplica para a primeira or Problemas com contexto la conectada ou para a segunda com a bateria des ou grafico para formular BIO O 6vulo elétrico Apds a fecundagio os évulos de muitas ES das variagGes de d Explique b Use os dados conclusoes espécies passam por uma répida mudanga na diferenca de po 18ura P2471 para calcular a area A de cada placa tencial através de sua membrana externa Essa alteracéio afetao C480 bateria conectada ou desconectada 0 capa desenvolvimento fisiolégico dos évulos A diferenca de potencial 4 Mais energia quando d 0400 cm Explique através da membrana é denominada potencial de membrana Vp F que é o potencial dentro da membrana menos o potencial fora dela O potencial de membrana surge quando as enzimas usam a energia disponivel em ATP para expelir ativamente trés fons de s6dio Na e acumular dois fons de potdssio K no interior da membrana tornando o interior menos positivamente carregado que o exterior Para um évulo de um ouricodomar Vn é cerca Cada capitulo inclui de trés a cinco PROBLEMAS COM CON de 70 mY ou seja 0 potencial no interior 70 mV menor que TEXTO que seguem o formato usado nos testes de medicina no exterior A membrana do 6vulo comportase como um capa MCAT Esses problemas exigem que os alunos investiguem diver citor com uma capacitancia aproximadamente igual a 1 wFcem on A membrana do évulo nio fertilizado é seletivamente permedvel sos aspectos de uma situagao fisica da vida real normalmente bio ldgica por natureza conforme descrito em um texto inicial PREFACIO Para o professor Este livro é 0 resultado de seis décadas e meia de lideranga e inovagao no ensino da ffsica A primeira ediao do livro Fisica de Francis W Sears e Mark W Zemansky publicada em 1949 foi revolucionaria dentre os livrostexto baseados em calculo por dar énfase aos principios da fisica e suas aplicagdes O éxito alcangado por esta obra para 0 uso de diversas geragoes de alunos e professores em varias partes do mundo atesta os méritos desse método e das muitas inovacg6es introduzidas posteriormente Tornouse famoso pela clareza das apli cages e pela solugao de exemplos e problemas fundamentais para a compreensao da matéria Ao preparar esta décima quarta ediao incrementamos e desenvolvemos 0 livro de modo a incorporar as melhores ideias extraidas de pesquisas académicas com ensino aprimorado de solugao de problemas pedagogia visual e conceitual pioneira e novas categorias de problemas de final de capitulo além de melhorar as explicag6es de novas aplicagées da Fisica oriundas das pesquisas cientificas recentes Novidades desta edigao Todas as equacoes principais agora incluem anotacGes que descrevem a equacao e explicam os significados dos sfmbolos Essas anotagdes ajudam a promover 0 pro cessamento detalhado da informagao e melhoram a assimilagao do contetido Notas de DADOS MOSTRAM em cada capitulo com base em dados capturados de milhares de alunos advertem sobre os erros mais comuns cometidos ao resolver problemas Contetdo atualizado da fisica moderna inclui segdes sobre medico quantica Ca pitulo 40 e entrelagamento quantico Capitulo 41 bem como dados recentes sobre 0 boson de Higgs e radiaga4o basica césmica Capitulo 44 e Aplicacédes adicionais da biociéncia aparecem por todo o texto principalmente na forma de fotos com legendas explicativas para ajudar os alunos a ver como a fisica esta conectada a muitos avancos e descobertas nas biociéncias O texto foi simplificado com uma linguagem mais concisa e mais focada Revendo conceitos de relaciona os conceitos passados essenciais no inicio de cada capitulo para que os alunos saibam o que precisam ter dominado antes que se aprofundem no capitulo atual Principais recursos de Fisica Problemas em destaque ao final dos capitulos muitos deles revisados oferecem uma transigdo entre os Exemplos de Unico conceito e os problemas mais desafiado res do final do capitulo Cada Problema em Destaque impde um problema dificil multiconceitual que normalmente incorpora a fisica dos capitulos anteriores Um Guia da Solugao de modelo consistindo em perguntas e dicas ajuda a treinar os alunos para enfrentar e resolver problemas desafiadores com confianga Grupos de problemas profundos e extensos abordam uma vasta gama de dificul dade com pontos azuis para indicar o nivel de dificuldade relativo e exercitam tanto a compreensao da fisica quanto a habilidade para a solucao de problemas Muitos problemas sao baseados em situagdes complexas da vida real Este livro contém mais Exemplos e Exemplos Conceituais que a maioria dos outros principais livros baseados em calculo permitindo que os alunos explorem desafios para a solucao de problemas que nao sao tratados em outros livrostexto Prefacio XIII Uma abordagem para a solucado de problemas Identificar Preparar Executar e Avaliar é usada em cada Exemplo bem como nas Estratégias para a Solucao de Pro blemas e nos Problemas em Destaque Essa abordagem consistente ajuda os alunos a saber como enfrentar uma situagéo aparentemente complexa de modo ponderado em vez de partir direto para 0 calculo Estratégias para a Solucao de Problemas ensinam os alunos a tratar de tipos especi ficos de problemas e As figuras utilizam um estilo grafico simplificado com foco na fisica de uma situa cdo e incorporam mais anotacoées explicativas que na edicAo anterior As duas técni cas tém demonstrado um forte efeito positivo sobre 0 aprendizado Os populares paragrafos de Atencgao focalizam as principais ideias erradas e as areas problematicas do aluno e As perguntas de Teste sua compreensao ao final da secdo permitem que os alunos verifiquem se entenderam o material usando um formato de exercicio de multipla es colha ou de ordenacao para descobrir problemas conceituais comuns e Resumos visuais ao final de cada capitulo apresentam as principais ideias em pala vras equacgOes e imagens em miniatura ajudando os alunos a revisarem de forma mais eficiente Para o aluno Como aprender fisica para valer Mark Hollabaugh Normandale Community College Professor Emérito A fisica abrange 0 pequeno e 0 grande o velho e 0 novo Dos atomos até as galaxias dos circuitos elétricos até a aerodinamica a fisica é parte integrante do mundo que nos cerca Vocé provavelmente esta fazendo este curso de fisica baseada em calculo como prérequisito para cursos subsequentes que fara para se preparar para uma carreira de ciéncias ou engenha ria Seu professor deseja que vocé aprenda fisica e que goste da experiéncia Ele esta muito interessado em ajudalo a aprender essa fascinante matéria Essa é uma das raz6es para ter escolhido este livrotexto para o seu curso Também foi por isso que os doutores Young e Fre edman me pediram para escrever esta secao introdutéria Desejamos seu sucesso O objetivo desta secao é fornecer algumas ideias que possam auxilialo durante a aprendi zagem Apos uma breve abordagem sobre habitos e estratégias gerais de estudo serao apresen tadas sugest6es especificas sobre como usar 0 livrotexto Preparacao para este curso Caso esteja adiantado em seus estudos de fisica vocé aprendera mais rapidamente alguns conceitos por estar familiarizado com a linguagem dessa matéria Da mesma forma seus estudos de matematica facilitarao sua assimilacao dos aspectos matematicos da fisica Seu professor podera indicar alguns topicos de matematica que serao Uteis neste curso Aprendendo a aprender Cada um de nos possui um estilo proprio e um método preferido de aprendizagem Compre ender seu estilo de aprender ajudara a focar nos aspectos da fisica que podem ser mais dificeis e a usar Os componentes do seu curso que o ajudarao a superar as dificuldades Obviamente vocé preferira dedicar mais tempo estudando os assuntos mais complicados Se vocé aprende mais ouvindo assistir 4s aulas e conferéncias sera muito importante Se aprende mais explicando o trabalho em equipe vai lhe ser util Se a sua dificuldade esta na solugao de problemas gaste uma parte maior do seu tempo aprendendo a resolver problemas Também é fundamental desenvolver bons habitos de estudo Talvez a coisa mais importante que vocé possa fazer por si mesmo seja estabelecer uma rotina de estudos em horarios regulares e em um ambiente livre de distrag6es XIV Fisica Ill Responda para si mesmo as seguintes perguntas e Estou apto a usar os conceitos matematicos fundamentais da algebra da geometria e da trigonometria Em caso negativo faga um programa de revisaéo com a ajuda de seu professor e Em cursos semelhantes qual foi a atividade na qual tive mais dificuldade Dedique mais tempo a isso Qual foi a atividade mais facil para mim Executea primeiro isso lhe dara mais confianga e Euentendo melhor a matéria se leio o livro antes ou depois da aula Pode ser que vocé aprenda melhor fazendo uma leitura superficial da matéria assistindo a aula e depois relendo com mais atencAo e Eu dedico tempo adequado aos meus estudos de fisica Uma regra pratica para um curso deste tipo dedicar em média 2h30 de estudos para cada hora de aula Para uma semana com 5 horas de aula devese dedicar cerca de 10 a 15 horas por semana estudando fisica e Devo estudar fisica todos os dias Distribua as 10 ou 15 horas de estudos durante a semana Em que parte do dia meus estudos sao mais eficientes Escolha um periodo especifico do dia e atenhase a ele e Euestudo em um ambiente silencioso que favorece minha concentra4o As distragdes podem quebrar sua rotina de estudos e atrapalhar a assimilagdo de pontos importantes Trabalho em grupo Cientistas e engenheiros raramente trabalham sozinhos e preferem cooperar entre si Vocé aprendera melhor e com mais prazer estudando fisica com outros colegas Alguns professores aplicam métodos formais de aprendizagem cooperativa ou incentivam a formagao de grupos de estudo Vocé pode por exemplo formar seu proprio grupo de estudos com os colegas de sala de aula Use email para se comunicar com outros colegas Seu grupo de estudos sera um excelente recurso quando estiver fazendo revisOes para os exames Aulas e anotagoes Um componente importante de seu curso sao as aulas e conferéncias Na fisica isso espe cialmente importante porque seu professor geralmente faz demonstragoes de principios fisi cos executa simulagdes em computador ou exibe videos Todos esses recursos ajudam vocé a entender os principios fundamentais da fisica Nao falte a nenhuma aula e caso por algum motivo isso seja inevitavel pega a algum colega do seu grupo de estudos suas anotag6es e explique o que aconteceu Faga anotacgdes das aulas sob a forma de tédpicos e deixe para completar os detalhes do contetido mais tarde E dificil anotar palavra por palavra portanto anote apenas as ideias basicas O professor pode usar um diagrama contido no livro Deixe um espago em suas notas para inserir 0 diagrama depois Apos as aulas revise suas anotag6es preenchendo as lacunas e anotando os pontos que devem ser mais desenvolvidos posteriormente Anote as referéncias de paginas equag6es ou secoes do livro Faga perguntas em classe ou procure o professor depois da aula Lembrese de que a tinica pergunta tola é aquela que nao foi feita Sua instituigdo podera ter assistentes de ensino ou outros profissionais disponiveis para ajudalo com alguma dificuldade Exames Fazer uma prova gera um elevado nivel de estresse Contudo estar bem preparado e des cansado alivia a tensao Prepararse para uma prova é um processo continuo ele comega assim que a Ultima prova termina Imediatamente depois de uma prova vocé deve rever cuidadosa mente os eventuais erros cometidos Se tiver resolvido um problema e cometido erros proceda do seguinte modo divida uma folha de papel em duas colunas Em uma delas escreva a solu ao correta do problema Na outra coloque sua solucao e se souber onde foi que errou Caso nao consiga identificar 0 erro com certeza ou nao souber como evitar cometélo novamente Prefácio XV consulte seu professor A física se constrói a partir de princípios básicos e é necessário corrigir imediatamente qualquer interpretação incorreta Atenção embora você possa passar em um exame deixando para estudar na última hora não conseguirá reter adequadamente os concei tos necessários para serem usados na próxima prova AGRADECIMENTOS Desejamos agradecer às centenas de revisores e colegas que ofereceram valiosos comentá rios e sugestões para este livro O sucesso duradouro de Física devese em grande medida às suas contribuições Miah Adel U of Arkansas at Pine Bluff Edward Adelson Ohio State U Julie Alexander Camosun C Ralph Alexander U of Missouri at Rolla J G Anderson R S Anderson Wayne Anderson Sacramento City C Sanjeev Arora Fort Valley State U Alex Azima Lansing Comm C Dilip Balamore Nassau Comm C Harold Bale U of North Dakota Arun Bansil Northeastern U John Barach Vanderbilt U J D Barnett H H Barschall Albert Bartlett U of Colorado Marshall Bartlett Hollins U Paul Baum CUNY Queens C Frederick Becchetti U of Michigan B Bederson David Bennum U of Nevada Reno Lev I Berger San Diego State U Angela Biselli Fairfield U Robert Boeke William Rainey Harper C Bram Boroson Clayton State U S Borowitz A C Braden James Brooks Boston U Nicholas E Brown California Polytechnic State U San Luis Obispo Tony Buffa Cali fornia Polytechnic State U San Luis Obispo Shane Burns Colorado C A Capecelatro Michael Cardamone Pennsylvania State U Duane Carmony Purdue U Troy Carter UCLA P Catranides John Cerne SUNY at Buffalo Shinil Cho La Roche C Tim Chupp U of Michigan Roger Clapp U of South Florida William M Cloud Eastern Illinois U Leonard Cohen Drexel U W R Coker U of Texas Austin Malcolm D Cole U of Mis souri at Rolla H Conrad David Cook Lawrence U Gayl Cook U of Colorado Hans Courant U of Minnesota Carl Covatto Arizona State U Bruce A Craver U of Dayton Larry Curtis U of Toledo Jai Dahiya Southeast Missouri State U Dedra Demaree Geor getown U Steve Detweiler U of Florida George Dixon Oklahoma State U Steve Drasco Grinnell C Donald S Duncan Boyd Edwards West Virginia U Robert Eisenstein Carne gie Mellon U Amy Emerson Missourn Virginia Institute of Technology Olena Erhardt Richland C William Faissler Northeastern U Gregory Falabella Wagner C William Fasnacht US Naval Academy Paul Feldker St Louis Comm C Carlos Figueroa Cabrillo C L H Fisher Neil Fletcher Florida State U Allen Flora Hood C Robert Folk Peter Fong Emory U A Lewis Ford Texas AM U D Frantszog James R Gaines Ohio State U Solomon Gartenhaus Purdue U Ron Gautreau New Jersey Institute of Technology J David Gavenda U of Texas Austin Dennis Gay U of North Florida Elizabeth George Wittenberg U James Gerhart U of Washington N S Gingrich J L Glathart S Goodwin Rich Gottfried Frederick Comm C Walter S Gray U of Michigan Paul Gresser U of Maryland Benjamin Grinstein UC San Diego Howard Grotch Pennsylvania State U John Gruber San Jose State U Graham D Gutsche US Naval Academy Michael J Harrison Michigan State U Harold Hart Western Illinois U Howard Hayden U of Connecticut Carl Helrich Goshen C Andrew Hirsch Purdue U Linda Hirst UC Merced Laurent Hodges Iowa State U C D Hodgman Elizabeth Holden U of Wisconsin Platteville Mi chael Hones Villanova U Keith Honey West Virginia Institute of Technology Gregory Hood Tidewater Comm C John Hubisz North Carolina State U Eric Hudson Pennsylva nia State U M Iona Bob Jacobsen UC Berkeley John Jaszczak Michigan Technical U Alvin Jenkins North Carolina State U Charles Johnson South Georgia State C Robert P Johnson UC Santa Cruz Lorella Jones U of Illinois Manoj Kaplinghat UC Irvine John Karchek GMI Engineering Management Institute Thomas Keil Worcester Polytechnic Institute Robert Kraemer Carnegie Mellon U Jean P Krisch U of Michigan Robert A Kromhout Andrew Kunz Marquette U Charles Lane Berry C Stewart Langton U of Victoria Thomas N Lawrence Texas State U Robert J Lee Alfred Leitner Rensselaer Polytechnic U Frederic Liebrand Walla Walla U Gerald P Lietz DePaul U Gordon Lind Utah State U S Livingston U of Wisconsin Milwaukee Jorge Lopez U of Texas El Paso BookSEARSVol3indb 15 101115 656 PM XVI Física III Elihu Lubkin U of Wisconsin Milwaukee Robert Luke Boise State U David Lynch Iowa State U Michael Lysak San Bernardino Valley C Jeffrey Mallow Loyola U Robert Mania Kentucky State U Robert Marchina U of Memphis David Markowitz U of Connecticut Philip Matheson Utah Valley U R J Maurer Oren Maxwell Florida International U Jo seph L McCauley U of Houston T K McCubbin Jr Pennsylvania State U Charles Mc Farland U of Missouri at Rolla James Mcguire Tulane U Lawrence McIntyre U of Arizona Fredric Messing Carnegie Mellon U Thomas Meyer Texas AM U Andre Mi rabelli St Peters C New Jersey Herbert Muether SUNY Stony Brook Jack Munsee Ca lifornia State U Long Beach Lorenzo Narducci Drexel U Van E Neie Purdue U Forrest Newman Sacramento City C David A Nordling US Naval Academy Benedict Oh Pen nsylvania State U L O Olsen Michael Ottinger Missouri Western State U Russell Palma Minnesota State U Mankato Jim Pannell DeVry Institute of Technology Neeti Parashar Purdue U Calumet W F Parks U of Missouri Robert Paulson California State U Chico Jerry Peacher U of Missouri at Rolla Arnold Perlmutter U of Miami Lennart Peterson U of Florida R J Peterson U of Colorado Boulder R Pinkston Ronald Poling U of Minne sota Yuri Popov U of Michigan J G Potter C W Price Millersville U Francis Prosser U of Kansas Shelden H Radin Roberto Ramos Drexel U Michael Rapport Anne Arundel Comm C R Resnick James A Richards Jr John S Risley North Carolina State U Fran cesc Roig UC Santa Barbara T L Rokoske Richard Roth Eastern Michigan U Carl Rot ter U of West Virginia S Clark Rowland Andrews U Rajarshi Roy Georgia Institute of Technology Russell A Roy Santa Fe Comm C Desi Saludes Hillsborough Comm C Thomas Sandin North Carolina AT State U Dhiraj Sardar U of Texas San Antonio Tumer Sayman Eastern Michigan U Bruce Schumm UC Santa Cruz Melvin Schwartz St Johns U F A Scott L W Seagondollar Paul Shand U of Northern Iowa Stan Shepherd Pennsylvania State U Douglas Sherman San Jose State U Bruce Sherwood Carnegie Mellon U Hugh Siefkin Greenville C Christopher Sirola U of Southern Mississippi To masz Skwarnicki Syracuse U C P Slichter Jason Slinker U of Texas Dallas Charles W Smith U of Maine Orono Malcolm Smith U of Lowell Ross Spencer Brigham Young U Julien Sprott U of Wisconsin Victor Stanionis Iona C James Stith American Institute of Physics Chuck Stone North Carolina AT State U Edward Strother Florida Institute of Technology Conley Stutz Bradley U Albert Stwertka US Merchant Marine Academy Kenneth SzparaDeNisco Harrisburg Area Comm C Devki Talwar Indiana U of Pennsyl vania Fiorella Terenzi Florida International U Martin Tiersten CUNY City C David Toot Alfred U Greg Trayling Rochester Institute of Technology Somdev Tyagi Drexel U Matthew Vannette Saginaw Valley State U Eswara Venugopal U of Detroit Mercy F Verbrugge Helmut Vogel Carnegie Mellon U Aaron Warren Purdue U North Central Ro bert Webb Texas AM U Thomas Weber Iowa State U M Russell Wehr Pennsylvania State U Robert Weidman Michigan Technical U Dan Whalen UC San Diego Lester V Whitney Thomas Wiggins Pennsylvania State U Robyn Wilde Oregon Institute of Techno logy David Willey U of Pittsburgh Johnstown George Williams U of Utah John Williams Auburn U Stanley Williams Iowa State U Jack Willis Suzanne Willis Northern Illinois U Robert Wilson San Bernardino Valley C L Wolfenstein James Wood Palm Beach Ju nior C Lowell Wood U of Houston R E Worley D H Ziebell Manatee Comm C George O Zimmerman Boston U Além disso gostaria de agradecer aos meus colegas do passado e do presente da UCSB in cluindo Rob Geller Carl Gwinn Al Nash Elisabeth Nicol e Francesc Roig pelo dedicado apoio e pelas valiosas discussões Expresso minha gratidão especial aos meus primeiros professores Willa Ramsay Peter Zimmerman William Little Alan Schwettman e Dirk Walecka por me mostrarem como é claro e envolvente o ensino da física e a Stuart Johnson por me convidar a participar deste projeto como coautor deste livro a partir da nona edição Meus especiais agradecimentos a Lewis Ford por criar diversos novos problemas para esta edição incluindo a nova categoria de problemas DADOS a Wayne Anderson que revisou cuidadosamente todos os problemas e os resolveu com Forrest Newman e Michael Ottinger e a Elizabeth George que forneceu a maior parte da nova categoria de Problemas com Contexto Agradeço em particular a Tom Sandin por suas diversas contribuições para os problemas de final de capítulo incluindo a verificação cuidadosa de todos eles e a escrita de outros novos Também tiro meu chapéu e BookSEARSVol3indb 16 101115 656 PM Prefácio XVII dou as boasvindas a Linda Hirst por colaborar com uma série de ideias que se tornaram novos recursos de Aplicação nesta edição Quero expressar meu agradecimento especial à equipe edi torial da Pearson norteamericana a Nancy Whilton pela visão editorial a Karen Karlin por sua leitura atenta e cuidadoso desenvolvimento desta edição a Charles Hibbard pela cuidadosa leitura das provas e a Beth Collins Katie Conley Sarah Kaubisch Eric Schrader e Cindy John son por manter a produção editorial fluindo Acima de tudo desejo expressar minha gratidão e meu amor à minha esposa Caroline a quem dedico minhas contribuições a este livro Alô Caroline a nova edição finalmente saiu vamos comemorar Digame o que você pensa Gosto de receber notícias de alunos e professores especialmente com relação a erros ou defeitos que vocês encontrarem nesta edição O falecido Hugh Young e eu dedicamos muito tempo e esforço para escrever o melhor livro que soubemos escrever e espero que ele o ajude à medida que você ensina e aprende física Por sua vez você pode me ajudar avisando sobre o que ainda precisa ser melhorado Por favor fique à vontade para entrar em contato eletronicamente ou pelo correio comum Seus comentários serão muito bem recebidos Agosto de 2014 Roger A Freedman Department of Physics University of California Santa Barbara Santa Barbara CA 931069530 airboyphysicsucsbedu httpwwwphysicsucsbeduairboy Twitter RogerFreedman Esse material é de uso exclusivo para professores e está protegi do por senha Para ter acesso a ele os professores que adotam o livro devem entrar em contato com seu representante Pearson ou enviar email para ensinosuperiorpearsoncom Site de apoio do livro Na Sala Virtual deste livro svpearsoncombr professores e estudantes podem acessar os seguintes materiais adicionais a qualquer momento Para professores Apresentações em PowerPoint Manual de soluções Exercícios adicionais em inglês Para estudantes Exercícios adicionais BookSEARSVol3indb 17 101115 656 PM BookSEARSVol3indb 18 101115 656 PM A água torna a vida possí vel as células do seu corpo não funcionariam sem água na qual dissolver as moléculas bio lógicas essenciais A água é um solvente tão eficiente porque suas moléculas i apresentam carga líquida igual a zero ii apresentam carga líquida igual a zero mas as cargas positivas e negativas estão separadas iii apresentam carga líquida diferente de zero iv não res pondem a forças elétricas v exercem forças elétricas de repulsão umas sobre as outras OBJETIVOS DE APRENDIZAGEM Ao estudar este capítulo você aprenderá 211 A natureza da carga elétrica e como sabemos que ela é conservada 212 Como os objetos se tornam eletricamente carregados 213 Como usar a lei de Coulomb para calcular a força elétrica existente entre as cargas 214 A distinção entre força elétrica e campo elétrico 215 Como calcular o campo elétrico em função de um conjunto de cargas 216 Como usar o conceito de linhas de campo elétrico para visualizar e interpretar os campos elétricos 217 Como calcular as propriedades dos dipolos elétricos Revendo conceitos de 1711 0 Álgebra vetorial incluindo o produto escalar e o produto vetorial 43 A segunda lei de Newton 75 Equilíbrio estável e instável 125 Linhas de corrente no escoamento de fluidos 21 CARGA ELÉTRICA E CAMPO ELÉTRICO N o Capítulo 5 mencionamos os quatro tipos de forças fundamentais Até aqui a única dessas forças que examinamos em detalhes foi a gravidade Agora estamos preparados para analisar a força decorrente do eletromag netismo que envolve tanto a eletricidade quanto o magnetismo As interações eletromagnéticas envolvem partículas que possuem carga elétrica um atributo que é tão fundamental quanto a massa Assim como os objetos com massa são acelerados por forças gravitacionais os objetos eletricamente carregados são acelerados por forças elétricas A descarga elétrica que você sente quando ar rasta os sapatos ao caminhar em um tapete e depois segura uma maçaneta metálica é causada por partículas carregadas que passam entre seus dedos e a maçaneta As correntes elétricas são simplesmente correntes de partículas carregadas dentro de fios em resposta a forças elétricas Até mesmo as forças que mantêm os átomos ligados entre si para formar a matéria sólida e que impedem que os átomos de um objeto sólido passem uns através dos outros são fundamentalmente decorrentes das interações elétricas entre as partículas carregadas dentro dos átomos Iniciaremos nosso estudo do eletromagnetismo neste capítulo examinando a natureza da carga elétrica Vamos descobrir que a carga é quantizada e obedece a um princípio de conservação Quando as cargas estão em repouso em nosso quadro de referência exercem forças eletrostáticas entre si Estas forças são extremamente importantes em química e biologia e possuem diversas aplicações tecnológicas Forças eletrostáticas são regidas por uma relação simples conhecida como Lei de Coulomb e são mais convenientemente descritas utilizando o conceito de campo elétrico Nos capítulos seguintes vamos ampliar nossa discussão para incluir cargas elétricas em movimento Isso irá nos conduzir à compreensão do magnetismo e notavelmente da natureza da luz Enquanto as ideiaschave do eletromagnetismo são conceitualmente simples aplicálas a problemas práticos irá exigir o uso de muitas das suas habilidades BookSEARSVol3indb 1 101115 656 PM 2 Física III matemáticas especialmente seus conhecimentos de geometria e cálculo integral Por este motivo você pode achar que este capítulo e os próximos são mais mate maticamente exigentes que os capítulos anteriores A recompensa por seu esforço adicional será um entendimento mais aprofundado dos princípios essenciais da física moderna e da tecnologia 211 CARGA ELÉTRICA Na Grécia antiga em torno de 600 aC descobriuse que após friccionar lã em um pedaço de âmbar este passava a atrair outros objetos Hoje dizemos que o âmbar adquiriu uma carga elétrica líquida ou se tornou carregado O termo elétrico tem origem na palavra grega elektron que significa âmbar Ao arrastar os sapatos por um tapete de náilon você se torna eletricamente carregado e pode carregar um pente passandoo pelo cabelo seco Hastes de plástico e peles de animais ou artificiais são especialmente boas para demonstrar as características eletrostáticas interações entre cargas elétricas que estão em repouso ou praticamente em repouso Depois de carregar ambas as hastes de plástico na Figura 211a friccionandoas com a pele vemos que as hastes se repelem Quando friccionamos hastes de vidro com um pedaço de seda as hastes de vi dro também se tornam carregadas e se repelem Figura 211b Porém uma haste de plástico carregada atrai uma haste de vidro carregada além disso a haste de plástico e a pele se atraem e a haste de vidro e a seda se atraem Figura 211c Esses experimentos e muitos outros semelhantes mostraram que existem exata mente dois tipos de carga elétrica o tipo de carga elétrica acumulada na haste de plástico friccionada com a pele e o tipo acumulado na haste de vidro friccionada com a seda Benjamin Franklin 17061790 sugeriu chamar de carga positiva e negativa respectivamente esses dois tipos de carga e esses nomes ainda são uti lizados A haste de plástico e a seda possuem cargas negativas a haste de vidro e a pele possuem cargas positivas Duas cargas positivas ou duas cargas negativas se repelem Uma carga po sitiva e uma carga negativa se atraem Figura 211 Experimentos de eletrostática a Objetos com carga negativa se repelem b Objetos com carga positiva se repelem c Objetos com carga positiva e objetos com carga negativa se atraem Plástico Pele a Interação entre duas hastes de plástico depois de friccionadas com pele mas depois de friccionadas com a pele as hastes se repelem Hastes de plástico nem se atraem nem se repelem Seda Vidro b Interação entre duas hastes de vidro depois de friccionadas com a seda mas depois de friccionadas com seda as hastes se repelem Hastes de vidro nem se atraem nem se repelem c Interação entre objetos com cargas opostas e a pele e a seda atraem a haste que foi friccionada com cada uma A haste de plástico friccionada com a pele e a haste de vidro friccionada com a seda se atraem BookSEARSVol3indb 2 101115 656 PM Capitulo 21 Carga elétricae campo elétrico 3 ATENGAO Atracio e repulsao elétrica A atracdo e repulsdo entre dois objetos carrega dos as vezes é resumida como cargas semelhantes se repelem e cargas opostas se atraem Contudo cargas semelhantes nao significa que as duas cargas so idénticas apenas que ambas as cargas possuem 0 mesmo sinal algébrico ambas positivas ou ambas negativas Cargas opostas significa que os dois objetos possuem uma carga elétrica e que essas cargas possuem sinais algébricos opostos uma positiva e outra negativa Uma impressora a laser Figura 212 utiliza as forcas entre corpos carregados O tambor fotossensivel de imagem da impressora recebe uma carga positiva A me dida que o tambor gira um raio laser atinge areas selecionadas do tambor deixando essas areas com uma carga negativa Particulas de toner carregadas positivamente aderem apenas as areas do tambor escritas a laser Quando uma folha de papel entra em contato com o tambor as particulas de toner aderem ao papel e formam uma imagem Figura 212 Esquematizaca4o da operagdo de uma impressora a laser O raio laser escreve sobre o tambor deixando dreas com carga negativa onde a imagem sera impressa LEN se en a Toner com carga positiva Um fio espalha fons sobre o tambor carregandoo positivamente 7 fF 7 4 lin Hy Uma Hampac descarrega 0 cilindro Frey GB Um rolo aplica 0 toner com carga positiva preparanco0 para Teiniciar 0 Processo a Tambor de no cilindro O toner adere somente as areas imagem rotativo f com carga negativa do cilindro escrito pelo laser 6 Rolos de fuso aquecem o papel para a f que a fixacao do toner seja permanente 4 vg 4 A C At eS Papel alimentagao para a esquerda O BB os 4 Fios espalham uma carga negativa mais forte sobre 0 papel para fixagao do toner Carga elétrica e a estrutura da matéria Figura 213 A estrutura de um atomo O atomo aqui descrito é litio Ao ser carregada pela fricgao com pele animal ou seda como na Figura 211 veja a Figura 214a uma haste nao apresenta alteragOes visiveis na aparéncia Entao o que realmente acontece com a haste quando ela se torna carregada Para responder a essa per Atomo gunta é preciso analisar atentamente a estrutura dos atomos os blocos de constru a Anmaior cdo da matéria comum ae do 4 4 aA volume do A estrutura dos atomos pode ser descrita em termos de trés particulas o elétron 0m gtomo é que possui carga negativa o proton que possui carga positiva e o néutron que G esparsamente at A te ocupada por nao possui carga elétrica Figura 213 Protons e o néutrons sao constituidos por cketrons P particulas denominadas quarks que possuem cargas elétricas correspondentes 1 2 4 a 3 e 3 da carga do elétron Quarks isolados nunca foram observados e ha Mintisculo em raz6es teéricas para acreditar que em princfpio seria impossivel observar um comparagad ao P que Pp plo Pp Nucleo restante do 4tomo quark isolado o ntcleo contém mais Os protons e néutrons no interior de um a4tomo constituem um centro pequeno Ke 999 da massa 105 m do atomo e muito denso chamado niicleo com dimensoes da ordem de 10 S m Ao redor do nticleo estao os elétrons estendendose a distancias da ordem de 10 m do cs Préton Carga positiva nticleo Se um atomo tivesse um diémetro de alguns quilémetros seu nticleo teria Massa 1673 X 1077 kg o tamanho de uma bola de ténis Os elétrons negativamente carregados sao manti Néutron Sem carga dos no interior do atomo por forgas elétricas de atragdo exercidas sobre eles pelo Massa 1675 X 1077 kg nucleo positivamente carregado Os protons e néutrons sao mantidos no interior pyétron Carga negativa dos nticleos atémicos estaveis em virtude de uma interagao de atragao chamada Massa 9109 X 1073 kg orca nuclear que supera a repulsao elétrica entre os prétons A forga nuclear 4 forg 4 P P Pp As cargas dos elétrons e dos possui curto alcance e seus efeitos nao se estendem para muito além do nticleo protons possuem o mesmo médulo 4 Fisica lll As massas das particulas individuais com a precisao atualmente conhecida sao dadas por Massa do elétron m 910938291 40 X 103 kg Massa do proton m 167262177774 X 10 kg Massa do néutron my 167492735174 X 1027 kg Os numeros entre parénteses indicam a incerteza nos dois tltimos digitos Note que as massas do proton e do néutron sao praticamente iguais e cerca de 2000 vezes maiores que a massa do elétron Mais de 999 da massa de qualquer dtomo esta concentrada em seu nticleo O méddulo da carga elétrica negativa do elétron exatamente igual dentro do erro experimental ao da carga elétrica positiva do préton Em um atomo neutro o numero de elétrons é igual ao nimero de prétons existentes no nucleo do atomo e a carga elétrica total a soma algébrica de todas as cargas é exatamente igual a zero Figura 214a Denominase nimero atémico de um elemento o nimero de elétrons ou de protons existentes em um atomo neutro desse elemento Quando um ou mais elétrons sao removidos desse 4tomo neutro obtémse um ion positivo Figura 214b Um ion negativo é obtido quando um atomo ganha um ou mais elétrons Figura 214c Esse processo no qual o 4tomo ganha ou perde elétrons denominase ionizagao Quando o ntmero total de prétons em um corpo macroscépico é igual ao nu mero total de elétrons a carga total é igual a zero e dizemos que 0 corpo como um todo é eletricamente neutro Para fazermos um corpo ficar com excesso de cargas negativas devemos adicionar cargas negativas ao corpo neutro ou entao remover cargas positivas desse corpo De modo analogo para fazermos um corpo ficar com excesso de cargas positivas devemos adicionar cargas positivas ao corpo neutro ou remover cargas negativas desse corpo Na maior parte dos casos elétrons com cargas negativas e extremamente moveis sao adicionados ou removidos e geral mente um corpo carregado positivamente é aquele que perdeu certa quantidade de elétrons Quando falamos da carga elétrica de um corpo sempre nos referimos a sua carga liquida A carga liquida é uma fracgdo muito pequena em geral da ordem de 10717 da carga total positiva ou negativa existente no corpo neutro Figura 214 a Um atomo neutro Protons Néutrons possui a mesma quantidade de Elétrons elétrons e prétons b Um jon positivo possui um déficit de C elétrons c Um ion negativo possui um excesso de elétrons As cascas oo oOo de elétrons séo uma representacgéo A dj d visual da distribuicao real dos elétrons uma nuvem difusa varias eo vezes maior que o ntcleo a Atomo de litio neutro Li b fon de litio positivo Li c Ion de litio negativo Li 3 protons 3 3 protons 3 3 protons 3 4 néutrons 4 néutrons 4 néutrons 3 elétrons 3 2 elétrons 2 4 elétrons 4 Elétrons equivalem a protons Menos elétrons do que protons Mais elétrons do que protons carga liquida igual a zero carga liquida positiva carga liquida negativa A carga elétrica é conservada Na discussao precedente ha dois principios muito importantes envolvidos im plicitamente O primeiro é 0 principio da conservacao da carga elétrica Capitulo 21 Carga elétricae campo elétrico 5 A soma algébrica de todas as cargas elétricas existentes em um sistema isolado permanece constante Quando atritamos uma haste de plastico e um pedaco de pele ambos inicial mente descarregados a haste adquire carga elétrica negativa uma vez que ela retira elétrons da pele e a pele adquire carga elétrica positiva com 0 mesmo médulo uma vez que ela perde a mesma quantidade de elétrons fornecidos para a haste Portanto a carga elétrica total do sistema constituido pelos dois corpos permanece constante Em qualquer processo no qual um corpo é carregado a carga elétrica nao criada nem destruida mas meramente transferida de um corpo a outro Acreditase que a lei da conservagao da carga elétrica seja uma lei de conserva ao universal Nunca foram observadas evidéncias experimentais que violassem esse principio Até em interagdes envolvendo energias elevadas durante as quais ocorrem criagao e destruigao de particulas como a criagao de um par elétron positron a carga elétrica total do sistema isolado permanece exatamente constante O segundo principio importante é O médulo da carga do elétron ou do préton é uma unidade natural de carga elétrica Qualquer quantidade de carga elétrica observada sempre um miltiplo inteiro dessa unidade basica Dizemos que a carga elétrica guantizada O dinheiro é um exemplo familiar de quantizagéo Quando vocé compra um produto em uma loja o pagamento em dinheiro é sempre algum multiplo de um centavo Nenhuma Figura 215 A maior parte das quantidade de dinheiro pode ser menor que um centavo assim como nenhuma forgas que atuam sobre este carga elétrica pode ser dividida em uma quantidade menor que a carga de um elé Suiador aquatico elétrica es 1 2 As interac6es elétricas entre as tron ou de um proton As cargas elétricas do quark 3 e 3 da carga do elétron oiecutas a djacentes provocam a provavelmente nao podem ser observadas como cargas isoladas Portanto a carga forca da dgua sobre o esqui a tensao elétrica de qualquer corpo macroscépico é sempre igual a zero oua um miultiplo no cabo de reboque e a resisténcia inteiro positivo ou negativo da carga elétrica do elétron do ar sobre 0 corpo do esquiador As A compreensao da natureza elétrica da matéria esclarece muitos aspectos do Mtetagoes eletricas também mantém ys oo ae 2 unidos os 4tomos no corpo do mundo fisico Figura 215 As ligagdes quimicas que mantém os atomos unidos esquiador Somente uma forca para formar moléculas devemse as interag6es elétricas entre os Atomos Elas abran totalmente nio elétrica atua sobre o gem as fortes ligagdes idnicas que mantém os atomos de sddio e de cloro unidos esquiador a forca da gravidade para produzir o sal de cozinha e as ligag6es relativamente fracas entre Os fi0s d eae a Ss DNA que registram o cédigo genético de seu corpo A forga normal exercida sobre ae vocé pelo solo provém das forgas elétricas entre as particulas carregadas nos Atomos He Si es ety nas 3 a de seus sapatos e nos atomos do solo A forga de tensao em um fio esticadoeaforga ante j ia ee adesiva da cola também se devem 4s interagGes elétricas dos atomos a ny 4 re ney i wea an a Be hy ae We i a1 TESTE SUA COMPREENSAO DA SEGAO 211 Dois objet dos eletri tc a 5 ea eS a objetos carregados eletricamente a Ps ergy se repelem em razao da forga elétrica As cargas dos objetos sao i uma positiva e outra ya negativa ii ambas positivas iii ambas negativas iv ou 11 ou iii v qualquer uma a das alternativas 1 i1 ou iii I et 212 CONDUTORES ISOLANTES E CARGAS INDUZIDAS Alguns materiais possibilitam a migracgao da carga elétrica de uma regiao do material para outra enquanto outros impedem o movimento das cargas elétricas Por exemplo a Figura 216a mostra um fio de cobre suspenso por um fio de ndilon Suponha que uma das extremidades do fio seja tocada por uma haste de plastico e que a outra extremidade esteja presa a uma esfera metalica inicialmente descarregada a seguir a haste carregada e o fio de cobre s4o removidos Quando 6 Física III você aproxima outro corpo carregado da esfera figuras 216b e 216c ela é atraída ou repelida mostrando que se tornou eletricamente carregada A carga elétrica foi transferida da haste de plástico para a esfera através do fio de cobre Chamamos o fio de cobre de condutor de eletricidade Caso você repetisse essa experiência substituindo o fio de cobre por um fio de náilon ou uma tira de borracha verificaria que nenhuma carga seria transferida da haste de plástico para a esfera Esse tipo de material denominase isolante Um condutor permite que ocorra o movimento de cargas elétricas com facilidade através dele enquanto um isolante não Os fios de sustentação em náilon mostrados na Figura 216 são isolantes o que impede que a carga deixe a bola metálica e o fio de cobre Como exemplo de um bom isolante citamos um tapete de fibras em um dia seco Quando você arrasta os pés no tapete o atrito de seus sapatos com as fibras produz cargas elétricas que permanecem em seu corpo pois elas não podem escoar através das fibras isolantes Quando a seguir você toca um objeto condutor como uma maçaneta metálica ocorre uma rápida transferência de carga elétrica o que provoca um choque Uma forma de evitar isso é enrolar algumas fibras do tapete em núcleos condutores de modo que qualquer carga gerada em você seja transferida ao tapete sem lhe causar qualquer dano Outra solução é cobrir as fibras do tapete com uma camada antiestática que dificulta a transferência de elétrons entre seus sapatos e o tapete isso impede logo de início que qualquer carga seja gerada em você A maioria dos metais é composta de bons condutores enquanto muitos materiais não metálicos são isolantes No interior de um metal sólido como o cobre um ou mais elétrons externos de cada átomo se desprendem e podem se mover livremente através do material do mesmo modo que as moléculas de um gás podem se mover livremente através dos espaços entre os grãos em um balde de areia Os elétrons restantes permanecem ligados aos núcleos carregados positivamente os quais por sua vez permanecem relativamente fixos no interior do material Em um isolante não existe praticamente nenhum elétron livre e a carga elétrica não pode ser trans ferida através do material Denominase semicondutor um material que possui propriedades intermediárias entre as de um bom condutor e as de um bom isolante Carga por indução Podemos carregar uma esfera metálica usando um fio de cobre e uma haste de plástico eletricamente carregada como mostra a Figura 216a Nesse processo alguns elétrons em excesso existentes na haste de plástico são transferidos para a esfera reduzindo a carga elétrica negativa da haste Existe outra técnica na qual a haste de plástico pode produzir uma carga com sinal oposto em outro corpo sem que haja perda de sua própria carga Neste caso dizemos que o corpo foi carregado por indução A Figura 217 indica um exemplo de como carregar um corpo por indução Uma esfera metálica é apoiada em um suporte isolante Figura 217a Ao aproximar da esfera uma haste carregada negativamente sem que a haste toque na esfera Figura 217b os elétrons livres na esfera metálica são repelidos pelo excesso de elétrons Figura 216 O cobre é um bom condutor de eletricidade o náilon é um bom isolante a A carga elétrica é transferida da haste de plástico para a esfera metálica através do fio de cobre carregando a esfera negativamente A seguir a esfera metálica é b repelida por uma haste de plástico carregada negativamente e c atraída por uma haste de vidro carregada positivamente Fios de náilon isolantes Esfera metálica Fio de cobre Haste de plástico carregada Haste de vidro carregada Haste de plástico carregada O fio conduz a carga da haste de plástico carregada negativamente para a esfera metálica e uma haste de vidro carregada positivamente atrai a esfera Uma haste de plástico carregada negativamente repele a esfera a b c Figura 217 Carregando uma esfera metálica por indução Esfera metálica Suporte isolante Geração de elétrons Deficiência de elétrons Haste carregada negativamente Solo Fio Carga negativa no solo a Esfera metálica sem carga elétrica b A carga negativa na haste repele os elétrons criando zonas de carga induzida negativa e positiva c O fio permite que os elétrons gerados carga induzida negativa escoem para o solo d O fio é retirado a esfera passa a ter somente uma área de deficiência de elétrons com carga positiva e A haste é removida os elétrons se rearranjam a esfera possui deficiência generalizada de elétrons carga líquida positiva BookSEARSVol3indb 6 101115 656 PM Capítulo 21 Carga elétrica e campo elétrico 7 na haste e deslocados para a direita da esfera afastandose da haste Esses elétrons não escapam da esfera porque o suporte e o ar ambiente são isolantes Portanto há um excesso de elétrons no lado direito da esfera e uma deficiência de elétrons ou seja uma carga elétrica líquida positiva no lado esquerdo Dizemos que em cada lado da esfera surgiu uma carga induzida Nem todos os elétrons livres se deslocam para o lado direito da superfície da esfera À medida que começam a surgir cargas induzidas elas exercem forças orientadas para a esquerda sobre os outros elétrons livres Estes são repelidos pelos elétrons negativos existentes no lado direito e atraídos pelas cargas positivas indu zidas do lado esquerdo O sistema atinge um estado de equilíbrio no qual a força sobre um elétron orientada para a direita produzida pela haste é exatamente igual à força sobre o mesmo elétron orientada para a esquerda produzida pelas cargas induzidas Quando removemos a haste carregada os elétrons livres retornam para o lado esquerdo da esfera e a condição de neutralidade original é restaurada O que ocorrerá se mantendo a haste de plástico próxima da esfera você encostar a extremidade de um fio condutor sobre o lado direito da esfera mantendo a outra extremidade do fio em contato com a superfície terrestre Figura 217c A Terra é condutora e por ser extremamente grande pode funcionar como uma fonte pratica mente inesgotável de elétrons ou como um dissipador de elétrons indesejáveis Al gumas cargas negativas escoam através do fio para a superfície terrestre Suponha agora que você desconecte o fio Figura 217d e depois remova a haste carregada Figura 217e restará uma carga líquida positiva na esfera A carga negativa da haste não foi alterada no processo A Terra adquiriu uma carga negativa de módulo igual à carga positiva induzida que permaneceu na esfera Forças elétricas sobre objetos descarregados Finalmente notamos que um corpo carregado pode exercer força até mesmo sobre objetos que não estão carregados Se você friccionar um balão com um tapete e em seguida segurálo contra o teto ele ficará grudado no teto embora este não possua nenhuma carga elétrica líquida Depois de fazer um pente adquirir carga passandoo pelo seu cabelo o pente pode atrair pedacinhos de papel ou de plástico descarregados Figura 218a Como isso é possível Essa interação é produzida pelo fenômeno da indução de cargas Mesmo em um isolante as cargas elétricas podem se deslocar ligeiramente quando há uma carga por perto Isso é indicado na Figura 218b o pente de plástico carregado negativamente produz um ligeiro deslocamento das cargas das moléculas no inte rior do isolante neutro um efeito chamado de polarização As cargas positivas e negativas do material possuem o mesmo módulo porém as cargas positivas estão Figura 218 As cargas no interior das moléculas de um material isolante podem se deslocar ligeiramente Consequentemente um pente com qualquer carga elétrica não nula atrai um isolante neutro Pela terceira lei de Newton o isolante neutro atrai o pente com uma força de mesmo módulo F S F S F S F S Pente com carga negativa Pente com carga positiva Consequentemente as cargas em cada molécula estão mais próximas do pente que as cargas e por isso sentem uma força mais potente exercida pelo pente Portanto a força resultante é de atração Os elétrons em cada molécula do isolante neutro se afastam do pente Neste caso os elétrons em cada molécula do isolante neutro se aproximam do pente de modo que as cargas em cada molécula estão mais próximas do pente e sentem uma força exercida pelo pente mais potente que a das cargas Novamente a força resultante é de atração a Um pente carregado atrai pedaços de plástico descarregados b Como um pente com carga negativa atrai um material isolante c Como um pente com carga positiva atrai um material isolante BookSEARSVol3indb 7 101115 656 PM 8 Fisica Ill Figura 219 O processo de pintura mais proximas do pente que as cargas negativas sofrendo uma forga de atracao eletrostatica compare as figuras maior que a forca de repulsdo sobre as cargas negativas Portanto a forga resultante 217b 217c Um objeto de metala de atraciio Na Seciio 213 estudaremos como as forcas elétricas dependem da ser pintado esta ligado a Terra sae 2 oe F distancia Observe que o isolante neutro também pode ser atraido por um pente solo e as goticulas de tinta recebem carga elétrica ao sairem carregado positivamente Figura 218c Nesse caso as cargas no isolante sofrem pelo bico borrifador Cargas um deslocamento em sentido contrario ao do caso anterior as cargas negativas no induzidas de sinal oposto surgem isolante estéo mais proximas do pente e sofrem uma forga de atragéo maior que no objeto quando as goticulas se a forga de repulsdo sofrida pelas cargas positivas no isolante Portanto qualquer aproximam Como indicado na Zs que seja o sinal da carga elétrica de um objeto carregado ele sempre exerce uma Figura 217b e elas atraem as goticulas A superficie Esse forcga de atragao sobre um isolante neutro A Figura 219 mostra uma aplicacgao processo minimiza 0 excesso industrial desse efeito causado por nuvens de particulas soltas de tintae d4um acabamento TESTE SUA COMPREENSAO DA SEGAO 212 Considere duas esferas metilicas leves especialmente uniforme cada uma pendurada em um fio de nailon isolante Uma das esferas possui carga liquida negativa enquanto a outra ndo possui carga liquida a Quando as esferas estéo proximas Goticulas Objeto de mas nao se tocam elas i se atraem ii se repelem ou iii nao exercem nenhuma forga de tinta metal a entre si b Caso as esferas se toquem elas 1 se atraem 11 se repelem ou iii nao exercem com carga ser pintado i negativa sio nenhuma forga entre si I borrifadas 4 Carga positiva é induzida sobre a Vite superficie 21 3 LEI DE COULOMB 4 de metal Charles Augustin de Coulomb 17361806 estudou as forgas de interac4o entre Borrifador de tinta Solo particulas carregadas em 1784 Ele usou uma balanga de torcdo Figura 2110a semelhante a usada 13 anos mais tarde por Cavendish para estudar a forga de in teracAo gravitacional que é muito mais fraca que a elétrica conforme discutimos na Secao 121 Para cargas puntiformes corpos carregados muito menores que a distancia r que os separa Coulomb verificou que a forca elétrica entre eles é pro BIO Aplicacao Forcas elétricas suor porcional a Ou seja quando a distancia r dobra a forga se reduz a um quarto e fibrose cistica Uma maneira de tester de seu valor inicial quando a distancia se reduz 4 metade a forca se torna quatro se uma pessoa portadora da doenga vezes maior que seu valor inicial genetica fibrose cistica FC medir do teor A forga elétrica entre dois corpos também depende da carga existente em cada de sal de seu suor O suor 6 uma mistura de 2 As rea reas corpo que sera designada por g ou Q Para explorar essa dependéncia Coulomb agua e fons incluindo ions de sddio Na e er a dividiu uma carga em duas partes iguais colocando um pequeno condutor esférico Cloro CI que compdem o sal de cozinha carregado em contato com outro condutor esférico idéntico descarregado por si NaCl Quando o suor é secretado pelas oe oe P células epiteliais alguns dos fons de CI metria as cargas sao igualmente divididas entre as duas esferas Observe o papel escoam do suor de volta para essas células essencial desempenhado pela lei da conservacao da carga nesse procedimento um PrOCesso denominado reabsorgao A Figura 2110 a Medico da forga elétrica entre cargas puntiformes b As forgas atragao eletrica entre as cele positivas elétricas entre cargas puntiformes obedecem 4 terceira lei de Newton Fy em2 Foem1 negativas atrai fons de Na juntamente com a Uma balanga de torgao do tipo usado b Interagdes entre cargas puntiformes o Cl As moléculas de agua nao ee por Coulomb para medir a forga elétrica conseguem retornar para dentro das células na Fy emt Cargas com epiteliais portanto o suor sobre a pele tem S Ce sinais iguais um baixo teor de sal No entanto em cP se repelem pessoas com FC a reabsorcao de fons de Ss qT Ny Cl é bloqueada Este é 0 motivo pelo qual A esfera com carga oS pessoas com FC possuem suor negativa atrai a esfera com OY em2 notavelmente salgado com até quatro vezes carga positiva esta se move Fi em2 Fremi a a concentracéo normal de Cl e Na Filamento até as forgas eldsticas no 2 de torcao filamento de torgdo Fi em2 Poem k 2 equilibrarem a atracao eletrostatica Cargas com sinals opostos Th i BR r vse atraem 7 Wf 5 ls a ds i Fy emt Ny fo Esferas i F Sop mT do nticleo lem2 carregadasS Ss a a D ae ee Gea 4 ae os Fie Escala Capitulo 21 Carga elétricae campo elétrico 9 Dessa maneira ele poderia obter uma carga igual 4 metade da carga inicial um quarto da carga inicial e assim por diante Ele verificou que a forga elétrica entre as duas cargas q e g2 proporcional a cada uma das cargas e portanto proporcional ao produto qq das duas cargas Desse modo Coulomb estabeleceu uma relag4o hoje conhecida como lei de Coulomb O modulo da forca elétrica entre duas cargas puntiformes é diretamente proporcional ao produto das cargas e inversamente proporcional ao qua drado da distancia entre elas Em termos matematicos o mddulo F da forga que qualquer uma das duas cargas q1 qo Separadas por uma distancia r exerce sobre a outra pode ser expresso pela relagao F ual 211 P em que k é uma constante de proporcionalidade cujo valor numérico depende do sistema de unidades usado As barras verticais que indicam valor absoluto sao usadas na Equagao 211 porque as cargas q e gz podem ser positivas ou negativas enquanto o modulo da forga F é sempre positivo A diregao da forga que qualquer uma das cargas exerce sobre a outra é sempre ao longo da linha reta que passa pelas cargas Quando as cargas q e g2 possuem 0 mesmo sinal ambos positivos ou ambos negativos as forcas s4o repulsivas quando as Cargas gq gz possuem sinais opostos as foras sao atrativas Figura 2110b As duas forgas obedecem a terceira lei de Newton elas sempre possuem 0 mesmo mdodulo e sentidos contrarios mesmo quando as cargas nao sAo iguais em médulo A proporcionalidade da forga elétrica com foi verificada com grande precisao Nao existe nenhuma razdo para suspeitar que o fator do expoente nao seja exata mente igual a 2 Portanto a Equagao 211 tem estrutura igual a da lei da gravitagao Porém a interacao elétrica é um fendmeno diferente da interagdo gravitacional A interagao elétrica depende das cargas elétricas e pode ser atrativa ou repulsiva en quanto a interagdo gravitacional depende das massas e s6 pode ser atrativa porque nao existe massa negativa Constantes elétricas fundamentais O valor da constante de proporcionalidade k na lei de Coulomb depende do sis tema de unidades Em nossos estudos da eletricidade e do magnetismo usaremos exclusivamente unidades do SI Muitas unidades elétricas do SI abrangem unidades familiares como 0 volt o ampére o ohm e 0 watt Ndo existe nenhum sistema bri tanico de unidades elétricas A unidade SI de carga elétrica é igual a um coulomb 1 C Usando unidades do SI a constante k na Equacao 211 k 8987551787 X 10NmC 8988 X 10 N mC O valor da constante k é conhecido com muitos algarismos significativos porque esse valor esta intimamente relacionado 4 velocidade da luz no vacuo Veremos isso no Capitulo 32 quando estudarmos a radiac4o eletromagnética Conforme dissemos na Secao 13 a velocidade da luz no vacuo é definida exatamente como c 299792458 X 10 ms Em termos de c 0 valor de k é precisamente dado por k 107Ns7C Vocé pode conferir as unidades da relagao anterior para verificar se k realmente possui as unidades certas 10 Fisica Ill Primeiro podemos medir a forga elétrica F entre duas cargas iguais gq separa das por uma distancia re usar a lei de Coulomb para determinar o valor da carga Portanto podemos encarar 0 valor de k como uma definigao operacional do cou lomb Contudo por razOes de precisdo experimental é melhor definir 0 coulomb em termos da unidade de corrente elétrica carga por unidade de tempo ou seja 0 ampere que igual a um coulomb por segundo Retornaremos a essa definiao no Capitulo 28 Usando unidades do SI geralmente escrevemos a constante k da Equacao 211 como Tae em que épsilon zero é denominada constante elétrica Essa subs tituigao simplifica muitas f6rmulas que serao encontradas em capitulos posteriores A partir de agora quase sempre escreveremos a lei de Coulomb na forma Lei de Coulomb ST Nac das modulo da forca ee 14192 Cuas cargas 212 elétrica Oe duas Aire o 2 Distancia entre cargas puntiformes Constante elétrica as duas cargas As constantes na Equagao 212 sao dadas aproximadamente por 1 8854 X 10 7 CNm ee k 8988 X 10NmC 47e9 Nos exemplos e nos problemas geralmente usaremos o valor aproximado 1 9 212 90 X 10NmC 47re9 Conforme dissemos na Secao 211 a unidade mais fundamental de carga elétrica é o mddulo da carga de um proton ou de um elétron que sera designado por e O valor mais preciso disponivel quando este livro foi escrito é dado por e 1602176565 35 X 101C Um coulomb representa o valor negativo da carga total existente em aproxi madamente 6 X 10 elétrons Comparativamente um cubo de cobre de cm de aresta contém aproximadamente 24 104 elétrons Cerca de 10 elétrons passam através do filamento luminoso de uma lampada incandescente a cada segundo Em geral os problemas de eletrostatica isto é que envolvem cargas em repouso nao incluem cargas tao elevadas quanto coulomb Duas cargas de C separadas por uma distancia de 1 m exerceriam uma forga mutua com méddulo aproximada mente igual a9 X 10N aproximadamente milhao de toneladas A carga total dos elétrons existentes em uma moeda de cobre de um centavo é ainda maior aproximadamente igual a 14 x 10 C mostrando que nao podemos perturbar a neutralidade elétrica a nao ser usando forcas muito elevadas Os valores tipicos de cargas elétricas livres oscilam aproximadamente entre um microcoulomb 1 wC 10 C e um nanocoulomb 1 nC 10 C SDRAM FORCAELETRICA VERSUSFORGAGRAVITACIONAL Uma particula a 0 nticleo do dtomo de hélio possui massam Secao 121 e a lei de Coulomb para a forga elétrica F entre 664 X 102 kg e carga g 2e 32 X 10C Compare cargas puntiformes Devemos comparar essas forgas de modo o modulo da forca de repulsao elétrica entre duas particulas a que a incognita do problema seja a razao entre essas duas forcas alfa com 0 médulo da forea de atracdo gravitacional entre elas Fg Usamos a Equacao 212 para F e a Equacao 121 para Fy EXECUTAR a Figura 2111 mostra nossa esquematizacgao do SOLUCAO problema a partir das equagGes 212 e 121 IDENTIFICAR E PREPARAR este problema envolve a lei de 1 g ne Newton para a forga gravitacional Fy entre particulas veja a Fe Areo P y Ga Continua Capitulo 21 Carga elétricae campo elétrico 11 Continuagdao Essas duas forgas possuem relagGes de proporgGes inversas do dois corpos do tamanho de uma pessoa ou de um planeta em quadrado de r que se cancelam quando calculamos a razéo geral a carga liquida positiva é aproximadamente igual a carga liquida negativa e a forca elétrica é muito menor que a forca Fol gC gravitacional Fy 4me0G ne Figura 2111 Nossa esquematizacao do problema 90 X 10NmC 32 X 1019 31X10 g32X109C 667 X 10 N m2kg 664 X 1027 kg m 664 X 107 kg AVALIAR esse numero extraordinariamente elevado mostra que a 4 Y a a forca gravitacional nesse caso completamente desprezivel O oO em comparacao a forga elétrica Isso é sempre verdade para in Fe Pe Pe Fe teracGes entre particulas at6micas e subat6micas Contudo entre r Superposicao de forcas A lei de Coulomb como nos a apresentamos descreve apenas a interacao entre duas cargas puntiformes Quando duas cargas exercem forcgas sobre uma terceira carga a experiéncia mostra que a forga total exercida sobre essa carga é dada pela soma vetorial das forcas que as duas cargas exercem individualmente Essa impor tante propriedade denominada principio da superposicao das forcas pode ser aplicada a um numero qualquer de cargas Usando esse principio podemos aplicar a lei de Coulomb para qualquer conjunto de cargas Dois dos exemplos no final desta segao demonstram a aplicaao do principio da superposiao Teoricamente a lei de Coulomb como nos a apresentamos s6 poderia ser usada para cargas puntiformes no vdcuo Quando existe matéria no espaco entre as cargas a forga resultante sobre cada carga se altera porque ocorre o fendmeno da inducgao de cargas elétricas nas moléculas do material do meio considerado Descreveremos esse efeito posteriormente Contudo na pratica podemos usar a lei de Coulomb sem nenhuma alteracgdo para cargas puntiformes no ar Para a pressdo atmosférica normal a presenga do ar altera o valor da forga elétrica no vacuo em apenas uma parte em 2000 ESTRATEGIA PARA A SOLUCAQDE PROBLEMAS 211 LEIDECOULOMB a sesssscsssstseeeeeeers IDENTIFICAR os conceitos relevantes a lei de Coulomb des 17 até a Secao 19 Esse método de componentes muitas creve as forgas elétricas entre particulas carregadas vezes util PREPARAR o problema usando as seguintes etapas 4 Use unidades consistentes unidades do SI sao completa 1 Faga um desenho indicando as localizagées das partfculas mente consistentes Em 7 90 X 10 N mC as carregadas e classifique cada particula conforme a respec distancias devem ser expressas em metros as cargas em tiva carga coulombs e as forgas em newtons 2 Se as cargas nao estiverem localizadas na mesma linha Alguns exemplos e problemas deste e dos proximos capi monte um sistema de coordenadas xy tulos envolvem distribuigdes continuas de carga ao longo 3 O problema pedira que se encontre a forga elétrica que atua de uma linha sobre uma superficie oe através de Ue sobre uma ou mais particulas Identifique essas lume Nesses casos a soma vetorial mencionada no item 3 particulas transformase em uma integral vetorial Dividimos a distri EXEGUTAR a solucao da sesuinte forma buicdo de cargas em Tegioes infinitesimais usamos a lei de 1 Calcule o médulo da forga que cada particula exerce sobre eee ae negiao a seguit integramos P ane rence enn eomteterinine sept achar a soma vetorial Em alguns casos isso pode ser feito sem necessidade do uso de integrais 2 Use esses modilos para montar am diagrama do compo livre 6 Explore quaisquer simetrias na distribuigaéo de cargas para mostrando os vetores da forga elétrica que atuam sobre cada simplificar 0 processo de resolucao de problemas Por particula de interesse A forga exercida pela particula 1 exemplo duas cargas idénticas g exercem uma fora elé sobre a particula 2 aponta da particula 2 para a particula 1 trica lfquida igual a zero sobre uma carga Q que se encontra caso as duas cargas tenham sinais opostos mas aponta da no ponto médio entre elas porque as forcas sobre Q pos particula 2 para o lado oposto ao da particula 1 caso as suem 0 mesmo méddulo e sentidos opostos cargas tenham 0 mesmo sinal AVALIAR sua resposta confira se os resultados numéricos sao 3 Use o principio da superposigao para calcular a forca elé razodveis e confirme se o sentido da forga elétrica liquida esta trica total uma soma vetorial sobre cada particulade de acordo com o principio de que cargas iguais se repelem e interesse Revise a algebra vetorial abordada desde a Secéo cargas opostas se atraem 12 Fisica Ill AURA FORCA ENTRE DUAS CARGAS PUNTERS nnn Duas cargas puntiformes g 25 nC eq 75nC esto se atua sobre gz esta sobre a reta que une as duas cargas e possui paradas por uma distancia r 30 cm Figura 2112a Determine sentido orientado para qj o médulo e 0 sentido da forga elétrica a que g exerce sobre g2 b Como foi feito na parte a temos e b que qo exerce sobre qj 1 wal Fremt 4 7 Fiem2 0019N SOLUGAO Teo 6 IDENTIFICAR E PREPARAR este problema solicita as forgas A forga de atracao exercida sobre q é direcionada para a direita elétricas que duas cargas exercem entre si Usamos a lei de Figura 2112c Coulomb Equacao 212 para calcular o médulo de cada forga aVALIAR a terceira lei de Newton se aplica a forga elétrica Os sinais das cargas elétricas determinarao as direg6es Os sen Bmbora as cargas possuam médulos diferentes 0 médulo da tidos das forgas forca que gy exerce sobre g igual ao médulo da forca que q EXECUTAR a ap6s converter r para metros as unidades de q exerce sobre qo essas duas forgas possuem sentidos opostos go para coulombs obtemos com a Equagao 212 Figura 2112 Qual é a forga elétrica que gq exerce sobre qo e 1 qq qual é a forca elétrica que g exerce sobre g As forcgas Fi em2 Ane 2 gravitacionais sao despreziveis 0 r 9 a As duas cargas b Diagrama do corpo c Diagrama do corpo 90 X 10N mC 25 x 10 e x 10 C livre para qy livre para q 0030 m M1 ce Fi em 2 1 Fo emt 0019N 9 9 D Visto que as duas cargas possuem sinais opostos a forga é de atracéo para a esquerda na Figura 2112b ou seja a forga que ASUEUEAS SOMA VETORIAL PARA FORGAS COLINEAR ES nnn Duas cargas puntiformes estao localizadas no eixo x de um sis Gn Pp a Fs Fiem3 Foem3 112 wN1 84 WN1 tema de coordenadas q 10 nC esta em x 20 cm e q2 30 nC esta em x 40 cm Qual é a forga elétrica total 28 uNi exercida por q e go sobre uma carga q3 50 nC em x 0 AVALIAR para conferir note que o mdédulo de q é trés vezes SOLUGAO maior que o mddulo de q mas q esta duas vezes mais distante IDENTIFICAR E PREPARAR a Figura 2113 mostraasituacio 4 43 Pela Equacao 212 isso significa que F2 em 3 deve ser Para obter a forga total sobre q3 a inc6gnita do problema deve 22 4 075 vez 0 valor de F em 3 Isso esta de acordo com mos encontrar a soma vetorial das duas forcas elétricas atuando 70SSS resultados Fo em 3 Fi em3 84 BNY 12 LN i 079 sobre essa carga Como Fy em3 a forga mais fraca 0 sentido da forga liquida é 0 EXECUTAR a Figura 2113b é um diagrama do corpo livre para S0 de Fs em3 ou seja no sentido de x a carga q3 que repelida por q que possui mesmo sinal e Figura 2113 Nossa esquematizacao do problema atraida por qg2 que possui sinal oposto F em 3 esta no sentido de x e Fy em 3 estd no sentido de x Convertendo as unidades a Nosso diagrama da situagao temos a partir da Equacao 212 y q350nC gq10nC qo 30 nC 1B x Frem3 Grey 2 0 20cem I 40 cm 10 x 10 x 10 90 X 10 N mC M0 106 60 X10 0020 m 2 b Diagrama do corpo livre para q3 112 X 107N 112 uN y F em 3 F em 3 Da mesma forma é possivel demonstrar que F em 3 84 UN 0143 Portanto sabemos que Fy em 3 112 wNi e Fo em 3 84 wN A forga elétrica liquida sobre g3 dada por Capitulo 21 Carga elétrica e campo elétrico 13 BECTIETED soma veTORIAL DE FORCAS ELETRICAS EM UM PLANO Duas cargas puntiformes positivas iguais gj g2 20 uC estao Usando um raciocinio de simetria vemos que os componentes localizadas em x 0 y 030 me x 0 y 030 m respec y das duas forgas possuem médulos iguais e sentidos opostos tivamente Determine 0 médulo a direcdo e o sentido da forga Portanto sua soma é igual a zero e a forga total F em Q tem elétrica total resultante que g e g2 exercem sobre uma terceira componente x F 023 N 023 N 046 N A forga total em carga O 40 wC em x 040 m y 0 Q aponta no sentido x e possui médulo igual a 046 N AVALIAR a forga total sobre Q aponta em um sentido que nao se SOLUGAO afasta diretamente de g nem de gz Em vez disso esse sentido é uma acomodac4o que aponta para fora do sistema das cargas IDENTIFICAR E PREPARAR como no Exemplo 213 devemos q q Voce consegue perceber que a forca total ndo apontaria calcular a forga que cada carga exerce sobre Qe a seguir obter a no sentido x se q gp nao fossem iguais ou se a disposigao soma vetorial dessas forcas A Figura 2114 mostra a situacao geométrica das cargas nao fosse tio simétrica Como as trés cargas nao sao colineares o modo mais facil para calcular as forcas consiste em usar os componentes Figura 2114 Nossa esquematizacao deste problema EXECUTAR a Figura 2114 mostra as forcas F emQe F emQ y exercida pelas cargas idénticas q e gz que estao a distancias gq 20 uC iguais de Q De acordo com a lei de Coulomb o mddulo de Fremay Prema ambas as forgas é dado por t SN A Fi ou2ema 90 X 10 NmC osm S F 40 x 10 C20 X 106 Oe 40 uC Seseseanigl x a 029 N 040m NA 050 m an Fi emax 030m osom O componente x de cada uma das duas forgas é dado por Ua i Frou 2em Qx Fiou 2em g Cosa 029 N oom 023 N 92 20 wC rem ay Prema 050 m TESTE SUA COMPREENSAO DA SEGAO 213 Considere que a carga g no Exemplo 214 fosse 20 wC Nesse caso a forca elétrica total sobre Q i apontaria no sentido positivo de x ii apontaria no sentido negativo de x iii apontaria no sentido positivo de y iv apontaria no sentido negativo de y v seria igual a zero vi nenhuma das alternativas I 214 CAMPO ELETRICO E FORGAS ELETRICAS Quando ocorre uma interagao no vacuo entre duas particulas que possuem cargas elétricas como é possivel que uma delas perceba a existéncia da outra Podemos comegar a responder a essa pergunta e ao mesmo tempo reformular a lei de Cou lomb de uma forma muito Util usando 0 conceito de campo elétrico Campo elétrico Para introduzirmos esse conceito vamos examinar a repulsao mutua entre dois corpos A e B com cargas positivas Figura 2115a Suponha que B possua uma carga qo seja F 9 a forga elétrica que A exerce sobre B Um modo de interpretar a acao dessa forca consiste em imaginar uma ac4o a distancia ou seja essa forga poderia agir pelo espaco vazio sem a necessidade de nenhuma interaga4o fisica entre A e B A forcga da gravidade também poderia ser imaginada como uma forcga de acao a distancia Porém podemos visualizar melhor a interacgdo entre A e B imaginando um processo com duas etapas Inicialmente supomos que 0 corpo A em virtude da carga elétrica que possui de algum modo modifica as propriedades do espaco ao redor dele A seguir 0 corpo B em virtude da carga elétrica que ele possui sente como o espaco foi modificado pela outra carga A resposta sentida por B é a forca elétrica F 14 Fisica lll Figura 2115 Um corpo carregado Para entendermos como esse processo de duas etapas ocorre inicialmente con cria um campo elétrico ao redor dele sideramos apenas 0 corpo A removemos 0 corpo B e designamos pela letra P o a Ae B exercem forcas elétricas entre si ponto que ele ocupava Figura 2115b Dizemos que 0 corpo A produz um campo elétrico no ponto P e em todos os outros pontos nas vizinhangas Esse campo F do Fy elétrico esta presente no ponto P mesmo quando nao existe nenhuma carga em P o isso decorre somente da existéncia da carga sobre 0 corpo A Quando uma carga A B qo a seguir colocada no ponto P ela sofre a acAo da forga elétrica F 9 Adotamos 0 ponto de vista de que essa forca é exercida sobre a carga gg pelo campo elétrico b Remova 0 corpo B no ponto P Figura 2115c Portanto o campo elétrico serve de intermediario para designe sua comunicar a forca que A exerce sobre qo Visto que a carga puntiforme go sofre a posigao anterior acao da forga em qualquer ponto nas vizinhangas de A o campo elétrico produzido i om oe por A esta presente em todos os pontos ao redor de A P De modo analogo podemos dizer que a carga puntiforme go produz em torno A dela um campo elétrico e que esse campo exerce sobre 0 corpo A uma forga elétrica Fo Para cada forga a forga de A sobre go e a forga de go sobre A uma das cargas c O corpo A forma um campo elétrico eria um campo elétrico que exerce uma forca sobre a outra carga Enfatizamos que E no ponto P esse efeito é uma interacdo entre dois corpos carregados Uma tinica carga produz Carga de teste qo um campo elétrico no espaco de suas vizinhangas porém esse campo elétrico nao pode exercer forga resultante sobre a carga que o criou esse é um exemplo do B Fo principio geral enunciado na Secao 43 segundo o qual um corpo nao pode produ A zir uma forca resultante sobre si mesmo Se esse principio nao fosse verdadeiro E a forca por unidade vocé poderia dar um pulo até o teto simplesmente puxando seu cinto para cima de carga exercida pelo corpo A sobre uma carga de teste em P A forca elétrica sobre um corpo carregado é exercida pelo campo elétrico produzido por outros corpos carregados BIO Aplicagao Tubardes e o sexto sentido Os tubardes tém a capacidade Para verificarmos se existe um campo elétrico em um dado ponto colocamos de localizar presas como 0 linguado e no referido ponto um corpo carregado chamado de carga de teste Figura 2115c outros peixes de fundo que estao Quando a carga de teste sofre a acdo de uma forga elétrica concluimos que existe ponpleamerte escondidas sob a areia 0 um campo elétrico nesse ponto Esse campo elétrico é produzido por outras cargas undo do oceano Eles fazem isso através da deteccao de fracos campos elétricos que nao a Carga qo produzidos pelas contracées musculares A forga é uma grandeza vetorial de modo que o campo elétrico também o é de suas presas Os tubardes derivam sua Observe 0 uso de sinais vetoriais assim como as letras em negrito e os sinais de sensibilidade a campos eletricos um sextO mais menos e igual na discussao a seguir Definimos 0 campo elétrico E em um sine aa Pana eros oe eke ponto como a forga elétrica F 9 que atua sobre uma carga gg nesse ponto dividida em poros na pele do tubarao mostrado pela carga qo Ou seja o campo elétrico em um dado ponto é igual a fora elétrica nesta fotografia Um campo elétrico fraco por unidade de carga que atua sobre uma carga situada nesse ponto como 5 x 10 NC ja provoca um fluxo de carga dentro dos canais e aciona um eee itnnews sinal no sistema nervoso do tubarao Como Campo elétrico Fy carga de teste qq em fungao 0 tubarao tem canais com diferentes forga elétrica por te 213 orientagdes ele pode medir diferentes unidade de carga 10 Valor da carga de teste componentes do vetor do campo elétrico e consequentemente determinar a diregao do campo Usando unidades SI para as quais a unidade de forca é 1 N e a unidade de carga é 1 C a unidade de campo elétrico é 1 newton por coulomb 1 NC Quando o campo elétrico E for conhecido em um dado ponto usando a Equacao 213 podemos obter a forga elétrica F que atua sobre uma carga puntiforme qo colocada nesse ponto Essa forga é dada simplesmente pelo campo elétrico E pro duzido pelas outras cargas com excegao da carga go multiplicado pela carga qo Fo qoE 214 forga exercida sobre uma carga puntiforme go por um campo elétrico E Capitulo 21 Carga elétricae campo elétrico 15 A carga go pode ser positiva ou negativa Quando qo for positiva a forga F gque Figura 2116 A forga Fy qoE que atua sobre a carga tera o mesmo sentido de E quando qo for negativa F oe Eterao atua sobre uma carga qo provocada sentidos opostos Figura 2116 pelo campo elétrico E Embora 0 conceito de campo elétrico possa ser novo para vocé a ideia basica Q de que um corpo produz um campo no espaco em torno dele e um segundo 23 E em funcao da Leg 40 Q carga Q corpo sofre a agao desse campo ja foi na realidade introduzida anteriormente i3 or Fo Compare a Equagao 214 com a expressao familiar da forga gravitacional F que forca sobre uma carga de teste positiva a Terra exerce sobre um corpo de massa mm o aponta no sentido do campo elétrico 2 F mg 215 Ff gm funcio da s carga Q o 90 Nessa expressao g é a aceleragao da gravidade Dividindo ambos os lados day forga sobre na carga de teste Equagao 215 pela massa mp obtemos negativa gq aponta no sentido oposto ao do campo elétrico gue mo Portanto podemos interpretar como a forca gravitacional por unidade de massa Por analogia 4 Equacao 213 é possivel dizer que 0 campo gravitacio nal Desse modo a interagao gravitacional entre a Terra e um corpo de massa mm pode ser descrita como um processo com duas etapas a Terra produz um campo gravitacional g no espaco em torno dela e o campo gravitacional produz uma forca dada pela Equacao 215 sobre um corpo de massa mg que chamamos de massa de teste O campo gravitacional g ou a forca gravitacional por unidade de massa é um conceito util porque nao depende da massa do corpo sobre o qual a forga gravitacional esta atuando analogamente o campo elétrico E oua forga elétrica por unidade de carga também é um conceito util porque nao depende da carga do corpo sobre o qual a forga elétrica esta atuando ATENGAO Fo qok somente se aplica a cargas de teste puntiformes A forca elétrica que atua sobre uma carga de teste go pode variar de um ponto a outro do espaco de modo que o campo elétrico pode assumir diferentes valores em pontos diferentes Por essa razao a Equacao 214 s6 deve ser usada para determinar a forca elétrica que atua sobre uma carga puntiforme Quando o corpo carregado possui um tamanho suficientemente grande o campo elétrico E pode variar em mddulo e diregéo em pontos diferentes ao longo do corpo e a determinagao da forga elétrica resultante que atua sobre 0 corpo pode se tornar complicada Campo elétrico de uma carga puntiforme Quando a distribuigao de cargas da fonte corresponde a uma carga puntiforme q facil encontrar o campo elétrico que ela produz O local onde essa carga se encontra denominase ponto da fonte e o ponto P onde desejamos determinar o campo elétrico é chamado de ponto do campo Também util introduzir um vetor unitdrio F que aponta ao longo da linha que une o ponto da fonte ao ponto do campo Figura 2117a Esse vetor unitario é igual ao vetor deslocamento 7 que une o ponto da fonte ao ponto do campo dividido pela distancia r r entre esses dois pontos ou seja r 7r Se colocarmos uma carga de teste pequena qo no ponto do campo P a uma distancia r do ponto da fonte o médulo Fp da forga sera dado pela lei de Coulomb Equagao 212 rm 1 lato Aten 16 Física III Pela Equação 213 o módulo E do campo elétrico no ponto P é dado por E 1 4pP0 0 q0 r2 módulo de campo elétrico de uma carga puntiforme 216 Usando o vetor unitário podemos escrever uma equação vetorial que fornece o módulo a direção e o sentido do campo elétrico 217 Vetor unitário da carga puntiforme para onde o campo é medido Distância da carga puntiforme até onde o campo é medido Campo elétrico em função de uma carga puntiforme r SE r2 q 4pP0 1 Constante elétrica Valor da carga puntiforme Por definição o campo elétrico de uma carga puntiforme sempre aponta para fora de uma carga positiva ou seja no mesmo sentido de veja a Figura 2117b porém para dentro de uma carga negativa ou seja no sentido oposto ao de veja a Figura 2117c Enfatizamos o cálculo do campo elétrico em um determinado ponto Porém uma vez que o campo elétrico pode variar de um ponto para outro ele não é dado por uma única grandeza vetorial mas por um conjunto infinito de grandezas vetoriais cada uma das quais associada a um ponto desse espaço Esse é um exemplo de um campo vetorial A Figura 2118 mostra uma série de campos vetoriais produzidos por uma carga positiva ou uma carga negativa Quando usamos um sistema de co ordenadas retangulares x y z cada componente de em geral é uma função das coordenadas x y z do ponto Podemos representar os componentes desse vetor por Exx y z Eyx y z e Ezx y z Outro exemplo de campo vetorial é a velocidade das correntes de vento o módulo e a direção da velocidade e portanto seus com ponentes vetoriais podem variar de um ponto a outro da atmosfera Em alguns casos o módulo e a direção do campo elétrico e portanto de seus com ponentes vetoriais são constantes em todos os pontos de uma dada região nesse caso dizemos que o campo é uniforme na região considerada Um importante exemplo disso é o campo elétrico encontrado no interior de um condutor Caso exista um campo elé trico no interior de um condutor o campo exerce uma força sobre cada carga existente no interior do condutor produzindo um movimento de cargas livres Por definição não existe nenhum movimento efetivo em uma situação eletrostática Concluímos que na eletrostática o campo elétrico deve ser igual a zero em todos os pontos no interior de um condutor Note que quando existe um buraco no interior de um condutor não po demos afirmar que o campo elétrico seja necessariamente igual a zero no interior dele Usando o conceito de campo elétrico nossa descrição da interação elétrica é composta por duas partes Em primeiro lugar uma dada distribuição de cargas funciona como uma fonte do campo elétrico Em segundo lugar o campo elé trico dessa distribuição exerce uma força sobre qualquer carga presente no interior desse campo Em geral nossa análise também apresenta duas etapas primeiro calculamos o campo elétrico produzido por certa distribuição de cargas depois Figura 2117 Campo elétrico produzido no ponto P por uma carga puntiforme q em S Note que tanto em b como em c o campo elétrico é produzido por q veja a Equação 217 porém atua sobre q0 no ponto P veja a Equação 214 E S E S r r r P q0 q S Para todos os pontos P o campo elétrico produzido por uma carga isolada puntiforme negativa q aponta para dentro da carga e no sentido oposto de r S P q0 q Para todos os pontos P o campo elétrico produzido por uma carga isolada puntiforme positiva q aponta para fora da carga e no mesmo sentido de r q P q0 c b a S r O vetor unitário r aponta do ponto da fonte S para o ponto do campo P Figura 2118 Uma carga puntiforme q produz um campo elétrico em todos os pontos no espaço A força do campo diminui conforme a distância aumenta E S E S q q a O campo produzido por uma carga puntiforme positiva aponta para fora da carga b O campo produzido por uma carga puntiforme negativa aponta para dentro da carga BookSEARSVol3indb 16 101115 656 PM Capitulo 21 Carga elétricae campo elétrico 17 determinamos 0 efeito desse campo em termos de forga e do movimento A segunda etapa geralmente envolve leis de Newton assim como os principios das interag6es elétricas Na proxima seco mostraremos como determinar 0 campo elétrico pro duzido por diversas distribuicgdes de fontes porém a seguir apresentaremos trés exemplos para a determinagao do campo elétrico produzido por cargas puntiformes e para o calculo da forca elétrica que um dado campo E exerce sobre uma carga SAU PEAR MODULO DO CAMPO ELETRICO DE UMA CARGA PUNTIFORME i ccsmunnsnnnn Calcule o médulo do campo elétrico E de uma carga puntiforme EXECUTAR de acordo com a Equacao 216 q 40 nC em um ponto do campo situado a uma distancia de 1 9 q 40 xX 10C 20 m da carga E 1lal 90 X 10 N mC 4teq r 20 m SOLUGAO 90 NC IDENTIFICAR E PREPARAR este problema se refere ao campo aval JAR nosso resultado E 90 NC significa que uma carga elétrico em fungao de uma carga puntiforme Como conhecemos de 10 Cemum ponto a 20 m de distancia de g sofreria uma forca o médulo da carga e a distancia entre a cargae o ponto docampo igual a90N A forca sobre uma carga de 20 C seria igual a 20 C usamos a Equacao 216 para calcular o médulo do campo E 90 NC 18N e assim por diante A PEAESR VETOR DO CAMPO ELETRICO DE UMA CARGA PUNTIFORME Uma carga puntiforme g 80 nC esta localizada na origem 9 30 80 X 10C Determine o vetor do campo elétrico para 0 ponto do campo x 90 X 10 NmC 20 m 2 0602 0807 12m y 16m l11 NCi 4NCj SOLUGAO 5 IDENTIFICAR E PREPARAR devemos encontrar 0 vetor E do AVALIAR como a carga q negativa 0 vetor E ap onta dlo Ponto ae do campo para a carga 0 ponto da fonte possuindo sentido campo elétrico em fungaéo de uma carga puntiforme A Figura ran ws oposto ao do vetor unitario compare com a Figura 2117c 2119 mostra a situagéo Vamos utilizar a Equac4o 217 para Lo toa Deixamos para vocé fazer como exercicio 0 célculo do médulo fazer isso primeiro achamos a distancia r entre o ponto do campo oe arn o ow eda direcdo de E veja o Exercicio 2130 P eo ponto da fonte S a posicao da carga g que nesse exemplo é igual 4 origem O bem como uma expresso para 0 vetor unitario Figura 2119 Nossa esquematizagao deste problema r rr que aponta no sentido de S para P EXECUTAR a distancia de S até P é dada por y 80 nC rVxy V12m 16m 20m 08 n O vetor unitario 7 portanto dado por r A A rFooxtt pera J r20m 116m r r 12 mi 16 mj F E 0601 080 20 m J P A seguir de acordo com a Equacao 217 12m 1 A E 4 Aire yr SAU CEAR ELETRON EM UM CAMPO ELETRICO UNIFORM Quando os terminais de uma bateria s4o conectados a duas placas verticalmente de baixo para cima e seu médulo é dado por E condutoras paralelas separadas por um vao pequeno as cargas 100 X 104 NC a Calcule a aceleracio de um elétron carga resultantes sobre as placas produzem um campo elétrico FE apro e 160 X 10C massam 911 X 1077 kg liberado do ximadamente uniforme na regiao entre as placas Na proxima repouso na placa superior b Calcule 0 médulo da velocidade e secdo mostraremos por que isso acontece Se as placas estéo a energia cinética do elétron adquiridos ao longo do trecho de separadas por uma distancia de 10 cm conectadas auma bateria cm até a placa inferior c Quanto tempo ele leva para percorrer de 100 V como indica a Figura 2120 0 campo esta orientado essa distancia Continua 18 Fisica Ill Continuagdao SOLUGAO A velocidade é orientada de cima para baixo de modo que v IDENTIFICAR E PREPARAR este exemplo envolve a relagao entre 59 X 10 ms A energia cinética do elétron é dada por campo elétrico e forga elétrica Também envolve a relagdo entre K my 911 X 1073 kg 59 X 10 ms orga e aceleracao a definicao de energia cinética e as relag6es cine maticas entre aceleraao distancia velocidade e tempo Um sistema 16 x10 7jJ de coordenadas é indicado na Figura 2120 Como conhecemos o campo elétrico usAMOs a Equagao 2114 para obter a forga que atua c De acordo com a Equagao 28 para movimentos com acele sobre 0 elétron e a segunda lei de Newton para obter sua aceleracao at Como 0 campo é uniforme entre as placas a forga e a aceleragaio sao Fagao constante Vy Voy T ayfs constantes e podemos usar as formulas de aceleracgo constante do Vy Upy 59 X 10 ms 0 ms Capitulo 2 para achar a velocidade do elétron e o tempo de percurso bE a Achamos a energia cinética a partir de K mv 4y 176 X 10 ms EXECUTAR a embora E seja orientado verticalmente de baixo 34 xX 10s para cima no sentido a forca F é orientada verticalmente de cima para baixo pois a carga do elétron negativa portantoa AVALIAR nossos resultados mostram que em problemas sobre componente Fy negativa Visto que F constante 0 elétron se particulas subatOmicas como os elétrons muitas grandezas move com uma aceleragao constante incluindo aceleracgio médulo da velocidade energia cinética e Fy cE 160 X 10719 100 X 10 NC tempo terao valores muito diferentes dos constatados para dy SS objetos comuns como bolas de beisebol e automéveis m m 911 X 10 kg Figura 2120 Um campo elétrico uniforme entre 176 X 10 ms duas placas condutoras paralelas conectadas a uma bateria de 100 V Nesta figura a separac4o entre as b O elétron parte do repouso de modo que seu movimento placas esta exagerada em relagao ao tamanho delas ocorre somente no sentido y 0 sentido da aceleragao Podemos Z z As setas mais estreitas representam 0 campo elétrico uniforme determinar o médulo da velocidade do elétron em qualquer ponto y usando a Equacao 213 para movimentos com aceleragao cons SS tante vy Voy 2ay yo Temos vp 0 yo 0 entao f O S quando y 10cm 10 X 102 m temos i B ck 10 cm 100 V L v V2ay V2176 X 10 ms 10 X 10 m 59 X 10 ms y TESTE SUA COMPREENSAO DA SEGAO 214 a Uma carga puntiforme negativa se move ao longo de uma trajetoria retilinea no sentido de uma carga puntiforme positiva fixa Que aspectos da forga elétrica sobre a carga puntiforme negativa permanecer4o constantes enquanto ela se move i Médulo ii diregao e sentido 111 médulo diregdo e sentido iv nenhum deles b Uma carga puntiforme negativa se move ao longo de uma 6rbita circular em torno de uma carga positiva puntiforme Que aspectos da forca elétrica sobre a carga puntiforme negativa permanecerfo constantes enquanto ela se move i Médulo ii direcao e sentido iii médulo direcdo e sentido iv nenhum deles I 215 DETERMINACAO DO CAMPO ELETRICO A Equagao 217 fornece 0 campo elétrico produzido por uma Unica carga punti forme Porém em muitas situagdes reais que envolvem forcas e campos elétricos verificamos que a carga se encontra distribuida ao longo do espacgo As hastes de plastico e de vidro indicadas na Figura 211 possuem cargas distribufdas ao longo de suas superficies assim como o tambor de imagem de uma impressora a laser Figura 212 Nesta segao aprenderemos a determinar 0 campo elétrico produzido por diversas distribuicg6es de cargas elétricas Os calculos envolvidos sao extraordinariamente importantes para as aplicagdes tecnologicas das forcgas elétricas Para determinar as trajetérias de nticleos at6micos em aceleradores para radioterapia realizada em tratamentos contra o cancer ou de particulas carregadas em um dispositivo eletr6nico semicondutor vocé deve conhecer com detalhes a natureza do campo elétrico que atua sobre cada carga Capitulo 21 Carga elétricae campo elétrico 19 Superposicao dos campos elétricos Para determinarmos o campo elétrico produzido por uma distribuigéo de cargas DADOS MOSTRAM imaginemos a distribuigao como um conjunto de cargas puntiformes Bs V3 Esta Forca elétrica e hipotese é efetivamente bastante realista porque conforme vimos as cargas elétricas campo elétrico sao runes de eons e protons rue sao Pareles tao Pequends que pooem ser Ouandoroctarmecnece nian consideradas punti ormes ara qualquer ponto P cada carga puntiforme produz seu um problema sobre forca respectivo campo elétrico E Eo E3 de modo que uma carga de teste gg colocada elétrica e campo elétrico mais em P sofre a agao de uma forcga F qo exercida pela carga g uma forga FP go de 28 davam uma resposta 9 exercida pela carga q2 e assim por diante De acordo com o principio da superposiao incorreta Erros comuns das forgas discutido na Secao 213 a forga total Fo resultante da agao da distribuigao e Esquecer que 0 campo de cargas sobre gg a soma vetorial dessas forgas individuais elétrico E atuando sobre 2 8 uma carga puntiforme nao hah h ht oF qoky qok3 depende dessa carga O efei binado de tod da distribuicdo d I puntiforme O valor de E e eito combinado de todas as cargas da distri uigdo é descrito pelo campo depende das cargas que o eletrico total E no ponto P De acordo com a Equacao 213 esse campo elétrico produzem e nao da carga é dado por que sofre seus efeitos rr Esquecer que E é um vetor Fo mn EE884 Quando 0 campo EF em um 0 ponto P resulta de duas ou mais cargas puntiformes FE é O campo elétrico total no ponto P é igual 4 soma vetorial dos campos que cada a soma vetorial dos campos carga da distribuigaéo produz no ponto P Figura 2121 Esse resultado é chamado produzidos pelas cargas de principio da superposicao dos campos elétricos individuais De modo geral Quando uma carga distribufda ao longo de uma linha sobre uma superficie ou esse valor diferente da soma através de um volume alguns termos adicionais so titeis Para uma distribuicao linear dos médulos desses campos de cargas como no caso de uma haste estreita e longa de plastico carregada usaremos oo aletra A a letra grega lambda para representar a densidade linear de carga carga por Fi9ura 2121 Ilustragao do principio say da superposicao dos campos unidade de comprimento medida em Cm Quando a carga estiver distribuida sobre catricos uma superficie como a superficie do tambor de reprodugao de imagens de impressoras a laser usaremos a letra o sigma para representar a densidade superficial de carga 1 S Campo elétrico carga por unidade de area medida em Cm E quando a carga se encontrar distri N em P em funcio buida através de um volume tomaremos a letra p 16 para representar adensidade Campo elétrico p deg volumétrica de carga carga por unidade de volume medida em Cm em Pemfungio Alguns dos cdlculos que serao apresentados nos exemplos a seguir podem pa 4 2 recer complexos Depois que vocé resolver alguns exemplos desenvolvendo cada Uc E E etapa vera que essa tarefa nao é tao complicada Muitas técnicas usadas nos cdl 2 OF WE culos apresentados nesses exemplos serao novamente empregadas no Capitulo 28 campo elétrico B total no ponto P é para calcular os campos magnéticos produzidos por cargas em movimento a soma vetorial de E Eo ESTRATEGIA PARA A SOLUCAO DE PROBLEMAS 212 CALCULOS ENVOLVENDO CAMPO ELETRICO IDENTIFICAR os conceitos relevantes use 0 principio da super 3 Calcule a soma vetorial ao aplicar o principio da superpo posidéo sempre que for necessario calcular o campo elétrico sigéo caso sinta necessidade revise os métodos da soma em fungao de uma distribuigao de cargas discreta ou continua vetorial no Capitulo 1 PREPARAR 0 problema usando as seguintes etapas 4 Simplifique seus calculos explorando quaisquer simetrias ar na distribuicao de cargas 1 Facga um desenho que mostre a localizacao das cargas e sua 5 do a distribuicdio d f defi ae a ne i en ae He Quando a distribuigado de cargas for continua defina um pe 3a queno elemento de carga que pode ser considerado como um 2 No desenho indique a posicéo do ponto do campo P o as A feta EB ponto determine seu campo elétrico no ponto P e procure um ponto em que vocé quer calcular o campo elétrico E método para somar os campos de todos os elementos de carga EXECUTAR a solucdo como segue calculando uma integral Geralmente é mais facil fazer isso 1 Use unidades consistentes Distancias devem ser medidas em para cada componente de E em separado entio vocé tera de metros cargas em coulombs Quando um valor é fornecido calcular uma ou mais integrais Verifique se os limites de in em centimetros ou nanocoulombs nao se esquega de tegracAo estao corretos especialmente quando houver sime convertélo tria tome cuidado para nao contar duas vezes a mesma carga 2 Distinga entre o ponto da fonte S e o ponto do campo P O Le oP P P AVALIAR sua resposta verifique se o sentido de E é razoavel campo produzido por uma carga puntiforme sempre aponta as ae Caso seu resultado para o médulo E do campo elétrico seja uma de S para P quando a carga é positiva e de P para S quando a fungao da posiéo digamos coordenada x compare seu resul a carga negativa aa pi 5 tado com qualquer outro limite cujo médulo vocé conhega Se possivel confira sua resposta realizando outro tipo de calculo 20 Fisica Ill BOIL CAMPO Oe UO CO un A distancia entre duas cargas puntiformes g 12nCeq Por simetria FE e Ey possuem o mesmo médulo e sentidos 12 nC é igual a 0100 m Figura 2122 Denominase di opostos portanto sua soma é igual a zero Logo polo elétrico um conjunto de duas cargas iguais porém de si 3 m 3 n nais opostos Determine 0 campo elétrico produzido por q 0 E 2246 X 10 NCt 49 X 10 NCi campo elétrico produzido por gz e 0 campo elétrico resultante a no ponto a b no ponto b e c no ponto c AVALIAR também podemos encontrar FE usando a Equacao 217 para o campo de uma carga puntiforme O vetor de deslocamento SOLUGAO FP que liga g ao ponto c dado por F r cos af r sen a jf Portanto o vetor unitario que aponta de g ao ponto c é dado por IDENTIFICAR E PREPARAR devemos obter 0 campo elétrico F r cos af sen a f Por simetria o vetor unitario que total em trés pontos diferentes em fungdo de duas cargas punti aponta de q7 ao ponto c possui um componente x oposto porém formes Usaremos o principio da superposigaéo E E E 9 mesmo componente y cos af sen a 7 Podemos A Figura 2122 mostra o sistema de coordenadas e a localizag4o agora usar a Equaciio 217 para escrever os campos E e E no A c Cc dos trés pontos do campo a be c ponto c em notag4o vetorial e em seguida encontrar o valor da EXECUTAR em cada ponto do campo E depende de FE Fy soma dos dois Como q2 q a distancia r até c é a mesma naquele ponto No ponto a o médulo do campo E causado para suas cargas por q é 1 1 1 lai E Bye Bx SA pS Eq TEQ TEQ 4irey 1 12 X 10C Greg itt aah 90 X 10 NmC 0060 m MU oof tne 2 fr 30 X 10NC Teor 14 2 cosat Calculamos os outros médulos do campo da mesma forma Os Amey 2 o resultados sao 9 12 x 10C ONT 22 52 Eq 30 X 104 NC 2000 X 10 NmC 0 3 mp i3é Ep 68 X 10NC 49 X 10 NCi 3 E 639 X 10 NC Este é o mesmo valor que encontramos no item c q 4 Enq 68 X 10 NC Figura 2122 Campo elétrico em trés pontos a bec tabelecid 1 is f dipol E 055 X 10NC estabeleci os pelas cargas q qo Os quais formam um dipolo En Ey 639 X 10 NC y E a Os sentidos dos campos correspondentes sao todos para fora da E carga positiva q e para dentro da carga negativa qo a No ponto a tanto E quanto E apontam para a direita logo Ea A A A E Ejql Eni 98 X 10NCi b No ponto b E aponta para a esquerda enquanto E aponta para a direita logo A A A 130 130 E Eyi Eni 62 X 10NCi om ae c A Figura 2122 mostra as diregdes e os sentidos de E 1e E no ponto c Os dois vetores possuem 0 mesmo componente x q Qa q Ejex Eney Eecosa 639 X 10 NC E b a E 40 60 Sic 40 246 X 10 NC cm cm cm Capitulo 21 Carga elétricae campo elétrico 21 AS UEUARE CAMPO DE UM ANEL CARREGADO nnn Uma carga Q é distribuida uniformemente ao longo de um anel circunferéncia do anel O integrando possui o mesmo valor para condutor de raio a Figura 2123 Determine 0 campo elétrico todos os pontos do anel portanto pode ser retirado da integral em um ponto P situado sobre 0 eixo do anel a uma distancia x Logo temos de seu centro 2aa 1 Ax E dE ds SOLUGAO em ae P anf IDENTIFICAR E PREPARAR este problema envolve a superposi 1 Ax cao de campos elétricos Cada parcela de carga em torno do anel aaa 27a produz um campo elétrico em um ponto arbitraério sobre 0 eixo Ameo x a x a incdgnita do problema é 0 campo elétrico resultante de todas l Ox essas parcelas de carga EE 4mre9 2 oa 32 218 EXECUTAR como indicado na Figura 2123 dividimos o anel Ox a tos infinitesimais di i to ds Em t d 4 em segmenos win estas Compriment s am termes C AVALIAR de acordo com a Equagao 218 EF 0 esta no centro densidade linear de carga A Q27ra um segmento de compri do anel x 0 Isso faz sentido cargas situadas em pontos mento ds possui uma carga dQ Ads Considere dois segmentos aA ae La opostos do anel empurrariam uma carga de teste no centro em idénticos um indicado na figura em y a e outro em y a sentidos opostos e a soma vetorial de cada um desses pares de O Exemplo 214 nos mostra que a forca resultante dF exercida forgas seria igual a zero Quando o ponto do campo P estiver sobre uma carga de teste puntiforme em Pe consequentementeo tne aye 3 situado a uma distancia muito maior que o raio do anel temos campo elétrico resultante dE estao sobre 0 eixo xO mesmo pode Z x aeo denominador da Equacgao 218 sera aproximadamente ser dito para qualquer par de segmentos em torno do anel entéo 3 ays 2 as igual a x Nesse limite o campo elétrico no ponto P é dado por o campo elétrico resultante no ponto P se encontra no sentido positivo do eixo x E E 1 Q Para calcular E note que o quadrado da distancia r entre um B Arreg x2 segmento qualquer do anel e 0 ponto P é dado por r x7 a Logo o médulo do campo elétrico dE produzido pelo segmento Em outras palavras quando o anel est tio distante que seu raio se no ponto P é torna desprezivel em relacao a essa distancia x o campo elétrico i 1 dO do anel sera 0 mesmo que o produzido por uma carga puntiforme Aten 2 2 Figura 2123 Célculo do campo elétrico em um ponto sobre 0 eixo de um anel carregado A carga considerada na O componente x desse campo é dado por dE dEcosa Sabemos figura positiva que dQ dds e a Figura 2123 mostra que cosa xr xx a portanto y dQ 1 dQ x ds dE dEcosa Sear Aire x2 a 2 2 SS Vx a es 1 Ax d Hy anth P dE rds A4ie9 x a 32 x a x Q UE Para encontrarmos E integramos a expressao anterior sobre todos os segmentos do anel ou seja para s de 0 a 27a a SASUESUPABER CAMPO DE UMALINHA RETA CARR EG ADA Uma carga elétrica positiva Q esta distribuida uniformemente uma expressao para 0 campo elétrico no ponto P em fungao de x ao longo do eixo y entre y ae y a Determine ocampo OO eixo x perpendicular a linha carregada assim podemos usar elétrico em um ponto P situado sobre 0 eixo x a uma distancia um argumento de simetria x da origem EXECUTAR dividimos a linha carregada cujo comprimento é igual a 2a em segmentos infinitesimais de comprimento igual a SOLUGAO dy A densidade linear de carga dada por A Q2a e a carga es dQ ddy Q2ady A distancia r entre um segmento a uma IDENTIFICAR E PREPARAR a Figura 2124 mostra a situagao altura y e 0 ponto do campo P é dada por r x7 y logo Como no Exemplo 219 devemos encontrar 0 campo elétrico 9 médulo do campo elétrico no ponto P produzido por esse seg produzido por uma distribuicao continua de carga A incdgnitaé mento a uma altura y é dado por Continua 22 Fisica Ill Continuagdo Figura 2124 Nossa esquematizacao deste problema colocandose uma carga de teste positiva no ponto P as cargas y situadas na metade superior da linha de carga empurram a carga de teste para baixo e a metade inferior da linha de carga empurra a com médulo igual Por causa da simetria conclufmos que a me dW do tade superior e a metade inferior contribuem igualmente para o ATS S campo elétrico resultante no ponto P sAp Quando a linha reta é muito curta ou 0 ponto do campo esta y ooN P dE muito longe da linha reta de modo que x a podemos despre 0 at y so wnnsee x zar a no denominador da Equacgao 219 Entaéo o campo elétrico dE o sera 0 mesmo que o produzido por uma carga puntiforme con woo SN forme encontramos no Exemplo 219 Q dE b 2S a ITE Ox Para explorar 0 que acontece quando a linha reta é muito longa 1 dO 1 O dy ou 0 ponto do campo esta muito perto da linha reta de modo dE ney 2 dey 2a 2 y que a x primeiro reescrevemos a Equagao 219 com algumas modificag6es A Figura 2124 mostra que os componentes x e y desse campo 1 Xr a sio dE dE cos a e dE dE sen a onde cos a xr e sen E men la 1 2110 a yr Entao No limite a x podemos desprezar x7a no denominador da dE at Q ay Equagao 2110 portanto Amey 2a x y 32 dE 12 yd E Qaregx Amey 2a x y 32 Esse é 0 campo de linha carregada com um comprimento infini Para encontrarmos 0 campo elétrico resultante no ponto Psoma tamente grande Em qualquer ponto P situado a uma distancia mos os campos de todos os segmentos ao longo da linha ou medida perpendicularmente até a linha de cargas em qualquer seja integramos entre y ae y a Convidamos vocé a direcao e sentido E possui um médulo fazer os detalhes da integracdo uma tabela de integrais seria util Os resultados sao dados por E A linha carregada de 27reor infinito 1 oO lr xdy 1 comprimento infini Are 2a x ys Am 0 xV 7 Note que esse campo elétrico é proporcional a 1r contraria 1 oft yay mente ao caso de uma carga puntiforme que produz um campo Ey aoe 9 proporcional a 1r Airey 2a J4 x y 32 Certamente na natureza n4o existe nenhuma linha carregada de comprimento infinito Contudo quando o ponto do campo es ou em notacao vetorial tiver suficientemente pr6ximo da linha reta a diferenga entre o 1 OQ resultado de uma linha infinita e 0 resultado finito real sera muito E 1 pequena Por exemplo se a distancia r entre 0 ponto de campo 4trg xV x a 219 ea linha carregada for igual a 1 do comprimento da linha a diferenga no valor de E sera menor que 002 do valor do resul E aponta para fora da linha carregada quando A é positivo e para tado de uma linha infinita dentro da linha carregada quando A é negativo AVALIAR usando o argumento de simetria como o adotado no Exemplo 219 concluimos que E deve ser igual a zero BEICETETR camo De UM DISCO UNIFORMEMENTE CARREGADO Um disco nao condutor com raio R possui uma densidade super SOLUGAO ficial de carga positiva uniforme o Encontre o campo elétrico pen tiFICAR E PREPARAR a situacdo indicada na Figura em um ponto situado sobre 0 eixo do disco auma distanciaxde 2425 podemos representar a distribuigao de cargas como um seu centro Suponha que x seja positivo conjunto de anéis concéntricos carregados dQ No Exemplo 219 Continua Capitulo 21 Carga elétrica e campo elétrico 23 Continuagdao obtivemos a Equagao 218 para o campo elétrico no eixo deum AVALIAR quando o disco é muito grande ou 0 ponto esta muito tinico anel carregado uniformemente portanto nessa situagéo pr6ximo do disco de modo que R x 0 termo 1V Rx 1 basta integrar as contribuicdes de todos os anéis na Equacdo 2111 serd muito menor que 1 A Equacao 2111 EXECUTAR um anel tipico possui carga dQ raio internoreraio passa a ser externo r dr Sua area é aproximadamente igual a sua largura dr vezes sua circunferéncia 277r ou dA 2ar dr A carga por E 2112 unidade de area é dada por o dQdA portanto a carga do anel 29 é dada por dQ odA 200 r dr Usamos dQ no lugar de Qna resultado final ndo contém a distancia x do ponto do campo Equagao 218 a expressao para 0 campo elm Tazao do anel que até o disco Isso significa que 0 campo elétrico produzido por encontramos no Exemplo 219 e substituimos 0 raio doanela ym plano infinito com uma distribuicdo uniforme de cargas é porr Portanto comp onente dE do campo elétrico no ponto P independente da distancia entre o ponto e o plano Portanto esse em fungao desse anel é dado por Stein Zant wm campo elétrico é uniforme sua diregaéo é sempre perpendicular 1 2morx dr ao plano e seu sentido aponta para fora dele Novamente obser dE Amen 2 2 32 vamos que na natureza nfo existe nenhum plano infinito com 0 r cargas contudo quando a distancia x do ponto do campo P for Para determinarmos 0 campo elétrico resultante produzido pela Muito menor que as dimens6es do plano o campo elétrico nesse contribuico de todos os anéis integramos dE para todos os Ponto sera aproximadamente igual ao produto da Equagao 2112 valores de r de r Oar R ndo de R até R Se o ponto P estivesse situado 4 esquerda do plano x 0 0 resultado seria o mesmo exceto pelo fato de que o sentido de E Req 2a0r dr x ox 2dr E seria da direita para a esquerda em vez de da esquerda para a x Ame 2 P 32 4ey Jo 2 P32 direita Caso a distribuigao de cargas fosse negativa os sentidos dos campos seriam para dentro do plano em vez de para fora dele A integral pode ser calculada usandose a substituicao t x7 Figura 2125 Nossa esquematizacio deste problema r o que resulta em dt 2r dr deixamos para vocé a tarefa de 0 fazer os detalhes da integracao O resultado é 3 Q dQ oe ore MY pe 2e9 ye RZ 7 J x x 211 4 2111 Xd 29 VRx 1 SAE ABC CAMPO DE DUAS PLACAS INFINITAS COM CARGAS OPOSTAS oo Duas placas paralelas infinitas separadas por uma distancia d 0 acima da placa superior possuem densidades superficiais de carga uniformes a e o o Figura 2126 Determine o campo elétrico entre as duas placas EE k a J entre as placas acima do plano superior e abaixo do plano inferior 0 to 0 abaixo da placa inferior SOLUGAO ae a AVALIAR como as placas foram consideradas infinitas o resul IDENTIFICAR E PREPARAR a Equagao 2112 nos fornece 0 tado nao depende da separaciio d Nosso resultado mostra que 0 campo de um unico plano infinito uniformemente carregado Para campo elétrico entre duas placas com cargas opostas essencial encontrar o campo elétrico produzido por duas placas usaremos mente uniforme caso a separagao das placas seja muito menor 0 principio da superposigao Figura 2126 que as dimensoes delas Na verdade usamos esse resultado no EXECUTAR de acordo com a Equagao 2112 FE e Ey possuem Exemplo 217 Secdo 214 o mesmo méddulo em todos os pontos independentemente da distancia entre 0 ponto e qualquer plano ATENGAO Campos elétricos nao sao fluxos Talvez vocé co tenha pensado que 0 campo elétrico E da placa 1 nao conse E E guiria penetrar na placa 2 e que o campo elétrico E da placa 29 2 nao conseguiria penetrar na placa 1 Vocé pode concluir A partir do Exemplo 2111 E sempre aponta para fora do plano 18S0 se pensar em um plano como um tipo de substancia que le E sempre aponta para dentro da carga do plano 2 flui saindo ou entrando em uma carga Na verdade nao Nos pontos situados entre os planos E 1e E se reforgam nos existe esse tipo de substancia e os campos E e Ey dependem pontos acima do plano superior ou abaixo do plano inferior eles somente das cargas que os produziram O campo elétrico resul se cancelam Logo o campo elétrico resultante é dado por tante é simplesmente dado pela soma vetorial de FE com E Continua 24 Fisica Ill Continuagdao Figura 2126 Calculo do campo elétrico y produzido por duas placas infinitas Eh YE EE E 0 carregadas com cargas opostas Placa2 o A figura mostra uma vista de perfil eda por um ot gan ds ee placas infinitas pode ser mostrada Placal o BY AE BB 8 0 TESTE SUA COMPREENSAO DA SEGAO 215 Suponha que a linha de carga na Figura 2124 Exemplo 2110 tivesse carga Q distribuida uniformemente entre y Oe y a e tivesse carga Q distribuida uniformemente entre y 0 e y a Neste caso o campo elétrico em P i apontaria no sentido positivo de x ii apontaria no sentido negativo de x iil apontaria no sentido positivo de y iv apontaria no sentido negativo de y v seria igual a zero vi nenhuma dessas alternativas 216 LINHAS DE UM CAMPO ELETRICO Figura 2127 A direcao do campo O conceito de campo elétrico pode parecer um pouco ilusério porque nao se pode elétrico em qualquer ponto vélo diretamente As linhas do campo elétrico constituem uma ajuda valiosa para tangente a linha de campo elétrico visualizar 0 campo e interpretalo de modo mais realista Uma linha de campo que passa pelo ponto considerado ee Lo elétrico é desenhada como uma linha imaginaria reta ou curva que passa por uma Campo no f Campono regiaio do espaco de tal modo que sua tangente em qualquer ponto fornega a direcao ponto P onto R a sa aos es 4s ponto e 0 sentido do campo elétrico no ponto considerado A ideia basica é indicada na RNR Figura 2127 Usamos um conceito semelhante em nossa discussao sobre 0 es Linha de coamento de um fluido na Secao 145 Uma linha de corrente é uma linha reta ou wlétieo curva cuja tangente em qualquer ponto fornece a direcdo e o sentido da velocidade do fluido no ponto considerado Contudo existe apenas semelhanga matematica entre uma linha de corrente de um fluido e uma linha de campo elétrico nao existe nada fluindo ao longo de uma linha de campo elétrico O cientista inglés Michael Faraday 17911867 foi o primeiro a introduzir 0 conceito de linhas de campo Ele chamou essas curvas de linhas de forga porém a expresso linhas de campo elétrico é preferivel As linhas de campo elétrico indicam a diregao e 0 sentido do campo elétrico E em cada ponto e 0 espacamento dessas linhas fornece uma ideia do médulo de E em cada ponto Nos locais onde E é forte desenhamos linhas agrupadas de forma compacta onde E é mais fraco as distancias entre as linhas séo maiores Em qualquer ponto particular o campo elétrico possui uma Unica direao de modo que somente uma linha de campo elétrico pode passar em cada ponto Em outras palavras as linhas de campo elétrico jamais se cruzam A Figura 2128 mostra algumas das linhas de campo elétrico em um plano com a uma Unica carga positiva b duas cargas de mesmo médulo porém de sinais opostos um dipolo e c duas cargas positivas iguais Diagramas como esses al gumas vezes sao chamados de mapas do campo Eles sao na verdade seg6es retas de uma configuragao em trés dimens6es A diregao do campo elétrico resultante em cada ponto desses diagramas segue pela tangente da linha de campo elétrico que passa pelo ponto considerado As setas indicam o sentido do vetor E ao longo de cada linha de campo elétrico O tamanho real dos vetores do campo foi desenhado em alguns pontos em cada uma das configuragdes Note que em geral o médulo do campo elétrico é diferente em pontos diferentes de uma mesma linha de campo elétrico uma linha de campo elétrico ndo é uma curva que possui 0 médulo do campo elétrico constante A Figura 2128 mostra que as linhas de campo elétrico estéo direcionadas para fora das cargas positivas visto que nas vizinhangas de uma carga puntiforme positiva o campo elétrico E aponta para fora da carga e para dentro das cargas negativas visto que nas vizinhangas de uma carga puntiforme negativa o campo Capitulo 21 Carga elétricae campo elétrico 25 Figura 2128 Linhas de campo elétrico para trés distribuig6es de cargas diferentes Geralmente o médulo de E difere em pontos diferentes da mesma linha de campo elétrico a Uma tnica carga positiva b Duas cargas de mesmo médulo porém de sinais c Duas cargas positivas iguais opostos um dipolo E E E E ys LEY E Ni a i Linhas de campo sempre we i Tees apontam para fora de seeneeeee A cada ponto no espago 0 vetor As linhas de campo ficam préximas quando o cargas e para dentro do campo elétrico é tangente a campo é forte e distantes quando 0 campo é de cargas linha de campo que passa pelo mais fraco ponto considerado elétrico E aponta para dentro da carga Em locais onde 0 campo elétrico possui Figura 2129 a Linhas de campo médulo grande como entre as duas cargas com sinais opostos na Figura 2128b cletrico produzidas por duas saltat opostas contiguracao e resultante as linhas de campo séo desenhadas de forma mais compactada Nos locais onde P eurag oo a de pequenas sementes de grama o campo elétrico possui médulo pequeno como entre as duas cargas positivas na fytuando sobre 6leo mineral as Figura 2128c as distancias entre as linhas sao grandes Em um campo elétrico extremidades de dois fios uniforme as linhas de campo so retas paralelas e as distancias entre as linhas sfocarregados estao inseridas no leo constantes como indica a Figura 2120 poeare oon ST age ib a ous indicada na Figura A Figura 2129a mostra a vista de cima de um dispositivo experimental Para campo elétrico produz polarizagao visualizar as linhas de campo elétrico Nesse dispositivo as extremidades de dois nas sementes que por sua vez se fios carregados positivamente s4o inseridas em um recipiente com um liquido alinham ao campo isolante e algumas sementes de grama flutuam sobre o liquido As sementes sao a isolantes eletricamente neutros porém o campo elétrico dos dois fios carregados Fio com Fio com produz uma polarizagdo das sementes gerando um ligeiro deslocamento das cargas cargas positivascargas negativas positivas e negativas no interior das moléculas da semente como indica a Figura OF Z i Fa et A 3 218 A extremidade da semente com carga positiva puxada no mesmo sentido de Re ver itr y ts ie a Me E eaextremidade da semente com carga negativa é puxada em sentido contrario ao at ik Le Ty Se nn Sed fe ie i 8 Pas de E Portanto o eixo maior de cada semente tende a se orientar paralelamente ao et ate hi Fa be At Aut Lae ea i ee campo elétrico na mesma direcao da linha de campo elétrico que passa na posiao ie B he lip 5 tele wel da semente Figura 2129b FAL i ahi he A hes ae Ae af SNF EWN ATENCAO Linhas de campo elétrico nao coincidem com trajetérias E um equivoco Sementes de grama comum acreditar que se uma particula com carga q esta em movimento onde existe um campo elétrico a particula deve se mover ao longo de uma linha do campo elétricoComo E em qualquer ponto é tangente a linha do campo elétrico que passa por esse ponto é verdade que a forca F gE sobre a particula e consequentemente a aceleracao dela sao tangentes a linha de campo Contudo aprendemos no Capitulo 3 que a aceleragao de uma particula que realiza um movimento curvilineo ndo pode ser tangente 4 trajet6ria Geral Semente de grama mente a trajetoria de uma particula carregada nao coincide com a linha do campo elétrico o Linha de campo TESTE SUA COMPREENSAO DA SEGAO 216 Suponha que as linhas do campo elétrico em uma regiao do espaco sejam linhas retas Se uma particula carregada fosse langada a partir do repouso nessa regido a trajetoria da particula seria ao longo de uma linha do campo elétrico I Um dipolo elétrico é um par de cargas puntiformes com mesmo médulo porém sinais opostos uma carga positiva g e uma carga negativa q separadas por uma 26 Fisica Ill Figura 2130 a A molécula de distancia d Introduzimos 0 conceito de dipolo elétrico no Exemplo 218 Secao agua um exemplo de dipolo 215 esse conceito é digno de um estudo mais aprofundado porque muitos sis elétrico b Cada tubo de teste ye 2 2 P x temas ffsicos de moléculas até antenas de TV podem ser descritos como dipolos contém uma solugado de uma substancia diferente na dgua elétricos Também usaremos esse conceito extensivamente quando discutirmos O grande momento de dipolo materiais dielétricos no Capitulo 24 elétrico da agua produz um A Figura 2130a mostra um esquema da molécula de 4gua H2O que sob excelente solvente Z ss 2 muitos aspectos é semelhante a um dipolo elétrico A molécula de 4gua como a Uma molécula de agua mostrando um todo é eletricamente neutra porém as ligagdes quimicas em seu interior pro a carga positiva em vermelho e a carga oo negativa em azul duzem um deslocamento das cargas 0 resultado é uma carga liquida negativa na extremidade da molécula ocupada pelo oxigénio e uma carga lfquida positiva na extremidade ocupada pelos atomos de hidrogénio formando um dipolo elétrico B O efeito é equivalente ao deslocamento de um unico elétron a uma distancia de apenas 4 X 107 m aproximadamente igual ao raio de um atomo de hidrogénio porém as consequéncias desse deslocamento sao profundas A agua é um excelente solvente de substancias idnicas como por exemplo o sal de cozinha cloreto de O momento de dipolo elétrico p 24 2 2 es sddio NaCl precisamente porque a molécula de agua é um dipolo elétrico Figura aponta da extremidade negativa o para a extremidade positiva 2130b Quando dissolvido em Agua o sal se dissocia em um jon de sddio positivo da molécula Na e um ion de cloro negativo Cl os quais tendem a serem atraidos respec b Varias substancias dissolvidas tivamente pelas extremidades negativas e positivas das moléculas de Agua essa em agua forga mantém os fons separados na solugao Caso as moléculas de agua nao fossem Se aT dipolos elétricos a Agua seria um solvente fraco e praticamente todos os efeitos ul i quimicos que ocorrem nas soluc6es aquosas seriam impossiveis Esses efeitos in cluem todas as reagdes bioquimicas em todos os tipos de vida existentes na Terra i Na realidade podemos afirmar de modo bastante realista que sua existéncia como ser vivo depende dos dipolos elétricos Vamos abordar duas questées sobre dipolos elétricos Primeira que forgas e tor ques sao exercidos sobre um dipolo elétrico quando este é colocado em um campo elétrico externo ou seja um campo oriundo de cargas no exterior do dipolo Segunda qual é 0 campo elétrico produzido pelo préprio dipolo Forga e torque sobre um dipolo elétrico Figura 2131 A forca elétrica sobre Para comecar a abordar a primeira questao vamos colocar o dipolo elétrico em este dipolo eletrico igual a zero um campo elétrico externo uniforme E como indica a Figura 2131 Ambas as Porém existe um torque resultante forcas F e F que atuam sobre as duas cargas possuem 0 mesmo méddulo gE entrando perpendicularmente no plano da pagina que tende a fazer 0 porém os sentidos dessas forgas sao opostos e portanto a resultante é igual a zero dipolo girar no sentido hordrio A forca resultante sobre um dipolo elétrico em um campo elétrico uniforme externo es E igual azero a B qE Entretanto como as forgas nao atuam ao longo da mesma linha 0 torque re Z eal sultante nao é zero Calculamos o torque em relag4o ao centro do dipolo Seja d J A dsend o angulo entre o campo elétrico Ee 0 eixo do dipolo entao o brago de alavanca a oy tanto para F quanto para F é igual a d2 sen O médulo do torque tanto para FqE q F quanto para F é igual a gEd2sen e ambos os torques tendem a fazer o dipolo girar no sentido hordrio ou seja 7 na Figura 2131 entra perpendicular mente no plano da pagina Logo o mdédulo do torque resultante é igual ao dobro do médulo de cada torque individual 7 qEdsend 2113 onde d sen a distancia perpendicular entre as linhas de agao das duas forgas O produto da carga g pela distancia d o médulo de uma grandeza chamada momento de dipolo elétrico designada pela letra p pqd médulo do momento de dipolo elétrico 2114 Capitulo 21 Carga elétrica e campo elétrico 27 As unidades de p sao carga vezes distancia C m Por exemplo o mddulo do momento de dipolo elétrico da molécula de agua dado por p 613 X 10Cm ATENGAO O simbolo p possui varios significados Nao confunda o momento de dipolo com presséo nem com momento linear O nimero de grandezas fisicas é maior que 0 numero de letras do alfabeto logo algumas letras sao usadas para designar mais de uma grandeza O contexto em que a letra aparece geralmente deixa claro 0 que queremos dizer mas tome cuidado Aprofundando a definigao dizemos que 0 momento de dipolo elétrico é uma grandeza vetorial p cujo médulo é dado pela Equacao 2114 e cuja direcgdo é 0 eixo do dipolo sendo o sentido orientado da carga negativa para a carga positiva como indica a Figura 2131 Usando a Equacgao 2113 o médulo 7 do torque exercido pelo campo elétrico é dado em fungao de p pela relagao yg Modulo de um campo elétrico E Modulo do torque sobre a um dipolo elétrico pE sen p Angulo entre p e E 2115 Médulo do momento de dipolo elétrico p Visto que o Angulo na Figura 2131 é o Angulo entre os vetores p e o campo elétrico E a relagao anterior faz lembrar a definigao do médulo do produto vetorial discutido na Secao 110 Talvez vocé queira revisar essa discussao Portanto podemos escrever a relagdo do torque sobre um dipolo usando notagao vetorial do seguinte modo O vetor torque sobre oe Momento de dipolo elétrico um dipolo elétrico TpXEy Campo elétrico 2116 Vocé pode usar a regra da mAo direita para o produto vetorial para verificar que o vetor torque 7 na Figura 2131 é orientado para dentro da pagina O médulo do torque é méximo quando p e E sao perpendiculares e igual a zero quando esses vetores sao paralelos ou antiparalelos O torque tende sempre a alinhar a direcao de Pp paralelamente a FE Para d 0 ou seja p e EF paralelos o equilfbrio é estavel e para 7 ou seja com pe E antiparalelos o equilfbrio é instavel A polarizacao de uma pequena semente como no dispositivo indicado na Figura 2129b produz um momento de dipolo elétrico na semente 0 torque produzido por E faz com que ela se alinhe paralelamente a E e portanto fique em equilfbrio ao longo de uma linha do campo Energia potencial de um dipolo elétrico Quando um dipolo muda de diregéo em um campo elétrico 0 torque do campo elétrico realiza um trabalho sobre ele produzindo uma correspondente variaao da energia potencial O trabalho dW realizado pelo torque 7 durante um deslocamento infinitesimal dd é dado pela Equacao 1019 dW 7 db Como o torque possui 0 sentido da diminuicdo de devemos escrever 0 torque como Tt pE sen e dW 7 dd pEsenddd Em um deslocamento finito de até o trabalho total realizado sobre o dipolo é dado por 2 w pEsen db 1 pEcos pEcos 28 Fisica Ill O trabalho realizado é igual 4 variagao da energia potencial com o sinal oposto andlogo ao que vimos no Capitulo 7 W U U Assim vemos que uma defi nigao apropriada de energia potencial U para esse sistema é U pEcos 2117 Nessa relacao reconhecemos 0 produto escalar p E pEcos portanto podemos também escrever Energia potencial ee Campo elétrico para um dipolo em U p E 2118 um campo elétrico eesessueeeeeee Momento de dipolo elétrico A energia potencial possui um valor minimo U pE isto é seu valor nega tivo com maior mdédulo correspondendo a uma posigao de equilibrio estavel para bO0epe E paralelos A energia potencial possui um valor maximo quando 7 e p antiparalelo a E entio U pE Quando 72 em que p é perpendi cular a E U sera igual a zero Poderiamos definir U de outro modo considerando seu valor igual a zero para outra orientagfo de p porém nossa definicéo é a mais simples possivel A Equacao 2118 nos permite analisar o efeito indicado na Figura 2129 de outra forma O campo elétrico E fornece a cada semente um momento de dipolo elétrico e a semente entao se alinha a E para minimizar a energia potencial BECEILICRARED ORCA TORQUE SOBRE UM DIPOLOELETRICO ns A Figura 2132a indica um dipolo elétrico no interior de um campo elétrico uniforme com médulo igual a5 X 10 NC orien 7 pEsend 20 X 10 C m 50 X 10 NC sen 145 tado paralelamente ao plano da figura As cargas sio 16 X 57X1074Nm 107 Ce ambas as cargas estao sobre o plano da figura e a dis tancia entre elas igual a 0125 nm 0125 X 10 m Calcule Usando a regra da mao direita para o produto vetorial veja a a a forga resultante exercida pelo campo sobre 0 dipolo b o Secio 110 o torque 7 p X E aponta ortogonalmente para fora médulo a diregao e o sentido do momento de dipolo elétrico c da pagina Isso corresponde a um torque no sentido antihordrio o médulo a direcdo e o sentido do torque d a energia potencial que tende a alinhar p com E do sistema na posicao indicada d A energia potencial é dada por SOLUGAO U pEcos IDENTIFICAR E PREPARAR este problema usa os conceitos 20 x 10C m 50 X 10 NC cos 145 desta seco referentes a um dipolo elétrico colocado em um 32x 10243 campo elétrico Usamos a relagio F qE para cada carga P untiforme para achar a forga sobre 0 dip olo como um todo A AVALIAR o médulo da carga a distancia entre as cargas 0 mo Equacao 2114 fornece o momento de dipolo a Equacao 2116 Le 0 torque sobre o dipolo e a Equacao 2118 a energia potencial mento de dipolo ea energia potencial s4o todos muito pequenos do sistema mas todos tipicos para moléculas EXECUTAR a uma vez que 0 campo elétrico é uniforme as Figura 2132 a Um dipolo elétrico b Direg6es e forcas que atuam sobre as cargas s4o iguais e opostas e a forca sentidos do momento de dipolo elétrico do campo resultante é igual a zero elétrico e do torque 7 aponta para fora da pagina b O médulo p do momento de dipolo elétrico p é dado por a b p qd 16 X 10 C 0125 X 10 m q 20 X 10 Cm E 35 an P O sentido de p aponta da carga negativa para a positiva for 145 KT mando um angulo de 145 no sentido horario com o sentido do q campo elétrico Figura 2132b TS TTS c O médulo do torque é Capitulo 21 Carga elétrica e campo elétrico 29 Nesta discussao estamos supondo que E uniforme de modo que aforga BIO Aplicagao Um peixe com resultante que atua sobre o dipolo elétrico é igual a zero Caso E nao fosse uni omento de dipolo eletrico forme as forgas nas extremidades nao se cancelariam completamente e a forga re Ao contrario do tubaraotigre sé P Secao 214 que detecta os campos sultante poderia ser diferente de zero Logo um corpo sem nenhuma carga elétrica gigiricos produzidos por sua presa 0 liquida porém com um momento de dipolo elétrico pode sofrer uma forga elétrica abaaba Gymnarchus niloticus que é resultante em um campo elétrico nao uniforme Como dissemos na Secfo 211 um Nnoturno possui visao ruim gera seu corpo neutro pode ser polarizado por um campo elétrico surgindo nele uma sepa P0Pti0 campo eletrico para cagar outros as peixes Ele consegue deixar sua cauda ragao de cargas e portanto um momento de dipolo eletrico Isso explica como um carregada negativamente em relagdo a corpo descarregado pode sofrer a agao de forgas eletrostaticas veja a Figura 218 aja cabeca produzindo um campo elétrico semelhante ao de um dipolo como indica ae a Figura 2128b Quando um peixe menor Campo de um dipolo elétrico entra no campo seu corpo altera a Vamos agora estudar um dipolo elétrico como uma fonte de campo eletrico A Tea ed es posente forma geral do campo por um dipolo é mostrada pelo mapa do campo indicado na Figura 2128b Em cada ponto da configuragao o campo elétrico resultante E é dado pela soma vetorial dos campos produzidos pelas duas cargas individuais como no Exemplo 218 Segao 215 Sugerimos que vocé facga diagramas mostrando essa soma vetorial em diversos pontos Para obtermos informag6es quantitativas sobre o campo de um dipolo elétrico precisamos fazer alguns calculos como o proximo exemplo ilustra Observe o uso do principio da superposigao dos campos elétricos para a soma vetorial das contribuigées individuais das cargas Observe também que devemos usar técnicas de aproximacao até mesmo no caso relativamente simples do campo elétrico pro duzido por duas cargas Os calculos envolvidos podem se tornar bastante compli cados e geralmente utilizamos andlises feitas com 0 uso de um computador para a determinacgao do campo elétrico em fungao de distribuig6es arbitrarias de cargas Na Figura 2133 um dipolo elétrico esta centralizado na origem Figura 2133 CAélculo do campo elétrico com 0 vetor p apontando para o eixo y Deduza uma expres produzido por um dipolo elétrico para um s40 para o campo elétrico em um ponto P ao longo do eixo y ponto situado sobre seu eixo considerando y muito maior do que d Para fazer isso use a série binomial 1 x 1 nx nn1x22 valido para o y caso lxl 1 E SOLUGAO P IDENTIFICAR E PREPARAR usamos 0 principio da superposi E cao o campo elétrico total é a soma vetorial do campo produzido pela carga positiva e do campo produzido pela carga negativa No ponto do campo P indicado na Figura 2133 o campo E da ya carga positiva possui um componente y positivo de baixo para cima e 0 campo E da carga negativa possui um componente ytd y negativo de cima para baixo Somamos esses componentes para obter 0 campo elétrico resultante e a seguir aplicamos a aproximacao de que y é muito maior que d q EXECUTAR 0 componente y resultante do campo elétrico E produzido pelas duas cargas é dado por d O x Ey 1 q Ameo Ly d2 y 42 Fallt3 3 1 14 em comparacao ao seu tamanho portanto y d temos d2y Atregy 2y 2y 1 Fazendo n 2 e identificando d2y com o papel de sempenhado por x na série binomial mantemos apenas os dois Usamos esse método no Exemplo 218 Secdo 215 Agora primeiros termos da série os demais termos desprezados sao vamos a aproximac4o quando estamos muito afastados do dipolo muito menores Assim encontramos Continua 30 Fisica Ill Continuagdo d2 d d2 d Quando o ponto P nao esta sobre 0 eixo de coordenadas as ex 1 1t y 1 y pressGes séo um pouco mais complicadas porém para todos os pontos muito afastados do dipolo elétrico em qualquer diregao Portanto E é dado aproximadamente por o campo elétrico cai com Ur Compare esse resultado com a de pendéncia de 1r para uma carga puntiforme com a dependéncia E 1 d 2 9d P de 1r para uma linha de cargas e com a independéncia de r para Amegy y y Qrepy Qregy o caso de um plano carregado infinito Existem distribuicgdes de cargas para as quais 0 campo elétrico decresce ainda mais rapi AVALIAR um caminho alternativo para obter essa expressa0 damente Um quadrupolo elétrico é um conjunto de dois dipolos consiste em colocar as fragdes da expressao de E sobre um elétricos iguais com orientacgdes opostas e separados por uma denominador comum somar e em seguida aproximar 0 deno distAncia pequena Para pontos muito afastados de seu centro 0 minador y d2y d2 para y Deixamos os detalhes para campo elétrico de um quadrupolo cai com ur vocé veja o Exercicio 2158 TESTE SUA COMPREENSAO DA SEGAO 217 Um dipolo elétrico colocado em uma area de campo elétrico uniforme E com 0 momento de dipolo elétrico p apontando no sentido oposto a EO dipolo esta i em equilibrio estavel 11 em equilibrio instavel ou 111 nenhuma das alternativas Dica revise a SecAo 75 1 CAPITULO 21 RESUMO Carga elétrica condutores e isolantes a grandeza fundamental da eletrostatica é a carga elé trica Existem dois tipos de carga a positiva e a negativa Cargas de mesmo sinal se repelem SL Cargas de sinais opostos se atraem A carga se conserva a carga total de um sistema isolado ySS permanece sempre constante OQ a Toda matéria comum é constituida de protons néutrons e elétrons Os prétons positivos e os NS néutrons eletricamente neutros estao ligados no interior do nucleo pela acao da forga nuclear ea os elétrons negativos giram em torno do nticleo em distancias muito maiores que o diametro nuclear As interagées elétricas siéo as principais responsaveis pela estrutura dos 4tomos das moléculas e dos sdlidos Os condutores sao materiais no interior dos quais o movimento de cargas ocorre com facilidade Os isolantes nao permitem que as cargas se movimentem facilmente Quase todos os metais sao bons condutores a maioria dos materiais nao metalicos é isolante Lei de Coulomb para cargas q e gz separadas por 1 qi4 Fem uma distancia r o médulo da forga elétrica sobre r Amey a 212 Ne cada carga é proporcional ao produto gq2 e inver ST samente proporcional a r A direcdo da forca que 1 Sy atua sobre uma carga é dada pela linha reta que une 8988 X 10 N mC Bho 2 as duas cargas repulsiva quando q e gz possuem ATO mw 0 mesmo sinal e atrativa quando q e q2 apresentam BQ P sinais opostos A unidade SI de carga elétrica é 0 Fo emi Sy coulomb abreviado pela letra C Exemplos 211 F TD e 212 p Quando duas ou mais cargas exercem forcas entre si a forga total sobre uma dada carga é igual 4 soma vetorial das forgas individuais exercidas pelas ou tras cargas sobre a referida carga Exemplos 213 e 214 Campo elétrico ocampoelétrico Fumagrandeza Fy Zé vetorial é a forga elétrica por unidade de carga exer E q 213 4 cida sobre uma carga de teste em qualquer ponto O OA campo elétrico produzido por uma carga puntiforme E lq Lf aponta radialmente para fora da carga ou para dentro Airey 72 17 dela Exemplos 215 a 217 Capitulo 21 Carga elétricae campo elétrico 31 Superposicao dos campos elétricos o campo elétrico E de qualquer combinagao de cargas do igual 4 soma vetorial dos campos elétricos produzidos pelas cargas individuais Para calcular Gs 6 o campo elétrico produzido por uma distribuigdo continua de cargas divida a distribuigéo em fa te dE a4q P x pequenos elementos calcule 0 campo elétrico produzido por cada elemento e determine a soma O dE a vetorial para cada componente do campo elétrico geralmente fazendo uma integral As distri aan ar buicg6es de cargas s4o descritas pela densidade linear de carga A pela densidade superficial de Q carga o e pela densidade volumétrica de carga p Exemplos 218 a 2112 Linhas de campo elétrico as linhas de campo elétrico oferecem uma representacio grafica do EB FF campo elétrico Em qualquer ponto de uma linha de campo a tangente a linha fornece a diregao EN e 0 sentido de E no ponto considerado O ntimero de linhas por unidade de area perpendicular JEN a sua diregao é proporcional ao mddulo de E no ponto considerado SY Dipolos elétricos um dipolo elétrico é um parde pE send 2115 fog cargas elétricas com sinais opostos com 0 mesmo B P 4 modulo q separadas por uma distanciadOmo E A 4 mento de dipolo elétrico p tem médulo p gd A 7 P Ae 2116 Lf é dsend direcao de p 0 eixo do dipolo e seu sentido aponta F v da carga negativa para a carga positiva Um dipolo y p E 2118 ea meen elétrico em um campo elétrico E sofre a agéo de um torque 7 cujo médulo é 0 produto vetorial de pe E O médulo do torque depende do Angulo entre pe EA energia potencial U para um dipolo elétrico em um campo elétrico também depende da orientagao relativa de pe E Exemplos 2113 e 2114 Problema em destaque Calculo do campo elétrico meio anel carregado 2A Figura 2134 apresenta a carga positiva Q distribuida uni desses segmentos Qual é 0 valor da carga que um seg formemente em torno de um semicirculo de raio a Encontre o mento possui médulo a diregdo e 0 sentido do campo elétrico resultante no 3 Considere um segmento infinitesimal em uma posigao an ponto P o centro da curvatura do semicirculo gular no semicirculo medido a partir do canto direito inferior do semicirculo onde x a y 0 Logo 9 772 x emx 0y ae07emx a y 0 Quais sio os GUIA DA SOLUCGAO componentes x e y do campo elétrico em P dE e dE IDENTIFICAR E PREPARAR produzidos apenas por esse segmento oot 1 As incognitas da questo sfo os componentes do campo EXECUTAR elétrico no ponto P ee 4 dE edE 00ce0 2 Divida o semicirculo em segmentos infinitesimais cada integre suas EXPTESSOS para dh dy entre 7 um representando um segmento de arco circular curto que Os resultados serao os componentes x e y do campo elétrico possui raio a e Angulo dé Qual é o comprimento de um no ponto P 5 Use seus resultados da etapa 4 para encontrar 0 médulo a Figura 2134 Carga distribufda uniformemente diregdo e o sentido do campo elétrico no ponto P em torno de um semicirculo AVALIAR y 6 Seu resultado para o médulo do campo elétrico esta ex presso nas unidades corretas Q 7 Explique como vocé poderia encontrar 0 componente x do campo elétrico usando um argumento de simetria 8 Qual seria o campo elétrico no ponto P caso o semicirculo x passasse a ser um circulo completo cujo centro se localiza p no ponto P 32 Fisica Ill PROBLEMAS e ee eee niveis de dificuldade PC problemas cumulativos incorporando material de outros capitulos CALC problemas exigindo calculo DADOS problemas envolvendo dados reais evidéncia cientifica projeto experimental eou raciocinio cientifico BIO problemas envolvendo biociéncias QUESTOES PARA DISCUSSAO particula seguira uma linha do campo elétrico Por qué Suponha Q211 Quando vocé destaca duas tiras de fita adesiva transpa US particula seja colocada em algum Ponto da Figura 2128b rente do mesmo rolo e imediatamente as suspende préximasuma liberada as cargas positivas negativas exibidas estao fixas da outra elas vao se repelir Quando vocé gruda a parte adesiva Sua trajetoria seguira uma linha do campo eletrico Por qué de uma delas no lado brilhante da outra e depois puxa para afasta Explique quaisquer diferengas entre suas respostas para as duas las elas vao se atrair Dé uma explicacao plausivel para essa situacoes oo série de ocorrncias entre as tiras da fita adesiva envolvendo a Q2110 Dois objetos metalicos idénticos so montados sobre transferéncia de elétrons suportes isolantes Descreva como vocé poderia introduzir em Q212 Duas esferas metdlicas estao suspensas com fios de nai tais objetos cargas com sinais opostos porém com modulos exa lon Quando vocé as aproxima elas tendem a se atrair Com base tamente 1guals somente nessa informacaéo discuta todas as possibilidades de Q2111 Comoas cargas do elétron e do proton possuem o mesmo existéncia de cargas na superficie das esferas Caso fosse possivel valor absoluto Os atomos sao eletricamente neutros Suponha que 0 toque entre as esferas elas permaneceriam unidas Explique SS nao seja exatamente verdadeiro e o valor absoluto da carga Q213 A forga elétrica entre duas particulas carregadas tornase do elétron seja 000100 menor que a carga do pr oton Estime o fraca quando a distancia aumenta Suponha que em vez disso valor da carga liquida deste livro nessas circunstancias Apresente a forca elétrica fosse independente da distancia Nesse caso um claramente todas as suas hipdteses ica a maioria dos atomos pente carregado ainda poderia produzir uma polarizacao de um neste livro possui 0 mesmo ntimero de elétrons protons e néu isolante neutro como indicado na Figura 218 Por qué O iso trons Qual seria o médulo da forga eletrica entre dois livros lante neutro ainda seria atraido pelo pente Novamente por qué separados por 50 m de distancia Essa forga seria atraente ou Q214 Suas roupas tendem a se aglutinar depois que passam repulsiva Explique como o fato de que a materia comum es pela secadora Por qué Vocé espera que na secagem supondo tavel mostra que os valores absolutos das cargas do elétron e do que todas as roupas sejam feitas do mesmo material digamos proton devem ser idénticos aum nivel muito elevado de precisao algodao a aglutinacgAo seja maior ou menor do que no caso de Q21 12 Quando voce caminha sobre um tapete de nailon e a roupas feitas com materiais diferentes Por qué Talvez vocé S8U toca um objeto metalico grande como uma maganeta queira fazer a experiéncia na préxima vez em que lavar roupa P ode ocorrer uma faisca voce sentra um choque Por que em Q215 Uma esfera metdlica descarregada est4 suspensa porum dia SECO existe maior probabilidade de isso ocorrer do que fio de ndilon Quando uma haste de vidro carregada positiva um dia timido D ca vejaa Figura 2130 Por que quando mente é colocada proxima 8 esfera ela é atraidae se moveno toca um objeto metalico pequeno como um clipe de papel sentido da haste Porém se a esfera toca a haste ela repentina P robabilidade de choque menor mente se afasta dela Explique por que ela é inicialmente atraida Q21 13 Vocé tem um objeto com carga negativa Como pode e a seguir repelida usalo para colocar carga negativa em uma esfera metalica iso Q216 BIO Faca uma estimativa de quantos elétrons existem lada E para colocar carga p ositiva na esfera em seu corpo Apresente claramente todas as suas hipoteses Q21 14 Quando duas cargas p untiformes de igual massa carga Dica a maior parte dos étomos em seu corpo possuio mesmo S liberadas sobre uma mesa com atrito desprezivel cada qual numero de elétrons prdtons e néutrons Qual é a soma das cargas P Osstl uma aceleragao inicial médulo dg Se em vez disso voce de todos esses elétrons mantiver uma fixa e liberar a outra qual sera a aceleragao inicial Q217 A Figura Q217 mostra algu Figura Q217 4 2ag OU ap2 Explique mas linhas do campo elétrico em funcao Q2115 Uma carga puntiforme de massa m e carga Q e outra de trés cargas puntiformes sobre 0 eixo carga puntiforme de massa m porém com carga 2Q sao liberadas vertical As trés cargas possuem 0 mesmo sobre uma mesa com atrito desprezivel Caso a carga Q tenha modulo a Quais sao 0s sinais algébricos uma acelerac4o inicial ap qual sera a aceleracdo de 2Q ag 2ag de cada carga Explique seu raciocinio 4ag ao2 ou ao4 Explique b O modulo do campo elétrico tem seu Q2116 Um proton é colocado em um campo elétrico uniforme valor minimo em que pontos Explique e depois liberado A seguir um elétron é colocado nesse mesmo seu raciocinio Explique como os campos ponto e liberado Essas duas particulas sofrem a mesma forga A elétricos individuais de cada carga punti mesma aceleracg4o Elas se movem na mesma direcAo e sentido forme combinam para produzir um campo quando liberadas resultante pequeno nesses pontos Q2117 No Exemplo 211 Secao 213 vimos quea forcga elé Q218 Bons condutores elétricos como trica entre duas particulas a é da ordem de 10 vezes mais forte Os metais em geral também sao bons condutores de calor iso que a forga gravitacional Entao por que sentimos facilmente a lantes elétricos como a madeira em geral sio maus condutores gravidade da Terra mas nenhuma forga elétrica que dela emana de calor Explique por que existe uma relacio entre a condugio Q2118 Que semelhangas existem entre uma forga elétrica e elétrica e a conducao térmica desses materiais uma gravitacional Quais sao as diferengas mais relevantes entre Q219 Suponha que a carga da Figura 2128a esteja fixaem essas forgas uma posicao Uma particula pequena positivamente carregada é Q2119 Dois objetos irregulares A e B possuem cargas elétricas colocada em algum local e em seguida liberada A trajetoriada de sinais opostos A Figura Q2119 mostra as linhas do campo Capitulo 21 Carga elétrica e campo elétrico 33 elétrico proximo desses ob Figura Q2119 do ciclo cerca de 56 X 10 Na fons de s6dio por metro cada Jetos a Qual objeto é po um com carga de e entram no ax6nio Quantos coulombs de sitivo A ou B Como vocé carga entram por um comprimento de 15 cm do ax6nio durante sabe b Onde o campo esse processo elétrico é mais forte pr6 B 216 Duas pequenas esferas separadas por uma distancia igual ximo de A ou de B Como a 200 cm possuem cargas iguais Quantos elétrons em excesso vocé sabe L devem estar presentes em cada esfera para que o médulo da forga Q2120 Um nucleo é ZN de repulsio entre elas seja igual a 333 X 1077 N2 constituido por prétons e ps N 217 Um ser humano médio pesa cerca de 650 N Se dois néutrons Isso mostra que desses seres de peso médio carregassem cada um 10 coulomb além das forgas elétrica e de excesso de carga um positivo e outro negativo qual deve ser gravitacional deve existir outro tipo de interacao Explique a distancia entre eles para que a atracao elétrica seja igual a seus Q2121 Um campo elétrico suficientemente forte pode fazer pesos de 650 N um atomo se tornar um fon positivo isto fazer com que ele 218 Duas pequenas esferas de aluminio cada uma com perca um ou mais elétrons Explique como isso pode ocorrer massa igual a 00250 kg esto separadas por uma distancia de O que determina a intensidade minima 800 cm a Quantos elétrons esto presentes em cada esfera capaz de produzir esse efeito Figura Q2122 O ntimero at6émico do aluminio é 13 e sua massa atémica é Q2122 Os campos elétricos no ponto 26982 gmol b Quantos elétrons devem ser removidos de P produzidos pelas cargas positivas q E E uma esfera e adicionados a outra para que o médulo da forga de q2 S40 mostrados na Figura Q2122 atracao entre elas seja igual a 100 X 10 N aproximadamente O fato de eles se cruzarem viola a afir igual ao peso de uma tonelada Suponha que as esferas possam macao feita na Secao 216 de que os ser tratadas como cargas puntiformes c A que fracao da carga campos elétricos nunca se cruzam p total de cada esfera essa quantidade corresponde Explique 219 Duas esferas de plastico pequenas recebem cargas Q2123 A temperatura e a velocidade qO q elétricas positivas Quando estao separadas por uma distancia do ar possuem valores diferentes em di de 150 cm a forga repulsiva entre elas possui médulo igual a ferentes pontos da atmosfera terrestre A 0220 N Qual é a carga de cada esfera a se as duas cargas velocidade do ar uma grandeza vetorial Por qué A tempera fossem iguais e b se uma esfera possuisse uma carga quatro tura do ar é uma grandeza vetorial Por qué vezes maior que a outra Exercicios 2110 Quao intensa é a forca elétrica Suponha que vocé tenha duas pequenas caixas cada uma contendo 10 g de pr6 Seao 213 Lei de Coulomb tons a Se uma fosse colocada na Lua por um astronauta e a 211 Uma pequena esfera de chumbo de massa igual a outra permanecesse na Terra e se elas estivessem ligadas por 800 g possui excesso de elétrons com uma carga liquida igual yma corda muito leve e muito comprida qual seria a tensao a 320 x 10 C a Calcule o mimero de elétrons em ex na corda Expresse sua resposta em newtons e em libras Vocé cesso sobre a esfera b Quantos elétrons em excesso existem precisa levar em conta as forgas gravitacionais da Terra e da Lua por atomo de chumbo O numero atémico do chumbo igual a gobre os protons Por qué b Qual a forga gravitacional que 82 e sua massa at6mica é 207 gmol cada caixa de protons exerce sobre a outra caixa 212 Um relampago ocorre quando existe fluxo de cargas 2111 Em umexperimento no espaco um proton é mantido elétricas principalmente elétrons entre o solo e uma nuvem de fixo e outro liberado do repouso a uma distancia de 250 mm tempestade A taxa maxima do fluxo de cargas elétricasemum a Qual é a aceleragao inicial do préton apés ser liberado b raio aproximadamente igual a 20000 Cs essa descarga dura Faca graficos qualitativos sem numeros de aceleragao ver cerca de 100 ps Qual é a quantidade de carga que flui entre a sus tempo e velocidade versus tempo do movimento do préton terra e a nuvem nesse intervalo Quantos elétrons flufram durante liberado esse intervalo 2112 Uma carga negativa de 0550 wC exerce uma forga 213 Um proton e um elétron separados por 20 X 109m de baixo para cima de 0600 N sobre uma carga desconhecida uma distancia at6mica comum sio liberados Encontre a acele situada a 0300 m diretamente abaixo da primeira a Qual 0 racdo inicial de cada particula valor da carga desconhecida médulo e sinal b Determine o 214 Particulas em um anel de ouro Vocé possui um anel modulo a direcdo e o sentido da forga que a carga desconhecida de ouro puro 24 quilates com massa igual a 108 g A massa exerce sobre a carga de 0550 HC Lo at6mica do ouro é igual a 197 gmol e seu numero atoémico é 79 2113 Trés cargas p untiformes estao dispostas em linha reta Z Z ae A carga g3 50 nC esta na origem A carga gy 30 nC a Quantos protons existem no anel e qual é a carga total positiva esta em x 400 cm A carga gq estaem x 200 cm correspondente b Sabendo que o anel nao tem nenhuma carga a Determine g médulo e sinal quando a forga resultante sobre liquida quantos elétrons ele possui 2 no a q3 for igual a zero 215 BIO Propagagao de sinal em neuronios Neurdnios 954 44 e No Exemplo 214 suponha que a carga puntiforme sao componentes do sistema nervoso do corpo que transmitem obre 9 eixo y na posicéo y 030 m possua uma carga ne sinais 4 medida que impulsos elétricos se propagam ao longo gativa igual a 20 wC mantendo a outra carga inalterada de sua extensao Essa propagagao acontece quando cargas su Determine o médulo a diregdo e o sentido da forga resultante bitamente entram e saem de uma parte do neurénio chamada sobre a carga Q Quais sao as diferengas entre sua resposta e a axonio Medig6es mostraram que durante a entrada dessa parte resposta encontrada no Exemplo 214 Explique as diferengas 34 Fisica Ill 2115 No Exemplo 213 calcule a forca resultante sobre a a guanina em virtude dessas trés combinag6es E uma forea de carga q atragdo ou repulsdo 2116 aa No Exemplo 214 determine a forga resultante m6 Figura E2122 dulo direg4o e sentido sobre a carga q exercida pelas outras duas cargas H je9290 2117 Trés cargas puntiformes estéo dispostas ao longo do nm Guanina eixo x A carga gq 300 uC esta na origem e a carga q H O N A 500 uC estd em x 0200 m A carga gq 800 uC Onde Citosina 03 7 Vt q3 estara localizada quando a forga resultante sobre gq for 70 N 6 je St C C no sentido x N A N N 2118 Repita o Exercicio 2117 para g3 800 uC N oS 2119 Duas cargas puntiformes estao localizadas sobre aN bk CN o eixo y do seguinte modo carga gj 150 nC no ponto 0 Ni y 0600 m e carga gy 320 nC na origem y 0 Qual a é a forca resultante mddulo diregao e sentido que essas duas H cargas exercem sobre uma terceira carga g3 500 nC loca lizada no ponto y 0400 m 2120 Duas cargas puntiformes sao colocadas sobre 0 eixo x Seao 214 Campo elétrico e forgas elétricas do seguinte modo carga gq 400 nC est localizada no ponto 2123 PC Um proton colocado em um campo elétrico uni x 0200 me carga gq 500 nC no ponto x 0300 m forme de 275 X 10 NC Calcule a o médulo da forga elétrica Qual o médulo a direciio e o sentido da fora resultante que Sfrida pelo proton b a aceleragao do proton c o médulo da essas duas cargas exercem sobre uma terceira carga puntiforme Velocidade do proton apos 100 zs no campo supondo que ele negativa g3 600 nC localizada na origem parta do repouso 2121 BIO Pareamento de bases no DNA I Os dois lados 2124 Uma particula possui carga igual a 500 nC a da dupla hélice de DNA sao ligados por pares de bases adenina Determine o médulo a diregao e o sentido do campo elétrico timina citosina e guanina Em razdo da forma geométrica des Produzido por essa particula em um ponto situado a 0250 m sas moléculas a adenina se liga a timina e a citosina se liga a liretamente acima dela b A que distancia dessa particula o guanina A Figura E2121 mostra a ligacao de timinae adenina Campo elétrico possui modulo igual a 120 NC Cada carga na figura é e e a distancia HN de 0110 nm a 2125 PC Um proton se desloca horizontalmente da es Calcule a forca resultante que a timina exerce sobre a adenina querda para a direita a 450 x 10 ms a Determine o médulo E uma forca de atracdo ou repulsao Para manter os célculos direc4o e o sentido do campo elétrico mais fraco capaz de trazer simples porém razoaveis considere apenas as forgas decorren Proton uniformemente para 0 repouso ao longo de uma distan tes das combinagdes de OHN e NHN supondo que cia de 320 cm b Quanto tempo o proton leva para parar apds estas duas combinagoes sejam paralelas entre si Lembrese no etrar no campo c Qual é o campo minimo médulo diregao entanto de que no conjunto OHN O exerce uma forca sentido necessario para parar um elétron sob as condigées tanto sobre H quanto N e de forma andloga o mesmo acon descritas no item a tece no conjunto NHN b Calcule a fora sobre o elétron 2126 PC Um elétron liberado do repouso em um campo no dtomo de hidrogénio que fica a 00529 nm de distancia do elétrico uniforme O elétron acelera verticalmente de baixo para proton Em seguida compare a intensidade da forca de ligacio ima percorrendo 450 m nos primeiros 300 j1s apos ser libe do elétron no hidrogénio com a forca de ligaco das moléculas do a Determine o médulo a diregdo e 0 sentido do campo de adeninatimina elétrico b Existe justificativa para desprezar os efeitos da gra vidade Justifique sua resposta em termos quantitativos Figura 2121 2127 a Qual deve ser a carga sinal e médulo de uma particula com 145 g para que ela permanega em repouso quando colocada em um campo elétrico orientado de cima para baixo C K280 H cujo mddulo é igual a 650 NC b Qual deve ser 0 médulo de Timina 0 ou Adenina um campo elétrico para que a forga elétrica exercida sobre um C Ed N proton seja igual ao médulo de seu peso C i 300 H 2128 Campo elétrico da Terra A Terra possui uma carga H Pl elétrica liquida que produz um campo elétrico orientado para o C N centro da Terra com modulo de 150 NC em pontos préximos a W sua superficie a Quais devem ser o médulo e o sinal da carga liquida adquirida por uma pessoa de 60 kg para que seu peso seja igual e contrario 4 forga produzida pelo campo elétrico da Terra b Qual seria a forga de repulsao entre duas pessoas que tivessem 2122 BIO Pareamento de bases no DNA II Consulte 0 a carga calculada no item a quando a distancia entre elas fosse Exercicio 2121 A Figura E2122 mostra a ligagdo de citosina igual a 100 m O uso do campo elétrico da Terra poderia fornecer e guanina As distancias OH e NH sao de 0110 nm cada algum método factivel para voar Por qué Neste caso suponha que a ligagaio resulte apenas das forcas ao 2129 PC Um elétron é projetado com velocidade inicial longo das combinagé6es OHO NHN e OHNe ug 160 X 10 ms para dentro do campo elétrico uniforme entre suponha também que essas trés combinag6es sejam paralelas as placas paralelas Figura E2129 Suponha que 0 campo seja entre si Calcule a forca resultante que a citosina exerce sobre uniforme e orientado verticalmente para baixo e considere 0 campo Capitulo 21 Carga elétricae campo elétrico 35 elétrico fora das placas iguala Figura E2129 modulo de Q Explique seu raciocinio b Figura E2136 zero O elétron entra no campo Se a carga q fosse negativa o campo elé em um ponto intermediario entre 200 cm trico poderia ter a direc4o e o sentido mos 20 as placas a Sabendo que o elé L trados na figura Explique seu raciocinio f tron tangencia a placa superior 90em z 2137 Duas cargas puntiformes q di E quando ele sai do campo calcule v sao colocadas sobre 0 eixo x uma no o médulo do campo elétrico b ponto x ae outra no ponto d a 4 Suponha que na Figura E2129 Determine oO médulo a direc4o e o sen P o elétron seja substituido por um proton com a mesma velocidade tido do campo elétrico no ponto x 0 d on Z 2 b Deduza uma expresso para 0 campo inicial Vp O proton colide com uma das placas Se o préton nao a 2 elétrico em qualquer ponto sobre 0 eixo x colide com nenhuma placa qual deve ser o médulo a direg4o e o gs te Use seu resultado para fazer um grafico do Vy sentido de seu deslocamento vertical quando ele sai da regio entre ays lacas c Compare as trajetorias seguidas pelo elétron e pelo campo elétrico em fungao de x para valo as P uN P dif J 8 P P res de x compreendidos entre 4ae 4a proton e explique as diferengas d Analise se razoavel desprezar 2138 As duas cargas ge os efeitos da gravidade para cada particula go representadas na Figura Figura 2138 21 30 a Determine o médulo adirego eo sentido emrelagio 91 38 possuem médulos a0 eixo x do campo elétrico do Exemplo 216 b Uma carga iguais Determine a direcao e 2 puntiforme de 25 nC é colocada no ponto P da Figura 2119 4 sentido do campo elétrico re Determine o médulo a direcao e 0 sentido i da forga que uma carga gujtante em funcdo dessas duas de 80 nC situada na origem exerce sobre essa carga e ii daforga cargas nos pontos A Be C se que essa carga exerce sobre a carga de 80 nC situada na origem g ambas as cargas forem nega QO oe 4 oe O 2131 PC No Exercicio 2129 qual é o modulo da veloci tivas b ambas as cargas forem n on dade do elétron quando ele emerge do campo positivas e c q for positiva e 2132 PC Haé um campo elétrico uniforme na regiao entre for negativa duas placas planas paralelas com cargas de sinais opostos Um 2139 Uma carga punti ec proton é liberado do repouso na superficie da placa com carga forme igual a 200 nC esta positiva e colide com a superficie da placa oposta que estaauma na origem e uma segunda carga distancia de 160 cm da primeira depois de um intervalo igual puntiforme igual a 500 nC encontrase sobre 0 eixo x no ponto a 32 X 10 s a Determine 0 médulo do campo elétrico b x 0800 m a Determine 0 médulo a diregio e o sentido Calcule o médulo da velocidade do préton quando ele atinge a do campo elétrico nos seguintes pontos sobre 0 eixo x i x placa com carga negativa 0200 m ii x 120 m ili x 0200 m b Calcule a forga 2133 Uma carga puntiforme esta na origem Considerando elétrica resultante que essas duas cargas exerceriam sobre um essa carga uma fonte puntiforme qual é 0 vetor unitério para étron situado em cada um dos pontos mencionados no item a um ponto do campo situado em a x 0 y 135 m b x 2140 Repita o Exercicio 2139 porém considere a carga na 120 cm y 120 cm c x 110 m y 26 m Expresse orlgem igual a 40 nC seus resultados em termos dos vetores unitarios 7 e 7 21 A Trés cargas puntiformes ne Figura 2144 2134 Umacarga puntiforme 875 uC esté colada em uma gativas estao P osicionadas ao longo de uma linha como indica a Figura 500 uC mesa horizontal com atrito oe WK E2141 Determine 0 médulo a diregao desprezivel Ela esté atada Figura E2134 Str e o sentido do campo elétrico que esse 800 cm a uma carga puntiforme de wh cm 6 00 cm 650 uC por um fio leve E conjunto de cargas produz no ponto P Z S ON P que esta a 600 cm da carga 200 uC eP nao condutor de 250 em je 250 cm medida perpendicularmente a linha 1 200 uC Um campo elétrico uni 4 o que conecta as trés cargas 800 cm forme de modulo 185 x 650 wC 875 pc 2142 Uma carga puntiforme é 10 NIC esta direcionado colocada em cada vértice de um qua 500 uC paralelamente ao fio como drado de lado a Todas as cargas indica a Figura E2134 a Determine a tenso no fio b Qual possuem modulo g Duas cargas seria a tensdo se ambas as cargas fossem negativas so positivas e duas sd negati Figura E2142 2135 a Um elétron se desloca no sentido lesteem um vas Figura E2142 Determine q a q campo elétrico uniforme de 150 NC que aponta do leste parao a direcao e o sentido do campo oeste No ponto A a velocidade do elétron é 450 X 10 ms no elétrico resultante no centro do sentido leste Qual é o médulo da velocidade do elétron quando quadrado em fungao das quatro ele atinge o ponto B que esta a 0375 ma leste do ponto A b cargas bem como o médulo do a Um préton se desloca no campo elétrico uniforme do item a No campo em fungao de qe a ponto A a velocidade do préton é 190 X 104 ms para o leste 2143 Duas cargas puntifor Qual é o médulo da velocidade do proton no ponto B mes estao separadas por 250 cm Figura E2143 Calcule o campo q 9 Seao 215 Determinagao do campo elétrico elétrico resultante que essas cargas 2136 A Figura E2136 apresenta duas cargas puntiformes Qe produzem a no ponto A e b no q onde g positiva que produzem o campo elétrico resultante ponto B Qual seria o médulo a exibido no ponto P A diregéo do campo é paralelaalinharetaque direcdo e o sentido da forga elétrica que esse conjunto de cargas liga as duas cargas a O que se pode concluir sobre 0 sinale o produziria em um proton no ponto A 36 Fisica Ill Figura E2143 diregao e o sentido do campo elétrico no ponto P c Se a carga 625 nC 1950 for trazida integralmente para o centro do disco encontre 0 m6 8 A A B dulo a direcao e o sentido do campo elétrico no ponto P d Por que 0 campo no item a é mais forte que o campo no item b 100 cm 100 cm Por que 0 campo no item c é 0 mais forte dos trés campos 250 cm 2150 Um fio retilineo muito longo possui carga por unidade de comprimento igual a 320 x 107 Cm A que distancia do 2144 A carga puntiforme g 500 nC esta na origeme fio 0 médulo do campo elétrico é igual a 250 NC a carga puntiforme qz 300 nC esta sobre 0 eixoxemx 2451 Umcondutor em forma de anel com raio a 250 cm 300 cm O ponto P esta sobre 0 eixo yem y 400 cm a possui uma carga positiva resultante Q 0125 nC uniforme Calcule os campos elétricos FE e Ey no ponto P em fungao das mente distribuida ao longo do anel Figura 2123 O centro do cargas q gz Expresse seus resultados em fungao de vetores anel est4 na origem O do sistema de coordenadas a Qual é 0 unitérios Exemplo 216 b Use os resultados da parte a para campo elétrico médulo direiio e sentido no ponto P situado obter o campo elétrico resultante no ponto P tambémem funcéo em x 400 cm b Uma carga puntiforme g 250 uC é de vetores unitarios colocada no ponto P Determine o médulo a direcgao e o sentido 2145 Se dois elétrons estéo Figura E2145 da forca exercida pela carga q sobre o anel cada um a uma distancia igual a 2152 Um fio plastico retilfneo e nao condutor de 850 cm 150 x 107 m de um préton e de comprimento carrega uma densidade de carga de 175 nCm Figura E2145 encontre o médulo distribuida uniformemente ao longo do comprimento Ele se en a diregao e o sentido da forga elétrica contra sobre a superficie horizontal de uma mesa a Determine resultante que eles irao exercer sobre j 50 o médulo a diregao e o sentido do campo elétrico que esse fio O proton Pp 92 e produz em um ponto 600 cm diretamente acima de seu ponto 2146 BIO Campo elétrico de médio b Se o fio for dobrado em circulo sobre a mesa encontre axOnios Um sinal nervoso trans o médulo a direcao e o sentido do campo elétrico que ele produz mitido através de um neurénio quando um excesso de fons de em um ponto 600 cm diretamente acima de seu centro Na subitamente entra no ax6nio uma parte longa e cilindrica do neurénio Ax6nios possuem um diametro aproximadamente Segao 217 Dipolos elétricos igual a 100 zm e as medigdes mostram que cerca de 56 X 10 2153 A distancia entre duas cargas p untiformes a 45 nC fons de Na por metro cada um de carga e entram no ax6nio 42 45 nC igual a 31 mm formando um dipolo elétrico a durante esse processo Embora 0 ax6nio seja um cilindro longo Calcule o momento de dipolo elétrico médulo diregao e sentido a carga nao entra em todos em todos os lugares ao mesmo tempo b As cargas esto no interior de um campo elétrico cuja diregio Um modelo plausivel seria uma série de cargas puntiformes que forma um Angulo de 369 com 0 eixo que liga as cargas Qual é se deslocam ao longo do ax6nio Considere um comprimento de Mdulo desse campo elétrico sabendo que 0 modulo do torque 010 mm do ax6nio e modeleo como uma carga puntiforme a Xercido sobre o dipolo elétrico igual a 72 10Nm Se acarga que entra cada metro do ax6nio é distribuida uniforme 2154 A molécula de aménia NH3 possui um momento de mente ao longo dela quantos coulombs de carga entram em um dipolo elétrico igual a 50 x 10 Cm Moléculas de amé6nia comprimento de 010 mm do ax6nio b Qual é o campo elétrico na fase gasosa so colocadas em um campo elétrico uniforme E médulo direciio e sentido que a entrada stibita de cargas produz cujo modulo igual a 16 x 10 NIC a Qual alteragao sofrida na superficie do corpo se 0 ax6nio se encontra 500 cm abaixo pela energia potencial elétrica quando o momento de dipolo muda da pele c Alguns tubarées podem responder a campos elétri sua orientagdo em relacao a E de uma diregao paralela para uma cos fracos a partir de 10 wNC A que distancia maxima desse diregado perpendicular b Qual a temperatura absoluta T para segmento do ax6nio um tubarao poderia estar e ainda detectar a qual a energia cinética média da translacao 32kT das moléculas seu campo elétrico é igual 4 variagaéo da energia potencial calculada no item a 2147 Emum sistema de coordenadas ortogonais umacarga Observagdo acima dessa temperatura a agitagdo térmica impede puntiforme positiva g 60 X 10 C é colocada no pontox que 0 dipolo elétrico se alinhe com 0 campo elétrico 0150 m y 0 e outra carga idéntica é colocada no ponto 2155 Torque sobre um dipolo Um dipolo elétrico com mo x 0150 m y 0 Estabeleca os componentes x e y bem mento de dipolo p esta em um campo elétrico uniforme E a como o mddulo a direcdo e o sentido do campo elétrico nos Determine as orientagées do dipolo para as quais o torque sobre seguintes pontos a a origem b x 0300 m y 0cx 0 dipolo é igual a zero b Qual das orientagées do item a é 0150 m y 0400 m d x 0 y 0200 m estavel e qual é instavel Dica considere uma pequena rotagaéo 2148 Umacarga puntiforme g 400 nC estéano ponto para fora da posicao de equilibrio e verifique 0 que acontece x 0600 m y 0800 m e outra carga puntiforme gz c Mostre que para a orientac4o estavel do item b 0 préprio 600 nC esta no ponto x 0600 m y 0 Calcule o médulo campo elétrico do dipolo tende a se opor ao campo externo a diregdo e o sentido do campo elétrico na origem produzido 2156 O momento de dipolo da molécula de Agua HO é por essas duas cargas 617 X 107 C m Suponha que a molécula de agua esteja 2149 Umacarga de 650 nC esta uniformemente distribu na origem com 0 momento de dipolo elétrico p apontando no ida sobre a superficie de uma face de um disco nao condutor de sentido x Um ion de cloro Cl com carga igual a 160 X raio 125 cm a Determine o mddulo a direcao e o sentido do 109 C esta localizado no ponto x 300 x 10 m Determine campo elétrico que esse disco produz em um ponto P sobre oeixo 0 médulo a diregao e 0 sentido da forga que a molécula de agua do disco a uma distancia de 20 cm de seu centro b Suponha exerce sobre 0 fon de cloro A forga é de atracao ou de repulsao que a carga seja integralmente afastada do centro e uniforme Suponha que x seja muito maior que a distancia d entre as cargas mente distribuida sobre a periferia do disco Ache 0 méduloado dipolo elétrico de modo que vocé possa usar a expressdo Capitulo 21 Carga elétrica e campo elétrico 37 aproximada para o campo elétrico ao longo do eixo do dipolo possui a mesma carga logo g go q O raio de cada esfera elétrico encontrada no Exemplo 2114 muito pequeno em comparacao a distancia entre as esferas 2157 Trés cargas se situam nos vértices de um triangulo isds de modo que elas podem ser consideradas cargas puntiformes celes como indica a Figura E2157 As cargas de 500 wC Mostre que se o Angulo 6 for pequeno a distancia d no equilf formam um dipolo a Determine a forga médulo diregéo e brio entre as esferas seré dada por d q7L2zreymg Dica sentido que a carga 1000 uC exerce sobre 0 dipolo b Para quando 0 for pequeno ento tan 0 send um eixo perpendicular a linha que liga as cargas de 50 uC no 2163 PC Duas pequenas esferas idénticas de massa m meio dessa linha encontre 0 torque médulo diregdo e sentido 150 g esto suspensas por fios de seda de comprimento L exercido sobre o dipolo pela carga 100 uC 120 me presos em um ponto comum Figura P2162 Cada Figura E2157 esfera possui a mesma carga logo N 4 Cada fio pos sui inclinagaéo 0 250 com a vertical a Faga um desenho 500 wC mostrando as forgas que atuam sobre cada esfera Considere as A esferas como cargas puntiformes b Calcule o médulo de q c 200 cm Os dois fios agora se encurtam para um comprimento L 0600 m enquanto as cargas q e gz ficam inalteradas Qual sera 0 novo 300 cm e 1000 uC Angulo que cada fio formara com a vertical Dica esta parte do problema pode ser resolvida numericamente pelo método das a tentativas escolha um valor inicial para 6 e ajuste os valores de 7 200 cm 1 6 até obter um valor autoconsistente 00 uc 2164 ee PC Duas esferas idénticas esto suspensas por fios ume de seda de comprimento L 0500 m presos em um ponto comum Figura P2162 Cada esfera possui massa m 800 g 2158 Considere 0 dipolo eletrico do Exemplo 21 14 a Q yaio de cada esfera é muito pequeno em comparacao a distancia Deduza uma expressao pata 0 médulo do campo eletr 1CO ptO entre as esferas de modo que elas podem ser consideradas cargas duzido pelo dipolo em um ponto sobre 0 e1xo x na Figura 2133 puntiformes Uma esfera possui uma carga g e a outra possui Qual é a dirego o sentido desse campo eletrico b Como 0 yma carga diferente go as esferas se afastam e quando elas atin campo elétrico nos pontos sobre 0 eixo x depende de x quando gem o equilfbrio cada fio forma um Angulo 6 200 com a este muito grande vertical a Faga um diagrama do corpo livre para cada esfera na posicao de equilibrio identificando com simbolos todas as forgas PROBLEMAS que atuam em cada esfera b Determine o médulo da forga 2159 Quatro cargas idénticas Q so colocadas nos vértices eletrostatica que atua sobre cada esfera e calcule a tensiio em cada fio c Com base nos dados do problema 0 que vocé pode con de um quadrado de lado igual a L a Faga um diagrama do corpo 4 cluir sobre os médulos e os sinais das cargas q e g2 Explique livre mostrando todas as forgas que atuam sobre uma das cargas Z vw d Agora um pequeno fio condutor é conectado entre as duas b Determine o médulo a direcdo e o sentido da forga resultante wt esferas permitindo que ocorra uma transferéncia de cargas de exercida pelas outras trés cargas sobre a carga considerada 5 oe x uma para outra até que as duas esferas fiquem com cargas iguais 2160 e Duas cargas sio colocadas no eixo x uma de 250 wC na origem e outra de 350 prC em x 0600 m Figura P2160 a seguir o fio condutor é removido Entao cada fio de seda passa 2 wee a formar um Angulo de 300 com a vertical Calcule os valores Determine a posicdo sobre 0 eixo x em que a forga resultante a el das cargas originais g1 e g Dica a carga total das duas esferas sobre uma pequena carga g sera igual a zero permanece constante Figura P2160 2165 PC Uma pequenaesfera de plas Figura P2165 4250 uC 350 uC tico de 123 g é amarrada a um fio muito leve oe 0 de 286 cm de comprimento que é fixado a Qm parede vertical de um quarto Figura P2165 0 0600 m Um campo elétrico horizontal uniforme existe neste quarto Ao receber uma carga em ex 2161 Uma carga g 500 nC é colocada na origem ceggg igual a 111 wC notase que a esfera de um sistema de coordenadas e uma carga gz 200nC ge mantém suspensa no ar com a corda for colocada no lado positivo do mando um Angulo de 174 com a parede 174 e1xXo x no ponto x 400 cm Figura P2162 Encontre o modulo a direcgfo e o sentido do a Se uma terceira carga q3 campo elétrico no quarto 600 nC é colocada no ponto 2166 A carga puntiforme g 600 X x 40 cm y 30 cm quais sao 10 C esté sobre oeixoxnopontox 0200m os componentes x e y da forga re L L A carga puntiforme gq estd sobre 0 eixo x no sultante que atua sobre essa carga ponto x 0400 m A carga puntiforme g3 300 x 10C exercida pelas outr as cargas b 0 0 esté na origem Determine qg2 mddulo e sinal a caso a fora Determine o médulo a diregao e resultante sobre g3 for 600 N no sentido x b caso a forga 0 sentido dessa forga resultante sobre g3 for 600 N no sentido x 21 62 PC Duas esferas idén 2167 Duas particulas cujas cargas sio g 0500 nC e gq ticas de massa m estao suspensas 80 nC esto separadas por uma distancia de 12 m Em que ponto em fios de seda de comprimento massa m massa 7 entre as cargas 0 campo elétrico resultante das duas cargas é igual L Figura P2162 Cada esfera carga q carga qo a zero 38 Fisica Ill 2168 Uma carga puntiforme igual a 300 nC esté sobre 2176 A Terra possui um campo elétrico orientado para seu 0 eixo x no ponto x 120 m Uma segunda carga puntiforme centro com médulo aproximadamente igual a 150 NC em pontos Q esta sobre 0 eixo x no ponto x 0600 m Determine 0 proximos de sua superficie Se uma gota de chuva de diametro médulo e o sinal de Q de modo que 0 campo elétrico resultante igual a 0020 mm esta suspensa imdével nesse campo quantos na origem seja igual a 450 NC no sentido x b 450 NC elétrons em excesso ela deve possuir no sentido x 2177 PC Um proton é projetado para o interior de um 2169 eee Uma carga Q se encontra na origem separada por campo elétrico uniforme que aponta verticalmente para cima e uma distancia d de uma carga 4Q que se encontra sobre 0 possui mddulo E A velocidade inicial do préton possui médulo eixo x Onde deve ser colocada uma terceira carga ge com que Ug e sua direc4o forma um Angulo a abaixo da horizontal a modulo e sinal de modo que as trés cargas estaréo em equilibrio Calcule a distancia maxima hy4 que o proton desce vertical 2170 Umacarga igual a 300 nC esté na origem de um sis mente abaixo de sua altura inicial Despreze as forcas gravitacio tema de coordenadas xy e uma carga igual a 200 nC é colocada nais b Depois de qual distancia horizontal d 0 proton retorna sobre 0 eixo yem y 40 cm a Se uma terceira carga iguala 4 sua altura inicial c Faca um esbogo da trajetéria do préton 500 nC é colocada no ponto x 300 cm y 400 cm encon d Calcule os valores numéricos de hax e d se E 500 NIC tre os componentes x e y da forga resultante exercida sobre essa Ug 400 X 10 ms e a 300 carga pelas outras duas cargas b Calcule o médulo a direcio 2178 Um pequeno objeto com massa m carga g e veloci e o sentido dessa forga dade inicial vg 500 X 10 ms é projetado para dentro de um 2171 Trés cargas puntiformes idénticas g sio colocadas nos campo elétrico uniforme entre duas placas paralelas de compri vértices de um quadrado de lado L Calcule o médulo a diregéo mento igual a 260 cm Figura P2178 O campo elétrico entre e o sentido da forga resultante sobre uma carga puntiforme 3g as placas esta orientado verticalmente para baixo e possui médulo colocada a no centro do quadrado b no vértice vazio do qua E 800 NC Considere 0 campo elétrico fora das placas igual a drado Em cada caso faga um diagrama do corpo livre mostrando zero O espaco entre as placas é suficientemente grande para que as forgas que atuam sobre a carga 3q exercidas pelas outras trés 0 objeto passe entre as placas sem colidir com a placa inferior cargas Apos passar pelo campo elétrico o objeto é defletido para baixo 2172 e Duas cargas puntifor Figura P2172 auma distancia vertical d 125 cma partir da diregao original mes q gz séo mantidas fixas a do movimento e atinge uma placa coletora que esta a 560 cm uma distancia de 450 cm Outra re de distancia da borda das placas paralelas Despreze a gravidade carga puntiforme Q 175 uC S a e a resisténcia do ar Calcule a razao entre carga e massa gm de massa igual a 500 g esta inicial ps Yo do objeto mente localizada a 300 cm de cada vo 4 Figura P2178 uma dessas cargas Figura P2172 Oe 450 cm e é liberada do Tepouso Voce veri AN le 260 cm 560 cm fica que a aceleracao inicial de Q é PN 324 ms de baixo para cima para ON Uo lela 4 linha que liga as duas cargas ye 1 ae puntiformes Encontre q e qo 2 E 2173 PC Intensidade da forca elétrica Imagine duas saco las de 10 g com protons uma no polo norte e outra no polo sul a Quantos protons ha em cada sacola b Calcule a atracgao 2179 CALC Uma carga positiva Q distribuida uniforme gravitacional e a repulsdo elétrica que cada sacola exerce sobre mente sobre 0 eixo x de x 0 ate v a Uma carga puntiforme a outra c As forgas no item b sao suficientes para que vocé positiva q esta sobre a parte positiva do e1x0 x NO ponto x a r sinta que est4 segurando uma das sacolas auma distancia ra direita da extremidade de Q Figura P2179 2174 PC Duas esferas mintisculas de massa 680 mg a Determine os componentes x e y do campo elétrico produzi possuem cargas com médulos iguais 720 nC porém sinais opos dos pela distribuigdo de cargas Q nos pontos da parte positiva do tos Elas estéo atadas ao mesmo gancho de teto por fios leves de ano x vm nak h Calcule a forca mddulo diregao e mm Quando im campo ele Figura P2174 sentido que a distribuigdo Figura P2179 trico uniforme horizontal E de cargas Q exerce sobre a direcionado da direita para carga q c Mostre que para a esquerda ativado as es os pontos r a o modulo q feras ficam suspensas a um 6 da forga calculada no item Q x Angulo 6 entre os fios igual L L b aproximadamente igual O a Sie rst a 580 Figura P2174 a QqArregr Explique 0 mo a Qual esfera a da es tivo desse resultado querda ou a da direita é 2180 Em uma regiao em que existe um campo elétrico uni positiva b Qual é o mé E forme vertical direcionado de baixo para cima com médulo igual dulo E do campo elétrico a 360 X 10 NC um pequeno objeto é projetado com uma velo 2175 PC Considere um modelo de um dtomo de hidrogénio cidade inicial igual a 192 ms O objeto se desloca verticalmente em que um elétron possui uma 6rbita circular de raior 529 x Para cima atravessando uma distancia igual a 698 cm em 0200 s 10 mem torno de um proton fixo Qual é 0 médulo da velo Calcule a razao entre carga e massa gm do objeto Considere cidade escalar desse elétron em sua 6rbita g 980 ms Despreze e a resisténcia do ar Capitulo 21 Carga elétrica e campo elétrico 39 2181 Uma carga puntiforme negativa gq 400 nC esta 2187 Duas hastes nao condutoras de 120 m de comprimento sobre 0 eixo x no ponto x 060 m Uma segunda carga punti se encontram em um Angulo reto Uma haste possui 250 wC forme qo esta sobre 0 eixo x no ponto x 120m Determine de carga uniformemente distribuida ao longo do comprimento e o médulo e o sinal de gy para que o campo elétrico resultante na a outra possui 250 wC de origem seja a 500 NC no sentido x e b 500 NC no sen carga uniformemente dis a Figura P2187 tido x tribuida ao longo do com 2182 e CALC Umacarga positiva Q é distribuida uniforme primento Figura P2187 kK 120 m mente sobre a parte positiva do eixo y desde y OatéyaUma a Determine o médulo teeter TT carga puntiforme negativa q esta sobre a parte positivadoeixo a direg4o e o sentido do L x a uma distancia x da origem Figura P2182 a Determine campo elétrico produzido os componentes x e y do por esses fios no ponto P campo elétrico produzido Figura P2182 que se situaa 600 cmde 120m ep pela distribuicdo de cargas Q y cada haste b Se um elé iF nos pontos da parte positiva tron for liberado de P quais do eixo x b Encontre os a séo o médulo a direcao e o i componentes x e y da forca sentido da forga resultante que a distribuicao de cargas OQ que essas hastes exercem Q exerce sobre a carga q c sobre ele Mostre que para os pontos 0 x 2188 Duas placas paralelas muito grandes estaéo separadas xaFy Ogl4rregx e q por uma distancia igual a 500 cm A placa A possui uma den Fy Ogal87regx Explique o sidade superficial de carga uniforme igual a 880 wCm ea motivo desse resultado placa B que esta a direita da A possui uma densidade superficial 2183 eee Um disco uniformemente carregado como o indi de carga uniforme igual a 116 wCm Suponha que as placas cado na Figura 2125 possui raio de 250 cm e carga igual a sejam suficientemente grandes para que possamos consideralas 70 X107 C a Encontre o campo elétrico médulo diregio infinitas Calcule o médulo a direcao e 0 sentido do campo e sentido sobre 0 eixo x para x 200 cm b Mostre que para elétrico resultante que essas placas produzem em um ponto a x R a Equacio 2111 se transforma em E Q47re9x onde Q 400 cm A direita da placa A b 400 cm a esquerda da placa A acarga total sobre 0 disco c Verifique seo médulo do campo c 400 cm a direita da placa B elétrico que vocé encontrou no item a é maior ou menor que 2189 Repitao Problema 2188 considerando a carga da placa o do campo elétrico a 200 cm de distancia de uma carga punti B positiva forme que possui a mesma carga que a carga total existenteno 2190 Duas placas horizontais muito grandes estéo a uma disco Com base na aproximacio usada na parte b para deduzir distancia de 425 cm uma da outra e possuem densidade de cargas E Q4zreox para uma carga puntiforme a partir da Equacaio iguais porém opostas de médulo o Vocé quer usar essas placas 2111 explique a razio desse comportamento d Calcule adi para manter fixa na area entre elas uma gota de 6leo de massa ferenca percentual entre o campo elétrico produzido pelo disco 486 wg que carrega 5 elétrons em excesso Supondo que a gota e 0 campo elétrico produzido por uma carga puntiforme coma esteja em um vacuo a para que lado deve apontar 0 campo mesma carga para x 200 cme para x 100 cm elétrico entre as placas e b qual deve ser 0 valor de 7 2184 PC Uma pequenaesfera de massamcomumacarga 2191 PC Denominase coroa anular um disco fino de raio positiva qg ligada a extremidade de um fio de seda de compri externo Ry com um buraco circular concéntrico de raio interno mento L A outra extremidade do fio esté presa a uma grande R Figura P2191 Uma coroa anular possui uma densidade placa isolante vertical que possui uma densidade superficial de superficial de carga o sobre sua superficie a Determine a carga o Mostre que quando a esfera est4 em equilfbrioo Angulo carga elétrica resultante sobre a coroa anular b A coroa anular formado entre a vertical e 0 fio é dado por arc tan go2mgeg esta sobre o plano yz com seu centro na origem Para um ponto 2185 CALC Umacarga negativa Q é distribuida unifor arbitrario sobre 0 eixo x 0 eixo de simetria da coroa anular memente ao longo da quarta parte de uma circunferéncia de raio determine o mddulo a diregao e o sentido do campo elétrico a que esta sobre o primeiro quadrante com centro de curvatura E Considere pontos acima e abaixo do plano da coroa anular na origem Encontre os componentes x e y do campo elétrico na c Mostre que para os pontos sobre o eixo x suficientemente origem proximos da origem 0 médulo do campo elétrico aproximada 2186 CALC Um semicirculo de raio a se encontra no pri mente proporcional a distancia entre o centro da coroa anular e meiro e no segundo quadrantes com seu centro de curvatura 0 ponto considerado Qual na origem A carga positiva Q esta distribufda uniformemente a distancia que pode ser con Figura P2191 ao longo da metade do lado siderada suficientemente x esquerdo do semicirculo e a Figura P2186 proxima d Uma parti carga negativa Q esta dis y cula puntiforme com massa Ry tribufda uniformemente ao me carga negativa q pode longo da metade do lado di se mover livremente sobre 1 Ry z reito do semicirculo Figura 2 Q 0 eixo x mas nao pode sair P2186 Determine o m6 desse eixo A particula é 0 OSG y dulo a diregdo e o sentido do inicialmente colocada em campo elétrico resultante na X repouso sobre 0 ponto x origem produzido por essa 001 R e a seguir liberada distribuicdo de cargas Determine a frequéncia das 40 Fisica Ill oscilagées da particula Dica revise a Secao 132 Acoroaanu de um valor constante 4 medida que x aumenta Use a Figura lar permanece em repouso P2194a para calcular a carga liquida Q sobre 0 anel b Seus 2192 DADOS PC Projeto de uma impressora a jato resultados para os valores de x menores s4o representados na de tinta Impressoras a jato de tinta podem ser descritas como Figura P2194b como EZ versus x Explique por que Ex se apro continuas ou como gotas sob demanda Em uma impressora conti xima de um valor constante quando x se aproxima de zero Use nua as letras sao reproduzidas em uma folha de papel injetandose a Figura P2194b para calcular a gotas de tinta que saem de um pulverizador que se move rapi damente Vocé faz parte de uma equipe de engenharia que esta desenvolvendo um projeto desse tipo de impressora Cada gota de PROBLEMAS DESAFIADORES tinta deve ter possuir massa igual a 14 X 108 g As gotas devem 2195 eee Trés cargas Sao passar pelo pulverizador e se dirigir para o papel com velocidade colocadas como indica a Figura P2195 igual a 50 ms passando por uma unidade eletrostatica que arran Figura P2195 O médulo 93 cara alguns elétrons de cada gota produzindo nelas uma carga de 1 eo igual a 20 uC F positiva g A seguir as gotas devem passar entre placas defleto porem nao conhecemos seu 400 cm 300 cm ras com comprimento igual a 20 cm no interior das quais existe sinal nem 0 valor da carga um campo elétrico vertical uniforme com médulo igual a 80 x qo A carga q3 igual a 10 NC Sua equipe esta trabalhando na unidade eletrostatica que 40 i C e a forga resul 1 500 cm UD catrega as gotas a Sabendo que a gota deve sofrer um desvio tante F sobre 43 ap onta para de 030 mm ao atingir o final da placa defletora qual deve ser o sentido negativo do C1XO Xe ooo modulo da carga produzida em cada gota Quantos elétrons devem a Considerando OS POssivels sinals diferentes para as cargas q1 ser removidos da gota para produzir essa carga b Caso a unidade existem quatro diagramas de forgas possiveis para representar as produtora do fluxo de gotas fosse modificada para funcionar com forgas F e F exercidas POF G1 G2 sobre 93 Faga desenhos velocidade igual a 25 ms qual valor de q necessario para atingir mostrando esses quatro diagramas POSSIVEIS 6 Usando os de a mesma deflexao de 030 mm senhos da parte a e a direcdo e o sentido de F determine os 2193 DADOS Duas pequenas esferas cada uma com sinais das cargas q e qo c Calcule o médulo de qp d Calcule carga liquida positiva estaéo separadas por 0400 m PediramlIhe o modulo da forga resultante Fque atua sobre q3 para realizar medig6es que lhe permitirao determinar a carga em 2196 eee Duas cargas sao cada esfera Vocé configura um sistema de coordenadas com colocadas como indica a Figura P2196 uma esfera carga q na origem e a outra esfera carga q2 em Figura P2196 O modulo P x 0400 m Uma terceira esfera com carga liquida q3 de M1 igual a 300 uC 400 X 107C esta disponivel para vocé além de um aparelho POF NAO conhecemos seu 50 cm 120 cm que pode medir com preciso a localizagao dessa esfera e a forca sinal nem o valor da carga resultante sobre ela Primeiro vocé coloca a terceira esferano 42 oO campo eletrico resul eixo x em x 0200 m vocé mede a forga resultante sobre ela tante E no Ponto P aponta 1 130 cm 2 e encontra o valor de 450 N no sentido x Em seguida vocé Para 0 sentido negativo do posiciona a terceira esfera em x 0600 m e mede a forca CIXO Y a Considerando Os resultante sobre ela encontrando o valor de 350 N no sentido x Possivels sinais diferentes para as cargas q qo existem quatro a Calcule q go b Qual é a forca resultante médulo direcaio possiveis diagramas para representar os campos elétricos EF e Ey e sentido sobre q3 se essa carga for colocada no eixo x em x produzidos por 1 qo Faga desenhos mostrando esses quatro 0200 m c Em que o valor de x diferente de x q3 diagramas possiveis b Usando os desenhos da parte aea poderia ser colocado de modo que a forga resultante sobre ela diregao o sentido de E determine Os sials das cargas 4 qo seria igual a zero c Calcule 0 médulo do campo eletrico E 2194 DADOS A carga positiva Q esté distribufda unifor 2197 ee CALC Duas hastes estreitas de comprimento Lestao memente em torno de um anel condutor muito estreito de raio a sobre 0 eixo x uma delas entre Pontos 1 qaex ja Le como na Figura 2123 Vocé mede 0 campo elétrico E em pontos a outra entre os pontos x 24 XS 5d L Cada haste sobre o eixo do anel a uma distancia x de seu centro por meio possul uma carga Q distribuida uniformemente ao longo de seu de uma vasta gama de valores de x a Seus resultados para os comprimento a Calcule 0 campo elétrico produzido pela se valores maiores de x sao representados na Figura P2194a como gunda haste nos pontos situados ao longo da parte positiva do Ex versus x Explique por que a quantidade Ex se aproxima eixo x b Mostre que o modulo da forga que uma haste exerce sobre a outra é dado por Figura P2194 F QO a L a Amel aa 2L Ex NmC Ex NCm 50 c Mostre que quando a L o médulo dessa forga se reduz 45 wooeee 700 Pare t aF Q4 mega Dica use 0 desenvolvimento em série In1 40 e 600 z 27 52 3z valido para Izl 1 Faga todos os 35 00 t desenvolvimentos até pelo menos 0 termo Vlad Interprete esse 39 e 5 f resultado 35 400 i 20 xm 300 x m 01234567 0 O 02 03 Capitulo 21 Carga elétricae campo elétrico 41 Problemas com contexto BIO Abelhas elétricas Insetos voadores como as abelhas de grandes quantidades de carga fons positivos foram puxados podem acumular uma pequena carga elétrica positiva enquanto do solo pelo caule em diregaio a abelha carregada c A planta voam Em um experimento a carga elétrica média de 50 abe tornouse eletricamente polarizada enquanto a abelha carregada Ihas foi medida como sendo de 30 5 pC por abelha Os se aproximava d As abelhas que visitaram a planta anterior pesquisadores também observaram as propriedades elétricas de mente depositaram uma carga positiva sobre o caule uma planta que consiste em uma flor no topo de um caule longo 24400 Uma abelha voou para longe apés deixar uma flor com A carga no caule foi medida enquanto uma abelha com carga yma carga positiva e em seguida outra abelha com a mesma positiva se aproximou pousou voou para longe As plantas quantidade de carga positiva voou perto da planta Qual diagrama em geral sao eletricamente neutras por isso a carga elétrica It da Figura P21100 melhor representa as linhas do campo elétrico quida medida no caule era zero quando a abelha estava muito entre a abelhae a flor longe A medida que a abelha se aproximava da flor uma carga liquida positiva pequena passou a ser detectada no caule mesmo Figura P21100 antes de a abelha pousar Uma vez que a abelha pousou toda a b d a planta ficou carregada positivamente e essa carga positiva permaneceu na planta apés a abelha voar para longe Por meio Sea Sal See A4 Sad da criagao de flores artificiais com diversos valores de carga os experimentadores descobriram que as abelhas sao capazes de C Ct distinguir entre flores carregadas e nao carregadas e podem usar Eo a carga elétrica positiva deixada por uma abelha anterior como um indicio de que a planta ja foi visitada e neste caso restara pouco polen na flor 2198 Considere uma abelha com a carga elétrica média encon 21101 Em um experimento complementar uma Carga de trada no experimento Esta carga representa aproximadamente 40 pC foi colocada no centro de uma flor artificial na extre quantos elétrons perdidos a 19 x 108 b 30 X 108 c 19 x midade de um caule de 30 cm de comprimento De acordo com 108 d 30 x 108 as observacées as abelhas se aproximavam até uma distancia 2199 Qual é a melhor explicacio para a observacio de que a minima de 15 cm do centro dessa flor e entéo voavam para carga elétrica no caule tornouse positiva enquanto a abelha se longe Esta observagao sugere que 0 menor campo elétrico ex aproximava antes de pousar a Como o aré um bomcondutor terno a que as abelhas possam ser sensiveis est4 mais préximo a carga positiva sobre a superficie da abelha fluiu através do ara de qual destes valores a 24 NC b 16 NC c 27 X partir da abelha para a planta b Como a terra é um reservatorio 107 0 NIC d 48 X 107 NC RESPOSTAS Resposta a pergunta inicial do capitulo por q sobre Q continua sendo igual a F em g mas o sentido da Resposta ii As moléculas de 4gua possuem um momento de forga passa a ser de q para q2 formando um Angulo a abaixo do dipolo elétrico permanente uma das extremidades da molécula eixo x Portanto os componentes x de ambas as forgas se cance possui carga positiva e a outra possui carga negativa Essas ex lam enquanto os componentes y negativos se somam e a forga tremidades atraem fons positivos e negativos respectivamente elétrica total aponta no sentido negativo do eixo y mantendoos isolados em solucéo A agua é menos eficazcomo 214 Resposta a ii b i O campo elétrico E produzido solvente para materiais cujas moléculas nao se ionizam chama por uma carga puntiforme positiva aponta diretamente para fora das substancias ndo idnicas como os 6leos da carga como na Figura 2118a e possui um médulo que de Respostas as perguntas dos testes pende da distancia r da carga até o ponto do campo Logo uma de compreensao segunda carga puntiforme negativa q 0 sofrera uma forga F q 211 Resposta iv Dois objetos carregados se repelem que aponta diretamente para dentro da carga positiva e possui quando suas cargas possuem 0 mesmo sinal ambos positivos um médulo que depende da distancia r entre as duas cargas ou ambos negativos Se a carga negativa se move diretamente para dentro da carga 212 Resposta a i b ii Antes das duas esferas se to positiva o sentido da forga permanece 0 mesmo mas o médulo carem aquela com carga negativa exerce uma forca repulsiva aumenta a medida que a distancia r diminui Quando a carga ne sobre os elétrons na outra esfera produzindo zonas com cargas gativa se move em circulo em torno da carga positiva o médulo induzidas positivas e zonas com cargas induzidas negativas na da forga permanece inalterado pois a distancia r é constante outra esfera Figura 217b A zona positiva esta mais pr6ximada mas a diregAo da fora varia esfera com carga negativa e por isso h4 uma forca resultantede 215 Resposta iv Imagine um par de segmentos de compri atragfo que une as esferas como o pente e o isolante na Figura mento dy um na coordenada y 0 e outro na coordenada y 0 218b Quando as duas esferas metélicas se tocam parte do ex O segmento superior possui carga positiva e produz um campo cesso de elétrons na esfera com carga negativa passara paraa elétrico dE no ponto P que aponta para fora do segmento logo outra esfera porque os metais sao condutores Logo ambas as dE possui componente positivo de x e negativo de y como o esferas teraéo carga negativa e irao se repelir vetor dE da Figura 2124 O segmento inferior possui o mesmo 213 Resposta iv A forga exercida por g sobre Q continua valor de carga negativa Ele produz um dE com 0 mesmo m6 sendo a mesma do Exemplo 214 O médulo da forga exercida dulo mas que aponta no sentido do segmento inferior e portanto 42 Fisica Ill possui um componente negativo de xe um componente negativo 217 Resposta ii De acordo com as equacées 2117 e de y Por simetria os dois componentes de x sdo iguais porém 2118 a energia potencial para um dipolo em um campo elé opostos cancelandose Assim 0 campo elétrico total possuiso trico é U p E pEcos em que 0 Angulo entre mente um componente negativo de y as diregdes de p e E Se pe E apontam em sentidos opostos 21 6 Resposta sim Se as linhas de campo fossem retilineas de modo que 180 temos cos 1e U pE Este E deve apontar na mesma diregao retilinea em todos os pontos 9 valor maximo de U Com base no estudo sobre diagramas da regiao Logo a forga F qE que atua sobre uma particula de energia na Secao 75 deduzse que essa é uma situac4o de de carga q esta sempre nesta mesma diregado Uma particula lan equilibrio instavel cada a partir do repouso acelera em linha reta no sentido de F e portanto sua trajet6ria uma linha reta ao longo de uma linha Problema em destaque de campo E 2kQna no sentido negativo de y Esta criança adquire cargas elétricas ao tocar a esfera metálica oca carregada Os cabelos eletricamente carre gados na cabeça da criança se repelem e ficam arrepiados O que aconteceria se a criança ficasse dentro de uma grande esfera metálica oca carregada Ela deveria adquirir i cargas com o mesmo sinal da carga da esfera e seus cabelos fica riam em pé ii cargas com o sinal oposto da carga da esfera e seus cabelos ficariam em pé iii nenhuma carga e seus cabelos ficariam relaxados iv qualquer uma das respos tas anteriores dependendo da quantidade de carga da esfera OBJETIVOS DE APRENDIZAGEM Ao estudar este capítulo você aprenderá 221 Como determinar a quantidade de carga no interior de uma superfície fechada examinando o campo elétrico sobre a superfície 222 O que significa fluxo elétrico e como calculálo 223 Como a lei de Gauss relaciona o fluxo elétrico através de uma superfície fechada à carga englobada pela superfície 224 Como usar a lei de Gauss para calcular o campo elétrico produzido por uma distribuição simétrica de carga 225 Onde se localiza a carga em um condutor carregado Revendo conceitos de 2142 16 Campos elétricos e suas propriedades 22 LEI DE GAUSS N a física uma ferramenta importante para a simplificação de um problema consiste em usar as propriedades de simetria dos sistemas Muitos sistemas físicos possuem simetrias Por exemplo se você girar um cilindro em torno de seu eixo central o aspecto do cilindro continuará o mesmo e uma esfera me tálica carregada permanecerá exatamente a mesma se você girar a esfera em torno de qualquer eixo passando por seu centro Neste capítulo aplicaremos as noções de simetria juntamente com um novo conceito a lei de Gauss a fim de simplificar a determinação de campos elétricos Por exemplo o campo elétrico de uma distribuição de cargas ao longo de uma linha reta ou de um plano como o que deduzimos na Seção 215 usando algumas integrações trabalhosas pode ser deduzido em poucas etapas com a lei de Gauss Mas essa lei é mais do que apenas uma forma de facilitar a realização de alguns cál culos De fato tratase de uma afirmação fundamental sobre a relação entre cargas e campos elétricos Dentre outras coisas a lei de Gauss também pode nos ajudar a compreender como se dá a distribuição das cargas elétricas em corpos condutores Aqui descrevemos o significado da lei de Gauss Dada qualquer distribuição de cargas desenhamos uma superfície imaginária englobando as cargas A seguir pes quisamos como o campo elétrico se distribui ao longo dos pontos dessa superfície imaginária A lei de Gauss relaciona a carga total existente no interior da superfície com o campo elétrico de todos os pontos sobre a superfície imaginária Pode pare cer uma forma bastante indireta para resolver o problema porém se trata de uma relação extraordinariamente útil Nos capítulos seguintes frequentemente usaremos os conceitos decorrentes da lei de Gauss em relação à natureza do campo elétrico 221 CARGA ELÉTRICA E FLUXO ELÉTRICO No Capítulo 21 fizemos a pergunta Qual é o campo elétrico produzido por uma dada distribuição de cargas em um ponto P Vimos que a resposta pode ser A discussão sobre a lei de Gauss nesta seção tem como base e fonte de ins piração as ideias inovadoras de Ruth W Chabay e Bruce A Sherwood em Electric and Magnetic Interactions John Wiley Sons 1994 BookSEARSVol3indb 43 101115 656 PM 44 Fisica Ill Figura 221 Como mediracargano obtida considerandose a distribuicgo como um conjunto de cargas puntiformes interior de uma caixa sem abrila cada uma das quais produzindo um campo elétrico E dado pela Equagao 2170 a Caixa com uma quantidade de campo elétrico resultante no ponto P é entao dado pela soma vetorial dos campos carga desconhecida elétricos produzidos por todas as cargas puntiformes No entanto existe uma relag4o alternativa entre distribuigéo de cargas e cam or pos elétricos Para descobrir essa relag4o vamos inverter a questao formulada no 9 Capitulo 21 Caso vocé conhecesse a configuracao do campo elétrico em uma NC dada regiao 0 que poderia afirmar sobre a distribuiao de cargas nessa regiao sJ Vejamos um exemplo Considere a caixa indicada na Figura 221a a qual pode ou nao conter cargas elétricas Vamos supor que a caixa seja feita de um material b A carga elétrica no interior da que nao produza nenhum efeito sobre qualquer campo elétrico tratase de uma caixa pode ser detectada usandose situagao idealizada como a corda sem massa ou um plano inclinado sem atrito uma carga de teste fora dela para medir yee oo campo elétrico Melhor ainda suponha que a caixa seja uma superficie imagindria que possa ou nao conter cargas elétricas Vamos chamar essa caixa de superficie fechada porque ela zB ZA engloba completamente um dado volume Como vocé pode determinar a quantidade E caso haja de cargas elétricas existente no interior dessa caixa mB Carga de teste qo Sabendo que uma distribuigdo de cargas produz um campo elétrico e que uma a r carga de teste sofre a agao de uma forga produzida por esse campo vocé desloca E uma carga de teste gg em torno de pontos proximos da caixa Medindo a forga F awe 18 exercida sobre a carga de teste em diversas posigOes vocé faz um mapa tridimen EB z sional do campo elétrico EF qo existente fora da caixa Verificase que para 0 caso indicado na Figura 221b o mapa corresponde ao campo elétrico produzido Le por uma Unica carga puntiforme positiva Figura 2128a Examinando os detalhes E E do mapa vocé podera calcular o valor exato da carga puntiforme existente no S interior da caixa E Para determinar 0 contetido da caixa na verdade basta medir E sobre a superficie da caixa Na Figura 222a existe uma Unica carga puntiforme positiva no interior da caixa e na Figura 222b existem duas cargas puntiformes positivas Os detalhes das configuragdes dos campos nas superficies das caixas sao diferentes porém em ambos os casos 0 campo elétrico aponta para fora da caixa As figuras 222c e 222d indicam respectivamente a existéncia de uma e duas cargas puntiformes negativas no interior da caixa Novamente os detalhes de E sobre a superficie da caixa diferem porém em ambos os casos 0 campo aponta para dentro da caixa Figura 222 Campo elétrico sobre a superficie de caixas contendo a uma Unica carga puntiforme positiva b duas cargas puntiformes positivas c uma tinica carga puntiforme negativa ou d duas cargas puntiformes negativas a Carga positiva dentro b Cargas positivas dentro c Carga negativa dentro d Cargas negativas dentro da caixa fluxo de dentro da caixa fluxo de dentro da caixa fluxo de fora da caixa fluxo de fora para dentro parafora para fora paradentro E E maa eS AILS TS IA Fluxo elétrico e carga englobada Na Secao 214 discutimos a analogia entre 0 vetor do campo elétrico e 0 vetor da velocidade de um fluido em movimento Essa analogia pode ser util embora nao exista nenhum fluxo real em um campo elétrico Usando essa analogia nas figuras 222a e 222b nas quais o campo elétrico aponta para fora da superficie podemos dizer que existe um fluxo elétrico para fora da superficie A palavra fluxo deriva Capitulo 22 Leide Gauss 45 do latim e a palavra escoamento geralmente é usada como sinénimo de fluxo Figura 223 Trés casos nos quais a Nas figuras 222c e 222d todos os vetores E apontam para o interior da superficie arga iquida igual a zero dentro e 0 fluxo elétrico segue para dentro da caixa e o fluxo elétrico através we da superficie da caixa é igual A Figura 222 sugere uma relagao simples quando existe uma carga positiva no a zero a Uma caixa vazia com interior da caixa o fluxo elétrico orientase para fora da superficie e quando existe 0 b Uma caixa com uma uma carga negativa no interior da caixa o fluxo elétrico orientase para dentro da carga puntiforme positiva e outra superficie O que acontece quando a carga é igual a zero dentro da caixa Na Fi Negativa com mesmo modulo c 2 gura 223a a caixa esta vazia e E 0 em todos os pontos logo nao existe fluxo campo eléttico uniform um elétrico nem para dentro nem para fora da superficie Na Figura 223b no interior da caixa existe uma carga positiva e uma carga negativa com mesmo modulo a Carga igual a zero dentro portanto a carga liquida é igual a zero dentro da caixa Existe um campo elétrico 42 4 fluxo igual a zero porém o fluxo para dentro em uma das metades da caixa é igual ao fluxo para mo E0 fora na outra metade Logo o fluxo elétrico liquido através da superficie da caixa i é igual a zero 2 LTT TSN Na Figura 223c a caixa esta novamente vazia Contudo existem cargas pre YS N sentes fora da caixa ela foi colocada com uma de suas extremidades paralela a SN um plano infinito com uma distribuigao uniforme de cargas que produz um campo elétrico uniforme perpendicular ao plano veja o Exemplo 2111 da Seco 215 b Carga liquida igual a zero dentro da caixa o fluxo de fora Em uma das extremidades da caixa 0 vetor E aponta para dentro dela na extremi para dentro cancela o fluxo de dade oposta aponta para fora da caixa e nas faces laterais da caixa F paralelo gentro para fora a superficie externa e nao aponta nem para dentro nem para fora Analogamente ao caso indicado na Figura 223b o fluxo elétrico para dentro em uma das metades da E caixa compensa exatamente o fluxo elétrico para fora da outra metade Logo em todos os casos indicados na Figura 223 nao existe fluxo elétrico liquido através 1 nw da superficie da caixa e a carga liquida dentro da caixa igual a zero 1 As figuras 222 e 223 demonstram a conex4o entre o sinal positivo negativo 04 ou nulo da carga liquida dentro da caixa e o sentido para dentro para fora ou ne L SJ nhum do fluxo elétrico liquido através da superficie Também existe uma conexao entre o médulo da carga dentro da superficie fechada e a intensidade do fluxo do ae vetor E sobre a superficie Em ambas as figuras 224a e 224b existe uma Unica carga puntiforme no interior da caixa porém na Figura 224b o médulo da carga Carga igual a zero dentro da caixa igual ao dobro do médulo da carga na Figura 224a Considerando a analogia do 0 tuxe c tora para dentro cancela 0 eg os po uxo de dentro para fora escoamento de um fluido isso significa que o fluxo elétrico liquido para fora da superficie na Figura 224b também é igual ao dobro do fluxo elétrico liquido na o Placa Figura 224a Isso sugere que o fluxo elétrico liquido através da superficie dire uniformemente tamente proporcional ao médulo da carga liquida existente no interior da caixa carregada Essa conclusao independe do tamanho da caixa Na Figura 224c a carga pun NOX tiforme g esta no interior de uma caixa com o dobro das dimensoes lineares da caixa da Figura 224a O mddulo do campo elétrico diminui com a distancia entre iN Z S 0 ponto e a carga elétrica na razdo 1r de modo que o valor médio do médulo sd S Figura 224 Trés caixas cada qual com uma carga positiva em seu interior a Caixa contendo uma carga b A mesma caixa de a contendo c A mesma carga puntiforme positiva g no positiva q uma carga positiva 2 interior de uma caixa com o dobro das dimensdes E NE Sp E 4 YZ SB kZs x i N NL 2q q ee ye w NS NS ie i N oe N SN N N N NN SN NN e Ha um fluxo elétrico de dentro para 4 2 wh Sw fora através da superficie ue Pe PN N E oe Xx Quando dobramos o valor da carga englobada ee dobramos também o médulo do campo elétrico O fluxo elétrico é igual ao fluxo de a o médulo yo fy Z do campo elétrico sobre a superficie se reduz a na superficie portanto o fluxo elétrico através sd Lele fui 4 da superficie é igual ao dobro do fluxo de a porem a area atraves da qual ele Hur tornase 4 vezes maior 46 Fisica Ill do campo elétrico E em cada face da caixa grande indicada na Figura 224c é exatamente igual a 5 do valor médio do médulo do campo na face correspondente indicada na Figura 224a Porém a area de cada face da caixa grande é exatamente quatro vezes maior que a respectiva area de cada face da caixa pequena Portanto o fluxo elétrico para fora das duas caixas 0 mesmo se definirmos o fluxo elétrico do seguinte modo para cada face da caixa faca o produto do valor médio do com ponente perpendicular de E pela area da respectiva face a seguir some os resul tados para todas as faces da caixa Usando essa definicdo o fluxo elétrico liquido produzido por uma tinica carga puntiforme no interior da caixa é independente de seu tamanho dependendo somente do valor da carga existente em seu interior Resumindo para os casos especiais de uma superficie fechada em forma de caixa retangular e para distribuigdes de cargas que envolvam cargas puntiformes ou planos infinitos com uma distribuicdo de cargas uniformes verificamos 0 seguinte 1 O sinal de carga existente no interior de uma superficie fechada determina se 0 fluxo elétrico esta entrando ou saindo da superficie considerada 2 Cargas situadas no exterior da superficie nao fornecem fluxo elétrico liquido através da superficie fechada 3 O fluxo elétrico liquido é diretamente proporcional a carga liquida existente no interior da superficie fechada porém ele nao depende do tamanho da superficie fechada escolhida Essas observac6es constituem uma formulagao qualitativa da lei de Gauss Sera que tais observacdes permanecem validas para outros tipos de distri buicdo de carga e para superficies fechadas com formas arbitrarias A resposta a essas perguntas é sim Porém para explicar a razao desse comportamento precisamos de uma definiao matematica de fluxo elétrico Desenvolveremos isso na proxima segao TESTE SUA COMPREENSAO DA SEGAO 221 Se todas as dimenses da caixa na Figura 222a forem triplicadas qual efeito essa alteraco produzira sobre o fluxo elétrico através da caixa i O fluxo sera 3 9 vezes maior ii o fluxo seré 3 vezes maior iii o fluxo permanecera inalterado iv o fluxo sera i do valor inicial v o fluxo sera bP 5 do valor Figura 225 A vazio volumétrica inicial vi nao ha informacao suficiente para a decisao de um fluido através da area da espira retangular de arame é dada por a vA quando a area do 222 DETERMINACGAO DO FLUXO ELETRICO retangulo é perpendicular aU e b vA cos b quando a area do Na secao precedente introduzimos 0 conceito de fluxo elétrico Usamos esse retangulo esta inclinada a um i angulo conceito para elaborar uma formulacao qualitativa aproximada da lei de Gauss 0 a Uma espira retangular em um fluido fluxo elétrico liquido através de uma superficie fechada é diretamente proporcional a carga liquida existente no interior dessa superficie Para utilizarmos plenamente pe essa lei precisamos saber como se calcula um fluxo elétrico Para isso vamos fazer novamente a analogia entre um campo elétrico Eeum campo de velocidade A 3 U no escoamento de um fluido Lembrese de que isso é somente uma analogia VV Sara um campo elétrico ndo escoa CSCCFluxo analogia do escoamento de um fluido b A espira retangular inclinada a A Figura 225 indica um fluido escoando de modo constante da esquerda para a um Angulo direita Vamos examinar a vazao volumétrica dVdt digamos em metros cubicos por segundo através da espira retangular de arame com area A Quando a area esté perpendicular a velocidade do escoamento U Figura 225a e a velocidade do A Acosd A yt Z escoamento a mesma em todos os pontos do fluido a vaz4o volumétrica dVdt é A rr igual ao produto da area A pelo médulo da velocidade v 7D Y wv vA eee dt Capitulo 22 Leide Gauss 47 Quando o retangulo esta inclinado a um Angulo Figura 225b de modo que sua face nao perpendicular a U a 4rea que conta o perfil da area quando obser vamos 0 retingulo na direcao de U Essa area indicada pelo simbolo A na Figura 225b é a projecdo da area A sobre um plano perpendicular a U Dois lados da projecao do retangulo possuem o mesmo comprimento do retangulo original porém os outros dois ficam diminuidos pelo fator de cos de modo que a area projetada A é dada por A cos Entio a vazio volumétrica através de A é dV vAcosd dt Quando 90 dVdt 0 0 retangulo é paralelo ao escoamento e nao passa nenhum fluido através dele Além disso v cos 0 componente do vetor U perpendicular ao plano da drea A Usando o simbolo uv para esse componente podemos reescrever a vazao vo lumétrica na forma dV U 1 A dt Podemos expressar mais resumidamente a vaz4o volumétrica usando 0 con ceito de vetor drea A uma grandeza vetorial cujo médulo fornece area A e cuja diregao é perpendicular ao plano da area que estamos descrevendo O vetor area A indica o tamanho da area e sua orientag4o no espacgo Com base na area A podemos escrever a vazao volumétrica do fluido através do retangulo indicado na Figura 225b como um produto escalar dV vA dt Fluxo de um campo elétrico uniforme Usando a analogia entre campo elétrico e escoamento de um fluido agora po demos definir o fluxo elétrico com um método semelhante ao que acabamos de usar para definir a vazao volumétrica de um fluido basta substituir a velocidade U pelo campo elétrico E Para fluxo elétrico usamos o simbolo letra grega mai uscula fi com o indice inferior E para lembrarmos que estamos considerando fluxo elétrico Inicialmente considere uma superficie plana com area A perpendicular a um campo elétrico uniforme E Figura 226a Definimos o fluxo elétrico através dessa area como o produto do médulo E pela area A Figura 226 Uma superficie plana em um campo elétrico uniforme O fluxo elétrico Bg através da superficie é igual ao produto escalar de E e do vetor da area A a A superficie é frontal ao campo elétrico b A superficie esta inclinada em relaciio a c A superficie é lateral ao campo elétrico E eA sao paralelos 0 angulo entre E uma orientagao frontal formando um Angulo EeA sio perpendiculares o Angulo entre eAépd0 O Angulo entre Be A EeAéd 90 O fluxo EA EA O fluxo EA EA cos O fluxo EA EA cos 90 0 a ba 4 Z z FP KF 7 2 oY Z Sf Zo AY a Oe orcs 48 Fisica Ill BIO Aplicagao Fluxo através De modo aproximado podemos descrever em termos das linhas de campo da boca de um tubaraofrade que passam através da 4rea A Quando a rea aumenta um ntimero maior de linhas Ao contrario de tubardes carnivoros de E passa através dela fazendo aumentar 0 fluxo elétrico campos elétricos mais agressivos como grandes tubardes brancos um tubardofrade se alimenta fortes correspondem a linhas de EF agrupadas mais compactamente e portanto passivamente de plancton na agua que mais linhas por unidade de area de modo que novamente o fluxo elétrico é maior passa através de suas branquias enquanto Quando a 4rea A plana mas nao perpendicular ao campo E um nimero menor ele nada Sobreviver alimentandose de linhas passa através dela Nesse caso a drea que conta 0 perfil dela quando a apenas desses minUsculos organismos observamos na direciio de E Essa 4rea é indicada pelo simbolo A na Figura 226b requer um enorme fluxo de agua através 8 ee da imensa boca do tubaraofrade que sendo dada por A cos compare com a Figura 225b Generalizamos a definicgao pode possuir até um metro de didmetro de fluxo elétrico para um campo elétrico uniforme por meio da relagaéo O fluxo de agua 0 produto da veloci tubaréo atrave 4 pla area de sua boca pode ge de at By EA cos 221 05 ms 00 litros por segundo ou fluxo elétrico para E uniforme superficie plana quase 2 X 10 litros por hora De modo andlogo 0 fluxo de um campo elétrico através de uma superficie depende do Como E cos 0 componente de E perpendicular a area podemos reescrever modulo do campo elétrico e da area da a Equacao 221 na forma superficie bem como a orlientacao relativa do campo e da superficie EA 222 fluxo elétrico para E uniforme superficie plana a Com base no vetor da drea A perpendicular a 4rea podemos escrever o fluxo elétrico como o produto escalar entre os vetores Ee A EA 223 S met fluxo elétrico para E uniforme superficie plana As equacgées 221 222 e 223 sao formas equivalentes para calcular o fluxo elétrico para o caso de uma superficie plana e um campo elétrico uniforme No SI a unidade de fluxo elétrico é 1 N mC Note que se a drea for lateral ao campo E A serio perpendiculares e o fluxo serd igual a zero Figura 226c Podemos representar um vetor area Ausando um vetor unitdrio i perpendicular a area ft representa a palavra normal Logo AAn 224 Uma superficie possui dois lados portanto existem dois sentidos possiveis para os vetores A e Devemos sempre especificar qual é 0 sentido escolhido Na Se go 221 relacionamos a carga no interior de uma superficie fechada com 0 fluxo elétrico que passa através da superficie Quando a superficie é fechada sempre escolhemos o sentido de para fora da superficie e dizemos que o fluxo elétrico sai da superficie fechada Logo quando na Se4o 221 falamos que um fluxo elétrico sai da superficie queremos dizer que é positivo e quando falamos que um fluxo elétrico entra na superficie queremos dizer que Pz é negativo Fluxo de um campo elétrico nao uniforme O que ocorre quando o campo elétrico E nao é uniforme e sim varia de um ponto para outro ao longo da superficie de area A Ou 0 que ocorre quando A é parte de uma superficie curva Nesse caso dividimos A em pequenos elementos de superfi cie de area dA cada um deles possui um vetor unitario perpendicular a respectiva superficie e um vetor area dA dA Calculamos 0 fluxo elétrico através de cada um desses elementos e integramos 0 resultado para obter o fluxo elétrico total Capitulo 22 Leide Gauss 49 Médulo do campo Componente de E eos E perpendicular 4 superficie Fluxo elétrico Ye S atravésde Ecos dA E dA EdA 225 uma superficie 4 ara ae ae Angulo entre Ee a Elemento dat Elemento vetorial da normal a superficie area da superficie area da superficie Essa integral é chamada integral de superficie do componente E sobre a area considerada ou a integral de superficie de E dA Em problemas especificos uma forma da integral pode ser mais conveniente do que outra O Exemplo 223 no final desta secao ilustra 0 uso da Equacao 225 Na Equacao 225 o fluxo elétrico f E dA é igual ao valor médio do compo nente perpendicular do campo elétrico multiplicado pela drea da superficie Essa é a mesma definicao de fluxo elétrico apresentada na Secao 221 agora expressa sob uma forma matematica mais rigorosa Na proxima secdo veremos a conex4o entre o fluxo elétrico total por meio de qualquer tipo de superficie fechada seja qual for o seu formato e a carga no interior da superficie Um disco com raio igual a 010 m esta orientado de modo que b A normal ao disco agora perpendicular ak logo 90 seu vetor unitario normal forme um Angulo de 30 comum ggg b0e 0 campo elétrico uniforme E cujo médulo é igual a 20 X 10 c A normal ao disco é paralela a E logo 6 0 cos 1 NC Figura 227 Como essa superficie nao é fechada nao podemos especificar um lado interno ou externo Por essa EAcos 20 X 103 NC00314 m 1 razao tivemos de escolher o sentido de fi na figura a Qual é o fluxo elétrico através do disco b Qual é 0 fluxo elétrico através 63NmC do disco depois que ele gira de modo que f se torne perpendi cular a E c Qual 0 fluxo elétrico através do disco quando A AVALIAR nossa resposta ao item b é menor que a resposta ao é paralelo ao vetor E item a que por sua vez menor que a resposta ao item c E assim que deve ser SOLUGAO Figura 227 O fluxo elétrico By através de um disco depende IDENTIFICAR E PREPARAR este problema trata de uma super 40 Angulo entre sua normal fe 0 campo elétrico E ficie plana em um campo elétrico uniforme portanto podemos TO ee r010m aplicar os conceitos abordados nesta secao Calculamos o fluxo elétrico usando a Equaca4o 221 30 EXECUTAR a adrea éA 7 010 m 00314 me 0 Angulo E entre Ee A Ané 30 portanto conforme a Equacao 221 XY XN EAcos 20 X 10 NC 00314 m7 cos 30 54Nm7C Uma superficie fechada imaginaria em forma de cubo de lado L EXECUTAR a os vetores unitdérios a fig sfo indicados na esté em uma regido onde existe um campo elétrico uniforme E Figura 228a cada vetor unitdrio esta orientado para fora da Determine o fluxo elétrico através de cada face do cubo eo fluxo superficie do cubo O Angulo entre Ee A é igual a 180 0 an total através do cubo quando a ele esta orientado com duas de gulo entre Ee fy igual a 0 e o Angulo entre E e cada um dos suas faces perpendiculares a FE Figura 228a e b ele sofre um outros quatro vetores unitdrios é igual a 90 Cada face do cubo giro de um Angulo 6 em torno de um eixo vertical Figura 228b possui uma drea igual a L Portanto os fluxos através de cada face do cubo sao SOLUGAO 5 5 5 IDENTIFICAR E PREPARAR como 0 campo elétrico E é uni Pp E mA ELcos 180 EL forme e todas as seis faces do cubo sao retas podemos calcular Op E nA EL cos0 E o fluxo elétrico através de cada face do cubo usando as equagées 223 e 224 O fluxo total através do cubo é a soma dos seis fluxos ps Dyy Pps Ops ELc0s90 0 individuais Continua 50 Fisica Ill Continuagdao O fluxo é negativo sobre a face 1 na qual E est4 entrando no O fluxo elétrico total Bg Bg Dey Dez Oey Ops cubo e positivo sobre a face 2 na qual E esta saindo do cuboO Pe através do cubo novamente igual a zero fluxo total através do cubo é AVALIAR obtivemos essa mesma conclusao em nossa discussao acerca da Figura 223c 0 fluxo elétrico é igual a zero quando um Pe Dg Pg Ogg Oey Des Pz6 campo elétrico uniforme atravessa uma superficie fechada no fF00000 interior da qual nao existe nenhuma carga elétrica b Como o campo elétrico E sai das faces 1 e 3 os fluxos elé Figura 228 Fluxo elétrico de um campo elétrico uniforme E tricos através delas so negativos como E sai das faces2e4os através de uma caixa cubica de lado L em duas orientag6es fluxos através delas sdo positivos Encontramos a b Op E nA EL cos 180 6 EL cos 6 its as Op EinA EL cos 3 RS TSS E 3 2 E Op E A ELcos 90 6 ELsen 6 Dy E tg A EL cos 90 0 EL sen 6 SS I90 0 zs Pg EL cos90 0 n m 0 ay No Ng Uma carga puntiforme positiva g 30 wC esta circundada por AVALIAR o valor de g nao depende do raio r da esfera uma esfera imagindaria de raio igual a r 020 m centralizada Obterfamos 0 mesmo resultado tanto para uma esfera com sobre a carga Figura 229 Calcule o fluxo elétrico resultante 20 m de raio quanto para uma com 200 m Chegamos a essa através da esfera mesma concluso em nossa discussao da Figura 224 na Secao 221 na qual utilizamos superficies fechadas retangulares com SOLUGAO dois tamanhos diferentes mas com a mesma carga puntiforme eee Naquele caso descobrimos que o fluxo de EF nao dependia do IDENTIFICAR E PREPARAR a superficie nao é planaeo campo tamanho da area o mesmo resultado se aplica a uma superficie elétrico nao é uniforme portanto devemos usar a definigéo esférica Na verdade o fluxo elétrico sobre qualquer superficie geral de fluxo elétrico nossa varidvelalvo Equacao 225 para fechada que contenha uma carga puntiforme nao depende nem calculalo Como a esfera esta centralizada sobre uma carga da forma nem do tamanho da superficie conforme mostraremos puntiforme em qualquer ponto na superficie esférica E esté dire mais adiante cionado para fora da esfera perpendicular a superficie O sentido positivo tanto para quanto para E aponta para fora portanto Figura 229 Fluxo eletrico através de uma E Eco fluxo através de um elemento de superficie dA é E esfera centrada sobre uma carga puntiforme dA E dA Isso simplifica muito a integral na Equagao 225 dA EXECUTAR devemos calcular a integral da Equacao 225 Pg f E dA Em qualquer ponto sobre a esfera de raio r o campo elé trico possui o mesmo médulo E q47rqr Portanto E pode ser retirado da integral e a equacio passa a ser dada por g E Q f dA EA em que A a drea da superficie esférica A 4zrr qo Portanto o fluxo elétrico total que sai da esfera é p 24 O EA Amey 4ar co E 6 30 X10 e 34 X 10NmC 885 X 10 CNm TESTE SUA COMPREENSAO DA SEGAO 222 Classifique as seguintes superffcies se guindo a ordem do fluxo elétrico mais positivo para o mais negativo i Uma superficie retangular plana com vetor de area A 60 mf em um campo elétrico uniforme E 40 NC ii uma superficie circular plana com vetor de area A 30 mj em um campo elétrico uniforme E 40 NC 20 NCj iii uma superficie quadrada plana com vetor de drea A 30 mf 70 mj em um campo elétrico uniforme E 40 NCi 20 NC iv uma superficie oval plana com vetor de area A 30 m7 70 mj em um campo elétrico uniforme E 40 NCt 20 NCj1 Capitulo 22 Leide Gauss 51 223 LEI DE GAUSS A lei de Gauss é uma alternativa a lei de Coulomb Embora seja completamente equivalente a lei de Coulomb a lei de Gauss apresenta uma forma diferente de ex pressar a relac4o entre carga elétrica e campo elétrico Ela foi formulada por Carl Friedrich Gauss 17771855 um dos maiores matematicos de todos os tempos Figura 2210 Carga puntiforme no interior de uma superficie esférica A lei de Gauss afirma que o fluxo elétrico total através de qualquer superficie Figura 2210 Carl Friedrich Gauss fechada a superficie interna de um volume definido é proporcional a carga elétrica ajudou a desenvolver diversos ramos total liquida existente no interior da superficie Na SecAo 221 observamos isso 44 Matematica incluindo a ee spe Lo geometria diferencial a andlise real qualitativamente agora verificaremos isso de maneira mais rigorosa Vamos ini 4 teoria dos nimeros A curva do ciar com o campo elétrico de uma Unica carga puntiforme positiva g As linhas de gino da estatistica é uma de suas campo se irradiam para fora da carga igualmente em todas as diregdes Colocamos invengdes Gauss também realizou essa carga no centro de uma superficie esférica imagindria de raio RO médulo do sofisticadas investigagdes sobre os campo elétrico E em qualquer ponto sobre a superficie é dado por campos magnéticos da Terra e calculou a 6rbita do primeiro 1 4g asteroide a ser descoberto E Arey R2 O vetor E é perpendicular a cada ponto da superficie e seu médulo é sempre o mesmo em todos os pontos como no Exemplo 223 Segao 222 O fluxo elétrico resultante é dado pelo produto do médulo do campo elétrico E pela area total A 47rR da superficie da esfera ob FA 4 agp 4 i B Arey R2 0 226 a O fluxo elétrico é independente do raio R da esfera Ele depende apenas da carga q existente no interior da esfera Podemos também interpretar esse resultado com base nas linhas de campo A Figura 2211 mostra duas esferas com raios R e 2R centralizadas sobre a carga puntiforme g Cada linha de campo elétrico que passa pela esfera menor também passa pela maior de modo que o fluxo elétrico é o mesmo nas duas esferas O que é verdade para a esfera como um todo também é verdade para qualquer Figura 2211 Projecio de um porcao de sua superficie Na Figura 2211 um elemento de drea dA assinalado elemento de area dA de uma esfera sobre uma esfera de raio R e a seguir projetado sobre uma esfera concéntrica de de raio R sobre uma esfera raio 2R desenhando raios que passam pelo centro e pelos pontos limitrofes de dA concéntrica de raio 2K A projegao multiplica cada dimenso linear por A area projetada sobre a esfera maior claramente igual a 4 dA Porém como 0 9 de modo que 0 elemento de drea campo elétrico de uma carga puntiforme é inversamente proporcional a r 0 m6 sobre a esfera maior é igual a4 dA dulo do campo elétrico sobre a esfera de raio 2R é i do médulo do campo elétrico mesmo mimero de linhas de campo e sobre a esfera de raio R Portanto o fluxo elétrico 0 mesmo para ambas as 4reas 0 mesmo fluxo elétrico passam através e nao depende do raio da esfera de cada elemento de area Carga puntiforme no interior de uma superficie nao esférica a Essa técnica de projegéo mostra como generalizar a discussao para superficies my com formas nao esféricas Em vez de uma segunda esfera vamos circundar a esfera i de raio R com uma superficie de forma irregular como indica a Figura 2212a VY Considere um pequeno elemento de area dA sobre a superficie irregular notamos Ya que essa area maior que um elemento de area correspondente sobre a superficie esférica que estivesse 4 mesma distancia de g Se a normal dA forma um Angulo k com 0 raio que parte da carga q a projecdo dessa area sobre a superficie esférica mostra que dois lados se encurtam na medida de cos Figura 2212b Os outros dois lados nao variam Portanto o fluxo elétrico através do elemento da superficie 52 Física III esférica é igual ao fluxo elétrico E dA cos f através do elemento correspondente da superfície irregular Podemos dividir a superfície irregular inteira em elementos dA calcular o fluxo elétrico E dA cos f para cada elemento e somar os resultados fazendo a integral como procedemos para obter a Equação 225 Cada um dos elementos de área se projeta sobre um elemento correspondente da superfície esférica Logo o fluxo elé trico total através da superfície irregular dado por uma das formas da Equação 225 deve ser igual ao fluxo elétrico total sobre a superfície esférica o qual a Equação 226 mostra que é igual a qP0 Portanto para a superfície irregular FE E S dA S q P0 227 A Equação 227 vale para qualquer forma e tamanho da superfície desde que esta seja fechada e contenha uma carga q em seu interior A circunferência em torno do sinal da integral serve para lembrar que a integração sempre deve ser feita sobre uma superfície fechada Os elementos de área d e os vetores unitários correspondentes sempre apon tam para fora do volume delimitado pela superfície Logo o fluxo elétrico é po sitivo nas áreas sobre as quais o campo elétrico aponta para fora da superfície e negativo quando aponta para dentro da superfície Portanto E é positivo nos pontos em que aponta para fora da superfície e negativo nos pontos em que aponta para dentro da superfície Quando a carga puntiforme na Figura 2212 for negativa o campo elétrico estará orientado radialmente para dentro o ângulo f será então maior que 90 seu cosseno será negativo e a integral na Equação 227 será negativa Porém como q também é negativa a Equação 227 continua válida Se no interior de uma superfície não existe nenhuma carga FE E S dA S 0 A relação anterior é uma afirmação matemática de que quando não existe nenhuma carga em uma região qualquer linha de campo produzida por uma carga puntiforme no exterior dessa região que entre na superfície em um dado ponto deve sair da superfície em outro ponto Obtivemos essa mesma conclusão na Seção 221 considerando o caso especial de uma caixa retangular em um campo elétrico uniforme A Figura 2213 ilustra essa conclusão Um campo elétrico só pode começar ou terminar em uma dada região quando existem cargas no interior dessa região Figura 2212 Cálculo do fluxo elétrico através de uma superfície não esférica E S E S a A normal saindo da superfície irregular forma um ângulo f com o vetor E dA E dA cosf b f f q R r q E A projeção do elemento de área dA sobre a superfície esférica é dA cos f dA f S Figura 2213 Uma carga puntiforme no exterior de uma superfície fechada que não engloba nenhuma carga Se uma linha do campo elétrico da carga externa entra na superfície em um ponto ela deve sair em outro ponto E S Linha do campo entrando na superfície Mesma linha do campo saindo da superfície BookSEARSVol3indb 52 101115 656 PM Capitulo 22 Leide Gauss 53 Forma geral da lei de Gauss Agora atingimos a etapa final para obtermos a forma geral da lei de Gauss Su ponha que no interior da superficie exista nao apenas uma carga puntiforme q mas diversas cargas 1 q2 3 O campo elétrico total resultante FE em qualquer ponto é dado pela soma vetorial dos campos elétricos E das cargas individuais Vamos designar por Q a carga total existente no interior da superficie QO 4 q2 q3 Seja também E o campo elétrico total no ponto da superficie correspon dente ao elemento de area dA e seja E 0 componente perpendicular ao plano desse elemento ou seja paralelo a dA Entéo podemos escrever uma equacao analoga a Equacao 227 para cada carga com seu campo elétrico correspondente e somar os resultados Fazendo isso obtemos 0 enunciado matematico geral da lei de Gauss o One Carga total no Lei de Gauss z EdA interior da superficie 228 a iS Fluxo elétrico através dé uma superficie Constante elétrica fechada de 4rea A integral de superficie de E O fluxo elétrico total através de qualquer superficie fechada é igual a carga elétrica total liquida existente no interior da superficie dividida por eg Usando a definigéo de Qin e os diversos modos de escrever a Equacfo 225 Figura 2214 Superficies gaussianas podemos escrever a lei de Gauss nas seguintes formas equivalentes esfricas em torno de a uma carga puntiforme positiva e b uma carga puntiforme negativa Varias formas da Médulodo Componente de E Carga total no interior Superfici 4 lei de Gauss campo elétrico E perpendicular a superficie da superficie a Superficie gaussiana em torno de i i oe uma carga puntiforme positiva fluxo oye t a OO P cvosb as pea gE dA ee 229 positivo para fora Fluxo elétrico Poo a 0 2 dA através de uma Angulo entreE Elemento da Elemento vetorial Constante superficie fechada e a normal a superficie area da superficie da area da superficie elétrica Tal como na Equagao 225 as diversas formas da integral expressam a mesma Oy 7 coisa 0 fluxo elétrico total através da superficie gaussiana usandose termos dife ig S rentes As vezes uma forma mais conveniente que outra E ATENGAO As superficies gaussianas s4o imagindrias Lembrese de que a superficie fechada na lei de Gauss é imagindria Nao é necessario nenhum objeto material na po b Superficie gaussiana em torno de sigdo da superficie Frequentemente nos referimos 4 superficie fechada usada na lei de uma carga puntiforme negativa fluxo Gauss como uma superficie gaussiana negativo para dentro dA A titulo de exemplo a Figura 2214a mostra uma superficie gaussiana esférica com raio rem torno de uma carga puntiforme positiva g O campo elétrico aponta para fora da superficie de modo que cada ponto sobre a superficie EF aponta no ae 2 mesmo sentido que dA 0 e E é igual ao médulo do campo E ql4treor 7 Como E é 0 mesmo em todos os pontos sobre a superficie podemos retiralo da VV integral na Equacao 229 Entao o restante da integral é f dA A 4rra area da esfera Portanto a Equagao 229 tornase E q q q q O peas 4au 15 pus arr 47eor A4iegr A4meor 0 A carga englobada Q exatamente a carga g 0 que esta de acordo com a lei de Gauss Se a superficie gaussiana engloba uma carga puntiforme negativa como 54 Fisica Ill indica a Figura 2214b entao E aponta para o interior da superficie em cada ponto no sentido oposto a dA Logo 180 e E é igual a negativa do médulo do campo FE E ql47reqr ql4treor Entao a Equacao 229 tornase Op pra g ta 5 pas taagr t A4iegr A4iegr A4meor 0 Isso esta novamente de acordo com a lei de Gauss porque a carga englobada na Figura 2214b é Qint Nas equac6es 228 e 229 o termo Qj sempre é obtido fazendose a soma al gébrica de todas as cargas positivas e negativas existentes no interior da superficie gaussiana e Eéo campo elétrico total sobre cada ponto da superficie Observe também que geralmente esse campo elétrico é produzido parcialmente por cargas que estao dentro da superficie e parcialmente por cargas que estao fora dela Porém como mostramos na Figura 2213 as cargas fora da superficie ndo contribuem para o fluxo elétrico total liquido através dela Portanto as equagdes 228 e 229 continuam validas mesmo quando existem cargas fora da superficie que contri buem para o campo elétrico sobre a superficie considerada Quando Q 0 0 fluxo elétrico total através da superficie gaussiana deve ser igual a zero ainda que algumas de suas partes possam ter um fluxo elétrico positivo e outras possam ter um fluxo elétrico negativo Figura 223b A lei de Gauss fornece uma resposta definitiva para a pergunta feita na Secao 221 Caso vocé conhecesse a configuracgao do campo elétrico em uma dada regiao o que poderia afirmar sobre a distribuigdo de cargas nessa regiao Essa lei fornece uma relagao entre o campo elétrico em uma superficie fechada e a distribuicgao de cargas existentes no interior da superficie Porém em alguns casos podemos usar a lei de Gauss para responder a pergunta inversa Caso vocé conhecesse a distri buicao de cargas em uma dada regiaéo como poderia determinar a configuraca4o do campo elétrico produzido por essa distribuigao de cargas A lei de Gauss aparen temente n4o seria razoavel para fornecer uma resposta para essa questo visto que 0 calculo da integral na Equagao 228 pode parecer uma tarefa impossivel Em alguns casos realmente é Contudo em outros essa tarefa tornase surpreendentemente simples A seguir damos um exemplo no qual nao é necessario fazer nenhuma integral na proxima secdo desenvolveremos outros exemplos A Figura 2215 indica 0 campo elétrico produzido por duas car de A deve ser positivo De modo andlogo a superficie B deve gas puntiformes g e g um dipolo elétrico Determine 0 fluxo ser negativa porque todas as linhas de campo que atravessam elétrico através de cada uma das superffcies fechadas ABC eD a superficie B apontam de fora para dentro Tanto na superficie C quanto na superficie D existe o mesmo numero de linhas de SOLUGAO campo apontando para fora e para dentro da superficie logo o es fluxo através de cada uma dessas superficies é igual a zero A lei de Gauss Equacgao 228 afirma que o fluxo elétrico total através de qualquer superficie fechada é igual ao valor Figura 2215 O numero total de linhas de campo que da carga elétrica total no interior da superficie dividido por alten tan lexi superficie techada prop trek onal carga Na Figura 2215 a superficie A em vermelho engloba a cletrica total existente no interior da superiicie carga positiva logo Qin g a superficie B em azul en globa a carga negativa logo Qint q a superficie C em roxo engloba ambas as cargas logo Qin q q 0 e a superficie D em amarelo nao possui nenhuma carga Voom em seu interior logo Qint 0 Portanto nao é necessdério e i a ve fazer nenhuma integragdo e concluimos que 0 Pg qEo eV Dez qléeyo e Dec Ozp 0 Esses resultados dependem o a i ba somente das cargas existentes no interior da superficie gaus Wy Ji siana nao da forma precisa de cada superficie i eae Podemos obter conclusdes semelhantes examinando as linhas de i campo elétrico Todas as linhas de campo que atravessam a su perficie A apontam de dentro para fora portanto o fluxo através Capitulo 22 Leide Gauss 55 TESTE SUA COMPREENSAO DA SECGAO 223 A Figura 2216 mostra seis cargas punti Figura 2216 Cinco superficies formes todas elas localizadas no mesmo plano Cinco superficies gaussianas 1 S753S4 gaussianas e seis cargas e Ss englobam cada qual uma parte desse plano e a Figura 2216 mostra a intersecio de puntiformes cada superficie com o plano Classifique essas cinco superficies por ordem do fluxo elétrico que as atravessa desde o mais positivo até 0 mais negativo I a 224 APLICACOES DA LEI DE GAUSS LON Je V4 é Ss A lei de Gauss valida para qualquer distribuicgdo de cargas e qualquer super HO 410 pc ficie fechada Ela pode ser usada de dois modos Quando conhecemos a distri 100 uC buicdo de cargas e a integral na lei de Gauss possui simetria suficiente podemos determinar o campo elétrico Ou quando conhecemos 0 campo podemos usar a lei de Gauss para definirmos a distribuicgao de cargas como as cargas sobre uma superficie condutora Nesta seciio apresentaremos exemplos de ambos os tipos de aplicagao A medida que vocé os estudar observe atentamente o papel desempenhado pelas propriedades de simetria de cada sistema Utilizaremos a lei de Gauss para determinar 0 campo elétrico produzido por diversas distribuigdes de cargas e os resultados serao apre sentados em uma tabela no resumo do final do capitulo Em problemas praticos geralmente encontramos situag6es nas quais precisamos saber o campo elétrico produzido por distribuig6es de cargas sobre um condutor Esses calculos sao facilitados pelo seguinte fato crucial guando existe um excesso de carga em um condutor sélido em equilibrio o excesso fica inteiramente loca lizado sobre a superficie do condutor e nao no interior do material Por excesso Figura 2217 No equilibrio queremos dizer cargas além dos ions e dos elétrons livres que compd6em 0 condutor eletrostatico as cargas nao se neutro Agora vamos demonstrar esse resultado Sabemos pela Secdo 214 que Movem qualquer excesso de carga quando existe equilfbrio eletrostatico no qual todas as cargas estao em repouso deve fic ar localizado sobre a os superficie de um condutor sdlido o campo elétrico E é igual a zero em qualquer ponto no interior de um condutor Caso E fosse diferente de zero as cargas em excesso estariam em movimento Superficie gaussiana A Suponha que vocé crie uma superficie gaussiana no interior do condutor como 9 interior do condutor a superficie A indicada na Figura 2217 Como E 0 em todos os pontos sobre corte transversal Condutor pos ye corte transversal essa superficie a lei de Gauss exige que a carga total no interior da superficie seja igual a zero Agora imagine que vocé faga 0 volume delimitado por essa superficie tender a zero de modo que a superficie se reduza a um ponto P entao a carga nesse ponto deve ser igual a zero Podemos repetir esse raciocinio para todos os pontos do condutor logo ndo pode existir nenhum excesso de carga no interior de um condutor sélido em equilibrio qualquer excesso de carga deve ficar localizado sobre a superficie do condutor Esse resultado vale para um condutor sélido Na proxima seco discutiremos 0 que ocorre quando existem cavidades no interior Carga sobre a superficie do condutor O resultado demonstrado sera usado com frequéncia nos exemplos do condutor apresentados a seguir ESTRATEGIA PARA A SOLUGAQ DE PROBLEMAS 221 LELDE GAUSS sececeseseseeesesesessesees IDENTIFICAR os conceitos relevantes a lei de Gauss é mais util 2 Escolha a superficie gaussiana apropriada que deve ser nas situacgdes em que a distribuicao de carga possui simetria imaginaria e fechada Para simetria esférica use uma su esférica cilindrica ou planar Nessas situacdes determinamos perficie esférica concéntrica Para simetria cilindrica use o sentido de E pela simetria da distribuicao de carga Podemos uma superficie cilindrica coaxial com bases perpendicula usar a lei de Gauss para determinar 0 médulo de E quando res ao eixo de simetria como uma lata de sopa Para sime conhecemos a distribuigao de carga e viceversa Em qualquer tria planar use uma superficie cilindrica como uma lata de desses casos inicie sua andlise perguntando qual é a simetria atum com bases paralelas ao plano PREPARAR o problema por meio dos seguintes passos EXECUTAR a solugdo da seguinte forma 1 Faga uma lista das grandezas conhecidas e desconhecidas 1 Determine o tamanho e a localizacao apropriados para a e identifique a variavelalvo superficie gaussiana Para avaliar um campo magnético em Continua 56 Fisica Ill Continuagdao um ponto especifico a superficie deve incluir 0 ponto con E Oe a integral sobre essa superficie é igual a zero Isso siderado Pode ser util colocar uma extremidade de uma pode ocorrer em partes de uma superficie gaussiana cilfn superficie em forma de lata no interior de um condutor drica Quando E 0em todos os pontos ao longo de uma onde E e sao iguais a zero ou colocar suas extremidades superficie entao a integral sobre essa superficie sera igual em pontos equidistantes de um plano carregado a zero Calcule a integral g E dA na Equagao 229 Nessa equagao 2 Mesmo quando nio existe nenhuma carga no interior da E 0 componente perpendicular do campo elétrico total superficie o campo elétrico em qualquer ponto sobre a su em cada ponto sobre a superficie gaussiana Uma superficie perficie gaussiana nao é necessariamente igual a zero gaussiana bem escolhida tornara 0 processo de integragao Contudo nesse caso o fluxo elétrico total através da super trivial ou desnecessario Quando a superficie é composta ficie sempre é igual a zero por varias superficies separadas como os lados e as extre 3 integral do fluxo g E dA pode ser aproximada como a midades de um cilindro a integral f E dA sobre toda a diferenga entre o numero de linhas de forga elétrica saindo superficie fechada a soma das integrais J E dA sobre as da superficie gaussiana e o numero de linhas de forga elé superficies separadas Considere os itens 36 enquanto voce trica entrando nela Nesse sentido o fluxo fornece o sinal trabalha da carga englobada mas é apenas proporcional a ela fluxo Quando E for perpendicular normal em todos os pontos nulo corresponde a carga englobada nula de uma superficie com area A se ele apontar para fora da 4 Apos avaliar a integral g E dA use a Equacao 229 para superficie e seu modulo for constante em todos os pontos explicitar a incégnita do problema ao longo da superficie entéo E E constante e f Ey dA sobre essa superficie sera igual a EA Se E apontar para AVALIAR sua resposta caso seu resultado for uma fundo que dentro E Ee f E dA EA Quando E fortan descreve como 0 médulo do campo elétrico varia conforme a gente em todos os pontos ao longo de uma superficie entao posigdo certifiquese de que faz sentido BECTIIRZED CAMPODEUMAESFERACONDUTORACARREGADA Colocamos uma carga positiva g sobre uma esfera condutora 5 q macica de raio R Figura 2218 Determine o campo elétrico E E4nr a e em qualquer ponto dentro ou fora da esfera E lo fora de uma esfera SOLUGAO 4irey 7 condutora carregada IDENTIFICAR E PREPARAR conforme discutimos anteriormente one aos nesta sec4o toda carga deve ficar localizada sobre a superficie Essa EXPFESSAO igual a0 campo elétrico produzido por uma da esfera A carga pode se deslocar livremente sobre o condutor 84P untiforme no exterior da esfera seu campo se comporta e nao existe uma posicao preferida sobre a superficie portanto CM S toda a carga da esfera estivesse concentrada em seu a carga esta distribuida uniformemente sobre a superficie eo Centro Imediatamente fora da superficie da esfera para r R sistema possui simetria esférica Para tirar proveito da simetria 1 gq tomamos como a superficie gaussiana uma esfera imagindria com E Ame RD sobre a superficie de uma raio r centralizada sobre o condutor Para calcular 0 campo den 70 RK esfera condutora carregada tro ou fora do condutor supomos r R ou r R respectivamente Em qualquer desses casos 0 ponto em que desejamos calcular E PararR temos novamente E4ar Qinto Mas como a localizase sobre a superficie gaussiana superficie gaussiana escolhida que se localiza inteiramente den EXECUTAR a simetria esférica também mostra que o campo elé tro do condutor ndo contém carga Qin 0 Portanto o campo trico deve ser radial isso acontece porque nao existe uma direc4o elétrico no interior do condutor é nulo preferida paralela a superficie entaio E nao pode possuir nenhum componente paralelo A superficie Nao existe uma orientacao pree ATENGAO O fluxo pode ser positivo ou negativo Lembre ferida da esfera entao o médulo E do campo elétrico depende se de que escolhemos a carga g como positiva Quando a apenas da distancia r entre o ponto considerado e o centro daes carga é negativa o campo elétrico esta orientado radialmente fera e deve possuir sempre o mesmo valor sobre todos os pontos para dentro da esfera em vez de para fora e 0 fluxo elétrico na superficie gaussiana através da superficie gaussiana é negativo Os médulos dos Para r R todo o condutor esta localizado no interior da super campos elétricos fora da esfera e sobre sua superficie sio ficie gaussiana de modo que a carga no interior da superficie dados pelas mesmas expressdes anteriores lembrando que seja igual a q A drea da superficie gaussiana é 4777 e E uni nesse caso g representa 0 médulo valor absoluto da carga forme e perpendicular a superficie em todos os seus pontos O fluxo elétrico dado pela integral gE dA é portanto E4mr e a Equacao 228 fornece Continua Capitulo 22 Leide Gauss 57 Continuagdao AVALIAR ja sabfamos que E 0 no interior de um condutor 40 haja carga no interior do buraco Usamos uma superficie s6lido seja esférico ou néo quando as cargas esto em repouso 4uUSsiana esférica com raio r menor que 0 raio do buraco Se A Figura 2218 mostra E em funcao da distancia ra partir do 20uvesse um campo elétrico no interior do buraco ele seria radial aa ct 2 centro da esfera Note que no limite R 0 a esfera se com Sfericamente simétrico como antes logo E Qin47 or porta como uma carga puntiforme entaio s6 existe um lado de Como nesse caso nao estamos considerando nenhuma carga en fora dessa carga puntiforme e o campo elétrico é dado porE globada logo Qi 0 e E 0 no interior do buraco ql4qreyr Portanto deduzimos a lei de Coulomb a partir da lei Vocé capaz de usar esse método para determinar o campo elé de Gauss Na Secao 223 deduzimos a lei de Gauss a partir da trico no espaco existente entre uma esfera carregada com outra lei de Coulomb as duas sao equivalentes esfera oca condutora concéntrica que esteja na parte de fora Podemos usar esse método para uma casca esférica uma esfera dessa esfera condutora com um buraco esférico concéntrico supondo que Figura 2218 Calculo do campo elétrico de uma esfera condutora ae Partes das superficies com carga positiva qg Fora da aussianas em esfera o campo é 0 mesmo como se 8 r 2Rer3R toda carga estivesse concentrada no centro da esfera f E ER a Fora da esfera o médulo do campo 4ireg R elétrico diminui com o quadrado da Dentro da esfera 0 distancia radial do centro da esfera campo elétrico pet 4 igual a zero Amey 17 E0 BRA bps ERY9 pe O R 2R 3R SAUCE CAMPO DE UMA CARGA DISTRIBUIDA AO LONGO DE UM FIO Uma carga elétrica é distribuida uniformemente ao longo de um Al fio retilfneo infinito fino A carga por unidade de comprimento Op 2arlE 9 é A considerado positivo Calcule o campo elétrico usando a lei de Gauss 1A E campo de um fio 279 infinito carregado SOLUGAO IDENTIFICAR E PREPARAR como vimos TO Exemplo 21 10 Esse resultado é igual ao encontrado no Exemplo 2110 por meio Segao 215 o campo elétrico E de um fio retilineo infinito go yma técnica muito mais trabalhosa uniformemente carregado aponta radialmente pata fora quando Quando A é negativo o campo elétrico E esta orientado radial A positivo radialmente para dentro quando A é negativo O mente para dentro do fio e na expresso anterior para E deve modulo do campo elétrico E em um ponto depende apenas da dis on mos interpretar A como 0 médulo valor absoluto da carga por tancia radial entre o ponto e o fio Essas propriedades de simetria 4 vfici t lindri unidade de comprimento do fio sugerem 0 uso de uma superficie gaussiana cilindrica com um oo Ss co Per gauss 1a AVALIAR vimos no Exemplo 2110 que embora a carga inteira raio arbitrario r e um comprimento arbitrario coaxial ao fio e ves sobre o fio contribua para o campo elétrico em qualquer ponto com suas extremidades perpendiculares ao fio Figura 2219 pe oe ays 2 vy oe somente a parte Qin A que esta no interior da superficie fe EXECUTAR 0 fluxo elétrico através das bases do cilindro é igual Stet wag chada deve ser considerada quando aplicamos a lei de Gauss Nao a zero porque 0 campo elétrico radial é paralelo aos planos dessas oe bases logo 0 Para a superficie lateral do cilindro temos ha nada inconsistente nesse raciocinio é preciso toda a carga para E AE Eem todos os pontos Se A fosse negativo teria Ue campo elétrico possua as propriedades que nos permitem mos B f E Eem todos 0s pontos A 4rea da superficie calcular de uma maneira tao simples e a lei de Gauss sem lateral é igual a 2zrrl portanto o fluxo através delae portanto P S aplica apenas para cargas englobadas Se 0 fio curto a o fluxo elétrico total g através da superficie gaussiana é Simetria do fio infinito nao existe e E nao é uniforme ao longo EA 2rrlE A carga interna total é Q Al Usando a lei de 4a superficie gaussiana cilindrica coaxial Nesse caso a lei de Gauss Equagao 228 obtemos Gauss ndo util para determinar devemos resolver o problema Continua 58 Fisica Ill Continuagdo usando a técnica mais trabalhosa de integragéo empregada no igual ao campo da mesma carga se estivesse concentrada sobre Exemplo 2110 uma linha ao longo de seu eixo veja o Problema 2241 Também Podemos usar uma superficie gaussiana semelhante a indicada podemos calcular 0 campo elétrico no espaco entre um cilin na Figura 2219 para mostrar que o campo elétrico para os pontos dro carregado e um cilindro oco coaxial em seu exterior veja o externos de um cilindro muito longo uniformemente carregado é Problema 2239 Figura 2219 Uma superficie EL E Superficie gaussiana cilindrica coaxial é dA gaussiana usada para a determinacao do campo elétrico produzido no i 5 exterior de um fio carregado 41 infinitamente longo ee sD 4 toh i J kK PETIREZEA campo DE UMA CARGA DISTRIBUIDA AO LONGO DE UM PLANOINFINITO FING Determine 0 campo elétrico produzido por um plano infinito fino Caso fosse negativa E estaria orientado para dentro do plano com uma densidade superficial de carga uniforme positiva o o fluxo elétrico através da superficie gaussiana na Figura 2220 seria negativo e 0 na expressio E 0 2 designaria o médulo SOLUGAO valor absoluto da densidade de carga IDENTIFICAR E PREPARAR no Exemplo 2111 Secao 215 AVALIAR encontramos o mesmo resultado para o campo elétrico vimos que 0 campo elétrico E de um plano infinito uniforme de um plano carregado infinito no Exemplo 2111 Secdo 215 mente carregado é normal ao plano e que seu médulo em um o calcul ore muito mars comp lexoe envolveu uma integral de ponto nao depende da distancia entre 0 ponto a placa Essas safiadora Em raziio da simetria oportuna a lei de Gauss facilita 7 muito a resolucao deste problema propriedades de simetria sugerem 0 uso de uma superficie gaus siana cilfndrica com um eixo perpendicular ao plano carregado Figura 2220 Uma superficie gaussiana cilindrica e cujas bases possuam area A Figura 2220 é usada para determinar 0 campo elétrico EXECUTAR 0 fluxo elétrico sobre a superficie lateral do cilindro produzido por um plano carregado infinito é igual a zero porque E i 0 O fluxo em cada uma das bases do cilindro é igual a EA porque E i E Eem todos os pontos Portanto o fluxo elétrico total em ambas as bases logo 4 o fluxo elétrico total através da superficie gaussiana é igual 7 a 2EA A carga liquida no interior da superficie gaussiana é 4 BE Qint OA Usando a lei de Gauss obtemos EE oA y 2EA 9 Superficie o X gaussiana E campo de um plano 20 carregado infinito BECIIEZED cAMro ENTRE DUAS PLACAS PARALELAS COM CARGAS OPOSTAS Duas placas paralelas grandes possuem cargas com mddulos das linhas de campo nas bordas das placas Contudo quando iguais mas com sinais opostos as densidades superficiais das as placas s4o muito grandes em comparacio 4 distancia entre cargas sio a e a Determine 0 campo elétrico naregido entre elas as cargas nas superffcies externas so muito pequenas e as duas placas desprezamos os efeitos de encurvamento exceto sobre as bordas Nesse caso podemos supor que o campo elétrico seja uniforme SOLUGAO na regido entre as placas como indicado na Figura 2221b e IDENTIFICAR E PREPARAR 0 campo elétrico é indicado na Ue as cargas se distribuam uniformemente sobre as superficies Figura 2221a Como cargas de sinais opostos se atraem a Planas opostas Para explorar essa simetria desenhamos as su maior parte delas se acumula nas superficies opostas das placas perficies gaussianas sombreadas Sj 5 S3 e S4 Essas superficies Algumas cargas permanecem nas superficies externas das pla sao cilindros que possuem bases com 4rea A uma base de cada cas de modo que existe certo espalhamento e encurvamento cilindro esta no interior de uma das placas condutoras Continua Capitulo 22 Leide Gauss 59 Continuagdao EXECUTAR para a superficie S a base da esquerda esta no in O campo elétrico é uniforme sua diregao é perpendicular ao terior da placa positiva 1 Como 0 campo elétrico é igual a zero plano das placas e seu médulo em um ponto é independente da no interior da parte macica de qualquer condutor em equilibrio distancia entre o ponto e qualquer uma das placas Esse mesmo eletrostatico nao existe nenhum fluxo elétrico através dessa base resultado pode ser obtido usandose a superficie gaussiana S4 As Ocampo elétrico entre as placas é perpendicular a base da direita superficies gaussianas Sz e 3 mostram que E 0 a esquerda do portanto nessa base o médulo E é igual a Ee o fluxo elétricoé plano 1 e a direita do plano 2 respectivamente Deixamos esses igual a EA esse valor é positivo visto que E esté orientado para calculos para vocé veja o Exercicio 2227 fora da superficie gaussiana Nao existe nenhum fluxo elétrico AVALIAR no Exemplo 2112 obtivemos os mesmos resultados através da superficie lateral do cilindro visto que Eé paralelo usando o principio da superposi4o para o campo elétrico Os a ela Logo a integral de fluxo elétrico total da lei de Gauss campos produzidos pelos planos de cargas um em cada placa igual a EA A carga liquida no interior da superficie gaussiana sao E ie E pelo Exemplo 227 ambos possuem médulo a2 é igual a cA Usando a Equacao 228 obtemos EA oAég Ocampo elétrico resultante em qualquer ponto é dado pela soma portanto temos vetorial E E 1 EB Nos pontos a e c indicados na Figura 2221b E 1e E possuem sentidos opostos e a resultante é igual Co a zero No ponto b E e E possuem 0 mesmo sentido logo a E en campo entre placas condutoras resultante possui médulo E ao exatamente como acabamos carregadas com cargas opostas de concluir usando a lei de Gauss Figura 2221 Campo elétrico produzido por duas placas carregadas com cargas opostas a Desenho realista b Modelo idealizado 1 2 E E FE E O campo elétrico entre Eh as placas é quase OT No caso idealizado wee uniforme apontando a desprezamos os efeitos do plano positivo teed aa tedes de encurvamento nas Sy ara 0 nevativo i bordas e consideramos a 7 uniforme o campo i 7 entre as placas isl Superficies gaussianas et J cilindricas vista lateral os ae a Nae BECEIIEZED Campo DE UMA ESFERA UNIFORMEMENTE CARREGADA Uma carga positiva Q é distribuida uniformemente ao longo do A densidade volumétrica de carga p é igual a carga Q dividida volume de uma esfera isolante de raio R Determine 0 médulo pelo volume total da esfera de raio R do campo elétrico em um ponto P a uma distancia r do centro da esfera p Q 4rR3 SOLUGAO Te O volume V englobado pela superficie gaussiana é igual a tar IDENTIFICAR E PREPARAR assim como no Exemplo 225 0 de modo que a carga total Qj no interior dessa superficie é q 8 int P sistema possui simetria esférica Logo podemos usar as conclu sdes desse exemplo sobre a direcao 0 sentido e o médulo de E OQ 4 3 r Para usarmos essa simetria escolhemos como superficie gaus Qin PVint 2a Gar OB siana uma esfera de raio r concéntrica a distribuigdo de cargas EXECUTAR pela simetria a diregao do vetor E radial em todos Usando a lei de Gauss Equaciio 228 obtemos os pontos da superficie gaussiana logo E E e o médulo do campo elétrico E é o mesmo em todos os pontos sobre a superfi 5 Or cie Portanto o fluxo elétrico total através da superficie gaussiana anrk R ou é igual ao produto de E pela 4rea total da superficie A 4777 ou seja By 4aE E 1 or campo no interior de uma A quantidade de cargas no interior da superficie gaussiana de Arreg R esfera uniformemente carregada pende de r Para calcular E dentro da esfera escolhemos r R Continua 60 Fisica Ill Continuagdo O médulo do campo elétrico é proporcional a distancia r entre carregada como na superficie de uma esfera condutora carre 0 ponto do campo e 0 centro da esfera veja o grafico de Eem gada Exemplo 225 na superficie de um plano infinito carre fungao de r na Figura 2222 gado Exemplo 227 ou na superficie de uma placa condutora Para determinarmos E fora da esfera escolhemos rREssasu Exemplo 228 perficie engloba a carga total da esfera logo Qint Qe usando A técnica aplicada neste exemplo pode ser usada para qualquer a lei de Gauss obtemos corpo com uma distribuigdo de cargas com simetria esférica até mesmo quando a distribuicéo nao é uniforme Esses tipos de 4qrE Q ou distribuigéo ocorrem em muitos atomos e em ntcleos atémicos 0 razao pela qual a lei de Gauss é uma ferramenta util na fisica E oe Q campo no exterior de uma esfera atémica na fisica nuclear 47reg 2 uniformemente carregada Figura 2222 Médulo do campo elétrico produzido por uma esfera isolante uniformemente carregada Compare Para qualquer corpo com uma distribuicio de cargas com sime esse caso com o campo elétrico de uma esfera condutora tria esférica o campo elétrico para pontos situados no exterior Figura 2218 desse corpo é 0 mesmo que 0 produzido caso toda carga do corpo Isolante esférico estivesse concentrada no centro da esfera A Figura 2222 mostra p um grafico dessa situacao 4 Quando a carga é negativa E aponta radialmente para dentro e ik Q é interpretado como o médulo valor absoluto da carga nas yy Superficie express6es para E Saussiana AVALIAR note que quando substituimos r R em qualquer uma E das expressGes de E obtemos o mesmo resultado E OlArreoR 1 QO 2 fact a ER 75f para o mdédulo do campo elétrico na superficie da esfera Isso Arey R f decorre do fato de o médulo E ser uma fungao continua de r Em VE 1 contraste para o caso da esfera condutora do Exemplo 225 0 poe Qr Arey r modulo do campo elétrico é uma funga4o descontinua no ponto dare R r R ela salta de um valor E 0 em um ponto interno até E Q4zre R em um ponto externo quase sobre a superficie Geralmente 0 campo elétrico E sofre uma descontinuidade em 0 R r modulo direcao eou sentido sempre que existir uma pelicula Uma esfera oca com paredes finas possui raio de 0250 me uma esta direcionado para a esfera entéo g deve ser negativa Além quantidade desconhecida de carga distribuida uniformemente disso como o campo elétrico esta direcionado para a superficie sobre sua superficie A uma distancia de 0300 m do centro da gaussiana E Ee Og gE dA E4nr esfera o campo elétrico aponta radialmente parao centroe possui Pela lei de Gauss o fluxo é igual 4 carga g sobre a esfera que médulo 180 X 10 NC Quanta carga ha na esfera esta toda englobada pela superficie gaussiana dividida por o Explicitando g obtemos SOLUGAO q E Amer 180 X 10 NC 477 IDENTIFICAR E PREPARAR a distribuigao de carga possui sime pw 2 tria esférica Assim como nos exemplos 225 e 229 ocorre que 0 X 8854 X 107 CN m 0300 my campo elétrico é radial em todos os pontos e seu mddulo é uma 180 X 10C 180 nC fungao somente da distancia radial r do centro da esfera Usamos uma superficie gaussiana esférica que é concéntrica a distribuigéo AVALIAR para determinar a carga tivemos de determinar o de carga e que passa pelo ponto de interesse em r 0300 m A campo elétrico em fodos os pontos sobre a superficie gaussiana varidvelalvo do problema é Q q para podermos calcular a integral do fluxo Isso foi possivel EXECUTAR a distribuicao de carga é a mesma que se a carga neste caso porque a distribuig4o de carga é altamente simétrica estivesse sobre a superficie de uma esfera condutora com raio Quando porém a distribuigao de carga é irregular ou carece de de 0250 m Logo podemos tomar emprestados os resultados simetria a lei de Gauss nao é muito util para o calculo da distri do Exemplo 225 Notamos que 0 campo elétrico neste caso buic4o de carga a partir do campo ou viceversa TESTE SUA COMPREENSAO DA SEGAO 224 Vocé coloca uma determinada quantidade de carga Q no condutor de formato irregular mostrado na Figura 2217 Conhecendo seu tamanho e formato vocé pode usar a lei de Gauss para calcular 0 campo elétrico em uma posicado arbitraria fora do condutor Capitulo 22 Leide Gauss 61 BIO Aplicagao Distribuigao de cargas no interior de uma célula pe nervosa O interior de uma célula nervosa humana contém fons positives de potassio k e moléculas de proteinas negativas Pr Os fons de potassio a podem sair da célula atraves da membrana celular mas as moléculas de ae bee 4 es proteinas que sao muito maiores nao Como resultado 0 interior da célula Na teh Wl ele 4 tem uma carga liquida negativa O fluido no exterior da célula tem uma carga i oe positiva que equilibra essa situacao O fluido no interior da célula 6 um bom ar a a condutor de modo que as moléculas de Pr se distripuem sobre a superficie a j j Lae 2 i externa do fluido ou seja na superficie interna da membrana celular que Pe i e f 6 um isolante Isso acontece independentemente da forma da célula rah Os aif 225 CARGAS EM CONDUTORES Ja vimos que no equilibrio eletrostatico ou seja quando nao existe movimento das cargas o campo elétrico em qualquer ponto no interior do condutor é igual a zero e qualquer excesso de carga de um condutor sélido deve ficar localizado in teiramente sobre sua superficie Figura 2223a O que ocorre no entanto quando existe uma cavidade no interior do condutor Figura 2223b Quando nao existe nenhuma carga no interior da cavidade podemos usar uma superficie gaussiana como a superficie A que esta contida completamente na parte macica do condutor para mostrar que a carga total sobre a superficie da cavidade deve ser igual a zero pois E 0 sobre todos os pontos da superficie gaussiana De fato podemos mostrar que no existe carga sobre nenhum ponto da superficie da cavidade Deixamos para fazer uma demonstragao detalhada desse resultado no Capitulo 23 Suponha que um pequeno corpo com carga g seja colocado no interior de uma cavidade contida em um condutor Figura 2223c O condutor esta descarregado e isolado da carga g Novamente E 0 sobre todos os pontos da superficie A logo de acordo com a lei de Gauss a carga total no interior da superficie deve ser igual a zero Concluimos portanto que deve existir uma carga q distribuida sobre a superficie da cavidade atraida pela carga g existente no interior dela A Figura 2223 Calculo do campo elétrico no interior de um condutor carregado a Condutor sdlido com carga gc c Uma carga isolada g colocada dentro da cavidade fc Icot4 SS A carga dc localizase inteiramente sobre Para que z seja igual a zero em todos a superficie do condutor A situagao é os pontos sobre a superficie gaussiana eletrostatica portanto E 0 no interior a superficie da cavidade deve ter carga do condutor total igual a q b O mesmo condutor com Superficie uma cavidade interna gaussiana dc arbitraria A Como E Oem todos os pontos no interior do condutor 0 campo elétrico em todos os pontos sobre a superficie gaussiana deve ser igual a zero 62 Fisica Ill carga total do condutor deve continuar igual a zero o que permite concluir que uma carga q deve aparecer na superficie externa do material ou na parte ma cica do condutor Porém j4 demonstramos que em equilfbrio eletrostatico nao pode existir nenhum excesso de carga na parte macia de um condutor Assim a carga q deve aparecer na superficie externa Usando 0 mesmo raciocinio se 0 condutor estivesse inicialmente carregado com uma carga gc surgiria uma carga qc q em sua superficie externa depois que a carga q fosse colocada no interior da cavidade CS RUE eS UM CONDUTOR COM CAVIDADE Um condutor com uma cavidade possui carga total iguala 7 Figura 2224 Nossa esquematizacao do problema O campo nC A carga puntiforme no interior da cavidade isolada do con étrico no interior do condutor sdlido é igual a Zef0 dutor é igual a 5 nC Qual deve ser a carga existente em cada Portanto o fluxo pela superficie gaussiana indicada é nulo de superficie interna e externa do condutor modo que a carga na parede da cavidade deve ser oposta 4 da carga puntiforme A Carga liquida 7 nC SOLUGAO ce Superficie A Figura 2224 mostra a situagéo Como a carga no interior Me gaussiana da cavidade é g 5 nC acarga sobre a superficie interna da cavidade g 5nC 5nC O condutor possui uma carga total igual a 7 nC que nao pode estar localizada t na parte macica do condutor Como ja existe uma carga igual a 5 nC na superficie interna da cavidade entao deve existir a uma carga 7 nC 5 nC 2 nC sobre a superficie externa do condutor 5 nC sobre a 2 nC sobre a parede da cavidade superficie externa Teste experimental da lei de Gauss Podemos agora descrever um experimento hist6rico ilustrado na Figura 2225 Colocamos um recipiente condutor sobre uma base isolante O recipiente esta inicialmente descarregado A seguir suspendemos uma bola metalica carregada usando um fio isolante Figura 2225a introduzimos a bola no balde e 0 fechamos com a tampa Figura 2225b Nas paredes do recipiente surgem cargas induzi das como indicado Em seguida deixamos a bola tocar a parede interna Figura 2225c A superficie da bola tornase uma parte da superficie da cavidade Agora a situagado é semelhante a descrita na Figura 2223b a lei de Gauss exige que a carga total sobre a superficie da cavidade seja igual a zero Portanto a bola perde Figura 2225 a Com um fio isolante suspendemos uma esfera condutora carregada sobre um recipiente condutor apoiado sobre uma base isolante b Introduzimos a esfera no recipiente e o fechamos com a tampa c A esfera toca a superficie interna do recipiente a Fio isolante Esf b stera o condutora ae ay carregada mm metalica one metilica Gas Gi eI ana Ed 4 a Et e fal ml I ieee i Recipiente Base Ly 0 F metilico eam a KZN NX y a ZL J f psp fp L 4 4 Aesfera carregada induz cargas no Quando a bola toca o recipiente ela passa interior e no exterior do recipiente a fazer parte da superficie interna toda sua carga é transferida para o recipiente e se acumula em sua superficie externa Capitulo 22 Leide Gauss 63 todas as suas cargas Finalmente retirando a bola do balde verificamos que ela Figura 2226 Corte mostrando as realmente perdeu totalmente suas cargas partes essenciais de um gerador Esse experimento foi realizado no século XIX pelo cientista inglés Michael eletrostatico de Van de Graaff A oye fonte de elétrons os retira da parte Faraday que usou um balde de gelo metélico com uma tampa Tal experimento ferior da correia fazendoa passou a ser conhecido como experimento do balde de gelo de Faraday Oresul adquirir uma carga positiva na tado confirma a validade da lei de Gauss e portanto da lei de Coulomb também parte superior a correia retira O resultado de Faraday foi bastante significativo porque o método experimental de étrons da superficie interna da Coulomb usando uma balanga de torcdo e dividindo cargas nao era muito preciso esfera oca fazendoa adquirir uma Z roe sp As as carga positiva mais dificil verificar a dependéncia da forca eletrostatica com 1 com grande preciséo medindose a forca diretamente Em contraste experimentos semelhantes Esfera condutora oca ao de Faraday testam a validade da lei de Gauss portanto confirmando a lei de o 44 Coulomb com uma precisao muito maior Versdes modernas desse experimento mostraram que 0 expoente 2 da dependéncia com 1r da lei de Coulomb é igual a 2 com uma precisao maior que 10 Portanto fica confirmado que o valor do expoente é exatamente igual a 2 O mesmo principio do experimento do balde de gelo de Faraday é usado em s um gerador eletrostatico de Van de Graaff Figura 2226 Uma correia transporta cargas continuamente para a superficie interna de uma esfera oca De acordo com a lei de Gauss nao pode existir nenhuma carga no interior dessa esfera entao essas cargas sao imediatamente transportadas para a superficie externa Como resultado Correia a carga da esfera oca e 0 campo elétrico em torno dela podem atingir valores muito isolante elevados rapidamente O gerador de Van de Graaff pode ser usado como um ace lerador de particulas carregadas e para fazer demonstrag6es de fisica suporte Esse principio também a base para entender a blindagem eletrostdtica Supo isolante nha que vocé queira proteger um instrumento eletr6nico muito sensivel da ag40 Fonte de de campos elétricos ocasionais que poderiam produzir erros em sua leitura Vocé elétrons deve colocar o instrumento no interior de uma caixa condutora ou entao forrar Co as paredes 0 pavimento e 0 teto com um material condutor como uma folha de et cobre O campo elétrico externo produz uma redistribuigdo dos elétrons livres do a q condutor resultando em uma carga liquida positiva sobre algumas partes da super ea ficie externa do condutor e uma carga liquida negativa sobre outras partes Figura Vv 2227 Essa distribuigao de cargas produz um campo elétrico adicional de modo que o campo elétrico total é igual a zero em todos os pontos no interior da caixa Motor da conforme previsto pela lei de Gauss A distribuigdo de cargas sobre a caixa também produz uma alteragao da forma das linhas de campo em pontos préximos da caixa como indicado na figura Esse dispositivo geralmente é conhecido como gaiola de Faraday O mesmo principio fisico ensina que o interior do automével o lugar DADOS MOSTRAM Figura 2227 a Uma caixa condutora uma gaiola de Faraday imersa em um campo Cargas elétricas elétrico uniforme O campo das cargas induzidas sobre a caixa juntase ao campo em condutores uniforme para produzir um campo total nulo no interior da caixa b Esta pessoa esta dentro de uma gaiola de Faraday portanto esta protegida de uma descarga Quando os alunos recebiam elétrica poderosa um problema sobre cargas elétricas em condutores mais a b de 41 davam uma resposta Ocampoempurra A carga liquida incorreta Erros comuns os eletrons elo positiva pemmanece Nao entender que as cargas ado esquerdo lo lado direito i no exterior de um condutor en a nao produzem nenhum efeito i sobre seu interior até mesmo fit quando o condutor possui uma cavidade interna E E0 E Nao entender que as cargas no interior de uma cavidade afetam a distribuigdo de j ml x cargas tanto nas paredes da a cavidade como na superficie Campo perpendicular 4 superficie do condutor externa do condutor 64 Fisica Ill Aplicagao Por que os relampagos mais seguro para ficar quando ocorre uma tempestade com raios caso um raio caem na vertical Nosso planelaeé um atinja o automével as cargas tendem a se redistribuir sobre a superficie metdlica bom condutor sua superficie tem carga do veiculo e quase nenhum campo elétrico atinge o compartimento de passageiros negativa Em consequéncia o campo elétrico na atmosfera acima da superficie aponta em geral para baixo no sentido da Cc létri ficie d dut carga negativa e perpendicular a superficie ampo eletrico na superticie de um conautor veja o Exemplo 2213 A carga negativa é 4 ne 8 equilbrada por cargas positivas na Finalmente notamos que existe uma relagao direta entre o campo elétrico E no atmosfera Em uma tempestade de raios 0 exterior de um condutor em um ponto muito proximo da superficie externa de um campo elétrico vertical se torna grande o condutor e a densidade superficial de carga o no ponto considerado Geralmente suficiente para causar cargas fluindo o varia de um ponto para outro ao longo da superficie do condutor No Capitulo verticalmente no ar O ar excitado e 3 1 b ficie d d ionizado pela passagem de carga por ele mostraremos que em qualquer Ponto sobre a superficie de um con utor 0 produzindo um relampago em forma campo elétrico E é sempre perpendicular a superficie vocé pode ver esse efeito de parafuso na Figura 2227a Para estabelecer uma relagdo entre o em qualquer ponto ao longo da superficie do condutor e 0 componente perpendicular do campo elétrico nesse ponto dese nhamos uma pequena superficie gaussiana em forma de cilindro Figura 2228 Uma das bases do cilindro de area A se encontra no interior do condutor e a outra base no exterior muito pr6ximo de sua superficie O campo elétrico é igual a zero em todos os pontos no interior do condutor No exterior o componente de E per pendicular a superficie lateral do cilindro é igual a zero e 0 campo elétrico sobre a base do cilindro é igual a E Quando oa é positiva o campo elétrico orientase A para fora do condutor e E é positivo e quando o é negativa o campo elétrico orientase para dentro e E é negativo Portanto o fluxo elétrico total através da superficie é igual a EA A carga liquida no interior da superficie gaussiana é igual Figura 2228 O campo elétrico a oA logo pela lei de Gauss obtemos EA aAeg proximo da parte externa da superficie de um condutor carregado Campo elétrico na a perpendicular a superficie e seu oy ied d a a Densidade superficial de carga 2210 te perpendicular E é superficie de um condutor a oe eet componente p 1 E perpendicular a superficie 0 Constante elétrica igual a og Superficie externado 4 Vocé pode conferir esse resultado comparandoo com 0 campo elétrico obtido na condutor os se carregado E superficie de uma placa condutora carregada Exemplo 228 logo verificaremos TXT o campo na superficie de uma esfera condutora carregada E 0 Pp p g ica i Mostramos no Exemplo 228 que o médulo do campo elétrico entre duas placas oe condutoras retas infinitas com cargas opostas também é igual a oe9 Nesse caso 0 Superficie L méddulo do campo elétrico E 0 mesmo em fodos os pontos entre as placas contudo gaussiana r0 nas demais situagdes E sempre diminui com o aumento da distancia entre o ponto A e a superficie externa do corpo aS PUES CAMPO NA SUPERFICIE DE UMA ESFERA CONDUTORA oo csnsmnnnn Verifique a Equacao 2210 para uma esfera condutora de raio R A densidade superficial de carga é uniforme e igual a q dividido que possui carga total q pela 4rea da superficie da esfera SOLUCGAO a 1 oes 4i7R No Exemplo 225 Seco 224 mostramos que o campo elétrico no exterior de uma esfera dado por Comparando as duas relacGes anteriores vemos que E a 0 1 4g que confirma o resultado indicado pela Equagao 2210 E A4ire9 R2 A Terra um condutor possui uma carga elétrica liquidaO orientado para o centro a Qual é a densidade superficial de campo elétrico resultante nas proximidades de sua superficie carga correspondente b Qual é a carga total na superficie possui um valor médio aproximadamente igual a 150 NC da Terra Continua Capitulo 22 Leide Gauss 65 Continuagdao SOLUGAO AVALIAR podemos conferir 0 resultado do item b pelo resul IDENTIFICAR E PREPARAR temos 0 médulo do campo elétrico 40 do Exemplo 225 Isolando a incognita Q obtemos na superficie do condutor Terra Podemos calcular a densidade O 4mepR7E superficial de carga o usando a Equagao 2210 A carga total Q sobre toda a superficie terrestre é 0 produto de o e a area da I 638 X 10 m 150 NC superficie terrestre 90 X 10 N mC EXECUTAR a pela direcao do campo elétrico sabemos que 68 X 10C o negativa correspondente ao fato de E ser direcionado para dentro da superficie portanto E negativo Usando aEquagéo a carga do elétron é dada por 160 X 107 C Portanto a carga 2210 elétrica negativa encontrada corresponde a um numero de elétrons 1272 2 excedentes sobre a superficie da Terra dado por 68 X 10 C 7 oF 885 x 10C Nm 150 NC 160 X 10 9 C 42 x 1074 ou cerca de 7 mols de elétrons 133 X 10Cm 133 nCm excedentes Isso compensado por uma igual deficiéncia de elé trons na camada superior da atmosfera terrestre portanto a Terra b A area da superficie é igual a 47Rz em que Ry 638 X sua atmosfera compdem um conjunto eletricamente neutro 10 m 0 raio da Terra veja o Apéndice F A carga total Q é igual ao produto AtRya ou Q 47638 X 10 m133 X 10 Cm 68 X 10C 680kC TESTE SUA COMPREENSAO DA SEGAO 225 Umaesfera condutora o0ca nao possui carga liquida Ha uma carga puntiforme positiva g no centro da cavidade esférica no interior da esfera Vocé conecta um fio condutor da superficie externa da esfera ao solo Vocé conse guira medir um campo elétrico no exterior da esfera I CAPITULO 22 RESUMO Fluxo elétrico o fluxo elétrico é a medida do es 3 pa Dre EcosddA coamento do campo elétrico através de uma super ficie Ele é dado pelo produto de um elemento de area vezes 0 componente perpendicular de E inte E dA EdA 225 A grado sobre uma superficie considerada exemplos 221 a 223 E A A Lei de Gauss a lei de Gauss afirma que o fluxo Normal saindo neo no De PEcosd dA yo elétrico total através de uma superficie fechada que da superficie pode ser escrita como uma integral de superficie do ENOAE componente de E perpendicular a superficie é igual E dA EdA 7 a uma constante multiplicada pela carga total Qin 7 no interior da superficie fechada A lei de Gauss é Oint logicamente equivalente a lei de Coulomb porém 228 229 seu uso facilita muito a solugdo de problemas que he possuem elevado grau de simetria exemplos 224 a 2210 Quando um excesso de carga é colocado sobre um condutor em repouso as cargas se distribuem in teiramente sobre a superficie e E 0em todas as partes do condutor exceto em sua superficie externa exemplos 2211 a 2213 66 Fisica Ill Campo elétrico de varias distribuigdes de cargas simétricas a tabela a seguir indica os campos elétricos produzidos por diversas distribuigdes de cargas simétricas Nessa tabela q Q A eo representam os médulos das grandezas Distribuicao de cargas Ponto em campo elétrico Moédulo do campo elétrico a 1 4q Unica carga puntiforme qg Distancia r de q p Ge 2 or Carga q sobre a superficie de 1 4q uma esfera condutora com o Fora da esfera rR E Ge 2 raioR 7e0 r Dentro da esferarR a io infini i 1 A Fio infinito carga por unidade Distancia rdo fio E A de comprimento A Qreg r Cilindro condutor infinito com 1 2 raio R carga por unidade de Fora do cilindro rR B Omen r comprimento A Teo Tr Dentro do cilindro r R E0 Esfera isolante sdlida com raio 1 OQ R carga Q distribuida Fora da esfera rR E Gre 2 uniformemente no volume mer 1 Qr Dentro da esfera r R E tne 0 Plano infinito com distribuigaéo alienate E oe superficial de carga o uniforme quer Pp 2e9 Duas placas condutoras com C cargas contrarias e densidades Ce een E ee as placas 0 superficiais de carga o e o ar a o Condutor carregado Préximo da superficie externa E2 do condutor 0 Problema em destaque Campo elétrico no interior de um atomo de hidrogénio Um atomo de hidrogénio é constituido por um préton de carga GUIA DA SOLUGAO Q 160 X 10 Ce um elétron de carga Q 160 X IDENTIFICAR E PREPARAR 10719 5 i Ly a 10 cO Proton pode ser considerado como uma carga pun 1 Como a distribuigo de carga neste problema possui sime tiforme em r 0 0 centro do étomo O movimento do elétron tria esférica como no Exemplo 229 vocé pode resolvélo leva sua carga a ser espalhada em uma distribuicao esférica coma lei de Gauss em torno do proton Figura 2229 de modo que o elétron 4 a carga no interior de uma esfera de raio r inclui a carga do 2 Sea equivalente a uma carga por unidade de volume pr proton Q mais a porciio da distribuicdo de carga do elétron to 2rla 5 eo Qiao Je em que dy 529 x 10 mé chamado que se encontra no interior da esfera Ao contrario do de raio de Bohr a Encontre o valor total da carga do atomo Exemplo 229 a distribuigao de carga do elétron ndo é uni de hidrogénio que existe no interior de uma esfera de raio r forme portanto a carga no interior de uma esfera de raio r centrada no proton b Encontre campo eletrico modulo ndo simplesmente a densidade de carga multiplicada pelo direcao e sentido produzido pela carga do atomo de hidrogénio volume 47r73 da esfera Em vez disso vocé tera de calcu em fungao de r c Faca um grafico em fungdo de r da razao lar uma integral entre modulo do campo elétrico Ee o médulo do campo 3 Considere uma casca esférica fina centrada no proton com produzido apenas pelo proton raio r e espessura infinitesimal dr Como a casca possui Continua Capitulo 22 Leide Gauss 67 Continuagdao uma espessura muito fina todos os pontos no interior do 7 Encontre a razdo solicitada no item c e representea grafi material dessa casca possuem essencialmente o mesmo camente versus r Na verdade é mais simples vocé repre raio ra partir do proton Portanto a quantidade de carga do sentar graficamente essa funcao versus a grandeza rag elétron dentro dessa casca é igual a densidade de carga do AVALIAR elétron pr nesse raio multiplicado pelo volume dV da 8 Como seus resultados para a carga englobada e 0 médulo casca Qual o valor de dV em fungao de r 2 do campo elétrico se comportam no limite r 0 No limite 4 Acarga total do elétron dentro de um raio r igual a integral r Explique seus resultados de prdV no intervalo entre r 0 e r r Monte essa integral mas nao resolva ainda e usea para escrever uma Figura 2229 Distribuigiio de carga em um dtomo expressAo para a carga total incluindo o proton dentro de de hidrogénio uma esfera de raio r EXECUTAR wr Proton carga 2 5 Integre sua expressdo da etapa 4 para encontrar a carga a puntiforme Q dentro do raio r Dica integre por substituicdo alterar a varidvel de integragao de r para x 2rag Vocé pode usar a integracdo por partes para calcular a integral ey I xe dx ou pode procurar em uma tabela de integrais na internet Elétron carga Q 6 Use a lei de Gauss e os resultados obtidos na etapa 5 para espalhada em uma encontrar 0 campo elétrico a uma distancia r do proton distribuigao estérica PROBLEMAS e ee eee niveis de dificuldade PC problemas cumulativos incorporando material de outros capitulos CALC problemas exigindo calculo DADOS problemas envolvendo dados reais evidéncia cientifica projeto experimental eou raciocinio cientifico BIO problemas envolvendo biociéncias QUESTOES PARA DISCUSSAO distribuida Caso nao como ela esta distribuida O campo elé Q221 Um balao de borracha possui uma tnica carga punti tio no interior da esfera continua sendo igual a zero Em cada forme em seu interior O fluxo elétrico através do balao quando caso justifique suas respostas ele esté parcialmente inflado é igual ao fluxo elétrico quando ele Q228 Caso o campo elétrico de uma carga puntiforme fosse esta completamente inflado Explique seu raciocinio proporcional a 1r em vez de 1r a lei de Gauss ainda seria Q222 Suponha que na Figura 2215 ambas as cargas sejam ydlida Explique seu raciocinio Dica considere uma super positivas Quais seriam os fluxos através de cada uma das quatro ficje gaussiana esférica centralizada sobre uma Unica carga superficies nesse exemplo puntiforme Q223 Na Figura 2215 suponha que uma terceira carga pun Q229 Em um condutor cada dtomo contribui com um ou mais tiforme fosse colocada fora da superficie gaussiana roxa C Isso produziria alguma mudanga no fluxo elétrico através das super elétrons que podem se mover livremente a0 longo do volume ficies A B C ou D indicadas na figura Por qué do condutor Esse fato contradiz a afirmagdo de que qualquer Q224 Uma certa regidio do espaco esté limitada por uma su XCSS0 de carga no interior de um condutor sélido deve perma perficie fechada imagindria que nao contém nenhuma carga OQ necer sobre sua superficie Por qué campo elétrico sempre igual a zero em todos os pontos dessa Q2210 Vocé carrega o gerador de Van de Graaff indicado na superficie Caso nao seja em que circunstancias ele é iguala Figura 2226 e a seguir aproxima dele uma esfera condutora oca zero sobre a superficie descarregada sem deixar que as duas esferas se toquem Desenhe Q225 Uma carga puntiforme g esta no interior de uma superg distribuicAo de cargas na segunda esfera Qual é 0 fluxo elétrico ficie gaussiana esférica Se a carga for removida para um ponto liquido através da segunda esfera Qual é 0 campo elétrico no afastado do centro dessa superficie estérica ocampoelétricoem interior da segunda esfera um ponto sobre essa superficie se modifica O fluxo total através Q9944 Um pararaios é uma haste de cobre com uma extre da sup erticie gaussiana sofre alteragio Explique midade arredondada Ele é montado no topo de um edificio e Q226 Vocé encontra uma caixa lacrada na sua porta de entrada e suspeita que ela contenha varias esferas metdlicas embaladas soldado a um cabo de cobre pesado que Penetra no solo Os em material isolante Como vocé pode determinar a carga liquida Pararraros Sao usados para proteger casas celeiros a corrente total no interior da caixa sem abrila Ou isso nao é possivel do raio passa pelo cobre em vez de passar pelo edificio Por qué Q227 Uma esfera maciga de cobre possui carga lfquida po Por que sua extremidade deve ser arredondada sitiva A distribuigéo das cargas é uniforme sobre a superficie Q2212 Um condutor s6lido possui uma cavidade em seu in esférica e o campo elétrico no interior da esfera é igual a zero A terior Uma carga puntiforme dentro da cavidade pode afetar o seguir uma carga puntiforme negativa é aproximada da superfi campo elétrico fora do condutor Por qué A presenga de uma cie da esfera Toda a carga liquida sobre aesfera continuaem sua carga puntiforme no exterior do condutor pode afetar 0 campo superficie Em caso afirmativo essa carga est4 uniformemente elétrico no interior da cavidade Por qué 68 Fisica Ill Q2213 Explique a seguinte afirmacao Em uma situagio de 224 No Exemplo 2110 Secdo 215 verificamos que o equilibrio estatico o campo elétrico resultante na superficie de campo elétrico produzido por um fio retilineo infinito carregado um condutor nao pode ter componente paralelo a superficie por perpendicular ao fio e possui médulo E A27regr Considere que isso violaria a condicdo de equilibrio estdtico das cargas uma superficie cilindrica imaginaria de raio r 0250 me sobre a superficie Essa afirmacio seria valida parao campo Comprimento 0400 m com uma carga positiva distribuida elétrico resultante na superficie de um isolante Explique seu Uniformemente sobre seu comprimento A carga por unidade de raciocinio e diga qual a raziio de qualquer diferenca encontrada COmprimento sobre a linha é A 300 wCm a Qual 0 fluxo entre o caso do condutor e 0 caso do isolante elétrico através do cilindro produzido pelo fio infinito b Qual Q2214 Em certa regiao do espaco existe um campo elétrico o fluxo elétrico através do cilindro quando seu raio aumenta EF uniforme a Use a lei de Gauss para provar que essa regio Paar 0500 m c Qual é 0 fluxo elétrico através do cilindro deve ser eletricamente neutra ou seja a densidade de carga quando seu comprimento aumenta para 0800 m Ja ga p ps soe on deve ser igual a zero b A reciproca é verdadeira Ou seja em 225 Uma sup erficie hemistérica Com Faro 7 ett UMA Testao te oe de campo elétrico uniforme EF possui eixo alinhado paralela uma regiao do espaco na qual nao existe nenhuma carga o campo P ae mente ao sentido do campo Calcule o fluxo através dessa elétrico EF deve ser uniforme Explique superficie Q2215 a Em certa regiao do espaco a densidade de carga p 226 O cubo na é positiva O campo elétrico E pode ser uniforme nessa regio Figura E226 possui Figura E226 Explique b Suponha que nessa regiaéo com p positiva e uni yma aresta L 100 cm forme exista uma bolha com p 0 O campo elétrico E pode Q campo elétrico uni 7 Sy topo ser uniforme no interior dessa bolha Explique forme paralelo ao plano Si Q2216 Uma carga negativa Q é colocada no interior daca xy formando um 4n lado 256 lado E e y esquerdo LZ ff posterior vidade de um sdlido metalico oco A parte externa do sélido esta gulo de 531 medido Y aterrada por um fio condutor entre ele e a Terra H4 algum ex do eixo x para 0 eixo 53 lado cesso de carga induzida na superficie interna do pedago de metal y e possui mddulo L direito HA algum excesso de carga induzida na superficie externa Por E 400 X 10 NIC a L 4 y qué Alguém fora do s6lido poderia medir um campo elétrico Qual 0 fluxo elétrico L produzido pela carga Q E razoavel afirmar que 0 condutor através de cada uma das ado anterior Sj fundo aterrado blindou a regiao no exterior do condutor dos efeitos seis faces do cubo Sj da carga Q Em principio o mesmo poderia ser feito com a S2 3 S4 Ss So b gravidade Por qué Qual é o fluxo elétrico total através de todas as faces do cubo Secao 223 Lei de Gauss EXERCICIOS 227 BIO Conforme discutimos na Secao 225 as células nervosas humanas possuem carga liquida negativa e o material Segao 222 Determinagao do fluxo elétrico no interior da célula é um bom condutor Se uma célula possui 221 Uma folha de papel plana com rea igual a 0250 mé carga liquida igual a 865 pC determine o modulo a diregaio orientada de modo que a normal ao plano forma um Angulo de e 0 sentido para dentro ou para fora do fluxo elétrico liquido 60 com a direcéo de um campo elétrico uniforme de médulo através do limite da célula igual a 14 NC a Calcule 0 médulo do fluxo elétrico atravésda 228 As trés pequenas esferas indicadas na Figura E228 folha b A resposta do item a depende da forma geométrica possuem cargas g 400 nC g2 780 nC e q3 240 nC da folha Por qué c Para qual angulo entre anormal ao Determine o fluxo elétrico total através de cada uma das super plano e a diregado do campo elétrico o médulo do fluxo elétrico ficies fechadas cujas secGes retas sAo indicadas na figura a 51 através da folha se torna i maximo e ii minimo Explique b S c 53 d S4 e Ss f As respostas dos itens a até suas respostas e dependem de como a carga esta distribuida em cada esfera 222 Uma placa plana possui a forma de um retangulo com pequena Por qué lados de 0400 m e 0600 m A placa esta imersa em um campo es Le Figura E228 elétrico uniforme com modulo igual a 900 NC e cuja diregao forma um angulo de 20 com o plano da placa Figura E222 S3 Calcule o médulo do fluxo elétrico total através da placa a Superficie O que engloba Figura E222 33 5 n OW Sy E S3 G1 eG Sh Ss Sy 1 9 KK 2rt Ss Me Megs 0400 m 40600 m 229 ee Uma camada fina e uniforme de tinta carregada é espa lhada sobre a superficie de uma esfera plastica com diametro de 223 Vocé mede um campo elétrico de 125 X 10 NC a 120cm produzindo uma carga de 490 uC Determine 0 campo uma distancia de 0150 m a partir de uma carga puntiforme Nao elétrico a dentro da camada de tinta b fora da camada de tinta ha nenhuma outra fonte de campo elétrico na regiao a Qual c 500 cm fora da superficie da camada de tinta o fluxo elétrico através da superficie de uma esfera que possui 2210 Uma carga puntiforme g 400 nC esta localizada essa carga em seu centro e um raio de 0150 m b Qual 0 sobre 0 eixo x no ponto x 200 m e uma segunda carga pun modulo da carga tiforme gq 600 nC esta localizada sobre 0 eixo y no ponto Capitulo 22 Leide Gauss 69 y 100 m Qual 0 fluxo elétrico total produzido por essas 2220 a A uma distancia de 0200 cm do centro de uma cargas através de uma superficie esférica centralizada na origem esfera condutora carregada com raio igual a 0100 cm 0 campo e com um raio de a 0500 m b 150 m c 250 m Explique elétrico é de 480 NC Qual é 0 campo elétrico a uma distancia de 2211 Uma carga puntiforme igual a 620 wC esté no centro 0600 cm do centro da esfera b A uma distancia de 0200 cm de um cubo cuja aresta possui um comprimento de 0500 m a do eixo de um cilindro condutor carregado muito longo com raio Qual 0 fluxo elétrico através de cada uma das seis faces do igual a 0100 cm 0 campo elétrico é igual a 480 NC Qual é 0 cubo b O que mudaria em sua resposta na parte a se aaresta campo elétrico a uma distAncia de 0600 cm do eixo do cilindro do cubo tivesse um comprimento igual a 0250 m Explique c A uma distancia de 0200 cm de um plano carregado grande e 2212 Campos elétricos em um Atomo Os niicleos de gran uniforme o campo elétrico é de 480 NC Qual é o campo elétrico des dtomos como 0 uranio com 92 prétons podem ser modelados a 120 cm do plano como esferas simétricas carregadas O raio do nticleo de uranio 2221 O campo elétrico a uma distancia de 0145 m da su de aproximadamente 74 X 107 m a Qual é 0 campo elétrico perficie de uma esfera isolante maciga com raio igual a 0355 m que esse nucleo produz fora de sua superficie b Qual médulo é de 1750 NC a Supondo que a carga da esfera esteja unifor do campo elétrico ele produz na distancia dos elétrons que é de memente distribufda qual é a densidade da carga dentro dela aproximadamente 10 x 107 0 m c Os elétrons podem ser b Calcule o campo elétrico no interior da esfera a uma distancia modelados para formar uma casca uniforme de carga negativa de 0200 m do centro Qual campo elétrico lfquido eles produzem no local do nticleo 2222 Uma carga puntiforme de 300 uC esta localizada no centro de uma cavidade esférica com raio igual a 650 cm no Segao 224 Aplicagoes da lei de Gauss interior de um corpo sélido isolado A densidade de carga no Secao 225 Cargas em condutores slido é p 735 X 1074 Cm Calcule o campo elétrico no in 2213 Duas linhas retas carregadas uniformemente muito terior do s6lido a uma distancia de 950 cm do centro da cavidade longas sao paralelas e estéo separadas por uma distancia igual 2223 PC Um elétron é liberado a partir do repouso a uma a 0300 m Cada linha carregada possui carga por unidade de distancia de 0300 m de uma placa isolante carregada grande que comprimento igual a 520 wCm Qual é o médulo da forga possui densidade superficial de carga uniforme igual a 290 X que uma linha carregada exerce sobre uma secio transversal de 107 Cm a Determine quanto trabalho é feito sobre o elétron 00500 m da outra linha carregada pelo campo elétrico da placa enquanto o elétron se desloca a 2214 Umaesfera metdlica macia com raio iguala0450m partir de sua posico inicial até um ponto a 0050 m de distancia possui uma carga liquida de 0250 nC Encontre o médulo do da placa b Qual a velocidade escalar do elétron quando esta campo elétrico a em um ponto situado fora da esferaa uma a0050 m de distancia da placa distancia de 0100 m de sua superficie b em um ponto interno 2224 A carga Q esta distribufda uniformemente ao longo a uma distancia de 0100 m abaixo da superficie de todo o volume de uma esfera isolante de raio R 400 cm 2215 Qual é 0 excesso de elétrons que deve ser adicionado A uma distancia de r 800 cm do centro da esfera o campo a um condutor esférico isolado com didmetro de 260 cm para elétrico produzido pela distribuicgéo de carga possui médulo produzir um campo elétrico de 1150 NC em um ponto muito E 940 NC Determine a a densidade volumétrica de carga proximo da superficie externa da esfera da esfera e b o campo elétrico a uma distancia de 200 cm do 2216 Alguns cientistas planetarios sugeriram que Marte pos centro da esfera sui um campo elétrico semelhante ao da Terra produzindo um 2225 Um condutor com uma cavidade como a indicada na fluxo elétrico resultante de 363 X 10N mC na superficie Figura 2223c possui uma carga total igual a 500 nC A carga do planeta Calcule a a carga elétrica total sobre 0 planeta b existente no interior da cavidade isolada do condutor é igual o campo elétrico na superficie do planeta consulte os dados de a 600 nC Qual é a quantidade de carga existente sobre a astronomia nos apéndices c a densidade de carga em Marte a superficie interna do condutor b A superficie externa do supondo que toda carga esteja uniformemente distribufda pela condutor superficie do planeta 2226 Uma placa nao condutora carregada muito grande pos 2217 Uma linha reta muito longa carregada uniformemente sui orientacdo horizontal A placa tem carga por unidade de area possui carga por unidade de comprimento igual a 480 wCme uniforme o 500 X 10 Cm a Uma pequena esfera de esté ao longo do eixo x Uma segunda linha reta carregada longa massa m 800 X 10 kg e carga q colocada 300 cm acima e uniforme possui carga por unidade de comprimento igual a da placa carregada e em seguida liberada a partir do repouso 240 wCm e esta paralela ao eixo x em y 0400 m Qual a Se aesfera permanecer imével quando for liberada qual deve o campo elétrico resultante médulo diregao e sentido nos se ser 0 valor de g b Qual 0 valor de q se a esfera for liberada a guintes pontos sobre 0 eixo y a y 0200 me b y 0600 m partir de uma distancia de 150 cm acima da placa 2218 O campo elétrico a uma distincia de 0400 mde uma 2227 Aplique a lei de Gauss para as superficies gaussianas linha reta carregada muito longa e uniforme igual a 840 NC S3 e S4 na Figura 2221b para calcular o campo elétrico na Quanta carga esté contida em uma segao de 200 cm dessa linha regio entre as placas e fora delas 2219 Uma esfera condutora oca com raio externo de 2228 Uma folha isolante quadrada com lado igual a 0250 m e raio interno de 0200 m possui uma densidade super 800 cm é mantida em uma posicao horizontal A folha possui ficial de carga uniforme de 637 X 107 Cm Uma carga de carga de 450 nC distribuida uniformemente sobre sua superfi 0500 C é introduzida na cavidade no interior da esfera a cie a Calcule o campo elétrico em um ponto a uma distancia de Qual a nova densidade de carga na parte externa da esfera 0100 mm acima do centro da folha b Estime o campo elétrico b Calcule a forga do campo elétrico fora da esfera c Qual emum ponto situado a 100 m acima do centro da folha c Suas o fluxo elétrico através de uma superficie esférica na superficie respostas para os itens a e b seriam diferentes se a folha fosse interior da esfera feita de um material condutor Por qué 70 Fisica Ill 2229 Um condutor cilindrico infinito possui raio Re densi Eye E sao nulosO componente Figura P2235 dade superficial de carga o a Em fungéio de oe R qualéa x do campo elétrico E depende carga por unidade de comprimento A para o cilindro b Em de x mas nao depende nem de i fungdo de a qual é o médulo do campo elétrico produzido pelo y nem de z Sobre os pontos do cilindro carregado a uma distancia r R a partir de seu eixo c plano yz em que x 0 E 30 Expresse o resultado do item b em fungao de Ae mostre queo 125 NC a Qual é o fluxo J campo elétrico para fora do cilindro se comporta como se todaa eétrico através da superficie I fi y carga elétrica do cilindro estivesse concentrada em seu eixo yg Figura P2235 b Qual é 0 Compare suas respostas com 0 resultado obtido para um fio cat fyye elétrico através da superfi 20m yy E 80 no Bremplo 20 ego 224 cie II c O volume indicado na 1 tico muito grandes e nao cond Fi 2230 figura mind Pequena segao de Ay oO toras cada uma com espessura gura uma viga isolante muito grande 10m de 100 cm carregam densida oo o com spessura igual a 10 m des de carga uniforme a 09 oN Sabendo que existe uma carga oo 73 4 sobre suas superficies igual a 240 nC no interior do volume indicado determine o Figura E2230 Essas densi oie médulo a diregao e o sentido de E sobre a face oposta a face I dades superficiais de carga pos A B C d O campo elétrico existente é produzido somente pelas cargas suem os valores 0 600 uC no interior da viga ou também pode ser produzido por cargas m o 500 uCm o3 existentes no exterior da viga Como se pode ter certeza disso 200 wCm e 4 400 wC 2236 ee CALC Em uma regiao do espaco ha um campo elé m Use a lei de Gauss para de 10cm 12 cm 10 cm trico E que esta na direcdo de z e que possui médulo E 964 N terminar o mddulo a diregdo e C mx Encontre o fluxo para esse campo através de um qua o sentido do campo elétrico nos drado no plano xy em z 0 e com comprimento lateral igual a seguintes pontos afastados das bordas dessas placas a ponto 0350 m Um dos lados do quadrado esta sobre 0 eixo x e outro A a 500 cm da face esquerda da placa 4 esquerda b ponto B sobre 0 eixo y a 125 cm da superficie interna da placa a direita c pontoCno 2237 O campo elétrico E em uma das faces de um para meio da placa a direita lelepipedo é uniforme em todos os pontos dessa face e aponta perpendicularmente para fora da PROBLEMAS face Na face oposta 0 campo Figura P2237 2231 PC No instante t 0 um proton esta a uma distan elétrico Ez também uniforme E cia de 0360 ma partir de uma placa isolante carregada muito todos 0s pontos aponta per E Z grande e se desloca paralelamente a placa com uma velocidade pendicularmente para dentro da de 970 X 107 ms A placa possui densidade superficial de carga face Figura P2237 As duas uniforme igual a 234 X 10 Cm Qual é a velocidade escalar faces mencionadas possuem 5 oo B do préton em t 500 X 1078 s inclinagaéo de 30 em relagao a cm pe ye 2232 PC Um objeto muito pequeno com massa igual a horizontal enquanto E e E2 sao ei SB 820 X 10 kg e carga positiva igual a 650 X 10 C proje ambos horizontais o médulo de tada diretamente para uma placa isolante muito grande de carga E 1 igual a 250 X 10NCe positiva que possui densidade superficial de carga uniforme igual 0 médulo de FE 2 igual a 700 X 10 NIC a Supondo que a590 X 10 Cm O objeto esté inicialmente a uma distancia penhuma outra linha de campo atravesse as superficies do pa de 0400 m da placa Qual deve ser a velocidade escalar inicial ralelepipedo determine a carga liquida contida em seu interior do objeto para que sua distancia mais proxima da placa sejaigual b O campo elétrico existente é produzido somente pelas cargas a 0100 m no interior do paralelepipedo ou também pode ser produzido por 2233 e PC Uma Pequena es Figura P2233 cargas existentes fora dele Como se pode ter certeza disso fera com massa de 400 x 10 kg 2238 Uma linha longa que possui densidade linear de carga e carga de 500 x 10 Cesta suse uniforme 500 Cm corre paralelamente 4 superficie de erand por um fio proxuma a uma uma placa de plastico plana e grande a 100 cm de distancia Pie eo aae caregace e que possui uma densidade superficial de carga uniforme de vanes sobre a Placa unifoume 6 100 Cm em um dos lados Encontre a localizaio de todos e igual a 250 X 107 Cm os pontos em que uma particula a nao sofreria nenhuma forca Determine o Angulo do fio produzida por essa combinagaéo de objetos carregados 2234 Um cubo possui arestas 2239 O cabo coaxial Um cabo coaxial longo consiste em com comprimento L 0300 me um cilindro interno condutor de raio a e um cilindro externo colocado com um dos vértices na coaxial com raio interno Db e raio externo c O cilindro externo origem como indica a Figura E226 esta apoiado em suportes isolantes e nao possui nenhuma carga O campo elétrico nao uniforme é dado por E 500NCmx liquida O cilindro interno possui uma carga por unidade de com 300 NC mzk a Determine o fluxo elétrico através de cada primento uniforme A Determine 0 campo elétrico a em qualquer uma das seis faces do cubo Sj Sy 53 S4 Ss e Sg b Calcule 0 ponto entre os dois cilindros a uma distancia r do eixo b em fluxo elétrico total no interior do cubo qualquer ponto no exterior do cilindro proximo de sua superficie 2235 O campo elétrico Ena Figura P2235 é paralelo ao c Faga um grafico do mddulo do campo elétrico em fungao da eixo x em todos os pontos da regiao portanto os componentes distancia ra partir do eixo do cabo no intervalo entre r Oe r 2c Capitulo 22 Leide Gauss 71 d Calcule a carga Por unidade de comprimento da superficie igual a 4q a Determine o campo elétrico E médulo direcdio interna e da superficie externa do cilindro externo e sentido em fungao de gq e da distancia r do centro comum para 2240 Um tubo cilindrico condutor cilindro oco muitolongo ag regides i r a ii arb iii brc iv ord possul raio interno a Talo externo b Ele possui carga por uni yrd Mostre seus resultados em um grafico do componente ade de comprimento igual a a em que a uma constante po radial de E em funciio de r b Qual é a carga total sobre i a sitiva com unidades de Cm Um fio carr egado esta sobre OeiXO superficie interna da esfera oca pequena ii a superficie externa do tubo O fio possui uma carga por unidade de comprimento da esfera oca pequena iii a superficie interna da esfera oca igual ata a Determine o campo elétrico em fungao deaeda grande iv a superficie externa da esfera oca grande distancia ra partir do eixo do tubo para i ra liarb 2246 Repita o Problema 2245 porém supondo agora que a iii rb Mostre seus resultados em um grafico de Eem fungao esfera oca grande possua uma carga igual a 2q A esfera oca de r b Qual a carga por unidade de comprimento sobre i pequena continua com uma carga 2q a superficie interna do tubo e ii a superficie externa do tubo 2247 Uma carga negativa Q esta distribufda uniforme 2241 Umcilindro sélido muito longo de raio R possui distri mente sobre uma casca esférica isolante fina de raio R Calcule buigao uniforme de carga positiva sendo p a carga por unidade a forca médulo diregdo e sentido que essa casca esférica exerce de volume a Deduza uma expressao para O campo eletrico no sobre uma carga puntiforme positiva g localizada a a uma dis interior do volume a uma distancia r do eixo do cilindroem tancia r R do centro da esfera no exterior da casca b a uma fungao da densidade de carga p b Qual 0 campo elétricoem distancia r R do centro da esfera dentro da casca um ponto fora do volume em fungao da carga por unidade de 2248 Uma esfera condutora sélida de raio R possui uma comprimento A do cilindro c Compare os resultados dos itens carga positiva Q A esfera esta no interior de uma esfera oca a e b para r R d Faga um grafico do médulo do campo isolante e concéntrica com raio interno R e raio externo 2R A elétrico em fungao da distancia r de r 0 até r 3R esfera isolante possui uma densidade de carga uniforme p a a ae an esfera dentro de uma esfera Uma esfera oh Calcule o valor de p para que a carga total do sistema seja igual utora sdlida de raio a possui carga q Ela esta no interior de a zero b Usando 0 valor de p encontrado na parte a deter uma esfera condutora oca concéntrica com raio interno be raio mine o campo elétrico E médulo direcio e sentido em cada externo c A esfera condutora oca nao possui nenhuma carga uma das regides OrRRr2R er2R Faca um grafico liquida a Deduza uma expressao para o médulo do campo elé do componente radial de Eem funcao de r c Sabemos que trico em fungao da distancia ra partir do centro para as regides geralmente 0 campo elétrico é descontinuo apenas onde existe daar 5 bb r r erc b Faga um erético do médulo yma fina camada de cargas Explique como seu resultado da parte o campo elétrico em fungao da distancia r de r 0 atér b confirma essa regra 2c c Qual a carga sobre a superficie interna da esfera oca 2249 eee CALC Umaesfera oca isolante possui raio interno d E sobre sua superficie externa e Represente as cargasda qe raio externo b No interior do material isolante a densidade pequena esfera usando quatro sinais de adigéo Fagaum esboco ygumétrica de carga é dada por p r a r em que a é uma das linhas de campo do sistema no interior de um volume esférico gonstante positiva a Em funcdo de a e a qual é 0 médulo do de raio igual a 2c campo elétrico a uma distancia r do centro da esfera em que a r 2243 Uma esfera condutora solida de Talo R com carga Q b b Umacarga pontual q colocada no centro do espaco oco positiva esta no interior de uma casca esférica muito finaisolante om 0 Em funciio de a e a qual deve ser o valor de q sinal concéntrica com Talo 2R que também possui uma carga Q 6 modulo para que 0 campo elétrico seja constante na regido de oe ete distribuida uniformemente or a cascaesterica ssolante arbe entao qual é 0 valor do campo constante nessa regio a Determine o campo etrico modulo diregao e sentido em 99 59 PC Modelo de Thomson para o atomo No inicio cada uma das regidesOrRRr2Rer2R b Fagaum Z oor a os do século XX um dos modelos pioneiros para a estrutura do grafico do médulo do campo elétrico em fungao da distancia r Z yen Le atomo foi proposto pelo fisico inglés J J Thomson 0 descobri 2244 Uma esfera oca condutora com raio interno a e raio 2 2 ae dor do elétron Segundo 0 modelo de Thomson um atomo era externo b possui uma carga puntiforme positiva Q localizada em wo we P constituido por uma esfera carregada positivamente com elétrons seu centro A carga total sobre a esfera oca eee a negativos espalhados no interior de seu volume como passas no é igual a 3Q e esta isolada de suas vizi Figura P2244 Le interior de um bolo Imagine um atomo constituido por um elé nhangas Figura P2244 a Deduza uma 2 Stet tron de massa me carga e que pode ser considerado uma carga express4o para o médulo do campo elétrico x suas b puntiforme e uma esfera de raio R uniformemente carregada com E em fungao da distancia r ao centro para as i nod libri regides raarberb b Qual éa 30 uma carga total e a Exp ique por que a posiao de equilibrio densidade superficial de carga sobre a super do elétron seria o centro do nuicleo b No modelo de Thomson ficie interna da esfera oca condutora c E suponha que 0 material positivo do 4tomo nao oferecesse resis sobre sua superficie externa d Faca um desenho indicando as Ncla ao Movimento do eletr on Mostre que se 0 elétron se des linhas de campo elétrico e a localizaciio de todas as cargas e locar de sua posigao de equilibrio até uma distancia menor que Faca um grafico de E em funciio de r R 0 movimento resultante do elétron deve ser harm6nico sim 2245 Esferas ocas concéntricas Figura P2245 ples e calcule a frequéncia das oscilagdes Dica revise a defi Uma pequena esfera oca condutora nicdo do movimento harmGénico simples na Secao 132 E com raio interno a e raio externo b é possivel mostrar que se a forga resultante sobre o elétron possui concéntrica com uma grande esfera oca essa forma entéo o movimento resultante é harménico simples condutora raio interno c e raio externo JN Reciprocamente se a forga resultante sobre o elétron nao possui d Figura P2245 A carga total sobre essa forma entéo 0 movimento resultante nao é harmGnico sim a esfera oca interna é igual a 2qea 2 ples c Na época de Thomson ja se sabia que atomos excitados carga total sobre a esfera oca externa é d s6 emitiam ondas luminosas com certas frequéncias Nesse 72 Fisica Ill modelo a frequéncia das ondas emitidas seria a mesma das os 2256 CALC Uma distribuicdo de cargas esfericamente si cilagdes dos elétrons no 4tomo Qual deveria ser 0 raio do métricas porém nao uniformes possui uma densidade pr dada Atomo no modelo de Thomson para que ele emitisse luz vermelha por com uma frequéncia igual a 457 X 104 Hz Compare sua res posta com 0 raio de um dtomo real que é da ordem de 107 m pr p para r R vejao Apéndice F d Se 0 elétron se deslocasse de sua posi4o 3R de equilibrio até uma distancia maior que R ocorreria oscilagao do elétron O movimento resultante do elétron seria harménico pir 0 para r simples Explique sua resposta Nota historica em 1910 0 nt 2 ws cleo do atomo foi descoberto provando que o modelo de em que po uma constante Positiva a Calcule a carga total Thomson no estava correto A carga positiva do atomo nao se contida na distribuigao de cargas Obtenha uma expresso para encontra espalhada em seu volume como Thomson imaginava camp elétrico na regiao b r R OrSR d Faca um mas concentrada em um nticleo mintsculo com raio da ordem grafico do médulo do campo elétrico E em fungao de r de 104 105 m Encontre 0 valor de r para o qual o campo eletrico atinge seu 2251 Modelo de Thomson para valor maximo e calcule o valor desse campo elétrico maximo 2257 a Uma esfera isolante com raio a possui uma densi 0 atomo continuacao Usandoo mo Figura P2251 dade d if A esf delo desatualizado de Thomson para ade de carga uni orme p A esfera nao esta centralizada na ori 0 dtomo descrito no Problema 2250 2e gem e sim no pontor b Demonstre que o campo elétrico no considere um 4tomo constitufdo por interior da esfera é dado por E pF b3p b Uma esfera dois elétrons cada um com carga e a isolante com raio R possui um buraco esférico com raio a loca espalhados no interior de uma esfera ee lizado no interior de seu volume e centralizado em um ponto a de raio R com uma carga total 2e a ong uma distancia b do centro da esfera em No equilibrio cada elétron esta a uma s que a b R uma secao reta da esfera Figura P2257 distancia d do centro do atomo Figura indicada na Figura P2257 A parte ma P2251 Calcule a distancia d em fun cica da esfera possui uma densidade volu cao das outras propriedades do atomo métrica de carga p uniforme Determine 0 2252 a Qual o excesso de elétrons que deve ser distri mddulo a direg4o e o sentido do campo ay buido uniformemente dentro do volume de uma esfera plastica elétrico E no interior do buraco e mostre enerceerda isolada com 300 cm de diametro para produzir um campo que E é uniforme em todos os pontos do carga p elétrico de médulo igual a 1390 NC na area externa da esfera volume do buraco Dica use 0 principio proximo de sua superficie b Qual 0 campo elétricoemum qa superposicdo e o resultado do item a ponto a 100 cm fora da superficie da esfera 2258 Umcilindro isolante muito longo de raio R possui um 2253 ee CALC Uma distribuigao de cargas esfericamente sime hyraco cilindrico com raio a perfurado ao longo de toda a exten trica porém nao uniforme possui uma densidade pr dada por sao de um eixo paralelo ao eixo do cilindro O eixo do buraco esta r auma distancia b do eixo do cilindro pr po para rR em que abR Figura P2258 Figura P2258 A parte macica do cilindro possui pr 0 para rR densidade volumétrica de carga p uniforme Encontre o mddulo a di em que po 3Q7R é uma constante positiva a Mostre que recao e o sentido do campo elétrico a carga total contida na distribuigao igual a Q b Demonstre E no interior do buraco e mostre que OR que o campo elétrico na regiao r R idéntico ao campo elétrico yniforme em todos os pontos D re produzido por uma carga puntiforme Q situada em r 0 c do volume do buraco Dica veja o Obtenha uma expressdo para 0 campo elétrico na regiao r R Problema 2257 d Faga um grafico do médulo do campo elétrico E em fungao 2259 DADOS Em um experi de r e Encontre o valor de r para o qual o campo elétrico atinge ae Lae seu valor maximo e calcule o valor desse campo elétrico maximo mento campo eletrico medido em pontos a distincias r de 2254 Uma placa uniformemente carregada Uma placa de um fio retilineo uniformemente carregado que possui carga por material isolante com espessura 2d é orientada de modo que suas unidade de comprimento Ae comp rimento i em que ir Em faces fiquem paralelas ao plano yze sejam dadas pelos planosx UM segundo experimento 0 campo elétrico é medido em pontos dex d As dimensoes da placa nas direcdes ye z sao muito 4 distaéncias r do centro de uma esfera isolante uniformemente maiores que d de modo que podem ser consideradas infinitas A 4tegada que possui densidade volumétrica de carga p e raio placa possui uma densidade de carga uniforme p a Explique 800 mm em que r R Os resultados das duas medigoes por que o campo elétrico no centro da barra x 0 é igual a So listados em uma tabela mas vocé nao informado qual zero b Usando a lei de Gauss determine 0 médulo a direcio conjunto de dados se aplica a cada experimento e 0 sentido do campo elétrico em todos os pontos do espaco 2255 CALC Uma placa carregada de forma nao uni rem 100 150 200 250 300 350 400 forme Repita o Problema 2254 mas agora supondo que a den Medida A 5 sidade de carga da placa seja dada por px poxd onde po EQONIC 272 179 134 107 0902 0700677 é uma constante positiva Medida B EQONC 545 242 134 0861 0605 0443 0335 Capitulo 22 Leide Gauss 73 Para cada conjunto de dados desenhe dois graficos um para Er Figura P2261 em fungao de re outro para Er em funcao de r a Use esses gra p uC m3 ficos para determinar qual conjunto de dados A ou B é para fio 100 retilineo uniformemente carregado e qual conjunto é para a esfera 80 uniformemente carregada Explique seu raciocinio b Use os 60 graficos da parte a para calcular A para o fio retilineo unifor 40 memente carregado e p para a esfera uniformemente carregada 20 2260 DADOS O campo elétrico é medido em pontos a 0 r mm distancias r do centro de uma esfera isolante uniformemente car 50 200 400 600 800 regada que possui densidade volumétrica de carga pe raio R em que r R Figura P2260 Calcule o valor de p PROBLEMA DESAFIADOR Figura P2260 x 2262 eee PC CALC Uma regiao do espacgo contém uma E10 NC carga positiva resultante Q distribuida uniformemente ao longo 8 de uma esfera de modo que a densidade volumétrica de carga 7 pr dada por pr 3ar2R para r SR2 4 pt al 7R para R2 r R 3 pr 0 para rR Nessas relacGes a é uma constante positiva com unidades de Cm a Determine a em funcgaéo de Q e R b Aplicando a lei de o 2 4 6 8 10 12 r mm Gauss deduza uma express4o para o médulo do campo elétrico em fungao de r Faca esse calculo separadamente para cada uma das trés regides Expresse suas respostas em fungao de Q c 2261 DADOS Uma distribuicao de cargas de raio R Que fracio da carga resultante esta contida no interior da waite 600 mm possui densidade volumétrica de carga p nao uniforme pj R d Qual é 0 médulo do campo elétrico E para r A Figura P2261 mostra p em fungao da distancia r do centro R2 e Se um elétron com carga q e for liberado a partir do da distribuigo de cargas Calcule 0 campo elétrico para os se repouso em qualquer ponto de qualquer uma das trés regides 0 guintes valores de r i 100 mm ii 300 mm 111 500 mm movimento resultante sera oscilatério porém nao seré harménico iv 700 mm simples Por qué Problemas com contexto PROTEGAO CONTRA RADIAGAO COSMICA Um dos Qual deve ser a carga liquida de cada esfera a 007 C b perigos para os seres humanos no espago a radiac4o césmica 8 mC c 80 wC d 1 X 10 C particulas carregadas com alta energia emitidas pelo Sol Durante 2264 Qual é o médulo de E no exterior de uma dessas esferas uma erupgao solar a intensidade dessa radiacao pode atingir ni pr6ximo de sua superficie a 0 b 10 NC c 107 NC d veis letais Um método de protecdo proposto para os astronautas 108 NC na superficie da Lua ou de Marte é um conjunto de grandes es 2265 Determine a direcdo e 0 sentido de E no exterior de cada feras eletricamente carregadas colocadas acima de 4reas onde esfera pr6ximo de sua superficie a Tangente a superficie da as pessoas vivem e trabalham As esferas produziriam um forte esfera b perpendicular 4 superficie apontando para dentro da campo elétrico E para desviar as particulas carregadas quecom esfera c perpendicular a superficie apontando para fora da poem a radiago césmica A construgao das esferas seria seme esfera d nao hd nenhum campo elétrico no exterior da esfera Ihante a um balao de Mylar com uma fina camada condutora proximo de sua superficie de eletricidade sobre a superficie externa sobre a qual umacarga 2266 Qual afirmacdo é verdadeira sobre E no interior de uma liquida positiva ou negativa seria colocada Uma esferacomum esfera com carga negativa como descrito aqui a E aponta do pode possuir 5 m de diametro centro da esfera para a superficie e seu valor maximo é no centro 2263 Suponha que para repelir os elétrons na radiagiodeuma b E aponta da superficie para o centro da esfera e é maior e explosao solar cada esfera deve produzir um campo elétrico E seu valor maximo na superficie c Eé igual a zero d Eé de médulo 1 X 10 NC a 25 m de distancia do centro daesfera constante mas nao igual a zero RESPOSTAS Resposta a pergunta inicial do capitulo Respostas as perguntas dos testes Resposta iii O campo elétrico dentro de uma cavidade no de compreensao interior de um condutor é igual a zero portanto nao ocorreria 221 Resposta iii Cada parte da superficie da caixa estara nenhum efeito elétrico sobre a crianga veja a Segao 225 a uma distancia trés vezes maior da carga q portanto o campo 74 Fisica Ill edna 1 Mesmo em todos os pontos da superficie Nao possivel calcular elétrico serd A3B 9 mais forte Mas a area da caixa aumentara a integral do fluxo g E dA e nao podemos calcular o campo por um fator de 9 Logo 0 fluxo elétrico sera multiplicado elétrico A lei de Gauss é ttil para 0 calculo do campo elétrico por um fator de 5 9 1 Em outras palavras o fluxo perma somente quando a distribuicao de cargas é altamente simétrica necerd inalterado ee ae aes 225 Resposta nao Antes de conectar o fio a esfera a pre 222 Resposta iv ii i iti Em cada caso 0 Campo ele senga da carga puntiforme induzira uma carga gq sobre a su rico uniforme portanto o fluxo é Dy E A Usamos aS perficie interna da esfera oca e uma carga q sobre a superficie relagoes P ara Os produtos escalares de vetores unitarios 1 1 externa a carga liquida sobre a esfera é igual a zero Havera J J Lt 7 0 No item i temos Pp 40 NIC 60 m um campo elétrico fora da esfera produzido pela carga sobre a J 0 0 campo eletrico a area do vetor sao perpendicula superficie externa Quando se da 0 contato entre o fio condutor e Tes portanto 0 fluxo igual a zero No item ii temos Pg a esfera entretanto os elétrons escoarao do solo para a superficie 40 NCl 20 NC 30 m y 20 NIC 30 m externa da esfera de modo a neutralizar a carga ali veja a Figura 60 N m IC Analogamente 3 item iil temos Og 217c Consequentemente a esfera nfo tera nenhuma carga 40 NIC 20NC 30m wr 70 m N 40 NIC sobre sua superficie externa e nenhum campo elétrico externo 30 m 20 NC 70 m 2 N mC e no item iv temos Oy 40 NIC 20 NIC B0 m2 70 m2 Problema em destaque j 40 NC 30 m 20 NC 70 m 26N mC p2rla 2 223 Resposta S Ss S4 1 e S3 empate A lei de Gauss a Q Qe 2ra0 2ra0 1 afirma que o fluxo através de uma superficie fechada é proporcio nal 4 quantidade de carga englobada no interior dessa superficie kOe 2 Jay Portanto ordenar essas superficies de acordo com seus fluxos é b E po 2r ao 27 ao 1 oO mesmo que ordenar pela quantidade de carga englobada A superficie S néo possui nenhuma carga S engloba 90 wC c EEpréwon 50 wC 70 uC 70 nC S3 engloba 90 wC 10 wC 100 wC 0 Sy engloba 80 wC 70 uC 10 uCe 100 Ss engloba 80 wC 70 wC 100 wC 10 wC 080 90 wC 50 wC 60 uC 224 Resposta nao Vocé pode ficar tentado a desenhar uma 060 superficie gaussiana que seja uma versao ampliada do condutor com o mesmo formato e posicionado de modo que englobe com 040 pletamente o condutor Embora vocé conhega o fluxo que passa 020 por essa superficie gaussiana pela lei de Gauss é Pg Qeo a diregao do campo elétrico nao sera necessariamente perpendicu 000 rag lar 4 superficie e o médulo do campo nfo sera necessariamente o 000 100 200 300 400 Em um tipo de soldagem a carga elétrica flui entre a ferramenta e as partes de metal a serem soldadas Isso produz um arco luminoso que funde as peças por causa de sua alta temperatura Por que a ferramenta deve ser man tida próxima às peças a serem soldadas i Para maximizar a diferença de potencial entre a ferramenta e as peças ii para minimizar essa diferença de potencial iii para maximizar o campo elétrico entre a ferra menta e as peças iv para mi nimizar esse campo elétrico v mais de uma das alternativas OBJETIVOS DE APRENDIZAGEM Ao estudar este capítulo você aprenderá 231 Como calcular a energia potencial elétrica de um conjunto de cargas 232 O significado e a importância do potencial elétrico 233 Como calcular o potencial elétrico que um conjunto de cargas produz em um ponto no espaço 234 Como usar superfícies equipotenciais para visualizar como o potencial elétrico varia no espaço 235 Como usar o potencial elétrico para calcular o campo elétrico Revendo conceitos de 7174 Forças conservadoras e energia potencial 211216 Força elétrica e campo elétrico 224 225 Aplicações da lei de Gauss 23 POTENCIAL ELÉTRICO E ste capítulo trata da energia associada às interações elétricas Toda vez que você liga uma lâmpada ouve um CD ou usa um aparelho eletrodoméstico está utilizando a energia elétrica um ingrediente indispensável em nossa so ciedade tecnológica Nos capítulos 6 e 7 introduzimos os conceitos de trabalho e energia no contexto da mecânica agora vamos combinar esses conceitos com tudo aquilo que você aprendeu sobre cargas elétricas forças elétricas e campos elétricos Assim como o conceito de energia possibilitou a solução de alguns tipos de problemas mecânicos de forma muito simples a aplicação das noções de energia facilita a solução de uma série de problemas relativos à eletricidade Quando uma partícula carregada se desloca em um campo elétrico este exerce uma força que realiza um trabalho sobre a partícula Esse trabalho realizado pode ser sempre expresso em termos da energia potencial elétrica Assim como a ener gia potencial gravitacional depende da altura em que se encontra a massa sobre a superfície terrestre a energia potencial elétrica depende da posição da partícula carregada no campo elétrico Descreveremos a energia potencial elétrica usando um conceito novo chamado potencial elétrico ou simplesmente potencial Nos circuitos a diferença de potencial entre dois pontos geralmente é chamada de vol tagem Os conceitos de potencial e de voltagem são cruciais para entendermos o funcionamento de um circuito elétrico e possuem aplicações igualmente importan tes nos feixes de elétrons utilizados em radioterapia no tratamento do câncer em aceleradores de partículas e em muitos outros dispositivos 231 ENERGIA POTENCIAL ELÉTRICA Os conceitos de trabalho energia potencial e conservação da energia foram ex tremamente úteis em nossos estudos de mecânica Nesta seção mostraremos que esses conceitos são igualmente úteis para entender e analisar interações elétricas BookSEARSVol3indb 75 101115 657 PM 76 Fisica Ill Vamos comegar fazendo a revisao de alguns pontos essenciais dos capitulos 6 e 7 Inicialmente quando uma forga F atua sobre uma particula que se move de um ponto a até um ponto J o trabalho W realizado pela forga dado pela integral de linha b b Woop Fdl Fcos dl trabalho realizado 231 a a por uma forga em que dl éum deslocamento infinitesimal ao longo da trajetoria da particula e o angulo entre F e dl em cada ponto da trajetéria Em segundo lugar se a forcga F for conservativa conforme definimos na Secao 73 o trabalho realizado por F sempre pode ser expresso em funcao da energia potencial elétrica U Quando a particula se move de um ponto no qual a energia potencial é U até um ponto no qual a energia potencial é U a variacao da energia potencial é AU U Uze Figura 231 O trabalho realizado Trabalho Energia potencial na posigao inicial sobre uma bola de beisebol que raalteanp por Ww UuU G yy AU se desloca em um campo uma forca ab a 4 b 4 b a Varian ch enersia 232 gravitacional uniforme conservativa Energia potencial na posicao final potoncial com inl oposto Objeto que se desloca em um campo gravitacional uniforme yots Quando W 5 positivo U é maior que U logo AU é negativa e a energia potencial diminui Isso 0 que ocorre quando uma bola de beisebol cai de um a ponto mais elevado a até um ponto mais baixo b sob a influéncia da gravidade i mg O trabalho da Terra a forga da gravidade realiza um trabalho positivo e a energia potencial realizado pela forga ss eee ae eos eravitacional 0 gravitacional diminui Figura 231 Quando uma bola é atirada de baixo para cima f Ba mesmo para a forga da gravidade realiza um trabalho negativo durante o intervalo em que a bola qualquer trajet6ria est4 subindo e a energia potencial aumenta 1 pf dea para b Em terceiro lugar o teorema do trabalhoenergia afirma que a variacao da ener Ly Wap AU mgh gia cinética AK K K durante qualquer deslocamento é igual ao trabalho total or b realizado sobre a particula Quando somente foras conservativas realizam um Ee trabalho sobre a particula entéo a Equacao 232 fornece o trabalho total realizado e K Kg U U Geralmente escrevemos esse resultado na forma Ky Ug Ky Up 233 Figura 232 O trabalho realizado Isto é a energia mecanica total cinética mais potencial é conservada sob essas sobre uma carga puntiforme circunstancias que se desloca em um campo elétrico uniforme Compare com a Figura 231 Energia potencial elétrica em um campo uniforme Necoeeom umes sf Vamos examinar um exemplo elétrico desses conceitos basicos A Figura 232 elétrico uniforme indica um par de placas metdlicas paralelas carregadas produzindo um campo elétrico uniforme orientado de cima para baixo com mddulo E O campo elétrico al a an a exerce uma forga de cima para baixo com modulo F qo sobre uma carga de A M ae teste positiva go A medida que a carga se move uma distancia d de um ponto a até la um ponto b a forga sobre a carga de teste é constante e nao depende da localizagao Sy rrxzd dacarga Portanto o trabalho realizado pelo campo elétrico é igual ao produto do i modulo da forga pelo componente do deslocamento na diregao e no sentido de Pe qok y cima para baixo da forga i a ne Wysp Fd qoEd 234 O trabalho realizado pela forga elétrica we oe é o mesmo para qualquer trajet6ria Esse valor é positivo porque a forga possui a mesma diregdo e o mesmo sentido de a para b W AU qoEd do deslocamento da carga de teste Capitulo 23 Potencial elétrico 77 O componente y da forga elétrica Fy qoE constante e nao existe nenhum componente x ou z Isso é exatamente analogo ao caso da forca gravitacional sobre um corpo de massa m proximo da superficie terrestre para essa forga existe um componente y F mg e os componentes x e z sao iguais a zero A partir dessa analogia concluimos que a forga exercida sobre gg pelo campo elétrico uniforme na Figura 232 conservativa como no caso da forga gravitacional Isso significa que o trabalho W realizado pelo campo elétrico nao depende da trajet6ria des crita pela particula para ir de um ponto a até um ponto b Podemos representar esse trabalho usando a fungao energia potencial U como no caso da energia potencial gravitacional descrita na Secao 71 A energia potencial para a forga gravitacional Fy mg dada por U mgy logo a energia potencial para a forga elétrica Fy qok dada por U qoEy 235 Quando uma carga de teste se desloca de uma altura y até uma altura y 0 Figura 233 Uma carga positiva que trabalho realizado pelo campo elétrico sobre a carga dado por se desloca a no sentido do campo elétrico E e b no sentido oposto ak Wasp AU Uy Uy a Carga positiva qo que se desloca qoEYp qoEVa 90EWa Yo 236 0 sentido de E 7 Ocampo realiza trabalho positivo sobre a carga Quando y é maior que y Figura 233a a carga de teste positiva ggse move de Udiminui y cima para baixo no mesmo sentido de E o deslocamento possui a mesma direcao z x z x z e o mesmo sentido da forga F qof de modo que o campo realiza um trabalho positivo e U diminui Em particular quando y yp d como na Figura 232 a E Equacao 236 fornece W qoEd de acordo com a Equacao 234 Quando y é a menor que y Figura 233b a carga de teste positiva go se desloca de baixo para FqE cima em sentido oposto ao de E 0 deslocamento possui sentido oposto ao da forga i de modo que o campo realiza um trabalho negativo e U aumenta I Para uma carga de teste qo negativa a energia potencial aumenta quando ela Ya Y se move no mesmo sentido do campo e diminui quando ela se move em sentido an b oposto ao do campo Figura 234 yp Tanto para cargas positivas quanto para cargas negativas as seguintes regras O sao validas U aumenta quando a carga de teste go se Move em sentido oposto ao EEaaraE da forga elétrica F qoK figuras 233b e 234a U diminui quando go se move L ido d F E fi 2 234b E b Carga positiva gg que se desloca no no mesmo sentido de qo iguras 33a e 234b Esse comportamento ciao oposto a E semelhante ao da energia potencial gravitacional que aumenta quando a massa m O campo realiza trabalho negativo sobre a carga Figura 234 Uma carga negativa que se desloca a no sentido do campo elétrico E eb U aumenta y no sentido oposto a EF Compare com a Figura 233 i 7s 7s 7s 7s a Carga negativa qq que se desloca no sentido de E b Carga negativa qo que se desloca no U Ocampo realiza trabalho negativo sobre a carga sentido oposto a E E U aumenta Ocampo realiza trabalho positivo b sobre a carga A y Udiminui y I I ats ats ats ats ats A 3 1 E FqE E Yb a r 1 A Ya Fg9E i I oO 10 I Y as l Ya y Yb F qoE x be x4 Yb Ya O O 78 Fisica Ill se desloca de baixo para cima deslocamento contrario ao da forga gravitacional e diminui quando a massa m se desloca de cima para baixo deslocamento no mesmo sentido da forga gravitacional ATENGAO Energia potencial elétrica A relacdo entre a alteracdo na energia potencial elétrica e o movimento em um campo elétrico é importante e sera usada com frequéncia porém demanda esforgo para ser compreendida Revise 0 paragrafo anterior e estude as figuras 233 e 234 com atencao Fazer isso agora ajudara muito posteriormente Energia potencial elétrica de duas cargas puntiformes Figura 235 A carga de teste qo se A ideia da energia potencial elétrica nao se restringe apenas ao caso especial do desloca ao longo de uma linha reta campo elétrico uniforme Na verdade podemos aplicar esse conceito a uma carga que se estende radialmente a partir puntiforme situada em qualquer campo elétrico produzido por uma distribuicdo da carga q A medida que ela se estatica de cargas Lembrese de que no Capitulo 21 dissemos que podemos re desloca de a até b a distancia varia Lee de r até ry presentar qualquer distribuigdo de cargas como uma colegao de cargas puntiformes Portanto é Util calcular o trabalho realizado sobre uma carga de teste gg que se A b E move no campo elétrico produzido por uma tinica carga puntiforme estatica q carga de teste go se sg desloca dea atébao 7 Inicialmente consideraremos um deslocamento radial como indicado na Fi longo de uma linha gura 235 A forga sobre go é dada pela lei de Coulomb e seu componente radial é radial a partir de q p i i Amey 237 10 by Quando g e qo possuem 0 mesmo sinal ou a forga é repulsiva e F é if Mp positiva quando as duas cargas possuem sinais opostos a forga é atrativa e F é a negativa A forga ndo é constante durante 0 deslocamento é preciso integrar para 3 r calcular o trabalho W realizado por essa forca sobre gg quando ela se desloca Ya de a até b 1 qq qq 1 1 Wsb Fdr Amey 2 dr im 2 238 O trabalho realizado pela forga elétrica para essa trajetoria particular depende apenas do ponto inicial e do ponto final Considere um deslocamento geral Figura 236 no qual a e b ndo estejam situados sobre a mesma reta radial Pela Equacgao 231 o trabalho realizado sobre qo durante esse deslocamento é dado por Figura 236 O trabalho realizado 1 aqo sobre a carga qo pelo campo elétrico Wasp Fcos dl 7 2 98 g dl produzido por uma carga q nao Ya Ya Amey r depende da trajet6ria percorrida mas somente das distancias rq 7p Porém a Figura 236 mostra que cos dl dr Ou seja o trabalho realizado A carga de teste qgse deslocadeaatéb durante um deslocamento infinitesimal dl depende somente da variagao dr da dis ao longo de ume trajetoria arbitraria tancia r entre as duas cargas que fornece 0 componente radial do deslocamento i f Rk Portanto a Equacao 238 também é valida para esse deslocamento mais geral 0 b F trabalho realizado pelo campo elétrico E produzido por go depende somente de r i ff e rp e nao dos detalhes da trajetéria Concluimos também que se go volta ao seu dr ea Ley ponto inicial o trabalho realizado nessa trajet6ria fechada é igual a zero pois a 0 go par v integral na Equacao 238 vai de ry para r Essas sao as caracteristicas necessarias 7 Y Py de uma forga conservativa conforme definimos na Seao 73 Logo a forca que x r oF atua sobre gg uma forca conservativa eS ee Vemos que as equacées 232 e 238 sao consistentes se definirmos a grandeza el qq0477Egrg Como a energia potencial U quando a carga go est4 no ponto a a uma SSM distancia r de g e se U qqo47regrp quando a carga qo esta a uma distancia rp de q Logo Capitulo 23 Potencial elétrico 79 we Valores das ene Critics da energia Energia potencial mary 10 duas cargas 23 9 potencia duas Cargas elétrica de duas Aden Peon puntiformes q e go versus a cargas puntiformes 9 Distancia entre distancia r entre elas Constante elétrica as cargas a g e go possuem sinais iguais A Equacao 239 vale para qualquer combinacao de sinais A energia potencial é U q 4 4 4 positiva quando q e gg possuem 0 mesmo sinal Figura 237a e negativa quando u as cargas possuem sinais opostos Figura 237b jer jer A energia potencial é sempre definida em relaga4o a algum ponto no qual U 0 Na Equacao 239 U é igual a zero quando a distancia entre g e gy muito grande e er Guano 30U 00 r ov Portanto U é igual ao trabalho realizado pelo campo elétrico de g para des Quando r oU0 locar go de uma distancia inicial r até o infinito Quando qg e gg possuem 0 mesmo sinal a interagdo é repulsiva e o trabalho positivo de modo que U positiva g r para qualquer distancia finita Figura 237a Quando as cargas possuem sinais opostos a interacao atrativa e o trabalho é negativo de modo que U é negativa Figura 237b b g e qo possuem sinais opostos Enfatizamos que a energia potencial U dada pela Equacao 239 uma proprie dade comum das duas cargas g e gg Quando a distancia entre as duas cargas varia U de r até rp a variacao da energia potencial quando qmantida fixae ggsemove é a mesma que ocorre quando gop é mantida fixa e g se move Por essa raz4o nunca usaremos a frase a energia potencial de uma carga puntiforme Analogamente q q q q quando um corpo de massa m esta a uma altura acima da superficie terrestre a e ou FE energia potencial gravitacional é uma propriedade comum da massa m e da Terra jer jer Nas secodes 71 e 123 enfatizamos essa observacao Fee 0 A Equacao 239 também vale quando a carga de teste gq esta fora de uma dis Quando r 0 U oo tribuicdo de cargas esfericamente simétrica com carga total g a uma distancia r Quando r co U 0 do centro da distribuicdo Isso acontece porque a lei de Gauss nos ensina que 0 campo elétrico fora de qualquer distribuigao de cargas esfericamente simétrica é 0 mesmo campo produzido quando a carga total da distribuigao esta concentrada em seu centro ver Exemplo 229 na Secao 224 ATENGAO Energia potencial elétrica versus forca elétrica Tome cuidado para nao confundir a Equacgao 239 da energia potencial de duas cargas puntiformes com a Equagao 237 para o componente radial da forca elétrica que uma carga exerce sobre a outra A energia potencial U é proporcional a 1r enquanto 0 componente da forga F propor cional a 1 BAUPESEUD CONSERVACAO DA ENERGIA COM FORGAS ELETRICAS oo cssmmnsnnnnnnnnnnnn O positron a antiparticula do elétron possui massa igual a SOLUGAO 31 4 19 911 x 10 kge carga qo reat 160 x 10 Suponha pENTIFICAR E PREPARAR a forca elétrica entre um positron que um positron esteja se movendo nas vizinhangas de oe ou um elétron e uma particula a é conservativa ento a energia ticula a alfa ae Possur carga q 2e 320 x 10 Ce necanica energia cinética mais a potencial se conserva A energia massa 664 x 10 kg A P articula Possul massa cerca de potencial U em qualquer distancia r é dada pela Equacao 239 A 7000 vezes maior que a do pésitron de modo que vamos consi funci s ne uncao de energia potencial para os itens a e b é semelhante a da derar a particula a em repouso em algum sistema de referéncia a toa Figura 237a e a fungao para a parte c é semelhante a da Figura inercial Quando o positron esta a uma distancia igual a 100 X as 6 10 237b Sabemos a velocidade do positron vg 300 X 10 ms 10 m da particula a ele se afasta dessa particula com uma 10 6 quando a separagao entre as particulas é r 100 x 10 m velocidade igual a 300 X 10 ms a Qual é a velocidade do 7 es ree 10 Nos itens a e b usamos as equacgées 233 e 239 para encontrar positron quando ele esta a uma distancia de 20 x 10 m da 10 Z ot avelocidade para r r 200 X 10 merr respec particula a b Qual é a velocidade do positron quando ele esta auma distancia muito grande da particula a c Qual seria a al tivamente No item c substituimos o pésitron por um elétron e teracdo da situaco supondo que a particula que se desloca fosse reconsideramos o problema em vez de um pésitron um elétron de mesma massa do pésitron EXECUTAR a como ambas as particulas Possuem cargas po mas de carga gy e Descreva 0 movimento subsequente sitivas a velocidade do positron aumenta 4 medida que ele se Continua 80 Fisica Ill Continuagdo afasta da particula a Conforme a Equacao 233 daconservacgéo que ele se afasta A mudanga do sinal da particula de e para de energia a energia cinética final é dada por e significa que a energia potencial inicial passa a ser Uy 19 461 x 1078J0 que torna a energia mecanica total negativa Ky ymvp Ky Ug Up K U 410 X 1078 J 461 1078J Nessa expressao 051 x 10185 K 5mv2 4911 X 107 kg300 X 10 ms is A energia mec4nica total deveria ser positiva para o elétron se 410 x 10 S afastar infinitamente da particula a Assim como uma pedra ati 1 44 rada para cima com uma velocidade baixa a partir da superficie da Uz tne 90 x 10NmC a Terra o elétron alcangara uma separagéo maxima r rg da par EO Ta ticula antes de inverter 0 sentido de seu deslocamento Nesse 320 X 107 C160 107 C ponto a velocidade e a energia cinética do elétron Kg serao iguais x 100 X 102m a zero portanto no ponto com separacao rg temos 461 X 1083 Ug Ky Uy Ky 051 X 103 0 1 440 1 10 18 U 230 x 1083 Ut tre ES Ame Np er a 1 44 Portanto a energia cinética e a velocidade do pésitronemrr y U ames 200 x 107 m sao d S70 90 X 10 N mC K 4mv 410 X 10 83 461 x 10 8 J 230 X10 BJ 90 x Nw 320 X 10 1 C160 x 10 051 X 10 J 18 641 X 10 J 90X 107 m 2K 2641 10718 J 10 18 vp 4 3 38 X 10 ms Para rp 200 X 10 m temos U 230 X 10 J por m 911 X 10 kg tanto a energia cinética e a velocidade do elétron nesse ponto so b Quando o pésitron estiver muito afastado da particulaa de K 5 mu modo que r r a energia potencial final U tendera a 410 X10 83 461 x 108 J 230 x 10 8J zero Entéo de acordo com a conservacao da energia a energia 18 a a 179 x 10 J cinética final e a velocidade do positron serao is is 2K 2179 X 10 8J K Ka Uy Up 410 X 10 J 461 X10 F 0 vp 20 X 10 ms m 911 X 10 kg 871 X 10 8J OK 2871 X 1 08 J AVALIAR ambas as particulas se comportam como esperado a Ue 3 44 X 10 ms medida que se afastam da particula a 0 pédsitron acelera o elé m 911 X 10 kg tron desacelera e em determinado ponto inverte o sentido de seu deslocamento Qual deve ser a velocidade de um elétron em c Como o elétron e a particula a possuem cargas opostasar 100 X 107 m para se afastar infinitamente da particula a forga é de atracao e a velocidade do elétron diminuem 4 medida Dica veja o Exemplo 125 na Secao 123 Figura 238 A energia potencial Energia potencial elétrica com diversas associada a carga go no ponto a depende das outras cargas q1 qo e cargas puntiformes b das distanci AB 93 Dem COMO Cas custancias TI 72 Suponha que 0 campo elétrico EF no qual uma carga go se move seja produzido r3 entre essas cargas e o ponto a por um conjunto de cargas puntiformes gq q 3 separadas de qo pelas distan nN clas rj ro 73 como indica a Figura 238 Por exemplo gg poderia ser um fon positivo se movendo na presenga de outros fons Figura 239 O campo elétrico 2 total é dado pela soma vetorial dos campos elétricos produzidos pelas cargas individuais do conjunto e o trabalho total realizado sobre gg durante qualquer r deslocamento é a soma das contribuig6es das cargas individuais De acordo com r 43 a Equacao 239 concluimos que a energia potencial associada a carga de teste go 0 no ponto a indicado na Figura 238 a soma algébrica e ndo a soma vetorial r3 dada por a 40 Capitulo 23 Potencial elétrico 81 Energia potencial elétrica da carga puntiforme qo e 0 conjunto de cargas q 4 43 Figura 239 Este motor a fons para Ey propulsao espacial usa forcas Any 40 4 ae Ey ae 43 anaes 40 Mi 2310 elétricas para ejetar uma corrente de Aire lo YQ Amey 7 ions positivos de xenénio Xe a Constante eléiica Distancias entre 0 VW I V velocidades escalares acima de 30 kms A propulsado produzida é muito baixa cerca de 009 newton Quando a carga qo estd em outro ponto b a energia potencial é dada pelamesma pode ser mantida 2 As continuamente durante dias expressao porém 1 rp S40 as distancias entre g1 dz 0 ponto bO trabalho gitorente de foguetes de combustivel realizado sobre a carga qo quando ela se desloca de um ponto a até um ponto b quimico que produzem uma grande ao longo de qualquer trajetoria é igual 4 diferenca U U de energia potencial propulsao durante um curto quando qo esté em ae em b intervalo de tempo veja a Figura Podemos representar qualquer distribuigaéo de cargas como um conjunto de a Esses es Ss a fons tém sido cargas puntiformes Portanto a Equagao 2310 mostra que sempre é possivel en espaciais interplanetarias contrar uma fungao de energia potencial para qualquer campo elétrico estatico A partir disso podemos concluir que qualquer campo elétrico produzido por uma distribuicdo de cargas estaticas da origem a uma forca conservativa As equagées 239 e 2310 definem U igual a zero quando todas as distancias rj ro 40 infinitas ou seja quando a carga de teste go esta muito afastada de todas as cargas que produzem o campo elétrico Sabemos que para qualquer funcdo de energia potencial o ponto em que U 0 é arbitrario logo sempre podemos somar uma constante para fazer U igual a zero em qualquer ponto escolhido Em problemas de eletrostatica geralmente é mais simples escolher esse ponto no infi nito Quando analisarmos circuitos elétricos nos capitulos 25 e 26 outras escolhas poderao ser mais convenientes A Equagao 2310 fornece a energia potencial associada a presenga da carga de teste gj no campo elétrico E produzido por qj qo 3 Porém também existe uma energia potencial associada ao conjunto dessas outras cargas Se inicialmente as Cargas q 9 q3 estao separadas por distancias infinitas e a seguir aproxi mamos duas cargas q e g de modo que a distancia entre elas seja rj a energia potencial total U é a soma das energias potenciais oriundas das interagdes de cada par de cargas Podemos escrever o resultado na forma U i Lj 479 ij Vij 2311 Essa soma deve ser estendida para todos os pares de cargas nao podemos fazer i j porque isso equivaleria a introduzir um termo da interagaéo de uma carga com ela mesma e consideramos apenas i j para garantir que contamos apenas uma vez cada par de cargas Portanto para levarmos em conta a interagdo da carga qg3 com a carga q4 inclufmos um termo com i 3 ej 4 porém nao um termo i4ej 3 Interpretagao da energia potencial elétrica Como um comentario final vamos apresentar dois pontos de vista sobre a ener gia potencial elétrica Ela foi definida em termos do trabalho realizado pelo campo elétrico sobre uma particula carregada que se move no campo da mesma maneira que no Capitulo 7 definimos a energia potencial em termos do trabalho realizado pela gravidade ou por uma mola Quando uma particula se desloca de um ponto a até um ponto J o trabalho realizado sobre ela pelo campo elétrico W Ug U Portanto a diferenca de energia potencial U U igual ao trabalho realizado pela forca elétrica quando a particula se move de a até b Quando U maior que U 0 campo elétrico realiza um trabalho positivo sobre uma particula quando ela cai de um ponto com energia potencial mais alta a até um ponto com energia potencial mais baixa b 82 Fisica Ill Um ponto de vista alternativo porém equivalente é verificar qual é 0 trabalho realizado para elevar a partfcula de um ponto b no qual a energia potencial é U até um ponto a no qual a energia potencial possui valor mais elevado U empurrando duas cargas positivas uma contra a outra por exemplo Para mover a particula lentamente a fim de nao fornecer a ela nenhuma energia cinética pre cisamos exercer uma forga externa adicional F ext igual e oposta a forca elétrica e exercer um trabalho positivo Nesse caso a diferenca de energia potencial U U entao definida como 0 trabalho que deve ser realizado por uma forga externa para mover a particula lentamente de b até a contra a forca elétrica Como F ext possui sinal oposto ao da forga elétrica e o deslocamento ocorre em sentido oposto essa definigéo da diferenga de energia potencial U U é equivalente aquela dada anteriormente Esse ponto de vista alternativo também é valido quando U é menor que Uj 0 que corresponde a fazer a particula se deslocar para baixo um exemplo seria afastar uma carga positiva de outra positiva Nesse caso U Up seria novamente igual ao trabalho realizado pela forca externa porém agora esse trabalho seria negativo Na préxima seg4o usaremos ambos os pontos de vista para interpretar o signi ficado do potencial elétrico ou energia potencial por unidade de carga Duas cargas puntiformes estado localizadas sobre 0 eixo x gj Orresultado positivo como devemos esperar Quando trazemos eno ponto x 0e gy e no ponto x a a Calcule otraba 43 do infinito ao longo do eixo x ela atraida por qg porém é lho realizado por uma forga externa para trazer uma terceira carga repelida mais fortemente por q Portanto o trabalho realizado puntiforme g3 e do infinito até o ponto x 2a b Calcule para trazer q3 até x 2a deve ser positivo a energia potencial total do sistema constitufdo pelas trés cargas b A energia potencial total do conjunto das trés cargas é dada pela Equacao 2311 SOLUGAO a y yt a8 We ah IDENTIFICAR E PREPARAR a Figura 2310 mostra a disposiado 4rreg Ni Amey r2 n3 13 final das trés cargas puntiformes No item a devemos deter minar o trabalho W sobre qg3 por uma forca externa F ext exigido 1 ee e e 4 e e e para trazer qg3 do infinito até x 2a Isso pode ser feito usando Aire a 2a a 8irega a Equacao 2310 para obter a energia potencial associada a q3 na presenga de qj gy No item b usamos a Equagao 2311 AVALIAR como o resultado do item b é negativo o sistema pos a expressdo para a energia potencial de uma colecao de cargas sui uma energia potencial mais baixa do que teria se as distancias puntiformes para obter a energia potencial total do sistema entre as cargas fossem infinitas Uma forca externa precisaria EXECUTAR a 0 trabalho W é igual a diferenga entre i aener realizar um trabalho negativo para trazer as trés cargas do infinito gia potencial U associada a q3 quando ela esta no ponto x 2a até suas posicées no conjunto e realizar um trabalho positivo para e ii a energia potencial quando ela esta no infinito Este ultimo afastalas de volta ao infinito valor é zero de modo que o trabalho realizado é igual a U As oo oo distancias entre as cargas s40 r13 2a e r73 a entao de acordo Figura 2310 Nossa esquematizagao da situagao x apos a terceira carga ter sido trazida do infinito com a Equacao 2310 wou a2 4 te e He se 5 e ea 4teg T13 193 Amey 2a a 87reE 9a x0 xa 2a TESTE SUA COMPREENSAO DA SEGAO 231 Considere o sistema das trés cargas pun tiformes no Exemplo 214 Seco 213 e indicado na Figura 2114 a Qual é 0 sinal da energia potencial total desse sistema i Positivo ii negativo iii nulo b Qual é 0 sinal da quantidade total de trabalho que vocé teria de realizar para separar essas cargas infini tamente umas das outras i Positivo ii negativo iii nulo I 232 POTENCIAL ELETRICO Na secao anterior examinamos a energia potencial U associada a uma carga de teste gg em um campo elétrico Agora vamos examinar a energia potencial em uma base por unidade de carga andloga ao caso do campo elétrico que é a forga Capitulo 23 Potencial elétrico 83 elétrica por unidade de carga que atua sobre uma particula no campo Isso conduz ao conceito de potencial elétrico em geral chamado simplesmente de potencial Este conceito muito Util para o calculo das energias envolvidas em particulas carregadas Ele também facilita a determinagao de um campo elétrico visto que 0 potencial elétrico esta intimamente relacionado ao campo elétrico E Para deter minar um campo elétrico em geral é mais facil inicialmente calcular 0 potencial elétrico e a seguir obter o campo elétrico a partir do potencial elétrico Denominase potencial elétrico a energia potencial por unidade de carga Definimos o potencial elétrico Vem qualquer ponto de um campo elétrico como a energia potencial U por unidade de carga associada a uma carga de teste qo nesse ponto U V ou UqV 2312 40 Tanto a energia potencial quanto a carga sao escalares de modo que 0 potencial elétrico é uma grandeza escalar De acordo com a Equagao 2312 suas unidades sao obtidas dividindose as unidades de energia pelas unidades de carga A unidade SI de potencial elétrico chamada de volt 1 V em homenagem ao cientista italiano e pesquisador experimental da eletricidade Alessandro Volta 17451827 sendo igual a joule por coulomb 1V 1 volt 1 JC 1 joulecoulomb Vamos escrever a Equacao 232 que iguala o trabalho realizado pela forca elé trica durante um deslocamento de a até b com a grandeza AU U U usandose uma base de trabalho por unidade de carga Dividindo essa grandeza por go obtemos W AU U U a 7 4 e Vy Va Va Vp 2313 em que V Uqo a energia potencial por unidade de carga no ponto ae V é definido de modo analogo Chamamos V de potencial no ponto a e V de poten cial no ponto b Logo o trabalho realizado por unidade de carga pela forga elétrica quando a carga se desloca de a até b igual ao potencial no ponto a menos o potencial no ponto b A diferenga V V denominase potencial de a em relagdo a b algumas vezes Figura 2311 A voltagem desta essa diferenga sera abreviada como V V Vp observe a ordem dos indices pilha é igual 4 diferenca de Geralmente chamamos isso de diferenga de potencial entre ae b porém tratase de potencial V V V entre o algo que pode ser ambiguo a menos que 0 ponto de referéncia seja especificado tt minal positivo ponto a e o Em circuitos elétricos que examinaremos em capitulos posteriores a diferenga de terminal negativo ponto d mel p Pp potencial entre dois pontos sera chamada de voltagem Figura 2311 A Equagao Ponto a terminal positivo 2313 afirma que V 0 potencial em V dea em relacao a J é igual ao trabalho em J realizado pela forca elétrica quando uma carga UNITARIA 1 C se desloca de a até b Outra maneira de interpretar a diferenca de potencial V na Equagao 2313 consiste em usar 0 ponto de vista alternativo comentado no final da Segao 231 se V 15 volt gundo o qual U U é igual ao trabalho realizado por uma forca externa quando a particula com carga gg se move lentamente de b até a contra a forca elétrica O trabalho que deve ser realizado por unidade de carga pela forga externa sera entao U Updo Va Vy Vay Em outras palavras V 0 potencial em V de a em relacao a J é igual ao trabalho em J realizado contra a forca elétrica Ponto b terminal negativo para deslocar lentamente uma carga UNITARIA 1 C de b até a O voltimetro um instrumento que mede a diferencga de potencial entre dois pontos No Capitulo 26 descreveremos o funcionamento desse instrumento Voltimetros capazes de medir uma diferenga de potencial da ordem de pV sao comuns e sensibilidades até 107 V j4 foram atingidas 84 Fisica Ill Calculo do potencial elétrico Para encontrarmos o potencial V de uma unica carga puntiforme gq dividimos a Equacao 239 por go Potencial elétricode 1 dy Valor da carga puntiforme uma carga puntiforme v Ate Tew Distancia entre a carga 2314 x Constanié létrca Pencil etd send called Quando gq é positiva o potencial produzido por ela é positivo em todos os pon tos do espago quando g é negativa o potencial produzido por ela é negativo em qualquer ponto Em ambos os casos V é igual a zero para r quando a distancia entre a carga e o ponto é infinita Observe que o potencial do mesmo modo que o campo elétrico nao depende da carga de teste qq que foi usada para definilo Analogamente dividindose a Equacgdo 2310 por go encontramos o potencial produzido por um conjunto de cargas Valor da iésima Potencial elétrico dey Lie carga puntiforme 2315 a eee e die j 1j Distancia entre a iésima carga cargas puntiformes x 8 Cc eneranie Aitien puntiforme 0 ponto em que 0 potencial esta sendo calculado Assim como 0 campo elétrico total de um conjunto de cargas é dado pela soma vetorial de todos os campos elétricos produzidos pelas cargas individuais 0 poten cial elétrico produzido por um conjunto de cargas puntiformes é dado pela soma escalar dos potenciais produzidos pelas cargas individuais No caso de uma distri buicgao continua de cargas ao longo de uma linha sobre uma superficie ou através de um volume dividimos as cargas em elementos de carga dq e a soma indicada na Equacao 2315 se transforma em uma integral BIO Aplicagao Eletrocardiograma Integral sobre a distribuigdo de cargas Os eletrodos usados em um oo cottons eletrocardiograma ECG medem Potencial elétrico de 1 dq Elemento da carga as diferencas de potencial geralmente uma distribuicao v Ate 2316 continua de cargas EQ Pe Di ctanci nao superior a 1 mV 10 3 V entre a Distancia entre o elemento da diferentes partes da pele do paciente Constante eletical Calbae pontoem que o a potencial esta sendo calculado Estas indicam as diferengas de potencial entre as regides do coragao assim proporcionam um modo sensivel para Resolveremos diversos exemplos desses casos Os potenciais definidos pelas detectar quaisquer anormalidades na equacgdes 2315 e 2316 so nulos em pontos infinitamente distantes de qualquer atividade elétrica que impulsiona a distribuicdo de cargas Mais adiante encontraremos casos nos quais a propria dis fungao cardiaca spe ae wp tribuicao de cargas se estende até o infinito Verificaremos que para esses casos nao podemos fazer V 0 no infinito e devemos tomar certos cuidados ao usar e interpretar as equacgdes 2315 e 2316 i ATENGAO O que é um potencial elétrico Antes de se envolver nos detalhes de como P f calcular o potencial elétrico vocé deve parar e rever 0 que é 0 potencial O potencial elé trico em um determinado ponto é a energia potencial que seria associada a uma unidade age 4 14 de carga nesse ponto E por isso que o potencial é medido em joules por coulomb ou em an fa volts Lembrese também de que nao deve haver uma carga em um determinado ponto a in para que um V potencial exista nesse ponto Da mesma forma um campo elétrico pode F Tie FF O82 0 s existiremum dado ponto mesmo que nao haja nenhuma carga ali para responder a ele Determinagao do potencial elétrico a partir do campo elétrico Quando conhecemos uma dada colecao de cargas a Equacao 2315 geralmente fornece 0 método mais facil para calcular 0 potencial V Contudo em alguns pro Capitulo 23 Potencial elétrico 85 blemas para os quais 0 campo elétrico seja fornecido ou facilmente obtido é mais facil calcular V a partir de E A forga F sobre uma carga de teste go é dada por F qoE logo pela Equagao 231 0 trabalho realizado pela forca elétrica quando a carga de teste se move de a até b é dado por b b Woop Fedl qgoE dl a a Dividindo essa relagdo por gg e comparandoa a Equacao 2313 encontramos Integral ao longo da trajetéria entre a e b Dif pot ee perenne teaeeeenenes potencial 4 b 5 5 b ww Deslocamento elétrica Va Vy E dl Ecosd dl 2317 ao a Angulo entre Produto escalar entre campo Médulo do Eedl elétrico e vetor de deslocamento campo elétrico Do mesmo modo que o valor de W independe da trajetéria 0 valor de V V nao depende da trajetéria que liga a até b Para interpretar a Equagao 2317 lembrese de que E a forga elétrica por unidade de carga sobre uma carga de teste Quando a integral de linha te E dl positiva a forga elétrica realiza um trabalho positivo sobre uma carga de teste que se desloca de a até b Nesse caso a energia potencial elétrica diminui 4 medida que a carga se desloca portanto a energia potencial elétrica por unidade de carga também diminui logo V menor que V e V V é positiva A Figura 2312a mostra uma carga puntiforme positiva O campo elétrico aponta Figura 2312 Quando vocé se para fora da carga e V q47reor positivo para qualquer distancia finita entre 0 desloca na diregao e no sentido de E ponto e a carga Ao se afastar da carga no mesmo sentido de E vocé se desloca Potencial elétrico Vdiminui 7 quando vocé se desloca na direc4o e para valores menores de V aproximandose da carga no sentido oposto ao de E no sentido oposto a FE V aumenta vocé se desloca para valores mais elevados de V Para a carga negativa puntiforme indicada na Figura 2312b E aponta para dentro da cargae V q4reor Enegativa a Uma carga puntiforme positiva para qualquer distancia finita entre o ponto e a carga Nesse caso quando se apro oy gumenta quando Vdiminui quando xima da carga no mesmo sentido de EF vocé se desloca para valores decrescentes vocé se desloca vocé se desloca mais negativos de V Quando se afasta da carga no sentido oposto ao de FE vocé de fora para de dentro se desloca para valores crescentes menos negativos de V A regra valida para 4 para fora qualquer campo elétrico é ao se mover no mesmo sentido de E vocé se desloca para valores decrescentes de V e movendose em sentido oposto ao de E vocé se desloca para valores crescentes de V E Analogamente uma carga de teste positiva go sofre a agdo de uma forga elétrica no mesmo sentido de E para valores decrescentes de V uma carga de teste negativa sofre a agéo de uma forga elétrica em sentido oposto ao de E para valores cres centes de V Logo uma carga positiva tende a cair de uma regiao de potencial mais elevado para uma de potencial mais baixo Para uma carga negativa ocorre b Uma carga puntiforme negativa o contrario Note que a Equacgao 2317 pode ser reescrita do seguinte modo Vdiminui quando V aumenta quando vocé se desloca vocé se desloca de fora para de dentro a es dentro para fora VYVYy Edl 2318 Fi Essa forma possui um sinal negativo em comparacao a integral na Equacao 2317 E e os limites da integral esto invertidos logo as equagdes 2317 e 2318 sao equi valentes Porém a Equagao 2318 possui uma interpretacao ligeiramente diferente Para mover lentamente uma carga contra uma forga elétrica devemos aplicar uma forga externa por unidade de carga igual a E ou seja uma forga elétrica igual e oposta a forga por unidade de carga EF A Equagao 2318 afirma que V V Vap 0 potencial de a em relagao a b igual ao trabalho realizado sobre a carga pela forca 86 Fisica Ill DADOS MOSTRAM externa para deslocar uma carga unitaria de b até a Essa é a mesma interpretagao alternativa que fizemos depois da Equacao 2313 Potencial elétrico e energia As equacées 2317 e 2318 mostram que a unidade de diferenga de potencial potencial elétrica 1 V igual 4 unidade de campo elétrico 1 NC multiplicada pela unidade de Quando os alunos recebiam distancia 1 m Logo a unidade de campo elétrico pode ser expressa como volt um problema sobre potencial por metro 1 Vm ou entio por 1 NC elétrico e energia potencial elétrica mais de 20 davam uma resposta incorreta 1 Vm voltmetro 1 NC 1 newtoncoulomb Erros comuns Confundir energia potencial Na pratica usase mais volt por metro como unidade do médulo do campo e potencial Energia elétrico potencial elétrica é medida em joules potencial elétrico energia potencial por Elétronvolt unidade de carga e medida O modulo e da carga do elétron pode ser empregado para a definicao de uma unidade de energia muito usada em calculos envolvendo sistemas at6micos ou nu Esquecer as relagoes entre 0 d ticula de carga g se move de um ponto no qual o potencial potencial elétrico V o campo c eares Quan uma par re q P 4 Pi elétrico e a forca elétrica éV ate um ponto no qual o potencial é V a variagdo da energia potencial U da E sempre aponta de regiGes carga dada por de alto V para regiGes de baixo V o sentido da forga Ug Up CVa Vp GVan elétrica sobre uma carga puntiforme q aponta na Quando a carga qg possui médulo e igual ao da carga do elétron 1602 107 MC mesma direcao de E quando a q 0 porém no sentido e a diferenga de potencial é V 1 V a variagdo da energia é dada por oposto quando q 0 U U 1602 X 107 C 1 V 1602 x 10 195 Essa quantidade de energia denominase elétronvolt 1 eV leV 1602 x 1019 Os multiplos meV keV MeV GeV e TeV sao geralmente usados BIO Aplicagao Elétronvolt e ATENGAO Elétronvolts versus volts Lembrese de que o elétronvolt uma unidade radioterapia contra 0 cancer Uma de energia ndo uma unidade de potencial ou de diferenga de potencial maneira de destruir um tumor cancerigeno é direcionar elétrons de alta energia diretamente para ele Cada elétron tem Quando uma particula com carga e se move entre dois pontos que possuem uma energia cinética de 4 a 20 milhoes de uma diferenca de potencial de 1 volt a variacaio da energia potencial igual a eletronvolts ou MeV 1 MeV 10 eV leV d val Itiplo de e di Ne ow transfere sua energia para o tumor através eV Quan 0 a carga possui valor mui iplo de e digamos Ne a variagao de colisées com atomos do tumor Os da energia potencial em elétronvolts é N vezes a diferenga de potencial em volts elétrons nesse intervalo de energia podem Por exemplo quando uma particula alfa que possui carga igual a 2e se desloca penetrar apenas alguns centimetros dentro entre pontos que possuem uma diferenga de potencial igual a 1000 V a variagdo de um paciente 0 que os torna utels para da energia potencial é 21000 eV 2000 eV Para confirmar isso escrevemos 0 tratamento de tumores superficiais como aqueles sobre a pele ou os labios 19 Ug Up qVap 2e 1000 V 2 1602 10 C 1000 V 3204 x 107 J 2000 eV T Embora o elétronvolt tenha sido definido em termos de uma energia potencial podemos usalo para qualquer forma de energia como a energia cinética de uma 4a particula que se move Quando falamos um préton com um milhao de elétron é Sos ay volts queremos dizer que a energia cinética do proton é igual a um milhdo de S Oem 7 elétronvolts 1 MeV que é igual a 10 1602 x 107 J 1602 x 10 8 J0 Ij fr Grande Colisor de Hadrons perto de Genebra na Suiga fornece a um proton uma energia cinética igual a 7 TeV 7 X 10 eV Capitulo 23 Potencial elétrico 87 SOUTER FORCAELETRICA E POT ENC ee CO Um préton carga e 1602 X 107 C percorre uma distan pb leV cia d 050 m ao longo de uma linha reta de um ponto a até um 12 x 10 J Tan Vv 1pl9 1 ae a 1602 x 10 J ponto b no interior de um acelerador linear O campo elétrico é uniforme ao longo dessa linha e possui médulo E 15 X 75 X 10eV 75 MeV 10 Vm 15 X 10 NC no sentido de a para b Determine a a forga sobre 0 proton b 0 trabalho realizado sobre ele pelo c De acordo com a Equacio 2313 a diferenga de potencial é 0 campo elétrico c a diferenga de potencial V Vp trabalho realizado por unidade de carga logo SOLUGAO vay Mee 12 x 1075 a Yb 19 IDENTIFICAR E PREPARAR este problema usa a relagao entre q 1602 X 10 C o campo elétrico e a forga elétrica Além disso usa a relagao 75 X 10 JC 75 X 10V 75 MV entre forca trabalho e diferenga de energia potencial Como o campo elétrico NOs dado simp les determinar a forga elétrica Poderiamos obter esse mesmo resultado de modo muito mais sobre o proton Também é simples calcular 0 trabalho porque Z a oe oe facil recordando que um elétronvolt é igual a um volt multi E é uniforme o que significa que a forca sobre o préton é cons ae plicado pela carga e Uma vez que 0 trabalho realizado é igual a tante Sendo o trabalho explicitado determinamos V V pela 6 ae Equaciio 2313 75 X 10 oY e acarga e a diferenca de potencial é dada por EXECUTAR a a forga possui a mesma dirego e o mesmo sen 75 X 10 eVle 75 x 10 V at Z Z AVALIAR podemos conferir 0 resultado do item c usando a tido do campo elétrico e seu médulo é E Jo 2317 ou 2318 O Angulo ent desl quacao 2317 ou 2318 O angulo entre E e o deslocamento F gE 1602 X 10 C 15 X 107 NC igual a zero portanto a Equacao 2317 fornece 24x 10 N p p p VY VW Ecos dl EdlE dl b A forga é constante e possui a mesma direcdo e o mesmo sen a a tido do deslocamento logo o trabalho realizado sobre o proton é A integral de di de a até b nada mais é do que a distancia d de W 5 Fd 24 X 107 2 N 050 m modo que novamente encontramos 12x10 J V Vp Ed 15 X 10 Vim 050 m 75 X 10 V SAUCES POTENCIAL ELETRICO PRODUZIDO POR DUAS CARGAS PUNTIFORMES occu Um dipolo elétrico é constituido por duas cargas puntiformes AVALIAR vamos confirmar que estes resultados fazem sentido q 12 nCeq 12 nC sendo a distancia entre elas igual Como o ponto a esta mais perto da carga de 12 nC que da carga a 10 cm Figura 2313 Calcule os potenciais nos pontosabec de 12nC 0 potencial em a é negativo O potencial é positivo no ponto b que esta mais perto da carga de 12 nC que da carga de SOLUGAO 12nC Finalmente como 0 ponto c é equidistante das cargas de 12 nC ede 12 nC o potencial nesse ponto é igual a zero O IDENTIFICAR E PREPARAR esse arranjo de cargas oO mesmO potencial também é igual a zero em todos os pontos infinitamente que o do Exemplo 218 no qual calculamos 0 campo elétrico em distantes de ambas as cargas cada ponto por meio de uma soma vetorial Neste problema a A x0 ent ti 1 E lo 218 t incdgnita é ial elétrico V em trés pontos que encontra erase eerie cla e ae eee a orencia sri que é muito mais facil calcular o potencial elétrico uma grandeza es mos ao calcular a soma algébrica como indica a Equagao 2315 calar que o campo elétrico uma grandeza vetorial Adotaremos EXECUTAR no ponto a temos r 0060 me rz 0040 m spew essa simplificagao sempre que possivel logo a Equacao 2315 fornece Figura 2313 Quais sao os potenciais nos pontos v 1 Se 1am 4 1 a bec produzidos por este dipolo elétrico Amen 4teg nr 4E9 c 12 x 10 C 90 X 10 N mC ee 0060 m 12 X 10 90 X 10NmC a 130 cm 130 cm 040 m 1800 NmC 2700 N mC 1800 V 2700 V 900 V b 7 Fazendo um calculo andlogo vocé pode mostrar que no ponto b 1 42 onde r 0040 me ry 0140 m 0 potencial é V 1930 V 40 60 40 e no ponto c onde r rz 0130 m o potencial é V 0 om om om 88 Fisica Ill AUPE EEE POTENCIAL E ENERGIA POT ENC A snunnnuninnnnnnnnnnnnnnnn Calcule a energia potencial associada 4 carga puntiforme de Todos esses valores correspondem a anulacaéo de U e V no 4 nC quando ela é colocada nos pontos a b e c indicados na infinito Figura 2313 AVALIAR note que nenhum trabalho total é realizado sobre a carga de 40 nC quando ela se desloca do ponto c até o infinito SOLUGAO qualquer que seja a trajetoria Em particular tome a trajetéria como a linha reta perpendicular que passa pela metade do seg IDENTIFICAR E PREPARAR para qualquer carga puntiforme g og oe mento que liga as cargas q e gz na Figura 2313 Como indicado na qual o potencial elétrico é V a energia potencial associada é 2 sx no Exemplo 218 Seco 215 o vetor E possui uma diregao U qV Usaremos os valores de V obtidos no Exemplo 234 EXECUTAR nos trés pontos encontramos ortogonal a uma linha reta Portanto a forga sobre a carga de P 40 nC é perpendicular a trajet6ria e o trabalho realizado é sempre Uz qV 40 X 107 C 900 IC 36 X 107 J igual a zero em todas as partes dessa trajet6ria U qV 40 X 10 C 1930 JC 77 X 106 J Ue Vo 0 BAUCUS DETERMINACAO DO POTENCIAL POR INTEGR AG AO Integrando o campo elétrico como na Equagao 2317 determine q q q eA 0 0 potencial a uma distancia r da carga puntiforme q 4mreyr Ameor SOLUGAO AVALIAR nosso resultado esta de acordo com a Equagio 2314 IDENTIFICAR E PREPARAR consideramos 0 ponto ana Equacio e é valido para q positivo ou negativo 23 17 situado auma distancia r e o ponto b a uma distancia infi Figura 2314 Calculo do potencial pela integral do nita da carga Figura 2314 Como de costume escolhemos que ze a 2 a campo E para uma unica carga puntiforme 0 potencial seja igual a zero nos pontos infinitamente distantes da carga q Para um ponto b no infinito EXECUTAR para fazermos a integral podemos escolher qual av quer trajetdria que ligue os pontos a e b A trajetéria mais con arf 5 veniente uma linha reta radial como a indicada na Figura E 2314 de modo que dl é a diregio radial e possui médulo dr a Escrevendo dl fdr a Equacao 2317 fornece ir CO V0OV Edl r 14 4 eta on 4Tegr Aegr BREUPMESEM DESLOCAMENTO ATRAVES DE UMADIFERENCADEPOTENCIAL Nak igura 2315 uma particula de poeira com massa m 50 X 0 qoV I mv qoVs 10 kg 50 wg e carga go 20 nC parte do repouso no ponto ae se desloca em linha reta até 0 ponto b Qual é sua velocidade 240 V2 Vp escalar v no ponto b v m SOLUGAO Calculamos os potenciais usando a Equagao 2315 V q4aegr IDENTIFICAR E PREPARAR somente a forga elétrica conserva V 90 X 10Nm2C2 x tiva atua sobre a particula portanto existe conservacao da ener gia mecanica K U K Uj As energias potenciais U 30X10C 30 X 1072 C sao fornecidas pelos respectivos potenciais V da Equacao 2312 Ave a 0010 m 0020 m Ua GoVa Up GoVp EXECUTAR temos K 0 e Kj 3mv Substituimos esses re 1350 V sultados na equacao da conservagao da energia e explicitando o valor de v encontramos Continua Capitulo 23 Potencial elétrico 89 Continuagdao V 90 X 10N m2 C x AVALIAR nosso resultado faz sentido a velocidade escalar da carga de teste positiva aumenta 4 medida que ela se afasta da 30 X 10C 30 X 107 9 C carga de 30 nC e se aproxima da carga de 30 nC Podemos Aros ae conferir a consisténcia das unidades notando que 1 V 1 JC de modo que o numerador dentro da raiz possui unidades de J 1350 V ou kg ms V Vp 1350 V 1350 V 2700 V Figura 2315 A particula sai do ponto ae se desloca em linha reta até 0 ponto b sua Finalmente aceleracdo nao é constante Particula 220 X 10 C 2700 V 30 nC a pone v 50x 10 ke 46 ms I12 10 10 cm cm cm TESTE SUA COMPREENSAO DA SEGAO 232 Seo potencial elétrico em um dado ponto é igual a zero o campo elétrico nesse ponto tem de ser igual a zero Dica considere o ponto c dos exemplos 234 e 218 I 233 DETERMINACAO DO POTENCIAL ELETRICO Para calcular 0 potencial elétrico de uma distribuigdo de cargas em geral usase um dos dois procedimentos citados a seguir quando conhecemos a distribuigao de cargas podemos usar a Equacdo 2315 ou a 2316 ou se conhecemos como o campo elétrico depende da posicao podemos aplicar a Equacao 2317 definindo como zero 0 potencial em algum ponto conveniente Para certos problemas preci samos fazer uma combinagao desses dois procedimentos Ao estudar esses exemplos compareos aos exemplos relacionados de calculo do campo elétrico na Segao 215 Vocé observara que é mais facil calcular os po tenciais elétricos escalares que os campos elétricos vetoriais A moral da histéria é clara sempre que possivel solucione os problemas usando 0 método da energia usando o potencial elétrico e a energia potencial elétrica em vez do método da dinamica usando os campos elétricos e as forgas elétricas ESTRATEGIA PARA A SOLUCAO DE PROBLEMAS 231 DETERMINAGAO DO POTENCIALELETRICO IDENTIFICAR os conceitos relevantes lembrese de que 0 po para calcular a diferenga de potencial entre dois pontos ae tencial elétrico é a energia potencial por unidade de carga b Quando apropriado use sua liberdade de definir como PREPARAR o problema por meio dos seguintes passos zero 0 potencial V em algum ponto conveniente e escolha 1 Faga um desenho indicando claramente a localizacao das esse local como 0 p onto b Para cargas puntiformes geral cargas que podem ser puntiformes ou uma distribuicao mente esse ponto esta no infinito Para outros tipos de dis continua de cargas e a escolha dos eixos de coordenadas tribuigdo de cargas principalmente aquelas que se 2 Indique no desenho a posicdo do ponto em que vocé deseja estendem até o infinito pode ser necessdrio definir V calcular o potencial elétrico V Algumas vezes essa posicao como zero a uma certa distancia finita da distribuigdo de sera arbitréria digamos um ponto a uma distancia r do cargas Entao o potencial em qualquer outro ponto diga centro de uma esfera carregada mos 0 ponto a pode ser calculado a partir da Equacao 2317 ou a 2318 com V 0 EXECUTAR a solugdo da ee forma 3 Embora o potencial V seja uma grandeza escalar pode ser 1 Para encontrar 0 potencial produzido por um conjunto de as Soap Senn omre een Cncanee cer ckiGm or naan necessario usar os componentes dos vetores E e dl quando are vocé aplicar a Equagao 2317 ou a 2318 para calcular V problema fornece uma distribuic4o continua de cargas des cubra um modo de dividila em elementos infinitesimais e AVALIAR sua resposta confira se o resultado obtido esta a seguir use a Equacao 2316 Faca a integral empregando dentro das expectativas Se o resultado fornecer V em fun os limites apropriados para incluir completamente a distri gao da posigdo faga um grafico dessa funcao para verificar buicdo de cargas se isso faz sentido Se 0 campo elétrico for conhecido vocé 2 Se o campo elétrico for conhecido ou se vocé for capaz de podera fazer um teste qualitativo do resultado de V veri calculalo usando os métodos do Capitulo 21 ou do 22 pode ficando se ele diminui quando vocé se desloca no mesmo ser mais facil aplicar a Equagao 2317 ou a Equacao 2318 sentido de E 90 Fisica Ill ASSL UMAESFERA CONDUTORA CARRE ADA i snntnnnnnnnnnnnnn Uma esfera condutora maciga sem buracos possui raio R e carga 1 gq total q Determine 0 potencial em todos os pontos do exterior e Airey 7 do interior da esfera O potencial na superficie da esfera é dado por Voup q4areoR SOLUGAO No interior da esfera o campo elétrico E é igual a zero em todos IDENTIFICAR E PREPARAR usamos a lei de Gauss no Exemplo 0S pontos Portanto se uma carga de teste se deslocasse de um 225 Seco 224 para determinar 0 campo elétrico em todos os ponto para outro no interior da esfera nenhum trabalho seria rea pontos dessa distribuicdo de carga Podemos usar esse resultado lizado sobre essa carga Isto significa que o potencial constante para determinar o potencial em todos os pontos no interior da esfera e seu valor é igual ao EXECUTAR pelo Exemplo 225 em todos os pontos do exterior potencial na superficie da esfera ou seja g47regR da esfera 0 campo elétrico 6 0 mesmo que 0 produzido remo AVALIAR a Figura 2316 mostra 0 campo elétrico e o potencial vendose a esfera e colocandose em seu centro uma carga pun de uma carga positiva q Nesse caso 0 campo elétrico aponta ra tiforme g Consideramos V 0 no infinito como no caso deuma dialmente para fora da esfera A medida que vocé se afasta da es carga puntiforme Portanto 0 potencial produzido pela esfera a fera no mesmo sentido de EF V diminui como era de se esperar uma distancia r de seu centro é igual ao potencial produzido por uma carga puntiforme g situada no centro da esfera Figura 2316 O médulo do campo elétrico E e o potencial V para pontos no interior e no exterior de um condutor esférico com carga positiva Condutor carregado NN R R Grafico do campo elétrico Grafico do potencial amak f v4 0 4ieq R pe 4 K yae4 Atrey r JL 4ireg r E 0 O r O r lonizagao e efeito corona Os resultados do Exemplo 238 acarretam varias consequéncias praticas Uma delas relacionase ao potencial maximo atingido por um condutor no ar Esse po tencial é limitado pelo médulo do campo elétrico aproximadamente igual a 3 X 10 Vm porque as moléculas do ar se ionizam e 0 ar se torna condutor Considere uma carga positiva g Comparando as express6es obtidas no Exemplo 238 para o potencial V o médulo do campo elétrico E sobre a superficie de uma esfera condutora notamos que Vey ExupR Logo quando E4 representar o modulo do campo elétrico acima do qual o ar se torna condutor conhecido como rigidez dielétrica do ar 0 potencial maximo V4 que um condutor esférico pode atingir sera dado por Vinax RE max Para um condutor esférico com raio igual a 1 cm no ar Vingx 107 m 3 X 10 Vm 30000 V Nenhuma esfera pode ser carregada para atingir um po tencial superior a 30000 V no ar quando tentamos elevar esse potencial acrescen tando mais cargas o ar circundante tornase ionizado e condutor e a carga extra se escoa para 0 ar Para atingir potenciais mais elevados em maquinas de alta voltagem é neces sario que a esfera possua um raio grande como no caso da esfera terminal de um Capitulo 23 Potencial elétrico 91 gerador van de Graaff veja a Figura 2226 e a fotografia que abre 0 Capitulo 22 Figura 2317 O mastro metdlico no Por exemplo se a esfera do terminal do gerador possui raio R 2 m ela ter4é um topo do Empire State Building atua potencial maximo Ving 2m 3 X 10 Vm 6 X 10 V 6 MV como um pararaios sendo atingido por raios mais de 500 vezes por ano O resultado do Exemplo 238 também explica 0 efeito produzido por um con dutor carregado com um raio de curvatura pequeno como um ponto agudo na extremidade de um cabo condutor fino Como o potencial maximo é proporcional ao raio até mesmo um potencial relativamente pequeno se aplicado em uma extre midade aguda situada no ar gera um campo elétrico suficientemente elevado capaz de produzir ionizagao nas vizinhangas do ar tornandoo condutor Esse fendmeno fi denominase efeito corona e produz uma corrente resultante e uma luminosidade inerente visivel em uma sala escura As impressoras a laser e as maquinas copia Fay doras usam 0 efeito corona em fios finos para carregar o tambor de imagem veja A a Figura 212 Um condutor com raio maior é usado em situagdes em que importante evitar p a corona Um exemplo é a extremidade arredondada de um pararaios Figura P 2317 Caso ocorra excesso de carga na atmosfera como durante as tempesta 5 a des uma carga substancial de sinal oposto pode se formar nessa extremidade arredondada Consequentemente as descargas produzidas por raios tendem a ser direcionadas para a extremidade do cabo e nao para outras estruturas vizinhas que poderiam ser danificadas Um cabo condutor que liga o pararaios ao solo permite que a carga adquirida seja dissipada sem causar danos Um pararaios com uma extremidade pontiaguda acarretaria menor acimulo de carga e portanto seria menos eficaz MEXEIIRREED PLACAS PARALELAS CARREGADAS COM CARGAS OPOSTAS Determine o potencial em qualquer altura y entre as placas pa entre Ee V vale somente para a geometria plana aqui descrita ralelas carregadas com cargas opostas discutidas na Secao 231 Ela ndo vale para situagdes nas quais o campo elétrico nao é Figura 2318 uniforme como para esferas ou cilindros concéntricos AVALIAR nosso resultado indica que V 0 na placa inferior SOLUCAO em y 0 Isso esta de acordo com a nossa escolha de que U ae goV 0 para uma carga de teste colocada na placa inferior IDENTIFICAR E PREPARAR discutimos essa situagao na Secao 231 Pela Equacao 235 sabemos que a energia potencial elé ATENCAO Potencial zero é arbitraério Vocé poderia trica U para uma carga de teste gg é U qoEy Consideramos pensar que se um corpo apresenta potencial igual a zero ele y 0e U 0 na placa inferior Usamos a Equagao 2312 necessariamente possui carga liquida igual a zero Mas isso U qoV para determinar 0 potencial elétrico Vem fungao de y no verdade Como exemplo a placa na posicado y 0 na EXECUTAR 0 potencial Vy na coordenada y é a energia poten Figura 2318 possui V 0 mas tem uma carga por unidade de cial por unidade de carga area igual a o Lembrese de que nao existe nenhum local especial em que o potencial seja igual a zero podemos definir Vy UO doy Ey 0 potencial igual a zero no local que desejarmos 0 90 Figura 2318 As placas paralelas carregadas O potencial diminui 4 medida que vocé se desloca da placa infe indicadas na Figura 232 rior para a superior no mesmo sentido de ENo ponto a em que y ydeVy V temos a VVEd e pot le E 40 d em que V 0 potencial da placa positiva em relacao a placa ne if gativa Ou seja o campo elétrico é igual a diferenca de potencial b entre as placas dividida pela distancia entre elas Para uma dada O diferenga de potencial V quanto menor a distancia d entre as OE duas placas maior o médulo E do campo elétrico Essa relagao 92 Fisica Ill ASU SALE UM FIO INFINITO CARREGADO OU UM CILINDRO CONDUTOR CARREGADO Calcule o potencial a uma distancia r de um fio muito longo car AVALIAR de acordo com o resultado obtido se A for positivo regado com uma densidade linear de carga carga por unidade ento V diminuird 4 medida que r aumentar Isso corresponde as de comprimento igual a A expectativas V diminui 4 medida que nos deslocamos no sentido de E SOLUGAO Pelo Exemplo 226 a express4o para E com a qual iniciamos IDENTIFICAR E PREPARAR verificamos nos exemplos 2119 mbém se aplica no exterior de um longo cilindro condutor x x yt carregado com carga por unidade de comprimento igual a A Sec4o 215 e 226 Secdo 224 que o campo elétrico a uma dis 4 A Figura 2319b Logo o resultado obtido aqui também fornece tancia radial r de um fio carregado muito longo Figura 2319a a oye aoe 0 potencial elétrico desse cilindro porém considerando apenas possui um tinico componente radial dado por E A27egr A Lone ve Le 3 valores de r a distancia a partir do eixo do cilindro iguais ou seguir podemos integrar E conforme a Equagao 2317 para de ws maiores que o raio R do cilindro Se escolhermos rp como 0 raio terminar o potencial R do cilind tao V 0 dor Rl 1 EXECUTAR visto que o campo elétrico possui somente um com ct ek entag quando 1S NS 1080 para quarquer ponente radial o produto escalar E dl é igual a Edr Logo Ponto 1 X temos a partir da Equacao 2317 o potencial em qualquer ponto a em Xr R relacdo a qualquer outro ponto b situado a distancias radiais r v 2rey In r e ry do fio é dado por b b rh No interior do cilindro E 0 e V possui o mesmo valor zero 5 Xv dr Xr y ye uy VY VY Edl Edr zIn existente na superficie do cilindro a a 2Teq J 279 a Figura 2319 Campo elétrico fora de a um fio muito longo Se considerarmos V 0 em um ponto b no infinito verifica carregado positivamente e de b um cilindro muito longo en rarer carregado positivamente remos que V se torna infinito para qualquer distancia finita rg do fio V A27r9Inr 0 Logo esse ndo éum modo a b util para definir V para este problema Essa dificuldade ocorre E ft porque a propria distribuicgao de cargas se estende até o infinito Em vez disso como foi recomendado na Estratégia para a solu r cao de problemas 231 vamos considerar V 0 em um ponto b situado a uma distancia radial arbitraria porém finita ro Entao 0 potencial V V em um ponto a a uma distancia radial r é dado por V 0 A27re9In79r ou A N vmn2 27é9 1 SASUIREUCSAUE UM ANEL CARREGADO nina Uma carga elétrica Q esta distribuida uniformemente em torno um ponto situado a uma distancia x de uma carga puntiforme Q de um fino anel de raio a Figura 2320 Calcule o potencial Quando estamos muito longe de um anel carregado seu poten em um ponto P situado sobre 0 eixo do anel a uma distancia x cial elétrico tornase semelhante ao de uma carga puntiforme do centro do anel Obtivemos uma conclusdo semelhante para o campo elétrico produzido por um anel no Exemplo 219 Sec4o 215 portanto SOLUGAO também podemos determinar V ao longo desse eixo integrando eg E dl como na Equagao 2317 IDENTIFICAR E PREPARAR dividimos 0 anel em segmentos in finitesimais e usamos a Equacao 2316 para determinar V Todas Figura 2320 Todas as cargas em um anel carregado as cargas sobre 0 anel ou seja todos os elementos da distribuigao com carga Qestao a uma mesma distancia r de um de cargas estao a uma mesma distancia r de um ponto P ponto P situado sobre 0 eixo do anel EXECUTAR a Figura 2320 mostra que a distancia de cada ele mento de carga dg sobre 0 anel até 0 ponto Pé r Vx a sos Logo podemos tirar o fator 1r da integral na Equagao 2316 e KN ee ee a a 8 P in A4ire9 Ta 4 4ie9 x2 2 as Q AVALIAR quando x é muito maior que a a expressfo anterior de V tornase V Q7regx que corresponde ao potencial em Capitulo 23 Potencial elétrico 93 ASU EAICE POTENCIAL DE UM FIO CARREGADO nnn Uma carga elétrica Q esta distribuida uniformemente ao longo de Vocé pode procurar essa integral em uma tabela O resultado é um fio retilineo de comprimento 2a situado sobre 0 eixo y entre os pontos y ae y a Figura 2321 Calcule o potencial V 1 Q I Va x soa 11 em um ponto P ao longo do eixo x situado a uma distancia x da 47ry 2a Vetrea origem ee AVALIAR podemos conferir esse resultado considerando que x se SOLUGAO aproxima do infinito Nesse limite 0 ponto P esta infinitamente IDENTIFICAR E PREPARAR esta é a mesma situagiio descrita istante de toda a carga portanto esperamos que V tenda a zero no Exemplo 2110 Sego 215 na qual determinamos uma ex convidamos vocé a provar esse resultado pressdo para o campo elétrico E em um ponto arbitrario sobre o Pelo Exemplo 2110 conhecemos o campo elétrico em todos os eixo x Poderfamos integrar sobre a distribuico de cargas usando Pontos ao longo do C1XO x Convidamos vocé a usar essa informa a Equacio 2316 Diferentemente da situagio no Exemplo 2311 40 para encontrar V integrando E conforme a Equagao 2317 cada elemento de carga dQ esta localizado a uma distancia di Figura 2321 Nossa esquematizacio deste problema ferente do ponto P portanto a integracAo sera mais trabalhosa EXECUTAR como no Exemplo 2110 o elemento de carga dQ y correspondente a um elemento de comprimento dy é dado por a dQ Q2ady A distanciaentre dQ eo ponto Péiguala Vx2 y2 e o potencial infinitesimal dV no ponto P é dado por dy dQ ara w 12 4 DN Amey 2a y 4 52 6 SoL P x x Para obtermos o potencial no ponto P produzido pela barra inteira integramos dV ao longo do comprimento da barra de Q yaatéya y 12 a a Ame 2a J gVx2 yr TESTE SUA COMPREENSAO DA SEGAO 233 Se 0 campo elétrico de um dado ponto for igual a zero 0 potencial elétrico nesse ponto também sera igual a zero Dica consi dere 0 centro do anel nos exemplos 2311 e 219 I 234 SUPERFICIES EQUIPOTENCIAIS As linhas de campo Secao 216 auxiliam na visualizagao de um campo elétrico De modo andlogo os potenciais em diversos pontos de um campo elétrico podem ser representados graficamente por superficies equipotenciais Elas empregam a mesma ideia basica de mapas topograficos como os usados por excursionistas e alpinistas Figura 2322 Em um mapa topografico as linhas de contorno ligam pontos com a mesma altura Poderia ser desenhada qualquer quantidade dessas linhas porém é suficiente mostrar algumas linhas de contorno para indicar alturas igualmente espagadas Quando um corpo de massa m se desloca ao longo de uma linha de contorno a energia potencial gravitacional mgy nao varia porque a altura permanece constante ao longo dessa linha Logo uma linha de contorno em um mapa topografico é uma linha de energia potencial gravitacional constante As linhas de contorno sao agrupadas com distancias menores entre elas em regides nas quais ocorrem variag6es de altura muito grandes em uma mesma distancia horizontal a distancia entre essas linhas é maior quando o terreno apresenta variacao de altura pequena Quando uma bola rola montanha abaixo ela sofre maior forga gravitacional para baixo nos locais onde as linhas de contorno estao agrupadas com distancias menores entre elas Por analogia as linhas de contorno em um mapa topografico uma superficie equipotencial é uma superficie em trés dimens6es sobre a qual 0 potencial elétrico V permanece constante em todos os seus pontos Quando uma carga de teste go se 94 Física III desloca de um ponto a outro sobre essa superfície a energia potencial elétrica q0V permanece constante Em uma região onde existe um campo elétrico podemos construir uma superfície equipotencial em qualquer local Nos diagramas costuma ser suficiente mostrar algumas superfícies equipotenciais mais representativas em geral igualmente espaçadas para indicar que a diferença de potencial entre duas superfícies adjacentes é constante Nenhum ponto pode possuir dois potenciais dife rentes portanto as superfícies equipotenciais não podem se cruzar nem se tangenciar Superfícies equipotenciais e linhas de campo Como a energia potencial não varia quando uma carga de teste se desloca ao longo de uma superfície equipotencial o campo elétrico não pode realizar trabalho sobre essa carga Portanto deve ser perpendicular à superfície em todos os seus pontos de modo que a força elétrica q0 seja sempre perpendicular ao desloca mento de uma carga que se move sobre a superfície As linhas de campo elétrico e as superfícies equipotenciais são sempre mutuamente perpendiculares Em geral uma linha de campo é uma curva e uma superfície equipotencial é uma super fície curva No caso particular de um campo elétrico uniforme para o qual as linhas de campo são retas paralelas e igualmente espaçadas as superfícies equipotenciais são planos perpendiculares a essas retas A Figura 2323 mostra diversos arranjos de cargas As linhas de campo elétrico estão situadas no plano das cargas essas linhas cortam as obtidas pela interseção das superfícies equipotenciais com o plano da página Na realidade as superfícies Figura 2322 As linhas de contorno em um mapa topográfico são curvas que ligam pontos com a mesma altura e portanto com energia potencial gravitacional constante Figura 2323 Seções retas das superfícies equipotenciais linhas azuis e das linhas de campo elétrico linhas vermelhas para conjuntos de cargas puntiformes A diferença de potencial entre duas superfícies adjacentes é constante Compare estes diagramas com os da Figura 2128 que indicavam somente as linhas do campo elétrico V 70 V V 50 V V 30 V V 50 V V 70 V V 70 V V 50 V V 30 V V 70 V V 50 V V 30 V V 0 V V 30 V c Duas cargas positivas iguais Seções retas das superfícies equipotenciais Linhas de campo elétrico b Um dipolo elétrico a Uma única carga positiva BookSEARSVol3indb 94 101115 657 PM Capitulo 23 Potencial elétrico 95 equipotenciais sao tridimensionais Em cada ponto de intersecao entre uma linha de campo elétrico e uma equipotencial as duas curvas sao perpendiculares Na Figura 2323 as superficies equipotenciais foram desenhadas de modo que mantenham constante a diferenga de potencial entre superficies adjacentes Em regides nas quais 0 médulo de Eé grande as superficies equipotenciais ficam agrupadas mais compactamente porque o campo realiza um trabalho relativamente grande sobre um deslocamento relativamente pequeno de uma carga de teste Esse comportamento ocorre nos pontos proximos da carga puntiforme da Figura 2323a ou entre as duas cargas puntiformes da Figura 2323b observe que nessas regides as linhas de campo também estao agrupadas mais compactamente Isso é andélogo ao fato de a forga gravitacional ser maior nas regides do mapa topografico nas quais 0 espagamento entre as linhas de contorno é muito pequeno Reciprocamente nas regides em que 0 campo elétrico é fraco o espagamento entre as superficies equi potenciais é maior esse comportamento ocorre em pontos muito distantes da carga da Figura 2323a do lado esquerdo da carga negativa ou do lado direito da carga positiva da Figura 2323b ou em pontos muito afastados das duas cargas indicadas na Figura 2323c Pode parecer que duas superficies equipotenciais se cruzam no centro da Figura 2323c violando a regra de que isso nunca pode ocorrer Na rea lidade tratase de uma Unica superficie equipotencial em forma de um algarismo 8 desenhado horizontalmente ATENGAO E nio precisa ser constante sobre uma superficie equipotencial Sobre uma dada superficie equipotencial 0 potencial V possui o mesmo valor em todos os seus pontos porém geralmente o médulo E do campo elétrico apresenta valores diferentes sobre esses pontos Por exemplo ao longo da superficie equipotencial indicada pelo distico V 30 V na Figura 2323b o médulo E no lado esquerdo da carga negativa possui valor menor que 0 médulo do campo entre as duas cargas Na superficie equipotencial que forma uma curva em forma de 8 na parte central da Figura 2323c E 0 exatamente no ponto central do segmento que une as duas cargas em qualquer outro ponto dessa superficie E é diferente de zero Condutores e equipotenciais Vejamos aqui um fato importante sobre superficies equipotenciais quando to Figura 2324 Quando todas as das as cargas est4o em repouso a superficie de um condutor é sempre umaCargas estao em repouso a superficie equipotencial Uma vez que o campo elétrico E deve ser sempre per SUPerficie de um condutor sempre ys uma superficie equipotencial As pendicular a superficie equipotencial para provar essa afirmacao basta demonstrar ji nas de ca mpo elétrico penetram que quando todas as cargas estéo em repouso 0 campo elétrico nos pontos perpendicularmente na superficie préximos da superficie externa de um condutor deve ser sempre perpendicular desse condutor em todos os pontos da superficie Figura 2324 Sabemos que E 0em todos os pontos no interior de um condutor caso contrario ocorreria um movimento de cargas Em particular em qualquer ponto interno muito proximo da superficie o componente de E tangente a ela é igual a zero Portanto o componente de E tan LEDS a gente a superficie pelo lado externo também zero Se nao fosse igual a zero uma LX SEROT carga poderia se deslocar ao longo de uma trajetoria retangular parcialmente dentro ERS e parcialmente fora da superficie Figura 2325 retornando ao ponto de partida Hae gett com um trabalho resultante realizado pelo campo sobre a carga Isso contraria a AST natureza conservativa de um campo eletrostatico concluindose que 0 componente SFE de E tangente 4 superficie em pontos externos sobre a superficie deve ser igual a a zero Logo Eé perpendicular a superficie em todos os seus pontos 0 que prova nossa afirmagao Também é fato que quando todas as cargas estao em repouso todo 0 volume E de um condutor sélido possui 0 mesmo potencial A Equacio 2317 indica que Seces retas das superficies a diferenga de potencial entre dois pontos a e b no interior do volume do condutor equipotenciais solido V Vp igual a integral de linha J PEdl do campo elétrico dea parab Linhas de campo elétrico Como E 0 em todos os pontos no interior do condutor a integral certamente é igual a zero para quaisquer dois pontos ae b Por isso 0 potencial o mesmo para 96 Fisica Ill Figura 2325 Em todos os pontos da quaisquer dois pontos no interior do volume do condutor sdlido Descrevemos isto superficie de um condutor o campo dizendo que o volume s6lido do condutor é um volume equipotencial elétrico deve ser perpendicular a a Ba Finalmente agora podemos demonstrar um teorema que citamos sem provar na superficie Se E tivesse um oe componente tangencial um trabalho Segao 225 O teorema diz em equilibrio eletrostatico se um condutor possui uma resultante seria realizado sobre cavidade e se nao existe nenhuma carga em seu interior entéo nao pode existir uma carga de teste ao deslocélaao carga sobre qualquer ponto da superficie da cavidade Isso significa que se vocé longo da trajetéria retangular pos wt esta no interior de uma caixa condutora pode tocar com seguranga qualquer ponto indicada fazendoa retornar ao ponto de partida o que é da parte interna das paredes da caixa sem levar choque Para demonstrar esse teo impossivel porque a forga elétrica rema inicialmente vamos provar que todos os pontos no interior de uma cavidade conservativa possuem o mesmo potencial Na Figura 2326 a superficie condutora A da cavidade Um campo elétrico impossivel é uma superficie equipotencial como demonstramos anteriormente Suponha que Se um campo elétrico no exterior a um 0 ponto P no interior da cavidade possua um potencial diferente entéo podemos condutor préximo de sua superficie tivesse es construir uma superficie equipotencial B diferente passando pelo ponto P um componente tangencial E uma carga a oa poderia se mover de forma ciclica com 0 Considere agora uma superficie gaussiana indicada na Figura 2326 entre as trabalho resultante realizado duas superficies equipotenciais mencionadas Em virtude da relagao entre E e as 4 E equipotenciais conclufmos que 0 campo elétrico deve apontar de A para B ou de of VA B para A dependendo de qual superficie possua o maior valor do potencial Em acuo E Ej qualquer um desses casos o fluxo através da superficie gaussiana certamente nao igual a zero Entao pela lei de Gauss concluimos que a carga no interior da su perficie gaussiana nao seria zero Isso contradiz a hipstese inicial de que nao existe nenhuma carga no interior da cavidade Portanto 0 potencial no ponto P ndo pode ser diferente do potencial na parede da cavidade Todos os pontos da regiao ocupada pela cavidade devem portanto possuir 0 mesmo potencial Porém para que isso seja verdade o campo elétrico deve ser Figura 2326 Uma cavidade em um igual a zero em todos os pontos no interior da cavidade Finalmente a lei de condutor Quando a cavidade nao Gauss mostra que o campo elétrico na superficie de um condutor é proporcional a contém nenhuma carga cada ponto densidade superficial de carga o no ponto considerado Portanto concluimos que dela Possul mesmo potencial o a densidade superficial de carga sobre todos os pontos da parede da cavidade é campo elétrico é zero no interior da 1 A feit ird deiad vs licad cavidade e nio existe nenhuma igual a zero A prova feita a partir dessa cadeia de raciocinio parece ser complicada carga em sua superficie porém merece um estudo cuidadoso Segao reta da superficie 7 equipotencial que passa por P ATENCAO Superficies equipotenciais versus superficies gaussianas Nao confunda superficie equipotencial com a superficie gaussiana que introduzimos no Capitulo 22 Superficie Uma superficie gaussiana s6 é relevante quando estamos usando a lei de Gauss e podemos gaussiana ys 9 seco reta escolher qualquer superficie gaussiana que seja conveniente Contudo nao temos liberdade Superficie para escolher a forma de uma superficie equipotencial pois sua forma é determinada pela da cavidade distribuicdo de cargas TESTE SUA COMPREENSAO DA SEGAO 234 Os formatos das superficies equipoten ondutor ciais na Figura 2323 sofreriam variagao caso o sinal de cada carga fosse invertido I g g 235 GRADIENTE DE POTENCIAL O campo elétrico e 0 potencial sdo intimamente relacionados A Equacao 2317 reescrita a seguir expressa um aspecto dessa relacao b Vi VYy Edl a 4 Quando conhecemos E em diversos pontos podemos usar essa equacao para cal cular uma diferenga de potencial Nesta segdo mostramos como inverter essa ope racao quando se conhece a diferenca de potencial em diversos pontos é possivel aplicar essa equacao para calcular E Considerando V uma fungao das coordenadas x y z de um ponto do espacgo mostraremos que E esta relacionado diretamente com as derivadas parciais de V em relacao a x y e Z Capitulo 23 Potencial elétrico 97 Na Equagao 2317 V V 0 potencial de a em relagao ao ponto b ou seja a variacao do potencial quando um ponto se desloca de b até a Podemos escrever a b v av av b a em que dV é uma variagao infinitesimal do potencial que acompanha um elemento da trajetoria dl de b até a Comparando com a Equagao 2317 obtemos b b dV Edl a a Essas duas integrais devem possuir 0 mesmo valor para qualquer par de limites a e b para que isso seja verdade os integrandos devem ser iguais Logo para qualquer deslocamento infinitesimal dl dV Edl Para interpretar essa expressao escrevemos Eedl em fungao de seus respecti vos componentes F E fEy kEe dl i dx jfdy kdz Obtemos entao dV Edx Eydy Edz Suponha que o deslocamento seja paralelo ao eixo x logo dy dz 0 Entao dV Edx ou E dVdx constantes M que os indices servem para salientar que somente x esta variando na derivada lembrese de que V é fungao de x y e z Mas isso exatamente a definigao da derivada parcial 0Vdx Os componentes y e z de E sao relacionados de modo analogo com as derivadas parciais correspondentes de V portanto temos Componentes do jw Cada componente do campo elétrico campoelétrico gy oo QV aV em funcio E Ey en 2319 do potencial ons ond sno we é igual a respectiva derivada parcial da funciio do potencial elétrico V com sinal oposto Essas equagOes sao consistentes com as unidades de Vm do campo elétrico Podemos escrever E em termos dos vetores unitarios do seguinte modo Vetor do campo Campo elétrico elétricoemfuncio OV dV adv ial Ei j k 2320 do potencial ax J ay az Derivadas parciais da fungiio do potencial elétrico V A seguinte operagaéo denominase gradiente da funcao f 0 0 a 0 Vf i j k f ax ay a 2321 O operador designado pelo simbolo V denominase grad ou del Portanto em notacao vetorial escrevemos EVYvV 2322 98 Fisica Il A equagao anterior pode ser lida como Eéo gradiente de V com sinal oposto ou entio E é igual a menos grad de V A grandeza VV denominase gradiente de potencial Em cada ponto o gradiente de potencial VV aponta no sentido para o qual V cresce mais rapidamente com a variagao da posiao Portanto em cada ponto a diregao e o sentido de EVV correspondem a direg4o e ao sentido em que V decresce mais rapidamente sendo sempre perpendicular a superficie equipotencial que passa no ponto considerado Isso confirma a observagao feita na Secao 232 segundo a qual quando nos deslocamos no sentido do campo elétrico 0 potencial elétrico diminui A Equacao 2322 nao depende da escolha particular do ponto para o qual V é igual a zero Se mudassemos o valor desse ponto zero 0 efeito seria fazer V variar pelo mesmo valor constante e assim as derivadas de V forneceriam sempre 0 mesmo valor BIO Aplicagao Gradiente de Quando E possui uma diregao radial Eem relagdéo a um ponto ou a um eixo e potencial através da membrana are 2 ar celular O interior de uma célulahumana 8 distancia até o ponto ou até o eixo a relagdéo correspondente a Equacao 2319 possui um potencial elétrico V inferior ao dada por exterior A diferenca de potencial quando a célula esta inativa é igual a cerca de aVv 70 mV em neurénios e cerca de E campo elétrico radial 2323 95 mV em células do musculo or dep cet Glavecpente co hoon De modo geral podemos determinar 0 campo elétrico produzido por uma distri para o exterior da membrana celulare um buigao de cargas usando qualquer um dos dois métodos diretamente somando cada do campo eltrico VVqueaponta campo E gerado pelas cargas individuais puntiformes ou primeiro determinando do exterior para o interior Este campo 0 potencial e depois calculando seu gradiente para achar o campo elétrico O se afeta 0 fluxo de ions para dentro para gundo método costuma ser mais facil porque o potencial é uma grandeza escalar fora da célula através de canais especiais a Z na membrana exigindo na pior das hip6teses a integragao de uma fungao escalar O campo elé trico uma grandeza vetorial exigindo a determinacgdo de cada componente para Calcio Ca cada elemento de carga e a integrag4o separada para cada componente Portanto See A deixando de lado sua interpretacdo fundamental 0 potencial fornece uma técnica de calculo util para as grandezas de campo A seguir forneceremos dois exemplos FF nos quais o conhecimento de V é usado para a determinacdo do campo elétrico y se EEEEN Enfatizamos mais uma vez que quando conhecemos Eem fungao da posicao oe eee podemos usar a Equacao 2317 ou a 2318 para calcular Ve quando conhecemos 4 ye Vem fungao da posiao podemos aplicar as equagdes 2319 2320 ou 2323 para 2p o calcular EF A obtencao de V a partir de E exige integracdo e a obtendo de Ea partir de V exige o calculo de derivadas BSIIEERED POTENCIAL CAMPO ELETRICO DE UMACARGA PUNTIFORME Pela Equacgao 2314 o potencial de uma carga puntiforme ga AVALIAR nosso resultado esta de acordo com a Equacao 217 uma distancia radial r é dado por V q47regr Calcule 0 vetor Uma abordagem alternativa consiste em ignorar a simetria radial do campo elétrico a partir dessa expressao de V escrever a distancia radial como r Vx2 y2 22 e calcular as derivadas de V em relacao a x y e z como na Equacao 2320 SOLUGAO Obtemos eee a aa se problema usa a rhage entre py 4 1 q 1 qx 0 potencial eletrico em fungao da posigao e o vetor do campo TFN OT ee IL FO SSTETEHE a FL elétrico Por simetria 0 campo elétrico poset somente um com Ox ax 4ar9 x yore Arr9 x y oy ponente radial E Logo usamos a Equagao 2323 para determinar qx esse componente An or EXECUTAR pela Equacao 2323 av a lq l oq e analogamente Ep ar 2 1 Atreg 7 av qy av qz portanto o vetor do campo elétrico é dado por ey Amegr a die gr E 7E i 4 Pela Equacao 2320 A4ire9 r Continua Capitulo 23 Potencial elétrico 99 Continuagdao Este método fornece 0 mesmo resultado mas requer um pouco A qx 4 q qz Et 33 k mais de esforgo Fica claro que sempre que possivel é melhor 4ieor A4meor 4ieor ee explorar a simetria da distribuic4o de cargas 1 1 svi ta 1 oq 4ire9 r2 r Arey 12 BAUIPESALE POTENCIAL E CAMPO ELETRICO DE UM ANEL CARREGADO oo csssmnmnnnnsnnnnn No Exemplo 2311 Segao 233 vimos que paraumanel de raio campo elétrico em um ponto nesse eixo Pela simetria da distri ae carga total Q o potencial em um ponto P ao longo do eixo buicdo de carga 0 campo elétrico ao longo do eixo de simetria do anel e situado a uma distancia x do centro do anel é dado por x do anel pode ter somente um componente x que pode ser 1 0 determinado usando a primeira das equacGes 2319 Vv EXECUTAR o componente x do campo elétrico é 4teg Vx a z wv sil Qx Determine 0 campo elétrico no ponto P ax Atreg x a 32 SOLUGAO AVALIAR confirmase portanto o resultado obtido no Exemplo IDENTIFICAR E PREPARAR a Figura 2320 mostra a situacao 219 Temos V em fungao de x ao longo do eixo x e desejamos obter 0 ATENGAO Nao use expressées quando elas nao se aplicam Neste exemplo V nao é uma fungao de y nem de z no eixo do anel portanto dVdy dVdz Ne BE E 0 Contudo nao seria certo concluir que isso é verdadeiro em todos os pontos A raz4o é que as express6es obtidas para V e E valem somente para pontos sobre o eixo do anel Caso soubéssemos a expressao de V valida para todos os pontos do espaco poderiamos usala para determinar EF em qualquer ponto mediante a Equacao 2319 TESTE SUA COMPREENSAO DA SEGAO 235 Em determinada regiao do espago 0 po tencial é dado por V A Bx Cy Dxy em que A B Ce D sao constantes positivas Qual das seguintes afirmag6es sobre o campo elétrico E nessa regiao do espaco esta cor reta Pode haver mais de uma resposta correta i Aumentar o valor de A aumentara o valor de E em todos os pontos ii Aumentar o valor de A diminuira 0 valor de E em todos os pontos iii E nao possui nenhum componente z iv o campo elétrico é igual a zero na origem x 0 y 0z 01 Energia potencial elétrica a forca elétrica produ W U Up 232 q 0 1 4 zida por qualquer conjunto de cargas é uma forca 1 44 U Ate ry 7 1 a T3 conservativa O trabalho W realizado pela forga elé U trey a 239 4 qo trica sobre uma particula carregada que se desloca duas cargas puntiformes 7 em um campo elétrico pode ser representado por A uma fungao de energia potencial U 2 m7 1 2 B fi ry q A energia potencial para duas cargas puntiformesg U trea r Sr i 3 qo depende da distancia r que as separa A energia msg Zi 2 g potencial para uma carga gq no campo elétrico de um 4 Ss Gi 2310 the conjunto de cargas puntiformes q1 92 q3 depende 4ireg TT da distancia de qo até cada uma das outras cargas q na presenga de outras exemplos 231 e 232 cargas puntiformes 100 Fisica lll Potencial elétrico tencial designad oneal ele Co 0 po encial esignado por V v 1 qd 2314 On v 1 a D a s gia potencial por unidade de carga A di Amey r Amegr 1m 73 ferenca de potencial entre dois pontos equivale a0 em funcdo de uma h trabalho necessario para deslocar uma unidade Posi carga puntiforme tiva de carga de teste entre esses pontos O potencial i i P P 1 V produzido por uma quantidade de carga pode ser l Gi A r v 2315 i 43 calculado pela soma no caso de um conjunto de car Ame r i 9 gas puntiformes ou pela integral no caso de uma y rs eres em funcao de um conjunto distribuigéo de cargas exemplos 233 234 235 d tif P 237 2311 e 2312 cargas punirormes A diferenga de potencial entre dois pontos a e b 1 dq também chamada de potencial de a em relacao a b V Aner 7 2316 é obtida pela integral de linha de E O potencial em ee um dado ponto pode ser determinado primeiro cal em fungao de uma culando E e depois fazendo essa integral exemplos distribuicao de cargas 236 238 239 e 2310 b Vi Vb Edl 2317 b Ecos dl a Superficies equipotenciais uma superficie equipotencial é uma superficie sobre a qual 0 poten Secdo reta da cial possui o mesmo valor em todos os seus pontos Toda linha de campo sempre perpendicular Linhado superficie oe campo elétrico equipotencial a superficie equipotencial nos pontos em que elas se cruzam Quando todas as cargas estaéo em repouso a superficie de um condutor é sempre equipotencial e todos os pontos no interior do material de um condutor possuem um mesmo potencial Quando no interior de um condutor 7 Ee existe uma cavidade que nao contém carga a cavidade inteira constitui uma regiao equipotencial is aera a a i ici i SRT TRY e nao existe nenhuma carga sobre a superficie da cavidade of EA Ix Determinagao do campo elétrico a partir do po a av a av tencial elétrico quando o potencial Vé umadada gy Yay fungao das coordenadas x y e z os componentes do av er x ae 2319 campo elétrico E em cada ponto sao dados pelas z az derivadas parciais de V exemplos 2313 e 2314 OV 0V nav E i jJ i 2320 ox oy 0z em notagfo vetorial Problema em destaque Uma carga puntiforme e um fio carregado Uma carga elétrica Q esta uniformemente distribuida ao longo seguida encontrar a variacao da energia potencial envol de uma haste fina de comprimento 2a A haste se encontra sobre vida no ato de trazer a carga puntiforme g do infinito onde o eixo x entre x aex a Figura 2327 Calcule quanto VOatéx L trabalho deve ser realizado para trazer a carga puntiforme qdo Para encontrar V divida a haste em segmentos infinitesi infinito até o ponto x L sobre 0 eixo x quando L a mais de comprimento dx Qual é 0 valor da carga em cada segmento Considere um desses segmentos localizado em x x onde a x a Qual 0 potencial dVem x GUIA DA SOLUGAO L produzido por esse segmento IDENTIFICAR E PREPARAR 2 O potencial total em x L é a integral de dV incluindo 1 Neste problema vocé deve primeiro calcular 0 potencial V as contribuig6es de todos os segmentos para x de a até emx L produzido pela haste carregada Vocé pode em a Escreva essa integral Continua Capitulo 23 Potencial elétrico 101 Continuagdao EXECUTAR 7 Suponha que a carga puntiforme g fosse negativa em vez 3 Integre sua express4o preparada na etapa 3 para encontrar de positiva Como isso afetaria seu resultado na etapa 4 E 0 potencial Vem x L Uma substituigdo simples resol na etapa 5 verd isso s6 use uma tabela de integrais como ultimo S Figura 2327 Quanto trabalho deve ser realizado para trazer FECUTSO a carga puntiforme g do infinito até o ponto considerado 4 Use o resultado da etapa 4 para encontrar a energia poten BaP 4 P cial para uma carga puntiforme g colocada em x L Hast 0 Carga puntiforme qo aste com carga 5 Use o resultado da etapa 5 para encontrar o trabalho que J s cee deve ser realizado para trazer a carga puntiforme do infinito eo x atéx L l AVALIAR xa x0 x a x 4L 6 Qual valor seu resultado da etapa 5 assume no limite a 0 Isso faz sentido PROBLEMAS e ee eee niveis de dificuldade PC problemas cumulativos incorporando material de outros capitulos CALC problemas exigindo calculo DADOS problemas envolvendo dados reais evidéncia cientifica projeto experimental eou raciocinio cientifico BIO problemas envolvendo biociéncias A A Q239 Caso vocé faca a integral QUESTOES PARA DISCUSSAO do campo elétrico iE af ona Figura Q239 Q231 Um aluno perguntou Uma vez que o potencial elétrico po en P aor é sempre proporcional a energia potencial por que ento se preo 9 U4 trajetoria fechada como a 7 1999 A indicada na Figura Q239 a in al cupar com 0 conceito de potencial O que vocé responderia 1 seré ual 7 para esse aluno tegra seré sempre igual a zero soe 5 Q232 O potencial em relacdo a um ponto no infinito sobre um independentemente da forma da E v ponto equidistante de duas cargas iguais mas de sinais opostos trajetoria ning nolos as é igual a zero E possivel trazer uma carga do infinito até esse la wie istribul Aas a0 longo cr soe 7 sae ponto de modo que o trabalho seja igual a zero em qualquer tre 23 to site ven at cho da trajetoria Caso seja possivel descreva como Caso nao Q 10 A di erenga de poten Ws Le seja explique por qué cial entre os dois terminais de Q233 E possivel fazer um arranjo de duas cargas puntiformes 4 pilha AA usada em lanter separadas por uma distancia finita de modo que aenergia po S em radios portateis é igual a 15 V Quando duas pilhas tencial elétrica seja igual 4 energia potencial quando a distancia AA i ligadas em série de modo que terminal P ane de entre as cargas for infinita Por qué Qual seria sua resposta para uma de as esteja em contato com 0 termina negatlvo a outra 0 caso de trés cargas Explique qual é a diferenga de potencial entre os dois terminais livres dessa Q234 Considerandose que o potencial pode ter qualquer valor combinacao Qual seria a resposta se 0 terminal positivo de uma que vocé deseje dependendo da escolha do nivel de referéncia das pilhas estivesse em contato com o mesmo terminal positivo do potencial zero como um voltimetro sabe qual leitura fazer da outra Explique seu Tacrocinio quando conectado entre dois pontos Q2311 E facil produzir uma diferenga de potencial de alguns Q235 SeBé igual a zero em todos os pontos de uma trajetoria milhares de volts atritando os sapatos sobre um carpete de ndilon que liga um ponto A a um ponto B qual é a diferenca de poten Ao tocar a macganeta de uma porta vocé recebe um choque muito cial entre esses dois pontos Isso significa que Eé sempre zero Poqueno Porem se voce tocasse uma linha de transmissao com ao longo de qualquer trajetoria que liga 0 ponto A ao ponto B U4 voltagem comparavel o choque seria fatal Por que existe Explique essa diferenga Q236 Se E for igual a zero em todos os pontos de uma regiiio Q2312 Caso o potencial elétrico seja conhecido somente em do espago o potencial serd necessariamente zero nessa regiao U nao ponto 0 campo elétrico E desse ponto pode st deter Por qué Caso sua resposta seja negativa 0 que vocé pode dizer NAC Em caso p Ositivo como Em caso negativo por que sobre 0 potencial Q2313 Visto que as linhas de campo e as superficies equipoten Q237 Em que sentido as linhas de campo elétrico apontam ciais sio sempre perpendiculares duas superficies equipotenciais de potencial alto para baixo ou de potencial baixo para alto 40 podem Se cruzar se elas pudessem 0 vetor E poderia ter Explique duas direg6es nos pontos de intersecgao Contudo no centro da Q238 a Quando o potencial em relacdo ao infinito é igual Figura 2323c existe uma aparente intersecgao entre duas super a zero em um ponto o campo elétrico é necessariamente igual ficies equipotenciais Explique por que neste caso particular nao a zero nesse ponto b Quando 0 campo elétrico é igual a zero existe ambiguidade na diregao de E em um ponto 0 potencial em relagao ao infinito é necessaria Q2314 Um campo elétrico uniforme esta orientado do oeste mente igual a zero nesse ponto Prove suas respostas usando para o leste O ponto B esta 200 m a oeste do ponto A 0 ponto C exemplos simples esta 200 ma leste do ponto A e 0 ponto D esta 200 m ao sul de A 102 Fisica lll Para cada ponto B C e D determine se 0 potencial do ponto é até um ponto J o trabalho realizado pela fora elétrica sobre a P Pp Pp Pp 3 P maior menor ou igual ao do ponto A Justifique suas respostas carga iguala 19 X 10 J Qual éa energia potencial elétrica Q2315 Frequentemente afirmamos que se 0 ponto A possui desse conjunto de cargas quando a segunda carga se encontra uma poténcia mais elevada que o ponto B A possui poténcia posi 10 ponto b tiva e B possui poténcia negativa Disso necessariamente decorre 233 Energia do nucleo Qual é a energia necessaria para que um ponto com potencial positivo esta positivamente carre ontar um nucleo atomico contendo trés protons como Li see gado e que um ponto com potencial negativo esta negativamente modelarmos como uml triangulo equiatero de lado 200 x 10 carregado Ilustre suas respostas com exemplos clarose simples hon ee em aa ve mice Suponna que os protons Q2316 Uma esfera condutora deve ser carregada colocando tenham partido de uma istancia mutto grande 234 a Qual é 0 trabalho necessdrio para empurrar dois sobre ela em cada instante uma pequena quantidade de carga até an se protons muito lentamente a partir de uma distancia de 200 que a carga total seja igual a Q Afirmase que o trabalho total 10 one 2 15 2 10 m uma distancia atémica tipica até 300 x 10 m uma realizado nesse processo é proporcional a Q Isto é correto rae a 2 distancia nuclear tipica b Caso os prétons sejam ambos libe Por qué eae zo 2317 di ald rados do repouso na distancia mais préxima obtida no item a Q23 Em eletrénica costumamos Izer que 0 potencial a qual é a velocidade com que eles se movem ao alcancar a distan Terra imaginada como um condutor muito grande é igual a cia original zero Isso consistente com o fato de que a Terra possui uma 935 ee Uma pequena carga liquida que nao é igual a zero Veja o Exercicio 2128 esfera metdlica com Figura E235 Q2318 Uma esfera condutora colocada entre duas placas yma carga liquida q planas paralelas carregadas como indicado na Figura 2320 280 uC mantida em o 220 ms campo elétrico no interior da esfera depende da posiao exata repouso por suportes iso 92 N entre as placas onde a esfera foi colocada O que vocé diz sobreo antes Uma segunda esfera potencial elétrico no interior da esfera Suas respostas para essas metilica com uma carga Z 0800 m S questdes dependem da existéncia de uma carga liquida sobre a liquida gy 780 wCe esfera Explique seu raciocinio massa igual a 150 g pro Q2319 Um condutor carregado com uma carga liquida Q pos jetada contra gq Quando a distancia entre as duas esferas igual a sui uma cavidade vazia em seu interior O potencial variade um 9800 m qz se aproxima de g com velocidade de 220 ms Figura ponto para outro ao longo da parte maciga do interior do condu E235 Suponha que as duas esferas possam ser tratadas como tor E no interior da cavidade Como se compara o potencial no 4as puntiformes Despreze a gravidade a Qual a velocidade Lo istanci 5 interior da cavidade ao potencial nos pontos da parte maciga do da carga qo quando a distancia entre as duas esferas de 0400 m interior do condutor b Qual sera a menor distancia entre gz e g 236 ee BIO Energia do pareamento de bases do DNA Q2320 Um cabo de transmissao de alta voltagem cai sobre um ns rer Exercicio 2121 a Calcule a energia potencial elétrica da carro de modo que a superficie inteira do carro passaaseruma LY we Ls superficie equipotencial com 10000 V em relacao ao solo O que ligacgdo adeninatimina utilizando as mesmas combinag6es de P quip S no We moléculas OHN e NHN do Exercicio 2121 b Compare ocorre com um ocupante do carro quando a ele esta sentado ial d Z 1é a b Quando ele desce do carro Explique essa energia com a energia potencial do par protonelétron no no interior do carro juan Expliq dtomo de hidrogénio seu raciocinio ao 237 Dois protons séo direcionados diretamente um contra Q2321 Quando uma tempestade estd chegando os marinheiros outro com velocidade escalar de 200 X 10 ms medida em observam um fendmeno chamado fogo de Santelmo uma luz relagéo 4 Terra Determine a forga elétrica maxima que esses azulada que cintila no topo do mastro O que causa isso Por que prétons exercerdio mutuamente isso ocorre no topo do mastro Por que o efeito mais pronun 238 Trés cargas puntiformes cada uma delas com carga ciado quando o mastro esta umido Dica a Agua do mar boa igual a 120 uC sao colocadas nos vértices de um triangulo equi condutora de eletricidade latero de lado 0400 m Qual é a energia potencial do sistema Q2322 Uma carga puntiforme positiva é colocada préximo de Considere a energia potencial elétrica das trés cargas igual a zero uma placa condutora muito grande Um professor de fisica afirma quando a distancia entre as cargas for infinita que o campo elétrico produzido por essa configuracao seriao 239 Dois protons sao liberados a partir do repouso quando mesmo se removéssemos o plano e colocdssemos uma carga Stao separados por uma distancia igual a 0750 nm a Determine puntiforme negativa de mesmo médulo na posigao da imagem Velocidade escalar maxima que os prétons atingiréo Quando especular da carga em sua posicao inicial em relaciio ao plano S84 velocidade ocorre b Determine a aceleragéo maxima que Isso é correto Por qué Dica analise a Figura 2323b Os protons atingirao Quando essa aceleragao ocorre 2310 Quatro elétrons estio localizados nos angulos de um g quadrado de lado 100 nm com uma particula alfa em seu ponto EXERCICIOS médio Qual é 0 trabalho necessério para deslocar a particula alfa i para o ponto médio de um dos lados do quadrado oon 231 Energia potencial elétrica 2311 Trés cargas puntiformes inicialmente muito afasta ee oat A V2 31 Uma carga puntiforme q 240 wu mantida das entre si est4o sobre os vértices de um tridngulo equildtero ot 30LC i loca de ma e150 a on orme 42 de lado igual a d Duas dessas cargas s4o idénticas e possuem 0 BE se desloca do ponto a my ate ponto carga q Desejamos realizar um trabalho liquido igual a zero para x 0250 m y 0250 m Qual 0 trabalho realizado pela forca A cept an a colocar as trés cargas nos vértices do triangulo qual deve ser o elétrica sobre a carga qo valor da terceira carga 232 Uma carga puntiforme g é mantida em repouso na ori gem Uma segunda carga puntiforme g7 é colocadaemumponto Secao 232 Potencial elétrico ae a energia potencial elétrica desse conjunto de duas cargas 2312 Um objeto com carga g 600 X 10 C é liberado é igual a 54 x 107 J Quando a segunda carga se desloca a partir do repouso no ponto A em uma regiado onde ha um campo Capitulo 23 Potencial elétrico 103 elétrico uniforme Depois de se deslocar até 0 ponto B 0500 m ponto B c o trabalho realizado pelo campo elétrico para deslo para a direita a carga possui energia cinética igual a 300 car uma carga de 250 nC do ponto B até 0 ponto A 107J a Seo potencial elétrico no ponto A iguala 300V 2320 e a Um elétron deve ser acelerado de 300 X 10 ms qual Eo potencial elétrico no ponto B b Determine o médulo para 800 x 10 ms Por qual diferenga de potencial o elétron a direcao e o sentido do campo elétrico deve passar para realizar isso b Por qual diferenga de poten 2313 Uma pequena particula possui carga 500 uC e massa cial o elétron deve passar caso ele seja desacelerado de 800 200 104 kg Ela se move do ponto A em que a poténciaelé 10 ms até parar trica V4 200 V para o ponto B em que a poténcia elétrica 2321 Umacarga positiva q estd fixa no ponto x Oey 0 é Vg 800 V A forga elétrica a inica forga que atua sobre e uma carga negativa 2g esta fixa no ponto x ae y 0 a particula A particula possui velocidade escalar de 500 ms a Faca um diagrama para mostrar as posicOes das cargas b no ponto A Qual a velocidade no ponto B Ela se move mais Deduza uma relagdo para o potencial Vem qualquer ponto sobre rapidamente no ponto B ou no ponto A Explique 0 eixo x em funcdo da coordenada x Considere V igual a zero a 2314 Uma particula com carga iguala 420nC estéemum uma distancia infinita das cargas c Para quais pontos sobre o campo elétrico uniforme E orientado da direita para a esquerda eixo x 0 potencial V 0 d Faca um grafico de V em pontos Ela liberada do repouso e se desloca para a esquerda depois de sobre 0 eixo x em funcao de x no intervalo entre x 2ae se deslocar 600 cm verificase que sua energia cinética igual 2a e Qual seria a resposta do item b quando x a a 220 x 10J a Qual o trabalho realizado pela forga Explique como esse resultado é obtido elétrica b Qual 0 potencial do ponto inicial em relagéo ao 2322 A certa distancia de uma carga puntiforme o potencial ponto final c Qual é o médulo de E e o médulo do campo elétrico so dados respectivamente por 2315 Uma carga igual a 280 nC estaem um campo elétrico 498 V e 162 Vm Considere V 0 no infinito a Qual é 0 uniforme orientado verticalmente de baixo para cimae que pos valor dessa distancia b Qual é o médulo da carga c O campo sui modulo igual a 400 X 10 Vm Qual é 0 trabalho realizado elétrico est orientado para dentro ou para fora da carga pela forga elétrica quando a carga se desloca a 0450 m paraa 2323 Um campo elétrico uniforme com médulo E esta direita b 0670 m de baixo para cima c 260 m formando orientado no sentido negativo do eixo x A diferenca de potencial um Angulo de 450 abaixo da horizontal entre um ponto a em x 060 m e um ponto b em x 090 m é 2316 Duas cargas puntiformes em repouso g 300nC igual a 240 V a Qual dos dois pontos a ou b possui 0 potencial gz 200 nC estao separadas por uma distancia de 500 cm mais elevado b Calcule o valor de E c Uma carga puntiforme Um elétron situado na metade da distancia entre as duas cargas negativa g 0200 uC se desloca de b até a Calcule 0 trabalho liberado do repouso e se desloca ao longo da linha retaque une realizado pelo campo elétrico sobre essa carga puntiforme as duas cargas Qual é a velocidade do elétron quando ele estia 2324 Para cada um dos seguintes arranjos de duas cargas 100 cm da carga igual a 300 nC puntiformes determine todos os pontos ao longo da linha que 2317 As cargas puntiformes gq 200 Ce gq 200uC passa por ambas as cargas para os quais 0 potencial elétrico seja sdo colocadas em Angulos adjacentes de um quadrado cujo lado igual a zero suponha V 0 a uma distancia infinita das cargas possui comprimento igual a 300 cm O ponto a esta no centro e para os quais 0 campo elétrico E seja igual a zero a cargas do quadrado e o ponto b esta no angulo vazio mais pr6ximo de Qe 2Q separadas por uma distancia d e b cargas Q e q2 Considere o potencial elétrico igual a zero a uma distancia 2Q separadas por uma distancia d c Ve E sao iguais a zero longe das duas cargas a Qual 0 potencial elétrico no pontoa nos mesmos pontos Explique roduzido por q gz b Qual é 0 potencial elétrico no ponto b P pra 42 Q P P Secao 233 Determinagao do potencial elétrico c Uma carga q3 500 uC se desloca do ponto a ao ponto b Stes 2325 Uma casca esférica fina de raio R 300 cm é con Determine o trabalho realizado sobre q3 pelas forgas elétricas Se Dos ees céntrica com uma casca esférica fina maior de raio Rp 500 cm exercidas por q g2 Esse trabalho é positivo ou negativo Le Z Ambas as cascas so feitas de um material isolante A casca 2318 Duas cargas puntiformes com modulo igual Q sao ae tA menor possui carga g 600 nC distribuida uniformemente mantidas separadas por uma distancia d Considere somente os Le sobre sua superficie e a casca maior possui carga gy 900 nC pontos sobre a linha que passa por ambas as cargas a Caso as Se a oe distribuida uniformemente sobre sua superficie Considere 0 po duas cargas possuam 0 mesmo sinal determine a localizacao de eps tne ee tencial elétrico igual a zero a uma distancia infinita de ambas todos os pontos se houver algum em que 1 0 potencial em as epee ge es as cascas a Qual é 0 potencial elétrico produzido pelas duas relac4o ao infinito é igual a zero 0 campo elétrico é igual a zero LAs ates cascas nos pontos separados pelas seguintes distancias de seu nesses pontos e ii o campo elétrico é igual a zero 0 potencial centro comum i r 0 ii r 400 cm iii r 600 cm b igual a zero nesses pontos b Repita o item a para as duas 2 a oo t Qual é o médulo da diferenga de potencial entre as superficies CASAS COM SHIAIS OPOSTOS das duas cascas Qual casca possui o maior potencial a interna 2319 Duas cargas puntiformes gj 240 nC e qz ou a externa 650 nC estao separadas por uma distancia igual a 0100 m 2326 Umacarga elétrica total igual a 350 nC esta distribuida O ponto A esté localizado na uniformemente sobre a superficie de uma esfera metdlica com metade da distancia entre as Figura E2319 raio igual a 240 cm Considerando como zero 0 potencial a uma duas cargas 0 ponto B esta B distancia infinita da esfera calcule o valor do potencial para as a 0080 m da carga gic a U seguintes distancias a partir do centro da esfera a 480 cm b 0060 m da carga q Figura 2 240 cm c 120 cm E2319 Consid o 4 27 Um anel fino uni i rai 19 onsidere como oe 2327 Um anel fino uniformemente carregado possui raio zero 0 potencial a uma dis de 150 cm e carga total igual a 240 nC Um elétron é colo tancia infinita das cargas 0050 me 0050 mg cado no eixo do anel a uma distancia de 300 cm de seu centro Calcule a 0 potencial no nN A dD sendo obrigado a permanecer vinculado a esse eixo A seguir 0 ponto A b o potencial no elétron é liberado a partir do repouso a Descreva 0 movimento 104 Fisica Ill subsequente do elétron b Calcule a velocidade escalar do elé 2336 PC Duas placas condutoras paralelas grandes que tron quando ele atinge o centro do anel possuem cargas opostas e mddulos iguais estao separadas por 2328 Umaesfera condutora maciga possui carga liquida po uma distancia igual a 220 cm a Sabendo que a densidade sitiva e raio R 0400 m Em um ponto de 120 mdo centro da superficial de carga sobre cada placa possui médulo igual a esfera 0 potencial elétrico produzido pela carga da esferaéigual 470 nCm qual o médulo do campo elétrico E na regiao a 240 V Suponha que V 0 a uma distancia infinita da esfera entre as placas b Qual a diferenca de potencial entre as pla Qual 0 potencial elétrico no centro da esfera cas c O que ocorreria com 0 médulo do campo elétrico e com 2329 A carga Q 500 uC esta distribuida uniformemente a diferenca de potencial se a distancia entre as placas dobrasse sobre o volume de uma esfera isolante de raio R 120cmUma mas a densidade superficial de carga permanecesse constante pequena esfera com carga g 300 uC e massa igual a 600 X como mesmo valor indicado no item a 10 kg é projetada em direcio ao centro da grande esferaa 2337 Duas placas metdlicas paralelas grandes possuem car partir de uma distancia inicial grande A esfera maior é mantida gas opostas e de mesmo médulo A distancia entre as placas é em uma posigao fixa e a esfera menor pode ser tratadacomouma igual a 450 mm e a diferenga de potencial entre elas é de 360 V carga puntiforme Qual deve ser a velocidade escalar minima da a Qual é o médulo do campo elétrico supostamente cons esfera menor para atingir uma distancia maxima de 800 cm da tante existente na regiado entre as placas b Qual 0 médulo superficie da grande esfera da forca que esse campo exerce sobre uma particula com carga 2330 Um fio retilineo infinito possui uma densidade linear igual a 240 nC c Use o resultado da parte b para calcular de carga igual a 500 x 10 Cm Um préton massa 167 X 0 trabalho realizado pelo campo sobre a particula quando ela se 1027 kg carga 160 107 C esta a uma distancia de desloca da placa com potencial mais elevado para a placa com 180 cm do fio e se desloca radialmente no sentido do fio com potencial mais baixo d Compare o resultado da parte c com velocidade igual a 350 x 10 ms a Calcule a energia cinética a variagdo da energia potencial da mesma carga calculandoa inicial do préton Até que distancia minima do fio 0 proton pode a partir do potencial se aproximar 2338 BIO Sensibilidade elétrica dos tubarées Alguns 2331 Um cabo muito longo carrega uma densidade linear tubardes podem detectar campos elétricos fracos a partir de de carga A Usando um voltimetro para medir a diferenga de 10 x Vm Para compreender 0 quao fraco esse campo é deter potencial vocé observa que quando uma sonda do aparelho é mine qual deve ser a distancia entre duas placas metdlicas para colocada a 250 cm do cabo e a outra sonda est4 a uma distancia lelas ligadas por uma pilha comum AA de 15 V para produzir de 100 cm do cabo a leitura do aparelho indica 575 V a Qualé esse campo elétrico entre elas o valor de A b Se vocé colocar uma sondaa350cmdocabo 2339 O campo elétrico na superficie de uma esfera carre e a outra a 100 cm de distancia a leitura do voltimetro seré gada e macica de cobre com raio igual a 0200 m é 3800 NC 575 V Caso isso nao acontea a leitura ser maior ou menor orientado para o centro da esfera Qual é 0 potencial no centro que 575 V Por qué c Se vocé colocar ambas as sondas a da esfera caso se considere como zero 0 potencial infinitamente 350 cm do cabo mas a 170 cm de distancia uma da outra qual distante da esfera sera a leitura do voltimetro 2340 a Qual é 0 excesso de carga a ser colocado em uma 2332 Um cilindro isolante muito longo carregado possui esfera de cobre com 250 cm de didmetro para que o potencial raio de 250 cm e carrega uma densidade linear uniforme de de seu centro em relacao ao infinito seja 375 kV b Qual 0 150 nCm Se vocé colocar uma sonda do voltfmetro na superfi potencial da superficie da esfera em relagao ao infinito cie a que distancia da superficie a outra sonda deve ser colocada Sec4o 234 Superficies equipotenciais para que a leitura do voltimetro seja 175 V 2333 Umacasca cilfndrica isolante muito longa possuiraio Secao 235 Gradiente de potencial de 60 cm e carrega densidade linear de carga de 850 wCm 2341 CALC Umaesfera metélica com raio r esta apoiada uniformemente espalhada pela sua superficie externa Qual seria sobre uma base isolada no centro de uma casca esférica metdlica a leitura de um voltimetro se ele estivesse conectado a entre com raio externo r Existe uma carga q na esfera interna e uma a superficie do cilindro e um ponto 400 cm acima da superficie carga q na esfera externa a Determine o potencial Vr para e b entre a superficie e um ponto a 100 cm do eixo central as regides i r rg ii rg r rp ili rp Dica o potencial do cilindro total é dado pela soma dos potenciais de cada esfera Considere 2334 Um anel com didmetro de 800 cm esta fixoem um Vigual a zero para r infinito b Mostre que o potencial da esfera ponto e carrega uma carga de 500 uC uniformemente espa interna em relacao a esfera externa é dado por lhada sobre sua circunferéncia a Qual é 0 trabalho necessa rio para deslocar uma minuscula esfera com carga 300 wC e Vip 4 2 massa de 150 g a partir de um ponto muito distante do centro do Amen Wa Nb anel b E necessério fazer uma trajetéria ao longo do eixo do anel Por qué c Se a esfera for ligeiramente deslocada do cen c Use a Equag4o 2323 e o resultado do item a para mostrar tro do anel o que ela fard e qual velocidade maxima ela atingira que o campo elétrico em qualquer ponto entre as esferas possui 2335 Uma esfera muito pequena com carga positiva g mddulo dado por 800 uC é liberada a partir do repouso em um ponto a uma distancia de 150 cm de um fio retilineo muito longo carregado En Mab 1 uniformemente de densidade linear de carga A 300 wCm 17 1r r Qual é a energia cinética da esfera quando ela esta a 450 cm de distancia do fio carregado quando a tinica forga sobre elaéa d Aplique a Equagao 2323 e o resultado do item a para cal exercida pelo fio carregado cular o campo elétrico em um ponto fora da esfera maior a uma Capitulo 23 Potencial elétrico 105 distancia r do centro sendo rr e Suponha que acarganaes 2349 Um nticleo de ouro possui um raio de 73 m X fera externa nao seja q mas uma carga negativa de médulo di 107 me uma carga igual a 79e Determine a tenséo minima ferente digamos Q Mostre que as respostas dos itens bec através da qual uma particula alfa com carga 2e deve ser ace nao se alteram porém a resposta do item d tornase diferente lerada de modo que tenha energia suficiente para alcancar uma 2342 Uma placa plastica muito grande carrega uma densi distancia de 20 x 107 ma partir da superficie de um nticleo dade de carga uniforme de 600 nC m em uma face a A de ouro Suponha que o nticleo de ouro permanega fixo e possa medida que vocé se afasta da placa ao longo de uma linha perpen ser tratado como uma carga puntiforme dicular a ela o potencial aumenta ou diminui Como vocé pode 2350 Uma pequena esfera com massa igual a 500 X saber isso sem fazer nenhum cdlculo Sua resposta depende de 977 kg e carga igual a 700 uC é liberada a partir do repouso sua escolha do ponto de referncia para o potencial b Encontre 4 yma distAncia de 0400 m acima de uma grande placa isolante 0 espago entre as superficies equipotenciais que diferem entre si horizontal uniformemente carregada que possui uma densidade em 100 V Que tipos de superficie sao esses superficial de carga a 800 pCm Usando métodos de 2343 CALC Em certa regiao do espago 0 potencial elétrico energia calcule a velocidade escalar da esfera quando ela esta é dado pela relacaio Vx y z Axy Bx Cy em que A Be 0100 m acima da placa C sao constantes positivas a Calcule os componentes xyezdo 9354 ee Determinacio do tamanho do niicleo Quando o campo elétrico 6 Em que pontos 0 campo elétrico igual a zero rdio226 decai radioativamente ele emite uma particula alfa 2344 CALC Emcerta regiao do espaco 0 potencial elétrico 9 nticleo de hélio 0 produto final é 0 rad6nio222 Podemos é dado pela relagdo V Axy Bxy em que A 500 Vm modelar essa decadéncia pensando no radio226 como consis e B 800 Vm Calcule 0 médulo a diregdo e o sentido tindo em uma particula alfa emitida a partir da superficie do do campo elétrico no ponto nessa regido de coordenadas pyicleo de rad6nio222 esfericamente simétrico e podemos tratar x 200 m y 400 mez 0 a particula alfa como uma carga puntiforme A energia da parti 2345 Uma esfera metdlica com raio rz 120 cm est cyla alfa foi medida em laboratério e foi encontrado o valor de apoiada sobre uma base isolante no centro de uma casca esfé 479 MeV quando a particula alfa esta infinitamente distante rica metélica com raio externo r 960 cm Uma carga g do nticleo Como 0 rad6nio muito mais pesado que a particula colocada na esfera interna e uma carga q na esfera externa alfa podemos supor que nao ha recuo aparente do radénio apés O médulo de g é escolhido para produzir uma diferenga de po 9 decaimento O niicleo de rad6nio contém 86 protons enquanto tencial entre as esferas igual a 500 V mantendo a esfera interna particula alfa contém 2 prétons e 0 nticleo de rddio tem 88 com um potencial mais elevado a Use 0 resultado do Exercicio protons a Qual é a energia potencial elétrica da combinaciio 2341b para calcular o valor de g b Com base no resultado ajfaradénio pouco antes do decaimento em MeV e em joules do Exercicio 2341a faga um desenho indicando as superficies b Use 0 resultado do item a para calcular 0 raio do nticleo equipotenciais que correspondem a 500 400 300 200 100e ge rad6nio O V c Em seu desenho mostre as linhas de campo elétrico AS 9352 ee PC Um préton e uma particula alfa sao liberados a linhas de campo elétrico e as superficies equipotenciais s4o mu partir do repouso quando esto separados por 0225 nm de dis tuamente perpendiculares As superficies equipotenciais ficam tancia A particula alfa um nucleo de hélio tem essencialmente mais proximas entre si quando o médulo de E mais elevado quatro vezes a massa e o dobro da carga de um proton Encontre a velocidade escalar maxima e a aceleragdo maxima de cada PROBLEMAS uma dessas particulas Quando ocorrem esses valores maximos 2346 PC Uma carga puntiforme g 500 uC estd fixa imediatamente apos o langcamento das particulas ou depois de Lua muito tempo no espaco A partir de uma distancia horizontal de 600 cm uma 3 2353 Uma particula com carga 760 nC esté em um campo Pequena esfera com massa igual a 400 10 kge carga q2 elétrico uniforme orientado da direita para a esquerda Outra 200 uC é langada em diregao a carga fixa com uma velocidade f lém da elétrica at b ticula d 4 1 orga além da elétrica atua sobre a particula de modo que ela se inicial de 400 ms A gravidade pode ser desprezada Qual é a desl direit do liberada d Depoi esloca para a direita quando é liberada do repouso Depois que aceleracao da esfera no instante em que sua velocidade igual ela se deslocou 800 cm a forga adicional realizou um trabalho a 250 ms igual a 650 X 10 J ea particula possui energia cinética igual 2347 eee Uma carga puntiforme q1 400 nC colocada na a 435 X 107 J a Qual foi o trabalho realizado pela forca origem uma segunda carga puntiforme q 300 nC colo elétrica b Qual é 0 potencial do ponto inicial em relacao ao cada sobre 0 eixo x no ponto x 200 cm Uma terceira carga ponto final c Qual é 0 médulo do campo elétrico puntiforme qg3 200 nC deve ser colocada sobre 0 eixoxentre 9354 oe Cargas puntiformes idénticas g 500 uC sao q1 qo Considere a energia potencial das trés cargas igual a Zero eoigcadas em angulos opostos de um quadrado cujo lado possui quando elas estao infinitamente distantes a Qual é a energia comprimento igual a 800 cm O ponto A esta em um dos Angu potencial do sistema das trés cargas quando q3 colocadaem Jog yazios eo ponto B esté no centro do quadrado Uma carga x 100 cm b Onde q3 deve ser colocada para que a energia puntiforme go 30 uC colocada no ponto A e se desloca potencial do sistema seja igual a zero ao longo da diagonal do quadrado até 0 ponto B a Qual é 0 2348 Uma carga puntiforme positiva g 500 x 10C modulo da forga elétrica resultante sobre gg quando ela esta no mantida em uma posicao fixa Um pequeno objeto com massa ponto A Faga um desenho com as localizagGes das cargas e a igual a 400 X 10 kg e carga qy 300 X 10 Cé projetada direcdo e o sentido da forga resultante b Qual é o médulo da diretamente na diregao de q Despreze a gravidade Quando q forga elétrica resultante sobre gy quando ela esta no ponto B esté a 0400 m de distancia de 1 sua velocidade escalar de c Qual é 0 trabalho realizado pela forca elétrica sobre gg du 800 ms Qual a sua velocidade quando ela esta 0200 mde qrante seu deslocamento de A até B Esse trabalho positivo ou 106 Fisica Ill negativo Quando qo se desloca de A até B ela se aproxima de densidades superficiais de carga uniformes o e o A carga um potencial mais alto ou mais baixo da esfera é g 890 X 10C Calcule a diferenca de potencial 2355 CALC Um diodo de tubo de vacuo consiste em ele entre as placas para que o fio fique inclinado a um Angulo de trodos cilindricos concéntricos 0 cétodo negativo e 0 4nodo po 300 em relagdo a vertical sitivo Em decorréncia do acimulo de carga perto do catodo o as Figura P2359 potencial elétrico entre os elétrodos é dado por Vx 0x3 bn dhethn ain atin aZ Z em que x é a distancia até 0 cétodo e C é uma constante carac teristica de um diodo e condigGées de funcionamento particulares 1300 Suponha que a distancia entre 0 catodo e 0 anodo seja igual a 130 mm e a diferenga de potencial entre os elétrodos seja 240 V a Determine o valor de C b Encontre uma formula para o q campo elétrico entre os elétrodos em funca4o de x c Determine 500 cm a forca sobre um elétron quando ele esta no ponto médio da linha reta que liga os eletrodos oo 2360 Duas cascas esféricas possuem um centro comum A ee 2356 Duas esferas isolantes identicas e com cargas contré aacca interna possui raio R 500 cm e carga g 300 X rias cada qual medindo 500 cm de didmetro e carregando uma 67 toe o d sdul 10 C a casca exterior possui raio Rp 150 cme carga q2 550 1 Ca oak 4 moeuro 500 x 10C Ambas as cargas estao distribuidas uniforme sao colocadas a uma ya a oN Be Figura P2356 mente sobre a superficie da casca Determine o potencial elétrico distancia de 100 m de um cen tone produzido pelas duas cascas para as seguintes distancias a partir tro a outro Figura P2356 a 5 Itimetro é tad 7 de seu centro comum a r 250 cm b r 100 cm c r hen vo te TO conec ado a 200 cm Considere V 0 a distancias muito grandes das cascas ENITE OS PONTOS MAIS PLOXUNOS 2361 CALC Cilindros coaxiais Um longo cilindro meta a e b sobre suas superficies lico de raio a esta apoiado sobre um suporte isolante ao longo qual sera sua leitura b Qual ponto a ou b possui o potencial ae ay do eixo de um longo tubo cilindrico metalico de raio b A carga mais elevado Como saber isso sem fazer qualquer calculo ws ve 2 am positiva por unidade de comprimento no cilindro interno é A 2357 Um cristal i6 e existe uma igual quantidade de carga negativa por unidade nico A Figura P2357 Figura P2357 a t it tif de comprimento no cilindro externo a Determine o potencial mos ta or 10 cargas pun v or 4 q Vr para as regiGes 1 r a ii a r b iii r b Dica o mes distribuidas nos vérti Q O a o potencial total é dado pela soma dos potenciais de cada condu ces de um cubo cuja aresta q tor Considere V 0 para r b b Mostre que o potencial do é igual a d Os valores das 7 wy a cilindro interno em relagao ao cilindro externo é dado por cargas sao g e q como indicado Tratase do mo Xr b delo da célula unitdria de d Vab Ore Inv tA ays 2 um cristal idnico ctbico I q Por exemplo no cloreto de d DN c Use a Equagdo 2323 e o resultado do item a para mostrar sddio NaCl as cargas po y d Stat q q que o médulo do campo elétrico em qualquer ponto entre os dois sitivas sao os fons Na as cilindros é dado por negativas sao os fons Cl a Calcule a energia potencial U desse arranjo Considere zero E1 Vap 1 reas wpe r 0 potencial quando a distancia entre as oito cargas for infinita Inba r b No resultado da parte a provavelmente vocé encontrou U 0 Explique a relagao entre esse resultado e a observagao da d Qual seria a diferenca de potencial entre os dois cilindros se existéncia desses cristais na natureza o cilindro externo nao tivesse nenhuma carga liquida 2358 a Calcule a energia potencial de um sistema com 2362 Um contador Geiger detecta radiacées como particu posto por duas pequenas esferas uma com carga de 200 uC ea las alfa usando o fato de que uma radiacio ioniza 0 ar ao longo outra com carga de 350 C com seus centros separados por de sua trajet6ria Ao longo do eixo de um cilindro metdlico oco uma distancia de 0180 m Considere U 0 quando as cargas existe um fio fino isolado do cilindro Figura P2362 Uma estado separadas por uma distancia infinita b Suponha queuma grande diferenga de potencial é aplicada entre 0 fio e 0 cilin das esferas seja mantida fixa e a outra com massa iguala 150 g dro externo mantendose o fio em um potencial mais elevado seja langada para longe da primeira Qual é a velocidade escalar isso produz um forte campo elétrico orientado radialmente para inicial que a esfera em movimento necessita para escapar por fora do fio Quando uma radiacAo ionizante entra no dispositivo completo da atragao da esfera fixa Para escapar aesferamével ocorre ionizaco de algumas moléculas de ar Os elétrons livres teria de atingir uma velocidade igual a zero quando estivesse produzidos sao acelerados no sentido do fio pelo campo elétrico infinitamente distante da fixa e quando eles se aproximam do fio ionizam muitas outras molé 2359 PC Uma pequena esfera com massa igual a 150 g culas de ar Logo um pulso de corrente elétrica gerado e pode esta pendurada por um fio isolante entre duas placas parale ser detectado por um circuito eletr6nico apropriado e convertido las verticais muito grandes separadas por uma distancia igual em um clique audivel Suponha que o raio do fio central seja a 50 cm Figura P2359 As placas sao isolantes e possuem igual a 145 ume o raio do cilindro oco seja de 180 cm Qual Capitulo 23 Potencial elétrico 107 deve ser a diferenga de potencial entre o fio eo cilindro paraque externa do cilindro pelo campo Figura P2365 se produza um campo elétrico igual a 200 X 10 Vmauma elétrico Suponha que 0 raio do fio distancia de 120 cm do eixo do fio O fio e o cilindro sao ambos central seja igual a 900 wm o raio muito compridos em comparagao a seus respectivos raios de do cilindro oco seja igual a 140 cm 500 kV modo que os resultados do Problema 2361 podem ser usados e uma diferenga de potencial de Figura P2362 500 KV seja estabelecida entre oO fio e o cilindro Suponha também que o cilindro e 0 fio possuam com 7 fp 6 primentos muito maiores que 0 raio AE do cilindro de modo que os resul Radiagao 7 J tados do Problema 2361 possam AS 4 ser usados a Qual é o médulo do a Elétron livre campo elétrico nos pontos situados MY Z eA 7 Z na metade da distancia entre o fio e Fluxo a parede do cilindro b Qual deve dear 140cm Contador 4 ser o médulo da carga sobre uma particula de cinza com 300 wg para que 0 campo elétrico obtido no item a possa exercer sobre 2363 PC Deflexdo em um CRT Os tubos de raios catédiq particula uma forca dez vezes maior que seu peso cos CRT do inglés cathoderay tubes sio geralmente encon 9366 CALC Um disco de raio R possui densidade super trados em oscilosc6pios e monitores de computador Na Figura ficial de carga uniforme igual a o a Imaginando 0 disco como P2363 um elétron com velocidade escalar inicial de 650 X 10 um conjunto de anéis finos concéntricos calcule o potencial ms projetado ao longo do eixo até o meio da trajetoria entre as étrico V sobre os pontos do eixo do anel a uma distancia x do placas de deflexao de um tubo de raios catddicos A diferengade centro do disco Considere o potencial igual a zero no infinito potencial entre as placas é 220 V e a placa inferior é aquela de Dica use 0 resultado do Exemplo 2311 na Secdo 233 b maior potencial a Qual a forga médulo diregao e sentido Calcule aVax Mostre que 0 resultado obtido concorda com o que atua sobre o elétron quando ele esta entre as placas b Qual yajor de E encontrado no Exemplo 2111 Secao 215 a aceleracao do elétron médulo diregdo e sentido quandoele 9367 eee CALC Energia propria de uma esfera de carga sofre a agao da forga obtida Uma esfera maciga de raio R contém uma carga total Q distri no item a c Qual a Figura P2363 buida uniformemente por todo o seu volume Encontre a energia distancia abaixo do eixo S necessaria para juntar essa carga trazendo cargas infinitesimais percorrida pelo elétron 2cm de pontos distantes Essa energia é chamada de energia propria quando ele atinge o final ee da distribuigdo de carga Dica apés juntar uma carga g em uma das placas d Qualé0 Ss esfera de raio r quanta energia sera necessdria para acrescentar Angulo dele em relagao ao 60 em 120m uma casca esférica de espessura dr possuindo carga dq Depois eixo quando se move para integre para obter a energia total deixar as placas e A que 2368 CALC Uma haste isolante fina é encurvada formando distancia abaixo do eixo ele atingira a tela fluorescente S um arco semicircular de raio a e uma carga elétrica total Q é 2364 PC Placas defletoras de um osciloscépio As placas distribufda uniformemente ao longo da haste Considerando o defletoras verticais de um oscilosc6pio comum usado em salas potencial igual a zero a uma distancia infinita calcule o potencial de aula consistem em um par de placas metalicas quadradas yg centro de curvatura do arco paralelas que carregam cargas iguais porém opostas As dimen 2369 A carga Q 400 uC é distribuida uniformemente sdes tipicas sdo de aproximadamente 30 cm de ladocomuma gobre o volume de uma esfera isolante de raio R 500 cm Qual separagao de cerca de 50 mm A diferenga de potencial entre as g diferenca de potencial entre 0 centro e a superficie da esfera placas igual a 250 V As placas esto proximas 0 suficiente 2370 Uma casca esférica isolante com raio interno de para que possamos desprezar interferéncias nas extremidades 250 cm e raio externo de 600 cm possui uma carga de Sob essas condigoes a qual é a carga sobre cada placae b 1500 pC uniformemente destruida pela sua superficie externa qual a forga do campo elétrico entre as placas c Se umelétron Q ponto a estd no centro da casca 0 ponto b estd na superficie em repouso for langado das placas negativas qual ser sua velo interna e o ponto c esta na superficie externa a Qual sera a cidade ao atingir a placa positiva leitura de um voltimetro conectado entre os seguintes pontos 2365 Um precipitador eletrostdtico usa forgas elétricas parai a e b ii b e c iii c e infinito iv a e c b Qual esta no remover particulas poluentes originarias de fumaga em particular potencial mais elevado i a ou b ii b ou c iii a ou c Qual fumaga expelida por usinas que queimam carvao Um tipo de das respostas se existir alguma teria o sinal invertido caso as precipitador constituido por um cilindro metalico oco vertical cargas fossem 150 wC com um fio fino ao longo de seu eixo que est4 isolado do cilindro 2371 PC Duas esferas plasticas cada qual com carga uni Figura P2365 Uma grande diferenca de potencial é aplicada formemente distribuida em seu interior inicialmente sao colo entre o fio e o cilindro externo mantendose 0 fioem um poten cadas em contato e depois liberadas Uma esfera tem 600 cm cial mais baixo Isso produz um forte campo elétrico orientado de didmetro possui massa de 500 g e contém 100 wC de radialmente para o interior do cilindro O campo elétrico produz carga A outra esfera tem 400 cm de didmetro possui massa uma regiao com ar ionizado nas vizinhangas do fio A fumaga de 1500 g e contém 300 uC de carga Encontre a aceleracio entra pela base do precipitador as cinzas e a poeira absorvem mdaximae a velocidade escalar maxima atingidas por cada esfera elétrons e os poluentes carregados sao acelerados para a parede em relacao ao ponto fixo de sua localizagao inicial no espaco 108 Fisica Ill considerando que nenhuma outra forca atue sobre elas Dica as uma carga puntiforme A massa do préton é 167 X 102 kg cargas uniformemente distribuidas se comportam como se esti b Outra reac4o nuclear de fusao que ocorre no nticleo do Sol vessem concentradas nos centros das duas esferas envolve a coliséo entre dois nticleos de hélio cada um deles 2372 a Supondo que uma gota de chuva de raio iguala com carga 2e raio 17 X 105 me massa 299 vezes maior 0650 mm possua carga igual a 360 pC uniformemente distri que a massa do proton Supondo a mesma geometria da colisio buida em seu volume qual 0 potencial elétrico sobre sua su jndicada na parte a qual deve ser a velocidade minima para perficie Considere 0 potencial igual a zero a uma distancia que a fusao nuclear ocorra sabendo que os nticleos devem se infinita da gota b Duas gotas de chuva idénticas cada uma aproximar até que a distancia entre seus centros seja aproximada delas com as cargas os raios especificados no item a colidem mente igual a 35 X 107 m Da mesma maneira que o proton e se unem constituindo uma Unica gota maior Qual o raio dessa a carga do nticleo de hélio é uniformemente distribufda ao longo gota maior e qual é 0 potencial sobre sua superficie supondo que de seu volume c Na Secao 183 mostramos que a energia ci a carga seja uniformemente distribuida em seu volume nética translacional média de uma particula de massa m em um 2373 CALC Uma carga elétrica total Q uniformemente g4s com temperatura absoluta T 32kT em que k é a constante distribuida ao longo de uma haste fina de comprimento a qe Boltzmann dada no Apéndice F Para os dois protons com Considere o potencial igual a zero no infinito Calcule 0 poten energia cinética média capaz de produzir o processo descrito cial nos seguintes pontos no item a qual é a temperatura absoluta necessaria Qual é a Figura P2373 a no Figura P2373 temperatura absoluta necessdria para que dois nticleos de hélio ponto P a uma distancia R produzam o processo descrito na parte b Para essas tempera x a direita da haste b no y turas os 4tomos ficam completamente ionizados de modo que ponto R a uma distancia y Q P os elétrons e os protons se movem separadamente d A tempe acima da extremidade di a 5 x ratura no nucleo do Sol é aproximadamente igual a 15 X 10K reita da haste c Como se Como se compara esse resultado com as temperaturas calculadas reduzem os resultados da no item c Como é possivel que as reagdes descritas em a e parte a e da parte b quando x ou y se tornam muito maiores b ocorram no interior do Sol Dica veja a discussao sobre a que a distribuigaéo das velocidades moleculares na Segao 185 2374 Uma particula alfa com energia cinética igual a 2378 CALC O potencial elétrico V de uma regiao de espaco 950 MeV quando esta muito longe colide frontalmente com dado por um nucleo de chumbo em repouso Qual é a menor distancia entre as duas particulas Suponha que o nticleo de chumbo seja uma Vix y 2 AG 3y 2 particula puntiforme e que permanega em repouso O nimero atomico do chumbo 82 A particula alfa um nticleo de hélio que A uma constante a Deduza uma expressao para o e possui numero atémico igual a 2 campo elétrico E em qualquer ponto nessa regiao b O trabalho 2375 Duas esferas metdlicas carregadas com tamanhos ealizado pelo campo quando uma carga de teste de 150 4C se diferentes possuem potenciais elétricos iguais sobre suas super desloca a partir do ponto x y z 0 0 0250 m até a origem ficies A esfera A possui um raio trés vezes maior que oraioda igual 600 X 10 J Determine A c Determinar 0 campo esfera B Sejam Q e Qp as cargas sobre as esferas e E e Ep elétrico no ponto 0 0 0250 m d Demonstre que em todos os médulos do campo elétrico sobre a superficie de cada esfera 08 planos paralelos ao plano xz os contornos equipotenciais sao Determine a a raz4o Q4Qp b a razdo E4Ep circulos e Qual 0 raio do contorno equipotencial correspon 2376 Uma esfera metdlica de raio R possui carga Q dentea V 1280 Ve y 200 m Considere o potencial igual a zero a uma distAncia infinitada 2379 DADOS 0 potencial elétrico em uma regiao que esfera a Determine o potencial elétrico e o campo elétrico na est dentro de 200 m de origem de um sistema de coordenadas superficie da esfera A esfera é a seguir conectada por um fio retangulares dado por V Ax By Cz D em que A condutor fino e longo a outra esfera de raio Ry que estaa muitos B C D 1 me n sao constantes As unidades de A B C e D so metros de distancia da primeira esfera Antes de ser conectada tais que se x y e z est4o em metros entao V esta em volts Vocé a segunda esfera esta descarregada Depois que 0 equilibrio ele mede Ve cada componente do campo elétrico em quatro pontos trostatico for atingido qual sera b a carga total sobre cada es Obtém os seguintes resultados fera c O potencial elétrico sobre a superficie de cada esfera d O campo elétrico sobre a superficie de cada esfera Suponha Ponto xyz m VV EVm EVm EVm que a carga do fio seja muito menor que a carga de cada esfera 1 000 10000 0 0 2377 PC Fus4o nuclear no Sol A fonte da energia do 2 0000 40120 o0 0 Sol é uma sequéncia de reagGes nucleares que ocorrem em seu 3 1000 600 120 o0 nucleo A primeira dessas reagGes envolve uma colisdo entre dois 4 0100 80 0 0 120 protons que se fundem formando um ntcleo mais pesado que libera energia Para que esse processo chamado fusGo nuclear a Use os dados na tabela para calcular A B C D 1 men possa ocorrer os prétons devem se aproximar até que suas su b Determine V e o médulo de E nos pontos 0 0 0 050 m perficies fiquem essencialmente em contato a Suponha que 950 m 050 m e 100 m 100 m 100 m os dois protons se desloquem com a mesma velocidade e quea 2380 DADOS Uma pequena esfera imével carrega uma colisdo seja frontal Sabendo que 0 raio do proton é iguala12 x carga liquida Q Vocé realiza 0 seguinte experimento para medir 107 m qual deve ser a velocidade minima para que ocorraa Q langa uma pequena particula de massa m 400 x 10 kg fusao nuclear A distribuigdo de cargas no interior de um pro6ton e carga g 500 X 10 Ca partir de uma grande distancia di é esfericamente simétrica de modo que o potencial e o campo retamente na direcao do centro da esfera O aparelho que vocé elétrico no exterior do proton sao idénticos aos produzidos por esta utilizando mede a velocidade v da particula em funcio da Capitulo 23 Potencial elétrico 109 distancia x da esfera Como a massa da esfera muito maior quea lei de Stokes F 67ryrv Quando a gota atinge velocidade u massa da particula projetada vocé supGe que aesferase mantémem a forca viscosa deve ser igual ao peso w mg da gota Mostre repouso Como todos os valores medidos de x séo muito maiores que que o médulo da carga da gota dado por o raio dos dois objetos vocé trata ambos os objetos como particulas puntiformes Vocé faz um grafico de v versus 1x com seus dados d nvr Figura P2380 A linha reta v 400 m2s 1575 ms2x 1 187 NI Ope fornece um bom ajuste para os pontos dos dados a Explique por que o grafico uma linha reta b Qual a velocidade ini c Vocé repete 0 experimento da gota de éleo de Millikan cial Uo da particula quando ela esta muito longe da esfera c Quatro de suas medigdes de V4z e de v estao listadas na tabela Determine Q d Qual é a distancia minima da esfera que a par ticula alcancga Suponha que essa distancia seja muito maior que Goa 123 Os raios da particula e da esfera portanto continue tratandoas como particulas puntiformes e supondo que a esfera permanece v10 ms 2540767 439 152 em repouso I Figura P2380 Em seu aparelho a separacao d entre as placas horizontais é de 599 100 mm A densidade do dleo que vocé usa é 824 kgm Para a v ms viscosidade 7 do ar use 0 valor 181 X 107 N sm Suponha 350 que g 980 ms Calcule a carga q de cada gota d Como a 300 carga elétrica é quantizada ou seja existe em multiplos do m6 250 dulo de um elétron entéo a carga em cada gota é igual a ne 200 onde n é o nimero de elétrons em excesso em cada gota Todas 150 as quatro gotas em sua tabela possuem carga negativa A gota 2 100 possui a carga de menor mddulo observada na experiéncia para 50 todas as 300 gotas sobre as quais foram realizadas as medig6es i m portanto suponha que sua carga é devida 4 carga em excesso de O 2 4 6 8 10 12 141618 x um elétron Determine o ntimero de elétrons em excesso n para cada uma das outras trés gotas e Use g ne para calcular e 2381 ee DADOS Experimento da gota de éleo de Millikan a partir dos dados relativos a cada uma das quatro gotas e cal A carga do elétron foi determinada pelo fisico norteamericano cule a média desses quatro valores para obter seu melhor valor Robert Millikan entre 1909 e 1913 Em seu experimento 0 leo experimental de e era pulverizado e formavamse mintisculas gotas dele com di metros da ordem de 107 mm no espaco entre duas placas paralelas horizontais separadas por uma distancia d Uma dife PROBLEMAS DESAFIADORES renga de potencial Vg mantida entre as placas criando entre 2382 eee CALC Uma casca cilindrica isolante fina com raio elas um campo elétrico orientado de cima para baixo Pelo atrito Re comprimento L como 0 tubo de papelao de um rolo de papel ou pela ionizagao do ar por raios X ou radioatividade algumas higiénico possui uma carga Q uniformemente distribuida sobre gotas adquirem cargas negativas As gotas sao observadas com sua superficie a Calcule o potencial eletrico em todos Os pon um microscoépio a Mostre que uma gota de dleo de raio rem tos ao longo do e1xo do cilindro Faga a orgem do sistema de repouso entre as placas dever4 permanecer em repouso quando coordenadas coincidir com 0 centro do tubo cilindrico e consi o médulo de sua carga for dado por dere o potencial no infinito igual a zero b Mostre que quando LR 0 potencial do item a se reduz ao potencial de um anel dn preed carregado com raio R veja o Exemplo 2311 na Segao 233 c 4 TT Use o resultado do item a para determinar o campo elétrico em 3 Vas todos os pontos ao longo do eixo do cilindro 2383 PC Nos experimentos de colisdes com nticleos até em que p a densidade do leo Despreze a forga de empuxo micos podem ocorrer colisdes frontais como as mencionadas do ar Ajustando o valor de Vag a fim de manter a gotaemre no Problema 2374 contudo quase colisées so mais comuns pouso podemos calcular a carga da gota desde que seu raio rseja Suponha que a particula alfa do Problema 2374 nao tenha sido conhecido b As gotas do experimento de Millikan eram muito gpontada exatamente para o centro do nticleo de chumbo pequenas e seus raios nao podiam ser medidos diretamenteEm porém possua um momento angular inicial diferente de zero em vez disso Millikan determinou r desligando 0 campo elétrico e relacao ao nticleo de chumbo em repouso com médulo L pob medindo a velocidade terminal v das gotas 4 medida que elas em que pp é o médulo do momento linear inicial da particula alfa cafam Discutimos 0 conceito de velocidade terminal na Segdo eb 100 X 107 2 m Qual é a menor distancia da aproximacdo 53 A forga viscosa F sobre uma esfera de raio r que se desloca do nticleo Repita os célculos para b 100 X 10 Bmeb com velocidade v em um fluido com viscosidade 7 dada pela 10 X 104 m Problemas com contexto ANALISE DE MATERIAIS COM IONS A espectrometriade para uma amostra Ao analisar a distribuicao e a energia dos fons retrodispersGo de Rutherford RBS do inglés Rutherford backs que estao dispersos em relacao aos ou seja foram desviados por cattering spectrometry é uma técnica utilizada para determinar colis6es com os 4tomos presentes na amostra os pesquisadores a estrutura e a composicao dos materiais Um feixe de fons ge podem determinar a composigao da amostra Para acelerar os ralmente fons de hélio é acelerado a uma alta energiae apontado fons de alta energia um acelerador eletrostatico tandem pode ser 110 Fisica Ill usado Nesse dispositivo os fons negativos He inicialmente da amostra pode induzir uma reacdo nuclear em vez de simples possuem um potencial V 0 e sao acelerados por uma alta tensio mente se dispersar Imagine um jon de hélio com uma energia positiva no ponto médio do acelerador A alta tensfo produz cinética igual a 30 MeV se deslocando diretamente em dire um campo elétrico constante no tubo de aceleragiio através do ao a um atomo em repouso na amostra Suponha que o atomo qual os fons se deslocam Quando os fons acelerados atingem o permanega fixo Determine a carga minima possivel do nticleo ponto médio os elétrons sAo removidos transformando os fons do atomo para que o jon de hélio nao fique mais pr6ximo que negativos em fons duplamente carregados positivamente He 10 fm do centro do niicleo atémico 1 fm 1 X 10 mee Estes fons positivos sao ento repelidos do ponto médio pela 0 mdédulo da carga de um elétron ou um proton a 2e b alta tenso positiva nesse ponto e continuam acelerando até o 1 1e c 20e d 22e final do acelerador onde novamente V 0 2386 A tensaio maxima no centro de um acelerador eletrostatico 2384 Para um certo experimento fons de hélio receberéo uma tandem tipico é de 60 MV Se a distancia de uma extremidade energia cinética igual a 30 MeV Qual deve seratensfionocen do tubo de aceleragao até o ponto médio é de 12 m qual é 0 tro do acelerador supondo que os fons estio inicialmente em re mddulo do campo elétrico médio no interior do tubo sob estas pouso a 30 MV b 30 MV c 15 MV d 10MV condigdes a 41000 Vm b 250000 Vm c 500000 Vm 2385 Um ion de hélio He que passa a uma distancia apro d 6000000 Vm ximadamente igual a 10 fm do centro do nticleo de um a4tomo RESPOSTAS Resposta a pergunta inicial do capitulo De acordo com 0 Exemplo 219 Secao 215 0 campo elétrico Resposta iii Uma grande e constante diferenga de potencial igual a zero no ponto O porque as contribuigdes do campo V mantida entre a ferramenta de solda a e as pegas metdli elétrico a partir de diferentes partes do anel se cancelam por cas a serem soldadas b Para uma dada diferenga de potencial completo Pelo Exemplo 2311 porém o potencial no ponto O entre dois condutores a e b quanto menor for a distancia dentre ndo é igual a zero Esse ponto corresponde a x 0 entéo V dois condutores maior sera 0 campo elétrico entre eles Logo 147r9Qa Esse valor de V corresponde ao trabalho necessa a distancia d deve ser pequena para que o mddulo do campo rio para deslocar uma unidade positiva de carga de teste ao longo elétrico E seja suficientemente elevado para ionizar 0 gds entre de uma trajetéria desde 0 infinito até 0 ponto O diferente de os condutores Secao 233 e produzir um arco através desse gas zero porque o anel carregado repele a carga de teste tornando Respostas as perguntas dos testes portanto necessdrio um trabalho positivo para deslocar a carga de compreensao de teste em dirego ao anel 231 Resposta a i b ii As trés cargas gq2eq3 sto 234 Resposta nao Se as cargas positivas da Figura 2323 positivas portanto os trés termos na soma da Equacio 2311 fossem substituidas por cargas negativas e viceversa as superfi A921 NgT13 G2gG3T23 SAo positivos Logo a energia Cis equipotenciais seriam as mesmas porém o sinal do potencial potencial elétrica total U é positiva Isso significa que é neces Seria invertido Por exemplo as superficies na Figura 2323b com sdrio um trabalho positivo para trazer as trés cargas do infinito potencial V 30 Ve V 50 V teriam potencial V 30 V até as posicées indicadas na Figura 2114 e consequentemente V 50 V respectivamente trabalho negativo para deslocar as trés cargas dessas posicdes de 235 Resposta iii Pela Equagao 2319 os componentes do volta ao infinito campo elétrico sio E dVdx B Dy Ey dVdy 232 Resposta nao Se V 0 em um dado ponto E nao é ne 3Cy Dx e E dVdz 0 O valor de A nao exerce cessariamente igual a zero nesse ponto Exemplo disso éo ponto enhum efeito o que significa que podemos adicionar uma c nas figuras 2123 e 2313 para o qual ha um campo elétrico no constante ao potencial elétrico em todos os pontos sem causar sentido x veja o Exemplo 219 na Secao 215 embora V 0 variagao em E ou na diferenga de potencial entre dois pontos veja o Exemplo 234 Nao é um resultado surpreendente porque O potencial nao depende de Z portanto o componente zde E VeE sao grandezas bem diferentes V é 0 trabalho resultante nulo Observe que na orlgem 0 campo eletrico é diferente de necessario para trazer uma unidade de carga do infinito até o zeto porque possui um componente x diferente de zero E ae fet B E 0E0 ponto em questio enquanto E é a forga elétrica que atua sobre y x uma unidade de carga quando ela chega nesse ponto Problema em destaque 233 Resposta nao Se E 0 em um dado ponto V ndo é qO Lta necessariamente igual a zero nesse ponto Exemplo disso éo0 In 5 ponto O no centro do anel carregado das figuras 2123 e 2321 8ireqa La OBJETIVOS DE APRENDIZAGEM Ao estudar este capítulo você aprenderá 241 A natureza dos capacitores e como calcular a grandeza que mede sua capacidade de armazenar energia 242 Como analisar capacitores conectados em uma rede 243 Como calcular a quantidade de energia armazenada em um capacitor 244 O que são dielétricos e como eles aumentam a eficácia dos capacitores 245 Como um dielétrico no interior de um capacitor carregado se torna polarizado 246 Como usar a lei de Gauss quando dielétricos estão presentes Revendo conceitos de 2122 15217 Polarização campo de condutores carregados dipolo elétrico 223225 Lei de Gauss 2332 34 Potencial de um condutor carregado potencial produzido por uma distribuição de carga cilíndrica Q uando você estica o elástico de um estilingue ou puxa uma flecha para trás encurvando um arco está armazenando energia mecânica sob a forma de energia potencial Um capacitor é um dispositivo que armazena energia po tencial elétrica e carga elétrica Para fazer um capacitor basta colocar um isolante entre dois condutores Para armazenar energia nesse dispositivo transfira carga de um condutor para outro de modo que um deles fique com uma carga negativa e o outro com carga igual mas sinal positivo É necessário realizar um trabalho para deslocar essas cargas até que se estabeleça uma diferença de potencial resultante entre os condutores e o trabalho realizado é armazenado sob a forma de energia potencial elétrica Os capacitores possuem inúmeras aplicações práticas como em unidades de flash das máquinas fotográficas em um laser pulsante nos sensores de airbags automotivos ou em receptores de rádio e televisão Encontraremos muitas dessas aplicações nos próximos capítulos principalmente no Capítulo 31 no qual veremos o papel crucial desempenhado pelos capacitores nos circuitos de corrente alternada que permeiam nossa sociedade tecnológica Neste capítulo porém a ênfase recairá sobre as propriedades fundamentais dos capacitores Para um capacitor em particu lar a razão entre a carga acumulada em cada condutor e a diferença de potencial en tre os condutores é uma constante chamada capacitância A capacitância depende das dimensões das formas dos condutores e do material caso haja existente entre eles Em comparação ao caso no qual existe somente vácuo entre os condutores a capacitância tornase maior quando há um material isolante ou dielétrico entre eles Isso resulta de uma redistribuição das cargas chamada polarização que ocorre no interior do material O estudo da polarização nos fornecerá maior compreensão das propriedades elétricas da matéria O estudo dos capacitores também nos fornece uma nova maneira de pensar sobre a energia potencial elétrica A energia armazenada em um capacitor carregado está A energia utilizada pela uni dade de flash de uma má quina fotográfica é armazenada em um capacitor que consiste em dois condutores separados por uma pequena distância e que possuem cargas opostas Caso a quantidade de carga nos condutores seja duplicada qual será o fator de aumento da energia armazenada i 2 ii 2 iii 22 iv 4 v 8 CAPACITÂNCIA E DIELÉTRICOS 24 BookSEARSVol3indb 111 101115 658 PM 112 Fisica Ill Figura 241 Um capacitor é relacionada ao campo elétrico existente no espago entre os condutores Veremos constituido por qualquer par de que a energia potencial elétrica pode ser considerada como armazenada no proprio condutores a e b isolados campo A ideia de que o proprio campo elétrico é 0 local onde a energia é armaze nada esta na base da teoria das ondas eletromagnéticas e do estudo da natureza da luz conforme discutiremos no Capitulo 32 condor 241 CAPACITANCIA E CAPACITORES Um capacitor Figura 241 é um sistema constituido por dois condutores sepa rados por um isolante ou imersos no vacuo Em quase todas as aplicag6es praticas cada condutor inicialmente possui carga liquida igual a zero e ha transferéncia de elétrons de um condutor para o outro dizemos nesse caso que 0 capacitor esta sendo Condutor b carregado No equilibrio os dois condutores possuem cargas de mesmo médulo mas de sinais opostos e a carga liquida no capacitor como um todo permanece igual a zero Supomos neste capitulo que esse caso sempre seja valido Quando afirmamos que um capacitor possui uma carga Q ou que existe uma carga Q armazenada em um capacitor queremos dizer que o condutor que esta a um potencial mais elevado possui carga Q e 0 condutor com 0 potencial mais baixo possui carga Q supondo que Q seja positiva Tenha isso em mente nas discuss6es e nos exemplos deste capitulo Em diagramas de circuitos um capacitor pode ser representado por qualquer um dos seguintes simbolos de Ae Nesses simbolos as linhas verticais retas ou curvas representam os condutores e as linhas horizontais fios conectados aos condutores Um método comum de carre gar um capacitor consiste em conectar esses dois fios aos terminais opostos de uma bateria Quando as cargas Q e Q sao estabelecidas sobre os condutores os fios sao desconectados da bateria Isso fornece uma diferenca de potencial fixa V entre os condutores ou seja o potencial do condutor com carga positiva a em relagdo ao condutor com carga negativa b que é precisamente igual a voltagem da bateria O campo elétrico em qualquer ponto na regiao entre os condutores proporcio nal ao médulo Q da carga em cada condutor A partir disso podemos concluir que a diferenga de potencial V entre os condutores também proporcional a Q Quando dobramos o médulo da carga de cada condutor dobramos também a densidade de carga em cada ponto o campo elétrico em cada ponto e a diferenga de potencial entre os condutores contudo a razdo entre a carga e a diferenca de potencial nao varia Essa razao é chamada de capacitancia C do capacitor oo Q Médulo da carga de cada condutor a vn capacit oo C Vie Diferenga de potencial entre os 241 ab condutores a possui carga Q b possui carga Q A unidade SI de capacitancia é um farad 1 F em homenagem a Michael Faraday fisico inglés do século XIX Pela Equacao 241 um farad é igual a um coulomb por volt 1 CV 1F 1 farad 1 CV 1 coulombvolt Quanto maior for a capacitancia C de um capacitor maior sera o médulo Q da carga em cada condutor para uma dada diferenga de potencial V e portanto maior a energia armazenada Lembrese de que o potencial é a energia potencial por unidade de carga Portanto a capacitancia é a medida da capacidade de Capitulo 24 Capacitancia e dielétricos 113 armazenar energia de um dado capacitor Veremos que o valor da capacitancia Figura 242 Um capacitor de placas depende somente da forma e do tamanho de cada condutor e da natureza do material Patalelas carregado isolante que existe entre os condutores A observacao anterior que afirmava ain a Disposiao das placas do capacitor dependéncia da capacitancia de Q e de V nao se aplica para certos tipos especiais de materiais isolantes Entretanto nao discutiremos esses materiais neste livro Fio Placa a area A ATENGAO Capacitancia versus coulombs Nao confunda o simbolo C usado para capa Aa citancia o qual sera sempre indicado em itdlico com a abreviacgao C para coulombs que nunca sera indicada em itdlico A 471 d Diferenga de potencial V Placa b area A Calculo da capacitancia capacitores no vacuo Flo Podemos calcular a capacitancia C de um dado capacitor determinando a dife renga de potencial Vj entre os condutores para um dado modulo da carga Qe a py Vista lateral do campo elétrico seguir usando a Equacao 241 No momento vamos considerar apenas capacitores no vdcuo OU seja vamos supor que exista apenas 0 espaco vazio entre os dois E condutores que constituem 0 capacitor O capacitor mais simples consiste em duas placas condutoras paralelas cada uma CTHY TT etry delas com area A separadas por uma distancia d pequena em comparacao as suas di peas mens6es Figura 242a Quando as placas sao carregadas 0 campo elétrico é quase i i completamente localizado na regiao existente entre as placas Figura 242b Conforme Quan do a distancia entre as placas é discutimos no Exemplo 228 Secdo 224 o campo entre essas duas placas é essen menor que as dimensoes das placas cialmente uniforme e as cargas sobre as placas sao distribuidas uniformemente sobre a distorgdo do campo elétrico nas suas superficies opostas Esse arranjo é chamado de capacitor com placas paralelas bordas do capacitor desprezivel Determinamos o modulo E do campo elétrico desse arranjo no Exemplo 2112 Secao 215 usando o principio da superposiao dos campos elétricos e também no Exemplo 228 Secio 224 usando a lei de Gauss E ttil fazer uma revisio desses exemplos Verificamos que E oe9 em que o o mddulo valor absoluto da densidade de carga superficial sobre cada placa Essa densidade é igual ao médulo da carga Q dividido pela area A da placa ou a QA logo o médulo E do campo elétrico pode ser escrito do seguinte modo pa 2 0 9A Figura 243 No interior de um microfone condensador hé um O campo é uniforme e a distancia entre as placas é d logo a diferenca de po See eal he d ee olucae ste tencial voltagem entre as duas placas é dada por mantidas a uma diferenca de potencial constante V Ondas 1 Qd sonoras fazem a placa flexivel se Vap Ed 0 A movimentar para a frente e para tras provocando variagao na capacitancia Ce escoamento da carga de e para o Logo capacitor conforme a relagaéo C Q V Dessa forma uma onda sonora é convertida em um fluxo de carga que leer tameiraenie Pe da carga de cada condutor pode ser amplificado e gravado capacitor com placas QO A Area de cada placa digitalmente paralelas no vacuo oe Vp 0 qs Distancia entre as placas 242 Diferenga de potencial entre as placas Pe scsse Constante elétrica a A capacitancia depende apenas da geometria do capacitor ela é diretamente pro Le porcional a area A de cada placa e inversamente proporcional a distancia d entre as i placas As grandezas A e d sao constantes para um dado capacitor e g uma cons 1 7 tante universal Logo no vacuo a capacitancia C é uma constante independente da a F oS carga do capacitor e da diferenca de potencial entre as placas Se uma das placas do capacitor for flexivel a capacitancia C varia se a distancia d entre as placas variar Esse 0 principio operacional de um microfone condensador Figura 243 J 114 Fisica Ill Figura 244 Um capacitor comercial Quando existe um material entre as placas suas propriedades influenciam a identificado com o valor de sua capacitancia Vamos voltar a esse topico na Segao 244 No entanto observamos capacitancia Para esses capacitores at C 2200 uF 1000 pF e 470 uF que se entre as placas do capacitor ha ar sob pressao atmosfrica em vez de vacuo a capacitancia difere menos que 006 do valor previsto pela Equagao 242 og a ne Na Equacgao 242 quando A é dado em metros quadrados e dem metros C é dado ee j Pr i em farads As unidades da constante elétrica eg sao CN m portanto liz IFHICN m1CJ ae Como V 1 JC energia por unidade de carga isso é coerente com nossa a ee definigao 1 F 1 CV Finalmente as unidades de eg podem ser expressas como al ae aa 1 C7N m 1 Fm logo ee ee 885 X 1012 Fm Essa relagao é util em calculos de capacitancia e também nos auxilia a verificar que a Equacao 242 é dimensionalmente consistente Um farad é uma capacitancia muito grande conforme indicado no Exemplo 241 Em muitas aplicagG6es unidades mais convenientes de capacitancia sao 0 mi crofarad 1 4F 10 F e 0 picofarad 1 pF 107 F Por exemplo o flash de uma maquina fotografica utiliza um capacitor de algumas centenas de microfarads Figura 244 ao passo que as capacitancias de um circuito de corrente alternada de um radio sao da ordem de 10 a 100 picofarads Para qualquer capacitor no vacuo a capacitancia C depende somente das for mas das dimens6es e da distancia entre os condutores que constituem 0 capacitor Quando as formas dos condutores séo mais complexas que as placas planas de um capacitor com placas paralelas as express6es das capacitancias sAo mais comple xas que a indicada na Equacao 242 Nos exemplos seguintes mostraremos como calcular C para duas outras geometrias dos condutores A distancia entre as placas paralelas de um capacitor de 10 Fé AVALIAR essa area corresponde a um quadrado com lado aproxi igual a 10 mm Qual é a area de cada placa madamente igual a 10 km O volume de um capacitor com essas dimensGes seria pelo menos Ad 11 X 10 m equivalente SOLUGAO a drea de um cubo com lado aproximadamente igual a 50 m Na realidade é possivel desenvolver capacitores de 1 F com apenas IDENTIFICAR E PREPARAR este problema aborda a relacgao al de lado O truque é tera substancia adequada entre a capacitancia C a distancia entre as placas de a area da Buns centimeiros Ce q 4 placa A a varidvelalvo para um capacitor com placas paralelas enire as placas m vez do vacuo de modo ae e nire outras Usamos a Equagao 242 e solucionamos a incégnita A cose a separagao das p lacas d poss Sr significativamente a uzida Exploraremos mais essa questao na Segao 244 EXECUTAR pela Equacao 242 3 4a 10 F10 X 107 m 15108 m 09 885 X 10 Fm BECEILIREZEA PROPRIEDADES DE UM CAPACITOR COM PLACAS PARALELAS A distancia entre as placas de um capacitor com placas paralelas do problema s4o a capacitancia C a carga Q em cada placa e 0 é igual a 500 mm e a area da placa é de 200 m Uma diferengca méddulo do campo elétrico E Usamos a Equacao 242 para cal de potencial de 100 kV é mantida através do capacitor Calcule cular C e a seguir obtemos a carga Q usando a Equacio 241 e a a capacitancia b a carga de cada placa e c o médulo do V Determinamos E usando a relacao E Qe A campo elétrico no espago entre as placas EXECUTAR a pela Equacao 242 2 SOLUGAO C 94 885 X 107 Fm 2 IDENTIFICAR E PREPARAR sao fornecidas a area da placa A a d 500 x 10 m distancia entre as placas de a diferenga de potencial V 100 x 354 10 F 000354 uF 10 V para esse capacitor com placas paralelas As varidveisalvo Continua Capitulo 24 Capacitancia e dielétricos 115 Continuagdao b A carga no capacitor é AVALIAR também podemos encontrar E lembrando que 0 campo elétrico é igual ao médulo do gradiente de potencial Equagao O CV 354 X 10 CV 100 x 104 V 2322 Visto que o campo entre as placas é uniforme 354 X 10 C 354 uC 4 Vab 100 X 10 V 6 Bs Kom 0 10 Vr A placa com o potencial mais elevado possui carga 354 wC e 500 X 10m a outra placa possui carga 354 uC Lembrese de que 1 NC 1 Vm c O mdédulo do campo elétrico é pal 2 354 X 10C 9 A 885 X 107 CN m200 m 200 X 10NC BAUIPELE UM CAPACITOR ESFERICO i sssmunnnnninniiniiniinininniniintnnnnnnnnen Duas cascas esféricas condutoras concéntricas estéo separadas Como exemplo se r 95 cme r 105 cm pelo vacuo Figura 245 A casca esférica interna possui carga total Q e raio externo r e a casca esférica externa possui 0095 m 0105 m carga Q e raio interno r Calcule a capacitancia desse capa C 47885 X 101 Fm O oiom citor esférico m 11 X 10F 110 pF SOLUGAO IDENTIFICAR E PREPARAR por definigdo a capacitancia AVALIAR podemos relacionar esse resultado para C a capacitan igual ao médulo Q da carga sobre qualquer uma das esferas di cia de um capacitor com placas paralelas A quantidade 47rr vidido pela diferenga de potencial V entre as esferas Primeiro é intermediria entre as dreas 47rr e 47rr das duas esferas na determinamos V e a seguir usamos a Equagdo 241 para de verdade ela é a média geométrica dessas duas areas que pode terminar a capacitancia C QV 4p mos designar por Ageg A distancia entre as esferas d rp Tq EXECUTAR usando uma superficie gaussiana como indicadona logo podemos reescrever 0 resultado como C 47rorqrp Figura 245 no Exemplo 225 Sedo 224 verificamos que a r ry Ageod Essa a mesma forma da capacitancia do carga sobre uma esfera condutora produz campo elétrico iguala capacitor com placas paralelas C gAd Se a distancia entre zero no interior da esfera portanto a esfera externa nao contribui as esferas é muito menor que seus raios a capacitancia é igual a para o campo elétrico entre as esferas Logo o campo elétrico e capacitncia de um capacitor com placas paralelas com a mesma 0 potencial elétrico entre as esferas so os mesmos do exteriorde distncia entre as placas e com a mesma Area uma esfera condutora carregada com carga Q Consideramos esse problema no Exemplo 238 Secao 233 entéio o mesmo Figura 245 Um capacitor esférico resultado se aplica nesta situagao 0 potencial é dado por V Q47reor em todos os pontos entre as esferas Portanto 0 po cao tencial do condutor interno positivo para r r em relacgao ao Supertie Z i uperticie condutor externo negativo para r rp é s gaussiana f Casca VV v Q Q WO externa aba Ateor 4ireqr Zr y carga O 211 097 4teyl Arey Maly Finalmente a capacitancia é Tat C Q 4treq ab Vab h Va 116 Fisica Ill Dois longos cilindros coaxiais estéo separados pelo vacuo A carga total Q existente no comprimento L é dada por Q AL Figura 246 O cilindro interno possui um raio r e densidade de modo que pela Equacao 241 a capacitaéncia C de um com linear de carga A O cilindro externo possui raio interno 7 e primento L é dada por densidade linear de carga A Caleule a capacitancia por unidade 0 AL Imeol de comprimento desse capacitor C Vab A tb In 1pra SOLUGAO areg Ta IDENTIFICAR E PREPARAR como no Exemplo 243 usaremosa A capacitncia por unidade de comprimento definigao fundamental de capacitancia C QV Usamos 0 re Cc 2TE9 sultado do Exemplo 2310 Seco 233 para encontrar a diferenga L In7r de potencial V entre os cilindros e encontramos a carga Q em um comprimento L dos cilindros a partir da densidade linear de Substituindo y 885 X 10 Fm 885 pEm obtemos carga A seguir determinamos a capacitancia C usando a Equacao 241 Nossa varidvelalvo é essa capacitancia dividida por L Cc 556 pFm EXECUTAR como no Exemplo 243 a presenga do cilindro L In pTq externo carregado n4o contribui para o potencial V entre os ci oo Lo lindros Portanto o resultado obtido no Exemplo 2310 para o AVALIAR a capacitancia de cilindros COaNTAIS determinada nm potencial em um ponto situado no exterior de um cilindro con teiramente pelas suas dimensdes como no aso do capacitor com placas paralelas Um cabo coaxial geralmente é feito de modo dutor carregado também valido para este exemplo de potencial semelhante porém em vez do vacuo existe um material isolante no espago entre os cilindros entre os cilindros condutores Um cabo coaxial tipico para uma r 1 antena de TV possui em geral uma capacitancia por unidade de Vea Daren In comprimento da ordem de 69 pFm Teg F Figura 246 Um capacitor cilindrico longo A densidade linear Aqui ro arbitrario com raio finito no qual V 0 Temos de carga A é considerada positiva nesta figura O médulo da ro rp 0 raio da superficie interna do cilindro externo Entéo carga em um comprimento L de ambos os cilindros é igual a AL 0 potencial da superficie externa do cilindro interno no qual y r r apenas o potencial V do cilindro interno positivo a 4 em relacdo ao cilindro externo negativo b Vy in 27éEy Iq Se A for positiva como na Figura 246 V também é positivo o cilindro interno possui um potencial elétrico superior ao do cilindro externo NS TESTE SUA COMPREENSAO DA SEGAO 241 Um capacitor possui vacuo no espaco entre os condutores Caso vocé dobre a quantidade de carga em cada condutor 0 que acon tece com a capacitancia i Aumenta ii diminui iii n4o varia iv a resposta depende do tamanho ou do formato dos condutores I Figura 247 Diversos tipos de 242 CAPACITORES EM SERIE E EM PARALELO capacitores disponiveis comercialmente Os capacitores sao fabricados com certos valores padronizados para as capaci tancias e para as voltagens de operacéo Figura 247 Contudo esses valores po dem n4o ser os que vocé realmente precisa para uma determinada aplicagao Vocé pode obter os valores desejados combinando capacitores muitas combinagGes sao Ke pe i possiveis e as ligagdes em série e em paralelo so as mais simples i es Capacitores em série 3 2 A Figura 248a é um diagrama esquematico de uma ligacaéo em série Dois a aad capacitores sao conectados em série um depois do outro por meio de fios condu oa ss Ae ill i tores entre os pontos a e b Inicialmente os dois capacitores nao estao carregados a eel Quando uma diferenga de potencial constante V é aplicada entre os pontos a e b Capitulo 24 Capacitancia e dielétricos 117 os capacitores ficam carregados a figura mostra que as cargas acumuladas em Figura 248 Uma ligagao em série de todas as placas condutoras possuem 0 mesmo médulo Para entender esse compor 4018 capacitores tamento observe inicialmente que a placa superior de C acumula carga positiva a pois capacitores ligados em série Q O campo elétrico dessa carga positiva atrai cargas negativas para cima da placa inferior de C até que todas as linhas de forca que comegam na placa superior C2Patitores em série De Os capacitores possuem a mesma carga Q terminem na placa inferior Isso sé é possivel quando a placa inferior possui carga soma das diferencas de potencial é Q Essas cargas negativas sao provenientes da placa superior de C3 que se torna Vic Vey Vip carregada positivamente com carga Q A seguir essa carga positiva puxa uma a carga negativa Q da conex4o no ponto b até que ela fique acumulada na placa y inferior de C A carga total na placa inferior de C e na placa superior de Cy devem 6 c v V juntas ser sempre igual a zero pois essas placas estao ligadas somente entre si e nao existe nenhuma fonte entre elas Portanto em uma ligacdo em série o médulo Van V de cada carga em todas as placas é sempre 0 mesmo 1 tht Observando novamente a Figura 248a podemos escrever as seguintes diferen 6 Cy Meo V2 cas de potencial entre os pontos aeccebeaebcomo L b Q Q 1 1 b O it ivalent VieHV Vv Yy Vi VV V0Q capacitor equivalente Cy Cy Cy Cy a A capacitancia equivalente é menor que as e portanto capacitancias Acarga 9 individuais igual para os J v i i 243 V capacitores Q Ci Cr individuais Q C Q eq V Seguindo uma convencgéo comum usamos os simbolos V V e V para designar 1 1 1 g 1 2eVp g Jot yt respectivamente as seguintes diferencas de potencial V através do primeiro ca Cg C1 OG pacitor V através do segundo capacitor e V através da combinacao inteira dos capacitores A capacitancia equivalente C dessa combinagao em série é definida como a capacitancia de um dinico capacitor para o qual a carga Q sera a mesma que a da combinacao quando a diferenca de potencial V for a mesma Em outras palavras a combinacao dos capacitores pode ser substitufida por um Unico capacitor equiva lente cuja capacitancia C Para tal capacitor indicado na Figura 248b temos Q 1 Vv Cg OU A 244 Vv Ceo Q Combinando as equagoes 243 e 244 encontramos 1 1 1 Ceq C Cy Podemos estender essa analise para um numero qualquer de capacitores conec tados em série Encontramos 0 seguinte resultado para o inverso da capacitancia equivalente Capacitores 1 1 1 1 em série Dan ta tat 245 rol Coq Ci Co C3 Capacitancia equivalente Saas ssseeh Sere sereeeeees preeaen Capacitancias dos da combinagio em série capacitores individuais O inverso da capacitancia equivalente de uma associacao de capacitores conectados em série é igual 4 soma dos inversos das capacitancias individuais Em uma ligagao de capacitores em série a capacitancia equivalente é sempre menor que qualquer uma das capacitancias individuais 118 Fisica lll Aplicagao Touch screen e ATENGAO Capacitores em série O médulo da carga é 0 mesmo em todas as placas de capacitancia A tela sensivel ao toque ee todos os capacitores ligados em série contudo as diferengas de potencial dos capacitores touch screen em um telefone celular um renee a gg MP3 player ou como mostrado aqui individuais nGo so as mesmas a nao ser quando as capacitancias individuais sfo as mesmas um dispositive médico usa a fisica de A soma das diferengas de potencial através dos capacitores individuais fornece a diferenga capacitores Atras da tela existem duas de potencial total através do conjunto da associagao em série Viota Vi V2 V3 camadas paralelas uma atras da outra de tiras estreitas de um condutor transparente como 6xido de indioestanho A voltagem é Capacitores em paralelo mantida entre as duas camadas As tiras de uma camada sao orientadas O arranjo indicado na Figura 249a denominase ligagao em paralelo Dois perpendicularmente as dla outra camada capacitores sao conectados em paralelo entre os pontos a e b Nesse caso as placas Os pontos em que duas tiras estao superiores dos dois capacitores so conectadas por um fio condutor constituindo sobrepostas atuam como uma grade de uma superficie equipotencial e as placas inferiores formam outra superficie equipo capacitores Quando vocé traz 0 seu dedo P quip oo P P a quip um condutor até um ponto na tela o dedo tencial Portanto em uma ligado em paralelo a diferenga de potencial é a mesma e acamada condutora anterior atuam através de todos os capacitores sendo dada por V V No entanto as cargas Q como um segundo capacitor em série e Q nao sdo necessariamente iguais visto que as cargas podem atingir as placas nesse ponto Os circuitos ligados as dos capacitores de forma independente a partir da fonte por exemplo uma bateria caradas condutoras detectam a cuja voltagem é V As cargas sao dadas por localizacao da variacao da capacitancia e J 8 ab P assim detectam onde vocé tocou a tela QCV e QQV fae 7 en A carga total Q da combinag4o e portanto a carga total no capacitor equiva lente é dada por 7 QQ Q C CyV cc Logo 3 nef Q Figura 249 Uma ligacao em paralelo A combinagao em paralelo é equivalente a um Unico capacitor com a mesma de dois capacitores carga total Q Q Qe coma mesma diferenga de potencial V da associagao a Dois capacitores ligados em paralelo Figura 249b A capacitancia equivalente da combinagao Ceg dada pela razao V desse capacitor Unico Portanto pela Equacao 246 Capacitores em paralelo Q P P quag Os capacitores possuem 0 mesmo potencial V Ceq Ci Cy A carga de cada capacitor depende de sua capacitancia Q CyV Q CV De modo andlogo podemos mostrar que para um ntimero qualquer de capaci F a tores em paralelo Viv G LL 0 0 eee Coq C 7 Cy C3 ae 247 ab em paralelo sake tteeeseittiessssernsiteneeeees Capacitancias dos Capacitancia equivalente vo da combinagao em paralelo capacitores individuais b A capacitancia equivalente de uma combinac4o de capacitores ligados b O capacitor equivalente se egA eg ae A carga éa em paralelo é igual a soma das capacitancias individuais Em uma ligacdo a soma das cargas em paralelo a capacitancia equivalente é sempre maior que qualquer capaci p p q Pp que qualq p ft 0 individuais tncia individual C ean 2 21 Q V 4 S Capacitancia 7 l O equivalente ATENGAO Capacitores em paralelo As diferengas de potencial sao as mesmas para Coq C1 Cy todos os capacitores conectados em paralelo contudo as cargas acumuladas em cada b capacitor individual ndo sao as mesmas exceto quando as capacitancias individuais sao iguais As cargas de cada capacitor se somam fornecendo a carga total do conjunto de capacitores ligados em paralelo Qjotaj Q Qo Q3 Compare essas afirmagées as que fizemos no quadro Atencao anterior Capitulo 24 Capacitancia e dielétricos 119 ESTRATEGIA PARA A SOLUGAO DE PROBLEMAS 241 CAPACITANCIA EQUIVALENTE IDENTIFICAR os conceitos relevantes 0 conceito de capacitan 2 Quando capacitores sao ligados em paralelo como na cia equivalente é Util sempre que ha ligacao de dois ou mais Figura 249 use a Equacao 247 para encontrar a capacitan capacitores cia equivalente Esses capacitores sempre possuem a mesma j tencial esta dift é igual a dif d PREPARAR o problema por meio das seguintes etapas diferenga de p rena esta ciferenga Tea a citerenga a potencial através do capacitor equivalente A carga total da 1 Faga um desenho da disposigao do capacitor Le Loy Lee combinacao é igual 4 soma das cargas individuais dos 2 Identifique todos os agrupamentos de capacitores conecta ene dos em série ou em paralelo pac oo a ok 3 Depois de substituir todos os agrupamentos em série ou em 3 Lembrese de que quando dizemos que um capacitor pos Lo tgs paralelo inicialmente identificados outros agrupamentos sui uma carga Q estamos afirmando que a placa com po podem ser revelados Substitua esses agrupamentos usando tencial mais elevado possui carga Q e a outra placa possui bow eae O o mesmo procedimento até nao existir mais nenhuma subs carga tituico possivel A seguir se precisar determinar a carga EXECUTAR a solucdo conforme segue ou a diferenga de potencial para um capacitor individual 1 Quando capacitores sao alinhados em série como na Figura vocé podera retomar as etapas realizadas 248 use a Equacao 245 Para encontrar a capacttancia equi AVALIAR sua resposta verifique se sua resposta faz sentido valente Esses capacitores sempre possuem a mesma carga 4 a ae Se os capacitores estao ligados em série a capacitancia equi supondo que nao apresentem nenhuma carga antes de serem As 7 valente Cq deve ser menor do que quaisquer capacitancias carregados essa carga é igual 4 do capacitor equivalente 4 Soe individuais Por outro lado se os capacitores estao ligados em A diferenga de potencial através da combinagao é igual a A Le eg paralelo C deve ser maior do que quaisquer capacitancias soma das diferengas de potencial individuais tg individuais BGUEUEZE CAPACITORES EM SERIE EE eRe Considere nas figuras 248 e 249 C 60 uF C 30 uF b Usando a Equagao 247 para uma combinagao em paralelo e Vz 18 V Encontre a capacitancia equivalente e calcule a temos carga e a diferenga de potencial para cada capacitor quando os CC C 6 60uF 30 uF capacitores sao conectados a em série Figura 248 e b em eq 1 2 ONE we paralelo Figura 249 90 uF SOLUGAO A diferenga de potencial através de cada um dos dois capacitores ligados em paralelo é a mesma através do capacitor equivalente IDENTIFICAR E PREPARAR em ambos os itens deste exemplo ee Loe eG ene 18 V A carga de cada capacitor é diretamente proporcional a uma das inc6gnitas a capacitancia equivalente Cg a qual para sua capacitancia a combinacao em série no item a é dada pela Equagao 245 P para a combinacao paralela no item b ela é dada pela Equacao Q CV 60 wF18 V 108 uC 247 Em ambos os casos determinamos a carga e a diferencga de ta QV 30 wF18 V 54 uC potencial usando a definigdo de capacitancia Equacao 241 e as 2 2 30 wF M descrit Estratégi lugao d b 241 eens SS Me esta para a solugae ee propremas AVALIAR note que a capacitancia equivalente C para a com EXECUTAR a usando a Equagao 245 para uma combinagao oe ae 4 em série temos binagao em série do item a é realmente menor que C ou C3 ao passo que para a combinacAo paralela no item b a capa 1 1 1 1 1 citancia equivalente é de fato maior que C ou C4 Para dois Cog CG 60 uF 30 uF Coq 20 uF capacitores em série como no item a a carga a mesma em ambos os capacitores e a maior diferenga de potencial surge A carga Q em cada capacitor em série é a mesma que a carga no através do capacitor que possui a menor capacitancia Além capacitor equivalente disso a soma das diferencas de potencial através dos capa citores individuais em série é igual 4 diferenga de potencial Q CogV 20 BF 18 V 36 uC através do capacitor equivalente Vz Vey Vay 18 V Por outro lado para dois capacitores em paralelo como no A diferenga de potencial através de cada capacitor inversamente jtem b ambos os c apacitores possuem a mesma diferenca proporcional a sua capacitancia de potencial e a maior carga é armazenada no capacitor que O 36 wC possui a maior capacitancia Vocé consegue demonstrar que a Vic V CG 60 uF 60V carga total Q Q na associac4o em paralelo é igual 4 carga me Q CegV do capacitor equivalente 36 wC Vy V 2 2OE poy C 30 uF 120 Fisica lll Calcule a capacitaéncia equivalente da combinagao de capacitores Esse resultado fornece a combinacao equivalente mostrada na da Figura 2410a Figura 2410b A seguir encontramos a capacitancia equivalente dos trés capacitores em paralelo e usamos a Equagao 247 para SOLUGAO substituilos por sua capacitaéncia equivalente C temos IDENTIFICAR E PREPARAR esses capacitores nao estado todos C3yF Il wF 4 pF 18 pF em série nem todos em paralelo Podemos contudo identi ficar partes do arranjo que estdo ou em série ou em paralelo Esse resultado fornece a combinac4o equivalente indicada na Agrupamos essas partes como descrito na Estratégia paraa so Figura 2410c que possui dois capacitores em série Usamos a lugao de problemas 241 para determinar a capacitancia equiva Equacao 245 para substituilos por sua capacitancia equivalente lente resultante usando a Equagiio 245 para as ligagdes em série C a varidvelalvo do problema Figura 2410d e a Equacao 247 para as ligacdes em paralelo 1 1 fl EXECUTAR a legenda da Figura 2410 descreve nosso pro Coq 6 BF cedimento Primeiro usamos a Equacao 245 para substituir a Coq 18 MF 9 MF combinagao em série dos capacitores de 12 uF e 6 uF pela sua capacitancia equivalente C AVALIAR se a diferenga de potencial através de todo 0 circuito na Figura 2410a é V 90 V a carga liquida no circuito Q 1 ol 1 CeqVap 6 MF 90 V 54 wC Vocé consegue encontrar a C 4uF 4 rrr C 12 uF 6 WF carga sobre cada um dos cinco capacitores individuais bem como a voltagem através de cada um Figura 2410 a Um conjunto de capacitores conectados entre os pontos a e b b Os capacitores de 12 wF e 6 wF que estavam ligados em série em a foram substituidos por um capacitor equivalente de 4 uF c Os capacitores de 3 wF 11 wFe 4 uF que estavam ligados em paralelo em b foram substituidos por um capacitor equivalente de 18 wF d Finalmente os capacitores de 18 wF e 9 pF que estavam ligados em série em c foram substituidos pelo capacitor equivalente de 6 uF a a b a c a d a p wo substituir Toes oe capacitores em série por Seer Sens um capacitor equivalente ee si re nn 2 9 Substituir estes capacitores em Substituir estes BFS 9 wF es Ty série por um capacitor equivalente To capacitores em série por um capacitor equivalente b b b b TESTE SUA COMPREENSAO DA SEGAO 242 Vocé deseja conectar um capacitor de 4 F a outro de 8 AF a Com qual tipo de ligagao o capacitor de 4 wF tera uma diferenga de potencial maior através dele que 0 capacitor de 8 wF i Em série ii em paralelo 11 ou em série ou em paralelo iv nem em série nem em paralelo b Com qual tipo de ligagao 0 capacitor de 4 wF tera uma carga maior através dele que o capacitor de 8 F i Em série i1 em paralelo iii ou em série ou em paralelo iv nem em série nem em paralelo 243 ARMAZENAMENTO DE ENERGIA EM CAPACITORES E ENERGIA DO CAMPO ELETRICO Muitas das aplicagdes mais importantes dos capacitores dependem de sua ca pacidade de armazenar energia A energia potencial elétrica armazenada em um capacitor carregado é exatamente igual ao trabalho realizado para carregalo ou seja o trabalho necessario para separar cargas opostas e depositalas em diferentes condutores Quando o capacitor é descarregado essa energia é recuperada como trabalho realizado pelas forgas elétricas Podemos determinar a energia potencial U de um capacitor carregado calculando o trabalho W necessario para carregalo Suponha que depois do processo a carga final seja Q e a diferenga de potencial final seja V De acordo com a Equacao 241 essas grandezas sao relacionadas por Capitulo 24 Capacitancia e dielétricos 121 y2 Cc Sejam g e vu respectivamente a carga e a diferenca de potencial em uma dada etapa intermediaria durante 0 processo de armazenamento de carga entao v qC Nessa etapa o trabalho dW necessario para transferir um elemento de carga adicional dq dado por q dq dW v dq C O trabalho total W necessario para aumentar a carga q de zero até um valor final Q é W 1 2 Oo We dw qdq trabalho para carregar 248 0 C Jo 2C um capacitor Esse também é igual ao trabalho total realizado pelo campo elétrico sobre a carga quando o capacitor é descarregado Entao g diminui de um valor inicial Q até zero a medida que cada elemento de carga dq se escoa por meio de diferengas de potencial v que variam desde V até zero Definindo como zero a energia potencial de um capacitor descarregado entao W na Equacgao 248 é igual 4 energia potencial U do capacitor carregado A carga final acumulada é dada por Q CV de modo que podemos expressar U que é igual a W do seguinte modo Médulo da carga em cada placa Energia potencial 4 Q 5 A acumulada emum 47 aC 3 CV 7 OV 249 capacitor we te Capacitancia Diferenca de potencial entre as placas Quando Q é dado em coulombs C em farads coulombs por volt e V em volts joules por coulomb U é dado em joules A ultima forma da Equagao 249 U 5OV mostra que o trabalho total W neces sario para carregar 0 capacitor é igual a carga total Q multiplicada pela diferenga de potencial média 3V durante 0 processo de carga A expressao U 3Q7C na Equacao 249 mostra que um capacitor carregado é o analogo elétrico de uma mola comprimida ou esticada com energia potencial eldstica U kx A carga Q é semelhante a deformagao da mola x e 0 inverso da capacitancia 1C desempenha papel semelhante ao da constante da mola k A energia fornecida para carregar um capacitor é andloga ao trabalho que realizamos para produzir uma deformagao na mola As equacées 248 e 249 mostram que a capacitancia mede a capacidade do capa citor de armazenar simultaneamente carga e energia Quando um capacitor é carre gado por meio de uma conex4o a uma bateria ou por fonte que fornece uma diferenga de potencial fixa V se aumentamos o valor de C obtemos uma carga maior Q CV e uma quantidade maior de energia acumulada U 3C V Quando o objetivo é transferir uma dada quantidade de carga Q de um condutor para outro a Equaao 248 mostra que o trabalho W necessario inversamente proporcional a C quanto maior for a capacitancia mais facil sera fornecer ao capacitor uma quantidade fixa de carga Aplicagoes de capacitores armazenamento de energia A maioria das aplicag6es praticas de capacitores tira proveito de sua capacidade de armazenar e liberar energia Nas unidades de flash eletrénico utilizadas por 122 Fisica lll Figura 2411 A maquina Z usa um fotdgrafos a energia armazenada em um capacitor veja a Figura 244 é liberada grande numero de capacitores em acionandose o botao do obturador da camera Isso cria uma corrente que flui de paralelo para produzir uma enorme uma placa 4 outra do capacitor através do tubo que emite o flash Durante essa capacitancia equivalente C veja a descarga a energia armazenada rapidamente convertida em um breve porém Secao 242 Logo uma grande to ele Lf Lay2 intenso clarao de luz Um exemplo extremo do mesmo principio a maquina Z quantidade de energia U 3CV do Sandia National Laboratori N Méxi 2 d ae pode ser armazenada mesmo com 0 Sandia National Laboratories no Novo Mexico que usada em experiéncias uma modesta diferenca de potencial COM fusao nuclear controlada Figura 2411 Um banco de capacitores carregados V Os arcos aqui demonstrados sao libera mais de um milhao de joules de energia em alguns bilionésimos de segundo produzidos quando os capacitores Nesse breve instante a geracdo de energia da maquina Z é de 29 X 104 W ou descarregam energia em um alvo que cerca de 80 vezes a geracdo da energia elétrica de todas as usinas da Terra juntas nao maior que um carretel de linha Em outras aplicagGes a energia é liberada de forma mais lenta As molas de suspen Com isso 0 alvo é aquecido a uma x Z aps 9 sao em um automdovel ajudam a amortecer a viagem ao absorver a energia dos stbitos temperatura superior a2 X 10 K solavancos liberando essa energia gradualmente de modo andlogo um capacitor em um circuito eletr6nico pode amenizar variag6es indesejaveis de voltagem decorrentes de picos de energia Discutiremos esses circuitos em detalhes no Capitulo 26 Energia do campo elétrico Podemos carregar um capacitor transferindo elétrons diretamente de uma placa para outra Para isso necessario realizar um trabalho contra o campo elétrico entre as placas Portanto podemos imaginar que a energia esteja armazenada no campo na regiao entre as placas Para desenvolvermos essa relagao vamos calcular a energia por unidade de volume no espao existente entre as placas de um capaci tor com placas paralelas de area A e separadas por uma distancia d Essa grandeza denominase densidade de energia designada pela letra u Pela Equagao 249 a energia potencial total armazenada é igual a C V eo volume entre as placas é Ad portanto a densidade de energia é 1 CV u Densidade de energia 2410 Ad Pela Equagao 242 a capacitancia C é dada por C eAd A diferenga de po tencial V é relacionada ao médulo do campo elétrico E por V Ed Usando essas relagdes na Equacao 2410 os fatores geométricos A e d se cancelam e encontramos Densidade de energia y Moédulo do campo elétrico ar 1 elétrica no vacuo Uu 79E 2411 Constante elétrica Embora essa relacgao tenha sido deduzida somente para um capacitor com placas paralelas verificase que ela é valida para qualquer capacitor no vacuo e na verdade para qualquer configuracdo do campo elétrico no vacuo Esse resultado possui uma consequéncia importante Imaginamos que 0 vacuo seja um espaco no qual nao existe matéria contudo no vacuo pode existir um campo elétrico e portanto ele pode possuir energia Logo 0 espago vazio afinal de contas nao precisa ser verdadeira mente vazio Voltaremos a discutir essa ideia e usaremos a Equacao 2411 no Capitulo 32 relacionada a energia transportada por ondas eletromagnéticas ATENGAO Energia do campo elétrico é energia potencial elétrica E um erro conceitual comum supor que a energia do campo elétrico seja uma nova forma de energia diferente da energia potencial elétrica descrita anteriormente Isso ndo é verdade tratase simplesmente de outro modo de interpretar a energia potencial elétrica Podemos considerar a energia de um dado sistema de cargas como uma propriedade dividida por todas as cargas ou po demos considerar a energia como uma propriedade do campo elétrico criado pelas cargas Qualquer uma das duas interpretagdes conduz ao mesmo valor da energia potencial Capitulo 24 Capacitancia e dielétricos 123 BETEILINZRA TRANSFERENCIA DE CARGAE DE ENERGIAENTRE CAPACITORES Carregamos um capacitor de carga C 80 wF conectandoo conservacao da carga Q Q Qo A diferenga de potencial a uma fonte de alimentacao a uma diferenga de potencial Vy Ventre as placas é a mesma para ambos os capacitores porque 120 V e a seguir a fonte de alimentagao é desconectada Figura tratase de uma ligaao em paralelo logo as cargas sio Q CV 2412 A chave S esta aberta a Qual é a carga Qy sobre Cb e Qo CyV Temos portanto trés expressdes independentes re Qual é a energia armazenada em C c O capacitor C7 40 uF lacionando as trés incdégnitas Q Q e V Solucionandoas temos esta inicialmente descarregado Fechamos a chave S Quando nao ha mais fluxo de carga qual é a diferenga de potencial através Q 960 wC de cada capacitor e qual é a carga de cada capacitor d Qual é v CG 80 uF 40 uF 80V a energia final do sistema ue ue Q 640 uC Qy 320 wC SOLUGAO IDENTIFICAR E PREPARAR nos itens a e b obtemosacarga 4 A energia final do sistema Qo e a energia armazenada Ujpicia para 0 capacitor carregado C usando as equacGées 241 e 249 respectivamente Quando a Usinal sO Vt 5QoV 5OoV chave S é fechada um fio conecta as placas superiores dos dois capacitores e outro fio conecta as placas inferiores ou seja Os ca 5 960 X 10 C 80 V 0038 J pacitores so ligados em paralelo No item c usamos a proprie dade da ligagao em paralelo para determinar como a carga Qy AVALIAR a energia final é menor que a energia inicial a dife compartilhada entre os dois capacitores No item d novamente renca foi convertida em outra forma de energia Os condutores usamos a Equagao 249 para determinar a energia armazenada tornamse ligeiramente mais quentes por causa da resisténcia nos capacitores C e C2 a energia total a soma desses valores outra parte da energia foi irradiada sob a forma de ondas ele EXECUTAR a a carga inicial Qo em C é tromagnéticas Estudaremos 0 comportamento de circuitos com capacitores com mais detalhes nos capitulos 26 e 31 Qy CVo 80 wF 120 V 960 nC Figura 2412 Quando a chave S esta fechada o capacitor b A energia armazenada inicialmente em C é dada por carregado C fica conectado ao capacitor descarregado C A parte central da chave possui uma alga isolante as cargas sé podem ser transferidas entre os dois terminais superiores e Usnicial 3Q0Vo 3 960 X 10 C 120 V 0058 J entre os dois terminais inferiores dos capacitores c Quando a chave é fechada a carga positiva Qo fica distribuida 20 ss a sobre as placas superiores dos dois capacitores e a carga negativa HW 120V Qo fica distribuida sobre as placas inferiores Sejam Q e Q os C 80 uF 5 C 40 uF méodulos das cargas finais dos dois capacitores De acordo com a a Qual é 0 modulo do campo elétrico necessario para armazenar aC 100 J de energia potencial elétrica em um volume de 10 m no E J vacuo b Caso o médulo do campo elétrico fosse 10 vezes 0 885 X 10 CN mm maior qual seria a quantidade de energia armazenada por 475 X 10NC 475 X 105 Vm metro ctibico SOLUGAO b A Equacao 2411 mostra que u é proporcional a E Quando Se E aumenta por um fator 10 uw aumenta por um fator 10 100 e IDENTIFICAR E PREPARAR usamos arelacao entreomédulodo densidade de energia passa a ser u 100 Im campo elétrico Ee a densidade de energia u No item a usamos AVAL IAR o ar seco pode sustentar um campo elétrico de cerca de a informagao fornecida para encontrar u a seguir aplicamos a 3 x 10 Vm sem sofrer ruptura dielétrica Discutiremos isso na Equagao 2411 para obter o valor requerido de E No item b Secao 244 na qual veremos que o médulo de um campo elétrico essa mesma equagao nos fornece a relagao entre as variagdes em em jgolantes na pratica pode ser ainda maior que isso Ee as variagGes correspondentes em u EXECUTAR a a densidade de energia desejada é u 100 Jm Pela Equac4o 2411 obtemos 124 Fisica Ill ASUS DOIS METODOS PARA CALCULAR A ENERGIA ARMAZENADA EM UM CAPACITOR O capacitor esférico descrito no Exemplo 243 Segao 241 pos Oo Or n sui cargas Q eQ sobre os condutores do interior e do exterior U 2C 8irey Tal da esfera Calcule a energia potencial elétrica armazenada no cap acitor a usando a capacitancia c encontr ada no Exemp lo b O campo elétrico na regiao r r r entre os dois condutores 243 b integrando a densidade de energia do campo elétricou acréricos possui médulo E Q4zregr A densidade de energia nessa regiao é SOLUGAO IDENTIFICAR QV IDENTIFICAR E PREPARAR podemos determinar a energia U S eyE 0 2 armazenada em um capacitor de duas formas diferentes em ter Airegr 32a egr mos do trabalho realizado para colocar cargas nos dois condu ee tores e em termos da energia existente no campo elétrico entre densidade de enerela ndo uniforme ela diminui rapidamente os dois condutores Ambas as descricdes se equivalem portanto 4 medida que a distancia em relagao ao centro do capacitor au ambas devem fornecer 0 mesmo resultado para U No Exemplo enta Para calcularmos a energia elétrica total armazenada no 243 encontramos a capacitancia Ceo médulo do campo Eentre 4Mpo elétrico integramos u a energia por unidade de volume os condutores O campo elétrico é igual a zero no interior da es sobre a regiao r r rp Dividimos esse volume em camadas fera interna e no exterior da superficie interna da esfera externa esféricas de raio r area superficial Amr espessura dr e volume porque uma superficie gaussiana de raio rr ourrencerra VY 4arrdr e obtemos carga liquida zero Portanto a densidade de energia sé é dife 5 Th rente de zero no espaco entre as esferas rz r rp No item a Q 2 x U JudV sg A dr usamos a Equacao 249 para encontrar U No item b usamos a 32q7 or Equacao 2411 para encontrar u que integramos sobre o volume 2 Tp 2 entre as esferas para encontrar U dr Of 1 4 1 EXECUTAR a pelo Exemplo 243 verificamos que um capaci 87r9 J 72 8779 Ua tor esférico possui capacitancia Qo h Va Talb C Arey 87EQ Talb b Yq em que r I S40 respectivamente o raio do condutor interno AVALIAR a energia potencial elétrica pode ser associada as car e 0 raio do condutor externo De acordo com a Equaciio 249a gas como no item a ou ao campo como no item b a quan energia armazenada nesse capacitor é tidade de energia armazenada é a mesma em ambos 0s casos TESTE SUA COMPREENSAO DA SEGAO 243 Queremos conectar um capacitor de 4 wF a outro de 8 uF a Com qual tipo de ligacgao o capacitor de 4 uF tera uma quantidade maior de energia armazenada que 0 capacitor de 8 F 1 Em série ii em paralelo iii ou em série ou em paralelo iv nem em série nem em paralelo 244 DIELETRICOS Quase todos os capacitores possuem entre suas placas condutoras um material isolante ou dielétrico Um tipo comum de capacitor usa como placas longas tiras metalicas enroladas e separadas por tiras de um plastico como o Mylar Um sanduiche feito com esses materiais é enrolado formando uma unidade que pode Figura 2413 Um tipo comum de capacitor utiliza placas dielétricas fornecer uma capacitancia de diversos microfarads em uma embalagem compacta para separar os condutores Figura 2413 Colocar um dielétrico sdlido entre as placas de um capacitor possui trés obje tivos Em primeiro lugar resolve o problema mecanico de manter duas grandes Condutor placas metalicas separadas por uma distancia muito pequena sem que ocorra con folha metalica tato entre elas Em segundo lugar usando um dielétrico tornase possivel aumentar a diferenca de potencial maxima entre as placas Conforme dissemos na Sec4o 233 qualquer material isolante quando submetido a um campo elétrico suficientemente elevado Condutor sofre uma ruptura dielétrica uma ionizacao parcial que permite a conducao atra folha metélica Dielétrico vés dele Muitos materiais dielétricos conseguem suportar campos elétricos mais placa plastica elevados que o do ar sem que ocorra ruptura do isolamento Portanto 0 uso de Capitulo 24 Capacitancia e dielétricos 125 um dielétrico permite a sustentagdo de uma diferenga de potencial mais elevada Figura 2414 Efeito de um Ve assim 0 capacitor pode acumular maiores quantidades de carga e de energia dieletrico colocado entre as placas tA gs de um capacitor com placas Em terceiro lugar a capacitancia de um capacitor com dimens6es fixas quando oo oo paralelas a Para uma dada carga a existe um dielétrico entre as placas maior que a capacitancia do mesmo capa diferenca de potencial é Vp b Para citor quando ha vacuo entre as placas Podemos verificar esse efeito usando um a mesma carga porém com um eletrometro sensivel um dispositivo que permite a medida da diferenca de poten dielétrico colocado entre as placas a 2 diferenga de potencial V é menor cial entre dois condutores sem que haja fluxo de carga apreciavel de um condutor que V A 0 para o outro A Figura 2414a mostra um eletr6metro conectado as placas de um capacitor carregado sendo Q o médulo da carga de cada placae Vy adiferenca de potencial Quando inserimos entre as placas um dielétrico descarregado como Vacuo vidro parafina ou poliestireno 0 experimento mostra que a diferenga de potencial diminui para um valor menor V Figura 2414b Quando removemos o dielétrico a diferenga de potencial retorna a seu valor original Vo 0 que mostra que as cargas originais do capacitor nao se alteram A capacitancia original Co dada por Cg QVo e a capacitancia quando o dielétrico esta presente é dada por C QV A carga Q é a mesma nos dois casos e como Vé menor que Vo concluimos que a capacitancia C com o dielétrico é maior que Cy Quando o espaco entre as placas se encontra completamente preenchido Eletrometro com 0 dielétrico a razao C sobre Co que é igual 4 razao entre Vp e V denominase Ker mede a constante dielétrica K do material f diferenga de potencial entre C as placas K definigao de constante dielétrica 2412 Co b Quando a carga é constante Q CoVp CVe CCo VV Nesse caso Dielétrico W Q V rs quando Q é constante 2413 Quando o dielétrico esta presente a diferenca de potencial para uma carga fixa Q é reduzida por um fator igual a K Fs A constante dielétrica K um nimero puro Como C sempre maior que Co K sempre maior que 1 Alguns valores de K sao fornecidos na Tabela 241 Aerescentar 9 Z oe ow 1eletr1co reduz Para 0 vacuo K 1 por definigao Para o ar em temperatura e presséo comuns ne a diferenca de K aproximadamente igual a 10006 esse valor é tao pré6ximo de que para I IV potencial através aplicag6es praticas um capacitor no ar é equivalente a um capacitor no vacuo do capacitor Note que embora a 4gua possua um valor de K elevado ela nao é um dielétrico pratico para ser usado em capacitores A razao é que embora a Agua pura seja um condutor pobre ela também é um excelente solvente i6nico Qualquer fon dissolvido na 4gua produz um fluxo de cargas entre as placas de modo que o capacitor se descarrega TABELA 241 Valores da constante dielétrica K a 20 C Material 0K Materint Ar 1 atm 100059 Plexiglas Polietileno 225 Germanio 16 Benzeno 228 Glicerina 425 Mica 36 Agua 804 Mylar 31 Titanato de estréncio 310 126 Fisica lll Figura 2415 Linhas do campo ATENGAO Constante dielétrica versus constante elétrica Nao confunda a constante dielétrica K eletr ico com a vacuo entre as placas com a constante elétrica 9 O valor de K é um numero puro sem unidades e é diferente para materiais b dielétrico entre as placas diferentes veja a Tabela 241 De modo contrario eg é uma constante universal e possui as unidades a Vacuo b Dielétrico CN m ou Fm pyle a Tt Nenhum dielétrico real é um isolante perfeito Portanto ha sempre uma corrente iu 7 de fuga entre as placas carregadas de um capacitor com um dielétrico Na Secao F ae 242 ignoramos tacitamente esse efeito quando deduzimos as expresses para a capacitancia equivalente de capacitores em série Equacao 245 e de capacitores Ho 4 em paralelo Equagdo 247 Mas caso exista uma corrente de fuga fluindo durante i eae MY um periodo muito longo capaz de alterar os valores das cargas que usamos para y 4 induzidas deduzir as equacdes 245 e 247 essas equacoes talvez jA ndo sejam tao precisas cr cr 4 Carga induzida e polarizagao a Quando um material dielétrico é inserido entre as placas enquanto a carga é ei oi mantida constante a diferenga de potencial entre as placas diminui por um fator K o i o Portanto o campo elétrico entre as placas deve diminuir pelo mesmo fator Sendo Para uma dada densidade de carga o as cargas Eg valor no vacuo quando o dielétrico estd presente o valor é igual a E entio induzidas sobre as superficies dielétricas reduzem 0 campo elétrico entre as placas E E ze quando Q é constante 2414 DADOS MOSTRAM Visto que o médulo do campo elétrico é menor quando o dielétrico esta presente a densidade de cargas superficial que produz 0 campo também deve ser menor Capacitores e capacitancia A carga superficial sobre as placas condutoras nao varia porém surge uma carga Quando os alunos recebiam induzida com um sinal oposto ao da carga da placa em cada superficie do material um problema sobre dielétrico Figura 2415 O dielétrico estava inicialmente neutro e deve permane CE eee eee cer eletricamente neutro as cargas induzidas na superficie surgem em consequén reapesta incor ume cia de uma redistribuigdo das cargas positivas e negativas no interior do material Erros comuns dielétrico um fendmeno denominado polarizagao Na Secao 212 abordamos a Esquecer que a capacitancia polarizagao sugerimos que voce leia novamente a discussao da Figura 218 Vamos Ede um capacitor depende supor que a carga superficial induzida seja diretamente proporcional ao modulo somente da geometria dele E do campo elétrico no material isso é o que efetivamente ocorre com muitos tamanho forma e posigao dielétricos comuns Essa proporcionalidade direta é analoga a lei de Hooke para dos seus condutores e da uma mola Nessas circunstancias K é constante para qualquer material particular presenga ou auséncia de um Quando o campo elétrico é muito forte ou quando o dielétrico é feito com certos dielétrico C nao depende da materiais cristalinos a relacgdo entre a carga induzida e 0 campo elétrico pode ser quantidade de carga Q mais complexa esses casos nao serao considerados aqui colocada sobre os Podemos deduzir uma relacdo entre essa carga superficial induzida e a carga COU SOLS sobre as placas Vamos designar o mdédulo da carga induzida por unidade de area Nao entender 0 que acontece da superficie do dielétrico a densidade superficial de carga induzida pelo sim Seay SIE eos bolo a O médulo da densidade superficial de carga sobre as placas do capacitor a cnnle insesineaseemover é designado por o como de costume Entao a densidade superficial de carga total um dielétrico Se 0 capacitor em cada lado do capacitor é igual a o oj conforme indica a Figura 2415b esta isolado Q permanece Como vimos nos exemplos 2112 Seco 215 e 228 Segdo 224 o campo entre constante porém a diferenca as placas esta relacionado a densidade superficial de carga liquida por E Ojoo de potencial V se altera Com e sem 0 dielétrico respectivamente temos quando C se altera Se V é mantida constante Q se E o p a 0 altera quando C se altera 0 Eo Eo 2415 Usando essas expresses na Equacao 2414 e reagrupando o resultado encon tramos 1 re Oo o1 z densidade superficial de carga induzida 2416 Capitulo 24 Capacitancia e dielétricos 127 Essa equac4o mostra que quando K é muito grande o é aproximadamente igual ao Nesse caso 0 praticamente cancela a e o campo e a diferenga de potencial s4o muito menores que seus respectivos valores no vacuo O produto Keg denominase permissividade do dielétrico designado por e e Key definigao de permissividade 2417 Em fungao de e podemos expressar 0 campo elétrico dentro do dielétrico por meio da relacao E e 2418 Aplicagaéo Capacitores na caixa de ferramentas arios dispositivos praticos fazem uso da forma com a qual um capacitor Logo responde a uma variagao em uma constante dielétrica Um exemplo disso 6 um detector Capacitanciadeum Constante dielétrica Area de cada placa eletrico de metal usado para localizar objetos capacitor com placas é A AY A Permissividade Keg metalicos atras de uma parede Tratase de paralelas dielétricoC KCy Key 2419 uma placa cle metal com circuito associado A entre as placas Bs x dy d placa atua como a metade cle um capacitor Capacitancia Constante Disténcia entre as placas enquanto a parede atua como a outra sem dielétrico elétrica metade Se o detector passa sobre um objeto de metal a constante dielétrica efetiva para o capacitor varia alterando a capacitancia e Podemos repetir a deducao da Equacaéo 2411 para a densidade de energia u acionando um sinal em um campo elétrico para o caso no qual exista um dielétrico entre as placas O resultado é Constante dielétrica Permissividade Keg i ia Y ctriea em um dieletrico BKEqE 362 20 Constante elétrica Médulo do campo elétrico No espaco vazio temos K 1 9 e as equacGées 2419 e 2420 se reduzem as equacGes 242 e 2411 respectivamente para um capacitor com placas paralelas no a vacuo Por essa razao g algumas vezes é chamado de permissividade do vacuo ou permissividade do espacgo vazio Como K é um numero puro e 9 possuem f as mesmas unidades dadas por Fm ou CN m vfs A Equagao 2419 indica que capacitancias extremamente altas podem ser obti 5 Oo das com placas que possuem uma grande area de superficie A e estao separadas por uma pequena distancia d por um dielétrico com um grande valor de K Em um as capacitor eletrolitico de duas camadas minisculos granulos de carbono aderem a r cada placa o valor de A a area de superficie combinada dos granulos que pode 4 ser enorme As placas com aderéncia de granulos sao separadas por uma placa ai dielétrica muito fina Um capacitor desse tipo pode ter uma capacitancia de 5000 F 7 e ainda caber na palma da mao compare com o Exemplo 241 na Segao 241 ESTRATEGIA PARA A SOLUCAO DE PROBLEMAS 242 DIELETRICOS sssssssssssssscscseseees IDENTIFICAR os conceitos relevantes as relagdes apresentadas PREPARAR o problema por meio das seguintes etapas nesta secAo serao titeis sempre que houver um campo elétrico 1 Faga um desenho da situagao em um dielétrico como um dielétrico entre as placas carrega 2 Identifique as varidveisalvo e escolha quais das principais das de um capacitor Geralmente vocé sera solicitado a rela equagOes desta segao serao Uteis na determinacao dessas cionar a diferenca de potencial V entre as placas o médulo variaveis do campo elétrico E no capacitor a densidade de carga a nas EXECUTAR a solucdo conforme segue placas do capacitor e a densidade de carga induzida oj nas Em problemas do tipo ilustrado no pr6ximo exemplo é facil superficies do capacitor vocé se perder em um labirinto de formulas A cada etapa Continua 128 Fisica lll Continuagdo perguntese qual é 0 significado de cada simbolo Porexem AVALIAR sua resposta na presenga de um dielétrico a a ca plo faga uma clara distingao entre carga e densidade de pacitancia é sempre maior que a capacitancia sem o dielétrico carga e entre campo elétrico e diferenga de potencial b para uma dada quantidade de carga no capacitor o campo 2 Confira a consisténcia das unidades As distancias sempre elétrico e a diferenga de potencial sao menores que os respec devem estar em metros Lembrese de que um microfarad tivos valores sem o dielétrico e c o mddulo da densidade é igual a 10 farad e assim por diante Nao confunda o superficial de carga induzida 0 sobre o dielétrico possui um valor numérico de com o valor de 147rg O médulo do méddulo sempre menor que 0 médulo da densidade superficial campo elétrico pode ser expresso tantoem NC comoem de carga o sobre as placas do capacitor Vm As unidades de sao CN m ou Fm EXEMPLO 2410 BCR Suponha que cada uma das placas paralelas na Figura 2415 pos d Pela Equacao 2412 a constante dielétrica é sua area igual a 2000 cm 200 x 107 m2 e que a distancia 40 entre as placas seja igual a 100 cm 100 X 107 m O capacitor K co 531 x 107 F 931 pF esté conectado a uma fonte de alimentacio e é carregado até que Co 177 X10 F 177 pF a diferenca de potencial atinja um valor Vo 300 kV A seguir 300 ele é desconectado da fonte de alimentagaéo e uma camada de material plastico isolante é inserida entre as placas do capacitor Alternativamente pela Equacao 2413 preenchendo completamente o espaco entre elas Verificamos que a diferenga de potencial diminui para 100 kV enquanto a Yo 3000 V K 300 carga de cada capacitor permanece constante Calcule a a capa V 1000 V citancia original Co b o médulo da carga Q de cada placa c a capacitancia C depois que o dielétrico inserido d aconstante e Usando o resultado obtido para K do item d na Equaciio dielétrica K do dielétrico e a permissividade do dielétrico f 2417 a permissividade é o médulo da carga induzida Q em cada face do dielétrico g 0 pe 5 campo elétrico original Ep entre as placas e h o campo elétrico Keg 300 885 10 CN m E depois que o dielétrico é inserido 266 X 1071 C2N m2 SOLUGAO f Multiplicando ambos os lados da Equag4o 2416 pela area A IDENTIFICAR EPREPARAR este problema utiliza a maioriadas 4 cada placa obtemos a carga induzida Q oA em termos da relacOes apresentadas para capacitores e dielétricos As relagdes Carga Q A sobre cada placa de energia so tratadas no Exemplo 2411 Muitas dessas grande 1 1 zas podem ser obtidas de diversas maneiras Aqui apresentamos Q OQ x 531 X 1077 C a uma solucdo mais usual tente outros raciocinios para obter a solucgdo e compare seus resultados 354 X 107C EXECUTAR a na existéncia de vacuo entre as placas usamos a Equacao 2419 com K 1 g Como o campo elétrico entre as placas é uniforme seu m6 10 dulo é a diferenga de potencial dividida pela separagao entre as C A 885 X 1072 F 2200 x 10 m placas e 7 68 mn ed 100 X 10 m V 3000 V 0 177 X 10F 177 pF Ey 300 X 10 Vm d 100 X 10m b Usando a definigao de capacitancia dada pela Equagao 241 h Depois que o dielétrico inserido Q Co 177 X 10 FB00 X 107 V V 1000 V 4 E 100 X 10 Vm 531 10 C 0531 wC d 100 X10 m c Quando os dielétricos sHo inseridos Q permanece amesma 0u pela Equagao 2418 mas 0 potencial diminui para V 100 kV Logo de acordo com 4 a Equacao 241 a nova capacitancia é k c Q BEX NOTE A 266 X 1071 CNm200 X 107 m Q 531 X10 C 10 C 531 X10 F 100 X10V V 100 X 10 V 00 X 10 Vm 531 pF Continua Capitulo 24 Capacitancia e dielétricos 129 Continuagdao ou pela Equacao 2415 ou pela Equagao 2414 g9G QQ Ey 300 X 10 Vm E 0 5 0 eA E x 300 100 X 10 Vm 531 354 X 107C oo ae FT a IR A AVALIAR a insergao do dielétrico aumentou a capacitancia por 885 X 10 CN m 200 X 10 m um fator de K 300 e reduziu o campo elétrico entre as placas 100 X 10 Vm por um fator de 1K 1300 Isso ocorreu em decorréncia do desenvolvimento de cargas induzidas nas faces do dielétrico de modulo Q1 1K Q1 1300 0667 BAU CEZAR ARMAZENAMENTO DE ENERGIA COME SEM DIELETRICO Calcule a energia total acumulada no campo elétrico do capacitor Uy 797 X 10 3 no Exemplo 2410 e a densidade de energia antes e depois da uy 7 0398 Jm Les V 000200 m insercao do dielétrico a Isso esta de acordo com a resposta obtida anteriormente Vocé SOLUGAO pode usar 0 mesmo método para verificar 0 valor obtido para u IDENTIFICAR E PREPARAR consideramos os conceitos de Podemos generalizar os resultados deste exemplo Quando um energia armazenada em um capacitor e de densidade de energiadielétrico inserido entre as placas de um capacitor enquanto do campo elétrico Usamos a Equacao 249 para determinar a a carga de cada placa permanece constante a permissividade energia armazenada e a Equacao 2420 para obter a densidade aumenta por um fator de K a constante dielétrica e o campo elé de energia trico E e a densidade de energia u see diminuem por um fator EXECUTAR pela Equacao 249 as energias armazenadas Uye de 1K Para onde foi a energia A resposta esta no campo nas U com e sem 0 dielétrico sao bordas de um capacitor real com placas paralelas Como mostra a 1 Figura 2416 o campo tende a puxar o dielétrico para o interior Uy 3CoVG 5177 X 10 1 F3000 V 797 X 1043 das placas do capacitor e realiza trabalho sobre 0 dielétrico ao U Ley 1531 x 1910 F1000 vy 266 X 104 fazer isso Poderiamos prender uma mola na parte inferior do dielétrico da Figura 2416 e usar essa forga para deformar a mola A energia final igual a um tergo da energia inicial come oO trabalho é realizado pelo campo a densidade de energia A densidade de energia com e sem o dielétrico é dada pela campo ciminut Equagao 2420 Figura 2416 A deformacao do campo elétrico nas bordas do capacitor produz forcgas FjeF sobre as cargas 1 21 12 P27 2 5 2 P ah ai iso uy 29E 885 X 10 CNm 300 X 10 NC induzidas negativa e positiva na superficie de um 0398 Jm3 dielétrico atraindo o dielétrico para o capacitor u ek 1266 X 101 C2N m2 100 X 10 NC Fi A 0133 Jm of Dielétrico A densidade de energia com o dielétrico é igual a um tergo da E densidade de energia original AVALIAR podemos conferir 0 resultado obtido para up ob AGS servando que o volume entre as placas é V 0200 m S 00100 m 000200 m Como o campo elétrico é uniforme Py entre as placas up é uniforme também e a densidade de energia é simplesmente a energia armazenada dividida pelo volume Ruptura dielétrica Afirmamos anteriormente que quando um dielétrico é submetido a um campo elétrico suficientemente forte ocorre uma ruptura dielétrica e o dielétrico se trans forma em um condutor Isso acontece quando 0 campo elétrico é tao forte que des loca elétrons fracamente ligados as moléculas que colidem com outras moléculas liberando ainda mais elétrons Essa avalanche de cargas méveis forma uma faisca ou descarga que geralmente se inicia repentinamente Um relampago é um exemplo dramatico de uma ruptura dielétrica no ar 130 Fisica Ill Em virtude da ruptura dielétrica os capacitores sempre possuem um valor de voltagem maxima impresso sobre 0 capacitor Quando um capacitor é submetido a uma voltagem mais elevada que esse valor maximo pode ocorrer um arco voltaico através das camadas do capacitor queimando ou fundindo localmente e formando um buraco no seio do material Esse arco cria um caminho condutor um curto circuito entre os condutores Caso permanega um caminho condutor depois de 0 arco se extinguir 0 dispositivo nao podera ser mais usado como um capacitor O médulo do campo elétrico maximo que um material pode suportar sem que ocorra ruptura dielétrica denominase rigidez dielétrica Essa grandeza é significa tivamente influenciada pela temperatura por tragos de impureza por pequenas ir regularidades nos eletrodos metalicos e por outros fatores dificeis de controlar Por essa razao podemos fornecer apenas valores aproximados para a rigidez dielétrica A rigidez dielétrica do ar seco é aproximadamente igual a 3 X 10 Vm Alguns valores para a rigidez dielétrica de certos materiais isolantes mais comuns sAo indi cados na Tabela 242 Note que todos esses valores sao substancialmente maiores que o valor do ar Por exemplo uma camada de policarbonato com espessura igual a 001 mm a menor espessura aproximada possivel em aplicacées praticas dez vezes maior que a rigidez dielétrica do ar e pode suportar uma voltagem maxima aproximadamente igual a 3 10 Vm 1 X 107 m 300 V BIO Aplicagao Membrana celular TABELA 242 Constante dielétrica e rigidez dielétrica de alguns materiais isolantes dielétrica A membrana ce uma célula viva placas de um capacitor A membrana é feita dielétrica K Emax Vim com suas extremidades insollveis em agua Poliéster 33 6 x 107 no meio e suas extremidades soluveis em lados da membrana agua com fons ee ka negativos dentro da célula agua com fons Od positivos fora funcionam como placas Parregacas ce Hm capacitor a rears TESTE SUA COMPREENSAO DA SEGAO 244 O espago existente entre as placas de um com Kaproximacamente igual a 10 Como a capacitor isolado com placas paralelas esta preenchido por um dielétrico com constante diferenca de potencial Vatravés da dielétrica K As duas placas do capacitor possuem cargas Q e Q Vocé retira 0 dielétrico membrana é aproximadamente igual a Supondo que as cargas nao se alterem qual sera a variagdo na energia do capacitor ao re 007 V ea espessura da membrana dé mover 0 dielétrico i Aumentar4 ii diminuir4 iii permanecera constante I aproximadamente iguala 7X 10 m 0 campo elétrico E Vidna ean aproximadamente igual a 10 Vmn um valor proximo da resisténca dielétrica da 245 MODELO MOLECULAR DA CARGA INDUZIDA eer astern nae oboe por an tor Na Seco 244 discutimos as cargas superficiais induzidas em um dielétrico no de K 10 e ocorreria uma ruptura dielétrica Interior de um campo elétrico Vamos agora examinar como surgem essas cargas superficiais Se o material fosse um condutor a resposta seria simples Os condu Pro x pte ght Caeraae tores possuem cargas que podem se mover livremente e quando um campo elétrico a pega eats esta presente algumas cargas se redistribuem ao longo da superficie do material ia 3 rN ofa F Aa E oA cr de modo que no interior do material o campo elétrico é igual a zero Contudo em Bh ae at ie kh um dielétrico ideal nao existe nenhuma carga livre capaz de se mover entao como 4 pode surgir uma carga distribuida na superficie Para entendermos isso devemos estudar novamente a redistribuido das cargas em nivel molecular Algumas moléculas como H0 e N30 possuem quantidades 3 iguais de cargas positivas e negativas porém a distribuicgdo nao apresenta simetria J esférica com um excesso de cargas positivas concentrado em um lado da molécula pe ON EE re 4 e um excesso de cargas negativas concentrado no outro lado Conforme descreve ve a a i tek mos na Seao 217 esse arranjo denominase dipolo elétrico e a molécula chamase se etek it Pore aed molécula polar Quando nao existe nenhum campo elétrico em um liquido ou gas A BRE St ace ts a com moléculas polares as moléculas séo orientadas ao acaso Figura 2417a lier rit Sti Contudo quando colocadas em um campo elétrico elas tendem a se orientar como Capitulo 24 Capacitancia e dielétricos 131 na Figura 2417b em virtude dos torques produzidos pelas forcas elétricas descri Figura 2417 Moléculas polares a tas na Secdo 217 Em razao da agitac4o térmica o alinhamento das moléculas na voli ce com um campo elétrico direcéo do campo elétrico E nao é perfeito aplicado E Mesmo no caso de uma molécula que nao é polar ela pode se tornar um dipolo a quando submetida a um campo elétrico pois o campo atrai as cargas positivas no sentido do campo e empurra as cargas negativas no sentido oposto Isso produz Q uma redistribuicgao das cargas no interior da molécula Figura 2418 Esses dipolos Na auséncia de denominamse dipolos induzidos um campo Tanto no caso de moléculas polares quanto no de apolares a redistribuigao das elétrico as cargas produzida pelo campo da origem a uma camada de carga sobre a superficie GI moléculas ae polares possuem de cada lado do material dielétrico Figura 2419 Essas camadas sao as cargas orientagdes superficiais descritas na SecAo 244 a densidade de cargas superficiais é designada caéticas por o Essas cargas ndo se movem livre e indefinidamente como no caso deumb condutor porque cada carga esta ligada auma molecula Elas de fato sao chama Quando na das de cargas ligadas em oposicdo as cargas livres que sao fornecidas para as E umcampo placas do capacitor ou removidas delas Na parte maciga do material a carga liquida elétrico por unidade de volume permanece igual a zero Conforme vimos essa redistribui aplicad as moleculas cao de cargas denominase polarizacdao e dizemos que o material ficou polarizado EP tendem a As quatro partes da Figura 2420 mostram o comportamento de um dielétrico Cy se alinhar quando ele é inserido no campo existente entre as placas de um capacitor com pPp com ele cargas opostas A Figura 2420a mostra 0 campo original A Figura 2420b indica o momento em que 0 dielétrico é inserido porém antes do reagrupamento das car gas A Figura 2420c ilustra por meio de setas finas o campo adicional criado no dielétrico por suas cargas superficiais induzidas Esse campo é oposto ao campo original mas nao é suficientemente forte para canceldlo completamente pois as Figura 2418 Moléculas apolares a cargas do dielétrico nado se movem de forma livre e indefinida O campo elétrico S 6 com um campo elétrico Le ge 4 aplicado E resultante no dielétrico indicado na Figura 2420d possui médulo menor Na re presentacgao com linhas de forga algumas linhas de campo que deixam as cargas a da placa positiva atravessam o dielétrico enquanto outras terminam nas cargas a induzid b f do dielétri Na auséncia induzidas sobre as faces do dielétrico a de um campo Conforme discutimos na Seco 212 a polarizagéo também explica como um elétrico as corpo carregado como um bastao de plastico pode exercer uma forga sobre um Vv moléculas corpo descarregado como fragmentos de papel ou uma bolinha de cortiga A Fi apolares nio 2421 most fera dielétrica d daB d sao dipolos gura 2421 mostra uma esfera dielétrica descarregada B na presencga de um campo Q elétricos Figura 2419 A polarizagao de um dielétrico em um campo elétrico E da origem a camadas finas com cargas ligadas sobre as superficies criando densidades de cargas Um campo superficiais induzidas a e o As dimens6ées das moléculas esto exageradas para b elétrico maior clareza provoca E uma ligeira entre as negativas epositivas da molécula tomando polar E d 132 Fisica lll Figura 2420 a Campo elétrico de médulo Ep entre duas placas carregadas b Insergao de um dielétrico com constante dielétrica K c As cargas superficiais induzidas e seu campo d Campo resultante de médulo EK a Sem dielétrico b Apos a insergao c Cargas induzidas d Campo resultante do dielétrico com campo elétrico A oumpe elétrie radial de uma J a oa esfera com carga positiva A é atraida I 1 F 4 para a carga em virtude da a a 7 polarizagao a y a 5 43 La 4 7 4 7 ee 4 4 3 4 sl EG 1 eer fi n Z 7 jr 4 a Campo elétrico Campo mais fraco no original original dielétrico em razao das cargas induzidas ligadas oe radial de um corpo A com carga positiva As cargas induzidas sobre B sofrem uma forga orientada para a direita enquanto as forgas sobre as cargas induzidas nega tivas est4o mais préximas de A que as positivas e portanto estao em um campo mais forte A forga resultante para a esquerda é mais intensa que a forga resultante para a direita portanto o corpo A atrai B embora a carga liquida seja igual a zero Ocorrera sempre atrac4o tanto no caso de a carga de A ser positiva quanto no caso de ela ser negativa veja a Figura 218 Além disso esse efeito nao limitado aos Figura 2422 A lei de Gauss na dielétricos um corpo condutor descarregado seria atrafido do mesmo modo presenga de um dielétrico Esta figura mostra uma ampliac4o da TESTE SUA COMPREENSAO DA SEGAO 245 Um capacitor com placas paralelas pos placa esquerda do capacitor indicado sui cargas Q e Q sobre suas duas placas Um dielétrico com K 3 é inserido no espago na Figura 2415b A superficie entre as placas como indica a Figura 2420 Classifique os seguintes mddulos do campo gaussiana é uma caixa retangular elétrico por ordem decrescente i O campo antes da insergao do dielétrico ii o campo que fica metade no condutor e resultante apds a insercdo do dielétrico iii o campo em funcio das cargas ligadas metade no dielétrico E0 E 246 LEI DE GAUSS EM DIELETRICOS Condutor Dielétrico Podemos estender a andlise da Secao 244 para reformular a lei de Gauss de a modo que ela seja particularmente util para dielétricos No alto da Figura 2422 Vista vemos uma ampliagao da placa esquerda do capacitor e da superficie esquerda do lateral dielétrico indicado na Figura 2415b Vamos aplicar a lei de Gauss usando a caixa og 0 retangular indicada na secao reta pela linha roxa A indica a area da superficie do uw lado direito e do lado esquerdo da caixa O lado esquerdo esta imerso no condutor que constitui a placa esquerda do capacitor e portanto o campo elétrico em todas a as partes dessa superficie é igual a zero O lado direito esta imerso no dielétrico no Superficie qual o campo elétrico possui médulo E e notamos que EF 0 em todas as partes gaussiana das quatro faces restantes da caixa A carga total no interior da caixa incluindo as cargas da placa e as cargas induzidas sobre a superficie do dielétrico é dada por Condutor Qinte 7 o de modo que a lei de Gauss fornece Vista em perspectiva a aA EA 2421 0 Essa equacao escrita dessa forma nao esclarece muito porque contém duas Dielétrico grandezas incognitas E no interior do dielétrico e a densidade de carga superfi Capítulo 24 Capacitância e dielétricos 133 cial induzida si Mas agora podemos usar a Equação 2416 desenvolvida para essa mesma situação a fim de simplificar a equação eliminando si A Equação 2416 fornece si s a1 1 Kb ou s si s K Combinando essa relação à Equação 2421 encontramos EA sA KP0 ou KEA sA P0 2422 A Equação 2422 mostra que o fluxo de K e não o fluxo de através da superfície gaussiana na Figura 2422 é igual à carga livre s no interior da super fície A dividida por P0 Verificase que para qualquer superfície gaussiana desde que a carga induzida seja proporcional ao campo elétrico no material é possível reescrever a lei de Gauss na forma 2423 Lei de Gauss em um dielétrico Constante dielétrica Carga livre total no interior da superfície Constante elétrica P0 Qintelivre KE dA S S Integral de superfície de KE sobre uma superfície fechada S em que Qintelivre é a carga livre ou seja a carga não ligada existente no interior da superfície gaussiana A vantagem desse resultado é que o lado direito contém somente a carga livre sobre o condutor e não a carga ligada induzida De fato embora não tenhamos demonstrado a Equação 2423 permanece válida mesmo quando diferentes partes da superfície gaussiana estão imersas em dielétricos com diferentes valores de K desde que o valor de K em cada dielétrico seja independente do campo elétrico o que geralmente é o caso quando os campos elétricos não são muito fortes e que adotemos o valor apropriado de K para cada ponto da superfície gaussiana Use a lei de Gauss para calcular a capacitância do capacitor esfé rico do Exemplo 243 Seção 241 considerando que o volume entre as cascas esféricas concêntricas é preenchido por um óleo isolante com uma constante dielétrica K SOLUÇÃO IDENTIFICAR E PREPARAR a simetria esférica do problema não se altera pela presença do dielétrico portanto como fizemos no Exemplo 243 usaremos uma superfície gaussiana esférica de raio r entre as duas esferas Como um dielétrico está presente aplicaremos a lei de Gauss na forma da Equação 2423 EXECUTAR pela Equação 2423 KE S dA S KE dA KE dA 1KE2 14pr22 Q P0 E Q 4pKP0r2 Q 4pPr2 EXEMPLO 2412 UM CAPACITOR ESFÉRICO COM DIELÉTRICO Continua BookSEARSVol3indb 133 101115 658 PM 134 Fisica Ill Continuagdao em que Keg Em comparacao ao caso no qual existe vacuo 4mrKeoraty 47 Earp entre as cascas esféricas condutoras o campo elétrico se reduz c thot Ty Ty por um fator de 1K A diferenga de potencial V entre as cascas esféricas se reduz pelo mesmo fator portanto a capacitanciaC aVALAR quando o dielétrico preenche por completo o volume QVp aumenta por um fator de K como no caso de um capacitor entre os dois condutores a capacitancia é apenas K vezes o valor com placas paralelas quando inserimos um dielétrico Usando 0 sem a presenca do dielétrico O resultado se complica quando o resultado do Exemplo 243 verificamos que a capacitanciacom dielétrico preenche esse volume apenas parcialmente o dielétrico é dada por TESTE SUA COMPREENSAO DA SEGAO 246 Uma carga puntiforme g é embutida em um dielétrico de constante dielétrica K Em um ponto no interior do dielétrico a uma distancia r da carga puntiforme qual é o médulo do campo elétrico i glAmegr ii KqlAreor iii ql4aKegr iv nenhuma dessas alternativas CAPITULO 24 RESUMO Capacitores e capacitancia um capacitor é qual ex Q 241 Fio Placa a area A quer par de condutores separados por um material Vab isolante Quando o capacitor esta carregado exis OQ A 4a FZ tem cargas de mesmo mddulo Q e sinais opostos C eg 242 sobre os dois condutores e a diferenga de potencial Vab a jh Vp entre o condutor carregado positivamente e o Diferenca de Fio condutor carregado negativamente é proporcional potencial V Placa b area A a Q A capacitancia C é definida como a razao de Q para V A unidade SI de capacitancia é o farad F 1 F1CV Um capacitor com placas paralelas é feito com duas placas condutoras paralelas cada uma com uma area A separada por uma distancia d Quando ha vacuo entre as placas a capacitancia depende somente de A ed Para outras formas geométricas a capacitan cia pode ser obtida pela definigéo C QVgp Ver exemplos 241 a 244 Capacitores em série e em paralelo quando os 1 ot 1 1 fees 245 a capacitores C C C3 sao ligados em série a or Ci Cr C3 O ade Vic Vi capacitancia equivalente Coq igual a soma das re capacitores em série Vip V fe ciprocas das capacitancias individuais Quando os 0 y capacitores sao ligados em paralelo a capacitancia Ceq ae OGG HT 247 o equivalente C igual 4 soma das capacitancias in capacitores em paralelo b dividuais Ver exemplos 245 e 246 a Vip ake cake 7 b Energia em um capacitor a energia U necessaria Oo bod 04 FLL PLE para carregar um capacitor C até uma diferengade U Cc 7CV 30V aad potencial V com carga Q é igual a energia armaze V B nada no capacitor Podemos dizer que essa energia y 50 E2 2411 esta concentrada no campo elétrico entre os condu Q7 tores a densidade de energia u energia por unidade de volume é proporcional ao quadrado do médulo do campo elétrico Ver exemplos 247 a 249 Capitulo 24 Capacitancia e dielétricos 135 Dielétricos quando o espaco entre os condutores CKG Keo ze 2419 Dielétrico entre as placas esta preenchido com um material dielétrico a capa d d o oo o citancia aumenta por um fator K chamado de cons capacitor com placas paralelas tante dielétrica do material A grandeza Kegéa preenchido com um dielétrico tT 4 permissividade do dielétrico Para uma quantidade 4 de carga fixa sobre as placas do capacitor as car 4 5 KegE i 2420 gas induzidas sobre a superficie do dielétrico fazem 4 diminuir o campo elétrico e a diferenga de poten KEdA Qintetivre 2423 a I cial entre as placas pelo mesmo fator K A carga 0 ia superficial é oriunda da polarizacao um reagrupa mento microsc6épico das cargas no dielétrico Ver Exemplo 2410 Quando o campo elétrico é suficientemente forte o dielétrico se transforma em um condutor isso ocorre em virtude da ruptura do dielétrico A rigidez die létrica é o médulo do campo elétrico maximo que o material pode suportar sem que ocorra ruptura dielétrica Em um dielétrico a express4o para a densidade de energia 6 a mesma que na presenga de vacuo mas com 9 substituido por Kéy Ver Exemplo 2411 A lei de Gauss em um dielétrico possui quase a mesma forma que na presencga de vacuo com duas principais diferengas E é substitufdo por KEe Ointe é substituido por Qintelivre que inclui somente as cargas livres nao as cargas ligadas no interior da superficie gaussiana Ver Exemplo 2412 Problema em destaque Energia de campo elétrico e capacitancia de uma esfera condutora Uma esfera condutora maciga de raio R carrega uma cargaQ EXECUTAR Calcule a densidade de energia do campo elétricoaum pontoa 3 Determine u para r Re para r R Dica qual o valor uma distancia ra partir do centro da esfera para a r Re b do campo elétrico no interior de um condutor sdélido rR c Calcule a energia total do campo elétrico associada 4 Substitua os resultados da etapa 3 na expressio da etapa 2 esfera carregada d Qual é a quantidade de trabalho necessaria Em seguida calcule a integral para encontrar a energia total para que a esfera adquira a carga Q e Use o resultado do do campo elétrico U item c para determinar a capacitancia da esfera Vocé pode 5 Use sua compreensao da energia armazenada em uma dis considerar 0 segundo condutor como uma casca oca condutora tribuicdo de carga para encontrar o trabalho necessario para de raio infinito que a esfera adquira uma carga Q 6 Determine a capacitancia da esfera GUIA DA SOLUGAO IDENTIFICAR E PREPARAR AVALIAR 1 Vocé conhece o campo elétrico nesta situacdo para todos os 7 Onde a densidade de energia do campo elétrico possui seu valores de r pelo Exemplo 225 Seciio 224 Vocé deve usar valor maximo Onde ela possui seu valor minimo isso para encontrar a densidade de energia do campo elétrico 8 Como os resultados seriam afetados se a esfera maciga fosse ue aenergia total do campo elétrico U A seguir pode cal substituida por uma esfera condutora oca de mesmo raio R cular a capacitancia a partir da relacio U O72C 9 Vocé pode encontrar a diferenga de potencial entre a esfera 2 Para encontrar U considere uma casca esférica de raio r e o infinito a partir de C QV Isso esta de acordo com o espessura dr que possui volume dV 47rrdr Sera ttil resultado do Exemplo 238 Segao 233 fazer um desenho dessa casca concéntrica com a esfera con dutora A energia armazenada nesse volume é u dV e a energia total é a integral de u dV de r 0ar Configure essa integral 136 Fisica Ill PROBLEMAS e ee eee niveis de dificuldade PC problemas cumulativos incorporando material de outros capitulos CALC problemas exigindo calculo DADOS problemas envolvendo dados reais evidéncia cientifica projeto experimental eou raciocinio cientifico BIO problemas envolvendo biociéncias QUESTOES PARA DISCUSSAO Q2410 Vocé deve conectar dois capacitores a uma fonte de vol Q241 A Equacio 242 mostra que a capacitancia de um capaci tagem bateria para armazenar a quantidade maxima de energia tor com placas paralelas tornase maior 4 medida que a distancia Eles devem ser ligados em serie Ou em paralelo d entre as placas diminui Contudo existe um limite pratico que Q2411 Como indicado na Tabela 241 a Agua possui uma cons limita o valor minimo de d e que determina o limite maximo da tante dieletrica muito elevada K 804 Como voce explica capacitancia C Explique qual é o fator que limita o valor mi UE 4 Agua Nao seja geralmente usada como dielétrico em um nimo de d Dica 0 que ocorre com 0 médulo do campo elétrico capacitor oe a quando d 0 Q2412 A rigidez dielétrica oO mesmo que constante dielé Q242 Suponha que varios e diferentes capacitores com placas trica Explique as p OSSIVEIS diferengas entre essas duas grande paralelas sejam carregados por uma fonte de voltagem constante 72 Existe alguma relacdo simples entre a constante dielétrica Considerando o efetivo movimento e a posigao das cargas em um arigidez dielétrica Veja a Tabela 242 a nivel at6mico por que é razoavel pensar que as capacitancias sao Q2413 Um cap acitor feito com ur as de aluminio separadas por proporcionais as reas superficiais das placas Por que érazoével 4 camada de Mylar foi submetido auma voltagem excessiva pensar que as capacitancias sao inversamente proporcionais as ruptura dieletrica resultante produziu orificios na camada de distancias entre as placas Mylar Depois disso verificouse que a capacitancia continuou Q243 Suponha que as duas placas de um capacitor possuam aproximadamente igual aseu valor anterior porém a voltagem areas diferentes Quando o capacitor é carregado por meio da de ruptura tornouse muito menor Por que oo conex4o a uma bateria as cargas acumuladas nas placas pos Q2414 Suponha que vocé aproxime um dielétrico do espago suem 0 mesmo médulo ou podem possuir médulos diferentes entre as placas de um capacitor carregado Pp reparandose para Explique seu raciocinio inserilo entre as placas Qual forga vocé sentira O que essa Q244 Para armazenar a quantidade maxima de energia em um forga Ihe diz sobre a energia armazenada entre as placas quando capacitor com placas paralelas com uma bateria fonte de vol dielétrico for inserido em comparacao ao momento antes da tagem a distancia entre as placas deve ser grande ou pequena inserao do dielétrico ae Q245 No capacitor com placas paralelas da Figura 242 supo Q2415 Para verificarmos se um peixe fresco podemos co nha que as placas sejam puxadas fazendo a distancia d entre elas localo entre as placas de um capacitor e medir a capacitancia ficar muito maior que a largura das placas a Ainda é aceitavel Como esse metodo funciona Dica 4 medida que o tempo passa afirmar que o campo elétrico entre as placas uniforme Por qué Peixe desidrata Veja a Tabela 241 b Na situacdo indicada na Figura 242 a diferenca de poten Q2416 Um capacitor eletrolitico usa como dielétrico uma ca cial entre as placas é dada por V QdegA Quando as placas mada de 6xido isolante extremamente fina entre a placa metdlica forem afastadas como descrito anteriormente o valor de V sera 4 Solugao condutora Descreva a vantagem desse capacitor sobre maior ou menor que 0 indicado por essa f6rmula Explique seu U0 construido com apenas um dielétrico sélido entre as placas raciocinio c Quando as placas estéo afastadas como descrito metialicas no item anterior o valor da capacitancia é superior inferior ou Q2417 Em fungo da constante dielétrica K 0 que acontece igual ao indicado pela Equacaio 242 Explique seu raciocinio com 0 fluxo elétrico através da superficie gaussiana mostrada na Q246 Um capacitor com placas paralelas é carregado ligando Figura 2422 quando o dielétrico inserido no espago anterior o a uma bateria e mantendoo ligado nela A distancia entre as Mente vazio entre as placas Explique placas é dobrada Como o campo elétrico varia Como a carga Q2418 Um capacitor com placas paralelas esta conectado a sobre as placas varia E a energia total Explique seu raciocinio uma fonte de voltagem que mantém uma diferenga de potencial Q247 Um capacitor com placas paralelas é carregado conec fixa entre as placas a Quando uma folha de dielétrico intro tandoo a uma bateria e a seguir as conexGes sAo removidas A duzida entre as placas 0 que ocorre com i 0 campo elétrico distancia entre as placas 6 dobrada Como 0 campo elétrico varia entre as placas 1i o médulo da carga acumulada em cada placa Como a diferenga de energia potencial varia E a energia total ili a energia armazenada no capacitor b Suponha agora que Explique sua resposta antes de o dielétrico ser inserido o capacitor seja desconectado Q248 Dois capacitores com placas paralelas sdo idénticos ex da fonte de voltagem Nesse caso 0 que ocorre com i 0 campo ceto pelo fato de que em um deles a distancia entre as placas 60 létrico entre as placas ii o médulo da carga de cada placa e ili dobro da do outro Eles sio carregados pela mesma fonte de vol 4 energia armazenada no capacitor Explique todas as diferengas tagem Qual dos dois capacitores possui um campo elétrico mais encontradas entre as duas situagGes forte entre as placas Qual deles possui maior carga Qual deles Q2419 Os dielétricos liquidos que possuem moléculas polares possui maior densidade de energia Explique seu raciocinio como a agua sempre apresentam constantes dielétricas que dimi Q249 As placas carregadas de um capacitor se atraem mutua Nuem com o aumento da temperatura Por qué mente de modo que é necessario realizar trabalho para empurrar Q2420 Um condutor é um caso extremo de dielétrico visto as placas para que elas se afastem sob a aco de alguma forca que quando aplicamos um campo elétrico em um condutor as externa O que ocorre com a energia adicionada por esse traba Cargas se movem livremente em seu interior para produzir car lho Explique seu raciocinio gas induzidas Qual é a constante dielétrica de um condutor Capitulo 24 Capacitancia e dielétricos 137 perfeito E K 0 K ou o valor de K estd entre esses dois 248 Umcapacitor de 500 pF com placas paralelas e circula limites Explique seu raciocinio res esta preenchido com ar e sera usado em um circuito que sera Q2421 Fornecemos cargas O para as duas placas de um ca submetido a poténcias de até 10 x 107 VO campo elétrico entre pacitor A seguir ele é desconectado da fonte de carga de modo as placas nao deve ser maior que 100 x 10 NC Como enge que as cargas sobre as placas nao possam variar 0 capacitor é nheiro elétrico do projeto para a empresa LiveWire Electronics entdo imerso em um tanque cheio de leo O campo elétricoentre SUa tarefa a projetar capacitor determinando quais devem as placas diminui aumenta ou mantém o mesmo valor Explique ict canine areas dkita a set suportada por exes enews b seu raciocinio Como esse campo elétrico pode ser medido 249 Um capacitor é constituido de dois cilindros ocos coa xiais de ferro um dentro do outro O cilindro interno possui carga EXERCICIOS negativa e o externo carga positiva o médulo da carga sobre cada um é 100 pC O cilindro interno possui raio de 050 mm o Secao 241 Capacitancia e capacitores externo de 500 mm e o comprimento de cada cilindro é de 180 241 Cada placa de um capacitor com placas paralelas possui yy a Qual a capacitancia b Qual é a diferenca de potencial carga acumulada de modulo igual a 800 nC e a distancia entre aS aplicado necessdria para produzir essas cargas nos cilindros placas é de 250 mm As placas esto no vacuo Ocampo elétrico 2410 Um capacitor cilindrico consiste em um nticleo con entre as placas possui modulo igual a 400 X 10 Vim a Qual dutor macigo com raio de 0250 cm cercado por um tubo con ea diferenga de potencial entre as p lacas b Qual a area de dutor oco externo Os dois condutores est4o separados por ar 342 rescada hina de vn capacitor com placas paralelas possui co comprimento do cilindro igual a 120 cm A capacitancia area igual a 982 cm e a distancia entre as placas é de 328 mm 367 Pp F a Calcule 0 raio interno do tubo oco b Quando A carga acumulada em cada placa possui médulo igual a 435 x P acitor carregado com 125 V qual a carga por unidade de 108 C As placas esto no vacuo a Qual 0 valor da capaci comprimento A do capacitor tancia b Qual é a diferenca de potencial entre as placas c 2411 Um capacitor esférico contem carga de 330 nC Qual é 0 médulo do campo elétrico entre as placas quando esta conectado a uma diferenga de potencial de 220 V 243 Umcapacitor com placas paralelas no ar possui capaci Supondo que as placas estejam separadas por vacuo e 0 raio tancia igual a 245 pF e um médulo de carga de 0148 wC emcada interno da casca externa seja igual a 400 cm calcule a a capa placa A distancia entre as placas igual a 0328 mm a Qualéacitancia b 0 raio da esfera interna c o campo elétrico proximo diferenca de potencial entre as placas b Qual é a 4reade cada 4 Superficie da esfera interna placa c Qual é o médulo do campo elétrico entre as placas d 2412 Um capacitor cilfndrico possui um condutor interno Qual é a densidade superficial de carga em cada placa com raio de 22 mm e um condutor externo com raio de 35 mm 244 Os osciloscépios possuem placas metdlicas paralelas Os dois condutores esto separados pelo vacuo e o comprimento em seu interior para desviar o feixe de elétrons Essas placas sio total do capacitor é de 28 m a Qual é a capacitancia por uni designadas placas defletoras Geralmente possuem formato qua dade de comprimento b O potencial do condutor interno esta drado com 30 cm de lado e esto separadas por uma distancia 350 mV mais elevado que o potencial do condutor externo de 50 mm com vacuo entre elas Qual a capacitancia dessas Calcule a carga médulo e sinal de cada condutor placas defletoras e portanto do oscilosc6pio Nota ocasional 2413 Um capacitor esférico é formado por dois condutores mente essa capacitancia pode exercer um efeito sobre o circuito esféricos concéntricos separados pelo vacuo A superficie es que esta sendo estudado e deve ser levada em consideragao nos férica interna possui raio de 150 cm e a capacitincia é igual a calculos 116 pF a Qual 0 raio da superficie esférica externa b Se 245 Um capacitor de 100 uF com placas paralelas e cir q diferenca de potencial entre as esferas for igual a 220 V qual culares esta ligado a uma bateria de 120 V a Qual acarga gerg o médulo de carga de cada esfera sobre cada placa b Quanta carga haveria sobre as placas caso a distancia entre elas fosse duplicada enquanto 0 capacitor per Sa0 242 Capacitores em série e em paralelo manecesse conectado a bateria c Quanta carga haveria sobre as 2414 A Figura 2414 placas caso 0 capacitor fosse conectado a uma bateria de 120 V Mostra um sistema de qua Figura 2414 apés 0 raio de cada placa ser duplicado sem que a distanciaentre 0 Capacitores em que a 50 uF elas seja alterada diferenga de potencial atra Ub 246 Um capacitor de 500 wF com placas paralelas esta li YS de ab de 500 V a gado a uma bateria de 120 V Quando o capacitor esta completa Determine a capacitancia 100 uF 90 mF mente carregado a bateria é desconectada sem que haja qualquer equivalente desse sistema a aa me perda de carga nas placas a Um voltimetro é conectado entre as entre ae b b Quanta carga duas placas sem descarregalas Qual é a leitura b Qual seria armazenada POF essa Come ae binaao de capacitores c a leitura do voltimetro caso i a distancia entre as placas fosse Quanta carga é armazenada 80 pF duplicada 11 0 raio de cada placa fosse duplicado mas nao em cada um dos capacitores houvesse variac4o da distancia de 100 pF e de 90 F 247 Um capacitor com placas p aralelas preenchido com 2415 BIO Enguias elétricas Enguias e peixes elétricos ar deve armazenar um carga de modulo igual a 2400 p C em geram grandes diferengas de potencial que s4o usadas para ator cada placa quando a diferenga de potencial entre as placas Ede doar inimigos e presas Esses potenciais so produzidos por célu 420 V a Se a area de cada placa for igual a 680 cm qual sera jag que podem gerar cada uma 010 V Podemos plausivelmente a distancia entre as placas b Caso a distancia entre as placas for odelar essas células como capacitores carregados a Como o dobro do valor calculado no item a qual deve sera diferenga eggag céJulas devem ser ligadas em série ou em paralelo para de potencial para que 0 capacitor armazene uma carga de médulo produzir um potencial total de mais de 010 V b Usando a liga igual a 2400 pC em cada placa cao do item a quantas células devem ser ligadas para produzir 138 Fisica Ill oimpulso de 500 Vdeuma Figura E2416 Secao 243 Armazenamento de energia em enguia elétrica capacitores e energia do campo elétrico 2416 Para o sistema t 2423 Umcapacitor com placas paralelas de 580 wF imerso de capacitores mostrado na no ar e com uma distancia entre as placas igual a 500 mm é Figura E2416 encontre a 15 pF submetido a uma diferenca de potencial de 400 V Calcule a den capacitancia equivalente a b sidade de energia na regiao entre as placas em unidades de Jm entre b ec b entre ae c 2424 Umcapacitor com placas paralelas possui capaciténcia 2417 Na Figura on P praca paras as P P 2417 cada capacitor pos igual a 920 pF A carga em cada placa é de 390 uC a Qual é sui C 400 pF e Vay a diferenga de potencial entre as placas b Caso a carga fosse 280 V Calcule a a 90 pF IlpF mantida constante qual seria a diferenga de potencial entre as carga de cada capacitor placas se a distancia entre elas dobrasse c Qual é 0 trabalho b a diferenga de potencial necessario para duplicar essa distancia através de cada capacitor 2425 Um capacitor no ar é constituido por duas placas pa c a diferenca de potencial e ralelas largas separadas por uma distancia igual a 150 mm O entre os pontos ae d modulo da carga de cada placa é igual a 00180 wC quando a 2418 Na Figura 248a Figura E2417 diferenca de potencial é de 200 V a Qual é 0 valor da capaci seja C 300 uF C Cc G tancia b Qual é a area de cada placa c Qual é a voltagem 500 uF e V 640 V I maxima que pode ser aplicada sem que ocorra ruptura dielétrica Calcule a a carga em cada a A ruptura dielétrica do ar ocorre quando a intensidade do campo capacitor e b a diferenca C3 elétrico é igual a 30 X 10 Vm d Quando a carga é igual a de potencial através de cada d 00180 uC qual é a energia total acumulada capacitor 2426 Umcapacitor com placas paralelas no vacuo tem uma 2419 Na Figura 249a D energia acumulada igual a 838 J A distancia entre as placas é seja Cy 300 uF Cy C de 230 mm Se essa distancia for diminuida para 115 mm qual 500 wF e Vz 520 V 4 sera a energia acumulada a se o capacitor for desconectado Calcule a a carga em cada da fonte de potencial de modo que a carga de cada placa seja capacitor b a diferenga de potencial através de cada mantida constante b se 0 capacitor permanecer conectado na capacitor fonte de potencial de modo que a diferenga de potencial entre as 2420 Na Figura placas seja mantida constante E2420 C 600 uF Cp Figura E2420 2427 Considere dois capacitores idénticos e uma fonte ex 300 WF e C3 500 nF O C terna de potencial a Compare a energia total armazenada nos circuito de capacitores esta capacitores quando estao ligados ao potencial aplicado em série conectado a um potencial a e em paralelo b Compare a quantidade maxima de carga ar aplicado V Quando as car Cy mazenada em cada um desses casos c O armazenamento de gas dos capacitores atingem energia em um capacitor pode ser limitado pelo campo elétrico seus valores finais a carga d maximo entre as placas Qual é a raz4o do campo elétrico para em Co é igual a 300 uC a b 4 as combinacg6es em série e em paralelo Quais sao as cargas nos ca 2428 Para o circuito de capacitores indicado na Figura pacitores C C3 b Qual C3 E2428 a diferenca de potencial através de ab é igual a 48 V a voltagem aplicada Van Encontre a a carga total armazenada nesse circuito b a carga 2421 A Figura 2421 em cada capacitor c a energia total armazenada no circuito mostra um sistema de capacitores em que a diferenga de potencial d a energia armazenada em cada capacitor e as diferengas de através de ab é de 25 V a Determine a capacitancia equivalente Z potencial através de cada capacitor desse sistema entre a e b b Quanta carga é armazenada por esse sistema c Quanta carga é armazenada no capacitor de 65 nF Figura E2428 d Qual é a diferenga de potencial através do capacitor de 75 nF 150 nF 120 nF Figura E2421 ao I 75 nF 2429 Para o circuito de capacitores indicado na Figura 180 nF 300 nF 100 nF 2429 a diferenga de potencial através de ab é a 4 I b igual a 220 V Encontre Figura E2429 a a carga total armaze 35 nF nada nesse circuito b a carga em cada capacitor 65 nF c a energia total arma a b zenada no circuito d a 2422 Suponha que o capacitor de 3 wF na Figura 2410a energia armazenada em 75 nF seja removido e substituido por outro alterando a capacitancia cada capacitor e as di equivalente entre os pontos a e b para 8 wF Qual 0 valor da ferencas de potencial atra capacitancia do capacitor que substituiu o primeiro vés de cada capacitor Capitulo 24 Capacitancia e dielétricos 139 2430 Um capacitor cilindrico de 0350 m de comprimento Teflon com a mesma espessura do papelcartiio para usar como consiste em um ntcleo condutor macigo com raio de 120 mm um dielétrico Ela necessitara de uma area maior ou menor de e um tubo condutor oco externo com raio interno de 200 mm Teflon em comparacio ao papelcartio Explique Os dois condutores estao separados por are carregadosauma 2437 O dielétrico que deve ser usado em um capacitor com diferenga de potencial de 600 V Calcule a a carga por com placas paralelas possui constante dielétrica igual a 360 e uma primento para o capacitor b a carga total do capacitor ca rigidez dielétrica de 160 X 107 Vm O capacitor deve possuir apace dja cnergia armazenada no capacitor quandocom yma capacitancia igual a 125 X 107 Fe ser capaz de suportar etamente carregado Sad aa 2431 Um capacitor cilindrico imerso no ar possui compri uma wake ee oe ae V Qual a area minima que mento de 150 me armazena energia de 320 x 10 J quando 24 38 ee BIO Potencial em células humanas Algumas pare a diferena de potencial entre os condutores é igual a 400 V des celulares no corpo humano possuem uma cama da de carga a Calcule o médulo da carga acumulada em cada condutor ar we b Calcule a razao entre 0 raio do condutor interno e 0 raio do negativa na superficie interio eum camada de carga Posty ade mesmo médulo na superficie exterior Suponha que a densidade condutor externo an 4 2 2432 Um capacitor é constituido por duas cascas esféricas de carga em cada superficie seja 050 x 10 Cim a parede condutoras concéntricas separadas pelo vacuo A superficie es celular possua espessura de 50 nm 0 aterial da parede celular férica interna possui raio de 125 cme a distAncia entre as super 5J 0 at a Determine o médulo de E na parede entre as duas ficies esféricas é igual a 148 cm Uma diferenga de potencial de camadas carregadas b Determine a diferencga de potencial entre 120 V aplicada ao capacitor a Qual é a densidade de energia interior e o exterior da célula Qual est4 a um potencial mais emr 126cm em um ponto proximo a esfera interna b Qual elevado c Uma célula do corpo humano normalmente possui é a densidade de energia em r 147 cm em um ponto préximo mM volume de 10 m Estime a energia do campo elétrico de a esfera externa c Para 0 capacitor com placas paralelas a total armazenado na parede de uma célula desse tamanho Dica densidade de energia é uniforme na regiiio entre as placas exceto Suponha que a célula seja esfrica e calcule o volume da parede nos pontos nas vizinhancas das bordas das placas Isso também celular d Na realidade a parede celular nao consiste em ar se aplica a um capacitor esférico e sim em tecido organico com uma constante dielétrica de 54 Secdo 244 Dielétricos Repita as partes a e b neste caso 2433 Um capacitor de 125 wF é conectado a uma fonte de a a Cisrenga ae ih in capacitor core pl at ve emergia que mantém constante uma diferenca de potencial de jajas no ar cuja capacitancia é de 025 wF a Uma camada 240 V através das placas Um pedaco de material com constante sz dielétrica de 375 é colocado entre as placas preenchendo com ae mnpletamente o een neo cnt ve Oe ade Saco Site cule pletamente o espago entre elas a Quanta energia armazenada quantidade adicional de carga que flui para a placa positiva do antes e depois da insercao do dielétrico b Qual foi a variagaéo da eneraia durante ainsergio Ela aumentou ou diminain Psito set Tela 241 Qual carga total nduzida 2434 Umcapacitor com placas paralelas possui capacitancia ela camada de Mylar sobre o cam 0 elétrico entre as placas Co 800 pF quando existe ar entre as placas A distancia entre ee ee P Pe as placas igual a 150 mm a Qual é o médulo maximo de Explique como conciliar esse resultado com 0 acumulo adicional cata Q que pode ser colocado em cada placa se o campo elétrico ccamoosteeee do capacitor que contribul para aumentar na regiao entre as placas nao exceder 300 X 10 Vm b Um 2440 O hi ti tante dielétrica de 26 e ri dielétrico com K 270 inserido entre as placas do capacitor dez diclStrine fe 20 10 Vim Um eda 0 de i ti en preenchendo completamente o volume entre elas Qual passa a S ae P so oe Pomeseren ser o médulo maximo de carga em cada placa se 0 campo elétrico usado como dielétrico em um capacitor com placas parale entre elas nao exceder 30 X 1 04 Vm las preenchendo o volume entre as placas a Quando o campo 2435 Duaspl lel t elétrico entre as placas é de 80 da rigidez dielétrica qual é placas paralelas possuem cargas iguais e opostas 2 Z adensidade de energia da energia armazenada b Quando o Quando existe vacuo entre as placas o médulo do campo elé oo trico é E 320 X 10 Vm Quando o espaco entre as placas é capacitor esta ligado a uma bateria com voltagem de 5000 Vio preenchido por um dielétrico 0 campo elétrico possui médulo campo elétrico entre as placas é de 80 da forga dielétrica Qual E250X 10 Vim a Qual é a densidade de carga em cada su éa area de cada placa quando 0 capacitor armazena 0200 mJ de perficie do dielétrico b Qual 0 valor da constante dielétrica MTE14 sob essas condioes 2436 Uma iniciante em eletrénica deseja projetar um capaci 2441 Quando um capacitor de 360 nF 1 nF 10 F tor simples de 10 nF para sintonizar seu rddio de galena usando imerso no ar esta conectado a uma fonte de tensAo a energia duas chapas de aluminio como placas com algumas folhas de 2umulada no capacitor igual a 185 x 107 J Mantendo o papel entre elas desempenhando a fungao de um dielétrico O capacitor conectado a fonte de tens4o inserimos uma camada de papel possui uma constante dielétrica de 30 e a espessura de dielétrico que preenche completamente 0 espaco entre as placas uma folha é de 020 mm a Supondo que as folhas de papel Isso produz um acréscimo de 232 X 10Jna energia armaze mecam 22 X 28 cme ela corte o aluminio com as mesmas dimen nada a Qual a diferenga de potencial entre as placas b Qual s6es quantas folhas de papel devem ser usadas entre as placas a constante dielétrica do material para se obter a capacitancia adequada b Suponha que porcon 2442 Um capacitor com placas paralelas possui capacitan veniéncia ela opte por usar uma tinica folha de papelcartéocom cia C 125 pF quando o volume entre as placas preenchido amesma constante dielétrica porém com espessura de 120mm com ar As placas sao circulares e possuem raio de 300 cm O em vez do papel Qual 4rea de chapa de aluminio ela necessi capacitor conectado a uma bateria e uma carga de mdédulo tard para que as placas apresentem 10 nF de capacitancia c 250 pC vai para cada placa Com o capacitor ainda ligado a Suponha que ela recorra a alta tecnologia e encontre umafolhade bateria 0 dielétrico é inserido entre as placas preenchendo 140 Fisica Ill completamente o espaco entre elas Apos a insergao do dielé para permitir a passagem de material carregado conforme a ne trico a carga em cada placa possui médulo de 450 pC a Qual cessidade Densidades de carga iguais porém opostas se for éaconstante dielétrica K do dielétrico b Qual é a diferengade mam nas faces internas e externas dessas membranas e essas potencial entre as placas antes e depois da insergfo do dielétrico cargas impedem que cargas adicionais passem através da parede c Qual é o campo elétrico em um ponto médio entre as placas celular E possivel modelar uma membrana celular como um antes e depois da insergAo do dielétrico capacitor com placas paralelas e a pr6pria membrana contém roteinas embutidas em um material organico e podem dar a Secao 246 Lei de Gauss em dielétricos P Le ote P ela uma constante dielétrica de aproximadamente 10 Veja a 2443 Um capacitor com placas paralelas possui 0 volume es Figura P2448 a Qual é a entre as placas preenchido com um plastico cuja constante die eee Figura P2448 ag 2 De capacitancia por centimetro létrica é K O médulo da carga de cada placa é igual a Q Cada a suas es quadrado dessa parede celular 75 nm carga possui 4rea A e a distancia entre as placas é igual a d a b E tad id Exterior do ax6nio Use a lei de Gauss dada pela Equagao 2423 para calcular o m6 mseu es 4 la noes oe re Vtete te tt dulo do campo elétrico no dielétrico b Use o campo elétrico de Pouso uma celia Possul wma diferenga de potencial de 85 mV SS terminado no item a para calcular a diferenca de potencial entre Interior do axdni através de sua membrana Qual phe ORC Een as placas c Aplique o resultado do item b para determinara a wae é o campo elétrico no interior capacitancia do capacitor Compare o resultado a Equagao 2412 dessa membrana 2444 Um capacitor com placas paralelas possui placas 2 2 2449 Umcapacitor de 200 wF é carregado a uma diferenga com area de 00225 m separadas por 100 mm de Teflon a a x de potencial de 800 V Em seguida os terminais do capacitor Calcule a carga nas placas quando sao carregadas a uma dife do sio ligad terminais d itor ni renga de potencial de 120 V b Use a lei de Gauss Equagao CATPEEACTO SAO MEATOS AOS termMUnays Ce wnt Capacitor Nao car eget wo regado de 100 wF Calcule a a carga original do sistema b 2423 para calcular o campo elétrico no interior do Teflon c ar a diferenca de potencial final através de cada capacitor c a Use a lei de Gauss para calcular 0 campo elétrico supondo que a re energia final do sistema e d a diminuicdo da energia quando os fonte de voltagem seja desconectada e o Teflon seja removido oo capacitores estao ligados 2450 Na Figura 249a considere C 90 WF Cp 40 WF PROBLEMAS e Vp 64 V Suponha que os capacitores carregados sejam des 2445 A unidade de flash de uma maquina fotogrdfica con conectados da fonte e desconectados um do outro a seguir eles tém um capacitor que armazena a energia usada para produzir s40 novamente ligados entre si porém através das placas com o flash Em uma dessas unidades um flash dura um tempo de cargas opostas O quanto a energia do sistema diminui a s com uma poténcia luminosa média igual a 270 X 10 W 2451 Para o circuito de capacitores indicado na Figura a Se a conversao da energia elétrica em luz possui eficiéncia 2451 a diferenga de potencial através de a e b de 120 V de 95 a energia restante se transforma em energia térmica Encontre a a energia total armazenada nesse circuito e b a qual é a energia que pode ser armazenada no capacitor para obter energia armazenada no capacitor de 480 uF 9 esse flash b A diferenga de potencial entre as placas de um Figura P2451 capacitor é igual a 125 V quando a energia armazenada é igual 40 8 ao valor calculado na parte a Qual é 0 valor da capacitancia 620 nF 118 uF 2446 Umcapacitor com placas paralelas no ar é constitufdo 860 uF por duas placas quadradas com um mesmo lado de 12 cm e ae L b separadas por uma distancia igual a 37 mm Ele é conectado a uma bateria de 12 V a Qual é a capacitancia b Qual é a f carga de cada placa c Qual é 0 campo elétrico entre as placas u 350 wF d Qual é a energia armazenada no capacitor e Supondo que a bateria seja desligada e a seguir as placas sejam puxadas até 2452 Na Figura E2417 C 600 uF Cy 300 uF C3 que a distancia entre as placas passe para 74 mm quais seriam 400 wF e Cy 800 uF O circuito de capacitores esta ligado a as respostas dos itens a b c e d uma diferenga de potencial aplicada V Quando as cargas nos 2447 eee Em alguns teclados de computador cada tecla con capacitores possuem seus valores finais a voltagem através de C3 tém uma pequena placa metélica que funciona como uma das igual a 400 V Determine a as voltagens através de C e Co placas metdlicas de um capacitor com ar Quando pressionamos b a voltagem através de Cy e c a voltagem aplicada ao circuito a tecla a distancia entre as placas diminui e a capacitancia au 2453 Na Figura P2453 menta Um circuito eletrénico detecta a variaciio da capacitancia C C 84 wFeCC Figura P2453 e portanto detecta também o movimento da tecla pressionada Cy 42 uF A diferenca Cc C3 Em um teclado particular a 4rea de cada placa metdlica é igual de potencial aplicada é V a420 mm ea distancia entre as placas é igual a0700 mm antes 220 V a Qual é a capaci L de a tecla ser pressionada a Calcule a capacitancia antes de a tancia equivalente do circuito C tecla ser pressionada b Se 0 circuito eletrénico pode detectar entre os pontos a e b b Cs 2 Cy uma variagao de capacitancia de 0250 pF qual a distancia Calcule a carga de cada capa be minima em que a tecla deve ser pressionada para que 0 circuito citor e a diferenca de poten eletr6nico possa detectar a compressao da tecla cial através de cada capacitor 2448 eee BIO Membranas celulares As membranas celula 2454 As tecnologias atuais da ciéncia de materiais per res paredes que circundam as células normalmente possuem mitem aos engenheiros construir capacitores com valores de C cerca de 75 nm de espessura Elas so parcialmente permeaveis muito maiores do que era possivel anteriormente Um capacitor Capitulo 24 Capacitancia e dielétricos 141 de C 3000 F suporta de acordo com sua classificagao uma di em descarga flui de Figura P2460 ferenca de potencial maxima de 27 V O capacitor cilindrico pos modo a acionar o dis a sui didmetro de 60 cm e comprimento de 135 cm a Determine positivo de sinal Qual a energia potencial elétrica maxima que pode ser armazenada fluxo de carga atra Lat woh nesse capacitor b Seu valor para o item a concorda com o vés do dispositivo de 100 LF 30018 valor de 30 Wh impresso no capacitor c Qual a densidade sinal em cada caso eT TT Dispositivo de energia maxima atingivel nesse capacitor d Compare essa 2461 Um capaci b de sinal densidade de energia maxima com a densidade de energia ma tor com placas parale xima possivel para o poliéster veja a Tabela 242 las possui somente ar b 2455 Na Figura E2420 C 300 wFe V 150 VA entre as placas cat carga do capacitor C é igual a 150 wC e a carga de C é igual regado através da liga a a 450 uC Determine o valor das capacitancias de C e de C3 go a uma bateria O 100 wF 2456 Os capacitores na Figura P2456 estio inicialmente 4Pacitor desconec of S descarregados e sao conectados como indicado no diagrama com tado da bater 1a sem p 200 BE a chave S aberta A diferenca de potencial aplicada é dada por US haja qualquer al 300 uF Vip 210 V a Qual é a diferenga de potencial V7 b Qual perda de carga das pla ue Dispositivo a diferenca de potencial através de cada capacitor depois dea a Um voltimetro de sinal chave S ser fechada c Qual é a quantidade de carga que flui registra 450 V quando através da chave quando ela esta fechada colocado no capacitor Quando um dielétrico é inserido entre as placas preenchendo Figura P2456 completamente o espaco entre elas a leitura do voltimetro é de 300 pF 600 uF 115 V Qual a constante dielétrica desse material b Qual d sera a leitura do voltimetro se o dielétrico for parcialmente re t movido de modo a preencher somente um terco do espaco entre a b as placas Ss 2462 Um capacitor no ar possui placas largas com drea A separadas por uma distancia d A seguir uma placa metdlica com 600 uF 300 uF espessura a menor que d com as mesmas dimens6es da area das placas é inserida paralelamente entre 2457 Tré itancias de 84 84 as placas sem tocar nenhuma delas Figura P2462 Trés capacitores com capacitancias 8484 Figura P2462 a Qual é a capa 42 BF sao conectados em série através de uma diferenga de citncia desse arranjo b Expresse v potencial de 36V a Qual é a carga do capacitor de 42 UFb acca capacitancia em funcao da capa 1 DLL a Qual a energia total armazenada nos trés capacitores cOs Gitancia Co existente antes da intro v capacitores sao desconectados da diferenga de potencial sem que ducio da placa metilica c Discuta PS eles se descarreguem A seguir eles sao ligados em paralelocom g que ocorre com a capacitancia nos as placas de carga positiva ligadas entre si Qual a voltagem imites a9 0ead através de cada capacitor na ligagdo em paralelo d Qualéa 9463 ee Uma diferenca de potencial V 480 V é aplicada energia total final acumulada nos capacitores através do circuito de capacitores da Figura E2417 Se Cy Cy 2458 Capacitancia de uma nuvem de tempestadeO centro 400 wFe Cy 800 pF qual deve ser o valor da capacitancia C3 de carga de uma nuvem carregada que paira a 30 km acima da para que 0 circuito armazene 290 X 103 Jde energia elétrica superficie terrestre contém 20 C de carga negativa Supondo que 2464 CALC O cilindro interior de um longo capacitor ci o centro de carga possua raio de 10 km e modelando o centro de lindrico possui raio r e densidade linear de carga Em torno carga e a superficie terrestre como placas paralelas calcule aa dele hd uma casca condutora cilindrica coaxial de raio interno capacitancia do sistema b a diferenga de potencial entre o centro r e densidade linear de carga A veja a Figura 246 a Qual de carga e 0 solo c a forga média do campo elétrico entre a é a densidade de energia na regido entre os condutores a uma nuvem e 0 solo d a energia elétrica armazenada no sistema distancia r do eixo b Integre a densidade de energia calcu 2459 Na Figura P2459 lada na parte a sobre o volume entre os condutores em um cada capacitancia C é igual a comprimento L do capacitor para obter a energia total do campo 69 wF e cada capacitancia Cz Figura P2459 elétrico por unidade de comprimento c Use a Equacao 249 ea é igual a 46 wF a Calcule a Cc C C capacitancia por unidade de comprimento calculada no Exemplo capacitancia equivalente do 4 Ia TT 244 Segao 241 para calcular UL Seu resultado concorda com circuito entre os pontos ae b C C C o obtido na parte b b Calcule a carga dos trés ca 2465 Um capacitor possui placas paralelas e quadradas pacitores mais proximos de ae tL cada uma com 800 cm de lado separadas por uma distancia de b quando V 420 V c b 1 Cc d Cc igual a 380 mm O espaco entre as placas é completamente pre Determine Vg quando a dife enchido com duas placas quadradas de dielétrico cada uma com renga de potencial é igual a lados de 800 cm e espessura de 190 mm Uma placa é feita de 420 V entre ae b vidro Pyrex e a outra de poliestireno Se a diferenga de poten 2460 Cada combinagiio de capacitores entre os pontos ae cial entre as placas é de 860 V qual é a quantidade de energia b na Figura P2460 é inicialmente conectada a uma bateria de elétrica armazenada no capacitor 120 V carregando a combinagéo em 120 V Essas combinagdes 2466 Um capacitor de placas paralelas consiste em duas sao entao ligadas entre si para formar o circuito indicado Quando placas de 120 cm de cada lado separadas por uma distancia de a chave S é acionada uma corrente de carga para os capacitores 450 mm Metade do espago entre essas placas contém apenas 142 Fisica Ill ar mas a outra metade é preenchida com Plexiglas de cons capacitancias C e C interligados em uma combinagao em pa tante dielétrica 340 Figura P2466 Uma bateria de 180 Vesta ralelo Vocé dispde de uma bateria de 2000 V e pode medir com ligada as placas a Qual é a capaciténcia dessa combinagao instrumentos a energia total fornecida pela bateria quando ela Dica vocé pode considerar esse capacitor como equivalente a esta conectada aos circuitos Quando a bateria esta conectada em dois capacitores em paralelo b Quanta energia é armazenada paralelo ao conjunto de capacitores interligados em paralelo o no capacitor c Se removermos o Plexiglas sem realizar ou circuito armazena uma energia igual a 0180 J Quando a bateria tras alterac6es qual sera a quantidade de energia armazenada esta conectada em série aos conjuntos de capacitores interligados no capacitor em série 0 circuito armazena uma energia igual a 00400 J Vocé Figura P2466 foi informado que Ci é maior do que Cp a Calcule C eC b No caso da combinac4o em série C acumula mais carga do que C ou as cargas acumuladas nestes capacitores sao iguais Qual dos dois capacitores acumula mais energia ou C acumula Plexiglas Ar a mesma energia que C2 c Repita o item b para o caso da combinag4o em paralelo 2470 DADOS Vocé esta projetando capacitores para di versas aplicacgées Para uma das aplicag6es vocé deseja obter a 2467 Tres placas metalicas quadradas A Be C cadauma naior energia acumulada possivel Para uma segunda aplicacao com um lado igual a 120 cme espessura de 150 mm sao agru yoc deseja obter a carga maxima acumulada no sistema Para padas como indica a Figura P2467 As placas sao separadas por yma terceira aplicaciio vocé deseja obter a diferenca de potencial folhas de papel com espessura de 045 mm e constante dielétrica wy4xima sem que ocorra a ruptura dielétrica do capacitor Vocé igual a 42 As placas externas s4o conectadas por um fio e liga comeca com um capacitor plano de placas paralelas com ar entre das a um ponto b A placa as placas sendo Cp 60 pF e a distancia entre as placas igual a interna é ligada a um Figura P2467 250 mm A seguir vocé deseja usar cada um dos materiais die ponto a a Faga um dia Metal létricos listados na Tabela 242 Em cada aplicagao o dielétrico grama e mostre usando Papel deve preencher todo 0 volume entre as placas e o campo elétrico sinais positivos e negati nao pode passar de 50 do valor de rigidez dielétrica fornecida vos a distribuigao de car b naquela tabela a Calcule o valor da energia elétrica armazenada gas sobre as placas no capacitor para cada um dos cinco materiais listados naquela quando o ponto a man tabela b Para cada material qual é a carga Q acumulada em tido com um potencial cada placa do capacitor c Para cada material qual é a tensdo positivo em relagao ao ponto b b Qual 0 valor da capaciténcia elétrica aplicada entre as placas do capacitor d Qual dos mate entre os pontos ae b riais listados naquela tabela vocé escolheria para que a constante 2468 Um indicador de nivel de combustivel usa um capa dielétrica se adaptasse melhor para as trés experiéncias citor para determinar a altura atingida pelo combustivelemum 2471 DADOS Vocé esta realizando experiéncias com tanque A constante dielétrica efetiva Kvaria de um valor igual um capacitor plano de placas paralelas com ar entre as placas a 1 quando o tanque esta vazio até um valor K a constante die Vocé conecta o capacitor a uma bateria com tensdo elétrica igual létrica do combustivel quando o tanque esta cheio Um circuito a 240 V Inicialmente a distancia d entre as placas é igual a eletr6nico apropriado pode determinar a constante dielétrica 00500 cm Em uma das experiéncias vocé deixa a distancia efetiva da camada de ar combinada 4 camada do combustivel entre as placas aumentar com a bateria conectada e mede a ener entre as placas do capacitor Cada uma das duas placas retan gia elétrica armazenada entre as placas para cada um dos valores gulares possui largura w e comprimento L Figura P2468 A de d Em uma outra experiéncia vocé desconecta a bateria antes altura do combustivel entre as de iniciar o aumento da distancia entre as placas Um conjunto de placas é h Despreze qualquer Figura P2468 dados obtidos é indicado na Figura P2471 na qual vocé plotou efeito de borda a Deduza a V a energia acumulada em fungdo de 1d a Para qual das duas expressao para Kem funao experiéncias esse conjunto de dados se aplica para a primeira de h b Qual é a constante com a bateria conectada ou para a segunda com a bateria des dielétrica efetiva quando o conectada antes das variagdes de d Explique b Use os dados tanque esta cheio até i de seu Vga plotados na Figura P2471 para calcular a area A de cada placa volume 5 de volume e até 3 c Para qual caso bateria conectada ou desconectada 0 capa de volume se 0 combustivel Y citor armazena mais energia quando d 0400 cm Explique for gasolina K 195 c Jf Figura P2471 Repita a parte b para o meta nol K 330 d Para qual U 10 J dos dois fluidos esse indica 80 dor do nivel de combustivel é 70 mais pratico 60 2469 DADOS Seu fornecedor de energia elétrica possui 50 um conjunto de capacitores com capacitancia C e outro conjunto 40 de capacitores com capacitancia C2 Vocé tera que determinar 30 os valores de C e de Cy porém sem poder medir individual A qi 20 mente o valor de C nem o valor de Cy Contudo vocé dispde de um circuito contendo esses conjuntos de capacitores com ca 10 pacitancias C e C interligados em uma combinagao em série e 0 5 10 1520 25 1d cm um outro circuito contendo esses conjuntos de capacitores com Capitulo 24 Capacitancia e dielétricos 143 PROBLEMA DESAFIADOR sinal oposto ao valor de dU en Figura P2472 2472 Duas placas condutoras quadradas cada qual com contrado no item b d Se F for Al lado igual a L sio separadas por uma distancia D Uma placa 0 mddulo da forga exercida sobre eo dielétrica com constante dielétrica K e dimensdesL X LX Dé dielétrico pelas cargas das pla inserida até uma distancia x no espaco entre as placas como indi 4S entao dU deve ser igual ao L cado na Figura P2472 a Calcule a capacitancia C do sistema ttabalho realizado contra essa b Suponha que 0 capacitor seja conectado a uma bateria que f0rga para deslocar o dielétrico F mantém uma diferenca de potencial constante V entre as placas 4t uma distancia dx Portanto L Se a placa dielétrica for inserida até uma distancia adicional dx U F dx Mostre que a apli Ao a no espaco entre as placas mostre que a variacdo de energia acu cagao desse resultado na parte b nesta K mulada é dada por sugere que a forca elétrica em purra o dielétrico para fora do KD K legV7L capacitor enquanto o resultado dU 3p da parte c sugere que a forca empurra 0 dielétrico para dentro do capacitor e A Figura 2416 c Suponha que antes de a placa se mover uma distancia dx as Mostra que a forga empurra efetivamente o dielétrico para dentro placas sejam desconectadas da bateria de modo que as cargas dasdo capacitor Explique a razao pela qual o resultado da parte b placas permanecam constantes Determine o médulo dacargaem fornece uma resposta incorreta para 0 sentido dessa forga e cal cada placa e a seguir mostre que quando a placa penetra mais cule o médulo da forga Esse método nao exige o conhecimento uma distancia dx no interior do espaco entre as placas a energia do campo nas bordas do capacitor acumulada varia de uma quantidade igual em mddulo mas de Problemas com contexto BIO O 6vulo elétrico Apés a fecundaciio os 6vulos de muitas um valor de cerca de 10 Cmol ou seja o numero de Avogadro espécies passam por uma rapida mudanga na diferenga de po um mol de fons monovalentes como Na ou K transporta tencial através de sua membrana externa Essa alteracio afetao uma carga de 10C desenvolvimento fisiol6gico dos 6vulos A diferenga de potencial 2473 Quantos mols de Na devem passar por unidade de area através da membrana é denominada potencial de membrana V da membrana para alterar V de 70 mV para 30 mV supondo que o potencial dentro da membrana menos 0 potencial fora que a membrana se comporte puramente como um capacitor dela O potencial de membrana surge quando as enzimas usama a 104 molcm b 10 molcm c 10 12 molcm d energia disponivel em ATP para expelir ativamente trés fons de 107 4 molcm s6dio Na e acumular dois fons de potassio K no interiorda 2474 Suponha que o 6vulo possua um didmetro de 200 wm membrana tornando o interior menos positivamente carregado Qual alteracdio fraciondria na concentrac4o interna de Na resulta que o exterior Para um 6vulo de um ourigodomar V cerca da alterago induzida pela fertilizagao em V Suponha que os de 70 mV ou seja 0 potencial no interior 70 mV menor que fons de Na sejam distribufdos por todo 0 volume da célula A no exterior A membrana do é6vulo comportase como um capa concentrac4o aumenta a uma parte em 107 b uma parte em citor com uma capacitancia aproximadamente igual a 1 pEcm 10 c uma parte em 10 d uma parte em 107 A membrana do é6vulo nao fertilizado seletivamente permedvel 2475 Suponha que a alterac4o em V tenha sido provocada pela aK ouseja K pode passar facilmente através de certos canais entrada de Ca em vez de Na Quantos fons de Ca teriam da membrana mas outros fons nao podem Quando um é6vulo de entrar na célula por unidade de membrana para produzir essa de um ouriodomar é fertilizado canais de Na na membrana alterac4o a Metade da quantidade de fons de Na b amesma se abrem Na entra no é6vulo e V aumenta rapidamente para quantidade de fons de Na c o dobro da quantidade de fons de 30 mV e permanece assim durante varios minutos Aconcen Na d nao possivel determinar sem conhecer as concentra tragdo de Na é aproximadamente igual a30 mmolL no interior des de Ca no interior e no exterior do évulo do é6vulo mas 450 mmolL na 4gua do mar em torno dele A 2476 Qual é 0 trabalho minimo que deve ser realizado pela concentragao de K é aproximadamente igual a200 mmolL no célula para restabelecer 0 valor de V igual a 70 mV a 3 mJ interior e 10 mmolL no exterior Uma constante util que ligaas b 3 wJ c 3 nJ d 3 pl unidades elétricas e quimicas é 0 numero de Faraday que tem RESPOSTAS Resposta a pergunta inicial do capitulo Respostas as perguntas dos testes Resposta iv A Equacdo 249 indica que a energia armaze de compreensao nada em um capacitor com capacitincia Ce cargaQé UQ72C 241 Resposta iii A capacitancia nao depende do valor da Se a carga Q for duplicada a energia armazenada aumenta por carga Q Dobrar o valor de Q provoca a duplicacao da diferenca um fator de 2 4 Note que se o valor de Q for grande demais de potencial V portanto a capacitancia C QV permanece o médulo do campo elétrico no interior do capacitor excederd a constante Essas afirmagGes s4o verdadeiras independentemente rigidez dielétrica do material entre as placas provocando uma da forma geométrica do capacitor ruptura dielétrica ver Seco 244 Isso impde um limite pratico 242 Resposta a i b iv Em uma ligacaio em série os a quantidade de energia que pode ser armazenada dois capacitores possuem a mesma carga Q mas nao a mesma 144 Fisica Ill diferenca de potencial V QC 0 capacitor comamenorcapa 244 Resposta i Neste caso Q permanece constante por citancia C possui a maior diferenga de potencial Em uma ligagéo tanto usamos U Q2C da Equacio 249 para a energia ar em paralelo os dois capacitores possuem a mesma diferenga de mazenada Remover o dielétrico reduz a capacitaéncia por um potencial V mas cargas diferentes Q CV 0 capacitorcom fator de 1K como U é inversamente proporcional a C a energia maior capacitancia C possui carga maior Logo um capacitorde armazenada aumenta por um fator de K Retirar 0 dielétrico do 4 uF ter4 uma diferena de potencial maior que um capacitor capacitor demanda trabalho porque a deformacao do campo tenta de 8 uF se os dois estiverem conectados em série O capacitor puxar o dielétrico de volta Figura 2416 O trabalho realizado de 4 uF nao pode ter mais carga que o de 8 uF nao importa qual vai para a energia armazenada no capacitor seja 0 tipo de ligacio entre eles em uma ligacio em série eles 245 Resposta i iii ii De acordo com a Equagio 2414 terfio a mesma carga e em uma ligacao em paralelo o capacitor se Ey for o médulo do campo elétrico inicial antes da insercao de 8 pF tera mais carga do dielétrico o médulo do campo resultante apés a insergao do 243 Resposta i Os capacitores ligados em série possuem dielétrico sera EoK Ep3 O médulo do campo resultante é a mesma carga Q Para comparar a quantidade de energia arma igual a diferenga entre o médulo do campo inicial e o médulo E zenada usamos a expressio U Q72C da Equacao 249 ela docampo em fungao das cargas ligadas ver Figura 2420 Logo demonstra que 0 capacitor com menor capacitancia C 4 uF Eo Ej Ep3 e Ej 2E3 possui mais energia armazenada em uma combinacdo em série 246 Resposta iii A Equacao 2423 mostra que essa situagao Por outro lado os capacitores em paralelo possuem a mesma a mesma que a de uma carga puntiforme isolada na presenga diferenca de potencial V de modo que para compardlos usa de vacuo mas com E substituido por KE Logo KE no ponto de mos U 5CcV da Equagiio 249 Ela demonstra que em uma interesse é igual a qlAmreyr portanto E ql4nKeyr Como no combinagao paralela 0 capacitor com a maior capacitancia Exemplo 2412 0 preenchimento do espaco com um dielétrico C 8 pF possui mais energia armazenada Se tivéssemos reduz o campo elétrico por um fator de 1K usado U 5C V para analisar a combinaciio em série terfamos de considerar as diferengas de potencial entre os dois capacitores Problema em des taque 2 Da mesma forma usar U Q2C para estudar a combinaciio em 2 0 b Q132arqr C OB rE oR d OBrr oR e C Arreok paralelo demandaria que considerdssemos as diferentes cargas dos capacitores Em uma lanterna como o fluxo de corrente para fora da lâmpada se compara ao fluxo da corrente para dentro dela i A corrente para fora é menor que a corrente para dentro ii a corrente para fora é maior que a corrente para dentro iii a corrente para fora é igual à corrente para dentro iv a resposta depende do bri lho da lâmpada OBJETIVOS DE APRENDIZAGEM Ao estudar este capítulo você aprenderá 251 O significado de corrente elétrica e como as cargas se movem em um condutor 252 O que significam a resistividade e a condutividade de uma substância 253 Como calcular a resistência de um condutor a partir de suas dimensões e de sua resistividade 254 Como uma força eletromotriz fem possibilita o fluxo de uma corrente em um circuito 255 Como fazer cálculos que envolvam energia e potência em circuitos 256 Como usar um modelo simples para compreender o fluxo de corrente em metais Revendo conceitos de 177 Condutividade térmica 232 Voltímetros campo elétrico e potencial elétrico 244 Ruptura dielétrica em isolantes 25 CORRENTE RESISTÊNCIA E FORÇA ELETROMOTRIZ N os quatro capítulos anteriores estudamos as interações de cargas elétricas em repouso agora estamos preparados para estudar as cargas em movimento Uma corrente elétrica é o movimento de cargas de uma região para outra Quando esse movimento ocorre ao longo de uma trajetória que forma um circuito fechado a trajetória denominase circuito elétrico Um circuito elétrico fornece basicamente um caminho para transferir ener gia de um local para outro À medida que as partículas carregadas fluem através do circuito a energia potencial elétrica é transferida de uma fonte como uma bateria ou um gerador até um dispositivo no qual essa energia é armazenada ou então convertida em outras formas de energia em som de um sistema estéreo em calor de uma torradeira ou em luz de uma lâmpada Os circuitos elétricos são úteis porque permitem que a energia seja transportada sem partes móveis além do movimento das próprias partículas carregadas Os circuitos elétricos são es senciais em computadores sistemas de transmissão e recepção de TV e sistemas domésticos e industriais de distribuição de energia elétrica Seu sistema nervoso é um circuito elétrico especializado que transmite sinais vitais de uma parte do corpo para outra No Capítulo 26 veremos como analisar os circuitos elétricos e examinaremos algumas aplicações práticas dos circuitos Antes disso porém devemos estudar as propriedades básicas dos circuitos elétricos apresentadas neste capítulo Para co meçar descreveremos as propriedades dos condutores e como elas dependem da temperatura Aprenderemos por que um fio de cobre curto grosso e frio é melhor condutor que um fio de aço longo fino e quente Estudaremos as propriedades das baterias e como elas produzem corrente e transferência de energia em um circuito Para essa análise usaremos os conceitos de corrente diferença de potencial ou voltagem resistência e força eletromotriz Finalmente faremos um estudo da corrente elétrica através de um material usando um ponto de vista microscópico BookSEARSVol3indb 145 101115 659 PM 146 Fisica Ill 251 CORRENTE Uma corrente é qualquer movimento de cargas de uma regiao para outra Nesta secao discutiremos correntes em materiais condutores A maioria das aplicagdes tecnoldgicas das cargas em movimento envolve correntes desse tipo Em situag6es nas quais ocorre equilfbrio eletrostatico estudadas nos capitulos 21 a 24 o campo elétrico é igual a zero em todos os pontos no interior de um condutor portanto nao existe nenhuma corrente Contudo isso nao significa que todas as cargas no interior do condutor estejam em repouso Em um metal comum Figura 251 Quando nao existe como no caso do cobre ou do aluminio alguns elétrons podem se mover livremente nenhum campo elétrico no interior no interior do material condutor Esses elétrons livres se movem caoticamente em ode ae moet caoticume ate cretron todas as diregoes de modo analogo ao movimento das moléculas de um gas porém ponto P até P depois de um com velocidades muito mais elevadas da ordem de 10 ms Entretanto os elétrons intervalo de tempo At Quando um nao escapam do material condutor porque sao atraidos pelos fons positivos do ma campo elétrico E estd presente a terial O movimento dos elétrons é cadtico logo néo existe nenhum fluxo efetivo forga elétrica F gE produz uma de cargas em nenhuma direcAo fixa e portanto nao ha corrente pequena velocidade de arraste Considere agora 0 que ocorre quando um campo elétrico E estacionrio e cons andy oko ao pento Payot tante é estabelecido no interior de um condutor Mais adiante mostraremos como uma distancia v At de P no sentido 1880 pode ser feito Uma particula carregada como um elétron livre no interior do da forga material condutor é submetida a uma forga estacionaria F gE Se areferida carga Material condutor sem o campo E interno estivesse no vdcuo essa forga estacionaria produziria uma aceleragao estacionaria na mesma diregao da forcga Fe depois de um certo tempo a carga estaria se deslo Ls J cando nessa mesma direcdo com uma velocidade mais elevada Contudo quando as particulas carregadas se movem no interior de um condutor elas frequentemente colidem com os fons grandes do material que permanecem praticamente estaticos Trajetoria do elétron sem 0 campo E O efeito resultante do campo elétrico E é tal que além do movimento cadtico das oO movimento do te a0 in do particulas carregadas existe também um movimento muito lento ou movimento de 8 leeon com o arraste de um grupo de particulas carregadas na diregao da forga elétrica F gE campo E O Figura 251 Esse movimento é descrito pela velocidade de arraste U das par Pi movimento do ticulas Como resultado existe uma corrente resultante no condutor elétron é ays 2 24 em grande Se por um lado o movimento cadtico dos elétrons tem uma velocidade média Py Py parte castico muito elevada da ordem de 10 ms por outro lado a velocidade de arraste é vaAt porém muito lenta geralmente da ordem de 104 ms Mas se os elétrons se movem tao o campo E resulta em um lentamente por que a luz surge imediatamente quando acendemos uma lanterna deslocamento ao longo do fio A razio disso que o campo elétrico se forma no interior do fio com uma veloci dade que se aproxima a da velocidade da luz e os elétrons comegam a se mover Material condutor com o campo E interno ao longo do fio praticamente ao mesmo tempo O tempo que qualquer elétron leva individualmente para se mover do interruptor até a lampada nfo é realmente rele vante Uma boa analogia é um grupo de soldados em posicao de atencgao quando Um elétron possuicarga negativa q portanto 0 sargento ordena que comecem a marchar 0 comando chega aos ouvidos dos a forga que atua sobre ele em fungao do soldados a velocidade do som que é muito maior que a velocidade da marcha campo E esta no sentido oposto ao de E portanto todos os soldados comegam a se mover essencialmente ao mesmo tempo A diregao e o sentido do fluxo da corrente O arraste das cargas que se movem através de um condutor pode ser interpretado com base no trabalho e na energia O campo elétrico E realiza um trabalho sobre as cargas que se deslocam A energia cinética resultante é transferida para o material do condutor por meio das colisdes com os fons que vibram em torno de suas po sigdes de equilfbrio na rede cristalina do condutor Essa energia transferida produz um aumento da energia de vibragao média dos fons e portanto faz aumentar a tem peratura do material Logo grande parte do trabalho realizado pelo campo elétrico é usada para aquecer o condutor ndo para acelerar os elétrons Esse calor algumas vezes possui aplicacao util como no caso de uma torradeira elétrica porém muitas vezes ele é um efeito indesejavel inevitavelmente associado 4a corrente elétrica Em diferentes materiais que conduzem uma corrente as cargas das particulas que se movem podem ser positivas ou negativas Nos metais as cargas que se Capitulo 25 Corrente resisténcia e forca eletromotriz 147 movem sao sempre elétrons negativos enquanto em um gas ionizado plasma Figura 252 A mesma corrente pode ou em uma solucio idnica as particulas incluem elétrons e fons positivos Em um Set produzida por a cargas aus sae x positivas que se deslocam no mesmo material semicondutor como 0 germanio ou 0 silicio a condugao pode ocorrer pelo de elé 1 d co hecid sentido do campo E ou b por um movimento de e etrons ou pelo movimento de vacdncias mais conhecidas com0 pymero igual de cargas negativas se buracos que so locais da rede onde no existem elétrons e que funcionam como deslocando com a mesma se fossem cargas positivas velocidade no sentido contrario ao Na Figura 252 indicamos segmentos de dois materiais que transportam uma 40 campo E corrente Na Figura 252a as cargas que se deslocam sao positivas a forga elétrica a possui 0 mesmo sentido do campo E e a velocidade de arraste U apresenta sentido x ar F 1 da esquerda para a direita Na Figura 252b as cargas sao negativas a forca elétrica E apresenta sentido oposto ao de E e a velocidade de arraste U possui sentido da di 2 one r a reita para a esquerda Em ambos os casos ha um fluxo resultante de carga positiva da esquerda para a direita e as cargas positivas ficam 4 direita das cargas negativas a Cc Definimos a corrente designada pela letra J como 0 movimento de cargas positi I o vas Portanto descrevemos as correntes como se elas fossem um fluxo de cargas woe b lé duzid 1 Uma corrente convencional é tratada positivas mesmo em casos nos quais sabemos que a corrente real produzida pelos como um fluxo de cargas positivas nao elétrons Portanto a corrente tanto no caso da Figura 252a quanto no caso da jmportando se as cargas livres no Figura 252b é considerada no sentido da esquerda para a direita Essa escolha ou condutor sao positivas negativas convengao para o fluxo das cargas denominase corrente convencional Embora C 22s o sentido da corrente convencional ndo seja necessariamente 0 mesmo do sentido py real do movimento das cargas verificaremos que o sinal das cargas que se movem é irrelevante para a andlise dos circuitos elétricos EB a a Na Figura 253 indicamos o segmento de um condutor no qual uma corrente 3 es Ne Figura 253 x0 1958 esta fluindo Consideramos as cargas positivas de modo que elas se movem no Uz x mesmo sentido da corrente Definimos a corrente pela 4rea com secao reta A como la G igual ao fluxo total das cargas através da area por unidade de tempo Logo se uma 7 2 aS carga liquida dQ flui através de uma drea em um intervalo de tempo df a corrente s Em um condutor metalico as cargas em T através da area é dada por xe movimento s4o elétrons mas a corrente ainda aponta no sentido do dQ movimento das cargas positivas I a definigao de corrente 251 Figura 253 A corrente através da Ao C 5 Emb do d area com secfo reta A é a taxa de ATENCGAO orrente nao é um vetor mbora usemos a pa EU Sea ode uma cor Variacdo com 0 tempo da carga rente como definido pela Equagao 251 observamos que ela ndo uma grandeza veto transferida através de A O rial Em um fio que transporta uma corrente esta flui sempre ao longo do comprimento movimento caotico de cada particula do fio tanto em fios retilineos quanto em fios curvos Um tinico vetor nao pode descrever possui velocidade média igual a zero a mesma grandeza ao longo de uma trajetoria curva por essa raz4o a corrente nao éum e a corrente resultante apresenta 0 vetor A direcdo da corrente sera definida em palavras como na frase a corrente fluino mesmo sentido de E sejam as cargas sentido horario em torno do circuito ou serd escolhida como positiva a corrente que flui Movimento positivas como em determinado sentido e negativa aquela que flui no sentido contrario exemplificado neste caso ou negativas como na Figura 252b A unidade SI de corrente denominase ampére um ampére é definido como 60 um coulomb por segundo 1 A 1 Cs O nome dessa unidade foi dado em ho v menagem ao cientista francés André Marie Ampére 17751836 Quando uma q SS lanterna comum é ligada a corrente que passa na lanterna é da ordem de 05 até 1 A acorrente nos fios do motor de arranque usado para dar partida no motor de um automével é da ordem de 200 A As correntes em circuitos de radio e de televisao sao geralmente expressas em miliampéres 1 mA 107 A ou microamperes pA 10 A e as correntes em circuitos de computadores sao expressas em v dt 9 5 12 kK nanoampéres 1 nA 10 A ou picoampéres 1 pA 10 A a a pore Oru z Corrente velocidade de arraste e densidade de corrente Pa lo WW 1 Podemos expressar uma corrente com base na velocidade de arraste das cargas que se movem Vamos considerar novamente a situagdo indicada na Figura 253 dO ae Corrente um condutor com seao reta de area A e um campo elétrico E orientado da esquerda dt 148 Fisica Ill para a direita Em principio suponhamos que as cargas livres do condutor sejam positivas entao a velocidade de arraste possui o mesmo sentido do campo elétrico Suponha que existam n particulas carregadas em movimento por unidade de volume A grandeza n denominase concentracao de particulas sua unidade SI ém Suponha que todas as particulas se movam com a mesma velocidade de arraste com médulo v Em um intervalo de tempo df cada particula se desloca uma distancia v dt As particulas que fluem para fora da extremidade direita do cilindro sombreado de comprimento v dt durante o tempo df sao as particulas que estavam no interior desse cilindro no inicio do intervalo dt O volume do cilindro é dado por Av dt e o numero de particulas em seu interior é nAv dt Se cada particula possui uma carga q a carga dQ que flui para fora da extremidade direita do cilindro durante o tempo dt é dada por dQ qnAv dt nqu A dt e acorrente é dQ I nqvA dt A densidade de corrente J é definida como a corrente que flui por unidade de area da secdo reta I J A nqvg As unidades de densidade de corrente sio ampéres por metro quadrado Am Quando as cargas que se movem forem negativas em vez de positivas como na Figura 252b a velocidade de arraste tera sentido contrario ao de EF Porém a corrente apresentara ainda o mesmo sentido de E em cada ponto do condutor Portanto a densidade de corrente J e a corrente J nao dependem do sinal da carga e portanto nas expressdes anteriores para J e para J podemos substituir a carga q por seu valor absoluto Iq Razao do fluxo de carga através da area Médulo da velocidade Corrente através dQ ede arraste de uma area ds lavaA Area da segao reta 252 Concentragao de particulas cee Carga por particula carregadas em movimento I J A nlqvq densidade de corrente 253 A corrente em um condutor é igual ao produto da concentragao das cargas em movimento vezes o mddulo da carga de cada particula vezes o mdédulo da velo cidade de arraste vezes a area da segao retado condutor Podemos também definir um vetor densidade de corrente J que inclui o sentido da velocidade de arraste Vetor densidade de corrente x Velocidade de arraste J nqo 254 Concentracio de particulas Carga por particula carregadas em movimento Nao existe nenhum sinal de valor absoluto na Equacao 254 Quando q positivo v tem o mesmo sentido de E e quando q negativo U tem sentido oposto ao de E porém em qualquer dos dois casos J apresenta sempre 0 mesmo sentido de E A Equagaio 253 fornece 0 médulo J do vetor densidade de corrente J Capitulo 25 Corrente resisténcia e forga eletromotriz 149 ATENGAO Densidade de corrente versus corrente Note que a densidade de corrente J éum vetor mas a corrente J nao A diferenga é que a densidade de corrente J descreve como as cargas fluem em determinado ponto e o sentido do vetor descreve o sentido do fluxo nesse ponto Por outro lado a corrente J descreve como as cargas fluem através de um objeto estendido como um fio Por exemplo possui o mesmo valor em todos os pon tos do circuito na Figura 253 mas J nao a densidade de corrente aponta de cima para baixo no lado esquerdo do circuito e de baixo para cima no lado direito O médulo de J também pode variar em torno de um circuito Na Figura 253 o médulo da densidade de carga J IA é menor na bateria que possui uma drea de seco reta A que nos fios que possuem uma drea de sego reta pequena Em geral um condutor pode conter diferentes tipos de cargas que se movem g Figura 254 Uma parte do circuito Qa cConcentragdes 11 No e velocidades de arraste Vay Va Exemplo disso elétrico que inclui esta lampada é a conducio em uma solu4o idnica Figura 254 Em uma solucio de cloreto de Passa por um recipiente que contém s6dio a corrente é transportada tanto pelos fons de sddio positivos quanto pelos solugao de clore to de Sodio A corrente na solugéo é a soma da fons de cloro negativos a corrente total J calculada somandose as correntes pro corrente de cargas positivas fons duzidas pelos dois tipos de cargas aplicandose a Equagao 252 Analogamente o Na coma corrente de cargas vetor densidade de corrente total J pode ser calculado usandose a Equagio 254 negativas fons CI para cada particula carregada e somandose os resultados Veremos na Secao 254 que possivel obter uma corrente estaciondria ou seja wy aquela que nao varia com o tempo somente quando o condutor forma um circuito 3 a fechado chamado de circuito completo Nessa situagao estacionaria a carga total re a em cada segmento do condutor permanece constante Portanto a taxa do fluxo da a carga para fora de uma das extremidades do segmento em qualquer instante é xi 4 r i igual a taxa do fluxo da carga para dentro da outra extremidade do segmento e e os a corrente é a mesma através de qualquer secdo reta do circuito Usaremos essa st it observagao quando analisarmos circuitos elétricos mais adiante neste capitulo ss ae Em muitos circuitos simples como no caso de uma lanterna ou de uma fura Sel a 2 deira elétrica o sentido da corrente é sempre 0 mesmo essa corrente denominase corrente continua No entanto certos aparelhos eletrodomésticos como uma tor radeira um refrigerador ou uma televisdo utilizam corrente alternada que muda de sentido permanentemente Neste capitulo vamos considerar apenas a corrente continua Uma corrente alternada possui caracteristicas especiais que merecem um estudo detalhado o qual sera feito no Capitulo 31 BEETIOEERD DeNsIDADE DE CORRENTE E VELOCIDADE DE ARRASTEEMUM FIO Um fio de cobre com calibre 18 geralmente usado nos fios que O méddulo de densidade de corrente é entao ligam lampadas possui um diametro nominal igual a 102 mm Esse fio esté conectado a uma lampada de 200 W e conduz J ft Le7A 204 x 10 Am p uma corrente de 167 A A densidade dos elétrons livres é de A 817 X 10 mi 85 X 1078 elétrons por metro cuibico Calcule os médulos a da densidade de corrente e b da velocidade de arraste b Explicitando o médulo da velocidade de arraste v da Equacao 253 obtemos SOLUGAO J 204 X 10 Am2 IDENTIFICAR E PREPARAR este problema usa as relac6es entre va niq 85 X 10 m3160 X 109 C corrente densidade de corrente J e velocidade de arraste v Conhecemos a corrente e as dimensées do fio portanto usamos a 15 xX104 ms 015 mms Equacao 253 para calcular o médulo J da densidade de corrente Entao usamos a Equacao 253 novamente para determinar a ve AVALIAR com essa velocidade um elétron levaria 6700 s quase locidade de arraste v a partir de J e a concentracao de elétronsn 2h para percorrer uma distancia igual a 1 m ao longo do fio As que conhecemos velocidades dos movimentos caéticos dos elétrons séo da ordem EXECUTAR a a area da secao reta é dada por de 10 ms cerca de 10 vezes maior que a velocidade de arraste 5 3 Imagine os elétrons vagando freneticamente com velocidades A ad m102 X 10 m 817X 107 m fantasticas porém com um arraste extremamente lento 4 4 150 Fisica Ill TESTE SUA COMPREENSAO DA SEGAO 251 Suponha que substitufmos o fio do Exemplo 251 por outro de cobre com calibre 12 e que possui 0 dobro do diametro do ante rior de calibre 18 Se mantivermos a mesma corrente que efeito isso teria sobre o médulo da velocidade de arraste v i Nenhum v nfo varia ii VU duplica iii va é quatro vezes maior iv U se reduz pela metade v v se reduz a um quarto do valor I 252 RESISTIVIDADE A densidade de corrente J em um condutor depende do campo elétrico Ee das propriedades do material Essa dependéncia em geral muito complexa Porém para certos materiais especialmente para os metais em uma dada temperatura J quase diretamente proporcional a E e arazio entre os médulos E e J permanece constante Essa relagao chamada de lei de Ohm foi descoberta em 1826 pelo fi sico alemao Georg Simon Ohm 17871854 A palavra lei deveria na verdade estar entre aspas porque a lei de Ohm assim como a lei dos gases ideais e a lei de Hooke fornece um modelo idealizado que descreve muito bem o comportamento de alguns materiais porém nao fornece uma descrigao geral para todos os materiais Na discussdo seguinte vamos supor que a lei de Ohm seja valida embora existam muitas situagGes para as quais ela nao é aplicavel Definimos a resistividade p de um material como a razao entre o mddulo do campo elétrico e o médulo da densidade de corrente 4 Médulo do campo Resistividade E elétrico no material de um material p Je Médulo da densidade de corrente eS causada pelo campo elétrico Quanto maior for o valor da resistividade maior sera 0 campo elétrico necessa rio para produzir uma dada densidade de corrente ou menor sera a densidade de corrente gerada por um dado campo elétrico E possivel observar na Equaciio 255 que as unidades de p sao VmAm V mA Como veremos na Segao 253 1 VA denominase 1 ohm 1 usamos a letra grega maitiscula 1 ou Omega para designar ohm Logo as unidades SI de p sao m ohm vezes metro Alguns valores da resistividade sao indicados na Tabela 251 Um condutor per feito deveria ter resisténcia igual a zero e um isolante perfeito deveria ter resisténcia infinita Os metais e as ligas metdlicas séo os materiais com menor resistividade e também os melhores condutores A resistividade de um isolante é cerca de 10 vezes mais elevada que a resistividade de um condutor TABELA 251 Valores da resistividade em temperatura ambiente 20 C Metais Prata 147 X 10 Carbono puro grafite 35 x 10 Cobre 172 X 108 Germanio puro 060 Amini Ss 10 Hoolamtes Constantan Cu 60 Ni 40 49 x 1078 Enxofre 105 Nicromo 100 X 1078 Teflon 103 Capitulo 25 Corrente resisténcia e forga eletromotriz 151 O inverso da resistividade é a condutividade Suas unidades SI sao 1 m Figura 255 Os fios de cobre ou Um bom condutor de eletricidade possui condutividade muito maior que um iso has nesta placa de circuito sao oe eG an diretamente impressos na superficie lante A condutividade elétrica andloga 4 condutividade térmica Comparando gq placa isolante de cor escura a Tabela 251 com a Tabela 175 Condutividade térmica notamos que um bom Embora os tracos estejam muito condutor elétrico como um metal geralmente é um bom condutor de calor Um proximos uns dos outros somente mau condutor elétrico como plastico ou ceramica costuma ser um mau condutorde 4 de um milimetro de distancia a placa possui uma resistividade calor Em um metal os elétrons livres que sao os portadores de carga na conduga0 436 alta e uma baixa condutividade elétrica também sao os principais responsdveis pela condugao de calor portanto em comparaciio A do cobre que nao esperase que haja uma relacdo entre a condutividade elétrica e a condutividade a nenhum fluxo de corrente entre térmica Como existe uma enorme diferenga entre a condutividade de um condutor tragos e a de um isolante é facil confinar a corrente elétrica em determinados caminhos Caminhos condutores ou circuitos Figura 255 Entretanto como a diferenga entre a condutividade wn térmica de um condutor de calor e a condutividade de um isolante é apenas um ri fator aproximadamente igual a 10 em geral é impossivel confinar um fluxo de calor com a mesma facilidade da corrente elétrica A ae ts iy FF Um semicondutor possui resistividade intermedidria entre a condutividade de Spc Ne 4 je um metal e a condutividade de um isolante Esse tipo de material é importante por hid fy 9 oe causa do modo como sua resistividade varia com a temperatura e com as impurezas Wy by fd iy fe Um material que obedece razoavelmente 4 lei de Ohm denominase condutor om oy igh hae Yy Vi if 6hmico ou condutor linear Para esse tipo de material a uma dada temperatura otf th i fj fi p uma constante que nao depende do valor de E Muitos materiais exibem umf a oy Lif hf off comportamento substancialmente diferente do indicado pela lei de Ohm eles sio SFO de i iif fi Ps Vy chamados de materiais ndo 6hmicos ou nao lineares Para esses materiais J de 4 FI f pende de E de modo mais complexo re As analogias com 0 escoamento de um fluido podem ser tteis para visualizar o que ocorre com correntes e circuitos Por exemplo para fazer vinho 0 produto é filtrado para remover sedimentos Uma bomba forga 0 fluido que passa através do filtro sob presso se a vazao andloga a J for proporcional a diferenga de pressaio entre os dois lados do filtro analogo ao E aplicado o comportamento sera seme Ihante ao da lei de Ohm Resistividade e temperatura BIO Aplicagdo Resistividade e conducao nervosa Esta imagem em A resistividade de um condutor metdlico quase sempre cresce com 0 aumento alsa cor produzida por um microscopio da temperatura como indica a Figura 256a A medida que a temperatura au életrOnico mostra uma secao reta de uma menta os fons do condutor vibram com uma amplitude mais elevada aumen fibra nervosa com diametro de cerca de tando a probabilidade de colisdes dos elétrons com os fons como se vé na Figura pm 10m Uma substancia eps gordurosa isolante chamada mielina forma 251 Isso dificulta o arraste dos elétrons através do condutor e portanto faz jma camada em torno do material diminuir a corrente Havendo um intervalo de temperatura pequeno até cerca condutor do axdnio Como a resistividade de 100 C a resistividade de um metal pode ser aproximadamente representada ne et emul maton Que a do aver pela equacao da fibra nervosa permnanece confinado 20 ax6nio Isso possibilita um deslocamento RES erence eratiral muito mais rapido do sinal do que se a Resistividade em temperatura T jaeeerneseneeseeees Coeficiente de temperatura mielina estivesse ausente temperatura pT poll aT 7 s6 RRS a Resistividade a uma ae ed temperatura de referéncia Tp ae oe As me a i v4 fi ae é a 1 tt 2 A temperatura de referéncia Ty geralmente é considerada como igual a 0 C J pf me pth ou 20 C a temperatura T pode ser maior ou menor que Tp O fator a denomina L e J se coeficiente de temperatura da resistividade Alguns valores tipicos desse a aa coeficiente sao indicados na Tabela 252 A resistividade da liga de manganinaé alee 7s rs 7 praticamente independente da temperatura a a ft 152 Fisica Ill Figura 256 Variagao da TABELA 252 Coeficientes de temperatura da resistividade valores aproximados em torno da resistividade p em funcao da temperatura ambiente temperatura absoluta T para a um metal normal b um semicondutor e c um supercondutor Em a a aproximacgaéo linear de p em func4o de T indicada por um segmento de Lato 00020 Manganina 000000 linha reta verde a aproximagao concorda com o valor dla fungao Constantan 000001 Nicromo 00004 para T To quando p Po a p Metal a resistividade aumenta a medida que a temperatura aumenta Ma A resistividade do grafite um material nao metalico diminui quando a tem Po Inclinagao poe peratura aumenta visto que em temperaturas elevadas muito mais elétrons se desprendem dos atomos e adquirem maior mobilidade portanto o coeficiente de T temperatura da resistividade do grafite é negativo O mesmo tipo de comportamento 0 1 ocorre para os materiais semicondutores Figura 256b A medida da resisténcia de um pequeno cristal semicondutor pode servir portanto para uma sensivel medida de temperatura esse 0 principio de funcionamento de um termémetro denomi p nado termistor Semicondutor a a sg aq eos resistividade diminui A Alguns materiais incluindo metais ligas metalicas e 6xidos apresentam um medida que a temperatura fendmeno chamado supercondutividade A medida que a temperatura diminui a aumenta resistividade cai no inicio lentamente como em qualquer metal Porém para uma certa temperatura critica T ocorre uma transicao de fase e a resistividade diminui r bruscamente como indica a Figura 256c Se uma corrente for estabelecida em um O anel supercondutor ela permanecera circulando no anel indefinidamente sem a necessidade de nenhuma fonte de alimentagao A supercondutividade foi descoberta em 1911 pelo fisico holandés Heike Ka c p merlingh Onnes 18531926 Ele observou que para temperaturas muito baixas Supercondutor a temperaturas menores que 42 K a resistividade do merctrio cafa repentinamente para zero Du abaixo de T a resistividade rante 75 anos apés essa descoberta o valor maximo de T conseguido era da ordem igual a ZE10 de 20 K Isso significa que a supercondutividade so podia ser obtida utilizandose i 0 hélio liquido que é muito caro cuja temperatura de ebulicao é 42 K ou o hidro i génio liquido que é explosivo e cuja temperatura de ebulicao 203 K Porém em ol Tf r 1986 Karl Miiller e Johannes Bednorz descobriram um 6xido de bdrio lantanio e cobre com T da ordem de 40 K dando inicio a uma corrida para desenvolver materiais supercondutores com temperaturas criticas elevadas Em 1987 foi sintetizado um 6xido complexo com itrio bério e cobre com um valor de T maior que 77 K que corresponde ao ponto de ebuligao do nitrogénio liquido um gas barato e que nao apresenta nenhum risco Até 2014 o valor de T maximo atingido sob pressdo atmosférica era da ordem de 138 K e materiais com supercondutividade na temperatura ambiente em breve poderao se tornar uma realidade SAo enormes as implicacg6es dessas descobertas para sistemas de distribuigdo de energia elétrica projetos de computadores e transportes Enquanto isso eletrofmas supercondutores resfriados com hélio liquido ja sio usados em aceleradores de particulas e trens experimentais com levitagéo magnética estéo em operacao Os supercondutores possuem outras propriedades exdticas que necessi tam de conceitos do magnetismo para descrevélas no Capitulo 29 discutiremos essas quest6es de modo mais aprofundado TESTE SUA COMPREENSAO DA SEGAO 252 Vocé mantém um campo elétrico constante no interior de um pedaco de semicondutor enquanto baixa a temperatura dele O que ocorre a densidade de corrente no semicondutor i Aumenta ii diminui iii nao varia I 253 RESISTENCIA Para um condutor com resistividade p a densidade de corrente J emum ponto que possui um campo elétrico E é dada pela Equagao 255 que pode ser escrita na forma Capitulo 25 Corrente resisténcia e forga eletromotriz 153 E pJ 257 Quando a lei de Ohm valida p permanece constante e nao depende do modulo do campo elétrico logo E diretamente proporcional a J Contudo geralmente estamos mais interessados em saber o valor da corrente total em um condutor que o valor de J e mais interessados em saber o valor da diferenga de potencial V nas extremidades do condutor que o valor de E A razao disso é que as medidas de corrente e de diferenga de potencial sao mais faceis de serem estabelecidas que as medidas de J e de E Suponha que nosso condutor seja um fio de comprimento Le segaéo reta uniforme Figura 257 Um condutor com secao com area A como indicado na Figura 257 Seja Va diferenca de potencial entre a reta uniforme A densidade de extremidade com potencial maior e a extremidade com potencial menor de modo Tente uniforme em qualquer Vsei iti A te flui tid d t idad t ial segao retaeo campo elétrico é que V seja positivo A corrente flui sempre no sentido da extremidade com potencial nstante ao longo do comprimento maior para a de potencial menor Isso ocorre porque a corrente em um condutor flui ri Potencial no sentido do vetor E qualquer que seja sinal das cargas que se movem Figura A corrente fui do menor 252 e porque o vetor E aponta no sentido da diminuido do potencial elétrico potencial maior para veja a Secao 232 A medida que a corrente flui através da diferenga de potencial 0 potencial nee ocorre perda de energia potencial elétrica essa energia é transferida aos fons do Potencial L material do condutor durante as colisées maior ica Podemos também relacionar o valor da corrente a diferenga de potencial nas a extremidades do condutor Supondo que os médulos da densidade de corrente J e ano Boe Z z V diferenca do campo elétrico E sejam uniformes através do condutor a corrente total J é dada d le potencial entre por J JA e a diferenga de potencial V entre as extremidades é dada por V EL as extremidades Solucionando nessas equacoées para E e J e substituindo esses valores na Equacgao 257 obtemos VV pl L ou V Pl LA A 258 O resultado anterior mostra que quando p constante a corrente total J pro porcional a diferenca de potencial V A razao entre Ve J para um dado condutor denominase resisténcia R Vv R 259 I Comparando a definicao de R a Equacao 258 vemos que Renee rete dicm Resistividade do material do condutor um condutor Ke pee Omprimento do condutor 2510 Area da seco reta do condutor Quando p é constante como no caso dos materiais 6hmicos entao R também é A seguinte equaao geralmente chamada de lei de Ohm Voltagem entre as Relacao entre extremidades do condutor voltagem corrente yy RResisténcia do condutor 2511 e resisténcia a s Corrente no condutor Entretanto é importante entender que o verdadeiro significado da lei de Ohm consiste na indicagao de uma proporcionalidade direta para alguns materiais de Vcom ou de J com E A Equagao 259 ou 2511 define a resisténcia R para qual quer condutor que obedea ou nao a lei de Ohm porém somente no caso de R ser constante que essa relagdo pode ser chamada corretamente de lei de Ohm 154 Fisica Ill Interpretagao de resisténcia Figura 258 Uma mangueira usada A Equagao 2510 mostra que a resisténcia de um fio ou de outro condutor com para combater incéndios oferece secao reta uniforme é diretamente proporcional ao comprimento do fio e inversa resisténcia substancial ao fluxo de mente proporcional a area de sua secao reta Ela também é proporcional a resisti agua Para fazer a 4gua escoar vidade do material de que 0 condutor é feito rapidamente pelo tubo a A analogia com o escoamento de um fluido é novamente util Por associagao a extremidade no lado oposto ao do fluxo deve estar sob pressao muito Equacao 2510 uma mangueira fina transportando agua oferece uma resisténcia mais elevada que a extremidade de maior que outra grossa e uma mangueira longa possui resisténcia maior que outra onde a 4gua emerge Analogamente curta Figura 258 Podemos fazer a resisténcia aumentar preenchendo o tubo deve haver uma grande diferengade com algodao ou areia isso corresponde a um aumento de resistividade A vaz4o potencial entre as extremidades de é diretamente proporcional a diferenga de pressdo entre as extremidades da man um fio longo a fim de provocaruma gyeira A vazao do fluido é anéloga A corrente elétrica e a diferenca de pressio corrente elétrica substancial através 2 Z x 4 do fio é analoga a diferencga de potencial voltagem Contudo nao devemos levar essa analogia longe demais a vazao em um tubo geralmente ndo proporcional a area de sua seco reta veja a Secao 136 A unidade SI de resisténcia é 0 ohm que é igual a um volt por ampére 1 O a 1 VA O quiloohm 1 kQ 10 Q e 0 megaohm 1 MO 10 também sao i unidades comumente usadas Um fio de cobre de calibre 12 com 100 m de com primento um tamanho usual na fiac4o de uma casa possui uma resisténcia igual 4 a 05 em temperatura ambiente Uma lampada de 100 W para 120 V possui uma resisténcia igual a 140 na temperatura em que ela se encontra quando esta aa acesa Quando a mesma corrente flui na lampada e no fio de cobre a diferenga de potencial V JR muito maior através da lampada e bem mais energia potencial é perdida nela Essa energia perdida é convertida pelo filamento da lampada em luz e calor Como ninguém deseja que a fiacdo de sua casa fique incandescente a resisténcia da fiagao deve ser mantida pequena usandose um fio com resistividade pequena e area grande em sua segao reta Como a resistividade de um material varia com a temperatura a resisténcia de um condutor especifico também varia dessa forma Para intervalos de temperatura nao muito elevados essa variagdo é dada aproximadamente por uma relagao linear andloga 4 Equacao 256 RT Ro 1 aT To 2512 Na equagao anterior R7 é a resisténcia a uma temperatura T e Ro é a resisténcia a uma temperatura Tp geralmente tomada como 0 C ou 20 C O coeficiente de temperatura da resisténcia a que aparece na Equacao 256 é constante desde que as dimensodes de L e de A na Equacao 2510 nao variem apreciavelmente com a temperatura isso ocorre efetivamente para a maior parte dos materiais condutores Dentro dos limites de validade da Equagao 2512 a variacdo da resisténcia resul tante de uma variagao de temperatura T To é dada por RoaT To Figura 259 Este resistor possui Um resistor é um elemento que possui um dado valor de resisténcia em suas uma resisténcia de 57kQ comuma extremidades Resistores com resisténcias no intervalo de 001 até 10 Q podem ser precisao tolerancia de 10 adquiridos em casas comerciais Os resistores individuais usados em circuitos ele Segundo digito Multiplicador tronicos geralmente sao cilindros com dimenso6es de alguns milimetros de diametro Tolerancia e de comprimento e possuem fios que saem de suas extremidades A resisténcia Primeiro digito pode ser marcada sobre 0 resistor usandose um cédigo padrao de trés ou quatro faixas coloridas proximo de uma das extremidades Figura 259 seguindo a con vencao indicada na Tabela 253 As duas primeiras faixas comegando com a faixa mais préxima de uma das extremidades indicam digitos e a terceira faixa mostra o fator de multiplicagao em poténcia de 10 Por exemplo a combinacao de cores verdevioletavermelho teria uma resisténcia igual a 57 X 10 O ou 57kO A quarta faixa quando existe indica a precisao do valor quando nao ha nenhuma faixa a precisdo é de 20 para uma faixa prateada a precisdo é de 10 e para uma faixa dourada a precisdo é de 5 Outra caracteristica importante de um resistor é a poténcia maxima que ele pode dissipar sem se danificar Retornaremos a esse assunto na Secao 255 Para um resistor que obedece a lei de Ohm um grafico da corrente em fungao da diferenca de potencial voltagem é uma linha reta Figura 2510a A incli Capitulo 25 Corrente resisténcia e forga eletromotriz 155 Figura 2510 Relacgdes correntevoltagem para dois dispositivos Somente para um resistor que obedece a lei de Ohm como em a é que proporcional a V a b Resistor 6hmico p ex um fio metdlico Diodo semicondutor um resistor nao é6hmico comum a uma dada temperatura a corrente é proporcional a voltagem I I No sentido da corrente wk 1 a Inclinagao e da voltagem positiva R 7 aumenta de forma nao linear com V V O O v No sentido da corrente e da voltagem negativa 0 fluxo de corrente é pequeno nacao da reta é igual a UR Quando oO sinal da diferenga de potencial varia o sinal TABELA 253 Codigo decors da corrente também varia Na Figura 257 isso equivale a inverter a polaridade das para resistores extremidades do condutor de modo que 0 campo elétrico a corrente e a densidade d id Cor Valor do Valor do e corrente invertem os sentidos digito multiplicador Nos dispositivos que nao obedecem 4a lei de Ohm a corrente pode nfo ser pro Peta 0 porcional a voltagem e ela pode no ser invertida com a inversao da voltagem A Figura 2510b indica 0 comportamento de um diodo semicondutor que é um dispositivo usado para converter uma corrente alternada em corrente continua e ome 3 para executar uma ampla gama de funcées l6gicas em um circuito de computador Quando o potencial V do anodo um dos dois terminais do diodo é positivo em relagao ao do catodo 0 outro terminal J aumenta exponencialmente em relagao Verde 5 10 ao aumento de V para potenciais negativos a corrente extremamente pequena Azul 6 10 Logo uma diferencga de potencial positiva V produz uma corrente que flui no sen Violeta 7 107 tido positivo porém uma diferenga de potencial negativa nao produz praticamente Cinza 8 108 nenhuma corrente Portanto um diodo funciona como se fosse uma valvula que s6 Branca 8 ranca deixa a corrente passar em um dado sentido pelo circuito SAUCES CAMPO ELETRICO DIFERENCA DE POTENCIAL E RESISTENCIAEMUM FIO O fio de cobre calibre 18 do Exemplo 251 possui secao retab A diferenga de potencial é dada por com area 820 107 m2 Ele conduz uma corrente de 167 A Calcule a 0 médulo do campo elétrico no fio b a diferencga V EL 00350 Vm 500 m 175 V de potencial entre dois pontos do fio separados por uma distancia oy igual a 500 m c a resisténcia de um segmento do fio de com c De acordo com a Equagao 2510 a resisténcia de 500 m do primento igual a 500 m fio R pL 172 X 10 Om500 m 1050 SOLUGAO SOOT eeeTTOCOCL SOPUGAO A 820 X 107 m IDENTIFICAR E PREPARAR temos os valores da area de segao reta A e acorrente J As incdgnitas do problema séo 0 médulo Também podemos determinar R pela Equacao 2511 do campo elétrico E a diferenga de potencial V e a resisténcia R V175V O médulo da densidade de corrente é J A Encontramos E R 1050 pela Equagao 255 E pJ a resistividade p do cobre é dada 167A na Tabela 251 A diferenga de potencial é 0 produto de Ee o oe oo comprimento do fio Podemos usar a Equagao 2510 ou a 2511 AVALIAR ressaltamos que a resisténcia do fio definida como para determinar R a razao da voltagem pela corrente Se o fio for fabricado com EXECUTAR a como indicado na Tabela 251 p 172 X material nao 6hmico R sera diferente para diferentes valores de 108 Q m Logo usando a Equagio 255 V mas sera sempre dado por R VI A resisténcia também é sempre dada por R pLA se o material for nao 6hmico p néio pl 172 X 10 Q m167 A sera constante e dependera de E ou seja de V EL E pl 90350 Vm A 820 X 10 m 156 Fisica lll SAUTE DEPENDENCIA DA RESISTENCIA EM RELAGAO ATEMPERATURA Suponha que a resisténcia de um fio de cobre seja igual a 105 0 R 105 Q 1 000393 c 100 C 20 C a 20 C Calcule a resisténcia a 0 C e a 100 C 138 Q0aT 100C SOLUGAO AVALIAR a resisténcia a 100 C é maior que a 0 C por um fator IDENTIFICAR E PREPARAR sabemos que a resisténcia é Ry d 138 9097 Q 142 Em outras palavras aumentar a 105 O auma temperatura de referéncia Ty 20 C Pela Equacao temperatura do fio de cobre de 0 C para 100 C aumenta sua 2512 determinamos as resisténcias a T 0Ce T 100C as Tesistencia em 42 Pela Equagao 2511 V JR o que signi incdgnitas deste problema usando o coeficiente de temperatura fica que necessario 42 a mais de voltagem V para produzir a da resistividade dado na Tabela 252 mesma corrente Ia 100 C do que a0 C Essa enorme variagao EXECUTAR de acordo com a Tabela 252 a 000393 C2 da resisténcia deve ser levada em consideragao nos projetos de para o cobre Portanto pela Equacao 2512 circuitos elétricos destinados a operar entre intervalos grandes de temperatura R Roll aT T 105 Q 1 000393 C0 C 20C 097 QaT0C TESTE SUA COMPREENSAO DA SEGAO 253 Suponha que vocé aumente a voltagem do fio de cobre dos exemplos 252 e 253 A voltagem maior provoca um aumento no esco amento de corrente o que eleva a temperatura do fio O mesmo ocorre as bobinas de um forno elétrico ou de uma torradeira quando uma voltagem é aplicada a eles Exploraremos essa questaéo em profundidade na Seco 255 Se vocé dobrar a voltagem que atravessa o fio a corrente nele aumentara Por qual fator i 2 ii maior que 2 ii1 menor que 2 I 254 FORCA ELETROMOTRIZ E CIRCUITOS Figura 2511 Quando um campo Para que um condutor possua uma corrente estacionaria ele deve ser parte de elétrico aplicado no interior de um uma trajetoria fechada ou circuito completo Explicaremos a seguir a razao disso condutor que sty faz parte de um Quando um campo elétrico E é aplicado no interior de um condutor isolado com circuito compicto uma corrente resistividade p que ndo seja parte de um circuito completo uma corrente comega comega a fluir somente por um fui densidade d t 7 Bip Fi 9511a Em d n perfodo muito curto a fluir com uma densidade de corrente J Ep Figura 2511a Em ecorren 4 cia disso uma carga positiva se acumula rapidamente em uma das extremidades a Um campo elétrico E produzidono yma carga negativa se acumula na outra extremidade Figura 2511b Por sua interior de um condutor isolado produz as zz 4 3 uma corrente vez essas cargas produzem um campo elétrico EF no sentido oposto ao de EF fazendo diminuir 0 campo elétrico e portanto a corrente Em uma frac4o de se bE 4 gundo acumulamse cargas nas extremidades do condutor de tal modo que 0 campo 7 elétrico resultante E E E 0 no interior do condutor Entdo também J 0 e a corrente para de fluir Figura 251 1c Logo é impossivel haver uma corrente estacionaria em tal circuito incompleto b Essa corrente produz um actimulo de oe cargas nas extremidades do condutor Para sabermos como manter uma corrente estacionaria em um circuito completo i lembremos um fato basico sobre a diferenca de potencial quando uma carga q Ej percorre um circuito completo e retorna ao seu ponto de partida a energia potencial I E I te 5 or 2 no final da trajetoria é igual 4 energia potencial no inicio dela Conforme descrito na Secdo 253 sempre existe diminuido da energia potencial quando as cargas se O actimulo de cargas cria um cdmpo movem através de um material condutor normal com resisténcia Portanto deve elétrico 5 reduzindo a corrente existir alguma parte do circuito na qual a energia potencial aumenta O problema é semelhante ao de uma fonte de 4gua ornamental que recicla sua c Depois de um tempo muito curto 0 agua No topo da fonte a 4gua jorra através de aberturas descendo os declives em modulo de tornase igual ao modulo gya trajetéria movendose no sentido da diminuicao da energia potencial gravita de de modo que o campo resultante Gi gna sendo coletada em um recipiente na base da fonte A seguir uma bomba Exota 9 a corrente para de fluir 1 da fi d ial por completo eleva a agua novamente para o topo da fonte aumentando aenergia potencial para 4 iniciar um novo ciclo Se nao houvesse a bomba a 4gua simplesmente fluiria para 0 recipiente na base onde permaneceria em repouso Fag 9 Forca eletromotriz Em algum ponto de um circuito elétrico deve existir um dispositivo que de sempenhe um papel semelhante ao da bomba na fonte de agua Figura 2512 Capitulo 25 Corrente resisténcia e forga eletromotriz 157 Nesse dispositivo a carga se desloca para cima de uma energia potencial mais Figura 2512 Assim como uma baixa para uma mais elevada embora a forca eletrostatica tente empurrdla de umafonte de agua necessita de uma es bomba um circuito elétrico energia potencial mais elevada para uma mais baixa O sentido da corrente elétrica necessita de uma fonte de forca nesse dispositivo do potencial mais baixo para 0 mais elevado sentido exatamente jetromotriz para sustentar uma oposto ao que ocorre em um condutor comum corrente estacionaria O agente que faz a corrente fluir do potencial mais baixo para o mais elevado denominase fora eletromotriz fem e um dispositivo que fornega uma fem Ca denominase fonte de fem O termo forga eletromotriz nao é muito adequado pois a fem ndo é uma forga mas sim uma grandeza com dimensao de energia por unidade de carga como 0 potencial A unidade SI de fem é a mesma de potencial o volt 1 V 1 JC Uma pilha tipica de uma lanterna possui fem igual a 15 V f i isso quer dizer que a pilha realiza um trabalho de 15 J sobre cada coulomb de carga a i que passa através dela Para designar uma fem usaremos 0 simbolo Todo circuito completo por onde passa uma corrente estacionaria deve possuir oe 7 uma fonte de fem Pilhas baterias geradores elétricos células solares termopares i i J i e células de combustivel sao exemplos de fontes de fem Todos esses dispositivos i convertem algum tipo de energia mecAnica quimica térmica e assim por diante em energia potencial elétrica e transferemna para o circuito no qual o dispositivo esteja conectado Uma fonte ideal de fem mantém uma diferenga de potencial constante através de seus terminais independentemente de a corrente passar ou nao através do dispositivo Definimos quantitativamente a fem como o médulo dessa diferenca de potencial Como veremos tal fonte ideal um mito como o plano sem atrito e a corda sem massa Mais adiante mostraremos a diferenga entre uma fonte ideal de fem e uma fonte real A Figura 2513 mostra um diagrama esquematico de uma fonte ideal de fem que Figura 2513 Diagrama mantém uma diferenga de potencial constante entre os condutores ae b chamados esquematico de uma fonte de fem de terminais da fonte O terminal a marcado pelo sinal é mantido aum poten Para a situagdo de um circuito aberto A forga elétrica F qE e cial mais elevado que o potencial do terminal b marcado pelo sinal Associado ae Rx Co le i a forca nao eletrostatica F sao a diferenga de potencial existe um campo elétrico E na regiao em torno dos ter jndicadas para uma carga positiva q minais tanto no interior quanto no exterior da fonte O campo elétrico no interior do di iti orientado d b indicado U interior d Fonte ideal Terminal em potencial 0 dispositivo orientado de a para b como indicado Uma carga q no interior da de fem mais elevado fonte sofre a agao de uma forga elétrica F gE Porém a fonte também fornece y ofa Forca nao uma influéncia adicional que vamos representar como uma forga nao eletrostatica a eletrostatica eae F Essa forga agindo no interior do dispositivo arrasta cargas para cima no tendendo a 4 r my 2 et sentido oposto ao da forca elétrica F Logo F responsdvel pela manutencao da Fe mover a carga oe os z para um diferenga de potencial entre os terminais Caso nao existisse a forga F as cargas Vy E q potencial se escoariam entre os terminais até que a diferenga de potencial se tornasse igual F gE mais clevado A soe 4 e a zero A origem da influéncia adicional de F depende do tipo da fonte Em um Pa Forca em gerador elétrico ela decorre das forgas magnéticas que atuam sobre cargas que se funcao do movem Em uma bateria ou em uma célula de combustivel ela é associada a proces Vy b campo elétrico sos de difusao e as variagdes de concentrag6es eletroliticas produzidas por reagdes S nal Zoos Z 4 erminal em quimicas Em uma maquina eletrostatica como um gerador Van de Graaff Figura potencial mais baixo 2226 uma forca mecanica efetiva é aplicada a uma roda ou correia que se move d we de b ior d f Quando a fonte fem nao faz parte de um Quando uma carga positiva g se move de b para a no interior de uma fonte Gircuito fechado F Fenao ha a forga nao eletrostatica F realiza um trabalho positivo W g sobre a carga nenhum movimento resultante de carga Esse deslocamento é oposto ao da forga eletrostatica F de modo que a energia entre os terminais potencial associada a carga cresce em uma quantidade igual a gV em que V V Vp 0 potencial positivo de a em relagao ao ponto b Para uma fonte ideal 4 d de fem que descrevemos F e F possuem 0 mesmo modulo e a mesma direcao porém sentidos opostos de modo que o trabalho realizado sobre a carga q é igual a zero ocorre um aumento de energia potencial porém nenhuma variacao da energia cinética da carga Isso semelhante a levantar um livro com velocidade constante até o alto de uma estante O aumento da energia potencial é exatamente igual ao trabalho nao eletrostatico W de modo que g qV ou seja Vip E fonte ideal de fem 2513 158 Fisica Ill Figura 2514 Diagrama Vamos agora fazer um circuito completo conectando um fio com resisténcia R esquematico de uma fonte ideal de aos terminais de uma fonte de tensao Figura 2514 A diferenga de potencial entre fem em um circuito completo A os terminais a e b cria um campo elétrico no interior do fio isso produz uma cor forga do campo elétrico F qE e x ae Bon rente que flui de a para b no circuito externo do potencial mais elevado para o mais a forca nao eletrostatica F sao a indicadas para uma carga positiva q baixo Note que nos locais onde o fio se encurva surgem cargas de sinais opostos A corrente flui de a para b no nas partes internas e externas das curvas Essas cargas sao responsaveis pelas circuito externo e de b para a no forgas que obrigam a corrente a seguir um caminho ao longo das curvas dos fios interior da fonte De acordo com a Equac4o 2511 a diferena de potencial entre as extremidades O potencial através dos terminais cria do fio indicado na Figura 2514 é dada por V JR Combinando com a Equagao um campo elétrico no circuito fazendo 2513 obtemos a carga se mover I Fonte ideal V IR fonte ideal de fem 2514 de fem E V a ta Ou seja quando uma carga positiva qg flui em torno do circuito 0 aumento de potencial através da fonte ideal é igual 4 queda de potencial V IR quando a F corrente passa pelo restante do circuito Conhecendose os valores de Ee de R pela Vip E E relagdo anterior podemos determinar a corrente no circuito R a ATENGAO A corrente nao é consumida em um circuito E um erro conceitual comum é pensar que a corrente que flui em um circuito fechado é ejetada do terminal positivo e Vy b 5 passa a ser consumida ou usada a medida que atravessa 0 circuito até atingir o terminal Quando uma E negativo Na realidade a corrente é sempre a mesma em todos os pontos de um circuito fonte real de fem em I simples como indicado na Figura 2514 mesmo que a espessura do fio seja diferente em oposiao a uma fonte determinadas partes do circuito Isso ocorre porque existe conservacao de cargas ou seja ideal conectada a um circuito V ela nao pode ser criada nem destrufda e por que as cargas nao podem se acumular nos portanto Fe line fe mee a dispositivos dos circuitos que descrevemos Se a carga pudesse se acumular a diferenca F Fe F realiza trabalho sobre de potencial seria varidvel com 0 tempo Note a semelhanga com 0 escoamento da dgua as Cargas 2 4s Z S em uma fonte ornamental a vazao total da 4gua no alto da fonte é igual a vazao da agua na base da fonte qualquer que seja a dimensao da fonte Nenhuma agua é consumida ao longo da trajetoria BIO Aplicagao Perigo raia elétrica Raiaselétricas produzem Resisténcia interna choques elétricos para desorientar suas presas e desencorajar predadores Na Uma fonte real de fem em um circuito néo se comporta exatamente da maneira Roma antiga os medicos praticavam uma que descrevemos a diferenga de potencial entre os terminais de uma fonte real ndo forma primitiva da eletraconvulsoterapia é igual a fem como indica a Equacgdo 2514 A razao disso é que a carga que se colocando raiaselétricas em seus interior d terial d 1 font 1 t sténcia ch pacientes para curar dores de cabeca e move no interior do material de qualquer fonte real encontra uma resisténcia a gota Os choques sao produzidos por mada resisténcia interna da fonte designada pela letra r Quando essa resistncia células achatadas especializadas segue a lei de Ohm r deve ser constante e independente da corrente J A medida chamadas eletroplacas Cada uma dessas que a corrente se desloca através de r ela sofre uma queda de potencial igual a Ir células move fons atraves das membranas Logo quando uma corrente flui através de uma fonte do terminal negativo b até para produzir uma fem de cerca de 005 V terminal iti dif d tencial V t terminais é dad Milhares de eletroplacas s40 empilhadas o terminal positivo a a diferenga de potencial V entre os terminais é dada por umas em cima das outras de modo que a fem resultante delas pode atingir um valor Voltagem no fem da fonte Corrente através da fonte A A 4 4 oe A total de até 200 V Essas celulas terminal fontecom V IrResisténcia interna 2515 empilhadas constituem mais da metade da resisténcia interna da fonte massa corporal de uma raiaelétrica Uma raia pode usdlas para produzir uma impressionante corrente de ate 30 A A diferenga de potencial V chamada de voltagem nos terminais é menor durante alguns milissegundos 2 que a fem em virtude do termo r que representa a queda de potencial através da i resisténcia interna r Expresso de outra maneira o aumento da energia potencial eM hehe oe qVqp que ocorre quando a carga q se desloca de b até a no interior da fonte é menor Eek ate Tah ba tn Age 7 sie que o trabalho g realizado pela forga nao eletrostatica F visto que certa energia potencial se perde quando a carga atravessa a resistncia interna bs aoe Uma pilha de 15 V possui fem igual a 15 V porém a voltagem V nos termi boa he all 4 ean es nais da pilha é igual a 15 V somente quando nenhuma corrente flui através dela eh ge Ee oo Bina et a ones de modo que J 0 na Equacgao 2515 Quando a pilha faz parte de um circuito pos completo pelo qual passa uma corrente a voltagem nos terminais da pilha deve ser Capitulo 25 Corrente resisténcia e forga eletromotriz 159 menor que 15 V A voltagem nos terminais de uma fonte real de fem possui valor Figura 2515 A fem desta bateria igual ao da fem somente quando nenhuma corrente flui através da fonte Figura 9 Seja a voltagem em seus 2515 Portanto podemos descrever o comportamento de uma fonte com base em terminals quando ela nado esta ligada d edades fem f dif d tencial tant a nada é igual a 12 V Porém duas propriedades uma fem que fornece uma diferenga de potencial constante como a bateria possui resisténcia independente da corrente e uma resisténcia interna r ligada em série coma fonte interna a voltagem nos terminais da A corrente que passa no circuito externo conectado aos terminais ae b dafonte bateria é menor que 12 V quando ela é ainda determinada pela relagao V JR que combinada com a Equagao 2515 esta sendo usada para acender uma fornece lampada é corrente fonte com EIrIR ow 1L Ln 2516 Rr resisténcia interna Ou seja a corrente é obtida dividindose 0 valor da fem da fonte pela resisténcia total do circuito R r ATENGAO Uma bateria nao é uma fonte de corrente Seria possivel pensar que uma bateria ou qualquer fonte de fem fornece sempre a mesma corrente qualquer que seja 0 on is B circuito no qual ela esteja ligada Porém a Equacao 2516 mostra que isso nao é verdade é Quanto maior a resisténcia R do circuito externo menor a corrente produzida pela fonte Ee Simbolos usados nos diagramas de circuitos Uma etapa importante na andlise de qualquer circuito consiste em desenhar um diagrama do circuito esquematico A Tabela 254 mostra os simbolos geralmente empregados nesses diagramas Usaremos muito esses simbolos neste capitulo e no préximo Geralmente supomos que os fios que conectam os elementos de um circuito possuem resisténcia desprezivel pela Equacao 2511 V JR concluimos que a diferenga de potencial nas extremidades desses fios é igual a zero A Tabela 254 inclui dois instrumentos de medida usados nas medidas das pro aaat x sans DADOS MOSTRAM priedades dos circuitos Um medidor ideal nao perturba o circuito no qual ele esté conectado Um voltimetro introduzido na Secao 232 mede a diferenga de Circuitos fem e corrente potencial entre os pontos nos quais seus terminais sAo conectados um voltimetro Quando os alunos recebiam ideal possui resisténcia interna infinita e quando mede uma diferenga de potencial um problema sobre uma fonte nenhuma corrente é desviada para ele Um amperimetro mede a corrente que passa de fem mais de 25 davam através dele um amperimetro ideal possui resisténcia igual a zero e nao apresenta uma resposta incorreta nenhuma diferenga de potencial entre seus terminais Os exemplos a seguir demons Erros comuns tram como analisar circuitos que possuem instrumentos de medicao Esquecer que a resisténcia interna r afeta a diferenca de TABELA 254 Simbolos usados nos diagramas de circuitos potencial entre os terminais V da fonte de fem E Condutor com resisténcia desprezivel R Quando a corrente J no do terminal negativo b para alee Fonte de fem fa linha vertical mais longa o terminal positivo a entao indica o terminal positivo geralmente Vi tidad terminal com o potencial mais elevado vab Ce ne igual a r quando a corrente flui no sentido oposto V wv E por uma quantidade igual Fonte de fem com resisténcia interna r a Ir ou resisténcia interna r pode ser colocada em ce qualquer lado Esquecer que a resisténcia ic F wv4 interna uma parte intrinseca de uma fonte de fem Apesar de desenharmos Voltimetro mede uma diferenga de SA ee a fem e a resisténcia interna potencial entre seus terminais como partes adjacentes do circuito ambas sAo partes da Amperimetro mede uma corrente que passa fonte e nao podem ser através dele separadas 160 Fisica Ill eS Uae ate UMA FONTE EM UM CIRCUITO ABERTO nnn A Figura 2516 mostra uma fonte de tenséo uma bateria com sua resisténcia interna De acordo com a Equagao 2515 com fem 12 V e resisténcia interna r 2 0 Para comparacaio J 0adiferenca de potencial V através dos terminais da bate uma bateria comercial de 12 V com acumuladores de chumbo ria igual 4 sua fem Logo o voltimetro indica uma leitura V possui uma resisténcia interna da ordem de alguns milésimos 12 V A voltagem de uma fonte de tenso real é igual ao de ohm Os fios do lado esquerdo do ponto a e do lado direito valor de sua fem somente quando nao existe nenhuma corrente do amperfmetro A ndo esto conectados a nada Qual é aleitura pasando na fonte como neste exemplo indicada V pelo voltimetro ideal Ve pelo amperimetro ideal A Figura 2516 Uma fonte de fem em um circuito aberto SOLUGAO a A corrente é igual a zero porque nao existe um circuito completo No existe nenhuma corrente passando no voltimetro ideal por que ele possui uma resisténcia infinita Logo o amperimetro in dica a leitura J 0 Como nao existe nenhuma corrente passando a b na bateria nao existe nenhuma diferenga de potencial através de r2012V ASUS UMA FONTE EM UM CIRCUITO COMPLETO nnn Usando a bateria do Exemplo conceitual 254 adicionamos um Também podemos considerar os pontos a e b como os terminais resistor de 4 Q para formarmos um circuito completo Figura na fonte de tensao Assim pela Equagao 2515 obtemos 2517 Qual sao entao as leituras de V e de indicadas pelo voltfmetro e pelo amperimetro ViypEIr12VQ2A208V Em qualquer dos dois casos concluimos que o voltimetro indica SOLUGAO uma leitura V 8 V IDENTIFICAR E PREPARAR as incégnitas deste problema séo a AVALIAR quando essa corrente flui através da fonte a voltagem corrente J que passa pelo circuito aabb e a diferenca de potencial nos terminais da fonte V menor que a fem Quanto menor a Vp Primeiro determinamos J pela Equagao 2516 Para deter resistncia interna r menor é a diferenga entre Vz e E minar V podemos usar tanto a Equacao 2S i como a 2515 Figura 2517 Uma fonte de fem em um EXECUTAR o amperimetro ideal possui resisténcia igual a zero ae circuito completo portanto a resisténcia total externa a fonte é R 4 A corrente que passa através do circuito aabb é determinada pela Equacgéo Va Vao 2516 i E 12V oA b Rr 40420 Os fios condutores ideais possuem resisténcia nula assim como A i o amperimetro ideal A Portanto nao existe nenhuma diferenga de potencial entre os pontos a e anem entre os pontos b e b ou a R40 b seja Vip Vay Podemos determinar V tomando os pontos ae b como os terminais do resistor Pela lei de Ohm V JR temos Vip IR 2A 40 8V AS PEC Te UE USO DE VOLTIMETROS E DE AMPERIMETROS O voltimetro e 0 amperimetro do Exemplo 255 sao colocados aTENGAO Corrente em um circuito simples Quando uma em diversas posigdes no circuito Quais sdo as leituras indicadas Gorrente percorre um resistor a energia potencial diminui pelo voltimetro e pelo amperimetro na situagéo mostrada a na porém a corrente ndo varia A corrente que passa em um cir Figura 2518a e b na Figura 2518b cuito completo constituido por uma tinica malha é a mesma em todos os pontos do circuito ela nao é consumida a me SOLUGAO dida que se move através de um resistor Portanto o amperi a O voltimetro agora mede a diferenca de potencial entre os eto da Figura 2517 a jusante do resistor de 4 Q apre pontos a eb Porém conforme dito no Exemplo 255 Vip senta a a corrente que o amperimetro da Figura 2518b Vp de modo que o voltimetro indica uma leitura igual ao 2 montante do resistor J 2 A do Exemplo 255 Vy 8 V Continua Capitulo 25 Corrente resisténcia e forga eletromotriz 161 Continuagdao b No passa nenhuma corrente através do voltimetro porque vocé desejar medir uma diferenga de potencial entre dois pontos ele possui uma resisténcia infinita Como o voltimetro agora de um circuito sem perturbar o circuito use o voltimetro con faz parte do circuito nao existe nenhuma corrente através do forme indicado nas figuras 2517 ou 2518a e ndo como indica circuito e o amperimetro lé J 0 a Figura 2518b O voltimetro mede a diferenca de potencial V entre os pontos s P bb P Figura 2518 Diversas posicgdes de um voltimetro e de um beb Como 0 a diferenga de potencial através do resistor é oo amperimetro em um circuito completo Vy IR 0 e a diferenca de potencial entre as extremidades aeado amperimetro ideal também é igual a zero Portanto V a b é igual a V a diferenga de potencial nos terminais da fonte a b a b Como no Exemplo conceitual 254 nao existe nenhuma corrente fluindo de modo que a diferenga de potencial nos terminais da N r20E12V i r20 12V fonte é igual 4 fem da fonte e o voltimetro indica uma leitura en Vi Vip E 12V a v Este exemplo mostra que um voltimetro e um amperimetro R40 também sao elementos do circuito Trocandose a posicaéo do voltimetro na Figura 2518a para a posicao indicada na Figura v 2518b ocorre modificacgao da corrente e das diferengas de po ab tencial através do circuito que neste caso séo bem grandes Se SAS ESUAT UMA FONTE EM CURTOCIR CUO nnn Usando 0 circuito do Exemplo 255 substitufmos 0 resistor de corrente depende da resisténcia interna r e da resisténcia do cir 4 Q por um condutor de resisténcia igual a zero Quais sfio as cuito externo leituras nesta situag4o A ligac4o indicada neste exemplo denominase curtocircuito Os terminais da bateria sao ligados diretamente A corrente em SOLUGAO curtocircuito é igual 4 fem dividida pela resisténcia interna r or Cuidado um curtocircuito pode representar uma situagao extre IDENTIFICAR E PREPARAR a Figura 2519 indica o novo cir poee mP Lo on mamente perigosa A resisténcia interna de uma bateria de au cuito As incégnitas sao novamente J e V Agora a resisténcia Z fo u oe ne tomovel ou de uma tomada em sua casa muito pequena muito entre os pontos a e b é igual a zero através do circuito inferior or menor que 0 valor indicado nestes exemplos e um curtocircuito portanto a diferenga de potencial entre esses pontos deve ser igual x pode produzir uma corrente suficiente para causar a explosao de a zero uma bateria ou de um fio pequeno EXECUTAR devemos ter V IR 10 0 qualquer que seja o valor da corrente Portanto podemos calcular a corrente Figura 2519 Nosso esquema para este problema usando a Equagao 2515 Vab Vub Ir0 Vv l 6A AVALIAR o valor da corrente nesse circuito é diferente do en I r20 12V A fe contrado no Exemplo 255 embora a bateria seja a mesma a R0 Variagoes de potencial em torno de um circuito A variacao total da energia potencial de uma carga g que percorre a malha de um circuito completo é igual a zero Logo a variagao total do potencial na malha também é igual a zero em outras palavras a soma algébrica de todas as forgas eletromotrizes e das diferengas de potencial ao longo de qualquer malha deve ser igual a zero Podemos afirmar isso reescrevendo a Equacao 2516 na forma EIrIR0 Um ganho de energia potencial é associado a fem e quedas de energia po tencial Jr e IR sao associadas respectivamente a resisténcia interna da fonte e a resisténcia do circuito externo A Figura 2520 mostra um grafico da variagao do 162 Fisica Ill Figura 2520 Aumentos e quedas de potencial quando percorremos 0 circuito indicado na Figura 2517 O eixo hori potencial ao longo de um circuito zontal nfo indica necessariamente distAncias reais mas representa pontos ao longo 2A da malha Considerando o potencial do terminal negativo da bateria como igual a zero ocorre um aumento e uma queda r na bateria e uma queda adicional JR no resistor externo e quando terminamos de percorrer a malha o potencial volta 2A 2A para seu valor inicial Nesta seco consideramos somente as situagdes em que as resisténcias sao Ohmicas Quando 0 circuito inclui um dispositivo nao linear como um diodo veja Vv 20 2A 40 a Figura 2510b a Equaca4o 2516 continua valida mas nao pode ser resolvida de forma algébrica porque R nao é uma constante Nesse tipo de situag4o a corrente b mt I pode ser determinada aplicandose técnicas numéricas A Finalmente observamos que a Equagao 2515 nem sempre fornece uma repre Irs av sentagao adequada do comportamento de uma fonte de tensao A fem pode nao SV wan ser constante e aquilo que descrevemos como uma resisténcia interna pode na Pert realidade ser uma relacgdo correntevoltagem mais complexa que nao obedece a lei de Ohm Contudo 0 conceito de resisténcia interna geralmente fornece uma descrigaéo adequada para baterias geradores e outros dispositivos que convertem 0 uma dada forma de energia em energia elétrica A diferenga principal entre uma bateria nova e uma antiga nao é a fem a qual diminui pouco com 0 uso e sim sua resisténcia interna que aumenta de uma fragao de ohm quando a bateria é nova até 1000 0 depois do uso prolongado Analogamente uma bateria de automével pode fornecer menos corrente em uma manha fria do que quando a bateria esta quente nao por causa da fem que varia muito pouco mas sim em virtude de sua resisténcia interna que aumenta quando a temperatura diminui TESTE SUA COMPREENSAO DA SEGAO 254 Classifique os seguintes circuitos por ordem da corrente mais alta para a mais baixa i um resistor de 14 0 conectado a uma bateria de 15 V que possui uma resisténcia interna de 010 Q ii um resistor de 18 0 conectado a uma bateria de 40 V que possui uma voltagem no terminal de 36 V mas uma resisténcia interna desconhecida iii um resistor desconhecido conectado a uma bateria de 120 V que possui uma resisténcia interna de 020 e uma voltagem no terminal de 110 VI 255 ENERGIA E POTENCIA EM CIRCUITOS ELETRICOS Figura 2521 A poténcia P Vamos agora examinar algumas relag6es de poténcia e de energia em circuitos fornecida ao segmento do circuito elétricos A caixa na Figura 2521 representa um elemento de um circuito que compreendido entre os pontosaeb nogsui uma diferenca de potencial V Vp Vas entre seus terminais e através é dada por P V VpI Vapl dele passa uma corrente J no sentido de a para b Esse elemento poderia ser um V Vy resistor uma bateria ou qualquer outro dispositivo os detalhes nao importam A Eee medida que a carga flui através do elemento do circuito o campo elétrico realiza um do circuito trabalho sobre a carga Em uma fonte de fem existe um trabalho adicional realizado 45 4 pela forcga F n Mencionada na Secao 254 Quando uma quantidade de carga q passa através do elemento do circuito ha uma variaa4o na energia potencial que equivale a gV Por exemplo se g Oe Viap Va Vp for positivo a energia potencial diminui 4 medida que a carga cai do potencial V para o potencial inferior V As cargas em movimento nao ganham energia cinética porque a corrente a taxa de escoamento da carga para fora do elemento do circuito deve ser igual 4 taxa de escoamento da carga para dentro do elemento Em vez disso a grandeza qV representa a energia elétrica transferida para o elemento do circuito Essa situagao ocorre nas bobinas de uma torradeira ou de um forno elétrico em que a energia elétrica é convertida em energia térmica Quando o potencial do ponto b é mais elevado que o potencial de a Vay negativo e existe uma transferéncia de energia liquida para fora do elemento do circuito O elemento esta assim atuando como uma fonte que fornece energia para 0 circuito ao qual ela esta conectada Isso ocorre usualmente com uma bateria que Capitulo 25 Corrente resisténcia e forga eletromotriz 163 converte energia quimica em elétrica e transfere a energia elétrica para o circuito Portanto gV pode representar tanto a energia fornecida ao elemento do circuito quanto a energia extraida desse elemento Nos circuitos elétricos estamos principalmente interessados na taxa em que a energia é fornecida ou extraida de um elemento do circuito Quando a corrente através do elemento é J entéo em um intervalo de tempo dt uma quantidade de carga dQ I dt passa pelo elemento A variacao na energia potencial para essa quantidade de carga é V dQ VI dt Dividindo essa expressAo por dt obtemos a faxa em que a energia é transferida seja para dentro seja para fora do elemento do circuito A taxa de tempo da transferéncia de energia é a poténcia designada pela letra P portanto escrevemos Poténcia fornecida para yet Voltagem através do um elemento de circuito P Vip Tx eae 2517 ou extraida dele Corrente no elemento de circuito A unidade de V 0 volt ou um joule por coulomb e a unidade de J é 0 ampére ou um coulomb por segundo Portanto a unidade de P Vp 0 watt 1 JC A Cs 1Js 1 W Vamos considerar a seguir alguns casos especiais Poténcia dissipada por uma resisténcia pura Quando o elemento do circuito indicado na Figura 2521 for um resistor a di ferenca de potencial sera dada por V IR De acordo com a Equacgao 2517 a poténcia elétrica que o circuito fornece ao resistor é Voltagem através do resistor Poténcia fornecida a 2 eV para um resistor P Vol a IR r R 2518 Corrente no resistor Resisténcia do resistor Para este caso 0 potencial no ponto a onde a corrente entra no resistor sempre maior que o potencial no ponto b onde a corrente sai A corrente entra através do potencial mais elevado do dispositivo e a Equacao 2518 representa a taxa de transferéncia de energia potencial elétrica para dentro do elemento do circuito Qual é 0 destino dessa energia As cargas que se movem colidem com os atomos do resistor e transferem parte da energia para esses Atomos fazendo aumentar a energia interna do material Ou a temperatura do resistor aumentara ou havera um fluxo de calor para fora dele ou ambas as hipdteses ocorrerao Em qualquer uma das hipoteses dizemos que a energia foi dissipada no resistor com uma taxa igual a PR Todo resistor possui uma poténcia maxima especificando qual é a maior po téncia que ele pode consumir sem superaquecer e se danificar Alguns dispositivos como aquecedores elétricos séo projetados para ficarem aquecidos e transferirem calor para suas vizinhancas Contudo quando a poténcia maxima especificada for ultrapassada até mesmo esses dispositivos poderao se fundir ou explodir Poténcia fornecida por uma fonte O retangulo superior indicado na Figura 2522a representa uma fonte com forga eletromotriz e resisténcia interna r ligada por condutores ideais sem resisténcia a um circuito externo representado pelo retangulo inferior Esse esquema poderia representar uma bateria de automével ligada a um farol Figura 2522b O ponto a possui um potencial maior que o ponto b logo V V e Va positivo Note 164 Fisica Ill Figura 2522 Taxa de conversio da que a corrente J esta saindo da fonte pelo potencial mais elevado em vez de en energia em um circuito simples trar A energia esta sendo fornecida para 0 circuito externo a uma taxa dada pela a Circuito diagramatico Equaciio 2517 A fonte fem converte energia nao elétrica em energia elétrica a PVI uma taxa igual a E A taxa de dissipacdo de energia da resisténcia interna é igual a I7r Para uma fonte com fem e resisténcia interna r podemos usar a Equacgao 2515 A diferenca I Ir é a poténcia fornecida pela fonte para o circuito externo Vap E Ir i Er 4 F Multiplicando ambos os membros por encontramos on n vu oO 8 P Viyl El Pr 2519 a E b e 3 segs 2 sos Qual é 0 significado dos termos EJ e Ir Na Secao 254 definimos a fem I fonte fem com i d balh idade d lizad b las f resisténcia interna r como sendo o trabalho por unidade de carga rea izado sobre as cargas pelas forgas nao eletrostaticas que empurram as cargas para cima do ponto b até o ponto a na fonte No intervalo de tempo dt uma carga dQ I dt flui através da fonte 0 Circuito 6 trabalho realizado sobre ela pela forga nao eletrostatica é dado por dQ El dt aq xterno Portanto EI é a taxa com a qual o trabalho é realizado sobre as cargas que circu lam por qualquer agente que produza as forgas nao eletrostaticas na fonte Esse oo termo representa a taxa de conversao de energia nao elétrica em energia elétrica a circuito real do tipo indicado no interior da fonte O termo r é a taxa com a qual a energia elétrica esta sendo 4 dissipada na resisténcia interna da fonte A diferenga EJ Préa poténcia elétrica aa liquida da fonte ou seja a taxa com a qual a energia elétrica fornecida pela fonte ov tou Lf j para o circuito externo LT Bateria y ff Poténcia absorvida por uma fonte Suponha que o retangulo inferior indicado na Figura 2522a represente outra aay fonte com fem maior porém com sentido oposto ao da fem da fonte superior A a b Figura 2523 mostra um exemplo pratico dessa situag4o uma bateria de automével Farol o elemento do circuito superior sendo carregada pelo alternador do automovel o elemento do circuito inferior A corrente J possui sentido oposto ao indicado na Figura 2522 a fonte inferior esta injetando cargas na fonte superior Em razao da inversdo da corrente em vez da Equacgao 2515 temos a seguinte relacdo para a fonte superior Vab EIr Figura 2523 Quando duas fontes g Q a e em vez da Equacao 2519 temos sao conectadas entre si em um tinico circuito a fonte que possui fem mais elevada fornece energia para a outra PVI I Pr 2520 fa boa as Agora em vez deo trabalho ser realizado pela forga nao eletrica da fonte supe Ee a rior ele esta sendo realizado sobre 0 agente que produz a forga nao eletrostatica Bateria da fonte Na fonte superior ocorre uma conversao de energia elétrica em energia ih fem pequena nao elétrica com uma taxa igual a 7 O termo Prna Equacao 2520 novamente a taxa com a qual a energia elétrica esta sendo dissipada na resisténcia interna da a k p fonte superior e a soma EJ Préa poténcia elétrica absorvida pela fonte superior Ff Isso 0 que ocorre quando uma bateria recarregavel bateria com acumuladores 4 é ligada a um carregador Este fornece energia elétrica para a bateria parte dessa G energia é convertida em energia quimica nos acumuladores a ser reconvertida s Iternador posteriormente e a energia restante é dissipada perdida na resisténcia interna fem grande aquecendo a bateria e produzindo um fluxo de calor através dela Vocé ja deve ter notado que ao carregar a bateria de um notebook ela fica quente Capitulo 25 Corrente resisténcia e forga eletromotriz 165 ESTRATEGIA PARA A SOLUGAO DE PROBLEMAS 251 ENERGIA E POTENCIA EM CIRCUITOS IDENTIFICAR os conceitos relevantes os conceitos de poténcia carregada e a energia elétrica é convertida em energia qui elétrica consumida e poténcia elétrica fornecida podem ser mica Nesse caso a fonte possui uma poténcia de saida aplicados a qualquer circuito elétrico Na maioria dos casos 0 negativa para 0 circuito ou seja ha uma poténcia consu problema pedira que vocé considere explicitamente a poténcia mida positiva para a fonte ou a energia 3 A poténcia consumida por um resistor é sempre positiva independentemente do sentido da corrente que passa por PREPARAR o problema por meio das seguintes etapas P oo ane P P oo ele Ela remove energia do circuito com uma taxa dada por 1 Faga um desenho do circuito 2 2 yas spe wo VI FR VR em que V a diferenga de potencial 2 Identifique os elementos do circuito incluindo fontes de através do resistor fem e resistores Em capitulos posteriores acrescentaremos ae us oe 4 Assim como no item 3 a poténcia consumida pela resistén outros tipos de elementos do circuito incluindo capacitores 2 ee cia interna r de uma fonte é sempre positiva independen Capitulo 26 e indutores Capitulo 30 te Lo temente do sentido da corrente que passa por ela A 3 Identifique as incdgnitas Normalmente elas serao a potén toa A resisténcia interna de uma fonte sempre remove energia do cia consumida ou a poténcia fornecida para cada elemento oo 7 eer circuito convertendoa em calor a uma taxa igual a Ir do circuito ou a quantidade total de energia inserida em um ae 5 Se a poténcia para dentro ou para fora de um elemento de elemento do circuito ou retirada dele em um dado intervalo Lo circuito for constante a energia fornecida para um elemento de tempo 7 a do circuito ou extraida dele é simplesmente o produto da EXECUTAR a solucdo conforme segue poténcia pelo tempo decorrido No Capitulo 26 encontra 1 Uma fonte de fem fornece uma poténcia E para um cir remos situagGes em que a poténcia nao é constante Nesses cuito quando a corrente atravessa a fonte do terminal casos 0 calculo da energia total requer uma integral sobre para o terminal Por exemplo em uma bateria ocorre 0 intervalo de tempo considerado conversao de energia quimica em energia elétrica no caso gid g fT AVALIAR sua resposta confira os resultados incluindo a veri de um gerador ocorre conversao de energia mecanicaem Lg x Lae A ficagao de que a energia é conservada Essa conservacao pode energia elétrica Nesse caso a fonte possui uma poténcia a wo uo a ser expressa em qualquer uma das duas formas seguintes de saida positiva para 0 circuito ou seja ha uma poténcia A ta poténcia total fornecida poténcia total consumida ou a consumida negativa para a fonte as ar ae soma algébrica de todas as poténcias envolvidas em um cir 2 Uma fonte de fem consome uma poténcia de um circuito 7 cuito completo é igual a zero quando a corrente atravessa a fonte do terminal para o terminal Isso ocorre quando uma bateria esta sendo SASS SE SM POTENCIA FORNECIDA E CONSUMIDAEM UM CIRCUITO COMPLETO Considerando a mesma situagao analisada no Exemplo 255 cal da Equagao 2518 a poténcia elétrica consumida pelo resistor cule a taxa de conversao da energia quimica para elétricae a de 4 0 bem como a taxa de dissipacao de energia elétrica nele taxa de dissipagao de energia na bateria a taxa de dissipacgao de sao dadas por energia no resistor de 4 0 e a poténcia liquida fornecida da bateria 4 2 Vipl 8V2A16W e IPR2A4Q0 16W SOLUGAO AVALIAR a taxa V a qual energia é fornecida ao resistor de a 2 se ee IDENTIFICAR E PREPARAR a Figura 2524 mostra o circuito 4 igual 4 taxa R a qual a energia dissipada nele Esse indica os valores das grandezas conhecidas e demonstra como valor também igual a poténcia liquida fornecida da bateria encontrar as incégnitas do problema Usamos a Equacao 2519 P Vavl 8 V 2 A 16 W Resumindo a taxa a qual a para determinar a poténcia liquida fornecida da bateria a taxa fonte de fem fornece energia é Ef 24 Ww dos quais Ir 8 Ww de conversdo da energia quimica para a elétrica e a taxa de dis 80 dissipados no resistor interno da bateria e R 16 W sao sipagao de energia na resisténcia interna da bateria Usamos a dissipados no resistor externo Equacao 25 18 para determinar a poténcia fornecida ao e dissi Figura 2524 Nosso esquema para este problema pado no resistor de 4 Q EXECUTAR pelo primeiro termo da Equacgao 2519 a taxa de Van Varn 8 V conversdo da energia na bateria é Vv oe Pee Pelo primeiro termo da Equacao 2519 a taxa de dissipacao da a b energia na bateria é r202V I Pr2A20 8W f 2A Vip LPR A poténcia elétrica fornecida pela fonte é dada pela diferenca entre os valores anteriores f Pr 16 W Pelo primeiro termo a R40 b 166 Fisica Ill Suponha que o resistor de 4 Q na Figura 2524 seja substituido A resisténcia maior faz a corrente diminuir A diferenga de po por um resistor de 8 0 Como isso afeta a poténcia elétrica dis tencial através do resistor sipada nesse resistor Vip IR 12 A 8D 96V SOLUGAO que é maior que a existente através do resistor de 4 A seguir IDENTIFICAR E PREPARAR a incognita é a poténcia dissipada podemos calcular a poténcia dissipada no resistor usando qual no resistor ao qual a fonte de fem esté conectada A situagio quer uma das duas férmulas seguintes a mesma do Exemplo 258 porém com uma resisténcia externa R mais elevada PPR 12 Ay 8 Q 12W ou EXECUTAR de acordo com a Equacao 2518 a poténcia dis 2 a 5 Vaz 96 VY sipada no resistor é dada por P IR Vocé poderia concluir P 12 W que a poténcia dobra porque a resisténcia é duas vezes maior R 80 que no Exemp lo 258 on 216 W W Em vez disso famAVALIAR 0 aumento da resisténcia R produz uma reducdo na po bém poderia aplicar a formula P VR usando essaformula 5 et seria possivel concluir que a poténcia seria igual 4 metade da tencia fornecida a0 Tesistor Na expressio P R a diminuigao Lone dacorrente é mais importante que o aumento da resisténcia na resisténcia do exemplo precedente ou 16 W2 8 W Qual é 2 ann a resposta correta expressio P VR o aumento da resistencia é mais impor Na realidade ambas as conclus6es anteriores estio incorretas tante que o aumento de Vj O mesmo raciocinio pode ser usado A primeira est4 errada porque quando a resisténcia R varia a Pata uma lampada comum uma lampada de 50 W possui uma corrente no circuito também varia lembrese de que uma fonte TSistncia maior que uma de 100 W de fem ndo produz a mesma corrente em todas as situagdes A Vocé capaz de mostrar que ao trocar 0 resistor de 4 pelo segunda conclusio também nao é correta porque a diferenca de de 8 ocorre uma diminuigao da taxa de conversao de energia potencial V através do resistor varia quando a corrente varia quimica para elétrica na bateria bem como da taxa de dissipa Para obtermos a resposta correta inicialmente usamos a técnica go de energia na bateria do Exemplo 255 para determinar a corrente I E 12V 190A Rttr 89420 Para 0 mesmo curtocircuito da bateria analisada no Exemplo A poténcia liquida fornecida pela fonte é 7 r 0 A expres 257 calcule as taxas de conversao da energia e de dissipacao s40 P V fornece o mesmo resultado porque a voltagem nos da energia na bateria e a poténcia liquida fornecida pela bateria terminais da bateria V é igual a zero AVALIAR com fios ideais e um amperimetro ideal de modo que SOLUGAO R 0 aenergia convertida é completamente dissipada no interior IDENTIFICAR E PREPARAR as inc6égnitas sio novamente as da fonte Por isso quando conn um Curtocirculto a bateria se As as deteriora rapidamente e pode até explodir poténcias consumidas e as poténcias fornecidas associadas a bateria A Figura 2525 mostra o circuito Tratase novamente Figura 2525 Nosso esquema para este problema da mesma situagao do Exemplo 258 mas agora a resisténcia externa R é igual a zero Vn 0 EXECUTAR no Exemplo 257 encontramos que a corrente nesta situagao é J 6 A Pela Equagao 2519 a taxa de conversao da pe energia quimica para elétrica na bateria é dada por a b El 12 V 6A 72 W r20E2V A taxa de dissipacao da energia na bateria é dada por Pr 6A 20 72W R0 TESTE SUA COMPREENSAO DA SEGAO 255 Classifique os seguintes circuitos por ordem dos valores mais altos para os mais baixos da poténcia liquida fornecida da bateria i Um resistor de 14 conectado a uma bateria de 15 V e resisténcia interna de 010 Q ii um resistor de 18 Q conectado a uma bateria de 40 V e voltagem no terminal de 36 V mas com resisténcia interna desconhecida iii um resistor desconhecido conectado a uma bateria de 120 V que possui resisténcia interna de 020 0 e voltagem no terminal de 110 V1I Capitulo 25 Corrente resisténcia e forca eletromotriz 167 256 TEORIA DA CONDUCAO EM METAIS Podemos entender melhor a condug4o elétrica estudando os aspectos micros Figura 2526 Movimento caotico de cépicos da origem da condutividade Vamos considerar um modelo muito simples um elétron em um cristal metalico que trata os elétrons como particulas classicas ignorando sua natureza quantica e com um campo eletrico nulo a a b com um arraste produzido pelas seu comportamento ondulatorio no interior do sdlido Usando esse modelo vamos f Stet 7 an orcas elétricas As curvaturas das deduzir uma expressao para a resistividade de um metal Embora esse modelo trajetérias estio muito exageradas nao seja inteiramente correto ele ajudara vocé a ter uma ideia mais clara da base a Colisao a a microscépica da condugao com cristal No modelo mais simples da condugao elétrica em um metal cada tomo da rede cristalina fornece um ou mais elétrons de sua camada eletrénica externa Esses elé trons podem entao se mover livremente através do cristal colidindo com os fons Sem campo E positivos estaciondrios em intervalos de tempo O movimento dos elétrons livres movimento caotico é andlogo ao movimento das moléculas que se movem através de um leito poroso rNale inicio ou da areia por isso esses elétrons geralmente sao chamados de gas de elétrons Quando nao existe nenhum campo elétrico aplicado os elétrons descrevem tra jet6rias retilineas entre as colisGes as diregdes de suas velocidades s4o cadticas o I E e eles geralmente permanecem praticamente na mesma posigao Figura 2526a p Contudo quando um campo elétrico esta presente as trajet6rias se encurvam li geiramente em virtude da atuacao das forcas elétricas A Figura 2526b mostra algumas trajet6rias seguidas por um elétron sobre 0 qual atua um campo elétrico i orientado da direita para a esquerda Como afirmamos na Secao 251 a velocidade oa sat 24 FINAL média do movimento caético é da ordem de 10 ms enquanto a velocidade média INICIO de arraste é muito menor da ordem de 10 ms O tempo médio entre duas colis6es Com campo E sucessivas denominase tempo livre médio designado por 7 Na Figura 2527 movimento 4 Aas z cadtico indicamos uma analogia mecanica para o movimento do elétron rr coe arraste Deslocamento A partir desse modelo tornase possivel deduzir uma express4o para a resisti resultante vidade p definida pela Equacao 255 E p 2521 J em que E é 0 médulo do campo elétrico e J o médulo da densidade de corrente Figura 2527 O movimento de zy O vetor densidade de corrente J por sua vez dado pela Equacaio 254 uma bola rolando para baixo de um plano inclinado e mudando de direcAo em virtude das colisdes J nq 2522 com os obstaculos fornece uma analogia mecanica com o em que n 0 numero de elétrons livres por unidade de volume a concentragao de movimento dlos elétrons em um lt de cada elét locidad Sdia d t condutor metalico quando existe elé rons q e a carga de cada elétron e U a velocidade media de arraste ym campo elétrico aplicado Precisamos relacionar a velocidade de arraste U com o campo elétrico E O valor de é determinado por uma condicao estaciondria na qual na média a velocidade to la que as cargas ganham quando sao aceleradas pela agao do campo E é exatamente 6 p igual a velocidade que elas perdem em decorréncia de colisées Para esclarecermos 0 0 0 esse processo vamos examinar os dois efeitos separadamente Suponha que antes de t 0 nao exista nenhum campo elétrico O movimento dos elétrons é completa 0 mente ca6tico Um elétron tipico possui velocidade Ug no instante t 0 e a média fl dos valores de Up é tomada considerandose muitos elétrons ou seja a velocidade inicial de um elétron médio é igual a zero Gp méq 0 A seguir no instante t 0 ar aplicamos um campo elétrico E constante O campo exerce uma forga F gE sobre cada carga produzindo uma aceleracao a na direcfo da forca dada por s F gE i mom em que m a massa do elétron Todos os elétrons possuem essa aceleracao 168 Fisica Ill Depois de um tempo 7 0 tempo médio entre duas colisées iniciamos as coli sdes Um elétron que possufa a velocidade Up para t 0 no instante t T possui uma velocidade U Uo at A velocidade média U4 do elétron nesse instante é dada pela soma das médias dos termos do membro direito da relagdo anterior Como observamos a média da velocidade do elétron é igual a zero logo qT E Umed AT 2523 Depois do instante t 7 a tendéncia a diminuicgao da velocidade média dos elétrons provocada por colisdes cadticas tornase exatamente igual a tendéncia de aumento dessa velocidade pelo campo E Portanto a velocidade média de um elétron dada pela Equacgdo 2523 se mantém constante no tempo e deve ser igual a velocidade de arraste U 8 F m Ento substituindo a expressao da velocidade de arraste 0 na Equacao 2522 temos 2 J nqb Tr m Comparando o resultado anterior com a Equacao 2521 que pode ser escrita na forma J Elo e substituindo g e vemos que Resistividade de moo Massa de um elétron um metal 4p x Tempo médio 2524 Numero de elétrons livres T entre colisdes por unidade de volume Médulo da carga de um elétron Quando n e 7 nao dependem de E entio a resistividade nao depende de Eeo material condutor obedece a lei de Ohm Iniciar uma interagao de cada vez pode parecer artificial Porém a dedugao seria a mesma se cada elétron tivesse seu proprio relogio e o instante t 0 fosse diferente para cada elétron Sendo 7 0 tempo médio entre as colisées entio 6 continua sendo a velocidade média de arraste dos elétrons embora os movimentos dos diversos elétrons nao sejam realmente correlacionados da maneira como postulamos O que dizer sobre a variacao da resistividade com a temperatura Em um cristal perfeito sem nenhum atomo fora de sua posicao de equilfbrio uma andlise correta feita pela mecanica quantica chegaria a conclusao de que os elétrons livres se des locam na rede sem nenhuma colisao Porém cada atomo vibra em torno de sua po sigdo de equilfbrio Ocorre um aumento das amplitudes dessas vibragdes a medida que a temperatura aumenta as colis6es tornamse mais frequentes e o tempo livre médio 7 diminui Portanto nosso modelo teérico prevé um aumento da resistividade com 0 aumento da temperatura No caso de um supercondutor grosso modo nao existem colisdes ineldsticas 7 tornase infinito e a resistividade p é igual a zero Para um semicondutor puro como 0 silicio e o germanio o nimero n de portado res de carga por unidade de volume nfo é constante e cresce rapidamente quando a temperatura se eleva Esse aumento de n fornece uma contribuiao muito maior que a diminui4o do tempo livre médio e a resistividade de um semicondutor sempre diminui rapidamente quando a temperatura aumenta Para temperaturas baixas n Capitulo 25 Corrente resisténcia e forga eletromotriz 169 tornase tao pequeno e a resistividade é tao grande que o semicondutor pode ser considerado um isolante Os elétrons ganham energia entre as colisdes por causa do trabalho realizado pelo campo elétrico sobre eles Durante as colisdes eles transferem parte dessa energia para os atomos do material condutor Isso provoca um aumento da energia interna do material e um consequente aumento de temperatura por essa razdo os fios que conduzem uma corrente tornamse quentes Quando o campo elétrico no interior de um material é suficientemente grande o elétron adquire energia sufi ciente para liberar outro elétron que estava ligado ao atomo do material Os elétrons liberados podem liberar novos elétrons produzindo uma avalanche de corrente Essa é a base microscépica para explicar a ruptura dielétrica de um isolante veja a Secao 244 Calcule o tempo livre médio entre as colisdes no cobre para a 7 mn temperatura ambiente nep ee 911 X 10 3kg SOPUGAO 85 X 108 m 160 X 107C 172 X 10 m IDENTIFICAR E PREPARAR podemos determinar uma expressao 14 para o tempo livre médio em fungao de n p e e m reestruturando 24 X 10 s a Equagao 2524 De acordo com 0 Exemplo 251 ea Tabela 251 para o cobre n 85 X 10 me p 172 X 1080 m AVALIAR 0 tempo livre médio 0 tempo médio entre colisdes Além disso e 160 X 10 Cem 911 X 103 kg para para um elétron qualquer Tomando o inverso desse tempo ve os elétrons rificamos que cada elétron realiza a média de aproximadamente EXECUTAR pela Equagao 2524 obtemos It 42 x 10 colisées a cada segundo TESTE SUA COMPREENSAO DA SEGAO 256 Qual dos seguintes fatores se aumentado dificultara a producao de certa quantidade de corrente em um condutor Pode haver mais de uma resposta correta i A massa das particulas carregadas em movimento no condutor i1 o nimero de particulas carregadas em movimento por metro cubico iii a quantidade de carga em cada particula em movimento iv o tempo médio entre as colis6es para uma particula tipica carregada em movimento CAPITULO 25 RESUMO Corrente e densidade de corrente a corrente elé dQ I tricaéa i 1 3 P niqlvaA 252 quantidade de carga que flui através de uma dt 3 3 area especificada por unidade de tempo A unidade SI de corrente é 0 ampére iguala um coulomb por 7 segundo 1 A 1 Cis A corrente I que passa na J ng 254 area A depende da concentrac4o n e da carga q dos portadores de carga bem como do médulo de sua velocidade de arraste U A densidade de corrente é a corrente por unidade de area da secao reta do condutor Costumase descrever a corrente por meio de um fluxo de cargas positivas mesmo quando a corrente real é negativa ou possui cargas com ambos os sinais Veja o Exemplo 251 Resistividade a resistividade p de um material é E 255 p definida como a razo entre os médulos do campo J elétrico e da densidade de corrente Um bom con dutor possui resistividade pequena um bomisolante 7 poll aT To 256 Po F5 Inclinagéo pow possui resistividade grande A lei de Ohm valida para muitos materiais afirma que p é uma constante T que nao depende do valor de E A resistividade ge To ralmente aumenta com a temperatura para peque Se eee que T aumenta 170 Fisica Ill nas diferencas de temperatura essa variagéo pode ser representada aproximadamente pela Equacgao 256 em que a é 0 coeficiente de temperatura da resistividade Resistores para os materiais que obedecem a lei VIR 2511 Potencial de Ohm a diferenga de potencial V através de uma mais baixo amostra particular do material é proporcional a cor pl Potencial Wa rente J que passa pelo material Arazao VI Réa R 2510 eens resisténcia da amostra A unidade SI de resisténcia a Ma é 1 ohm 1 Q 1 VA A resisténcia de um condu V tor cilindrico esta relacionada a sua resistividade p Se comprimento L e area de segao reta A Veja os exemplos 252 a 253 Circuitos e fem um circuito completo contémuma V Ir 2515 Vip Very ou mais malhas que fornecem um caminho continuo fonte com resisténcia interna para a condugao da corrente elétrica Um circuito completo com corrente constante deve conter pelo b menos uma fonte de forga eletromotriz fem A av ayy unidade SI de forga eletromotriz é 1 volt V Toda fonte real de fem possui alguma resisténcia interna r a R40 D portanto a diferenga de potencial V nos terminais da fonte depende da corrente Veja os exemplos 254 a 257 Energia e poténcia nos circuitos umelementodo P VI 2517 V V circuito fornece energia para um circuito quando a elemento do circuito geral Elemento corrente flui do potencial mais baixo para 0 mais I do circuito I elevado e consome energia quando a corrente flui bag ga As es V2 a b em sentido oposto A poténcia P é igual ao produto P VI PR ab 2518 da diferenga de potencial V V Vay pela cor R rente Um resistor sempre consome energia elétrica poténcia fornecida do circuito Veja os exemplos 258 a 2510 a um resistor Condugao em metais a corrente em um metal p 2524 produzida pelo movimento dos elétrons Eles se neT E movem livremente através da rede cristalina do oe Deslocamento resultante metal porém colidem com os ntcleos dos fons dele Em um modelo classico aproximado desse movimento a resistividade do material pode ser relacionada 4 massa e a carga do elétron a velo cidade escalar do movimento ca6tico a densidade e ao tempo livre médio entre as colisGes Veja 0 Exemplo 2511 Problema em destaque Resistividade temperatura e poténcia Uma torradeira utilizando um elemento de aquecimento de O valor médio do coeficiente de temperatura da resistividade nicromo opera a 120 V Quando ela é ligada a 20 C o ele para o nicromo dentro do intervalo de temperatura relevante mento de aquecimento possui uma corrente inicial de 135A 45 x 1074 C7 b Qual é a poténcia dissipada no Alguns segundos mais tarde a corrente atinge o valor cons elemento de aquecimento inicialmente e quando a corrente tante de 123 A a Qual é a temperatura final do elemento atinge 123 A Continua Capitulo 25 Corrente resisténcia e forca eletromotriz 171 Continuagdo GUIA DA SOLUGAO EXECUTAR IDENTIFICAR E PREPARAR 4 Combine as equagoes da etapa 2 para obter uma relagao 3 entre os valores inicial e final de J e as temperaturas inicial 1 Um elemento de aquecimento funciona como um resistor e final 20 C Trina que converte energia elétrica em energia térmica Aresisti 5 Resolvaa expressiio da etapa 4 para Tfinat vidade p do nicromo depende da temperatura e portantoo 6 Use a equacio da etapa 3 para encontrar as poténcias inicial mesmo acontece com a resisténcia R pLA do elemento e final de aquecimento e a corrente J VR que passa através dele AVALIAR 2 Conhecemos V 120 V e os valores iniciais e finais de 7 A temperatura final é superior ou inferior a 20 C Isso faz Escolha uma equagao que lhe permitira encontrar os valores sentido iniciais e finais de resisténcia e uma equagao que relacionagA resistncia final é superior ou inferior resisténcia ini a resistncia 4 temperatura a incégnita do item a cial Mais uma vez isso faz sentido 3 A poténcia P dissipada no elemento de aquecimento de 9 A poténcia final é superior ou inferior 4 poténcia inicial pende de J e V Escolha uma equacao que lhe permitira Isso é coerente com suas observacoées da etapa 8 calcular os valores iniciais e finais do P PROBLEMAS e ee eee niveis de dificuldade PC problemas cumulativos incorporando material de outros capitulos CALC problemas exigindo calculo DADOS problemas envolvendo dados reais evidéncia cientifica projeto experimental eou raciocinio cientifico BIO problemas envolvendo biociéncias QUESTOES PARA DISCUSSAO 1 C em um objeto Entretanto uma corrente de 10 A 10 Cs é Q251 A definicao de resistividade 9 EJ implica que existe bastante razoavel Explique essa ap arente discrepancia um campo elétrico no interior de um condutor Entretanto vimos Q2510 Um elétron em um circulto eletrico passa atr aves de um no Capitulo 21 que nao pode haver nenhum campo elétrico no resistor O fio de cada lado do resistor possui 0 mesmo diametro interior de um condutor Ha uma contradiéo aqui Explique a Como comparar a velocidade de arraste dos elétrons quando Q252 Uma haste cilfndrica possui resisténcia R Se triplicarmos eles entram no resistor a velocidade de arraste dos elétrons o comprimento e o didmetro qual sera a resisténcia em fungao quando eles saem Explique seu raciocinio b Como comparar de R a energia potencial dos elétrons quando eles entram no resistor Q253 Uma haste cilindrica possui resistividade p Se tripli a energia potencial dos elétrons quando eles saem Explique carmos 0 comprimento e 0 didmetro qual ser a resisténcia em Q2511 Os coeficientes de temperatura da resistividade sao apre funcio de p sentados na Tabela 252 a Se um elemento de aquecimento de Q254 Dois fios de cobre com diametros diferentes sdo ligados Cobre esta ligado a uma fonte de voltagem constante a potncia pelas suas extremidades Quando uma corrente elétrica flui atra étrica consumida pelo elemento de aquecimento aumenta ou vés dessa combinac4o 0 que ocorre com os elétrons quando eles diminui 4 medida que sua temperatura aumenta Explique b Um se deslocam do fio com didmetro maior para o fio com diametro resistor na forma de um cilindro de carbono esta ligado a fonte menor A velocidade de arraste dos elétrons aumenta diminui ou de voltagem A medida que a temperatura do cilindro aumenta a permanece constante Se a velocidade de arraste varia qual a poténcia elétrica que ele consome aumenta ou diminui Explique forga que produz essa variagao Explique seu raciocinio Q2512 Qual dos graficos na Figura Q2512 ilustra melhor a Q255 Quando uma pilha AAA de 15 V ndo é realmente uma corrente J em um resistor real em func4o da diferenga de poten pilha de 15V Ou seja quando seus terminais fornecem uma jal V através dele Explique diferenca de potencial menor que 15 V Q256 A diferenca de potencial nos terminais de uma bateria Figura Q2512 pode em algum caso possuir um sentido oposto ao da fem da a b c d bateria Em caso afirmativo fornega um exemplo Em caso ne 1 1 1 1 gativo explique por qué Q257 Uma regra pratica para determinar a resist6ncia interna de uma fonte consiste em medir a diferencga de potencial com o circuito aberto e dividir a voltagem pela corrente elétrica que flui em curtocircuito Isso esta correto Por qué O Vv O Yo Yo Vv Q258 Uma pilha é sempre identificada pela fem especificada no rétulo por exemplo uma pilha AA usada em lanternas é es Q2513 Por que uma lampada quase sempre queima assim que pecificada para 15 volt Também seria apropriado colocarum vocé acende a luz e quase nunca enquanto esta acesa r6tulo em uma bateria para especificar a corrente que ela fornece Q2514 Uma lampada de filamento brilha porque possui uma Por qué resisténcia O brilho da lampada aumenta com a poténcia elétrica Q259 Vimos que um coulomb representa uma enorme quanti dissipada no filamento do bulbo da lampada a No circuito elé dade de carga é praticamente impossivel colocar uma carga de trico indicado na Figura Q2514a as duas lampadas A e B sao 172 Fisica Ill idénticas O brilho da lampada A 0 mesmo maior ou menor Q2520 As linhas de transmissAo de energia elétrica para distan que o brilho da lampada B b A lampada B é removida do cir cias muito longas geralmente operam com altas tensdes algumas cuito e a seguir 0 circuito elétrico é completado como indicado vezes atingindo 750 kV Quais sao as vantagens dessas tensdes na Figura Q2514b Em comparagao ao brilho da lampada A na elevadas Quais as desvantagens Figura Q2514a seu brilho na Figura Q2514b é igual maior ou Q2521 Geralmente as tensGes elétricas para uso doméstico no menor Explique seu raciocinio Brasil s4éo da ordem de 110 V Por que 0 uso dessa voltagem é mais conveniente em vez do uso de tens6es consideravelmente Figura Q2514 zs mais elevadas ou mais baixas Por outro lado os automéveis a E b E costumam empregar sistemas elétricos com 12 V Por que essa voltagem é mais conveniente Q2522 Um fusivel é um dispositivo destinado a interromper a corrente elétrica quando ela ultrapassa certo limite geralmente por causa da fusdo do fio Que caracteristicas deve ter o material Lampada A Lampada B Lampada A usado nesse tipo de fusivel Q2523 Por motivos de seguranga uma fonte de tenséo com Q2515 Veja a Questéo Q2514 Um amperimetro ideal A yoltagem elevada possui uma resisténcia interna muito grande inserido em um circuito elétrico com uma bateriae uma lampada Por que essa fonte deve ter uma resisténcia interna elevada em como indicado na Figura Q2515a ea leitura do amperimetro é comparacgao auma fonte que fornecga amesma voltagem porém anotada A seguir 0 circuito reconectado como mostra a Figura com uma resisténcia interna muito pequena Q2515b invertendose as posigGes iniciais do amperimetroeda Q2524 Vocé leu no texto que um bom condutor de eletricidade lampada a Como a leitura do amperimetro indicada na situa também é um bom condutor de calor Entao por que os fios que cao descrita na Figura Q2515a se compara a leitura indicadana conectam um ferro elétrico uma torradeira e outros eletrodomés situacdo descrita na Figura Q2515b Explique seu raciocinio ticos semelhantes nio ficam quentes em virtude da conducio de b Em qual das duas situag6es a lampada brilha com mais in calor proveniente dos elementos aquecedores tensidade Explique Figura Q2515 EXERCICIOS a b Secao 251 Corrente 251 Raios Durante um raio de uma nuvem até o solo podem ocorrer correntes de até 25000 A que duram cerca de 40 ys Quanta carga é transferida da nuvem para a terra durante um raio 252 Um fio de prata com diametro igual a 26 mm transfere Lampada Lampada uma carga de 420 C em 80 minutos A prata contém 58 108 elétrons livres por metro cubico a Qual é a corrente elétrica no Q2516 Veja a Questdo Q2514 Uma lampada brilha com j9 b Qual 0 médulo da velocidade de arraste dos elétrons mais intensidade quando é ligada como na Figura Q2516a na no fio qual um amperimetro ideal A inserido no circuito elétrico ou 953 Uma corrente de 500 A passa por um fio de cobre com quando ela ligada como na Figura Q2516b na qual um vol calibre 12 diametro 205 mm e por uma lampada O cobre con timetro ideal V é inserido no circuito Explique seu raciocinio tém 85 X 1078 elétrons livres por metro ctibico a Quantos Figura Q2516 elétrons passam pela lampada a cada segundo b Qual é a den sidade de corrente no fio c Qual é a velocidade escalar com a b que um elétron tipico passa por qualquer dado ponto no fio d Supondo que 0 fio tivesse o dobro de diametro qual das respostas anteriores mudaria Elas aumentariam ou diminuiriam 254 Um fio com calibre 18 diametro de 102 mm carrega uma corrente com densidade de corrente igual a 320 10 Am Lampada Lampada O cobre contém 85 X 107 elétrons livres por metro ctibico Calcule a a corrente no fio e b a velocidade de arraste dos Q2517 A energia que pode ser extraida de uma bateriacom gyétrons no fio acumuladores sempre menor que a energia fornecida para 955 ee Q cobre contém 85 X 1078 elétrons livres por metro carregala Por qué cubico Um fio de cobre com calibre 12 que possui diametro Q2518 Oito pilhas de lanterna em série fornecem uma fem de 205 mme comprimento de 710 cm conduz uma corrente aproximada de 12 V igual a da bateria de um carro Vocé pode elétrica igual a 485 A a Qual é 0 tempo necessdrio para um usar essas pilhas para dar a partida do motor quando a bateriado elétron percorrer o comprimento do fio b Repita a parte a carro esta descarregada Por qué para um fio de cobre com calibre 6 diametro igual a 412 mm Q2519 Pequenas aeronaves frequentemente possuem sistemas COM 0 mesmo comprimento e conduzindo a mesma corrente c elétricos que funcionam com 24 V em vez de 12 V como no De modo geral como a variagao do diametro de um fio altera a caso de automéveis embora 0 consumo de poténcia seja apro Velocidade de arraste dos elétrons no fio ximadamente igual nas duas situacdes A explicaciio dada pelos 256 Vocé quer produzir trés fios cilfndricos com diaémetro projetistas de avides é que um sistema de 24 V pesa menos que de 100 mm cada um com uma resisténcia de 100 a tempe um sistema de 12 V porque podem ser usados fios mais finos tura ambiente Um fio de ouro um é de cobre e um é de alu Explique a razdo disso minio Consulte a Tabela 251 para os valores de resistividade Capitulo 25 Corrente resisténcia e forga eletromotriz 173 a Qual deve ser o comprimento de cada fio b O ouro tem resistividade do material nao se alteram quando o fio é esticado uma densidade de 193 X 104 kg m Qual seré a massa do Dica a quantidade de metal nao se altera portanto quando o fio de ouro Considerando o preco atual do ouro esse fio sera fio esticado sua area transversal sera afetada muito caro 2517 Nas instalacGes elétricas de uma casa geralmente se 257 CALC A corrente elétrica que passa em um fio varia Sa um fio de cobre com diametro de 205 mm Calcule a re com o tempo de acordo com a seguinte equacaio J 55 A Sistencia de um fio de cobre com comprimento igual a 240 m 065 Ast a Quantos coulombs passam através da segao 2518 Que diametro deve ter um fio de cobre para que sua reta do fio no intervalo de tempo entre t 0 et 8s b Qual resistencia sejaa mesma que a de um fio de aluminio com mesmo o valor da corrente constante que poderia transportar a mesma Saimento dlametro igual a ae de 120 fios idénti uantidade de carga no mesmo intervalo de tempo a 6 aa P cos cada um com resisténcia de 560 w quando esto a todos 258 Uma corrente elétrica passa em uma solugao de cloreto lado a lad f b t 24 ado a lado para formar um cabo com 0 mesmo comprimento de sddio Em 100 s 268 x 10 fons Nat chegam ao eletrodo a 16 de um tnico fio e b ligados por suas extremidades de modo negativo e 392 X 10 fons Cl chegam ao eletrodo positivo a que o resultado seja um fio com 120 vezes o comprimento de Qual é a corrente elétrica que passa entre os eletrodos b Qual um tnico fio i 9 er 0 sentido da corrente 2520 Vocé aplica uma diferenga de potencial de 450 V entre 259 BIO Transmisséio de impulsos nervosos As células ag extremidades de um fio com 250 m de comprimento e raio nervosas transmitem sinais elétricos através de seus longos ax6 igual a 0654 mm A corrente resultante igual a 176 A Qual é nios tubulares Esses sinais se propagam em razao de uma subita g resistividade do fio 2 Oni entrada de fons Na cada um com carga e no avon Asmedi 2521 Um fio de ouro com didmetro igual a 084 mm conduz 4 a Laas or gdes revelaram que geralmente cerca de 56 X 10 fons Na en uma corrente elétrica O campo elétrico no fio é igual a 049 Vm tram a cada metro do ax6nio durante um tempo de 10 ms Qual Qual a a corrente elétrica no fio b a diferenca de potencial acorrente durante essa entrada de cargas em um metro de ax6nio entre dois pontos separados por uma distancia de 64 m e c a ae wn resisténcia de um comprimento do fio igual a 64 m Segao 252 Resistividade e Seao 258 Resistencia 2522 Um cilindro oco de aluminio tem 250 m de compri 2510 a Em temperatura ambiente qual a forga do campo mento raio interno de 275 cm e raio externo de 460 cm Trate elétrico em um fio de cobre com calibre 12 diametro de 205 ae a mm necesséria para provocar um fluxo de a de 450 A cada superficie interna externa e as duas faces das extremida b Qual seria o cam necessario caso 0 fio fosse feito de rata des como uma superficie equipotencial Em temperatura am 2511 Umah t indri d 150 diametro d 5 50 0 biente qual sera a leitura do ohmimetro se ele estiver conectado ma haste cilindrica de 150 m e diametro de 0 ye entre a as faces opostas e b as superficies interna e externa cm esta conectada a uma fonte de energia que mantém uma 2523 a Qual é a resisténcia de um fio de nicromo a 00 C diferenga de potencial constante de 150 V através de suas extre se sua resisténcia igual a 10000 0 a 115 C b Qual é a midades enquanto um amperimetro mede a corrente que passa reer o TAs resisténcia de uma haste de carbono a 258 C se sua resisténcia por ela Vocé observa que na temperatura ambiente 200 C é igual a 00160 0 a 00 C a leitura do amperimetro é de 185 A enquanto a 920 C a lei 2524 Um resistor de carbono pode ser usado como um ter tura é de 172 A Despreze qualquer expansao térmica da haste mémetro Em um dia de inverno quando a temperatura é de wee oe rede eb 0 ceticiente de temperatura da 40 C a resisténcia do resistor de carbono é igual a 2173 0 resistlvidade a para 0 materia a haste Qual é a temperatura de um dia de primavera quando a resisténcia 2512 Umfio de cobre possur uma segao reta quadrada de lado é igual a 2158 2 Considere a temperatura de referéncia Tp igual a 23 mm O fio possui comprimento de 40 m e transporta igual a 40 C uma corrente elétrica de 36 A A densidade dos elétrons livres é igual a 85 X 107m3 Calcule o médulo a da densidade de Sedo 254 Forea eletromotriz e circuitos corrente no fio b do campo elétrico no fio c Qual 60 tempo 2525 Um cabo de transmissao de cobre que possui necessario para um elétron percorrer o comprimento do fio 100 km de comprimento e 100 cm de diametr o carrega uma 2513 Um fio de cobre de calibre 14 com diametro de Corrente de 125 A a Qual ca queda potencial atraves do 1628 mm conduz uma corrente de 125 mA a Qual a dife cabo b Quanta energia elétrica é dissipada como energia renga de potencial através de um comprimento de 200 m do fio 35 26 a por hora e b Qual seria a diferenga de potencial na parte a se o mesmo 5 Considere 0 cir cuito elétrico indicado na Figura E2526 fio fosse de prata em vez de cobre Fi 2526 A volt 540V A igur 26 A volta 2514 Um fio de 650 m de comprimento e 205 mm de dia gura r 7m metro possui uma resisténcia de 00290 De qual material é gem entre os termi nals da bateria de 240 V éiguala 400A mais provavel que o fio seja composto 212 V durante a passagem 2515 Um filamento cilfndrico de tungsténio com 150 cm da corrente Calcule a a R A00A de comprimento e didmetro de 100 mm deve serusadoemuma sacicténcia interna r da ba maquina para a qual a temperatura variara entre a temperatura terja b a resisténcia R do ambiente 20 C e 120 C A corrente é de 125 A sob qual segistor do circuito quer temperatura consulte as tabelas 251 e 252 a Qual ser4é 9597 Um voltimetro ideal V Figura E2527 o campo elétrico maximo nesse filamento e b qual sera sua est4 conectado a um resistor de 050 50V resistncia para esse campo c Qual sera a queda maxima de 20 0 e a uma bateria com fem de TL AAAt potencial por todo o comprimento do filamento 50 V e resisténcia interna de 05 Q 2516 Um fio de metal dtictil possui resisténcia R Qual seré como indicado na Figura E2527 a resisténcia desse fio em funcao de R quando ele é estendido até a Qual é a corrente no resistor de trés vezes seu comprimento original supondo que adensidadeea 20 1 b Qual a voltagem entre 200 174 Fisica Ill os terminais da bateria durante a passagem da corrente c Qual Secao 255 Energia e poténcia em a leitura do voltimetro Explique suas respostas circuitos elétricos 2528 Um amperimetro 2534 Quando um resistor com resisténcia R esta ligado a ideal esta conectado a uma ba Figura E2528 uma bateria de lanterna de 150 V 0 resistor consome 00625 W teria como indica a Figura g de poténcia elétrica Suponha que cada bateria sempre possua E2528 Encontre a a leitura A resisténcia interna desprezivel a Qual é a poténcia consumida do amperimetro b a corrente 2000 100V pelo resistor quando é ligado a uma bateria de carro de 126 V que passa pelo resistor de Suponha que R permanega constante quando ha mudangas no 400 0 e c a voltagem nos ter consumo de poténcia b O resistor é ligado a uma bateria e minais da bateria consome 500 W Qual é a voltagem dessa bateria 2529 Quando achave S da 4000 2535 Lampadas A poténcia maxima de uma lampada Figura E2529 esta aberta 0 como uma de 100 W é a poténcia que ela dissipa quando co voltimetro V conectado na bate Figura E2529 nectada através de uma diferenga de potencial de 120 V Qual é ria indica 308 V Quando a chave a resisténcia de a uma lampada de 100 W e b uma lampada de esta fechada o voltimetro V indica 60 W c Quanta corrente cada ldmpada consome em condicdes 297 V e o amperimetro indica 165 normais de uso A Calcule a fem a resisténcia in a 2536 Se uma lampada de 75 W veja o Problema 2535 for terna da bateria e a resisténcia do conectada através de uma diferenga de potencial de 220 V como circuito R Suponha que os dois R a usada na Europa quanta poténcia sera dissipada Despreze a instrumentos de medida sejam ide S dependéncia de temperatura da resisténcia da lampada ais de modo que nao afetem o 2537 Lampada europeia Na Europa a voltagem residen circuito cial padrao é de 220 V em vez dos 110 V geralmente usados no 2530 Ocircuito elétrico indicado na Figura E2530 contém Brasil Portanto uma laimpada de 100 W na Europ a deve ser A usada com uma diferenga de potencial de 220 V veja o Problema duas baterias cada uma com uma fem e uma resisténcia interna woe z 2536 a Se vocé trouxer uma l4mpada europeia de 100 W e dois resistores Calcule a a corrente no circuito médulo Se a aay para o Brasil qual deve ser a poténcia maxima brasileira b e sentido b a voltagem ia d iade 100 W V nos terminais da ba Figura E2530 Quanta corrente a lampada europeia de consome em con teria de 160 V c a di 60 160 digdes normais de uso no Brasil a I 160V 2538 Um receptor do sistema de posicionamento global ferencga de potencial V 2 a b GPS opera com uma bateria de 90 V e consome uma corrente do ponto a em relacao ays F ae elétrica de 013 A Qual a energia elétrica que ele consome ao ponto c d Usando a 500 900 140 80V durante 30 minutos Figura 2520 como mo oo c 2539 Considere 0 circuito da Figura E2530 a Qual é a taxa delo faga um grafico do fo ta 0 da queda de total da dissipagao da energia elétrica nos resistores de 50 0 e de aumento q 90 2 b Qual é a poténcia fornecida pela bateria de 160 V c potencial no circuito Cc t ia elétrica é tid tras f d 2531 No circuito indicado na Figura E2530 a bateria de eee ee nea ey Oe ea ea a gs energia na bateria de 80 V d Mostre que a poténcia fornecida 160 Vv removida e depois inserida hovamente com a polari pela bateria de 160 V é igual a taxa de dissipagao da energia dade invertida de modo que o terminal negativo passe a ficar elétrica no restante do circuito Proximo do ponto a Calcule a a corrente no circuito modulo 9540 BIO Enguiaselétricas As enguiaselétricas geram e sentido bya voltagem Vbq nos terminais da bateria de 160 V pulsos elétricos ao longo de sua pele que podem ser usados para c a diferenga de potencial Vac do ponto a em relagao ao ponto desorientar um inimigo quando estes entram em contato com ela c d Faga um grafico do aumento e da queda de potencial no Testes mostraram que esses pulsos podem ser de até 500 V e pro circuito veja a Figura 25 20 duzem correntes de 80 mA ou até mais Um pulso geralmente 2532 No circuito indicado na Figura E2530 0 resistor de possui duraciio de 10 ms Determine a poténcia e a quantidade 50 é removido e substituido por outro resistor com resistén ge energia recebidos pelo inimigo desafortunado com um tinico cia desconhecida R Depois dessa substituicAo a leitura de um impulso supondo que a corrente seja constante voltimetro ideal colocado entre os pontos be c indica 19 V 2544 BIO Tratamento de insuficiéncia cardiaca Um des Calcule a a corrente no circuito b a resisténcia R c Faga fibrilador cardfaco é usado para permitir que 0 coracaio comece um grafico do aumento e da queda de potencial no circuitoveja a bater novamente depois de parar Isso é feito passando uma a Figura 2520 grande corrente de 12 A através do corpo a 25 V durante um 2533 O circuito elé tempo muito curto normalmente cerca de 30 ms Qual é a a trico indicado na Figura poténcia que o desfibrilador fornece ao corpo e b a quantidade Figura E2533 E2533 contém duas ba de energia transferida terias cada uma com uma 169 J 60V 2542 A bateria para um determinado telefone celular é igual fem e uma resisténcia a 370 V De acordo com o fabricante ela pode produzir 315 a b pode p interna e dois resistores 500 900 10 J de energia elétrica o suficiente para 525 h de uso antes Calcule a a corrente no 140 80V de precisar ser recarregada Encontre a corrente média que esse circuito mddulo e sen telefone celular consome quando esta ligado tido e b a voltagem Vz 2543 A capacidade de uma bateria com acumuladores nos terminais da bateria como a usada no sistema elétrico do automével é especificada de 160 V em ampéreshoras A h Uma bateria de 50 A h pode fornecer Capitulo 25 Corrente resisténcia e forca eletromotriz 175 uma corrente de 50 A durante 1 h ou 25 A durante 2 heassim PROBLEMAS por diante a Qual a energia total que pode ser fornecida por 2550 Em uma solucao idnica uma corrente consiste em uma bateria de 12 V e 60 A h desprezando sua resisténcia fons Ca de carga 2e e fons Cl ions de carga e se deslo interna b Que volume de gasolina em litros possui um calor cando em sentidos opostos Se 511 X 108 fons Cl se deslocam total de combustao igual 4 energia calculada no item a Veja ge A para B a cada 050 min enquanto 324 x 108 fons Ca se ae 3 a Segao 176 a densidade da gasolina é igual a 900 kgm deslocam de B para A qual a corrente em mA através dessa Se um gerador que fornece uma poténcia elétrica média igual a soluciio e que sentido de A para B ou de B para A ela possui 045 kW fosse conectado aos terminais da bateria quanto tempo 9554 Um condutor elétrico projetado para transportar cor ele levaria para carregéla completamente rentes elevadas possui comprimento de 140 m e uma segao reta 2544 Um voltimetro ideal esta conectado aos terminals de circular com didmetro de 250 mm A resisténcia entre suas extre uma bateria de 150 V e um apar elho eletrodoméstico de 7509 midades é igual a 0104 a Qual é a resistividade do material também esta conectado a esses terminais Se a leitura do voltime b Sabendo que 0 médulo do campo elétrico no condutor igual tro for de 119 V a quanta potncia esta sendo dissipada pelo q 128 Vm qual a corrente elétrica total c Sabendo que aparelho e b qual é a resisténcia interna da bateria 0 material possui 85 X 1078 elétrons livres por metro ctibico 2545 Uma lampada de 250 0 estd conectada aos terminais calcule a velocidade média de arraste nas condicg6es do item b de uma bateria de 120 V com 350 de resisténcia interna 9552 ee Uma linha de transmissio aérea de energia elétrica Qual a porcentagem da poténcia da bateria que dissipada atra jossui comprimento de 2000 m e consiste em dois fios de cobre vés da resisténcia interna e portanto nao esta disponivel para paralelos cada um envolto em um material isolante Um curto a lampada circuito passou a existir em algum ponto ao longo do compri 2546 Uma lanterna comum possui duas pilhas cadauma mento do cabo onde o isolamento se deteriorou e os dois fios delas com uma fem igual a 15 V conectadas em sériecomuma esto em contato Como funcionério de uma empresa de energia lampada com resistencia igual a 17 Q a Desprezando aTesis elétrica vocé deve localizar o curto para que equipes de reparos téncia interna da pilha qual é a potncia fornecida para a lam possam ser enviadas para esse local Ambas as extremidades do pada b Sea pilha se descarrega em 30 h qual aenergia total cabo foram desligadas da rede elétrica Em uma das extremidades fornecida para a lampada c A resisténcia de uma pilha real gg cabo ponto A vocé liga as extremidades dos dois fios a uma cresce 4 medida que vai sendo usada Desprezando a resisténcia pateria de 900 V com resisténcia interna desprezivel e mede uma interna inicial qual é a resisténcia interna combinada das duas corrente de 286 A através da bateria Na outra extremidade do pilhas quando a poténcia cai até a metade do valor inicial cabo ponto B vocé liga as extremidades dos dois fios 4 bateria Suponha que a resisténcia da lampada permanega constante Na mede uma corrente de 165 A através da bateria Qual a dis verdade ela varia um pouco quando a corrente no filamento 4ncia entre o curto eo ponto A varia pois ocorre uma oscilag4o da temperatura do filamentoe 9553 ee No seu primeiro dia de trabalho como técnico eletri portanto ha varlagao na resistividade do filamento cista vocé solicitado a determinar a resisténcia por metro de 2547 No circuito indicado na um longo pedago de fio A empresa para a qual vocé trabalha é Figura E2547 calcule a a taxa Figura E2547 mal equipada Vocé encontra uma bateria um voltimetro e um da conver sao de ener gla interna 100 120V amperimetro mas nenhum instrumento para medir diretamente quimica em energla eletrica no in g d a resisténcia um ohmimetro Vocé conecta o voltimetro aos terior da bateria b a taxa de dissi terminais da bateria e o instrumento registra 126 V Vocé corta pagao da energia eletrica na bateria 200 m de comprimento do fio e conecta esse pedago 4 bateria c a taxa de dissipagao da energia 2 ligad gat di létrica na resistncia externa com um amperimetro ligado em série para medir a corrente no ere a 50 0 fio A leitura do amperimetro é de 700 A A seguir vocé corta 2548 Um aquecedor elétrico de 7 wes um pedago de 400 m do fio e 0 conecta a bateria novamente com 540 W é projetado para operar em a a o amperimetro ligado em série para medir a corrente A leitura do uma linha de 120 V a Qual é sua resisténcia b Que corrente a amperimetro é de 420 A Embora 0 equipamento disponivel seja elétrica ele consome c Se a voltagem cai para 110 V qualé aA tA limitado seu chefe garante que é de alta qualidade O amperime a poténcia que 0 aquecedor consome Suponha que a resistén Ae tro possui uma resisténcia muito pequena e o voltimetro possui cia permanega constante Na verdade ela varia um pouco pois toa 2 re ton uma resistncia muito alta Qual é a resisténcia de 1 metro de fio ocorre uma variacéo na temperatura d As espiras da resis A ays ae 2554 Um fio de comprimento igual a 20 m é fabricado téncia do aquecedor s4o metdlicas de modo que a resisténcia Loe Loe tw soldandose a extremidade de um fio de prata com 120 cm de diminui quando a temperatura diminui Caso a variagao da resis As aA comprimento a um fio de cobre com 80 cm de comprimento téncia com a temperatura nao seja desprezada a poténcia que o gen yo A Cada pedago de fio possui diametro igual a 060 mm Os fios aquecedor consome sera maior ou menor que a que vocé calculou ve no item c Explique estaéo em temperatura ambiente de modo que as resistividades sao fornecidas pela Tabela 251 Uma diferenca de potencial de Secao 256 Teoria da condugao em metais 90 V é mantida entre as extremidades do fio composto de 20 m 2549 O silfcio puro contém aproximadamente 10 X 10 de comprimento a Qual é a corrente na seao de cobre b elétrons livres por metro cuibico a Na temperatura ambiente Qual é acorrente na secao de prata c Qual é o médulo de E no qual deve ser 0 tempo livre médio 7 para fornecer um valor de cobre d Qual é o médulo de E na prata e Qual é a diferenga resistividade igual ao indicado na Tabela 251 b Sua resposta de potencial entre as extremidades da secao de prata do fio na parte a é muito maior que o valor do tempo livre médio 2555 Um fio de cobre de comprimento igual a 300 m a encontrado para o cobre no Exemplo 2511 Por que entéoo0 20 C possui uma secao de comprimento igual a 120 m com silicio puro possui uma resistividade muito maior queadocobre diadmetro de 160 mm e outra secao de 180 m com diametro 176 Fisica Ill de 080 mm Na seco com didmetro igual a 160 mm passauma da bateria de 400 V c Figura P2562 corrente de 25 mA a Qual a corrente elétrica na segéo com Uma bateria com fem igual 0500 400V didmetro de 080 mm b Qual é 0 médulo de Ena secéo com a 1030 V e resisténcia in be p c900 0 didmetro de 160 mm c Qual é o mdédulo de Ena secéo com terna 050 O é inserida no diametro de 080 mm d Qual é a diferenga de potencial entreas circuito no ponto d com 6000 d extremidades do fio de comprimento de 300 m seu terminal negativo co a 0500 800V 2556 Um elemento de aquecimento feito de fio de tungs nectado ao terminal nega 8000 ténio esta ligado a uma bateria grande que possui resisténcia tivo da bateria de 800 V interna desprezivel Quando o elemento de aquecimento atinge Qual é a diferenca de po 800 C ele consome energia elétrica a uma taxa de 480 W tencial V nos terminais da bateria de 400 V agora Qual é seu consumo de energia quando sua temperatura é igual 2563 BIO A resistividade volumétrica média do corpo hu a 1500 C Suponha que o coeficiente de temperatura da re mano sem considerar a resisténcia da pele é aproximadamente sistividade possua o valor dado na Tabela 252 e que ele seja igual a 50 m O caminho para a conducfo entre as maos constante ao longo do intervalo de temperatura neste problema pode ser visto como um cilindro com 16 m de comprimento e Na Equagao 2512 considere Tp igual a 200 C diametro igual a 010 m A resisténcia da pele pode tornarse 2557 PC BIO Atingido por um raio Os raios podem desprezivel molhandose as maos com agua salgada a Qual é envolver correntes de até 25000 A que duram cerca de 40 ws o valor da resisténcia entre as m4os desprezandose a resisténcia Quando uma pessoa é atingida por um raio com essas proprieda da pele b Qual é a diferencga de potencial necessdria para que des a corrente atravessa seu corpo Vamos supor que sua massa ocorra um choque mortal com uma corrente elétrica de 100 mA seja igual a 75 kg que ela esteja molhada afinal estiem uma Observe que seu resultado indica que mesmo uma diferenga de tempestade e portanto possua uma resisténcia de 10kQeque potencial pequena pode produzir uma corrente elétrica perigosa seu corpo seja inteiramente composto por dgua que é razodvel quando a pele esta timida c Usando o valor da corrente calcu para uma aproximagao grosseira porém plausivel a Qual seria lada no item b qual é a poténcia dissipada no corpo o aumento de temperatura em 75 kg de 4gua em graus Celsius 2564 BIO Uma pessoa cuja resisténcia do corpo entre as em decorréncia desse raio b Considerando a temperatura in maos é igual a 10 kO segura acidentalmente os terminais de uma terna do corpo aproximadamente igual a37 C atemperaturada fonte de tensaio de 14 kV a Sabendo que a resisténcia interna pessoa realmente aumentaria tanto assim Por que niéo O que da fonte de tensdo é igual a 2000 Q qual é a corrente que passa aconteceria antes pelo corpo dessa pessoa b Qual é a poténcia dissipada em seu 2558 Um resistor com resisténcia R esta ligado a uma ba corpo c Para que a fonte de tensdo se torne uma fonte sem teria que possui fem de 120 V e resisténcia interna r 0400 risco seria necessdrio aumentar sua resisténcia interna qual de Para quais dois valores de R a poténcia dissipada no resistor seraveria ser a resistncia interna da fonte para que a corrente elétrica igual a 800 W que passa pelo corpo da pessoa se reduzisse para um valor menor 2559 CALC Um material com resistivi Figura P2559 ou igual a 100 mA dade p possui a forma de um cone truncado 2565 Considere um custo médio para energia elétrica de com altura h e raios rye rp em suas extremida R 0120 por quilowatthora a Algumas pessoas deixam a luz des Figura P2559 a Calcule a resistén t da varanda acesa 0 tempo todo Qual é 0 custo anual para manter cia do cone entre as duas faces planas Dica h uma lampada de 75 W acesa dia e noite b Suponha que seu divida o cone em muitos discos finos e cal Y refrigerador consuma 400 W de poténcia quando em funciona cule a resisténcia de um desses discos b aK mento e que ele funcione 8 horas por dia Qual é 0 custo anual Mostre que seu resultado esta de acordo com 2 de funcionamento de seu refrigerador a Equacao 2510 quando r 1 2566 No circuito indicado na 2560 CALC A regiao entre duas esferas concéntricas con Figura P2566 R é um resistor va dutoras com raios a e b esta preenchida por um material condutor ridvel cujo valor pode variar de 0 a Figura P2566 com resistividade p a Mostre que a resisténcia entre as esferas e ae b sao os terminais de uma é dada por bateria com fem 150 Ve uma resisténcia interna de 400 O am a at as b R Po 1 1 perimetro eo voltimetro sao ambos 47 a b instrumentos ideais A medida que R varia por toda a gama de valo Ti b Deduza uma expresso para a densidade de corrente em res quais serao as leituras maxima fungdo do raio em termos da diferenga de potencial V entre e minima a do voltimetro e b A pF as esferas c Mostre que o resultado da parte a se reduz ao do amperimetro c Faca graficos R resultado da Equacao 2510 quando a distancia entre as esferas qualitativos das leituras de ambos Lb aé pequena Os instrumentos em fungdo de R 2561 A diferenca de potencial nos terminais de uma bateria 2567 Um amperimetro nao ideal Diferentemente do am igual a 840 V quando uma corrente igual a 150 A flui do ter perfmetro ideal descrito na SecAo 254 qualquer amperimetro minal negativo da bateria para o terminal positivo Quando acor real possui uma resisténcia diferente de zero a Um amperi rente é igual a 350 A em sentido oposto ao anterior a diferenga metro com resisténcia Ra conectado em série com um resistor de potencial tornase igual a 1020 V a Qual a resisténcia Re uma bateria com fem e resisténcia interna r A corrente interna da bateria b Qual é a fem da bateria medida pelo amperimetro é J Determine a corrente que passa 2562 a Qual é a diferenga de potencial Vq no circuito in no circuito quando o amperimetro é removido de modo que a dicado na Figura P2562 b Qual é a voltagem nos terminais bateria e o resistor constituam um circuito completo Expresse Capitulo 25 Corrente resisténcia e forca eletromotriz 177 sua resposta em fungao de a r Ra e R Quanto mais ideal for 2573 PC Considere o circuito indicado na Figura P2573 o amperimetro menor sera a diferenca entre essa correntee a A fonte de fem possui resisténcia interna desprezivel Os resisto corrente J b Supondo R 380 O 750 Ver 0450 res possuem resisténcias Ry calcule o valor maximo da resisténcia do amperimetro Ra de 600 Xe Ry 40000 Figura P2573 modo que J possua um valor com uma diferenga maxima de capacitor possui capacitan Ry 1 do valor calculado sem 0 amperimetro c Explique por que cia C 900 wF Quando dn a resisténcia calculada no item b representa um valor mdximo 0 capacitor esté totalmente l R C 2568 Umcabo cilindrico de cobre com 150kmdecompri carregado 0 médulo da mento esta conectado através de uma diferenga de potencial de carga em suas placas é Q 220 V a Qual deve ser seu didmetro para produzir calorauma 36 mc Calcule a fem taxa de 900 W b Qual é 0 campo elétrico no interior do cabo 9574 ee DADOS Um resistor externo R est ligado entre os sob essas condioes terminais de uma bateria O valor de R varia Para cada valor de 2569 CALC Umcilindro de 150 me raio de 110 cm feito R acorrente J no circuito e a voltagem nos terminais da bate de uma mistura complexa de materiais Sua resistividade depende 4 V So medidos Os resultados esto representados grafica da distancia x da extremidade esquerda e obedece 4 f6rmula ente na Figura P2574 um grafico da V versus I que mostra px a bx em que ae b sio constantes Na extremidade o melhor ajuste linear dos dados a Use 0 grafico da Figura se st 0 ee é 50 10 0 7 m ee ne or P2574 para calcular a fem e a resisténcia interna da bateria b reito é de 8 m a Qual é a resisténcia dessa haste 3 b Qual é o campo elétrico na metade de seu comprimento se rn haterin 0 valor de R para o qual Vap igual a 800 da fem ele carregar uma corrente de 175 A c Se cortarmos a haste em dois segmentos de 750 cm qual é a resisténcia de cada metade Figura P2574 2570 Lampadas fluorescentes compactas As lampadas vv fluorescentes compactas séo muito mais eficientes na produgao 32 0 de luz que lampadas incandescentes comuns Elas inicialmente custam muito mais porém duram muito mais tempo e usam uma quantidade muito menor de energia elétrica De acordo com um 280 estudo dessas lampadas uma lampada compacta que produz tanta luz quanto uma lampada incandescente de 100 W usa apenas 240 23 W de energia A lampada compacta dura 10000 horas em média e custa US 1100 nos Estados Unidos enquanto a lam 209 00 300 400 500 600 700 800 IA pada incandescente custa apenas US 075 mas dura apenas 750 horas O estudo supés que a energia elétrica custa US 0080 por quilowatthora e que as lampadas estio acesas durante 40 h por 2575 DADOS Mediuse a diferenga de potencial V atra dia a Qual é 0 custo total incluindo o preco das lampadas para VES de cada um dos resistores A e B em fungao da corrente J no usar cada lampada durante 30 anos b Quanto vocé economiza resistor Os resultados sao apresentados na tabela ao longo de 30 anos se usar uma lampada fluorescente compacta em vez de uma lampada incandescente c Qual é a resisténcia de uma lampada fluorescente de 100 W Lembrese de que IA 050 100 200 400 na verdade ela usa apenas 23 W de energia e opera em 120 V 2571 Um raio atinge uma extremidade de um pararaios de aco produzindo um surto de corrente elétrica de 15000 A com duragdo de 65 ys A haste do pararaios possui comprimento de Vip V 194 388 776 1552 20 m e diametro de 18 cm e sua outra extremidade esta ligada a terra por 35 m de um fio de cobre com diametro de 80 mm a a Para cada resistor faga um grafico de V em funcio de Ie Encontre a diferenga de potencial entre a extremidade superior oytro de R VI em funcio de I b O resistor A obedece a da haste de ago e a extremidade inferior do fio de cobre duranteo Je de Ohm Explique c O resistor B obedece a lei de Ohm surto de corrente b Determine a energia total fornecida a haste Explique d Qual é a poténcia dissipada em A quando esta co a0 fio pelo surto de corrente oo nectado a uma bateria de 400 V com resisténcia interna desprezi 2572 PC Considere 0 circuito indicado na Figura P2572 vel e Qual é a poténcia dissipada em B quando esta conectado A bateria possui fem de 720 V e resisténcia interna desprezivel a mesma bateria Ry 200 0 C1 300 WE e C2 600 LE Depois que 0s 2576 DADOS De acordo com as normas técnicas do US capacitores auingiram suas cargas finais a carga em C1 Q1 National Electrical Code os fios de cobre usados nas instala 180 wC Qual a a carga final em Cp b a resisténcia Rj coes elétricas de casas hotéis edificios comerciais e instalagdes Figura P2572 industriais devem conduzir uma corrente maxima especificada R A tabela seguinte indica o valor da corrente maxima 4x para diversas dimensoées de fios com um verniz isolante O calibre do fio é um método padronizado para a descricg4o do diametro é Ry C Cs de um fio Note que quanto maior o diametro do fio menor o calibre dele 178 Fisica Ill Problemas com contexto BIO Condutividade em teias de aranha Alguns tipos de ara nha criam teias que consistem em fios de seda seca revestidos com uma solucgao de diversos compostos Esse revestimento torna os fios que sao usados para capturar presas higroscdépicos ou seja atraem Agua a partir da atmosfera Postulase que esse 803208 revestimento aquoso torna os fios bons condutores elétricos Para 6 ID testar as propriedades elétricas do fio revestido pesquisadores colocaram um fio com comprimento de 5 mm entre dois conta tos elétricos Os pesquisadores estenderam o fio em incremen tos de 1 mm a mais de duas vezes seu comprimento original e a Quais sAo as consideragGes usadas para determinar a corrente depois p ermitiram que retornasse a seu Comprimento original maxima da fiagao elétrica de uma casa b Uma poténcia total novamente em incrementos de 1 mm Algumas das medigGes da igual a 4200 W deve ser fornecida para os aparelhos elétricos TSi8tncia sao apresentadas na tabela de uma residéncia Sabendo que a diferenga de potencial através do conjunto de aparelhos é igual a 120 V calcule o valor do Mepaee 8 41 me W650 calibre do fio mais fino que pode ser usado c Suponha que a fio 10 fiagdo usada na casa possua 0 calibre calculado na parte b e mmm so BOT S que seu comprimento total seja igual a 420 m Qual é a taxa de do fio mm dissipagao de energia nesse fio d A casa esta construidaemum Baseado em F Vollrath e D Edmonds Consequences of electrical con local onde a energia elétrica custa R 011 por quilowatthora ductivity in an orb spiders capture web Naturwissenschaften 10012 Considere um fio com um diametro maior cujo calibre sejadado Dezembro de 2013 p 116369 pelo calibre seguinte ao calculado no item b supondo que vocé faca a fiagHo da casa com fios com esse didmetro maior quanto 2579 Qual é a melhor explicagdo para o comportamento exi dinheiro vocé poderia economizar em energia ao longo de um bido nos dados a Fios mais longos podem conduzir uma ano Suponha que os aparelhos elétricos permanegam ligados corrente maior que fios mais curtos portanto s4o melhores con durante 12 horas por dia dutores elétricos b O fio deixa de ser um condutor quando é estendido até 13 mm pelas quebras que ocorrem no revestimento fino c A medida que 0 fio é estendido 0 revestimento se torna baw BLE eee semicondutor pode mais fino e sua resisténcia aumenta a medida que 0 fio é solto 0 ser alterada adicionandose diferentes quantidades de impure revestimento quase retorna aseu estado original d A resisténcia zas Uma barra de um semicondutor de comprimento L e segaéo do fio aumenta com a distancia a partir da extremidade do fio reta com 4rea A esta ao longo do eixo x entre x Oex LO 2580 Se a condutividade do fio da linha se deve apenas ao re material obedece a lei de Ohm e sua resistividade varia ao longo VeStimento aquoso como a area da seao reta A do revestimento da barra de acordo com a relaco px po expxL A extre Se compara quando o fio possui 13 mm de comprimento em re midade da barra para x 0 est4 a um potencial Vj mais elevado lago ao comprimento inicial de 5 mm Suponha que a resistivi que o potencial da extremidade x L a Calcule a resisténcia dade do revestimento se mantenha constante e que o revestimento total da barra e a corrente que flui através dela b Determine seja uniforme ao longo do fio A13 mm aproximadamente igual a o médulo do campo elétrico Ex na barra em funcao de x c a 7 As5 mm b TAs mm C 2A5 mm d As mm Determine o potencial elétrico Vx na barra em funcéo de xd 2581 Sea fonte de voltagem é uma bateria de 9 V qual é a Faca um grafico das fungdes px Ex e Vx para valores de x corrente maxima que flui no fio durante esse experimento a compreendidos entre x Oe x L Cerca de A b cerca de 01 A c cerca de 1 wA d cerca 2578 eee Um resistor externo com resisténcia R esta ligadoa ge nA uma bateria com fem e resisténcia interna r Considere a po 2582 Em outro experimento um pedaco da teia é suspenso de téncia elétrica fornecida da fonte igual a P Pela conservacao da d se livremente Quando tanto um objeto energia P é igual 4 poténcia consumida por R Qual é 0 valor de modo qiie possa Mover se 1 P no limite quando R é a muito pequeno b muito grande c carregado positivamente como um objeto carregado negativa Demonstre que a poténcia fornecida da bateria possui seu valor mente trazido para Pp erto da teia observase que fio se move maximo quando R r Qual é esse P maximo em funcio deer diregdo ao objeto carregado Qual é a melhor interpretacgao d Uma bateria possui 640 Ver 400 Qualéapoténcia dessa observagao A teia um condutor a negativamente car fornecida dessa bateria quando esta conectada a um resistor R regado b positivamente carregado c ou positivamente car para R 200 0 R 400 Qe R 600 Q Seus resultados esto regado ou negativamente carregado d eletricamente neutro de acordo com o resultado geral deduzido na parte b RESPOSTAS Resposta a pergunta inicial do capitulo Respostas as perguntas dos testes Resposta iii A corrente que sai é igual Acorrente que entra de compreensao Em outras palavras a carga deve penetrar a lampada 4 mesma 251 Resposta v Duplicar o diametro aumenta a area da taxa com que sai dela Ela nao é usada ou consumidaenquanto seco reta A por um fator de 4 Logo o médulo da densidade flui pela lampada de corrente J JA é reduzido a 7 do valor obtido no Exemplo Capitulo 25 Corrente resisténcia e forca eletromotriz 179 251 e o médulo da velocidade de arraste v Jnig é redu terminais vg 36 V é igual 4 voltagem JR através do resistor de zido pelo mesmo fator O novo médulo é vz 015 mms4 18 O Vy IR portanto J VR 36 VVU8 20 A 0038 mms Esse comportamento é o mesmo de um fluido nao Para o circuito iii usamos a Equac4o 2515 para a voltagem compressivel que reduz a aceleracao quando se move deum tubo nos terminais V Ir logo I Vpr 120 V estreito para outro mais largo Secao 144 110 V020 Q 50 A 252 Resposta ii A Figura 256b indica que a resistividade 255 Resposta iii ii i Esses circuitos sio os mesmos p de um semicondutor aumenta enquanto a temperatura diminui que analisamos em Teste sua compreensao da Secao 254 Em Pela Equacao 255 0 médulo da densidade de corrente é J cadacaso a poténcia fornecida liquida da bateria é P V em Ep portanto a densidade de corrente diminui 4 medida que a que V a voltagem nos terminais da bateria Para o circuito i temperatura cai e a resistividade aumenta encontramos que J 10 A portanto V Ir 15 V 253 Resposta iii Explicitando a corrente na Equacio 10 A 010 0 14 V portanto P 14 V 10 A 14 W 2511 temos J VR Sea resisténcia R do fio nao variasse du Para 0 circuito ii temos V 36 V e encontramos que J plicar a voltagem V duplicaria também a corrente J Entretanto 20 A portanto P 36 V 20 A 72 W Para o circuito vimos no Exemplo 253 que a resisténcia ndo é constante A iii temos V 110 V e encontramos que J 50 A portanto medida que a corrente e a temperatura aumentam R aumenta P 110 V 50 A 55 W também Portanto duplicar a voltagem produz uma corrente que 256 Resposta i A dificuldade de produzir uma dada é menor que 0 dobro da corrente original Um condutor 6hmico quantidade de corrente aumenta a medida que a resistividade p é um para o qual R VI possui o mesmo valor independen aumenta Pela Equagao 2524 p m ner portanto aumentar temente da voltagem portanto 0 fio é ndo 6hmico Em muitos 4 Massa m aumentaré a resistividade Isso ocorre porque uma problemas praticos a variacdio de temperatura no fio é tao pe Particula carregada mais maciga ter4 uma reacdo mais morosa a quena que pode ser desprezada portanto podemos considerar UM campo elétrico aplicado e portanto um arraste mais lento com seguranca que o fio é éhmico E 0 que fazemos na maioria Para gerar a mesma corrente seria necessario um campo elétrico dos exemplos deste livro maior Aumentar n e ou 7 diminuiria a resistividade e facilitaria 254 Resposta iii ii i Para 0 circuito i a Equagio 4 geracao de uma dada corrente 2516 fornece J ER r 15 V404 0100 Problema em destaque 10 A Para o circuito ii observamos que a voltagem nos a 237 C b 162 W inicialmente 148 W em 123 A 26 Em um circuito complexo como o desta placa é pos sível conectar vários resistores com diferentes resistências de modo que todos eles possuam a mesma diferença de potencial i Sim e a corrente será igual através de todos os resistores ii sim porém a corrente pode ser diferente através de resis tores diferentes iii não iv a resposta depende do valor da diferença de potencial CIRCUITOS DE CORRENTE CONTÍNUA OBJETIVOS DE APRENDIZAGEM Ao estudar este capítulo você aprenderá 261 Como analisar circuitos com múltiplos resistores em série ou em paralelo 262 Regras que podem ser aplicadas a qualquer circuito com mais de uma malha 263 Como usar amperímetro voltímetro ohmímetro ou potenciômetro em um circuito 264 Como analisar circuitos que possuem tanto um resistor quanto um capacitor 265 Como a energia elétrica é distribuída em uma residência Revendo conceitos de 242 Capacitores em série e em paralelo 254 Corrente elétrica amperímetros e voltímetros 255 Potência em um circuito S e você olhar o interior de um telefone celular um computador ou sob o capô de seu carro notará circuitos muito mais complexos que os circuitos simples estudados no Capítulo 25 Tanto os circuitos conectados por fios como os impressos integrados em um chip semicondutor todos geralmente incluem diversas fontes resistores e outros elementos interconectados em uma rede Neste capítulo estudaremos métodos para analisar essas redes incluindo como calcular correntes voltagens e outras propriedades desconhecidas dos elementos do circuito Vamos aprender a determinar a resistência equivalente para resistores conectados em série ou em paralelo Para circuitos mais gerais que formam redes precisamos usar duas regras conhecidas como leis de Kirchhoff Uma delas decorre do princípio da conservação da carga aplicada a uma junção a outra do princípio da conservação da energia aplicada a uma carga que se desloca em torno de um circuito fechado Discutiremos os instrumentos necessários para medir diversas grandezas elétricas Também analisaremos circuitos com resistores e capacitores para os quais a corrente varia com o tempo O principal assunto deste capítulo são os circuitos de corrente contínua cc nos quais o sentido da corrente não varia com o tempo As lanternas e o sistema elétrico de um automóvel são exemplos de circuitos de corrente contínua Os apa relhos eletrodomésticos são alimentados por corrente alternada ca na qual a corrente oscila alternando seu sentido para a frente e para trás O mesmo princípio de análise de circuitos pode ser aplicado para esses dois tipos de circuito elétrico e concluímos o capítulo analisando o sistema elétrico de uma casa Os circuitos com corrente alternada serão estudados em detalhes no Capítulo 31 261 RESISTORES EM SÉRIE E EM PARALELO Resistores existem em todos os tipos de circuito desde secadores de cabelos e aquecedores espaciais até circuitos que dividem ou limitam correntes e voltagens BookSEARSVol3indb 180 101115 700 PM Capitulo 26 Circuitos de corrente continua 181 Tais circuitos geralmente contém muitos resistores de modo que é conveniente estudar combinacées de resistores Um exemplo simples é fornecido pelo conjunto de lampadas usado como decorag4o natalina cada lampada é um resistor e do ponto de vista da andlise de circuitos o conjunto de lampadas nada mais é que uma combinagao de resistores Considere trés resistores com resisténcias Rj Ry e R3 A Figura 261 indica Figura 261 Quatro modos quatro maneiras diferentes para conectdlos entre os pontos a e b Dizemos que diferentes para a ligagao entre existe uma ligagéo em série quando os elementos de um circuito como resistores Tes TesIstores baterias e motores sAo ligados em sequéncia e ha um Unico caminho de corrente a Ry Ro e Rs em série entre os pontos como indicado na Figura 261a Estudamos ligacao em série de a iy y Rs b capacitores na Secao 242 verificamos que em virtude da conservacao da carga WV todos os capacitores ligados em série devem possuir a mesma carga quando estao I I inicialmente descarregados No caso de circuitos estamos mais interessados na b R Ry e R3 em paralelo corrente que o fluxo da carga por unidade de tempo R A Figura 261b ilustra uma ligagao em paralelo de resistores entre os pontos ae b Cada resistor oferece um caminho alternativo para a corrente entre esses pontos A diferenca de potencial a mesma nos terminais de qualquer um dos a b elementos ligados em paralelo Estudamos capacitores em paralelo na Secao 242 Pn Na Figura 26 Ic os resistores Ry e R3 estéo em paralelo e essa combinacao esta T T em série com 0 resistor Rj Na Figura 261d os resistores Ry e R3 estao em série e essa combinacao esta em paralelo com o resistor Ry c R em série com combinagao em Qualquer que seja a combinagao de resistores sempre podemos encontrar um paralelo de Ry R3 resistor unico capaz de substituir a combinagAo inteira produzindo as mesmas Ry corrente e diferenga de potencial Por exemplo é possivel substituir 0 conjunto de lampadas usadas como decoragao natalina por uma Unica lampada submetida R a mesma diferenga de potencial do conjunto e que consuma a mesma corrente a b do circuito original Essa resistncia inica denominase resisténcia equivalente da combinagao Se qualquer um dos circuitos da Figura 261 for substituido pela Rs resisténcia equivalente Rg poderemos escrever Vv d R em paralelo com combinagao V IR ou R oe em Oe Ry eR ke em que V é a diferenga de potencial entre os terminais a e b do circuito e éa corrente no ponto a ou b Para calcularmos a resisténcia equivalente supomos uma diferenga de potencial V nos terminais do circuito real calculamos a corrente 7 R 7 correspondente J e obtemos a razao VJ Resistores em série Podemos deduzir relag6es gerais para a resisténcia equivalente de combinagées de resistores em série e em paralelo Quando os resistores estao ligados em série como indica na Figura 26la a corrente J deve ser a mesma através de todos os resistores Como discutimos na Secao 254 a corrente ndo é consumida 4 medida que passa pelo circuito Aplicando V JR para cada resistor obtemos Vax TR Vey IR Vyp TR3 A diferenga de potencial nos terminais dos resistores nao precisa ser a mesma exceto no caso especial em que todas as trés resisténcias sejam iguais A diferencga de potencial V através da combinacAo inteira é a soma das diferengas de potencial através de cada elemento Vab Vax Vey Vyp ICR Ro R3 182 Fisica lll logo Vab EP RRyt R3 I A razao VI por definigao a resisténcia equivalente Reg Portanto Reg Ri Ry R3 E facil generalizar o resultado anterior para um nimero qualquer de resistores Resistores Reg Ry Ry Ry 261 em série a fs i REC STenCia equivalente de titel Registéncias dos uma combinacao em série resistores individuais A resisténcia equivalente de uma combinac4o em série é igual 4 soma das resisténcias individuais A resisténcia equivalente é maior que qualquer uma das resisténcias individuais ATENGAO Resistores versus capacitores em série Nao confunda resistores em série com capacitores em série Resistores em série se somam diretamente Equacao 261 porque a voltagem através de cada um deles é diretamente proporcional a sua resisténcia e acorrente comum No caso dos capacitores em série Equaao 245 0 inverso da capa citancia equivalente é dado pela soma dos inversos das capacitancias individuais porque a voltagem através de cada um deles é diretamente proporcional 4 carga comum porém inversamente proporcional a capacitancia individual Resistores em paralelo Figura 262 Os fardis de um Quando os resistores so ligados em paralelo como na Figura 26 1b a corrente automoével estiio conectados em em cada resistor nao precisa ser a mesma Contudo a diferenga de potencial nos paralelo Portanto cada farol é terminais de cada resistor deve ser a mesma e igual a V Figura 262 Lembrese submetido a mesma diferenga de de que a diferenga de potencial entre dois pontos nao depende da trajetéria que liga Potencial fornecida pelo sistema esses pontos Vamos designar por J J e J as correntes que passam nos resistores elétrico do carro oferecendo P por 12 43 que p maxima luminosidade Outra Entao usando J VR obtemos vantagem é que se um farol queima 0 outro continua iluminando veja o Van Var Vap Exemplo 262 i L L R R R 1 2 3 Em geral a corrente é diferente em cada resistor Como a carga nao pode se isc r Bee toa acumular nem ser extraida do ponto a a corrente total J deve ser igual 4 soma das Ly c cas A Se Bel es trés correntes que passam nos resistores ein a i i E Sd i a y i 1 11 i a T71hV ou 1427 43 Yap mr rd ai pt RR OR a 111 4 Vap Ry Ry Rg Porém de acordo com a definigao de resisténcia equivalente Reg temos IVap 1Reg logo Capitulo 26 Circuitos de corrente continua 183 1 1 1 1 4 4 Reg Ry Ry R3 E facil generalizar o resultado anterior para um numero qualquer de resistores em paralelo Resistores 1 1 1 1 262 em paralelo R R R R Fe a Resisténcia equivalente de Ue titinensss Registencias dos uma combinagao em paralelo resistores individuais O inverso da resisténcia equivalente de uma combinacao em paralelo é igual a soma dos inversos das resisténcias individuais A resisténcia equivalente é menor que qualquer uma das resisténcias individuais ATENGAO Resistores versus capacitores em paralelo Observe as diferencas entre re sistores em paralelo e capacitores em paralelo Os inversos das resisténcias de resistores em paralelo se somam Equagao 262 porque a corrente que passa em cada resistor é proporcional a voltagem comum através de cada um deles e inversamente proporcional a sua respectiva resisténcia As capacitancias de capacitores ligados em paralelo se somam diretamente Equagao 247 porque a carga de cada capacitor é diretamente proporcional a voltagem comum e diretamente proporcional a cada capacitancia individual Para 0 caso especial de dois resistores em paralelo 1 1 1 R R 7 ee Reg Ry Ry Ry Ry Ri Ro oo Ra up dois resistores em paralelo 263 R R Como V Ry Ro obtemos I 1 Ry z dois resistores em paralelo 264 Ih R A partir disso concluise que as correntes transportadas por dois resistores em paralelo sao inversamente proporcionais as suas respectivas resisténcias A cor rente maior flui no caminho que oferece menor resisténcia ESTRATEGIA PARA A SOLUGAO DE PROBLEMAS 261 RESISTORES EM SERIE E EM PARALELO IDENTIFICAR os conceitos relevantes como na Figura 261 EXECUTAR a solucdo conforme segue muitas redes de resistores s4o compostas por resistores em 1 Use a Equacdo 261 ou a 262 para calcular a resisténcia série em paralelo ou por uma combinagao de ambos O prin equivalente para uma combinacao em série ou em paralelo cipal conceito é que esse tipo de rede pode ser substituido por respectivamente um Unico resistor equivalente A logica é semelhante ausada 2 Sea rede for mais complexa tente reduzila a combinag6es na Estrategia para a solugao de problemas 241 para redes de em série ou em paralelo Por exemplo na Figura 261c capacitores inicialmente substituimos pela resisténcia equivalente os PREPARAR o problema por meio das seguintes etapas resistores Ry e R3 que estao em paralelo a combinagao 1 Faca um desenho da rede de resistores resultante esta em série com 0 resistor R Na Figura 261d 2 Identifique grupos de resistores em série e em paralelo os resistores Ry e R3 que estao em série formam uma com 3 Determine quais sao as incégnitas Elas podem abranger a binagao em paralelo com Rj resisténcia equivalente da rede a diferenca de potencial de 3 Ao calcular diferengas de potencial é util lembrar que cada resistor ou a corrente que passa por cada resistor quando resistores sao ligados em série a diferenga de Continua 184 Fisica Ill Continuagdo potencial total através da combinagao é igual 4 soma de é dada pela soma das correntes que passam através dos cada diferenga de potencial individual Quando eles sao resistores individuais ligados em paralelo a diferenga de potencial é a mesma em cada resistor e igual a diferenca de potencial aplicada na AVALIAR sua resposta verifique se os resultados obtidos sao combinaciio em paralelo consistentes Quando os resistores estao conectados em série 4 Quando resistores so ligados em série a corrente 6a resisténcia equivalente deve ser maior que a de qualquer mesma através de todos os resistores e igual Acorrente que resistor individual quando estaéo conectados em paralelo a flui pela combinagao em série Quando resistores sao liga resisténcia equivalente deve ser menor que a de qualquer re dos em paralelo a corrente total que flui pela combinagaéo sistor individual ee ees ENC ECU ee nnn Calcule a resisténcia equivalente do circuito indicado na Figura Vocé obteria o mesmo resultado se usasse a Equagao 263 De 263a e encontre a corrente que passa em cada resistor A fonte acordo com a Equacao 261 a combinacao em série do resistor de fem possui resistncia interna desprezivel de 2 0 com o de 4 2 é equivalente a um tinico resistor de 6 na Figura 263c SOLUGAO Para encontrarmos a corrente em cada resistor do circuito origi IDENTIFICAR E PREPARAR esta red t tre nal invertemos as etapas usadas no calculo da resisténcia equi esta rede composta por trés re eo aaa Ce valente No circuito indicado na Figura 263d idéntico ao da sistores é uma combinacdo de resisténcias ligadas em série e Figura 263c a corrente é dada por ia VOIR os V6 Q em paralelo como na Figura 261c Determinamos a resisténcia 3 c Lo 6 a corrente ue ca nos resictores de2Qede4Q equivalente dos resistores de 6 0 e 3 CO ligados em paralelo e ata sas 4 PB ge gs em seguida de sua combinacio em série com o resistor de 4 0 na Figura 263e idéntica 4 Figura 263b também é igual a3 A A diferenca de potencial V através do resistor de 2 Q é por O resultado a resisténcia equivalente R dessa rede como um sa Ps cb P eq tanto V IR 3 A2 Q 6V Essa diferenca de potencial todo Obtido esse valor determinamos a corrente na fem que é a também deve ser igual a 6 V na Figura 263f idéntica a Figura mesma que a corrente no resistor de 4 Q A diferenga de potencial 263a Usando I 8 ViAR as os rentes hos resistores de 60 e deve ser a mesma através dos dois resistores em paralelo de 6 0 3 0 ha Fioura 263f res ectivamente 6 V6 2 1 Ae e 3 usamos isso para determinar como a corrente deve ser 6 V 13 0 A SA0 Tes dividida entre eles AVALIAR note que para os dois resistores em paralelo entre os EXECUTAR as figuras 263b e 263c mostram etapas sucessivas noe pontos c e b na Figura 263f a corrente que passa no resistor de para a redugao do circuito até a obtengao de uma Unica resisténcia 3 Q é joual ao dobro da corrente que passa no resistor de 6 0 a equivalente Reg De acordo com a Equagao 262 os resistores de ua oe que P reer 6 e3 Oque esto em paralelo na Fisura 26 3a sao equivalentes corrente maior flui pelo caminho que oferece menor resisténcia oe quee tord 3 0 na Fi g 2 3b 4 de acordo com a Equacao 264 Note também que a corrente total HN EICO TESIStOr Ce na Mygura 090 que flui através desses dois resistores é igual a3 A a mesma que flui através do resistor de 4 Q entre os pontos a ec 1 1 1 1 P ay R6o30 60 30 20 a Figura 263 Etapas para reduzir o circuito até a obtencgao de uma 18Vr0 unica resisténcia equivalente e também para determinar a corrente que passa em cada resistor 60 a4 c b U b c d e f 4 18 V 4 18V 4 18V 18V E 18Vr0 wy a a 42 6 20 4 qa 0D 7 a Q 4p 40 20 a 42 1A b 30 3A 3A 3A 3A 18V 12V 6V A Ve SE 12V 6V Capitulo 26 Circuitos de corrente continua 185 BEETIEED LIGAGAO EM SERIE VERSUS LIGAGAO EM PARALELO Duas lampadas idénticas com resisténcia R 20 sio conectadasfornecida para cada lampada quatro vezes maior e a lumino auma fonte com 8 V eresisténcia interna desprezivelCalcule sidade delas sera maior a corrente que passa em cada lampada a diferenga de potencial A poténcia total fornecida para as duas lampadas dada por através de cada lampada e a poténcia fornecida a cada lampada Protai 2P 64 W quatro vezes maior que no caso da ligacgdo ao circuito todo supondo que as lampadas sejam ligadas a em série Esse aumento de poténcia nao obtido de graca a em série e b em paralelo c Suponha que uma das lampadas energia é extraida da fonte com uma taxa quatro vezes maior na se queime ou seja seu filamento fica interrompido e a corrente ligaco em paralelo que na ligagao em série Quando a fonte for nao pode mais fluir por ele O que ocorre com a outra ldmpada uma bateria ela se descarregard quatro vezes mais rapidamente no caso da ligacdo em série E no caso da ligaco em paralelo c No caso da ligag4o em série a mesma corrente passa pelas duas lampadas Se uma delas queimar nao havera nenhuma cor SOLUGAO rente no circuito e nenhuma das lampadas iluminara No caso da ligag4o em paralelo a diferenga de potencial através IDENTIFICAR E PREPARAR as lampadas Sao meros resistores 4 qualquer uma das lampadas permanece a mesma mesmo que em simples ligagGes em série conexoes elm P aralelo figuras uma delas queime Logo a corrente e a poténcia fornecidas para 264a 264b Quando determinamos a corrente I que passa Por 14mpada em funcionamento permanecem as mesmas cada lémpada P odemos determinar a potencia fornecida aela avai iar nosso calculo da resisténcia equivalente nao é muito usando a Equagao 2518 P FR V IR preciso porque a resisténcia da limpada R VI depende da EXECUTAR a de acordo com a Equagao 261 a resistencia diferenga de potencial V nos terminais da lampada Isso acontece equivalente entre os p ontos a c na Figura 264a Reg 2R porque a resisténcia do filamento cresce quando sua tempera 22 Q 40 A corrente a mesma em qualquer uma das 1am tura aumenta e portanto V aumenta Contudo ainda continua padas em série verdadeira a conclusao de que lampadas ligadas em série a uma fonte brilham com intensidade menor que no caso da ligagéo em l Vac 8V 2A paralelo 4 mesma fonte Figura 265 Reg 40 Figura 264 Nossos esbocos para este problema a Lampadas em série Visto que as lampadas possuem a mesma resisténcia a diferenga al é 8Vr0 de potencial é a mesma através de cada lampada i tr Vip Vie IR 2AVQ20 4V aR20b R20 Pela Equac4o 2518 a poténcia fornecida para cada lampada é b Lampadas em paralelo PPR2 AP2208W ou 8Vr0 pa vab Vc VY oy Iroeat 2 f ora R R 20 d C e A poténcia total fornecida para as duas lampadas é dada por Protal 2P 16 W I b Quando as lampadas sao ligadas em paralelo como na Figura 264b a diferenca de potencial V através de cada lampada éa Figura 265 Quando ligadas 4 mesma fonte duas lampadas mesma e igual a 8 V a voltagem nos terminais da fonte Portanto cone ctadas em sere no alto da figura consomenm menos a corrente que passa em cada lampada é poténcia e brilham com menos intensidade que duas lampadas conectadas em paralelo na parte de baixo da figura Vie 8V a R 20 4A eS e a poténcia fornecida para cada lampada é x PPR4 A 2 0 32 W ou 2 2 p Vie BN 32 W R 20 Tanto a diferenga de potencial nos terminais de cada l4mpada 2 quanto a corrente através delas sao duas vezes maiores que no caso da associac4o em série das l4mpadas Portanto a poténcia 186 Fisica Ill TESTE SUA COMPREENSAO DA SEGAO 261 Suponha que os trés resistores indicados na Figura 261 possuam a mesma resisténcia portanto Rj Ry R3 R Classifique as quatro combinagées mostradas nos itens a a d da Figura 261 por ordem de resisténcia equivalente da mais alta 4 mais baixa I 262 LEIS DE KIRCHHOFF Figura 266 Dois exemplos de Muitas redes envolvendo resistores néo podem ser reduzidas a combinagdes circuitos que nao podem ser simples de resistores em série e em paralelo A Figura 266a mostra uma fonte reduzidos a combinagoes simples de tensao cc com fem carregando uma bateria com fem menor e fornecendo envolvendo apenas resistores em la d isténcia R A Fi 266b série e em paralelo corrente para uma ampada com resisténcia R Figura 26 mostra um circuito ponte usado em diversos instrumentos de medidas e sistemas de controle Uma a Malha N6 aplicagdo importante de um circuito ponte é ilustrada no Problema 2674 Para aina eos a analisar esses circuitos usaremos as técnicas desenvolvidas pelo ffsico alemao Gustav Robert Kirchhoff 18241887 rH ry Inicialmente vamos definir dois termos que usaremos frequentemente Uma Malha Matha 8 jungdo ou um né é um ponto do circuito onde ocorre a unido de trés ou mais con Ey 2 Ey 3 2 2 2 dutores Um n6 também é chamado de nodo ou ponto de ramificagdo Denominase 4 malha qualquer caminho condutor fechado Na Figura 266a os nés sao indicados Nave Ne Nao é pelos pontos a e b porém os pontos c e d nao sao nos Na Figura 266b os nds sao ao é 6 ao é co um n6 umné indicados pelos pontos a b c e d porém os pontos e e f nao sao As linhas azuis b nas figuras 266a e 266b indicam exemplos de malhas possiveis 1 a As leis de Kirchhoff sao duas regras enunciadas do seguinte modo TOR Ry A soma algébrica de todas as r b c correntes que entram em um n0 ed Lei dos nés de Kirchhoff sateen oo Ry Ry valida para qualquer né yd 0 7 igual a zero 265 d A soma algébrica de todas as diferengas de potencial através de uma malha Lei das malhas de Kirchhoff 92 oo valida para qualquer malha V 0 igual a zero 266 Note que as diferengas de potencial V na Equagao 266 incluem aquelas associa dos a todos os elementos de circuito na malha incluindo fems e resistores A lei dos nés baseada na lei da conservagdo da carga elétrica Um né nao pode acumular cargas de modo que a carga total que entra em um no por unidade de tempo deve ser igual 4 carga total que sai por unidade de tempo Figura 267a A carga por unidade de tempo é a corrente de modo que se consideramos positivas as cargas que entram e negativas as que saem do né a soma algébrica de todas as correntes que entram no no ou saem dele deve ser igual a zero Isso é semelhante ao escoamento da 4gua em uma jungao T que liga tubos de agua Figura 267b se Figura 267 A lei dos nés a A lei dos nés de Kirchhoff b Analogia com tubos de agua de Kirchhoff diz que o fluxo de corrente que entra No em um no é igual ao fluxo I h de corrente que sai dele wp A corrente saindo do O fluxo de agua h no é igual a corrente saindo do tubo entrando nele é igual ao fluxo de 4 Agua entrando nele Capitulo 26 Circuitos de corrente continua 187 chega a jungao litro por minuto nao possivel trés litros por minuto sairem pelos panos MOSTRAM outros dois tubos Usamos a lei dos nds sem explicitar isso quando derivamos a Circuitos multimalhas Equacao 262 para resistores em paralelo na Secao 261 A lei das malhas é baseada na natureza conservativa das forgas eletrostaticas Se ean um problema sobre um Suponha que vocé percorra uma dada malha medindo todas as diferengas de poten oo an circuito com duas malhas ou cial através dos sucessivos elementos do circuito Ao retornar ao ponto de partida mais mais de 32 davam vocé deve verificar que a soma algébrica de todas as diferengas de potencial é uma resposta incorreta igual a zero caso contrario vocé nao poderia associar um potencial definido para Erros comuns o referido ponto Confundir os elementos do circuito em série e em paralelo Quando dois Convencoes de sinais para a lei das malhas elementos de circuito sao Ao aplicar a lei das malhas precisamos de algumas conveng6es de sinais Na se ee to mesma corrente passa cao Estratégia para a solugao de problemas 262 descreveremos com detalhes como x através de ambos eles estao usalas porém faremos agora um resumo dessas convengdes Sempre supomos um em série quando eles estio sentido para a corrente elétrica e marcamos 0 sentido escolhido no diagrama do ligados de modo que a circuito A seguir partindo de qualquer ponto do circuito percorremos 0 circuito diferenga de potencial é a e adicionamos os termos JR e cada fem 4 medida que passamos através dos ele mesma em ambos eles estao mentos Quando atravessamos uma fonte de tensaio de para a fem deve ser em paralelo considerada positiva Quando atravessamos uma fonte de tens4o de para a fem Confusao sobre o que deve ser considerada negativa Figura 268a Quando atravessamos um resistor acontece em ulm 1 A no mesmo sentido que escolhemos para a corrente o termo JR é negativo porque a corrente nao precisa ser a a dividida igualmente entre os corrente esta fluindo no sentido dos potenciais decrescentes Quando atravessamos diferentes caminhos ha uma um resistor no sentido oposto ao da corrente o termo JR é positivo porque isso corrente maior ao longo do corresponde a um aumento de potencial Figura 268b caminho com menor Usando apenas as duas leis de Kirchhoff resolvemos um grande nuimero de resistncia problemas de circuitos elétricos Geralmente alguns valores da fem das fontes das correntes e das resisténcias séo conhecidos outros nao Usando as leis de Kirch hoff devemos sempre obter um ntiimero de equag6es igual ao nimero de incdgnitas a fim de resolver simultaneamente o sistema de equagdes Em geral a parte mais trabalhosa da solucao é 0 uso correto dos sinais algébricos Figura 268 Use estas convengoes de sinais quando aplicar a lei das malhas de Kirchhoff Em cada parte da figura Percurso é 0 sentido que imaginamos percorrer em torno da malha que nao é necessariamente o sentido da corrente a ConvengGes de sinais para fem b Convengées de sinais para resistores IR percurso no IR sentido de E sentido de de Pereurso Ho de para ercurso de para sentido oposto ao sentido igual percurso P 2 P P da corrente ao da corrente Percurso Percurso Percurso Percurso 1 I E E R R ESTRATEGIA PARA A SOLUGAO DE PROBLEMAS 262 LEIS DE KIRCHHOFF IDENTIFICAR os conceitos relevantes as leis de Kirchhoff sao corrente e toda fem desconhecida Caso 0 sentido real de uma ferramentas importantes para a analise de qualquer circuito dada grandeza seja oposto ao sentido escolhido vocé encon elétrico trard um sinal negativo na resposta da referida grandeza 2 Quando vocé identifica as correntes em um diagrama em PREPARAR o problema por meio das seguintes etapas Q ar rer e ar geral é mais conveniente aplicar inicialmente a lei dos nds 1 Faga um desenho para o diagrama do circuito de modo que x como na Figura 269 para expressar as correntes em funao haja espaco suficiente para anotar todas as grandezas conhe ge do menor ntimero possivel de grandezas cidas e desconhecidas Escolha e indique os sentidos para 3 Determine quais erandezas so as incéenitas toda corrente e toda fem desconhecida As leis de Kirchhoff d g g forneceréo os mddulos e os sentidos corretos para toda EXECUTAR a solucdo conforme segue Continua 188 Fisica Ill Continuagdo 1 Para aplicar a lei das malhas escolha qualquer malha do 5 Resolva o sistema de equag6es simultaneamente para de circuito e indique um sentido horario ou antihorario para terminar as inc6gnitas percorréla O sentido do percurso nao precisaseromesmo 6 Vocé pode usar a mesma convengfo de sinais para deter escolhido para a corrente minar uma diferenga de potencial V de um ponto a em 2 Percorra a malha no sentido que vocé escolheu somando relagéo a qualquer outro ponto b Comece no ponto b e com algebricamente as diferengas de potencial 4 medida que a mesma convengao de sinais da etapa 2 some todas as atravessa cada elemento Use as convencoes de sinais da diferengas de potencial encontradas ao percorrer 0 circuito Figura 268 de b até a A soma algébrica dessas diferengas de potencial 3 Iguale a zero a soma algébrica obtida na etapa 2 de acordo fornecera Va Va Vp com a lei das malhas AVALIAR sua resposta confira todas as etapas das operacgdes 4 Caso seja necessario obter mais equag6es independentes algébricas Aplique as etapas 1 e 2a uma malha diferente das escolha outra malha e repita as etapas a3 continue esse usadas para solucionar os problemas se a soma das quedas procedimento até chegar a um nimero de equag6es inde de potencial em torno dessa malha for diferente de zero ha pendentes igual ao numero de incégnitas ou até cada ele um erro em algum ponto nos calculos mento do circuito ter sido incluido em pelo menos uma das malhas escolhidas Figura 269 A aplicacao da lei dos nés ao ponto a reduz o numero de correntes incdgnitas de trés para dois a Trés correntes desconhecidas J 1 b A aplicagao da lei dos nés ao ponto a elimina J rr Ej ry rn a no R a Ry R a Ry AUPE UM CIRCUITO COM UMA UNICA MAHA snnninnnnnnnn O circuito indicado na Figura 2610a contém dois resistores e b Para calcularmos V a diferenga de potencial de a em relacao duas baterias cada uma delas com uma fem e uma resisténcia a b partimos do ponto b e fazemos a soma algébrica de todas interna Calcule a a corrente no circuito b a diferenga de po as diferengas de potencial até chegar ao ponto a Existem dois tencial V e c a poténcia de cada fem percursos para ir de b até a usando o percurso inferior obtemos 4V 4 SOLUGAO Vip 05 A 7 QO 4V 05 A 40 95 V IDENTIFICAR E PREPARAR tratase de um circuito simples O ponto a possui um potencial 95 V mais elevado que o potencial com uma Unica malha e que nao possui nenhum n6 portanto do ponto b Todos os termos dessa soma incluindo os termos no precisamos da lei dos nés de Kirchhoff Para aplicarmos aR sao positivos porque cada um deles representa um aumento lei das malhas de Kirchhoff a esse circuito com uma tinica malha 0 potencial quando vamos de b até a Considerando 0 percurso inicialmente escolhemos um sentido para a corrente Vamos ele SUPEerlor encontramos ger o sentido antihorario conforme indicado na Figura 2610a V 12V 05 A 29 05 A BQ 95V EXECUTAR a partindo do ponto a percorra a malha no sen tido antihordrio faca a soma algébrica de todas as diferencgas de Na relagao anterior os termos R sao negativos porque o potencial ao longo do percurso e iguale o resultado a zero como sentido do percurso é 0 mesmo da corrente 0 que provoca uma na Equagao 266 diminuic4o de potencial ao atravessar cada resistor O resultado obtido é o mesmo nos dois percursos como era esperado uma W4 QO 4V 17D 12V 12D 13 O 0 vez que a variacgao total da diferenga de potencial ao longo do Agrupando os termos que contém e explicitando J encontramos circuito completo deve ser igual a zero erup q P c As poténcias fornecidas pela fem das baterias de 12 V e de 8V1160 e I05A 4 V sao O resultado obtido para J é positivo o que mostra que o sentido Pray Ef 12 V 05 A 6 W escolhido para a corrente é correto Pyy El 4V 05 A 2 W Continua Capitulo 26 Circuitos de corrente continua 189 Continuagdao O sinal negativo de da bateria de 4 V surge porque acorrente fornecidos pela bateria de 12 V 2 W sao armazenados na bateria percorre a bateria do terminal com potencial mais elevado parao de 4 V e 4 W sao dissipados nos resistores terminal com potencial mais baixo O valor negativo de Pindica Circuito indicado na Figura 2610a é semelhante ao usado que a bateria consome poténcia porque esté armazenando energia 0 4SO0 real quando uma bateria de automével de 12 V carrega Z a bateria de outro automével que estava descarregada Figura e esta sendo recarregada pela bateria de 12 V caso seja de fato a 2610b Os resistores de 3 Oe 7 Ona Figura 2610a represen recarregdvel caso contrario esta sendo destruida 5 tam os cabos condutores e os conectores usados para ligar as AVALIAR aplicando a formula P R a cada um dos quatro Lon x duas baterias Os valores das resisténcias no exemplo real sao resistores da Figura 2610a vocé deve ser capaz de mostrar que consideravelmente menores e a fem de uma bateria de automovel a poténcia total nos quatro resistores igual a4 W Dos 6 Wdescarregada nao muito inferior a 12 V Figura 2610 a Neste exemplo percorremos a malha do circuito no mesmo sentido que escolhemos para a corrente de modo que todos os termos JR sao negativos O potencial diminui quando vocé atravessa a fem inferior do para o porém aumenta quando vocé atravessa a fem na parte superior do para o b Um exemplo real de um circuito do tipo analisado aqui a b 20 12V th d Bateria Bateria escarregada b e carregada yo A Ha ys PRE pod JN AY Ue SS ercurso L192 NO KS a 0 Ln AG a 30 I NA I 70 a NIN SO 7 co WIN a BCS a FT a Or 4Q 4V AS UTEUAE CARREGANDO UMA BAT ERI cmnnunnnnnninnninnnninnnnnnnnnne O circuito indicado na Figura 2611 contém uma fonte de tensao AVALIAR experimente aplicar a lei dos nds no ponto b em vez de 12 V com resisténcia interna desconhecida r conectada a de no ponto a e experimente aplicar a lei das malhas no sentido uma bateria descarregada com fem desconhecida e resisténcia antihordrio em vez de no sentido horario em torno da malha 1 interna igual a 1 e com uma lampada de 3 0 de resisténcia que Vocé obtera os mesmos resultados para J e r Podemos usar a transporta uma corrente de 2 A A corrente que passa na bateria malha 3 para conferir 0 resultado obtido para descarregada é igual a 1 A no sentido indicado Calcule r a fem Eeacorrente através da fonte de tensao 12VGA2Q CAVA E0 a partir do qual concluimos novamente que 5 V SOLUCAO Para uma verificagao adicional da consisténcia do resultado no IDENTIFICAR E PREPARAR este circuito possui mais de uma Mos que Vjq Vi Va igual a voltagem através do resistor malha portanto devemos aplicar tanto a lei dos nés quanto a de 3 Q dada por 2 A 3 Q 6V Percorrendo 0 ramo da malha das malhas Assumimos o sentido da corrente que passa pela Superior dea para b encontramos a diferenga de potencial 12 V fonte de energia de 12 V e a polaridade da bateria descarregada 3 A 2 Q 6 Ve percorrendo Famo central obtemos conforme indicado na Figura 2611 Ha trés incdégnitas portanto 5V LA 1 Q 6 V As trés maneiras de calcular necessitamos de trés equacées Vpa forneceram os mesmos resultados EXECUTAR aplicamos a lei dos nos Equagao 265 a0 ponto a Figura 2611 Neste circuito uma fonte de tensdo carrega uma bateria descarregada e acende uma l4mpada Fizemos uma I 1A2A0 portanto 13A hipotese sobre a polaridade da fem da bateria descarregada Para determinarmos r aplicamos a lei das malhas Equagao 266 SS hipotese esta correta para a malha externa designada por 1 a 12V BAr 2A 30 0 portanto r20 2 3 Dv Para determinarmos aplicamos a lei das malhas para a malha 2 a 30 1 a 10 i designada por 2 E1A1Q 2A BQ0 portanto ES5V O valor negativo de mostra que a polaridade real dessa fem é oposta a indicada na Figura 2611 Como indicado no Exemplo 263 a bateria esta sendo recarregada 190 Fisica Ill SAUTE POTENCIA EM UM CIRCUITO PARA CARREGAR UMA BATERIA No circuito do Exemplo 264 indicado na Figura 2611 encon A poténcia da fem da bateria que esta sendo carregada é tre a poténcia fornecida pela bateria de 12 V e a da bateria que dada por esta sendo carregada calculando a poténcia dissipada em cada resistor Prem Elpateria 5 V 1 A 5 W SOLUGAO A potencia é negativa porque a corrente de 1 A circula através da bateria do terminal com potencial mais elevado para 0 com IDENTIFICAR E PREPARAR usamos OS resultados da Seg4o potencial mais baixo Conforme dissemos no Exemplo 264 a 255 segundo Os quais a poténcia fornecida por uma fem para polaridade atribuida para essa bateria na Figura 2611 estava er um circuito é Ele 4 potencia fornecida para um resistor por um yada A medida que a bateria se carrega ela acumula energia circuito V IR Conhecemos os valores de todas as gran Uma poténcia adicional dissipada em sua resisténcia interna dezas relevantes a partir do Exemplo 264 essa poténcia dada por EXECUTAR a poténcia fornecida pela fem da fonte é Pbateria Tpateria Tbateria 1 A dQ1W Pronte Efontelfonte 12 V 3 A 36 W A poténcia total fornecida para essa bateria é portanto 1 W A poténcia dissipada na resistncia interna r da fonte dada por 5 wi 6 W Desse total 5 W representam energia Util arma 2 2 zenada na bateria e o restante corresponde 4 energia dissipada Prfonte Monte Tione G AY 2 0 18 W em sua resisténcia interna portanto a fonte fornece uma poténcia liquida Pig 36 W A poténcia dissipada na lampada dada por 18 W 18 W Alternativamente pelo Exemplo 264 a voltagem 2 2 Pig ha Rig QA Q 12 W nos terminais da bateria é dada por V 6 V logo a poténcia lampada iampada Rtampada 2 A 3 2 liquida fornecida pela fonte é AVALIAR a titulo de verificacgao observe que toda a poténcia da fonte é contabilizada Dos 18 W da poténcia total fornecida pela Priquida Voalione 6 V 3 A 18 W fonte 5 W sao gastos para carregar a bateria 1 W é dissipado em sua resisténcia interna e 12 W sao dissipados na lampada ASCE UM CIRCUITO COMPLEX innninnnnnnn A Figura 2612 mostra um circuito ponte como o descrito no 72V1130 1 6A inicio desta segao veja a Figura 266b Calcule a corrente que circula em cada resistor e a resisténcia equivalente do circuito Substitufmos o resultado anterior na Equacao 1 para obter com os cinco resistores I 1Ae pela Equac4o 3 encontramos Jy 5 A O valor negativo de J mostra que seu sentido é contrario ao sentido que SOLUCAO escolhemos Coe A corrente total no circuito equivalente é igual a J 11 A IDENTIFICAR E PREPARAR esse circulto nao pode serrepre gg queda de potencial através do resistor equivalente é dada sentado como combinagoes de ligacoes em série ou em paralelo pela fem da bateria 13 V Portanto a resisténcia equivalente do Portanto temos de usar as leis de Kirchhoff para obter os valores Gireyito é dada por das incdégnitas Existem cinco correntes diferentes para serem determinadas porém aplicandose a lei dos nds para a e b po R 13 V 120 demos representalas usando trés correntes desconhecidas 15 eq 11A e Jz como indicado na Figura 2612 EXECUTAR aplicamos a lei das malhas para as trés malhas AVALIAR vocé pode verificar os resultados obtidos para J 1 indicadas e Jz substituindo esses valores nas trés equagées 1 2 e 3 Qual é 0 resultado 13VhdQ Wd d QD 0 1 110 bh h 29 13V 0 2 Figura 2612 Um circuito com diversos resistores 2 h1Q 1310 HQ 0 3 Oe Um procedimento direto consiste em explicitar da Equagao I ly 3 obtendose J J J a seguir eliminamos substituindo 1 x IN essa expressdo nas equac6es 1 e 2 Depois dessa substituigao encontramos as duas equacoes a seguir 13V a b 13 V 120 Bd 9 1 13V 139 B69 2 ne uf N Wh h Agora podemos eliminar 3 multiplicando a Equacao 1 por 5 hah e somando as duas equacgdes Obtemos Capitulo 26 Circuitos de corrente continua 191 ASAE DIFERENCA DE POTENCIAL EM UM CIRCUITO COMPLEXO nnn No circuito do Exemplo 266 Figura 2612 calcule a diferenga uma queda de potencial cujo médulo é 13IR 1 A 1 Q 1V de potencial Vp Portanto V 1 V e 0 potencial do ponto a é 1 V menor que 0 potencial do ponto b SOLUGAO AVALIAR alternativamente podemos seguir um percurso de IDENTIFICAR E PREPARAR a incégnita é Vay Va Vp que b até a através dos dois resistores inferiores As correntes que 0 potencial no ponto a em relagdo ao ponto b Para determinar Passam nesses resistores sao dadas por mos V inicialmente partimos do ponto b e seguimos qualquer caminho até a somando todas as diferengas de potencial ao longo hhSAlA4A hb6A1A7A do percurso Podemos seguir qualquer trajetéria de b para a 0 e portanto valor de V deve ser independente do caminho escolhidoo que P fornece uma forma natural de conferir o resultado obtido Vip 4A 29 TA U0 1V EXECUTAR o caminho mais simples é ao longo do resistor cen tral de 1 O No exemplo anterior obtivemos J 1 Ao que Sugerimos que vocé tente outros percursos do ponto b até a para mostra que a corrente real nesse ramo do circuito é da direita para verificar se todos eles fornecem 0 mesmo resultado a esquerda Logo quando percorremos 0 ramo de b para a ocorre TESTE SUA COMPREENSAO DA SEGAO 262 Subtraia a Equacao 1 da Equacio 2 no Exemplo 266 A qual malha na Figura 2612 essa equac4o corresponde Essa equacaéo teria simplificado a solugaéo do Exemplo 266 I 263 INSTRUMENTOS DE MEDIDAS ELETRICAS Nos dois capitulos anteriores tratamos de diferenga de potencial corrente e Figura 2613 Tanto o amperimetro resisténcia porém até o momento nao dissemos nada a respeito da medida dessas 0 topo quanto o voltimetro sys ae embaixo sao galvandmetros de grandezas Muitos dispositivos comuns incluindo instrumentos de painéis de au oe oe dArsonval A diferenca depende tomoveis carregadores de baterias e instrumentos eletricos baratos medemuma gag respectivas conexoes internas diferenga de potencial uma corrente ou uma resisténcia mediante o uso do galva veja a Figura 2615 nometro de dArsonval Figura 2613 Na discussao a seguir vamos chamalo simplesmente de galvanémetro Uma bobina pivotada feita com um fio fino é colocada no campo magnético de um ima permanente Figura 2614 A mola acoplada a bobina é semelhante 4 mola helicoidal ligada ao balancim de um rel6gio Na posicao de equilibrio quando nao passa nenhuma corrente na bobina o ponteiro esta sobre 0 zero Quando passa uma corrente na bobina 0 campo magnético exerce um torque sobre a bobina proporcional a4 corrente que esta passando Discutiremos a essa interagdo magnética em detalhes no Capitulo 27 A medida que a bobina gira a mola exerce um torque restaurador proporcional ao deslocamento angular Portanto a deflexaéo angular da bobina e do ponteiro é diretamente proporcio nal a corrente que passa na bobina e 0 dispositivo pode ser calibrado para medir Figura 2614 Um galvanometro de O torque do campo O torque da mola Ar owval mostr ando a bobina pivotada magnético tende a afastar tende a aproximar acoplada a um ponteiro um ima oponteiro 4 0 ponteiro do zero permanente que fornece um campo do zero zz rom magnético com médulo constante e a mola que proporciona o torque restaurador 0 qual se op6e ao torque do campo magnético y CZs sey SN Ie Hy LS PYS Campo ESF magnético ima Eixo de Bobina pivotada permanente ferro doce 192 Fisica lll a corrente A deflexado maxima em geral da ordem de 90 denominase deflexdo do fundo da escala ou deflexdo completa da escala As caracteristicas elétricas es senciais de um galvan6metro sao a corrente J necessaria para produzir a deflexao do fundo da escala em geral da ordem de 10 uA a 10 mA e a resisténcia Ry da bobina normalmente da ordem de 10 a 1000 Q A deflexao do galvanémetro é diretamente proporcional 4 corrente que passa na bobina Caso a resisténcia da bobina obedega a lei de Ohm a corrente propor cional a diferenca de potencial entre os terminais da bobina e a deflex4o também é proporcional a essa diferenga de potencial Por exemplo considere um galva ndmetro com Ry 200 1 e que sofre uma deflexaio completa da escala quando a corrente é J 100 mA A diferenga de potencial correspondente para essa deflexaéo completa da escala é dada por V IfeRp 100 X 1077 A 200 Q 00200 V Figura 2615 Usando 0 mesmo instrumento para medir a corrente e b voltagem a Um amperimetro Am perimetros com bobina mével Um instrumento comum de medida de corrente elétrica 0 amperimetro ou miliamperimetro microamperimetro etc dependendo do intervalo de medida Um amperimetro sempre mede a corrente que passa através dele Um amperimetro o ideal discutido na Segao 254 deveria ter resisténcia zero de modo que quando conectado ao ramo de um circuito nao afetaria a corrente que passa nesse ramo Os amperimetros reais possuem uma resisténcia finita contudo é sempre desejavel Oreo que a resisténcia do amperimetro seja a menor possivel Sempre é possivel adaptar um galvanémetro para medir uma corrente maior que a que produz uma deflex4o completa da escala conectandose um resistor em b Um voltimetro com bobina movel paralelo com a bobina Figura 2615a de modo que uma parte da corrente des viada da bobina para o resistor O resistor ligado em paralelo denominase resistor shunt ou simplesmente shunt e designado pelo simbolo Rg A Suponha que vocé queira fazer um galvandémetro com resisténcia Ry e corrente Ry I se transformar em um amperimetro com corrente Para determinar a resistén R cia necessaria do shunt Ryy note que para a nova deflex4o completa da escala a el corrente que deve passar na combinacao em paralelo é a corrente que passa na a b bobina do galvandémetro deve ser e a corrente que passa no shunt deve ser I Ife o A diferencga de potencial V a mesma para os dois caminhos logo docircuito I I TreRp Ua TteRsh para um amperimetro 267 ual é a resisténcia do shunt que devemos usar para transformar 3 O valvandmetea de 100 mA 200 Q descrito anteriormente em Roy TisRe A n um amperimetro com um intervalo de medida de 0 até 500 mA I tts 500 X 10 A 100 x 10 A 0408 0 SOLUGAO IDENTIFICAR E PREPARAR como o instrumento est4 sendo AVALIAR é util considerar a resistencia equivalente Reg do ins usado como um amperimetro suas conexGes internas séo como trumento como um todo Pela Equacao 262 as indicadas na Figura 2615a A incégnita do problema a resis l 17 1 1 1 tencia do shunt Rsp que encontraremos usando a Equacao 267 Req ix ata can Desejamos que 0 amperimetro seja capaz de medir uma corrente maxima J 500 mA X 103 A A resisténcia da bobina é R 0400 0 200 Q e o galvanémetro mostra a deflexéo completa da escala quando a corrente que passa pela bobina Ij 100 X 107 A A resisténcia do shunt t40 pequena em comparagao a do galva EXECUTAR explicitando R da Equacao 267 encontramos nometro que a resisténcia equivalente é aproximadamente igual Continua Capitulo 26 Circuitos de corrente continua 193 Continuagdao a do shunt Essa resisténcia do shunt fornece um amperimetro corrente no shunt é igual a 490 mA e V 00200 V Quando a com uma resistncia equivalente pequena e o intervalo de medida corrente J é menor que 500 mA a corrente na bobina e a deflexao desejado de 0 até 500 mA Para a deflexao completa da escala s4o proporcionalmente menores I 1 500 mA a ccorrente no galvanémetro é de 100 mA a Voltimetros Esse mesmo galvanémetro basico pode ser usado para medir uma diferenga de Bj09 Aplicagdo Eletromiografia potencial ou voltagem Um instrumento destinado a medir voltagens denominase Uma agulha fina contendo dois eletrodos voltimetro ou milivoltimetro etc dependendo do intervalo de medida Um vol esta sendo inserida em um musculo na timetro sempre mede a diferenca de potencial entre dois pontos e seus terminais do paciente Ao utilizar um voltimetro devem ser conectados a eles O Exemplo 256 na SecAo 254 mostrou 0 que sensivel para medi a diferenga de P Gao q potencial entre esses eletrodos 0 médico pode ocorrer quando um voltimetro conectado de modo incorreto Conforme pode gondar a atividade elétrica do discutimos na Secdo 254 um voltimetro ideal deveria possuir uma resisténcia musculo Esta é uma técnica importante infinita de modo que quando conectado entre dois pontos de um circuito ele nao para 0 diagnostico de doengas alteraria nenhuma das correntes Voltimetros reais sempre possuem uma resistén neurologicas e neuromusculares cia finita porém um voltimetro deve ter uma resisténcia tao elevada que quando conectado entre dois pontos de um circuito nao deve alterar significativamente nenhuma corrente Para o galvanémetro descrito no Exemplo 268 a voltagem nos terminais da i bobina do galvanémetro para a deflexéo completa da escala era apenas Ry 100 X 107A 200 Q 00200 V Podemos estender esse intervalo de medida Ripe a 7 conectando uma resisténcia R em série com a bobina Figura 2615b Entao somente uma fracao da diferena de potencial sera aplicada sobre a propria bobina e a diferenca de potencial restante sera aplicada sobre R Para um voltimetro cuja leitura para a deflexao completa da escala seja igual a Vy precisamos usar um resistor em série com resisténcia R na Figura 2615b tal que Vy TpeRp Rs para um voltimetro 268 SUTTER PROJETO DE UM VOLTIMETRO niin Qual a resisténcia em série que devemos usar para transformar AVALIAR para a deflex4o completa da escala V 100 V a o galvanémetro de 100 mA e 200 descrito anteriormenteem yoltagem através do galvanémetro é de 00200 V a voltagem um voltimetro com um intervalo de medida de 0 até 100 V através do resistor Rs é igual a 998 V e a corrente que passa no voltimetro é de 000100 A Logo a maior parte da voltagem SOLUGAO ocorre através do resistor em série A resisténcia equivalente do IDENTIFICAR E PREPARAR como esse instrumento esta sendo instrumento dada Por Reg 200 OF 9980 2 10000 que é um valor muito alto como desejamos Tal instrumento descreve usado como um voltimetro suas conexG6es internas sao como cc As Lae a ws um galvanémetro de 1000 ohms por volt fazendo referéncia as indicadas na Figura 2615b A voltagem maxima permitida to 2 ty a razdo entre a resisténcia e a voltagem da deflexéo completa da através do voltimetro é Vy 100 V Desejamos que isso ocorra se 3 escala Em operacao normal a corrente que passa no elemento quando a corrente que passa pela bobina é J 100 x 10 A oo oo Z to Z LA a do circuito cuja diferenca de potencial esta sendo medida J na A incégnita do problema a resisténcia em série R que obtemos aa eee x Figura 2615b é muito maior que 000100 A e a resisténcia entre pela Equacao 268 tos ae b do circuito é muito menor que 10000 2 Portanto EXECUTAR explicitando R na Equacao 268 obtemos os pom ord reas o voltimetro retira uma corrente muito pequena do circuito e W 100 V perturba apenas ligeiramente 0 circuito que esta sendo medido R R 2009 998300 Tie 000100 A Combinagao de amperimetros e voltimetros Um amperimetro e um voltimetro podem ser usados juntos para medidas de resisténcia e de poténcia A resisténcia R de um resistor é igual a diferenca de potencial V entre seus terminais dividida pela corrente J ou seja R VgpI A poténcia P fornecida a qualquer elemento do circuito é 0 produto da diferenga de 194 Fisica Ill potencial entre seus terminais e a corrente que 0 atravessa P V Em principio a maneira mais direta para obter R ou P consiste em medir simultaneamente V e I Porém com voltimetros e amperimetros praticos isso nao é tao simples como parece Na Figura 2616a o amperimetro A Ié a corrente no resistor R Porém o voltimetro V 1é a soma da diferenga de potencial V entre os terminais do resistor ea diferenga de potencial V através do amperimetro Substituindo o terminal do voltimetro de c para b como indicado na Figura 2616b o voltimetro mede corre tamente a diferenga de potencial V porém o amperimetro passa a ler a soma da corrente J que passa no resistor com a corrente y que passa no amperimetro Em qualquer dos dois casos seria necessario corrigir a leitura de um instrumento ou do outro a menos que as corregOes sejam tao pequenas a ponto de serem desprezadas Figura 2616 Uso simultaneo do amperimetro e do voltimetro para medida da resisténcia a R b a R b c a R b a c Ry Ry O voltimetro do circuito indicado na Figura 2616a 1é 120 Ve partir da corrente e da resisténcia que sao conhecidas A seguir o amperimetro 0100 A As resisténcias dos instrumentos sao explicitamos V e R Obtidos esses valores seremos capazes de Ry 10000 Q para o voltimetro e Ra 200 0 parao amperi calcular a poténcia P no resistor metro Qual é 0 valor de R e que poténcia é dissipada no resistor EXECUTAR pela lei de Ohm obtemos V JRa 0100 A 200 0 0200 V e Vy IR A soma é V 120 V portanto SOLUGAO a diferenga de potencial no resistor é V V Vp 120 V a 0200 V 118 V entio a resisténcia é IDENTIFICAR E PREPARAR o amperimetro 1é a corrente I 0100 A através do resistor e o voltimetro 1é a diferenga de Vib 118 V potencial entre a e c Caso o amperimetro fosse ideal ou seja R Tr 0100 A 1180 Ra 0 a diferenca de potencial entre b e c seria igual a zero a leitura do voltimetro V 120 V seria igual 4 diferengade a poténcia dissipada no resistor dada por potencial V através do resistor e a resisténcia seria dada por R VI 120 V0100 A 120 O amperimetro porém PVI 118 V 0100 A 118 W nao é ideal sua resisténcia é Ra 20 Q portanto a leitura do voltimetro V é na verdade a soma das diferencas de potencial AVALIAR vocé pode conferir esse resultado para a poténcia Vp através do amperimetro e V através do resistor Usamos usando a férmula alternativa P PRA resposta é a mesma a lei de Ohm para obter a voltagem V através do amperimetro a Suponha que os instrumentos do Exemplo 2610 sejam conec do voltimetro V 120 V indica a diferenca de potencial V tados a outra resisténcia desconhecida usando o circuito indi através do resistor mas a leitura do amperimetro J 0100 A cado na Figura 2616b e que as leituras obtidas sejam iguais as diferente da corrente J que passa no resistor Aplicando a lei do Exemplo 2610 Qual é 0 valor da nova resisténcia Re que dos nés no ponto b da Figura 2616b temos que J I ly poténcia é dissipada no resistor onde Jy é a corrente que passa pelo voltimetro Determinamos ly a partir dos valores dados de V e da resisténcia do voltimetro SOLUGAO Rye usamos esse valor para determinar a corrente do resistor I Se A seguir obtemos a resisténcia R de J e a leitura do voltimetro IDENTIFICAR E PREPARAR no Exemplo 2610 0 amperimetro e calculamos a poténcia como no Exemplo 2610 registrou a corrente real que passava pelo resistor mas a lei EXECUTAR obtemos Iy VRy 12 V10000 Q 120mA tura do voltimetro nao era a mesma que a diferenga de potencial Logo a corrente J que passa no resistor dada por J I Iy através do resistor Neste caso a situacdo se inverte a leitura 0100 A 00012 A 00988 A e a resisténcia é dada por Continua Capitulo 26 Circuitos de corrente continua 195 Continuagdao Vip 120 V VI 120 V X 0100 A 12 W tanto neste exemplo quanto R TT 00988 A 1210 no Exemplo 2610 Os resultados verdadeiros corretos nao sao muito diferentes em ambos os casos Isso ocorre porque 0 ampe A poténcia dissipada no resistor é dada por rimetro e 0 voltimetro sao praticamente ideais em comparacéo com a resisténcia R em teste a resisténcia do amperimetro Ra é P V1 120 V 00988 A 119W muito pequena e a resisténcia do voltimetro Ry é muito grande Nessas condig6es tratar os instrumentos de medig4o como se AVALIAR caso os instrumentos de medicdo fossem ideais nos fossem ideais conduz a resultados muito bons trabalho preciso sos resultados teriam sido R 120 V0100 A 120 Qe P requer calculos como nesses dois exemplos Ohmimetros Um método alternativo para medir uma resisténcia consiste em usar um galva Figura 2617 Circuito de um ndmetro de dArsonval mediante um arranjo chamado ohmimetro Tratase de ohmimetro O resistor R possui um galvan6metro conectado em série com um resistor e com uma fonte de tensio TSistncia varidvel conforme soa tA indicado pela seta que corta o geralmente uma pilha como indicado na Figura 2617 A resisténcia R que de simbolo do resistor Para usar o sejamos medir é conectada entre os pontos x e y ohmimetro inicialmente conecte x a A resisténcia em série R é variavel ela é ajustada de modo que 0 pontox forme ye ajuste R até que a leitura do um curtocircuito com o ponto y ou seja quando R 0 entéo o galvanOmetro instrumento seja zero A seguir sofre uma deflexdo completa em sua escala Quando nao existe nada conectando Conete os terminais do resistor R 2 2 nos pontos x e ye leia o valor da Os pontos x y ou seja quando o circuito entre x e y esta aberto isto quando 5s ssncia na escala R nao existe nenhuma corrente e portanto nenhuma deflex4o Para qualquer valor de R entre esses limites a deflexao depende do valor de R e a escala do gal vanometro pode ser calibrada para medir R diretamente Correntes mais elevadas correspondem a menores resisténcias portanto a leitura da escala é feita de tras co 0 para a frente em comparacao a escala que mostra as correntes Nos casos em que se requer maior preciso os instrumentos que empregam galvanometros de d Arsonval foram superados pelos instrumentos eletr6nicos com ER E mostradores digitais Tais instrumentos s40 mais precisos estaveis e mecanica mente mais resistentes que os instrumentos que usam galvandémetros de d Arsonval y Um voltimetro digital pode ser fabricado com uma resisténcia interna extremamente Cs elevada da ordem de 100 A Figura 2618 mostra um multimetro digital um instrumento capaz de medir voltagem corrente ou resisténcia em uma ampla gama R Potenci6metro O potenciémetro um instrumento que serve para medir a fem de umafonte sem Figura 2618 Este multimetro consumir nenhuma corrente dela ele também possui outras aplicacdes importan digital pode ser usado como um tes Essencialmente ele compara uma diferenca de potencial desconhecida a uma eee a eee Asm ou diferenga de potencial ajustavel e mensuravel chinimetro seg oonta verde O principio de funcionamento de um potencidmetro é esquematizado na Figura 2619a Os terminais a e b de um reostato de resisténcia total R estéo conectados permanentemente a uma fonte de fem conhecida Um contato deslizante c é conectado por meio de um galvanémetro G a uma fonte cuja fem desejamos 190 pe determinar A medida que o contato deslizante c se desloca ao longo do reostato a resisténcia R entre os pontos c e b varia se for um reostato uniforme a resisténcia aon R proporcional a distancia entre os pontos c e b Para determinar o valor de 5 nf 0 contato c deve ser deslocado até um ponto no qual o ponteiro do galvanémetro 4 Sy nao sofra nenhuma deflex4o isso corresponde a uma corrente nula no ramo do onl s circuito onde se encontra Fazendo J 0 a lei das malhas de Kirchhoff fornece J wt roe IRep Aer Quando 0 a corrente produzida pela fonte de fem possui o mesmo valor qualquer que seja 0 valor da fem 3 Recalibramos 0 dispositivo substituindo Ey por uma fonte de fem conhecida a seguir qualquer fem pode ser encontrada 196 Fisica lll Figura 2619 Um potencidmetro medindose o valor do comprimento cb para 0 qual J 0 Note que para que isso a Circuito de um potenciémetro funcione Vp deve ser maior que a fem E O termo potenciémetro também é usado para qualquer resistor variavel geral mente tendo um elemento de resisténcia circular e um contato deslizante controlado por um eixo acoplado a um botao O simbolo de um potencidmetro em circuitos I I I elétricos é indicado na Figura 2619b b TESTE SUA COMPREENSAO DA SEGAO 263 Vocé deseja medir a corrente que passa a L0 pelo resistor de 2 indicado na Figura 2612 Exemplo 266 Secao 262 assim como a 2 5 diferenga de potencial através dele a Como um amperimetro e um voltimetro devem ser conectados a esse resistor i Amperimetro e voltimetro ligados em série com o resistor ii amperimetro em série com o resistor de 2 0 e voltimetro conectado entre os pontos b Gg e d iii amperimetro conectado entre os pontos b e d e voltimetro em série com 0 resistor Ey r iv amperimetro e voltimetro conectados entre os pontos b e d b Quais resisténcias esses instrumentos devem ter i As resisténcias do amperimetro e do voltimetro devem b Simbolo de um ser maiores que 2 Q ii a resisténcia do amperimetro deve ser maior que 2 0 e a do vol potenciémetro timetro menor que 2 iii a resisténcia do amperimetro deve ser menor que 2 1 e a do resistor varidvel AVV voltimetro maior que 2 iv as resisténcias do amperimetro e do voltimetro devem ser menores que 2 1 264 CIRCUITOS RC Nos circuitos analisados até 0 momento tomamos qualquer fem e todas as re sisténcias como constantes independentes do tempo portanto os potenciais as correntes e as poténcias também sao independentes do tempo Porém no simples processo de carregar e descarregar um capacitor verificamos uma situacgao na qual ocorrem variagOes com o tempo das correntes das voltagens e das poténcias Muitos dispositivos incorporam circuitos em que um capacitor é carregado e descarregado alternadamente Dentre eles estao semaforos piscaalertas automo tivos e unidades de flash eletrénico Portanto é importante compreender o que ocorre nesses circuitos Figura 2620 Carregando um capacitor a Antes do fechamento Carregando um capacitor da chave a carga g é igual a zero Co b Quando a chave fechada no A Figura 2620 mostra como um circuito simples pode ser usado para carregar instante t 0 a corrente salta de um capacitor Denominase circuito RC um circuito que possui um resistor em zero para ER Com o passar do série com um capacitor como ilustrado na figura Idealizamos a bateria ou fonte de tempo q se aproxima de Ore a poténcia com uma fem constante e resisténcia interna nula r 0 e desprezamos corrente i tende a zero eA as resisténcias de todos os condutores usados nas conex6es a Capacitor inicialmente one descarregado Comegamos com 0 capacitor inicialmente descarregado Figura 2620a a se Chave guir em um dado instante 0 fechamos a chave completando 0 circuito e E aberta permitindo que a bateria seja carregada pela corrente Figura 2620b Do ponto de vie vista pratico a corrente comega no mesmo instante em todas as partes do circuito e a cada instante a corrente é a mesma em todas as partes i0 q0 ATENGAO Letras mintisculas indicam variacao no tempo Até este ponto tomamos as diferencas de potencial voltagens as correntes e as cargas como constantes e usamos a Rb c as letras maiusculas V I e Q respectivamente para designar essas grandezas Para dis tinguir uma grandeza constante da que varia com 0 tempo usaremos letras minisculas v b Capacitor carregando ie q para designar respectivamente as voltagens as correntes e as cargas varidveis com Chave Quando a o tempo Sugerimos que vocé adote essa convengéo em seus estudos fechada chave esta fechada a carga sobre Dea capacitor Como o capacitor da Figura 2620 esta inicialmente descarregado a diferenga samen com de potencial v através dele igual a zero em f 0 Para esse instante pela lei o tempo z es ai ta 4 enquanto a das malhas de Kirchhoff a voltagem v através do resistor R é igual a fem da corrente bateria A corrente inicial através do resistor que chamaremos de Jp é dada pela a R b diminui C lei de Ohm Jp UgR EVR Capitulo 26 Circuitos de corrente continua 197 A medida que 0 capacitor se carrega sua voltagem uv aumenta e a diferenca de potencial v através do resistor diminui 0 que corresponde a diminuiao da corrente A soma dessas duas voltagens é constante e igual a Depois de um longo tempo 0 capacitor fica completamente carregado a corrente tornase igual a zero e a diferenga de potencial v através do resistor se anula Entao a fem total surge nos terminais do capacitor e Up E Seja g a carga do capacitor e i a corrente no circuito apés um tempo depois de a chave ser fechada Escolhemos como sentido positivo da corrente aquele que corresponde ao fluxo de carga positiva que entra na placa esquerda do capacitor como indicado na Figura 2620b As voltagens instantaneas U Up Sao dadas por q Ugh iR Ube Cc Aplicando a lei das malhas de Kirchhoff obtemos eirn40 C 269 Ocorre uma queda de potencial igual a iR quando nos deslocamos de a para b e igual a gC quando nos deslocamos de b para c Explicitando i na Equagao 269 encontramos 4 i RRC 2610 No instante t 0 quando a chave esta inicialmente fechada 0 capacitor esta descarregado e portanto g 0 Substituindo g 0 na Equagao 2610 verificamos que a corrente inicial Ip é dada por Jy R como ja haviamos observado Se o capacitor nao estivesse conectado no circuito 0 iltimo termo da Equagao 2610 nao existiria entao a corrente seria constante e igual a ER A medida que a carga g aumenta 0 termo qRC tornase maior e a carga do capacitor tende a seu valor final o qual sera designado por Qy A corrente diminui e por fim se anula Quando i 0 a Equacao 2610 fornece E oO 5 pp CE 2611 R Re 2611 Note que a carga final QO nao depende de R A corrente e a carga do capacitor em funao do tempo so indicadas na Figura 2621 No instante em que a chave é fechada t 0 a corrente da um salto para seu valor inicial J R depois disso ela gradualmente tende a zero A carga do capacitor comega igual a zero e tende a seu valor final dado pela Equaao 2611 Or CE Figura 2621 Cor rente ie carga q a Grafico da corrente versus 0 tempo b Grdfico da carga do capacitor versus 0 tempo do capacitor em fungao do tempo para um capacitor em carga para um capacitor em carga para 0 circuito indicado na Figura i q 2620 A corrente inicial é Jj ea carga inicial do capacitor é igual a Io QO Bore zero A corrente tende a zero Oe assintoticamente e a carga do A corrente diminui capacitor tende assintoticamente a exponencialmente com 57 A carga sobre o seu valor final Q Ip2 2 tempo enquanto o Q2 capacitor aumenta Ipe F SK capacitor carregado exponencialmente com o tempo enquanto tende ao valor final Q t t O RC O RC 198 Fisica Ill Podemos deduzir express6es gerais para a corrente i e para a carga q em fungao do tempo Considerando nossa escolha do sentido positivo da corrente Figura 2620b i a taxa com a qual a carga positiva chega a placa esquerda positiva do capacitor logo i dqdt Fazendo essa substituigao na Equaao 2610 obtemos dq qd 1 TR TROT RET dt R RC RC Podemos reagrupar a expressdo na forma dq at qCé RC e a seguir integrando ambos os membros da equa4o encontramos qe t portanto podemos usar q e ft para os limites superiores Os limites inferiores sao q Oe t0 Re q CE 0 RC Quando fazemos a integracgao obtemos q CE t In CE RC Tomando a funcao exponencial de ambos os membros da equagao ou seja tomando a fungao inversa do logaritmo neperiano e explicitando g encontramos q CE gtRC BIO Aplicagao Marcapassos e CE capacitores Esta imagem de raio X mostra um marcapasso cirurgicamente implantado em um paciente com um nd Carga do capacitor Capacitancia Carga final do capacitor CE sinoatrial defeituoso essa parte do Circuito RC y ee re Y wR coracao é a que gera o sinal elétrico que capacitor q CEI e i Ol e t i 2612 estimula as batidas do coragao 0 circuito em carga fem dabateria Tempo apés Resisténcia do marcapasso contém uma bateria um Feenement ard atchone capacitor e uma chave controlada por um computador Para manter os batimentos regulares a chave descarrega 0 capacitor A corrente instantanea i nada mais é que a derivada da Equacao 2612 em relagiio e envia um impulso eletrico pelo eletrodo ao tempo ao coragao uma vez por segundo a fim de manter as batidas regulares A posigao da chave 6 entao invertida para que 0 Corrente fem da bateria Tempo apés fechamento da chave capacitor possa recarregar para 0 Circuito RC sy ED é ooecttne Corrente inicial proximo impulso capacitor i 1RC Jig R 2613 em carga dt R Marcapasso Eletrodo Taxa de variacgio daResistncia Capacitdncia 4 carga do capacitor ae Tanto a carga quanto a corrente sao fungdes exponenciais do tempo A Figura i Pad 2621a mostra um grafico da Equacao 2613 e a Figura 2621b explicita um grafico da Equagao 2612 Coragio Constante de tempo Depois de um tempo igual a RC a corrente em um circuito RC diminui por um valor 1e aproximadamente igual a 0368 em relagao a seu valor inicial Nesse Capitulo 26 Circuitos de corrente continua 199 instante a carga do capacitor atingiu 1 1e 0632 de seu valor final Qf CE O produto RC fornece a medida da velocidade durante o processo de carga do ca pacitor O produto RC denominase constante de tempo ou tempo de relaxacao do circuito sendo designado pela letra T tTRC 2614 constante de tempo para o circuito RC Quando o valor de t é pequeno 0 capacitor se carrega rapidamente quando é grande o tempo para carregalo é mais longo Se a resisténcia pequena a corrente flui com mais facilidade e 0 capacitor se carrega mais rapidamente Quando R é dado em ohms e C em farads t é dado em segundos Na Figura 262 1a 0 eixo horizontal representa uma assintota da curva Falando estritamente a corrente i nunca atinge exatamente o zero Porém quanto mais tempo esperamos mais préxima do zero ela se torna Depois de um tempo igual a 10RC a corrente passa a ser igual a 0000045 de seu valor inicial Analogamente a curva indicada na Figura 2621b tende assintoticamente a linha horizontal tra cejada assinalada com a ordenada Qy A carga g nunca atinge esse valor exato porém depois de um tempo igual a 1ORC a carga tornase igual a 0000045 do valor final Qs Convidamos vocé a verificar que 0 produto RC possui dimensdo de tempo Descarregando um capacitor Suponha agora que o capacitor da Figura 2621b ja esteja carregado com uma Figura 2622 Descarregando um carga Qo a seguir removemos a bateria do circuito RC e conectamos os pontos a capacitor a Antes de a chave ser ecaumachave aberta Figura 2622a Depois fechamos a chave e damos partida fechada no instante f 0 a carga do A 0 nstant Qy Enti it d capacitor Qo e a corrente zero ao cron6metro em hesse instante q Entao 0 capacitor se descarrega 4 No instante t depois de a chave através do resistor e sua carga diminui até zero ser fechada a carga do capacitor é g Novamente designamos por g a carga do capacitor em fungao do tempoe pori eacorrente é i O sentido real da a corrente varidvel com o tempo depois que a chave é fechada Na Figura 2622b corrente oposto ao indicado a fizemos a mesma escolha da Figura 2620b para o sentido positivo da corrente Tongo tempo tonto caren santo Assim a lei das malhas de Kirchhoff fornece a Equacao 2610 porémcom 0 s corrente ij tendem a zero ou seja a Capacitor inicialmente carregado dq qd Chave dt RC 2615 aberta A corrente i agora é negativa isso ocorre porque uma carga positiva q esta deixando a placa esquerda do capacitor na Figura 2622b de modo que a corrente possui 0 sentido oposto ao indicado na figura No instante t 0 quando g Qo eee 20 o a corrente inicial é dada por Ig QoRC i0 Para determinarmos q em fungao do tempo reagrupamos a Equagao 2615 no vamente mudando os nomes da variaveis para qge t e integramos Agora os limites R C para q sao de Qo até g Obtemos b Descarregando o capacitor qd d 1 1 t Gq ft dt Chave fechada Q 4 RC Jo Quando a t chaveé In 4 i fechada Qo RC a carga sobre 0 capacitor 4 eacorrente ite geeeeeseneeees nNici 1 ite mi Circuito RC Carga do a or a Carga inicial do capacitor ciminuem com capacitor em q Ope a Capaciténcia 2616 R C Po ae Tempo apés fechamento da chave Resisténcia 200 Fisica Ill A corrente instantanea i a derivada da equagdo anterior em relagao ao tempo oats Carga oD capacitor ene Circuito RC dq Qo os capacitor em pS eee aMaied Tempo apéso 2617 descarga dt RC AW eee fechamento Taxa de variacao da ee da chave carga do capacitor Corrente inicial QRC Figura 2623 A corrente i e a carga q do capacitor em fungao do tempo Os graficos da corrente e da carga sao indicados na Figura 2623 ambas as 56 wee indicago na pigure grandezas tendem exponencialmente a zero com o tempo Comparando esses re cores intl do capacitor Oo sultados com as equac6es 2612 e 2613 vemos que as expresses das correntes sao tanto i quanto q tendem a zero idénticas exceto o sentido de Jp A carga do capacitor tende a zero assintoticamente assintoticamente na Equacgao 2616 enquanto a diferenca entre g e Q tende a zero assintoticamente a Grafico da corrente versus 0 tempo na Equacao 2612 para um capacitor em descarga Consideragdes de energia permitem obter uma compreensao melhor do compor tamento de um circuito RC Enquanto o capacitor esta sendo carregado a bateria mn RC t fornece energia ao circuito com uma taxa instantanea P Ei A taxa instantanea de dissipacao de energia no resistor é i7R ea taxa instantanea de armazenamento hole TTT A corrente diminui 4 energia no capacitor iv igC Multiplicando a Equagao 269 por i obtemos o exponencialmente enquanto o capacitor é ig descarregado A corrente é i R 2618 1 negativa porque tem sentido Cc contrario ao da Figura 2622 oe A partir desse resultado concluise que uma parte da poténcia fornecida pela b Grafico da carga no capacitor versus bateria é dissipada no resistor i7R ea outra parte é armazenada no capacitor igC tempo para um capacitor em descarga A energia fotal fornecida pela bateria enquanto o capacitor esté sendo carregado 4 é igual 4 fem multiplicada pela carga total Q ou seja EQy A energia total arma Q A carga sobre 0 capacitor zenada no capacitor de acordo com a Equacao 249 é QO 2 Portanto exatamente diminui exponencialmente metade da energia total fornecida pela bateria armazenada no capacitor e a Qo2 ea an outra metade é dissipada no resistor E surpreendente que essa divisdo da energia e descarregado 4 Qde meio a meio nao dependa de C nem de R nem de Esse resultado também pode t ser obtido detalhadamente fazendose a integral sobre o tempo total para cada uma 0 RC das grandezas que indicam poténcia na Equagao 2618 AUPE CARREGANDO UM CAPACITOR i ntnnnnnnnnnnnnnnnn Um resistor com resisténcia 10 MO é conectado em sériecomum EXECUTAR a de acordo com a Equagao 2614 capacitor com 10 wF de capacitancia e com uma bateria de fem 6 6 igual a 120 V Antes de a chave ser fechada no instante t 0 T RC 10 X 10 0 10 x 10 F 10s 9 oO capacitor esta descarregado a Qual é a constante de tempo b De acordo com a Equacao 2612 b Qual é a fragao da carga final QO que esta sobre o capacitor do t 46s 1 é a fragao d te inicial quando 6s Qua é a fracao da corrente inicial g que 4g 1 eR 1 4469108 99 permanece quando t 46 s Or SOLUGAO c De acordo com a Equagao 2613 IDENTIFICAR E PREPARAR esta situagao é a mesma indicada i na Figura 2620 com R 10 MQ C 10 wFe 120VA n e IRC 6465108 9010 carga q e a corrente i variam com o tempo conforme a Figura 8 2621 As incdgnitas sao a a constante de tempo 7 b a raz4o qQr no instante t 46 s e c a razio iIg no instante t 46s AVALIAR depois de um tempo igual a 46 constantes de tempo A Equacio 2614 fornece t Para um capacitor que est4 sendo 0 capacitor esta 99 carregado e a corrente diminuiu para 10 carregado a carga dada pela Equacao 2612 e acorrente pela de seu valor inicial O circuito se carregara mais rapidamente Equaciio 2613 reduzindo uma constante de tempo com uma resisténcia menor Capitulo 26 Circuitos de corrente continua 201 O resistor e 0 capacitor do Exemplo 2612 s4o conectados no q 050 wC vamente como indica a Figura 2622 O capacitor possui carga t RC mo 10s MOC 23s 237 igual a 50 wC e comega a se descarregar quando a chave é fe chada no instante t 0 a Em que instante a carga do capacitor b De acordo com a Equaco 2617 para Oy 50 uC 50 X é igual a 050 wC b Qual é a corrente nesse instante 10C SOLUGAO i 20 51RC 50 X 10C 93 50 X 108A IDENTIFICAR E PREPARAR neste caso 0 capacitor esta sendo RC 10s descarregado portanto a carga q e a corrente i variam com 0 tempo conforme indica a Figura 2623 com Qy 50 X 10C AVALIAR a corrente na parte b negativa porque quando o Novamente temos RC 7 10s As incégnitas sao a 0 valor capacitor esta descarregando i possui sinal oposto ao que possui de para o qual g 050 wC e b o valor de i nesse instante quando estd carregando Poderfamos economizar o esforo para Primeiro usamos a Equacao 2616 para encontrar e entéo usa calcular eFC notando que no referido instante gq 010Qp de mos a Equacao 2617 para encontrar i acordo com a Equagao 2616 isso significa que e 010 EXECUTAR a de acordo com a Equagao 2616 o tempo t é dado por TESTE SUA COMPREENSAO DA SEGAO 264 A energia armazenada em um capacitor é igual a q2C Quando um capacitor é descarregado que fragao da energia inicial per manece apés um tempo decorrido equivalente a uma constante de tempo i Le ii 1e iii 1 Ie iv 1 Ie v a resposta depende da quantidade de energia armazenada inicialmente I 265 SISTEMAS DE DISTRIBUIGAO DE POTENCIA Concluimos este capitulo com uma breve discuss4o sobre aplicag6es praticas de sistemas de distribuicao de poténcia em residéncias e automéveis Os automéveis usam sistemas elétricos com corrente continua cc enquanto a distribuicdo da ener gia elétrica para uso comercial industrial e doméstico é feita por meio da corrente alternada ca em virtude da facilidade de aumentar ou diminuir a diferenga de potencial mediante o uso de transformadores Os conceitos basicos sobre a fiag4o e as conexOes podem ser aplicados para os dois tipos de corrente Discutiremos os circuitos de corrente alternada com detalhes no Capitulo 31 Lampadas motores e demais aparelhos elétricos sempre devem ser conecta dos em paralelo com a fonte de tens4o pelos fios fornecidos pela companhia de distribuicgao de energia elétrica ou provenientes da bateria e do alternador de um automével Se os aparelhos elétricos fossem conectados em série caso um apa relho queimasse todos os demais deixariam de funcionar veja o Exemplo 262 na Secao 261 O esquema basico do sistema de fiagaéo de uma casa é indicado na Figura 2624 Um dos fios da linha como chamamos 0 par de fios conduto Figura 2624 Diagrama Fusivel esquematico ilustrando uma Energia da companhia Fio com parte da rede de fios de uma de distribuigao de J tensiio casa Somente dois circuitos nergia eletrica JHE Luz da rede sao indicados as Tomadas as Chave Fio redes reais podem possuir de quatro até trinta circuitos Fusivel neutro As lampadas e os principal Fusivel eletrodomésticos podem ser i conectados as tomadas Os OO NV Y tenia O79 Luz fios usados para a conex4o mi EE com a terra que geralmente Chave Fio nao conduzem nenhuma neutro corrente nao sao mostrados Medidor Terra 202 Fisica lll res denominase fio neutro ele sempre conectado 4 terra existente no painel de entrada Para uma casa 0 terra é na realidade um eletrodo inserido no solo geralmente um bom condutor ou algumas vezes conectado aos canos de agua metalicos Os eletricistas costumam chamar um dos fios da linha de neutro que possui 0 mesmo potencial da terra e 0 outro fio de ligado ou com tensao o qual possui um dado potencial em relagAo a terra Muitos sistemas de distribuigao para uso doméstico apresentam duas linhas de tensdo com polaridades opostas em relagdo ao fio neutro Voltaremos a falar desses detalhes mais adiante No Brasil a voltagem nominal para uso residencial é da ordem de 110 V a 120 V porém em algumas cidades é possivel contratar 240 V para uso residencial Para corrente alternada que varia senoidalmente com 0 tempo esses nimeros representam o valor quadrdtico médio da voltagem o qual equivale a 12 do valor de pico da voltagem Na Secao 311 discutiremos essa questao em detalhes A corrente J que flui em um dispositivo depende da poténcia P dada pela Equagao 2517 P VI Logo I PV Por exemplo a corrente que passa em uma lampada de 100 W é dada por P 100W V 120V 083 A A poténcia fornecida para a lampada na realidade depende de sua resisténcia R Usando a Equagao 2518 a qual afirma que P VJ PRVR para um resistor concluimos que a resisténcia da l4mpada anterior em sua temperatura de operacao é dada por 2 2 parva Lise ou paw POM io I 083 A P 100 W De modo andalogo uma maquina de waffles de 1500 W consome uma corrente de 1500 W120 V 125 A e possui resisténcia em sua temperatura de ope racao igual a 96 Como a resistividade varia com a temperatura a resisténcia desses dispositivos consideravelmente menor quando eles estado frios Se vocé medir a resisténcia de uma lampada de 100 W com um ohmimetro cuja corrente fornecida é muito pequena e produz um aumento de temperatura desprezivel provavelmente encontraré um valor aproximadamente igual a 10 Quando vocé liga o interruptor essa pequena resisténcia produz uma corrente muito elevada que faz aquecer o filamento da lampada E por isso que quando a lampada ja foi usada por muito tempo e esta na iminéncia de se queimar em geral ela se queima quando vocé liga o interruptor Sobrecargas do circuito e curtoscircuitos A corrente maxima disponivel para um circuito individual é limitada pela re sisténcia dos fios Como discutimos na Sec4o 255 a perda de poténcia dada por PPR faz aquecer os fios e em casos extremos produz incéndio ou fusao dos fios Em geral na fiagao de uma casa se usa fio de calibre 12 Ele possui diametro de 205 mm e pode transportar com segurana uma corrente maxima da ordem de 20 A sem superaquecimento Didmetros maiores como o de calibre 8 326 mm ou calibre 6 411 mm sdo usados para aparelhos que consomem muita corrente como fornos elétricos e secadoras de roupa e fios de calibre 2 654 mm ou maiores sAo empregados na linha principal da qual provém a fiagao para as casas Os fusiveis e os disjuntores servem para protecdo contra sobrecarga e supera quecimento Um fusivel contém um fio feito com uma liga de estanho e chumbo com baixo ponto de fusao o fio se funde e interrompe o circuito quando uma corrente supera 0 valor maximo especificado para o fusivel Figura 2625a Um disjuntor um dispositivo eletromecanico que tem 0 mesmo objetivo usando um eletroima ou uma lamina bimetalica para desarmalo e interromper o circuito Capítulo 26 Circuitos de corrente contínua 203 Figura 2625 a O excesso de corrente fundirá o fio delgado de liga de chumbo e estanho que percorre a extensão do fusível dentro da cápsula transparente b A mudança neste disjuntor do circuito ocorrerá se a corrente máxima permitida for excedente a b quando a corrente máxima superar o valor especificado Figura 2625b O disjuntor tem a vantagem de poder ser armado depois que tiver sido desarmado voltando posteriormente a funcionar ao passo que um fusível depois de queimado deve ser substituído ATENÇÃO Fusíveis Quando seu sistema possui um fusível e você usa muitos aparelhos elétricos na mesma tomada o fusível se queima Não substitua o fusível por outro com especificação de corrente mais elevada se fizer isso correse o risco de incêndio por superaquecimento A única solução mais segura consiste em distribuir os aparelhos elé tricos em diversos circuitos As cozinhas modernas geralmente possuem três ou quatro circuitos separados de 20 A O contato entre um fio neutro e outro com tensão produz um curtocircuito Esta situação que pode ser provocada pela perda de isolamento ou por uma série de falhas mecânicas permite um caminho com resistência baixa gerando uma corrente muito elevada que produz incêndio ou fusão dos fios quando o sistema não é protegido por um fusível ou disjuntor veja o Exemplo 2510 na Seção 255 Uma situação igualmente perigosa ocorre quando um fio se parte formando um circuito aberto Isso é perigoso por causa das centelhas que podem surgir no ponto de contato exposto Na prática aprovada um fusível ou disjuntor é colocado somente no fio que possui tensão nunca no fio neutro Se um fusível fosse instalado no fio neutro e surgisse uma corrente elevada produzida por perda de isolamento ou qualquer outro motivo ele se fundiria O fio com tensão continuaria ativo no circuito e você poderia levar um choque ao tocar no fio ou em uma torneira Por um motivo semelhante o interruptor de parede de uma lâmpada sempre deve ser instalado no fio com tensão e nunca no fio neutro Uma proteção adicional contra os perigos de choque é proporcionada pelo fio terra incluído nas instalações modernas Esse condutor geralmente é ligado ao terminal redondo ou em forma de U das tomadas de parede com três orifícios e dos plugues com três pinos de diversos aparelhos Ele é conectado ao fio neutro da linha no painel de entrada O fio terra geralmente não conduz nenhuma corrente porém ele conecta a caixa metálica o invólucro ou o gabinete do aparelho à terra Quando o fio que possui tensão entra em contato acidentalmente com a caixa ou com o invólucro o fio terra permite a passagem da corrente e o fusível se queima Sem a presença do fio terra a caixa ou o invólucro poderiam ficar com um potencial de 120 V acima da terra Então se você tocasse ao mesmo tempo no aparelho e em uma torneira ou até mesmo em um piso condutor poderia receber um choque perigoso Figura 2626 Em algumas situações especialmente no caso de tomadas Figura 2626 a Quando uma furadeira elétrica com algum defeito de isolamento é conectada a uma tomada comum de parede por meio de um plugue com dois pinos uma pessoa pode receber um choque b Quando a mesma furadeira elétrica com defeito é conectada por meio de um plugue com três pinos em uma tomada com três fios não há choque porque a carga elétrica em vez de fluir pelo seu corpo flui para a terra pelo terceiro fio Quando a corrente que flui para a terra é elevada o fusível se queima b Plugue com três pinos a Plugue com dois pinos BookSEARSVol3indb 203 101115 700 PM 204 Fisica Ill situadas fora da casa ou préximas a tubos metalicos costumase usar um tipo es pecial de disjuntor chamado de interruptor de falha da terra GFI ou GFCI Tal dispositivo sente a diferenga de corrente entre o fio que possui tensAo e o fio terra que normalmente n4o transporta corrente e se desarma quando a corrente supera um valor muito pequeno em geral da ordem de 5 mA Fiagao doméstica e automotiva Na realidade muitos sistemas modernos de fiagao de uma casa usam uma estru tura mais elaborada que a descrita anteriormente A companhia de distribuicao de energia elétrica fornece trés fios condutores Um 0 fio neutro e os outros dois sao fios de 120 V em relagao ao fio neutro porém com defasagens opostas de modo que a voltagem entre esses dois fios é igual a 240 V A companhia de distribuigao de energia chama esses fios de linha com trés fios em contraste a linha com dois fios de 120 V mais o fio terra descrita anteriormente Com uma linha de trés fios as lampadas de 120 V e os aparelhos eletrodomésticos podem ser conectados entre o fio neutro e qualquer um dos outros dois fios também chamados de fases e os aparelhos que necessitam de poténcia mais elevada que usam 240 V como fornos elétricos e secadoras de roupa sao conectados entre as duas fases Todas as observacgoes anteriores podem ser aplicadas para 0 sistema de fiagao de um automével A voltagem é da ordem de 13 V corrente continua a poténcia é fornecida pela bateria e pelo alternador que carrega a bateria quando o motor esta funcionando O fio neutro é ligado a carroceria do automdével Como a tensao é baixa nao necessario usar um condutor ligado a terra por seguranga Os fusiveis e disjuntores funcionam com principios semelhantes aos aplicados na fiagao de uma casa Como a voltagem menor menos energia por carga necessaria uma corrente mais elevada maior quantidade de carga por segundo para a mesma po téncia por exemplo uma lampada de 100 W necessita de uma corrente de 100 W 13 V 8A Embora tenhamos usado a poténcia nas discussOes precedentes é a energia que compramos da empresa distribuidora A poténcia é a energia por unidade de tempo de modo que a energia é a poténcia média multiplicada pelo tempo A unidade de energia geralmente vendida pela empresa distribuidora é 0 quilowatt hora 1 kW h 1 kW h 10 W 3600 s 36 X 10W s 36 X 10 J Por exemplo quando vocé usa um ferro elétrico de 1500 W continuamente durante uma hora seu gasto de energia é de 15 kW h Suponha que um quilowatt hora de energia custe 40 centavos nesse caso vocé pagaria 60 centavos pelo consumo de energia elétrica O preco a ser pago pelo uso das lampadas e dos ele trodomésticos de sua casa pode ser calculado de modo analogo se vocé souber a poténcia marcada na lampada ou no aparelho Contudo alguns aparelhos incluindo certos tipos de ferro elétrico possuem controle de temperatura que os desligam automaticamente quando uma determinada temperatura é atingida nesse caso 0 calculo da energia efetiva deve levar em conta uma poténcia média que pode ser menor que a especificada no aparelho Uma torradeira de 1800 W uma frigideira elétrica de 13 kW e SOLUGAO uma lampada de 100 W sao ligadas aum mesmo circuito de20 A pENT FICAR E PREPARAR quando conectados ao mesmo cir e 120 V a Qual a corrente que atravessa cada dispositivo cyjto os trés dispositivos sdo ligados em paralelo e a voltagem qual é a resisténcia de cada um deles b Essa combinagao fara ygs terminais de cada um deles é V 120 V Obtemos a corrente o fusivel se queimar I consumida por cada aparelho usando a relagaéo P VI em que Continua Capitulo 26 Circuitos de corrente continua 205 Continuagdao P a poténcia consumida pelo aparelho Para achar a resisténcia AVALIAR também poderiamos calcular a corrente total usando R de cada aparelho usamos a relagio P VR I PV a poténcia total P fornecida aos trés aparelhos EXECUTAR a para simplificar 0 calculo da corrente e da re sisténcia observamos que J PVe R VP Encontramos I Porradeira Pirigideira Prampada 1800 W 120 V Ttorradeira 0 I15A Rtorradeira 1800 W 80 1800 W 1300 W 100 W 27A 120 V 1300 W 120 V Irrigideira 120V ILA Reigideira 1300 W Ho Um terceiro método para calcular J consiste em usar J VReg em que R é a resisténcia equivalente dos trés aparelhos em 100W 120 v paralelo Tampada 120 V 083 A Rampada 100 W 1440 Vv 1 1 1 ws 2 00w4 detain o27 Para uma voltagem constante 0 dispositivo que possui a menor Req 80 110 144 0 resisténcia nesse caso a torradeira é aquele no qual flui a maior corrente e o que recebe a maior poténcia Na vida cotidiana encontramos correntes dessa ordem de gran b A corrente total ao longo da linha a soma das correntes que deza com facilidade e essa é a razdo pela qual uma cozinha fluem nos trés dispositivos moderna dispde de mais de um circuito de 20 A Na pratica a torradeira e a frigideira elétrica devem ser colocadas em circuitos T Itorradeira Trrigideira I lampada diferentes e assim a corrente em cada circuito sera menor que a 15A411A4083A 27A corrente maxima de 20 A A corrente total supera o valor maximo de 20 A estipulado para a linha portanto o fusivel se queimara TESTE SUA COMPREENSAO DA SEGAO 265 Para impedir que o fusfvel no Exemplo 2614 queime um eletricista substitui o fusivel por outro de 40 A E recomendavel fazer isso 1 CAPITULO 26 RESUMO Resistores em série e em paralelo quando di Reg Ri Ry R3 261 Resistores em série versos resistores Ry Ro R3 sio conectados em resistores em série a Ri x Ry y R pb série a resisténcia equivalente é igual 4 soma das aan e resisténcias individuais Em uma conex4o de resis tL i 1 aes 262 I R I tores em série a corrente que passa através detodos Reg Ri Ro 3 Resistores A os resistores é a mesma Quando diversos resistores resistores em paralelo Sa oe sao conectados em paralelo o inverso da resisténcia u equivalente Reg a soma dos inversos das resistén Pom cias individuais A diferenga de potencial nas extre midades de todos os resistores ligados em paralelo é a mesma Ver exemplos 261 e 262 Leis de Kirchhoff a lei dos nés de Kirchhoff éba SJ0 265 No seada na lei da conservacao da carga Ela afirma que lei dos nés Em qualquer no I I em um no a soma algébrica de todas as correntes L0 1 Lth que chegam e saem igual a zero A leidas malhas Sy 9 266 Malha 1 de Kirchhoff baseada na lei da conservagdo da Jej das malhas energia e na natureza conservativa dos campos ele Malha 2 Malha 3 R trostaticos Ela afirma que a soma algébrica de todas as diferengas de potencial ao longo de um percurso Em torno de qualquer malha V 0 fechado de qualquer malha deve ser igual a zero Para aplicar as leis de Kirchhoff vocé deve usar consistentemente as regras de sinais Ver exemplos 263 a 267 206 Fisica lll Instrumentos de medigao elétrica no galvanémetro de d Arsonval a deflexdo é proporcional Amperimetro Voltimetro a corrente que passa na bobina Para um grande intervalo de correntes adicionamos um resistor em paralelo denominado shunt de modo que uma parte da corrente é desviada da bobina para o resistor Tal instrumento denominase amperimetro Quando adicionamos um resistor em série 0 Re instrumento pode ser calibrado para a leitura de uma diferenga de potencial ou voltagem Entéo raed 0 instrumento passa a ser um voltimetro Um bom amperimetro possui resisténcia interna muito V pe pequena um bom voltimetro possui resisténcia interna muito grande Ver exemplos 268 a 2611 Circuitos RC quando um capacitor é carregado Capacitor em carga a por uma bateria em série com um resistor a corrente 1RC e acarga no capacitor nao sao constantes A carga 7 cE1 ec tende assintoticamente a seu valor final e a corrente O 1 e VRC 2612 ae Te tende assintoticamente a zero A carga no capacitor C e a corrente no circuito sao dadas pelas equagdes jj dq é e RC 2612 e 2613 Depois de um tempo t RC acarga dt oR hq er tende a um valor igual a 1e de seu valor final Esse Ine VRE 2613 intervalo de tempo denominase constante de tempo iversus t ou tempo de relaxagao do circuito Quandoumcapa Capacitor em descarga 0 é citor é descarregado a corrente e a carga sao dadas em fungao do tempo pelas equacgées 2616 e 2617 9g Ope RC 2616 A constante de tempo é a mesma para 0 carrega dq Qo RC mento e o descarregamento Ver exemplos 2612 1 i rc e 2613 2617 i eRC Fiagao doméstica no sistema de fios usados em residéncias os diversos dispositivos so ligados PRET em paralelo a linha de distribuigao elétrica a qual possui um par de condutores um com tens40 ic e 0 outro neutro Existe um fio terra adicional para maior seguranca A corrente maxima permitida em um circuito é determinada pelas dimensGes dos fios e pela temperatura maxima que ele pode suportar A protecao contra correntes excessivas e 0 risco de incéndio resultante é id GO feita mediante o uso de fusiveis ou disjuntores Ver Exemplo 2614 SEA t Problema em destaque Dois capacitores e dois resistores Um capacitor de 240 wF e outro de 360 wF sao ligadosem GUIA DA SOLUGAO série a Uma carga de 520 mC é colocada sobre cada ca IDENTIFICAR E PREPARAR pacitor Determine a energia armazenada nos capacitores b 1 Q dois capacitores funcionam como um tinico capacitor Um resistor de 655 0 é ligado aos terminais da combinacao de equivalente veja a Secio 242 e 0 resistor 0 voltimetro capacitores e um voltimetro com resisténcia de 458 x 10 0 funcionam como um resistor equivalente Selecione as conectado através do resistor Figura 2627 Qual é a taxa equages que permitirao que vocé calcule os valores desses de variagao da energia armazenada nos capacitores imediata elementos do circuito mente ap6s a conexAo ser estabelecida c Ap6s aconexdo ser 9 Nag parte a vocé deve usar a Equaciio 249 que fornece a estabelecida quanto tempo leva para que a energia armazenada energia armazenada em um capacitor Nos capacitores seja reduzida até 1e de seu valor inicial d 3 Nas partes b c e d vocé deve usar a Equacdo 249 No instante calculado na parte c qual a taxa de variagao da bem como as equag6es 2616 e 2617 que fornecem a carga energia armazenada nos capacitores do capacitor e a corrente ambos em funcio do tempo Continua Capitulo 26 Circuitos de corrente continua 207 Continuagdao Dica a taxa com que a energia é fornecida pelos capacito Figura 2627 Quando a conex4o é estabelecida res igual a taxa com que a energia dissipada nas 08 capacitores carregados se descarregam resisténcias 458 X 10O EXECUTAR 4 Encontre a energia armazenada quando t 0 5 Encontre a taxa de variacao da energia armazenada quando t0 6 Encontre o valor de t em que a energia armazenada possui 1e do valor que vocé encontrou na etapa 4 0 p P 7 Encontre a taxa de variacao da energia armazenada no ins tante que vocé encontrou na etapa 6 240 uF 360 uF AVALIAR 8 Verifique os resultados das etapas 5 e 7 calculando a taxa de variacg4o de outra maneira Dica a taxa de variacao da energia armazenada U é dUdt PROBLEMAS e ee eee niveis de dificuldade PC problemas cumulativos incorporando material de outros capitulos CALC problemas exigindo calculo DADOS problemas envolvendo dados reais evidéncia cientifica projeto experimental eou raciocinio cientifico BIO problemas envolvendo biociéncias QUESTOES PARA DISCUSSAO O consumo de energia elétrica 0 mesmo para ambos 0s resis Q261 Duas lampadas incandescentes de 120 V apresentam po FS d O consumo de energia elétrica maior em Ry que em téncias de 60 W e 120 W qual dos dois filamentos possui maior Ry A queda de potencial a mesma para ambos os resistores resisténcia Se essas lampadas forem conectadas em série com fO potencial no ponto a igual ao do ponto c s O potencial uma fonte de tensao de 120 V na extremidade de qual lampada oe b inferior do ponto c h O potencial no ponto c 5 ack inferi do ponto b ocorrera a maior queda de potencial E no caso de uma ligacio WeT10r a0 em paralelo Explique seu raciocinio Q266 Quando dois resistores Rj e Rp R2 R séo conectados Q262 Duas lampadas de 120 V com poténcias de25 We paralelo como indica a Figura Q266 qual das seguintes 200 W foram conectadas em série com uma fonte de tensio afirmagoes é verdadeira Justifique sua resposta caso a caso a de 240 V Parecia ser uma boa ideia porém uma das lampadas 1 h b Is I c A corrente maior em Rj que em Rp d se queimou quase imediatamente apés a ligacao Qual das duas es 0 de ae elétrica vehien a para ame OS resis lampadas se queimou e por qué ores e O consumo de energia elétrica maior em Rp que em Q263 Vocé liga diversas lampadas idénticas a uma pilha de Ry Vea Ver Vab 8 O potencial no Ponto c superior ao lanterna a O que ocorre com a luminosidade das lampadas a do ponto d h O potencial no ponto f superior ao do ponto e medida que o numero delas aumenta quando a ligacdo é 1 em i O potencial no ponto superior ao do ponto e série ii Em paralelo b A bateria dura mais quando a ligacgao Figura Q266 é em série ou quando é em paralelo Explique seu raciocinio I we 1 Ry Q264 No circuito indicado na Figura Figura Q264 kL 5 Q264 trés lampadas idénticas sao ligadas a uma pilha de lanterna Compare os diversos Hf e indices de luminosidade das l4mpadas Em qual das lampadas passa a maior corrente i Qual das lampadas possui a maior diferenca ae at Q267 Uma materia rel com tsi Figura Q267 de potencial em seus terminais O que ocor tencia interna esprezivel conectaca A auma lampada como indica a Figura B rera quando a lampada A for retirada do cir 267 4 have S é fechad cuito E quando a lampada B for retirada Ea 92607 Quan as Venen hos h SB ee B S lampada C Explique seu raciocinio altera De que mo ia Ex li le 2 Q265 Quando dois resistores R e Ry R2 R so conecta Q26 8 un resistor ontiete em tras dos em série como indica a Figura Ba By Fi 0265 tiras metalicas idénticas conectadas Q265 qual das seguintes afirmagoes tgura como indica a Figura Q268 Se uma verdadeira Justifique sua resposta NR bR das tiras for retirada a leitura do am caso a caso a I Ip 13 BF A Se yypeaywye perimetro aumenta diminui ou nao a corrente maior em R que em R3 c a b ce varia Por qué 208 Fisica lll Figura Q268 Q2618 Os capacitores indicados na Figura Q2618 variam com a mesma taxa quando a chave S é fechada Em caso ne gativo em qual circuito os capacitores seraéo carregados mais rapidamente Explique Figura Q2618 a R Q269 Uma laémpada é conectada ao circuito indicado na Figura oe wyf c Q269 Ao fecharmos a chave S a luminosidade da lampada au iz s menta diminui ou nao varia Explique por qué 1 C Figura Q269 5 b R ei Lol c I Q2619 Verifique se a constante de tempo RC possui unidades Q2610 Uma bateria real com resistén Figura Q2610 de tempo cia interna desprezivel é conectada a uma Q2620 Para uma resisténcia muito grande é facil construir um lampada como indica a Figura Q2610 circuito RC com uma constante de tempo da ordem de alguns Quando a chave S é fechada 0 que acontece segundos ou minutos Como esse fato poderia servir para a de com a intensidade da luz Por qué 5 terminacao de uma resisténcia tao grande que nao pudesse ser Q2611 Se a bateria na Questio Q2610 medida pelos instrumentos comuns fosse ideal e nao possuisse resisténcia in Q2621 Quando um resistor uma bateria e um capacitor sao terna 0 que aconteceria com a luminosidade ligados em série o resistor influencia a carga maxima que pode quando a chave S fosse fechada Por qué ser armazenada no capacitor Por qué Para que serve 0 resistor Q2612 No circuito indicado na Figura Q2612 0 que acontece com a Figura Q2612 luminosidade das lampadas quando a EXERCICIOS chave 5 fechada caso a bateria a Secdo 261 Resistores em série e em paralelo nao tenha resisténcia interna e b nao 261 Um fio uniforme de re possua resistncia interna desprezivel As P A Explique sistencia R cortado em trés partes Figura E261 paque iguais Uma das partes forma um Q2613 E possivel conectar resisto circulo e é conectada entre as outras O res de modo que eles nao possam ser duas partes Figura E261 Qual é a reduzidos a uma combinagao em série ou em paralelo Em caso a registncia entre as extremidades afirmativo dé exemplos Em caso negativo explique por qué opostas a e b Q2614 A bateria no circuito in 262 Um equipamento possui um resistor X que se projeta dicado na Figura Q2614 possui Figura Q2614 de uma abertura lateral Esse resistor é conectado a outros trés resisténcia interna igual a zero B By resistores como indica a Figura E262 Um ohmimetro conec Quando a chave S é fechada a in tado através de ae b registra 200 Qual é a resisténcia de X tensidade da lampada B aumenta Figura E262 diminui ou nao varia s Q2615 Em uma lanterna com a duas pilhas elas geralmente sdo y OSS conectadas em série Por que nao b 1 O ligélas em paralelo Qual seria uma possivel vantagem na co nex4o de pilhas idénticas em paralelo Q2616 As lampadas idénticas A Figura Q2616 263 Um resistor com R 250 0 esta ligado a uma bateria Be Cestao ligadas conforme indica com resisténcia interna desprezivel e a energia elétrica é dissi a Figura Q2616 Quando a chave t 4 pada por R a uma taxa de 360 W Se um segundo resistor com S é fechada a lampada C se apaga E Ry 150 QO esta ligado em série com Rj qual a taxa global em Explique O que acontece com a B que a energia elétrica é dissipada pelos dois resistores intensidade das lampadas A e B 264 Umresistor de 42 0 é ligado em paralelo a outro de 20 1 Explique Cc S e o conjunto é conectado a uma fonte de tensao cc de 240 V a Q2617 A fem de uma pilha de Qual é a resisténcia da ligacao em paralelo b Qual é a corrente lanterna nao varia apreciavelmente total da combinac4o em paralelo c Qual é a corrente que passa com 0 tempo porém sua resisténcia através de cada resistor interna muda com a idade e com 0 uso Qual é o instrumento que 265 Uma combinagao triangular de resistores é indicada na vocé usaria para aferir a idade de uma bateria Figura E265 Qual é a corrente que essa combinagao consumira Capitulo 26 Circuitos de corrente continua 209 de uma bateria de 350 V com re Figura E265 Figura E2611 sisténcia interna desprezivel quando b ip ela é conectada através de a ab b Q Z bc c ac d Caso a bateria tenha RL 20 0 uma resisténcia de 300 Q qual é a a é Ro corrente que essa combinagao con 2000 AAAA sumira se a bateria for conectada R através de bc 266 Para o circuito indicado na Figura E266 ambos os 2612 Na Figura E2611 a bateria possui fem igual a 350 V instrumentos so ideais a bateria possui resisténcia interna des e resistncia interna desprezivel R 500 A corrente através prezivel e a leitura do amperimetro igual a 125 Aa Qualéa de R de 150 A e a corrente através de R3 de 450 A leitura do voltimetro b Qual é a fem da bateria Determine as correntes Rye R3 2613 Calcule a resisténcia equi Figura E2613 Figura E266 valente do circuito indicado na Figura 2500 E2613 e a corrente que passa em cada E 600 V r0 A resistor A bateria possui resisténcia in eal soo 7 terna desprezivel 3000 1200 4500 Isoa 1000 2614 Calcule a resisténcia equi a8 224 valente do circuito indicado na Figura E2614 e a corrente que passa em cada 6000 4000 3500 E resistor A bateria possui resisténcia in terna desprezivel Figura E2614 207 Fam ocicitoiicdo gu ezor ROIS MG a inde emo eo na Figura E267 determine a lei 4500 8 eP tura do amperimetro ideal caso a uma lamp ada Considere E 900 V bateria tivesse uma resisténcia in 250 V eR Ry Ry Ry 450 0 a 1009 300 0 terna de 326 it 1800 Determine a corrente em cada lampada n b Calcule a poténcia dissipada em 268 Trés resistores com resis cada lampada Quais sao as l4mpadas 700Q 5000 tencias de 160 240 Qe 480 Q que brilham com mais intensidade sao ligados em paralelo a uma bate 1500 c A lampada com resisténcia Ry Figura E2615 ria de 280 V que possui resistén removida do circuito deixando o fio Ry cia interna desprezivel Calcule a interrompido Agora qual é acorrente Pa a resistncia equivalente da combinacao b a corrente através tae E Ry ae R de cada resistor c a corrente total através da bateria d a que Passa a anon resistencias i voltagem através de cada resistor e a energia dissipada em restantes Ri Roe Rs d Depois ave oo Rg removida qual é a poténcia con cada resistor f Qual dos dois resistores dissipa mais energia sumida em cada uma das lampadas restantes e Depois que Ry aquele que possui a maior resisténcia ou o de menor resisténcia é removida qual a lampada que brilha com mais intensidade Explique por qué a oa Indique as l4mpadas que devem possuir brilho menos in 269 Agora os trés resistores do Exercicio 268 estao ligados tenso Explique por que existem efeitos diferentes para as di em série na mesma bateria Responda as mesmas perguntas para versas lampadas 36 10 Potencia méxima de um resistor A poténcia ma 2616 Considere o circuito indicado na Figura E2616 A gs Z As corrente que passa pelo resistor de 600 2 é igual a 400 A no uma especificada sobre 0 resistor a maior poténcia que pode sentido indicado Quais so as correntes que passam pelos resis ser dissipada no resistor sem que ele atinja uma temperatura tores de 250 0 e 200 1 demasiadamente elevada a Se a poténcia maxima que um re sistor de 15 kQ pode suportar é de a 50 W qual a diferenga Figura E2616 de potencial maxima permitida nos terminais do resistor b 400 A 600 Um resistor de 90 kQ deve ser conectado a uma fonte de ten 2500 sao de 120 V Qual é a poténcia maxima necessaria c Um resistor de 1000 0 e outro de 1500 0 ambos com poténcia maxima de 200 W sao conectados em série através de uma ea diferenga de potencial varidvel Qual deve ser a maior diferenca 4 de potencial sem que ocorra superaquecimento em qualquer dos resistores e qual é a taxa de calor gerada em cada resistor sob essas condig6es 2617 No circuito indicado na Figura igure met 2611 Na Figura 2611 R 3000 Ro 600 Qe R3 2617 a voltagem através do resistor de 500 A bateria possui resisténcia interna desprezivel Acorrente 200 0 é de 120 V Indique a fem da ba I através de R é de 400 A a Determine as correntes J e 3b teria e a corrente que passa pelo resistor 100 200 Qual é a fem da bateria de 600 210 Fisica lll 2618 Nocircuito indicado na Figura E2618 360V Secao 262 Leis de Kirchhoff R 400 O Ry 600 1 e R3 300 a Determine adi 2623 No circuito indicado na Figura E2623 a leitura do ferenca de potencial V entre os pontos ae b quando achave S amperimetro A é de 100 A e as baterias possuem resisténcia esta aberta e quando esta fechada b Calcule a corrente através interna desprezivel a Qual é a resisténcia de R b Determine de cada resistor quando S esta aberta e quando esta fechada as leituras dos outros amperimetros Para cada resistor a corrente aumenta ou diminui quando S Figura E2623 esta fechada AS Figura E2618 R 4000 a S Ri b R R 5 200 0 200 Vv E A 2619 PC No circuito da Figura E2619 um resistor de 20 0 Soo esta imerso em 100 g de Agua pura contida em um recipiente de 2624 As baterias indicadas na Figura E2624 possuem re isopor isolante Supondo que a Agua esteja inicialmente a 100 C sistencias internas despreziveis Encontre a corrente a através quanto tempo levard para ela atingir a temperatura de 580 C do resistor de 300 Q b através do resistor de 200 Q c através da bateria de 100 V Figura E2619 1002 1000 Figura E2624 oN toov ty 200 300V 500 500V 2625 NocircuitoindicadonaFigura Figura E2625 2620 No circuito indicado na E2625 calcule a a corrente no resistor a80V Figura E2620 a taxa de dissipa Figura E2620 R b a resisténcia R c a fem desco R cao da energia elétrica de Rj igual g nhecida d Se 0 circuito fosse cortado a 150 W a Determine Re Rp b 350A no ponto x qual seria a nova corrente no é 400 A Qual é a fem da bateria c Ache a resistor R EMO corrente que passa por R pelo re E 2626 Calcule a fem e a fem no 600 A sistor de 100 d Calcule 0 con circuito da Figura E2626 e a diferenca sumo total de energia elétrica em 200A de potencial do ponto b em relagado ao 300 0 todos os resistores ea energia elé ponto a trica fornecida pela bateria Mostre que seus resultados esto de acordo com a conservacao da energia Figura E2626 2621 Lampadas em série e em paralelo Duas l4mpadas 100 Q 200 V 6000 possuem resisténcias de 400 0 e 800 Q Supondo que as duas lampadas sejam conectadas em série a uma fonte de 120 V 1004 1000 a A 400 calcule a a corrente que passa em cada lampada b a potén a b cia dissipada em cada lampada e c a poténcia total dissipada 200 Al 1000 nas duas lampadas Agora as duas l4mpadas sao conectadas em 200 0 paralelo 4 fonte de 120 V Calcule d a corrente que passa em cada lampada e a poténcia dissipada em cada lampada f a poténcia total dissipada nas duas lampadas g Em cada 2627 No circuito indicado na Figura E2627 calcule a situacao qual é a lampada que brilha com mais intensidade corrente no resistor de 300 0 b a fem Ee a fem c a h Em qual caso o brilho combinado das duas lampadas possui resisténcia R Observe que foram fornecidas trés correntes mais intensidade Figura E2627 2622 Lampadas em série Uma lampada de 60 W e 120 V 200A R e outra de 200 W e 120 V sao conectadas em série a uma fonte de 240 V Sabemos que as resisténcias das lampadas nao variam fi com acorrente Nota a descrigao da lampada fornece a poténcia que ela dissipa quando é ligada a diferenca de potencial espe 400 0 300 O 600 0 cificada por exemplo uma lampada de 25 W e 120 V dissipa 300 Ay 500 A uma poténcia de 25 W quando ligada a uma tensao de 120 V a Calcule a corrente que passa nas lampadas b Determine 2628 No circuito indicado na Figura E2628 determine a poténcia dissipada em cada lampada Uma das lampadas se a a corrente em cada ramo b a diferenca de potencial V do queimara rapidamente Qual delas Por qué ponto a em relacao ao ponto b Capitulo 26 Circuitos de corrente continua 211 Figura E2628 Figura E2634 200 0 00M 300 2 no 200 0 1009 500V t 400 0 015 6092 2000 19 b 2v 1000 0 300 i 2629 A bateria de 1000 V indicada na Figura E2628 é re 130 100 movida do circuito e reconectada com sua polaridade invertida de modo que o terminal positivo fique perto do ponto a O res eye tante do circuito permanece como indicado na figura Calcule Bo sees Inst wom on de medics eletricas 1 a a corrente em cada ramo b a diferenga de potencial V do resistencia Ca 0 ma ce um vanometto teu a ponto a em relacdo ao ponto b 250 QXea corrente necessaria para atingir uma deflexao até o 2630 A bateria de 500 V indicada na Figura E2628 é remo fundo da escala de 500 4A a Mostre em um diagrama como vida do circuito e substituida por uma bateria de 1500 V com converter o galvanometro em um amperimetro capaz de fornecer seu terminal negativo perto do ponto b O restante do circuito ma leitura até o fundo da escala igual a 200 mA e calcule a permanece como indicado na figura Calcule a a corrente em resisténcia de shunt b Mostre como converter o galvanémetro cada ramo b a diferenca de potencial V do pontoaemrelacio mum voltimetro capaz de fornecer uma leitura até o fundo da ao ponto b escala igual a 500 mV e calcule a resisténcia em série 2631 No circuito indicado na Figura E2631 as baterias 2636 A resisténcia da bobina de um gal possuem resisténcia interna desprezivel e ambos os instrumentos vanémetro é igual a 936 0 e uma corrente Fi 2636 sao ideais Com a chave S aberta 0 voltimetro registra 150 V de 00224 A produz nele uma deflexdo até tgura a Determine a fem da bateria b Qual sera a leitura do am o fundo da escala Queremos converter esse Ro perimetro quando a chave for fechada galvanOmetroem um amperimetro com leitura sR s Figura E2631 igual a 200 A no fundo da escala O tnico shunt disponivel possui resisténcia de 00250 Shunt 300 0 A Q Qual é o valor da resisténcia R que deve 200 ser conectada em série com a bobina Figura 750 Oo pe Vv E2636 a e2 S a 2637 Umcircuito é composto por uma combinacao em série de resistores de 600 kQ e 500 kQ conectados através de uma bateria de 500 V com resistncia interna desprezivel Vocé de 2632 ee No circuito indicado na Figura E2632 ambas as bageja medir a real diferenca de potencial ou seja a diferenca de terlas possuem resistencia interna desprezivel eo amp erimetro potencial sem a presenga do instrumento através do resistor de ideal registra 150 A Ache a fem da bateria A polaridade 500 kQ usando um voltimetro com resisténcia interna igual a indicada esta correta 100 kQ a Qual é a diferenga de potencial medida pelo volti Figura E2632 metro através do resistor de 500 kQ b Qual é a real diferenga 1200 de potencial através desse resistor quando o instrumento nao tena esta presente c Qual é a porcentagem de erro de leitura do 480 voltimetro em relagao a real diferenga de potencial 75 0 li 2638 Um galvanémetro com resisténcia de 250 Q possui 0 uma resisténcia shunt de 100 instalada para convertélo em um amperimetro O instrumento é entao usado para medir a cor rente em um circuito que consiste em um resistor de 150 0 2633 No circuito indicado na Figura E2633 todos os ins conectado através dos terminais de uma bateria de 250 V com trumentos sao ideais e a resis resisténcia interna desprezivel a Qual é a corrente medida pelo tncia interna das baterias é amperimetro b Qual deve ser a real corrente no circuito ou desprezivel a Calcule a lei Figura E2633 seja a corrente sem a presenca do amperimetro c Qual é a tura do voltimetro com a chave 1000 2 a porcentagem de erro da leitura do amperimetro em relagao a real S aberta Que ponto tem po 150 diferenga de potencial tencial mais elevado a ou b S Vv b Com S fechada determine 250 V 750 Secao 264 Circuitos RC a leitura do voltimetro e do a 2639 Um capacitor é carregado até um potencial de 120 V amperimetro Em qual sentido b e a seguir é conectado a um voltimetro com resisténcia interna para cima ou para baixo a igual a 340 MQ Depois de 400 s a leitura do voltimetro indica corrente passa pela chave 30 V Quais sao a o valor da capacitancia e b a constante 2634 No circuito indicado na Figura E2634 o resistor de de tempo do circuito 60 O consome energia a 24 Js quando a corrente passa por ele 2640 Vocé liga uma bateria um resistor e um capacitor con como indicado a Encontre a corrente através do amperimetro forme indicado na Figura 2620a em que 360 V C 500 uF A b Determine a polaridade e a fem da bateria desconhecida eR 120 Q A chave S esta fechada em t 0 a Quando a supondo que ela possua resisténcia interna desprezivel voltagem através do capacitor é igual a 800 V qual é o médulo da 212 Fisica lll corrente no circuito b Em que instante t apds o fechamento da wed a 1 J Lo capacitor adquirir g de sua carga maxima Sera equivalente a 7 chave a voltagem através do capacitor é igual a 800 V c Quando yar 1 sd itor é igual a 800 V locidad da corrente maxima avo tagem atraves 0 capacitor gual a 7 aque velocidad 2649 No circuito indicado na Figura E2649 os capacitores a energia esta sendo armazenada no capacitor wt ow aca as vo estado inicialmente descarregados a bateria nao possui resisténcia 2641 Um capacitor de 460 uF inicialmente descarregado gs 7 interna e 0 amperimetro é ideal Ache a leitura do amperimetro é conectado em série a um resistor de 750 kO e a fonte de 2 2 an a logo apés a chave S ser fechada e b apés a chave estar fe fem 245 V e que possui resisténcia interna desprezivel fe ar oe chada ha muito tempo Imediatamente apés a conex4o do circuito quais sAo a a queda de tens4o através do capacitor b A queda de tensdo através Figura E2649 do resistor c A carga do capacitor d A corrente através do 2500 resistor e Depois de muito tempo apos a ligagao do circuito depois de varias constantes de tempo quais sao os valores das 750 O quatro grandezas precedentes 150 uF 350 2642 Vocé liga uma bateria um resistor e um capacitor 1000Vv mee 0 0 100 WF conforme indicado na Figura 2620a em que R 120 0eC M 500 X 10 F A chave S esta fechada em t 0 Quando a s 5000 2500 corrente no circuito possui médulo igual a 300 A a carga do capacitor é 400 x 10 C a Qual é a fem da bateria b Em 1500 que instante t apds o fechamento da chave a carga do capacitor pe 6 9 2 igual a 400 X 10 C Quando a corrente Possut médulo 2650 Um capacitor de 120 wF é carregado a um potencial igual a 300 A a que velocidade a energia esta sendo i arma ge 500 V e depois descarregado através de um resistor de 225 zenada no capacitor ii fornecida pela bateria Quanto tempo leva para o capacitor perder a metade da carga 2643 e PC No circuito Fi ED e b metade da energia armazenada indicado na Figura 2643 Figura 2643 2651 No circuito indicado na Figura E2651 C 590 uF ambos Os capacitores tem carga S E 280 V ea fonte da fem possui resisténcia interna desprezi inicial de 450 V a Quanto 150 200 vel Inicialmente o capacitor esta descarregado e a chave S esta tempo apos a chave S ser fe BF FP 5000 na posigaéo 1 A seguir a chave S é colocada na posicao 2 de chada o potencial através de modo que 0 capacitor comega a cada capacitor sera reduzido a 3000 se carregar a Muito tempo de Figura E2651 100 V e b qual sera a corrente pois que a chave é colocada na Low Chave S Chave S nesse instante posicao 2 qual é a carga do capa x x i na posiéo 1 na posigao 2 2644 Um capacitor de 124 wF é conectado através de um citor b Verificase que a carga resistor de 0895 MQ a uma diferenga de potencial constante de do capacitor é igual a 110 wC s4 600 V a Calcule a carga do capacitor nos seguintes instantes cerca de 300 ms apos a chave c h depois que a conexo feita 0 50 s 100 s 200 se 1000sb ser colocada na posigo 2 Qual Calcule as correntes de carga do capacitor nos mesmos instantes valor da resisténcia R c c Faga um grafico para os itens a e b para f entre 0 e 20s Quanto tempo depois que a chave R 2645 Uma fonte fem com 120 V um resistorcom colocada na posiao 2 a carga R 800 Qe um capacitor com C 400 uF sdo conectadosem 40 capacitor igual a 990 do série A medida que 0 capacitor é carregado quando a corrente valor final da carga encontrado no resistor for igual a 0900 A qual seré 0 médulo dacargaem 1 item a cada placa do capacitor Secgao 265 Sistemas de distribuigao de poténcia 2646 Um resistor e um capacitor séo conectados em sériea 2652 O aquecedor de um secador elétrico possui poténcia uma fonte fem A constante de tempo para 0 circuito é de 0780 maxima especificada igual a 41 kW para uma fonte de 240 V a a Um segundo capacitor idéntico ao primeiro é acrescentado Qual é accorrente que passa no elemento aquecedor Um fio com em série Qual é a constante de tempo para esse novo circuito calibre 12 possui diaémetro suficiente para fornecer essa corrente b No circuito original um segundo capacitor idéntico ao pri b Qual a resisténcia do aquecedor em sua temperatura de meiro é conectado em paralelo ao primeiro Qual é a constante Operacado c Supondo que cada kWh custe 11 centavos quantos de tempo para esse novo circuito reais sao necessarios para operar o secador durante uma hora 2647 PC No circuito in 2653 Um aquecedor elétrico de 1500 W é ligado a uma to dicado na Figura E2647 cada Figura E2647 mada de 120 V e 0 circuito possui um disjuntor de 20 A Vocé capacitor possui carga inicial 100 pF conecta um secador de cabelo na mesma tomada Ele possui qua de médulo igual a 350 nC em tro posigdes com poténcias mdaximas iguais a 600 W 900 W Z F s 1200 W e 1500 W Vocé comega com 0 secador na posigao de suas placas Apdés a chave S ser 7 200 600 W e vai aumentando a poténcia até que o disjuntor salta Qual fechada qual sera a corrente 2500 As pF a poténcia que faz o disjuntor saltar no circuito no instante em que os capacitores tiverem per dido 800 da energia inicial 150 pF PROBLEMAS armazenada 2654 Na Figura P2654 a bateria possui resisténcia interna 2648 Um capacitor de desprezivel e 480 V Ry Ry 400 Ne Ry 300 2 Qual 150 uF esta sendo carregado através de um resistor de 120 Q deve ser a resisténcia R3 para que a rede de resistores dissipe ligado a uma bateria de 100 V Qual sera a corrente quando o energia elétrica a uma taxa de 295 W Capitulo 26 Circuitos de corrente continua 213 Figura P2654 2660 Qualdeveserovalor Figura P2660 da fem indicada na Figura R Ry P2660 para que a corrente que 240V et passa no resistor de 700 seja 700 0 et Ry igual a 180 A Cada fonte de 300 20 fem possui resisténcia interna desprezivel Ry 2661 Calcule a corrente Figura P2661 26 onad que passa em cada um dos trés re Se eee era magnesite inate ur P2661 310V apo interna igual a 08 0 e cuja fem é dada por 80 V Cada Cada fonte de fem possui resistencia 200 400I OO aa interna desprezivel 0 Oo 360 V lampada possui resisténcia R 20 supostamente indepen 2662 a Calcule a corrente que dente da corrente que passa pela lampada a Calcule a corrente d bateri q d da lampada a dif 4 passa em cada resistor e na bateria do 140 V que passa em cada lampada a diferenga de potencial nos termi circuito indicado na Figura P2662 nais de cada uma delas e a poténcia fornecida para cada uma b b Qual é a wistoncin e uivalente Suponha que uma das lampadas se queime de modo que o fila do circuito 4 mento seja interrompido e nao passe mais corrente através dele 0 CIRCUITO Determine a poténcia fornecida para a lampada restante O brilho Figura P2662 da lampada restante aumenta ou diminui em relacao a seu brilho existente antes de a outra lampada se queimar R 1000 k 2656 Cada um dos trés resistores in 140 FR 1000 2000 dicados na Figura P2656 possui uma re Figura P2656 Vv Rs sisténcia de 24 0 e pode consumir uma Ry 2000 3 1000 poténcia maxima de 48 W sem se tornar excessivamente quente Qual cap oreneia 2663 Considere 0 circuito indicado na Figura P2663 a 2657 0 circuito pode dissip ar qual deve ser a fem da bateria para que uma corrente de 200 A b 5 a son potencial do ponto a em Telagio a0 Ponto passe pela bateria de 500 V conforme indicado A polaridade na Figura P 2657 b Sabendo que Os p ontos ae sao conec da bateria estd correta conforme indicado b Quanto tempo tados por um fio com resisténcia desprezivel calcule acorrente oy4 para 600 J de energia térmica serem produzidos no resistor que passa na bateria de 120 V de 100 Q Figura P2657 Figura P2663 100 1 120 V cs 1009 2000 2000 100 100V 100 0 200 0 1009 80V uM 200 0 2007 YW 30092 509 50V 2658 PC Nocircuito indicado na Figura P2658 um resis 1500 100 V tor de 200 O esta inserido em um grande bloco de gelo a 000 C 500 e a bateria possui resisténcia interna desprezivel Qual é a taxa em gs a que esse circuito derretera 0 gelo O calor latente de 200 0 fusdo para o gelo é 334 X 10Jkg Figura P2658 2664 No circuito indicado na Figura P2664 240 V 9 Gel R 600 0 R3 120 0 e R pode variar entre 300 1 e ae 240 Q Para qual valor de R a poténcia dissipada pelo ele 450V mento de aquecimento R possui seu valor maximo Calcule o 1500 modulo da poténcia maxima ea Figura P2664 200 0 1000 5000 E Ry 2659 Calcule as correntes 1 Jy e J indicadas na Figura R P2659 Figura P2659 2665 No circuito indicado na Figura P2665 a corrente na 5000 800 2 bateria de 200 V é igual a 500 A no sentido indicado e a vol tagem através do resistor de 800 OQ é de 160 V com a extre ae al 4 midade inferior do resistor a uma poténcia mais elevada Ache 1200 100 7 100 900 a a fem incluindo sua polaridade da bateria X b a corrente Vv 0 TR2 Vv I que passa pela bateria de 2000 V incluindo seu sentido c 1000 0 a resisténcia R 214 Fisica lll Figura P2665 Figura P2670 200 0 R R 8000 ayo Tog 420V R3 3000 1800 800 0 2000 vt 600 0 C 400 pF 200V I 500A 2671 Umcapacitor de 200 uF inicialmente descarregado conectado em série a um resistor de 600 kO e a uma fonte de 2666 No circuito indicado na Figura P2666 todos os resis fem 900 V com resisténcia interna desprezivel O circuito tores sao classificados a uma poténcia maxima de 200 W Qualéa conectado no instante 0 a Imediatamente apés a conexao fem maxima que a bateria pode ter sem queimar algum resistor do circuito qual a taxa com a qual a energia elétrica esta sendo dissipada no resistor b Em qual valor de a taxa com a qual a Figura P2666 energia elétrica esta sendo dissipada no resistor é igual 4 taxa com 250 0 a qual a energia elétrica esta sendo armazenada no capacitor 2500 3000 isco c No instante calculado na parte b qual é a taxa com a qual a A energia elétrica esta sendo dissipada no resistor 2672 Um capacitor de 600 uF inicialmente descarregado bao a é conectado em série a um resistor de 500 e a uma fonte de 5000 fem 500 V que possui resisténcia interna desprezivel No E 400 O instante em que o resistor esta dissipando energia elétrica com uma taxa de 300 W quanta energia esta acumulada no capacitor 2673 O ponto a na Figura P2673 é mantido a um potencial 2667 A Figura P2667 mostra uma convengao geralmente constante de 400 V acima do potencial da terra Veja o Problema usada nos diagramas de circuitos A bateria ou outra fonte de 2667 a Qual é a leitura do voltfmetro com a escala apro tens4o nao é mostrada explicitamente Fica implicito que o priada quando uma resisténcia igual ponto no topo do diagrama indicado com o distico 360 V a 500 X 10 O esta ligada entreo Figura P2673 esta conectado ao terminal positivo de uma bateria de 360 V ponto bea terra b Qual é a leitura que possui resisténcia interna desprezivel e 0 ponto indicado do voltimetro quando a resisténcia 100kQ 200 kt na parte inferior simboliza a terra e esté conectado ao termi 6 de 500 10 0 c Qual sera a a b 1 nal negativo da bateria Embora nao indicado explicitamente 0 leitura do voltimetro quando a resis circuito é completado pela bateria téncia for infinita a Qual é a diferenga de poten Figura P2667 2674 A Ponte de Wheatstone O circuito indicado na cial V do ponto a em relacao V 360V Figura P2674 denominase ponte de Wheatstone e é usado para ao ponto b quando a chave S esta determinar uma resisténcia desconhecida X por comparacgao com aberta b Qual é a corrente que 6002 300 O trés resistores M N e P cujas resisténcias podem variar Para passa pela chave S quando ela esta a b cada conjunto a resisténcia de cada um desses resistores pode fechada c Qual é a resisténcia 3000 600 0 ser conhecida com precisaéo Com as chaves S e S2 fechadas equivalente do circuito quando a fazemos variar essas resisténcias até que a corrente indicada no chave S esta fechada galvandmetro G seja igual a zero dizemos entao que a ponte 2668 Trés resistores idén esta equilibrada a Mostre que quando isso ocorre a resistén ticos s4o conectados em série cia desconhecida é dada por X MPIN Essa técnica possibi Quando uma certa diferenga de potencial é aplicada através da lita uma precisAo muito grande na comparac4o de resistores combinacao a poténcia total dissipada é igual a 450 W Qual b Sabendo que o galvanémetro G indica deflexao igual a zero seria a poténcia total dissipada se os trés resistores fossem co quando M 85000 N 1500 Qe P 3348 Q qual é 0 valor nectados em paralelo através da mesma diferenga de potencial da resisténcia desconhecida X 2669 Um resistor Rj consome uma energia elétrica Py Figura P2674 quando conectada a uma fem Quando 0 resistor R é conectado a mesma fem ela consome energia elétrica P Em termos de P e Py qual é a energia elétrica total consumida quando ambos N P estaéo conectados a essa fonte fem a em paralelo e b em série 2670 O capacitor indicado na Figura P2670 esta inicial a2 c mente descarregado A chave S esta fechada no instante t 0 é Z M Xx a Imediatamente apds a chave ser fechada qual é a corrente L que passa através de cada resistor b Qual é a carga final sobre Sy d 0 capacitor Capitulo 26 Circuitos de corrente continua 215 2675 Veja o Problema 2667 a Qual é 0 potencial do mostrados na Figura P2680 em que vocé fez um grafico de iem ponto a em relaciio ao ponto b na Figura P2675 quando achave fungao do tempo fr a Explique por que os pontos de seu grafico S esta aberta b Qual dos pontos a ou b possui o potencial Se aproximam de uma linha reta b Use o grafico da Figura mais elevado c Qual é 0 potencial final do ponto b em relagao P2680 para calcular a capacitancia C e a carga inicial Qo sobre o A terra quando a chave S esta fechada d Como a carga de cada CAPacitor c Quando 7 00500 A qual a carga do capacitor capacitor varia quando a chave S é fechada d Quando g 0500 104 C qual é a corrente no resistor Figura P2675 Figura P2680 V 180V 000 050 100 150 200 250 300 350 20 t ms 600 600 uF 25 a b 30 300 pF iY 3000 35 40 45 Ini 2676 Um capacitor de 236 uF inicialmente descarregado conectado em série a um resistor de 586 2 eaumafontede 2681 DADOS Vocé configura o circuito indicado na fem 120 V que possui resisténcia interna desprezivel a Figura 2620 em que C 500 X 10 F No instante 0 Imediatamente ap6s a conex4o do circuito qual é i ataxacom vocé fecha a chave e mede a carga q sobre 0 capacitor em fungao a qual a energia elétrica esta sendo dissipada no resistor ii da Corrente i no resistor Seus resultados sao dados na tabela A taxa com a qual a energia elétrica armazenada no capacitor esté aumentando iii A poténcia elétrica liquida fornecida pela fonte Como se comparam as respostas dos itens i ii e iti b Responda todas as perguntas do item a para um tempo muito a Faca um grafico de g em funcio de i Explique por que os longo depois que 0 circuito é conectado c Responda todas as pontos dos dados quando esto nesse grafico se aproximam perguntas do item a no instante para o qual a carga do capacitor ge yma linha reta Encontre a inclinagdo e o valor de x quando é a metade de seu valor final y 0 para essa linha reta que melhor se aproxime dos dados 2677 Um resistor de 224 Q e outro de 589 sao ligados p Use seus resultados da parte a para calcular a resisténcia em série a uma fonte de 900 V a Qual a voltagem nos R do resistor e a fem E da bateria c Em que instante ft apés o terminais de cada resistor b Um voltimetro conectado nos fechamento da chave a voltagem através do capacitor igual a terminais do resistor de 224 Q indica uma leitura de 238 V 100 V Quando a voltagem através do capacitor é igual a Calcule a resisténcia do voltimetro c Determine a leiturado 400 V qual é a voltagem através do resistor mesmo voltimetro quando ele conectado aos terminais do re 2682 DADOS A empresa de fornecimento de produtos sistor de 589 d As leituras indicadas pelo voltimetro sAo eletrénicos onde vocé trabalha possui dois resistores diferentes menores que as voltagens verdadeiras ou seja aquelas que R e Ry em seu inventario e vocé deve medir os valores de suas existem quando o voltimetro nao esta presente Seria possivel resisténcias Infelizmente 0 estoque esta baixo e vocé possui projetar um voltimetro capaz de fornecer uma leitura maior que apenas R e Rp em paralelo e em série e nao pode separar essas a voltagem verdadeira Explique duas combinacg6es de resistores Vocé liga separadamente cada 2678 Umresistor de R 850 0 é conectado as placas de um rede de resistores a uma bateria com fem de 480 V e resisténcia capacitor carregado de capaciténcia C 462 wFImediatamente interna desprezivel e mede a poténcia P fornecida pela bateria antes de a conex4o ser feita a carga sobre o capacitor é igual a em ambos os casos Para a combinacao em série P 480 W 690 mC a Qual é 0 valor da energia inicialmente armazenada para a combinaco em paralelo P 256 W Vocé informado no capacitor b Qual é o valor da poténcia elétrica dissipado que Ri Ro a Calcule R e Ro b Para a combinagao em no resistor imediatamente apds a conexAo ser feita c Qual é série qual resistor consome mais poténcia ou eles consomem o valor da poténcia elétrica dissipado no resistor no instanteem 4 Mesma poténcia Explique c Para a combinagao em para que o valor da energia armazenada no capacitor metade do lelo qual resistor consome mais poténcia ou eles consomem a calculado na parte a mesma poténcia 2679 Umcapacitor inicialmente descarregado é conectado em série a um resistor e a uma fonte de fem 110 V quepos PROBLEMAS DESAFIADORES sui resistncia interna desprezivel Imediatamente apds aconex0 9683 eee Malha infinita A rede com os resistores Rj e R indi do circuito a corrente através do resistor é de 65 X 107 AA cados na Figura P2683 se estende até o infinito pelo lado direito constante de tempo para 0 circuito 52 s Determine aresisténcia Prove que a resisténcia total Ry dessa rede infinita é dada por do resistor e a capacitancia do capacitor 2680 DADOS Vocé configura 0 circuito indicado na Rr Ri VR 2RRo Figura 2622a em que R 196 Q Vocé fecha a chave no ins tante t 0 e mede 0 médulo da corrente ino resistor Remfungio Dica uma vez que a rede se estende até o infinito a resisténcia do tempo f apés o fechamento da chave Seus resultados sdo da rede situada a direita dos pontos c e d também é igual a Rr 216 Fisica lll Figura P2683 potencial calculada no item d mostra que 0 ax6nio nfo pode ser a Fic Ri R simplesmente um cabo passivo conduzindo a corrente elétrica 7T a diferenga de potencial deve ser periodicamente reforgada ao R e assim A BE Re Res diante longo do comprimento do ax6nio Esse mecanismo do potencial b de acao é lento de modo que o sinal se propaga ao longo do Rid R i ax6nio com uma velocidade aproximada de 30 ms Quando uma Ax resposta mais raépida tornase necessdria 0 axGnio é revestido com uma camada de material gorduroso denominado mielina 2684 eee Suponha que um resistor Figura P2684 Os segmentos possuem comprimento aproximado de 2 mm e com resistencia R esteja sobre cada b sao separados por lacunas chamadas de nédulos de Ranvier A aresta de um cubo um total de 12 mielina produz um aumento da resisténcia de um segmento de resistores que os resistores sejam 10 wm da membrana para R 33 X 10 Para esse ax6nio conectados nos vertices do cubo revestido com a camada de mielina qual é a fragao da diminui Calcule a resistencia equivalente a cao da diferenga de potencial entre as partes interna e externa do entre dois vertices opostos ao longo ax6nio depois de uma distancia compreendida entre dois nédulos da diagonal do cubo pontos a e b de Ranvier consecutivos Essa atenuagéo menor permite que a indicados na Figura P2684 velocidade de propagac4o aumente 2685 eee BIO Ax6nios e cadeia atenuadora A rede que se estende até o infinito na Figura P2683 denominase cadeia ate Problemas com contexto nuadora uma vez que nessa cadeia de resistores a diferenga de potencial entre o fio superior e o inferior diminui ou se atenua ao BOCélulas nervosas e circuitos RC A parte que conduz longo do comprimento da cadeia a Mostre que se a diferenca sinais da célula nervosa é chamada axénio Muitas das pro de potencial entre os pontos a e b indicados na Figura P2683 é priedades elétricas dos ax6nios sdo regidas por canais idnicos V entao a diferenga de potencial entre os pontos ce dé dada que sao moléculas de proteinas que se estendem ao longo da por Veg Vay 1 B em que B 2RRp RRpR e Rr membrana celular do ax6nio Quando aberto cada canal de a resisténcia total da rede foi obtida no Problema desafiador 018 possui um poro que é preenchido com um fluido de baixa 2683 Veja a dica dada naquele problema b Se a diferenca resistividade e liga o interior da célula eletricamente ao meio de potencial entre os terminais a e b da extremidade esquerdada Xterno dela Em contraste a membrana celular rica em lipi rede infinita for Vo mostre que a diferenga de potencial entre os 410s em que os canais inicos se encontram possui resistivi pontos dos fios superior e inferior situados a uma distinciaigual dade muito alta an segmentos da rede contados a partir da extremidade esquerda 2686 Suponha que um canal iénico aberto tipico que atravessa é dada por V Vo1 B Considerando R R quantos 4 membrana de um ax6nio possua uma resisténcia de x 10Q segmentos sero necessérios para produzir uma reducio na di Podemos modelar esse canal idnico com seu poro como um ferenga de potencial V até um valor menor que 10 do valor cilindro com 12 nm de comprimento de raio 03 nm Qual a de Vo c Uma cadeia atenuadora infinita fornece um modelo Fesistividade do fluido no poro a 10 m b 6 Q m c para a propagacdo de um pulso de voltagem ao longo de uma 2 OQ m d 1Qm fibra nervosa conhecida como ax6nio Cada segmento da rede 2687 Em um modelo simples de um ax6nio conduzindo um na Figura P2683 representa um pequeno segmento do axénio sinal nervoso os fons se movem através da membrana celular de comprimento Ax A resisténcia R representa a resisténcia por canais idnicos abertos que funcionam como elementos pu do fluido dentro e fora da parede da membrana do axénio A ramente resistivos Se uma densidade de corrente tipica corrente resisténcia da membrana para uma corrente que flui através da por unidade de area da seco reta na membrana da célula de parede é representada por Ry Para um segmento de ax6niocom 5 mAcm quando a voltagem através da membrana 0 potencial um comprimento Ax 10 um R 64 X 10 Ae R 80X de acdo de 50 mV qual é a densidade numérica de canais i6 1080 a parede da membrana é um bom isolante Calcule Rt nicos abertos na membrana a Icm b 10cm c 10mm e B para um axGnio infinitamente comprido Essa aproximagio d 100um boa visto que 0 comprimento do ax6nio é muito maior que 2688 As membranas celulares de uma ampla variedade de orga sua largura 0 maior ax6nio no sistema nervoso humano possui nismos possuem uma capacitancia por unidade de area de wF cerca de 1 m de comprimento porém seu raio é aproximadamente cm7 Para que 0 sinal elétrico em um nervo se propague ao longo igual a 1077 m d Qual é a fragdo da diminuigao da diferenga do ax6nio a carga sobre a membrana capacitor deve mudar de potencial entre as partes interna e externa do ax6nio depoisde Qual deve ser a constante de tempo quando os canais idnicos uma distancia igual a 20 mm e A atenuagao da diferenga de esto abertos a 1 jus b 10 xs c 100 jus d 1 ms RESPOSTAS Resposta a pergunta inicial do capitulo Respostas as perguntas dos testes Resposta ii A diferenca de potencial Vé a mesma através de compreensao dos resistores conectados em paralelo Entretanto uma corrente 261 Resposta a c d b Justificativa os trés resistores I diferente passard através de cada resistor se as resisténcias R na Figura 26 1a estao ligados em série portanto Reg R R forem diferentes J VR R 3R Na Figura 261b os trés resistores estaéo ligados em Capitulo 26 Circuitos de corrente continua 217 paralelo portanto 1Reg VR 1R UR 3Re Reg R3 Nenhuma dessas idealizacées é possivel mas a resisténcia do Na Figura 261c 0 segundo e 0 terceiro resistores esto ligados amperimetro deve ser bem menor que 2 Q e a resisténcia do em paralelo portanto a resistncia equivalente Rj3 é dada por 1 voltimetro bem maior que 2 2 Ro 1R 1R 2R portanto Ro3 R2 Essa combinacio 264 Resposta ii Apds o intervalo de uma constante de estd em série com 0 primeiro resistor portanto os trés resistores tempo t RC e a carga inicial Qo diminui para Qe VRC Juntos possuem resisténcia equivalente Reg R R2 3R2 Qe RRC Qoe Qoe Logo a energia armazenada dimi Na Figura 261d 0 segundo e 0 terceiro resistores esto em série nui de Qo2C para Qoe2C Qy2Ce uma fragdo 1e portanto a resisténcia equivalente 6 Ry R R 2R Essa 9135 de seu valor inicial Esse resultado nao depende do valor combinagao esta em paralelo com o primeiro resistor portanto a inicial da energia resisténcia equivalente da combinacio de trés resistores é dada 265 Resposta nao Tratase de algo muito perigoso para ser por 1Reg WR 12R 32R Portanto Reg 2R3 feito O fusivel aceitara correntes de até 40 A o dobro do valor 262 Resposta malha chdac nao A Equaciio 2 menos a maximo da fiacgéo A quantidade de poténcia P PR dissipada Equaciio 1 resultaem 11 9 b 20 4 emuma secdo do fio pode portanto ser até quatro vezes maior 1 Q 41 Q 0 Podemos obter essa equacao aplicando a lei que o valor maximo portanto os fios podem sofrer aquecimento das malhas em torno do caminho de c para b parad paraaparac iciar um incéndio Isso pressupde que a resisténcia R per na Figura 2612 Nao se trata de uma nova equagio portanto ela nega inalter ada Na ver dade R aumenta com a temp eratura nao teria ajudado a resolver o Exemplo 266 de modo que a poténcia dissipada pode ser ainda maior e mais 263 Resposta a ii b iii Um amperimetro sempre deve perigosa que a estimada ser conectado em série com 0 elemento do circuito em questéo Problema em destaque e um voltimetro sempre deve ser conectado em paraleloO am a 939 J perimetro ideal teria resisténcia igual a zero e o voltimetro ideal b 202 X 10 W teria resisténcia infinita de modo que suas presencas nao surti ce 465 X 107s riam nenhum efeito sobre a corrente ou a voltagem do resistor d 743 X 10 W 27 CAMPO MAGNÉTICO E FORÇAS MAGNÉTICAS OBJETIVOS DE APRENDIZAGEM Ao estudar este capítulo você aprenderá 271 As propriedades dos ímãs e como eles interagem entre si 272 A natureza da força que um campo magnético exerce sobre uma partícula carregada em movimento 273 O quão diferentes são as linhas do campo magnético e as linhas do campo elétrico 274 Como analisar o movimento de uma partícula carregada em um campo magnético 275 Algumas aplicações práticas de campos magnéticos em química e física 276 Como analisar as forças magnéticas que atuam sobre condutores que conduzem correntes 277 Como os circuitos de corrente se comportam quando colocados em um campo magnético 278 Como funcionam os motores de corrente contínua 279 Como as forças magnéticas fazem surgir o efeito Hall Revendo conceitos de 110 Produto vetorial de dois vetores 34 54 Movimento circular uniforme 101 Torque 216 217 Linhas de campo elétrico e momento de dipolo elétrico 222 223 Fluxo elétrico e lei de Gauss 251 Corrente elétrica 263 Galvanômetros T odas as pessoas utilizam uma força magnética Ela está presente em motores elétricos em fornos de microondas em altofalantes nas impressoras de computadores e nas unidades de disco usadas em computadores Um dos aspectos mais familiares do magnetismo é o associado ao ímã permanente que atrai objetos de ferro não imantados e também atrai ou repele outro ímã A agulha de uma bússola alinhada ao campo magnético da Terra fornece um exemplo da interação mag nética Contudo a natureza fundamental do magnetismo é a interação produzida por cargas elétricas que se movem Diferentemente da força elétrica que atua sempre sobre uma carga quer ela esteja em movi mento quer esteja em repouso as forças magnéticas só atuam sobre cargas em movimento No Capítulo 21 estudamos que a força elétrica surge em duas etapas 1 uma carga produz um campo elétrico no espaço em sua vizinhança e 2 uma segunda carga reage a esse campo As forças magnéticas também surgem em duas etapas Em primeiro lugar uma carga em movimento ou um conjunto de cargas em movimento ou seja uma corrente elétrica produz um campo magnético A seguir uma segunda corrente ou carga em movimento reage a esse campo magnético e sofre a ação de uma força magnética Neste capítulo estudaremos a segunda etapa da interação magnética ou seja como as cargas em movimento reagem aos campos magnéti cos Estudaremos principalmente como calcular as forças magnéticas e os torques e descobriremos por que os ímãs conseguem atrair objetos metá licos como clipes de papel No Capítulo 28 completaremos a abordagem à interação magnética examinando como as cargas em movimento e as correntes produzem os campos magnéticos A agulha de uma bússola magnética aponta para o norte Esse alinhamento deve se a i uma força magnética na agulha ii um torque mag nético na agulha iii o campo magnético que a própria agulha produz iv as opções i e ii estão corretas v as opções i ii e iii estão corretas BookSEARSVol3indb 218 101115 701 PM Capítulo 27 Campo magnético e forças magnéticas 219 271 MAGNETISMO Os fenômenos magnéticos foram observados pela primeira vez há pelo menos cerca de 2500 anos em fragmentos de minério de ferro imantados nas proxi midades da antiga cidade de Magnésia agora chamada de Manisa no oeste da Turquia Esses fragmentos hoje são conhecidos como ímãs permanentes você provavelmente possui diversos ímãs permanentes presos na porta da geladeira de sua casa Verificouse que um ímã permanente exerce uma força sobre outro ímã ou sobre um pedaço de ferro não imantado Descobriuse que deixando uma haste de ferro em contato com um ímã natural ela se torna imantada Quando essa haste imantada flutua sobre a água ou é suspensa por um fio preso em seu centro ela tende a se alinhar com a direção nortesul A agulha de uma bússola comum nada mais é que um fragmento de ferro imantado como esse Antes de compreender a relação da interação magnética em termos de cargas em movimento as interações de ímãs permanentes e de agulhas de bússolas eram explicadas com base em polos magnéticos Quando um ímã permanente possui forma de barra podendo girar livremente uma de suas extremidades aponta para o norte Essa extremidade denominase polo norte ou polo N a outra extremidade é o polo sul ou polo S Os polos opostos se atraem e os polos iguais se repelem Figura 271 Um objeto que contém ferro porém não imantado ou seja quando não possui nenhuma tendência a apontar para o norte ou para o sul é atraído por qualquer um dos polos de um ímã permanente Figura 272 Essa é a atração que ocorre entre um ímã e a porta de aço de uma geladeira Por analogia à interação elé trica podemos descrever as interações mostradas nas figuras 271 e 272 afirmando que o ímã cria um campo magnético no espaço em torno dele e um segundo corpo sofre a ação desse campo A agulha de uma bússola tende a se alinhar ao campo magnético do local onde ela está A própria Terra é um ímã Seu Polo Norte geográfico está próximo do polo sul magnético razão pela qual o polo norte da agulha de uma bússola aponta para o norte O eixo de simetria do campo magnético da Terra não é paralelo ao eixo geo gráfico ou eixo de rotação de modo que a direção indicada pela agulha da bússola é ligeiramente desviada da direção geográfica nortesul Esse desvio que varia de um local para outro denominase declinação magnética ou variação magnética Além disso o campo magnético não é horizontal na maior parte dos pontos da su perfície terrestre o ângulo para cima ou para baixo indica a inclinação magnética Sobre os polos magnéticos o campo magnético é vertical A Figura 273 mostra um esboço do campo magnético da Terra As curvas cha madas de linhas do campo magnético mostram a direção e o sentido indicados pelas agulhas das bússolas em cada ponto essas linhas serão discutidas com detalhes na Seção 273 A direção do campo em cada ponto é definida pela força que o campo exerceria sobre um polo norte magnético situado no respectivo ponto Na Seção 272 descreveremos um modo mais fundamental para a definição do módulo da direção e do sentido de um campo magnético Polos magnéticos versus carga elétrica O conceito de polo magnético pode parecer semelhante ao de carga elétrica o polo norte e o polo sul podem parecer análogos a uma carga positiva e uma nega tiva Porém essa analogia pode causar confusão Embora existam cargas negativas e positivas isoladas não existe nenhuma evidência experimental da existência de um polo magnético isolado os polos magnéticos sempre existem formando pares Quando uma barra imantada é partida ao meio cada extremidade de cada pedaço constitui um polo Figura 274 A existência de um polo magnético isolado ou monopolo magnético teria consequências importantes para a física teórica Pes quisas intensas com o propósito de detectar monopolos magnéticos têm sido reali zadas porém até o momento nenhuma obteve êxito Figura 271 a Quando os polos opostos N e S ou S e N de um ímã estão muito próximos ocorre atração entre os ímãs b Quando os polos iguais N e N ou S e S de um ímã estão muito próximos ocorre repulsão entre os ímãs F F a Polos opostos se atraem F F b Polos iguais se repelem F F F F N S N S N S N S N S N S N S N S Figura 272 a Qualquer polo de um ímã atrai um objeto não imantado que contenha ferro como um prego b Um exemplo real desse efeito F a F F F b N S N S BookSEARSVol3indb 219 101115 701 PM 220 Fisica lll Figura 273 Esbogo do campo magnético da Terra O campo cuja origem imaginamos que seja a existéncia de correntes no nucleo liquido da Terra varia com 0 tempo os indicios geoldgicos mostram que esse campo inverte seu sentido em periodos irregulares da ordem de 10 a 10 anos Polo Norte geografico oo eixo de rotacdo da Terra O polo norte geomagnético é na verdade o polo sul magnético S c ele atrai 0 polo N de uma bussola aN Yo As linhas do campo Figura 274 Ao partir uma barra CL 7 SI Be magnético mostram 0 imantada cada pedaco passara a ter DWNT RN sentido para o qual uma um polo norte e um polo sul mesmo Lo bussola apontaria em que as partes sejam de tamanhos ls on y uma dada localizagao diferentes Quanto menor o pedago I O campo magnético da menos intenso sera 0 magnetismo Terra possui formato Ao contrario das cargas elétricas os polos 4 similar ao produzido magnéticos sempre se formam em pares e por uma simples barra nao podem ser isolados imantada embora ele b ma em di IN seja causado por correntes Quebrar um ima em duas partes IN LN AA elétricas no niicleo ss OS SS SZ 7 O eixo magnético da Terra Lf Ce parte de seu eixo geografico SRR rns SS geomagnético é na produz dois imas e verdade 0 polo norte Polo Sul geografico nao dois polos isolados magnético N Figura 275 Na experiéncia de A primeira evidéncia da relagdo entre oO magnetismo e 0 movimento de cargas Oersted uma bissola colocada foi descoberta em 1820 pelo cientista dinamarqués Hans Christian Oersted Ele diretamente sobre um fio horizontal verificou que a agulha de uma bissola era desviada por um fio conduzindo uma aqui visto de cima corrente elétrica conforme indica a Figura 275 Pesquisas semelhantes foram a realizadas na Franga por André Ampére Alguns anos depois Michael Faraday na Inglaterra e Joseph Henry nos Estados Unidos descobriram que 0 movimento de N A agulha um ima nas vizinhangas de uma espira condutora pode produzir corrente elétrica aponta para na espira Agora sabemos que as forgas magnéticas entre os dois corpos indicados WW E norte nas figuras 271 e 272 séo produzidas fundamentalmente pelo efeito magnético dos quando nao Z ss as existe nenhuma elétrons dos atomos no interior dos corpos Também ha interagoes elétricas entre 5 corrente os dois corpos mas elas séo muito mais fracas que as interagdes magnéticas por 10 que os dois corpos sao eletricamente neutros No interior de um corpo imantado como um ima permanente existe um movimento coordenado de alguns elétrons dos b Atomos em um corpo nao imantado esses movimentos nao sao coordenados Na A agulha oscila quando existe uma Secdo 277 descrevemos esses movimentos mais detalhadamente e mostraremos corrente O sentido da oscilagao depende 4 orj gem das interacOes indicadas nas figuras 271 e 272 do sentido da corrente a ays Verificase que as interagdes elétricas e magnéticas estao relacionadas Nos fr i capitulos seguintes desenvolveremos os principios unificadores do eletromagne N N tismo culminando com a formulagao desses principios nas equacdées de Maxwell Essas equagOes representam a sintese do eletromagnetismo do mesmo modo que Wi E We E as leis do movimento de Newton constituem a sintese da mecanica e assim como as leis de Newton essas equag6es representam uma imensa conquista intelectual S Ss da humanidade A A 1 Suponha que vocé corte a parte inferior T T TESTE SUA COMPREENSAO DA SEGAO 271 Suponha q p fe da agulha da bussola indicada na Figura 275a Vocé descarta essa parte faz um furo na parte superior que restou e coloca essa parte no pino localizado no centro da bissola Essa parte que sobrou da agulha ainda oscilara para leste e para oeste quando uma corrente for aplicada como na Figura 275b I Capitulo 27 Campo magnético e forgcas magnéticas 221 272 CAMPO MAGNETICO Para introduzirmos apropriadamente o conceito de campo magnético vamos BIO Aplicagao A lagosta fazer uma revisdo da formulacao da interacao elétrica apresentada no Capitulo espinhosa e bissolas 21 onde apresentamos o conceito de campo elétrico Descrevemos as interacdes agneéticas Embora a lagosta elétricas em duas etapas espinhosa Fanulirus argus tenha um sistema nervoso relativamente simples 1 Uma distribuicdo de cargas elétricas em repouso cria um campo elétrico Eno eélaé incrivelmente sensivel aos campos espaco em torno da distribuicao magnéticos Ela possui uma bussola as magnética interna que Ihe permite 2 O campo elétrico exerce uma forga F gE sobre qualquer carga g que esteja distinguir norte sul leste oeste Essa presente no campo lagosta também pode sentir pequenas Podemos descrever as interagdes magnéticas de modo andlogo diferengas no campo magnetico da Terra de um local para outro e pode usar essas 1 Uma carga mével ou uma corrente elétrica cria um campo magnético em suas giferencas para ajuddla a se orientar vizinhangas além de seu campo elétrico oe F 2 O campo magnético exerce uma forca F sobre qualquer outra corrente ou carga Se win rd que se mova no interior do campo aug i Neste capitulo vamos nos concentrar no segundo aspecto da interacao conside i rando um certo campo magnético qual a fora que ele exerce sobre uma corrente et ou sobre uma carga em movimento No Capitulo 28 voltaremos ao problema da a 4 determinagao de campos magnéticos criados por correntes e cargas em movimento F b j F Tal como no caso do campo elétrico o campo magnético é um campo vetorial i a ou seja tratase de uma grandeza vetorial associada a cada ponto do espacgo Vamos AM BPP usar o simbolo B para designar um campo magnético Em cada ponto do espago a direcao de B é dada pela diregao da agulha de uma bussola e 0 sentido aponta para o norte da agulha As setas indicadas na Figura 273 sugerem a direcdo e 0 sentido do campo magnético da Terra para qualquer ima 0 vetor B sai do polo norte e entra no polo sul Forgas magnéticas sobre cargas em movimento Sao quatro as principais caracteristicas da forca magnética que atua sobre uma carga em movimento Em primeiro lugar seu mdédulo é proporcional ao médulo da carga Se uma carga de 1 wC se move com a mesma velocidade de uma carga de 2 uC no interior de um campo magnético a forga magnética sobre a carga de 2 wC duas vezes maior que a forca magnética que atua sobre a carga de uC Em segundo lugar o médulo da forga também é proporcional ao médulo ou in tensidade do campo se dobrarmos 0 valor do médulo do campo por exemplo usando dois imas idénticos em vez de um sem alterar o valor da carga ou de sua velocidade a forga dobra A terceira caracteristica é que a forga magnética depende da velocidade da par ticula Esse comportamento é bastante diferente da forga do campo elétrico que é sempre a mesma independentemente de a carga estar em repouso ou em movi mento Uma particula carregada em repouso ndo sofre a acgao de forgas magné ticas A quarta é que a forga magnética F nao possui a mesma diregéo do campo magnético B mas em vez disso atua sempre em uma direcao simultaneamente perpendicular a diregao de Bea direcao da velocidade U Verificase que 0 mé dulo F da forga é proporcional ao componente da velocidade perpendicular ao campo quando esse componente for nulo ou seja quando U e B forem paralelos ou antiparalelos a forga magnética sera igual a zero A Figura 276 mostra essas relagoes A direcdo de Fé sempre perpendicular ao plano contendo U e B O médulo da forga dado por F qlvB IgluB send 271 em que lqgl é o médulo da carga e 0 4ngulo medido no sentido da rotagao do vetor U para o B como indicado na figura 222 Fisica lll Figura 276 A forcga magnética F que Essa descricéo nao especifica completamente o sentido de F existem sempre atua sobre uma carga positiva q que dois sentidos opostos na direco perpendicular ao plano de U com B Para comple se move com velocidade U é ow mw qe tarmos a descriao precisamos da regra da mao direita usada para definir 0 produto simultaneamente perpendicular a U e 5 ao campo magnético B Para dados vetorial na Segao 110 Antes de prosseguir seria conveniente voce fazer uma re valores do médulo da velocidade ve ViSAo daquela secao Desenhe os vetores U e B com suas origens no mesmo ponto da intensidade do campo magnético como na Figura 277a Imagine uma rotago do vetor até que ele fique na mesma B a maior fore ocorre quandoVeB direc do vetor B fazendo uma rotacdo do menor Angulo entre os dois vetores Sao perpendiculares soe a Per Feche os dedos de sua mAo direita em torno da linha perpendicular ao plano de U e B de modo que a rotacao dos dedos indique um sentido da rotagao de U para B A forca magnética seré igual a zero Entao seu polegar aponta no sentido da forga F que atua sobre uma carga positiva quando movimento de uma carga for Essa discussao mostra que a forca sobre uma carga g que se desloca com velo paralelo ao campo magnético ays ey oe cidade 0 em um campo magnético B possui mddulo diregdo e sentido dados por 8 Carga da particula 3 Forca magnética sobre tee Campo magnético uma particula carregada F qu Xx B 272 iment a em movanen Velocidade da particula b Quando 0 movimento de uma carga forma Z os gat sos Cl Esse 0 primeiro de uma série de produtos vetoriais que encontraremos ao um angulo com 0 campo magnético a ae Zn carga sofre uma forca magnética com estudar as relagdes que envolvem campos magnéticos E importante notar que a modulo F qvB qvB sen Equacao 272 ndo foi deduzida teoricamente mas obtida com base em observag6es Fé experimentais é perpen F yo opae oo dicular ao A Equagao 272 é valida para cargas tanto positivas quanto negativas Quando plano que B q negativa o sentido da forca F é contrario ao sentido do produto vetorial oe B X B Figura 277b Quando duas cargas de mesmo modulo e sinais opostos se U 5 1 No deslocam no mesmo campo B com a mesma velocidade Figura 278 as forgas SS possuem o mesmo méddulo porém com sentidos opostos As figuras 276 277 e 278 mostram diversos exemplos de relacées entre as diregdes e os sentidos de F U e B para cargas positivas e negativas Verifique se vocé entendeu as relacdes Quando 0 movimento da carga for indicadas nessas figuras icul Sti Z i B perpendicular ao campo magnético a A Equagao 271 fornece o médulo da forga magnética F na Equagao 272 Visto carga sofrera uma forga magnética oe 3 maxima com médulo Fg quB que féo angulo entre os vetores U e B podemos interpretar B sen como o componente de B perpendicular a 6 ou seja B Com essa notacao o médulo Fax da forga é dado por B F qlvB 273 q qVB 273 vu Le Figura 277 Como encontrar a direao e o sentido da forga magnética que atua sobre uma particula carregada em movimento a b Regra da mo direita para determinar a direcao e 0 sentido da forga magnética que atua sobre uma carga Se a carga for negativa a diregao e positiva que se move em um campo magnético o sentido da forga serao opostos aos or dados pela regra da mAo direita 3 FqvXB Coloque as origens de U e B no mesmo ponto Imagine a rotacdo de U para B no plano 8B B B através do Angulo menor q q v 5 Ao A forca atua ao longo de uma linha A forga atua ao Mio f ex B perpendicular ao plano vB Feche Plano 0B a longo desta linha direita os dedos da sua mdo direita em torno XY FquxB dessa linha na mesma diregao e v Ka sentido da rotag4o de v Seu polegar q i v apontara na direcao e no sentido B q em que a forga atua B FqXB Capitulo 27 Campo magnético e forgas magnéticas 223 Algumas vezes essa forma é mais conveniente sobretudo em problemas que Figura 278 Duas cargas de mesmo envolvem correntes em vez do movimento de particulas individuais Discutiremos 6dulo porém com sinais opostos se deslocando com a mesma as forgas que atuam sobre correntes mais adiante neste capitulo velocidade no mesmo campo Pela Equagao 271 vemos que as unidades de B devem ser as mesmas de Fqu magnético As forcas magnéticas Portanto as unidades SI de B sao equivalentes a 1 N sC m oucomo um ampére que atuam sobre as cargas possuem igual a um coulomb por segundo 1 A 1 Cs obtemos as unidades NA m mesmo médulo e a mesma Essa unidade denominase tesla abreviado por T em homenagem a Nikola Tesla diteao porém sentidos contrarios 18561943 eminente cientista e inventor sérvioamericano Entao Cargas positivas e negativas que se movem na mesma diregdo e sentido através de ltesla1T1NAm um campo magnético sofrem forgas magnéticas em A unidade de B do sistema cgs é 0 gauss 1 G 10T que também é muito usada sentidos contrdrios fF quX B O campo magnético da Terra é da ordem de 10T ou 1G Campos magnéticos B da ordem de 10 T ocorrem no interior dos atomos e sao importantes na andlise de a4q0 o espectros at6micos O maior campo magnético estacionario produzido em laborat6 B 3 rio até o momento é da ordem de 45 T Alguns eletroimas pulsantes podem produzir a b campos magnéticos de 120 T durante intervalos de tempo de um milissegundo 4 v FqwXB Mediao de campos magnéticos com cargas de teste Para pesquisarmos um campo magnético desconhecido podemos medir 0 médulo BO Aplicagao Campos magnéticos a direcao e o sentido da forga que atua sobre uma carga de teste que esta se movendo do corpo Todas as células vivas sao 50272 determinar B O feixe de elétr eletricamente ativas e as minusculas no campo a seguir usamos a Equagao 2 para determinar B O feixe de eletrons em correntes elétricas dentro de seu corpo um tubo de imagem como 0 dos televisores antigos nao de uma TV de tela plana produzem campos magnéticos fracos um dispositivo apropriado para fazer tais medig6es O canhao de elétrons disparaum porém mensuraveis Os campos feixe estreito de elétrons com uma velocidade conhecida Quando nio existe nenhuma Produzidos por musculos estruturais 10 forga capaz de desviar o feixe ele colide com o centro da tela possuem modulos menores que 10 T Quando um campo magnético esta presente em geral o feixe de elétrons se cerca de um milonesimo da forga do desvia Poré d locidade do feixe é lel lel campo magnético da Terra O cérebro esvia Porém quando a velocidade do feixe paralela ou antiparalela ao campo pymano produz campos magnéticos bem entao d 0 ou 7 na Equacao 271 e F 0 nao existe nenhuma forga e portanto mais fracos de apenas cerca de 102 T nenhum desvio Se o feixe de elétrons nao se desvia quando sua direcao é paralela aum certo eixo como na Figura 279a 0 vetor B deve apontar para cima ou para baixo ao longo desse eixo Se a seguir girarmos 0 tubo de 90 Figura 279b 72 na Equagao 271 e a forca magnética atingir seu valor maximo o feixe é desviado ao longo de uma direcdo perpendicular ao plano de B e de U O médulo e o sentido do desvio deter minam o modulo e o sentido do vetor B Podemos realizar outras experiéncias para Figura 279 Determinando a direao e 0 sentido de um campo magnético usando um eS tubo de raios catédicos Como os elétrons possuem uma carga negativa a forga je magnética F gU X B no item b aponta no sentido contrdario ao dado pela regra da ee mao direita veja a Figura 277b a Se o feixe de elétrons b Se o feixe sofre uma deflexdo no sentido de um tubo de raios y negativo do eixo Oz quando 0 eixo do tubo catédicos nao sofre paralelo ao eixo Ox entaéo o vetor B aponta nenhuma deflexao de baixo para cima quando o feixe é B y paralelo ao eixo Oy o vetor B aponta B para cima ou para 7 baixo ao longo x B desse eixo a v a 7 Feixe de elétrons z Uy 224 Fisica lll as quais 0 angulo entre Bet esteja compreendido entre 0 e 90 para confirmar a Equagdo 271 Observe que o elétron possui carga negativa a forga indicada na Figura 279b apresenta sentido contrario a forga que atua sobre uma carga positiva Quando uma particula carregada se move em uma regiao do espaco onde exis tem simultaneamente um campo elétrico e um campo magnético ambos os cam pos exercem forgas sobre a particula A forga resultante F éasoma vetorial da forga elétrica e da forga magnética F qE 0 XB 274 ESTRATEGIA PARA A SOLUCAQDE PROBLEMAS 271 FORGAS MAGNETICAS oo sssssseseseseseseees IDENTIFICAR os conceitos relevantes a equagao F qu Xx B 2 Lembrese de que Fé sempre perpendicular ao plano dos permite que vocé determine a forga magnética que atua sobre vetores Be BA regra da m4o direita ver Figura 277 in uma particula carregada em movimento dica a direcdo de U X B Quando q for uma carga negativa PREPARAR o problema por meio das seguintes etapas a forga sera oposta ao produto vetorial Ux B 1 Desenhe os dois vetores U e campo magnético Bcomas AVALIAR sua resposta sempre que possivel resolva o pro respectivas origens em um mesmo ponto de modo que blema usando dois métodos Aplique diretamente a defi vocé possa visualizar e desenhar o plano formado por nigao geométrica do produto vetorial A seguir determine esses dois vetores os componentes dos vetores em algum sistema com eixos 2 Identifique o Angulo entre Ue B convenientes e calcule o produto vetorial algebricamente 3 Identifique as varidveisalvo a partir dos componentes Verifique se os dois resultados EXECUTAR a solucdo conforme segue estao de acordo 1 Expresse a forga magnética usando a Equacao 272 F qu Xx BO médulo da forga é dado pela Equagao 271 F quB sen Um feixe de protons q 16 X 10 C se move a 30 X Figura 2710 Direcao e sentido de U e B para um feixe de 10 ms em um campo magnético uniforme com médulo igual protons em um campo magnético a 20 T orientado ao longo do eixo positivo Oz como mostra a y Figura 2710 A velocidade de cada proton esta contida no plano xz formando um Angulo de 30 com 0 eixo Oz Determine a forga que atua sobre o proton q x SOLUGAO BTS a v IDENTIFICAR EPREPARAR este problema usa a expressao F qv X B para o campo magnético F que atua sobre uma particula z carregada em movimento A variavelalvo é F EXECUTAR a carga é positiva portanto a forga esta no mesmo or sentido que o produto vetorial U X BA regra da mAo direita P xB a 16 x 10 C 30 x 10 ms 20 T mostra que a forga esta orientada para a parte negativa do eixo oa cA Oy Pela Equagao 271 o médulo dessa forca é X sen 30F cos 30 X k 48 x 104 Nj F quB send Lembrese de que 7 X k je kX k 0 Novamente se 16 X 107 C 30 x 10 ms 20 T sen 30 verifica que a forga esta no sentido negativo de Oy com mddulo 48 x 104 N igual a 48 X 104N AVALIAR para verificar nosso resultado avaliamos a forcga Seo feixe fosse constituido por elétrons em Vez de protons a usando a notac4o vetorial e a Equagaéo 272 Obtemos carga seria negativa q 16 x 10 C0 sentido da forga se mostraria oposto ao sentido anterior A forga seria entao B 30 X 10 ms sen 30 30 X 10 ms cos 30K orientada no sentido positivo do eixo Oy porém o médulo seria B 20 Tk o mesmo que o calculado anteriormente F 48 10 4N Capitulo 27 Campo magnético e forgas magnéticas 225 TESTE SUA COMPREENSAO DA SEGAO 272 A figura ao lado indica um campo mag 4X x x xX x x og Trajetéria 1 nético B orientado para o plano do papel preenchido por simbolos X Uma particula com B ee Oxt x carga negativa se move nesse plano Qual dos trés caminhos 1 2 ou 3 a particula 7 a x xX X X xX Ee xX xX x seguira I boLe Que 2 Se He Trajetéria 2 x XX XK XW K KX Nn 273 LINHAS DO CAMPO MAGNETICO E SS FLUXO MAGNETICO 5 AT ajet6ria 3 Podemos representar qualquer campo magnético pelas linhas do campo mag Figura 2711 Linhas do campo nético do mesmo modo que fizemos para 0 campo magnético da Terra na Figura magnético de um ma permanente 273 A ideia é idéntica 4 que empregamos para as linhas de campo elétrico intro Note que as linhas de campo passam duzidas na Seco 216 Desenhamos as linhas de tal modo que a linha que passa Pe interior do ima em cada ponto seja tangente ao vetor campo magnético B no ponto considerado Quanto mais Figura 2711 Assim como no caso das linhas de campo elétrico desenhamos ada pontoa compactadas forem 1 linh d f linhas d linha do campo é as linhas do campo apenas algumas linhas representativas e outra forma essas linhas everiam Pre tangente ao vetor do mais intenso seré 0 encher todo 0 espago Nos locais onde as linhas de campo sao agrupadas mais com campo magnético B campo nesse ponto pactamente o médulo do campo magnético é elevado quando a distancia entre as in B linhas for grande o médulo do campo magnético sera pequeno Além disso como Bs6 pode ter uma direga4o e um sentido em cada ponto concluimos que duas linhas 5 i bh de campo nao podem se interceptar Sw ATENGAO Linhas do campo magnético nao sao linhas de forca Diferentemente do caso das linhas do campo elétrico as linhas do campo magnético ndo apontam na 4 WY mesma diregao da forga que atua sobre a carga Figura 2712 A Equacao 272 mostra L que a forga que atua sobre uma particula que se move é sempre perpendicular ao campo i magnético e portanto é ortogonal a linha de campo magnético que passa pelo ponto cada ponto as portanto as P A Oya P E linhas do campo linhas do campo onde a particula esta A direcao da forca depende da velocidade da particula e do sinal ae d d d bservar a direcdo de uma linha d mpo maenético na apontam no mesmo magnetico apontam da carga de modo que apenas observar a diregao de uma linha de campo magneticon80 sentido que uma para fora dos é suficiente para a determinagao da direcao da forca que atua sobre uma particula carre biissola apontaria polos Ne para gada arbitraria que se move As linhas de campo magnético possuem a mesma diregaéo dentro dos polos S da agulha magnética de uma bussola colocada em cada ponto do campo isso pode ajudar a visualizar essas linhas As linhas do campo magnético produzidas por diversas fontes comuns de cam Figura 2712 Linhas do campo pos magnéticos sao indicadas nas figuras 2711 e 2713 No espaco vazio entre magneético ndo sao linhas de forga 2 e os polos do eletroima mostrado na Figura 2713a as linhas do campo sao quase B retas paralelas e igualmente espacadas 0 que mostra que 0 campo magnético nessa regiao é praticamente uniforme ou seja constante em mddulo diregao e sentido Ie m Como os padroes do campo magnético sao tridimensionais geralmente neces ERRADO ee ae 2s St sario desenhar linhas do campo magnético que apontam para dentro ou para fora t do plano de um desenho Para isso usamos um ponto pararepresentar um vetor AS linhas do campo magnetico ndo orientado para fora do plano e uma cruz X para representar um vetor orientado sobre a nticule carte nukes para dentro do plano Figura 2713b Esta uma boa forma de lembrar essas con orientada ao longo do sentido de uma veng6es pense em um ponto como a ponta de uma flecha que vem diretamente linha de campo em sua diregdo e pense na cruz como as penas de uma flecha se afastando de vocé As limalhas de ferro assim como as agulhas de uma bussola se orientam con Fcerto B forme as linhas do campo magnético Logo elas oferecem uma técnica familiar usada para a visualizagao das linhas do campo magnético Figura 2714 4 vf Fluxo magnético e leis de Gauss para 0 magnetismo O sentido da forca magnética depende oo poe Do da velocidade v conforme expressa pela Definimos 0 fluxo magnético Pp através de uma superficie de modo andlogoa jg Ga forca magnética F 18 XB P descricao do fluxo elétrico relacionado com a lei de Gauss na Se4o0 222 Podemos dividir qualquer superficie em elementos de area dA Figura 2715 Para cada elemento determinamos B 0 componente de B normal a superficie do elemento conforme indicado De acordo com a figura temos B B cos em que 0 226 Fisica Ill Figura 2713 Linhas de campo magnético produzidas por varias fontes comuns de campo magnético a Campo magnético de um ima em formato de C b Campo magnético de um fio retilineo longo que conduz uma corrente Entre polos magnéticos planos e paralelos Para representar um campo que esta orientado para campo magnético praticamente uniforme fora do plano do papel ou para dentro desse plano usamos pontos e cruzes respectivamente Be ee e e B orientado para fora do plano I i oe e e ih aio ca ee Hi TT 1x x xX xX 4B orientado para dentro do plano B x xX X xX Vista em perspectiva Fio no plano do papel c Campos magnéticos de uma espira circular e uma bobina cilindrica solenoide que conduzem uma corrente v I B Note que o campo da espira e principalmente o da bobina I se assemelham ao campo de I I uma barra imantada veja a Figura 2711 7 Figura 2714 a Como pequenas agulhas de uma bussola limalhas Figura 2715 O fluxo do campo de ferro sao alinhadas tangente as linhas do campo magnético magnético através de um elemento b Desenho das linhas de campo para a situagao mostrada em a de area dA é definido pela relagao a b dpz Bd yey ae ie ee ie si NG Net Age 1 By 3 ets ee feat as Be a bs ay ty oor ie er ese ae a ae MAE sal a ft le pe eee ee i ae A dA i a a Se ae Le ee em Lee oy 4 B a Sn uate S Ne a rege MR See PTO Ko Sa ee ae ee a Oe i ee he 5 XX San Bacay Pig cet gH Shr x pie Pea NG feng aN hoe a cs be pre ai hi ae e a 2 7 J 3 ike j f a bh fey a c 4 x te ST A ne A a WR ae ae tye Z met Fi ot ae ag NK po angulo entre a diregdo de B e a reta perpendicular a superficie Cuidado para nao confundir o angulo com p Em geral esse componente varia de ponto a ponto sobre a superficie Definimos o fluxo magnético dp através da superficie como dz BdA Bcos dA B dA 275 O fluxo magnético total através da superficie é a soma das contribuigées dos elementos de area individuais Médulo do campo Componente de B magnético B perpendicular a superficie Fluxo magnético os aavésdeuma Bp Boos dA B dA B dA 276 superficie ft F Angulo entre Be Elemento de Elemento de vetor normal a superficie area da superficie da area da superficie Capitulo 27 Campo magnético e forgas magnéticas 227 Reveja os conceitos do vetor da area e de integral de superficie introduzidos na Seco 222 O fluxo magnético é uma grandeza escalar No caso especial para 0 qual Bé uniforme sobre uma superficie plana com 4rea total A B e sio os mesmos em todos os pontos sobre a superficie e portanto Oz BA BAcos 277 Se B também é perpendicular a superficie paralelo ao vetor da area entao cos d 1 ea Equagio 277 se reduz a Pp BA Usaremos muito 0 conceito de fluxo magnético quando estudarmos a inducao eletromagnética no Capitulo 29 DADOS MOSTRAM A unidade SI de fluxo magnético é dada pela unidade de campo magnético 1 T multiplicada pela unidade de area 1 m Essa unidade é chamada de weber 1 Wb Foras magneticas linhas em homenagem ao fisico alemao Wilhelm Weber 18041891 SO aL Quando os alunos recebiam um problema sobre forgas 1Wb 1Tm magnéticas e linhas do campo magnético mais de 16 Também T 1 NA m portanto davam uma resposta incorreta Erros comuns 1Wb1Tm1NmA Esquecer que somente o componente do campo magnético perpendicular a Na lei de Gauss o fluxo elétrico total através de uma superficie fechada é pro velocidade de uma particula porcional a carga elétrica total existente no interior da superficie Por exemplo carregada causa uma forca quando a superficie fechada engloba um dipolo elétrico o fluxo total é zero porque sobre a particula Se nao a carga total é igual a zero Convém fazer uma revisdo da Sega4o 223 sobre a lei houver componente de Gauss Por analogia se existisse algo do tipo carga magnética tinica mono perpendicular nao haverd We as Z es forca magnética polo magnético o fluxo magnético total através de uma superficie fechada seria proporcional 4 carga magnética no interior da superficie fechada Porém conforme Esquecer que a forga aes magnética sobre uma dissemos apesar das intensas pesquisas nenhum monopolo magnético livre jamais particula carregada em foi observado Isso nos leva a lei de Gauss para 0 magnetismo RRO TTTOTTOTIAICirecioned ao longo de uma linha de O fluxo magnético total através de uma superficie fechada campo magnético Essa forga Lei de Gauss para sone é perpendicular ao campo 0 magnetismo BdA 0é sempre igual a zero 278 magnético bem como a velocidade da particula Vocé pode verificar a lei de Gauss para 0 magnetismo examinando as figuras 2711 e 2713 desenhandose uma superficie fechada em qualquer um dos mapas dos campos magnéticos indicados na figura vocé notara que cada linha do campo que entra na superficie também sai da mesma superficie 0 fluxo total através da superficie considerada é igual a zero Da Equacao 278 decorre que as linhas do campo magnético sempre devem ser fechadas ATENGAO Linhas do campo magnético nao tém extremos Diferentemente do caso de uma linha do campo elétrico que sempre comega e termina em cargas elétricas as linhas do campo magnético nunca possuem pontos extremos tais pontos indicariam a existén cia de um monopolo Vocé pode ficar tentado a desenhar linhas do campo magnético que comegam no polo norte de um ima e terminam no polo sul Mas como indica a Figura 2711 na verdade as linhas de campo de um ima continuam pelo interior do ima Como todas as demais linhas do campo magnético elas formam circuitos fechados Para a lei de Gauss que sempre se aplica a uma superficie fechada 0 vetor de area dA na Equaao 276 aponta invariavelmente para fora da superficie Contudo algumas aplicagées de fluxo magnético envolvem uma superficie aberta com uma linha de contorno nesse caso existe uma ambiguidade de sinal na 228 Fisica Ill Equacao 276 pois ha dois sentidos possiveis para o vetor dA Nesses casos devemos escolher um dos dois sentidos como positivo e usar consistentemente o sentido escolhido Quando o elemento de area dA na Equagaéo 275 forma um angulo reto com a linha do campo entéo B B chamando de dA 0 elemento de area obtemos dpz B 279 dA Ou seja o médulo do campo magnético é igual ao fluxo por unidade de area ao longo de uma area ortogonal ao campo magnético Por essa raz4o o campo mag nético B algumas vezes é chamado de densidade de fluxo magnético AUPE CALCULOS DE FLUXO MAGNETICO snus A Figura 2716a mostra a vista de perfil de um plano com area SOLUGAO 2 ys de 30 cm em um campo magnetico uniforme B Sabendo que IDENTIFICAR E PREPARAR nossas variaveisalvo séo o médulo o fluxo magnético através da area é igual a 090 mWb calcule Ln oe ee do campo B e a direcdo e o sentido do vetor da 4rea Como o o médulo do campo magnético e determine a diregao e 0 sentido Ba campo B é uniforme B e permanecem constantes em todos os do vetor da area A pontos sobre a superficie Logo podemos usar a Equagao 277 Oz BA cos Figura 2716 a Uma area plana A em um campo magnético og as 420 4 Zs uniforme B b O vetor da rea A forma um Angulo igual a 60 EXECUTAR a area A igual a30 x 10 ma dlirecao de Ae com B Se vocé considerasse A apontando no sentido oposto perpendicular a superficie de modo que pode ser 60 ou 120 seria igual a 120 e o fluxo magnético z seria negativo Porém z Be A possuem todos valores positivos logo cos também deve ser positivo Esse fato elimina a solugao 120 de a Vista de perspectiva b Nosso esquema para modo que 60 Figura 2716b obtemos esse problema visto 3 pela extremidade B e 090 X 10 Wo 60T z Acosp 30 X 104 m2 cos609 f 302 30 A 60 AVALIAR em muitos problemas devemos calcular o fluxo de Z determinado campo magnético através de determinada area Este 7 120 exemplo é um pouco diferente ele testa seu conhecimento da definigaéo do fluxo magnético TESTE SUA COMPREENSAO DA SEGAO 273 Imagine que vocé se mova ao longo do eixo do circuito pelo qual passa corrente da Figura 2713c partindo de um ponto bem a esquerda do circuito e terminando em um ponto bem a direita dele a Como a intensidade do campo magnético varia 4 medida que vocé se move ao longo dessa trajet6ria i Ela permanece a mesma em todos os pontos ao longo da trajet6ria i1 ela aumenta e a seguir diminui iii ela diminui e em seguida aumenta b A diregao do campo magnético varia a medida que vocé se move ao longo da trajetéria 274 MOVIMENTO DE PARTICULAS CARREGADAS EM UM CAMPO MAGNETICO Quando uma particula carregada se move no interior de um campo magnético atua sobre ela uma forgca magnética dada pela Equacéo 272 e seu movimento pode ser determinado pelas leis de Newton A Figura 2717a mostra um exemplo simples Uma particula com carga positiva g esta em um ponto O e se move com velocidade U em um campo magnético uniforme B penetrando no plano da figura Os vetores U e B sio perpendiculares de modo que a forga magnética F gu X B possui médulo F quB e sua direcao é indicada na figura A forga é sempre perpendicular a U de modo que ela nao pode alterar 0 médulo da velocidade apenas sua diregéo Explicando de outro modo a forga magnética nunca possui Capitulo 27 Campo magnético e forgas magnéticas 229 componente paralelo ao movimento da particula portanto uma forga magnética Figura 2717 Uma particula nunca pode realizar trabalho sobre a particula Isso permanece valido mesmo seo Ctregada se move em um plano Ses x Sant perpendicular a um campo campo magnético nao é uniforme eae 5 magnetico uniforme B a A 6rbita de uma particula carregada Quando uma particula carregada se move em uma regiao onde sé existe em um campo magnético uniforme campo magnético o médulo de sua velocidade permanece sempre constante Uma carga que forma Angulos retos em relagéo a um campo uniforme B se move com uma velocidade constante porque F Usando o referido principio vemos que para a situacdo indicada na Figura S40 sempre perpendiculares entre si 2717a os médulos dos vetores F e U permanecem constantes A medida que uma particula de massa m movese de O para P e S as diregdes da forga e da velocidade x x variam conforme o indicado porém os mddulos de todos os vetores permanecem S constantes A particula portanto se move sob a acao de uma forga de médulo cons QM x tante cuja diregéo sempre forma um Angulo reto com a direcdo da velocidade da x particula Comparando essa situagéo com a discussao sobre 0 movimento circular x uniforme feita nas segdes 34 e 54 vemos que a trajetoria da particula é circular x Wi 2 2 2 v sendo descrita com velocidade de mdédulo constante v A aceleracao centripeta é s x igual a vR e como a tinica forga que atua sobre a particula é a forga magnética SP R Cr de acordo com a segunda lei de Newton temos Me OG se 5 xB x x x x V R b Um feixe de elétrons indicado por Resolvemos a Equacaéo 2710 para obter a expressao para R um arco luminoso se curva em um campo magnético Massa da particula Velocidade da particula eee Raiodeuma 6rbita 4 PAO ae i a circular em um campo R Moédulo do campo magnético 2711 m Feixe de elétrons a magnético lq B ae Fescasneee Carga da particula i a al Quando a carga q negativa a particula se move em sentido hordrio ao redor F da 6rbita como na Figura 2717a 4 eae x of ed A velocidade angular w da particula pode ser encontrada pela Equacao 913 eS a v Rw Combinandoa a Equacgao 2711 obtemos Bobinas geram campo magnético perpendicular ao plano da foto v qiB qB o v 2712 R mu m O ntmero de rotag6ées por unidade de tempo é dado por f w277 Essa fre Figura 2718 O caso genérico de quéncia f é independente do raio R da trajetéria Ela é chamada de frequéncia 4 particula carregada que se move Ane 2 em um campo magnético uniforme ciclotr6nica em um acelerador de particulas chamado ciclotron as particulas se 3 ee De B Ocampo magnético nao realiza movem em Orbitas quase circulares e recebem aceleragao duas vezesem cada ciclo trabalho sobre a particula portanto fazendo aumentar a energia e o raio da 6rbita porém sem alterar sua frequéncia sua velocidade e energia cinética ou a velocidade angular Analogamente um magnetron uma fonte comumente permanecem constantes usada para gerar microondas para um forno de microondas e para sistemas de Quando a velocidade de uma particula radar emite uma radiagao com frequéncia igual 4 de um movimento circular de carregada possui um componente paralelo elétrons em uma c4mara a vacuo entre os polos de um ima uj um componente perpendicular v oe ar oe a direcao de um campo magnético Quando a diregao da velocidade inicial nao perpendicular 0 componente da niforme a particula descreve uma velocidade paralelo ao campo permanece constante porque nao existe nenhuma trajetéria helicoidal forca nessa direcio Portanto a particula descreve uma hélice Figura 2718 O y raio da hélice é dado pela Equagao 2711 em que v agora é 0 componente da ve v4 g ae d locidade perpendicular ao campo magnético B i O movimento de uma particula carregada em um campo magnético nao uniforme Yr vy ey aw é mais complexo A Figura 2719 mostra um campo produzido por duas bobinas a i circulares separadas por uma certa distancia Uma particula proxima a qualquer 8 uma das bobinas sofre a agao de uma forga magnética que a atrai paraocentroda 2 qg J B J J 230 Física III região partículas com velocidade suficientemente elevada descrevem uma espi ral de uma extremidade para outra e depois retornam para a extremidade inicial seguindo a mesma trajetória em sentido inverso Como as partículas carregadas podem ficar confinadas nesse tipo de campo magnético ele é chamado de garrafa magnética Essa técnica serve para confinar plasmas muito quentes com temperatu ras da ordem de 106 K De modo semelhante o campo magnético da Terra que não é uniforme confina partículas carregadas provenientes do Sol no interior de regiões em forma de rosquinha ao redor da Terra como indicado na Figura 2720 Essas regiões chamadas de cinturões de radiação de Van Allen foram descobertas em 1958 a partir dos dados obtidos pelos instrumentos a bordo do satélite Explorer I As forças magnéticas que atuam sobre partículas carregadas desempenham um papel importante nos estudos sobre partículas elementares A Figura 2721 mostra uma câmara cheia de hidrogênio líquido e com um campo magnético perpendicu lar ao plano da foto Um raio gama de energia elevada expele um elétron de um átomo de hidrogênio deslocandoo em alta velocidade e criando um traço visível no hidrogênio líquido O traço mostra um elétron se curvando de cima para baixo em razão da força magnética A energia da colisão também produz outro elétron e um pósitron um elétron com carga positiva Em virtude de suas cargas contrárias as trajetórias do elétron e do pósitron se curvam em sentidos opostos À medida que essas partículas se deslocam no interior do hidrogênio líquido elas colidem com outras partículas carregadas perdendo energia e velocidade Em consequência disso o raio de curvatura diminui conforme sugere a Equação 2711 A velocidade Figura 2720 a Cinturões de radiação de Van Allen em torno da Terra Nas proximidades dos polos partículas carregadas podem escapar desses cinturões e ingressar na atmosfera produzindo a aurora boreal luzes do Hemisfério Norte e a aurora austral luzes do Hemisfério Sul b Foto de uma aurora boreal a b Polo Sul Polo Norte Prótons confinados nos cinturões de radiação internos Elétrons confinados nos cinturões de radiação externos Partículas carregadas do Sol entram no campo magnético da Terra B S Pósitron se movimentando lentamente q 0 Início da trajetória de um raio gama Átomo de hidrogênio Elétron movimentando lentamente q 0 Elétron se movimentando rapidamente q 0 Figura 2721 Esta imagem obtida em uma câmara de bolhas é de um raio gama com energia elevada o qual não deixa nenhum traço que entra na câmara e colide com um elétron de um átomo de hidrogênio Esse elétron dispara em alta velocidade no sentido da direita Parte da energia da colisão é transferida para outro elétron e para um pósitron um elétron com carga positiva Um campo magnético é orientado para o plano da imagem fazendo com que as partículas positiva e negativa se curvem em sentidos diferentes v S B S v S B S F S v S B S F S F S I I Bobina 1 Bobina 2 Figura 2719 Uma garrafa magnética Partículas situadas próximo à extremidade da região sofrem a ação de uma força magnética orientada para o centro da região Isso fornece um método para confinar um gás ideal com temperatura da ordem de 106 K que poderia fundir qualquer material de um recipiente BookSEARSVol3indb 230 101115 701 PM Capitulo 27 Campo magnético e forgas magnéticas 231 do elétron é comparavel a velocidade da luz de modo que a Equacao 2711 nao pode ser diretamente aplicada neste caso Experiéncias semelhantes permitem que fisicos determinem a massa e a carga de particulas recémdescobertas ESTRATEGIA PARA A SOLUGAO DE PROBLEMAS 272 MOVIMENTO EM CAMPOS MAGNETICOS IDENTIFICAR os conceitos relevantes ao analisar 0 movimento EXECUTAR a solugdo conforme segue de uma particula carregada em campos elétricose em campos 1 Seas particulas se movem perpendicularmente a um campo magnéticos vocé deve aplicar a segunda lei do movimento de magnético uniforme a trajetoria é circular na qual o raio e Newton F ma em que a forga resultante é dada por SF a velocidade angular sao dados pelas equacées 2711 e qE U X B Em geral as outras forcas como as gravitacio 2712 respectivamente nais podem ser desprezadas Muitos problemas sao semelhan 2 Se os seus calculos envolvem uma trajetoria mais com tes aos do movimento circular discutidos nas secdes 33 34 e plexa a formula SF ma pode ser usada sob a forma de 54 seria conveniente fazer uma revisdo dessas secGes componentes SF ma assim por diante Esse método PREPARAR 0 problema por meio das seguintes etapas particularmente util quando existem simultaneamente um ee campo elétrico e um campo magnético 1 Determinar as varidvelisalvo 2 Geralmente 0 uso de componentes fornece 0 método mais AVALIAR sua resposta verifique se os resultados obtidos sao eficiente Escolha um sistema de coordenadas e a seguir razoaveis decomponha todas as grandezas vetoriais em termos de seus respectivos componentes nesse sistema BAU PELE MOVIMENTO DE ELETRONS EM UM MAGNE TRON Uma valvula magnetron de um forno de microondas emite mw 911 X 1073 kg 154 X 10 s ondas eletromagnéticas com frequéncia f 2450 MHz Qualé B 000877 T a lal 160 x 10C o médulo do campo magnético necessario para que os elétrons se oe Ani movam em Orbitas circulares com essa frequéncia AVALIAR esta é uma intensidade de campo moderada e pode ser facilmente obtida em laboratério com um ima permanente SOLUGAO A propésito as ondas eletromagnéticas de 2450 MHz sao par IDENTIFICAR E PREPARAR o problema se refere aum mo ticularmente Uteis para aquecer e cozinhar alimentos pois sao vimento circular como o indicado na Figura 2717a Usamos a fortemente absorvidas pelas moléculas de agua Equacao 2712 para determinar o médulo do campo magnético B EXECUTAR a velocidade angular que corresponde a frequéncia féo 2 f 277 2450 X 10s 154 x 10s Pela Equac4o 2712 obtemos SA PELER MOVIMENTO HELICOIDAL DE UMA PARTICULA EM UM CAMPO MAGNETICO Em uma situagao semelhante a indicada na Figura 2718 suponhaé exatamente igual ao raio fornecido pela Equagao 2711 para que a particula carregada seja um proton g 160 X 109C o movimento circular mas com v substituido pelo componente m 167 X 1027 kg e que 0 campo magnético uniforme de da velocidade perpendicular a B A velocidade angular w é 0500 T seja paralelo ao eixo Ox No instante t 0 0 proton pos dada pela Equagao 2712 que resulta na temperatura Tr para sui componentes da velocidade dados por v 150 X 10 ms UMA rotagao 0 periodo Dado o componente da velocidade v Oev 20 x 10 ms S6 existe a forca magnética atuando paralelo ao campo magnético podemos determinar 0 passo sobre o proton a Para t 0 calcule a forca que atua sobre o da hélice eo A proton e sua aceleracao b Determine o raio da trajetoria heli EXECUTAR a com B Bie U uf uk a Equagao 272 coidal resultante a velocidade angular do proton e 0 passo da resulta em hélice a distancia percorrida ao longo do eixo da hélice durante F qv x B qué vk x BR quBf uma rotacao 160 x 107 C 200 X 10 ms 0500 Tj SOLUGAO 160 x 10Nf IDENTIFICAR E PREPARAR a forga magnética dada por Lembrese 7 X 7 0 ekX j A aceleracao resultante é F qv X B a aceleracao resultante é dada pela segunda lei de Newton Como F perpendicular 4 U 0 médulo da veloci d F 160 X 10 4N 958 X 102 ms a dade do préton nao varia Logo o raio da trajetéria helicoidal m 167 X 107 kg J J Continua 232 Fisica lll Continuagdo b Como v 0 0 componente da velocidade perpendicular a O perfodo T 27w 27479 X 10s 131 x 1077s B év entao pela Equacao 2711 O passo é a distancia atravessada ao longo do eixo Ox nesse tempo ou palm 167 X 10 kg 200 X 10 ms T 150 X 10 ms 131 X 10 s B 160 X 107C0500 T Px i M 00197 m 197 mm 418 X 103 m 418 mm fe AVALIAR embora a forgca magnética tenha um médulo muito pe Pela Equacao 2712 a velocidade angular é queno ela produz uma imensa aceleracao pois a massa do proton é 9 muito pequena Observe que o passo da hélice é quase cinco vezes qB 160 X 107 C0500T 479 X 107 rad maior que seu raio R de modo que a hélice é muito mais esticada On 167 X 107 kg rae ao longo do eixo que a trajet6ria indicada na Figura 2718 TESTE SUA COMPREENSAO DA SEGAO 274 a Se vocé duplicar 0 médulo da ve locidade da particula carregada na Figura 2717a enquanto mantém o campo magnético constante assim como a carga e a massa como isso afetara 0 raio da trajetéria i O raio nao varia ii 0 raio dobra iii 0 raio é quatro vezes maior iv 0 raio se reduz 4 metade v 0 raio se reduz em i b Como isso afeta 0 tempo necessario para completar uma 6rbita circular i O tempo n4o varia ii o tempo dobra iii o tempo é quatro vezes maior iv o tempo se reduz pela metade v 0 tempo se reduz em i 1 Figura 2722 a Umseletorde 278 APLICACOES DO MOVIMENTO DE velocidades para particulas PARTICU LAS CARREG ADAS carregadas usa campos perpendiculares e B Somente Esta secdo descreve diversas aplicag6es dos principios introduzidos neste ca quando a velocidade da particula itu Estudeas cuidadosamente levando em conta as recomendacées feitas na dada por v EB ela pode se Estratéoi lucio d bl 272 Secio 274 deslocar sem deflex4o b As forgas stratégia para a solugao de problemas 272 Segao 274 elétrica e magnética que atuam sobre uma carga positiva Os sentidos dessas forcas se inverterao Seletor de velocidades quando a carga for negativa Em um feixe de particulas carregadas gerado por um catodo aquecido ou por um a Diagrama esquematico de um seletor Material radioativo nem todas as particulas se movem com a mesma velocidade de velocidades Muitas aplicacgGes porém requerem um feixe em que a velocidade de todas as 2 so ace La Fonte de particulas particulas seja igual Podemos selecionar particulas com velocidades especificas carregadas as ays mediante um seletor de velocidades que usa campos elétricos e campos magnéti Pela regra da mao cos Na Figura 2722a uma particula carregada com massa m carga q e velocidade direita a forga do v entra em uma regiao do espaco onde existe um campo magnético e um campo N 1 campo B que atua es x FLX copre a pomgarenn elétrico ambos perpendiculares 4 velocidade da particula e ortogonais entre si O se B para a direita campo elétrico E esta orientado da direita para a esquerda e o campo magnético B Ey A forca do campo E esta entrando no plano da figura Quando gq é positivo a forga elétrica com médulo x x 4 4 que atua sobre a gE orientada da direita para a esquerda e a forga magnética com mddulo quB é i carga aponta para orientada da esquerda para a direita Para dados valores dos mdédulos E e B para é x At 4 aa a esquerda um valor particular v a forca elétrica possui médulo igual ao da forga magnética a x o34 Para uma carga forga resultante é igual a zero e a particula se desloca em linha reta com velocidade hegativa os sentidos constante Isso aconteceré se gE quB Figura 2722b de modo que a velocidade x x de ambas as forgas Ina h desvio é se invertem V para a qual nao existe nenhum desvio é x x x x E b Diagrama do corpo livre para uma v B 2713 particula positiva Somente quando uma particula Somente particulas com velocidades iguais a EB podem passar através do campo Fe 2 Em Fe WB corregada possui sem sofrer nenhum desvio Ajustando os valores de E e B de modo apropriado v EB as forgas podemos selecionar particulas com determinadas velocidades para serem usadas v elétrica e magnética tA ye em outras experiéncias Como g foi eliminada e nao aparece na Equagao 2713 um se cancelam Todas as outras particulas seletor de velocidades funciona do mesmo modo tanto para cargas positivas quanto sofrem desvio para elétrons e outras cargas negativas Capitulo 27 Campo magnético e forgas magnéticas 233 Experiéncia de Thomson para determinar a razao em J J Thomson 18561940 realizando uma das experiéncias que marcaram o final do século XIX aplicou a ideia descrita anteriormente para medir a razAo entre a carga e a massa do elétron Para essa experiéncia realizada em 1897 no Cavendish Laboratory em Cambridge Inglaterra Thomson usou 0 dispositivo indicado na Fi gura 2723 Em um recipiente de vidro sob vacuo elevado os elétrons provenientes de um catodo quente sao acelerados e agrupados em um feixe por uma diferenga de potencial V entre dois anodos A e A A velocidade vu dos elétrons determinada pelo potencial V que os acelera A energia cinética ganha 5 mv é igual a diferenca da energia potencial eV em que e é o mddulo da carga do elétron 2eV smvueV ou 2714 m Os elétrons passam entre as placas P e Pe colidem com a tela no final do tubo que é recoberto com um material que se torna fluorescente cintila no ponto onde ocorre a colisao Os elétrons passam pelo tubo ao longo de uma trajetéria retilinea quando a Equacao 2713 é satisfeita ao ser combinada a Equagao 2714 teremos E 2ev e E 715 ogo B m om 2vB Todas as grandezas do membro direito podem ser medidas portanto a razao em entre a carga e a massa do elétron pode ser determinada Usando esse método impossivel medir e ou m separadamente somente a razdo entre essas grandezas pode ser verificada O aspecto mais relevante das medidas de Thomson de em que ele encontrou um unico valor para essa grandeza Ela nao dependia do material do catodo do gas residual do tubo nem de nenhum outro parametro da experiéncia Essa independén cia mostrou que as particulas do feixe agora chamadas de elétrons constituem um componente comum de toda matéria Portanto atribuimos a Thomson a descoberta da primeira particula subat6mica o elétron Até a data da edigao deste livro o valor de em mais preciso conhecido é elm 175882008839 x 10 Ckg Na expressao anterior 0 termo 39 indica a incerteza dos dois ultimos al garismos 88 Figura 2723 Dispositivo de Thomson para determinar a razao em de um elétron ite Vv i n Elétrons percorrem a trajet6ria do catodo para a tela 7 a oe Feixe de elétrons 4 4 B ZEx Fo a4 Zo B ANY Mh Sp Ty Te BRA Catodo Ne CIV Anodos o rs es é Y CO FE P Entre as placas P e P ha YQ oO campos E e B uniformes e ortogonais entre si XQ 234 Fisica lll Figura 2724 O espectrémetro de Quinze anos apés as experiéncias de Thomson o fisico norteamericano Robert massa Bainbridge utiliza um seletor Millikan mediu com precisao a carga do elétron veja o Problema desafiador 2381 de velocidades para produzir sn Z Esse valor com o valor de em pode ser usado para a determinagao da massa do particulas com velocidade constante v Na regido que possui um campo elétron O valor mais preciso conhecido até 0 momento é dado por magnético B as particulas com 3 massas mais elevadas m m m 91093829140 x 10 kg descrevem trajet6rias com um raio R maior R Rj La Espectrometro de massa D Técnicas semelhantes as usadas na experiéncia de Thomson de em podem ser a 7 1 empregadas para medir massas de fons e portanto massas at6micas e moleculares Tn Em 1919 Francis Aston 18771945 um aluno de Thomson construiu a primeira versao de um instrumento atualmente conhecido como espectrémetro de massa O releior ae Uma variante construfda por Bainbridge é mostrada na Figura 2724 fons positivos velocidades Z seleciona as provenientes de uma fonte passam através das fendas S 1 e So formando um feixe particulas com am estreito A seguir o feixe passa por um seletor de velocidades com campos E e B velocidades que et ortogonais entre si como ja descrito a fim de bloquear todos os fons exceto aque posse it Fiz les com velocidades v dadas pela razao EB Finalmente os fons passam em uma modulo igual a v EB a regiao onde existe um campo magnético B perpendicular ao plano da figura onde Detector de Li particulas eles se movem ao longo de arcos circulares com raio R determinado pela Equagao Ss 2711 R mvqB tons com massas diferentes colidem com a placa fotografica TO my My R em diferentes pontos e assim os valores de R podem ser medidos Supomos que e s wo 6 6 cada atomo tenha perdido um elétron de modo que o fon possua carga precisamente LV oT 7 B igual a e Conhecendo os valores de todas as grandezas nessa equacao exceto m O campo magnético separa as particulas podemos calcular a massa m do ion de acordo com a massa quanto maior a Um dos primeiros resultados desse trabalho foi a descoberta de que 0 nednio massa da particula maior 0 raio de possui duas espécies de atomos cujas massas at6micas sao 20 e 22 gmol Essas sua trajetoria a eo cA espécies agora sao chamadas de isétopos do elemento Experiéncias posteriores mostraram que muitos elementos possuem diversos is6topos atomos com pro priedades quimicas idénticas porém com massas diferentes por causa dos diferentes numeros de néutrons existentes em seus nticleos Esta é uma das muitas aplicagdes dos espectr6metros de massa em quimica e ffsica SAUTE UMA EXPERIENCIA PARA DEMONSTRAR COM cst Vocé monta um dispositivo para reproduzir a experiéncia de em b Pela Equagao 2713 o campo magnético requisitado é de Thomson com um potencial acelerador igual a 150 V e um 6 campo elétrico com médulo igual a 60 X 10 NC a Com que B E 60 X 10 NC 083T velocidade os elétrons se movimentam b Qual é o médulo do U 727 X 10 ms campo magnético necessario para gerar uma deflex4o zero do feixe de elétrons c Com esse campo magnético 0 que ocorreria c O aumento do potencial acelerador V produz um aumento com 0 feixe de elétrons se vocé aumentasse 0 potencial acelerana velocidade do elétron v Na Figura 2723 isso nao produz dor para um valor superior a 150 V aumento da forga elétrica de baixo para cima eE porém faz aumentar a forca magnética de cima para baixo evB Portanto SOLUGAO oO feixe de elétrons se encurvara para baixo e colidira na x tremidade do tubo em um ponto abaixo do que atingiria sem IDENTIFICAR E PREPARAR tratase da mesma situacao indi geflexao cada na Figura 2723 Usamos a Equacao 2714 para determinar ayaliAR o campo magnético requisitado é relativamente 0 modulo da velocidade dos elétrons e a Equacao 2713 para grande pois os elétrons esto se movendo muito rapidamente determinar 0 campo magnetico B 24 da velocidade da luz Se o campo magnético maximo EXECUTAR a a velocidade uv do elétron pela Equagao 2714 é disponivel é menor que 083 T a intensidade do campo elé trico E teria de ser reduzida para se manter a razao EB dese v V2emV V2176 X 10 Ckg 150 V jada na Equacao 2715 727 X 10 ms 0024 Capitulo 27 Campo magnético e forgas magnéticas 235 BECEICEZED DeTECTANDO VAZAMENTOS EM UM SISTEMA AVACUQ Nao existe quase nenhum hélio no ar atmosférico ambiente de trajet6ria circular descrito na Segao 274 Figura 2717 Usamos modo que se o hélio for borrifado na parte externa de um pe a Equac4o 2711 para B queno orificio de um sistema a vacuo sua presenga sera detectada EXECUTAR a distancia dada 0 didmetro da trajet6ria semicir na saida da bomba conectada a esse sistema Imagine que vocé cular indicada na Figura 2724 portanto 0 raio é R 5 1016 x queira projetar um detector de vazamentos de um sistemaa vacuo 102 m Pela Equacao 2711 R mvqB obtemos o seguinte que usa um espectrémetro de massa para detectar fons He carga resultado e 160 xX 107 C massa igual a 665 xX 1027 kg Os fons emergem do seletor de velocidades com velocidade igual a B mu 665 X 1077 kg 100 x 10 m s 100 X 10 ms Eles se encurvam descrevendo uma trajetéria qR 160 X 107 C 508 X 10 m semicircular pela agéo de um campo magnético Be sao detecta dos a uma distancia de 1016 cm da fenda 3 indicada na Figura 00818 T 2724 Calcule o médulo do campo magnético B Coo AVALIAR os detectores de vazamento de hélio sao dispositivos a reais bastante utilizados no diagnéstico de problemas com sis SOLUGAO temas de alto vacuo Nosso resultado indica que somente um IDENTIFICAR E PREPARAR 0 movimento do fon apés ele passar pequeno campo magnético é necessario 0 que torna possivel pela fenda 3 na Figura 2724 é exatamente 0 movimento em construir detectores relativamente compactos TESTE SUA COMPREENSAO DA SEGAO 275 No Exemplo 276 fons He com carga e se movem a 100 10 ms em trajetoria retilinea através de um seletor de velocida des Suponha que os fons He sejam substitufdos por fons He no qual ambos os elétrons foram removidos do atomo do hélio e a carga do jon é igual a 2e Qual é a velocidade em que os fons He devem atravessar o mesmo seletor de velocidades para que 0 movimento seja retilfneo i 400 X 10 ms ii 200 X 10 ms iii 100 X 10 ms iv 050 X 10 ms v 025 X 10 ms I 276 FORCA MAGNETICA SOBRE UM CONDUTOR CONDUZINDO UMA CORRENTE Como funciona um motor elétrico Dentro do motor existem condutores que conduzem cotrrente ou seja cujas cargas estao em movimento além de imas que exercem forgas sobre as cargas em movimento Logo existe uma forca magnética que atua sobre cada condutor que conduz uma corrente e essas forgas fazem o motor girar O galvanémetro de d Arsonval descrito na Sec4o 263 também usa as forgas magnéticas que atuam sobre condutores Podemos calcular a forga atuante sobre um condutor que conduz uma corrente Figura 2725 Forcas sobre uma comegando com a forca magnética F qu X B que age sobre uma tinica carga carga positiva se movendo em um em movimento A Figura 2725 mostra 0 segmento de um fio condutor retilineo C4utor que conduz uma corrente com secao reta A e comprimento a corrente escoa de baixo para cima O fio esta x x x x x x no interior de um campo magnético uniforme B perpendicular ao plano da figura Velocidadede WJ e orientado para dentro do plano Vamos supor inicialmente que as cargas em arate oe movimento sejam positivas Mais adiante mostraremos o que ocorre quando as de carga cargas sao negativas x xX xX x Xx A velocidade de arraste 0 esté orientada de baixo para cima perpendicularmente x xX x ix x ao vetor B A forga média sobre cada carga é F qa x B orientada da direita wo f wo para a esquerda como indica a figura uma vez que U e B sao perpendiculares o médulo da forga dado por F quB x KX x Xx Para deduzirmos uma express4o para a forga total sobre todas as cargas que x xX xX x x se movem ao longo de um comprimento do condutor com 4rea da sec4o reta A x x x BL J podemos usar a mesma linguagem adotada nas equagoes 252 e 253 da Secao 251 O numero de cargas por unidade de volume ou concentracgao de carga é n um segmento do condutor de comprimento possui volume A e contém um nimero de cargas igual a nAl A forga total F sobre todas as cargas que se movem nesse segmento possui médulo 236 Fisica Ill Figura 2726 Um segmentg de fio F nAl qugB nquA IB 2716 retilineo de comprimento I conduz uma corrente J na diregao e no sentido del A forca magnética Pela Equacdo 253 a densidade de corrente é dada por J nquvg O produto JA sobre esse segmento é fornece a corrente total J de modo que a Equacao 2716 pode ser reescrita na forma simultaneamente perpendicular a e ao campo magnético B FIB 2717 Forca F sobre um fio retilineo conduzindo uma corrente positiva e orientada formando um Angulo com um campo Quando o campo B nao é perpendicular ao fio e forma um Angulo com ele magnético B como na Figura 2726 podemos tratar a situagéo com 0 mesmo método adotado O médulo é F IB IlBsend na Secao 272 para uma tinica carga Somente o componente de B perpendicular A direcio e o sentido de F sao dados ao fio e 4 velocidade de arraste das cargas pode exercer forga esse componente pela regra da mio direita é dado por B Bsen d O médulo da forcga magnética sobre 0 segmento é entao ui F IIB IIB send 2718 BB send A forga é sempre perpendicular tanto ao condutor quanto ao campo e a mesma regra da mao direita que usamos para uma carga positiva que se move pode ser pws aplicada para determinar a diregdo e o sentido da forcga Figura 2726 Logo a een forga pode ser expressa como um produto vetorial como no caso da forga sobre uma tinica carga em movimento Representando 0 segmento do fio pelo vetor I ao longo do fio e com sentido idéntico ao da corrente entaéo a forga F que atua sobre o segmento é dada por Figura 2727 Os vetores campo Cee magnético B comprimentol e r aoe b Mw US forca F para um fio retilfneo que orga magnética sobre F 11 X BCampo magnético 2719 um segmento de fio retilineo 4 conduz uma corrente I Vetor comprimento do segmento aponta no sentido da corrente A Figura 2727 ilustra as diregdes e os sentidos dos vetores B 1 e F em dife F rentes casos Quando o condutor nao é retilineo podemos dividilo em segmentos infinitesi B mais dl A forca dF sobre cada segmento é x 7 I ous Corrente Z Forca magnética es So sobre um segmento dF 7 dl X Be Campo magnetico 2720 de fio infinitesimal oe b Vetor comprimento do segmento aponta no sentido da corrente Se 0 sentido de B se y inverte o mesmo ocorre A seguir podemos integrar a expressao anterior ao longo do fio para calcular com 0 sentido da forca mos a forga total sobre um condutor com qualquer forma A integral resultante é uma integral de linha a mesma operagdo matemiatica utilizada quando definimos B o trabalho Seao 63 e o potencial elétrico Secao 232 x b i I ATENGAO Corrente nao é um vetor Como discutimos na Segao 251 a corrente J nao é z F um vetor O sentido do fluxo das cargas é indicado pelo vetor dl e nao por I Se o condu tor for Curvo a corrente I sera a mesma em todos os pontos ao longo de seu comprimento c mas dl mudara de diregao e sentido de modo que seja sempre tangente ao condutor Invertendose o sentido da corrente em relaciio a b 0 y Finalmente 0 que ocorreria se as cargas que se movem fossem negativas como da forga se inverte elétrons em um metal Na Figura 2725 uma corrente de baixo para cima corres Fs ponde a uma velocidade de arraste de cima para baixo Porém como agora a carga q negativa a direcdo e o sentido da forga F sao os mesmos que no caso anterior Portanto as equacdes desde a 2717 até a 2720 sao validas qualquer que seja o sinal 3 x da carga mesmo quando ambos os sinais estao presentes isso ocorre em alguns t materiais semicondutores e em solug6es idnicas z Capitulo 27 Campo magnético e forgas magnéticas 237 Uma aplicacao comum das forgas magnéticas exercidas sobre um fio que conduz uma corrente pode ser observada em um altofalante Figura 2728 O campo mag nético radial criado pelo ima permanente exerce uma forga sobre a bobina do alto falante que proporcional a corrente que passa na bobina o sentido da forga pode ser para a direita ou para a esquerda dependendo do sentido da corrente O sinal proveniente do amplificador produz oscilagéo no mdédulo e no sentido da corrente O cone do altofalante que esta ligado 4 bobina responde com uma oscila4o cuja amplitude é proporcional 4 amplitude da corrente que percorre a bobina Quando giramos o botao para aumentar 0 volume do som ocorre um aumento da corrente do amplificador e portanto cresce a amplitude da oscilagéo do cone e aumenta a intensidade do som produzido pelo cone em movimento Figura 2728 a Componentes de um altofalante b O im4 permanente cria um campo magnético que exerce uma forga sobre a bobina do altofalante para uma corrente J no sentido indicado a forga é orientada para a direita Quando uma corrente elétrica oscilante percorre a bobina do altofalante o cone ligado a bobina oscila com a mesma frequéncia a b Cone rigido do Campo B altofalante do ima mis permanente Neb Cesto Bobina bth de voz linia a a oe Sentido do A Corrente movimento HL na bobina WT da pobina de voz VOZ dO id ates aL Anel cone do Frye Sinal do flexivel de altofalante amplificador suspensao a BECTIIEZEA ORCA MAGNETICA SOBRE UM CONDUTOR RETIINEO Uma barra de cobre retilinea conduz uma corrente de 500 A Figura 2729 Nosso esquema da barra de cobre visto de cima de oeste para leste em uma regifo entre os polos de um grande B120T N eletrofma Nessa regido existe um campo magnético no plano horizontal orientado para o nordeste ou seja considerando uma rotacao de 45 a nordeste com moddulo igual a 120 T a tampa 5 7 Determine o médulo a diregao e o sentido da forga magnética que W E atua sobre uma seco de 100 m da barra b Mantendose a barra J me no plano horizontal como ela deve ser orientada para que 0 mé dulo da forga seja maximo Qual é o médulo da forga nesse caso S SOLUGAO IDENTIFICAR E PREPARAR a Figura 2729 indica a situagio b Como F JIB sen F é maximo quando 90 logo I Tratase de um segmento de fio retilineoem um campo magnético perpendicular a B Para obtermos a forga F II X B de baixo uniforme que é a mesma situac4o indicada na Figura 2726 As para cima giramos a barra no sentido hordrio de 45 a partir da varidveisalvo deste problema so a forga F que atua sobre o seg orientacgao indicada na Figura 2729 de modo que a corrente passa mento de barra e o Angulo para o qual o médulo da forga é ma a ser orientada a sudeste Portanto F B 500 A 10 m ximo Podemos determinar o médulo da forga magnética usando 120 T 600N a Equagao 2718 e a direcdo e o sentido pela regra da mao direita aya AR verificamos o resultado do item a usando a Equacao EXECUTAR a o Angulo entre a diregdo da correnteeocampo 97 19 para calcular o vetor forga Se usarmos um sistema de co igual a 45 Pela Equagao 2718 obtemos ordenadas com 0 eixo x apontando para o leste 0 eixo y para o F IIB sen 500 A 10 m 120 T sen 45 424 N norte e 0 eixo Zz para cima teremos 100 mi B 120 T cos 45 sen 45 e A direcgao da forga é perpendicular ao plano formado pela cor oo 4 ls rente e pelo campo ambos contidos no plano horizontal Logo FIl XB a forga deve ser vertical a regra da mo direita mostra que o 500 A 10 mé X 120 T cos 45é sen 45 sentido da forga é de baixo para cima saindo do plano da figura 424 Nk Continua 238 Fisica Ill Continuagdo Observe que a forga maxima de baixo para cima de 600 N pode magnética é usada em alguns trens especiais de alta velocidade sustentar o condutor no ar contra a forca da gravidade ou seja para suspendélos acima dos trilhos A eliminacao do atrito das levitar magneticamente 0 condutor se seu peso for 600 Nesua rodas com os trilhos permite que o trem atinja velocidades su massa for m pg 600 N98 ms 612 kg A levitagéo periores a 400 kmh BECETIIEZED FORcA MAGNETICA SOBRE UM CONDUTOR CURVO nn Na Figura 2730 0 campo magnético B é uniforme e perpen Para 0 segmento curvo 2 a Figura 2730 mostra um segmento dicular ao plano da figura apontando para fora da pagina 4 cujo comprimento é di R d para um angulo 6 A regra da condutor conduzindo uma corrente J para a esquerda possui mao direita mostra que a direc4o do produto dl X B é radial eo trés segmentos 1 um segmento retilineo de comprimento L Sentido aponta para fora do centro veja se vocé é capaz de ve perpendicular ao plano da figura 2 uma semicircunferéncia de ificar isso Como dl e B sao perpendiculares o médulo dF da raio Re 3 outro segmento retilineo de comprimento L paralelo forga sobre o segmento dl dado por dF Idl B IR dO B ao eixo x Calcule a forca magnética total sobre esse condutor OS Componentes da forga sobre esse segmento sao dF IR d B cos dF IR dé Bsen 6 Figura 2730 Qual é a forga magnética total sobre 0 condutor Para determinarmos os componentes da forga total integramos y essas expressdes em fungao de 6 fazendo variar 0 0 até 6 7 ee para levar em conta a semicircunferéncia inteira Encontramos e e e e e e e e e e e dF e dF e estes resultados e e e B fora e e e e e Te oy e e 7 Ss yy dl A Fy 1RB cova 0 dF e e e oF e e e e e dl e 5 e 7 of oo Rk w Fy re sen6d0 2IRB a6 ss 0 I e e e e 0 e e e e e C x x f a kK L 080 Identro Logo F 2RB Finalmente somando as forgas sobre todos os trés segmentos encontramos a forga total na diregao y positiva e e e e e e e e e e e e e e e e F F Fy F 0 2RBj ILB IB2R Lf SOLUGAO AVALIAR por simetria poderiamos prever que 0 componente IDENTIFICAR E PREPARAR o campo magnético BBkéuni xdeF deveria ser igual a zero Na metade direita da semi forme portanto podemos obter as forgas F e F3 sobre os seg circunferéncia o componente x da forca é positivo orientado mentos retilineos 1 e 3 a partir da Equago 2719 Dividimos para a direita e na metade esquerda negativo orientado para segmento curvo 2 em um grande numero de segmentos re a esquerda portanto as contribuicées positivas e negativas da tilineos infinitesimais e determinamos a forga correspondente integral se anulam O resultado é que F é igual A forca que seria dF em cada segmento retilineo a partir da Equagao 2720 A exercida caso a semicircunferéncia fosse substitufda por um seg seguir integramos para determinar F A forga magnética total mento retilineo de comprimento 2R ao longo do eixo Ox Vocé no condutor é entéo F F F 2 F3 pode explicar por qué EXECUTAR para o segmento 1 L Lk Logo pela Equagao 2719 F IL x B 0Parao segmento 3 L Li de modo que F IL x B ILi x Bk ILB Qual Chave Barra TESTE SUA COMPREENSAO DA SEGAO 276 A figura ao lado mostra uma vista aérea orientagio 7 condutora de dois trilhos condutores sobre os quais uma barra condutora pode deslizar Um campo AB K xx x xX x magnético uniforme esta orientado perpendicularmente ao plano da figura conforme in x xl xox x x dicado Uma pilha deve ser conectada aos dois trilhos de modo que quando a chave for fe Trilho F B chada a corrente fluira através da barra e provocara uma forga magnética capaz de empur condutores oo rar a barra para a direita Em qual sentido A ou B a pilha deve ser colocada no circuito I x x x x x x K xX XxX xX xX xX 277 FORCA E TORQUE SOBRE UMA ESPIRA DE CORRENTE Condutores que conduzem corrente em geral sao fechados e formam espi ras de modo que é necessArio usar os resultados da Secao 276 para encontrar a forga magnética total e o torque total sobre um condutor em forma de espira Capitulo 27 Campo magnético e forgas magnéticas 239 Muitos dispositivos praticos utilizam a forga magnética ou o torque sobre uma espira condutora incluindo altofalantes Figura 2728 e galvanémetros Seao 263 Portanto os resultados desta seco so de suma importancia pratica Esses resultados também nos auxiliam a entender 0 comportamento do ima em forma de barra descrito na Seao 271 Como exemplo vamos examinar uma espira de corrente retangular em um campo magnético uniforme Podemos representar a espira como uma série de seg mentos retilineos Verificaremos que a forca total sobre a espira é igual a zero porém pode existir um torque resultante atuando sobre a espira com algumas propriedades interessantes A Figura 273la mostra uma espira retangular com lados de comprimentos a e b Uma linha perpendicular ao plano da espira isto normal ao plano forma um angulo com a direcao do campo magnético B e a espira conduz uma corrente Os fios que conduzem a corrente para dentro e para fora da espira e a fonte da fem foram omitidos para que 0 diagrama ficasse simples A forga F sobre 0 lado direito da espira comprimento a é orientada para a direita no sentido Ox conforme indicado Sobre esse lado B perpendicular a direcao da corrente e a forga sobre esse lado possui médulo F I1aB 2721 Uma forca F com mesmo modulo porém com sentido contrario atua sobre 0 lado oposto da espira como indica a figura Os lados de comprimento b formam um Angulo 90 com a diregao de B As forgas sobre esses lados sao os vetores F e F os médulos F desses vetores sao dados por F IbB sen90 IbB cos d As linhas de agao de ambas as forgas estao sobre 0 eixo Oy Figura 2731 Torque sobre uma espira conduzindo corrente em um campo magnético uniforme a b Os dois pares de forga atuando sobre a espira se cancelam portanto nenhuma forga resultante atua sobre a espira Entretanto as forgas sobre os lados a da espira F eF produzem um torque B O torque é maximo T UBabsen sobre aespira F quando 90 portanto B esta no plano da espira 0 angulo y sentido normal a espira entre um vetor F 1 normal para XN B espira e 0 campo men x H LF magnético Me B90 OX OF as we 6 L Fo O torque é igual a bw a b zero quando 0 B U end c como indicado neste Lv z sentido normal caso ou d 180 B yo a espira Em ambos os casos gb iu B é perpendicular ao NE I oe Us y F B B plano da espira B F a ee x I ss A espira est4 em J 2 SS equilibrio estdvel b F RF quando 0 e F estd em equilfbrio instavel quando 180 240 Fisica Ill A forga total sobre a espira igual a zero porque as forgas sobre os lados opostos se cancelam em pares A forca resultante sobre uma espira de corrente em um campo magnético uniforme é igual a zero Contudo 0 torque resultante geralmente é diferente de zero Talvez vocé queira fazer uma revisado da discussao sobre torque feita na Seco 101 As duas forgas Fe Fna Figura 2731a estao ao longo da mesma linha e portanto fornecem um torque resultante igual a zero em relagao a qualquer ponto Tanto a forcga F como a F estao ao longo de duas linhas diferentes e cada uma delas fornece um torque em torno do eixo Oy De acordo com a regra da mao direita para determinar a direcdo e o sentido do torque verificamos que os vetores dos torques produzidos por F e F atuam no sentido Oy e portanto o vetor do torque resultante 7 também O brago do momento para cada uma dessas forgas dado pela distancia perpendicular entre a linha de agao da forga e 0 eixo de rotagao é igual a b2 sen d de modo que o torque de cada uma dessas forcas possui médulo Fb2 sen d Usando a Equagao 2721 para F o médulo do torque resultante é dado por T 2Fb2 sen Ba b sen 2722 BIO Aplicagao Imagens por O torque atinge seu valor maximo quando 90 B esta no plano da espira e ressonancia magnética Nas imagens a normal a esse plano perpendicular a B Figura 2731b O torque é igual a zero por ressonancia magnetica RM um quando é igual a 0 ou 180 e a normal a espira paralela ou antiparalela ao paciente colocado em um campo no 2 Ln as Z magnético forte O nucleo de cada atomo campo Figura 2731c O valor 0 éuma posigdo de equilibrio estavel porque de hidrogénio no paciente atua como uma torque igual a zero nesse ponto e quando a espira gira ligeiramente a partir espira de corrente em miniatura com um dele o torque resultante tendera a fazéla girar de volta para 0 A posicgao momento de dipolo magnético que o alinha 180 corresponde a um equilibrio instdvel se ela for deslocada ligeiramente a ao campo aplicado As ondas de partir dessa posico a espira tenderé a se afastar ainda mais da posicao 180 radiofrequencia exatamente na frequencia A Figura 2731 mostra uma rotacao em torno do eixo Oy porém como a forca correta tiram esses momentos magnéticos oo do alinhamento A absorcao dessas ondas resultante sobre a espira é igual a zero a Equagao 2722 do torque permanece valida de radiofrequéncia pelo tecido é para qualquer escolha dos eixos O torque sempre tende a girar a espira na direcao proporcional a quantidade de hidrogénio de decrescente ou seja em diregao a posicao de equilibrio estavel 0 presente sso possibilita gerar Imagens A area A da espira igual a ab de modo que podemos reescrever a Equac4o dos detalhes no tecido macio rico em 9722 na forma hidrogénio que nao sao visivels em imagens de raios X Os raios X sao superiores a RM para 0 exame dos ossos Médulo do torque Corrente worn Médulo do campo magnético que possuem pouco hidrogénio sobre uma espira T TBA sen gre Angulo entre a normal 2723 5 1 de corrente s ao plano da espira ea 3 ae I 4 Area da espira dirego do campo pS ae ka Rie SY O produto JA denominase momento de dipolo magnético ou momento mag me y nético da espira para o qual usamos a letra grega ps mu 7 Oh fms i a ulA 2724 ae am arial i Essa grandeza analoga ao momento de dipolo elétrico introduzido na Secao 2 ee 217 Em termos de 4 o mdédulo do torque sobre uma espira de corrente é 7TuBsend 2725 em que é o 4ngulo entre a normal ao plano da espira dada pela direcao e sentido do vetor da drea A e o vetor B Uma espira de corrente ou qualquer outro corpo que sofra um torque magnético dado pela Equagdo 2725 também é chamada de dipolo magnético Capitulo 27 Campo magnético e forgas magnéticas 241 Torque magnético forma vetorial Também podemos definir um vetor do momento magnético com médulo Figura 2732 A regra da mao direita igual a JA isso é indicado na Figura 2731 A direcdo de ji é definida como a per 4terminaa diregao e 0 sentido do pendicular ao plano da espira com sentido determinado pela regra da mAo direita momento magnético de uma esp ne oo eo que conduz uma corrente Essa é a conforme indicado na Figura 2732 Enrole os dedos da sua mao direitaemtornoda mesma direco e o mesmo sentido periferia da espira no sentido da rotacao da corrente A seguir estenda seu polegar do vetor area da espira A IA é de modo que ele fique perpendicular ao plano da espira sua direc4o e seu sentido uma equagio vetorial coincidem com o vetor e com o vetor da d4rea Ada espira O torque atinge seu 1 valor maximo quando ff é perpendicular a B e é zero quando esses vetores sao VA paralelos ou antiparalelos Na posigdo de equilibrio estével i e B sio paralelos Finalmente podemos descrever essa interacgéo em termos de torque 7 de modo analogo ao que usamos para descrever as interagdes de um dipolo elétrico na Se Lge f cao 217 Pela Equacio 2725 o médulo de 7 é igual ao médulo de X Be pela Figura 2731 vemos que as diregdes também obedecem a esse mesmo produto S vetorial Logo r Vetor do torque sobre 0 a ee aa uma espira de corrente T X B Campo magnético 2726 O resultado anterior é diretamente andlogo ao que encontramos na Secao 217 para o torque exercido por um campo elétrico E sobre um dipolo elétrico com momento de dipolo Dp Energia potencial para um dipolo magnético Quando um dipolo magnético muda de orientagéo em um campo magnético o campo realiza um trabalho sobre ele Para um deslocamento angular infinitesimal dd 0 trabalho dW é dado por td e ocorre uma variagaéo correspondente da ener gia potencial Como sugere a discussao anterior a energia potencial U é minima quando jie B sio paralelos e maxima quando esses vetores sao antiparalelos Para determinarmos uma expressao para a energia potencial U em fungao da orientacao note que 0 torque sobre um dipolo elétrico em um campo elétrico é dado por 7 px E verificamos na Secao 217 que a energia potencial correspondente é U p EO torque sobre um dipolo magnético em um campo magnético dado por T EX B logo concluimos imediatamente que Energia potencial para eo Momento de dipolo magnético um dipolo magnético U h B pBcos p Angulo entre 2727 em um campo magnético Campo magnético ues Figura 2733 O conjunto de retangulos se superpGe a espira plana irregular em seu limite Com essa definicao U é igual a zero quando o momento de dipolo magnético quando o ntimero de retangulos é perpendicular ao campo magnético 90 entéo U a B MB cos tende ao infinito e a largura de cada 90 0 retangulo tende a zero Uma espira plana de IT qualquer formato Torque magnético espiras e bobinas pm Pode ser aproximada ae por um conjunto Embora tenhamos deduzido todas as equagdes desde a 2721 até a 2727 para if Ny de espiras uma espira retangular todas essas relagdes continuam validas para uma espira plana Pp etangulares com qualquer forma Qualquer espira plana pode ser aproximada com o grau de if I precisao que desejamos por um nimero muito grande de espiras retangulares con forme indicado na Figura 2733 Se todas essas espiras conduzem a mesma corrente Lt iy em sentido horario entao as forgas e os torques sobre os lados de espiras adjacentes AK se cancelam e somente os torques e as forgas que nao se cancelam sao produzi Ses dos pelas correntes em torno do limite externo Logo todas as relag6es anteriores T 242 Fisica lll permanecem validas para uma espira de corrente plana de qualquer forma com um momento magnético dado por IA Também podemos generalizar toda essa discussao para uma bobina formada por um conjunto de N espiras planas agrupadas de modo compacto para isso sufi ciente multiplicar cada forga o momento magnético o torque e a energia potencial correspondentes a cada espira por um fator N Figura 2734 O torque X B Um arranjo de interesse particular 0 solenoide um enrolamento helicoidal de sobre este solenoide em um campo um fio como um fio bobinado sobre um cilindro circular Figura 2734 Quando magnético uniforme esta orientado o enrolamento é compacto o solenoide pode ser aproximado por muitas espiras diretamente para o plano da pagina wae a Ls circulares situadas em planos perpendiculares ao eixo longitudinal do cilindro O Um solenoide real possui muito mais espiras enroladas de modo torque total sobre um solenoide em um campo magnético simplesmente é dado pela mais compacto soma dos torques sobre cada espira individual Para um solenoide com N espiras ji em um campo magnético B o momento magnético é dado por uw NIA e p 7 NIAB sen b 2728 I em que o Angulo entre o eixo do solenoide e a diregéo do campo O vetor do momento magnético ji esta ao longo do eixo do solenoide O torque é méximo A 7 quando o eixo do solenoide é perpendicular ao campo magnético e zero quando eles 4 sao paralelos O efeito desse torque tende a fazer 0 solenoide girar até que seu eixo a fique paralelo ao campo Os solenoides também s4o tteis como fontes de campos i magnéticos como discutiremos no Capitulo 28 b VA B O galvanémetro de d Arsonval descrito na Secdo 263 usa o torque magnético i sobre uma bobina que conduz uma corrente Como indica a Figura 2614 o campo O torque tende a fazer o solenoide girar magnético nao é uniforme porém radial de modo que as forgas laterais sobre a em sentido horario no plano da pagina bobi dicul P 1 E alinhando o momento magnético ji com obina sao sempre perpendiculares ao seu plano ortanto o angulo na quagao o campo B 2728 sempre igual a 90 e o torque magnético é diretamente proporcional a corrente independentemente da orientacdo da bobina Um torque restaurador pro porcional ao deslocamento angular da bobina é fornecido por duas molas capilares que também servem como contatos elétricos 4 bobina Quando uma corrente é fornecida para a bobina ela gira com seu ponteiro até que o torque restaurador seja exatamente igual ao torque magnético Logo o desvio do ponteiro do galvanémetro é proporcional a corrente 2AUPEZED TORQUE MAGNETICO SOBRE UMA BOBINA CIRCULAR nnn Uma bobina circular com raio de 00500 m possui 30 espiras e Figura 2735 Nosso esquema para este problema esta situada sobre um plano horizontal Ela conduz uma corrente de 500 A no sentido antihorario quando observada de cima Me para baixo A bobina esta em um campo magnético uniforme 50 2 B120T orientado da esquerda para a direita com modulo igual a 120 T i JS Calcule o médulo do momento magnético e o médulo do torque r00500 m sobre a bobina 1500A SOLUGAO IDENTIFICAR E PREPARAR este problema usa a definicdo de a momento magnético e a expressao para o torque sobre um dipolo O Angulo entre a diregao de B ea diregao de x que esta ao magnético em um campo magnético A Figura 2735 mostra longo da normal ao plano da bobina é igual a 90 Pela Equacao a situacdo A Equacio 2724 fornece 0 médulo do momento 2725 torque sobre a bobina magneético de uma unica volta do fio para N voltas o momento T Mota B sen 118 A m2 120 T sen 90 magnético é N vezes maior A Equagao 2725 fornece o mddulo 141Nm T do torque EXECUTAR a drea da bobina é A 7 Pela Equagao 27240 AVALIAR o torque tende a fazer o lado direito da bobina girar momento magnético total de todas as 30 voltas é para baixo e o lado esquerdo girar para cima até que ela atinja 2 uma posiao na qual a normal a seu plano seja paralela a B Miotal NIA 30500 A a 00500 m 118 A m Capitulo 27 Campo magnético e forgas magnéticas 243 ENERGIA POTENCIAL DE UMA BOBINA EM UM CAMPO MAGNETICO Se a bobina do Exemplo 279 gira a partir de sua orientagéo EXECUTAR pela Equagao 2727 a energia potencial inicial é inicial até uma posigdo na qual seu momento magnético seja paralelo a B qual a variacdio de sua energia potencial AU U2 U pB cos 62 MB cos 1 SOLUGAO pBcos 2 5098 1 aera es 118 A m2 120 T cos 0 cos 90 141 J IDENTIFICAR E PREPARAR a Equacao 2727 fornece a energia potencial para cada orientagao A posi4o inicial é a indicada na AVALIAR a variagao de energia potencial diminui porque a ro Figura 2735 com 90 Na posicio final a bobina é girada tagao ocorre no mesmo sentido do torque magnético que encon a 90 no sentido hordrio de modo que fé e B sejam paralelos Mos no Exemplo 279 para que o Angulo entre esses vetores seja dy 0 Dipolo magnético em um campo magnético nao uniforme Vimos que a forcga resultante sobre uma espira de corrente ou seja um dipolo magnético é igual a zero quando ela esta em um campo magnético uniforme A Figura 2736 mostra duas espiras de corrente em um campo magnético ndo uni forme B produzido por uma barra imantada em ambos os casos a forca resultante sobre cada espira ndo igual a zero Na Figura 2736a 0 momento magnético possui sentido oposto ao do campo e a forga dF I dl X B sobre um segmento da espira possui tanto um componente radial quanto um componente orientado para a direita Quando essas forgas s40 somadas para determinar a forga resultante F sobre a espira os componentes radiais se cancelam de modo que a forga resultante é orientada para a direita afastando a espira do ima Note que nesse caso a forga é direcionada no sentido da regiao na qual as linhas de campo esto mais afastadas e o campo magnético B é menor A polaridade do ima esta invertida na Figura 2736b de modo que nesse caso ji e B sao paralelos agora a forcga resultante sobre a es pira orientada para a esquerda no sentido da regiao onde 0 campo magnético é mais forte nas vizinhangas do polo do ima Mais adiante nesta segao retomaremos essas observagoes para explicar por que um ima pode atrair pequenos objetos de ferro nao magnetizados Figura 2736 Forgas nas espiras de corrente em um campo B nao uniforme Em cada caso 0 eixo da barra imantada é perpendicular ao plano da espira e passa por seu centro a A forca resultante sobre esta bobina sempre b A forga resultante sobre a mesma bobina se afasta do polo norte do ima sempre se aproxima do polo sul do ima F resultante F resultante S dF 5 fr dF 8 NN 8 fog aor fe ee er ee Y we Y dF Dipolos magnéticos e como os imas funcionam O comportamento de um solenoide em um campo magnético Figura 2734 assemelhase ao de um ma em forma de barra ou a agulha de uma bussola caso eles possam girar livremente o solenoide e 0 ima se orientam de modo que fiquem com 0s respectivos eixos paralelos ao campo B Em ambos os casos isso decorre da interagdo entre um campo magnético e as cargas elétricas em movimento a di ferenga é que no caso de um ima em forma de barra o movimento da carga ocorre na escala microscépica do atomo Imagine um elétron como uma bola carregada girando Nessa analogia a circu lagdo da carga em torno do eixo de rotagdo é semelhante a uma espira de corrente e o elétron adquire um momento magnético resultante Essa analogia embora 244 Física III útil não é exata um elétron não é na realidade uma esfera girando Uma expli cação completa da origem do momento magnético do elétron envolve a mecânica quântica que foge aos objetivos deste capítulo Em um átomo de ferro alguns momentos magnéticos dos elétrons alinhamse entre si e o átomo possui um mo mento magnético resultante Em contraste os átomos de quase todos os elemen tos possuem momento magnético pequeno ou igual a zero Em um fragmento de ferro não magnetizado não existe nenhum alinhamento global dos momentos magnéticos dos átomos a soma vetorial desses momentos magnéticos é igual a zero e o momento magnético resultante também é zero Figura 2737a Porém em uma barra imantada os momentos magnéticos de muitos átomos são paralelos e existe um momento magnético resultante apreciável Figura 2737b Quando o ímã fica paralelo a um campo magnético o campo exerce um torque dado pela Equação 2726 que tende a alinhar a Figura 2737c Uma barra imantada tende a alinhar seu eixo ao campo de tal modo que uma reta que liga o polo sul ao polo norte do ímã possua a mesma direção e o mesmo sentido de portanto o significado real do polo norte e do polo sul de um ímã é que eles representam respectivamente a parte dianteira e a traseira do momento de dipolo magnético O torque que atua sobre uma espira de corrente em um campo magnético também explica como um objeto de ferro semelhante ao indicado na Figura 2737a tornase imantado Quando um clipe de papel é colocado próximo a um ímã poderoso os momentos magnéticos dos átomos do clipe tendem a se alinhar ao campo magnético do ímã Quando o clipe é removido seus dipolos atômicos tendem a permanecer alinhados e o clipe adquire um momento magnético resultante O clipe pode perder sua magnetização se for aquecido a energia interna acrescentada pelo aquecimento faz seus dipolos ficarem orientados ao acaso e o momento resultante se anula A descrição do dipolo magnético de um ímã em forma de barra explica as forças de atração e repulsão entre os ímãs indicados na Figura 271 O momento magnético de um ímã em forma de barra aponta de seu polo sul para o polo norte portanto as espiras de corrente nas figuras 2736a e 2736b são equivalentes a um ímã em forma de barra com seu polo norte no lado esquerdo Logo a situação descrita na Figura 2736a é equivalente a dois ímãs em forma de barra com seus respectivos polos norte próximos um do outro a força resultante é repulsiva como na Figura 271b Na Figura 2736b novamente temos a equivalência entre dois ímãs em forma de barra porém agora com o polo sul do ímã da esquerda em frente ao polo norte do ímã da direita A força resultante é de atração como na Figura 271a Finalmente podemos explicar como um ímã consegue atrair um objeto de ferro não magnetizado Figura 272 Tratase de um processo com duas etapas Ini cialmente os momentos magnéticos atômicos do ferro tendem a se alinhar ao campo do ímã de modo que o ferro adquire um momento de dipolo magnético resultante paralelo ao campo A seguir o campo não uniforme do ímã atrai o dipolo magnético A Figura 2738a mostra um exemplo O polo norte do ímã está próximo do prego que contém ferro e o dipolo magnético produzido no prego é equivalente a uma espira de corrente que circula em sentido oposto ao indicado na Figura 2736a Portanto a força magnética resultante sobre o prego é oposta à força sobre a espira indicada na Figura 2736a e o prego é atraído pelo ímã Trocandose a polaridade do ímã como indicado na Figura 2738b ocorre inversão de ambos os sentidos dos vetores e A situação agora é equivalente à indicada na Figura 2736b analogamente ao caso da espira naquela figura o prego é atraído pelo ímã Portanto um objeto não magnetizado contendo ferro sempre é atraído por qualquer um dos polos de um ímã Em contraste objetos de cobre alumínio ou madeira não são atraídos por ímãs os momentos de dipolos magnéticos desses materiais caso não sejam nulos possuem uma tendência muito pequena a se alinharem ao campo magnético externo Nossa discussão sobre a interação entre ímãs e objetos de ferro foi apenas uma abordagem superficial de um assunto conhecido como propriedades magnéticas dos materiais Essas propriedades serão analisadas com maior profundidade na Seção 288 Figura 2737 a Uma barra de ferro não imantada Somente alguns momentos magnéticos atômicos representativos são indicados b Uma barra de ferro imantada ímã em forma de barra O momento magnético resultante do ímã aponta do polo sul para seu polo norte c Uma barra de ferro imantada em um campo magnético t S B S m S m S a Ferro não imantado os momentos magnéticos se orientam ao acaso b Em uma barra de ferro imantada os momentos magnéticos se alinham N S N S mátomo S c Um campo magnético cria um torque sobre a barra de ferro imantada que tende a alinhar seu momento dipolo ao campo B S B S m S m S a b N S N S B S Figura 2738 Um ímã em forma de barra atrai objetos de ferro não imantados em duas etapas Inicialmente o campo produz um momento magnético resultante no prego depois como o campo magnético do ímã não é uniforme o dipolo magnético resultante é atraído pelo ímã A atração é a mesma no caso de o prego estar próximo a do polo norte ou b do polo sul do ímã BookSEARSVol3indb 244 101115 702 PM Capitulo 27 Campo magnético e forgas magnéticas 245 TESTE SUA COMPREENSAO DA SECAO 277 A Figura 2713c mostra as linhas do campo magnético em fungao de uma espira circular que conduz corrente a Quais so a direc4o e o sentido do momento magnético dessa espira b Qual lado da espira é equiva lente ao polo norte de um ima e qual lado é equivalente ao polo sul 278 O MOTOR DE CORRENTE CONTINUA Os motores elétricos desempenham um papel importante na sociedade con temporanea Em um motor 0 torque magnético atua sobre um condutor que conduz corrente e a energia convertida em energia mecanica Como exemplo vamos examinar um tipo simples de motor de corrente continua cc mostrado na Figura 2739 A parte mével do motor é 0 rotor uma extensao de fio formada por uma espira aberta e livre para girar em torno de um eixo As extremidades dos fios do rotor sao ligadas a dois segmentos condutores que formam um comutador Na Figura 2739a cada um dos dois segmentos dos comutadores entra em contato com um dos terminais ou escovas ligadas a um circuito externo que inclui uma fonte de fem Isso produz uma corrente que entra no rotor pelo lado esquerdo em vermelho e sai pelo direito em azul Portanto o rotor é uma espira de corrente com momento magnético O rotor esta situado entre os polos opostos de um ima permanente de modo que existe um campo magnético B que exerce um torque 7 pt X B sobre o rotor Para a orientagao do rotor indicada na Figura 2739a 0 torque faz 0 rotor girar em sentido antihordario o que alinharé com B Na Figura 2739b o rotor girou 90 a partir de sua orientagao na Figura 2739a Se a corrente através do rotor fosse constante o rotor estaria agora em sua posiao de equilibrio ele simplesmente oscilaria em torno dessa orientagao Porém aqui o comutador entra em acao nesse instante as duas escovas estao em contato com ambas as partes isolantes dos segmentos dos comutadores Nao ha diferenga de po tencial entre os segmentos do comutador nenhuma corrente flui através do rotor e Oo momento magnético é igual a zero Em virtude da inércia 0 rotor continua a girar no sentido antihorario e a corrente flui novamente através do rotor como indica a Figura 2739c Porém agora a corrente entra pelo lado do comutador oposto ao in dicado na Figura 2739a Embora a corrente esteja circulando em sentido contrario Figura 2739 Diagrama esquematico de um motor cc simples O rotor é uma espira de fio que pode girar livremente ao redor de um eixo as extremidades do rotor sao ligadas a dois condutores curvos que formam o comutador Para maior clareza as duas metades do comutador sAo realcadas com as cores vermelha e azul Entre os dois segmentos do comutador existe um material isolante a As escovas sao alinhadas com os segmentos b O rotor girou 90 c O rotor girou 180 do comutador w Eixo de rotacao 10 gr Rotor Gy T 2 T Escova Y B AR p0 Y B i Zo Comutador 70 ji yf Vj yor 2 A corrente entra pelo lado esquerdo vermelho Cada escova esta em contato com ambos As escovas estao novamente alinhadas aos do rotor e sai pelo lado direito azul os segmentos do comutador de modo segmentos do comutador Dessa vez a O torque magnético faz o rotor girar no que a corrente nao passa pelo rotor corrente entra pelo lado originalmente sentido antihorario Nenhum torque magnético atua sobre direito azul e sai pelo lado originalmente o rotor esquerdo vermelho Logo 0 torque magnético volta a atuar sobre o rotor no sentido antihordrio 246 Fisica Ill Figura 2740 Este motor de um em relacao aos comutadores 0 prdprio rotor girou 180 e o momento magnético drive de disco magnético usadoem pogsui a mesma direcaio e o mesmo sentido do campo magnético Portanto o torque um computador possui 12 bobinas magnético 7 na Figura 2739c possui a mesma direco e o mesmo sentido que o que conduzem corrente Elas 5 interagem com imas permanentes da Figura 2739a Gragas ao comutador a corrente se inverte a cada giro de 180 sobre uma plataforma giratéria nao de modo que o torque sempre faz o rotor girar no sentido antihorario Quando o mostrada para fazéla girar Este motor ganha velocidade o torque magnético médio é equilibrado por um torque projeto é 0 inverso do indicado na oposto produzido pela resisténcia do ar pelo atrito nos mancais do motor e entre Figura 2739 em que os imas as escovas e os segmentos do comutador permanentes sao estacionarios e a O motor simples indicado na Figura 2739 possui uma tinica espira em seu rotor bobina gira Como ha miultiplas Em motores praticos o rotor apresenta muitas espiras isso produz um aumento bobinas 0 torque magnético é quase vue constante e a plataforma giraauma 20 Momento magnético e no torque de modo que o motor pode girar com cargas taxa que também muito constante Maiores O torque também pode aumentar utilizandose um campo magnético mais ai forte por isso muitos motores s4o projetados com eletroimas em vez de imas Outra T dificuldade do modelo simples indicado na Figura 2739 que o médulo do torque aumenta e diminui a medida que o rotor gira Isso pode ser remediado empregando Pa AE i be no rotor bobinas independentes orientadas com angulos diferentes Figura 2740 f F SS A i a oe a Poténcia para motores elétricos f Como o motor converte energia elétrica em energia mecanica ou trabalho ele necessita de um suprimento de energia elétrica Se a diferenca de potencial entre os Fa mn Ss terminais for igual a V e a corrente for igual a J entao a poténcia fornecida sera iY eA P Vapl Mesmo quando as bobinas do motor possuem resisténcia desprezivel ey 17 deve existir uma diferenga de potencial entre os terminais para que P seja dife al rente de zero Essa diferenga de potencial é produzida principalmente pelas forcas bel VZ magnéticas exercidas sobre as correntes nos condutores do rotor a medida que ele Bobinas gira no campo magnético A fem associada denominase fem induzida também chamada de fem de realimentacdo porque seu sentido é oposto ao da corrente No Capitulo 29 estudaremos uma fem induzida que surge em virtude do movimento de condutores em um campo magnético Para um motor em série o rotor conectado em série ao eletroima que produz um campo magnético em um motor com ligacao em paralelo ou shunt eles s4o conectados em paralelo Para um motor em série com resisténcia interna 7 V é maior que e a diferenca é aquela de potencial r através da resisténcia interna Ou seja Vip EIr 2729 Como a forga magnética é proporcional a velocidade ndo é constante mas sim proporcional a velocidade de rotagao do rotor Um motor cc com seu rotor e suas bobinas de campo ligadasem 120 V através do motor e a corrente J 400 A que passa pelo série possui uma resisténcia interna igual a 200 O Quando est4 motor Usamos a Equaciio 2729 para determinar a fem a partir girando com sua carga total em uma linha de 120 V ele recebe dessas grandezas A poténcia fornecida ao motor é Vp a taxa uma corrente de 400 A a Qual é a fem no rotor b Qual é ge dissipacdo da energia é Pr e a saida de poténcia pelo motor a poténcia fornecida pela fonte ao motor c Qual a taxade a diferenca entre o fornecimento de poténcia e sua dissipacao dissipagao de energia na resisténcia interna d Qual apotencia 1 eficigncia e é a raziio entre a saida de poténcia mecanica e 0 mecanica desenvolvida e Qual é a eficiéncia do motor 10 consumo de energia elétrica que ocorreria se por uma falha o rotor repentinamente deixasse EXECUTAR a pela Equaciio 2729 V Ir temos de girar 120 V 400 A 2009 e portanto 112V SOLUGAO b A poténcia fornecida ao motor a partir da fonte é IDENTIFICAR E PREPARAR este problema usa os conceitos de poténcia e diferenca de potencial em um motor cc em série Pentrada Vabl 120 V 400 A 480 W Conhecemos a resisténcia interna r 200 Q a voltagem V Continua Capitulo 27 Campo magnético e forgas magnéticas 247 Continuagdao c A poténcia dissipada na resisténcia r é I Vab 120 V 60 A or 2000 Piissipada Pr 400 A 200 V 32 W d A poténcia mecdnica desenvolvida a poténcia elétrica que a poténcia dissipada na resistncia r tornase entra no motor menos a potncia dissipada na resisténcia do motor P P Piissipada Pr 60 A 200 Q 7200 W supondo que nao ocorra nenhuma outra perda de poténcia AVALIAR caso essa sobrecarga excessiva nao queime um fusivel Pratda P Paissipada 480 W 32 W 448 W saida entrada dissipada ou desligue um disjuntor as bobinas rapidamente se fundem e A eficiéncia e do motor a raz4o entre a poténcia lfiquida na Quando 0 motor ligado surge uma corrente mais elevada até saida do motor e a poténcia que entra no motor que o motor adquira velocidade Esse surto inicial produz uma voltagem maior que a normal V JR na fonte de alimentaga4o o Pratda 448 W 093 93 que supre a corrente Um efeito semelhante ocorre quando as Pantrada 480 W luzes de uma casa brilham com pouca intensidade no momento em que o motor do arcondicionado ou da maquina de lavar rou f Quando o rotor deixa de girar repentinamente a fem de Pas comega a funcionar realimentaao que é proporcional 4 velocidade do rotor cai para zero De acordo com a Equacao 2729 a corrente passa para TESTE SUA COMPREENSAO DA SECAO 278 Ao circuito indicado na Figura 2739 vocé acrescenta uma chave conectada em série 4 fonte de fem de modo que a corrente possa ser ligada e desligada Quando vocé fecha a chave permitindo que a corrente flua o rotor passara a girar independentemente de sua orientac4o original A realidade das forgas que atuam sobre as cargas que se movem no interior de um condutor em um campo magnético é demonstrada de maneira espetacular pelo efeito Hall analogo ao desvio transversal de um feixe de elétrons em um campo magnético no vacuo Esse efeito foi descoberto pelo fisico norteamericano Edwin Hall em 1879 enquanto ele ainda era um aluno de graduagao Para descrevermos esse efeito vamos considerar um condutor em forma de uma tira larga como na Fi gura 2741 A corrente esté no sentido x e existe um campo magnético uniforme B perpendicular ao plano da tira no sentido y A velocidade de arraste da carga movel com méddulo Iq possui médulo v A Figura 2741a mostra 0 caso de uma carga negativa como o caso dos elétrons de um metal e a Figura 2741b mostra uma carga positiva Em ambos os casos a forga magnética é orientada de baixo para cima assim como a forga magnética sobre um condutor depende do sentido da corrente e nao do fato de a carga ser positiva ou negativa Em ambos os casos uma carga moével se move para a extremidade superior da tira sob a agao da forcga magnética F Iql vaB Figura 2741 Forgas sobre portadores de carga de um condutor em um campo magnético a Portadores de carga negativa elétrons b Portadores de carga positiva Os portadores de carga sio empurrados para Os portadores de carga positiva sao novamente 0 topo da tira empurrados para yO otopodatira 2 b ve i b vy B AK 5 y le Bia By v t F q F iy ty q ale Jy a Va J bey f x x hy 4 By a ty i a By a de modo que 0 ponto a esteja aum potencial de modo que a polaridade da diferenga de mais elevado que o ponto b potencial seja oposta a dos portadores de carga negativa 248 Fisica Ill Se os portadores de carga sao elétrons como na Figura 274 1a cargas negativas em excesso se acumulam na extremidade superior da tira deixando cargas positivas em excesso em sua extremidade inferior Esse actimulo de cargas continua até que o campo eletrostatico transversal EB tornese suficientemente grande para produzir uma forca elétrica mdédulo IglE igual e oposta a forga magnética mddulo IglvB Depois disso as cargas que se movem nao sofrem mais nenhum desvio produzido por nenhuma forga transversal para desviar as cargas em movimento Esse campo elétrico produz uma diferenga de potencial transversal entre as extremidades opos tas da tira denominada voltagem Hall ou fem Hall A polaridade depende do sinal da carga que se move A experiéncia mostra que para uma tira metalica a extre midade superior da tira na Figura 2741a tornase negativamente carregada o que mostra que os portadores da carga em um metal sao na verdade elétrons negativos Contudo quando o portador de carga positivo como na Figura 2741b entao as Cargas positivas se acumulam na extremidade superior e a diferenca de potencial é oposta a situagao indicada no caso de cargas negativas Logo apoés a descoberta feita por Hall em 1879 verificouse que alguns materiais em particular alguns semicondutores exibem uma fem Hall oposta a existente nos metais como se os portadores de carga fossem positivos Hoje sabemos que nesses materiais ocorre a chamada condugdo por buracos No interior de tais materiais ha lugares chamados buracos que deveriam ser ocupados por elétrons mas que na realidade estao va zios A auséncia de carga elétrica negativa equivale a uma carga elétrica positiva Quando um elétron se move para preencher um buraco ele deixa outro no local onde se encontrava Portanto o buraco se move em sentido contrario ao do elétron Em termos dos eixos coordenados na Figura 2741b 0 campo eletrostatico E para 0 caso da carga g positiva esta no sentido z seu componente E negativo O campo magnético esta no sentido e podemos escrever esse campo como By A forga magnética no sentido z é dada por quaBy A densidade de corrente J esta no sentido x No caso estacionario quando as forgas gE e quaBy somam zero gE quby0 ou FE vBy Isso confirma que quando q positiva E negativo Pela Equagao 254 a densidade de corrente J dada por J nqva Eliminando v entre as equac6es anteriores obtemos Concentragao de wwe Densidade de corrente Efeito Hall Portadores de carga J B Campo magnético em movimento nq 2730 ereironneredota Eee Campo eletrostatico no condutor Note que o resultado anterior assim como toda a dedugao é verdadeiro tanto no caso de g positiva como negativa Quando gq negativa E positivo e viceversa Podemos medir J By e Ez para determinarmos 0 produto ng Tanto no caso de metais como no de semicondutores g possui médulo igual ao da carga do elétron de modo que 0 efeito Hall possibilita uma determinagao direta de n a concentracgao dos portadores de carga no material O sinal das cargas é determinado pela polari dade da fem Hall conforme descrevemos O efeito Hall também pode ser usado para a medicao direta da velocidade de arraste do elétron v em metais Como vimos no Capitulo 25 essas velocidades sao muito pequenas geralmente da ordem de 1 mms ou menos Quando deslocamos o condutor em sentido oposto ao da corrente com uma velocidade igual a de arraste entao todos os elétrons permanecem em repouso em relagéo ao campo magnético e a fem Hall desaparece Portanto a velocidade do condutor necessaria para fazer a fem Hall se anular é igual a velocidade de arraste Capitulo 27 Campo magnético e forgas magnéticas 249 Uma placa de cobre com 200 mm de espessura e 150 cm de Entio pela Equacao 2730 comprimento é colocada em um campo magnético uniforme de 6 5 040 T como indicado na Figura 2741a Quando vocé faz passar n JxBy 25 X 10 Am 040 T uma corrente de 75 A no sentido x verifica por meio de uma gE 160 X 1019 C 54 X 105 Vm medida cuidadosa que o potencial na parte inferior da placa é 83 081 V mais elevado que no topo A partir dessa medida deter 116 10 m mine a concentraca4o dos elétrons no cobre AVALIAR 0 valor real de n para o cobre é igual a 85 X 1078 m3 SOLUGAO oO que mostra que o modelo simples do efeito Hall usado nesta Se secao 0 qual despreza os efeitos das interagdes quanticas dos IDENTIFICAR E PREPARAR este problema descreve uma ex elétrons e dos fons deve ser usado com cuidado Este exemplo periéncia com 0 efeito Hall Usaremos a Equagao 2730 para também mostra que para um bom condutor a fem Hall é muito obtermos a concentracao n de elétrons méveis pequena mesmo quando a densidade de corrente é elevada Os EXECUTAR inicialmente encontramos a densidade de corrente dispositivos que usam 0 efeito Hall para medidas de campo J 0 campo elétrico E magnético utilizam materiais semicondutores para os quais até I 5A mesmo densidades de corrente moderadas fornecem uma fem i s TH 25 X 10 Amm Hall muito maior A 20 X 103 m 150 X 10 m pa 981 x 10 Vv 54 x 105V d 155X107 m TESTE SUA COMPREENSAO DA SEGAO 279 Um fio de cobre de secio reta quadrada esta orientado verticalmente Os quatro lados do fio estao voltados para o norte o sul o leste e 0 oeste HA um campo magnético uniforme orientado do leste para 0 oeste e 0 fio carrega a corrente de cima para baixo Qual lado do fio possui potencial elétrico mais elevado i Lado norte ii lado sul iii lado leste iv lado oeste I CAPITULO 27 RESUMO Forcas magnéticas as interagées magnéticas sio Ff quxB 272 B fundamentalmente interag6es entre particulas carre gadas em movimento Essas interag6es s4o descritas fer pelo vetor do campo magnético designado pelo sim v 4 bolo B Uma particula com carga q que se desloca 4 com velocidade U em um campo magnético B sofre a a acao de uma forca F que é perpendicular a ambos U e B A unidade SI de campo magnético 0 tesla 1 T NA m Veja o Exemplo 271 Campo magnetico e fluxo magnetico um campo Boos dA 67g magnético pode ser representado graficamente pelas in linhas do campo magnético Em cada um de seus dA pontos a linha do campo magnético é tangente a BdA 276 77 Bi diregao de B no ponto considerado O campo mag a nético é mais forte nas regides onde as linhas do 2 campo magnético estado distribuidas de modo mais BdA compacto O fluxo magnético z através de uma superficie é definido de forma andloga a definigao 8 do fluxo elétrico A unidade SI de fluxo magnético é pB dA 0 278 o weber 1 Wb 1 T m2 O fluxo magnético total 7 através de qualquer superficie fechada é igual a zero sureriae teakashy lei de Gauss do magnetismo Consequentemente as linhas de campo magnético sempre formam tra jetorias fechadas Veja o Exemplo 272 250 Fisica lll Movimento em um campo magnético a forga p 2711 x BR magnética é sempre perpendicular a U quando so qB x x mente forcas magnéticas atuam sobre uma particula gph o médulo de sua velocidade permanece constante x Em um campo uniforme uma particula com velo Yi cidade inicial perpendicular a um campo magnético x 1 ww movese ao longo de uma circunferéncia com raio Boo 8 R que depende da forga do campo magnético B e da massa da particula m do médulo da velocidade v e da carga q exemplos 273 e 274 Campos elétricos e magnéticos perpendiculares podem ser usados como um seletor de velocidade As forgas elétricas e magnéticas se cancelam exa tamente quando v EB Veja os exemplos 275 e 276 Forga magnética sobre um condutor um segp Ff xB 2719 F mento retilineo de um condutor conduzindo a dy corrente em um campo magnético uniforme B ex S sy US By perimenta uma forca F que é perpendicular tanto a Bp dFId xB 2720 quanto ao vetor I que aponta na diregao da corrente NB e possui mdédulo igual ao comprimento do segmento W3i A mesma relagao fornece a forca dF sobre um seg NI mento infinitesimal dl Veja os exemplos 277 e 278 Torque magnetico a forca resultante sobre umaes 7 IBA sen 2723 z pira de corrente com area A e corrente em um campo magnético uniforme B e igual a ZEIO porém o torque 7 x B 2726 B i que atua sobre a espira possui um modulo 7 O vetor torque 7 pode ser expresso com base no momento de dipolo magnético IA da espira assimcomo UypBpBcosd 2727 pe a energia potencial U de um momento magnético x em um campo magnético B O momento magnético Bb Cat de uma espira depende somente da corrente e de sua area ele independe da forma da espira Veja F os exemplos 279 e 2710 Motores elétricos em um motor cc um campo magnético exerce torque sobre uma corrente que Eixo de rotacéo passa no rotor O movimento do rotor através do campo magnético produz uma fem induzida Gy Rotor chamada fem de realimentacgao Para um motor em série no qual a bobina do rotor esta em série com as bobinas que produzem 0 campo magnético a voltagem em seus terminais é dada pela i By fem de realimentagdo somada ao valor r da diferenga de potencial através da resisténcia interna z Veja o Exemplo 2711 acon Bb Comutador Y 1 Efeito Hall 0 efeito Hall é a diferenga de poten JBy Z cial medida perpendicularmente 4 diregaio da cor 4 EL 2730 5 rente que passa em um condutor colocado em um a campo magnético A voltagem Hall é determinada ia J ES pela condicao de que a forga elétrica associada seja d E J exatamente igual a forga magnética que atua sobre a a a x carga que se move As medidas de efeito Hall podem 7 By la ttt ser usadas para determinar o sinal dos portadores de carga e sua concentracao n Veja o Exemplo 2712 Capitulo 27 Campo magnético e forcas magnéticas 251 Problema em destaque Torque magnético em um anel conduzindo corrente Um anel circular com area de 445 cm conduz uma corrente de 2 Nao existem forgas nao conservadoras atuando sobre o anel 125 A O anel inicialmente em repouso é imerso em uma regiao enquanto ele gira de modo que a soma de sua energia ciné com campo magnético uniforme dado por B 115 x 10 T tica de rotagao discutida na Secao 94 e a energia potencial 127 3f 4k O anel é posicionado inicialmente de modo s4o conservadas Sti j ui w ft que seu momento magnético sej a dado por py 08008 EXECUTAR 06007 em que u é 0 médulo positivo do momento magnético fees 3 Use a expressao vetorial para o torque em um dipolo mag a Ache o torque magnético inicial no anel b O anel que esta oes s oo va ays nético para encontrar a resposta do item a Sugestdo livre para girar em torno de um diametro é liberado e gira por 5 bee revise a Secao 110 um Angulo de 900 quando seu momento magnético é dado por oe oo 25 woe 4 Determine a variagao de energia potencial desde a primeira fe pk Determine a diminuicao na energia potencial c Se oe va orientacgao do anel até a segunda omomento de inércia do anel em torno de um didmetro é 850 X oe 7 2 5 Use o resultado do item 4 para encontrar a energia cinética de 10 kg m determine a velocidade angular do anel quando ele passa pela segunda posicaio rotacao do anel quando ele estiver na segunda orientacAo B 6 Use o resultado do item 5 para encontrar a velocidade an gular do anel quando ele estiver na segunda orientagAo GUIA DA SOLUGAO AVALIAR IDENTIFICAR E PREPARAR 7 Seo anel estivesse livre para girar em torno de qualquer 1 O anel conduzindo corrente atua como um dipolo magné diametro em que diregao 0 momento magnético aponta tico de modo que vocé pode usar as equag6es para um di ria quando o anel estivesse em um estado de equilibrio polo magnético em um campo magnético uniforme estavel PROBLEMAS e ee eee niveis de dificuldade PC problemas cumulativos incorporando material de outros capitulos CALC problemas exigindo calculo DADOS problemas envolvendo dados reais evidéncia cientifica projeto experimental eou raciocinio cientifico BIO problemas envolvendo biociéncias QUESTOES PARA DISCUSSAO concluir que o campo elétrico externo na regiao também sera Q271 Uma particula carregada pode se mover em um campo igual a zero Explique Por externo nos referimos aos campos magnético sem sofrer a acaio de nenhuma forca Se pode como TUE NAO SAO OS produzidos pela p articula carregada Se o campo Se nao por qué elétrico externo for igual a zero na regio vocé pode concluir Q272 Em qualquer ponto do espago o campo elétrico E por que ocampo magnético externo na regiao também é igual a zero definicdo possui a mesma direcdo e o sentido da forga elétrica Q278 Como uma espira de corrente poderia ser usada como que atua sobre uma carga positiva situada nesse ponto Por que bussola Essa btissola conseguiria distinguir a diferenca entre nao definimos o campo magnético B de modo andlogo como se BOFte e sul Por qué possufsse a mesma direcdo e o mesmo sentido da forga magné Q279 Como vocé poderia determinar a direao de um campo tica que atua sobre uma carga positiva em movimento magnético fazendo apenas observacgoées qualitativas da forga Q273 A Secio 272 descreve um procedimento para determi magnética sobre um fio retilineo que conduz uma corrente nar o sentido da forga magnética usando a mao direita Se voce Q2710 Uma espira de fio frouxa e capaz de se mover conduz fizer 0 mesmo procedimento mas usando a mao esquerda tera UMa corrente J A espira é colocada sobre uma mesa horizontal o sentido correto da forga Explique em um campo magnético B perpendicular ao plano da mesa Isso Q274 A forca magnética sobre uma particula carregadaem faz com que a espira se dilate adquirindo uma forma circular movimento é sempre perpendicular ao campo magnético B Sera enquanto permanece sobre a mesa Faga um diagrama mostrando que a trajetéria da particula é sempre perpendicular as linhas de todas as orientagGes possiveis da corrente J e do campo magné campo magnético Explique sua resposta tico B que possibilitam esse evento Explique seu raciocinio Q275 Uma particula carregada entra em uma regiao ctibica do Q2711 Varias cargas entram em um campo magnético uni espaco onde existe um campo magnético uniforme Fora dessa forme apontado para dentro da pagina a Qual trajetoria uma regiao nao ha nenhum campo magnético E possivel que a par Carga positiva g que se move com uma velocidade de médulo v ticula fique confinada no interior da regiao ctibica Por qué seguiria através do campo b Qual trajetéria uma carga positiva Q276 Sea forca magnética nao realiza nenhum trabalho sobre g que se move com uma velocidade de médulo 2u seguiria atra uma particula carregada como ela pode produzir algum efeito vés do campo c Qual trajetoria uma carga negativa q que sobre 0 movimento da particula Existem outros exemplos de se move com uma velocidade de médulo v seguiria através do forgas que nao realizam trabalho mas que produzem um efeito campo d Qual trajetéria uma particula neutra seguiria através significativo sobre 0 movimento da particula do campo Q277 Uma particula carregada se move através de uma regiao Q2712 Cada uma das pontas assinaladas com letras nos vérti do espago com velocidade constante mddulo diregéo e sen ces do cubo na Figura Q2712 representa uma carga positiva g se tido Se o campo magnético externo for igual a zero vocé pode movendo com uma velocidade de médulo v no sentido indicado 252 Fisica lll A regido na figura estd em um campo magnético uniforme B dessa particula Faga um desenho para ilustrar como vocé obteve paralelo ao eixo Ox e orientado da esquerda para a direita Quais SUa resposta b Determine a forga magnética que atua sobre a cargas sofrem aciio de uma forca em funcdo de B Qual 0 Patticula sentido da forca sobre cada carga 274 Uma particula com massa igual a 181 X 107 kge carga 122 X 10 8c possui em um dado instante uma velo Figura Q2712 cidade U 300 X 10 msj Quais s4o 0 médulo a direcao y e o sentido da aceleracdo da particula produzida por um campo B magnético uniforme B 163 T 0980 T7 be 275 Um elétron sofre a agéo de uma forga magnética de ZA modulo igual a 460 10 DN quando se move com um Angulo de 600 em relac4o a um campo magnético com médulo igual a c 350 X 10 TCalcule a velocidade do elétron a 276 Umelétron se move com velocidade igual a 140 x 10 g ms em uma regiao onde existe um campo magnético com uma x direcdo nao especificada e com médulo igual a 740 X 107 T a Quais devem ser 0 maior e o menor modulo da aceleracg4o de um elétron provocada por esse campo magnético b Se a aceleracao real do elétron for igual a um quarto do maior médulo encontrado no item a qual sera 0 4ngulo entre a velocidade do Q2713 Um aluno afirma que se um raio atingisse um poste de elétron e o campo magnético metal a forga exercida sobre 0 poste pelo campo magnético da 277 PC Uma particula com carga de 780 uC esta se mo Terra seria suficientemente grande para entortdlo As correntes vendo com velocidade Bb 380 X 10 msf A forea mag tipicas de um raio so da ordem de 104 a 10 A A opinido do nética que atua sobre a particula é medida como F 760 X estudante pode ser justificada Explique seu raciocinio 103 Ni 520 X 107 Nk a Calcule todos os componentes Q2714 Seria possivel construir um acelerador no qual as for do campo magnético que puder a partir dessa informacio b gas sobre as particulas destinadas a aumentar a velocidade 4 componentes do campo magnético que nao so determinados a produzir mudangas na diregao da velocidade fossem todas pela medicao da forga Explique c Calcule 0 produto escalar magnéticas Por qué B F Qual 0 Angulo entre B eF Q2715 Uma forca magnética que atua sobre uma particulacar 978 PC Uma particula com carga de 560 nC esta se regada nunca pode realizar trabalho pois a cada instante aforga ovendo em um campo magnético uniforme B 125 Tk perpendicular a velocidade O torque exercido porum campo A forca magnética que atua sobre a particula é medida como magnético pode realizar trabalho sobre uma corrente quando a F 340 X 1077 Ny 740 X 1077 Nj a Calcule todos espira roda Explique como essa aparente contradiao pode ser os componentes da velocidade da particula que puder a partir conciliada dessa informagao b Ha componentes da velocidade que nao Q2716 Quando a polaridade de uma voltagem aplicada a um 1x x ao sao determinados pela medicgao da forca Explique c Calcule motor cc é invertida o sentido do movimento no se inverte Por 2 fA o produto escalar U F Qual é 0 angulo entre U e F que nao Como o sentido do movimento poderia ser invertido Z tA wae 279 Umconjunto de particulas percorre um campo magné Q2717 Em uma experiéncia do efeito Hall existe a possibili P te tico de mddulo direco e sentido desconhecidos Vocé observa dade de nenhuma diferenga de potencial transversal ser estabe As que um proton se movendo a 150 kms no sentido Ox sofre lecida Em que circunstancias isso poderia ocorrer 16 Lo uma forga igual a 225 xX 10 N na diregéo Oy e um elétron Q2718 As voltagens no efeito Hall so muito maiores no caso Aa que se move a 475 kms na direco Oz sofre uma forca de de maus condutores como o germanio do que no caso de bons 16 a oe condutores como o cobre considerando correntes campos e 850 x 10 N a Quais Sao 0 médulo a diregao eo sentido dimensoes iguais Por qué do campo magnético b Quais sao o médulo a direcdo e o sentido da forga magnética sobre um elétron que se move no sentido Oy a 320 kms EXERCICIOS cae Secao 273 Linhas do campo magnético e Secgao 272 Campo magnético fluxo magnético 271 Uma particula com carga igual a 124 X 10Cse 2710 Umasuperficie plana quadrada com 340 cm de lado move com velocidade instantanea BJ 419 X 104 ms esta no plano xy em z 0 Calcule 0 modulo do fluxo atra 385 X 104 ms Qual é a forca exercida sobre essa particula vés dessa superficie produzido por um campo magnético B por um campo magnético a B 140 Tfe b B 140 Tk 0200 T 0300 T7 0500 Tk 272 Uma particula de massa igual a 0195 g possui carga 2711 Uma 4rea circular com raio igual a 650 cm esta sobre 250 X 107 Ce se desloca com velocidade inicial horizontal do o plano xy Qual é 0 médulo do fluxo magnético através do cir sul para o norte com médulo igual a 400 X 104 ms Determineo culo produzido por um campo magnético uniforme B 0230 T médulo a direcao e 0 sentido do campo magnético minimo capaz a no sentido z b Formando um Angulo de 531 com rota de manter a particula se movendo na mesma dirego e sentido d0 a partir do sentido z c No sentido y horizontal para o norte no campo gravitacional da Terra 2712 Uma superficie retangular horizontal possui dimensdes 273 Em um campo magnético de 125 T orientado verti de 280 cm por 320 cm e esta em um campo magnético uniforme calmente de baixo para cima uma particulacom uma carga de direcionado em um Angulo de 300 acima da horizontal Qual modulo 850 uC e que inicialmente se move para o norte a deverd ser o médulo do campo magnético para produzir um fluxo 475 kms é desviada para leste a Qual é 0 sinal da carga de 310 X 10 Wb através da superficie Capitulo 27 Campo magnético e forcas magnéticas 253 2713 Uma garrafa plastica de refrigerante cuja boca tem carga b E razodvel ignorar a forga da gravidade sobre essas didmetro de 25 cm é colocada sobre uma mesa Um campo particulas c Como a velocidade das particulas quando elas magnético uniforme de 175 T orientado de baixo para cima entram no campo se compara com suas respectivas velocidades forma um Angulo de 25 a partir da vertical que englobaa garrafa ao sairem do campo Qual é 0 fluxo magnético total que passa pelo plastico da garrafa Figura E2719 2714 Ocampo magnético B em uma certa regiao é de 0128 T e seu sentido é 0 do eixo Oz na Figura E2714 a Qual é 0 fluxo magnético através da superficie abcd indicada na figura Y 950 cm b Qual é 0 fluxo magnético através da superficie befc c Qual e e é o fluxo magnético através da superficie aefd d Qual é 0 A fluxo magnético através das cinco superficies externas do vo e e ws e B lume sombreado e e e e e Figura E2714 y 2720 BIO Ciclotrons séo muito usados na medicina nuclear b 300cm para produzir is6topos radioativos de vida curta Esses ciclotrons 400 cm aa normalmente aceleram 0 H 0 ion de hidrogénio que possui um proton e dois elétrons a uma energia de 5 MeV a 20 MeV a 300 cm Esse fon tem uma massa muito proxima da de um proton pois f a massa do elétron é desprezivel cerca de P00 da massa oo x do proton Um campo magnético tipico nesses ciclotrons é de dZ 500cm 19 T a Qual a velocidade de um H de 50 MeV b Se 0 z H tem energia de 50 MeV e B 19 T qual 0 raio da 6rbita circular desse fon 2721 Um déuteron 0 nticleo de um isétopo do hidrogénio Segao 274 Movimento de particulas carregadas possui massa igual a 334 X 107 kg e carga e O déuteron em um campo magnético descreve uma trajetéria circular com raio igual a 696 mm em 2715 Um elétron no Figura E2715 um campo magnético com méddulo 250 T a Calcule a velo ponto A da Figura E2715 cidade do déuteron b Determine 0 tempo necessario para ele possui velocidade vg igual a Uo fazer meia rotacao c Por meio de qual diferenga de potencial 141 X 10 ms Determine ee TT TTS o déuteron deve ser acelerado para que adquira essa velocidade a o mddulo a diregao e 0 Fas 2722 Emumciclotron o raio orbital dos prétons com ener sentido do campo magné gia de 300 keV é de 160 cm Vocé esta reprojetando o ciclotron tico que obriga o elétron A B para ser usado em vez disso para particulas alfa com energia a descrever uma Orbita se 100 cm de 300 keV Uma particula alfa possui carga g 2e e massa micircular de A até B b o m 664 X 10 kg Se o campo magnético nao for alterado tempo necessario para que o elétron se desloque de A até B qual serd 0 raio orbital das partfculas alfa 2716 Repita o Exercicio 2715 para o caso em que a parti 2723 Umelétron do feixe de um cinescopio de TV é acele cula um proton em vez de um elétron rado por uma diferenga de potencial igual a 200 kV A seguir 2717 PC Uma bola de 150 g contendo 400 x 10 elétrons gfe passa em uma regiao onde existe um campo magnético trans em excesso enfiada em uma haste vertical de 125m Nofundo versa descrevendo um circulo com raio igual a 0180 m Qual é da haste a bola repentinamente entraem um campo magnético g médulo do campo horizontal uniforme que possui médulo igual a0250Tesentido 9794 ee Umfeixede protons quese Figura E2724 de leste para oeste Considerando a resisténcia do ar desprezivel move a 120 kms penetra um campo ache o mddulo e o sentido da forga que esse campo magnético magnético uniforme deslocando exerce sobre a bola assim que ela penetra no campo se perpendicularmente ao campo 2718 Uma particula alfa um nticleo He contendo dois pré feixe sai do campo deixandoo p fee tons e dois néutrons e com massa igual a 664 X 1077 kg se em um sentido perpendicular ao seu x x move horizontalmente a 356 kms quando penetra um campo sentido original Figura E2724 O x x xX magnético vertical uniforme de 180 T a Qualéo diametroda feixe percorre uma distancia de 118 B trajet6ria percorrida por essa particula alfa b Qual 0 efeito cm enquanto estd no campo Qual é 0 xX XX do campo magnético sobre a velocidade da particula c Quais mddulo do campo magnético sao o modulo a diregao e o sentido da aceleragao da particula 2725 Um proton q 160 X 10 C m 167 X alfa enquanto ela esta no campo magnético d Explique por que 10727 kg se desloca em um campo magnético uniforme B a velocidade da particula nao se altera mesmo que uma forga 0500 7 Em t 0 o proton possui componentes de velocidade externa nao equilibrada atue sobre ela v 150 X 10 ms vy Vev 200 x 10 ms ver Exemplo 2719 Em uma experiéncia com raios césmicos um feixe 274 a Quais sio o médulo a diregdo e o sentido da forca vertical de particulas com carga de médulo 3e e massa 12 vezes que atua sobre o pré6ton Além do campo magnético existe um maior que a massa do proton penetra um campo magnético hori campo elétrico no sentido x dado porE 200 x 10 Vmi zontal uniforme de 0250 T e esté encurvado em um semicirculo b O préton ter4 um componente de aceleracao no sentido do com didmetro igual a 950 cm como indica a Figura E2719a campo elétrico c Descreva a trajetéria do proton O campo Calcule 0 médulo da velocidade das particulas e 0 sinal de sua elétrico altera 0 raio da hélice Explique d Para t 72 em 254 Fisica Ill que T 0 perfodo do movimento circular do proton qual é 0 2732 No espectrdmetro de massa Bainbridge Figura 2724 componente x do deslocamento do proton a partir de sua posigéo médulo do campo magnético no seletor de velocidade igual inicial t 0 a 0510 T e os fons com velocidade igual a 182 x 10 ms nao 2726 Um ion de Li com carga tinica um isétopo de litio gofrem nenhum desvio a Qual é 0 médulo do campo elétrico do possui massa igual a 116 x 10 kg Ele acelerado por uma seletor de velocidades b Sabendo que a distancia entre as placas diferenga de potencial igual a220 Ve aseguir entra emumcampo é igual a 520 mm qual a diferenca de potencial entre as placas magnético de modulo igual a 0874 T perpendicular a trajetoria do 2733 BIO Carne consumida pelos ancestrais A quan fon Qual 0 raio da trajet6ria do fon no campo magnético tidade de carne nas dietas préhist6ricas pode ser determinada Secao 275 Aplicagoes do movimento de medindose a razdo dos isétopos N e 4N nos ossos de restos particulas carregadas humanos Os carnivoros concentram N de modo que essa 2727 Campos FE e B perpendiculares Uma particulacom razo informa aos arquedlogos quanta carne foi consumida Para velocidade inicial By 585 X 10 ms entraem umaregido um espectrémetro de massa que possui um raio de trajetoria de com campos elétrico e magnético uniformes O campo magné 125 cm para fons C massa de 199 X 107 7 kg determine a tico na regiado é B 135 Tk Calcule 0 médulo a direcio separaciio dos isétopos 4N massa de 232 X 10776 kg e 5N e o sentido do campo elétrico na regiao considerando que nao massa de 249 X 10 kg no detector haja desvio para uma particula de carga a 0640 nC e b 0320 nC Despreze 0 peso da particula Secao 276 Forca magnética sobre um condutor 2728 a Calcule a velocidade de um feixe de elétrons que conduzindo uma corrente sofre simultaneamente a ago de um campo elétrico de 156 X 2734 Um fio retilineo de 25 m conduz uma corrente de 10 Vm e de um campo magnético igual a 462 X 103 T com 55 A em uma direao em uma regiao em que 0 campo mag ambos os campos ortogonais ao feixe e perpendiculares entre Nético da Terra de 055 gauss do sul ao norte Ache 0 médulo si e sabendo que 0 feixe nao sofre nenhum desvio b Fagaaum 4 diregao da forga que 0 campo magnético do nosso planeta diagrama para mostrar as orientac6es relativas dos vetores U E exerce sobre esse fio se ele estiver orientado de modo que a e B c Quando o campo elétrico é removido qual 0 raioda Corrente esteja fluindo a de oeste para leste b verticalmente Orbita do elétron Qual é 0 periodo dessa 6rbita de baixo para cima c de norte para sul d A forga magnética 2729 Uma bateria de 150 V é conectada a duas placas me pode ser grande o suficiente para causar efeitos significativos télicas paralelas com drea de 285 cm e distantes 820 mm sob condigdes domésticas normais entre si Um feixe de particulas alfa carga 2e massa 664 X 2735 Um fio longo que conduz uma corrente de 450 A 10 kg é acelerado a partir do repouso através de uma dife faz duas dobras de 90 como indica a Figura E2735 A parte renga de potencial de 175 kV e penetra a regido entre as pla dobrada do fio atravessa um campo magnético uniforme de cas no sentido perpendicular ao campo elétrico como mostraa 0240 T orientado como indica a figura e confinado a uma regiao Figura E2729 Quais sao o médulo a direc4o e o sentido do limitada no espago Determine o médulo a diregdo e 0 sentido campo magnético necessdrios para que as particulas alfa saiam da forca que o campo magnético exerce sobre 0 fio sem desvio da regiao entre as placas Figura 2735 Figura E2729 Regiao do campo magnético v ee e e e e x 150V lee le e e 450 Al t 300m 600 cm ra dd 2730 Um atomo K de tinico fon um elétron removido a passa por um seletor de velocidade consistindo em campos elétri 600 em sr cos e magnéticos uniformes perpendiculares O seletor é ajustado para permitir que os fons tenham uma velocidade de 450 kms para passarem sem desvio quando o campo magnético for de 2736 ee Um eletrofma produz um campo magnético de 0550 T 00250 T Em seguida os fons entram em um segundo campo uma regiao cilindrica entre seus polos com raio igual a 250 cm magnético uniforme B orientado em Angulos retos a sua velo Um fio retilineo passa no centro dessa regiao conduzindo uma cor cidade O K contém 19 protons e 21 néutronse possui massade rente igual a 108 A e possui uma diregao perpendicular ao eixo 664 X 1076 kg a Qual é 0 médulo do campo elétrico no se do cilindro e ao campo magnético Qual é o médulo da forga que letor de velocidade b Qual deverd ser o médulo de Bde modo tua sobre 0 fio que os fons se encurvem em um semicirculo com raio de 125 cm 2737 Uma barra metalica delgada com 500 cm de compri 2731 Atomos de tinico fon um elétron removido sao acele Mento e massa de 750 g repousa sobre dois suportes metélicos rados e depois passam por um seletor de velocidade consistindo mas nao esta conectada a eles em um campo magnético uni em campos elétricos e magnéticos perpendiculares O campo forme de 0450 T como indica a Figura E2737 Uma bateria e elétrico é de 155 Vm e 0 campo magnético é de 00315 T Em umresistor de 250 0 em série esto conectados aos suportes a seguida os fons entram em um campo magnético uniforme de Qual voltagem maxima a bateria pode ter sem romper 0 circuito modulo 00175 T orientado perpendicularmente a sua veloci nos suportes b A voltagem da bateria possui 0 valor maximo dade a Com que velocidade os fons se movem quando saem calculado no item a Supondo que o resistor repentinamente do seletor de velocidade b Se 0 raio da trajetéria dos fons no sofra um curtocircuito parcial diminuindo sua resisténcia para segundo campo magnético é de 175 cm qual é sua massa 20 ache a aceleragao inicial da barra Capitulo 27 Campo magnético e forcas magnéticas 255 Figura E2737 segmento do circuito ab bc etc b Das quatro forgas que vocé Vv R desenhou no item a decida quais exercem um torque em torno do eixo ab Depois calcule apenas as forgas que exercem esse torque c Use os resultados do item b para calcular o torque que 0 campo magnético exerce sobre 0 circuito em torno do eixo ab B 2742 Uma bobinaretan Figura E2742 gular de fio com dimensdes x XX de 220 cm por 350 cm e que Bixo B conduz uma corrente de 1 2738 Um fio retilineo vertical conduz uma corrente de 195 A esté orientada de il x 1 x 390 x 260 A de cima para baixo em uma regido entre os polos deum yoo que o planode suaes x x x on grande eletroima supercondutor 0 médulo do campo magneético pira seja perpendicularaum y yx é dado por B 0588 T e possui diregao horizontal Determine campo magnético uniforme 350 cm o médulo a diregao e o sentido da forga magnética que atuasobre ge 150 T como indica a Figura E2742 a Calcule a forca re uma segao de 100 cm do fio que esta nesse campo magnético guttante e o torque que o campo magnético exerce sobre a bobina uniforme sabendo que o sentido do campo magnético é orien b A bobina é girada formando um Angulo de 300 em relacaio tado a de oeste para leste b do norte para o sul c formando 9 eixo indicado com o lado esquerdo saindo do plano da figura um Angulo de 30 a sudoeste e 0 lado direito entrando no plano Calcule a forga resultante e o 2739 Balancamagnética Figura 2739 torque que 0 campo magnético exerce agora sobre a bobina O circuito indicado na Figura 5000 Dica para ajudar a visualizar esse problema tridimensional faca E2739 usado para produzir BK um desenho cuidadoso da bobina ao longo do eixo de rotacao uma balanga magnética para 2743 PC Umabobina Figura E2743 roti bietos A massa ma ser retangular uniforme com A medida esta suspensa a par B 1 tir do centro da barra gue se Barrax x massa otal ian Soom B as situaem um campo magnético x x x x XX 100 m estd orientada no uniforme de 150 T orientado sentido perpendicular a um t A para dentro do plano da figura m campo magnético uniforme 0500 m a2 A voltagem da bateria pode ser de 300 T Figura E2743 L ajustada de modo a variar a corrente no circuito A barra horizon Uma corrente de 20 A é Co 100 m tal tem 600 cm de comprimento e é feita de um material extre repentinamente acionada llit mamente leve Esta conectada a bateria por fios verticais finos a pobina a Em torno de qual eixo A ou A a bobina come que nao podem suportar nenhuma tensdo consideravel todo o card a girar Por qué b Determine a aceleracaio angular inicial peso da massa suspensa m sustentado pela forga magnéticana qa Hobina logo apés a corrente ser acionada barra Um resistor com R 50 esta ligado em sériecoma 9744 Duas bobinas circulares A e Figura E2744 barra a resisténcia do restante do circuito muito menor que B Figura E2744 possuem drea A e N y y isso a Qual ponto a ou b deve ser 0 terminal positivo da ba yojtas Elas esto livres para girar em 1 I teria b Se a voltagem maxima do terminal da bateria iguala torno de um didmetro que coincide com OD 175 V qual é a maior massa m que esse instrumento pode medir 9 gixo x A corrente J circula em cada Secdo 277 Forga e torque sobre uma espira bobina na diregao indicada Existe um de corrente campo magnético uniforme B na direcéo z a Qual é a dire 2740 Uma espira retangular de 50 cm X 80 cm possui do do momento magnético pf para cada bobina b Explique plano paralelo a um campo magnético de 019 T Aespiraconduz POF que o torque nas duas bobinas em consequéncia do campo uma corrente igual a 62 A a Qual é 0 torque que atua sobre a magnético é zero de modo que a bobina se encontra em equili espira b Qual é 0 médulo do momento magnético da espira brio de rotagao c Use a Equagao 2727 para calcular a energia c Qual 0 torque maximo que pode ser obtido sobre um fio potencial para cada bobina d Para cada bobina 0 equilibrio é com 0 mesmo comprimento total da espira e conduzindo a Stvel ou instavel Explique mesma corrente nesse campo magnético 2745 Uma bobina circular de area A possui N espiras e pode 2741 O circuito re Figura E2741 girar em torno de um diametro que coincide com 0 eixo Ox Uma tangular de 200 cm X corrente 7 esta circulando na bobina Existe um campo magnético 350 cm mostrado na B B no sentido positivo do eixo Oy Determine o médulo a direcao Figura E2741 esté arti bo e o sentido do torque 7 e 0 valor de energia potencial U como culado ao lado ab Ele indicado na Equagéo 2727 quando a bobina estiver orientada conduz uma corrente de a 200 em nas posic6es indicadas de a até d na Figura E2745 500 A em sentido horario Figura E2745 e esta localizado em um campo magnético uni a 350cmS I I I I forme de 12 T perpendi a D cular a dois de seus lados I conforme mostrado a Desenhe um diagrama claro mostrando a b c d a direcao da forga que o campo magnético exerce sobre cada 256 Fisica lll 2746 Uma bobina com momento magnético 145 A m Figura P2751 esta inicialmente orientada com seu momento magnético antipa y B ralelo aum campo magnético com médulo igual a 0835 T Qual a variacao da energia potencial da bobina quando ela gira 180 de modo que seu momento magnético fique paralelo ao campo 450 Secao 278 O motor de corrente continua x 2747 Em um motor cc Figura E2747 3 com as bobinas de campo e 2 B o rotor conectados em pa Zz ralelo Figura E2747 a resisténcia Rs das bobinas 120V Ry C de campo 106 Qe a resis 2752 Uma particula com carga 726 X 107 C se move em téncia R do rotor 59 Q uma regiao onde existe um campo magnético uniforme igual a Quando uma diferenca de 0650 T no sentido do eixo Ox Em um dado instante a velo potencial de 120 V é aplicada as escovas e 0 motor esta rodando cidade da particula possul componentes VU 4 168 x 10 mis em plena velocidade fornecendo poténcia mecAnica a corrente vy 311 x 10 mis e vz 285 x 10 ms Quais sao os fornecida a ele é 482 A a Qual é a corrente nas bobinas de so tponenicn a Reston nucle Ova do dois nucleos de déu campo b Qual é a corrente no rotor c Qual é a fem indu teron carga e massa 3 3 x 10727 kg se aproximam o sutfi dscnvolvice pore P So moon 2 Quanta poténcia mecanica ciente a atracao da forga nuclear intensa vai fundilos e produzir 2748 Um motor ce possui um rotore bobinas de campo li U is6topo de hélio liberando grande quantidade de energia A a P a mp abrangéncia dessa forca é de aproximadamente 10 S m Esse é gados em série a uma resistencia de 32 2 Quando ele gira como principio que rege o reator de fus4o nuclear Os nticleos de déu sua carga total em uma linha de 120 V a fem do rotor igual teron se movem rapido demais para serem confinados por paredes a 105 V a Qual éa corrente que o motor recebe da linha b fisicas por isso sio magneticamente confinados a Com qual Qual ca potencia fornecida ao motor c Qual a poténcia yelocidade os dois nlicleos teriam de se mover para que no caso mecanica desenvolvida pelo motor de uma colisao frontal eles se aproximem o suficiente para se Secao 279 O efeito Hall fundirem Trate os nicleos como cargas puntiformes e suponha 2749 A Figura E2749 Figura E2749 que uma distancia de 10 10 5 6 necessdria para a fuso b indica uma placa de prata Qual intensidade do campo magnético é necessaria para fazer os com dimensées z nucleos de déuteron com essa velocidade percorrerem um circulo 118 mme y 023 mm 2 B de 250 m de diametro que conduz uma corrente 2754 Momento magnético do atomo de hidrogénio No igual a 120 A no sentido Ap modelo de Bohr do atomo de hidrogénio ver Segao 393 em x A placa esté em um x seu estado mais inferior de energia o elétron orbita 0 proton campo magnético uniforme Zz I com uma velocidade de 22 x 10 ms em uma orbita circular na direcio y cujo médulo é com raio igual a 53 x 10 m a Qual 0 periodo orbital do igual a 095 T Aplique o modelo simplificado do efeito Hall elétron b Se considerarmos 0 elétron em orbita como uma x og eSpira de corrente qual sera a corrente J c Qual é o momento apresentado na Secao 279 Sabendo que existem 585 X 10 elé magnético do 4tomo em funcio do movimento do elétron trons livres por metro cubico determine a o médulo da veloci 2755 Vocé deseja atingir um alvo que estd a alguns metros dade de arraste dos elétrons na direg4o do eixo Ox b o médulo de distancia com uma moeda que possui massa de 425 g e carga a diregao e o sentido do campo elétrico no eixo Oz produzido pelo ge 9500 pC A moeda é lancada a uma velocidade inicial de efeito Hall c a fem Hall 128 ms e existe um campo elétrico uniforme de cima para 2750 A Figura E2749 representa a placa de um metal aixo com forca de campo igual a 275 NC por toda a regiaio Se desconhecido com as mesmas dimensoes da placa de pratado vocé mirar diretamente 0 alvo e langar a moeda horizontalmente Exercicio 2749 Quando 0 campo magnético tem 229 Tea quais sao 0 médulo a diregao e o sentido do campo magnético corrente é igual a 780 A a fem Hall é de 131 wV Usando o uniforme necessdrios na regiao para a moeda atingir 0 alvo modelo simplificado do efeito Hall apresentado na Segao 279 2756 Os polos magnéticos de um pequeno ciclotron produ calcule a densidade dos elétrons livres do metal desconhecido zem um campo ee de médulo igual a 085 T Os poles possuem um raio de 040 m que é 0 raio maximo que as 6rbitas das particulas podem atingir a Qual é o valor maximo da ener PROBLEMAS gia adquirida por um préton q 160 X 1079 C m 167 X 2751 Quando uma particula com cargag0se movecom 1027 kg acelerado por esse ciclotron Forneca a resposta em velocidade U formando um Angulo de 45 com 0 eixo Ox no elétronvolts e em joules b Qual é 0 tempo de revolugao para plano xy um campo magnético uniforme exerce uma forca F ao um proton girando com esse raio maximo c Qual deve ser o longo do eixo Oz Figura P2751 Quando a mesma particula mddulo de um campo magnético necessério para acelerar um se move com velocidade B com o mesmo modulo de U porém proton até ele atingir uma energia maxima igual ao dobro da ao longo do eixo Oz uma forga F 2 com moédulo F é exercida calculada no item a d Considerando B 085 T qual é a sobre ela ao longo do eixo Ox a Quais sio o médulo a di one maxima atingida por uma particula alfa 320 x reco e 0 sentido do campo magnético b Qual 60 médulo de 10 Cm 664 x 10 kg acelerada nesse ciclotron Como F em termos de Fy 0 resultado obtido se compara 4 energia maxima para os protons Capitulo 27 Campo magnético e forgas magnéticas 257 2757 Uma particula com carga g negativae massam figura Para impedir que o fio escorregue para baixo do plano 258 X 10 15 kg se move através de uma regio com umcampo uma fonte de tensdo é aplicada nas extremidades do fio Quando magnético uniforme B 0120 Tk Em um certo instante a uma corrente com um valor preciso circula no fio ele perma velocidade da particula é dada por U 105 x 10 ms 37 nece em repouso Determine o médulo e o sentido da corrente 4j 12k ea forcga F sobre a particula possui mdédulo igual a que circula para fazer o fio ficar em repouso Copie a figura 245 N a Determine a carga q b Calcule a aceleragdod da desenhe o sentido da corrente em seu desenho Além disso particula c Explique por que a trajet6ria da particula é uma faga um diagrama de corpo livre mostrando todas as forgas que hélice e calcule 0 raio de curvatura R do componente circular da atuam sobre 0 fio trajetoria helicoidal d Determine a frequéncia ciclotrénicada 2762 PC Uma barra metélica de 260 N com 0850 m de particula e Embora um movimento helicoidal nao seja perié Comprimento e resisténcia de 100 0 repousa horizontalmente dico no sentido exato da palavra as coordenadas x e y variam de sobre os fios condutores do circuito indicado na Figura P2762 modo periddico Se as coordenadas da particula parat O forem A barra est4 em um campo magnético horizontal uniforme de x y z R 0 0 quais seraio as coordenadas para o instante 160 T e nao esta conectada aos fios do circuito Qual a acele t 2T em que T é 0 periodo do movimento no plano xy ragao da barra logo apds a chave S ser fechada 2758 Uma particula com carga g 0 se move com velo cidade v no sentido Oz através de uma regiao onde existe um Figura P2762 campo magnético B A forga magnética sobre a particula é dada 2500 YS vin x por F Fo 37 47 em que Fo é uma constante positiva a Determine os componentes B B e B ou pelo menos a maior 1200V 100 z quantidade dos trés componentes que for possivel encontrar com x xix x base nas informacées fornecidas b Se além das informagées Ss dadas soubermos que 0 campo magnético possui médulo igual a 6Fqu determine tudo 0 que vocé puder sobre os componentes de F restantes 2763 BIO Determinacio da dieta Um método para deter 2759 Suponha que o campo elétrico entre as placas na Minar a quantidade de milho consumida na dieta dos aborigenes Figura 2724 seja igual a 188 Xx 10 Vme que o campo mag aMericanos primitivos é a técnica da andlise de isdtopos estaveis nético em ambas as regides seja igual a 0682 T Se a fonte Ao fazer fotossintese o milho concentra 0 isdtopo do carbono contém os trés isOtopos do cripténio Kr 8Kr e 8Kr e os 13 ao passo que a maioria das outras plantas concentra o carbono fons possuem uma carga tnica determine a distancia entre as 12 Assim a alta dependéncia do consumo de milho pode ser linhas formadas pelos trés isdtopos sobre o detector de particu relacionada a certas doengas porque o milho carece do amino las Suponha que as massas atémicas dos isdtopos em unidades acido essencial lisina Os arquedlogos usam um espectrémetro de massa atémica sejam dadas pelos respectivos nimeros at6 de massa para separar os is6topos C e C em amostras de fés micos 82 84 e 86 Uma unidade de massa atémica 1 u seis humanos Suponha que vocé use um seletor de velocidades 166 X 1027 kg para obter atomos de fon unico em que falta um elétron com 2760 Espectrémetro de massa Um espectrometro de velocidade de 850 kms e vocé deseja encurvalos no interior massa é usado para medir as massas dos fons ou para separar fons de um campo magnético em um semicirculo com diametro de de massas diferentes Secgao 275 Em um projeto para tal ins 250 cm para o 7C As medidas das massas desses is6topos sao trumento os fons com massa m e carga q so acelerados através 199 x 1076 kg C e 216 X 1076 kg 80 a Qual a de uma diferenca de potencial V A seguir eles entramemum forga do campo magnético necessaria b Qual 0 diaémetro do campo magnético uniforme perpendicular 4 sua velocidade e sao Semicirculo do SC c Qual a separagao dos fons de C e C desviados para uma trajetéria semicircular de raio R Umdetec n0 detector ao final do semicirculo A distancia suficiente para tor mede onde os fons completam o semicirculo e a partir disso Set facilmente observada é facil calcular R a Deduza a equagio para calcularamassado 2764 PC Uma espira plastica circular de raio R e carga ion a partir das medidas de B V Re qg b Qual éadiferencade positiva q esta uniformemente distribuida em torno da circun potencial V necessaria para que os atomos de Ccomiontinico feréncia da espira A seguir a espira girada em torno de seu tenham R 500 cm em um campo magnético de 0150 T c eixo central perpendicular ao plano da espira com velocidade Suponha que o feixe consista de uma combinagao de fons Ce angular w Supondo que a espira esteja em uma regiao onde ha 40 Seu e B tiverem os mesmos valores que no item b calcule um campo magnético uniforme B orientado paralelamente ao a separacao desses dois isétopos no detector Vocé acha que essa plano da espira calcule 0 médulo do torque magnético sobre separacio do feixe é suficiente para distinguir entre os dois fons a espira Considere a suposicao descrita no Problema 2759 paraas mas 2765 PC Propulsao eletromagnética em um trilho sas dos fons Uma barra condutora de massa m e comprimento L desliza sobre 2761 Um fio retilineo Figura P2761 trilhos horizontais conectados a uma fonte de voltagem Esta condutor de massa M e com 5 mantém uma corrente constante nos trilhos e na barra e um primento L é colocado sobre B vertical campo magnético vertical uniforme B preenche o espaco entre um plano inclinado sem Fio massa M os trilhos Figura P2765 a Determine o méddulo a direcgao atrito formando um Angulo e o sentido da forga resultante sobre a barra Despreze 0 atrito 8 com a horizontal Figura a resisténcia do ar e a resisténcia elétrica b Se a barra possui P2761 Existe um campo 0 massa m calcule a distancia d que ela deve percorrer ao longo magnético vertical uniforme dos trilhos partindo do repouso até atingir uma velocidade v c B ao longo de todos os pon Existem teorias sobre a possibilidade de que a propulsao baseada tos produzido por um conjunto de eletroimas nao indicados na nesse principio possa ser usada para acelerar massas e colocalas 258 Fisica Il em 6rbita ao redor da Terra ou além dela Calcule a distancia 2769 PC A espira retangular indicada na Figura P2769 que a barra deve percorrer para atingir a velocidade de escape possui massa igual a 015 g por centimetro de comprimento e da Terra 112 kms Considere B 080 T J 20 X 10A est articulada em torno do lado ab por meio de um eixo sem m 25 kge L 50 cm Para simplificar suponha que a forga atrito A corrente que circula no fio é igual a 82 A no sentido resultante que atua sobre o objeto seja igual 4 forga magnética indicado Determine 0 médulo a direcdo e o sentido do campo como nos itens a e b embora a gravidade desempenhe um magnético paralelo ao eixo Oy que produziré uma oscilacao para papel importante em um langamento espacial real cima na espira até que seu plano forme um Angulo de 300 com o plano yz Figura P2765 Figura P2769 B y TS a L 600 cm x b 2766 Um fio de comprimento igual a 250 cm esta apoiado z ao longo do eixo Oz e conduz uma corrente de 740 A no sentido z O campo magnético é uniforme e possui componentes B 800 0242 T B 0985 Te B 0336 T a Calcule os com cm ponentes da forca magnética sobre o fio b Qual é o médulo da forcga magnética resultante que atua sobre o fio 2767 Um fio longo Figura P2767 que conduz uma cor Regidio do campo magnético 2770 e CALC Uma barra uniforme Figura P2770 rente de 650 A tem duas de comprimento L conduz uma corrente J xBX bx dobras como indica a XX xX XxX XI na direcdo do ponto a ao ponto b Figura Figura P2767 A parte 0 ol A P2770 A barra est4 em um campo mag Gar do fio onde ocorre a 750 cm 400 nético uniforme no sentido de fora para Ir i x dobra esta em um campo x x 30 O cm dentro da pagina Considere 0 torque em xf dx we magnetico uniforme de A 20 torno de um eixo perpendicular a barra no 0280 T direcionado 650A 00 ponto a que se deve a forga que 0 campo ax x x x conforme mostra a figura KI m magnético exerce sobre a barra a Suponha que uma seao in e confinado auma regiao finitesimal da barra tenha comprimento dx e esteja localizada a limitada Determine o modulo a direc4o e 0 sentido da forca yma distancia x do ponto a Calcule o torque dr em torno do resultante que 0 campo magnético exerce sobre 0 fio ponto a decorrente da forca magnética nessa seco infinitesimal 2768 A espira retangular indicada na Figura P2768 possui re b Use rT f dv para calcular o torque total 7 sobre a barra articulagéo em torno do eixo Oy e conduz uma corrente igual a sas Z c Mostre que 7 é 0 mesmo como se toda a forga magnética 150 A no sentido indicado a Se a espira esta em um campo diftio dab magnético uniforme com méddulo de 048 T no sentido Ox oy 74 a ee interme Tarlo Ca Darra calcule o médulo a direcio e o sentido do torque necessério para A espira trlan Figura P2771 rr Pe gular de fio indicada na sustentar a espira na posigao indicada b Repita o item a para Fi P2771 d O 0 caso no qual o campo aponta no sentido z c Para cada um tgura I 5 OO A uz 5 dos campos magnéticos mencionados qual seria o torque neces uma corrente 500 no B ss x sentido indicado A espira sario se a espira estivesse articulada em um eixo de rotagao que 0600 m esta em um campo magné passasse em seu centro paralelamente ao eixo Oy tico uniforme com modulo Figura P2768 B 300 T e 0 mesmo sen y tido da corrente que passa P 0800 m 5 R pelo lado PQ da espira a Determine a forcga exercida pelo campo magnético em cada s A lado do triangulo Se a forca for diferente de zero especifique sua direcao e seu sentido b Qual é a forga resultante que atua 800 cm an sobre a espira c A espira revolve em torno de um eixo que fica ao longo do lado PR Use as forgas calculadas no item a para determinar o torque sobre cada lado da espira veja o Problema 2770 d Qual é o médulo do torque resultante sobre a espira Calcule o torque resultante a partir dos torques b pira Calcul q 1 partir d q XY x obtidos no item c e também de acordo com a Equaci4o 2728 Y Esses resultados se equivalem e O torque resultante esta 600 cm orientado para girar 0 ponto Q para dentro do plano da figura z ou para fora desse plano Capitulo 27 Campo magnético e forcas magnéticas 259 2772 PC Uma barra uniforme tem Figura P2772 ambas as direcdes y e z B BozLf BoyLk em que Bo massa 00120 kg possul 300 cm de ex y uma constante positiva a Faga um desenho das linhas do tensao Ela gira sem atrito em torno de x By campo magnético no plano yz b Calcule o médulo a direcao um e1X0 perpendicular a barra no ponto a x gow e o sentido da forca magnética exercida sobre cada um dos Figura P2772 A forca gravitacional lados da espira integrando a Equacao 2720 c Determine sobre a barra atua na direcao Oy A o modulo a diregao e o sentido da forga magnética resultante barra esta em um campo magnético uni wx x sobre a espira forme direcionado para dentro da pagina Oy y 2776 Modelo de quark para 0 néutron O néutron é uma e Possul modulo B 0150 T a Qual x particula com carga elétrica igual a zero Contudo ele possui um devera sera corrente Ina barra para que aux x x momento magnético diferente de zero cujo componente z é igual ela estejaem equilibrio rotacional quando 9 a966 X 107 A m Esse momento pode ser explicado pela sledk em um angulo acima da horizontal Use brio estrutura interna do néutron Diversas evidéncias indicam que wate do rerema rn Para a barra oon vin eau o néutron é composto de trés particulas fundamentais chama 5773 0 C ALC UL na diregdio de a para b ou de b para a das quarks um quark up u com carga 2e3 e dois quarks ee i itofal Uma Figura P2773 down d cadaum com uma carga e3 A combinagao dessas bina de altofalante Na y trés cargas produz uma carga total Ze ze fe 0 Caso os Secdo 277 mostramos que a 1 quarks estejam em movimento eles produzem um movimento forga resultante sobre uma es fp ot magnético diferente de zero Com um modelo muito simples pira de corrente em um campo 600 600 es a suponha que 0 quark u se mova em uma 6rbita circular em sen magnético uniforme era igual a ae ne tido antihordrio e que os dois quarks d se movam no sentido zero A forga magnética sobre B B as Z horario todos os quarks se movendo com o mesmo méddulo uma bobina destinada a produ a d Itofalant da velocidade v ao longo das circunferéncias de mesmo raio r Ziv 0 som ee ulm a o aante x Figura P2776 a Obtenha a corrente elétrica produzida pela Figura 2728 nao é igual a P ays ee circulagao do quark u b Determine o médulo do momento zero porque 0 campo magnético da bobina nao é uniforme Uma as a magnético oriundo da circulacgdo do quark u c Determine o bobina de som de um altofalante possui 50 espiras com diametro 2 aes oe a modulo do momento magnético do sistema constituido pelos de 156 cm e acorrente que flui no fio é igual a 0950 A Suponha eye trés quarks Tome cuidado e use os sentidos corretos para os que 0 campo magnético em cada ponto da espira possua um vs Loge A momentos magnéticos d Com que velocidade uv os quarks modulo constante de 0220 T e esteja dirigido a um Angulo de ays 6 devem se mover para reproduzir 0 valor do momento magnético 60 com a normal externa do plano da bobina Figura P2773 15 do néutron Use o valor r 120 X 10 m o raio do néutron Suponha que 0 eixo da bobina seja 0 eixo Oy A corrente que flui ae ar a para o raio das 6rbitas na bobina possui 0 sentido indicado sentido antihordrio obser vado de um ponto acima da bobina sobre 0 eixo Oy Calcule o médulo a direcao e o sentido da forca magnética resultante sobre Figura P2776 a bobina v 2774 PC A extremidade inferior de Figura P2774 Yc o Sy uma barra uniforme delgada na Figura v u P2774 esta presa ao piso por uma dobra x xB I dica sem atrito no ponto P A barra possui Yi x AW 1 massa de 00840 kg e comprimento igual a Cy Hl 180 cm estando em um campo magnético 9 d d uniforme B 0120 T voltado para dentro x SN da pagina A barraémantidaemumangulo P x x x ss HF 530 acima da horizontal por um fio e horizontal que conecta 0 topo da barra a parede A barra conduz uma corrente J 120 A no sentido voltado para P Calcule a tenso no fio Use seu resultado do Problema 2770 para calcular 2777 Umaespira circular de area A esta contida no plano xy o torque decorrente da forga do campo magnético Vista ao longo do eixo Oz olhando para a origem no sentido z 2775 CALC Forca sobre Figura P2775 uma corrente circula no sentido horario em torno da espira O uma espira de corrente em um y torque produzido por um campo magnético externo B é dado por campo magnético nao uniforme 7 D4i 3 em que D é uma constante positiva e para essa Na Secdo 277 mostramos que a 0 L L L orientacao da espira a energia potencial magnética U B forca resultante sobre uma espira é negativa O médulo do campo magnético é By 13DIA a de corrente em um campo mag Determine 0 vetor momento magnético da espira b Determine nético uniforme é nula Porém o os componentes B B e B do vetor B que ocorre quando B ndo é uni 2778 DADOS Vocé estd usando um tipo de espectrémetro x 2 A forme A Figura P2775 mostra 0 0 L0 de massa para medir as relagdes entre carga e massa dos fons at6 uma espira quadrada contida no micos No dispositivo os 4tomos sao ionizados com um feixe de plano xy A espira possui vértices nos pontos 0 0 0 L L0 elétrons para produzir fons positivos que s4o entao acelerados atra e L L e conduz uma corrente J no sentido hordrioO campo vés de uma diferenga de potencial V A velocidade final dos fons magnético nao possui componente x mas possui componentesem grande o suficiente para que vocé possa ignorar sua velocidade 260 Fisica Ill inicial Os fons entao entram em uma regiao na qual um campo particula alfa c Com B 0300 T que velocidade e energia magnético uniforme B é perpendicular 4 velocidade dos fonse cinética uma particula alfa teré se 0 raio de sua trajetéria for possui médulo B 0250 T Nessa regiao B os fons se movem 120 cm em uma trajetoria semicircular de raio R Vocé mede R em fungao da voltagem de aceleracg4o V para um fon at6mico em particular Figura P2780 f 10 Hz 3400 3000 a Como vocé poderia representar os pontos de dados em 2600 um grafico de modo que fiquem pr6ximos de uma linha reta Explique b Construa o grafico descrito no item a Use a in 2200 clinagdo da linha reta com melhor ajuste para calcular a relacao 1800 entre carga e massa qm para o fon c Para V 200 kV qual é a velocidade dos fons quando entram na regiao B d Se os 1400 fons que possuem R 212 cm para V 120 kV sao ionizados uma Unica vez qual é 0 valor de R quando V 120 kV para os 1000 fons duplamente ionizados 600 BCT 2779 DADOS Vocé é um cientista pesquisador traba 000 010 020 030 040 Ihando em um acelerador de particulas de alta energia Usando uma vers4o moderna do dispositivo de Thomson para determinar PROBLEMAS DESAFIADORES em vocé deseja medir a massa de um muon uma particula 2781 Uma particula com carga igual a 215 jC e massa fundamental que possui a mesma carga de um elétron mas com de 320 X 107 kg esta inicialmente se deslocando no sentido massa maior O campo magnético entre as duas placas carre ty com velocidade igual a vp 145 X 10 ms A seguir ela gn 02407 Yo mde campy ci prs um 0 gyracm nate one exeuncanpo magico na La que entra perpendicularmente no plano da pagina como indicado P otencial grand 0 suficiente para que voce P ossa assem uma na Figura P2781 O modulo do campo é igual a 0420 T A veloc dade inicial zero para os muons A Figura P2779 um regiao se estende até uma distancia igual a 250 cm ao longo da grafico de E versits Vde Seuss dados a Explique Por due os direcao inicial do deslocamento a 750 cm do ponto onde ela pontos de dados ficam préximos de uma linha reta b Use 0 entrou no campo existe uma parede O comprimento da regiao grafico da Figura P2779 para calcular a massa m de um muon onde nao existe campo é portanto igual a 500 cm Quando a c Se as duas placas carregadas estiverem separadas por 600 articula carreeada entra ho cam 5 ma nético ela se ue uma mm qual devera ser a voltagem entre as placas a fim de que 0 pat a P eu campo elétrico entre as placas seja 200 X 10 Vm Suponha trajetoria curva com rere de curvatura R A Segui ela deixa campo magnético depois de um tempo f tendo sido desviada de dhe as dimensdes das placas sejam muito mare Tes que a separa uma distancia Ax 1 A particula entao se desloca na regiéo sem vom quando 0 Quando hatesia enters plas los campo e atinge a parede depois de ser desviada de uma distancia total Ax a Determine o raio R da parte curva da trajetdria b Figura P2779 Determine f 0 tempo durante o qual a particula permanece no campo magnético c Determine Ax 0 desvio horizontal no E 108 Vm ponto onde a particula sai do campo d Determine Ax 0 desvio 800 horizontal total 600 400 et Figura P2781 200 1 0 VV Parede Ax 0 100 200 300 400 2780 DADOS Vocé é um técnico que esta testando a operacao de um ciclotron Uma particula alfa no dispositivo se move em uma trajetoria circular em um campo magnético B que D direcionado perpendicularmente a trajet6ria da particula alfa Ax 750 cm Vocé mede o ntimero de rotagdes por segundo a frequéncia f da I particula alfa em fungao da intensidade B do campo magnético x xBx x x x x Kl d A Figura P2780 mostra seus resultados e 0 melhor ajuste da R 250 em linha reta aos seus dados a Use 0 grafico na Figura P2780 para calcular a raz4o entre carga e massa da particula alfa que Up possui uma carga de 2e Com base em seus dados qual é a massa de uma particula alfa b Com B 0300 T quais sao as frequéncias do ciclotron f de um proton e de um elétron Como esses valores de fse comparam com a frequéncia de uma Capitulo 27 Campo magnético e forcas magnéticas 261 2782 ee PC Uma trajetéria cicloidal Uma particula de magnético externo Bo O modulo de é algo em torno de massa m e carga positiva g parte do repouso na origem mos 14 x 10 JTO proton pode ser imaginado como estando trada na Figura P2782 Existe um campo elétrico uniforme E em um dentre dois estados com orientado paralelo ou an no sentido y e um campo magnético uniforme B saindo da tiparalelo ao campo magnético aplicado com um trabalho pagina Demonstrase em livros mais avancados que atrajetoria sendo realizado para inverter o proton do estado de baixa descrita é uma cicloide cujo raio de curvatura nos pontos do topo energia para o de alta energia como mostra a figura a seguir da curva é igual ao dobro da coordenada y desses pontos a Explique a razdo desse tipo de trajetéria e o motivo da repeticao B B do movimento b Prove que a velocidade em qualquer ponto i é dada por V2qEym Dica use a conservacio da energia c Aplicando a segunda lei de Newton no ponto do topo da trajeté cls cl ria e levando em conta a informacfo de que nesse ponto 0 raio de curvatura é igual a 2y prove que a velocidade nesse ponto é Préton c Préton igual a 2EB Trabalho Figura P2782 y pe By paralelos pe By antiparalelos baixa energia alta energia fe B ee ee Uma consideraao importante é que o campo magnético resul tante de qualquer nticleo exceto para o do hidrogénio que possui ee 8 eee ees apenas um proton consiste em contribuig6es de protons e néu ef Aes Pare s 8 8 trons Se um nticleo possui um ntimero par de protons e néutrons eo ee ew ew Sy aad eles se emparelharao de tal modo que metade dos protons tera Cook kk ee kk ae spins em uma orientagao e metade na outra Assim o momento x magnético resultante do nucleo é zero Somente nticleos com um momento magnético resultante sao candidatos para a RM O hidrogénio é 0 atomo mais utilizado para imagens de RM 2783 Se um proton for exposto a um campo magnético externo Problemas com contexto de 2 T que possui uma diregao perpendicular ao eixo do spin do BIO Campos magnéticos e RM Imagem por ressondncia proton qual Sera 0 torque no proton a 0 b 14 X 10 N magnética RM é um método poderoso que diferente das m c 28 x 10 N m d 07 x 10 N m ys 2784 Qual dos seguintes elementos é um candidato para a RM imagens de raios X permite que imagens nitidas de tecido Dn os 16 es 40 3 macio sejam feitas sem expor o paciente a radiacg4o poten a Cos Os Caro Pas 2785 Os grandes campos magnéticos usados na RM podem cialmente perigosa Um conhecimento rudimentar desse mé eget oe produzir forgas sobre as correntes elétricas dentro do corpo hu todo pode ser alcangado pela aplicacao relativamente simples mano Esse efeito foi proposto como um possfvel método para da fisica classica ou seja nao quantica do magnetismo O captar imagens de biocorrentes fluindo no corpo como a cor ponto de partida para a RM a ressondncia nuclear magnética yente conduzida por nervos individuais Para uma intensidade RNM uma técnica que depende do fato de os protons no de campo magnético de 2 T estime o médulo da forga maxima nucleo at6mico possuirem um campo magnético BA origem sobre um segmento de 1 mm de extensio de um Unico nervo do campo magnético do proton é seu spin Estando carregado cilfndrico que possui diémetro de 15 mm Suponha que 0 nervo 0 proton girando constitui uma corrente elétrica semelhante a inteiro conduza uma corrente decorrente de uma voltagem apli uma espira de fio através da qual circula uma correnteComo cada de 100 mV aquela de um potencial de agao tipico A a espira de fio 0 pr6ton possui um momento magnético resistividade do nervo é 06 m a 6 X 107 N b 1 X assim ele tera um torque quando estiver sujeito a um campo 107 N c 3 X 1074 N d 03 N RESPOSTAS Resposta a pergunta inicial do capitulo Logo a pequena parte restante se comporta como a agulha ori Resposta ii Uma agulha de btissola imantada possui um ginal da bissola com tamanho total momento de dipolo magnético ao longo de sua extensio0e 0 271 Resposta caminho 3 Ao aplicar a regra da mio direita campo magnético da Terra que geralmente aponta para o norte aog vetores U que aponta para a direita e B que aponta para exerce um torque que tende a alinhar esse momento de dipolo gentro do plano da figura dizemos que a forca F qu Xx B com 0 campo Veja detalhes na Seao 277 sobre uma carga positiva apontaria de baixo para cima Como a Respostas as perguntas dos testes carga é negativa a forca aponta de cima para baixo e a particula de compreensao segue uma trajet6ria que se curva para baixo 271 Resposta sim Quando um ima é cortado cada parte 273 Resposta a ii b naio O modulo de B aumentaria passa a ter um polo norte e um polo sul veja a Figura 274 4 medida que vocé se movesse para a direita atingindo o valor 262 Fisica lll maximo quando vocé passasse através do plano do circuitoSe 278 Resposta nao O rotor nao passard a girar quando a vocé se movesse para além do plano do circuito o médulo do chave for fechada caso ele esteja inicialmente orientado como campo diminuiria Podese verificar isso pelo espagamento entre indica a Figura 2739b Nesse caso nenhuma corrente passa pelo as linhas de campo quanto mais proximas as linhas de campo rotor e portanto nao hd torque magnético Essa situagio pode ser maior a intensidade dele O sentido do campo seria orientado remediada usandose miultiplas bobinas de rotor orientadas de para a direita em todos os pontos ao longo da trajet6ria uma vez modo a formar angulos diferentes em torno do eixo de rotagao que a trajetoria esta ao longo de ume linha de campo eo sentido Com essa combinacao sempre havera um torque magnético seja de B em qualquer ponto é tangente 4 linha de campo que passa qual for a orientacio Por esse ponto co 279 Resposta ii Os portadores de carga méveis em cobre 274 Resposta a ii b i O raio da 6rbita de acordo fe séo elétrons com carga negativa que se movem de baixo para com a Equac4o 2711 é diretamente proporcional a velocidade cima pelo fio para fornecer uma corrente de cima para baixo por isso duplicar a velocidade da particula também faz 0 raio ys to Pela regra da mao direita a forca que atua sobre uma carga po dobrar A particula possui o dobro da trajetéria a percorrer para oe eye sitiva que se move de baixo para cima em um campo magnético completar uma 6rbita mas esta se movendo com o dobro da velocidade portanto o tempo para uma Orbita nao varia Esse que aponta do leste para oeste estaria orientada para o sul logo a resultado também segue a Equacao 2712 segundo a qual a ve forcga sobre uma particula carregada com carga negativa é orien locidade angular independe da velocidade linear v Portanto o tada para o norte O resultado um excesso de carga negativa tempo por érbita T 27rw também nao depende de v sobre o lado norte do fio deixando um excesso de carga posi 275 Resposta iii Pela Equacdo 2713 a velocidade v tiva e portanto um potencial elétrico mais elevado sobre EB com a qual as particulas se movem diretamente através do 9 lado sul seletor de velocidades nao depende do médulo ou do sinal da carga ou da massa da particula O unico requisito é que as parti Excesso Excesso culas neste caso fons possuam carga diferente de zero de carga Cia de carga 276 Resposta A Essa orientacdo fara a corrente fluir no negativa a positiva sentido horario em torno do circuito e portanto através da barra condutora no sentido de cima para baixo da figura Pela regra E B oo aoe da m4o direita a forga magnética F I X B que atua sobre a barra apontard para a direita Norte Oeste 277 Respostas a para a direita b polo norte a direita polo sul 4 esquerda Se vocé fechar os dedos da sua mao direita Probl dest em torno da bobina e no sentido da corrente seu polegar direito roblema em es waque apontara para a direita perpendicularmente ao plano da bobina a 7 154 x 10 4 Nm Esse é 0 sentido do momento magnético 7 O momento magnético Ty 205 x 10 N m aponta do polo sul para o polo norte de modo que 0 lado direito da T614x 10 4Nm espira é equivalente ao polo norte e 0 lado esquerdo ao polo sul b 755 X 1043 421 rads OBJETIVOS DE APRENDIZAGEM Ao estudar este capítulo você aprenderá 281 A natureza do campo magnético produzido por uma única partícula carregada em movimento 282 Como descrever o campo magnético produzido por um elemento de um condutor com corrente 283 Como calcular o campo magnético produzido por um fio longo e retilíneo que conduz uma corrente 284 Por que fios que conduzem correntes na mesma direção e sentido se atraem ao passo que fios que conduzem correntes contrárias se repelem 285 Como calcular o campo magnético produzido por um fio que conduz corrente e é curvado em forma de círculo 286 O que é a lei de Ampère e o que ela revela sobre campos magnéticos 287 Como usar a lei de Ampère para calcular o campo magnético de distribuições simétricas de corrente 288 Como as correntes microscópicas dentro dos materiais são responsáveis por suas propriedades magnéticas Revendo conceitos de 105 Momento angular de uma partícula 2132 15 Lei de Coulomb e cálculos do campo elétrico 224 Resolução de problemas com a lei de Gauss 2722 79 Campo magnético e força magnética N o Capítulo 27 estudamos as forças sobre cargas que se movem e sobre fios condutores de corrente em um campo magnético Não havíamos questionado como esses campos magnéticos eram produzidos simplesmente considera mos esses campos como sendo fatos conhecidos Mas como um campo magnético é criado Sabemos que ele pode ser produzido tanto por um ímã permanente quanto por uma corrente elétrica em um eletroímã Neste capítulo estudaremos essas fontes de campo magnético com mais detalhes Aprendemos que uma carga cria um campo elétrico e que este exerce força sobre uma carga Porém um campo magnético somente exerce força sobre uma carga quando ela está em movimento De modo semelhante veremos que somente cargas em movimento criam campos magnéticos Nossa análise começará com o campo magnético gerado por uma única carga puntiforme que está em movimento Poderemos usar essa análise para estudar o campo magnético criado por um pe queno segmento de um condutor com corrente Depois de fazer isso seremos capazes de encontrar o campo magnético produzido por um condutor que possua qualquer forma A seguir introduziremos a lei de Ampère análoga à lei de Gauss da eletrostática A lei de Ampère nos permitirá relacionar as propriedades de simetria do campo magnético às da fonte do campo As cargas que se movem no interior de um átomo respondem a campos magnéti cos e também podem agir como fontes de campos magnéticos Essas ideias ajudarão a entender como alguns materiais magnéticos podem ser usados para intensificar campos magnéticos assim como compreender por que certos materiais como o ferro podem ser transformados em ímãs permanentes O imenso cilindro nesta fo tografia é uma bobina con dutora de carga ou solenoide que gera um campo magnético uniforme em seu interior e faz parte de uma experiência do CERN o centro europeu de pes quisas nucleares Se dois des ses solenoides fossem unidos pelas extremidades o campo magnético ao longo de seu eixo comum i se tornaria quatro vezes mais forte ii dobraria de intensidade iii se tornaria 2 vezes mais forte iv não mudaria v seria enfraquecido FONTES DE CAMPO MAGNÉTICO 28 BookSEARSVol3indb 263 101115 702 PM 264 Fisica Ill Figura 281 a Vetor do campo Vamos comegar com um conceito basico 0 campo magnético criado por uma tinica magnético produzido por uma carga carga puntiforme g se deslocando com uma velocidade constante 8 Em aplicacdes puntiforme g em movimento Em ae 2 Bs praticas como o solenoide mostrado na fotografia que abre este capitulo os campos cada ponto o vetor B é 2 a perpendicular ao plano formado por Magnéticos sao produzidos por um numero extraordinario de particulas carregadas que F eB e seu modulo proporcional se movem juntas em uma corrente Mas quando entendemos como calcular o campo ao seno do angulo formado entre magnético em fungao de uma carga puntiforme tinica falta pouco para calcular 0 campo esses vetores b Linhas do campo em funcdo de um fio que conduz uma corrente ou um conjunto de fios magnético em um plano que contém as uma carga positiva Assim como fizemos para 0 campo elétrico chamamos 0 local onde se encontra a carga em movimento de ponto da fonte e 0 ponto P onde desejamos determinar a Vista em perspectiva o campo de ponto do campo Na Secao 214 vimos que para um ponto do campo Regra da mao direita para o campo situado a uma distancia r de uma carga puntiforme g o campo elétrico E causado magneético em fungao de uma carga pela carga é proporcional ao médulo da carga Iqle a 1r e que a direcao de E para positiva que se move a uma velocidade oe constante aponte o polegar da mao uma carga positiva q dada pela reta que une 0 ponto da fonte ao Ponto do campo direita na diregao da velocidade Seus A relacao correspondente para 0 caso de um campo magnético B produzido por dledos estar dobrados em torno da carga ma carga puntiforme g que se desloca com velocidade constante possui algumas no sentido das linhas do campo magnético Se a carga for negativa as linhas de semelhangas e diferengas interessantes campo estarao no sentido contrario A experiéncia mostra que 0 médulo do campo magnético B também é propor Para estes pontos do campo Fe b cionalalglea 1r Porém a direcdo de B nao é dada pela diregao da reta que une esto no plano indicado e 0 ponto da fonte ao ponto do campo Ao contrario a direcdo de B é perpendicular B é perpendicular a esse plano n a o a yP ao plano que contém essa reta e ao vetor velocidade U da particula como indicado f 4 Gf 8 na Figura 281 Além disso 0 médulo B também é proporcional ao médulo da ya i velocidade da particula e ao seno do Angulo Portanto o médulo do campo mag V2 v nético no ponto P é dado por fs B 0 yee Mo qlusend B 281 B a e Aq r oe B a f i A quantidade jp pronunciase musubzero é chamada de constante magné f B i B i tica O motivo para a inclusao do fator de 47 ficara mais claro posteriormente Fi P oo zemos algo semelhante com a constante da lei de Coulomb descrita na Secao 213 ara estes pontos de carga revestao no plano inferior e B é perpendicular a esse plano Carga em movimento vetor do campo magnético b Vista posterior da carga oo Podemos incorporar o mdédulo a diregdo e o sentido de B em uma tinica equacao Se Con ewetestane vetorial usando a definido de produto vetorial Para evitar a repeticdo da frase movendo para dentro a diregdo da reta que une a carga g ao ponto do campo P introduzimos o vetor do plano da pagina ynitdrio F que aponta do ponto da carga até o ponto do campo JA usamos com e se afastando de se tee voc 0 mesmo objetivo na Seca4o 214 Esse vetor unitario é igual ao vetor 7 que liga B a carga ao ponto do campo dividido pelo médulo desse vetor rr Portanto Constante Carga Velocidade magnética sy i x Vetor unitdrio da carga Campo MaAgnetico de anes Mo qv xr puntiforme em direcao uma carga puntiforme B 2 aonde o campo émedido 282 com velocidade constante 4n or Fe nea Distancia da carga puntiforme até onde o campo é medido A Figura 281 indica como aponta para P e mostra também 0 campo magnético B em diversos pontos nas vizinhangas da carga Em todos os pontos ao longo de uma linha que passa pela carga paralela ao vetor velocidade U 0 campo magnético é igual a zero porque sen 0 em todos esses pontos Para qualquer distancia r da carga g B possui seu médulo maximo em pontos situados sobre um plano perpendicular a U porque nesses pontos 90 e sen 1 Quando a carga g negativa B possui um sentido contrario ao indicado na Figura 281 Capitulo 28 Fontes de campo magnético 265 Carga em movimento linhas do campo magnético Uma carga puntiforme em movimento também produz um campo elétrico cujas linhas de campo emanam radialmente para fora de uma carga positiva As linhas do campo magnético sao completamente diferentes A discussdo precedente mostra que para uma carga puntiforme que se move com velocidade U as linhas do campo magnético sao circunferéncias centralizadas na linha que contém U e contidas em planos perpendiculares a essa linha O sentido do campo magnético para uma carga positiva é dado pela seguinte regra da mdo direita um exemplo das muitas regras que vocé encontrara neste capitulo Segure o vetor velocidade U com sua mao direita de modo que o polegar direito aponte no sentido de U assim seus dedos fazem uma rotac4o em torno de U no mesmo sentido da rotacao das linhas de campo magnético supondo uma carga g positiva A Figura 281a mostra par tes de algumas linhas do campo magnético a Figura 281b mostra algumas linhas do campo magnético em um plano perpendicular a U passando por g Se a carga puntiforme for negativa as diregdes e os sentidos do campo e das linhas do campo serao contrarios aos indicados na Figura 281 As equacées 281 e 282 descrevem 0 campo magnético B de uma carga punti forme com velocidade constante Quando a carga esta acelerada 0 campo geral mente é muito mais complicado Para os nossos objetivos nao precisamos desses resultados mais complexos O movimento das particulas carregadas que consti tuem uma corrente em um fio sofre uma aceleragao nos pontos onde o fio se curva ea direcao de U varia Porém como o médulo da velocidade v de arraste do elétron em um condutor é em geral muito pequeno a aceleracdo va r também é muito pequena e os efeitos da aceleracgdo podem ser desprezados Como discutimos na Secdo 272 a unidade de B é um tesla 1 T 1T1NsCm1NAm Usando a relagdo anterior na Equacao 281 ou na 282 verificamos que as uni dades da constante Mo sao INsC 1 NA 1WbAm1TmA Em unidades SI 0 valor numérico de jp exatamente igual a 4a X 107 Portanto 4 TN 22 7 Mo 47 X 10 SN sCo 47 X 10S WoA m 47 x 10TmA 283 Parece inacreditavel que fo tenha exatamente esse valor numérico De fato esse numero é um valor definido que decorre da definigao de ampére conforme veremos na Secao 284 Dissemos na Secao 213 que a constante 147r na lei de Coulomb esta relacio nada do seguinte modo a velocidade da luz c 7 202 2 k 10 NsCc 47re9 Quando estudarmos as ondas eletromagnéticas no Capitulo 32 verificaremos que a velocidade de propagagao dessas ondas no vacuo que é igual 4 velocidade da luz c é dada por 2 1 c 284 oHo 266 Fisica Ill Explicitando da expressao k 147ro substituindo o resultado na Equacgao 284 e explicitando fo encontraremos efetivamente o valor de fo escrito ante riormente Essa discussao é um pouco prematura porém da uma ideia de que os campos elétrico e magnético estéo profundamente relacionados a natureza da luz SAU PEEEIE FORCAS ENTRE DOIS PROTONS EM MOV MEO Dois protons se deslocam paralelamente ao eixo Ox em sentidos Fa bo qev24ar Lov opostos Figura 282 com a mesma velocidade v pequena em Br 2asee Veo gMoU comparacao a velocidade da luz c No instante indicado deter E q 47reqr 0 mine a forca elétrica e a forcga magnética sobre o proton da parte superior e calcule a razdo entre os médulos dessas forcas Com a relagao ego Ic a Equagao 284 podemos escrever a equacéo de modo muito simples SOLUGAO Fp v2 IDENTIFICAR E PREPARAR a forca elétrica F sobre 0 préton Fy superior é dada pela lei de Coulomb Equacao 212 A lei da forga magnética Equaao 272 nos fornece a forga magnética Quando a velocidade v for pequena em comparagio a velocidade resultante que atua sobre o proton superior para usala Equagao da luz a forga magnética sera muito menor que a forga elétrica 282 inicialmente devemos determinar campo Magnetico que AVALIAR descrevemos as velocidades os campos e as forcas em proton inferior produz na posiao do proton superior oO vetor relag4o a um observador estacionario no sistema de coordenadas unitario do p roton inferior a fonte até a posigao do proton su ga Figura 282 Para um sistema de coordenadas que se move periore r J a com uma das cargas uma das velocidades seria zero logo nao EXECUTAR pela lei de Coulomb o médulo da forga elétrica woe ae x a existiria nenhuma forga magnética A explicacéo desse paradoxo sobre 0 préton superior é aparente forneceu um caminho para a elaboragao da teoria espe 1 cial da relatividade Fz Amey r ees as Figura 282 Forgas elétricas e magnéticas entre dois protons As forcas sdo repulsivas de modo que a forca sobre 0 préton movimento superior é orientada verticalmente para cima no sentido y y A velocidade do proton inferior é 6 vi Usando a regra da mao direita para 0 produto vetorial X na Equacao 282 0 campo 5 B em razio do proton inferior na posiao do proton superior esta Fe no sentido z Figura 282 Pela Equagao 282 o campo é ss 3 AE pe Mo We XT Ho Wwe Bae 4a r 4a B q A velocidade do proton superior é U vi e a forga magnética sobre ele é dada por z 2 Mo Qv Wo GU rhe Fz q XB qvi X k j v B q q dr r dr r J x q A interacgdéo magnética para esse caso também é repulsiva A z razao entre o mdédulo da forca magnética e o médulo da forga elétrica é dada por TESTE SUA COMPREENSAO DA SEGAO 281 a Se dois protons estéo se deslocando pa ralelamente um ao outro e na mesma direcao sentido e velocidade a forca magnética entre eles é de i atragdo ou ii repulsio b A forca resultante entre eles é de i atracdo i1 repulsao ou iii nula Assuma que a velocidade dos protons é muito menor que a velocidade da luz I 282 CAMPO MAGNETICO DE UM ELEMENTO DE CORRENTE Tal como no caso do campo elétrico existe um principio de superposicéo dos campos magnéticos Capitulo 28 Fontes de campo magnético 267 bie Figura 283 a Alguns vetores do O campo magneético total produzido por diversas cargas que se moveméa campo magnético produzido por um soma vetorial dos campos produzidos pelas cargas individuais elemento de corrente dl b Linhas do campo magnético em um plano que contém o elemento de corrente Podemos usar esse principio com os resultados da Secdo 281 para determinaro 4 Compare esta figura 4 Figura eas 281 para o campo de uma carga campo magnético produzido por uma corrente que flui em um condutor oe puntiforme em movimento Comegamos calculando 0 campo magnético produzido por um pequeno seg s 4 a Vista em perspectiva mento dl de um condutor com corrente como indicado na Figura 283a O volume do segmento é A dl em que A a 4rea da secao reta do condutor Se existirem n Regra da mao direita para 0 campo ticul d idade d 1 d magnético em funcaéo de um elemento particulas carregadas que se movem por unidade de volume cada uma com carga ge corrente aponte o polegar da mao q a carga total dQ que se move no segmento sera direita na direcfo da corrente Seus dedos estarao dobrados em torno do elemento de corrente no sentido das linhas do campo dQ ngA dl magnético Para estes pontos do campo F e dl esto As cargas que se movem nesse segmento s4o equivalentes a uma Unica cargadQ n0 plano indicado e dB é perpendicular ee aesse plano P i que se desloca com a velocidade de arraste U Os campos magnéticos produzidos 3 oe y TA NaB pelos movimentos aleatérios das cargas geralmente serao cancelados em todos os i a i 2 ey Ys dB i pontos De acordo com a Equacao 281 o médulo do campo magnético resultante dB és 1é dB para qualquer ponto do campo P é dado por Ne Ye Bx Fa Z dl ap Ho dQ vasend Ho nlqvq A dlsend dB Aq r Aq r wl f dB t é i Porém pela Equacao 252 nlglu A é igual a corrente J que flui no elemento i 4B i up Logo Para estes pontos de carga re dl estado no plano indicado e dB é perpendicular a esse plano Mo I dlsend dB 4a 2 285 b Vista ao longo do eixo do elemento de 7 r corrente Elemento de corrente vetor do campo magnético Corrente orientada para dentro do plano Sob forma vetorial usando o vetor unitario 7 como na Segao 281 obtemos GF da pagina Convtante Pa de ea do elemento magnética eg i aponta na direcAo da corrente Po aa ww Vetor unitario do Campo magnetico ns Ko IdlXfr elemento para onde de um elemento de as dB S o campo é medido 286 corrente infinitesimal 4a tn Distancia do elemento até onde o campo é medido em que dl é um vetor de comprimento d que possui 0 mesmo sentido da corrente que flui no condutor As equag6es 285 e 286 sao formas equivalentes da lei de Biot e Savart Po demos usar essa lei para determinar 0 campo magnético B produzido em qualquer ponto do espago por uma corrente que flui em um circuito completo Para isso é suficiente integrar a Equag4o 286 em todos os segmentos dl que conduzem a corrente simbolicamente Mo IdlXr B 3 287 Air r Nas seg6es seguintes realizaremos essa integraao vetorial em diversos exemplos 268 Física III Elemento de corrente linhas do campo magnético Como indicado na Figura 283 os vetores d e as linhas do campo magnético de um elemento de corrente são exatamente iguais aos vetores produzidos por uma carga positiva dQ que se desloca no sentido da velocidade de arraste a As linhas do campo magnético são circunferências situadas em planos perpendicu lares a d e centralizadas na linha de d As direções e os sentidos desses vetores obedecem à mesma regra da mão direita que aplicamos para cargas puntiformes na Seção 281 Não há como verificar a Equação 285 ou a 286 diretamente porque nunca po deremos fazer uma experiência com um segmento de fio isolado O que medimos experimentalmente é o campo magnético total produzido por uma corrente que flui em um circuito completo Contudo podemos verificar essas equações indi retamente calculando para diversas configurações usando a Equação 287 e comparando os resultados com medidas experimentais Caso exista algum material no espaço que circunde um fio que conduz uma corrente o campo magnético em um ponto P em suas vizinhanças terá uma contri buição adicional resultante da magnetização do material Voltaremos a esse assunto na Seção 288 Contudo exceto no caso de o material ser ferro ou qualquer outro material ferromagnético esse campo magnético adicional é muito pequeno e ge ralmente desprezível Uma complicação adicional surge quando existem campos magnéticos e elétricos que variam com o tempo ou quando o material é supercon dutor Discutiremos esses tópicos mais tarde Terra Lua Aplicação Correntes e magnetismo planetário O campo magnético da Terra é causado por correntes que circulam dentro de seu interior derretido condutor Essas correntes são agitadas pelo spin relativamente rápido do nosso planeta uma rotação a cada 24 horas As correntes internas da Lua são muito mais fracas ela é muito menor que a Terra possui um interior predominantemente sólido e gira lentamente uma rotação a cada 273 dias Logo o campo magnético da Lua tem apenas cerca de 104 da intensidade do campo da Terra ESTRATÉGIA PARA A SOLUÇÃO DE PROBLEMAS 281 CÁLCULOS ENVOLVENDO CAMPOS MAGNÉTICOS IDENTIFICAR os conceitos relevantes a lei de Biot e Savart equações 285 e 286 permite calcular o campo magnético em um ponto do campo P em função de um fio de qualquer formato que conduz corrente A ideia é calcular o elemento de campo d em P em função de um elemento de corrente repre sentativo no fio e então combinar as contribuições de todos esses elementos para determinar o campo em P PREPARAR o problema por meio das seguintes etapas 1 Faça um diagrama de um elemento de corrente representa tivo e do ponto do campo P 2 Desenhe o elemento de corrente d percebendo que ele sempre aponta no mesmo sentido da corrente 3 Desenhe o vetor unitário r sempre apontando no sentido do elemento de corrente o ponto da fonte para o ponto P 4 Identifique a variávelalvo normalmente EXECUTAR a solução conforme segue 1 Use a Equação 285 ou a 286 para expressar o campo mag nético d no ponto P do elemento de corrente representativo 2 Some todos os d para calcular o campo total no ponto P Em algumas situações cada elemento d para diversos elementos de corrente pode ter a mesma direção para todos os elementos de corrente então o módulo do campo total é a soma dos módulos dos d Contudo em geral cada elemento d possui uma direção diferente para cada ele mento de corrente Então você deve escolher um sistema de coordenadas e decompor d com base em seus compo nentes A integral para o campo magnético resultante é então expressa em termos de uma integral para cada componente 3 Em alguns casos você pode concluir por simetria que um dado componente de se anula Considere sempre a possibilidade do uso da simetria para simplificar problemas 4 Procure meios para usar o princípio de superposição dos campos magnéticos Mais adiante neste capítulo determi naremos os campos produzidos por condutores que pos suem uma forma simples Quando encontrar um condutor de forma complexa que possa ser decomposto em uma combinação desses condutores com forma simples você poderá usar o princípio de superposição para calcular o campo desse condutor de forma complexa Como exem plos citamos uma espira retangular ou uma combinação com dois segmentos retilíneos ligados nas extremidades de um condutor formando uma semicircunferência AVALIAR sua resposta frequentemente sua resposta será uma expressão matemática para em função da posição do ponto do campo Confira a resposta examinando seu comportamento no máximo de limites disponível BookSEARSVol3indb 268 101115 702 PM Capitulo 28 Fontes de campo magnético 269 SRETIREZED CAMPO MAGNETICO DE UM SEGMENTO DE CORRENTE smn Um fio de cobre conduz uma corrente constante de 125 A para Lo dl X by I dli X cos30 sen 30 um tanque de eletrodeposicao Figura 284 Determineocampo B dn 2 rr magnético produzido por um segmento de fio de 10 cm de com primento em um ponto situado a uma distancia de 12 m do fio Mol dlsen 30 k considerando que 0 ponto seja a um ponto P situado sobre a 4a r perpendicular superior do fio b um ponto P situado no plano 125 A 10 X 102 msen30 xy e sobre uma linha que forma um Angulo de 30 com o seg 10 T mA TT eee mento de fio 12 m 43 X 10 Tk SOLUGAO IDENTIFICAR E PREPARAR embora as equacées 285 e 286 O sentido de B em P também esta entrando no plano xy da s6 possam ser usadas para um segmento de fio infinitesimal é Figura 284 possivel aplicdlas nesse caso porque o tamanho do segmento é AVALIAR podemos conferir os resultados obtidos para o sentido muito menor que a distancia até o ponto do campo O elemento de de B comparandoos a Figura 283 O plano xy na Figura 284 corrente estd indicado na Figura 284 e aponta no sentido negativo Corresponde ao plano escurecido na Figura 283 Entretanto de Ox o sentido da corrente de modo que dl diO vetor neste exemplo o sentido da corrente e portanto de dl é 0 in unitdrio para cada ponto do campo esta orientado do elemento VerS0 do sentido indicado na Figura 283 Desse modo o sentido de corrente para esse ponto f esta no sentido positivo de Oy para 40 campo magnético também invertido Logo o campo nos o ponto P e forma um Angulo de 30 acima do sentido negativo pontos no plano xy na Figura 284 deve apontar para dentro de Ox para o ponto P nao para fora desse plano E exatamente isso que concluimos EXECUTAR a no ponto P j de modo que anteriormente Figura 284 Calculo do campo magnético produzido em dois py Id X po Ldli Xj Mo I dl pontos por um segmento de fio de 10 cm de comprimento no B dn 2 dn 2 te zk qual passa uma corrente nao indicado em escala 7 r 7 r T 1 125 A 10 X 10 m 12 m P 87 X 10 Tk ae 12m O sentido de B em P esta entrando no plano xy da Figura 284 12m b No ponto P 0 vetor unitdrio é cos 30 sen 30 i25A 30 eh Pela Equacao 286 Tocm TESTE SUA COMPREENSAO DA SECAO 282 Um elemento de corrente infinitesimal localizado na origem x y z 0 conduz uma corrente J no sentido positivo de Oy Classifique as seguintes localizagdes por ordem de intensidade do campo magnético queo elemento de corrente produz em cada ponto do maior para o menor valor i x L y 0 Figura a campo ae inca d z 0 ii x 0 y Lz 0 iii x 0 y 02 Ls iv x LV2 y LV2 2 04 Procuzico por um Ho retlineo Ce comprimento 2a que conduz uma corrente Z y 283 CAMPO MAGNETICO DE UM CONDUTOR RETILINEO CONDUZINDO UMA CORRENTE a g Uma aplicacao importante da lei de Biot e Savart consiste em determinaro dl campo magnetico de um condutor retilineo que conduz uma corrente Tratase de A rVery um resultado importante porque em quase todos os dispositivos elétricos e ele tr6nicos existem fios retilineos conduzindo correntes A Figura 285 mostra um 0 comprimento 2a de um fio retilineo que conduz uma corrente J Vamos calcular B x UB em um ponto sobre a reta perpendicular que divide o condutor em duas metades No ponto P o campo dB situado a uma distancia x de seu centro I produzido por cada elemento Inicialmente usamos a lei de Biot e Savart Equagao 285 para calcular o do condutor possui sentido campo dB produzido pelo elemento do condutor de comprimento dl dy in a pe total Bae come dicado na Figura 285 De acordo com a figura notamos que r Vx y2 e 270 Fisica lll send sen a 6 xVx y2 A regra da mao direita para 0 produto veto rial dl X mostra que dB possui diredo perpendicular ao plano da figura e sentido para dentro da pagina além disso todos os vetores dB produzidos por todos os ele mentos do condutor sAo idénticos Logo ao integrarmos a Equacao 287 podemos simplesmente somar os médulos de cada vetor dB uma significativa simplificagao Substituindo os valores naquela integral vemos que o médulo do campo total B é R Mol 4 x dy 4a J x 4 y 32 Podemos fazer a integral usando uma substituigao trigonométrica ou consultando uma tabela de integrais Mol 2a B 288 At VP a Quando o comprimento 2a do condutor é muito maior que a distancia x entre 0 ponto P e 0 condutor podemos dizer que o condutor possui um comprimento infinito Quando a é muito maior que a distancia x Vx a é aproximadamente igual a a logo no limite a o a Equacao 288 se reduz a Mol B 277x A presente situacao fisica apresenta simetria axial em torno do eixo Oy Por tanto B deve ter o mesmo médulo em todos os pontos sobre uma circunferéncia centralizada no condutor e situada em um plano perpendicular a ele e a direcdo de B é dada pela tangente em cada um dos pontos dessa circunferéncia Figura 286 Logo em qualquer ponto ao longo de uma circunferéncia de raio r centralizada no condutor o médulo B é dado por Constante magnética Campo magnético préximo is peo Corrente de wn condutor longo e B wt Distancia do condutor 289 retilineo que conduz corrente 27r Figura 286 Campo magnético A geometria do problema que estamos discutindo é semelhante 4 encontrada no produzido por um fio retilineo longo Exemplo 2110 Secao 215 no qual resolvemos o problema de um campo elé que conduz corrente As linhas de trico produzido por um fio retilineo infinito uniformemente carregado A mesma campo magnetico sao circunferéncias l doi bl Sdul d eo sentido do campo indicado pela Mtegra aparece nos dois problemas e os modulos dos campos sao proporcionais a regra da mio direita 1r Porém as linhas de B para 0 problema magnético possuem formas completa mente diferentes das linhas de E do problema elétrico andlogo As linhas do campo Regra da mAo direita para o campo aes Sp ew magnético em torno de um fio que eletrico emanam radialmente para fora de um fio com uma distribuicao de cargas conduz corrente aponte o polegar da positivas e sao orientadas para dentro do fio quando sao negativas Em contraste mao direita na diregao da corrente Seuss Jinhas do campo magnético sao circunferéncias centralizadas sobre as correntes dedos estarao dobrados em torno do 7 a elemento de corrente no sentido das que constituem a fonte do campo As linhas do campo elétrico comegam e terminam linhas de campo nas cargas que produzem os campos porém as linhas do campo magnético sempre SA formam curvas fechadas e nunca possuem pontos finais qualquer que seja a forma BY B ont do condutor com corrente geradora do campo magnético Conforme discutimos é My OF na Seao 273 isso decorre da lei de Gauss para 0 magnetismo segundo a qual o I KO fluxo magnético total através de qualquer superficie fechada é sempre igual a zero Sn B NX BdA0 2810 fluxo magnético através de qualquer superficie fechada Capitulo 28 Fontes de campo magnético 271 Qualquer linha de campo magnético que penetra em uma superficie fechada deve emergir da mesma superficie SAUCE CAMPO MAGNETICO DE UM FIO UNICO stnnniinininnninnnnn Um condutor retilineo longo conduz uma corrente de 10 A Para EXECUTAR podemos usar a Equagao 289 para explicitar r qual distancia a partir do eixo do condutor o médulo do campo magnético produzido pela corrente é igual ao médulo B 05 X Mol 4a X 107 T mA 10 A 10 T aproximadamente igual ao campo magnético da Terra r nB 27 05 X 104 T em Pittsburgh 4x 10m4mm SOLUGAO IDENTIFICAR E PREPARAR o comprimento de um condutor AVALIAR como Vimos nO Exemplo 2614 as correntes de apro oo tans ximadamente um ampére sao as normais na fiagao de eletro ongo é muito maior que a distancia do condutor ao ponto do campo Logo podemos aplicar os conceitos desta seciio A geo domésticos Este exemplo mostra que os campos magnéticos metria é a mesma que a indicada na Figura 286 portantousamos P roduzidos por esses aparelhos sao muito fracos mesmo nos a Equaciio 289 Todas as grandezas nessa equacdo sao conheci Pontos muito proximos ao fio os campos sao proporcionais a 1r das exceto a varidvelalvo que a distAncia r de modo que se tornam ainda mais fracos em distancias maiores AU PEEEE CAMPO MAGNETICO DE DOIS FOS oo csusmnnnnninninnnininininninnininninnn A Figura 287a mostra um plano xy que corta perpendicular SOLUGAO mente dois fios longos P aralelos cada um deles conduzindo uma IDENTIFICAR E PREPARAR podemos determinar os campos corrente porém em sentidos contrarios a Determine B nos magnéticos Bi e Bo em funcio de cada fio usando os concei pontos P Pz e P 3 b Determine uma expressao para Bem tog desta secdo De acordo com o principio da superposiciio de algum ponto no eixo Ox a direita do fio 2 campos magnéticos o campo magnético em cada ponto entdo Figura 287 a Dois fios longos paralelos conduzindo B B By Usamos a Equagao 289 para determinar os mé correntes de mesmo médulo porém em sentidos contrarios A dulos B e By e a regra da mfo direita para os sentidos correspon seco reta dos condutores é indicada b Mapa das linhas do dentes A Figura 287a mostra B By e B Biota em cada ponto campo magnético produzidas pelos dois condutores As linhas yocé deverd confirmar que os sentidos e os médulos relativos apre do campo estado agrupadas de modo mais compacto entre Os sentados estao corretos A Figura 287b mostra algumas das linhas condutores onde o campo magnetico mais intenso de campo magnético ocasionadas por esse sistema de dois fios a y EXECUTAR a como o ponto P esta mais préximo do fio 1 Beotal distancia 2d que do fio 2 distancia 4d de modo que B Mol272d pol4ird e By pol274d pol87d A regra da mao direita mostra que 0 campo B esté no sentido negativo q po By g B B do eixo Oye By esta no sentido positivo do eixo Oy portanto 1 2 Mol Mol Hol Brora Bi By 7 I gd ponto Pi Ba Fio Fio 2 B 5 A P 10 10 4 1 x No ponto P situado 4 mesma distancia d de ambos os fios B Brora I Py I P3 1e By estao no sentido positivo do eixo Oy e ambos possuem o otal B Kd a z mesmo modulo B By pol27rd Portanto total Ik 3d I I 2d 2 3 3p Mol Mol Kol By Boa Bi Bo 7 It I og ponto P3 Finalmente no ponto P3 a regra da m4o direita mostra que B b a 5 esta no sentido positivo do eixo Oy e B esta no sentido negativo do eixo Oy Como ele esta mais afastado do fio 1 distancia 3d que do fio 2 distancia d concluimos que By pol273d Lol67d e By wol27d O campo total em P3 é Ce e Mol Mol Mol Ce 2 Broa Bi By CI 5 3g ponto Ps B Vocé pode usar a mesma técnica para encontrar Biota em qual quer ponto para os pontos situados fora do eixo Ox vocé deve Continua 272 Fisica lll Continuagdo 5 BeBonio 4 Biota diminui mais rapid ionalmente a 1x E prestar atengdo na soma vetorial uma vez que agora Be By nfo Ptotal CLMMNUL Mas Tapido proporcionalmente a tix Esse sao simplesmente paralelos ou antiparalelos resultado é usado em sistemas de comunicacao como telefone b Para qualquer ponto no eixo Ox a direita do fio 2 ou seja U redes de computadores A fiagao é distribuida de modo que para x d B e B possuem as mesmas direcdes e os mesmos Para todo fio que conduz uma corrente em um sentido existe sentidos do ponto P3 Tal ponto esta a uma distancia x d do outro que conduz a corrente de volta ao sentido contrario como fio 1 e a uma distancia x d do fio 2 de modo que o campo indica a Figura 287a ou os fios sao torcidos um com o outro total é dado por Figura 288 Como resultado o campo magnético produzido fora dos fios é fortemente reduzido e tornase menos provavel BwBB Mol Mol a ac4o indesejavel desse campo que poderia produzir forgas ou total 71 2 Qax d J 2ax d J interferéncias sobre outras correntes que conduzem informagé6es Mold Figura 288 Cabos de computador ou cabos de equipamentos ar 2 a J de audio e video produzem pouco ou nenhum campo magnético Isso ocorre porque no interior de cada cabo fios agrupados de forma compacta conduzem corrente em ambos em que combinamos os dois termos usando um denominador 4 centidos ao longo do comprimento do cabo Os campos comum magnéticos dessas correntes contrarias se anulam AVALIAR considere nosso resultado do item b em um ponto muito distante dos fios de modo que x é muito maior que d Entao o termo d no denominador da relagiio anterior pode ser despre zado e o médulo do campo total é aproximadamente Biota oldax Para um tnico fio a Equagao 289 mostra que o mé dulo do campo magnético diminui com a distancia proporcio nalmente a 1x para dois fios conduzindo correntes em sentidos opostos B cancela parcialmente B de modo que o médulo TESTE SUA COMPREENSAO DA SEGAO 283 A figura ao lado mostra um circuito que Qual Chave 2 oo orientacio repousa sobre uma mesa horizontal Uma bussola é colocada no topo do circuito conforme AB indicado Uma pilha conectada ao circuito de modo que quando a chave é fechada a agulha Agulha da bussola sofre desvio no sentido antihordrio Qual é a orientagaéo A ou B em que a pilha solre no deve ser colocada no circuito I sentido antihorario 284 FORCA ENTRE CONDUTORES PARALELOS Agora que j4 sabemos como calcular 0 campo magnético produzido por um condutor longo conduzindo corrente podemos determinar a fora magnética que um condutor desse tipo exerce sobre outro Essa forga desempenha um papel fun damental em muitas situag6es praticas nas quais fios que conduzem correntes estao muito proximos entre si A Figura 289 mostra segmentos de dois fios retilineos Figura 289 Existe uma forca de atragao entre dois fios paralelos que conduzem correntes de mesmo sentido Os diagramas mostram como 0 campo magnético B oriundo da corrente do fio inferior exerce uma forca F sobre o fio superior O campo magnético do fio inferior exerce uma forca de atragio sobre o superior Como consequéncia o fio superior atrai o inferior Se os fios tivessem correntes em sentidos contrdrios eles deveriam se repelir I B L By ke Tee i I F 1 T Ly7 nN r eS q a pow ds YY B B B B Capitulo 28 Fontes de campo magnético 273 paralelos e longos separados por uma distancia r e que conduzem correntes J e I no mesmo sentido Cada condutor esta sob a influéncia do campo magnético do outro e portanto sofre a agdo de uma forga O diagrama mostra algumas linhas de campo produzidas pela corrente no fio inferior De acordo com a Equacao 289 0 fio inferior produz um campo magnético B que no local onde se encontra o fio superior possui médulo dado por py bol 2ar De acordo com a Equagao 2719 a forga exercida sobre um comprimento L do fio superior é F IL X Bem que o vetor L possui o mesmo sentido da corrente Ie médulo L Como B é perpendicular ao comprimento do condutor e portanto a L 0 médulo dessa forga é FILB Holl E 2ar ea forca por unidade de comprimento FL é Constante magnetica Corrente no primeiro condutor Forea magnética por comprimentoF 4 J Corrente no segundo unitario entre dois fios longos condutor 2811 ae al LE au Distincia entre os condutores Aplicando a regra da mAo direita para o produto vetorial F IL X B vemos que a forca sobre o fio superior é orientada de cima para baixo A corrente que passa no fio superior também produz um campo magnético B no local onde esta o fio inferior Fazendo duas aplicagGes sucessivas da regra da mao direita para o produto vetorial uma para determinar 0 sentido do campo B produzido pelo fio superior como na Secao 282 e outra para calcular o sentido da forga que esse campo exerce sobre o fio inferior como na Secao 276 podemos mostrar que a fora sobre o fio inferior é orientada de baixo para cima Portanto concluise que existe uma fora de atragdo entre dois fios paralelos que conduzem correntes com o mesmo sentido Se o sentido de qualquer uma das duas correntes é invertido o sentido de cada forga também se inverte Existe uma forca de repulsdo entre dois fios paralelos que conduzem correntes com sentidos contrdrios Forgas magnéticas e a definicao de ampére A atragao ou a repulsao entre dois fios retilfineos paralelos que conduzem cor rentes é a base para a definicao oficial do ampére do sistema SI Um ampere éa corrente invariavel que quando percorre dois fios retilineos infinitos paralelos separados no vacuo por uma distancia de um metro pro duz sobre cada metro do condutor uma forca exatamente igual a 2 1077 newtons por metro de comprimento De acordo com a Equacao 2811 possivel verificar que essa definicao de ampére conduz ao valor 477 X 107 T mA utilizado para Mo Ela também é a base para a definigao do coulomb no sistema SI que é a carga transferida em um segundo por uma corrente de um ampére Tratase de uma definido operacional ela fornece um procedimento experi mental efetivo para medir a corrente e definir uma unidade de corrente Para uma 274 Fisica Ill padronizacao mais precisa do ampere utilizamse bobinas em vez de fios retilineos e a distancia entre as bobinas é de apenas alguns centimetros Medig6es até mais precisas do ampére padrao sao possiveis usandose uma versao do efeito Hall veja a Secao 279 Forgas de atragao muituas podem existir nao s6 entre fios que conduzem corren tes com 0 mesmo sentido mas também entre elementos de um unico condutor de corrente Quando o condutor é um liquido ou um gas ionizado um plasma essas forgas produzem uma constriao no condutor chamada efeito de compressdo ou pinch effect O efeito de compresséo sobre um plasma tem sido usado em uma técnica para ocasionar fusao nuclear Dois fios supercondutores retilineos e paralelos separados por EXECUTAR como as correntes estéo em sentidos contrarios os uma distancia de 45 mm conduzem correntes iguais porémem dois fios se repelem De acordo com a Equacao 2811 a forga por sentidos contrarios com modulo igual a 15000 A Que forga por unidade de comprimento é unidade de comprimento cada fio exerce sobre 0 outro F poll 4a X 107 T mA 15000 A SOLUGAO L 2ur 27 45 X 1073 m IDENTIFICAR E PREPARAR a Figura 2810 indica a situagao 10 X 10Nm Encontramos FL a forga magnética por unidade de comprimento do fio a partir da Equagao 2811 AVALIAR tratase de uma forca extremamente elevada apro Figura 2810 Nosso esquema para este problema ximadamente equivalente ao peso de uma tonelada por metro Correntes e distancias dessa ordem de grandeza ocorrem em ele 115000A L troimas supercondutores usados em aceleradores de particulas e a andlise das tensdes mecanicas é uma parte importante no projeto ij r45 mm desses equipamentos I15000 A TESTE SUA COMPREENSAO DA SECAO 284 Um solenoide é um fio enrolado em uma La bobina helicoidal A figura ao lado mostra um solenoide que conduz uma corrente J a A y forga magnética que uma espira da bobina exerce sobre uma espira na vizinhanga é i de atracao ii de repulsdo ou iii nula b A forga elétrica que uma espira da bobina exerce sobre uma espira na vizinhanga é i de atrac4o ii de repulsdo ou iii nula c A forcga magneética entre lados opostos da mesma espira da bobina é i de atragAo 11 de repulsao ou iii nula d A forga elétrica entre lados opostos da mesma espira da bobina é i de atracao ii de repulsao ou iii nula I Figura 2811 Este eletrofma contém 285 CAM PO MAGNETICO DE UMA uma bobina que conduz corrente e que consiste em varias voltas de fio ESPIRA CIRCULAR O campo magnético resultante pode coletar grande quantidade de barras Se vocé olhar o interior de uma campainha de um transformador de um motor de aco e outros itens ferrosos elétrico ou de um eletroima Figura 2811 observara diversas bobinas com um grande numero de espiras agrupadas de modo tao compacto que cada volta do fio pode ser considerada uma espira circular plana A corrente que passa na bobina 3 é usada para gerar um campo magnético Na Secao 277 discutimos a forga e o torque sobre uma espira que conduz uma corrente na presenca de um campo us i aT magnético produzido por outras correntes agora mostraremos como determinar i eS o campo magnético produzido por uma espira desse tipo ou por uma colegao de espiras proximas formando uma bobina ram i A Figura 2812 mostra uma espira circular com raio a conduzindo uma cor wee SCttéernte J Nia epircaa a corrreenntte ennttra ee sai através de dois fios retilineos longos colo TR nN i cados um ao lado do outro as correntes percorrem esses fios em sentidos contrarios Ae de modo que 0 campo magnético resultante é aproximadamente igual a zero veja a AA o Exemplo 284 na Secao 283 Capitulo 28 Fontes de campo magnético 275 Podemos usar a lei de Biot e Savart Equacdo 285 ou 286 para encontrar o Figura 2812 Campo magnético no campo magnético em um ponto P sobre o eixo da espira situado a uma distancia 1X0 de uma espira circular A x de seu centro Como a figura mostra dl e F sdo perpendiculares e a diregao do corrente no Se iB a produ um campo dB produzido por esse elemento dl particular esta sobre 0 plano xy Como plano ty A corrente de ontra no 2 2 4 gi Tg AG 5 r x a 0 médulo do campo magnético produzido pelo elemento dl é segmento di produz um vetor dB cujos componentes perpendiculares Bol dl ao eixo Ox possuem sentido dB Aa x a 2812 contrario ao primeiro tais componentes sao iguais a zero No Os componentes do vetor dB sao dados por eixo Ox o campo B resultante no ponto P é dado pela soma de cada jul dl a componente x de dB 0 dB dBcos8 2813 4m x a x a2 ee Mol dl x ii dB dBsen0 755 35 2814 di Am x2 a2 x2 a2 PX 4B O campo B total em P tem apenas um componente x ele perpendicular ao L GaB plano da espira Veja por qué para cada elemento dl existe um elemento cor f respondente do lado oposto da espira com sentido oposto Esses dois elementos Pas x opostos fornecem contribuic6es iguais para o componente x de dB fornecido pela Equacao 2813 porém os componentes perpendiculares ao eixo Ox possuem senti dos opostos Portanto todos os componentes perpendiculares se anulam e somente os componentes x sobrevivem Figura 2813 A regra da mao direita P b d ve 1Bj E para o sentido do campo magnético ara oO termos 0 componente x do campo magnético tota integramos a Equa jroduzido sobre o eixo de uma cao 2813 incluindo todos os elementos dl em torno da espira Exceto dl todas bobina que conduz corrente as grandezas nessa expressdo sao constantes e podem ser colocadas para fora da Z Regra da mao direita integral portanto obtemos para 0 campo magnético produzido pela corrente Lol adl pola em uma espira B cl i x a3 Aarx a3 1 YD 1G yD Quando os dedos de sua mao direita se curvam na A integral de di é dada pelo comprimento da circunferéncia Jal 27a e fi direcao de J seu polegar nalmente obtemos B direito aponta na diregao de B Campo magnético Constante magnética err Corrente sobre 0 eixo de weeny py Hola da espira 2815 BIO Aplicagao Campos magnéticos uma espira circular x 2 ayy 2 P para ressonancia magnética conduzindo corrente Distancia ao lorzo do Sunny As imagens por ressonancia magnética centro da espira ao ponto do campo ver Seca0 277 exigem um Campo magnético de aproximadamente 15 T Em um dispositivo de RM tipico o paciente ae qe entra em uma bobina que produz 0 campo O sentido desse campo magnético dado pela regra da mao direita Se VOCE intonco Ag correntes exiles 340 main fechar os dedos da sua mao direita em torno da espira e no sentido da corrente seu altas de modo que as bobinas sao polegar direito apontara no sentido do campo Figura 2813 banhadas em hélio liquido a uma temperatura de 42 K para evitar 0 superaquecimento clos fios Campo magneético sobre o eixo de uma bobina Suponha agora que em vez de uma unica espira na Figura 2812 exista uma bobina com N espiras todas com 0 mesmo raio As espiras sao enroladas de modo tao compacto que a distancia ao centro da bobina é aproximadamente igual a dis tancia x entre o ponto do campo P e o plano da espira Entéo 0 campo total é N vezes 0 campo de uma Unica espira rd lp fe a HoNla B 52 Lda sobre 0 eixo de N espiras circulares 2816 2x a 276 Fisica Ill Figura 2814 Grafico do campo O fator N na Equacao 2816 a raz4o pela qual se usa uma bobina em vez de magnético ao longo do eixode uma yma tinica espira para obter um campo magnético forte para uma intensidade de bobina com N espiras circulares aos woe Sat campo desejada 0 uso de uma tinica espira exigiria uma corrente tio elevada que Quando x é muito maior que a 0 oe se médulo do campo magnético superaria a corrente maxima especificada para o fio da espira diminui aproximadamente a Ix A Figura 2814 indica um grafico de B em fungao de x O valor maximo do B campo para x 0 o centro da espira ou da bobina é dado por Buax boNI Campo magnético no Constante magnética yo Numero de espiras centro de N espiras sesttteens a Mo NI Corrente circulares conduzindo BY ee 2817 pacers Ja Raio da espira 7 Bnax Na Secao 277 definimos 0 momento de dipolo magnético ou momento mag nético de uma espira de corrente igual a JA em que A a area da secao reta da espira Quando existem N espiras o momento magnético total é NJA A espira 3a a aOa 2a 3a circular na Figura 2812 possui area A ma logo o momento magnético de uma unica espira w Ina e para N espiras Nitra Substituindo esses resultados nas equagoes 2815 e 2816 vemos que essas equagdes podem ser escritas na forma Moe B 52 32 2818 2a x a sobre 0 eixo de qualquer ntimero de espiras circulares Descrevemos um dipolo magnético na Secao 277 em termos de sua resposta a um campo magnético produzido por correntes fora do dipolo Porém um dipolo magnético também é uma fonte de campo magnético a Equacao 2818 descreve o campo magnético produzido por um dipolo magnético para pontos ao longo do eixo Figura 2815 Linhas do campo 24s ays ans do dipolo Esse campo é diretamente proporcional ao momento de dipolo magnético magnético produzidas por uma corrente circulando em uma espira ju Note que 0 campo magnético em todos os pontos ao longo do eixo Ox possui 0 circular Em todos os pontos do eixo mesmo sentido do vetor do momento magnético mM o campo B possui sentido igual ao do momento magnético da espira ATENGAO Campo magnético de uma bobina As equacées 2815 2816 e 2818 valem somente para pontos sobre 0 eixo da espira ou da bobina Nao tente aplicar essas equac6es z 4 a outros pontos ys ii Na Figura 2815 mostramos algumas linhas do campo magnético em torno de KH War uma espira circular dipolo magnético sobre dois planos perpendiculares ao eixo Os Y sentidos das linhas do campo magnético sao dados aplicandose a mesma regra da mao BL direita usada no caso de um fio retilineo longo Segure o fio com a sua mo direita o colocando o dedo polegar no sentido da corrente seus dedos se dobram no mesmo sentido da rotagao das linhas do campo magnético As linhas de campo de uma espira circular sao curvas fechadas que circundam a espira porém ndo sao circunferéncias AUPE CAMPO MAGNETICO DE UA Boe nn Uma bobina conduzindo uma corrente de 50 A é constituida por corrente por isso podemos usar a Equaca4o 2816 Temos que 100 espiras circulares com raio igual a 060 m a Determineo N 10050 Aea 060 m No item a a varidvelalvo é campo magnético ao longo do eixo da bobina situado auma 0 campo magnético a um dado valor de x No item b a varidvel distancia de 080 m de seu centro b A que distancia do centro alvo o valor de x no qual 0 campo possui do médulo que da bobina ao longo de seu eixo 0 campo magnético se reduz a possui na origem x 0 k do valor do campo no centro da bobina EXECUTAR a usando x 080 m pela Equagao 2816 temos 4a X 107 T mA 100 50 A 060 m SOLUGAO Be To oem 2 080 m 060 m IDENTIFICAR E PREPARAR este problema pergunta sobre o campo magnético B ao longo do eixo de uma bobina que conduz 11 X104T Continua Capitulo 28 Fontes de campo magnético 277 Continuagdao b De acordo com a Equagao 2816 desejamos determinar um AVALIAR verificamos nossa resposta do item a determinando valor de x tal que oO momento magnético da bobina e substituindo o resultado na Equacao 2818 1 4 I 8 Hay P ay i Nirra 100 50 A 060 m 57 X 102 A m2 Para resolver a equac4o e explicitar o valor de x inverta ambos B 4a X 10T mA57 X 10 A m 41x10 T os membros e a seguir eleve ambos os membros aumapoténcia x In 080 m 060 m2p2 23 vocé obtera o resultado y V3a 104 m O momento magnético pu é relativamente grande embora 0 campo magnético seja bastante pequeno compardavel ao médulo do campo magnético da Terra O resultado deste exemplo da a ideia da di ficuldade de produzir um campo magnético maior ou igual a 1 T TESTE SUA COMPREENSAO DA SEGAO 285 A Figura 2812 mostra 0 campo magnético dB produzido no ponto P por um segmento dl que repousa sobre 0 eixo positivo Oy no topo da espira Esse campo possui componentes dB 0 dB 0 dB 0 a Quais sao os sinais dos componentes do campo dB produzido no ponto P por um segmento dl sobre 0 eixo negativo Oy na parte inferior da espira i dB 0 dB 0 dB 0 ii dB 0 dB 0 dB 0 iii dB 0 dB 0 dB 0 iv dB 0 dB 0 dB 0 v nenhuma das alternativas anteriores b Quais sAo os sinais dos componentes do campo dB produzido no ponto P por um segmento dl sobre 0 eixo negativo Oz no lado direito da espira i dB 0 dB 0 dB 0 ii dB 0 dBy 0 dB 0 iii dB 0 dB 0 dB 0 iv dB0 dB 0 dB 0 v nenhuma das alternativas anteriores 286 LEI DE AMPERE Até o momento nossos calculos do campo magnético produzido por uma cor rente envolveram a determinacdo do campo infinitesimal aB produzido por um elemento de corrente a seguir somandose todos os vetores dB obtinhamos o campo magnético total Esse procedimento é diretamente andlogo ao calculo do campo elétrico estudado no Capitulo 21 Para o problema da determinagao do campo elétrico verificamos que em si tuagdes com elevada simetria na distribuigdo de carga era mais facil 0 uso da lei de Gauss para encontrar E Analogamente existe um modo mais pratico para de terminar um campo magnético produzido por uma distribuigao de correntes com simetria elevada Porém a lei que nos permite fazer isso chamada lei de Ampére possui um carater bastante diferente da lei de Gauss A lei de Gauss para campos elétricos Capitulo 22 envolve o fluxo de E através de uma superficie fechada ela afirma que o fluxo é igual a carga total no interior da superficie dividida pela constante o Portanto essa lei relaciona campos elétricos com distribuigdes de cargas Em contraste a lei de Gauss para campos magnéticos Equacao 2810 ndo uma relagao entre campos magnéticos e distribuigdes de correntes ela afirma que o fluxo de B através de qualquer superficie fechada sempre é igual a zero existindo ou nao correntes no interior da superficie Portanto a lei de Gauss para B nao pode ser usada para determinar 0 campo magnético produzido por uma distribuigao de correntes em particular A lei de Ampére nao é formulada em termos de um fluxo magnético mas defi nida com base em uma integral de linha de B em torno de uma trajetoria fechada designada por Beal 278 Fisica Ill Figura 2816 Trés percursos de Ja usamos integrais de linha na definicdo de trabalho no Capitulo 6 e no calculo integracao para a integral de linha do potencial elétrico no Capitulo 23 Para calcularmos essa integral dividimos de B ao redor de um condutor a trajetoria em segmentos infinitesimais dl calculamos 0 produto escalar Bdl retilince longo que cond ada para cada segmento e a seguir somamos esses produtos Geralmente B varia de pagina Cinicadn pox we vireuls um ponto para outro e devemos usar o valor de B no local onde esta cada dl Uma com um ponto A figura mostraum notagao alternativa é B dl em que B é 0 componente de B paralelo a dl em cada corte perpendicular do condutor ponto A circunferéncia na integral indica que ela deve ser sempre calculada em a Percurso de integracéio ao longo de uma curva fechada aquela para a qual o ponto final coincide com o inicial uma circunferéncia centralizada no Sonercato no unideantihoaie Lei de Ampére para um condutor longo e retilineo Resultado B dl jul Para introduzirmos a ideia basica da lei de Ampére vamos considerar novamente 0 campo magnético produzido por um condutor retilfneo longo que conduz uma B corrente J Verificamos na Sec4o 283 que o campo a uma distancia r do condutor possui médulo dado por dl dl B B Or Mol I 5 B Nu I 2ar B As linhas de campo magnético sao circunferéncias centralizadas sobre o condu tor Vamos calcular a integral de linha de B em torno de uma dessas circunferéncias b Mesmo percurso de integragdo da com raio r como indicado na Figura 2816a Em cada ponto sobre a circunferéncia Parte a porém agora o sentido do Bedl sio paralelos logo B dl B dl como r constante ao longo da circunfe percurso em torno da circunferéncia é A 2 hordrio réncia B também é constante Alternativamente podemos dizer que By é constante Resultado B dl ugl e igual a B em todos os pontos ao longo da circunferéncia Portanto podemos passar B para fora da integral A integral restante nada mais é que 0 comprimento B da circunferéncia Logo dl a iiai mat pat H on pol B 2Qar B Assim a integral de linha nao depende do raio da circunferéncia sendo igual ao dl s produto de jg pela corrente que passa na 4rea no interior do circulo eal Na Figura 2816b a situagao a mesma porém 0 percurso de integracao agora é B feito no sentido contrario Agora Bedl sio antiparalelos logo Bdl Bdlea integral de linha é igual a ro Obtivemos o mesmo resultado quando o percurso c Um percurso de integragao que nao da integracgao era 0 mesmo da Figura 2816a porém com a corrente em sentido tem 0 condutor em seu interior contrario Portanto g Bdlé igual a j49 multiplicado pela corrente que passa pela Resultado B dl 0 area limitada pelo percurso de integragao com um sinal positivo ou negativo que depende do sentido da corrente em relagao ao sentido do percurso de integraao hey Existe uma regra simples para o sinal da corrente nao novidade saber que essa B zB Bs regra usa sua mao direita Dobre os dedos da sua mao direita em torno do sentido da AN da do percurso da integragdo ou seja 0 sentido que vocé usou para calcular g B dl dl Desse modo seu polegar indica 0 sentido positivo da corrente As correntes que ry A B atravessam a rea nesse sentido so positivas as que atravessam a area no sentido Oni ie oposto sao negativas Usando essa regra vocé capaz de observar que a corrente al positiva na Figura 28 16a e negativa na Figura 2816b Vejamos aqui outro modo de dizer a mesma coisa olhando para a 4rea delimitada pelo percurso da integraao integre no sentido antihorario em torno do percurso como na Figura 2816a As correntes que se aproximam de vocé através da superficie sAo positivas e as que se afastam sao negativas Um percurso de integracgao que ndo circunda o condutor é indicado na Figura 2816c Ao longo do arco ab de raio r Bedl sao paralelos e By By wol2711 ao longo do arco cd de raio r B edl sao antiparalelos e By By pol271p O campo Bé perpendicular a dl ao longo dos segmentos retilineos bc e da logo Capitulo 28 Fontes de campo magnético 279 By 0 e esses segmentos nao contribuem para a integral de linha Entao a integral de linha ao longo do percurso fechado total é dada por b c d a pit ai pial a dl o dl a9 dl 0 dl a b c d Mol Mol r9 0 nd 0 0 27 2771p O médulo de B sobre 0 arco cd maior que sobre o arco ab porém o compri mento do arco é menor de modo que as contribuig6es desses dois arcos se anulam Embora exista um campo magnético em todos os pontos do percurso de integracao a integral de linha g B dl é sempre zero quando nao existe nenhuma corrente passando na area delimitada pelo percurso de integragao Também podemos deduzir esses resultados para percursos de integracao mais gerais como o indicado na Figura 2817a Na posicao do elemento de linha dl o Angulo entre dl e Bé d e Bdi B dlcos De acordo com a figura dl cos r d6 em que d6 0 Angulo subtendido por dl em relacao ao fio e r é a distancia entre dl e 0 fio Logo Mol Mol i dl go a 0 2ar 217 Porém g dO igual a 277 o Angulo total varrido pela linha que liga o fio com d I durante uma volta completa através do percurso de integragao Portanto obtemos B dl pol 2819 O resultado obtido nao depende da forma do percurso ou da posigao do fio no interior do percurso escolhido Quando a corrente no fio apresenta sentido contrario ao indicado a integral possui sinal contrario Contudo quando o percurso escolhido nao engloba o fio Figura 2817b a variacdo total do 4ngulo 6 durante uma volta completa pelo percurso de integraao zero g dé igual a zero em vez de 277 e a integral de linha é zero Figura 2817 a Um percurso de integragaéo mais geral que engloba o fio para a integral do campo B produzido por um fio retilineo longo conduzindo uma corrente J saindo do plano da pagina Mostramos a segao reta do fio b Um percurso de integracao mais geral que nao engloba o fio a b B B bal dl rdo r do 0 S r r 1 1 280 Fisica lll Lei de Ampére formulagao geral Figura 2818 Lei de Ampére Podemos generalizar ainda mais a lei de Ampére Considere diversos fios retili Vista em perspectiva neos longos que passam na area delimitada pelo percurso de integragao O campo magnético total B em qualquer ponto do percurso é dado pela soma vetorial dos oy campos individuais dos fios Portanto a integral de linha do campo magnético total it I B é igual a 1g vezes a soma algébrica das correntes Para 0 calculo dessa soma usamos a regra de sinais descrita anteriormente Quando o percurso de integragao nao inclui um fio particular a integral de linha do campo B é igual a zero para 0 fio considerado pois o angulo para esse fio durante uma volta completa é igual a zero em vez de 27 durante a integraco Quaisquer fios que nao estejam dentro pobre os doo mata da area englobada pelo percurso de integracao continuam contribuindo para o valor 4 sy em torno do de B em todos os pontos porém as integrais de linha de seus campos em torno do Curva arbitréria BR fechada em torno percurso de percurso sao iguais a zero dos condutores molezar aponta no Portanto podemos substituir J na Equagao 2819 por Jinte a Corrente total dada sentido dacorrente Pela soma algébrica das correntes no interior ou englobadas pelo percurso de inte Vista do topo positiva gracao com a soma avaliada pela regra sobre sinais descrita anteriormente Figura Plano da curva 2818 O enunciado geral da lei de Ampére é he Integral de linha em torno de um percurso fechado Constante magnética Tinte I I I S oo jenn Corrente resultante do I Lei de Ampere B dl Polinte interior do percurso 2820 I Produto escalar do campo magnético e segmento vetorial do percurso dt Embora a lei de Ampére tenha sido deduzida para 0 caso especial do campo de varios fios retilineos longos e paralelos a Equagao 2820 vale para percursos e B condutores de qualquer formato A dedugao geral aplica os mesmos princfpios que Lei de Ampére quando calculamos a apresentamos contudo a geometria mais complicada integral de linha do campo magnético em Quando B dl 0 isso ndo significa necessariamente que B 0 em todos torno de uma curva fechada o resultado at os pontos do percurso mas apenas que a soma algébrica das correntes no interior equivale a Mo Vvezes 0 total da corrente d de j oo 1 Nas fi 28 16 28 17b na confinada B dl j19 Tint 0 percurso de integracao igual a zero Nas figuras 8 c 2817b nao existe nenhuma corrente no interior do percurso de integragaéo Como indica a Figura 2819 existem correntes positivas e negativas de mesmo méddulo no interior do ercurso Em ambos os casos inte 0 e a integral de linha é igual a zero Figura 2819 Dois fios retilineos P inte g g longos paralelos conduzindo ATENGAO Integrais de linha de campos elétricos e magnéticos No Capitulo 23 vimos correntes de mesmo mddulo mas que a integral do campo eletrostatico E em torno de um percurso de integragao fechado é em sentidos opostos Mostramos a Cea oe seciio reta de cada fio e 0 percurso igual a zero isso significa dizer que a forca eletrostatica sobre uma carga puntiforme posi de integraciio é feito no sentido anti tiva F gE sobre uma carga puntiforme g é conservativa portanto essa fora realiza um horario A integral de linha B trabalho igual a zero sobre a carga em um percurso fechado quando ela volta para a posigao dl obtém contribuigaéo nula dos inicial O valor da integral de linha g B dl nao esta relacionado de modo semelhante ao segmentos superior e inferior uma fato de a forca magnética ser conservativa Lembrese de que a forga magnética F qv contribuiao positiva do segmento i P y I x Bem uma particula carregada em movimento é sempre perpendicular a B portanto esquerdo e uma combinacaéo Be dl na 4 relaci h i laf ae lei negativa do segmento direito Bd ndo esta relacionada a0 trabalho realizado pela forca magnética de acordo coma lei portanto a integral total é igual de Ampére essa integral s6 tem relacao com a corrente total por uma superficie limitada a zero pelo percurso de integracao Na verdade a forga magnética sobre uma particula carregada em movimento nado é conservativa Uma forcga conservativa depende somente da posiéo B B do corpo sobre o qual a forga atua porém a forga magnética sobre uma particula carregada dl di ad ad em movimento também depende da velocidade da particula B A BB A Equacao 2820 é valida apenas quando as correntes sao estaciondrias e nao B ri vw Tt 8 existem materiais magnéticos nem campo elétrico variavel na regiao No Capitulo wil dl 29 mostraremos a generalizacao da lei de Ampére para incluir campos elétricos B dl dl B que variam com o tempo Capitulo 28 Fontes de campo magnético 281 TESTE SUA COMPREENSAO DA SEGAO 286 A figura ao lado indica linhas de campo magnético que passam pelo centro de um ima permanente O ima n4o esta conectado a nenhuma fonte de fem Uma das linhas de campo possui cor vermelha O que se pode afir i mar sobre as correntes no interior do ma permanente na regio confinada por essa linha SA de campo i Nao ha corrente no interior do ima i1 ha correntes orientadas para fora do aS plano da pagina iii ha correntes orientadas para dentro do plano da pagina iv nao ha a informagao suficiente para decidir 287 APLICACOES DA LEI DE AMPERE A lei de Ampére é util quando envolve situagdes com simetria que permitem o calculo da integral de B A seguir forneceremos diversos exemplos A Estratégia para a solucao de problemas 282 é semelhante ao que se recomenda na Estratégia para a solucao de problemas 221 Sec4o 224 relacionada com as aplicagées da lei de Gauss sugerimos que vocé leia novamente aquela seco e compare os dois métodos ESTRATEGIA PARA A SOLUGAO DE PROBLEMAS 282 LEI DE AMPERE IDENTIFICAR os conceitos relevantes como a lei de Gauss a trecho do percurso considerado Quando Bé perpendicular lei de Ampére é mais util nas situagdes em que o padrao do a todos ou a alguns pontos ao longo do percurso de integra campo magnético é altamente simétrico Na forma B dl ao ou se B 0 a integral é igual a zero nesses trechos Moline ela pode resultar no médulo de B em fungio da posiao 2 Na integral B dl o vetor B é sempre 0 campo magnético se tivermos o médulo a direcao e o sentido da corrente elétrica total em cada ponto do percurso de integracao ele pode ser que produz o campo parcialmente produzido por correntes fora e dentro da curva PREFARAR 0 problema por melo das sesumtes etapas delimitada pelo percurso Quando a corrente total dentro da 1 Determine as varidvelisalvo Geralmente uma delas cua delimitada pelo p ereurso igual a seréo médulo do campo em fungao da posicao nético nos pontos da trajetdria nao precisa ser nulo contudo 2 Selecione o percurso de integrag4o para aplicar a lei de a integral B dl sempre igual a 2210 Ampere Se voce desejadetenninano camponnaenctico em 3 Determine a corrente jnt confinada no percurso de integracao um dado ponto ento o percurso deve passar pelo ponto con O sinal da corrente no interior de um percurso de integracao é ox dado pela regra da mao direita Dobre os dedos da sua mao siderado O percurso de integragao nao precisa ser nenhum s contorno fisico real Geralmente ele é uma curva puramente SE ae anc RE geométrica ele pode estar no espaco vazio no interior de um ou polegar indica sentido positivo da corrente Quando B corpo s6lido ou parcialmente em ambos os casos O percurso tangente a integracao em todos os pontos ao longo do percurso de integrac4o deve possuir simetria suficiente para possibi e 0 sentido de Jine positivo entao B Possul 0 mesmo sentido litar a integracao O ideal é que o percurso seja tangente a B que vocé escolheu Para Pereurso de integragao ai ao nas regides de interesse em outras partes o percurso deverd trario Jinte for negativo entao B tera sentido contrario ao que ser perpendicular a Bou percorrer regides em que B0 vocé escolheu para 0 PSST de integragao 4 Use a lei de Ampére B dl pol para explicitar a EXECUTAR a solucdo conforme segue wantkwelaivo 1 Execute a integral g B dl ao longo do percurso de integra co escolhido Quando Bé tangente a todos ou a alguns AVALIAR sua resposta se 0 resultado obtido for uma expressao para o médulo do campo em fung4o da posi4o vocé podera pontos ao longo do percurso de integracgdo e possui o mesmo médulo B em todos esses pontos entio a integral conferilo examinando como a equac4o se comporta dentro de 7 diferentes limites de linha é igual ao produto de B pelo comprimento do SAUCE CAMPO DE UM FIO RETILINEO CONDUZINDO UMA CORRENTE csnnnnnnnnnnnn Na Segao 286 deduzimos a lei de Ampére usando a Equacg4o integragéo como uma circunferéncia de raio r centralizada no 289 para o campo magnético B de um fio retilineo longo condu condutor e contida em um plano perpendicular a ela como na zindo uma corrente Inverta 0 processo e aplique aleide Ampére Figura 2816a O campo B é tangente a circunferéncia e possui 0 para determinar B para esta situacao mesmo modulo B em todos os pontos do circulo EXECUTAR pela escolha do percurso de integragao a lei de SOLUGAO Ampere Equacao 2820 fornece IDENTIFICAR E PREPARAR esta situago possui simetria ci a lindrica portanto na lei de Ampére tomamos nosso percurso de Bedl B dl B2mr pol Continua 282 Fisica lll Continuagdao A Equacio 289 B jol2 rr é obtida imediatamente da relacio sentido real da corrente na figura de modo que positivo e a anterior integral g B dl também é positiva Visto que cada elemento d A lei de Ampére serve para determinar 0 médulo a direcdo e esta no sentido antihordrio o sentido de B também deve ser o sentido de B Como estamos percorrendo a curva fechada no antihorario como indica a Figura 2816a sentido antihorario o sentido positivo da corrente é para fora AVALIAR os resultados obtidos sao consistentes com os da Secéo do plano da pagina na Figura 2816a esse sentido 60 mesmo 286 BECIIEZED CAMPO No INTERIOR DE UM CILINDRO CONDUTOR LONGO nnn Um condutor cilindrico longo de raio R conduz uma corrente Um percurso de integracao circular fora do condutor delimita a I Figura 2820 A corrente esta uniformemente distribuida na corrente total no condutor de modo que Jinte 7 Usando a lei area da seco reta do condutor Calcule 0 campo magnéticoem de Ampére encontramos para B o mesmo resultado obtido no fungao da distancia r a partir do eixo do condutor para os pontos Exemplo 287 dentro r R e fora do condutor r R Figura 2820 Para determinarmos 0 campo magnético no raio r B Bol 2822 R aplicamos a lei de Ampére na periferia do circulo 2ar sombreado no interior do condutor A corrente que flui através fora do condutor r R da area sombreada é r7RI Para encontrar 0 campo magnético para os pontos r R aplicamos a lei de Ampére na circunferéncia indicada no exterior do condutor Fora do condutor 0 campo magnético 0 mesmo que o produzido por um fio retilfneo longo conduzindo uma corrente J indepen B dentemente do raio R ao longo do qual a corrente é distribuida a L Na verdade 0 campo magnético fora de qualquer distribuig4o de corrente com simetria cilindrica é 0 mesmo que o produzido 1 por um fio longo situado no eixo da distribuigao e que conduz a mesma corrente total da distribuicgdo Esse resultado é andlogo aos resultados obtidos nos exemplos 225 e 229 Secao 224 nos 4 quais verificamos que o campo eétrico no exterior de um corpo x com simetria esférica de cargas é 0 mesmo que 0 gerado quando toda a distribuicdo é substituida por uma Unica carga concentrada B no centro e igual a carga total da distribuigao AVALIAR na superficie do condutor r R as equagdes 2821 e 2822 se confirmam como deveriam A Figura 2821 mostra um grafico de B em fungao de r SOLUGAO IDENTIFICAR E PREPARAR como no Exemplo 287 a distri F9 2821 Modulo do campo magnético no interior no Low a exterior de um condutor cilindrico longo de raio R que conduz buicdo de corrente tem simetria cilfndrica e as linhas do campo uma corrente I magnético devem ser circulos concéntricos com 0 eixo do con dutor Para determinarmos 0 campo magnético dentro e fora do B condutor escolhemos os percursos de integragéo com raios r R Hol a 27R erR respectivamente ver Figura 2820 lol r EXECUTAR nos dois casos o campo B possui 0 mesmo m6 B a7 luol dulo em todos os pontos do percurso de integrac4o circular e é 1 pol Bra tangente a circunferéncia Logo o médulo da integral de linha é 2 2nR simplesmente B27r Para achar a corrente Jt delimitada por um percurso de integracAo circular dentro do condutor r R observe que a densidade de corrente corrente por unidade de r area J ImR de modo que Tine Jar r7R Logo a O R 2R 3R 4R lei de Ampére fornece B2ar uglrR ou Mol r B mn R 2821 dentro do condutor r R Capitulo 28 Fontes de campo magnético 283 Um solenoide é constituido por um enrolamento helicoidal de fio Figura 2823 Nosso esquema para este problema sobre um nticleo em geral com secio reta circular E possivel haver milhares de espiras enroladas de forma compacta geral c BS d mente em varias camadas de modo que cada uma delas pode ser er Percurso de considerada uma espira circular Podem existir diversas cama integracio das de enrolamento Para simplificar a Figura 2822 mostra um QRABABAYBAYRAYD solenoide com apenas algumas espiras Todas elas conduzem a mesma corrente J e o campo magnético total B emcada ponto é B be S44 a soma vetorial dos campos produzidos pelas espiras individuais HLL LTE LL A figura mostra linhas do campo nos planos xy e xz Desenhamos lalslelelelaleleletatele um conjunto de linhas do campo magnético uniformemente es Parte central de um solenoide pacadas no centro do solenoide Calculos precisos indicam que para um solenoide longo e compacto metade dessas linhas do O numero de espiras para um dado comprimento L igual a nL campo emerge da extremidade e a outra metade escapa através cada uma dessas espiras passa uma vez através do reténgulo dos enrolamentos entre o centro e a extremidade como a figura abcd e conduz uma corrente Entao a corrente total no interior sugere do retangulo é Jinte nLI De acordo com a lei de Ampére Quando o solenoide possui comprimento muito maior que o dia como a integral g Bdl é positiva Jinte também deve ser po metro de sua secfo reta e as espiras so enroladas de formacom sitiva Isso significa que a corrente que passa através da area pacta 0 campo interno nas vizinhangas do centro do solenoide delimitada pelo percurso de integrac4o deve possuir o sentido é paralelo ao seu eixo e quase uniforme e o campo magnético indicado na Figura 2823 Usando a lei de Ampére encontramos externo muito pequeno proximo ao ponto do centro BL ponLl ou Use a lei de Ampére para determinar o campo magnético no cen tro ou nas proximidades do centro desse solenoide se ele possui B pon solenoide 2823 n espiras por unidade de comprimento e conduz uma corrente SOLUGAO O lado ab nao precisa estar localizado sobre 0 eixo do solenoide e portanto o método anterior também serve para provar que o IDENTIFICAR E PREPARAR consideramos que B sejaum campo magnético é uniforme ao longo da seco reta inteira nas campo uniforme no interior do solenoide e um campo nulo fora proximidades do centro do solenoide dele A Figura 2823 mostra a situacao e nosso percurso de inte AVALIAR note que o sentido de B dentro do solenoide é 0 mesmo gracao escolhido o retangulo abcd O lado ab de comprimento do vetor momento magnético B conforme encontramos na Sec4o L paralelo ao eixo do solenoide Suponhamos que os lados bce 285 para uma tinica espira circular que conduz uma corrente da sejam muito longos de modo que 0 lado cd esteja tao afastado Para os pontos ao longo do eixo 0 campo é mais forte nas vizi do solenoide que o campo magnético sobre ele seja desprezivel nhangas do centro e diminui 4 medida que 0 ponto se aproxima EXECUTAR 0 campo Bao longo do lado ab constante e para das extremidades Para um solenoide muito longo em compara lelo a esse lado Usando a lei de Ampére fazemos 0 percurso ao 40 a seu diametro 0 campo em cada extremidade exatamente longo do lado ab no mesmo sentido de B Logo By Beentao igual 4 metade do campo magnético em seu centro Isso é apro ximadamente 0 que acontece mesmo no caso de um solenoide bo curto como mostra a Figura 2824 Bdl BL a Figura 2824 Modulo do campo magnético ao longo do eixo de um solenoide de comprimento 4a igual a quatro vezes seu raio Ao longo dos lados bc e da Bé perpendicular ao percurso e por O campo magnético em cada extremidade do solenoide é tanto By 0 ao longo do lado cd B 0 e portanto By 0 Ao aproximadamente a metade do mddulo em seu centro Compare longo do percurso fechado inteiro entéo temos g Bdisi om4 Figura 2814 para 0 caso de N espiras circulares Figura 2822 Linhas de campo magnético produzidas pela K 4a corrente de um solenoide Para maior clareza somente y algumas linhas sao indicadas i BO C3 IN oO I Mon CSE hy uzeajer EU SEE Spe YI 4a3a 2a a O a 2a 3a 4a z 284 Fisica lll SUSU EEUEALE CAMPO DE UM SOLENOIDE TORO OAL nnn A Figura 2825a mostra o chamado solenoide toroidal ou to AVALIAR a Equacao 2824 indica que B nao é uniforme ao longo roide que conduz uma corrente J através de umenrolamentocom da secAo reta do nticleo porque o raio r do lado externo da secéo q porq Nespiras em torno de um nticleo em forma de rosca Na pratica é maior que 0 raio do lado interno Contudo quando a espessura as espiras estéo muito mais proximas que o indicado na figura do nticleo é pequena em comparacdo com r a variacdo é muito P Pp q g peq parag Determine 0 campo magnético em todos os pontos pequena Nesse caso como 27r é 0 comprimento da circunfe réncia do toroide e N27r é 0 nimero de espiras n por unidade SOLUGAO de comprimento podemos escrever 0 campo na forma B pon como é no centro de um solenoide reto longo IDENTIFICAR E PREPARAR ignorando 0 pequeno passo dos ox Lag Em um toroide real as espiras nao sao exatamente espiras circu enrolamentos helicoidais podemos considerar cada volta de um a a lares mas segmentos de uma hélice curvada Portanto o campo solenoide toroidal com espiras muito pr6ximas como uma espira 2 externo nao é estritamente igual a zero Para estimar seu mo disposta em um plano perpendicular ao grande eixo circular do dulo podemos imaginar que a Figura 2825a seja equivalente toroide A simetria da situagao entéo nos diz que as linhas do ae a i Sn de modo muito aproximado a uma espira circular de tinica volta campo magnético devem ser circulos concéntricos ao eixo do to x a com raio r No centro dessa espira a Equacaéo 2817 oferece roide Portanto escolhemos os percursos de integracAo circulares z eas oe B pol2r isso menor que 0 campo magnético no centro do dos quais a Figura 2825b mostra trés para a aplicagao da lei solenoide por um fator de N7r de Ampere de modo lace B se houver i tangente as equagdes que deduzimos para o campo magnético de um so a circunterencia em cada um dos pontos ao ongo Co p EECUTSO lenoide reto ou de um solenoide toroidal sao estritamente ver EXECUTAR ao longo de cada percurso fB al igual a0 dadeiras somente para 0 caso de solenoides no vacuo Contudo produto de B pelo comprimento da circunferéncia 2rA em muitas aplicagGes praticas essas formulas também podem ser corrente total que passa pelo percurso 1 igual a zero logo de sadas para solenoides no ar ou quando 0 nticleo for feito de um acordo com a lei de Ampére o campo B 0 em todos os pontos material que nao seja magnético nem supercondutor Na proxima ao longo do percurso seco mostraremos como essas férmulas se modificam quando Cada espira do enrolamento passa duas vezes através da area 9 nticleo é composto por um material magnético delimitada pelo percurso 3 conduzindo correntes iguais em sen tidos contrarios Portanto a corrente total que passa no interior da Figura 2825 a Um solenoide toroidal Para maior clareza area delimitada por essa circunferéncia igual a zero e portanto somente algumas espiras so indicadas b Percursos de B 0em todos os pontos ao longo do percurso Concluimos que integraco circunferéncias usados para determinar 0 campo o campo magnético de um toroide estd inteiramente confinado ao magnético B produzido pela corrente indicado por pontos e espaco no interior das espiras Podemos imaginar um solenoide cruzes toroidal como um extenso solenoide que foi encurvado ao longo b de uma circunferéncia a b 62 B CG Finalmente consideramos 0 percurso 2 onde temos g Bd SOR 2arB Cada espira do enrolamento passa uma vez através da area Ce Os A delimitada pelo percurso 2 de modo que Jinte NJ Observe EZ 4 que a corrente J4 positiva para o percurso de integrac4o no p Oo J ae ercurso sentido horario mostrado na Figura 2825b portanto B possui o 8 1 es sentido indicado Entao de acordo com a lei de Ampére vemos I aa ee que 277rB poNI de modo que 2 boNI Percurso 2 i Percurso 3 Or solenoide toroidal 2824 O campo magnético esta quase completamente confinado ao espacgo no interior dos enrolamentos em azul TESTE SUA COMPREENSAO DA SEGAO 287 Considere um fio condutor que passa ao longo do eixo central de um cilindro condutor oco Esse arranjo chamado de cabo coaxial possui muitas aplicagdes em telecomunicacées O cabo que conecta uma TV a um provedor de cabo local é um exemplo de cabo coaxial Por esse cabo passa uma corrente J que é tam a 2 2 i oA orientada no sentido ao longo do cilindro condutor oco e esta uniformemente distribuida pela a area de segao reta do cilindro Uma corrente igual passa no sentido contrario ao longo do fio central Qual é a relagéo entre o médulo B do campo magnético fora desse tipo de cabo e a distancia ra partir do eixo central do cabo i B é proporcional a 1r ii B é proporcional a Ir iii B é igual a zero em todos os pontos fora do cabo I Cilindro condutor oco Isolante Fio central 288 MATERIAIS MAGNETICOS Ao discutirmos como as correntes produzem campos magnéticos consideramos os condutores circundados pelo vacuo Porém as bobinas existentes em transfor Capitulo 28 Fontes de campo magnético 285 madores motores geradores e eletroimas quase sempre usam nucleos de ferro para aumentar 0 campo magnético e confinalo em determinadas regides Os imas per manentes as fitas de gravagao magnética e os discos dos computadores dependem diretamente das propriedades magnéticas dos materiais quando vocé armazena informag6es no disco de um computador na verdade esta criando uma rede de imas microscépicos no interior do disco Logo é importante examinar alguns aspectos das propriedades magnéticas dos materiais Depois de descrever a origem at6mica das propriedades magnéticas dos materiais discutiremos como 0 paramagnetismo 0 diamagnetismo e 0 ferromagnetismo sao usados para classificar um material com base em seu comportamento magnético O magneton de Bohr Conforme discutimos brevemente na Seco 277 os Atomos que constituem to dos os materiais possuem elétrons em movimento e esses elétrons formam espiras de correntes microscépicas que se movem e produzem individualmente campos magnéticos Em muitos materiais essas correntes estao distribufdas aleatoriamente e nao produzem nenhum campo magnético resultante Contudo em alguns ma teriais um campo magnético externo um campo produzido por correntes fora do material pode fazer essas espiras se orientarem paralelamente ao campo e se somarem com 0 campo magnético externo Dizemos entao que esse material ficou magnetizado Vamos examinar como surgem essas correntes microscopicas A Figura 2826 mostra um modelo primitivo de um elétron em um atomo Imaginamos o elétron massa me carga e se movendo com velocidade v em uma Orbita circular de raio r A carga que se move é equivalente a uma espira circular Na Secao 277 vimos que uma espira de area A que conduz uma corrente J possui um momento de dipolo mag nético yw dado por yw JA Para o elétron na érbita a 4rea da espira é A ar Para encontrarmos a corrente associada ao movimento do elétron notamos que o periodo orbital T 0 tempo que o elétron gasta para completar uma 6rbita é igual ao compri mento da circunferéncia dividido pela velocidade do elétron T 277rv A corrente equivalente J é a carga total que passa em qualquer ponto da 6rbita por unidade de tempo que é precisamente a carga e do elétron dividida pelo periodo orbital T e ev l T 2ar Figura 2826 Um elétron se movendo com velocidade v em uma O momento magnético wu JA é entao 6rbita circular de raio r possui um momento angular L eum momento ev eur de dipolo magnético orbital mu we ar ar 2 2825 Grientado em sentido contrario Ele também possui um momento E ttil expressar yw a partir do momento angular L do elétron Para uma particula angular de spin e um momento de que se move ao longo de uma circunferéncia 0 médulo do momento angular é Se de ncnehan én orientado igual ao médulo do momento linear mu multiplicado pelo raio r ou seja L mur Segao 105 Comparando esse resultado com a Equagao 2825 podemos escrever L e w L 2826 2m I I a A Equacao 2826 util para nossa discussao porque 0 momento angular at6mico quantizado seu componente em uma dada direcgao sempre um miultiplo inteiro de h27 em que h uma constante fisica fundamental conhecida como constante de Planck O valor numérico de h é dado por I f h 6626 X 1043 s 286 Fisica lll DADOS MOSTRAM Portanto a grandeza hilar representa uma unidade fundamental de momento an gular em sistemas at6micos assim como e representa uma unidade fundamental de Campos magnéticos e ann Pr ayi oni carga Associada a quantizacao de L existe uma incerteza fundamental na direcdo suas origens r x 8 de L e portanto na direcao de px Na discussao que faremos a seguir ao falarmos do Quando os alunos recebiam modulo de um momento magnético seria mais preciso dizer componente méximo um problema envolvendo Pee Sting 2 acts ali em uma dada diregao Portanto dizer que o momento magnético p esta alinhado correntes e forcas magnéticas ae Be sos ao campo magnético B é o mesmo que dizer que jz possul seu componente maximo produzidas por elas mais de vel na direcio de B tod vad 19 davam uma resposta possivel na diregao de B todos os componentes sempre so quantizados TC ORLCTAMETTOSICOTUTS A Equagao 2826 mostra que associada 4 unidade fundamental do momento E angular existe uma unidade fundamental correspondente ao momento magnético squecer que os campos magnéticos se somam de Quando L h277 entao acordo com as leis da adigao de vetor Quando duas e h eh correntes ou elementos de M77 7 2827 2m 21 4am corrente produzem um campo B emUMICerto Ponto Essa grandeza denominase magneton de Bohr designado por pp cujo valor o campo B resultante nesse numérico é ponto é 0 vetor soma dos campos individuais ae bug 9274 X 104 A m2 9274 x 10774 WT Errar ao aplicar a lei de Ampére Vocé pode usar essa lei para determinar o Convidamos vocé a verificar que os dois conjuntos de unidades anteriores sdo médulo do campo magnético consistentes O segundo conjunto é util quando calculamos a energia potencial somente se houver uma U u B parao momento magnético de um dipolo em um campo magnético espira fechada sobre a qual Os elétrons também possuem um momento angular intrinseco conhecido como B tem um modulo constante spin que nao é relacionado ao movimento orbital mas que pode ser descrito clas esta direcionado de forma sicamente como oriundo da rotagao do elétron em torno de seu proprio eixo Esse ween a circunferéncia momento angular também tem um momento magnético associado e verificase que a espira Zz 2 espira seu modulo é quase exatamente igual a um magneton de Bohr Efeitos relacionados a quantizacao do campo eletromagnético fazem com que 0 momento magnético de spin seja aproximadamente igual a 1001 pp Paramagnetismo Em um atomo muitos momentos magnéticos orbitais e de spin se somam pro duzindo uma resultante igual a zero Contudo em alguns materiais 0 4tomo possui um momento magnético resultante da ordem de zg Quando esse tipo de material é colocado em um campo magnético o campo exerce um torque sobre cada mo mento magnético dado pela Equacdo 2726 T w X B Esses torques tendem a alinhar os momentos magnéticos ao campo que é a posiao correspondente a uma energia potencial minima conforme discutimos na Secao 277 Nessa posicao 0 sentido de cada espira de corrente é tal que ela fornece um campo que se soma ao campo magnético externo Vimos na Secdo 285 que 0 campo magnético B produzido por uma espira é diretamente proporcional ao momento de dipolo magnético da espira Analoga 4 soe 2 2 Z mente o campo B adicional produzido pelas espiras microscépicas dos elétrons é diretamente proporcional ao momento magnético total iota por unidade de volume V no material Chamamos essa grandeza vetorial de magnetizacéo do material designada por M ji a total M 2828 Vv Verificase que 0 campo magnético adicional produzido pela magnetizacgao do material é simplesmente igual a wpM em que jzp a mesma constante que apa rece na lei de Biot e Savart e na lei de Ampére Quando tal material preenche por Capitulo 28 Fontes de campo magnético 287 completo todas as vizinhangas de um condutor com corrente 0 campo magnético total B no seio do material é dado por B By uoM 2829 em que By éo campo magnético produzido pela corrente que flui no condutor Para conferir a consisténcia das unidades na Equacao 2829 note que a magneti Zacao M é0 momento magnético por unidade de volume As unidades do momento magnético sao a corrente vezes a area A m portanto as unidades de magneti Zacao sao A mm Am Pela Secao 281 as unidades da constante jug sao T MA Entao as unidades de oM stio as mesmas de B T mA Am T Dizemos que é paramagnético todo material que possui um comportamento analogo ao que acabamos de descrever O resultado é que 0 campo magnético no interior do material fica ampliado em relacao ao valor que existiria se ele fosse substituido pelo vacuo por um fator adimensional designado por K conhecido como permeabilidade relativa do material Os valores de K variam de um ma terial para outro para liquidos e sdlidos paramagnéticos comuns em temperatura ambiente os valores de K variam em geral de 100001 até 1003 Todas as equagoes deste capitulo que relacionam campos magnéticos com suas fontes podem ser adaptadas para situagdes envolvendo condutores no seio de ma teriais paramagnéticos Basta substituir 9 por Kyo nessas relagdes Esse produto normalmente é indicado por jz e denominase permeabilidade do material i Kyo 2830 ATENGAO Dois significados do simbolo x A Equacao 2830 envolve uma notacio re almente perigosa porque anteriormente usamos pw para designar o momento de dipolo magnético bem como a permeabilidade como é de costume Porém tome cuidado daqui em diante toda vez que encontrar p verifique se indica uma permeabilidade ou um mo mento magnético Em geral 0 contexto resolve a dtivida A diferenca entre 0 valor da permeabilidade relativa e a unidade chamase sus cetibilidade magnética designada por y Xm Km 1 2831 TABELA 281 Suscetibilidades magnéticas de materiais paramagnéticos e diamagnéticos para Lo T 20C Tanto K quanto y sdo grandezas adimensionais Na Tabela 281 indicamos valores da suscetibilidade magnética de diversos materiais Por exemplo para o aluminio m 22 X 107 e Km 1000022 O primeiro grupo da tabela indica Paramagnético materiais paramagnéticos o segundo indica materiais diamagnéticos que serao Aifmende feo gg estudados logo a seguir e aménio A tendéncia dos momentos magnéticos at6micos se alinharem paralelamente ao campo magnético posigao com energia potencial minima é dificultada pelo movimento ca6tico oriundo da agitacdo térmica que tende a desalinhar esses mo mentos magnéticos Por essa razao a suscetibilidade paramagnética sempre diminui Sddio 072 quando a temperatura aumenta Em muitos casos ela é inversamente proporcional a temperatura absoluta 7 e a magnetizagao M pode ser expressa pela férmula Diamagnético Pima ate B Merctirio 29 M Cr 2832 A relacao anterior conhecida como lei de Curie em homenagem a seu desco bridor Pierre Curie 18591906 A quantidade C denominase constante de Curie e possui valores diferentes para materiais diferentes Cobre 10 288 Fisica lll Conforme descrevemos na Secdo 277 um corpo que possui momentos de dipolo magnéticos at6micos é atraido aos polos de um fma Na maior parte dos materiais paramagnéticos essa atragaéo é pequena em virtude do efeito térmico de um mo vimento cadtico desses momentos magnéticos atémicos Porém quando a tempe ratura é suficientemente baixa os efeitos térmicos sao reduzidos a magnetizacao aumenta em virtude da lei de Curie e a forga de atracdo tornase mais elevada ZOU PEEAM DIPOLOS MAGNETICOS EM UM MATERIAL PARAMAGNETICO O 6xido nitrico NO um composto paramagnético Cada mo gentido do campo B Em nosso caso 0 valor de b aproxima lécula desse composto possui um momento magnético cujocom gamente igual a pp logo ponente maximo em qualquer direc4o é aproximadamente igual a um magneton de Bohr Na presenca de um campo magnético Ulmax bpB 927 X 10724 JT 15 T com médulo igual a 15 T compare a energia de interacgao entre o campo e esse momento magnético A energia cinética média 14x 10 83 87 x 10 eV de translacdo dessas moléculas para uma temperatura de 300 K oo A energia cinética média de translagaéo K é dada por SOLUGAO 3 3 33 K 35kT 5138 X 10 JK 300 K IDENTIFICAR E PREPARAR este problema envolve tanto a energia 4 de um momento magnético em um campo magnético quanto a ener 62 x 10 J 0039 ev ia cinética média de translaga fungao dat tura T Lo x gia cane ca media ce ans agao em HNGAO a emperal a SeTMOS AS AVALIAR para uma temperatura de 300 K a energia da interagao equacoes 2727 U pw B paraaenergia de interagao de um mo Stine rar bet aa Magnética apenas cerca de 02 da energia cinética térmica mento magnetico com um Campo B 1816 K 5kT a energia portanto esperase apenas um ligeiro alinhamento com 0 campo cinetica media de translagao de uma molécula auma temperatura T Essa é araziio pela qual a suscetibilidade magnética de uma subs EXECUTAR podemos escrever a energia de interagao como U tAncia na temperatura ambiente é em geral muito pequena 1B em que ju 6 0 componente do momento magnético no Figura 2827 Neste desenho Diamagnetismo adaptado de uma fotografia ampliada as setas indicam os Em alguns materiais o momento magnético total de todas as espiras at6micas sentidos da magnetizagao nos de corrente é igual a zero quando nenhum campo magnético é aplicado Contudo dominios de um monocristal de mesmo esses materiais possuem efeitos magnéticos pois um campo magnético niquel Os dominios magnetizados Ses externo altera 0 movimento dos elétrons dos atomos produzindo espiras de cor no sentido do campo magnético eee ol noe aplicado aumentam de tamanho rente adicionais e dipolos magnéticos induzidos comparaveis aos dipolos elétricos a S induzidos que estudamos na Secao 285 Nesse caso 0 campo adicional produzido a em campo P pelas espiras de corrente sempre possui sentido oposto ao do campo externo Esse comportamento é explicado pela lei da inducgdo de Faraday que estudaremos no g Capitulo 29 Uma corrente induzida sempre tende a criar um campo contrario ao campo que a produz Esse tipo de material denominase diamagnético Ele sempre apresenta susce tibilidade magnética negativa como indicado na Tabela 281 e permeabilidade relativa K ligeiramente menor que um em geral da ordem de 099990 até 099999 b Campo fraco 4s poe Lede ae cee para sdlidos e liquidos As suscetibilidades diamagnéticas desses materiais sao quase independentes da temperatura Ferromagnetismo Uma terceira classe de materiais inclui o ferro o niquel 0 cobalto e muitas ligas que contém esses elementos esse tipo de material denominase ferro B magnético Nesses materiais fortes interagdes entre os momentos magnéticos c Campo mais forte at6micos produzem um alinhamento interno em certas regides chamadas do minios magnéticos que existem mesmo na auséncia de um campo magnético externo A Figura 2827 mostra um exemplo da estrutura do dominio magnético No interior de cada dominio magnético quase todos os momentos magnéticos at6micos sao paralelos Quando nao existe nenhum campo magnético aplicado externamente as magne tizagdes dos dominios sao orientadas ao acaso Porém na presenga de um campo B Capítulo 28 Fontes de campo magnético 289 magnético 0 produzido por correntes externas os domínios tendem a se orien tar paralelamente ao campo As fronteiras dos domínios também se deslocam os domínios magnetizados no sentido do campo magnético aplicado aumentam de tamanho e os magnetizados em outras direções se encolhem Como o momento magnético total no interior de um domínio pode ser da ordem de alguns milhares de magnetons de Bohr os torques que tendem a alinhar os domínios ao campo magnético externo são muito maiores que os existentes no caso de um material paramagnético A permeabilidade relativa Km é muito maior que 1 em geral da ordem de 1000 até 100000 Por conseguinte um objeto composto por um mate rial ferromagnético como ferro é fortemente magnetizado pelo campo de um ímã permanente e atraído pelo ímã veja a Figura 2738 Um material paramagnético como o alumínio também é atraído por um ímã permanente mas o valor de Km para materiais paramagnéticos é muito menor que para materiais ferromagnéticos o que torna a atração muito mais fraca Portanto um ímã pode coletar pregos de ferro mas não latas de alumínio À medida que o campo magnético externo aumenta atingese um ponto para o qual quase todos os momentos magnéticos do material ferromagnético estão alinhados ao campo magnético externo Essa condição é chamada de magnetiza ção de saturação depois de atingido esse ponto um aumento posterior do campo magnético externo não produz mais nenhum aumento da magnetização A Figura 2828 mostra uma curva de magnetização um gráfico da magne tização M em função do campo magnético externo B0 para o ferro doce Uma descrição alternativa do comportamento ilustrado consiste em afirmar que Km não é constante porém diminui à medida que B0 aumenta Um material paramagnético também exibe saturação para campos suficientemente fortes Porém os campos magnéticos necessários são tão elevados que o desvio de uma relação linear entre M e B0 nesses materiais só pode ser observado em temperaturas muito baixas da ordem de 1 K Para muitos materiais ferromagnéticos a relação entre a magnetização e o campo magnético externo quando o campo magnético aumenta é diferente da relação obtida quando ele diminui A Figura 2829a mostra esse tipo de compor tamento para esse tipo de material Quando o material é magnetizado até atingir a saturação e a seguir o campo magnético é reduzido até zero alguma magne tização persiste Esse comportamento é característico de um ímã que mantém a maior parte de sua magnetização de saturação quando o campo magnético é removido Para reduzir a magnetização até zero é necessário aplicar um campo magnético em sentido contrário Figura 2829 Ciclos de histerese Os materiais a e b permanecem fortemente magnetizados quando B0 se reduz a zero Visto que o material a dificilmente se desmagnetiza ele seria bom para a fabricação de ímãs permanentes Como o material b se magnetiza e se desmagnetiza com mais facilidade ele seria indicado como material para a memória de um computador O material do tipo c seria útil no núcleo de transformadores e outros dispositivos que usam corrente alternada para os quais uma histerese zero seria ideal a b c B0 M B0 M Campo externo aplicado B0 Magnetização M O material é magnetizado até a saturação por um campo externo 1 Esses materiais podem ser magnetizados até a saturação e desmagnetizados por campos externos menores que o mostrado em a Aumentar o campo externo no sentido original novamente reduz a magnetização a zero 6 O campo externo é reduzido a zero a magnetização permanece 2 É necessário um grande campo externo no sentido contrário para reduzir a magnetização a zero 3 Aumentar o campo externo inverso fornece ao material uma magnetização no sentido contrário 4 Esta magnetização permanece caso o campo externo seja reduzido a zero 5 M Msat B0 O Figura 2828 Uma curva de magnetização para um material ferromagnético A magnetização M tende à saturação Msat à medida que o campo magnético B0 produzido por correntes externas se torna mais elevado BookSEARSVol3indb 289 101115 703 PM 290 Fisica Ill BIO Aplicagao Nanoparticulas magnéticas S para terapia de cancer As bolhas mais claraseem Sie Ge SN ese maior quantidade nesta imagem microscopica sao f J rag tele E células cancerigenas que foram partidas de um tumor e a frie 7 ea ameacam se espalhar pelo corpo de um paciente a fon ge Uma técnica experimental para combater essas células i 4 es a utiliza particulas de material magnético mostradas em 3 3 tons mais escuros injetadas no corpo Essas particulas eT sao revestidas de um produto quimico que se une cm OT ed ee preferencialmente as células cancerigenas Um ima fora gies ne og do paciente entao conduz as particulas para fora do ieee Sa ee De corpo levando as células cancerigenas com elas ae a Foto cortesia do pesquisador Dr Kenneth Scarberry a Sen 7 Be Esse tipo de comportamento denominase histerese e as curvas indicadas na Fi gura 2829 sao chamadas ciclos de histerese A magnetizacao e a desmagnetizacgao de um material que possui histerese produzem dissipacao de energia e a temperatura do material aumenta durante esse processo Os materiais ferromagnéticos sao largamente empregados em eletrofmas nu cleos de transformador motores e geradores nos quais é desejavel a obtencao do mais elevado campo magnético possivel para uma dada corrente Como a histerese dissipa energia os materiais usados nessas aplicagdes devem possuir um ciclo de histerese 0 mais estreito possivel Geralmente se utiliza o ferro doce ele possui elevada permeabilidade com uma pequena histerese Para mas permanentes é desejavel um ciclo de histerese amplo com um alto valor de magnetizaga4o na auséncia de campo externo e um campo inverso elevado para produzir sua desmag netizaga4o Varios tipos de ago e muitas ligas como a Alnico em geral sao usadas para a fabricacao de imas permanentes O campo remanescente nesses materiais depois de magnetizados até um ponto préximo da saturagéo normalmente é da ordem de T 0 que corresponde a uma magnetizacgao remanescente M Bo de aproximadamente 800000 Am UM MATERIAL FERROMAGNETICO Um ima permanente com a forma de cubo é feito de um material R MoMtotal ferromagnético com magnetizagaéo M aproximadamente igual a 2mr et a3 8 X 10 Am A aresta possui um comprimento de 2 cm a Determine o momento de dipolo magnético do ima b Estime em que x a distancia do centro da espira e a é seu raio Podemos 0 campo magnético produzido pelo ima em um ponto sobre seu USAF essa Mesma expressdo aqui exceto pelo fato de que a se eixo situado a uma distancia de 10 cm do ima refere ao tamanho do ima Estritamente falando existe uma com plicagéo porque o ima nao possui a mesma geometria de uma SOLUGAO espira circular Contudo como x 10 cmé uma distancia muito maior que a aresta de 2 cm do ima 0 termo a é insignificante em IDENTIFICAR E PREPARAR este problema usa a relacdo entre comparaciio com ve pode ser desprezado Portanto a magnetizac4o M e o momento de dipolo magnético Miota1 bem como 0 conceito de que um dipolo magnético produz um campo Moko 4 X 10 TmA 6 A m magnético Determinamos piotai pela Equagaéo 2828 Para esti Be Ia 2m 01 m mar 0 campo magnético aproximamos o ma como uma espira de corrente com 0 mesmo momento magnético e usamos a Equac4o 1X10T10G 2818 ae EXECUTAR a pela Equacdo 2828 que é cerca de dez vezes maior que 0 campo magnetico da Terra AVALIAR calculamos B em um ponto fora do material magnético Htotar MV 8 X 10 Am 2 X 107 m 6A m2 e portanto usamos fg em nosso calculo e nao a permeabili dade ys do material magnético Vocé deve usar pw no lugar de op b Pela Equagao 2818 o campo magnético sobre 0 eixode uma somente quando estiver calculando B em um ponto dentro do espira de corrente com momento magnético yotg dado por material com permeabilidade relativa Kj para o qual uw Kyo TESTE SUA COMPREENSAO DA SEGAO 288 Quais dos seguintes materiais sao atrafdos por um ima i Sédio ii bismuto iii chumbo iv uranio Capitulo 28 Fontes de campo magnético 291 CAPITULO 28 RESUMO Campo magnético de uma carga em movi ook Pp ac BR Mo Qxr B mento o campo magnético B produzido por B 282 aa uma carga g que se desloca com velocidade U 4q or a depende da distancia r da fonte puntiforme local Sy aN onde esta a carga q até o ponto do campo P onde B VSN Bé medido O campo Bé perpendicular abe af B que é um vetor unitario dessa direcao O principio B B da superposic4o dos campos magnéticos afirma que 0 campo magnético total B produzido por cargas em movimento é a soma vetorial dos campos gerados pelas cargas individuais Veja o Exemplo 281 Campo magnético de um condutor com cor P rente a lei de Biot e Savart fornece o campo dB Ho Tat Xt 286 SW ad magnético dB criado por um elemento dl de oar SA um condutor com uma corrente J O campo dB W dB 0 é perpendicular tanto a dl quanto af a unidade B SEs dl vetorial do elemento para o ponto de campo ys O campo B criado por um condutor finito que B conduz uma corrente é dado pela integral de dB dB B ao longo do comprimento do condutor Veja o Exemplo 282 Campo magnético de um condutor longo e reti Mol lineo com Corrente o campo magnético Bauma 289 a Si y L distancia r de um condutor cilfndrico longo com 1 es ww uma corrente possui médulo inversamente pro W B porcional a r As linhas do campo magnético sao BN circunferéncias coaxiais com o fio e 0 sentido é dado pela regra da mAo direita Veja os exemplos 283 e 284 Forga magnética entre condutores com cor Ff boll B r rente dois condutores cilindricos longos e parale 7 97 2811 B a eS los que conduzem correntes se atraem quando as 5 F el fa correntes estado orientadas no mesmo sentido e se 1 A A eS i repelem quando as correntes estao orientadas em b 2 Vy sentido contrario A forga magnética por unidade B BN de comprimento entre os condutores depende das BB correntes J e I e da distancia r que as separa A definigéo do ampére é baseada nessa relacao Veja o Exemplo 285 Campo magnético de uma espira de corrente a pola y lei de Biot e Savart nos permite calcularo campo Bx 202 ays 2815 a magnético produzido por uma espira circular de raio a i a que conduz uma corrente J O campo depende da espita circular aN dB distancia x ao longo de seu eixo a partir do centro da poNI l r ab espira até o ponto do campo Para N espiras multi By a 2817 a ae IN 61 plicamos 0 campo por N No centro da espira x 0 P x Veja o Exemplo 286 centro de N espiras circulares dB 292 Fisica lll Lei de Ampere alei de Ampére afirma que a integral g B dl poline 2820 de linha de B em torno de qualquer percurso fechado A af B é igual a fg vezes a corrente total que flui através P ie po do interior da area delimitada pela curva fechada O al sentido positivo da corrente é dado pela regra da mao direita Veja os exemplos 287 a 2810 Campos magnéticos produzidos por distribuigdes de correntes na tabela a seguir apresentamos 0 médulo do campo magnético produzido por diversas distribuig6es de correntes Em cada caso o condutor conduz uma corrente Distribuicao de corrente Ponto do campo magnético Modulo de campo magnético ae re Mol Condutor retilineo longo A uma distancia r do condutor B omr Tr os pola Espira circular com raio a Sobre 0 eixo da espira B 2 et a 32 B Ho para n espiras No centro da espira 2a multiplique essas express6es por N a Mol r Cilindro circular longo com raio R No interior do condutor r R B On Mol No exterior do condutor rR B 2ar Solenoide longo e compacto com n espiras por unidade de comprimento perto de seu No interior do solenoide perto do centro B ponl centro No exterior do solenoide B0 Solenoide toroidal toroide bastante compacto nao uES hi m oe vals MoNI enrolamentos a uma distancia r ao longo de B com N espiras nr seu eixo de simetria No exterior do espaco limitado pelos B0 enrolamentos Materiais magnéticos na presenca de materiais magnéticos a magnetizac4o do material produz uma M contribuicao adicional para B Para materiais diamagnéticos e paramagnéticos substitua p19 nas expressdes do campo magnético por pp K49 em que ps é a permeabilidade do material e K é sua permeabilidade B relativa A suscetibilidade magnética x é definida por 7 Ky 1 As suscetibilidades magnéticas de materiais paramagnéticos sao grandezas pequenas e positivas para os materiais diamagnéticos elas sao grandezas pequenas e negativas Para os materiais ferromagnéticos Ky possui um valor muito grande e nao é constante Alguns materiais ferromagnéticos fornecem imas permanentes retendo a magnetizacao mesmo depois que 0 campo magnético externo é removido Veja os exemplos 2811 e 2812 Problema em destaque Campo magnético de um disco dielétrico rotativo e com Carga Um disco dielétrico fino com raio a possui uma carga total Q de corrente que produz um campo magnético no centro distribuida uniformemente por sua superficie Figura 2830 do disco Ele gira n vezes por segundo em torno de um eixo perpendicu 2 Use os resultados da Seco 285 para determinar 0 campo lar 4 superficie do disco e passando por seu centro Determine as aoe as magnético resultante de um tnico anel Depois integre por 0 campo magnético no centro do disco todos os anéis para determinar o campo total GUIA DA SOLUGAO IDENTIFICAR E PREPARAR EXECUTAR 1 Pense no disco rotativo como uma série de anéis concén 3 Determine a carga em um anel com raio interno re raio 3 tricos rotativos Cada anel atua como uma espira circular externo r dr Figura 2830 Continua Capitulo 28 Fontes de campo magnético 293 Continuagdo 4 Quanto tempo é necessdrio para que a carga no item 3 faga Figura 2830 Determinando 0 campo B no centro de um uma volta completa em torno do anel rotativo Use isso para disco rotativo uniformemente carregado descobrir a corrente do anel rotativo 5 Use o resultado da Secdo 285 para determinar 0 campo cid magnético que esse anel produz no centro do disco oo posses 6 Integre o resultado do item 5 para determinar o campo mag Disco dielétrico nético total de todos os anéis com raios de r 0 até r a carga 0 van AVALIAR 7 Sua resposta contém as unidades corretas F 8 Suponha que toda a carga fosse concentrada na borda do Anel raio interno r B no centro disco em r a Isso aumentaria ou diminuiria o campo raio externo r dr dodisco no centro do disco PROBLEMAS e ee eee niveis de dificuldade PC problemas cumulativos incorporando material de outros capitulos CALC problemas exigindo calculo DADOS problemas envolvendo dados reais evidéncia cientifica projeto experimental eou raciocinio cientifico BIO problemas envolvendo biociéncias QUESTOES PARA DISCUSSAO Q281 Um tdpico de interesse nas pesquisas de fisica é a busca Q289 Produzimos uma corrente através das espiras helicoidais por enquanto sem éxito de um polo magnético isolado cha de uma mola As espiras se aproximam como se a mola fosse mado de monopolo magnético Se tal entidade fosse descoberta comprimida Por qué como poderia ser reconhecida Quais seriam suas propriedades Q2810 Quais so as vantagens e desvantagens relativas das Q282 Um feixe de particulas carregadas emitidas pelo Sol du leis de Ampére e de Biot e Savart para os calculos praticos de rante periodo de atividades solar cria uma perturbag4o no campo campos magnéticos magnético da Terra Como isso ocorre Q2811 As linhas de campo magnético nunca possuem um Q283 No texto discutimos 0 campo magnético produzido por inicio nem um ponto final Use essa observagao para explicar um fio retilineo infinito com uma corrente Naturalmente ne por que é razoavel aceitar que 0 campo magnético de um sole nhum objeto pode ter comprimento infinito Como saber se um noide toroidal fica confinado em seu interior enquanto 0 campo dado fio tem comprimento suficiente para que possa ser consi magnético de um solenoide retilineo deve possuir algum campo derado infinito magnético em seu exterior Q284 Dois condutores paralelos com corrente no mesmo sen Q2812 Dois fios muito longos e paralelos carregam correntes tido se atraem mutuamente Caso eles possam se aproximar um iguais em sentidos contrarios a Ha algum lugar onde seus cam do outro as forgas de atragao realizam trabalho De onde provém pos magnéticos se cancelam por completo Se houver onde Se a energia No Capitulo 27 afirmamos que forgas magnéticas nao por qué b Em que a resposta no item a mudaria se as sobre cargas em movimento n4o realizam trabalho isto contraria correntes tivessem o mesmo sentido essa afirmacao Explique Q2813 No circuito indicado na Figura Figura Q2813 Q285 Os pares de fios que conduzem correntes para dentro ou Q2813 quando a chave S é subitamente para fora dos componentes da fonte de tensao de equipamentos fechada o fio L é puxado em direc4éo ao b eletrénicos algumas vezes sAo torcidos um com 0 outro para aju fio inferior que conduz corrente Qual al dar a reduzir 0 efeito do campo magnético Por qué a ou b 0 terminal positivo da pilha L Q286 Suponha que vocé possua trés fios paralelos longos dis Como vocé sabe rr postos de modo que cada secao reta ocupe os vértices de um Q2814 Um anel metélico carrega uma I triangulo equilatero E possivel distribuir as correntes de modo corrente que produz um campo magné que os trés fios se atraiam mutuamente Eles podem se repelir tico By no centro do anel e um campo B no ponto P situado mutuamente Explique a uma distancia x do centro ao longo do eixo do anel Para o Q287 Ao deduzir a forga que atua sobre um dos fios longos caso em que 0 raio do anel seja duplicado determine 0 campo que conduzem correntes na Secao 284 porque usamoso campo magnético no centro O campo no ponto P mudara pelo mesmo magnético produzido por apenas um dos fios Ou seja por que fator Por qué no usamos 0 campo magnético total produzido por ambos Q2815 Mostre que as unidades A m e JT para o magneton os fios de Bohr so equivalentes Q288 Duas espiras circulares coplanares concéntricas com Q2816 Por que a permeabilidade magnética de um material diametros diferentes conduzem correntes no mesmo sentido paramagnético deve diminuir quando sua temperatura aumenta Descreva a natureza das forcas sobre a espira interna e sobre a Q2817 Quando um imi fica suspenso sobre um recipiente com ar espira externa liquido algumas gotas sAo atraidas a seus polos As gotas contém 294 Fisica lll somente oxigénio liquido embora 0 nitrogénio seja o principalcons 285 Umacarga 480 uC esta se deslocando com velocidade tituinte do ar ele nao é atrafdo para os polos Explique 0 que isso constante de 680 X 10 ms no sentido positivo de Ox em pode informar sobre as suscetibilidades magnéticas do oxigénioe relacdo a um sistema de referéncia No instante em que a carga do nitrogénio e por que um dos polos de um ima com 0 ar na puntiforme esta na origem qual é 0 vetor do campo magnético temperatura ambiente normal nao atrai moléculas do gds oxigénio que ela produz nos seguintes pontos a x 0500 m y 0 Q2818 Que caracteristicas da estrutura at6mica sao relevantes z 0 b x 0 y 0500 m z 0 c x 0500 m y para determinar se um elemento é diamagnético ou paramagné 0500 m z 0 d x 0 y 0 z 0500 m tico Explique 286 Duas cargas puntiformes positivas g 800 wCeq Q2819 A suscetibilidade magnética de um material paramag 300 wC se movem em relacao a um observador situado no nético depende fortemente da temperatura porém ade um ma ponto P como indica a Figura E286 A distancia d igual a terial diamagnético quase nao depende da temperatura Quala 0120 mv 450 X 10 ms ev 900 X 10 ms a Quando causa dessa diferencga as cargas estaéo nos pontos indicados na figura quais séo o m6 Q2820 Um cilindro de ferro é colocado de modo que possa girar dulo a direcio e o sentido do campo magnético resultante que livremente em torno do pr6prio eixo Inicialmente o cilindro esta elas produzem no ponto P b Quais sdo o médulo a direco e em repouso a seguir um campo magnético é aplicado ao cilindro 0 sentido das forgas elétricas e mag Fi de modo que ele adquire uma magnetizag4o paralela a seu eixo néticas que cada carga exerce sobre igura E286 Se 0 sentido do campo magnético externo for invertido 0 sentido a outra e qual é a razdo entre o mé v da magnetizagado também se inverterd e o cilindro comegara a dulo da forca elétrica e o médulo da q girar em torno de seu eixo Esse fendmeno denominase efeito forca magnética c Se o sentido de d Einsteinde Haas Explique por que o cilindro comega a girar v for invertido de modo que ambas as cargas se desloquem no mesmo p EXER ci clos sentido quais sao o mddulo a dire d 4o e o sentido das forgas magnéti v g Secgao 281 Campo magnético de uma carga cas que as duas cargas exercem em movimento entre si 281 Uma carga puntiforme de 600 wC se move com ve 287 Umacarganegativag 360 x 10 C esta localizada locidade constante igual a 80 X 10 ms ao longo do eixo Oy naorigeme possui velocidade b 750 X 10 ms 490 de um sistema de referéncia No momento em que ela esta na 10 ms 7 Nesse instante quais sio o médulo a direc4o e o origem do sistema de referéncia qual 0 campo magnético B que sentido do campo magnético produzido por essa carga no ponto ela produz nos seguintes pontos a x 0500 m y 0z0 x 0200 m y 0300 m z 0 b x 0 y 0500 m z 0 cx 0 y 0z 0500 288 Um elétron e um proton se Figura E288 m d x 0 y 0500 m z 0500 m movem a 735 kms cada um em traje 282 Campos no interior do 4tomo No modelo de Bohr do t6rias perpendiculares como indica a y Atomo de hidrogénio 0 elétron se move em uma 6rbita circular Figura E288 No instante em que eles Elétron de raio 53 X 107 com uma velocidade cujo médulo é igual a esto nas posig6es indicadas na figura 500 22 X 10 ms Supondo que observamos 0 tomo de um ponto determine o médulo a diregiio e o sen nm Proton de vista tal que a 6rbita do elétron se situe no plano do papeleo tido a do campo magnético total que x elétron se mova no sentido hordrio determine 0 médulo a dire eles produzem na origem b o campo P 400 cio e o sentido dos campos elétrico e magnético que o elétron magnético que o elétron produz no m produz no local do nticleo tratado como um ponto local do proton c a forga elétrica total 283 Um elétron se move a 0100c e a forca magnética total que o elétron exerce sobre o proton como indica a Figura E283 Determine F194 F88 Secgdo 282 Campo magnético de um elemento o médulo a direcao e 0 sentido do campo de corrente magnético que esse elétron produz nos 6 74 289 Umfioretilineoconduz Figura E289 seguintes pontos cada qual a 200 zm do 90 60 uma corrente de 100 A Figura elétron a pontos A e B b ponto C c l E289 ABCD um retangulo Segmento 4 140 cm B létron de 110 mm ponto D E 60 com um ponto D no meio de um ON 1500 cm 284 Uma particula alfa carga 2eJe B segmento de 110 mm do fio e um elétron se movem em sentidos contra ep um ponto C no fio Determine rios a partir de um mesmo ponto cada qual o médulo a diregao e o sentido 100 com velocidade igual a 250 X 10 ms do campo magnético produzido Figura 284 Determine o médulo a direc4o e o sentido do por esse segmento a no ponto A b no ponto B c no ponto C campo magnetico total que essas cargas produzem no ponto P 2810 Umelemento de corrente curto dl 0500 mmj con que esta a 865 nm de cada carga duz uma corrente de 540 A no mesmo sentido de dlO ponto Figura E284 P esta localizado ar 0730 m 0390 mk Use vetores unitdrios para expressar 0 campo magnético em P produzido por Sy 140 esse elemento de corrente NC 2811 Um fio retilineo longo esta sobre 0 eixo Oz e conduz Se uma corrente de 400 A no sentido z Determine o mddulo a Elétron particula alfa diregdo e o sentido do campo magnético produzido por um seg mento do fio de 0500 mm centralizado na origem nos seguintes Capitulo 28 Fontes de campo magnético 295 pontos a x 200 m y 0z0 Figura E2812 magnético dessa linha seria grande o suficiente para interferir na b x 0 y 200 m z 0 c x DOA migracao dessas bactérias Suponha que um campo menor que 200 m y 200 m z 0 d x 150 mm Ss 5 do campo da Terra tenha pouco efeito sobre as bactérias 0 y 0 z 200 m SS 800cn Tome o campo da Terra como sendo 50 X 10Te ignore os 2812 Dois fios paralelos estao ASS P efeitos da 4gua do mar separados por uma distancia de 00 cm 2819 a Quanta corrente um fio longo e retilfneo teria de 500 cm e conduzem correntes em S conduzir para que 0 campo magnético situado a 20 cm do fio sentidos contrarios como indica a 150 mm ADA seja igual a 100 G comparavel ao campo magnético da Terra Figura E2812 Determine o m6 orientado para o norte b Considerando que o fio é horizontal dulo a direcdo e o sentido do campo com a corrente se deslocando de leste para oeste em que locais magnético no ponto P produzido por dois segmentos de 150 mm 0 campo magnético do fio aponta no mesmo sentido do compo do fio que se opdem entre si e estao a 800 cm do ponto P nente horizontal do campo magnético da Terra c Repita o item 2813 Um fio que conduz uma corrente de 280 A é dobrado b considerando o fio vertical com a corrente se deslocando de até formar um Angulo reto Considere dois segmentos de 200 mm baixo para cima de fio cada qual a 300 cm da dobra Figura E2813 Determine 2820 Dois fios retilfneos longos um situado acima do outro o médulo a direco e o sentido do campo magnético que esses esto em uma direcAo paralela ao eixo Ox e separados a uma dis dois segmentos produzem no ponto P equidistante de ambos tancia igual a 2a Considere um eixo Oy situado no plano dos Figura E2813 fios e orientado do fio inferior para o superior Cada fio conduz uma corrente J no sentido Ox Determine o médulo a diregaéo 200 mm e o sentido do campo magnético resultante produzido pelos fios 300cm nos seguintes pontos sobre o plano dos fios a na metade da dis gS Y tancia entre os fios b a uma distancia a acima do fio superior if S s c a uma distancia a abaixo do fio inferior oo 7 2821 Um fio retilineo longo esta situado sobre 0 eixo Oy 200 mm a e conduz uma corrente J 800 A no sentido Oy Figura E2821 Além do campo magnético produzido pelo fio existe um campo magnético uniforme Bo com modulo igual a 150 X 2814 Umaespira de fio quadrada com 100 cm em cada lado 10T apontando no sentido Ox Calcule o médulo a direg4o conduz uma corrente de 800 A no sentido horario Determine sentido do campo magnético total nos seguintes pontos sobre o modulo a direcdo e 0 sentido do campo magnético em seu plano xz a x 0 z 100 m b x 100 m z 0 c centro em fungio dos quatro segmentos de 120 mm de fiono 2 025 m meio de cada lado Figura E2821 Segao 283 Campo magnético de um condutor retilineo conduzindo uma corrente 2815 O campo magnético de um relampago Os relaémpa 1 gos podem conduzir correntes de até 20 kA aproximadamente Podemos modelar tal corrente como o equivalente de um fio muito longo e retilineo a Se vocé tiver 0 azar de estar a 50 m SLB de distancia de um relampago a que tamanho de campo mag ce nético vocé ficaria exposto b Como esse campo se compara x a outro em que vocé se exp6e estando a 50 cm de distancia de b uma corrente doméstica longa e retilinea de 10 A a 2816 Um fio muito longo retilfneo e horizontal conduz uma z 1 corrente em que 820 108 elétrons por segundo passam por um dado ponto ao se deslocarem de oeste para leste Quais s4o0 0 méodulo a direcAo e o sentido do campo magnético que esse fio i produz em um ponto situado 400 cm diretamente acima dele 2822 BIO Linhas de transmissio ea satide As correntes nas 2817 BIO Correntes no coracdo O corpo humano contém linhas de transmissao podem ser de 100 A ou mais Algumas pessoas muitas correntes pequenas causadas pelo movimento de fonsem S Preocupam com Os Campos eletromagneticos dessas linhas perto 6rgios e células As medicdes do campo magnético em torno do de suas casas achando que podem colocar a satide em risco Para peito em raziio das correntes no coracao geram valores em torno Uma linha com corrente de 150 A e altura de 80 m acima do solo de 10 wG Embora as correntes reais sejam um tanto complicadas Ue campo magnético ela produz no nivel no solo Expresse sua podemos ter uma ideia bruta de seu médulo se as modelarmos TeSposta em teslas e como uma porcentagem do campo magnético como um fio longo e retilineo Se a superficie do peito estivera da Terra que 050 G Esse valor é motivo de preocupagao 50 cm dessa corrente qual é a corrente conduzida no coracgao 2823 Dois fios longos retilineos e paralelos estado separa 2818 BIO Navegaciio das bactérias Certas bactérias como dos por uma distancia de 100 cm e conduzem correntes iguais a Aquaspirillum magnetotacticum tendem a nadar em direcio de 400 A no mesmo sentido como indica a Figura E2823 ao polo norte geogrdafico da Terra pois elas contém mintisculas Determine o médulo a diregao e 0 sentido do campo magnético particulas chamadas magnetossomos que sao sensiveis aum a no ponto P que 0 ponto médio entre os fios b no ponto campo magnético Se uma linha de transmissao conduzindo P 250 cm a direita de P c no ponto P3 200 cm diretamente 100 A for esticada sob a Agua em que faixa de distanciasocampo acima de P 296 Fisica lll Figura E2823 Figura E2828 1 I k 100 cm i L 2824 Umaespira retangular com dimensoes de 420 cm por 950 cm conduz uma corrente J A corrente na espira produz um I d campo magnético no centro da espira com modulo 550 X 10T e direcéo para longe de vocé ao ver o plano da espira Quais oo so 0 médulo a direcio e o sentido horario ou antihorario da 2829 A distancia entre dois fios longos paralelos é igual a corrente na espira 0400 m Figura E2829 As correntes J e J possuem os sen 2825 Quatro linhas de forca longas e paralelas conduzem tidos indicados a Calcule 0 médulo da forga total que cada correntes de 100 A Um diagrama de segao reta dessas linhas é fio exerce sobre 120 m de comprimento do outro A forga de um quadrado com 200 cm de cada lado Para cada um dos tréstfagao ou de repulsao b As correntes dobram de modo que casos indicados na Figura E2825 calcule 0 campo magnético I tornase igual a 100 A e Jy tornase igual a 400 A Qual é no centro do quadrado agora o modulo da forca total que cada fio exerce sobre 120 m de comprimento do outro Figura E2825 Figura E2829 a L 500 A a b c 0400 m L 200 A 2826 Quatro fios longos Figura E2826 que conduzem corrente no mesmo plano se cruzam para 100 1 2830 A distancia entre dois fios longos paralelos é de 250 cm A forca por unidade de comprimento que cada fio formar um quadrado com b ga Pp ional a 400 X io N q fi 400 cm de cada lado como exerce sobre 0 outro é igual a 4 m e os fios se re indica a Figura E2826 80A pelem mutuamente A corrente em um dos fios é de 0600 A a Determine o médulo a dire 200 A Qual é acorrente no segundo fio b As correntes tsm 0 mesmo Gio e o sentido da cotrente 1 sentido ou sentidos contrarios de modo que o campo ma 2831 Cabos para uma lampada Os fios que compdem o nético no a entro do r a dai cabo elétrico de uma lampada doméstica geralmente ficam a uma seja igual a zero 4 distancia de 30 mm de um centro a outro e conduzem correntes 2827 Dois fios isolados muito longos perpendiculares entre iguais em sentidos contrarios Se o cabo conduz corrente para uma lampada de 100 W conectada através de uma diferenca de si no mesmo plano transportam correntes conforme mostra a eee a potencial de 120 V qual forca por metro cada fio no interior do Figura E2827 Determine 0 médulo do campo magnético total Z cabo exerce sobre 0 outro A forga é de atragdo ou repulsao Essa que esses fios produzem nos pontos P e Q se a corrente de 100 Af direi b 4 forga é grande o suficiente para que deva ser considerada no or a para a direita ou b para a esquerda projeto de cabos para uma l4mpada Modele o fio da lampada Figura E2827 como se fosse um fio longo e retilineo 2832 Um fio horizontal longo AB encontrase apoiado sobre t DA uma mesa e conduz uma corrente J Um fio horizontal longo CD esta verticalmente sobre 0 fio AB e pode deslizar para cima 15cm ou para baixo ao longo de duas guias metalicas verticais Ce D 8 one a 10 8 Figura E2832 O fio CD esta conectado por meio de contatos cm b deslizantes a outro fio que também conduz uma corrente J porém 80 de sentido contrario a corrente Figura E2832 cm do fio AB A massa por uni 15cm dade de comprimento do fio I CD é igual a 4 Na posigao de equilibrio qual é a altura h do C D fio CD supondo que a forca 1 h magnética sobre esse fio seja or A B Sao 284 Forga entre condutores paralelos inteiramente Po zida pela 2828 Trés fios paralelos muito longos conduzem correntes de modulo igual a J com os sentidos indicados na Figura E2828 Secao 285 Campo magnético de uma Sabendo que a distancia entre dois fios adjacentes é igualad espira circular calcule o médulo a direcdo e o sentido da forga magnéticaresul 2833 BIO Correntes no cérebro O campo magnético em tante por unidade de comprimento sobre cada fio torno da cabega foi medido como sendo de aproximadamente Capitulo 28 Fontes de campo magnético 297 30 X 108 G Embora as correntes que produzem esse campo Quatro trajetorias indicadas pelas letras de a até d s4o mostradas sejam bastante complicadas podemos ter uma estimativa bruta na figura Qual é o valor da integral de linha B dl para cada de seu tamanho modelandoas como uma tnica espira de corrente trajet6ria Cada integral envolve seguir o percurso no sentido circular com 16 cm de diametro a largura tipica de uma cabega antihordrio Explique suas respostas ual é a corrente necessaria para produzir esse campo no centro Qual pata p P Figura E2840 da espira 2834 Determine o médulo a diregéo e 0 sentido do campo magnético resultante produzido no ponto P pela corrente que passa na secao semicircular do fio indicado na Figura E2834 G Dica a corrente que passa na segao retilinea do fio produz algum 1 campo magnético no ponto P b Oe Figura E2834 g L Cc d R P I Lo 2841 No interior de uma curva fechada existem diversos con 2835 Calcule o médulo do campo magnético resultante pro dutores A integral de linha B dl em torno da curva igual duzido no ponto P da Figura E2835 em funcio de RlehO 4 383 x 10 T m a Qual ca corrente total que passa nos que sua expressiio fornece quando I 1y condutores b Se vocé fizesse a integral percorrendo a curva em sentido contrario qual seria o valor da integral Explique Figura E2835 Secao 287 Aplicagdes da lei de Ampére 2842 Como um técnico em eletricidade vocé esta proje q R I tando um grande solenoide para produzir um campo magnético Pp uniforme de 0150 T proximo ao centro do solenoide Vocé R possui fio suficiente para 4000 espiras Esse solenoide deve ter I h 550 cm de comprimento e 28 cm de diametro Qual é a corrente necessaria para produzir 0 campo exigido 2843 Cabo coaxial Um condutor sélido com raio a é supor 2836 Uma bobina circular com 800 espiras enroladas de tado por discos isolantes no centro de um tubo condutor com raio modo compacto possui raio de 240 cm a Qual deve ser a cor interno b e raio externo c Figura E2843 O condutor central rente que passa pela bobina supondo que o campo magnético no e o tubo conduzem correntes com o mesmo méddulo J mas com centro da bobina seja igual a 00770 T b A que distancia x do sentidos contrarios As correntes sao distribuidas uniformemente centro da bobina sobre 0 eixo da bobina 0 campo magnético a0 longo da segao reta de cada condutor Deduza uma expressao igual 4 metade de seu valor no centro para o médulo do campo magnético a nos pontos no exterior 2837 Uma tinica espira circular possui 100 cm de diametro do condutor sélido central porém no interior do tubo a r b e conduz uma corrente de 200 A a Qual 6 0 campo magnético b nos pontos no exterior do tubo r c ira no centro dessa espira b Suponha que agora conectemos 1000 Figura E2843 dessas espiras em série por um comprimento de 500 cm para criar um solenoide de 500 cm de extensdo Qual é o campo magnético no centro desse solenoide Ele é 1000 vezes 0 campo no centro da espira do item a Por qué 2838 Uma bobina circular com espiras enroladas de modo compacto possui raio igual a 600 cm e conduz uma corrente de LM 250 A Quantas voltas ela deve ter para que o médulo do campo Ye magnético seja de 639 X 10 T em um ponto sobre 0 eixo da bobina afastado 600 cm de seu centro 7888 Duas espiras de 0 cireulares sone Hoan encontram 2844 Repita o Exercicio 2843 para o caso no qual a corrente Be sODES Una Miksa Unid entro da outra O fio interno possi ny eondutor sdlido central 1 a corrente no tubo é J as cor um diametro de 200 cm e conduz uma corrente de 120 A em a Tentes possuem o mesmo sentido em vez de sentidos contrarios sentido horario conforme visto de cima e 0 fio externo possui oe 2845 Um solenoide com 35 cm de comprimento contendo um didmetro de 300 cm Quais dever4o ser o médulo e 0 sentido oA 450 bobinas circulares com 20 cm de diémetro conduz uma cor visto de cima da corrente no fio externo para que 0 campo mag as ays on rente de 175 A a Qual 0 campo magnético no centro do sole nético produzido nessa combinagao de fios seja zero no centro noide a 10 cm das bobinas b Suponha que agora estiquemos comum dos fios as bobinas para formar um fio muito longo conduzindo a mesma Secao 286 Lei de Ampére corrente de antes Qual é o campo magnético a 10 cm do centro 2840 A Figura E2840 mostra a secio reta de diversos do fio Eo mesmo que o do item a Por qué condutores que conduzem correntes que atravessam 0 plano da 2846 Umsolenoide de 150 cm de comprimento e 0750 cm figura Os médulos das correntes sao J 40 A lj 60 Ae de raio possui 600 espiras enroladas de modo compacto A cor I 20 A e os sentidos das correntes sdo indicados na figura rente que passa nas espiras é igual a 80 A Determine 0 campo 298 Fisica lll magnético em um ponto situado nas proximidades do centrodo magnética médulo direcéo e sentido que a carga q exerce solenoide sobre q 2847 Um solenoide é projetado para produzir um campo Figura P2855 magnético igual a 00270 T em seu centro Ele possui raio de 140 cm comprimento de 400 cm e o fio conduz uma corrente y maxima de 120 A a Qual é 0 numero minimo de espiras que o solenoide deve ter b Qual é o comprimento total do fio q Uv necessario 2848 Um solenoide toroidal tem raio interno de 120 cm e E raio externo de 150 cm Ele conduz uma corrente de 150 A a v Quantas voltas igualmente espacadas ele precisa ter para que produza um campo magnético de 375 mT nos pontos dentro das x bobinas a 140 cm de seu centro O 0400 m q 2849 Um campo magnético de 372 T foi obtido no Francis Bitter National Magnetic Laboratory do MIT Determine acor 2856 ee Em determinado instante a carga g 480 X rente necessdria para atingir esse campo a a 20 cmde um fio 10 C estd no ponto 0 0250 m 0 e possui velocidade 8 longo e retilineo b no centro de uma bobina circular de raio 920 X 10 ms A carga gy 290 X 10 C est no ponto igual a 420 cm com 100 espiras c proximo do centrodeum 0150 m 0 0 e possui velocidade 8 530 X 10 ms solenoide com 240 cm de raio 320 cm de comprimento e 40000 Nesse instante quais sao o médulo a diregdo e o sentido da forca espiras magnética que g exerce sobre q2 2850 Um solenoide toroidal veja o Exemplo 2810 possui 2857 ee Duas linhas de transmissio longas e paralelas separa raio interno r 150 cme raio externo rz 180cmO sole das por uma distancia de 400 cm carregam correntes de 250 A noide possui 250 espiras e conduz uma corrente de 850 A Qual 750 A Determine todos os locais em que 0 campo magnético o médulo do campo magnético em um ponto cuja distancia quido de ambos os fios é igual a zero caso essas correntes es ao centro do toroide é a 120 cm b 160 cm c 200 cm tejam a no mesmo sentido e b em sentidos contrarios 2851 Um anel de madeira com diametro médio igual a 2858 Um fio retilfneo longo conduz uma corrente de 860 A 140 cm enrolado de modo compacto com 600 espiras for Um elétron se desloca nas vizinhancas do fio No instante em que mando um enrolamento toroidal Determine o campo magnético 9 elétron esté a uma distancia do fio igual a 450 cm e se desloca em um ponto situado no centro da segao reta das espiras quando com velocidade igual a 60 X 10 ms diretamente em diregao a corrente que passa no enrolamento de 0650 A ao fio quais sio o médulo a direcao e o sentido em relagdo ao Secdo 288 Materiais magnéticos sentido da corrente da forga magnética que 0 campo magnético 2852 Um solenoide toroidal com 400 espiras possui raio da corrente exerce sobre eletron médio igual a 60 cm e conduz uma corrente de 025 A A per 2859 PC Um fio longo e retilineo conduz uma corrente de meabilidade relativa do nticleo é igual a 80 a Qual é 0 campo 130 A Um elétron disparado paralelamente a esse fio com magnético no nticleo b Que parte do campo magnético resul uma velocidade de 250 kms no mesmo sentido da corrente a tante é produzida pelas correntes at6micas 200 cm do fio a Determine o médulo a direcao e o sentido da 2853 Um solenoide longo com 60 espiras por centimetro aceleragao inicial do elétron b Quais devem sero médulo a conduz uma corrente igual a 015 A O fio das espiras é enrolado diregao e o sentido de um campo eletrico uniforme que permitira em torno de um nticleo de aco com silicio K 5200 O fio 4 elétron continuar a se deslocar paralelamente ao fio c E ne do solenoide é envolvido por uma camada de isolante de modo cessario incluir os efeitos da gravidade Justifique sua resposta que nenhuma corrente flua para o nticleo a Para um dado 2860 Um elétron esté se movendo nas vizinhangas de um ponto no interior do nticleo determine o médulo i do campo fio longo e retilineo disposto ao longo do eixo x O fio possui magnético Bo produzido pela corrente que passa no solenoide uma corrente constante de 900 A no sentido x Em um instante 11 da magnetizacao M e iii do campo magnético resultante Bm ae eletron est no in 0 9708 m 9 tT veloc idade b Faga um esboco mostrando o solenoide e 0 nticleo e indique do elétron U G00 x 10 misi 300 x 10 ms7 qual as direcGes e os sentidos dos vetores B Bo e Mno interior do forga que 0 fio exerce sobre o elétron Expresse a forga em nticleo do solenoide termos de vetores unitarios e calcule seu modulo 2854 A corrente que passa nos enrolamentos de um sole 2861 Um Onibus elétrico opera pela alimentacao d corrente noide toroidal é de 2400 A Existem 500 espiras e seu raio médio continua de dois cabos paralelos suspensos a uma diferenca de é igual a 2500 cm O toroide esta preenchido com um material potencial de 600 V esp agados 55 om a do outro Quando a 7 vn ae oo entrada de alimentagao no motor do 6nibus esta em sua poténcia magnético Verificase que 0 campo magnético no interior das es axima de 65 hp a que corrente é retirada e b qual é a forca piras é igual a 1940 T Calcule a a permeabilidade relativa b de atracdo por comprimento unitério entre os cabos a suscetibilidade magnética do material que preenche o toroide 2862 A Figura P2862 representa o plano xy que corta perpendicularmente dois fios longos e paralelos que conduzem PROBLEMAS uma corrente de mesmo méddulo porém sentidos contrdarios 2855 Duas cargas puntiformes gq 800 uC e g a Copie o diagrama e desenhe vetores para mostrar o campo 500 uC se movem como indicado na Figura P2855 com B de cada fio e o campo resultante B no ponto P b Deduza a velocidades v 900 X 104 ms e v 650 X 10 ms Quando expressio para o médulo de B em qualquer ponto do eixo Ox em as cargas puntiformes estao nos locais indicados na figura quais termos da coordenada x do ponto Quais sao a direcdo e 0 sen s40 a 0 campo magnético produzido na origem e b a forga tido de B c Faga um grafico do médulo de Bem fungao de x Capitulo 28 Fontes de campo magnético 299 d Para qual valor de x o médulo de B atinge seu valor maximo 2866 Os fios que formam as semicircunferncias indicadas e Qual é 0 médulo de B quando x a na Figura P2866 possuem raios a e b Determine 0 médulo a diregdo e o sentido do campo magnético resultante produzido Figura P2862 pelas correntes dos fios no ponto P Figura P2866 F I ay a Pp b x po 4 I 2867 CALC Bobinas de Helmholtz A Figura P2867 mostra a sec4o reta de duas bobinas circulares de raio a cada 2863 Dois fios longos paralelos esto separados por uma uma delas com N espiras que conduzem uma corrente J no mesmo di am ia de 100 m Fi g r 8 63 O fio d P d sentido nas duas bobinas A distancia entre as bobinas é igual ses corente lh dee 00 e ettan do ho olano a ofpina ape ao raio a delas As bobinas dessa configuragéo denominamse devem ser o sentido e 0 médulo da corrente Jy para que o campo bobinas de Helmholtz e produzem um campo magnético bastante magnético no ponto P seja igual a zero b Quais devem ser uniforme na regiao entre elas a Deduza uma expresso para 0 entao o mdédulo a direcdo e o sentido do campo resultante no modulo do campo magnetico Bem am Ponto situado auma dis ponto Q c Quais devem ser 0 médulo a direciio e o sentido do tancia x a direita do ponto P que esta no meio do caminho entre campo resultante no ponto S as bobinas b Facga um grafico de B contra x desde x 0 até x a2 Compare 0 grafico obtido com o Figura P2863 campo magnético produzido apenas Fi po KY pela bobina da direita c Usando a igura P2867 TN expressAo obtida no item a obtenha aH GEE 060 m 080 m o mdédulo do campo magnético no 050 m f 050 m ponto P d Calcule o valor do mé P Q 100 m P dulo do campo magnético no ponto 1 6004 bh P considerando N 300 espiras 4 y y I 600 Aea 800 cm e Calcule i ilf F P2864 2864 in Ho retilince igura P286 dBidx e dBldx no ponto Px 0 Lé ese onge ee I Discuta como seus resultados podem Kaa Figura Pag ed conduy Aa 26cm 1404 B mostrar que 0 campo é bem uniforme uma corrente de 140 A espira retangular cuja aresta SS nas vizinhangas do ponto P a mais longa é paralela ao fio 100 cm 2868 Calcule 0 campo magnético méddulo direcao e sen conduz uma corrente de 4 500A v tido em um ponto P produzido por uma corrente J 120 A 500 A Determine 0 mo 500 no fio mostrado na Figura P2868 O segmento BC é um arco dulo a direcdo o sentido kK cm oF de uma circunferéncia com raio de 300 cm e 0 ponto P esta no da forca magnética resul centro da curvatura do arco O segmento DA é um arco de um tante produzida pelo campo circulo com raio de 200 cm e 0 ponto P esta em seu centro de do fio e exercida sobre a espira curvatura Os segmentos CD e AB sao linhas retas com 100 cm 2865 e PC Dois fios longos e paralelos esto suspensos por de comprimento cada meio de cordas de 40 cm de comprimento presas a um eixo Figura P2868 comum Figura P2865 Os fios possuem massa por unidade de comprimento igual a 00125 kgm e conduzem correntes de C mesmo méddulo porém sentidos contrarios Qual é a corrente em cada fio sabendo que as cordas de sustentagéo formam um WN Angulo de 600 com a vertical Dp hee Figura P2865 120 SS sy Sy 600 ano A S 300 Fisica Ill 2869 CALC Um fio retilfneo longo com seco reta circular Figura P2873 Os condutores se distribuem sobre 0 plano xy de raio R conduz uma corrente J Suponha que a densidade de paralelamente ao eixo Oy e conduzem uma corrente no sentido corrente nao seja constante ao longo da seo reta do fio porém Oy Existem n condutores por unidade de comprimento ao varie de acordo com a relacaio J arem que aéumaconstante longo do eixo Ox a Determine o médulo a diregao e o sen a Sabendo que a integral de J ao longo da secao reta do fio tido do campo magnético a uma distancia a abaixo do plano da fornece a corrente total J determine a constante a em termos corrente b Encontre o médulo a diregao e o sentido do campo de J e de R b Use a lei de Ampére para determinar 0 campo magnético a uma distancia a acima do plano da corrente magnético Br para i r Re ii r R Fornega suas respostas Figura P2873 em fungao de 2870 CALC O fio mostrado na Figura P2870 é infinita mente longo e conduz uma corrente Calcule 0 médulo a di reco e o sentido do campo magnético que essa corrente produz no ponto P x Figura P2870 y 2z a 2874 Condutores retilineos longos com segGes retas quadra P das cada um deles conduzindo uma corrente sio colocados um ao lado do outro formando uma placa fina que se estende até o infinito com o sentido da corrente para fora do plano da pagina Figura P2874 Um segundo plano infinito esta a uma 2871 CALC Umcilindro comprido com seu eixo orientado istanciad abaixo do primeiro e é paralelo a ele O segundo plano na diregao Oz possui uma densidade de corrente J A densidade onduz correntes entrando no plano da pagina Cada plano possui de corrente embora seja simétrica em relagao ao eixo do cilindro eondutores por unidade de comprimento Use como referéncia nao constante e varia de acordo com a relacao o Problema 2873 Calcule o médulo a diregao e o sentido do 2h r2 campo magnético resultante a no ponto P acima do plano su J k parar a perior b no ponto R entre os dois planos c no ponto S abaixo ma do plano inferior 0 para r a Figura P2874 em que a é o raio de cilindro r é a distancia radial entre 0 ponto ep considerado e 0 eixo do cilindro e Jp é uma constante dada em ampéres a Mostre que Jp é a corrente total que passa através elelelelelelele da secao reta do fio b Usando a lei de Ampere deduza uma d eR expressao para o médulo do campo magnético B na regiao r a J c Obtenha uma express4o para a corrente J contida em uma XXTXXXXXX seco reta circular de raio r ae centralizada sobre 0 eixo do es cilindro d Aplicando a lei de Ampére deduza uma expressao para o médulo do campo magnético Bna regiao r a Como se comparam os resultados dos itens b e d para r a 2875 Um cilindro comprido com seu eixo orientado ao 2872 Uma espira circular possui raio R e conduz uma cor longo do eixo Oz possui densidade de corrente J A densidade rente J no sentido hordrio Figura P2872 O centro da espira de corrente embora seja simétrica em relacgao ao eixo do cilindro est4 a uma distancia D acima de um fio longo retilineo Quais 40 constante e varia de acordo com a relagao so o médulo a direcao e o sentido da corrente J no fio quando b o campo magnético no centro da espira é nulo J 2 et 98 f para r Sa Figura P2872 0 para r a Lh U7 em que o raio de cilindro é a 500 cm r é a distancia radial entre 0 ponto considerado e 0 eixo do cilindro b é uma constante igual a f 600 Ame 6 é uma constante igual a 250 cm a Suponha que Jp D seja a corrente total que passa através da seco reta do fio Obtenha en ae uma expresso para J em termos de b 6 e a Avalie sua expresso q para obter um valor numérico para Jp b Usando a lei de Ampére deduza uma expressao para o médulo do campo magnético Bna 2873 Um plano infinito que conduz uma corrente regio r a Expresse sua resposta em termos de Jy em vez de b Condutores retilineos longos com secGes retas quadradas cada c Obtenha uma expresso para a corrente contida em uma segao um deles conduzindo uma corrente J sio colocados um ao lado reta circular de raio r S ae centralizada sobre 0 eixo do cilindro do outro formando uma placa fina que se estende até 0 infinito Expresse sua resposta em termos de Jp em vez de b d Aplicando Capitulo 28 Fontes de campo magnético 301 a lei de Ampére deduza uma expresso para o médulo do campo com comprimento nao estendido p e constante de forga k Figura magnético Bna regiao r a e Avalie o médulo do campo mag P2878 Quando uma corrente é executada através do circuito néticoemr 6r aer 2a constituido por barras e molas as molas se esticam Vocé mede 2876 DADOS Como estagiario em um laboratério de pes a distancia x cada mola se estica por determinados valores de quisa vocé recebe um solenoide longo que possui dois enrolamen Quando J 805 A vocé mede que x 040 cm Quando J tos separados e préximos no mesmo sentido sobreamesma forma 131 A vocé encontra x 080 cm Nos dois casos as barras s4o cilindrica oca Vocé precisa determinar o ntimero de voltasemcada muito maiores que as molas esticadas de modo que correto usar enrolamento O solenoide possui comprimento L 400 cmedi a Equacao 2811 para dois condutores paralelos e infinitamente Ametro 280 cm Vocé permite que uma corrente de 200 mA flua longos a A partir dessas duas medigées calcule Jp e k b Se no enrolamento e varia a corrente J no enrolamento 2 as duas J 120 A em que distancia x cada mola se esticara c Que correntes fluem no mesmo sentido Entaéo vocé mede o médulo B corrente é necessaria para que cada mola se estique em 100 cm do campo magnético no centro do solenoide em fungao de I Vocé representa seus resultados em um grafico como BLto em fungao PROBLEMAS DESAFIADORES de O grafico na Figura P2876 mostra a linha reta pelo melhor we 2879 eee PC Dois longos fios retilineos condutores com ajuste a seus dadlos a Explique Por que os dlados desenhados dessa massa especifica linear A estéo suspensos por meio de cordas forma devem se encontrar proximos de uma linha reta b Use a de modo que eles ficam dispostos paralelamente sobre um plano Figura P2876 para calcular Nj N2 0 numero de voltas nos enro horizontal e a distancia entre eles é igual a d As extremidades lamentos 1 2 c Se a corrente no enrolamento permanecerem ga direita dos fios s40 conectadas entre si por meio de um fio 200 mA em sua diregao original e o enrolamento 2 tiver 500 frouxo de resisténcia desprezivel Um capacitor carregado ca mA na diregao oposta qual é 0 valor de B no centro do solenoide pacitancia C é ligado ao sistema a placa positiva do capacitor Figura P2876 carga inicial Qo esta conectada 4 extremidade da esquerda de um dos fios e a placa negativa do capacitor carga inicial Qo BLt4p A esta conectada 4 extremidade da esquerda do outro fio Figura 1600 P2879 Ambas as conexGes sao feitas por fios frouxos com 1200 resisténcias despreziveis Quando a conexAo é estabelecida os fios sAo repelidos lateralmente pela acdo das forgas magnéticas 800 repulsivas das correntes de sentidos contrarios e cada fio adquire 400 uma velocidade horizontal inicial Up Suponha que o tempo de descarga do capacitor seja desprezivel em relagéo ao tempo do 000 ImA deslocamento dos fios a Mostre que a velocidade inicial dos 000 100 200 300 400 500 600 fios dada por 2877 DADOS Vocé utiliza um tesl6metro um disposi HOG tivo de efeito Hall para medir o médulo do campo magnético 0 AmARCA em diversas distancias a partir de um cabo de cobre cilindrico longo retilineo e grosso conduzindo uma corrente grandee em que R a resisténcia total do circuito b Que altura h cada constante Para excluir o campo magnético da Terra da me fio atingira depois que a conexo for estabelecida dicado primeiro vot zera oO medidor Depois mede o campo Figura P2879 magnético B nas distancias x a partir da superficie do cabo e obtém estes dados eee 20 40 60 80 100 0406 0250 0181 0141116 an a Vocé acredita pelo que aprendeu no curso de fisica que o oo campo magnético de um fio é inversamente proporcional a dis tancia do fio Portanto espera que a quantidade Bx de seus dados seja constante Calcule Bx para cada ponto de dados na tabela Cc Bx constante para esse conjunto de medig6es Explique b represente os dados como x em funcio de 1B Explique por que 2880 Uma correia larga e longa possui uma carga positiva esse grafico fica pr6ximo de uma linha reta c Use 0 grafico do uniforme por unidade de area o em sua superficie superior item b para calcular a corrente J no cabo e 0 raio R do cabo Rolos instalados em suas extremidades movem a correia com 2878 DADOS Um par de barras Figura P2878 uma velocidade constante v Determine 0 médulo a diregao metélicas longas e rigidas cada qual me e o sentido do campo magnético produzido pela correia que dindo 050 m de comprimento repousa pa Jy se move em um ponto imediatamente acima de sua superficie ralelamente entre si sobre uma mesa sem Dica para pontos afastados das extremidades da correia ela atrito Suas extremidades so conectadas a z 2 pode ser considerada um plano infinito de corrente como no molas condutoras idénticas e muito leves Problema 2873 302 Fisica lll Problemas com contexto BIO Estudando bactérias magnéticas Alguns tipos de bac 2882 Para usar uma amostra maior os experimentadores cons térias contém cadeias de particulas ferromagnéticas paralelas a troem um solenoide com 0 mesmo comprimento tipo de fio seu eixo longitudinal As cadeias atuam como pequenos mas e espacamento de espiras mas com o dobro do didmetro do em barras que alinham essas bactérias magnetoestdticas como original Qual é a relagéo entre 0 torque magnético maximo campo magnético da Terra Em uma experiéncia para estudara possivel sobre uma bactéria nesse novo solenoide e o do sole resposta a tais bactérias aos campos magnéticos um solenoide noide original Suponha que as correntes nos solenoides sejam foi construido com fio de cobre de 10 mm de diametro enro as mesmas O torque maximo no novo solenoide é a o dobro lado por igual em uma tnica camada para formar uma bobina do original b metade do original c igual ao original d um helicoidal com comprimento de 40 cm e diametro de 12cmO quarto do original fio possui uma camada muito fina de isolamento esmaltadoe a 2883 O solenoide é removido do recipiente e depois usado em bobina é enrolada de modo que as voltas adjacentes se toquem um novo local onde 0 campo magnético da Terra é de 50 wT e umas nas outras O solenoide que gera um campo magnético aponta horizontalmente Uma amostra das bactérias é colocada esta em um recipiente que 0 isola de outros campos magnéticos no centro do solenoide e a mesma corrente que produziu um Uma amostra das bactérias magnetoestaticas é colocada dentro campo magnético de 150 wT no laboratorio é aplicada novamente do solenoide O torque sobre uma bactéria individual no campo Descreva o campo experimentado pela bactéria o campo a ainda magnético do solenoide é proporcional ao médulo do campo é de 150 wT b agora é de 200 wT c esta entre 100 e 200 wT magnético e ao seno do Angulo entre 0 eixo longo da bactériae dependendo de como o solenoide esta orientado d esta entre a direcéo do campo magnético 50 e 150 wT dependendo de como o solenoide esta orientado 2881 Que corrente é necessdria no fio para que 0 campo mag nético experimentado pela bactéria tenha um médulo de 150 uT a 0095 A b 012 A c 030 A d 14 A RESPOSTAS Resposta a pergunta inicial do capitulo retilineo que conduz corrente isso produziré um campo mag Resposta iv Ndo havera variacéo no campo magnético De nético que aponta para a esquerda na posicfo da biissola que acordo com o Exemplo 289 Seco 287 0 campo no interior fica acima do fio A combinagao do campo magnético da Terra de um solenoide possui médulo B worl em que n éontmero orientado para o norte e o campo orientado para oeste produzido de espiras do fio por unidade de comprimento Unir os dois so pela corrente fornece um campo magnético resultante orientado lenoides pelas extremidades duplica tanto o nimero de espiras para noroeste Portanto a agulha da biissola vai oscilar no sentido quanto 0 comprimento portanto o numero de espiras por unidade antihordrio para se alinhar a esse campo de comprimento n4o varia 284 Respostas a i b iii c ii d iii A corrente Respostas as perguntas dos testes flui no mesmo sentido em espiras adjacentes da bobina por de compreensao tanto as forgas magnéticas entre essas espiras sdo de atragao 281 Resposta a i b ii A situacio éa mesma quea A Corrente flui em sentidos contrarios sobre lados opostos da indicada na Figura 282 exceto que o proton superior possui esma espira portanto as forgas magnéticas entre esses lados velocidade em vez de 8 O campo magnético em funcio do S40 de repulsao Assim as forgas magnéticas sobre as espiras do proton inferior é 0 mesmo que o indicado na Figura 282 mas 0 solenoide exercem compressao sobre elas no sentido ao longo sentido da forca magnética F g6X B sobre o proton superior é 4 seu eixo mas as afastam radialmente As forgas elétricas so contrario Logo a forca magnética é de atracdo Como 0 médulo nulas porque o fio eletricamente neutro com carga tanto posi da velocidade v é pequeno em comparagiio ac aforca magnética tiva quanto negativa é muito menor em médulo que a forga elétrica de repulsao e a 285 Respostas a ii b v O vetor dB esta no sentido forca resultante continua sendo de repulsao de dl X r Para um segmento no eixo negativo Oy dl kdl 282 Resposta i e iii empate iv ii De acordocom aponta no sentido negativo de Oze Fr x aj Portanto dl Xx a Equagao 285 o médulo do campo dB em fungao de um ele 7 aq dl x dlj que possui um componente positivo de x mento de corrente de comprimento d que conduz uma corrente ym componente negativo de y e um componente nulo de z Para 1 dB uo4z7 I dl sen ir Nessa expressao réadistancia ym segmento no eixo negativo Oz dl j dl aponta no sentido do elemento para o ponto de campo e é 0 angulo entre o sen positivo de Oy e xf ak Portanto dXr la dljt tido da corrente e um vetor do elemento de corrente para o ponto us de campo Os quatro pontos estao 4 mesma distancia r L do 1 dik que possui um componente Positivo de x um compo elemento de corrente portanto o valor de dB é proporcional ao nente nulo de ye um comp onente negativo de valor de sen Para os quatro pontos o Angulo é i 90 286 Resposta ii Imagine executar a integral B dl ao ii 0 iii 90 e iv 45 portanto os valores de longo de um percurso de integragao que segue no sentido horario sen sao i 1 ii 0 iii 1 e iv v2 em torno da linha de campo magnético vermelha Em cada ponto 283 Resposta A Esta orientacdo fard a corrente fluirno sen 49 percurso o campo magnético B eo segmento infinitesimal dl tido horério em torno do circuito Logo a corrente fluiré para 40 ambos tangentes ao percurso portanto B dl positivo em sul pelo fio que fica abaixo da biissola Pela regra da mao direita cada ponto e a integral B dl também positiva De acordo para o campo magnético produzido por um condutor longo e coma lei de Ampére B dl Molinte a regra da mao direita Capitulo 28 Fontes de campo magnético 303 0 percurso de integracgéo confina uma corrente orientada para mesmo mddulo mas com sentidos contrarios uma no fio central fora do plano da pagina Nao ha nenhuma corrente no espacgo e outra no cilindro oco Assim B27 r 0 e portanto B 0 vazio fora do ima portanto deve haver correntes dentro do ma para qualquer valor de r fora do cabo O campo é diferente de veja a Secdo 288 zero dentro do cabo veja o Exercicio 2843 287 Resposta iii Por simetria qualquer campo B forado 288 Resposta i iv Sddio e uranio sao materiais paramag cabo deve circular em torno do cabo com linhas de campo cir néticos e portanto sdo atraidos por um ima ao passo que bis culares como as que circundam o condutor cilfndrico macigo Muto e chumbo sao materiais diamagnéticos que sao repelidos da Figura 2820 Escolha um percurso de integracio como 0 por um ima Veja a Tabela 281 indicado na Figura 2820 com raio r R de modo que o per curso envolva completamente o cabo Como no Exemplo 288 Problema em destaque a integral B dl para esse percurso possui médulo B2777 Pela lei de Ampére isso é igual a Uolinte A corrente resultante RonQ confinada Jinte igual a zero porque inclui duas correntes de B a 29 A leitora de cartões de um caixa eletrônico lê as informações contidas em uma configuração magnética codificada na tarja magnética existente em cartões sem chip Por que nesse tipo de leitora você precisa passar o cartão rapidamente em vez de segurá lo estaticamente na fenda do dispositivo de leitura i Para maximizar a força magnética no cartão ii para maximizar a força magnética nas cargas móveis na leitora de cartões iii para gerar uma força elétrica no cartão iv para gerar uma força elétrica nas cargas móveis na leitora de cartões INDUÇÃO ELETROMAGNÉTICA OBJETIVOS DE APRENDIZAGEM Ao estudar este capítulo você aprenderá 291 A evidência empírica de que a variação de um campo magnético induz uma fem 292 Como a lei de Faraday relaciona a fem induzida em uma espira à variação no fluxo magnético através da espira 293 Como determinar o sentido de uma fem induzida 294 Como calcular a fem induzida em um condutor que se move através de um campo magnético 295 Como uma variação no fluxo magnético gera um campo elétrico circulante 296 Como surgem as correntes de Foucault em um metal que se move em um campo magnético 297 As quatro equações fundamentais que descrevem integralmente a eletricidade e o magnetismo 298 As notáveis propriedades elétricas e magnéticas dos supercondutores Revendo conceitos de 231 Campos elétricos conservativos 254 Força eletromotriz fem 273 2 78 279 Fluxo magnético motores de corrente contínua efeito Hall 2852 87 Campo magnético de uma espira de corrente e solenoide lei de Ampère Q uase todos os aparelhos e dispositivos modernos desde computadores até máquinas de lavar e furadeiras elétricas possuem circuitos elétricos em suas partes internas Aprendemos no Capítulo 25 que uma força eletromotriz fem é necessária para produzir uma corrente em um circuito nos capítulos 25 e 26 quase sempre tomamos uma bateria como a fonte de fem Contudo para a maior parte dos dispositivos elétricos que você liga a uma tomada de parede a fonte de fem não é uma bateria mas uma usina geradora de energia elétrica A usina produz energia elétrica mediante a conversão de outras formas de energia energia potencial gravitacional em uma usina hidrelétrica energia química em uma usina termelétrica que queima carvão ou óleo e energia nuclear em uma usina nuclear Mas como ocorre essa conversão de energia A resposta é um fenômeno chamado indução eletromagnética quando o fluxo magnético varia através de um circuito ocorre indução de uma fem e de uma cor rente no circuito Em uma usina geradora de energia elétrica o movimento de um ímã em relação a uma bobina produz um fluxo magnético que varia através das bobinas e portanto surge uma fem O princípio central da indução eletromagnética é a lei de Faraday Essa lei relaciona a fem ao fluxo magnético variável em qualquer tipo de espira incluindo um circuito fechado Discutiremos também a lei de Lenz que ajuda a prever o sentido de uma corrente e de uma fem induzidas Esses princípios nos permitirão entender qualquer dispositivo em que ocorram conversões de energia elétrica como motores geradores e transformadores Segundo a indução eletromagnética um campo magnético que varia em função do tempo pode atuar como uma fonte de campo elétrico Também veremos como um campo elétrico que varia em função do tempo pode atuar como uma fonte de campo magnético Esses notáveis resultados fazem parte de um conjunto de fórmulas chamadas de equações de Maxwell que descrevem o comportamento BookSEARSVol3indb 304 101115 704 PM Capitulo 29 Indugao eletromagnética 305 de um campo magnético e de um campo elétrico para qualquer situagao Essas equacodes de Maxwell abrirao 0 caminho para o estudo das ondas eletromagnéticas no Capitulo 32 291 EXPERIENCIAS DE INDUCAO Durante a década de 1830 diversas experiéncias pioneiras sobre uma fem in BIO Aplicacéo Explorando o duzida magneticamente foram feitas por Michael Faraday na Inglaterra e por cérebro com fems induzidas Joseph Henry 17971878 nos Estados Unidos A Figura 291 mostra diversos A estimulagao magnetica transcraniana exemplos dessas experiéncias Na Figura 291a uma bobina esta conectada a um MS uma tecnica para estudar a aw ae A funcdo das diversas partes do cérebro galvandmetro Quando o ima esta em repouso o galvanémetro nao acusa nenhuma Uma bobina mantida na cabega do corrente Esse resultado previsivel pois nada esta variando e nao existe nenhuma jagividuo conduz uma corrente elétrica fonte de fem conectada ao circuito Porém quando 0 fma se move para cima ou para yarivel e assim produz um campo baixo o galvanémetro acusa uma corrente no circuito mas somente enquanto o ima magnético varidvel Esse campo causa estd se movendo Figura 291b Mantendo o ima em repouso porém movendo a uma fem induzida isso dispara a bobina detectamos novamente a corrente durante o movimento Esta é chamada lividade eletrica na regiao do cerebro de corrente induzida e a fem correspondente que seria necessaria para produzir abalxo da bobina Observando como 0 essa corrente denominase fem induzida alvo da TMS responde por exemplo com movimento de musculos como resultado Na Figura 291c substituimos o fma por uma segunda bobina ligada auma do estimulo de uma certa parte do bateria Quando essa segunda bobina permanece em repouso nao existe nenhuma cérebro 0 médico pode testar diversas corrente na primeira Contudo quando a segunda bobina se aproxima ou se afasta condigdes neuroldgicas da primeira ou quando a primeira se aproxima ou se afasta da segunda surge uma corrente induzida na primeira bobina porém isso ocorre somente quando existe a movimento de uma bobina em relagao a outra i Finalmente usando o arranjo das duas bobinas indicado na Figura 291d mante I he mos as duas bobinas em repouso e variamos a corrente na segunda bobina abrindo TY e fechando a chave Quando abrimos ou fechamos a chave ocorre um pulso ins e a tantaneo de corrente no primeiro circuito A corrente induzida na primeira bobina ft i q ae s6 estara presente enquanto a corrente estiver variando na segunda a Para aprofundarmos a explicagao dos elementos comuns das observag6es an a teriores vamos considerar com mais detalhes uma série de experiéncias Figura 292 Conectamos uma bobina a um galvan6metro e a seguir colocamos a bobina entre os polos de um eletroima cujo campo magnético pode variar Observamos os seguintes fendmenos a 1 Quando nao existe corrente no eletroima de modo que B 0 0 galvanémetro nao indica nenhuma corrente 2 Quando ligamos o eletrofma momentaneamente surge uma corrente induzida indicada no galvanémetro 4 medida que B aumenta Figura 291 Demonstracao do fendmeno da corrente induzida a Quando um ima permanece em Todas estas ag6es INDUZEM uma corrente na bobina O que elas ttm em comum repouso nao existe NENHUMA TTT COWMY corrente induzida em uma bobina b Aproximando ou afastando c Aproximando ou afastando da d Variando a corrente na segunda o ima da bobina primeira bobina uma segunda que bobina ao fechar ou abrir uma chave transporta corrente D2 é AG y Z A N N i Vv Py oO ie cm io Js 7a O 4 4 Lo A medicao A medicao j indica indica corrente corrente Elas causam variacdo no campo magnético através da bobina 306 Física III 3 Quando se mantém fixo em um dado nível a corrente cai para zero 4 Mantendo a bobina em um plano horizontal comprimimos as espiras para diminuir a área da seção reta da bobina O galvanômetro indica uma corrente somente durante a deformação e não antes ou depois dela Quando fazemos a área voltar ao tamanho original surge uma corrente induzida em sentido con trário ao anterior porém somente enquanto a área da bobina estiver variando 5 Quando giramos a bobina alguns graus em torno de um eixo horizontal o galvanômetro indica uma corrente durante a rotação no mesmo sentido da corrente indicada durante a diminuição da área Quando giramos a bobina de volta para a posição original surge uma corrente induzida em sentido contrário ao da rotação anterior 6 Quando retiramos subitamente a bobina de dentro do campo magnético surge uma corrente induzida no mesmo sentido da corrente indicada durante a di minuição da área 7 Quando diminuímos o número de espiras da bobina desenrolando uma ou mais espiras surge uma corrente induzida no mesmo sentido da corrente indicada durante a diminuição da área Quando enrolamos mais espiras na bobina surge uma corrente induzida em sentido contrário ao da corrente obtida durante a diminuição do número de espiras 8 Se desligarmos o eletroímã momentaneamente surge uma corrente induzida em sentido contrário ao da corrente obtida quando ligamos o eletroímã 9 Quanto mais rápido fazemos qualquer uma das ações descritas nos itens ante riores maior é o módulo da corrente induzida 10 Se repetirmos todas as experiências descritas nos itens anteriores com outra bobina de outro material com a mesma forma porém com outra resistência verificaremos que a corrente em cada caso será inversamente proporcional à resistência total do circuito Isso mostra que a fem induzida não depende do material da bobina mas apenas de sua forma e da variação do fluxo magnético O fenômeno comum a todas essas experiências descritas anteriormente é a va riação do fluxo magnético FB através da bobina conectada ao galvanômetro Em cada um dos casos analisados o fluxo magnético varia porque existe um campo magnético variável em função do tempo ou porque a bobina se move através de um campo magnético não uniforme Mais do que isso em todas as situações anteriores a fem induzida é proporcional à taxa de variação do fluxo magnético FB através da bobina O sentido da fem induzida depende do aumento ou da diminuição do fluxo magnético Se o fluxo for constante não existe fem induzida As fems induzidas possuem um grande número de aplicações práticas Se você estiver lendo estas palavras em um ambiente fechado provavelmente estará usando as fems induzidas neste exato momento Na estação de força que abastece seu bairro um gerador elétrico produz uma fem através do fluxo magnético que per corre as bobinas Na próxima seção veremos em detalhes como isso ocorre Essa fem fornece a voltagem entre os terminais das tomadas na parede da sua casa e essa voltagem fornece energia para a sua luminária A fem induzida magneticamente assim como a fem discutida na Seção 254 resulta sempre da ação de forças não eletrostáticas Devemos distinguir claramente um campo elétrico produzido por cargas de acordo com a lei de Coulomb de um campo elétrico produzido por um campo magnético variável Voltaremos a comen tar essa distinção mais adiante neste capítulo bem como no próximo 292 LEI DE FARADAY O fenômeno comum em todos os efeitos de indução é a variação do fluxo magné tico através de um circuito Antes de enunciar a lei física simples que sintetiza todas as experiências descritas na Seção 291 inicialmente vamos fazer uma revisão do Figura 292 Uma bobina em um campo magnético Quando o campo magnético é constante não existe nenhuma corrente induzida e a forma a orientação e a posição da bobina permanecem constantes Quando alteramos qualquer um desses três fatores surge uma corrente induzida B S 0 S N 0 BookSEARSVol3indb 306 101115 704 PM Capitulo 29 Indugao eletromagnética 307 conceito de fluxo magnético z introduzido na Segao 273 Paraum elemento de Figura 293 Calculo do fluxo érea infinitesimal dA em um campo magnético B Figura 293 o fluxo magnético gnético através de um elemento 2 Z de drea dz através da area é dado por BdA iB d BdABdABdAcos Bl J 5 em que B é 0 componente de B perpendicular a4 superficie do elemento de area e dA i é 0 angulo entre B e dA Como no Capitulo 27 tome cuidado para distinguir as d d f d fl Sti 1 yi uas grandezas que usam a letra grega fi 6 e Pg O fluxo magnético total Bz dA através de uma area finita é a integral da expressAo anterior sobre a area considerada Pg fe dA Je dA cos p 291 O fluxo magnético através de um elemento de area dA Quando B for uniforme ao longo de uma Area plana A entao d BdA BdA BdAcosd BABAcosd 292 A Figura 294 revisa as regras para uso da Equagao 292 ATENGAO Escolha do sentido de dA ou A Nas equacées 291 e 292 devemos tomar cuidado para definir os sentidos dos vetores dA e A de modo inequivoco Existem sempre dois sentidos para a direcao perpendicular de uma superficie e o sinal do fluxo magné tico dependera do sentido positivo escolhido Por exemplo na Figura 293 escolhemos d A apontando no sentido de baixo para cima de modo que é menor que 90 e B dA é positivo Também poderiamos ter escolhido para dA o sentido de cima para baixo nesse caso d seria maior que 90 e B dA seria negativo Ambas as escolhas sao igualmente boas mas feita a escolha devemos nos ater a ela Enunciado da lei da indugao de Faraday Lei de Faraday a ae 6 dada pela taxa de variagado a fem induzida em 4 a dPp do fluxo magnético com o sinal 293 uma espira fechada dt negativo através da area delimitada pela espira Para entendermos o sinal negativo precisamos introduzir uma convengao de sinais para a fem Porém primeiro vamos fornecer um exemplo para mostrar como essa lei se aplica Figura 294 Calculo do fluxo de um campo magnético uniforme através de uma area plana Compare com a Figura 226 que indica as regras para o calculo do fluxo de um campo elétrico uniforme Superficie diretamente frontal ao Superficie inclinada a partir de uma orientacgio Superficie perpendicular ao campo magnético campo magnético diretamente frontal por um Angulo BeA sao perpendiculares 0 angulo BeA sao paralelos 0 angulo entre B O angulo entre Be A é d entre BeA é o 90 eAéd 0 oo O fluxo magnético Pp BA BAcosd O fluxo magnético O fluxo magnético Pg BA BA BA BAcos90 0 OO o i J eam 7 DO z o gp 2 Ol Zo A Zo AY 4 rs S 2 YY 308 Fisica Ill ASUS CORRENTE INDUZIDAE FEM INDUZIDA EM UMA ESPIRA Na Figura 295 0 campo magnético entre os polos do eletroima b Passando para uma espira isolante tornamos a resisténcia permanece sempre uniforme porém seu mddulo aumentaauma da espira muito alta A lei de Faraday Equaca4o 293 nao en taxa crescente de 0020 Ts A area da espira condutora imersavolve de maneira alguma a resisténcia do circuito de modo que no campo é igual a 120 cm e a resisténcia total do circuito a fem nao se altera Porém a corrente diminuira visto que I incluindo o galvanémetro é igual a 50 a Calcule a fem R Supondo que a espira seja feita com um isolante perfeito de induzida e a corrente induzida no circuito b O que ocorreria resistncia infinita a corrente induzida sera igual a zero Essa com a fem induzida e a corrente induzida no circuito se aespira situagao é semelhante a uma bateria isolada que nfo esta ligada condutora fosse substituida por uma espira isolante a nada existe uma fem presente porém nenhuma corrente flui AVALIAR podemos verificar a consisténcia das unidades nos SOLUGAO calculos realizados observando que a relacao da forga magné i 4 x IDENTIFICAR E PREPARAR 0 fluxo magnético Pg que passa tica F qu B implica ane as unidades de B sao unidades sw mn de forga divididas pelas unidades de carga vezes velocidade pela espira varia em fungao da variagéo no campo magnético 1T 1 N1 C mis As unidades de fl nee Portanto havera uma fem induzida e uma corrente induzida LN 3 om s As unidades de fluxo magnetico sao na espira Calculamos z usando a Equagao 292 e a seguir a entao al T Lm 1 Nos mCea taxa de variagao clo fluxo lei de Faraday nos permite determinar Entao calculamos por 48NUCo possut unidades INmC 1 JIC 1V Portanto meio de IR em que R a resisténcia total do circuito que 2 Unidade de dPdt é o volt como exigido pela Equagao 293 inclui a espira Lembrese também de que a unidade de fluxo magnético 0 EXECUTAR a o vetor da area A da espira perpendicular ao weber Wb 1 T m 1 Wb portanto 1 V 1 Wbis plano da espira 0 sentido escolhido para A vertical de baixo Figura 295 Uma espira condutora em repouso em um campo para cima Os vetores Ae B sao paralelos e B uniforme logo magnético crescente o fluxo magnético através da espira é Pg B A BA cos 0 BA A rea A 0012 m é constante portanto a taxa de variagao do fluxo magnético é Ss A 120cm 0012 m d dBA dB jj A 0020 Ts 0012 m aB Ht A ran s p 02020 Ts Ya 24 X 10 4yv 024 mV CP a 1 Resisténcia total no circuito OTST e medidor 500 Esse resultado desconsiderando um sinal que ainda nao discu a timos é o valor da fem induzida A corrente induzida corres if Ve pondente é ry Zl pb k AWN iV 48 X 10 A 0048 mA 4 0048 m R 50 0 Sentido da fem induzida Podemos determinar o sentido de uma fem induzida ou uma corrente induzida aplicando a Equacao 293 e algumas regras simples Vejamos aqui 0 procedimento 1 Defina um sentido positivo para o vetor area A 2 A partir das diregdes de Ae do campo magnético B determine o sinal do fluxo magnético de Dz e sua taxa de variacdo dPdt A Figura 296 mostra diversos exemplos 3 Determine o sinal da fem induzida ou da corrente induzida Quando o fluxo esta aumentando ddt é positivo entéo a fem ou a corrente induzida é negativa quando o fluxo esta diminuindo ddt é negativo e a fem ou a corrente indu zida é positiva 4 Finalmente determine o sentido da fem ou da corrente induzida usando a regra da mao direita Dobre os dedos de sua mao direita em torno do vetor A mantendo o polegar apontando no sentido de A Se a fem ou a corrente induzida no circuito positiva ela possui 0 mesmo sentido dos seus dedos dobrados se a fem ou a corrente induzida no circuito é negativa ela possui sentido contrario No Exemplo 291 no qual A esta orientado para cima uma positiva seria orientada no sentido antihorario em torno da espira observandose a espira de Capitulo 29 Indugao eletromagnética 309 Figura 296 O fluxo magnético esta se tornando a mais positivo b menos positivo c mais negativo e d menos negativo Logo Pp esta crescendo em a e em d e esta diminuindo em b e em c Em a e em d a fem negativa ela oposta ao sentido dos dedos dobrados da sua mo direita quando seu polegar aponta ao longo de A e em b e c a fem é positiva no mesmo sentido dos dedos dobrados a b B A A aumentando diminuindo b é Ye O fluxo é positivo Pp 0 O fluxo é positivo Pz 0 e esté se tornando mais positivo dPdt 0 e esté se tornando menos positivo dPpdt 0 A fem induzida é negativa 0 A fem induzida é positiva E 0 d 5 eC B B aumentando diminuindo O fluxo é negativo Pp 0 O fluxo é negativo Dg 0 e esté se tornando mais negativo dPpdt 0 e esté se tornando menos negativo dDpdt 0 A fem induzida é positiva E 0 A fem induzida é negativa E 0 cima para baixo Os vetores A e B estao orientados de baixo para cima neste Z we 2 DADOS MOSTRAM exemplo de modo que é positivo o médulo de B esta aumentando logo d pdt positivo Assim pela Equacao 293 no Exemplo 291 possui sinal Inducao magnética negativo Seu sentido real é portanto hordrio em torno da espira observada de Quando os alunos recebiam cima para baixo um problema envolvendo fem Se a espira indicada na Figura 295 é condutora essa fem produz uma corrente induzida e correntes a a induzidas mais de 68 induzida em sentido horario Essa corrente induzida gera um campo magnético adi davam uma resposta incorreta Latravés d da mao direita descrita na Segdo 285 most p cional através da espira e a regra da mAo direita descrita na Secao 285 mostra que TERS COTTAGE o campo Possul sentido oposto ao do campo magnético crescente externo produzido ener tae aca pelo eletroima Tratase de um exemplo da lei de Lenz segundo a qual todo efeito variacaio no fluxo magnético de indugdo possui sentido oposto a causa que o produziu neste caso a causa 0 que atravessa uma espira aumento do fluxo produzido pelo eletrofma através da espira Estudaremos essa induz uma fem na espira lei detalhadamente na proxima secio Isso pode incluir girala em Convidamos vocé a conferir os sinais de cada fem e corrente induzida para Se ee tae alterar a forma dela a lista de experiéncias mencionadas no final da Segdo 291 Por exemplo em 4 um campo magnético constante quando inclinamos ou comprimimos a bobina oe ee uxo indicad Figura 292 fazendo o fluxo magnético diminuir através dela a fem magneético Quando voce indica ana migura Taze 00 UXO ag L HmUnUt escolhe o sentido do vetor e a corrente induzida possuem sentidos antihordrios observandose a bobina de drea A para uma espira deve cima para baixo usdlo de modo consistente nos calculos de fluxo ATENGAO As fems induzidas s4o provocadas por variacées no fluxo Visto que o fluxo magnético desempenha um papel crucial na lei de Faraday vocé pode pensar que é o fluxo a causa da fem induzida e que é possivel surgir uma fem toda vez que um campo magnético estiver no interior de um circuito Contudo a Equacao 293 mostra que somente a variacdao do fluxo através do circuito e nao o proprio fluxo pode induzir uma fem no circuito Quando o fluxo magnético através de um circuito for constante com valor posi tivo negativo ou nulo nao havera nenhuma fem induzida 310 Fisica Ill No caso de uma bobina com N espiras idénticas supondo que o fluxo magné tico varie com a mesma taxa através de todas as espiras a taxa de variacao total através de todas as espiras é N vezes maior que a taxa através de uma tinica espira Se z 0 fluxo magnético através de cada espira a fem total em uma bobina com N espiras é dada por e vit B dt 294 Conforme dissemos na introdugao deste capitulo a fem induzida desempenha um papel primordial na geracao de energia elétrica para uso comercial Nos exerci cios seguintes apresentaremos diversos métodos para a produgao de fem mediante a variacao do fluxo através do circuito ESTRATEGIA PARA A SOLUGAO DE PROBLEMAS 291 LEI DE FARADAY IDENTIFICAR os conceitos relevantes a lei de Faraday se baixo Escolha um sentido e mantenha a consisténcia até o aplica quando ha variagéo no fluxo magnético Para usar a final do problema lei certifiquese de que é possivel identificar uma area pela EXECUTAR a solucdo conforme segue qual passa um fluxo de campo magnético Em geral essa as tn 1 Calcule o fluxo magnético usando a Equacao 292 se B area é a confinada a uma espira que geralmente é feita de Z for uniforme pela area da espira ou a Equagao 291 se ele material condutor embora nem sempre veja 0 item b do as nao for uniforme atentando ao sentido escolhido para o Exemplo 291 Identifique as variaveisalvo ey PREPARAR o problema por meio das seguintes etapas 2 Calcule a fem induzida usando a Equacao 293 ou se 0 1 A lei de Faraday relaciona a fem induzida a taxa de variagao condutor for uma bobina com N espiras a Equagao 294 do fluxo magnético Para calcular essa taxa de variacdo Aplique a regra eS tS descrita logo apés o Exemplo primeiro vocé deve entender qual é a causa da variacao do 291 para determinar sentido ee da fem P 3 Se aresisténcia do circuito é conhecida vocé pode calcular fluxo O condutor esta se movendo ou mudando de orien a oe 2 oar o modulo da corrente induzida J usando JR tagéo O campo magnético esta variando 2 A diregao do vetor area A ou dA sempre deve ser perpen AVALIAR sua resposta verifique os resultados obtidos em re dicular ao plano da area Note que sempre ha duas opgdes lagaio a adequagio das unidades e confira de novo se vocé de sentido Por exemplo se o plano da area horizontal A aplicou corretamente a regra dos sinais ao calcular o fluxo pode apontar diretamente para cima ou diretamente para magnético e a fem induzida BATES MODULO E SENTIDO DE UMA FEM OU Uma bobina com 500 espiras circulares de raio igual a 400 cm ATENGAO Lembrese de como é definido Vocé pode ficar colocada entre os polos de um grande eletroima onde Ocampo tentado a afirmar que 60 neste problema Neste caso magnetico uniforme forma um angulo de 60 com plano jembrese que é 0 angulo entre A e B ndo o angulo entre B da bobina O campo magnético diminui com uma taxa iguala 49 plano da espira 0200 Ts Quais séo o médulo e o sentido da fem induzida De acordo com a Equagao 294 a fem induzida na bobina de SOLUGAO N 500 espiras é IDENTIFICAR E PREPARAR a variavelalvo do problema é a d dB fem induzida pela variacdo do fluxo magnético através da bobina E N a N ah Acos O fluxo varia porque o campo magnético diminui em amplitude 5 Escolhemos 0 sentido do vetor A como indicado na Figura 297 300 0200 Tsar 00400 mcos 30 E x we 0435 V ssa opcéo fornece uma geometria muito similar 4 da Figura 296b Essa figura ajudaré a determinar o sentido da fem induzida Note que a resposta é positiva Isso significa que quando apon EXECUTAR o campo magnético é uniforme pela espira porisso tamos o polegar da mio direita no sentido do vetor area A 30 podemos calcular o fluxo usando a Equagao 292 g BAcos abaixo do campo B na Figura 297 0 valor positivo de estd no d em que 30 Nessa expresso a tinica grandeza que varia sentido dos dedos dobrados da sua mAo direita Se vocé visualizar em fungao do tempo é o mddulo B do campo de modo que dPza bobina pelo lado esquerdo na Figura 297 e olhar no sentido de dt dBdtA cos A a fem tera sentido horario Continua Capitulo 29 Indugao eletromagnética 311 Continuagdao AVALIAR se as extremidades do fio estiverem conectadas jun Figura 297 Nosso esquema para este problema tas o sentido da corrente na bobina tera o mesmo sentido da fem ou seja sentido horario olhandose pelo lado esquerdo 7 Y da bobina Uma corrente induzida no sentido horario aumenta 0 Z Z fluxo magnético através da bobina e portanto tende a se opor 4 7 Z diminuica4o do fluxo total Este é um exemplo da lei de Lenz que Z Ko Z discutiremos na Segao 293 N Z i Ae s Y Z Z A Figura 298a indica uma versao simples de um alternadorum inimo quando a espira esté paralela a B b 90 ou 270 e Bg dispositivo que gera uma fem Fazemos uma espira retangular gig variando mais rapidamente Verificamos que a fem induzida girar com velocidade angular w em torno do eixo indicadoO pao depende da forma da espira mas apenas de sua Area campo magnético B é uniforme e constante No instante t 0 Podemos aproveitar o alternador como uma fonte de fem para um 0 Determine a fem induzida circuito externo usando dois anéis deslizantes que giram acopla dos as extremidades da bobina como indica a Figura 298a Os SOLUGAO anéis deslizam sobre dois contatos fixos chamados de escovas IDENTIFICAR E PREPARAR 0 campo magnético BeadareaA da que estao conectados aos terminais de saida a e b Como a fem in espira sao constantes mas 0 fluxo através da espira varia porque duzida varia senoidalmente a corrente no circuito é uma corrente ela gira e portanto o angulo entre B eo vetor drea A varia ernada que também varia senoidalmente em médulo diregao Figura 298a Como a velocidade angular é constantee0 sentido A amplitude da fem pode ser aumentada elevandose em f 0 0 Angulo em funcio do tempo ot a velocidade da rotag4o o modulo do campo magnético a area EXECUTAR 0 campo magnético é uniforme pela espira portanto da espira ou o nimero N de espiras como indica a Equagao 294 o fluxo magnético é g BA cos BA cos wt Logo pela lei Os alternadores sdo usados em automéveis para gerar correntes de Faraday Equaciio 293 a fem induzida é necessarias na igniéo nas l4mpadas e nos sistemas de entrete nimento O dispositivo é ligeiramente diferente do descrito neste e dz d BAcoswt wBAsent exemplo em vez de fazer uma espira girar no interior de um dt dt campo magnético a espira permanece fixa e um eletroima gira A rotag4o é produzida por uma correia que liga 0 alternador ao AVALIAR a fem induzida varia senoidalmente com 0 tempo eixo do motor Contudo o resultado é o mesmo 0 fluxo magné Figura 298b Quando o plano da espira perpendicular a B f tico através da espira varia senoidalmente produzindo uma fem 0 ou 180 Bz atinge seus valores maximo e minimo Para esses que também varia senoidalmente Alternadores maiores desse instantes a taxa de variagao instantanea do fluxo é igual a zero mesmo tipo s4o usados em usinas geradoras de energia elétrica assim como Reciprocamente possui seus valores maximoe Figura 299 Figura 298 a Diagrama esquematico de um alternador Uma espira condutora gira em um campo magnético produzindo uma fem As conexGes das extremidades da espira com 0 circuito externo so feitas por meio de dois anéis deslizantes colocados nessas extremidades O sistema é indicado no instante para o qual o angulo wt 90 b Grafico do fluxo magnético através da espira e da fem resultante nos terminais a e b indicando também as posig6es correspondentes da espira durante uma rotagéo completa a b Ce Ge Eee a vista x perpendicular Fluxo diminuindo Fluxo aumentando Pe muito rapidamente muitorapidamente 6 maior fem positiva maior fem negativa Escova i Fluxo em seu valor Fluxo em seu valor Anéis A VA E dPdt negativo maximo positivo maximo deslizantes K E Dp a fem é nula i a fem é nula 4 Escova i x fo t a b 0 Continua 312 Fisica lll Continuagdo Figura 299 Um alternador comercial usa FR muitas espiras enroladas em uma estrutura y com formato de barril chamada rotor O rotor e o fio da espira permanecem autre ere ry estaciondrios enquanto os eletroimas aaa giram em torno de um eixo n4o mostrado que passa pelo centro do rotor A fem 4 induzida resultante é muito maior do que eg seria possivel com uma Unica espira gf i WN Meh s thd 9 BATES GERADOR Il UM GERADOR DE CORRENTE CONTINUAE FEM INDUZIDAEMUM MOTOR O alternador do Exemplo 293 produz uma fem que varia senoi termos N espiras Sem 0 comutador a fem teria sinais alternados dalmente e portanto a corrente induzida é alternada A Figura positivo e negativo e um valor médio igual a zero Figura 298b 2910a mostra um gerador de corrente continua cc que produz Mas com o comutador a fem nunca negativa e seu valor médio uma fem que sempre possui 0 mesmo sinal O arranjocomum positivo Figura 2910b Usando o resultado do Exemplo 293 anel dividido em duas metades denominase comutador ele in determinaremos uma expressio para esse valor médio e explici verte as conex6es do circuito externo quando a fem se inverte taremos essa expressao para a velocidade angular w A fem resultante indicada na Figura 29 10b Um gerador ce EXECUTAR comparando as figuras 298b e 2910b verificamos comercial possui um numero grande de bobinas e de segmen P o que a fem induzida no motor é precisamente N vezes o valor ab tos no comutador esse dispositivo achata as pontas na fem de 2 soluto da fem encontrada para um alternador no Exemplo 293 modo que a voltagem nos terminais do gerador além de nao B 50 294 El NoBAl Lp mudar de sinal é praticamente constante O dispositivo do tipo 0M qnagae oe wbaisen on Para encontrarmos a escovacomutador é semelhante ao do motor de corrente continua f induzida média substituimos sen wil pelo seu valor médio discutido na Segao 278 A fem induzida no motor é exatamentea O valor médio da fungao seno pode ser obtido integrandose mesma induzida pelo fluxo magnético através da bobina que gira sen wl na metade do ciclo desde t 0 até t T2 mw e a Considere um motor com uma bobina quadrada com 100 cm seguir dividindo pelo intervalo de tempo 77w Na primeira me de lado e 500 espiras Se o campo magnético possui médulo de tade do ciclo a funcdo seno positiva logo lsen wfl sen wf 0200 T qual deve ser a velocidade de rotagao para que afem portanto encontramos induzida média do motor seja igual a 112 V I aie senwtdt 2 SOLUCGAO sen wt meq t 7 IDENTIFICAR E PREPARAR no que se refere a espira giratoria esta situagao é a mesma que a do Exemplo 293 exceto por agora Figura 2910 a Diagrama esquematico de um gerador cc usando um comutador feito com um anel dividido As duas metades do anel est4o presas nas extremidades da espira e giram com ela b Grafico da fem resultante nos terminais a e b Compare com a Figura 298b f w a Gd b Espira ae NEE B B vista i perpendicular EP E ronal gh PONS Yh 7 Escova Ne t Dy a rs b Comutador Continua Capitulo 29 Indugao eletromagnética 313 Continuagdao A fem induzida média é portanto a112 V 176 rads 2NwBA 2500 0200 T 0100 m Emed Pelo Exemplo 291 vemos que 1 V 1 Wbs 1 T ms Explicitando w obtemos AVALIAR a fem induzida média é diretamente proporcional a w mE Logo quanto menor for a velocidade angular menor sera 0 valor med da fem induzida e maior a probabilidade de 0 motor queimar 2NBA conforme vimos no Exemplo 2711 Seco 278 ASU GERADOR Ill UM GERADOR COM HASTE OES TAN nnn Na Figura 2911 indicamos um condutor em forma de U em um Lv dt a E B BLv campo magnético B uniforme e perpendicular ao plano da figura dt direcionado para dentro da pagina Colocamos uma haste meta lica deslizante de comprimento L entre os dois bragos doconduO sinal de menos significa que o sentido da fem é antihordrio tor formando um circuito a seguir fazemos a haste se deslocar em torno da espira A corrente induzida também antihoraria para a direita com velocidade constante U Isso faz surgir uma como indica a figura fem e uma corrente induzida razdo pela qual esse dispositivo AVALIAR note que a fem de um gerador com haste deslizante chamado de gerador com haste deslizante Determine o médulo permanece constante enquanto a velocidade U constante Nessas a direcdo e o sentido da fem induzida resultante circunstancias o gerador com haste deslizante funciona como um gerador de corrente continua Nao é um dispositivo muito pratico SOLUGAO porque a haste eventualmente se move para além do condutor TT oe em forma de U e perde contato fazendo com que a corrente IDENTIFICAR E PREPARAR 0 fluxo magnético através do cir pare de fluir cuito esta variando porque a rea da espira delimitada a direita pela haste em movimento esta aumentando A varidvelalvo do Figura 2911 Um gerador com haste deslizante O problema é a fem induzida nessa espira em expansio O campo campo magnético B o vetor area A estao entrando magnético é uniforme sobre a rea da espira por isso podemos no plano da pagina O aumento do fluxo magnético calcular o fluxo magnético usando g BA cos Escolha o decorrente do aumento da area induz uma fem e 22 a uma corrente vetor area A entrando no plano da pagina paralelamente ao vetor B Com isso uma fem positiva sera aquela orientada no sentido vdt hordrio em torno da espira E possivel verificar isso com a regra x xX xX X xX X fx 7 x xX xX da mao direita Usando a mao direita aponte o polegar para den xf x yo x ib x k x tro da pagina e dobre os dedos como na Figura 296 B if EXECUTAR como B e A apontam no mesmo sentido o angulo XX xX XxX xX BX 7 x Kk xX 0e z BA O médulo do campo magnético B constante sells xe A x se Me portanto a fem induzida é dada por i xx xX Gl x x x fF x kK x dz dA B x xX XK X KX kK X KX KX X XK dt dt Para calcular dAdt note que em um intervalo de tempo df a haste deslizante se desloca por uma distancia v dt Figura 2911 e a area da espira aumenta em dA Lu dt Logo a fem induzida é BAU CEEEM TRABALHO E POTENCIANO GERADOR COM HASTE DESLIZANTE i nsnnnmnnnn No gerador com haste deslizante do Exemplo 295 ocorre uma SOLUGAO dissipagao de energia no circuit por causa de sua resistncia pENTIFICAR E PREPARAR as varidveisalvo deste problema SejaRa resistncia do circuito formado pelo condutor emforma ga as taxas de dissipacdo da energia e do trabalho realizado de U conectado as extremidades da haste deslizante parauma A energia se dissipa no circuito a uma taxa Paissipada PRA dada Posigao no movimento da haste Determine ataxadeenergia corrente Jno circuito igual a EVR encontramos uma expressao dissipada no circuito e a taxa do trabalho realizado para deslocar para a fem induzida nesse circuito no Exemplo 295 Existe uma a haste através do campo magnético forga magnética atuando sobre a haste dada por F IL X B Continua 314 Fisica Ill Continuagdao o vetor L aponta ao longo da haste no sentido da corrente A ATENGAO Naose pode violar a conservacdo de energia Vocé Figura 2912 indica que essa forga possui sentido contrério ao poderia pensar que invertendo o sentido de B ou de U seria da velocidade U para que o movimento seja mantido 0 que es possivel obter uma forga magnética F IL X B no mesmo tiver empurrando a haste precisa aplicar uma forga de mesmo sentido de v Isso seria um belo truque Quando a haste comeca médulo no sentido de U Essa forea realiza trabalho a uma taxa Se mover o fluxo magnético variavel induz uma fem e uma Praplicada Fv corrente e sea forga magnética tivesse 0 mesmo sentido da EXECUTAR inicialmente calcularemos Pyissipada Pelo Exemplo velocidade ela produziria uma aceleragao da haste aumentando 295 BLv Logo a corrente na haste é J VR BluR ainda mais a femea corrente até que a velocidade da haste fosse Portanto tao elevada que produzisse energia elétrica a uma taxa prodigio samente alta Isso parece ser bom demais para ser verdade isso 5 Blv 2 B27 V2 violaria a lei da conservacao da energia Quando o sentido de B Paissipada 1 R 2 R RR se inverte os sinais da fem e da corrente induzida se invertem e portanto o sentido de L de modo que a forga magnética ainda se Para calcular Pypticada Primeiro calculamos 0 médulo de R op6e ao movimento da haste um raciocinio semelhante continua IL X BComo L eB sio perpendiculares esse médulo é dado por valido se inyertermos 0 sentido de v BLv BPv Figura 2912 A forca magnética FILXB que atua FILB p LB R sobre a haste em fungdo da corrente induzida é orientada para a esquerda ou seja contraria ao vetor U A forga aplicada tem 0 mesmo modulo e a taxa de trabalho rea x X xX X X KX X X X XK lizado xx x fx xK x Wie x x BLv B Papticada FU xx x x x x XFX IIfgx x xxX x xX xX x x Xx x x AVALIAR a taxa com que 0 trabalho é realizado é exatamente yl fse sc ese we ef wo igual a taxa de dissipagao de energia na resisténcia x xX xX X X X KX K XK K X Geradores como conversores de energia O Exemplo 296 mostra que o gerador com haste deslizante nao pode produzir energia elétrica espontaneamente a energia é fornecida por uma fora externa que mantém a haste se movendo com velocidade constante O que 0 gerador faz converter uma forma de energia em outra diferente A igualdade entre a taxa de fornecimento de energia mecdnica ao gerador e a taxa de dissipacao da energia elétrica vale para todos os tipos de gerador incluindo o alternador descrito no Exemplo 293 Estamos desprezando os efeitos do atrito nos mancais do alterna dor ou sobre os trilhos do condutor em forma de U no caso do gerador com haste deslizante A energia dissipada pelo atrito nao esta disponivel para ser convertida em energia elétrica de modo que nos geradores reais 0 projeto é feito de modo a minimizar as perdas pelo atrito No Capitulo 27 afirmamos que a forca magnética sobre uma carga que se move nunca pode realizar trabalho Contudo possivel pensar que a forga magnética F IL X B do Exemplo 296 estd realizando um trabalho negativo sobre a corrente que circula na haste quando ela se desloca em contradiAo a nossa afir macao anterior Contudo o trabalho realizado pela forca magnética é de fato igual a zero As cargas que dao origem 4 corrente na barra da Figura 2912 possuem um componente vertical da velocidade que produz um componente horizontal da forga sobre essas cargas Portanto existe um deslocamento horizontal das cargas no interior da haste visto que o lado esquerdo fica positivamente carregado e 0 ee Jado direito negativamente carregado O resultado é um componente horizontal x x Be By x x docampo elétrico perpendicular ao comprimento da haste analogo ao efeito Hall cS descrito na Seco 279 E esse campo no mesmo sentido do movimento da haste a 2 que produz o trabalho realizado sobre as cargas méveis da haste e indiretamente x ae sobre os dtomos que a constituem x xX kX K K KX K K XK K Bobina circular Bobina comprimida TESTE SUA COMPREENSAO DA SEGAO 292 A figura ao lado mostra uma bobina sendo em formato oval comprimida em um campo magnético uniforme a Enquanto a bobina é comprimida a Capitulo 29 Indugao eletromagnética 315 fem induzida na bobina tem sentido i hordario ii antihorario ou 111 nulo b Quando a bobina atinge o maximo de compress4o a fem induzida na bobina tem sentido i horario ii antihordrio ou ili nulo 293 LEI DE LENZ A lei de Lenz é um método alternativo para determinar o sentido da fem ou da corrente induzida A lei de Lenz cujo nome devese ao fisico russo H F E Lenz 18041865 nao constitui um principio independente pois pode ser deduzida a partir da lei de Faraday Ela sempre leva ao mesmo resultado obtido quando usamos as regras de sinais introduzidas com a lei de Faraday contudo ela é mais facil de aplicar A lei de Lenz também nos ajuda a adquirir conhecimentos intuitivos dos diversos efeitos de induc4o e do papel desempenhado pela conservagao da energia A lei de Lenz afirma que O sentido de qualquer efeito de induc4o magnética é tal que ele se opde a causa que produz esse efeito A causa pode ser um fluxo que varia através de um circuito em repouso pro duzido pela variacao de um campo magnético um fluxo magnético varidvel gerado pelo movimento relativo de condutores que comp6em 0 circuito ou qualquer outra combinacao Quando o fluxo magnético varia através de um circuito em repouso como nos exemplos 291 e 292 a propria corrente induzida produz um campo magnético No interior da area delimitada pelo circuito esse campo oposto ao campo original quando 0 original esta crescendo porém possui 0 mesmo sentido do original quando ele esta diminuindo Ou seja a corrente induzida se op6e a variagdo do fluxo magnético através do circuito e ndo ao proprio fluxo Quando a variagao do fluxo magnético é produzida pelo movimento do condutor como indicam os exemplos 293 a 296 0 sentido da corrente induzida no condutor que se move tal que 0 sentido da forga magnética que atua sobre o condutor é sempre oposto ao sentido de sua velocidade Portanto a forga se opde ao movi mento do condutor que causou a corrente induzida Vimos isso explicitamente no Exemplo 296 para o gerador com haste deslizante Em todos esses casos a corrente induzida tende a manter 0 status quo opondose ao movimento ou contrariando a variacao do fluxo magnético A lei de Lenz também esta relacionada diretamente 4 conservagao da energia Caso a corrente induzida no Exemplo 296 fosse no sentido oposto ao indicado pela lei de Lenz a forca magnética produziria uma acelerag4o da haste aumentando indefinidamente sua velocidade sem nenhuma fonte de energia externa embora haja dissipaao de energia elétrica no circuito Isso seria uma clara violagao da conservacao da energia e nao ocorre na natureza BETTIE 61 DE LENZ EO GERADOR COM HASTE DESLIZANTE Na Figura 2911 a corrente induzida na espira produzumcampo adicional é para fora do plano da figura Tal sentido é oposto ao magnético adicional na area limitada pela espira O sentido da do campo magnético original de modo que ele tende a cancelar corrente induzida é antihordrio Portanto de acordo com ao efeito desse campo Essa conclusao é consistente com 0 que discussao feita na Segéo 285 0 sentido do campo magnético diz a lei de Lenz BETTIE 61 DE LENZ EO SENTIDODACORRENTE INDUZIDA Na Figura 2913 existe um campo magnético uniforme Batra SOLUCAO vés da espira O médulo do campo esté aumentando de modo Essa situacao andloga 4 do Exemplo 291 Secdo 292 De que existe uma fem induzida Use a lei de Lenz para determinar acordo com a lei de Lenz a corrente induzida deve produzir o sentido da corrente induzida resultante um campo magnético Bindurido NO interior da espira orientado Continua 316 Física III Lei de Lenz e resposta a variações do fluxo magnético Uma vez que uma corrente induzida sempre se opõe a qualquer variação de fluxo magnético através de um circuito como pode ocorrer alguma variação do fluxo A resposta é que a lei de Lenz fornece apenas o sentido da corrente induzida o módulo depende da resistência do circuito Quanto maior a resistência do circuito menor é a corrente induzida que se opõe a qualquer variação de fluxo e mais facilmente a variação do fluxo magnético pode ocorrer Se a espira da Figura 2914 fosse de madeira um isolante não existiria quase nenhuma corrente induzida em resposta à variação do fluxo através da espira Reciprocamente quanto menor a resistência do circuito maior é a corrente induzida e mais difícil se torna a variação do fluxo magnético através do circuito Supondo que a espira da Figura 2914 seja feita com um bom condutor surge uma corrente induzida toda vez que ocorre um movimento relativo entre o ímã e a espira Quando o movimento relativo termina a corrente induzida diminui rapidamente até zero pois a resistência da espira não é nula Um caso extremo ocorre quando a resistência do circuito é igual a zero Então a corrente induzida na Figura 2914 continuará a circular até mesmo depois que já não há mais fem induzida ou seja mesmo depois de cessado o movimento relativo Graças a essa corrente persistente verificase que o fluxo magnético através da espira é igual ao fluxo que existia antes do movimento relativo o que nos permite concluir que o fluxo magnético através de uma espira com resistência nula nunca varia Um material exótico chamado de supercondutor possui resistência igual a zero discutiremos as propriedades desse tipo de material na Seção 298 TESTE SUA COMPREENSÃO DA SEÇÃO 293 a Suponha que o ímã na Figura 2914a estivesse em repouso e a espira se movesse de baixo para cima A corrente induzida na de cima para baixo opondose à variação do fluxo Usando a regra da mão direita descrita na Seção 285 para o sentido do campo magnético gerado por uma espira circular induzido terá o sentido desejado se a corrente induzida tiver o sentido indicado na Figura 2913 A Figura 2914 mostra diversas aplicações da lei de Lenz para o caso semelhante de um ímã se movendo próximo de uma espira condutora circular Em cada um dos quatro casos indicados a corrente induzida produz um campo magnético adicional que se opõe à variação do fluxo através da espira produzida pelo movimento do ímã Figura 2913 A corrente induzida produzida pela variação de possui sentido horário se observada de cima para baixo O campo adicional induzido criado por ela é orientado de cima para baixo opondose à variação do campo B de baixo para cima I Binduzido Variação em B E S B aumentando S S Continuação Figura 2914 Sentidos das correntes induzidas quando um ímã se desloca ao longo do eixo de uma espira condutora Quando o ímã está em repouso não existe nenhuma corrente induzida v S S N I I I I a O movimento do ímã causa fluxo crescente de cima para baixo através da espira b O movimento do ímã causa fluxo decrescente de baixo para cima através da espira c O movimento do ímã causa fluxo decrescente de cima para baixo através da espira d O movimento do ímã causa fluxo crescente de baixo para cima através da espira O campo magnético induzido está orientado de baixo para cima para se opor à variação no fluxo Para produzir esse campo induzido a corrente induzida deve estar no sentido antihorário se observado de cima para baixo em relação à espira S N N S N S Binduzido S B S v S B S v S B S Binduzido S Binduzido S v S B S Binduzido S O campo magnético induzido está orientado de cima para baixo para se opor à variação no fluxo Para produzir esse campo induzido a corrente induzida deve estar em sentido horário se observado de cima para baixo em relação à espira BookSEARSVol3indb 316 101115 704 PM Capitulo 29 Indugao eletromagnética 317 espira i estaria no mesmo sentido indicado na Figura 2914a ii estaria no sentido oposto ao indicado na Figura 2914a ou iii seria nula b Suponha que o m4 e a espira na Figura 2914a se movessem de cima para baixo com a mesma velocidade A corrente induzida na espira i estaria no mesmo sentido indicado na Figura 2914a ii estaria no sentido oposto ao indicado na Figura 2914a ou 111 seria nula I Vimos varias situagdes em que ocorre 0 movimento de um condutorem um Figura 2915 Uma haste condutora campo magnético como nos casos dos geradores discutidos nos exemplos 293 a se movendo em um campo 296 Podemos compreender melhor a origem da fem induzida nessas situagdes 48netico uniforme a A haste inand f vee b d d A Fi a velocidade e 0 campo sao examinando as forgas magnéticas que atuam sobre as cargas do condutor I mutuamente perpendiculares gura 2915a mostra a mesma haste deslizante do Exemplo 295 destacada agora b Sentido da corrente induzida do condutor em forma de U O campo magnético B é uniforme e esta dirigido no circuito para dentro da pagina e deslocamos a haste para a direita com uma velocidade a Haste isolante em movimento constante 0 Uma particula com carga q no interior da haste sofre a agio de uma x x ax x forga magnética dada por F qv X B cujo mdédulo é F IglvB Na discussio g jwveeCargas na haste que faremos a seguir vamos supor g positivo nesse caso 0 sentido da forgaéde x Be movimento qu 5 baixo para cima ou seja de b para a B 4 sofrem agio de kgs x x yuma forga Essas forgas magnéticas produzem movimento das cargas na haste criando um 5 fica Bh v magnética Fs excesso de cargas positivas na extremidade superior a e de cargas negativas na Ldq extremidade inferior b Isso faz surgir um campo elétrico E no interior da haste x x no sentido de a para b contrario ao da forga magnética As cargas continuam a Fy gE a separagao ees x x XX resultante de se acumular nas extremidades da haste até que a forga elétrica orientada de cima Carga gera uma para baixo de mddulo gE seja exatamente igual a forga magnética orientada de x yc forga elétrica Fp baixo para cima de mdédulo qguB Entao gE quB e as cargas permanecem em b que cancela Fg equilibrio O médulo da diferenga de potencial V V V igual ao médulo do campo D Haste conectacla aum condutor elétrico E multiplicado pelo comprimento L da haste De acordo com a discussao a precedente E vB portanto B xx x TF x aX xX E U V EL vBL 295 XLP XXX xx I xx xX Lyx x x em que 0 ponto a possui um potencial maior que o do ponto b x x x x x bX X Suponha agora que a haste esteja deslizando sobre um condutor em repouso A fem do movimento na haste em em forma de U formando um circuito completo Figura 2915b Sobre as cargas movimento gera um campo elétrico nos condutores em repouso em forma de U nao existe nenhuma forca magnética no condutor estacionério porém as cargas nas vizinhangas de ae de b se redistribuem ao longo dos conduto res em repouso criando um campo eétrico no interior deles Esse campo produz uma corrente no sentido indicado A haste deslizante tornase uma fonte de forcga eletromotriz no interior dela as cargas se movem do potencial mais baixo para o mais elevado e no restante do circuito as cargas se deslocam do potencial mais elevado para 0 mais baixo Essa fem produzida pelo movimento sera designada por e chamada de fora eletromotriz do movimento De acordo com a discuss4o precedente o mddulo dessa fem é dado por Fem do movimento comprimento 7 Velocidade do condutor e velocidade do condutor E UBL Comprimento do condutor 296 Ce Médulo do campo magnético uniforme Isso corresponde a uma fora por unidade de carga de médulo vB que atua sobre uma distancia L ao longo da haste deslizante Chamando de R a resisténcia total 318 Fisica Ill dos condutores em forma de U com a haste a corrente J induzida no circuito é dada por vBL IR Esse resultado igual ao obtido na Secao 292 a partir da aplicacao da lei de Faraday e na realidade a fem do movimento é um caso particular da lei de Faraday Note que se expressarmos uv em metros por segundo B em teslas e L em metros concluimos que é dado em volts Lembrese de que 1 V 1 JC 1T ms A fem associada a haste deslizante na Figura 2915b é analoga 4 fem de uma bateria que tivesse seu terminal positivo no ponto a e seu terminal negativo no ponto b embora a origem de cada fem seja bastante diferente Em cada caso uma forga nao eletrostatica atua no circuito no sentido de b para a e a fem 0 traba lho realizado por essa forga por carga unitaria quando as cargas se deslocam de b para a no interior do dispositivo Quando o dispositivo é conectado a um circuito externo o sentido da corrente é de b para a no interior do dispositivo e de a para b no circuito externo Observe que uma fem do movimento também esta presente na haste que se move na Figura 2915a do mesmo modo que uma bateria possui uma fem mesmo quando ela nao faz parte de nenhum circuito O sentido da fem induzida na Figura 2915b pode ser obtido pela lei de Lenz mesmo quando como na Figura 2915a o condutor nao forma um circuito com pleto Nesse caso podemos imaginar um circuito fechado entre as extremidades do condutor e aplicar a lei de Lenz para determinar o sentido da corrente A partir dai é possivel deduzir a polaridade das extremidades do condutor no circuito aberto O sentido do polo ao polo é determinado pela corrente que fluiria no circuito caso ele estivesse fechado Fem do movimento forma generalizada Figura 2916 Calculo da fem do Podemos generalizar 0 conceito de fem do movimento para um condutor que movimento para uma espira de possui qualquer forma e que se desloca em qualquer campo magnético uniforme corrente em movimento A ou no supondo que 0 campo magnético em cada ponto nao varie com 0 tempo velocidade U pode ser diferente Fi 2916 P 1 t dl d dut tribuicdo df a fem é dad para diferentes elementos se a igura 16 Para um elemento o condutor a contribuigao dé a em ada espira estiver girando ou mudando Pelo modulo d multiplicado pelo componente de U X B a forga magnética por de forma O campo magnético unidade de carga paralela a dl ou seja B também pode ter diferentes valores em diferentes pontos ao 27 B re redor do lago dé 0 X B dl U i dut Z eae era es Para qualquer espira condutora fechada a fem é dada por move em um campo magnético B i Esse elemento da 3 espira possui comprimento Integral de linha por todos os earn da espira condutora fechada i ae velocidade v Fem do movimento 5 E oF eo Vetor comprimento i iB caso geral x B d do elemento condutor 297 Velocidade do Campo magnético na dl elemento condutor posicao do elemento B Calculéa fem do movimento produzida por este elgémento dé wx Bdl A expressao anterior parece muito diferente da expressao original da lei de Faraday dada pela Equacao 293 ddt Contudo na realidade essas duas S 4 Repita para express6es sao equivalentes E possivel demonstrar que a taxa de variacao do fluxo a xB cada elemento magnético através de uma espira que se move é sempre dada pela expressao com da espira sinal negativo indicada na Equacao 297 Portanto essa expressao fornece uma A fem do movimento total na espira Z ai ve forma alternativa para a lei de Faraday que geralmente é mais conveniente que a a integral das contribuigdes de todos os elementos original em problemas que envolvem condutores em movimento Contudo no caso c 6x Bal de condutores em repouso no interior de um campo magnético variavel a Equacgao 297 nao pode ser aplicada nesse caso ddt é a inica forma correta para expressar a lei de Faraday Capitulo 29 Indugao eletromagnética 319 ASU FEM DO MOVIMENTO NO GERADOR COM HASTE DESLIZANTE Considere 0 comprimento L da haste deslizante na Figura 29156 Ng expressao para a forca magnética F IL X Bo vetorL igual a 010 m a velocidade v igual a 25 ms a resisténcia total aponta no mesmo sentido da corrente induzida na haste de b da espira igual a 0030 B igual a 060 T Calcule afemdo para a na Figura 2915 A regra da mao direita para produtos movimento a corrente induzida e a forga que atua sobre ahaste yetoriais mostra que essa forca esta em sentido oposto ao movi mento da haste Como L e B sao perpendiculares o médulo da SOLUGAO forcga é dado por IDENTIFICAR E PREPARAR determinaremos a fem do mo F ILB 50A 010 m 060 T 030 N vimento pela Equagao 296 e a corrente a partir dos valores de Ee da resisténcia R A forga que atua sobre a haste é uma forga aya AR podemos conferir 0 resultado obtido para o sentido de magnética exercida por B sobre a corrente na haste essa forga F ysando a lei de Lenz Se tomarmos 0 vetor drea A apontando sera obtida por meio da formula F IL x B para dentro do plano da espira o fluxo magnético sera positivo EXECUTAR de acordo com a Equagao 296 a fem dada por e crescente enquanto a haste se move para a direita e aumenta a area da espira A lei de Lenz afirma que uma forga surgira para E vBL 25 ms 060 T 010 m 015 V P 4 sesame P se opor a esse aumento no fluxo Logo a forcga que atua sobre a A corrente induzida resultante na espira é dada por haste esta orientada para a esquerda no sentido contrdario ao seu movimento E 015 V 50A R 0030 O SAUCE UM DINAMO BASEADO NO DISCO DE FARADAY nnn A Figura 2917 mostra um disco condutor de raio R contido no AVALIAR podemos usar esse dispositivo como uma fonte de plano xy e girando com velocidade angular constantewemtorno femem um circuito completandoo com um circuito externo por do eixo Oz O disco esta em um campo magnético uniforme B meio de escovas estaticas indicadas pela letra b na figura que paralelo ao eixo Oz Determine a fem induzida entre 0 centroe estabelecem um contato entre 0 disco e seu eixo condutor como a periferia do disco mostrado Esse disco é conhecido como dinamo com o disco de Faraday ou gerador homopolar Diferentemente do alternador mnekn discutido no Exemplo 293 o dinamo obtido com o disco de SOLUGAO Z Faraday é um gerador de corrente continua ele produz uma fem IDENTIFICAR E PREPARAR uma fem do movimento esta pre constante no tempo Vocé capaz de usar a lei de Lenz para sente porque o disco condutor se move em relagéo ao campo B mostrar que considerando o sentido da rotacao na Figura 2917 A complicagao é que diferentes partes do disco se movem com o sentido da corrente deve ser de fato dado pelo sentido indicado diferent locidad d dendo di distancia do ei merediies Verociaads 0 Cependendd ce sua distancia do eto Figura 2917 Um disco condutor de raio R girando com uma de rotagéo Vamos tratar essa questéo considerando pequenos a PB Z oe velocidade angular w em um campo magnético B A fem é segmentos do disco e integrando suas contribuicgées para deter induzida em uma direcao radial do disco e produz uma minar a varidvelalvo que é a fem entre o centro ea periferiado corrente no circuito externo através de contatos deslizantes disco Considere 0 pequeno segmento de disco designado pelo designados pela letra b seu vetor velocidade U A forca magnética por unidade de carga nesse segmento é dada por U X B que aponta radialmente para Y fora do centro do disco Logo a fem induzida tende a fazer uma corrente fluir radialmente para fora o que nos diz que 0 percurso fp da parte do condutor que se move a considerar aqui é uma linha B reta que vai do centro para a periferia Podemos determinar a R fem de cada pequeno segmento de disco ao longo dessa linha B usando a expressao d BU X B dl ir int p e a seguir integrar para 3 encontrar a fem total p WI EXECUTAR 0 vetor de comprimento dl com comprimento dr Ue x aponta radialmente para fora no mesmo sentido de U X B Os vetores U e B so perpendiculares e o médulo de U é v wr o B we A velocidade de um segmento A fem total entre 0 centro e a periferia do disco 6 entao dE 4 radial Pequeno de comprimento wBrdr A fem total é dada pela integral de dE a partir do centro dr auma distancia r do centro 2 sp b é dada por v or r 0 até a periferia r R z x w A fem induzida através desse segmento é R 1 d vB dr oBr dr E wBrdr wBR 0 320 Fisica Ill TESTE SUA COMPREENSAO DA SEGAO 294 Ocampo magnético da Terra aponta para 0 norte magnético Para simplificar assumimos que o campo n4o possui componente vertical como ocorre préximo ao Equador a Se vocé segurar uma haste metdlica e caminhar no sentido leste como vocé deve orientar a haste para obter o valor maximo da fem do movi mento entre suas extremidades i De leste para oeste ii de norte para sul iii de cima para baixo iv obtémse a mesma fem do movimento seja qual for a orientagao b Como vocé deve segurar a haste para obter fem igual a zero enquanto caminha no sentido leste i De leste para oeste 11 de norte para sul iii de cima para baixo iv nenhuma dessas alternativas c Em qual sentido vocé deve seguir para que a fem do movimento através da haste seja igual a zero seja qual for a orientagéo dada a ela i Oeste ii norte iii sul iv em linha reta para cima v em linha reta para baixo I 295 CAMPOS ELETRICOS INDUZIDOS Figura 2918 a As espiras de um Quando um condutor se move em um campo magnético podemos entender a solenoide longo que conduz uma fem induzida com base nas forgas magnéticas que atuam sobre o condutor con corrente J que cresce a uma taxa dl forme descrito na Segao 294 Contudo também existe uma fem quando ocorre um dt O fluxo magnético no solenoide x cresce a uma taxa d pdt e esse fluxo magnético varidvel através de um condutor em repouso Qual é a forga que fluxo varidvel passa através da atua sobre as cargas ao longo do circuito nesse tipo de situagao espira Uma fem dpdt é Como exemplo considere a situacao ilustrada na Figura 2918 Um solenoide induzida na espira produzindo uma Jongo e fino com seao reta de area A com n espiras por unidade de comprimento corrente induzida I medida pelo é circundado em seu centro por uma espira condutora circular O galvanémetro G galvanémetro G b Vista mostrando a secio reta mede a corrente na espira A corrente J no enrolamento do solenoide produz um campo magnético B ao longo do eixo do solenoide cujo médulo B foi calculado no a Galvanometro dl Exemplo 289 Secao 287 B ugnI em que n 0 numero de espiras por unidade Espira dt de comprimento Desprezando 0 pequeno campo magnético fora do solenoide e I s tomando o vetor drea A no mesmo sentido de B o fluxo magnético z através da Solenoide ek C espira é dado por ces fia py py Dy BA juonlA Sy 2 Quando a corrente J do solenoide varia com o tempo o fluxo magnético Pz Este cilindro indica a regiao também varia e de acordo coma lei de Faraday a fem induzida na espira é dada por com campo magnético B b dz dl G E a HonAT 298 fre E Designando por R a resisténcia total da espira e por a corrente induzida na espira temos ER E Porém qual é a forca que atua sobre as cargas obrigandoas a se mover ao longo do circuito Nao pode ser uma forga magnética porque a espira nao esta em movi E mento nem mesmo esta dentro de um campo magnético Somos forgados a concluir que se trata de um campo elétrico induzido no condutor produzido pela variagado do fluxo magnético Os campos elétricos induzidos s40 muito diferentes dos campos elétricos causados por cargas que discutimos no Capitulo 23 Para ver isso note que quando uma carga g completa uma volta em torno da espira o trabalho total realizado pelo campo elétrico é igual ao produto da carga q pela fem Ou seja concluimos que 0 campo elétrico ndo é conservativo conforme a discussao feita na Secdo 231 porque a integral de linha de E ao longo de um percurso fechado nao é igual a zero Na verdade essa integral de linha que representa o trabalho realizado pelo campo elétrico induzido E por unidade de carga fornece a fem induzida pe di 299 De acordo com a lei de Faraday a fem é dada pela taxa de variacao do fluxo magnético com o sinal negativo através de uma espira Logo para esse caso po demos escrever a lei de Faraday na seguinte forma Capitulo 29 Indugao eletromagnética 321 Integral de linha do campo elétrico ao longo da curva Lei de Faraday srreeenedecreneny Negativo da taxa de variagao para uma curva de f E dl ad em fungao do tempo do 2910 integracAo estatica dt fluxo magnético através sen do percurso Note que a lei de Faraday é sempre verdadeira na forma ddt a forma indicada na Equagao 2910 vale somente quando o percurso usado na integragao permanecer estdtico Vamos aplicar a Equagéo 2910 a espira circular estatica indicada na Figura 2918b que possui raio r Como existe simetria cilindrica o campo elétrico E possui o mesmo médulo em todos os pontos do circulo e diregao tangente a circunferéncia em cada ponto A simetria também permitiria imaginar um campo radial mas a lei de Gauss exigiria a presenga de uma carga no interior do circulo porém nao existe nenhuma A integral de linha na Equagao 2910 é simplesmente igual ao mddulo E multiplicado pelo comprimento da circunferéncia 277 gE dl 2T7rEea Equagao 2910 fornece 1 d p 2ar dt 2911 Na Figura 2918b mostramos a direg4o e o sentido de E em diversos pontos da espira Sabemos que E deve ter o sentido indicado quando o campo Bnosolenoide Figura 2919 Aplicacdes de campos esta crescendo porque FE dl tem de ser negativo quando ddt positivo O létricos induzidos a Este mesmo raciocinio pode ser usado para determinar 0 campo elétrico induzido no tomevel hibrido possui tanto um ae motor a gasolina quanto um motor interior do solenoide quando o campo magnético B esta variando deixamos 08 gyétrico Quando o carro para as detalhes para vocé veja o Exercicio 2937 rodas fazem o motor se mover para tras de modo a atuar como um gerador A corrente induzida Campos elétricos nao eletrostaticos resultante é usada para recarregar as ate baterias do carro b O virabrequim Aprendemos que a lei de Faraday Equagao 293 é valida em duas situacgdes giratério de um avido monomotor bastante diferentes Em uma delas uma fem é induzida por forgas magnéticas que faz girar um imi que induz uma atuam sobre cargas quando um condutor esté em movimento através de um campo fem em uma bobina adjacente magnético Na outra um campo magnético varidvel com o tempo induz um campo 8ndo a faisca que ativa o elétrico em um condutor que esté em repouso e induz uma fem 0 campo E indu combustive Inos cilindros do motor Isso mantém o motor em zido mesmo quando nao existe nenhum condutor na regiao Esse campo elétrico E fyncionamento mesmo em caso de difere de um campo eletrostdtico em um aspecto importante ele ndo é conservativo falha no sistema elétrico do aviao ou seja a integral de linha gE dl ao longo de um percurso fechado nao é igual a zero portanto quando uma carga se desloca ao longo de um percurso fechado o a campo realiza um trabalho diferente de zero sobre a carga A partir disso concluise que o conceito de potencial desse campo nao faz sentido Tal campo é chamado de campo nAo eletrostatico Em contraste um campo eletrostdtico é sempre conser as n vativo conforme discutimos na Secgao 231 e sempre possui uma fungao potencial associada Apesar dessa diferenga o efeito fundamental de qualquer campo elétrico i é a forca elétrica F gE que atua sobre qualquer carga qg Essa relagao vale tanto para um campo conservativo oriundo de uma distribuicdo de cargas quanto paraum campo nao conservativo oriundo de um fluxo magnético variavel Portanto um campo magnético varidvel age como uma fonte que produz um tipo b ar Bees de campo elétrico que ndo podemos gerar com uma distribuiao de cargas estaticas ee j Além disso veremos na Segao 297 que um campo elétrico variadvel age como fonte i aoe geradora de um campo magnético Vamos explorar com mais detalhes essa sime j ud tria entre os dois campos nos estudos das ondas eletromagnéticas no Capitulo 32 Caso vocé ainda tenha dtivida sobre a realidade de um campo elétrico induzido magneticamente considere algumas das muitas aplicag6es praticas existentes Fi 5 al gura 2919 Os captadores de som em guitarras elétricas usam correntes induzidas i por bobinas captadoras estaticas mediante a vibragao de componentes ferromagné A 2 YY ticos em sua vizinhanga Os alternadores de muitos automdéveis empregam mas ou 322 Fisica Ill eletroimas girando para induzir correntes em bobinas estaticas Quer vocé observe quer nao os campos elétricos induzidos magneticamente desempenham um impor tante papel em nossa vida cotidiana Suponha que o longo solenoide da Figura 2918a seja enrolado 40 X 1077 WbA m 500 espiras m com 500 espiras por metro e a rea da seco reta seja de 40 cm A corrente em seu enrolamento esta crescendo a uma taxa igual a x 40 X 104 m 100 As 100 As a Determine o médulo da fem induzida na espira fora 6 6u do solenoide b Calcule 0 médulo do campo elétrico induzido 25 X 10 Wbs 25 X 10 V 25 pV na espira sabendo que seu raio igual a 20 cm b Por simetria a integral de linha gE dl possui valor abso a luto igual a 27rE qualquer que seja o sentido da integragéo em SOLUGAO torno da espira Igualamos esse resultado com o valor absoluto IDENTIFICAR E PREPARAR como na Figura 2918b 0 campo da fem logo magnético crescente no interior do solenoide provoca uma varia cao no fluxo magnético que passa pela espira e portanto induz E lEl 25 X 10 V 20 X 104Vm um campo elétrico E em torno da espira As varidveisalvo sao Qrr 2m20 X 107m a fem induzida e o médulo do campo elétrico E Usamos a Equagao 298 para determinar a fem A espirae o solenoidecom AVALIAR na Figura 2918b o fluxo magnético que entra no partilham o mesmo eixo central Portanto por simetria campo plano da figura esta crescendo De acordo com a regra da mao elétrico tangente a espira e possui o mesmo modulo E por toda direita para a fem induzida Figura 296 uma fem positiva pos a sua circunferéncia Portanto podemos usar a Equagao 299 para sui sentido hordrio em torno da espira o sinal negativo de determinar E mostra que a fem possui sentido antihordrio Vocé conseguiria EXECUTAR a pela Equacao 298 a fem induzida é demonstrar isso usando a lei de Lenz dg dl E Ot HonA TT TESTE SUA COMPREENSAO DA SEGAO 295 Ao sacudir um ma para a frente e para tras com a mAo vocé gerard um campo elétrico Em caso afirmativo esse campo elétrico sera conservativo I 296 CORRENTES DE FOUCAULT Nos exemplos dos efeitos da indug4o que estudamos as correntes induzidas estavam confinadas em percursos bem definidos em condutores e outros compo nentes que formam um circuito Contudo diversas partes de equipamentos elétricos possuem massas metdlicas que se deslocam no interior de campos magnéticos ou esto localizadas em campos magnéticos variaveis Nessas circunstancias podem surgir correntes induzidas que circulam ao longo do volume do material Como essas correntes volumétricas sao semelhantes aos redemoinhos das Aguas de um rio elas sao chamadas de correntes de redemoinho correntes parasitas ou correntes de Foucault Para exemplificar considere um disco metdlico girando em um campo magné tico perpendicular ao plano do disco porém confinado apenas a uma fracAo da area do disco como indica a Figura 2920a O setor Ob se desloca através do campo magnético e possui uma fem induzida através dele Os setores Oa e Oc nao estao no campo magnético mas permitem um caminho de retorno para que as cargas que se deslocaram no sentido de Ob possam retornar de b para O O resultado é 0 sur gimento de correntes de Foucault no disco como esquematizado na Figura 2920b Podemos usar a lei de Lenz para definir 0 sentido da corrente induzida nas vizinhangas do setor Ob Essa corrente deve sofrer a acdo da forga magnética F IL X B que se opée a rotacao do disco portanto essa forga deve ser orientada da esquerda para a direita na Figura 2920b Como B estd orientado para dentro do plano do disco a corrente e portanto L devem possuir um componente de cima para baixo As correntes de retorno voltamse para fora do campo portanto elas nao sofrem a aco de forcas magnéticas A interacgdo entre as correntes de Capitulo 29 Indugao eletromagnética 323 Foucault e o campo produz uma agao que tende a frear o disco Esse efeito pode Figura 2920 Correntes de Foucault ser usado para fazer uma serra elétrica parar de girar rapidamente quando ainduzidas em um disco metalico energia elétrica é cortada Freios que funcionam com correntes de Foucault sio 8tOrlo projetados para veiculos com alimentagao elétrica que se deslocam em alta velo a Um disco metélico girando em um cidade Eletroimas fixos nos vag6es induzem correntes de Foucault nos trilhos campo magnético os campos magnéticos resultantes criam forgas de frenagem sobre os eletrofmas e assim freiam o trem As correntes de Foucault apresentam muitas outras aplicag6es praticas Em fornos de indugao elas so usadas para aquecer materiais no interior de re cipientes completamente fechados para processos nos quais é preciso evitar qualquer risco de contaminacao dos materiais a serem aquecidos Os detectores de metal nos pontos de segurancga de embarque e desembarque de aeroportos a SS Figura 2921a funcionam porque as bobinas receptoras detectam as correntes a Ca c de Foucault induzidas em objetos metalicos Dispositivos semelhantes Figura 2921b s4o usados para detectar tesouros enterrados em caixas metdlicas ou Campo moedas perdidas p magnetico As correntes de Foucault também acarretam efeitos nao desejaveis Em um b Correntes de Foucault resultantes e transformador de corrente alternada os enrolamentos feitos sobre um nucleo de forca de frenagem ferro conduzem uma corrente que varia senoidalmente As correntes de Foucault produzidas no nticleo de ferro dissipam energia térmica com uma taxa PRetam bém induzem uma fem nao desejada contraria 4 das bobinas Para minimizar esses efeitos o nticleo é projetado para que os percursos das correntes de Foucault sejam os menores possiveis Descreveremos como isso é feito quando estudarmos com Correntes de Foucault detalhes os transformadores na Secdo 316 GI TESTE SUA COMPREENSAO DA SEGAO 296 Suponha que 0 campo magnético na Figura OQ Oy 2920 esteja direcionado para fora do plano da figura e que o disco gire no sentido anti S oe horario Comparadas as direg6es da forga F e as correntes de Foucault mostradas na Figura 2920b quais seriam as novas direcdes i A forca F e as correntes de Foucault estariam b ambas na mesma direcAo ii a forga F estaria na mesma direg4o mas as correntes de Foucault estariam na direcao oposta iii a forga F estaria na direc4o oposta mas as correntes de Foucault estariam na mesma direao iv a forca F eas correntes de Foucault estariam oo em diregdes opostas I Aplicagao Correntes de Foucault ajudam os vulcoes de lo A lua lo de Jupiter é ligeiramente maior que a Lua da Figura 2921 a Um detector de metais usado em aeroportos gera um campo magnético Terra Ela se move a mais de 60000 kmh alternado By O campo induz correntes de Foucault no objeto condutor que passa através através do intenso campo magnético de do detector As correntes induzidas produzem um campo magnético alternado B que Jupiter cerca de dez vezes mais forte que induz uma corrente na bobina receptora do detector b Um detector de metais portatil 0 campo da Terra e isso provoca fortes funciona com o mesmo principio correntes de Foucault no interior de lo a b dissipando energia a uma taxa de 10 W Essa energia dissipada ajuda a manter o interior de lo aquecido e assim ajuda a oes Pulso de provocar erupdes vulcanicas em sua corrente superficie como as indicadas na imagem By AN inferior a seguir Efeitos da gravidade de I Jupiter aumentam ainda mais 0 Ip 7 j I I aquecimento a L Linha do campo magnético fj i Correntes 4 de Foucault Bo B S Th Jupiter ys ES Bobina Bobina receptora transmissora Correntes de Foucault 297 CORRENTE DE DESLOCAMENTO E lan EQUAGOES DE MAXWELL a i Erupcoes vulcanicas Vimos que a variagao em um campo magnético produz um campo elétrico in duzido Em um dos mais notaveis exemplos da simetria da natureza um campo 324 Fisica Ill elétrico variante gera um campo magnético Esse efeito é de tremenda importancia porque explica a existéncia de ondas de radio raios gama e luz visivel bem como outras formas de ondas eletromagnéticas Generalizagao da lei de Ampere Para estudar a origem da relagao entre campos elétricos variantes e campos magnéticos vamos retomar a lei de Ampére conforme formulada na Secdo 286 Equacao 2820 ge dl wolinte Figura 2922 Capacitor de placas O problema com essa formulagfio da lei de Ampére é que esta incompleta Para paralelas em processo de carga A entendermos por que vamos considerar 0 processo de carga de um capacitor Fi corrente de condugao que passa pela superficie da placa ic mas nio ha SUF A 2922 Fios condutores transportam corrente ic de uma placa para outra a corrente de conducio através da carga Q aumenta e o campo elétrico E entre as placas aumenta A notacAo ic indica superficie que se projeta para passar a corrente de conducdo em distingao a outro tipo de corrente que estamos prestes entre as placas As duas superficies a discutir designada corrente de deslocamento ip Usamos as letras mintsculas i e possuem um limite em comum v para denotar valores instantaneos de correntes e diferengas de potencial respec portanto essa diferenga em Jjnte leva a uma aparente contradicao na tivamente que podem variar com o tempo a aplicacdo da lei de Ampére Vamos aplicar a lei de Ampére 4 trajet6ria circular indicada A integral B oo dl em torno dessa trajetoria é igual a Moline Para a area circular plana delimitada Trajetéria para a eos lei de Ampere pelo circulo Tinte ea corrente ic no condutor esquerdo Mas a superficie que se Superticie projetada projeta para a direita é delimitada pelo mesmo circulo e a corrente que atravessa essa superficie igual a zero Portanto B dl éigual a upic e ao mesmo tempo é igual a zero Tratase de uma evidente contradiao Mas existe algo mais acontecendo na superficie projetada A medida que o ig a 4 ic capacitor recebe carga o campo elétrico Ee o fluxo elétrico Pg que passa pela 4 tf 7 superficie aumentam Podemos determinar suas taxas de variagdo em termos da at 7 carga e da corrente A carga instantanea gq Cu em que C é a capacitancia e uv é mt petficie ttf a diferenga de potencial instantanea Para um capacitor com placas paralelas C Q Q Ad em que A a Area da placa e d 0 espagamento A diferenga de potencial v entre as placas v Ed em que E é 0 médulo do campo elétrico entre as placas Desprezamos a borda e assumimos que E é uniforme na regiao entre as placas Se essa regido estiver preenchida por material com permissividade e substituimos 9 por em toda parte usaremos na discussao a seguir Substituindo essas expressdes de C e v por g Cu podemos expressar a carga do capacitor g em termos do fluxo elétrico B EA através da superficie A qgCv gE EA 9 2912 Enquanto o capacitor recebe carga a taxa de variacao de g é a corrente de con ducao ic dqdt Tomando a derivativa da Equagao 2912 em relacao ao tempo obtemos cn dt 2913 Agora recorrendo um pouco a imaginagao inventamos uma corrente de des locamento ip na regiao entre as placas definida como Corrente de a ie Taxa de variacgado no tempo deslocamento 4 E do fluxo elétrico por uma rea 2914 por uma drea 2 dt Permissividade do material na area Capitulo 29 Indugao eletromagnética 325 Ou seja imaginamos que o fluxo variante através da superficie curvada na Figura 2922 é de certa forma equivalente na lei de Ampére a uma corrente de condu ao através dessa superficie Incluimos essa corrente ficticia junto 4 corrente de condugao real ic na lei de Ampére f Bdl Holic ipinte dei de Ampére generalizada 2915 A lei de Ampére nessa forma é aplicada seja qual for a superficie usada na Figura 2922 Para a superficie plana ip é igual a zero para a superficie curva ic é igual a zero e ic para a superficie plana equivale a ip para a superficie curva A Equacgao 2915 permanece valida para um material magnético contanto que a magnetizaao seja proporcional ao campo externo e Mo seja substituido por wu A corrente de deslocamento ficticia ip foi inventada em 1865 pelo fisico es cocés James Clerk Maxwell Existe uma densidade de corrente de deslocamento correspondente jp ipA usando Py EA e dividindo a Equacgao 2914 por A encontramos dE Io 2916 Aplicamos 0 conceito a partir do nada como fez Maxwell mas vemos que ele permite preservar a lei de Ampére em situagdes como a da Figura 2922 Outro beneficio da corrente de deslocamento é que ela permite generalizar a lei dos nés de Kirchhoff discutida na Sedo 262 Considerando a placa esquerda do capacitor temos corrente de condugao que entra mas nao que sai Entretanto quando incluimos a corrente de deslocamento existe corrente de condugao que entra por um lado e uma corrente de deslocamento equivalente que sai pelo outro lado Com esse significado generalizado do termo corrente podemos dizer que a corrente passa através do capacitor A realidade da corrente de deslocamento Vocé pode muito bem estar se perguntando se a corrente de deslocamento possui Figura 2923 Um capacitor sendo algum significado fisico real ou se somente um artificio para dar consisténcia 4 carregado por uma corrente ic lei de Ampére e A lei dos nds de Kirchhoff Apresentamos uma experiéncia fun PSsui uma corrente de damental que ajuda a responder essa pergunta Tomemos uma Area circular plana deslocamento igual a ic entre as placas com densidade de corrente entre as placas do capacitor Figura 2923 Se a corrente de deslocamento real ge geslocamento jp dEdt Isso mente desempenha a fungao na lei de Ampére que afirmamos entao deve haver pode ser considerado como a fonte um campo magnético na regido entre as placas enquanto o capacitor carregado do campo magnético entre as placas Podemos usar a lei de Ampére generalizada incluindo a corrente de deslocamento para prever qual deve ser esse campo B Para sermos especificos vamos considerar placas de capacitor com raio R Para determinar 0 campo magnético em um ponto na regiao entre as placas a uma distan cia r do eixo aplicamos a lei de Ampére a um circulo com raio r que passa através desse ponto com r R Esse circulo passa pelos pontos a e b na Figura 2923A j Lf ic corrente total no interior do circulo é jp vezes sua area ou ip7 R 7 r Ain p tegral g B dl naleide Ampere é apenas B vezes a circunferéncia 27rr do circulo rt COMO ip ic para o capacitor em carga a lei de Ampére tornase os 2 q 4q Bai 20rB Ho paic ou B on pic 2917 Esse resultado prevé que na regiao entre as placas Bé igual a zero no eixo e aumenta linearmente 4 medida que se distancia dele Um calculo similar indica que 326 Física III fora da região entre as placas ou seja para r R é o mesmo caso o fio fosse contínuo e as placas não existissem Quando medimos o campo magnético nessa região identificamos que ele re almente existe e que se comporta como prevê a Equação 2917 Isso confirma o papel da corrente de deslocamento como fonte de campo magnético Sem dúvida fica estabelecido então que a corrente de deslocamento de Maxwell longe de ser apenas um artifício constituise em um fato fundamental da natureza Equações de Maxwell para o eletromagnetismo Agora estamos em condições de enunciar de modo unificado um conjunto completo que reúne todas as equações estudadas anteriormente e que envolve todas as relações entre campos elétricos e campos magnéticos e suas respectivas fontes Esse conjunto é constituído por quatro equações conhecidas como equa ções de Maxwell Maxwell não descobriu todas essas quatro equações embora tenha desenvolvido o conceito da corrente de deslocamento porém ele as reuniu e explicou o significado delas particularmente ao prever a existência de ondas eletromagnéticas Por enquanto formularemos as equações de Maxwell na forma mais simples considerando cargas e correntes no vácuo No Capítulo 32 discutiremos as modi ficações dessas equações quando um dielétrico ou um material magnético estiver presente Duas das equações de Maxwell envolvem integrais de e de sobre uma su perfície fechada A primeira é simplesmente a lei de Gauss para o campo elétrico Equação 228 2918 Fluxo do campo elétrico através de uma superfície fechada Carga delimitada pela superfície Constante elétrica SE dA C P0 Qinte S Lei de Gauss para E S A segunda é a relação análoga para o campo magnético Equação 278 2919 O fluxo do campo magnético através de uma superfície fechada é igual a zero Lei de Gauss para B S B dA 0 C S S O enunciado anterior equivale a dizer entre outras coisas que não existem monopolos magnéticos cargas magnéticas isoladas que funcionem como fontes de campos magnéticos A terceira e a quarta equações envolvem uma integral de linha de ou em torno de um percurso fechado A lei de Faraday declara que um fluxo magnético variável atua como uma fonte de campo elétrico 2920 Integral de linha do campo elétrico ao longo da curva Negativo da taxa de variação em função do tempo do fluxo magnético através da curva Lei de Faraday para uma curva de integração estática SE dl C dt dFB S Se houver um campo magnético variável a integral de linha na Equação 2920 que deve ser executada sobre uma curva fechada estática não é igual a zero Assim o campo produzido por um campo variável não é conservativo BookSEARSVol3indb 326 101115 705 PM Capitulo 29 Indugao eletromagnética 327 A quarta e ltima equagao é a lei de Ampére incluindo corrente de desloca mento Ela afirma que tanto uma corrente de condugao quanto um fluxo magnético variadvel induzem um campo elétrico Integral de linha do campo Cc Taxa de variacao de fluxo elétrico magnético ao longo da curva a em fungao do tempo ao longo da curva Leeeeene Gimca a Lei de Ampére ee I y para uma curva de Bed bal i E 2921 integracao estatica a oe dt Constanté Corrente de condugio Corrente de deslocamento magnética ao longo da curva ao longo da curva E importante examinar com mais cuidado o campo elétrico Eeo papel que ele desempenha nas equagdes de Maxwell Geralmente 0 campo total FE em um ponto do espago pode ser produzido pela superposiao de um campo eletrostatico E produzido por uma distribuicgdo de cargas em repouso com um campo elétrico induzido magneticamente nao eletrostatico E Ou seja EE E A parte eletrostatica E sempre conservativa de modo que gE dl 0 Essa parte conservativa do campo nao contribui para a integral na lei de Faraday de modo que EF na Equagao 2920 pode ser considerado 0 campo elétrico total E incluindo o termo E produzido por uma distribuigao de cargas e o campo elétrico induzido magneticamente E Analogamente 0 termo nao conservativo E do campo E nao contribui na integral da lei de Gauss porque esse termo nao produzido por cargas estaticas Logo PE dA sempre igual a zero Assim concluimos que em todas as equagdes de Maxwell FE 0 campo elétrico total ou seja essas equagOes nao distinguem entre um campo conservativo e um campo nao conservativo Simetria nas equagoes de Maxwell Existe uma simetria marcante nas quatro equagdes de Maxwell No espaco vazio Figura 2924 As equagées de onde nao ha nenhuma carga as duas primeiras equacées 2918 e 2919 possuem wel NO espaco vazio sao formas idénticas uma com E e a outra com B Figura 2924 Comparando as duas tamente simetricas ultimas equagdes vemos que a Equacao 2920 afirma que um fluxo magnético No espago vazio nao existem cargas varivel cria um campo elétrico e a Equacaio 2921 mostra que um fluxo elétrico 120 0 fluxos de Fe B através de ae qualquer superficie fechada sao variavel cria um campo magnético No espago vazio como nao existe nenhuma jguais a zero corrente de condugao ic 0 e as duas tiltimas equacgdes possuem a mesma forma oo i exceto por um sinal negativo e pelos valores das constantes com os papéis desem gi dA 0 i penhados por E e B trocados nas duas equagoes ga a o Podemos reescrever as equacées 2920 e 2921 sob formas diferentes porém equivalentes introduzindo as definigdes de fluxo magnético Pz I B dA e de Bed Pg fluxo elétrico Bp f E dA respectivamente No espaco vazio onde nao existem dt cargas ou corrente de condugao ic 0 e Qagelim 0 obtemos Bed soe wi No espaco vazio nio existem correntes d pag E dl B dA 2922 de condugao de modo que as integrais dt de linha de E e B em torno de qualquer percurso Techado estao relacionadas a fechad lacionadas a B dl pe E dA 29 23 taxa de variacao de fluxo do outro campo d de variagao de fluxo d d o dt Vemos novamente a simetria entre E e B nessas expresses A caracteristica mais marcante dessas equag6es que a variagao de qualquer um desses campos induz 0 outro campo no espaco das suas vizinhangas Maxwell 328 Fisica Ill percebeu que essas relagdes podem servir para prever a existéncia de perturbagdes eletromagnéticas ocasionadas pela variagao no tempo de campos magnéticos e elétricos que se propagam de uma regiao do espaco para outra mesmo quando nao ha nenhuma matéria presente entre as duas regides Tais perturbagdes chamadas de ondas eletromagnéticas constituem a base fisica para entender a luz as ondas de radio e de televisdo as ondas infravermelhas as ondas ultravioletas e os raios X Retornaremos a esse t6pico essencialmente importante no Capitulo 32 Embora possa nao parecer dbvio todas as relagdes entre os campos e suas fontes estado contidas nas equagdes de Maxwell Podemos deduzir a lei de Coulomb a partir da lei de Gauss deduzir a lei de Biot e Savart a partir da lei de Ampére e assim por diante Quando somamos a equacao que define os campos E e B com base nas forgas exercidas sobre uma carga g ou seja F qE 0 xB 2924 completamos todas as relagdes fundamentais do eletromagnetismo As equagoes de Maxwell teriam um grau de simetria entre E e B ainda maior se existissem cargas magnéticas isoladas na natureza monopolos magnéticos O membro direito da Equacdo 2919 seria proporcional 4 carga magnética total no interior da superficie fechada e o membro direito da Equagao 2920 incluiria um termo proporcional a corrente de monopolos magnéticos No entanto ainda nao foram encontrados monopolos magnéticos Considerando a sintese e a generalidade as equagdes de Maxwell podem ser colocadas no mesmo plano das leis da mecanica de Newton e das leis da termodina mica Na verdade um dos objetivos da ciéncia consiste em expressar relag6es fun damentais de maneira simples e concisa A sintese do eletromagnetismo feita por Maxwell é uma conquista intelectual admiravel comparavel a sintese da mecanica feita por Newton e descrita na Secdo 125 e ao desenvolvimento da relatividade e da mecanica quantica no século XX TESTE SUA COMPREENSAO DA SEGAO 297 a Qual das equacgdes de Maxwell explica como funciona 0 dispositivo de leitura de um cartao de crédito b Qual das equagGes des creve como um fio que carrega uma corrente estavel gera um campo magnético I 298 SUPERCONDUTIVIDADE Figura 2925 Diagrama de fase para A propriedade mais familiar de um supercondutor é 0 stbito desaparecimento 0 merctirio puro mostrando o de toda a resisténcia elétrica quando ele é resfriado abaixo de uma temperatura campo magneético critico B e sua chamada de temperatura critica designada por T Ja discutimos esse compor dependéncia em relacao a AL temperatura A supercondutividade tamento e as circunstancias de sua descoberta na Secao 252 Contudo a super é impossivel acima da temperatura condutividade é um fendmeno muito mais profundo que a mera auséncia de uma critica T As curvas para outros resisténcia mensuravel Como veremos nesta secdo os supercondutores também materiais supercondutores sao possuem propriedades magnéticas extraordinarias semelhantes porém os valores oo a ae numéricos sido diferentes O primeiro indicio de propriedades magnéticas incomuns foi a descoberta de BT que para qualquer material supercondutor a temperatura critica T varia quando o material colocado em um campo magnético externo Bo A Figura 2925 ilustra Fase essa dependéncia para o caso do merctrio 0 primeiro elemento no qual foi obser normal vado o fendmeno da supercondutividade A medida que 0 médulo Bp do campo 003 magnético externo aumenta a transido para a fase supercondutora passa a ocorrer 002 super em temperaturas cada vez menores Quando Bo é maior que 00412 T nao se ob 001 condutora Tr serva mais nenhuma supercondutividade O campo magnético minimo necessario TK para destruir a supercondutividade a uma temperatura menor que 7 denominase Orr 23 4 5 campo magnético critico designado por B Capítulo 29 Indução eletromagnética 329 O efeito Meissner Vejamos agora outro aspecto do comportamento magnético de um supercon dutor Colocamos uma esfera homogênea de um material supercondutor em um campo magnético externo 0 a uma temperatura T superior a Tc Ou seja o ma terial está em sua fase condutora normal e não na fase supercondutora Figura 2926a Agora diminuímos a temperatura até que ocorra a transição para a fase supercondutora Estamos supondo que 0 não seja grande o suficiente para impedir a transição de fase O que ocorre com o campo Medidas do campo magnético fora da esfera mostram que as linhas de campo tornamse distorcidas como ilustra a Figura 2926b Não existe mais nenhum campo no interior do material exceto em uma fina película na superfície do ma terial com espessura da ordem de cem átomos Se enrolarmos um fio condutor em torno da esfera a fem induzida na bobina mostrará que o fluxo magnético diminui de seu valor inicial até zero durante a transição para a fase supercondutora isso é consistente com a ausência do campo dentro do material Finalmente quando o campo magnético externo é removido mantendo o material na fase supercondutora nenhuma fem é induzida na bobina e as medidas mostram que não existe nenhum campo fora da esfera Figura 2926c Concluímos que durante a transição para a fase supercondutora na presença de 0 todo fluxo magnético é expelido do volume da esfera supercondutora e o fluxo magnético FB através da bobina é igual a zero Essa expulsão do fluxo magnético denominase efeito Meissner Conforme indica a Figura 2926b essa expulsão faz com que as linhas de campo fiquem mais próximas entre si em volta da esfera aumentando o campo nessa região Levitação supercondutora e outras aplicações A natureza diamagnética de um supercondutor possui algumas consequências mecânicas interessantes Um material paramagnético ou ferromagnético é atra ído por um ímã porque os dipolos magnéticos do material se alinham ao campo magnético não uniforme do ímã esse efeito foi discutido na Seção 277 Para um material diamagnético a magnetização ocorre em sentido oposto e o material é repelido pelo ímã De acordo com a terceira lei de Newton o ímã também é repelido pelo material diamagnético A Figura 2927 ilustra a repulsão entre um ímã e um bloco de supercondutor com temperatura crítica elevada o ímã é sustentado no ar levita pela força magnética repulsiva O comportamento que descrevemos anteriormente é característico dos materiais chamados supercondutores do tipo I Existe outra classe desses materiais os super condutores do tipo II Quando esse tipo de material é colocado em um campo mag nético o volume do material permanece supercondutor contudo alguns filamentos finos do material distribuídos paralelamente ao campo externo podem voltar para a fase normal Há correntes circulando na periferia desses filamentos o que indica que existe um fluxo magnético no interior desses filamentos Os supercondutores do tipo II são usados em eletroímãs por geralmente possuírem valores de Bc muito maiores que os referentes a materiais do tipo I possibilitando a produção de campos magnéticos muito elevados sem destruir o estado supercondutor Um supercondutor do tipo II possui dois campos magnéticos críticos O primeiro Bc1 é o campo para o qual o fluxo magnético começa a penetrar no supercondutor passando a formar os filamentos mencionados o segundo Bc2 é o campo para o qual o material passa para a fase normal Os eletroímãs com supercondutores já são empregados não só no cotidiano de laboratórios de pesquisa mas também nos dispositivos de ressonância magnética RM médica Conforme descrevemos na Seção 277 a varredura de um paciente por meio de RM exige um campo magnético forte para alinhar os dipolos mag néticos dos núcleos atômicos do paciente É necessário um campo constante de Figura 2926 Um material supercondutor a acima da temperatura crítica e b e c abaixo da temperatura crítica O campo no interior do material é aproximadamente igual a B0 S S S B S a Um material supercondutor em um campo magnético externo B0 a T 7 Tc S b Quando diminuímos a temperatura até um valor T 6 Tc o material se torna supercondutor c Quando o campo magnético externo é removido T 6 Tc o campo magnético é igual a zero em todos os pontos B0 B0 O fluxo magnético é expelido do material e o campo magnético interno tornase igual a zero efeito Meissner Não existe nenhuma variação no fluxo magnético do material B 0 S B 0 S B 0 S Figura 2927 Um supercondutor exerce uma força magnética repulsiva sobre uma ímã sustentandoo em equilíbrio no ar Ímã Supercondutor BookSEARSVol3indb 329 101115 705 PM 330 Fisica Ill 15 T ou mais 0 que é muito dificil de produzir com um eletroima convencional pois isso exigiria correntes muito altas e portanto grandes perdas de energia pela resisténcia nas bobinas do eletrofma Porém com um eletroima supercondutor nao existe perda de energia resistiva e campos magnéticos de até 10 T podem ser alcancados rotineiramente Medidas extremamente sensiveis de campos magnéticos podem ser feitas com 0 uso de dispositivos supercondutores com interferéncia quantica superconducting quantum interference devices SQUIDs que sao capazes de detectar campos magnéticos da ordem de 10 Wb esses dispositivos tém aplicagdes na me dicina na geologia e em outras dreas O nimero das potenciais aplicagdes dos supercondutores aumentou com a descoberta feitaem 1987 dos supercondutores com temperaturas criticas elevadas Esses materiais possuem temperaturas criticas superiores 4 temperatura do nitrogénio lfiquido cerca de 77 K e portanto sao relativamente faceis de manter O desenvolvimento das aplicag6es praticas da ci éncia dos supercondutores promete ser um capitulo interessante para as inovagdes tecnolo6gicas contemporaneas CAPITULO 29 RESUMO Lei de Faraday a lei de Faraday afirma que a fem dz induzida em uma espira é dada pela taxa de variagao é dt ee Fe com sinal negativo do fluxo magnético através da fj O movimento do o 445 ima provoca uma espira Essa relagaéo é valida quando a variacaéo de ca EY variagdo no campo fluxo é produzida por uma variacao de campo mag magnético através nético pelo movimento de uma espira no campo da bobina induzindo ou quando as duas coisas ocorrem simultaneamente S uma corrente nela Veja os exemplos 291 a 296 Lei de Lenz a lei de Lenz afirma que a corrente induzida ou a fem induzida possui sentido Variagao em B tal que seu efeito sempre tende a se opor ou cancelar a variacao que a produziu A lei de Lenz pode ser deduzida a partir da lei de Faraday e geralmente é mais facil de ser aplicada Veja os aumentando exemplos 297 e 298 tts LT Binduzido Fem do movimento quandoumcondutorsemove vBL 296 x xX xX xX xX x xX em um campo magnético uma fem do movimento ym condutor com comprimento L se B var me induzida Veja os exemplos 299 e 2910 move no campo B uniforme Lebsio P qb F qe ambos perpendiculares a B e entre si C q b x bea Lx EUXBd 297 a totalidade ou parte de uma espira fechada se move em um campo B Campos elétricos induzidos quando uma fem é 5 Ss d induzida por um fluxo magnético que varia através Edl dt 2910 he de um condutor estatico surge um campo elétrico induzido E de origem nao eletrostatica O campo in EY B aumentando duzido nao é conservativo e nao pode ser associado SE a um potencial Veja o Exemplo 2911 Corrente de deslocamento e as equagoes de dD Maxwell umcampo elétrico que variacomotempo D gq 2914 gera uma corrente de deslocamento ip que atua corrente de como uma fonte de campo magnético exatamente deslocamento Capitulo 29 Indugao eletromagnética 331 da mesma forma que uma corrente de condug4o Ointe As relacées entre campos magnéticos e elétricos EdA 9 2918 e suas fontes podem ser descritas de modo con lei de Gauss para ciso a partir de quatro equagées conhecidas como os campos EF equacgées de Maxwell Esse conjunto forma uma base completa para relacionar os campos E e B as B dA0 2919 fontes desses campos lei de Gauss para os campos B ee Cy Pedi Oo2E 2920 dt lei de Faraday a dz Bedl wol ic 2921 dt inte lei de Ampére incluindo a corrente de deslocamento Problema em destaque Uma espira quadrada caindo Uma espira quadrada de fio de cobre cai do repousoem uma EXECUTAR regiaéo em que o campo B é horizontal uniforme e perpendi 5 Para o caso em que a espira esta caindo na velocidade ve cular ao plano da espira para uma regiao onde nao ha campo existe uma fem induzida determine i a fem ii a corrente Figura 2928 O comprimento do lado da espira é s e o dia induzida e iii a forga magnética na espira em termos de metro do fio é d A resistividade do cobre pr e a densidade sua resisténcia R pm Se a espira atinge sua velocidade terminal enquanto seu 6 Determine R e a massa da espira em termos da informagao segmento superior ainda est4 na regido do campo magnético dada sobre ela determine uma expressao para a velocidade terminal 7 Use os resultados das etapas 5 e 6 para achar uma expressio para a velocidade terminal GUIA DA SOLUGAO AVALIAR IDENTIFICAR E PREPARAR 8 Como a velocidade terminal depende do mddulo B do Cc oe campo magnético Explique por que isso faz sentido 1 O movimento da espira através do campo magnético induz uma fem e uma corrente na espira O campo entdo faz Figura 2928 Uma espira de fio caindo em um campo surgir uma forca magnética nessa corrente que se opde A Magnetico horizontal B O plano da espira forga da gravidade de cima para baixo A espira atinge a perpendicular a B velocidade terminal nao acelera mais quando a forga mag s comprimento Stica de bai ima bal iaaf d idade d Espira quadrada do lado nética de baixo para cima balanceia a fora da gravidade de de fio de cobre wX XX Xx XxX cima para baixo a 2 Considere o caso em que a espira inteira esta na regiao do pe XY xB x p campo magnético Existe uma fem induzida nesse caso Se a 49 Acima desta linha s comprimento houver qual seu sentido B uniforme e horizontal do lado 3 Considere caso em que apenas 0 segmento superior da ay aicg desta linha d diametro espira esta na regiao do campo magnético Existeumafem B 9 do fio induzida nesse caso Se houver qual sua diregao 4 Para o caso em que existe uma fem induzida e portanto Vierminal 2 uma corrente induzida qual é 0 sentido da forca magnética em cada um dos quatro lados da espira Qual é 0 sentido da forcga magnética total na espira 332 Fisica Ill PROBLEMAS e ee eee niveis de dificuldade PC problemas cumulativos incorporando material de outros capitulos CALC problemas exigindo calculo DADOS problemas envolvendo dados reais evidéncia cientifica projeto experimental eou raciocinio 9 p pro Pp cientifico BIO problemas envolvendo biociéncias QUESTOES PARA DISCUSSAO 02912 Considers a sitvagao indicada na Figura 2918 seria Q291 Uma lamina de cobre é colocada entre os polos de um apropniace pergunlar quar a quaniidade ce energid que 0 ele an ve tron ganha durante o percurso completo em torno da espira com eletrofma com 0 campo magnético perpendicular ao plano da an ee oe corrente induzida J Faria sentido perguntar qual é a diferenca lamina Quando a lamina é retirada é necessdrio realizar uma Z Z f derével e el ocidade Expli de potencial através da qual o elétron se move nesse percurso orga considerdvel e ela aumenta com a ve ocidade Explique completo Explique suas respostas Também preciso realizar uma forga quando a lamina inserida Q9943 Um anel metilico est com 0 plano de sua 4rea orien entre Os polos Explique tada perpendicularmente a um campo magnético espacialmente Q292 Na Figura 298 quando a velocidade angular wdaespira yniforme que aumenta a uma taxa constante Se o raio do anel dobra entao a frequéncia com a qual a corrente induzida mudade for duplicado por qual fator variardo a a fem induzida no anel sentido dobra e a fem maxima também dobra Por qué O torque e b o campo elétrico induzido no anel necessdrio para fazer a espira girar muda Explique Q2914 Pequenos motores a gasolina com um cilindro as vezes Q293 Duas espiras circulares estao lado a lado apoiadas sobre utilizam um dispositivo chamado magneto para fornecer corrente um mesmo plano Uma delas esta ligadaa uma fonte que fornece 4 vela de ignicéo Um ima permanente é preso a um disco e uma uma corrente crescente a outra é um anel simples O sentido da bobina estaciondria é montada adjacente a ele Explique como corrente induzida no anel possui o mesmo sentido ou 0 oposto esse dispositivo é capaz de gerar corrente O que acontece quando ao da corrente da espira ligada com a fonte E se a corrente na0 fma passa pela bobina primeira espira estivesse diminuindo Explique Q2915 A lei de Lenz afirma que a corrente induzida em uma Q294 Para a Equacdo 296 mostre que se v estiverem metros Spira de metal sempre flui para se opor ao fluxo magnético atra por segundo B em teslas e L em metros ento as unidades do VES dessa espira Explique membro direito da equacAo sao joules por coulomb ou volts as Q291 6 A lei de Faraday afirma que oy fluxo magneético grande unidades SI corretas para induz uma fem grande em uma bobina Explique sae Q2917 Pode haver uma corrente de deslocamento assim como Q295 Um fio retilineo longo passa através do centro de um ae ay uma corrente de condug4o no interior de um condutor Explique anel metalico perpendicularmente ao plano do anel Sabendo ys a Q2918 Seu colega de estudos de fisica pede que vocé considere que a corrente do condutor esta aumentando surge uma corrente Le um capacitor com placas paralelas que possui um dielétrico que induzida nesse anel Explique Q296 U 4 fi mii cai aol do ci preenche por completo o volume entre as placas A seguir ele mestucante a ima que se um ima cal ao TON8O CO CIXO firma que as equacées 2913 e 2914 indicam que a corrente de de um tubo de cobre vertical ele acaba atingindo uma velocidade conducao no dielétrico é igual 4 corrente de deslocamento Vocé terminal mesmo quando nao existe resisténcia do ar Por que isso Goncorda Explique ocorreria Ou nao ocorreria Q2919 Relacione os enunciados matematicos das equacGes de Q297 Um aviao realiza um sobrevoo nivelado sobre a Antartida Maxwell fornecidas na Seco 297 a estas afirmagoées verbais onde o campo magnético da Terra esta principalmente orientado a Linhas de campo elétrico fechado sao claramente produzi de baixo para cima afastandose do solo Do ponto de vistade das apenas por uma variacio no fluxo magnético b Linhas de um passageiro que olha para a frente do avido a asa esquerda campo magnético fechado sao produzidas tanto pelo movimento ou a asa direita que possui potencial mais elevado Sua resposta da carga elétrica quanto pela variac4o no fluxo elétrico c As depende do sentido em que 0 aviao esta voando linhas de campo elétrico podem se iniciar nas cargas positivas e Q298 Considere a situacio do Exercicio 2921 No item a terminar nas cargas negativas d Evidentemente nao ha mono determine o sentido da forga que 0 circuito grande exerce sobre polos magnéticos sobre os quais iniciar e terminar as linhas do 0 pequeno Explique como esse resultado é compativel coma Campo magnetico lei de Lenz Q2920 Caso existissem monopolos magnéticos 0 membro di Q299 Um retangulo de metal esté proximo de um fio longo reito da Equacao 2920 deveria incluir um termo proporcional a e retilineo conduzindo uma corrente com dois de seus lados corrente dos monopolos magneticos Suponha que uma corrente eae constante de monopolos magnéticos esteja percorrendo um longo paralelos ao fio Quando a corrente no fio longo esta diminuindo vp a A fio retilineo Faga um esbogo das linhas de campo elétrico que o retangulo é repelido ou atraido pelo fio Explique por que esse Itado é vel lei de L tal corrente produziria resultado comp atlve COM a ten CCM Q2921 Um supercondutor tipo If em um campo externo entre Q2910 Uma espira condutora quadrada esté em uma regido de Boy Bex possui regides que contém fluxo magnético e resistén campo magnético uniforme e constante A espira pode ser girada ja e também regides supercondutoras Qual é a resisténcia de em torno de um eixo de um lado e nenhuma fem ser induzida ym cilindro longo e fino de um material assim nela Discuta em termos da orientacgdo do eixo de rotagéo em relacdo ao sentido do campo magnético Q2911 O Exemplo 296 discute a forga externa que deve ser EXERCICIOS aplicada ao cabo deslizante para movélo a uma velocidade es Sego 292 Lei de Faraday calar constante Caso haja uma ruptura na extremidade esquerda 294 Uma espira de fio isolada com 4rea de 00900 m7 esta do condutor em forma de U quanta forga seria necessdria para em um campo magnético uniforme com valor inicial de 380 T mover 0 fio deslizante a uma velocidade escalar constante Como é perpendicular ao plano da espira e esta diminuindo a uma taxa no exemplo despreze 0 atrito constante de 0190 Ts a Qual é a fem induzida nessa espira Capitulo 29 Indugao eletromagnética 333 b Se a espira possui uma resisténcia de 0600 0 determine a fluxo d z através da faixa estreita e sombreada c Qual é 0 corrente induzida na espira fluxo total através da espira d Qual é a fem induzida na espira 292 e Em um experimento de fisica feito em um laboratério e Avalie o valor numérico da fem induzida se a 120 cm uma bobina com 200 espiras delimitando uma area igual a 12 cm b 360 cm L 240 cm e didt 960 As gira em 0040 s desde uma posigao na qual seu plano é perpendi Figura E297 cular ao campo magnético da Terra até uma posic4o na qual seu 9 plano é paralelo ao campo O campo magnético da Terra onde t soe se Z 1 se situa o laboratério é igual a 60 10 5 T a Qual é 0 fluxo magnético total que passa pela bobina antes de ela ser girada E B apos ela ser girada b Qual é a fem induzida média na bobina r 5 ar 293 Bobinas de exploracio e cartes de crédito Uma forma pratica de medir a intensidade do campo magnético uti liza uma pequena bobina com enrolamento compacto chamada a L bobina de exploracdao A bobina é inicialmente mantida em seu plano perpendicular a um campo magnético Em seguida é girada rapidamente por um quarto do diaémetro ou é rapidamente puxada para fora do campo a Deduza uma equacgao para relacionar a A b carga total Q que flui através de uma bobina de exploragéo com it o médulo do campo magnético B A bobina de exploracio possui N espiras cada uma delas com area A e 0 fluxo diminui de seu rarer 298 CALC Uma espira valor maximo inicial até zero em um intervalo de tempo Ar A pit Figura E298 Loa Lae plana e circular de ago com raio resisténcia da bobina é igual a R e a carga total é dada por Q 2 B 2 eye e de 75 cm esté em repouso em um IAt em que J é a corrente média induzida pela variagao do fluxo as 60 ws a campo magnético uniforme como b Em um dispositivo para leitura de cartes de crédito atarja a kc as indica uma perspectiva perpendi magnética no verso do cartao é passada rapidamente através or we cular na Figura E298 O campo do campo de uma bobina no interior do dispositivo de leitura ye varia com o tempo de acordo Explique usando 0 mesmo raciocinio basico para explicar o com Bt 14 Tye 057 shy funcionamento da bobina de explorag4o como o dispositivo de ws a Determine a fem induzida na leitura pode decodificar as informag6es armazenadas nas cama Lyoa aye 2 espira em funcao do tempo b Quando a fem induzida é igual das magnetizadas existentes na tarja magnética c E necessario 1 or Dee im we a jo de seu valor inicial c Determine o sentido da corrente que 0 cartiao seja passado no dispositivo de leitura exatamente induzida na espira se observada por cima dela 9 a na velocidade cera Por qué 299 Espira comprimida Uma espira circular de ferro fle 294 Uma bobina de exploracgéo com enrolamento compacto oe At tes oe aan 2 xivel possui circunferéncia inicial de 1650 cm mas essa circun Exercicio 293 possui area igual a 320 cm 120 espiras e re feréncia diminui a uma taxa constante de 120 cms em virtude sisténcia de 600 Ela é conectada com um instrumento de 2 a de um pux4o tangencial no fio A espira esta em um campo mag medida de carga cuja resisténcia interna é de 450 Quando a fp bobi id d a tel nético uniforme e constante orientado perpendicularmente ao ina gira rapt amente uma Pi osigao para ea a um campo plano da espira e com médulo igual a 0500 T a Determine a magnético uniforme até uma posicao perp endicular a0 campo fem induzida na espira no instante em que se passaram 90 s b instrumento indica uma carga igual a 356 x 10 C Qual Determine o sentido da corrente induzida na espira olhandose modulo do campos ao longo do sentido do campo magnético 295 Uma espira circular com ralo de 120 em orientada 2940 Uma bobina retangular com 80 voltas de espiras proxi no plano horizontal xy esta localizada em uma regiao de campo nag possui dimensdes de 250 cm por 400 cm O plano da bobina magnético uniforme Um campo de 15 T esta orientado ao longo cofre rotacdio de uma posicao onde forma um Angulo de 370 com do sentido positivo de Ox que de baixo para cima a Seaes 9 campo magnético de 170 T até uma posicao perpendicular ao pira for removida da regiao do campo em um intervalo de tempo campo A rotacio leva 00600 s Qual é a fem induzida média de 20 ms determine a fem média que sera induzida na espira pa Hobina durante o processo de remogio b Se a bobina for vistade cima 9944 CALC Emuma regidio do espaco um campo magné pata baixo a corrente induzida na espira estard em sentido ho ticg aponta no sentido positivo de Ox para a direita Seu médulo rario ou antihorario varia de posigo de acordo com a férmula B By bx em que 296 CALC Uma bobina com raio de 400 cm com 500 espi Bo e b sao constantes positivas para x 0 Uma bobina plana ras colocada em um campo magnético uniforme que variacom de grea A se move com velocidade escalar uniforme da direita 9 tempo de acordo com a relagao B 00120 Tst 300 X para a esquerda com o plano de sua drea sempre perpendicular 10 Tst A bobina esta conectada a um resistor de 600 Qe a esse campo a Qual é a fem induzida nessa bobina enquanto seu plano perpendicular ao campo magnético A resistncia ela est4 A direita da origem b Olhandose a partir da origem da bobina pode ser desprezada a Calcule 0 médulo da fem qual é o sentido hordario ou antihordrio da corrente induzida induzida na bobina em fungao do tempo b Qual 0 médulo da na bobina c Caso a bobina se mova da esquerda para a direita corrente que passa no resistor em t 500 s quais serao as respostas aos itens a e b 297 CALC Acorrente no fio longo e retilineo AB indicado 2912 Em muitos sistemas de imagens por ressonancia na Figura E297 tem um sentido de baixo para cima e est4 au magnética RM 0 campo magnético produzido por um ima mentando constantemente a uma taxa didt a No instanteem supercondutor que precisa ser mantido resfriado abaixo da tem que a corrente i quais sao 0 modulo a diregao e o sentido do peratura de transigao da supercondugao Se o sistema de resfria campo B a uma distancia r para a direita do fio b Qual 0 mento criogénico falhar as bobinas do ma poderao perder sua 334 Fisica Ill supercondutividade e a intensidade do campo magnético cairdra 2917 Duas espiras fechadas A Figura E2917 pidamente ou desvanecerd A dissipacao de energiacomo calor e C estao préximas de um fio nas bobinas agora sem supercondugao pode causar uma répida longo transportando uma corrente ebuligao do liquido criogénico normalmente hélio liquido que J Figura E2917 a Determine é usado para o resfriamento Considere um ima de RM supercon 0 sentido hordrio ou antihorario I dutor para o qual um campo magnético cai de 80 T para perto da corrente induzidaem cadaes 9 de 0 em 20 s Qual é a fem média induzida em uma alianga de pira se J estiver diminuindo cons casamento circular com diametro de 22 cm se 0 anel estiverno tantemente b Enquanto esta centro das bobinas do ima de RM e 0 campo magnético original diminuindo qual é a direcdo da for perpendicular ao plano envolvido pelo anel forga resultante que o fio exerce 2913 O rotor de um pequeno gerador é constituido poruma sobre cada espira Explique como bobina chata de secdo reta quadrada de lado iguala160cmcom vocé obteve a resposta 120 espiras A bobina gira em um campo magnético de 00750T 2918 AcorrentenaFiguraE2918 Figura E2918 Qual sera a velocidade angular da bobina se a fem maxima pro obedece a equacao It Ine em I duzida for igual a 240 mV que b 0 Determine o sentido horario 2914 Uma bobina plana e retan ou antihorario da corrente induzida na gular de dimensGes e w puxada com bobina redonda para ft 0 velocidade escalar uniforme através de Figura E2914 2919 Use a lei de Lenz para de O um campo magnético Bcomoplano terminar o sentido da corrente indu de sua 4rea perpendicular ao campo 2B zida que passa no resistor ab indicado Figura E2914 a Determine a fem Re e na Figura E2919 quando a a chave S é aberta depois de induzida nessa bobina b Se a velo o73e ee ee ficar fechada durante alguns minutos b quando a bobina B cidade escalar e 0 campo magnético se aproxima da bobina A enquanto a chave permanece fechada forem ambos triplicados qual sera a c quando o valor da resisténcia R diminui enquanto a chave fem induzida permanece fechada Secao 293 Lei de Lenz Figura E2919 2915 Uma espira de fio Figura E2915 A B circular esta em uma regido do espaco onde existe um campo Be magnético uniforme como in x dica a Figura E2915O campo R magnético esta entrando no plano da figura Determine 0 S a b sentido hordario ou antihordrio x x da corrente induzida na espira x 2920 Um tubo de papelao circundado por dois enrola quando a B esté aumentando x x mentos feitos com fios isolados formando espirais em sentidos b B esta diminuindo c B per contraérios como visto na Figura E2920 Os terminais a e b do manece constante com um valor enrolamento A podem ser conectados a uma bateria por meio de igual a Bo Explique seu raciocinio uma chave inversora Determine se a corrente que passa no re 2916 A corrente J em um fio longo e retilineo constante e sistor R é da direita para a esquerda ou da esquerda para a direita orientada para a direita como na Figura E2916 As espiras con nos seguintes casos a a corrente flui no enrolamento A de a dutoras A B C e D esto se movendo nas diregdes mostradas para b e esta aumentando b a corrente flui no enrolamento A perto do fio a Para cada espira a diregao da corrente induzida de b para a e esta diminuindo c a corrente flui no enrolamento esté em sentido hordario ou antihordrio ou a corrente induzida 4 deb para a e est4 aumentando é zero b Para cada espira qual é 0 sentido da forga resultante que o fio exerce sobre a espira Explique o seu raciocinio para Figura E2920 cada resposta a b Figura E2916 v t c v Enrolamento A A Cj Cj Enrolamento B ly R a B OC b 2921 Um pequeno anel circular esta no interior de uma 4 espira maior que esta conectada a uma bateria e a uma chave D D Cj Figura E2921 Use a lei de Lenz para determinar o sentido da corrente induzida no pequeno anel a logo apés a chave S ser fe chada b apés S ter sido fechada por muito tempo c logo apés S ter sido reaberta depois de estar fechada por um longo tempo Capitulo 29 Indugao eletromagnética 335 Figura E2921 elevado c Quando as cargas na Figura E2925 barra estéo em equilfbrio quaissio0 gy eye yey o modulo a direco e o sentido do B DD b campo elétrico no interior dabarra 5 d Quando as cargas na barraest0 Sy x x O em equilibrio qual dos dois pontos Lp v aou b possui excesso de cargapo sitiva e Qual é a diferenca de potencial através da barra caso ela se mova i paralelamente a 2922 Uma espira de fio circular Figura E2922 ab e 11 diretamente para fora da pagina com raio r 00480 me resisténcia 2926 Um retangulo que mede 300 cm por 400 cm esta R 0160 Q esta em uma regiao de B localizado no interior de um campo magnético espacialmente campo magnético espacialmente uni uniforme de 125 T com o campo perpendicular ao plano da forme como mostra a Figura bobina Figura E2926 A bobina é retirada a uma taxa regu E2922 O campo magnético esta di e lar de 200 cms movendose recionado para fora do plano da fi perpendicularmente as linhas Sti x Figura E2926 gura O campo magnético tem um de campo A regiao do campo valor inicial de 800 T e esta dimi termina bruscamente con x 300cm x nuindo a uma taxa de dBdt forme indicado Determine a ell x B 0680 TS a A corrente induzida fem induzida nessa bobina S 200 cms na espira est em sentido horario ou antihordrio b Qual a quando ela esta a inteira SPs IP taxa na qual a energia elétrica estd sendo dissipada pela resistén mente no interiordo campo XxX x x cia da espira b parcialmente no interior 2923 CALC Uma espira de Figura E2923 do campo c totalmente fora fio circular com raio r 00250 do campo me resisténcia R 0390 CD esta x 2927 As fems do movimento s4o uma fonte pratica de em uma regiao de campo mag B y eletricidade Com que velocidade em ms uma barra de cobre nético espacialmente uniforme de 50 cm teria de se mover formando Angulos retos com um como mostra a Figura E2923 O 5 se campo magnético de 0650 T para gerar 150 V semelhante a campo magnético esta direcionado uma pilha AA através de suas extremidades Esta parece ser para dentro do plano da figuraEm x x uma forma pratica de gerar eletricidade t 0 B 0 O campo magné 2928 Fems do movimento nos transportes Avides e trens tico ento comeca a aumentar x x x x x se movem através do campo magnético da Terra a velocidades com Bt 0380 Tyr Qual é escalares relativamente altas portanto é razoavel imaginar se a corrente na espira médulo direcg4o e sentido no instanteem esse campo pode exercer um efeito substancial neles Devemos que B 133 T usar um valor tipico de 050 G para o campo da Terra a O trem francés TGV e 0 trembala japonés atingem velocidades de até Segao 294 Forga eletromotriz produzida 290 kmh deslocandose sobre trilhos separados por uma distan pelo movimento cia aproximada de 15 m Na velocidade maxima no sentido 2924 Uma espira de fio retangular com dimens6es de 150 perpendicular ao campo magnético da Terra qual a diferenga cm por 800 cm e resistencia R 0600 Q esta sendo puxada ge potencial induzida através dos trilhos enquanto as rodas para a direita saindo de uma regiao de campo magnético uni giram Esse valor grande o suficiente para produzir efeitos forme O campo magnético possui médulo B 240 Te esta notaveis b O avidio Boeing 747400 possui envergadura de asa direcionado para dentro do plano da Figura E2924 No instante ge 644 me uma velocidade de cruzeiro de 900 kmh Quando em que a velocidade da espira de 300 ms e ainda esta parcial y39 h4 vento soprando de modo que essa também é sua veloci mente na regiao do campo que forga modulo diregao e sentido dade em relacdo ao solo qual a diferenga de potencial maxima 0 campo magnético exerce sobre a espira que poderia ser induzida entre as pontas opostas das asas Esse Figura E2924 valor é suficientemente grande para causar problemas ao avido 2929 Na Figura E2929 uma barra condutora ab esté em Se contato com os trilhos ca e db O dispositivo encontrase em um B aye x x x x x campo magnético uniforme de 0800 T perpendicular ao plano da figura a Calcule o médulo da fem induzida na barra quando x x ela se desloca da esquerda para a direita com velocidade igual a 750 ms b Em que sen x x x x x tido a corrente flui na Figura E2929 barra c Sabendo que a Xe X xX Xqx x 2925 Na Figura E2925 uma barra condutora de compri resisténcia do circuito abcd mento L 300 cm se move através de um campo magnético B é igual a 150 suposta x v x de médulo 0450 T orientado para dentro do plano da figura A mente constante deter B 500 cm barra se desloca com velocidade v 50 ms no sentido indicado mine 0 médulo a direc4o e I L a Qual é a diferenga de potencial entre as extremidades da osentidodaforganecessé yd y yx yoby x barra b Qual dos dois pontos a ou b possui potencial mais ria para manter a barra se 336 Fisica Ill deslocando da esquerda para a direita com velocidade de 750 movendose com velocidade v Ver Figura E2934 a Se o vaso ms Despreze 0 atrito d Compare a taxa do trabalho mecanico sanguineo for colocado em um campo magnético B perpendicular realizado pela forga magnética Fu a taxa da energia térmica ao vaso como na figura mostre que a diferenca de potencial de dissipada no circuito R movimento induzida por ele é uvBd b Se vocé espera que o 2930 Uma barra metalica com 0650 m de comprimento sangue esteja fluindo a 15 cms para um vaso de 50 mm de dia puxada para a direita a 50 ms regulares e perpendicularmente a metro que intensidade de campo magnético sera necessdria para um campo magnético uniforme de 0750 T A barra desliza sobre produzir uma diferenca de potencial de 10 mV c Mostre que trilhos metalicos paralelos conectados por um resistor de 2500 a taxa de volume do fluxo R do sangue é igual a R 7Ed4B Figura E2930 de modo que o aparato faz um circulo com Nota embora o método pleto A resistncia da barra e dos trilhos pode ser desprezada desenvolvido aqui seja a Calcule 0 médulo da fem Util na medicaio da taxa de Figura E2934 induzida no circuito b Figura E2930 fluxo sanguineo em um x xXBX x Determine 0 sentido da cor x x x x x vaso ele é limitado ao uso rente induzida no circuito i P na cirurgia pois a medicao usando a forga magnética sobre R do potencial precisa ser x xX xX xX as cargas na barraem movi x x x feita diretamente através mento ii usando a lei de woe ee SB do vaso Faraday ili usando a lei de 2935 Um circuito retangular se move a uma velocidade Lenz c Calcule a corrente constante de 30 ms para dentro através e para fora de um campo através do resistor magnético uniforme de 125 T como indica a Figura E2935 2931 Uma barra metélica com 0360 m é puxada paraaes A regido do campo magnético consideravelmente maior que querda por uma forga aplicada F A barra desliza sobre trilhos 500 cm Ache 0 médulo e o sentido hordrio ou antihorario da metalicos paralelos conectados através de um resistor de 450 corrente induzida no circuito enquanto ele a entra no campo como indica a Figura E2931 de modo que o dispositivo faz magnético b esta totalmente dentro do campo porém ainda se um circuito completo A resisténcia da barra e dos trilhos pode movendo e c movendose para fora do campo d Desenhe um ser desprezada O circuito esta em um campo magnético uni grafico da corrente nesse circuito em funcao do tempo incluindo forme de 0650 T direcio os trés casos anteriores nado para fora do plano da Figura E2931 Figura E2935 figura No instanteem que a barra esta se movendo B 30 ms para aesquerdaa590 ms e B a 25 7 se ee a a corrente induzida no R oe ee circuito estéem sentido ho 1250 s 750 cm Sk ke ee ek rario ou antihordrio e b qual éataxaaqualaforga 500 cm es 8 e e 8 8 8 aplicada esta realizando tra balho sobre a barra 2932 Considere o circuito mostrado na Figura E2931 mas Segao 295 Campos elétricos induzidos com a barra movendose para a direita com velocidade v Como 2936 Um anel metilico de 450 cm de diametro colocado no Exercicio 2931 a barra possui comprimento de 0360 m R entre os polos norte e sul de grandes fmas cujos planos da area 450 Oe B 0650 T a A corrente induzida no circuito esta sao perpendiculares ao campo magnético Esses imas produzem em sentido hordrio ou antihorério b Em um instante em que Um campo inicial uniforme de 112 T entre eles mas sao gra o resistor de 450 Q esta dissipando energia elétrica a uma taxa dualmente separados fazendo esse campo permanecer uniforme de 0840 Js qual é a velocidade da barra mas diminua regularmente em 0250 Ts a Qual é 0 médulo do 2933 Uma barra com 0250 m de extensiio sobre trilhos pa campo elétrico induzido no anel b Em qual sentido horario ralelos que estao conectados por um resistor de 600 0 como ou antihor4rio a corrente flui do ponto de vista de alguém no mostra a Figura E2933 de modo que 0 dispositivo forma um polo sul do ima circuito completo Despreze a resisténcia da barra e dos trilhos 2937 O campo magnético no interior de um solenoide reti O circuito esta em um campo lineo longo com segao reta circular de raio R esta crescendo a magnético uniforme B Figura E2933 uma taxa dBdt a Qual é a taxa de variacdo do fluxo magnético 120 T que esté direcionado ne através de um circulo de raio r no interior do solenoide per para o plano da figura Em um pendicular ao eixo do solenoide e centralizado sobre seu eixo instante em que a corrente in ee b Calcule o médulo do campo elétrico induzido no interior do duzida no circuito esta em sen se se B se se solenoide a uma distancia r de seu eixo Mostre a direc4o e 0 tido antihorario e igual a 175 sentido desse campo em um diagrama c Qual é o médulo do Aqualéavelocidadedabarra campo elétrico induzido fora do solenoide a uma distancia ry médulo direcdo e sentido de seu eixo d Faga um grafico do campo elétrico induzido em 2934 BIO Medindo o fluxo sanguineo O sangue contém fungiio da distancia r de seu eixo desde r 0 até r 2R e fons positivos e negativos e sendo assim um condutor Um vaso Qual o médulo da fem induzida em uma espira circular de raio sanguineo portanto pode ser visto como um fio elétrico Podemos igual a R2 que possui centro sobre 0 eixo do solenoide f Qual até mesmo imaginar o sangue fluindo como uma série de caminhos sera o médulo da fem induzida se 0 raio da espira do item e condutores paralelos cuja espessura tem o didmetro d do vaso for igual a R g Ese 0 raio da espira do item e for igual a 2R Capitulo 29 Indugao eletromagnética 337 2938 Um solenoide fino possui 900 espiras por metroeraio Secao 298 Supercondutividade de 250 cm A corrente no solenoide cresce a uma taxauniforme 2945 Nas vizinhangas do zero absoluto B tende a 0142 T de 360 As Qual é 0 médulo do campo elétrico induzidoemum para o vanddio que é um supercondutor do tipo I A fase normal ponto préximo do centro do solenoide e situado a uma distancia do vanadio possui uma suscetibilidade magnética préxima de do eixo do solenoide a igual a 0500 cm b Igual a 10 cm zero Considere um cilindro de vanddio longo e fino com seu 2939 Um solenoide fino possui 400 espiras por metroe raio eixo paralelo a um campo magnético externo Bo no sentido x de 110 cm A corrente no solenoide cresce a uma taxa uniforme Para pontos muito afastados das extremidades do cilindro por didt O campo elétrico induzido em um ponto pr6ximo do centro simetria todos os vetores magnéticos sdo paralelos ao eixo Ox do solenoide e a uma distancia de 350 cm de seu eixo é iguala Em temperaturas proximas do zero absoluto qual deve ser 0 80 X 10 Vim Calcule didt campo magnético Bea magnetizacao M no interior e no exterior 2940 Ocampo magnético B em todos os pontos do circulo do cilindro longe das extremidades para a Bo 0130 Ti no interior do anel indicado na Figura E2915 possui médulo b By 0260 T inicial igual a 0750 T O circulo poderia representar aproxi madamente 0 espaco no interior de um solenoide longo e fino PROBLEMAS compe magnético esti direcionado para 0 interior da figura e 2946 Umaespira retangular muito longa pode deslizar sem cin auma taxa igual a 00350 Tis a Qual a forma das atrito sobre uma superficie horizontal Inicialmente a espira inhas do campo elétrico induzido indicado na Figura E2915 no interior desse circulo b Quais sao o médulo a direcg4o e o Possut parte de sua area em uma regiaio de campo magnetico sentido desse campo em qualquer ponto do anel condutor com univorme com ae en dete O vane a raio de 0100 m c Qual é a corrente que circula no anel sa e aA 0 a ncitencia R 500 x 1033 0 m es na eneontra bendo que sua resisténcia é de 400 Q d Qual é a fem entre os eal at t d for a a stante F pontos a e b do anel e Se o anel for cortado em um certo ponto 01 BON eplicada te oe ae cia fora do cam 5 e as extremidades forem ligeiramente separadas qual sera a fem Figura 2946 a Oval 1é ane ragao i espira quando ue 9 46 Dodd Un colenoide rto longo com seAo reta de area igual 300 cms b Quais so a velocidade terminal da espira sua a 800 cm contém 90 espiras por centimetro e conduz uma cor aceleracao quando ela esta se movendo nessa velocidade termi rente igual a 0350 A Um segundo enrolamento com 12 espi nal c Qual a aceleragao da espira quando ela esta completa ras circunda 0 centro do solenoide A corrente no solenoide é Me fora do campo magnético desligada de modo que 0 campo magnético deste se anula em Figura P2946 00400 s Qual é a fem média induzida no segundo enrolamento eB Secao 297 Corrente de deslocamento e equagées 400 cm de Maxwell GG 2942 Um capacitor de placas paralelas e cheio de ar esta KK 600 cm sendo carregado como indica a Figura 2923 As placas circula ne res possuem raio de 400 cm e em um dado instante a corrente 2947 PC CALC Nocircuito indicado na Figura P2947 0 de condugao nos fios de 0520 A a Qual a densidade de capacitor possui capacitancia C 20 uF e carga inicial de 100 V corrente de deslocamento jp no espago entre as placas b Qual com a polaridade indicada O resistor Rg possui resisténcia de a taxa de variacao do campo elétrico entre as placas Qual 10 No instante t 0 a chave S é fechada O pequeno circuito 0 campo magnético induzido entre as placas a uma distancia nao esta conectado de forma alguma ao maior O fio do circuito de 200 cm do eixo d E a 100 cm aes pequeno possui resisténcia de 10 Om e contém 25 espiras O 2943 Corrente de deslocamento em um dielétrico circuito maior é um retangulo de 20 m por 40 m enquanto o Suponha que as placas paralelas na Figura 2923 possuam area menor possui dimensdes de a 100 cme b 200 cm A dis de 300 cm e estejam separadas por uma lamina de dielétrico tancia c é igual a 50 cm A figura nao esta em escala Ambos com 250 mm de esp essura que P reenche completamente VO 0s circuitos sfio mantidos estéticos Suponha que somente o fio lume entre as placas O dielétrico possui constante dielétrica mais préximo do circuito de 470 Os efeitos das bordas podem ser desprezados Em pequeno produza um campo Figura P2947 determinado instante a diferenga de potencial entre as placas magnético consideravel igual a 120 V e a corrente de condugao ic iguala 600 MA através dele a Determine s Nesse instante quais sao a a carga qg em cada placa b ataxa 4 corrente no circuito maior Cc de variacgao da carga sobre as placas c a corrente de desloca 299 us apos S ser fechada b mento no dielétrico b Determine a corrente pr 2944 CALC Na Figura 2923 as placas do capacitor pos yg circuito pequeno 200 us c suem drea de 500 cm e separacdo de 200 mm As placas estiio apos S ser fechada Dica em um vacuo A corrente de carga possui um valor constante de veja o Exercicio 297 c 180 mA No instante t 0 a carga nas placas é igual a zero a Ache o sentido da corrente Calcule a carga sobre as placas o campo elétrico e a diferenga no circuito pequeno d Justifique por que podemos ignorar o de potencial entre elas quando t 0500 us b Calcule dEdta campo magnético de todos os fios do circuito maior exceto 0 do taxa de variagéo com o tempo do campo elétrico entre as placas fio mais proximo do circuito pequeno dEdt varia com o tempo c Calcule a densidade de correntede 2948 e PC CALC No circuito indicado na Figura P2947 deslocamento jp entre as placas e partir desse valor a corrente uma fem de 900 V acrescentada em série com 0 capacitor e 0 de deslocamento total ip Como ic e ip se comparam resistor e 0 capacitor esté inicialmente descarregado A fem é 338 Fisica Ill colocada entre 0 capacitor e a chave S com o terminal positivo espiras é 2000 a Qual area deve ter a bobina b Se a bobina da fem adjacente ao capacitor De outra forma os dois circui for circular qual sera a velocidade de translagéo maxima de um tos séo os mesmos do Problema 2947 A chave é fechadaem ponto na bobina enquanto ela gira Vocé acha que esse disposi t 0 Quando a corrente no circuito grande é 500 A quais sio tivo é vidvel Explique o médulo e o sentido da corrente induzida no circuito pequeno 2953 Uma espira circular flexivel com diametro igual a 2949 CALC Umsolenoide retilineo muito longo com 4rea 650 cm esta no interior de um campo magnético de médulo de seco reta igual a 200 cm é enrolado com 900 voltas de fio igual a 135 T direcionado para o interior da pagina na Figura por centimetro Comegando em t 0 a corrente no solenoide 2953 A espira é es esté aumentando de acordo com it 0160 As Umen ticada nos pontos in Figura P2953 rolamento secundario de 5 voltas envolve o solenoide em seu dicados pelas setas x xX mx x centro de modo que 0 enrolamento secundario possuia mesma reduzindo a 4rea da es secao reta do solenoide Qual é o médulo da fem induzida no piraaté zeroem0250s x a enrolamento secundario no instante em que a corrente no sole a Calcule a fem média noide é 320 A induzida no circuito b R 2950 Suponha que a espira da Figura P2950 seja a girada Qual éosentidodacor x x b em torno do eixo Oy b girada em torno do eixo Ox c girada rente que flui em R de lw em torno de um lado da espira paralelo ao eixo Oz Qualéafem aparaboudebparaa Y XX induzida maxima em cada um desses casos considerando A Explique seu raciocinio 600 cm 350 rads e B 0320 T 2954 eee CALC Uma barra condutora de comprimento L Figura P2950 0200 m massa m 0120 kg e resistencia R 800 0 se move sem atrito sobre trilhos metdlicos como indica a Figura 2911 z Um campo magnético uniforme com moddulo B 150 T esta entrando no plano da figura A barra parte do repouso e sofre a r acao de uma forca constante com médulo F 190 N orientada a y para a direita Quantos segundos depois que a forga é aplicada a DH Sa barra atinge uma velocidade de 250 ms I 2955 e CALC Um fio muito longo e cilindrico de raio R Nx transporta uma corrente Ip uniformemente distribuida Figura P2955 2951 Na Figura P2951 a espira esta sendo puxada para Cua da nese ret do fo a direita a uma velocidade escalar constante v Uma corrente cue one magnetico rn através de um retangulo constante J flui pelo fio longo no sentido indicado a Calcule que possui lado com com o médulo da fem induzida resultante na espira Faga isso de 5 primento W descendo pelo duas formas i usando a lei de Faraday da indugao Dica veja centro do fio e outro lado o Problema 297 ii analisando a fem induzida em cada seg ga omprimento R como a mento da espira em funcao de seu movimento b Determine jngica 4 Figura P2955 o sentido horario ou anti veja o Exercicio 297 horario da corrente indu Figura P2951 2956 PC CALC Velocidade terminal Uma barra com zida na espira Faca isso comprimento L 036 m esta livre para deslizar sem atrito sobre de duas formas i usando trilhos horizontais como indica a Figura P2956 H4 um campo a lei de Lenz e ii usando a magnético uniforme B 24 T orientado para dentro do plano da a forga magnética sobre as r figura Em uma das extremidades dos trilhos ha uma bateria com cargas na espira c Confira 3 fem 12 Veumachave S A barra possui massa de 090 kg sua resposta para a fem no b e resisténcia de 50 Q e todas as demais resisténcias no circuito item a nos seguintes casos podem ser ignoradas A chave é fechada no instante t 0 a especiais para verificar se é Faca um desenho da velocidade escalar da barra em fungao do razoavel em termos fisicos tempo b Logo apés a chave ser fechada qual é a aceleracgao da i a espira esta estatica ii barra c Qual é a acelerag4o da barra quando sua velocidade es a espira muito delgada calar é igual a 20 ms d Qual a velocidade terminal da barra portanto a 0 ili a espira Fi P2956 fica muito distante do fio igura Nes 2952 Montar um gerador Vocé é um naéufrago em uma x 8 8 MBX ilha tropical deserta Ha alguns instrumentos elétricos disponiveis Be we que podem ser operados através de um gerador mas vocé nao T possui nenhum ima O campo magnético da Terra na sua locali x x x L zacao horizontal e possui médulo 80 X 1075 T e vocé decide s tentar usar esse campo para montar um gerador girando uma grande bobina circular a uma taxa elevada Vocé precisa produzir x x Ke x um pico de fem de 90 V e estimar que pode girar a bobina a 30 rpm virando uma manivela Vocé também decide que para 2957 CALC O fio retilfneo longo indicado na Figura ter uma resisténcia aceitavel na bobina o nimero maximo de P2957a conduz uma corrente constante Uma barra metalica Capitulo 29 Indugao eletromagnética 339 de comprimento L se move com velocidade constante 0 como 2961 PC CALC Uma espira retangular com largura L indica a figura O ponto a esté a uma distancia d do fio a e um fio deslizante com massa m estao como indica a Figura Calcule a fem induzida na barra b Qual dos dois pontos a ou 2961 Um campo magnético uniforme B esta orientado perpen b possui potencial mais elevado c Se a barra for substitufda dicularmente ao plano da espira para dentro do plano da figura por uma espira retangular de resisténcia R Figura P2957b qual O fio deslizante recebe uma velocidade escalar inicial vg e a sera o mddulo da corrente induzida na espira seguir é liberado Nao ha atrito entre o fio deslizante e a espira e a resisténcia da espira é desprezivel em comparacao 4 resisténcia Figura P2957 R do fio a Obtenha uma a I b I expressdo para F o médulo Figura P2961 re re da forca exercida sobreo X X 2X XxX xX Xx x K K fio enquanto ele se move a uy d d xix ix x Kx x a uma velocidade escalar v v B L b Mostre que a distancia xxx x x x v t t x que o fio percorre antes L L L u de atingiro repousoéx X XxX XX mv oRIL7B 2962 CALC A hélice de um aviéo com comprimento total b ke ys L gira em torno de seu centro com velocidade angular w em um campo magnético perpendicular ao plano da rotacgao Modelando 2958 CALC Umanel condutor circular com raio ry 00420 a hélice como uma barra delgada e uniforme determine a dife oe renga de potencial entre a 0 centro e qualquer extremidade da m esta sobre o plano xy em uma regiao onde existe um campo ne ae 2 37 hélice e b as duas extremidades c Se 0 campo 0 campo da magnético uniforme B Bol 3tfg ii 1k em que fo Terra de 050 G e a hélice gira a 220 rpm e tem 20 m de com 00100 s e permanece constante t o tempo k é um vetor unitério primento qual é a diferenca de potencial entre o meio e qualquer orientado no sentido z e By 00800 T e permanece constante das extremidades Esse valor chega a ser preocupante Nos pontos a e b Figura P2958 existe uma pequena abertura 2963 O campo magnético B em todos os pontos de uma do anel cujas extremidades sao conectadas a fios que conduzem regio circular de raio R 6 uniforme e estd direcionado para o a corrente para um circuito externo com resisténcia R 1200 interior do plano da pagina como indicado na Figura P2963 Nao ha nenhum campo magnético no local onde esté 0 circuitoex Essa regido poderia ser a seco terno a Deduza uma expressao em fungao do tempo paraofluxo reta de um solenoide reto longo Figura P2963 magnético total Pz através do anel b Calcule a fem induzidano Sabendo que o campo magnético a anel para t 500 X 107 s Qual esta crescendo com uma taxa dB x ex x a polaridade da fem c Comoo Figura P2958 dt determine o médulo a direcao nna us a anel possui uma resistncia interna y eo sentido das forgas magnéticas B r a corrente que flui através de R no que atuam sobre uma carga q nos OS a instante calculado no item b é de pontos a bec O ponto a esta a x x x ry x apenas 300 mA Determine a resis uma distancia r acima do centro x x Rf x x téncia interna do anel d Calcule da regiao o ponto b esta a uma y a fem induzida no anel para t k ab distancia r do lado direito do cen Cy 121 X 10 s Qual é a polaridade J 00 tro da regido e o ponto c esta no da fem e Determine o instante em z centro da regiao que a corrente que flui através de R 2964 PC CALC Um capacitor possui duas placas para inverte seu sentido lelas com area A separadas por uma distancia d O espacgo entre 2959 CALC Uma haste fina de comprimento igual a as placas esta preenchido com um material que possui constante 0240 m gira com velocidade angular de 880 rads em torno dielétrica K O material nao é um isolante perfeito mas possui de um eixo perpendicular 4 haste e passando em uma de suas resistividade p O capacitor tem carga inicial de médulo Qj em extremidades O plano da rotacao da haste perpendicularaum cada placa que gradualmente se descarrega em virtude da con campo magnético uniforme com médulo igual a 0650 T a dugio através do dielétrico a Calcule a densidade da corrente Qual é a fem induzida na haste b Qual é a diferenca de po de conduc4o jcf no dielétrico b Mostre que em qualquer tencial entre as suas extremidades c Suponha que em vez da instante a densidade da corrente de deslocamento no dielétrico é rotacao anterior a haste gire com 880 rads em torno de umeixo igual em mddulo a densidade da corrente de condugdo mas com perpendicular a haste passando em seu centro Agora qual a sentido contrario de modo que a densidade de corrente total é diferencga de potencial entre suas extremidades Eentreocentro igual a zero a todo instante e uma de suas extremidades 2965 eee CALC Um dielétrico de permissividade 35 x 2960 Uma haste metdlica de 250 cm de comprimento esta 107 Eym preenche completamente o volume entre duas placas sobre o plano xy formando um Angulo de 369 com o sentido de um capacitor Para t 0 o fluxo elétrico através do dielétrico positivo do eixo Ox e um Angulo de 531 como sentido positivo 80 X 10 V msf O dielétrico é ideal e naio magnético a do eixo Oy A haste se move no sentido x com velocidade corrente de conduc4o no dielétrico é igual a zero Em qual ins igual a 680 ms e esta em um campo magnético uniforme B tante acorrente de deslocamento no dielétrico é igual a 21 wA 0120 T 0220 T7 00900 Tk a Qual 0 médulo da 2966 DADOS Vocé esta avaliando 0 desempenho de fem induzida na haste b Facga um desenho para indicar qual um eletroima grande O campo magnético do eletroima é zero extremidade da haste possui o potencial mais elevado em 0 e aumenta a medida que a corrente fluindo pelos 340 Fisica Ill enrolamentos do eletroima aumenta Vocé determina 0 campo magnético em fun4o do tempo medindo a dependéncia de tempo viems 20 40 60 80 100 da corrente induzida em uma pequena bobina inserida entre os polos do eletroima com o plano da bobina paralelo as faces do a Desenhe um grafico de F em fungao de v Explique por que polo como na Figura 295 A bobina possui 4 voltas um raio de os pontos de dados desenhados dessa maneira formam uma linha 0800 cm e uma resisténcia de 0250 Vocé mede acorrenteina aproximadamente reta e determine a inclinagao da linha reta com bobina em fungao do tempo Seus resultados so representados 0 melhor ajuste para os dados na Figura P2966 No decorrer de suas medigGes a corrente in b Use seu grafico do item a duzida na bobina permanece no mesmo sentido Calculeocampo para calcular o médulo B do Figura P2968 magnético no local da bobina para a t 200 s b t 500s campo magnético uniforme B e140 cm ect600s c Na Figura P2968 acor eff7we v Figura P2966 rente induzida na espira tem fin LE sentido hordrio ou antihora 800 cm F imA rio d Com que velocidade K ss 350 a energia elétricaestasendo e e 300 eeoeoeo0e 250 dissipada na espira quando 200 e e sua velocidade é de 500 cms 150 e e oso PROBLEMAS DESAFIADORES 000 ts 2969 eee Uma barra metalica de comprimento L massa m 00 10 20 30 40 50 60 70 e resisténcia total R esta sobre trilhos metdlicos sem atrito in clinados em um Angulo em relagao 4 horizontal Os trilhos 2967 DADOS Vocé esta realizando uma experiéncia na possuem resisténcia desprezivel Um campo magnético uniforme qual uma barra metdlica com comprimento de 600 cme massa de médulo B esta orientado para baixo como indicado na Figura de 0200 kg se desloca sem atrito sobre dois trilhos de metal P2969 A barra é liberada do repouso e desliza para baixo sobre paralelos Figura P2967 Um resistor com resistncia R 9s trilhos a O sentido da corrente induzida é de a para b ou de 0800 é conectado por uma das extremidades dos trilhos de 4 para a b Qual é a velocidade terminal da barra c Qual sera modo que a barra os trilhos e 0 resistor formem um circuito con a corrente induzida na barra quando a velocidade terminal for dutor completo As resisténcias dos trilhos e da barra s4o muito atingida d Depois que a velocidade terminal é atingida qual menores que R podendo ser desprezadas O dispositivo inteiro a taxa da conversio de energia elétrica em energia térmica na esta em um campo magnético uniforme B na direcao do plano da barra e Depois que a velocidade terminal é atingida qual é a figura A barra recebe uma ve taxa do trabalho realizado pela forga da gravidade Compare sua locidade inicial v 200 cms Figura P2967 resposta 4 taxa encontrada no item d para a direita e depois é lar gada de modo que a tinica x Bp xX x x Figura P2969 forca sobre a barra passa a ser 5 a exercida pelo campo mag a v a B nético Usando fotografias de R x AQ alta velocidade vocé mede o b médulo da aceleracao da barra b em fungdo de sua velocidade Seus resultados aparecem e nesta tabela ems 200 160 140 120 100 80 2970 ees PC CALC Uma espira condutora quadrada de lado 62 49 43 37 31 25 L massa total m e resisténcia total R esta inicialmente sobre um plano horizontal xy com os vértices nos pontos x y Z a Desenhe um grafico de a em funcao de v Explique por que 0 0 0 0 L 0 LZ 0 0 e L L 0 Na regiao dentro e ao redor os pontos de dados desenhados dessa maneira formam uma linha da espira existe um campo magnético uniforme de baixo para aproximadamente reta e determine a inclinagdo dalinharetacom cima B Bk O lado da espira que se estende de 0 0 0 até o melhor ajuste para os dados b Use seu grafico do item a L 0 0 mantido fixo sobre 0 eixo Ox o restante da espira pode para calcular 0 médulo B do campo magnético c Enquanto a girar livremente em torno desse eixo Quando a espira liberada barra esta se movendo qual extremidade do resistor a ou b esta do repouso ela comeca a girar em virtude do torque produzido no potencial mais elevado d Quantos segundos so necessarios pela forca da gravidade a Determine o médulo a direcio e para que a velocidade da barra passe de 200 cms para 100 cms do do torque resultante sobre a espira no momento em 2968 e DADOS Vocé mede o médulo da forga externa sentido 4 P F que precisa ser aplicada a uma espira condutora retangular que ela esta girando para baixo com velocidade angular w ja para puxala a uma velocidade constante v para fora de uma girou um Angulo em relagao posigao inicial 0 Calcule a regidio com campo magnético uniforme B cuja direcao é o plano acelerac4o angular da espira no instante descrito no item a c da Figura P2968 A espira possui dimensées de 140 cm por Comparando com o tempo que ela levaria para girar na ausncia 800 cm e uma resisténcia de 400 X 1077 Q ela ndo muda de de campo magnético a espira leva um tempo maior ou menor forma enquanto se movimenta As medigdes que vocé obtém para girar um Angulo de 90 Explique d A energia mecanica aparecem na tabela a seguir é conservada quando a espira gira para baixo Explique Capitulo 29 Indugao eletromagnética 341 Problemas com contexto BIO ESTIMULANDO O CEREBRO A comunicagéo no 2972 Imagine que 0 tecido cerebral no nivel da linha tracejada sistema nervoso é baseada na propagacao de sinais elétricos seja uma série de circulos concéntricos cada um se comportando chamados potenciais de agdo ao longo dos ax6nios que sio ex de forma independente dos outros Onde a fem induzida sera tensdes das células nervosas veja os Problemas com contexto maior a No centro da linha tracejada b na periferia da linha no Capitulo 26 Os potenciais de acao sao gerados quando a tracejada c em lugar nenhum ela serd a mesma em todos diferenca de potencial elétrico pela membrana da célula nervosa os circulos concéntricos d no centro enquanto a corrente de varia especificamente o interior da célula tornase mais positivo estimulacdo aumenta e na periferia enquanto a corrente diminui Os pesquisadores em medicina clinica e neurobiologia nao con 2973 Podese desejar aumentar a corrente induzida maxima no seguem estimular os nervos até mesmo de forma nao invasiva tecido cerebral Na Figura P2973 qual grafico do campo mag em locais especificos nos individuos humanos conscientesO nético B na bobina em fundo do tempo alcanga esse objetivo uso de eletrodos para aplicar corrente na pele é doloroso e requer Suponha que tudo o mais permaneca constante a A b B c grandes correntes 0 que poderia ser perigoso A ouB d nem A nem B Anthony Barker e seus colegas na Universidade de Sheffield na Inglaterra desenvolveram uma técnica chamada estimulacdo Figura P2973 magnética transcraniana TMS Nesse procedimento bastante BT BT utilizado uma bobina posicionada perto do cranio produz um 6 6 TA campo magnético variando em fung4o do tempo que induz no 4 4 tecido condutor do cérebro ver parte a da figura correntes A B elétricas suficientes para causar potenciais de acdo nas células 2 2 nervosas Por exemplo se a bobina for colocada perto do cor sg tms 0 t ms tex motor a regiao do cérebro que controla 0 movimento vo 0 02 04 06 08 10 0 02 04 06 08 10 luntario os cientistas podem monitorar a contragéo muscular e avaliar as conex6es entre o cérebro e os musculos A parte b 2974 Qual grafico da Figura P2974 representa melhor a cor da figura é um grafico da dependéncia tipica sobre o tempo tdo rente i induzida no tecido cerebral em fungiio do tempo f supondo campo magnético B produzido pela bobina que esse tecido possa ser modelado como um circuito resistivo As unidades de i sao arbitrarias a A b B c C d D a b Figura P2974 i TK 5 2 RR nN 2 3 A B 2 I t ms t ms ol 02 04 06 08 10 t ms 0 05 10 0 05 10 2971 Na parte a da figura um pulso de corrente aumenta até um pico e depois diminui até zero no sentido mostrado na bobina de estimulagao Qual sera o sentido da corrente induzida Cc 0 05 A0 ms linha tracejada no tecido cerebral a 1 b 2 c 1 enquanto t ms a corrente aumenta na bobina e 2 enquanto a corrente diminui 0 05 10 D d 2 enquanto a corrente aumenta na bobina e 1 enquanto a corrente diminui RESPOSTAS Resposta a pergunta inicial do capitulo induzida é positiva como na Figura 296b ddt 0 iv A medida que a tarja magnética se move através do dispo Ao apontar o polegar da sua mAo direita para dentro da pagina sitivo de leitura do cartaéo a configuragao da magnetizagao co seus dedos se dobram no sentido hordrio portanto esse é 0 sen dificada na tarja provoca uma variacao no fluxo magnético Um tido da fem induzida positiva b Como a forma da bobina nao campo elétrico é induzido e consequentemente uma corrente esta mais variando o fluxo magnético nao esta variando e nio induzida nos circuitos de leitura Se o cartéo nao se mover nao Wh fem induzida haveré fem induzida nem corrente e nenhuma informagéo do 293 Respostas a i b iii Em a como na situacio cartao de crédito sera lida original o ima e a espira se aproximam entre si e o fluxo de cima Respostas as perguntas dos testes para baixo através da espira aumenta Logo a fem induzida e a de compreensao corrente induzida sao as mesmas No item b como 0 imf ea 292 Respostas a i b iii a Inicialmente hd fluxo espira estéo se movendo juntas o fluxo através da espira nao magnético orientado para o interior do plano da pagina que de varia e nenhuma fem é induzida signamos como positivo A medida que a espira comprimida 294 Respostas a iii b i ou ii ii ou iii Vocé o fluxo se torna menos positivo dzdt 0 e assim a fem obtera o valor maximo da fem do movimento ao segurar a haste 342 Fisica lll verticalmente de modo que seu comprimento esteja perpendicu magnética para a esquerda F IL X B sobre as correntes que lar tanto ao campo magnetico quanto ao sentido do movimento atravessam um campo magnético B orientado para fora do plano Com essa orentaao Lé paralelo aU X B Ao segurar a haste da figura as correntes de Foucault devem se mover de cima em qualquer orientacdo horizontal L sera perpendicular aU X para baixo na figura ou seja no mesmo sentido indicado na B e nenhuma fem sera induzida Ao caminhar rumo ao norte ou Figura 2920b ao sul U X B 0 e nenhuma fem sera induzida para qualquer 297 Respostas a lei de Faraday b lei de Ampére Um orientagao da haste dispositivo de leitura de cartao de crédito funciona induzindo 295 Respostas sim nao O campo magnetico emuma posl correntes nas bobinas do leitor quando a tarja magnetizada do cao fixa varia quando vocé move o ima o que induz um campo cartiio é passada veja a resposta a pergunta inicial do capitulo elétrico Esses campos elétricos induzidos ndo sao conservativos A Jej de Ampére descreve como correntes de todos os tipos tanto 296 Resposta iii Pela lei de Lenz a forga deve S Opor as correntes de conduao quanto as de deslocamento produzem ao movimento do disco através do campo magnético Como o campos magnéticos material do disco agora esté se movendo para a direita através da Papa Problema em destaque regiao do campo a fora F esta 4 esquerda ou seja no sentido D 16 IB contrario ao indicado na Figura 2920b Para produzir uma forga terminal PmPRE Muitos semáforos mudam quando um carro se apro xima de um cruzamento Esse processo funciona porque o carro contém i material con dutor ii material isolante que transporta uma carga elé trica resultante iii material ferromagnético iv material ferromagnético que já está magnetizado OBJETIVOS DE APRENDIZAGEM Ao estudar este capítulo você aprenderá 301 Como a corrente de uma bobina que varia no tempo pode induzir uma fem em outra bobina desconectada 302 Como relacionar a fem induzida em um circuito à taxa de variação de corrente no mesmo circuito 303 Como calcular a energia armazenada em um campo magnético 304 Como analisar circuitos que incluem tanto um resistor quanto um indutor bobina 305 Por que ocorrem oscilações elétricas em circuitos que possuem tanto um indutor quanto um capacitor 306 Por que as oscilações diminuem em circuitos com um indutor um resistor e um capacitor Revendo conceitos de 142 143 147 Movimento harmônico simples oscilações amortecidas 241 243 Capacitância energia do campo elétrico 262 264 Regras de Kirchhoff circuitos RC 284 287 288 Forças magnéticas entre condutores campo de um solenoide permeabilidade 292 293 297 Lei de Faraday lei de Lenz campos elétricos conservativos e não conservativos E nrole um pedaço de fio de cobre em volta de um lápis para formar uma bobina Se você colocar essa bobina em um circuito ela se comportará de forma bem diferente de um pedaço retilíneo de fio Em um carro comum movido a gasolina esse tipo de bobina torna possível que a bateria de 12 V produza os milhares de volts necessários para gerar a centelha no espaço entre os eletrodos da vela de ignição do motor e colocálo em funcionamento Outras bobinas desse tipo são usadas para manter as lâmpadas fluorescentes acesas Bobinas maiores instaladas sob as ruas da cidade são usadas para controlar o funcionamento dos semáforos Todas essas aplicações entre muitas outras envolvem os efeitos de indução que estudamos no Capítulo 29 Uma corrente variável em uma bobina induz uma fem em outra bobina adjacente O acoplamento entre as duas bobinas é descrito pela indutância mútua Uma corrente variável em uma bobina também induz uma fem na própria bobina Essa bobina denominase indutor a relação entre a fem e a corrente depende da indutância também chamada de autoindutância da bobina Quando existe inicialmente uma corrente em uma bobina a energia é liberada quando a corrente diminui esse princípio é usado nos sistemas de ignição dos automóveis Verificaremos que a energia liberada estava arma zenada no campo magnético produzido pela corrente que circulava inicial mente na bobina e examinaremos algumas aplicações práticas da energia do campo magnético Faremos também um estudo inicial do fenômeno que ocorre quando um indutor é parte de um circuito No Capítulo 31 estudaremos como um indutor se comporta em circuitos de corrente alternada e aprenderemos por que os indutores desempenham um papel essencial na eletrônica moderna 30 INDUTÂNCIA BookSEARSVol3indb 343 101115 705 PM 344 Fisica Ill 301 INDUTANCIA MUTUA Figura 301 Uma corrente i na Na Secao 284 consideramos a interagdo magnética entre dois fios que condu bobina 1 produz um fluxo zem correntes estaciondrias a corrente de um dos fios produz um campo magnético magnético através da bobina 2 que exerce uma forga sobre a corrente do outro fio Contudo quando existe uma IndutAncia miitua se a corrente corrente varidvel em um dos circuitos ocorre uma interaao adicional entre eles na bobina varia o fluxo variavel Considere duas bobinas vizinhas como ilustrado na Figura 301 Uma corrente na bobina 2 induz uma fem na circulando na bobina produz um campo magnético Be portanto um fluxo mag bobina 2 ays z ys nético através da bobina 2 Quando a corrente na bobina varia o fluxo magnético Bobina através da bobina 2 também varia de acordo com a lei de Faraday Secao 292 N espiras gs Bobina 2 isso produz uma fem na bobina 2 Sendo assim a variagao da corrente em um dos Np espiras circuitos produz uma corrente induzida no outro circuito ip ap Vamos analisar a situacdo ilustrada na Figura 301 com mais detalhes Empre If garemos letras mintsculas para designar grandezas que variam com o tempo por a a exemplo uma corrente varidvel sera designada por i geralmente com um subscrito B ll 7x2 para identificar o circuito Na Figura 301 uma corrente i na bobina induz um iX He campo magnético Be algumas das linhas de campo as linhas claras com setas passam através da bobina 2 Designamos por g 0 fluxo magnético através de Se cada espira da bobina 2 produzido pela corrente i na bobina Quando o fluxo magnético for diferente para as diversas espiras designaremos por Pg 0 fluxo magnético médio O campo magnético é proporcional a i de modo que Pg tam bém é proporcional a i Quando i varia Pg varia esse fluxo magnético varidvel induz uma fem na bobina 2 dada por dP zy E N dt 301 Figura 302 Esta escova de dentes Poderiamos representar a proporcionalidade entre Pp e i na forma Dgo elétrica utiliza a indutancia mutua cgnstantei contudo é mais conveniente incluir o nimero de espiras N na rela A base contém uma bobina a alimentada com corrente alternada go Introduzindo uma constante de proporcionalidade M chamada de indutan da tomada na parede Embora nao cia mtitua das duas bobinas escrevemos exista contato elétrico direto entre a ere Nea Ma 02 bobina no interior da propria escova recarregando sua bateria em que Pz 0 fluxo magnético através de uma dinica espira da bobina 2 Portanto Ny M21 dt dt Escova com bobina e podemos reescrever a Equacao 301 na forma conectada a uma bateria di Ma 303 Ou seja a variacao da corrente i na bobina induz uma fem na bobina 2 dire Base com bobina tamente proporcional a taxa de variagao da corrente i Figura 302 alimentada com A indutancia mttua definida pela Equacgao 302 pode ser escrita na forma corrente alternada conectada a uma tomada na parede My NoP ro Y Quando as bobinas estao no vacuo o fluxo magnético Pp através de cada espira da bobina 2 é diretamente proporcional a corrente i Entéo a indutancia a mutua M é uma constante que depende apenas da geometria das duas bobinas tamanho forma ntimero de espiras orientagao de cada bobina e distancia entre elas Na presenga de material magnético a Mz também depende das propriedades magnéticas do material Quando o material possui propriedades magnéticas nao Capitulo 30 Indutancia 345 lineares ou seja quando a permeabilidade relativa K definida na Seao 288 nao é constante e a magnetiza4o nao é proporcional ao campo magnético entao pz deixa de ser diretamente proporcional a corrente i Nesse caso a indutancia mutua também depende da corrente i Na presente discussao vamos supor que qualquer material magnético que esteja presente possua um valor de K constante de modo que o fluxo magnético seja diretamente proporcional a corrente e M dependa apenas da geometria Podemos repetir 0 raciocinio anterior para 0 caso oposto no qual uma corrente varidvel i na bobina 2 produza um fluxo magnético varidvel pz e induza uma fem na bobina 1 Verificamos que a constante correspondente M17 sempre igual a M embora geralmente as duas bobinas nao sejam idénticas e o fluxo através delas nado seja o mesmo Chamaremos esse valor comum simplesmente de indutancia mttua designada pelo simbolo M sem nenhum subscrito essa grandeza caracteriza completamente a fem induzida pela interagao entre as duas bobinas Logo podemos escrever Taxa de variacao Taxa de variagao Fem induzida Nobel Feminduzida hobs na bobina2 wee nabobinal i 4 di di mnutuamente f uM e 4 uM oa induzidas Indutancia mitua das bobinas 1 e 2 Os sinais negativos na Equaa4o 304 decorrem da lei de Lenz Secao 293 A primeira equagao afirma que a variacao da corrente na bobina produz uma variacao de fluxo magnético na bobina 2 induzindo uma fem na bobina 2 que se opGe a variacao desse fluxo na segunda equacao os papéis desempenhados pelas bobinas sao invertidos A indutancia mutua M é Eines Gemamoencee gioco espira da bobina 2 e ww espira da bobina 1 Meee yy Indutancia mitua mee YE N2P p NPpi 305 das bobinas e 2 pee iy o in Corrente na bobina 1 Corrente na bobina 2 gera fluxo na bobina 2 gera fluxo na bobina 1 ATENGAO Somente uma corrente variavel induz uma fem Observe que somente uma corrente que varia com o tempo em uma bobina pode induzir uma fem e portanto uma corrente em uma segunda bobina As equagdes 304 mostram que a fem induzida em cada bobina é diretamente proporcional a taxa de variacdo da corrente em outra bobina e nao ao valor da corrente Uma corrente estacionaria em uma bobina por mais potente que seja nao é capaz de produzir uma corrente em uma bobina vizinha A unidade SI de indutancia mitua denominase henry 1 H em homenagem ao fisico norteamericano Joseph Henry 17971878 um dos descobridores da indugao eletromagnética De acordo com a Equagao 305 verificamos que um henry igual a um weber por ampére Outras unidades equivalentes obtidas pela aplicagao da Equagao 304 sao 1H1WbA1VsA1081IA Assim como o farad é uma unidade relativamente grande de capacitancia ver Secdo 241 o henry também é uma unidade relativamente grande de indutancia mutua Valores usuais de indutancia mtitua podem ser expressos na faixa de mi lihenry mH ou microhenry WH 346 Fisica Ill Dificuldades e aplicagoes de indutancia mutua A indutancia mutitua pode ocasionar perturbag6es em circuitos elétricos visto que a variacao da corrente em um circuito é capaz de gerar uma fem indesejavel em outro circuito proximo Para amenizar esse efeito os sistemas compostos por muitos circuitos devem ser projetados procurandose minimizar os valores de M por exemplo duas bobinas devem ser montadas bem afastadas uma da outra Felizmente a indutancia mtitua também possui muitas aplicacées titeis Um transformador empregado em circuitos de corrente alternada para aumentar ou diminuir uma voltagem é fundamentalmente um dispositivo semelhante ao arranjo das duas bobinas indicadas na Figura 301 Uma corrente variavel alternada em uma bobina do transformador produz uma fem alternada na outra bobina 0 valor de M que depende da geometria das bobinas determina a amplitude da fem induzida na outra bobina e portanto a amplitude da voltagem na safda do transformador Vamos estudar os transformadores com mais detalhes no Capitulo 31 ACER CALCULO DE INDUTAN CA enn Em uma das versées da bobina de Tesla um gerador de alta Nygr N2BiA Np MoNiy MoANIND voltagem que talvez vocé j4 tenha visto em algum museu de M i i iy 1 A 1 ciéncias um solenoide longo de comprimento e secAo reta com area A possui Ni espiras enroladas de modo compacto Uma AVALIAR a indutancia miittua M de duas bobinas quaisquer é bobina com Nj espiras é enrolada em seu centro Figura 303 Ne proporcional ao produto NN de seus nimeros de espiras Note Determine a indutancia mutua M Aes que a indutancia muitua M depende apenas da geometria das bo a binas nao da corrente que passa através delas SOLUGAO Vejamos aqui um exemplo numérico para que vocé tenha ideia IDENTIFICAR E PREPARAR a indutancia miitua ocorre nessa das ordens de grandeza Considere 050 m A 10 cm situag4o porque uma corrente em uma das bobinas produz um 10 X 1077 m N 1000 espiras e N 10 espiras Portanto campo magnético que gera um fluxo através da outra bobina 4 305 Pelo Exemplo 289 Segao 287 temos uma expressao simples M 4m X 10 WbA m 10 X 10 m 1000 10 Equagao 2823 para o médulo do campo B no centro do so 050 m lenoide bobina 1 em termos da corrente do solenoide i Isso 25 x 10 WbA 25 X 10H 25 pH nos permite determinar o fluxo através de uma secfo reta do solenoide Como quase nao existe campo magnético fora de um solenoide muito longo este também é igual ao fluxo através Figura 303 Um solenoide longo com N espiras de cada espira da bobina externa 2 Entéo usamos a Equacao e segao reta de area A que contém em seu centro 305 na forma M Nj pi para determinar M uma bobina com N espiras EXECUTAR a Equacao 2823 é expressa em termos do nimero de espiras por unidade de comprimento que para o solenoide 1 én NL Assim DIX B l Mon iy MoM Area de secao retaA Wh mh 1 Wa O fluxo magnético através da segao reta do solenoide é igual a BA Como ja dissemos ele também é igual ao fluxo Pg através de cada espira da bobina externa qualquer que seja sua area da Nj espiras Np espiras secao reta De acordo com a Equacao 305 a indutancia mtitua M é dada por AUPE FEM PRODUZIDA POR INDUTANCIA MUTUA oo ussnusunnutninnninnininnninen No Exemplo 301 suponha que a corrente iy na bobina externa SOLUCAO 6 a seja dada pela expressao 72 20 X 10 Ast Correntes em fios nen TIFICAR E PREPARAR no Exemplo 301 determinamos a podem na verdade crescer com essa taxa elevada durante breves a 2 vas indutancia mutua relacionando a corrente no solenoide ao fluxo periodos a No instante t 30 ps qual é 0 fluxo magnético médio através de cada espira do solenoide bobina 1 produzido produzido na bobina externa para fazer isso usamos a Equagao pela corrente que circula na bobina externa b Qual éa fem 305 na forma M N 2Pg2i Neste exemplo temos a corrente induzida no solenoide iz na bobina externa e queremos determinar o fluxo resultante D Continua Capitulo 30 Indutancia 347 Continuagdo no solenoide A indutancia mtitua é a mesma em qualquer caso Enfatizamos que esse é um valor médio 0 fluxo pode variar bas e temos M 25 wH do Exemplo 301 Usamos a Equacao 305 tante entre o centro e as extremidades do solenoide na forma M Npiy para determinar 0 fluxo médio g que b Sabemos que i 20 X 10 Ast de modo que didt 20 x passa através de cada espira do solenoide gerado por uma dada 10 As entiio a fem induzida no solenoide é pela Equaciio 304 corrente 77 na bobina externa A seguir usamos a Equagao 304 di on 14 para determinar a fem induzida no solenoide pela variagao no M 25 X 106 H 20 X 10 A s 50V tempo da corrente i dt EXECUTAR a no instante t 30 ws 30 X 107 s acor fi levada foi obtid rente na espira externa é i 20 X 10 As 30 X 108 s AVALIAR essa sem clevada Tol obtl a come resposta a uma Var os Z riag4o muito rapida da corrente As bobinas de Tesla reais operam 60 A Explicitamos g na Equacao 305 através de cada espira ne da bobina 1 com correntes alternadas de alta frequéncia em vez da corrente continuamente crescente citada neste exemplo tanto didt quanto Mi 25 X 10 H 60 A 7 sao grandezas cujas amplitudes podem atingir valores milhares Oz N 4900 15 X 10 Wb de vezes maiores que os indicados neste exemplo TESTE SUA COMPREENSAO DA SEGAO 301 Considere a bobina de Tesla descrita no Exemplo 301 Se vocé montar um solenoide com o dobro de fio de modo que ele tenha o dobro de espiras e 0 dobro do comprimento quantas vezes maior sera a indutancia mutua 1 M sera quatro vezes maior ii M sera 0 dobro iii M nao varia iv M sera a metade do valor inicial v M sera y do valor inicial Em nossa discussao sobre a indutancia mutua consideramos dois circuitos se parados e independentes uma corrente em um dos circuitos cria um campo mag nético que produz um fluxo magnético sobre o outro circuito Quando a corrente no primeiro circuito varia o fluxo através do segundo varia induzindo uma fem no segundo circuito Um efeito relacionado importante ocorre até mesmo quando consideramos um unico circuito isolado Quando existe uma corrente em um circuito ela produz um campo magnético que gera um fluxo magnético através do préprio circuito quando a corrente varia esse fluxo também varia Portanto qualquer circuito percorrido por uma corrente variavel possui uma fem induzida nele mesmo pela variacgao de seu proprio fluxo magnético Tal fem denominase fem autoinduzida De acordo com a lei de Lenz uma fem autoinduzida sempre se op6e a variacao da corrente que produz a fem e portanto tende a tornar mais dificil qualquer variagao da cor rente Por essa razao a fem autoinduzida é muito importante quando existe uma corrente variavel Uma fem autoinduzida pode ocorrer em qualquer circuito visto que sempre Figura 304 A corrente i no circuito existird algum fluxo magnético através de espiras fechadas em um circuito que produz um campo magnético B na conduz uma corrente Porém 0 efeito é bastante ampliado quando o circuito contém bobina por tanto um fluxo oo magnético através dela uma bobina com N espiras de fio Figura 304 Em virtude da corrente i existe um fy 24 z so Autoindutancia quando a corrente i na fluxo magnético médio Pz através de cada espira da bobina Por analogia a Equacaéo a a bobina varia o fluxo variavel através da 305 definimos a autoindutancia L do circuito do seguinte modo bobina induz uma fem nela 7Y B Numero de espiras na bobina ThA Lie a B Autoindutancia oma case seo ee te No Fluxo gerado pela corrente I ou indutancia 4 B través de cad ira da bobi D de uma bobina Ge através de cada espira da bobina 306 aye A Corrente na bobina V x i Quando nao existe nenhuma possibilidade de confusao com a indutancia mutua a autoindutancia pode ser simplesmente chamada de indutancia Comparando a Equacao 305 com a 306 vemos que as unidades de autoindutancia sao as mesmas que as unidades de indutancia mutua a unidade SI de autoindutancia 0 henry 348 Fisica Ill Aplicacao Indutores transmissao Quando a corrente i no circuito varia Pg também varia reagrupando a Equacgao de energia e relampagos Se um 306 e tomando a derivada em relacAo ao tempo as taxas de variacao sao relacio relampago atinge parte de um sistema de padas por transmissao elétrica isso causa um pico repentino na tensao que pode danificar os dz di componentes do sistema além de N L qualquer coisa conectada a esse sistema dt dt por exemplo aparelhos domésticos Para reduzir esses efeitos grandes indutores De acordo com a lei de Faraday para uma bobina com N espiras Equagao 294 ie moore tle incilo de a fem autoinduzida é dada por N ddt portanto concluimos que que um indutor se opde e suprime quaisquer variagdes bruscas na corrente Fem autoinduzida en one em um circuito os ap he Taxa de variagao da 307 a if dt corrente no circuito O sinal negativo na Equagao 307 decorre da lei de Lenz ele mostra que a fem autoinduzida em um circuito se opde a qualquer variacao de corrente que ocorra nesse circuito A Equagao 307 também afirma que a autoindutancia de um circuito é o médulo da fem autoinduzida por unidade de taxa de variacao da corrente Essa relagaéo torna a possivel medir uma autoindutancia desconhecida altere a corrente no circuito a uma taxa conhecida didt mega a fem induzida e calcule a raz4o para determinar L Indutores como elementos do circuito O dispositivo de um circuito projetado para possuir um valor particular de indu tancia denominase indutor ou reator O simbolo geralmente usado para designar um indutor em um circuito é 0000 Assim como 0s resistores e os capacitores os indutores sao elementos indis pensaveis na eletr6nica moderna O objetivo de um indutor é criar uma corrente que se oponha a variacao da corrente no circuito Um indutor colocado em um circuito de corrente continua ajuda a manter a corrente constante apesar de even tuais flutuagdes da fem aplicada em um circuito de corrente alternada o indutor pode ser usado para suprimir variag6es da corrente que sejam mais rapidas que as desejadas Para entendermos 0 comportamento de circuitos contendo indutores precisamos desenvolver um principio geral semelhante 4 lei das malhas de Kirchhoff discu tida na Seco 262 Para aplicarmos essa regra percorremos 0 circuito calculando sucessivamente a diferenga de potencial através de cada elemento do circuito A soma algébrica de todas essas diferengas de potencial através do circuito fechado deve ser igual a zero porque 0 campo elétrico produzido pelas cargas distribuidas ao longo do circuito é conservativo Na Secao 297 designamos esse campo con servativo como E Porém quando existe um indutor no circuito a situagao muda O campo elétrico induzido magneticamente nas bobinas do indutor nao é conservativo assim como na Secao 297 designamos esse campo por E Precisamos raciocinar com cuidado sobre os papéis desempenhados pelos diferentes campos Vamos supor que a bobina possua uma resisténcia desprezivel Entao basta um campo elétrico muito pequeno para que uma carga se desloque através dela dai o campo elétrico total E E nas espiras da bobina deve ser igual a zero embora nenhum dos dois campos seja individualmente igual a zero Como E nao é zero sabemos que para produzir esse campo deve existir um acumulo de cargas nas extremidades do indutor e sobre as superficies de seus condutores Capitulo 830 Indutancia 349 Considere o circuito indicado na Figura 305 a caixa contém algumas combi Figura 305 Um circuito contendo nagoes de baterias de resistores que permitem o controle da corrente i no circuito uma fonte de energia e um indutor De acordo com a lei de Faraday Equacao 2910 a integral de linha de E em torno A fonte varidvel de modo qe a do ci toéat d acdo do fl inal ti t corrente i e sua taxa de variacao di 0 circuito a taxa da variagao 0 fluxo com sinal negativo que passa através 7 nodem variar do circuito e que por sua vez dada pela Equacgdo 307 Combinando essas duas a relagdes obtemos E dl L dt Fonte No variavel e SL ss de fem 7 em que realizamos a integral no sentido horario 0 sentido escolhido para a cor rente Porém E s6 é diferente de zero dentro do indutor Portanto a integral de linha de E em torno do circuito todo pode ser substituida por uma integral somente de a até b através do indutor ou seja b L b di E dl L a dt A seguir como E E 0 em cada ponto do interior das bobinas do indutor FE E Assim podemos escrever o resultado anterior na forma b di E dl L a dt Porém esta integral é precisamente o potencial V do ponto a em relagao ao ponto b de modo que di Vab Va Vp L 308 dt Concluimos que existe uma genuina diferena de potencial entre os terminais do indutor associada as forgas eletrostaticas conservativas apesar de o campo elétrico associado a indugéo magnética nao ser conservativo Assim justificamos 0 uso da Equacao 308 na lei das malhas de Kirchhoff para a analise de circuitos ATENGAO A fem autoinduzida se opée as variacées na corrente Note que a fem au toinduzida nao se op6e a propria corrente 7 em vez disso ela se op6e a qualquer variacgdo didt da corrente Portanto o comportamento de um indutor em um circuito é comple tamente diferente do comportamento de um resistor Na Figura 306 comparamos o comportamento de um indutor com o do resistor e resumimos as relagées dos sinais Figura 306 a A diferenga de potencial através de um resistor depende da corrente b c e d A diferenga de potencial através de um indutor depende da taxa de variagao da corrente a Resistor com corrente i fluindo de a para b c Indutor com a corrente crescente i fluindo de 0 potencial diminui de a para b a para b o potencial cai de a para b i icrescente didt 0 b a b d VVe V iR 0 e F000 e V Le 0 t R E b Indutor com corrente constante i fluindo de d Indutor com corrente decrescente i fluindo de a para b nao ha diferenga de potencial a para b o potencial aumenta de a para b iconstante didt 0 i decrescente didt 0 g b pai 0 a b di e 009 e V dt e 000 e V L 0 0 dt 350 Fisica Ill Aplicagoes de indutores Figura 307 Estas lampadas Por se opor a variag6es na corrente um indutor desempenha um papel importante fluorescentes esto conectadas em nas instalagdes de lampadas fluorescentes Figura 307 Nesse tipo de instalagao a série a um indutor ou reator que corrente flui da fiacdo para o gs que preenche o tubo ionizando o gas e fazendoo ajuda a sustentar a corrente que flui incandescer Entretanto um gas ionizado ou plasma é um condutor altamente nao P Ohmico Quanto maior a corrente mais altamente ionizado o plasma e mais baixa a sua resisténcia Se uma voltagem suficientemente alta for aplicada ao plasma a corrente podera crescer a ponto de danificar 0 circuito fora do tubo fluorescente Para prevenir esse problema um indutor ou reator magnético colocado em série com o tubo fluorescente de modo a impedir que a corrente ultrapasse os limites O reator também permite ao tubo fluorescente operar com a voltagem alternada fornecida pela fiagéo doméstica Essa voltagem oscila senoidalmente com uma frequéncia de 60 Hz de modo que cai momentaneamente a zero 120 vezes por segundo Se nao houvesse reator o plasma no tubo fluorescente sofreria rapida desionizag4o quando a voltagem caisse para zero e o tubo se desligaria Com a presenga de reator uma fem autoinduzida sustenta a corrente e mantém o tubo aceso Reatores magnéticos também sao usados para essa finalidade na iluminagao de ruas caso em que se obtém luminosidade a partir de um vapor incandescente de merctirio ou de sédio e nas lampadas de neon Em lampadas fluorescentes compactas o reator magnético é substituido por um esquema mais complicado de corrente regulada Esse esquema utiliza transistores discutidos no Capitulo 42 A autoindutancia de um circuito depende de seu volume da forma e do nimero de espiras Quando as N espiras est40 muito compactadas ela sempre proporcio nal a N Ela também depende das propriedades magnéticas do material existente no interior do circuito Nos exemplos apresentados a seguir vamos supor que no interior do circuito haja somente o vacuo ou 0 ar que do ponto de vista das propriedades magnéticas essencialmente igual ao vacuo Porém se o fluxo magnético esta concentrado em uma regiao que contém um material magnético com permeabilidade 4 entao devemos substituir na expressao de B a permeabilidade do vacuo ftp por Kyo conforme vimos na Secao 288 Quando o material é paramagnético ou diamagnético essa substituigao produz uma diferenga despre zivel visto que K aproximadamente igual a 1 Contudo quando o material é ferromagnético a diferenga possui importancia crucial Um solenoide enrolado sobre um nticleo de ferro doce com K 5000 pode possuir uma indutancia aproximadamente 5000 vezes maior que a indutancia do mesmo solenoide com ar em seu interior Indutores com nticleo ferromagnético sio muito empregados em diversas aplicagoes elétricas e eletrdnicas Com materiais ferromagnéticos a magnetizacd4o geralmente nao é uma funcao linear da corrente que produz a magnetizacao especialmente nas vizinhangas da saturacao Por isso a indutancia nao é constante porém depende da corrente de modo complexo Em nossas discuss6es vamos desprezar esse efeito e supor que a indutancia seja sempre constante Essa hipotese é bastante razodvel mesmo no caso de materiais ferromagnéticos quando a magnetizaao permanece com valores muito menores que na saturacao Como os automéveis possuem partes em aco que é um material ferromagnético dirigir um automével sobre uma bobina provoca um aumento consideravel em sua indutancia Esse efeito é usado nos sensores de semaforos que usam uma grande bobina que transporta corrente embutida sob a superficie do pavimento pr6éximo a um cruzamento O circuito conectado a bobina detecta a variacdo na indutancia quando 0 carro passa Assim que um ntimero préprogramado de veiculos passa sobre a bo bina o semaforo muda para verde e permite a passagem dos carros pelo cruzamento Determine a autoindutancia de um solenoide toroidal com segao Figura 308 Suponha que B seja uniforme através da area da reta de area A e raio médio 7 que contém N espiras bastante secaio reta ou seja despreze a variacao de B com a distancia ao compactadas e enroladas em torno de um nticleo néo magnético eixo do toroide Continua Capitulo 30 Indutancia 351 Continuagdao SOLUGAO AVALIAR considere N 200 espiras A 50 cm 50 X IDENTIFICAR E PREPARAR nossa varidvelalvo a autoindu 10 m er 010 m entio tancia L do solenoide toroidal Podemos determinar L usando a 4 5 409 Equacao 306 que requer o conhecimento do fluxo através L 4 X 10 WbA m 200 50 10 m de cada espira e a corrente i na bobina Para isso usamos os 27 010 m resultados do Exemplo 2810 Secao 287 em que determina 6q mos 0 campo magnético no interior de um solenoide toroidal em 40 X 10 H 40 wH funcao da corrente Figura 308 Determinagao da autoindutancia de um EXECUTAR pela Equacao 306 a autoindutancia é L Ni cobenwide toroidal com espiras enroladas de modo De acordo com o Exemplo 2810 0 campo magnético a uma compacto Para maior clareza somente algumas espiras distancia r do eixo de um toroide B poNi27r Supondo que do enrolamento sao mostradas Parte do toroide foi 0 campo magnético possua esse valor através da drea A da sec4o cortada para mostrar a drea de seco reta A e o raio r reta entao Numero de espiras N A LoNiA somente algumas NL Dz BA a sao mostradas Wr TV O fluxo magnético Pg é o mesmo através de cada espira e a 1 2 L NPs HoNA autoindutancia de um ar solenoide toroidal L Sabendo que a corrente no solenoide toroidal do Exemplo 303 di cresce uniformemente de zero até 60 A em 30 ps determine o E L a 40 x 10 H 20 x 10 As 80V modulo e o sentido da fem autoinduzida A corrente esta crescendo logo pela lei de Lenz o sentido da SOLUGAO fem deve ser oposto ao da corrente Isso corresponde 4 situagao IDENTIFICAR E PREPARAR temos L a autoindutancia e didt dicada na Figura 306c a fem possui sentido de b para a como Loe se fosse uma bateria com o terminal a com sinal e o terminal a taxa de variagao da corrente no solenoide Calculamos o mé b inal tendend tod ti com sinal tendendo a se opor ao crescimento da corrente dulo da fem autoinduzida usando a Equac4o 307 e seu sentido no circuito externo usando a lei de Lenz AVALIAR este exemplo demonstra que mesmo uma pequena in EXECUTAR temos didt 60 A30 x 10 s 20 X qutancia L pode produzir uma fem induzida substancial quando 10 As Pela Equacao 307 o médulo da fem induzida é a corrente varia rapidamente TESTE SUA COMPREENSAO DA SEGAO 302 Classifique os seguintes indutores por ordem de diferenca de potencial V do mais positivo para o mais negativo Em todos os casos o indutor possui resisténcia igual a zero e a corrente flui do ponto a passando pelo indutor até o ponto b i A corrente que percorre um indutor de 20 wH aumenta de 10 A para 20 A em 050 s ii a corrente que passa por um indutor de 40 wH diminui de 30 A para 0 em 20 s iii a corrente que passa por um indutor de 10 H permanece constante a 40 A iv a corrente que passa por um indutor de 10 wH aumenta de 0 para 40 A em 025 s I 303 ENERGIA DO CAMPO MAGNETICO Para fazer uma corrente circular em um circuito é necessario fornecer uma dada quantidade de energia e um indutor que conduz corrente possui energia armaze nada nele Vamos ver como isso ocorre Na Figura 305 uma corrente i crescendo no indutor induz uma fem entre os terminais e uma correspondente diferencga de potencial V nos terminais da fonte e o ponto a possui um potencial mais elevado que o ponto b Portanto a fonte deve fornecer energia para 0 indutor e a poténcia instantanea P taxa de transferéncia de energia para o indutor é dada por P Vpi 352 Fisica lll Energia armazenada em um indutor Podemos calcular a energia total U necessaria para estabelecer uma corrente final Jem um indutor com indutancia L supondo que a corrente inicial seja igual a zero Admitindo que a resisténcia do indutor seja igual a zero nenhuma corrente é dissipada no interior do indutor Supondo que a taxa de variacao da corrente i em determinado instante seja igual a didt a corrente esta aumentando de modo que didt 0 A voltagem entre os terminais a e b do indutor nesse instante é V L didt e a taxa P com a qual a energia esta sendo fornecida ao indutor igual a poténcia instantanea fornecida pela fonte externa é dada por PVpi Li di dt A energia dU fornecida ao indutor durante um intervalo de tempo infinitesimal dt dada por dU P dt portanto dU Lidi A energia total U fornecida enquanto a corrente esta aumentando de zero até um valor final J é dada por jaetetttessererneseereenensseoneee INutancia Energia armazenada Spl em um indutor rf 1072 UL idi 35Lly 309 0 2 me Corrente final Integral do valor inicial zero da corrente instantanea até o valor final Depois que a corrente atinge seu valor estacionario final J obtemos didt 0 e nenhuma energia adicional é fornecida ao indutor Quando nao existe nenhuma Figura 309 Um resistor um corrente a energia armazenada U é igual a zero e quando existe uma corrente J a dispositivo em que a energia é sogs 1772 Lo energia é igual a5 LI irremediavelmente dissipada Em an contraste a energia armazenada em Quando a corrente diminui de J até zero 0 indutor atua como uma fonte que for um indutor que transporta corrente nece a energia total sL para o circuito externo Se interrompemos repentinamente pode ser recuperada quando a 0 circuito abrindo uma chave a corrente diminui rapidamente a fem induzida fica corrente diminui até chegar a zero muito grande e a energia pode ser descarregada por meio de um arco voltaico entre Resistor com corrente i a energia os contatos da chave é dissipada i x a b ATENGAO Energia resistores e indutores Nao confunda 0 comportamento de induto VV res e de resistores no que se refere 4 energia Figura 309 A energia flui para um resistor R sempre que uma corrente passar por ele quer a corrente seja estaciondaria quer seja va ridvel com 0 tempo essa energia é sempre dissipada sob forma de calor Em contraste a Indutor com corrente i a energia ann é armazenada energia flui para o interior de um indutor ideal sem resistncia interna somente quando a i corrente no indutor cresce Essa energia nao é dissipada ela fica armazenada no indutor a b e é liberada quando a corrente diminui Quando a corrente permanece estacionaria através 2200 de um indutor nao existe nenhuma energia que entra no indutor ou sai dele Densidade de energia magnética A energia em um indutor é na realidade armazenada no campo magnético no interior da bobina assim como a energia de um capacitor armazenada no campo elétrico entre suas placas Podemos desenvolver relag6es para a energia do campo magnético analogas as que obtivemos para a energia elétrica na Secdo 243 veja as equacées 249 e 2411 Vamos considerar um caso simples o solenoide toroidal ideal Esse sistema possui a vantagem de seu campo magnético ficar confinado Capitulo 30 Indutancia 353 completamente a uma regiao finita do espaco no interior de seu nticleo Como no Aplicagao Uma erupgao magnética Exemplo 303 vamos supor que a érea A de sua secao reta seja suficientemente 0 Sol Essa composigao de duas ees imagens do Sol mostra uma ejecao de pequena para que possamos considerar 0 campo magnético constante ao longo massa coronal um evento fantastico em dessa area O volume V de um solenoide toroidal é aproximadamente igual ao que cerca de 102 kg um bilhao de comprimento da circunferéncia 27rr multiplicado pela 4rea A V 27rA De acordo toneladas de material da atmosfera com o Exemplo 303 a autoindutancia de um solenoide toroidal com vacuo no externa do Sol sao ejetados para 0 espago interior das suas espiras é em velocidades de 500 kms ou mais Essas erupcdes acontecem em intervalos n2A de algumas horas a alguns dias e sao L Ho provenientes da energia armazenada no 2ar campo magnético do Sol Diferentemente do campo magnético relativamente constante da Terra o campo do Sol esta De acordo com a Equacao 309 a energia U armazenada no solenoide toroidal sempre variando e regides com campo quando passa uma corrente J por meio dele é dada por excepcionalmente forte e portanto com densidade de energia magnética NZA excepcionalmente alta sao formadas com U SLI 5 Hon frequéncia Uma ejecao de massa coronal 2ar ocorre quando a energia armazenada nessa regiao é liberada repentinamente O campo magnético e consequentemente essa energia estao em um volume V 27rA no interior das espiras A energia por unidade de volume ou densidade de energia magnética é dada por u UV U 1 NP u 5 Ira 20 2QarrP i Podemos expressar esse resultado em termos do médulo B do campo magnético dentro do solenoide toroidal De acordo com a Equagao 2824 no Exemplo 2810 Secdo 287 temos oNI Bp HON 2ar e portanto NP B 2m pg Quando substituimos esse resultado na expressao de u obtida antes finalmente encontramos a expresséo da densidade de energia magnética no vacuo 2 Z 4 Densidade de energia 4 B4 Médulo do campo magnético 3010 magnética no vacuo u 2p 0 Constante magnética Essa expressao é a correspondente magnética da energia por unidade de volume em um campo elétrico no vacuo u SEE que deduzimos na Segao 243 Como um exemplo a densidade de energia no campo magnético de 15 T de um aparelho de ressonancia magnética ver Secdo 277 éu B219 15 TY2 X 4a X 10 T mA 90 X 10 Jm Se o material existente dentro do toroide nao é 0 vacuo porém um material com permeabilidade magnética constante u K0 entaéo devemos substituir p19 por p na Equacao 3010 2 M6 Sti Densidade de energia 4 Be Médulo do campo magnético 3011 magnética em um material i Qe Permeabilidade do material 354 Fisica Ill Figura 3010 A energia necessdria Embora tenhamos deduzido a Equagao 3011 para a situagao especial des para produzir aignigaodeum crita anteriormente verificase que ela é a expressdo correta para a energia automével é proveniente da energia zy de campo magnético armazenadana P unidade de volume em qualquer configuragéo de campo magnético com bobina de ignicdo permeabilidade magnética constante Para 0 vacuo a Equacao 3011 se reduz a Equacao 3010 Usaremos as expressdes da energia do campo magnético e do campo elétrico quando estudarmos a energia associada as ondas eletromagné ticas no Capitulo 32 A energia do campo magnético desempenha um papel importante nos sistemas 2 4 de ignicao de automéveis movidos a gasolina Uma bobina primaria com cerca de SE aat 250 espiras é conectada a bateria do veiculo e produz um forte campo magnético Essa bobina é cercada por uma bobina secundaria com aproximadamente 25000 espiras compostas de um fio muito fino Quando surge a necessidade de se produzir as uma centelha veja a Figura 205 na Secao 203 a corrente da bobina primaria é a interrompida o campo magnético rapidamente cai a zero e uma fem de dezenas de a a milhares de volts é induzida na bobina secundaria Dessa forma a energia arma ati zenada no campo magnético penetra uma forte pulsacao de corrente que percorre a bobina secundaria até a vela gerando a centelha que produz a ignigao da mistura combustivelar nos cilindros do motor Figura 3010 A industria de produgao de energia elétrica gostaria de encontrar AVALIAR a indutancia necessdria é mais de um milhao de um modo eficiente de armazenar a energia gerada a mais nas vezes maior que a autoindutancia do solenoide toroidal do horas em que 0 consumo diminui para poder atender 4 demanda Exemplo 303 Fios convencionais que conduzem 200 A preci dos consumidores nas horas de pico Talvez um grande indutor sam ter um diametro muito grande para manter uma resisténcia pudesse ser usado Qual seria a indutancia necessaria para arma pequena e evitar perdas de energia inaceitaveis decorrentes do zenar 100 kW h de energia em uma bobina conduzindo uma aquecimento R Por isso um indutor de 180 H usando fios corrente de 200 A convencionais deveria possuir um volume bastante elevado do tamanho de uma sala Um indutor com material supercondutor SOLUGAO poderia ser muito menor visto que a resisténcia de um super ee as condutor é igual a zero e fios muito mais finos poderiam ser IDENTIFICAR E PREPARAR temos a quantidade necessaria de usados uma dificuldade é que os fios deveriam ser mantidos em energia armazenada Ue a corrente 200 A Usamos a Equagao baixas temperaturas e seria necessdrio usar energia para manter 309 para encontrar a autoindutancia L essa temperatura Consequentemente 0 projeto nao é pratico EXECUTAR temos J 200 Ae U 100 kW h 10 X 10 W 3600 s 360 X 10 J Explicitando L da Equagao com a tecnologia existente 309 obtemos 6 L 2U 2360 X 10 J 80H Pr 200 A TESTE SUA COMPREENSAO DA SEGAO 303 A corrente em um solenoide tem 0 sentido invertido porém o mesmo méddulo é mantido a Isso causa variagaéo no campo magnético no interior do solenoide b Isso causa variagaéo na densidade de energia magnética no solenoide I 304 O CIRCUITO RL Vamos examinar alguns exemplos do comportamento de indutores em circuitos Um efeito ja esta claro um indutor inserido em um circuito torna dificil a ocorréncia de variacGes bruscas de corrente em virtude dos efeitos associados 4 fem autoinduzida A Equacao 307 mostra que quanto maior a taxa de variacao da corrente didt maior é a fem autoinduzida e maior a diferenga de potencial nos terminais do indutor Essa equagao com a lei das malhas de Kirchhoff Sego 262 fornece os principios de que precisamos para analisar circuitos com indutores Capitulo 830 Indutancia 355 ESTRATEGIA PARA A SOLUCAODE PROBLEMAS 301 INDUTORES EMCIRCUITOS seeseseseees IDENTIFICAR os conceitos relevantes um indutor é simples 2 Faca uma revisao das regras dos sinais dadas na Estratégia mente outro elemento do circuito como uma fonte de fem um para a solugao de problemas 262 Para obter o sinal correto resistor ou um capacitor A principal diferenga é que quando para a diferenga de potencial entre os terminais de um in um indutor é usado como um dispositivo em um circuito todas dutor aplique a lei de Lenz e a regra de sinais descrita na as voltagens correntes e cargas nos capacitores geralmente sao Secao 302 relacionada a Equagao 307 e a Figura 306 fungdes do tempo e nao constantes como nos muitos casos Usando a lei das malhas de Kirchhoff quando atravessamos de andlise de circuitos que fizemos anteriormente Contudo o indutor no mesmo sentido escolhido para a corrente mesmo quando as voltagens e correntes variam com o tempo ocorre uma queda de voltagem dada por L didt logo o as leis de Kirchhoff ver Secao 262 sao validas para cada termo correspondente na equacao da lei das malhas é L instante didt Quando atravessamos 0 indutor no sentido oposto ao PREPARAR o problema por meio das seguintes etapas escolhido Pata a mn econ uma inversdo diferenca 1 Siga o mesmo procedimento descrito na Estratégia para a de p otencial termo a ser aplicado na equagao da lei das solugao de problemas 262 Secao 262 Desenhe o dia malhas e dildt grama de um circuito grande e designe todas as grandezas eed ad ie conhecidas e desconhecidas Aplique a regra dos nds ime AVALIAR sua resposta verifique se sua resposta é consistente diatamente para expressar as correntes em termos do menor como comportamento dos indutores Pela lei de Lenz quando numero de grandezas possivel a corrente através de um indutor varia seu resultado deve in 2 Determine quais grandezas sAo as varidveisalvo dicar que a diferenga de potencial através do indutor se opde EXECUTAR a solucdo conforme segue a varagao 1 Como na Estratégia para a solucao de problemas 262 aplique a regra das malhas de Kirchhoff a cada espira no circuito Aumento da corrente em um circuito RL Podemos aprender muitos conceitos basicos sobre 0 comportamento de um in Figura 3011 Um circuito RL dutor analisando o circuito indicado na Figura 3011 Um circuito com apenas um Fechando a chave S podemos resistor e um indutor e possivelmente uma fonte de alimentagdo conhecido como conectar a combinagao RL a uma circuito RL O indutor torna dificil a ocorréncia de variacges bruscas de corrente fonte com fem 0 que pode ser util quando se deseja manter uma corrente constante em um circuito é Ny alimentado por uma fem que possui flutuagées O resistor R pode ser um elemento s separado do circuito ou a resisténcia do enrolamento da propria bobina todo indu tor real sempre possui alguma resisténcia a menos que ele seja feito com um fio supercondutor Fechando a chave S indicada podemos conectar a combinacao RL a uma fonte com fem constante Supomos que a fonte possua resisténcia Ro L interna desprezivel de modo que a voltagem nos terminais da fonte seja igual a Suponha que inicialmente as duas chaves estejam abertas e em um dado ins tante t 0 fechamos a chave S A corrente nao poderia variar repentinamente é Sy de zero até seu valor final porque didt e a fem induzida seriam infinitas Em vez Fechando a chave Sy e abrindo a disso a corrente comega a aumentar com uma taxa que depende do valor de L chave Sj desconectamos a combinagao existente no circuito cla fonte Seja i a corrente para um dado instante t depois que fechamos a chave S e seja didt sua taxa de variacgao no instante considerado As diferengas de potencial vy através do resistor e U através do indutor nesse instante sao dadas por IR Le Vap 1 Ube at Note que se a corrente esta no sentido indicado na Figura 3011 e esta crescendo entao Ugp Upe S40 pOsitivos e a possui um potencial maior que b que por sua vez possui um potencial maior que c Compare com as figuras 306a e c Aplicamos a lei das malhas de Kirchhoff comecando no terminal negativo e percorrendo a malha no sentido antihordario 356 Fisica lll di EiRL0 3012 dt Explicitando didt verificamos que a taxa de aumento da corrente é di EiR E R 1 dt L L L 3013 No instante inicial em que a chave S é fechada i 0 e a queda de potencial através de R é igual a zero A taxa inicial de aumento da corrente é 4 E dt Jiniciaa Lb Quanto maior a indutancia L mais lentamente a corrente aumenta A medida que a corrente aumenta o termo RLi na Equacgao 3013 também aumenta e a taxa de aumento da corrente dada pela Equacgao 3013 tornase cada vez menor Isso significa que a corrente se aproxima de um valor estacionario final J Quando a corrente atinge esse valor sua taxa de aumento é igual a zero Entao a Equacao 3013 fornece di E R 4 O0l e dt final LoL I R A corrente final I nao depende da indutancia L ela seria a mesma caso a resis téncia R estivesse conectada sozinha 4 mesma fonte com fem O grafico na Figura 3012 indica 0 comportamento da corrente em fungao do tempo Para deduzirmos a equacdo dessa curva isto é uma expressAo da corrente em fungao do tempo procedemos de modo analogo ao usado durante a carga de Figura 3012 Grdfico de i versus um capacitor na Secao 264 Inicialmente separamos as varidveis e escrevemos a t para o aumento da corrente em Equagao 3013 do seguinte modo um circuito RL com uma fem em série A corrente final é ER di Ry depois de uma constante de tempo i ER oT t T a corrente igual a 1 le desse valor A variavel i esta no membro esquerdo separada da varidvel f que esta no mem A chave S é fechada no we so see bro direito A seguir integramos ambos os membros trocando as variaveis para instante t 0 ie t de modo que possamos usar i e f como os limites superiores das integrais S O limite inferior de ambas as integrais é igual a zero correspondendo a uma cor rente zero no instante inicial t 0 Obtemos 5 dit R a R L o i ER o L l i i R R In 71t TR eee ER L T A seguir tomamos a fungao exponencial em ambos os membros e explicitamos 1 i Sugerimos que vocé faca os detalhes da solucao o resultado final a equacao Nios da curva na Figura 3012 O L E tT5 RL oo TR L R le R a corrente em um circuito RL com fem 3014 Capitulo 30 Indutancia 357 Derivando a Equacao 3014 em relagado ao tempo encontramos di Rt dir e 3015 No instante t 0 i 0 e didt L Quando t i ERe didt 0 conforme haviamos previsto Como indica a Figura 3012 a corrente instantanea 7 no inicio cresce rapida mente a seguir cresce de modo mais lento e tende assintoticamente a seu valor final J R No instante igual a LR a corrente cresceu para 1 1e ou cerca de 63 de seu valor final A grandeza LR fornece uma indicagao da velocidade com a qual a corrente cresce até atingir seu valor final essa grandeza é chamada de constante de tempo do circuito indicada pela letra T Constante de tempo 4 L Indutancia para um circuito RL 7 Revenue Resistencia 3016 Para um tempo igual a 27 a corrente atinge 86 de seu valor final para 57 993 e para 107 99995 Compare com a discuss4o na Se4o 264 para car regar um capacitor com capacitaéncia C em série com um resistor de resisténcia R para aquela situacdo a constante de tempo era 0 produto RC O grafico de i versus t possui a mesma forma geral para todos os valores de L Para determinado valor de R a constante de tempo 7 sera tanto maior quanto maior for o valor de L Quando L é pequeno a corrente cresce rapidamente até atingir seu valor final quando L é grande ela cresce mais lentamente Por exemplo para R 100Q0eL 10H L 10H 010 R100 eacorrente leva 010 s para atingir cerca de 63 de seu valor final Lembrese de que 1H 1Qs Porém quando L 0010 H 7 10 x 10 4s 010 ms e 0 aumento é muito mais rapido Considerag6es de energia nos oferecem uma visualizacao adicional do com portamento de um circuito RL A taxa instantanea com a qual a fonte fornece energia para o circuito é dada por P i A taxa instantanea com a qual a energia é dissipada no resistor é dada por i7R ea taxa coma qual a energia é armazenada no indutor é dada por iv Li didt ou de modo equivalente ddt DL Li didt Quando multiplicamos a Equagao 3012 por i e reagrupamos encontramos iPR ull 3017 dt Da poténcia i fornecida pela fonte uma parte i7R é dissipada no resistor e a outra parte Li didt fica armazenada no indutor Essa discussdo é completamente andloga a analise sobre a poténcia durante o processo de carga de um capacitor feita no final da Secao 264 Um dispositivo eletrénico sensivel com resisténcia R 175 Q proteger esse dispositivo ele é conectado em série a um indutor deve ser conectado por meio de uma chave auma fonte de fem como indicado na Figura 3011 a chave mencionada a S a com resisténcia interna desprezfvel O dispositivo foi projetado Qual 0 valor necessdrio para a fem b Qual a indutancia para operar com uma corrente igual a 36 mA porém para evitar L necessdria c Qual o valor da constante de tempo 7 do danos ao dispositivo a corrente nao pode ultrapassar 0 valor de circuito RL 49 mA nos primeiros 58 zs depois que a chave é fechada Para Continua 358 Fisica lll Continuagdao SOLUGAO A seguir tomamos o logaritmo natural de ambos os membros IDENTIFICAR E PREPARAR este problema se refere A corrente explicitamos L e finalmente substituimos os valores numéricos e ao crescimento da corrente em um circuito RL portanto po Rt demos usar os conceitos estudados nesta secao A Figura 3012 L In1 irkEé indica a corrente i em funcdo do tempo t decorrido desde o fe chamento de S O grafico mostra que a corrente final é J ER 175 Q 58 X 10 s sabemos que R 175 de modo que a fem é determinada pelo Ih 1 49 x 103 A 175 9 63 V 69 mH requisito de que a corrente final deve ser J 36 mA O outro requisito é que a corrente nao ultrapasse i 49 mA emt 58 c Pela Equacao 3016 LS para satisfazer esse requisito usamos a Equacao 3014 para a corrente em fundo do tempo e explicitamos a indutancia que L 69X103H 4 é a inica grandeza desconhecida A Equacao 3016 fornecera a 7 R 1750 39 X 10s 390 ps constante de tempo EXECUTAR a usamos R para explicitar AVALIAR notamos que 58 ys é muito menor que a constante IR 0036 A 175 Q 63 V de tempo Em 58 ps a corrente cresce de zero até 49 mA uma pequena fragao do valor final que é igual a 36 mA depois de b Para determinar a indutancia necessdria explicitamos L da 390 ps a corrente tornase igual a 1 1e de seu valor final Equacao 3014 Inicialmente multiplicamos ambos os membros Ul cerca de 063 36 mA 23 mA por RE e somando 1 a ambos os membros obtemos 1 iR e RLt E Diminuigao da corrente em um circuito RL Figura 3013 Grafico de i versus t Suponha agora que a chave S no circuito da Figura 3011 tenha permanecido para a diminuiao da corrente em fechada durante certo tempo e que a corrente tenha atingido um valor final Jp Da um circuito RL Apos uma mos uma nova partida ao crondémetro para definir 0 instante inicial no momento constante de tempo 7 a corrente é oo 1e de seu valor inicial em que fechamos a chave S para t 0 eliminando a bateria do circuito Nesse 6000 mesmo instante devemos abrir simultaneamente a chave S para proteger a bate ria A corrente através de R e de L nao se anula instantaneamente porém diminui até zero lentamente como indica a Figura 3013 Para usar a lei das malhas de a Kirchhoff basta omitir o termo da Equagao 3012 Desafiamos vocé a repetir as Sy etapas que fizemos anteriormente e mostrar que a corrente i varia com 0 tempo de i Bo acordo com a expressao Ip Chave S fechada emt 0 i Ige 8 3018 T em que Jp é a corrente inicial para t 0 A constante de tempo 7 LR é 0 tempo i necess4rio para que a corrente diminua para Ie ou cerca de 37 do valor inicial 2 Para um tempo igual a 27 a corrente se reduziu a 135 para 57 se reduziu a of Lk 067 e para 107 a 00045 R A energia necessaria para manter a corrente durante essa diminuicgao é fornecida pela energia no campo magnético do indutor A andlise detalhada da energia é mais simples nesse caso Em vez da Equacao 3017 temos 0R it 3019 dt Neste caso Li didt tem sinal negativo a Equacao 3019 mostra que a energia armazenada no indutor diminui a uma taxa igual a taxa de dissipagao de energia R no resistor Toda essa discussao pode parecer familiar pois a situagdo é muito semelhante ao problema de carregar ou descarregar um capacitor como analisamos na Secao 264 Seria uma boa ideia rever aquela sec4o e comparala a nossa discussao sobre 0 circuito RL Capitulo 80 Indutancia 359 Quando uma corrente em um circuito RL esta diminuindo que 12 oo fragdo da energia inicial armazenada no indutor é dissipada de em que Up zL Ig a energia no instante inicial 0 Quando t 237 23LR obtemos pois de 23 constantes de tempo ee U Ue 2 Upe 0010Up SOLUGAO IDENTIFICAR E PREPARAR este problema se refere 4 diminui Ou seja somente 0010 ou 10 da energia inicial no indutor cao de corrente em um circuito RL bem como 4 relagao entre a ainda permanece armazenada de modo que 990 da energia corrente em um indutor e a quantidade de energia armazenada A inicial foi dissipada no Tesistor oo corrente i em qualquer instante ft neste caso é dada pela Equacao AVALIAR para ter uma nogao do que esse resultado significa 3018 a energia armazenada associada a essa corrente é dada pela considere 0 circuito RL que analisamos no Exemplo 306 para Equacao 309 U S12 qual T 390 ws Com L 9 mH e Jp 36 mA temos Up EXECUTAR de acordo com a Equagao 3018 a corrente i em aly 20069 H 0036 Ay 45 X 10 J Disto 990 ou qualquer instante t é 44 x 10 J édissipado em 23390 us 90 X 10 s 090 ms Em outras palavras este circuito pode ser desligado quase por i pe RD completo ou ligado em 090 ms de modo que o tempo minimo para um ciclo completo de ligar e desligar é portanto igual a A energia U do indutor em qualquer instante obtida substi 18 ms Para muitas finalidades como em redes de chaveamento tuindose a expressao anterior na relagéo U SLi Obtemos rapido em telecomunicag6es é exigido um ciclo ainda mais curto y Lage RIL Uye RID el emPo Nesses casos uma constante de tempo menor tT LR TESTE SUA COMPREENSAO DA SEGAO 304 a Na Figura 3011 quais sao os sinais algébricos das diferengas de potencial vy e vp quando a chave S é fechada e a S é aberta 1 Vgp O Upe 03 ii Van 0 Voge 05 iit Ugy 0 Upe 03 iV Ugy 0 Upe 0 b Quais sao Os sinais de Up Uz quando S é aberta S é fechada e a corrente flui no sentido indi cado i Ugpy 0 Upe 03 di Vay O Upe 05 ill Vay 0 Upe 0 IV Vay 0 Up 01 DADOS MOSTRAM Indutores em circuitos 305 O CIRCUITO LC Quando os alunos recebiam Lo um problema envolvendo um Um circuito com um indutor e um capacitor mostra um comportamento com circuito RL mais de 23 pletamente novo caracterizado pelas oscilagées das correntes e das cargas Tal davam uma resposta incorreta comportamento contrasta fortemente com 0 comportamento exponencial que des Erros comuns crevemos tanto no circuito RC quanto no RL No circuito LC indicado na Fi Confusio sobre corrente gura 3014a carregamos o capacitor até uma diferenga de potencial V e carga e sua taxa de variacio inicial O CV sobre sua placa da esquerda e a seguir fechamos a chave O A corrente i nao pode variar que acontece bruscamente em um circuito O capacitor comega a se descarregar sobre 0 indutor Em virtude da fem indu com um indutor de modo zida pelo indutor a corrente nao pode variar instantaneamente ela parte de zero que i precisa ser uma funcao e comega a crescer até atingir um valor maximo Durante esse crescimento o continua do tempo tf capacitor esta se descarregando Em cada instante 0 potencial do capacitor é igual a Porém didt pode variar fem induzida portanto 4 medida que o capacitor se descarrega a taxa de variacdo bruscamente digamos da corrente diminui Quando o potencial do capacitor se torna zero a fem induzida quando a fem na Figura também é igual a zero e a corrente foi elevada até seu valor méximo J A Figura 3011 conectada 3014b mostra essa situacAo 0 capacitor esté completamente descarregado A dife ao circuito renga de potencial entre os terminais do capacitor e entre os terminais do indutor Confusao sobre valores diminuiu até zero e a corrente atingiu seu valor maximo Jy inicial e final Quando uma Durante a descarga do capacitor a corrente crescente no indutor estabelece um fem conectada aum eye ar soe circuito RL como na Figura campo magnético em torno dele e a energia elétrica que estava inicialmente ar 3012 o indator se opse 3 mazenada no campo elétrico do capacitor agora passa a ser armazenada no campo nw poe ae variacao de corrente e magnético do indutor portanto i 0 logo depois Embora 0 capacitor esteja completamente descarregado na Figura 3014b a que a chave fechada corrente persiste ela nao pode mudar instantaneamente e 0 capacitor comega a se Muito tempo depois que a carregar com uma polaridade oposta 4 que existia no estado inicial A medida que chave é fechada e a corrente a corrente diminui 0 campo magnético também diminui induzindo uma fem no estabilizada o indutor atua indutor com 0 mesmo sentido da corrente isso atrasa a diminuiao da corrente Por ee fio simples e nao fim a corrente e 0 campo magnético atingem um valor igual a zero e 0 capacitor possui mais efeito 360 Fisica Ill Figura 3014 Em um circuito LC oscilante a carga do capacitor e a corrente através do indutor variam senoidalmente com o tempo A energia é transferida entre a energia magnética no indutor Ug e a energia elétrica no capacitor Uz Como no caso de um movimento harm6nico simples a energia total E permanece constante Compare com a Figura 1314 na Segao 133 A polaridade do capacitor é invertida O sentido da corrente c 1 é invertido apacitor plenamente Capacitor plenamente Capacitor plenamente Capacitor plenamente carregado corrente nula d lescarregado carregado corrente nula descarregado Vin 5 corrente maxima Vin corrente maxima 0 Q2 fe ee eee i Capacitor Capacitor Capacitor Ey descarregando carregando En descarregando m so E ZT aumentando I diminuindo mi I aumentando aa Ly Lb Cc q L Img Bm fm Inf Bm Jin Lng Nr NN Nr N N N N i WE i TE Oo oO 10 E U Ug E U Ug E U t Ug EUgt Ug Toda a energia do circuito Toda a energia do Toda a energia do Toda a energia do armazenada no campo elétrico circuito armazenada no circuito armazenada no circuito armazenada no campo magnético campo elétrico campo magnético ajtOetT by 47 ot49 r Sr fechar a chave em t 0 Capacitor carregando J diminuindo fica carregado com uma polaridade oposta 4a inicial Figura 3014c com uma diferenga de potencial V e uma carga Q em sua placa da esquerda O processo entao se inverte um pouco mais tarde 0 capacitor se descarrega e surge uma corrente em sentido oposto no indutor Figura 3014d A seguir ainda mais tarde a carga do capacitor retorna a seu valor original Figura 3014a e o processo todo se repete Caso nao existisse nenhuma perda de energia as cargas do capacitor continuariam a oscilar indefinidamente Esse processo é chamado de oscilacao elétrica Antes de continuar lendo reveja o caso semelhante de oscilagao mecdnica nas secdes 132 e 133 Do ponto de vista energético as oscilagdes de um circuito elétrico transferem energia entre o campo elétrico do capacitor e o do indutor e viceversa A energia total associada ao circuito permanece constante Essa situagao é andloga ao caso de um sistema mecanico oscilante em que ocorre transformagao de energia potencial em energia cinética e viceversa com energia total constante Secdo 133 Con forme veremos essa analogia pode ser ainda mais estendida Oscilagoes elétricas em um circuito LC Para estudarmos com detalhes 0 escoamento das cargas seguiremos 0 processo adotado quando analisamos 0 circuito RL Na Figura 3015 mostramos nossas definig6es de g e de i ATENGAO Corrente positiva em um circuito LC Depois de examinar a Figura 3014 o sentido positivo para a corrente na Figura 3015 pode parecer invertido De fato es colhemos esse sentido para simplificar a relagdo entre a corrente e a carga do capacitor Definimos a corrente a cada instante como i dqdt que é a taxa de variacao da carga da placa no capacitor do lado esquerdo Se o capacitor esta inicialmente carregado e comega a se descarregar como indicado nas figuras 3014a e 3014b entaéo dqdt0ea corrente inicial i é negativa o sentido da corrente é portanto oposto ao sentido positivo indicado na Figura 3015 Capitulo 30 Indutancia 361 Aplicamos a lei das malhas de Kirchhoff para 0 circuito indicado na Figura Figura 3015 Aplicago da lei das 3015 Comecamos no vértice inferior do lado esquerdo e somamos as voltagens alhas de Kirchhoff para um a medida que percorremos 0 circuito no sentido horario ao longo da malha e circuito LC O sentido do percurso em torno da malha é indicado Logo obtemos depois de completar o circuito e o capacitor comegar a descarregar di q como na Figura 3014a a corrente é L 0 negativa com sentido oposto ao dt oC indicado 2 ss C Como i dqdt concluimos que didt d gldt Substituindo essas expressdes q4 na relagao anterior e dividindo por L encontramos dq a We uc 0 circuito LC 3020 Calera A Equacao 3020 possui a mesma forma da equacgao do movimento harm6 i nico simples que deduzimos na Secao 132 Equacgao 134 dada por axld kmx ou L ax k 7 x0 dt m Em um circuito LC a carga do capacitor g desempenha o papel do desloca mento x e a corrente i dqdt é analoga a velocidade da particula v dxdt A indutancia L é andloga a massa m e o inverso da capacitancia 1C andlogo a constante da mola k Continuando a fazer essa analogia lembramos que a frequéncia angular w 2af do oscilador harmGnico é dada por km Equacao 1310 e a posiao é dada em funcao do tempo pela Equagao 1313 x Acos wt em que a amplitude A e o angulo de fase dependem das condic6es iniciais Na situacgao elétrica andloga a carga g do capacitor é dada por gq Qcoswt 3021 e a frequéncia angular w da oscilagao é dada por Frequéncia angular da 4 4 joe Capacitancia 3022 oscilagao em um circuito LC LC Indutancia Fenseaeeeeette Tente demonstrar que a Equacao 3021 satisfaz a equagao das malhas Equaao 3020 quando w possui 0 valor indicado na Equagao 3022 Para isso vocé verifi cara que a corrente instantanea i dqdt é dada por i wQ sen wt 3023 Portanto a carga e a corrente em um circuito LC oscilam senoidalmente com o tempo com a frequéncia angular determinada pelos valores de L e de C Como sempre a frequéncia f o nimero de ciclos por segundo é igual a w277 As cons tantes Q e d nas equagoées 3021 e 3023 sao determinadas pelas condig6es iniciais Se no instante t 0 a placa do lado esquerdo do capacitor da Figura 3015 possuir sua carga maxima Q e a corrente i for igual a zero entéo 0 Se g 0 para t 0 entéo 72 rad 362 Fisica Ill Energia em um circuito LC Podemos ainda analisar um circuito LC utilizando uma abordagem do ponto de vista da energia A analogia com 0 movimento harmGnico simples também é ttil aqui No problema mecnico um corpo de massa m esta preso a uma dada mola cuja constante é igual a k Suponha que vocé desloque 0 corpo da posicao de equi librio até uma distancia A e a seguir o libere no instante t 0 A energia cinética do sistema em qualquer instante é smu 1 esua energia elastica é igual a 5kx Como existe conservacao da energia a soma das duas energias anteriores é igual a energia inicial do sistema 5kA Calculamos a velocidade v em cada ponto x do mesmo modo que fizemos na Secao 133 Equagao 1322 vy Jt VA x 3024 O circuito LC também é um sistema conservativo Novamente considere Q a carga maxima do capacitor A energia do campo magnético SLi no indutor em qualquer instante corresponde a energia cinética smu do corpo que oscila e a energia do campo elétrico gl2C no capacitor corresponde a energia potencial elastica Skx da mola A soma dessas duas energias é igual 4 energia total Q72C do sistema See 2 2 TABELA 301 Comparacao entre SLi qT gQ 3025 oscilagdes mecanicas de um sistema 2C 2C massamola e oscilagoes elétricas de oo um circuito LC A energia total no circuito LC constante ela oscila entre as formas magné tica e elétrica como a energia mec4nica total constante no movimento harm6nico Sistema massamola se SY SsSmapplles constante e oscila entre as formas cinética e potencial Energia cinética vx Explicitando a varidvel i da Equacao 3025 verificamos que quando a carga do Energia potencial kx capacitor é q a corrente i é dada por smvy 5k 3k vy Vkim Ve i 22 VO 3026 v dxdt k Verifique essa equacao substituindo g dado pela Equacgao 3021 e i dado pela oe Jz Equagao 3023 Comparando a Equaca4o 3024 a Equacao 3026 vocé notara que a x Acost corrente i dqdt e a carga q estao relacionadas de forma andloga a relacao entre Circuito indutorcapacitor a velocidade v dxdt e o deslocamento x no problema mecdanico Energia magnética 412 Na Tabela 301 mostramos um Tesumo das analogias entre um movimento har m6nico simples e as oscilagdes de um circuito LC As analogias impressionantes Energia elétrica q22C indicadas nessa tabela sao tao préximas que podemos resolver problemas com sLi g2C Q2C plicados de mecAnica e de actistica usando circuitos elétricos andlogos e medindo i4tViiceVe as correntes e as voltagens correspondentes as respectivas grandezas mecanicas a i dgdt serem determinadas Esse é 0 principio basico do funcionamento de muitos compu tadores analdgicos Essa analogia pode ser estendida para oscilagdes amortecidas o Jz que serao analisadas na proxima secao No Capitulo 31 estenderemos ainda mais re essas analogias a fim de incluir oscilagées elétricas forgadas que ocorrem em q Qcosat d oo todos os circuitos de corrente alternada Uma fonte de alimentagdo de 300 V é usada para carregarum SOLUCGAO capacitor de 25 uF Depois de 0 capacitor ficar comp letamente IDENTIFICAR E PREPARAR as variaveisalvo sao a frequéncia carregado ele é desconectado da fonte e conectado aos terminais de oscilacao fe 0 perfodo T bem como os valores da carga g de um indutor de 10 mH A resisténcia do circuito é desprezivel a Calcule a frequéncia e 0 periodo das oscilagées do circuito da corrente i em um dado instante t Temos a capacitancia C e b Determine a carga do capacitor e a corrente no circuito 12 2 indutancia L a partir das quais podemos calcular a frequéncia ms depois que 0 capacitor é ligado ao indutor e o periodo usando a Equacao 3022 Determinamos a carga e Continua Capitulo 830 Indutancia 363 Continuagdao a corrente usando as equagées 3021 e 3023 Inicialmente 0 essas figuras 4 Figura 3015 esperase que a carga gq do capacitor capacitor esta plenamente carregado e a corrente é nula como seja negativa isto é deve haver carga negativa sobre a placa indica a Figura 3014a portanto o angulo de fase é 0 veja esquerda do capacitor e a corrente i também deve ser negativa a discussao que segue a Equacao 3023 ou seja o sentido da corrente é antihordrio EXECUTAR a a frequéncia angular natural é dada por Para calcularmos o valor de g usamos a Equacao 3021 g Q cos wt A carga é maxima para t 0 logo 0e ee 1 Q CE 25 X 10 F X 300 V 75 X 1073C Assim a LC 10 X 1077 H25 X 10 F Equacao 3021 tornase 3 20 X 10 rads q 15 X 1073 C cos wt A frequéncia fe 0 periodo T sao portanto Parat 12 X 1073s 3 fave 20 X 10 rads 320 Hz wt 20 X 107 rads 12 X 1073 s 24 rad 2 2a radciclo q 75 X 1073 C cos 24 rad 55 X 103 1 1 T f 320 Hz Pela Equacao 3023 a corrente i em funcgao do tempo é dada por 31 035 31 ms i wQ sen wt No instante t 12 X 103 Ss i 20 X 10 rads 75 X 107 C sen 24 rad 10A b Como o periodo das oscilagées é T 31 ms t 12 ms corresponde a 038 T isso equivale a uma situacdo intermedidria AVALIAR note que os sinais de qg e de i sio ambos negativos entre as figuras 3014b t 74 e 3014c t 72 Comparando como haviamos previsto ASUS ENERGIA EM UM CIRCUITO OS ANTE snus Para o circuito LC mencionado no Exemplo 308 calculeaener b Pelo Exemplo 308 em tf 12 ms temos i 10 Ae g gia magnética e a energia elétrica para at Oebt12ms 55 x 103C Logo 1721 3 2 SOLUGAO Ug xLi 3 10 X 10 H 10 A 05 J IDENTIFICAR E PREPARAR precisamos calcular a energia g 55 X 107 magnética Ug armazenada no indutor ea energia elétrica Ug Up IC 225 X 10F 065 armazenada no capacitor em dois instantes diferentes durante a oscilagao fe circuito LC ele Exemp lo 308 temos os valores AVALIAR as energias magnética e elétrica sAo iguais para t a carga co cap acitor g e da corrente i no circuito para ambos 3T8 0375T na metade do percurso entre as situag6es nas fi os instantes de interesse Usaremos esses valores para calcular guras 3014b e 3014c Vimos no Exemplo 308 que o tempo Up Lt e Up q RC considerado no item b t 12 ms é igual a 0387 este é ligei EXECUTAR a para t Ondo existe nenhuma corrente q Q ramente maior que 03757 e Uz pouco menor que Uf A energia Portanto niio ha nenhuma energia magnética toda a energia do total E Ug Ug possui sempre o mesmo valor neste caso circuito esta na forma da energia elétrica no capacitor a Anata é oe 11 J Um circuito LC sem resisténcia é um sistema conservativo uy i 9 uy 75 X 1073 cy ry nenhuma energia é dissipada l7P7 5 i oe 2C 225 X 106 B TESTE SUA COMPREENSAO DA SEGAO 305 Uma forma de considerar a energia arma zenada no circuito LC é afirmar que os elementos do circuito realizam trabalho positivo ou negativo sobre as cargas que se movem para a frente e para tras através do circuito a Entre os estagios a e b na Figura 3014 0 capacitor realiza trabalho positivo ou negativo sobre as cargas b Que tipo de forca elétrica ou magnética 0 capacitor exerce sobre as cargas para realizar esse trabalho c Durante esse processo o indutor realiza trabalho positivo ou negativo sobre as cargas d Que tipo de forga elétrica ou magnética o indutor exerce sobre as cargas I 306 O CIRCUITO LRC EM SERIE Em nossa discussao sobre 0 circuito LC imaginamos que nao existe nenhuma resisténcia no circuito Certamente isso é uma idealizag4o sabemos que todo 364 Fisica lll Figura 3016 Graficos da carga do indutor real possui resisténcia em suas espiras assim como os fios conectores pos capacitor em fungao do tempo em suem resisténcias Em virtude da resisténcia uma parte da energia eletromagnética um circuito LRC em série com do circuito é dissipada e convertida em outras formas de energia como a energia uma carga inicial Q ip f ton i oa interna dos materiais do circuito A resisténcia em um circuito elétrico é um fator a Circuito subamortecido R pequeno andlogo ao atrito em um sistema mecAnico q Considere um indutor com indutancia Le resisténcia R ligado em série a um ca m pacitor carregado formando um circuito LRC em série Como antes o capacitor comega a se descarregar logo aps sua conex4o com o indutor Porém em virtude ys das perdas i7R no resistor a energia magnética adquirida pelo indutor depois que Xo pe capacitor é completamente descarregado é menor que a energia elétrica inicial oO NA do capacitor De maneira analoga concluimos que a energia do capacitor quando a ue a energia magnética do indutor diminui até zero é ainda menor que a energia inicial Me do capacitor e assim por diante Quando a resisténcia R do resistor é relativamente pequena o circuito ainda oo oscila porém com um movimento harmO6nico amortecido Figura 3016a e b Circuito criticamente amortecido tA R maior dizemos que 0 circuito esta subamortecido Quando aumentamos a resisténcia R q as oscilagOes tendem a zero mais rapidamente Quando R atinge um certo valor o O circuito deixa de oscilar tornandose criticamente amortecido Figura 3016b Para valores de R maiores que o valor critico o circuito superamortecido Figura 3016c e a carga do capacitor tende a zero ainda mais lentamente Usamos esses mesmos termos quando descrevemos na Secao 137 o comportamento do sistema 0 mecanico andlogo e o oscilador harménico amortecido c Circuito superamortecido me grande Analise de um circuito LRC Q Para analisarmos com mais detalhes 0 comportamento de um circuito LRC consideramos 0 circuito indicado na Figura 3017 Ele é semelhante ao circuito LC da Figura 3015 porém agora existe um resistor R em série mostramos também a fonte que fornece a carga inicial do capacitor Os sinais de g e de i sio os mesmos O que usamos para 0 circuito LC Inicialmente deslocamos a chave para cima fechando 0 circuito superior co nectando o capacitor com uma fonte de fem durante tempo suficiente para carregar 0 capacitor com uma carga Q CE e fazendo as oscilagGes iniciais desaparecerem A seguir para t 0 deslocamos a chave para a posicAo inferior desconectando a fonte do circuito e ligando o capacitor em série ao resistor e ao indutor Note que o sentido da corrente inicial negativo oposto ao sentido de i indicado na Figura 3017 Para sabermos como q e i variam com o tempo aplicamos a lei das malhas de Kirchhoff Comegando no ponto a e percorrendo 0 circuito ao longo da malha no sentido abcda obtemos iR pe f 0 dt C Substituindo i por dqdt e reagrupando encontramos dq R dq 1 a sLd sw 3027 Note que quando R 0 a equacao anterior se transforma na Equagao 3020 para um circuito LC Existem métodos gerais para obter a solucao da Equagao 3027 A forma da solugao para 0 caso subamortecido R pequeno é diferente do caso superamorte cido R grande Quando R é menor que 4LC a solugdo possui a seguinte forma 2 gq Ae 21 cog aa é 3028 Capitulo 830 Indutancia 365 em que A e sao constantes Vocé pode a tomar as derivadas de primeirae segunda Figura 3017 Um circuito LRC ordens dessa funcao anterior e mostrar por substituicdo direta que ela satisfaz a S Equaciio 3027 Quando a chave esta A solucao apresentada corresponde ao comportamento subamortecido indicado carrepa 0 capacitor na Figura 3016a a fung4o representa uma oscilacg4o senoidal com uma amplitude que diminui exponencialmente Note que o fator exponencial e RL diferente do fator exponencial e RIL que encontramos ao descrever 0 circuito RL na Secao 4 304 Quando R 0 a Equac4o 3028 se reduz a Equacao 3021 para as oscilagdes 4 de um circuito LC Quando R nao zero a frequéncia angular das oscilagdes é menor que 1LC em virtude do termo que contém R A frequéncia angular w c das oscilagdes amortecidas é dada por q IP dy 5 a Frequéncia angular das oo 2 Resisténcia f cru deat NEC ADR tndunci fr em série Indutancia Capacitancia L i b c Quando R 0 0 resultado anterior fornece a Equagao 3022 o ILC 7A Quando a chave Sé navi da para medida que R aumenta w tornase cada vez menor Quando R 4LC 0 valor da esta posicio o capacitor se descarrega grandeza embaixo do sinal da raiz quadrada tornase igual a zero entéo o sistema através do resistor e do indutor deixa de oscilar atingindo a condic4o de amortecimento critico Figura 3016b Quando R aumenta ainda mais 0 sistema se comporta conforme ilustra a Figura 3016c Nesse caso dizemos que 0 sistema esta superamortecido e q é uma fungao do tempo dada pela soma de duas fungGes exponenciais decrescentes com 0 tempo No caso subamortecido a constante da fase na fungaéo cosseno da Equagao 3028 permite que haja simultaneamente uma carga e uma corrente iniciais para t 0 uma situagdo andloga ao caso do oscilador harménico subamortecido que necessita de valores simultaneos para 0 deslocamento e a velocidade iniciais veja o Exercicio 3041 Enfatizamos mais uma vez que 0 comportamento de um circuito LRC em série é completamente andlogo ao do oscilador harmGnico amortecido estudado na Se cao 137 Convidamos vocé a verificar por exemplo que se partirmos da Equaao 1341 substituindo q por x L por m 1C por ke aconstante de amortecimento b por R encontraremos a Equacao 3027 Analogamente o limite entre o comportamento subamortecido e 0 superamortecido ocorre quando b 4km no caso de um sistema mecanico e quando R ALIC no caso elétrico Vocé é capaz de determinar outros aspectos dessa analogia As aplicag6es praticas do circuito LRC em série aparecem quando incluimos uma fonte de fem que varia senoidalmente O resultado analogo ao caso das osci lagées forcadas que estudamos na Secao 137 e também existem efeitos andlogos de ressondncia Esse tipo de circuito denominase circuito de corrente alternada ca A andlise de um circuito ca sera 0 assunto principal do préximo capitulo PECTED um Circuito 18CEM SERIE SUBAMORTECIOO nnn Qual deve ser o valor da resisténcia K em termos de Le de C para Equagiio 3029 a frequéncia angular w de um circuito LC nao que a frequéncia das oscilagdes de um circuito LRC em série amortecido é dada pela Equacgao 3022 Usaremos ambas para seja igual 4 metade da frequéncia do circuito nao amortecido explicitar a incdégnita R EXECUTAR pelas equagées 3029 e 3022 0 requisito w w2 SOLUGAO resulta em IDENTIFICAR E PREPARAR este problema se refere a um cir i R2 I cuito LRC em série subamortecido Figura 3016a Queremos LC 4p 3 Jz uma resisténcia apenas suficiente para reduzir a frequéncia de oscilagao 4 metade do valor nao amortecido A frequéncia angu Elevando ao quadrado ambos os membros da equacAo anterior e lar w de um circuito LRC em série subamortecido é dada pela explicitando R obtemos Continua 366 Fisica Ill Continuagdao 3L AVALIAR 0 circuito se torna criticamente amortecido sem ne R J nhuma oscilagao quando R V4LC O resultado obtido para R é menor que isso como deveria queremos que 0 circuito seja Por exemplo adicionandose uma resisténcia de 35 ao circuito subamortecido do Exemplo 308 L 10 mH C 25 pF verificase que sua frequéncia seria reduzida de 320 Hz para 160 Hz TESTE SUA COMPREENSAO DA SEGAO 306 Um circuito LRC em série inclui um resistor de 20 No instante t 0 a carga do capacitor é igual a 20 wC Para qual dos seguintes valores de indutancia e capacitancia a carga do capacitor ndo oscilara i L 30 wH C 60 pF ii L 60 wH C 30 wF iii L 30 wH C 30 uF 1 CAPITULO 30 RESUMO Indutancia mutua quando uma corrente varid di Bobina 1 vel i em um circuito produz um fluxo magnético M a Nj espiras Bobina 2 varidvel em outro circuito uma fem é induzida xs Np espiras no segundo circuito Analogamente uma corrente diy f B varidvel i2 no segundo circuito gera uma fem no M ae 304 ti it primeiro circuito Quando os circuitos s4o bobinas Pp com N e N espiras a indutancia miitua M pode ser Nop Np iN BSNS expressa em termos do fluxo magnético médio Bg M pT Ub 305 através de cada espira da bobina 2 produzido pela I 2 corrente 7 na bobina 1 ou em termos do fluxo mag nético médio Dp através de cada espira da bobina 1 gerado pela corrente i na bobina 2 A unidade SI de indutancia mutua é o henry abreviado por H Ver exemplos 301 e 302 Autoindutancia uma corrente varidvel i em qual di Son quer circuito induz uma fem autoinduzida A é ee 607 x cB constante L denominada autoindutancia ou indu Fy S tancia depende da geometria do circuito e do ma Nz terial existente em suas vizinhangas A indutancia a a 306 v de uma bobina com N espiras é relacionada com cA o fluxo magnético médio z através de cada es pira produzido pela corrente i que passa na bobina Denominase indutor um dispositivo do circuito em geral com uma bobina que apresenta indutancia ele vada Ver exemplos 303 e 304 Energia do campo magnético umindutorcomin yy 172 309 B dutancia L que conduz uma corrente possui energia I i I U associada ao campo magnético do indutor A den B N sidade de energia magnética u energia por unidade 20 no vacuo 3010 Energia Densidade de volume é proporcional ao quadrado do médulo em um material Perl de energia Sti j 2 172 BR do campo magnético Veja o Exemplo 305 Be com permeabilidade 3011 U 4I u B2p9 2 magnética p Circuitos RL em um circuito contendo um resistor L i R um indutor L e uma fonte de fem 0 aumento e 0 io R 3016 A decréscimo da corrente s4o dados por uma funcao a L exponencial A constante de tempo 7 é 0 intervalo i a fTR de tempo necessdrio para que a corrente atinja um e VA valor igual a 1e de seu valor final Ver exemplos 306 e 307 Capitulo 30 Indutancia 367 Circuitos LC um circuito que contém indutancia L 1 Om 4Omm e capacitancia C passa por oscilagées elétricascom le 3022 Fad uma frequéncia angular w que depende de L e de Hs C Tal circuito é andlogo a um oscilador harménico Lo In Bm Yt Beg MN Mr mecanico sendo a indutancia L andloga a massa m 0 inverso da capacitancia 1C analogo a constante Li IL de forcga k a carga q andloga ao deslocamento x e a corrente i andloga a velocidade v Ver exemplos 308 e 309 Circuitos LRC em série um circuito que con 1 R q tém indutncia resisténcia e capacitancia realiza 4 IC ap 3029 9 Circuito oscilagdes amortecidas quando a resisténcia é sufi S ou pamionizerte 9 Anat So R pequeno cientemente pequena A frequéncia angular w das en oscilagées amortecidas depende dos valores de L O Z Re C A medida que R aumenta 0 amortecimento 7 cresce quando R é maior que um dado valor o comportamento tornase superamortecido e deixa de oscilar Veja o Exemplo 3010 Problema em destaque Analise de um circuito LC Um circuito LC como o mostrado na Figura 3014 consiste o problema mecanico semelhante Exemplo 133 na Secao em um indutor de 600 mH e um capacitor de 250 uF A carga 132 e Exemplo 134 na Secao 133 inicial no capacitor é de 600 uC e acorrente inicial no indutor 3 Quais sao as principais equagdes necessarias para descrever é de 0400 mA a Qual é a energia maxima armazenada no 0 capacitor E para descrever o indutor indutor b Qual é a corrente m4xima no indutor c Qualé EXECUTAR a voltagem maxima nos terminais do capacitor d Quando 4 Determine a energia total inicial no circuito Usea para a corrente no indutor tiver a metade de seu valor maximo determinar a energia maxima armazenada no indutor du quais sao a energia armazenada no indutor e a voltagem em rante a oscilacao seus terminais 5 Use o resultado do item 4 para determinar a corrente ma xima no indutor 6 Use o resultado do item 4 para determinar a energia maxima GUIA DA SOLUGAO armazenada no capacitor durante a oscilagao Depois use IDENTIFICAR E PREPARAR esse resultado para determinar a tensdo maxima no 1 Um circuito LC é um sistema conservativo nao ha re capacitor sistncia para dissipar energia A energia oscila entre a 7 Determine a energia no indutor e a carga do capacitor quando energia elétrica no capacitor e a energia magnética armaze a corrente tiver metade do valor encontrado no item 5 nada no indutor AVALIAR 2 As oscilagdes em um circuito LC sfio semelhantes as osci 8 Inicialmente que fragdo da energia total esta no indutor E lag6es mecanicas de uma particula na extremidade de uma possivel saber se ela esta inicialmente aumentando ou mola ideal ver Tabela 301 Compare esse problema com diminuindo PROBLEMAS e ee eee niveis de dificuldade PC problemas cumulativos incorporando material de outros capitulos CALC problemas exigindo calculo DADOS problemas envolvendo dados reais evidéncia cientifica projeto experimental eou raciocinio cientifico BIO problemas envolvendo biociéncias QUESTOES PARA DISCUSSAO uma junc4o nos fios no momento em que o contato é momenta Q301 Em um 6nibus elétrico 0 motor do vefculo extrai cor Neamente perdido Explique esse fendmeno rente de um fio suspenso por meio de um bracgo longo com um Q302 Pela Equacao 305 1 H 1 WbA e pelas equagdes conector na ponta que desliza pelo fio suspenso Uma faisca 304 1 H 1 0 s Mostre que essas duas definigdes sao elétrica cintilante geralmente vista quando 0 conector passapor equivalentes 368 Fisica lll Q303 Na Figura 301 se a bobina 2 faz um giro de 90 de razao pela qual o uso dessa relacao esta correto em vez do uso modo que seu eixo fique na vertical a indutancia mituaaumenta da relacao i dgqdt ou diminui Explique Q3013 No circuito RL mostrado na Figura 3011 quando fe Q304 O solenoide toroidal com espiras enroladas de modo chamos a chave S 0 potencial v varia repentinamente e de compacto é uma das poucas configurag6es para a qual é facil forma descontinua porém a corrente nado Explique a razao pela calcular a autoindutancia Que caracteristicas do solenoide to qual a voltagem pode variar bruscamente porém a corrente nao roidal fornecem essa simplicidade Q3014 No circuito RL da Figura 3011 a corrente no resistor Q305 Duas bobinas idénticas com espiras enroladas de modo é sempre a mesma que a corrente no indutor Como ter certeza compacto que possuem autoindutancia L sfio colocadas aolongo disso do eixo comum e a distancia entre elas é tao pequena que quase Q3015 Suponha que exista uma corrente continua em um indu se tocam Quando elas sao conectadas em série qual é a autoin tor Caso vocé tente reduzir a corrente até zero instantaneamente dutancia da combinagiio E se elas fossem ligadas em paralelo abrindo rapidamente uma chave um arco voltaico pode se formar Elas podem ser ligadas de modo que a indutncia total seja igual nos contatos da chave Por qué E fisicamente possivel interrom a zero Explique per uma corrente instantaneamente Explique Q306 Duas bobinas circulares com enrolamentos compactos Q3016 Em um circuito LRC que critérios vocé usa para saber possuem 0 mesmo ntimero de espiras porém 0 raio de umadelas se 0 sistema superamortecido ou subamortecido Por exemplo é igual ao dobro do raio da outra Qual é a relacgfo entre as au vocé pode comparar a energia maxima armazenada durante um toindutancias dessas bobinas Explique ciclo com a energia dissipada nesse periodo Explique Q307 Desejase fazer um resistor enrolando um fio em torno de um nticleo cilindrico Para fazer o valor da indutancia ser o menor possivel enrolase a metade do fio em um sentido e a EXERCICIOS outra metade no sentido contrario sobre a camada anterior Isso Secdo 301 Indutancia muitua produziria 0 efeito desejado Por qué 301 A indutancia mitua entre duas bobinas é M 325 X Q308 Para o mesmo valor do campo magnético B adensidade 14 H A corrente i Na primeira bobina cresce a uma taxa uni de energia magnética possui um valor maior no vacuo ouemum forme de 830 As a Qual é a fem induzida na segunda bobina material magnético Explique Da Equagao 3011 podemos con Ja é constante b Suponha que a corrente esteja circulando na cluir que para um solenoide longo no qual circula uma corrente segunda bobina em vez de na primeira Qual é 0 médulo da fem a energia armazenada proporcional a 1u Isso significa que induzida na primeira bobina para uma mesma corrente menos energia é armazenada quando 3Q2 Duas bobinas sao enroladas sobre um mesmo nticleo um solenoide é preenchido com um material ferromagnético do cilindrico como as bobinas no Exemplo 301 Quando a cor que no caso de existir ar em seu interior Explique rente na primeira bobina diminui a uma taxa de 0242 As a Q309 Em um circuito RC um resistor um capacitor descar fem induzida na segunda bobina possui médulo igual a 165 regado uma bateria de cc e uma chave abertaestéoemsérieEm jg3 y a Qual a indutancia mtitua do par de bobinas b Se um circuito RL um resistor um indutor uma bateriadecceuma segunda bobina possui 25 espiras qual 0 fluxo através de cada chave aberta estao em série Compare o comportamento da cor egnira quando a corrente na primeira bobina é igual a 120 A c rente nesses circuitos a logo ap6s a chave ser fechada e b Quando a corrente na segunda bobina cresce a uma taxa igual a bastante tempo depois que a chave estiver fechada Em outras 9360 As qual é o médulo da fem induzida na primeira bobina palavras compare 0 modo como um capacitor e um indutor afe 303 Um solenoide 10 cm de comprimento e didmetro de tam um circuito 0400 cm é enrolado uniformemente com 800 espiras Uma se Q3010 Um circuito diferenciador A corrente em um indu gynda bobina com 50 espiras é enrolada em torno do solenoide tor sem resistncia varia com o tempo de acordo com o grafico em seu centro Qual é a indutancia mtitua da combinacao das mostrado na Figura Q3010 a Desenhe o padrao que seria quas bobinas observado na tela de um oscilosc6pio conectado aos terminais 304 Um solenoide com 25 espiras de fio é enrolado de do indutor O feixe do oscilosc6pio varre horizontalmente a forma compacta em torno de outra bobina com 300 espiras veja tela a uma velocidade cons o Exemplo 301 O solenoide interno tem 250 cm de compri tante e sua deflexao vertical Figura Q3010 mento e diametro de 20 cm Em um dado momento a corrente proporcional a diferenga de i no solenoide interno é igual a 0120 A e aumenta a uma taxa de potencial entre os terminais 175 X 10 As Para esse momento calcule a 0 fluxo mag do indutor b Explique por 4 6 6 nético médio através de cada espira do solenoide interno b que um circuito com um in O a indutancia mtitua dos dois solenoides c a fem induzida no dutor pode ser descrito como solenoide externo pela corrente variante no solenoide interno um circuito diferenciador 305 Dois solenoides toroidais séo enrolados sobre um Q3011 Na Secao 305 aplicamos a lei das malhas de Kirchhoff mesmo nticleo de modo que 0 campo magnético de um passa no circuito LC no qual 0 capacitor inicialmente carregado através das espiras do outro O solenoide possui 700 espiras por completo e deduzimos a equagao L didt qC 0 enquanto o solenoide 2 400 espiras Quando a corrente no sole Porém quando 0 capacitor comega a descarregar a corrente au noide é igual a 652 A o fluxo magnético médio através de cada menta a partir de zero A equacao afirma que L didt qC espira do solenoide 2 é igual a 00320 Wb a Qual é a indutancia ou seja que L didt possui valor negativo Explique como Ldidt mutua do sistema com os dois solenoides b Quando a corrente pode ser negativo quando a corrente esta aumentando no solenoide 2 é igual a 254 A qual é 0 fluxo magnético médio Q3012 Na Secio 305 aplicamos a relagao i dqdt parade através de cada espira do solenoide 1 duzir a Equacao 3020 Porém um fluxo dacorrente corresponde 306 Um solenoide toroidal com um raio médio re uma area a uma diminuigéo da carga do capacitor Portanto explique a de secao reta A esta uniformemente enrolado com um numero Capitulo 30 Indutancia 369 de espiras igual a N Um segundo solenoide com um ntimero de resposta sera aproximada porque na realidade B é menor nas ex espiras igual a N é enrolado uniformemente sobre 0 primeiro tremidades que no centro do solenoide Por isso na realidade sua de modo que os dois solenoides tenham a mesma 4rea de segaéo resposta sera um limite superior para a indutancia b Uma mola reta e raio médio a Qual é a indutancia miutua dos dois sole metalica de laboratério normalmente possui 500 cm de compri noides Suponha que 0 campo magnético do primeiro solenoide mento e 0150 cm de diametro com 50 voltas Se vocé conectar seja uniforme pela segao reta dos dois solenoides b Se N essa mola a um circuito elétrico quanta autoindutancia devera 500 voltas N 300 voltas r 100 cmeA 0800 cm qual ser incluida para que ela seja modelada como um solenoide ideal 0 valor da indutaneia mutua Secao 303 Energia do campo magnético Secao 302 Indutores e autoindutancia 3016 Um indutor usado em uma fonte de alimentagao de 307 Um solenoide toroidal de 250 mH possui raio médio corrente continua possui indutancia igual a 120 H e resistén de 600 cm e area de secio reta igual a 200 cm a Quantas cia de 180 Ele conduz uma corrente de 0500 A a Qual é bobinas ele tem Faga a mesma suposigao do Exemplo 303 a energia armazenada no campo magnético b Qual a taxa b Com que taxa a corrente através dele devera variar de modo de producdo de energia térmica no indutor c Sua resposta do que uma diferenga de potencial de 200 V seja desenvolvidaem item b significa que a energia magnética esté diminuindo com seus terminais o tempo Explique 308 Um solenoide toroidal possui 500 espiras area de segao 3017 Um solenoide toroidal cheio de ar possui raio médio reta de 625 cm e raio médio de 400 cm a Calcule a autoin igual a 150 cm e secao reta com area de 50 cm Quando a dutancia da bobina b Para 0 caso em que a corrente diminui corrente é de 120 A a energia armazenada é igual a 0390 J uniformemente de 500 A para 200 A em 300 ms calcule a fem Quantas espiras ele possui autoinduzida na bobina c A corrente esta orientada no sentido do terminal a da bobina para o terminal b O sentido da fem 3018 o Um solenoide toroidal cheio de ar poss 300 SPs induzida é de a para b ou de b para a raio médio de 120 cm com segéo reta de area igual a 400 cm 309 No instante em que a corrente em um indutor esté au Supondo que a corrente seja de 500 A calcule a 0 campo mentando a uma taxa de 00640 As 0 médulo da fem autoin Magnético do solenoide b a autoindutancia do solenoide c duzida é igual a 00160 V a Qual é a indutancia do indutor a energia armazenada no campo magnético d a densidade de b Se o indutor é um solenoide com 400 espiras qual 0 fluxo energia no campo magnético e Confira sua resposta para 0 magnético médio através de cada espira quando acorrente éigual item d dividindo sua resposta para o item c pelo volume a 0720 A do solenoide 3010 Quando a corrente em um solenoide toroidal esté va 3019 Um solenoide de 250 cm de comprimento e drea de riando com uma taxa igual a 00260 As o modulo da feméigual secao reta de 0500 cm contém 400 espiras e transporta uma a 126 mV Quando a corrente éigual a 140A 0 fluxo magnético Corrente de 800 A Calcule a o campo magnético no solenoide médio através de cada espira do solenoide é igual a 000285 Wb b a densidade de energia no campo magnético se 0 solenoide Quantas espiras 0 solenoide possui f hido com ar c a energia total contida no campo mag 3011 O indutor na Figura E3011 or Preenemee non no capone apresenta induténcia de 0260 He con Figura 3011 nético da bobina suponha que o campo seja uniforme d a duz uma corrente no sentido indicado indutancia do solenoide que diminui a uma taxa constante dada t 3020 Existe uma proposta para usar grandes indutores como por didt 00180 As a Qual é a e0000 e dispositivos para armazenar energia a Qual é a energia total fem autoinduzida b Qual é a extremi a L b convertida em energia térmica e energia luminosa quando uma dade do indutor que esta a um potencial lampada incandescente de 150 W fica acesa durante um dia mais elevado a ou b b Se a energia calculada na parte a fosse armazenada em um 3012 O indutor indicado na Figura E3011 possui indutancia indutor no qual circulasse uma corrente de 800 A qual seria igual a 0260 H e transporta uma corrente no sentido indicado A sua indutancia taxa de variacao da corrente é constante a O potencial entre os 3021 e Em um acelerador de protons usado em experiéncias pontos ae b é V4 104 V com 0 ponto a possuindo potencial de fisica com particulas elementares as trajetorias dos protons mais elevado A corrente est4 aumentando ou diminuindo b S40 controladas por eletroimas defletores que produzem campos Quando a corrente em 0 é de 120 A qual é a corrente em magnéticos da ordem de 480 T Qual a energia do campo mag t 200 s nético em um volume de 100 cm no vacuo em que B 480 T 3013 Um solenoide toroidal possui raio médio de 120 cm 3022 Desejase armazenar 100 kW h 360 x 10 Jde e drea de secdo reta igual a 0600 cm a Quantas espiras 0 energia elétrica em um campo magnético uniforme com médulo solenoide possui se sua indutancia for 0100 mH b Qual é igual a 0600 T a Qual 0 volume no vacuo que o campo a resisténcia do solenoide se 0 fio do qual ele é enrolado tiver agnético deve ocupar para armazenar essa quantidade de ener resisténcia por comprimento unitario de 00760 Qm gia b Se essa quantidade de energia fosse armazenada no 3014 Umsolenoide reto e longo possui 800 espiras Quando vacuo em um volume contido em um cubo de aresta igual a 400 a corrente no solenoide é igual a 290 A o fluxo médio através qual deveria ser o campo magnético necessario de cada espira do solenoide é igual a 325 X 10 Wb Qual Secao 304 O circuito RL deverd ser o médulo da taxa de variagao da corrente para que a 3023 Um indutor com indutancia de 250 H e resisténcia fem autoinduzida seja igual a 620 mV igual a 80 Q esta conectado aos terminais de uma bateria com 3015 Indutancia de um solenoide a Um solenoide fem de 600 V e resisténcia interna desprezivel Calcule a a reto e longo possui N espiras secdo reta uniforme com 4reaA e taxa inicial do crescimento da corrente no circuito b a taxa comprimento Mostre que a indutancia desse solenoide dada de aumento da corrente no instante em que a corrente igual a pela equacao L pyANI Suponha que o campo magnético 0500 A c a corrente 0250 s depois que 0 circuito é fechado seja uniforme dentro do solenoide e igual a zero fora dele Sua d a corrente estaciondria final 370 Fisica Ill 3024 Na Figura 3011 R 150 0 e a fem da bateria é no capacitor no instante tf 0 ms 0 momento da conexféo com igual a 630 V Com a chave S aberta 5 é fechada Depois de 0 indutor c a energia armazenada no indutor no instante t varios minutos S é aberta e Sz é fechada a 200 ms apéds S 130 ms ser aberta a corrente diminui para 0280 A Calcule aindutancia 3033 Um capacitor de 750 nF é carregado até 120 Ve a da bobina b Quanto tempo depois de S ser aberta a corrente seguir desconectado da fonte de alimentagao e conectado em atingira 100 de seu valor original série através de uma bobina O periodo de oscilagao do circuito 3025 Uma bateria de 350 V com resisténcia interna des é medido em 860 X 10 s Calcule a a indutAncia da bobina prezivel um resistor de 500 e um indutor de 125 mH com b a carga maxima no capacitor c a energia total do circuito resisténcia desprezivel estéo conectados em série aumachave dacorrente maxima no circuito aberta A chave é subitamente fechada a Quanto tempo apdsa 3034 Umcapacitor de 180 wF é conectado a uma bateria de chave ser fechada a corrente através do indutor atingira metade 225 V por alguns segundos e a seguir conectado a um indutor de seu valor maximo b Quanto tempo apds 0 fechamento da de 120 mH com resisténcia desprezivel a Ap6s 0 capacitor e chave a energia armazenada no indutor atingira a metade de seuo indutor estarem ambos conectados determine a corrente ma valor maximo xima no circuito Quando a corrente é maxima qual é a carga no 3026 Na Figura 3011 a chave S é fechada enquanto S2 capacitor b Quanto tempo apés o capacitor e o indutor serem é mantida aberta A indutancia é L 0115 Hea resisténciaé conectados em conjunto o capacitor é completamente descarre R 120 Q a Quando a corrente atinge seu valor final a ener gado da primeira vez E da segunda vez c Faca graficos da gia armazenada no indutor é igual a 0260 J Qual éa fem da carganas placas do capacitor e da corrente que passa pelo indutor bateria b Depois que a corrente atinge seu valor final a chave em funcao do tempo S aberta e Sz é fechada Quanto tempo é necessdrio para que 3035 Oscilacées LC Um capacitor com capacitancia igual a energia armazenada no indutor diminua até 0130 J a metade a 600 X 10 F é carregado conectandoo a uma bateria de de valor inicial 120 V A seguir 0 capacitor é desconectado da bateria e co 3027 Na Figura 3011 suponha que 600 VR 2400 nectado a um indutor com L 150 H a Calcule a frequéncia e L 0160 H A chave Sj mantida aberta e fechamos S até angular w das oscilagGes elétricas e 0 periodo dessas oscilagdes que uma corrente constante seja estabelecida A seguir S éfe 0 tempo de uma oscilacao b Qual é a carga inicial do capa chada e S aberta de modo que a bateria nao alimente mais 0 itor c Qual é a energia inicial armazenada no capacitor d circuito a Qual a corrente inicial no resistor logo apds Sy ser Qual é a carga do capacitor 00230 s depois de ele ser ligado ao fechada e S ser aberta b Qual a corrente no resistor quando indutor Interprete o sinal de sua resposta e No instante dado t 400 X 10 s c Qual éa diferenga de potencial entre os no item d qual é a corrente no indutor Interprete o sinal de pontos b e c quando t 400 X10 s Qual dos dois pontos esté sua resposta f No instante dado no item d qual é a energia aum potencial mais elevado d Quanto tempo é necessario para elétrica armazenada no capacitor e qual é a energia armazenada que a corrente se reduza a metade de seu valor inicial no indutor 3028 Na Figura 3011 suponha que 600 VR 2400 3036 Um circuito de sintonia de radio A capacitancia e L 0160 H Inicialmente nao existe nenhuma corrente no cir minima do capacitor varidvel de um radio é igual a 418 pF a cuito A chave S é mantida aberta e fechamos S a Logo apds Qual a indutancia de uma bobina conectada a esse capacitor fechar S quais sao os valores das diferengas de potencial ve para que a frequéncia de oscilagao do circuito LC seja igual a Upe2 b Calcule vzy e Vp Muito tempo depois do fechamento de 1600 x 10 Hz correspondente a uma extremidade da faixa de S apds muitas constantes de tempo c Calcule vg e Vp para frequéncia de radio da banda AM quando o seletor for posicio um tempo intermedidrio quando i 0150 A nado de modo que o capacitor possua sua capacitancia minima 3029 Na Figura 3011 S é fechada enquanto S é mantida b A frequéncia da outra extremidade dessa faixa de frequéncia aberta A indutancia é L 0380 H a resisténcia é R 4800 igual a540 x 10 Hz Qual 0 valor maximo da capacitancia e a fem da bateria é 180 V No momento t apés S ser fechadaa para que as frequéncias das oscilagdes possam ser selecionadas corrente no circuito esté aumentando a uma taxa didt 720 As dentro do intervalo dessa banda de frequéncias de radio Nesse momento qual é 0 valor de v a voltagem nos terminais 3037 Um circuito LC formado por um indutor de 800 mH do resistor e um capacitor de 125 nF oscila com uma corrente maxima de 3030 Tome como referéncia o Exercicio 3023 a Qual 0750 A Calcule a a carga maxima no capacitor e b a fre é a taxa com que a bateria est4 fornecendo energia elétrica ao quéncia de oscilagao no circuito c Supondo que o capacitor circuito logo apés ele estar fechado b Quando a corrente tiver tenha carga maxima no instante t 0 calcule a energia armaze alcangado seu valor constante final quanta energia é armazenada nada no indutor apds 250 ms de oscilagao no indutor Qual éa taxa em que a energia elétrica esta sendo Secdo 306 O circuito LRC em série dissipada na resisténcia do indutor Qual é a taxa em queabate 393g Umcircuito LRCem série possui L 0600 He C ria est fornecendo energia elétrica ao circuito 300 mF a Calcule a frequéncia angular de oscilagao para o Secao 305 O circuito LC circuito quando R 0 b Que valor de R oferece amortecimento 3031 Em um circuito LC L 850 mH e C 320 uF critico c Qual é a frequéncia de oscilagéo w quando R tem Durante a oscilagdo a corrente maxima no indutor é igual a metade do valor que produz amortecimento critico 0850 mA a Qual é a carga maxima do capacitor b Qual 3039 Um circuito LRC possui L 0450 H C 250 x o médulo da carga do capacitor quando a corrente no indutor 107 Fe resisténcia R a Qual é a frequéncia angular do circuito possui médulo igual a 0500 mA quando R 0 b Qual deve ser o valor de R para que a frequén 3032 Um capacitor de 150 wF carregado por uma fonte cia angular seja 50 menor que 0 valor calculado no item a de alimentagdo de 1500 V e aseguir desconectado dafonte para 3040 Umcircuito LRC em série possui L 0400 H C ser conectado em série a um indutor de 0280 mH Calcule a 700 wF e R 320 0 Em t 0 a corrente é zero e a carga a frequéncia de oscilacao do circuito b a energia armazenada inicial no capacitor é 280 X 10 C a Quais sao os valores Capitulo 30 Indutancia 371 das constantes A e na Equacao 3028 b Quanto tempo é ne e Use a Equagao 309 para calcular a energia magnética arma cessdrio para cada oscilagdo de corrente completa apés a chave Zenada no campo magnético para um comprimento do cabo desse circuito ser fechada c Qual é a carga no capacitor ap6s 3047 PC CALC Considere 0 cabo coaxial do Problema a primeira oscilacao de corrente completa 3046 As correntes dos condutores possuem 0 mesmo médulo 3041 Para o circuito indicado na Figura 3017 seja C i porém seus sentidos sao opostos a Aplique a lei de Ampére 150 nF L 22 mHe R 750 a Calcule a frequéncia de para determinar 0 campo magnético em qualquer ponto do vo oscilago no circuito apés o capacitor ter sido carregadoeachave lume entre os condutores b Use a expressao da densidade de ter sido conectada ao ponto a b Quanto tempo levaré paraa energia do campo magnético Equagao 3010 para calcular a amplitude da oscilacao cair 100 em relacdo a seu valor original energia armazenada em uma camada cilindrica fina entre os dois c Qual valor de R produziré um circuito criticamente amortecido condutores Suponha que a camada cilindrica possua raio interno r raio externo r dr e comprimento c Integre a expressao encontrada no item b sobre o volume entre os dois condutores PROBLEMAS para calcular a energia total armazenada no campo magnético 3042 Um indutor esta ligado aos terminais de uma bateria para um comprimento do cabo d Use o resultado do item c com fem igual a 160 V e resisténcia interna desprezivel Depois e a Equaciio 309 para calcular a indutancia L de um comprimento de 0940 ms de a ligagao ser feita a corrente igual a486 MA do cabo Compare sua resposta ao resultado obtido no item d Depois de um muito tempo a corrente é de 645 mA a Qual gy Problema 3046 a resistncia R do indutor b Qual a indutancia L do indutor 39 4g e CALC Considere o circuito na Figura 3011 com as 3043 Considere dois solenoides um dentro do outro O s0 quas chaves abertas Em t 0 achave S é fechada enquanto S lenoide externo possui comprimento de 500 cm e contém 6750 é mantida aberta a Use a Equacio 3014 para derivar uma equa espiras enquanto o solenoide coaxial interno tem 30 cm de Ao para a taxa Pr na qual a energia elétrica esta sendo consumida comprimento e 0120 cm de diametro contendo 15 espiras A ee tor Em ae deER L emaue valor de fa taxa Pp é variacao na corrente do solenoide externo é igual a 492 As a méxima Qual é esse valor maximo 9 b Use as equacoes 30 ai e Qual é a indutancia mitua desses solenoides b Determine a fem induzida no solenoide interno 30 5 para deduzir uma equacao para Pra taxa na qual a energia 3044 CALC Uma bobina possui 400 espiras e autoindu esta sendo armazenada no indutor c Qual é 0 valor de P em tancia de 750 mH A corrente na bobina varia de acordo com a r0e quando r ee d Em termos de R E em que valor equaciio i 680 mA cos z100250 s a Qual é a fem mé de ta taxa P é maxima Qual é esse valor maximo e Obtenha xima induzida na bobina b Qual é 0 fluxo magnético médio 4 expresso para P a taxa na qual a bateria esta fornecendo maximo através de cada espira da bobina c Para t 00180 s energia elétrica ao circuito Em termos de R e L em que valor qual é 0 médulo da fem induzida de t a taxa Pe maxima Qual é esse valor maximo 3045 Energia solar magnética A forca dos campos mag 3049 a Qual deveria ser a autoindutancia de um solenoide néticos no interior de uma mancha solar pode chegar a 04 T Para que ele armazenasse 100 J de energia quando uma corrente Comparativamente a forga do campo magnético da Terra é de 200 A passa por ele b Supondo que o didmetro da segao cerca de 110000 disso As manchas solares podem ter até eta do solenoide seja igual a 400 cm e que suas bobinas possam 25000 km de raio O material de uma mancha solar possui den 8 enroladas a uma densidade de 10 bobinasmm qual seria o sidade aproximada de 3 X 1074 kgm3 Suponha que pt para o comprimento do solenoide Vejao Exercicio 3015 Esse com material da mancha solar seja jug Se 100 da energia do campo Primento vidvel para uso rouneiro em um laboratorio magnético armazenado em um ponto solar pudesse ser usada para 3050 ee CALC Um indutor com indutancia L 0300 He ejetar o material da mancha solar da superficie do Sol qual seria resistncia desprezivel esta ligado a uma bateria uma chave S a velocidade da ejecdo do material Compare com a velocidade 4018 resistores R 120 0e Ry 160 a Figura P3050 de escape do Sol que de aproximadamente 6 X 10 ms Dica A bateria tem fem de 960 V e resistncia interna desprezivel calcule a energia cinética que o campo magnético pode fornecer 5 fechada em t 0 a Quais sao as correntes i iz 13 logo a 1 m de material da mancha solar apos S ser fechada b 3046 PC CALC Umcabo coaxial Um pequeno condutor QUais so 11 i2 13 depois Figura P3050 macico com raio a é suportado por dois discos isolantes nao que S tiver sido fechada por magnéticos no eixo de um tubo com paredes finas de raio interno muito tempo c Qual o S in is Ry igual a b Os condutores interno e externo conduzem correntes de valor de para 0 qual 73 tem 4 mesmo modulo i porém com sentidos contrarios a Aplique a etade do valor final que Ry lei de Ampére para determinar 0 campo magnético em qualquer vocé calculou no item b ti 1 Le ponto do volume entre os condutores b Escreva a expressdo d Quando 73 tem metade para o fluxo magnético d z através de uma faixa estreita de de seu valor final quais sao comprimento paralela ao eixo com espessura dr situadaauma 08 valores de i iy distancia r do centro do cabo e sobre 0 plano que contém 0 eixo 3051 Alarme veicular eletromagnético Sua mais recente c Integre a express4o encontrada no item b sobre 0 volume invengao um alarme para carros que produz um som a uma entre os dois condutores para calcular 0 fluxo magnético produ frequéncia particularmente perturbadora de 3500 Hz Para fazer zido pela corrente i que passa no condutor central d Mostre que 1880 circuito desse alarme deve produzir uma corrente eletrica a indutancia L de um comprimento do cabo é dada por alternada com a mesma frequéncia Por esse motivo seu projeto inclui um indutor e um capacitor em série A voltagem maxima Ko b através do capacitor deve ser de 120 V a mesma voltagem da L an 2 bateria do carro Para produzir um som suficientemente alto 0 capacitor deve armazenar 00160 J de energia Quais valores de 372 Fisica lll capacitancia e indutancia vocé deve escolher para 0 circuitode 3058 e PC No circuito Figura P3058 seu alarme para carros indicado na Figura P3058 3052 eee CALC Um indutor com indutancia L 0200 He determine a leitura em cada LI resisténcia desprezivel esta ligado a uma bateria uma chave S amperimetro e voltimetro 10000 A3 e dois resistores Rj 800 O e Ry 600 Figura P3052 a logo apés a chave S ser 5 t A bateria tem emf de 480 V e resisténcia interna desprezivel fechada e b apés S estar fe 150 mH S fechada em f 0 a Quais sao as correntes i i7 3 logo chada hé muito tempo A G apos S ser fechada b Quais so ij iz e i3 depois que S tiver 3059 e PC No circuito 500V sido fechada por muito tempo c Aplique as leis de Kirchhoff indicado na Figura P3059 7500 EG ao circuito e obtenha uma equac4o diferencial para i3t Integre a chave S é fechada no ins essa equagao para obter uma equacao paraiemfungaodotempo tante t 0 sem carga inicial Ay t decorrido desde que S foi no capacitor a Determine a fechada d Use a equacao Figura P3052 leitura em cada amperimetro deduzida no item c para e voltimetro logo apés a chave S ser fechada b Determine a calcular 0 valor de t para o ti 1 s Ry in is leitura de cada instrumento apés S estar fechada ha muito tempo qual i3 tem metade do valor 4 c Determine a carga maxima no capacitor d Desenhe um gra final que vocé calculouno R LB fico qualitativo da leitura do voltimetro V em fungao do tempo item b e Quando i3 tem metade de seu valor final Figura P3059 quais sao os valores de i e in Lan As 3053 Um capacitor de 700 uF possui carga inicial com 500 0 potencial igual a 160 V A seguir ele é conectado em série a Ss 500 mH XK um indutor de 375 mH a Qual é a energia total armazenada Y nesse circuito b Qual é a corrente maxima no indutor Qual 400V A2 xX a carga nas placas do capacitor no instante em que a corrente Ay no indutor é maxima 1000 0 EG 3054 Um capacitor de 640 nF é carregado a 240 V e de Ai pois desconectado da bateria no circuito e conectado em série com uma bobina que possui L 00660 H e resisténcia despre 3060 Nocircuito indicado na Figura P3060 a chave Sj esta zivel Depois que 0 circuito estiver fechado haverd oscilagdes de fechada ha um longo tempo o suficiente para que a leitura da cor corrente a Em um instante em que a carga do capacitor é igual rente esteja estacionaria a 350 A Subitamente S é fechada e S a 00800 jC quanta energia estara armazenada no capacitore é aberta no mesmo instante a Qual é a carga maxima que 0 ca no indutor e qual é a corrente no indutor b No instante em pacitor recebera b Qual é a corrente no indutor nesse instante que a carga no capacitor for 00800 pC quais s4o as voltagens Figura P3060 no capacitor e no indutor e qual é a taxa na qual a corrente no indutor esta variando 3055 Um circuito LC constitufdo por um indutor de Sy Sy 600 mH e um capacitor de 250 uF A carga inicial do capacitor 20 mH 50 uF é igual a 600 C e a corrente inicial no indutor é igual a zero R a Qual é a voltagem maxima através do capacitor b Qual é a corrente maxima no indutor c Qual é a energia maxima armazenada no indutor d Quando a corrente no indutor atinge 3061 PC No circuito indicado na Figura P3061 a metade de seu valor maximo qual é acargano capacitore qual 600 V Ry 400 Q Ry 250 Oe L 0300 H A chave S é a energia armazenada no indutor esta fechada para t 0 Logo depois de a chave ser fechada 3056 Um capacitor carregado com C 590 uF estéco a qual é a diferenga de potencial v nos terminais do resistor nectado em série com um indutor que possui L 0330 He re Ry b Qual 0 ponto que esta a um potencial mais elevado a sisténcia desprezivel No instante em que a corrente no indutoré ou b c Qual a diferenca de potencial vg nos terminais do i 250 A a corrente esta aumentando a uma taxa didt indutor L d Qual 0 ponto que esta a um potencial mais ele 730 As Durante as oscilagées de corrente qual a voltagem vado c ou d A seguir a chave maxima nos terminais do capacitor é mantida fechada durante um 3057 PC No circuito indicado na Figura P3057 a tempo muito longo e depois é Figura P3061 chave esta aberta ha muito aberta Logo apés a chave ser 4 é tempo quando subitamente Figura P3057 aberta e qual é a diferenga de i fechada Nema bateria nem os 5000 120 mH potencial Vgp NOS terminais do indutores possuem resisténcia THU resistor R f Qual é o ponto interna significativa Quais 3 que est4a um potencial mais b sao as leituras do amperimetro 200 V 8 180 mH elevado a ou b g Qual é a Po e do voltimetro a logo apés diferenga de potencial vg nos Ry c Ld S ser fechada b apés S estar 2500 150 mH terminais do indutor L h fechada ha muito tempo c A mes Qual 0 ponto que esté a um 0115 ms apéds S ser fechada potencial mais elevado c ou d Capitulo 830 Indutancia 373 3062 PC No circuito indicado na Figura P3061 circuito b A chave é agora subitamente passada para a posi 600 V R 400 0 Ro 250 Qe L 0300 H a Achave cao 2 Determine a carga maxima que cada capacitor recebera e S esta fechada Em um instante posterior a corrente no indutor quanto tempo apdés a mudanga de posicao da chave eles levarao esta crescendo a uma taxa didt 500 As Nesse instante qual para adquirir essa carga a corrente i que passa em R e qual a corrente iz que passa 3067 DADOS Durante um estdgio como técnico em ele em Ry Dica analise duas espiras separadas uma contendo Ee trdnica vocé solicitado a medir a autoindutancia L de um so Re a outra contendo E Ry e L b A seguir a chave mantida Jenoide Vocé conecta o solenoide em série com um resistor de fechada durante um tempo muito longo e depois aberta Logo 100 uma bateria com resisténcia interna desprezivel e uma depois de ela ser aberta qual a corrente que passa em Ry chave Usando um voltfmetro ideal vocé mede e registra digi 3063 CALC Considere 00 ure mene na Figura talmente a voltagem uv no solenoide em fungao do tempo t que P3063 Seja 7 360 V Ro 7 500 R 1500eL 400 H se passou desde que a chave foi fechada Seus valores medidos a A chave S é fechada e Sz é mantida aberta Logo depois que Z x oe aparecem na Figura P3067 onde uv é representado em fungao S fechada quais sao os valores da corrente ig que passa em er R de t Além disso vocé mede que vy 500 V logo depois que Ro e das diferencas de potencial v e V4 b Depois que S 2 Z a chave é fechada e v 200 V muito tempo depois que ela é é fechada durante um tempo muito ore fechada a Aplique a regra da malha ao circuito e obtenha uma longo mantendo S ainda aberta Figura P3063 de modo que a corrente atinja seu equacgao para v em funao de ica use uma andlise seme valor estaciondrio final quais so 4 Ihante a usada para deduzir a Equacao 3015 b Qual é a fem os valores de ip Uge Vep C E da bateria c De acordo com suas medicgées qual é a ampli Determine as express6es de ig Vgc So tude de voltagem no resistor de 100 quando t Use esse Vey em fungao do tempo a partir Sy resultado para calcular a corrente no circuito quando t d do momento em que a chave S é Ro R L Qual é a resisténcia R do solenoide e Use a equacao tedrica fechada Seu resultado deve estar 5 do item a a Figura P3067 e os valores de e Ry dos itens b de acordo com a resposta do item e d para calcular L Dica de acordo com a equagao qual é o a quando 0 e com a resposta valor de v quando 7 uma constante de tempo Use a Figura do item b quando t Faca um grafico de ip Ug UeM P3067 para estimar o valor de t 7 fung4o do tempo 3064 Depois que a corrente na Figura P3063 atinge seu Figura P3067 valor estacionario final com a chave S fechada e S aberta S vu V fechada colocando o indutor em curtocircuito A chave Sj 450 e permanece fechada Veja o Problema 3063 para os valores nu 400 e e meéricos dos elementos do circuito a Logo depois de Sy ser 350 e fechada quais s4o os valores de Ug Ucp quais sAo as correntes 300 PP ee que passam em Ro R e Sz b Depois que S é fechada durante 350 Pee 6 um tempo muito longo quais sao os valores de Ug Ug quais 5 200 t ms sao as correntes que passam em Ro R e Sz c Determine as 00 05 10 15 20 25 30 35 40 45 expressGes para as correntes que passam em Ro R e Sp em fungao tempo esd momento ado it Sp fechada Seu resultado 3968 DADOS Vocé est estudando um solenoide com re eve str de ar vib a tend osta do a a auand t ae e com a sisténcia e indutancia desconhecidas Vocé 0 conecta em série resposta do Item b quando 1 Faga um gratico dessas tres com um resistor de 500 0 uma bateria de 250 V com resisténcia correntes em fungao do tempo interna desprezivel e uma chave Usando um voltimetro ideal 3065 PC No circuito indicado na Figura P3065 a chave preain i Z vocé mede e registra digitalmente a voltagem Up nos terminais S é fechada no instante t 0 a Determine a leitura de cada 4 funca h instrumento logo apés a chave S ser fechada b Qual é a leitura resistor em Tungao o temp oF que se passou apos a chave ter apos a chave S estar fechada hd muito tempo sido fechada Seus valores medidos aparecem na Figura P3068 onde vp é desenhado em funcao de t Além disso vocé mede Figura P3065 que Ur 0 logo depois que a chave é fechada e vp 250 V muito tempo depois que ela é fechada a Qual é a resisténcia 400 0 500 1009 R do solenoide b Aplique a regra das malhas ao circuito e s obtenha uma equacao para Ur em fungao de c De acordo C 1500 com a equacéo que vocé derivou no item b qual é 0 valor de 250V 200 mHB 8 100 mH Up quando t 7 uma constante de tempo Use a Figura P3068 para estimar o valor de t 7 Qual é a indutancia do solenoide d Quanta energia é armazenada no indutor muito tempo depois A que a chave é fechada 3066 e PC Nocircuito Figura P3066 Figura P3068 indicado na Figura P3066 a asf Vv nem a bateria nem os indu tores possuem resisténcia 15 ov lt 0 L 250 200 ed ee interna significativa os ca mH MF 150 e pacitores néo possuem carga 100 e ns 12500 50 inicial e a chave S esta na iH 350 50 e posiéo 1 ha muito tempo uF 00 t ms a Qual a corrente no 00 25 50 75 100 125 150 374 Fisica Ill 3069 DADOS Para investigar as propriedades de um ij que passa atravésdoramodo Figura P3071 grande solenoide industrial vocé conecta o solenoide e umresis indutor e uma corrente in que 4 tor em série com uma bateria As chaves permitem que a bateria passa através do ramo do capa 1 seja substituida por um curtocircuito do solenoide e do resistor citor A carga inicial do capaci Portanto a Figura 3011 pode ser usada com R Rx Rzem tor igual a zero e a carga no s R que R a resisténcia do solenoide e Rx é aresisténcia do resis instante é igual aq a Deduza i tor em série Com a chave S aberta vocé fecha S e amantém expressGes para i in gy em fechada até que a corrente i no solenoide seja constante Figura funcao do tempo Expresse as 3011 Depois simultaneamente Sz é fechada e S é aberta respostas em termos de L C R usando um mecanismo de comutagao com resposta répidaCom Rj R2 e Para o restante deste Cc um aparelho eletr6nico de alta velocidade vocé mede 0 tempo problema use os seguintes va tmeio Necessdrio para que a corrente diminua até metade de seu lores para os elementos do circuito 48 V L 80 H C valor inicial Essa medicdo é repetida para diversos valores de 20 wF Ry 25 Qe Ry 5000 b Qual é a corrente inicial Rext obtémse estes resultados que passa através do ramo do indutor Qual é a corrente inicial que passa através do ramo do capacitor c Quais sAo as corren tes que passam através do ramo do indutor e do ramo do capacitor Q um longo tempo depois de a chave ser fechada Qual é a durac4o 0735 0654 0589 0536 0491 0453 0393 0347 desse longo tempo Explique d Para qual tempo ft com s precisao de dois algarismos significativos a corrente i tornase a Desenhe um grafico de seus dados na forma de Itmeio em igual ain Dica vocé deve considerar o desenvolvimento em fungao de Rx Explique por que os pontos de dados desenha serie da fungao exP onencial e Calcule i para as condigdes dos dessa forma ficam pr6ximos de uma linha reta b Use seu esp ecificadas no item d f A corrente total atraves da bateria grafico do item a para calcular a resisténcia R e a indutancia ere 4 h Para qual temp Of com p FECISAO de dois algarismos L do solenoide c Se a corrente no solenoide for 200 A quanta significativos a corrente tornase igual a metade de seu valor energia esta armazenada 14 A que taxa a energia elétrica esta final Dica calculo numérico pode ser simplificado se voce sendo dissipada na resisténcia do solenoide fizer aproximagoes adequadas Um desenho de i ede em fun cao de t pode ajudar a decidir qual é a aproximacio valida PROBLEMAS DESAFIADORES 5 jo Problemas com contexto 70 eee m medidor de volume Um tanque contendo ee liquido possui espiras enroladas em torno dele fazendo com que BIO QUENCHING EM UM IMA DE RM Imas transportando ele funcione como um indutor O contetido liquido no interior correntes muito grandes s ao usados para produzir OS campos do tanque pode ser medido usandose o valor de sua indutancia magneticos uniformes intensos necessarhos Para os exames para determinar sua altura A indutancia do tanque varia de um Por ressonancla magnética RM Um ma upico para RM pode valor Lo correspondente a uma permeabilidade relativa igual ser um solenoide com 20 m de extensao 10 m de diametro a 1 quando esta vazio até um valor Lr correspondente a uma com autoindutancia de 44 H transportando uma corrente de permeabilidade relativa igual a K a permeabilidade relativa do 750 A Um fio normal transp ortando tanta corrente dissiparia liquido quando esta cheio Um circuito eletrénico apropriado uma grande potencia eletrica em forma de calor de modo que pode determinar a indutancia com cinco algarismos significati 4 M410 dos mas de RM c feita com bobinas de um fio super vos e portanto é capaz de determinar a permeabilidade relativa condutor resfriado por helio Iiquido a uma temperatura pouco efetiva da combinacao do volume de ar com 0 volume do liquido abaixo de seu ponto de fusao 42 K Depois que a corrente na cavidade retangular do tanque Os quatro lados do tanque é estabelecida no fio a fonte de alimentacgdo é desconectada e possuem largura We altura D Figura P3070 A altura atingida 8 xtremidades do ima sao unidas por meio de um pedaco de pelo liquido no tanque é igual a d Despreze os efeitos de borda supercondutor de modo que a corrente fluiré sem resisténcia e suponha que a permeabilidade relativa do material do tanque quanto o hélio liquido mantiver o ima frio seja desprezivel a Deduza uma expressio para d em funcdo Sob raras circunstancias um pequeno segmento do fio do ima de L a indutancia correspondente a uma dada altura do liquido pode perder suas propriedades supercondutoras e desenvol de Lo Le e D b Qual a indutancia com cinco algarismos Ver alguma resisténcia Nesse segmento a energia elétrica é significativos para um tanque cheio até 4 cheio até 5 cheio até convertida em energia térmica que pode causar ebuligao de 34 e completamente cheio de oxigénio liquido Considere Ly parte do hélio liquido Outras partes do fio entao se aquecem e 063000 H A suscetibili perdem suas propriedades supercondutoras dissipando assim dade magnética do oxigé Figura P3070 ainda mais energia em forma de calor Como o calor latente da nio liquido é m 152 X vaporizaao do hélio liquido é muito baixo 209 kJkg quando 1073 c Repita o item b Cfaf 8 o fio comegar a se aquecer todo 0 hélio liquido podera ferver para o merctirio A susceti F rapidamente Esse evento denominado quench pode danificar bilidade magnética do mer D d Zo o ima Além disso um grande volume de gas hélio é gerado curio é dada na Tabela 281 l feo oe enquanto o liquido ferve causando risco de asfixia e 0 rapido d Para que tipo de material w actiimulo de pressfo resultante pode causar uma explosao Com esse dispositivo de medicao isso possivel perceber a importancia de manter em zero a de volume é mais pratico resisténcia do fio em um ima de RM e ter dispositivos que de 3071 ee PC CALC Considere 0 circuito indicado na Figura tectam um quench e desligam a corrente imediatamente quando P3071 A chave S é fechada para t 0 produzindo umacorrente isso acontece Capitulo 80 Indutancia 375 3072 Quantas voltas esse ima de RM tipico possui a 1100 como esse quench afetara 0 tempo para que a corrente caia para a b 3000 c 4000 d 22000 metade de seu valor inicial a O tempo sera mais curto pois a 3073 Se uma pequena parte desse ima perder suas propriedades resistncia aumentara b o tempo sera maior pois a resisténcia supercondutoras e a resisténcia do fio de repente subir de 0 para aumentara c o tempo sera 0 mesmo d nao ha informagées 0005 2 constante quanto tempo levaré para que a corrente di suficientes para poder afirmar minua até a metade de seu valor inicial a 47 min b 10 min 3075 Se toda a energia magnética armazenada nesse ma de c 15 min d 30 min RM for convertida em energia térmica quanto hélio liquido fer 3074 Se parte do ima desenvolver uma resisténcia e 0 hélio li vera a 27 kg b 38 kg c 60 kg d 110 kg quido ferver retirando cada vez mais supercondutividade do ima RESPOSTAS Resposta a pergunta inicial do capitulo possui sempre o maior potencial portanto vg positivo Com S Resposta iii Como foi explicado na Segio 302 os sensores fechada e S aberta a corrente que passa pelo indutor flui de b dos semaforos operam medindo a variacdo da indutanciade uma parac e continua aumentando A fem autoinduzida se op6e a esse bobina embutida sob a superficie do pavimento quando um carro aumento e esta portanto orientada de c para b o que significa que contém material ferromagnético passa sobre ela que b possui maior potencial Logo v positivo Com S aberta Respostas as perguntas dos testes e S fechada a corrente do indutor novamente flui de b para c de compreensao mas diminuindo dessa vez A fem autoinduzida esta orientada 301 Resposta iii Duplicar tanto 0 comprimento do so de b para c em um esforco para sustentar a corrente decrescente lenoide J quanto o ntimero de espiras nele N ndo exerce Portanto possui potencial maior e v negativo efeito sobre a indutancia mtitua M O Exemplo 301 indica que 305 Respostas a positivo b elétrica c negativo d M depende da raziio entre essas grandezas que permaneceria elétrica O capacitor perde energia entre os estagios a e b por constante Isso ocorre porque 0 campo magnético produzido tanto realiza trabalho positivo sobre as cargas Ele faz isso exer pelo solenoide depende do ntimero de giros por unidade de cendo uma forca elétrica que afasta a corrente da placa esquerda comprimento a variacdo proposta nao exerce efeito sobre essa COM Carga positiva do capacitor e que a aproxima da placa direita grandeza com carga negativa Ao mesmo tempo o indutor ganha energia e 302 Resposta iv i iii ii Pela Equacdo 308 a dife realiza trabalho negativo sobre as cargas em movimento Embora renga de potencial através do indutor é V L dildt Para os indutor armazene energia magnética a forga que ele realiza quatro casos obtemos i V4 20 wH 20 A 10 A050 elétrica Essa forga se origina da fem autoinduzida do indutor s 40 2V ii Vay 40 wH 0 30 A20s 60 nV Veja a Segao 302 iii V 0 porque a taxa de variacao da corrente nula e iv 306 Respostas i iii Nao h4 oscilagdes para R 4LC V 10 wH 40 A 0025 s 16 pV Em cada caso R 20 Q 40 7 No caso i 4LC 303 Respostas a sim b nao Inverter o sentido da cor 430 4H60 WF 20 07 nao ha oscilagGes 0 sistema esta rente nao exerce efeito sobre 0 médulo do campo magnético superamortecido no caso ii 4LC 460 wH30 uF mas provoca a inversao do sentido dele Nao exerce efeito sobre 80 07 hd oscilag6es 0 sistema est4 subamortecido e no caso a densidade de energia do campo magnético que proporcional iii 4LC 460 H30 WF 40 07 entao nao ha oscila ao quadrado do médulo do campo magnético g6es 0 sistema esta criticamente amortecido 304 Respostas a i b ii Lembrese de que v 0 Problema em destaque potencial no ponto a menos 0 potencial no ponto be damesma a 768 X 108J b 160 mA ec 248 mV forma para v Para qualquer arranjo das chaves acorrente flui d 192 X 1078 J 215 mV através do resistor de a para b A extremidade superior do resistor 31 As ondas de uma estação de radiodifusão produzem corrente alternada nos circui tos de um rádio como o deste carro antigo Quando um rádio é sintonizado a uma frequên cia de 1000 kHz ele também detecta as transmissões de uma estação que transmite a i 600 kHz ii 800 kHz iii 1200 kHz iv todas essas fre quências v nenhuma delas CORRENTE ALTERNADA OBJETIVOS DE APRENDIZAGEM Ao estudar este capítulo você aprenderá 311 Como os fasores facilitam a descrição senoidal das grandezas variantes 312 Como usar a reatância para descrever a voltagem através de um elemento de circuito que transporta uma corrente alternada 313 Como analisar um circuito LRC em série com uma fem senoidal 314 O que determina a quantidade de potência que entra ou sai de um circuito de corrente alternada 315 Como um circuito LRC em série responde a fems senoidais de frequências diferentes 316 Por que os transformadores são úteis e como eles funcionam Revendo conceitos de 142 148 Movimento harmônico simples ressonância 167 Ressonância e som 183 Valor quadrático médio qm 253 Diodos 263 Galvanômetros 288 Histerese em materiais magnéticos 292 2 96 297 Geradores de corrente alternada correntes de Foucault corrente de deslocamento 301 3 02 305 306 Indutância mútua voltagem em um indutor circuitos LC circuitos LRC em série D urante a década de 1880 ocorreu nos Estados Unidos um caloroso debate entre dois inventores sobre qual deveria ser o melhor método para a distribuição de energia elétrica Thomas Edison defendia que a melhor solução seria usar a corrente contínua cc ou seja a corrente que não varia com o tempo George Westinghouse afirmava que o melhor método consistia em usar a corrente alternada ca ou seja voltagens e correntes que variam senoidalmente Ele afirmava que o transformador que estudaremos neste capítulo funciona somente quando estimulado por uma voltagem ca e não por voltagem cc as baixas voltagens são mais seguras para os consumidores porém é necessário usar uma voltagem muito elevada com baixa corrente correspondente para minimizar as perdas i2R nos cabos Por fim as ideias de Westinghouse prevaleceram e quase todos os sis temas atuais de distribuição de energia elétrica funcionam com corrente alternada Qualquer eletrodoméstico que você ligar na tomada da parede usa ca Circuitos modernos usados em dispositivos de comunicação também empregam muito a corrente alternada Neste capítulo aprenderemos como os resistores os indutores e os ca pacitores se comportam com correntes e voltagens que variam senoidal mente Muitos princípios que consideramos úteis no Capítulo 30 podem ser aplicados com diversos conceitos novos relacionados ao comportamento de circuitos com capacitores e indutores Um conceito fundamental neste estudo é a ressonância que vimos no Capítulo 13 para sistemas mecânicos 311 FASOR E CORRENTE ALTERNADA Para fornecer uma corrente alternada a um circuito é necessária uma fonte de voltagem ou fem Um exemplo desse tipo de fonte é uma espira BookSEARSVol3indb 376 101115 707 PM Capitulo 31 Corrente alternada 377 girando com velocidade angular constante em um campo magnético conforme discutimos no Exemplo 293 Seco 292 Essa rotagaéo produz uma fem senoidal sendo o prototipo do gerador comercial ou alternador veja a Figura 298 Usaremos a expressao fonte ca para qualquer dispositivo que aplique uma vol tagem que varia senoidalmente v diferenga de potencial ou que fornega uma corrente i Nos diagramas de circuitos elétricos uma fonte ca é representada pelo seguinte sfmbolo Uma tensao senoidal pode ser representada por uma funcao do seguinte tipo v Vcos at 311 Na expressao anterior v com letra mintiscula a diferenga de potencial instan tdnea V com letra maitiscula é a diferenga de potencial maxima que chamaremos de amplitude da voltagem e w é a frequéncia angular que é igual a 27 vezes a frequéncia f Figura 311 Em diversos paises inclusive no Brasil quase todos os sistemas de distribuigéo Figura 311 Voltagem através de de energia elétrica usam a frequéncia f 60 Hz que corresponde a uma frequéncia Uma fonte ca senoidal angular w 27 rad 60 s 377 rads em alguns paises usase a frequéncia Voltagem Voltagem Voltagem f 50 Hz w 314 rads De modo andlogo uma corrente senoidal com um valor positiva zero negativa maximo ou amplitude de corrente de pode ser escrita na forma Ome V V Corrente alternada Corrente instantanea Frequéncia angular v Se senoidal ae i cos wt Tempo 312 on I Amplitude de corrente corrente maxima O Diagramas de fasores Para representarmos correntes e tensdes que variam senoidalmente faremos diagramas vetoriais semelhantes aos usados nos estudos dos movimentos harm6 nicos simples na Secao 132 veja as figuras 135b e 136 Nesses diagramas o valor instantaneo de uma grandeza que varia senoidalmente com o tempo é representado pela projecdo sobre 0 eixo horizontal de um vetor cujo comprimento fornece a amplitude da grandeza considerada O vetor gira em sentido antihordrio com velocidade angular constante w Esses vetores rotativos sao chamados de fasores e um desenho com essas grandezas é chamado de diagrama de fasor A Figura 312 Um diagrama de fasor Figura 312 mostra um diagrama com um fasor para descrever a grandeza senoidal O fasor gira com descrita pela Equacao 312 A projecao do fasor sobre 0 eixo horizontal no instante 0 comprimento frequéncia fe t igual a I cos wf essa a raz4o pela qual preferimos usar a funcdo cosseno na 0 Sore igual velocidade angular corrente maxima w 27f Equacao 312 em vez de uma fungao seno ATENGAO O que exatamente é um fasor Um fasor nao é uma grandeza vetorial real Mm DN com dire4o e sentido no espaco como a velocidade 0 momento linear ou 0 campo elé trico Em vez disso tratase de uma grandeza geométrica escalar que ajuda a descrever e analisar grandezas fisicas que variam senoidalmente com o tempo Na Seco 132 Fasor Projecao do fasor empregamos um Unico fasor para representar a posiao de uma particula executando um sobre vey horizontal ro a a no instante f e 1gua movimento harmGnico simples Neste capitulo usaremos fasores para somar voltagens e a corrente i heen correntes senoidais A combinacao de grandezas senoidais com diferengas de fase torna wt instante i Icoswt se entéo um problema de soma vetorial Voltaremos a usar fasores de um modo seme Ihante nos capitulos 35 e 36 nos quais estudaremos os efeitos da interferéncia com a luz O i Icosot 378 Fisica lll Corrente alternada retificada Figura 313 a Um circuito Como medir uma corrente que varia senoidalmente Na Secao 263 usamos retificador de onda completa b um galvan6metro de d Arsonval para medir correntes constantes Porém quando Grafico da corrente resultante que uma corrente senoidal passa por um galvanémetro de d Arsonval 0 torque sobre passa pelo galvanémetro G 2 a bobina movel varia senoidalmente e durante a metade do ciclo a corrente a Um circuito retificador de passa por um sentido e durante a outra metade ela varia no sentido oposto A onda completa agulha pode oscilar um pouco se a frequéncia for muito baixa porém o desvio médio é igual a zero Portanto um medidor de d Arsonval nao é util para medir Fonte de Corrente corrente alternada alternada correntes alternadas Para obtermos uma corrente mensuravel fluindo através de um medidor po demos usar diodos descritos na Secao 253 Um diodo ou retificador conduz melhor em um sentido que no outro um diodo ideal possui resisténcia nula em um t sentido e resisténcia infinita no sentido oposto Um arranjo possivel descrito na Figura 313a denominado circuito retificador de onda completa A corrente que passa no galvandémetro G é sempre orientada no mesmo sentido positivo inde pendentemente do sentido da corrente fornecida pela fonte ca ie nao importa se a metade do ciclo é positiva ou negativa A corrente que passa em G é indicada XN Me pela Figura 313b ela é pulsante porém possui sempre 0 mesmo sentido e agora o desvio médio do medidor nado igual a zero JL L A corrente retificada média é aquela que considerando qualquer nimero Diodo inteiro de ciclos seria igual a uma corrente continua que possuisse 0 mesmo valor a seta e a barra indicam 4 eas Tm A notagao usada para indicar a corrente retificada média serve para en respectivamente o sentido em 7 oO que a corrente pode e nao pode passar fatizar que essa corrente ndo é a corrente média da corrente senoidal original Na Figura 313b a carga total que flui no tempo f corresponde a uma area embaixo da b Grafico da corrente retificada de curva de i contra f lembrese de que i dgqdt logo q a integral de 1 essa area onda completa e seu valor médio a Z 2 A Z a é dada pela area do retangulo com altura Vemos que menor que a corrente corrente retificada média J maxima as duas sao relacionadas por Corrente retificada através i do galvanémetro G Amplitud joneeeereeeeeneenyenses Amplitude ZI Valor médio retificado 2 e de corrente I de uma corrente senoidal Tom a 06371 313 Lem 7 i t Oo O fator 27 0 valor médio de Icos w2 ou de sen w veja o Exemplo 294 na Area sob a curva carga total que Secdo 292 O desvio do galvanémetro é proporcional a O galvanémetro pode flui através do galvanémetro no ae vas instante ser calibrado para ler J ou mais frequentemente o valor quadratico médio gm definido a seguir Valor quadratico médio qm Um método mais util para a descrigaéo de qualquer grandeza positiva ou nega tiva consiste em usar seu valor quadrdtico médio qm também chamado de valor eficaz Ja aplicamos valores qm na Segao 183 em conexao com as velocidades das moléculas de um gas Elevamos ao quadrado a corrente instantanea i tomamos o valor médio a média de iz e finalmente extraimos a raiz quadrada dessa média Esse procedimento define a corrente quadratica média ou corrente eficaz designada por J Figura 314 Mesmo quando i for negativa i sera sempre positiva de modo que Jy nunca sera igual a zero a menos que i seja nula em todos os instantes Vejamos agora como obter a corrente quadratica média Jg como a indica a Figura 314 Se a corrente instantanea for dada por i J cos wt entao i F cos wt Usando a identidade trigonométrica que relaciona 0 dobro de um Angulo ob temos Capitulo 31 Corrente alternada 379 Figura 314 Calculo do valor quadratico médio qm de uma corrente alternada Significado do valor quadratico médio i i Pr d i D cosot i7meg le uma grandeza senoidal neste caso P9A2 1Jméd 2 corrente ca com J 3 A A S Desenhe o grafico da corrente i 2 i versus tempo Faca a raiz quadrada da corrente L TA instantanea i r 3A IN 7 Os GB Calcule 0 valor médio de i PVE VV IV Calcule a raiz quadrada 0 Q i dessa média i i Icosat i I Tom mea V2 2 1 cosA 31 cos2A encontrando i 11 cos2wt 41 51 cos2ot O valor médio de cos 2wt é igual a zero porque a funcAo é positiva na metade do tempo e negativa na outra metade Portanto o valor médio de Pé simplesmente igual a 2 A raiz quadrada desse valor é Tqm Valor quadratico médio qm L 4 Amplitude 314 de uma corrente senoidal qn 42 de corrente Da mesma forma 0 valor quadratico médio de uma voltagem senoidal é dado por settee Figura 315 Esta tomada de parede are arn Ve Amplitude de voltagem Valor quadratico médio qm Van a valor Pen 315 fornece uma tensio eficaz de 120 V See nade V2 Sessenta vezes por segundo a voltagem instantanea em seus terminais varia desde V2 Podemos converter um amperimetro retificador em um voltimetro colocandoum 120 V 170 V até 170 V resistor em série como fizemos no caso discutido na Secao 263 Os multimetros usados para medir uma corrente ou uma voltagem ca quase sempre sao calibrados ye para ler um valor eficaz e nao medem o valor maximo ou 0 valor retificado médio a Voltagens e correntes sempre s4o especificadas pelo respectivo valor eficaz nos i sistemas de distribuigéo de energia elétrica A tenséo normal fornecida para as residéncias de 120 volts ca possui uma voltagem eficaz igual a 120 V Figura i 315 A amplitude da voltagem é dada por 2 i V V2Vem V2120 V 170 V SUS USUEEU CORRENTE EM UM COMPUTADOR PES SOA A placa na parte traseira de um computador diz que ele consome alternada por um ciclo completo Na parte b reconhecemos que 27 A de uma linha de 120 V com 60 Hz Para esse computador consumo de corrente de 27 A do computador 0 valor Igm calcule a a corrente média b o valor médio do quadrado da OU SeJa ar aiz quadr ada do valor médio média do quadrado corrente e c a amplitude da corrente da corrente imeq Na parte c usamos a Equagao 314 para relacionar Jg 4 amplitude de corrente nn EXECUTAR a 0 valor médio de qualquer grandeza alternada SOLUGAO vo 2 senoidal em um ntimero inteiro de ciclos é sempre igual a zero IDENTIFICAR E PREPARAR este exemplo se refere 4 cor b A corrente fornecida 0 valor eficaz gm 27 A Pela de rente alternada Na parte a descobrimos a média da corrente finigao de valor qm Continua 380 Fisica Ill Continuagdao fs Figura 316 Nossos graficos da corrente i e Igm Vimea nto i mea gm 27 A 73 qm 7 mea 7 méd qm 27 A 3 do quadrado da corrente i versus 0 tempo t P i 2 c Pela Equacao 314 a amplitude da corrente J é he 2 2 NN T V2qgm V227 A 38 A iA i 1 o 1 io 1 A Figura 316 mostra os graficos de i e i em fungao do tempo t p i 1 i AVALIAR por que o valor médio do quadrado da corrente nos P med 2 TY 17 T i interessaria Lembrese de que a taxa de dissipagdo daenergia I tf i em um resistor R é igual a i7R Essa taxa varia quando acorrente 4m 274 PY N j é alternada portanto é mais bem descrita pelo seu valor médio oy méeadR Tom R Aplicamos esse conceito na Segao 314 0 i B A TESTE SUA COMPREENSAO DA SEGAO 311 A figura deste teste indica quatro diferen ila tes fasores de corrente com a mesma frequéncia angular w No instante indicado qual dos fasores corresponde a a uma corrente positiva que se torna mais positiva b uma corrente o positiva que diminui tendendo a zero c uma corrente negativa que se torna mais negativa d uma corrente negativa cujo médulo diminui tendendo a zero I Cc I 1 D 312 RESISTENCIA E REATANCIA Nesta secgao vamos deduzir uma relacAo entre a corrente e a voltagem para os elementos individuais resistores indutores e capacitores de um circuito que conduz uma corrente senoidal Resistor em um circuito ca Inicialmente consideremos um resistor com resisténcia R através do qual passa uma corrente senoidal dada pela Equacao 312 i I cos wt O sentido positivo da corrente é antihorario em torno do circuito como na Figura 317a A amplitude da corrente valor maximo é J De acordo com a lei de Ohm a diferenga de poten cial instantanea Up entre um ponto a e um ponto b ou seja a voltagem instantanea através do resistor é dada por Ur IR UR cos wt 316 A voltagem maxima da voltagem vp Vp a amplitude da voltagem Figura 317 Resisténcia R conectada através de uma fonte ca a Circuito com fonte ca e resistor b Grdafico da corrente e da voltagem c Diagrama de fasor versus tempo Fasor de f 0 corrente 1 1 i Icosot Fasor de KN voltagem Corrente e voltagem Vr IRcoswt Veacosat estao em fase a R b Vr PA a Yy Vr eles giram juntos UR i t Po NYA i O 4 A corrente esta em fase Voltagem Corrente Itagem cristas e instantanea instantanea Amplitudes na mesma VOllagem relacio que um depressdes ocorrem no circuito cc Vp IR esmo instante Capitulo 31 Corrente alternada 381 Amplitude da voltagem 7 Amplitude de corrente sh no resistor circuito ca Vr IRxResisténcia 317 Portanto também podemos escrever Ur Vr Cos wt 318 A corrente i e a voltagem Up sao ambas proporcionais a cos wt de modo que a corrente esta em fase com a voltagem A Equacao 317 mostra que a amplitude da corrente é relacionada 4 amplitude da tens4o por meio da mesma equacao usada para um circuito de corrente continua A Figura 317b mostra um grafico de i e de Up em fungao do tempo A escala vertical da corrente é diferente da escala da voltagem de modo que a altura relativa das duas curvas nao é relevante O diagrama de fasor correspondente é fornecido pela Figura 317c Como i e Up estao em fase e possuem a mesma frequéncia os fasores da corrente e da voltagem giram juntos e sao paralelos em todos os instantes Suas projegdes sobre o eixo horizontal representam respectivamente a corrente ea voltagem Indutor em um circuito ca A seguir troque 0 resistor na Figura 317 por um indutor puro com indutancia Le resisténcia zero Figura 318a Novamente supomos uma corrente dada por i I cos wt com 0 sentido positivo da corrente i como 0 sentido do percurso anti horario em torno do circuito Embora nao exista nenhuma resisténcia ha diferenga de potencial uv entre os terminais a e b do indutor porque a corrente varia com o tempo dando origem a uma fem autoinduzida A fem autoinduzida no sentido de i é dada pela Equacao 307 L didt contudo a voltagem uv ndo é simplesmente igual a Para entender 0 motivo disso note que a corrente do indutor esta orientada no sentido positivo antihordrio de a até b e esta crescendo entao didt positivo e a fem induzida é orientada para a esquerda a fim de se opor ao aumento da corrente por tanto 0 ponto a esta a um potencial mais elevado que o ponto b Logo o potencial do ponto a em relacao ao ponto b positivo sendo dado por v Ldidt o valor da fem com sinal contrdrio Vocé deve se convencer de que essa expressao da 0 valor correto de uv em todas as situagées incluindo i antihorario e diminuindo i horario e aumentando e i horario e diminuindo revise também a Secao 302 Portanto obtemos di d v L LIcosot IwLsen wt 319 dt dt Figura 318 Indutancia L conectada através de uma fonte ca a Circuito com fonte ca e indutor b Graficos de corrente e voltagem versus tempo c Diagrama de fasor iv O fasor da voltagem esta adiantado em relac4o ao fasor da corrente por i Icoswt Iori p ob 72 rad 90 tiys vy IwLcoswt 90 i I V k a a v y b L Fasor de Angulo de t voltagem fase o kK oN TN V Fasor de L corrente lov ot wk 4 L I o 1 7 o ql z rad 90 O A curva da voltagem esta adiantada em relacao a curva da corrente por um quarto de ciclo correspondendo a 72 rad 90 382 Fisica lll A voltagem vu através do indutor é em qualquer instante proporcional ao valor da taxa de variagdo da corrente Os pontos de voltagem maxima sobre o grafico correspondem a uma inclinagéo maxima da curva da corrente e os pon tos de voltagem zero sao os correspondentes aos valores minimos e maximos da curva da corrente Figura 318b A voltagem e a corrente estéo um quarto do ciclo fora de sincronia ou fora de fase Como os picos de voltagem ocorrem um quarto do ciclo antes dos picos de corrente dizemos que a voltagem esta adiantada 90 em relacao a corrente O diagrama de fasores indicado na Figura 318c também mostra essa relacdo entre as fases o fasor da voltagem esta 90 na frente do fasor da corrente Também podemos obter essa relacdo de fase reescrevendo a Equacao 319 e aplicando a identidade cos A 90 sen A uy IwL cos wt 90 3110 Esse resultado mostra que a voltagem pode ser vista como uma funga4o cosseno cuja frente inicial esta 90 adiantada em relac4o a corrente Como fizemos na Equacao 3110 geralmente escrevemos as fases da voltagem em relagao a corrente e nao o contrario Portanto quando em um circuito a cor rente i é dada por i Icos wt e a voltagem v de um ponto em relagao a outro for dada por v Vcos wt chamamos de Angulo de fase pois ele fornece a fase da voltagem em relacao a corrente No caso de um resistor puro 0 e para um indutor puro 90 Pela Equagao 319 ou 3110 a amplitude V da voltagem do indutor é Vr IoL 3111 Definimos a reatancia indutiva X de um indutor como Xz oL reatancia indutiva 3112 Usando X podemos escrever a Equacao 3111 de modo andlogo 4 Equagao 317 para um resistor Amplitude de voltagem através ye Amplitude de corrente de um indutor circuito ca V IX Reatancia indutiva 3113 Como X é a razao entre uma voltagem e uma corrente sua unidade SI 0 ohm a mesma unidade usada para resisténcia ATENGAO A voltagem do indutor e a corrente nao estao em fase Lembrese de que a Equacao 3113 é uma relac4o entre as amplitudes da voltagem oscilante e a corrente para o indutor na Figura 318a Ela ndo diz se a voltagem em qualquer instante é igual 4 corrente nesse instante multiplicada por X Como indica a Figura 318b a voltagem e a corrente estao fora da fase em 90 A voltagem e a corrente estao em fase somente para os resistores como na Equacao 316 Capitulo 31 Corrente alternada 383 Significado da reatancia indutiva A reatancia indutiva X é na realidade uma descrigao da fem autoinduzida que se ope a qualquer variacao de corrente através do indutor Pela Equagao 3113 para uma dada amplitude de corrente J a voltagem v Ldidt através do indutor e a fem autoinduzida Ldidt possuem a mesma amplitude V que é direta mente proporcional a X De acordo com a Equagao 3112 a reatancia indutiva e a fem autoinduzida crescem com uma variagao mais rapida da corrente ou quando a frequéncia angular w aumenta e com o aumento da indutancia L Quando uma voltagem oscilante com uma dada amplitude de voltagem V é aplicada através dos terminais de um indutor a corrente resultante tera uma am plitude menor para valores mais elevados de X Uma vez que X proporcional a frequéncia uma voltagem com alta frequéncia aplicada ao indutor produz uma corrente pequena enquanto uma voltagem de baixa frequéncia com a mesma am plitude produz uma corrente mais elevada Os indutores sao usados em algumas aplicagdes em circuitos como fontes de alimentagao e filtros de radio que servem para bloquear frequéncias elevadas enquanto permitem a passagem de frequéncias mais baixas ou corrente continua Um circuito que emprega um indutor para esse objetivo denominase filtro passabaixa veja 0 Problema 3148 Suponha que se queira obter uma corrente de 250 wA em um EXECUTAR a pela Equagao 3113 indutor puro de um circuito de radio submetido a uma amplitude Vy 360 V de voltagem de 360 V com uma frequéncia de 160 MHz cor x Tee 144 x 10 Q 144kO respondente ao limite superior da banda AM das frequéncias de 250 X 10 A radio a Qual é a reatancia indutiva necessaria Qual é a indu Pela Equacdo 3112 com w 2af encontramos tancia b Se a amplitude da voltagem for mantida constante qual sera a amplitude da corrente através de um indutor para xX 144X 10 O 3 160 MHz E para 160 kHz L Inf 2m 160 X 10 Hz 143 10 H 143 mH SOLUGAO b Combinando as equagées 3112 e 3113 verificamos que a IDENTIFICAR E PREPARAR 0 circuito pode ter outros elemen amplitude da corrente é dada por J VX VwL V27fL tos mas neste exemplo nao os conhecemos Tudo 0 que eles Logo a amplitude da corrente inversamente proporcional a fazem se resume a fornecer ao indutor uma voltagem oscilante frequénciaf Visto que J 250 wA para f 160 MHz as ampli Portanto todos esses outros elementos de circuito estao agrupados tudes da corrente para 160 MHz 10f e 160 kHz 0160 MHz na fonte ca indicada na Figura 318a Conhecemos a amplitude f10 serao respectivamente um décimo 250 wA e dez vezes de corrente J e a amplitude de voltagem V As incdgnitas do item maior 2500 wA 250 mA a so a reatancia indutiva X a 160 MHz e a indutancia L que AVALIAR em geral quanto menor for a frequéncia de uma vol determinamos pelas equacgGes 3113 e 3112 Quando obtemos tagem oscilante aplicada através de um indutor maior sera a L usamos essas mesmas equac6es para determinar a reaténcia amplitude da corrente oscilante resultante indutiva e a amplitude de corrente em qualquer outra frequéncia Capacitor em um circuito ca Finalmente conectamos a fonte um capacitor com capacitancia C como na Figura 319a produzindose uma corrente i J cos wt através do capacitor No vamente consideramos positivo o sentido antihorario em torno do circuito ATENGAO Corrente alternada através de um capacitor Uma carga nao pode passar realmente através de um capacitor porque suas duas placas sao separadas por um isolante Isso é verdade porém como o capacitor se carrega e descarrega existe uma corrente 7 entrando em uma das placas uma corrente igual saindo da outra placa e uma corrente de deslocamento igual entre as placas Pode ser conveniente fazer uma revisdo da discussao da corrente de deslocamento na Seco 297 Portanto frequentemente falamos que uma corrente alternada passa através de um capacitor 384 Fisica Ill Figura 319 Um capacitor C Para encontrarmos a voltagem instantanea Uc através do capacitor ou seja 0 conectado através de uma fonte ca yotencial de um ponto a e um ponto bd inicialmente chamamos de g a carga da a Um circuito com fonte cae capacitor Placa esquerda do capacitor na Figura 319a logo q a carga da placa direita A corrente i é relacionada a q por i dqdt com essa definiao a corrente positiva corresponde a uma carga crescente na placa esquerda do capacitor Logo ais ti 44 a b i Icosot Cc dt b Graficos da corrente e da voltagem Integrando a relagao anterior obtemos em funcao do tempo I I 1U o vc e cost 90 q o sen wt 3114 I eee i cos wt v ee Além disso pela Equagao 241 a carga g igual 4 voltagem uc multiplicada pela JA capacitancia g Cuc Substituindo isso na Equacao 3114 encontramos I Uc sen wt COC 3115 yh dr F tad 90 a gs on i a A corrente instantanea i igual a taxa de variagao dqdt da carga q do capaci A curva da voltagem esta retardada em tor visto que g Cuc i também é proporcional a taxa de variagdo da voltagem relagaéo a curva da corrente em um quarto oes 2 Compare a um indutor para o qual a situacdo é inversa e vu proporcional a taxa do ciclo 0 que corresponde a a 7s 12 rad 90 de variacgao da corrente 7 A Figura 319b mostra Uc e i em fungao de ft Como Diagrama de fasor i dqdt Cc ducldt a corrente possui seu mddulo maximo quando a curva Uc Fasord aumenta ou diminui mais rapidamente e a corrente é nula quando u atinge seu een LAA valor maximo ou minimo corrente Os picos de voltagem do capacitor ocorrem um quarto do ciclo apds os picos neue de de corrente correspondentes e dizemos que a voltagem se atrasa em relagao a ase corrente em 90 O diagrama de fasor na Figura 319c mostra essa relacdo 0 fasor ot da voltagem esta 90 ou um quarto de ciclo atras do fasor da corrente Ly Podemos também deduzir essa diferenga de fase reescrevendo a Equacao 3115 0 2c O fasor de voltagem e usando a identidade cos A 90 sen A Fasor de estd retardado em voltagem Vo relagao ao fasor I de corrente em Uc cos wt 90 3116 72 rad 90 wC Isso corresponde a um Angulo de fase 90 Essa fungao cosseno comeca depois de 90 em comparagao a corrente i J cos wt As equagoes 3115 e 3116 mostram que a voltagem maxima Vc a amplitude da voltagem é dada por Yi 3117 c Oe 3117 Para colocarmos essa expressao em uma forma semelhante a Equacao 317 para um resistor Vp JR definimos uma grandeza X chamada de reatancia capaci tiva do capacitor pela relagaéo 1 a a Xc reatancia capacitiva 3118 wC Portanto Amplitude da voltagem através eo Amplitude de corrente de um capacitor circuito ca Vo IXC Reatancia capacitiva 3119 Capitulo 31 Corrente alternada 385 A unidade SI de Xc 0 ohm a mesma usada para resisténcia e reatancia indutiva pois Xc a razao entre uma voltagem e uma corrente ATENGAO Voltagem do capacitor e corrente nao est4o em fase Lembrese de que a Equacao 3119 para um capacitor como a Equacao 3113 para um indutor ndo é uma afirmagao sobre os valores instantaneos de voltagem e de corrente Os valores instantaneos estao realmente 90 fora de fase como indica a Figura 319b Em vez disso a Equagao 3119 relaciona as amplitudes da voltagem e da corrente Significado da reatancia capacitiva A reatancia capacitiva de um capacitor é inversamente proporcional a frequéncia angular w e a capacitancia C quanto maior for a capacitancia e mais alta a fre quéncia menor sera a reatancia capacitiva Xc Os capacitores tendem a permitir a passagem de uma corrente com frequéncia elevada e bloquear correntes com baixa frequéncia ou uma corrente continua comportamento exatamente oposto ao de um indutor Um dispositivo que deixa passar preferencialmente sinais com frequéncias elevadas denominase filtro passaalta veja o Problema 3147 ASUS UM RESISTOR E UM CAPACITOR EMUM CIRCUITO OA nnn Um resistor de 200 conectado em série com um capacitor Cc Pela Equagao 3119 a amplitude da voltagem através do ca de 50 wF A voltagem nos terminais do resistor vp 120 V pacitor dada por cos 2500 radst Figura 3110 a Deduza uma express4o 3 para a corrente do circuito b Determine a reatancia capacitiva Vo Xc 60 X 10 A 80 OD 048 V ee c Deduza uma expressao para a voltagem através A reatancia de 80 0 do capacitor é igual a 40 da resisténcia P de 200 do resistor de modo que o valor de Vc 40 de Vp A voltagem instantanea do capacitor é dada pela Equagao 3116 SOLUGAO IDENTIFICAR E PREPARAR como se trata de um circuito em Uc Ve cos wt 90 série a corrente é a mesma através do capacitor e do resistor 048 V cos 2500 radst 72 rad As variaveisalvo s4o a corrente i a reatancia capacitiva Xc e a voltagem do capacitor vc Usamos a Equaciio 316 para en AVALIAR embora a corrente seja a mesma no resistor e no capa contrar uma expressao para 1 em termos da frequéncia angular citor as respectivas voltagens sao diferentes tanto em amplitude w 2500 rads a Equacgao 3118 para determinar XaEquacéo quanto em fase Note que na expressao para uc convertemos 3119 para determinar a amplitude de voltagem VeaEquacio 90 para 772 rad para que todas as grandezas angulares possuam 3116 para escrever uma expresso para Uc as mesmas unidades Na andlise de um circuito ca os angulos EXECUTAR a pela Equacao 316 aplicando up iR verifi de fase geralmente so dados em graus de modo que vocé deve camos que tomar cuidado e converter os angulos de graus para radianos quando necessario 120 V cos 2500 rads t i PR 120 V eos 2500 rads Figura 3110 Nosso desenho para este problema R 200 0 L 60 X 1073 A cos2500 rads t b Pela Equacao 3118 a reatancia capacitivaem w C50 uF 1 R2000 2500 rads é ee Ly aS c oC 2500 rads 50 x 1076 F Vp 120 V cos 2500 radst Comparacao de elementos de circuito ca Na Tabela 311 apresentamos um resumo das relagdes envolvendo as ampli tudes da voltagem e as amplitudes da corrente para os trés elementos de circuito que descrevemos anteriormente Note que novamente a voltagem instantdnea e a corrente sAo proporcionais em um resistor porque a diferenga de fase entre Up e 386 Fisica Ill TABELA 311 Elementos de circuito no caso de uma corrente alternada Indutor V IX X oL relatos 90 em Capacitor Vo IXc Xc VC telueao a 0 om Figura 3111 Graficos de R XeXc ino resistor é igual a zero Figura 317b Os valores instantaneos da voltagem e em fungao da frequéncia angular da corrente ndo so proporcionais em um indutor ou capacitor porque existe uma RX diferencga de fase de 90 em ambos os casos ver figuras 318b e 319b Xe X A Figura 3111 mostra como a resisténcia de um resistor e as reatancias de um indutor e de um capacitor variam com frequéncia angular w A resisténcia R R é independente da frequéncia enquanto as reatancias X e Xc nao sdo Quando w 0 correspondendo a um circuito cc nGo existe nenhuma corrente através do capacitor porque Xc e nao existe nenhum efeito indutivo porque X 0 No limite w X também tende ao infinito e a corrente através do indutor tornase praticamente igual a zero lembrese de que a fem autoinduzida se ope O a variagGes rapidas na corrente Nesse mesmo limite Xc e a voltagem através do capacitor tendem a zero 0 sentido da corrente varia tao rapidamente que nenhuma Figura 3112 a Os dois alto carga pode permanecer sobre qualquer placa falantes sao conectados em paralelo A Figura 3112 mostra uma aplicacao da discussdo anterior para um sistema de ae ammphinicador b Graficos da altofalantes Os sons de baixa frequéncia sao produzidos pelo woofer que um nore vere em funeao de rowlensta altofalante com diametro grande 0 tweeter um altofalante de diametro pequeno para uma determinada amplitude da produz sons com altas frequéncias Para que os sinais com frequéncias diferentes voltagem do amplificador sejam recebidos pelo altofalante apropriado o tweeter e 0 woofer sao conectados a ConexGes de alimentagao em um em paralelo na saida do amplificador O capacitor no ramo do tweeter bloqueia os sistema de altofalantes componentes de baixa frequéncia do som mas deixa passar as frequéncias altas o Do amplificador Tweeter indutor no circuito do woofer desempenha o papel oposto ee TESTE SUA COMPREENSAO DA SEGAO 312 Uma voltagem oscilante de amplitude J A fixa é aplicada através de um elemento de circuito Se a frequéncia dessa voltagem for LS aumentada a amplitude da corrente que passa pelo elemento vai i aumentar ii diminuir i ou iii permanecer constante se for a um resistor b um indutor ou c um capacitor I WEB Sos f 313 O CIRCUITO LRC EM SERIE B 7 Lie Muitos circuitos ca empregados na eletrénica envolvem resisténcias reatancias 7 Woofer indutivas e reatancias capacitivas Um exemplo simples 0 circuito em série com se AA um resistor um indutor um capacitor e uma fonte ca como indica a Figura 3113a a Na Secao 306 consideramos 0 comportamento de um circuito LRC em série sem uma fonte b Graficos da corrente eficaz em fungao Para analisarmos esse circuito usaremos um diagrama de fasores que inclui os da frequéncia para uma dada voltagem fasores da corrente e da voltagem para cada um dos componentes Tendo em vista do amplificador a lei das malhas de Kirchhoff a voltagem instantanea total vq através de todos os O indutor e 0 capacitor fornecem trés componentes é igual a voltagem da fonte em cada instante Mostraremos que 1 baixas frequencias principalmente fasor que representa essa voltagem total é dado pela soma vetorial dos fasores qm ao woofer e altas frequéncias Dae principalmente ao tweeter das voltagens individuais Py As figuras 3113b e 3113c mostram os diagramas de fasor completos para o 4 Tweeter circuito da Figura 3113a Vamos supor que a fonte fornega uma corrente i dada por i Icos wt Como os elementos do circuito estao ligados em série a corrente em Ponto de cada instante a mesma em todos os pontos do circuito Logo um unico fasor I intersecgao Woofer cujo comprimento proporcional 4 amplitude da corrente representa a corrente 5 f que passa em todos os elementos do circuito Capitulo 31 Corrente alternada 387 Figura 3113 Um circuito LRC com uma fonte ca a Um circuito LRC em série b Diagrama de fasores para X Xc c Diagrama de fasores para X X i O fasor da voltagem da fonte a soma Se X X 0 fasor da voltagem esta atrasado a S d vetorial dos fasores de Vp Ve Vo em relaao ao fasor da corrente X 0e O fasor da Ma Todos os elementos é um Angulo negativo compreendido entre 4d voltagem do 5 de circuito 0 e 90 R Cc indutor esta V 1x V IZ possuem 0 mesmo I q adiantado ao 4 L Va fasor de corrente fasor de corrente a TV1Z2 a Vp IR S b em 90 naar YC lw Ai L V IX Vv Vo ot wt ok e O Vi Ve O fasor da voltagem do VR resistor esta em fase cee Vc IXc como fasor da corrente O fasor da voltagem do capacitor esta atrasado em relacao ao fasor de corrente em 90 Portanto é sempre antiparalelo ao fasor V Como na Secao 312 usaremos os simbolos Up Uy Uc para as voltagens instan taneas nos terminais de R de Le de C e os simbolos Vp V e Vc para as voltagens maximas Designaremos a voltagem instantanea e a voltagem maxima da fonte pelos simbolos v e V respectivamente Entao pela Figura 3113a v Ugg Ur Vabs UL Voc UC Vea A diferenga de potencial entre os terminais de um resistor esta em fase com a corrente que passa no resistor Seu valor maximo Vp dado pela Equacao 317 Vr IR O fasor Vp na Figura 3113b em fase com o fasor da corrente J representa a voltagem através do resistor Sua projecao sobre 0 eixo horizontal em qualquer instante fornece a diferenca de potencial instantanea vp A voltagem através do indutor esta adiantada 90 em relacao a corrente Sua amplitude de voltagem é dada pela Equagao 3113 Vr IX O fasor V na Figura 3113b representa a voltagem através do indutor e sua projecao sobre o eixo horizontal em qualquer instante é igual a v A voltagem através de um capacitor esta atrasada 90 em relagao 4 corrente Sua amplitude de voltagem é dada pela Equagao 3119 Ve IXc O fasor Vc na Figura 3113b representa a voltagem através do capacitor e sua projecao sobre o eixo horizontal em qualquer instante é igual a uc A diferenca de potencial instantanea v entre os terminais a e d igual em cada instante 4 soma algébrica de cada diferenga de potencial vp vy e Uc Ou seja ela dada pela soma das projegdes dos fasores Vp Vz e Vc Porém a soma das proje 6es desses fasores igual a projecdo da soma vetorial dos fasores Logo a soma vetorial que fornece V deve ser o fasor que representa a voltagem da fonte v e a voltagem total instantanea Uq através dos elementos em série Para fazermos essa soma vetorial inicialmente subtraimos o fasor Vc do fasor V Esses dois fasores estéo0 sempre sobre a mesma linha com sentidos opostos Isso fornece o fasor V Vc O fasor resultante sempre forma um Angulo reto com 0 fasor Vp de modo que usando o teorema de Pitagoras obtemos a seguinte expressao para o mdédulo do fasor V 388 Fisica Ill VVVe VY Vo VIR IX 1X0 ou VI1VR2 X X 3120 Definimos a impedancia Z de um circuito ca como a razAo entre a voltagem aplicada através do circuito e a amplitude da corrente que flui no circuito Pela Equagao 3120 a impedancia de um circuito LRC é dada por p2 2 ZVR X Xc 3121 portanto a Equagao 3120 pode ser escrita na forma Amplitude de voltagem yo Amplitude de corrente sh através de um circuitoca V IZ 1mpedancia do circuito 3122 Embora a Equagao 3121 seja valida somente para um circuito LRC em série podemos aplicar a Equacao 3122 para qualquer conjunto de circuitos com resisto res indutores e capacitores e definir a impedancia do conjunto como a razao entre a amplitude da voltagem que alimenta o conjunto e a amplitude da corrente que passa no circuito equivalente do conjunto A unidade SI de impedancia é 0 ohm Significado de impedancia e angulo de fase Figura 3114 Esta esfera de vidro A Equacio 3122 possui forma semelhante a V JR em que a impedancia Z do cheia de gas possui uma voltagem circuito ca desempenha o papel da resisténcia R em um circuito cc Assim como a alternada aplicada entre sua te direta tend ira trajetoria d isténci te alt d superficie e 0 eletrodo existenteem CTente direta tende a seguir a trajet6ria da menor resistncia a corrente alternada seu centro As descargas luminosas tende a seguir a trajetéria da menor impedancia Figura 3114 Contudo observe indicam a corrente alternada que que na realidade a impedancia é uma funcao de R de L de C e da frequéncia an passa através do gas Ao tocar a gular w Podemos ver essa dependéncia substituindo na Equacao 3112 0 valor de parte externa da esfera os dedosea dado pela Equacdo 3118 e Xc dado pela Equacao 3121 obtendose a seguinte parte interna da esfera formam um let z ircuit eo capacitor e a esfera com 0 corpo expressao completa para Z em circuito em série formam juntos um circuito LRC em série A corrente tao pequena Resisténcia Indutancia Capacitancia que nao ocasiona risco é conduzida Impedancia de 2 Yo para os dedos porque 0 percurso um circuito LRC2Z V R2 ol 1 wCP 3123 através de seu corpo possui baixa een OF impedancia Frequéncia angular Portanto para uma determinada amplitude V da fonte de tensao que alimenta o circuito a amplitude J VZ da corrente sera diferente para frequéncias diferentes h Estudaremos essa dependéncia com a frequéncia detalhadamente na Segao 315 r Na Figura 3113b 0 angulo entre os fasores da voltagem e da corrente é 0 7 Angulo de fase da voltagem v da fonte em relac4o a corrente 7 ou seja é o Angulo a do avanco da voltagem da fonte em relac4o a corrente Pelo diagrama F z 7 i tang Ne WL 7X0 Xt Xe i ha Vp IR R ms iy uments Prequéncia angular Angulo de fase da Indutancia voltagem em relacao oe Pace eo yeettee ae 6 corrente em um tant o L1 oC Capacitancia 124 i circuito LRC em série R44 Resistencia F 4 1 7 a Quando a corrente é i J cos wt entao a voltagem da fonte v é dada por Capitulo 31 Corrente alternada 389 v Vcos wt d 3125 B10 Aplicagao Medindo a gordura corporal por analise bioelétrica de impedancia Os eletrodos ligados ao A Figura 3113b mostra o comportamento de um circuito em série no qual X peito deste paciente com sobrepeso estao Xc A Figura 3113c mostra o comportamento quando X X 0 fasor da voltagem aplicando uma pequena voltagem ca com V esta do lado oposto do fasor J e a voltagem est4 atrasada em relagdo a corrente equencia de 50 Kriz A instrumentagao Nesse caso X Xc é negativo tan d é negativa e d é um Angulo negativo com conectaca mede a amplitude e 0 angulo de een OL Cc 8 8 gt nes fase da corrente resultante através do preendido entre 0 e 90 Como X e Xc dependem da frequéncia 0 angulo de qrpo do paciente os quais dependem das fase também depende da frequéncia Vamos examinar as consequéncias desse quantidades relativas de agua e gordura comportamento na Secao 315 pelo trajeto seguido pela corrente e Todas as expresses que deduzimos para um circuito LRC em série continuam Poranto fornecem uma medida razoave ay Le da composicgao do corpo validas mesmo que nao exista um dos elementos do circuito Quando nao ha o resistor fazemos R 0 quando n4o existe o indutor L 0 Porém quando nao ha o capacitor fazemos C correspondendo a auséncia de qualquer diferenga o de poténcia Uc qC 0 ou qualquer reatancia capacitiva X 1wC 0 Em toda esta discussao0 descrevemos os médulos das voltagens e das correntes eh f com base em seus valores mdximos as amplitudes das voltagens e das correntes a Porém observamos no final da Secao 311 que essas grandezas geralmente sao i descritas mediante o uso do respectivo valor eficaz e nado em termos do valor da amplitude da grandeza O valor eficaz de qualquer grandeza que varia senoidal mente é sempre dado por 1V2 vezes a amplitude da grandeza Todas as relacées 8 We entre voltagem e corrente que deduzimos nesta secAo e na anterior continuam ie BL validas quando descrevemos grandezas mediante o uso do respectivo valor eficaz ro em vez das amplitudes das grandezas Por exemplo dividindo a Equagao 3122 i por V2 obtemos P vet Zz V2 V2 que pode ser reescrita na forma Vam IqmZ 3126 Podemos fazer para as equagdes 317 3113 e 3119 um procedimento exata mente igual Consideramos somente circuitos ca para os quais existe um resistor ligado em série com um capacitor e um indutor Vocé pode fazer uma andlise semelhante em um circuito LRC em paralelo veja 0 Problema 3154 ESTRATEGIA PARA A SOLUGAO DE PROBLEMAS 311 CIRCUITOS DE CORRENTE ALTERNADA IDENTIFICAR os conceitos relevantes todos os conceitos que 1 Use as relagdes deduzidas nas seg6es 312 313 para so usamos para analisar circuitos de corrente continua também lucionar as varidveisalvo usando as dicas a seguir 7 se aplicam a circuitos de corrente alternada particularmente 2 Em problemas de circuito ca quase sempre mais facil os das Estratégias para a solucdo de problemas 261 e 262 usar a frequeéncia angular 2mfem vez da frequencia toe comum f Entretanto devemos tomar cuidado para distinguir as am a 3 Memorize alguns fatos basicos sobre relagées de fase para plitudes de correntes alternadas e voltagens de seus valores x oe um resistor a voltagem e a corrente estfo sempre em fase instantaneos tendo em mente também as distingGes entre e os dois fasores correspondentes possuem sempre a mesma resistencia para Fesistores Teatancia para indutores ou ca direcdo e o mesmo sentido Para um indutor a voltagem pacitores e impedancia para circuitos compostos esta sempre adiantada 90 em relagio a corrente ou seja PREPARAR o problema por meio das seguintes etapas b ey TI 2 radianos co fasor da voltagem gira 1 Facga um diagrama do circuito e designe todas as grandezas sempre 90 no sentido antihorario a p ans do fasor da cor rente Para um capacitor a voltagem esta sempre atrasada conhecidas e desconhecidas te 90 em relag4o a corrente ou seja 6 90 a2 2 Determine as variaveisalvo 6 radianos e o fasor da voltagem gira sempre 90 no sentido EXECUTAR a solucdo conforme segue hordario a partir do fasor da corrente Continua 390 Fisica Ill Continuagdao 4 As leis de Kirchhoff sao validas a cada instante Por exem como nas figuras 3113b e 3113c Quando houver diversos plo em um circuito em série a corrente instantanea é a elementos do circuito ligados em série por exemplo vocé mesma através de todos os elementos do circuito em um nao pode apenas somar os valores numéricos das resistén circuito paralelo a diferenga de potencial instantanea é a cias e reatancias para obter a impedancia dessa forma vocé mesma através de todos os elementos do circuito estaria ignorando as relagées entre as fases 5 A reatancia indutiva a reatancia capacitiva e a impedancia d a rae AVALIAR sua resposta ao lidar com um circuito LRC em esempenham papéis andlogos ao papel da resisténcia Cada n e série vocé pode conferir os resultados comparando os valo uma dessas grandezas representa a raz4o entre a amplitude a da voltagem Ve a amplitude da corrente Jemumelemento S da reatancia indutiva X com os da reatancia capacitiva do circuito ou através da combinacgaéo de elementos Xc Se X Xc a amplitude da voltagem através do indutor Contudo lembrese de que as relacdes que envolvem as é maior do que aquela através do capacitor e o Angulo de fase fases desempenham um papel crucial os efeitos da resistén positivo entre 0 e 90 Se X Xc a amplitude da vol cia e da reatancia devem ser combinados com as regras datagem através do indutor menor do que aquela através do soma vetorial dos fasores das voltagens correspondentes capacitor e o Angulo de fase negativo entre 0 e 90 ASU PEUETERE UM CIRCUITO LRC EM SERED unnnnnnnnnninniinnninnniininnnnnnnnnen No circuito em série da Figura 3113a suponha que R 3000 Como a amplitude da voltagem V 50 V a amplitude da L 60 mH C 050 uF V 50 Vew 10000 rads Calcule corrente J e 0 Angulo de fase sao as reatancias X e Xc a impedancia Z a amplitude da corrente A Z Vv 50 V o Angulo de fase e a amplitude da voltagem através de cada l 010A elemento do circuito Z 5009 X Xc 400 arctan arctan 53 SOLUGAO arctan R arctan 300 0 IDENTIFICAR E PREPARAR este problema usa os conceitos de senvolvidos na Seco 312 e nesta seco sobre 0 comportamento Pela Tabela 3 11 as amplitudes de voltagem Vrs Vie Ve atraves dos elementos de circuito em um circuito ca Usamos as equagdes do resistor do indutor do capacitor respectivamente sao see a determinar wre Xo e as a para Vp IR 010 A 300 Q 30V Sterminay f seguir usamos a Eauacie para cterminar V IX 010 A 600 9 60V a amplitude acorrente ea Equagao 3124 para calcu aro angulo Vo IX 010 A 200 9 20V de fase As relagdes na Tabela 311 fornecem as amplitudes de voltagem AVALIAR assim como na Figura 3113b X Xc de modo que EXECUTAR as reatancias indutiva e capacitiva sao a amplitude da voltagem através do indutor é maior que aquela X wL 10000 rads60 mH 600 0 através do capacitor e positivo O valor 53 significa L que a voltagem esta adiantada em 53 em relagao 4 corrente X i I 2000 Note que a amplitude de voltagem da fonte V 50 V ndo é igual c we 10000 rad s 050 X 10 F a soma das amplitudes das voltagens através de cada elemento do circuito Ou seja 50 V 30 V 60 V 20 V Em vez disso A impedancia Z do circuito é entiio Véasoma vetorial dos fasores Vp V e Vc Se vocé desenhar o diagrama de fasores como na Figura 3113b para esta situag4o ZVR Xr Xo V300 Q 600 Q 200 Q em particular vera que Vr V Vce Vconstituem um triangulo 5000 retangulo 345 Be ee eC UO RoC eM Rn Para o circuito LRC em série apresentado no Exemplo 314 EXECUTAR acorrente e todas as voltagens oscilam com a mesma descreva a dependéncia com o tempo da corrente instantaneaie frequéncia angular w 10000 rads e portanto com o mesmo de cada voltagem instantanea através do resistor Up do indutor perfodo 27w 2710000 rads 63 X 1045 063 ms vz do capacitor Uc e da fonte de ca v A corrente é descrita pela Equacao 312 SOLUGAO i Icos wt 010 A cos 10000 rads IDENTIFICAR E PREPARAR descrevemos a corrente usando a 4 voltagem do resistor esta em fase com a corrente logo Equagao 312 que considera que a corrente maxima em t0 Up Ve cos wt 30 V cos 10000 radst As voltagens sao dadas pela Equag4o 318 para o resistor a Equagao 3110 para o indutor a Equacdo 3116 para o capacitor A voltagem do indutor esté adiantada 90 em relago a corrente e a Equagao 3125 para a fonte portanto Continua Capitulo 31 Corrente alternada 391 Continuagdao vy V cos wt 90 V sen wt instantaneas Up Uy e Uc Vocé pode verificar isso medindo os 60 V sen 10000 radst valores das voltagens indicados nos graficos para diferentes va lores do tempo f A voltagem do capacitor esta atrasada 90 em relagao a corrente portanto Figura 3115 Graficos da voltagem da fonte v da voltagem do resistor Up da voltagem do indutor v e da voltagem do Uc Vc cos wt 90 Vc sen wt capacitor uc em fungao do tempo para a situacdo descrita no 20 V sen 10000 radsr Exemplo 314 A corrente nao indicada esta em fase com a voltagem através do resistor Descobrimos no Exemplo 314 que a voltagem da fonte igual 4 vV voltagem total através do resistor do indutor e do capacitor esta adiantada por um angulo 53 em relagao a corrente logo 60 vr say 7 v Vcoswt Mise 30 HX nov C 50 V cos 10000 rads t 22 53 WAN Z tms 360 02 WM RE 50 V cos 10000 rads 093 rad 20 Y Pp wot J AVALIAR a Figura 3115 mostra um grafico das diversas volta 60 gens versus tempo A voltagem do indutor possui uma amplitude LEGENDA V vg 0 Ue maior que a voltagem do capacitor porque X Xc A voltagem instantanea da fonte uv é sempre dada pela soma das voltagens TESTE SUA COMPREENSAO DA SEGAO 313 Classifique os seguintes circuitos ca por ordem de amplitude de corrente do maior para o menor valor i O circuito no Exemplo 314 ii 0 circuito no Exemplo 314 com o capacitor e o indutor removidos iii 0 circuito no Exemplo 314 com o resistor e 0 capacitor removidos iv 0 circuito no Exemplo 314 com 0 resistor e o indutor removidos I 314 POTENCIA EM CIRCUITOS DE CORRENTE ALTERNADA As correntes alternadas desempenham um papel fundamental nos sistemas para distribuigao conversao e uso da energia elétrica por isso é importante pesquisar as relagdes que envolvem a poténcia em circuitos ca Para um circuito ca com uma corrente instantanea i e amplitude de corrente J vamos considerar um elemento desse circuito através do qual existe uma diferenga de potencial instantanea v com amplitude de voltagem V A poténcia instantanea p fornecida para esse elemento do circuito é dada por povi Vamos inicialmente verificar 0 que isso significa para os elementos individuais do circuito Para cada caso vamos supor que i I cos wt Poténcia em um resistor Suponha inicialmente que 0 elemento do circuito seja um resistor puro R como indicado na Figura 317a portanto v Up e i estaéo em fase Obtemos o grafico que representa p multiplicando as alturas dos graficos de v e de i na Figura 317b em cada instante Esse grafico é indicado pela letra p linha preta curva na Figura 3116a O produto vi é sempre positivo porque ou ambos sao positivos ou ambos sao negativos Portanto a energia é fornecida para o resistor em cada instante nos dois sentidos de i embora a poténcia nao seja constante 392 Fisica Ill Figura 3116 Graficos da corrente da voltagem e da poténcia em funcao do tempo para a um resistor puro b um indutor puro c um capacitor puro e d um circuito ca arbitrario que pode possuir resisténcia indutancia e capacitancia a Resistor puro b Indutor puro c Capacitor puro d Circuito ca arbitrario Para um indutor ou capacitor p vi é Para um resistor p vi é sempre alternadamente positivo e negativo ea Para uma combinagao arbitraria de positivo porque v e i ou sao positivos poténcia média é igual a zero resistores indutores e capacitores ou negativos em qualquer instante ms a poténcia média positiva wip NWS vip f PII nip vip VIS i 4 Pine iVlcosd IN Prngq 2VI f y VU v fe A N Jp O Kou J y O VJ Ad O Ne LEGENDA Corrente instantanea i Voltagem instantanea Entrada de poténcia no dispositivo v instantanea no dispositivo p A curva da poténcia para um resistor puro é simétrica em torno de um valor igual a metade de seu valor maximo VI logo a poténcia média Peg dada por 1 Pnéd 3VI para um resistor puro 3127 Uma expresso equivalente é Vv I Puéd Va Va Vamlgm para um resistor puro 3128 Porém como Vam Jam também podemos expressar Pygq mediante qualquer uma das seguintes relag6es 2 2 Vom Pnéd LgmR Re Vomlgm para um resistor puro 3129 Note que as expressdes na Equacao 3129 possuem a mesma forma que as rela Oes correspondentes para um circuito de corrente continua Equagao 2518 Note também que elas valem somente para resistores puros mas nao para circuitos mais complicados que envolvam combinagoes de elementos Poténcia em um indutor A seguir conectamos a fonte a um indutor puro L como na Figura 318a A voltagem v vu esta adiantada 90 em relacdo a corrente i Quando multiplicamos as curvas de vu e de 0 produto vi negativo durante a metade do ciclo quando v e i possuem sentidos contrdrios A curva da poténcia indicada na Figura 3116b é simétrica em relagao ao eixo horizontal positiva na metade do tempo e negativa na outra metade e a poténcia média é igual a zero Quando p é positivo a energia esta sendo fornecida para criar o campo magnético no indutor quando p negativo o campo esta diminuindo e o indutor restitui a energia para a fonte A energia liquida transferida no ciclo é igual a zero Poténcia em um capacitor Finalmente conectamos a fonte um capacitor puro C como indicado na Figura 319a A voltagem v uc esta atrasada 90 em relacao a corrente i A Figura 3116c mostra a curva da poténcia a poténcia média novamente igual a zero A energia Capitulo 31 Corrente alternada 393 é fornecida para carregar 0 capacitor e restitufda para a fonte quando o capacitor é descarregado A transferéncia de energia liquida em um ciclo é novamente igual a Zero Poténcia em um circuito ca genérico Em qualquer circuito ca com uma combinacAo arbitraria de resistores capacito res e indutores a voltagem vu através do circuito todo possui algum Angulo de fase é em relagao a corrente i Entaéo a poténcia instantanea p é dada por Pp vi Vcos wt I cos wt 3130 A curva da poténcia instantanea possui a forma indicada na Figura 3116d A area compreendida entre as partes positivas e 0 eixo horizontal maior que a area entre as partes negativas e o eixo horizontal e a poténcia média é positiva Usando a Equacao 3130 podemos deduzir uma expresso para a poténcia média Pméq usando a identidade do cosseno da soma de dois angulos Pp V cos wt cos sen wt sen d J cos wt VI cos cos wt VI sen cos wt sen wt Pela discussao na Secao 311 que serviu para deduzir a Equacao 314 vimos que o valor médio de cos wt sobre um ciclo é igual a i Além do mais cos wt sen wf é igual a 5 sen 2wt cuja média durante um ciclo é zero Logo a poténcia média Pngq dada por Angulo de fase da voltagem em relagao a corrente éncia médi seeseees 4 um cireuitoea generico Ped 2VLC08b Vaplyn cos b G131 wd e Corrente qm Amplitude Amplitude Voltagem qm de voltagem de corrente A Figura 3117 mostra a relacao geral entre os fasores da corrente e da voltagem Figura 3117 Uso de fasores para Quando v e iestio em fase 0 logo a poténcia média é dada por VI Vamlgm Calcular a poténcia média para um quando v e i possuem uma diferenca de fase de 90 a poténcia média é igual a HCuito ca arbitrario zero No caso geral quando v possui um Angulo de fase em relagao a i a poténcia Poténcia média 41Vcos média é igual a 5 I vezes V cos o componente do fasor da voltagem que esta em onde Vcos 0 componente fase com o fasor da corrente Para 0 circuito LRC em série as figuras 3113b e de Vem fase com 3113c mostram que V cos é igual 4 amplitude da voltagem Vp através do resistor I portanto a Equacgao 3131 a poténcia média dissipada no resistor Na média nao existe nenhum fluxo de energia para dentro ou para fora do indutor ou do capacitor logo Pméq nao entra nem sai de nenhum desses dois elementos do circuito 7k O fator cos denominase fator de poténcia do circuito Para uma resisténcia Voosd pura 0 cos 1 e Pméa Vamqm Para indutores ou capacitores puros 6 or 90 cos d Oe Ppeq 0 Para um circuito em série LRC o fator de poténcia O igual a RZ deixaremos a prova dessa afirmacgdo como um problema para vocé resolver veja 0 Exercicio 3121 Um fator de poténcia pequeno angulo de fase com atraso ou adiantamento elevado costuma ser indesejavel em circuitos de poténcia A explicagao é que para uma determinada diferenga de potencial uma corrente elevada tornase ne cessaria para que uma dada poténcia seja fornecida Isso produz uma elevada perda de iR nas linhas de transmissao Muitas maquinas e aparelhagens ca produzem uma corrente atrasada ou seja a corrente que percorre as maquinas esta atrasada em relagdo a voltagem aplicada portanto a voltagem esta adiantada em relagd4o a corrente logo 6 0 ecos 1 O fator de poténcia pode ser corrigido até o valor ideal igual a 1 conectandose um capacitor em paralelo com a carga A corrente 394 Fisica Ill através do capacitor esta adiantada em relagao a tensao ou seja a voltagem através do capacitor esta atrasada em relac4o a corrente o que produz uma compensacao pelo atraso da corrente no outro ramo do circuito O proprio capacitor nao absorve nenhuma poténcia liquida do circuito Um secador elétrico de cabelo consome uma poténcia média de b De acordo com a Equagao 3128 1500 W para 120 V seu valor eficaz Calcule a a resistén cia b a corrente eficaz e c a poténcia instantanea maxima L Pinéd 1500 W 125A Suponha que o secador de cabelo seja uma resisténcia pura O Vom 120V elemento de aquecimento do secador de cabelo atua como um resistor c Para um resistor puro a voltagem e a corrente estao em fase e o Angulo de fase é igual a zero Logo pela Equagao 3130 SOLUGAO a poténcia instanténea é p VI cos wt e a poténcia instantanea TT maxima é Pmax VI De acordo com a Equacao 3127 isso é 0 IDENTIFICAR E PREPARAR temos a poténcia média Peg dobro da poténcia média Pq portanto 1500 W e a voltagem eficaz Vym 120 V As varidveisalvo sao a resisténcia R a corrente eficaz Tqm 0 valor maximo da Pmax VI 2P meq 2 1500 W 3000 W poténcia instantanea pm4x Explicitamos a Equagao 3129 para determinar a resisténcia R Determinamos a corrente eficaz Igm AVALIAR podemos usar a Equagao 317 para confirmar o resul de Vom Pmea usando a Equacao 3128 e achamos a poténcia tado obtido no item b Igm VamR 120 V96 Q 125 A instantanea maxima Pps pela Equacao 3130 Note que alguns fabricantes de amplificadores estéreo anunciam EXECUTAR a pela Equaciio 3129 a resisténcia é as saidas de poténcia em termos do valor de pico em vez do valor médio inferior para enganar consumidores desatentos Vom 120V R 96 0 Pyeq 1500 W Para 0 circuito LRC mencionado no Exemplo 314 a calcule EXECUTAR a o fator de poténcia é dado por cos cos 53 o fator de poténcia b calcule a poténcia média fornecida pelo 060 circuito todo e para cada elemento do circuito b Pela Equacdo 3131 SOLUGAO Preq 5VI cos 5 50 V010 A060 15 W IDENTIFICAR E PREPARAR podemos usar os resultados obti AVALIAR enquanto Pyeq a poténcia média fornecida para a dos no Exemplo 314 O fator de poténcia é 0 cosseno do 4n combinagao LRC toda essa poténcia é dissipada no resistor A gulo de fase e a Equacio 3131 permite determinar a poténcia poténcia média transferida para um indutor puro ou um capacitor média fornecida em termos de e das amplitudes de voltagem puro é sempre igual a zero veja as figuras 3116b e 3116c e corrente TESTE SUA COMPREENSAO DA SEGAO 314 A Figura 3116d mostra que durante uma parte do ciclo de oscilago a poténcia instantanea transferida para o circuito é negativa Isso significa que a energia esta sendo extraida do circuito a De onde a energia esta sendo extraida i Do resistor ii do indutor iii do capacitor iv da fonte ca v de mais de um desses elementos b Para onde vai a energia i Para o resistor ii para o indutor iii para o capacitor iv para a fonte ca v para mais de um desses elementos I 315 RESSONANCIA EM CIRCUITOS DE CORRENTE ALTERNADA Muitas aplicagées praticas dos circuitos LRC em série se devem ao modo pelo qual tais circuitos respondem a diferentes fontes de frequéncia angular w Por exemplo um circuito de sintonia tipico em um receptor de radio é simplesmente um circuito LRC em série Um sinal de radio com qualquer frequéncia produz uma corrente com a mesma frequéncia no circuito do receptor porém a amplitude da corrente atinge seu valor mdximo quando a frequéncia do sinal é igual a uma Capitulo 31 Corrente alternada 395 frequéncia particular para a qual o circuito receptor se encontra sintonizado Esse Figura 3118 Como as variag6es na efeito é chamado de ressondncia O circuito projetado de tal modo que os sinais frequéncia angular de um circulto ca de sintonia produzem correntes tao pequenas que nao ocorre nenhum som audivel afetam a reatancia resistencia Itofalante do rédi impedancia e b impedancia no altoTa ant GO Taco oo amplitude de corrente e Angulo Para verificar como um circuito LRC pode ser usado desse modo suponha que de fase vocé conecte uma fonte ca cuja amplitude da voltagem V seja constante porém g Reatancia resistncia e impedancia com uma frequéncia angular w ajustavel através de um circuito LRC em série A em funcio da frequéncia angular corrente que surge no circuito possui a mesma frequéncia angular da fonte e uma Impedancia Z é a minima na amplitude de corrente J VZ em que Z é a impedancia do circuito LRC em frequéncia angular em que X X série Essa impedancia depende da frequéncia como mostra a Equagao 3123A ryz i 7H VR x xP oes VA oY X Xe Figura 3118a apresenta graficos de R X Xc e Z em funcao de w Usamos uma escala logarftmica para a frequéncia angular de modo a cobrir um vasto intervalo y A x A Cc de frequéncias A medida que a frequéncia aumenta X aumenta e Xc diminui portanto sempre existe uma frequéncia para a qual X é igual a Xce X Xcé R igual a zero Para essa frequéncia a impedancia Z VR X Xo atinge A seu valor minimo que simplesmente igual a R O Wo logw Comportamento do circuito em ressonancia XXc Escala A medida que fazemos variar a frequéncia angular w da fonte a amplitude da logaritmica corrente J VZ varia conforme indicado na Figura 3118b 0 valor mdximo de I ocorre quando a impedancia Z é minima O fendmeno no qual a amplitude da Impedancia amplitude da aos As Aus corrente e 4ngulo de fase em corrente atinge seu valor maximo denominase ressonancia A frequéncia angular funcio da frequéncia angular Wo para a qual ocorre o pico da ressonancia é chamada de frequéncia angular de sei ae nO aan a A corrente é maxima na frequéncia ressonancia Em w wo a reatancia indutiva X igual areatancia capacitiva Xc angular em que a impedancia é minima portanto woLl IwpC e Essa a frequéncia angular de ressondncia wy LZ i Frequéncia angular de my 1 y 1 ressonancia de um Wo VLG 3132 7 circuito LRC em série a Indutancia Capacitancia 90 Observe que esse valor é igual ao valor da frequéncia angular das oscilacdes naturais de um circuito LC que deduzimos na Seao 305 Equacgao 3022 A O og frequéncia de ressonancia fp igual a wo277 Nessa frequéncia surge a corrente mais elevada no circuito para uma dada amplitude de voltagem em outras palavras 90 Escala fo a frequéncia para a qual o circuito esta sintonizado logaritmica Convém saber 0 que ocorre com as voltagens em um circuito LRC em série durante a ressonancia A corrente em cada instante é a mesma tanto em L quanto em C A voltagem através de um indutor sempre esta adiantada 90 em relacgao a corrente ou 4 do ciclo e a voltagem através de um capacitor esta sempre atra sada 90 em relacao a corrente Portanto a diferenga de fase instantanea através de Le de C é sempre igual a 180 ou 5 ciclo logo elas possuem sinais opostos a cada instante Para a frequéncia de ressonancia e somente para ela X Xc e as amplitudes de voltagem V IX e Vc IX sao iguais entao a soma da voltagem através de L e C igual a zero em todos os instantes e a voltagem total Upg através da combinagao LC indicada na Figura 3113a exatamente zero A voltagem através do resistor tornase igual 4 voltagem da fonte Logo para a frequéncia de ressonancia 0 circuito se comporta como se nem o indutor nem o capacitor existissem A fase da voltagem em relagao a corrente dada pela Equacgao 3124 Para frequéncias abaixo da ressonancia Xc maior que X a reatancia capacitiva é dominante a voltagem esta atrasada em relacao a corrente e o angulo de fase d esta compreendido entre zero e 90 Acima da ressonancia a reatancia indutiva dominante a voltagem esta adiantada em relacao a corrente e o angulo de fase esta compreendido entre zero e 90 Essa variagado de com a frequéncia angular esta indicada na Figura 3118b 396 Fisica Ill Projeto de um circuito ca Se podemos variar a indutancia L e a capacitancia C de um circuito também podemos variar a frequéncia de ressonancia Isso fornece exatamente o método para sintonizar um receptor de radio ou de televisao para receber uma dada estacgao No inicio da tecnologia do radio isso era realizado usandose capacitores com placas metalicas méveis cujas areas podiam ser sobrepostas para se obter uma variagao de C E isso 0 que ocorre com o botio de sintonia do radio indicado na fotografia que abre este capitulo Um método mais moderno consiste em fazer variar 0 valor de L empregandose uma bobina com um nticleo de ferrita que pode deslizar para dentro ou para fora do nticleo Figura 3119 Grafico da amplitude Em um circuito LRC em série a impedancia atinge seu valor minimo e a da corrente J em fungao da corrente atinge seu valor maximo durante a ressonancia Na curva do meio da frequéncia angular em um Figura 3119 mostramos um grafico de corrente em funcdo da frequéncia para circuito LRC em série com V 100 V L 20 H C 050 uFe esse tipo de circuito com amplitude de voltagem da fonte V 100 V L 20 H trés valores diferentes para a C 050 wF e R 500 Essa curva representa uma curva de resposta mais resisténcia R conhecida como curva de ressondncia e possui um pico na frequéncia angular 1A wo VLC 1000 rads A frequéncia de ressonancia depende de L e de C 0 que ocorre quando fazemos 05 2000 Quanto menor a R variar A Figura 3119 também mostra graficos de J em fungdo de w para R resisténcia de um At 04 circuito maior e 200 0 e para R 2000 Q As curvas sao semelhantes para frequéncias muito 03 mals aguco 0 pico afastadas da ressonancia em que XL ou Xc desempenham papeis dominantes na 0 50Q corrente proxima impedancia Mas proximo a ressonancia em que X quase igual a X a curva frequéncia angular tornase estreita com picos mais pontiagudos para valores de R pequenos e acha 01 Laarrsrrine 0 tadae larga para valores de R elevados Na ressonancia Z R eI VR de modo w rads Que a altura maxima da curva inversamente proporcional a R 0 500 1000 1500 2000 A forma da curva de ressonancia é importante no projeto de circuitos de recepgao de radio e de televisao A curva com um pico muito agudo possibilita discriminar entre duas estagdes com bandas de frequéncia adjacentes Contudo quando o pico demasiadamente agudo podem ser perdidas algumas informagoes do sinal rece bido como as frequéncias mais elevadas dos sons musicais A forma da curva de ressonancia também é relacionada aos conceitos de oscilagdes superamortecidas ou subamortecidas descritas na Secao 306 Uma curva de ressonancia com um pico agudo corresponde a um valor de R pequeno e a um sistema oscilante ligeiramente amortecido uma curva larga e achatada corresponde a um valor de R elevado e a um sistema fortemente amortecido Nesta secdo discutimos a ressonancia em um circuito LRC em série A res sonancia também pode ocorrer em um circuito ca no qual o indutor o resistor e 0 capacitor estao ligados em paralelo Deixamos os detalhes para vocé veja 0 Problema 3155 O fendmeno da ressonancia nao é exclusivo de circuitos ca ela ocorre em todas as areas da fisica Ja discutimos exemplos de ressonancia em sistemas mecdnicos nas secdes 138 e 165 A amplitude de uma oscilagdo mecanica atinge valor ma ximo quando a frequéncia da forga motriz proxima da frequéncia das oscilagdes naturais do sistema isso é andlogo ao surgimento do pico da corrente em um circuito LRC em série O circuito em série na Figura 3120 é semelhante ao arranjo SOLUGAO usado em circuitos de sintonizacgao de radio Esse circuito é li IDENTIFICAR E PREPARAR 0 circuito na Figura 3120 é um gado aos terminais de uma fonte de alimentagao ca com frequén as cia varidvel nos terminais em que a voltagem possui um valor circulto LRC em serie porem com a incluso de medidores eficaz igual a 10 V Calcule a a frequéncia de ressonancia b Pata medir correntes e voltagens eficazes as varidveisalvo deste a reatancia indutiva X a reatancia capacitiva Xc e a impedancia problema A Equagao 3132 fornece a formula da frequéncia Z para a frequéncia de ressonancia c a corrente eficaz Igy na angular de ressonancia wo a partir da qual obtemos a frequéncia ressonancia e d a voltagem eficaz através de cadaelemento do de ressonancia fy Usamos as equagdes 3112 e 3118 para deter circuito na ressonancia minar X e Xc que sAo iguais na ressonancia na ressonancia pela Continua Capitulo 31 Corrente alternada 397 Continuagdo Equacio 3123 temos Z R Usamos as equacées 317 3113 As diferengas de potencial eficazes através do indutor e do capa e 3119 para determinar as voltagens nos elementos do circuito citor sao respectivamente EXECUTAR a os valores de wg e fo sao Vigm IqmXz 00020 A 2000 2 40V wy te Vegm LamXc 00020 A 2000 2 40V VLC 040 X 10 H100 X 1077 F 6 AVALIAR a diferenga de potencial eficaz através do indutor 50 X 10 rads e através do capacitor possui os mesmos valores e as mesmas fy 80 X 10 Hz 800 kHz amplitudes porém existe uma diferenga de fase de 180 a cada instante e portanto a soma desses valores sempre é igual a zero Essa frequéncia faz parte da banda inferior da faixa AM de fre Note também que Vrgm igual a diferenca potencial eficaz Vim Anat 44 através da fonte embora neste exemplo Vzqm Vcqm possuam quéncias de radio id q q b Para essa frequéncia valores consideravelmente maiores que Vgm Figura 3120 Um circuito sintonizador de radio 6 317 X L 50 X 10 rads040 X 10 H 2000 0 durante a ressonancia Os circulos denotam a 1 1 corrente e a voltagem eficazes Xe FF ann 2000 0 wC 50 X 10 rads100 107 F Como X Xc na ressonancia como ja dissemos Z R 500 c De acordo com a Equagao 3126 o valor eficaz da corrente na ressonancia é C 1000F V V R500Q0 L 040 mH P 10 V 0000 lym 00020 A 20 mA d m ZR 5000 d A diferenga de potencial eficaz através do resistor é pS Veqm IqmR 00020 A 500 Q 10 V TESTE SUA COMPREENSAO DA SECAO 315 Como a frequéncia de ressonancia de um circuito LRC em série varia 4 medida que as placas do capacitor se aproximam i Aumenta ii diminui iii nao é afetada 316 TRANSFORMADORES Uma grande vantagem da ca em relacao a cc para a distribuicdo de energia elé trica a facilidade para elevar e abaixar o valor da tensdo com ca Para transmitir energia elétrica através de distancias muito grandes é desejavel o uso de uma tensdo a mais elevada possivel e de uma corrente muito pequena isso faz diminuir as perdas proporcionais a i7R que ocorrem nas linhas de transmissao e fios mais finos podem ser usados economizando material As linhas de transmissao mo dernas geralmente operam com valores da tensao eficaz da ordem de 500 kV Por outro lado questdes de seguranga e de isolamento exigem 0 uso de baixas tensdes em residéncias e indtstrias A tensao padronizada em muitos estados do Brasil é de 110 V a 120 V porém em algumas cidades brasileiras e em diversos paises a tensdo é de 220 V a 240 V A conversao de uma dada voltagem para qualquer outra tens4o é obtida por meio de transformadores Como funcionam os transformadores A Figura 3121 mostra um transformador idealizado Os componentes basicos do transformador sao duas bobinas ou enrolamentos isolados eletricamente um do outro porém enrolados sobre 0 mesmo nticleo O nticleo em geral é feito de um material com elevada permeabilidade magnética relativa K como o ferro Isso obriga as linhas do campo magnético produzidas pela corrente do enrolamento a 398 Física III ficar confinadas quase completamente no interior do núcleo Portanto quase todas as linhas de campo passam através do outro enrolamento maximizando a indutân cia mútua dos dois enrolamentos veja a Seção 301 O primário é o enrolamento conectado com a fonte de tensão denominase secundário o enrolamento cujos terminais fornecem a tensão transformada O símbolo de circuito para um trans formador com núcleo de ferro é Vejamos então como funciona um transformador A fonte ca produz uma cor rente alternada no primário que dá origem a um fluxo magnético alternado no núcleo isso gera uma fem induzida em cada enrolamento de acordo com a lei de Faraday A fem induzida no secundário dá origem a uma corrente alternada no se cundário que fornece energia elétrica para o dispositivo conectado ao secundário Todas as correntes e fems produzidas possuem a mesma frequência da fonte de tensão ca Vejamos como a tensão no secundário pode ser maior ou menor que a tensão aplicada no primário Vamos desprezar a resistência dos enrolamentos e supor que todas as linhas do campo magnético fiquem confinadas no núcleo de ferro de modo que em todos os instantes o fluxo magnético FB seja o mesmo em todas as espiras do enrolamento primário e do secundário O enrolamento primário possui N1 espiras e o secundário N2 espiras Quando o fluxo magnético varia porque as correntes variam nas duas bobinas as fems induzidas resultantes são E1 N1 dΦB dt e E2 N2 dΦB dt 3133 O fluxo por espira FB é o mesmo tanto no primário quanto no secundário de modo que a Equação 3133 mostra que a fem induzida por espira é a mesma nas duas bobinas Portanto a razão entre a fem do secundário E2 e a fem do primário E1 é igual a cada instante à razão entre o número de espiras do secundário e do primário E2 E1 N2 N1 3134 Como E1 e E2 oscilam com a mesma frequência da fonte ca a Equação 3134 também fornece a razão entre as amplitudes ou entre os valores eficazes de cada fem induzida Como estamos supondo a resistência do enrolamento igual a zero cada fem E1 ou E2 deve ser igual à respectiva voltagem através do primário e do secundário portanto 3135 Amplitude de voltagem ou valor eficaz no secundário Número de espiras no secundário Número de espiras no primário Voltagens nos terminais de um transformador V1 V2 N1 N2 Amplitude de voltagem ou valor eficaz no primário Escolhendose uma razão apropriada N2N1 podemos obter qualquer valor dese jado para a tensão no secundário a partir de uma dada tensão no primário Quando N2 N1 como na Figura 3121 então V2 V1 e dizemos que o transformador eleva a tensão quando N2 N1 então V2 V1 e obtemos um transformador que abaixa a tensão Nas usinas geradoras de energia elétrica existem transformadores que elevam a tensão o primário é ligado ao gerador e o secundário é ligado à linha Figura 3121 Diagrama esquemático de um transformador ideal para elevar uma tensão O primário é conectado a uma fonte de tensão ca o secundário é conectado a um dispositivo com resistência R A fem induzida por espira é a mesma em ambas as bobinas de modo que ajustamos a razão das voltagens nos terminais ajustando a razão das espiras R N2 V2 N1 I1 Enrolamento primário Enrolamento secundário Núcleo de ferro Fonte de corrente alternada FB V1 N2 N1 V2 V1 BIO Aplicação Riscos da tensão ca versus cc A corrente alternada em alta voltagem acima de 500 V é mais perigosa que a corrente contínua na mesma voltagem Quando uma pessoa toca em uma fonte cc de alta voltagem isso normalmente causa uma única contração de músculo que pode ser forte o suficiente para empurrála para fora da fonte Ao contrário tocar uma fonte de ca de alta voltagem pode causar uma contração contínua do músculo impedindo que a vítima solte a fonte A redução da voltagem ca com um transformador reduz o risco de danos à saúde BookSEARSVol3indb 398 101115 709 PM Capitulo 31 Corrente alternada 399 de transmissAo obtendose a tensdo bastante alta necessdria para a transmissdo Nos locais de consumo da energia elétrica usamse transformadores para abaixar a tensdo até que ela atinja valores convenientes para uso doméstico ou industrial Figura 3122 Mesmo a voltagem relativamente baixa fornecida por uma tomada de parede doméstica é alta demais para muitos aparelhos eletrénicos tornando necessaério um transformador adicional para abaixar a tensao Essa é a funao de um adaptador ca como os usados para recarregar um telefone celular ou um computador portatil a partir da voltagem da tomada Figura 3123 Figura 3122 O objeto cilindrico no topo do poste é Figura 3123 Um adaptador como este converte a corrente um transformador usado para abaixar uma tensdo Ele ca de uso doméstico em corrente cc de baixa voltagem para converte a alta tens4o ca da linha de transmissao para uso em aparelhos eletrénicos Ele contém um transformador a baixa tensdo 120 V ca que a seguir é distribuida que abaixa a tensAo e diodos que transformam a corrente para as residéncias e para 0 comércio alternada em corrente continua exigida por pequenos dispositivos eletrénicos veja a Figura 313 got 3 oO es ee a 2 s a a Consideracgoes sobre a energia para transformadores DADOS MOSTRAM Quando 0 circuito secundario esté ligado a uma resistncia R entaéo a amplitude Transformadores da corrente ou o valor eficaz da corrente nesse circuito é I VR Por considera Quando os alunos recebiam cdes de energia a poténcia fornecida ao primério é igual 4 poténcia consumida no um problema envolvendo as tA transformadores mais de 40 secundario porque estamos desprezando as resisténcias dos enrolamentos logo davam uma resposta incorreta Erros comuns Voltagens e correntes Amplitude de voltagem ye Amplitude de voltagem ou Esquecer que 0s terminais em um ou valor eficaz no primario valor eficaz no secundario Fi di 2 Gann reed a ay transformadores so Vit Vob 3136 funcionam para corrente Corrente no primario Corrente no secundario alternada Um transformador funciona com 0 principio de que uma Combinando as equagées 3135 e 3136 com a relagdo J VR para eliminar corrente variando em uma V e 15 encontramos bobina primaria induz uma corrente variando em uma A R bobina secundaria Ele nao oD 3 1 37 funciona com corrente q N2Nj continua constante sag an Confusdo entre voltagem e Essa relagéo mostra que quando 0 secundario é fechado através de uma resistén 8 corrente A voltagem em cia R o resultado 0 mesmo que no caso em que a fonte é conectada diretamente uma bobina do tae ae 2 a uma resistncia R dividida pelo quadrado da razao entre as espiras N2N Em Prana orrad nye outras palavras o transformador transforma nao somente voltagens e correntes proporcional ao nimero de mas também as resisténcias De modo geral podemos encarar um transformador espiras nessa bobina A como um dispositivo que transforma a impeddncia do circuito ao qual o secun corrente em uma bobina do dario é conectado transformador é A Equacao 3137 tem muitas consequéncias praticas A poténcia fornecida por iver node proporcional yA ao numero de espiras uma fonte a um resistor depende da resisténcia da fonte e do resistor Podemos P 400 Fisica Ill Figura 3124 a Enrolamento demonstrar que a transferéncia da poténcia é maxima quando as duas resisténcias primario e enrolamento secundario so iguais O mesmo principio é valido tanto no caso de um circuito cc quanto no e ro transformador Correntes caso de um circuito ca Se uma fonte ca com impedancia elevada precisa ser ligada adicadae ha seco reta A AO a um circuito com baixa impedancia como um amplificador de audio ligado a um Reducio das correntes de Foucault altofalante a impedancia da fonte deve se igualar a do circuito por meio do uso usandose um nticleo laminado de um transformador com uma razao de espiras N2N apropriada a Transformador esquematizado Um transformador real sempre apresenta alguma perda de energia Por isso um adaptador ca como 0 indicado na Figura 3123 se aquece apos algum tempo de A uso 0 transformador é aquecido pela energia dissipada Os enrolamentos possuem alguma resisténcia e produzem perdas i7R Também ocorrem perdas por histerese Enrolame no nticleo Seao 288 As perdas por histerese podem ser minimizadas usandose primario ferro doce com um ciclo de histerese estreito Enrolamento secundario Outro mecanismo importante para a perda de energia no nticleo do transformador envolve as correntes de Foucault Segao 296 Considere a segao reta AA que corta o micleo de ferro de um transformador Figura 3124a Como o ferro é condutor qualquer seco igual a essa pode ser descrita como diversas espiras condutoras uma b Grandes correntes de Foucault no interior da outra Figura 3124b O fluxo através de cada uma dessas espiras em um nucleo macigo varia continuamente de modo que correntes de Foucault podem circular no volume Nticleo inteiro do nticleo cujas linhas de escoamento formam planos perpendiculares ao macigo fluxo Essas correntes de Foucault sao indesejaveis elas produzem perda de ener gia através do termo i7R do efeito térmico e elas proprias geram um fluxo oposto Correntes Os efeitos das correntes de Foucault podem ser minimizados usandose um de Foucault nticleo laminado ou seja um nucleo constituido por folhas finas ou laminas A Segiio em AA elevada resisténcia superficial de cada lamina produzida por uma camada de 6xido ou por um verniz de isolante faz com que as correntes de Foucault fiquem con o Corrente de Foucault menores finadas em laminas individuais Figura 3124c Os caminhos possiveis para as correntes de Foucault tornamse mais estreitos a fem induzida em cada caminho Laminas é menor e as correntes de Foucault s4o bastante reduzidas O campo magnético alternado exerce forgas sobre as laminas que conduzem corrente produzindo vibra 0es essas vibracgdes produzem um ronco caracteristico de um transformador em funcionamento Vocé pode ouvir esse mesmo ronco do reator de uma l4mpada Correntes de Foucault fluorescente veja a Secdo 302 Secfio em AA Gragas ao uso do ferro doce e de laminas no nticleo a eficiéncia de um transfor mador geralmente é da ordem de 90 nas instalagées de grande porte a eficiéncia pode atingir até 99 Uma amiga trouxe da Europa uma cafeteira elétrica de 960 W b O valor eficaz da corrente no primario de 120 V pode projetada para funcionar com uma fonte de alimentacao de 240 V ser calculado a partir da formula Pygg Vil em que Peg Ea a O que ela deve fazer para ligar o aparelho em uma fonte de poténcia média consumida pela cafeteira e portanto a poténcia 120 V b Qual deve ser a corrente que a cafeteira consome de fornecida pela linha de 120 V Estamos supondo que nao existam uma linha de 120 V c Qual a resisténcia da cafeteira O perdas de energia no transformador Portanto J PméqV valor de cada voltagem um valor eficaz 960 W120 V 80 A A corrente no secundario é entao Ly Peal V2 960 W240 V 40 A SOLUGAO c Temos V 120 V J 80 Ae NoN 2 logo IDENTIFICAR E PREPARAR nossa amiga necessita de um trans V 120 V formador que eleve a tensao de modo a converter os 120 V dis 150 poniveis na casa para os 240 V exigidos pela cafeteira Usamos a f 80 A Equacao 3135 para determinar a razao de espiras NN do trans Pela Equacio 3137 formador a relagao Pméq Vamqm de um resistor para obter o consumo de corrente e a Equagao 3137 para calcular a resisténcia R2750600 EXECUTAR a para obter V 240 V com V 120 V arazao de espiras deverd ser N3N V2V 240 V120 V 2 AVALIAR para conferir VR 240 V60 Q 40 A bh 0 Ou seja a bobina secundaria que deve ser ligada na cafeteira mesmo valor obtido anteriormente Podemos também comprovar precisa ter um enrolamento com um ntimero de espiras igual ao 0 resultado de R usando a expressio Pneq V3R para a potén dobro do ntimero de espiras existentes na bobina do primério cia consumida pela cafeteira ligado na linha de 120 V Capitulo 31 Corrente alternada 401 TESTE SUA COMPREENSAO DA SEGAO 316 Cada um destes quatro transformadores possui 1000 espiras na bobina primaria Classifique os transformadores do maior para 0 menor ntiimero de espiras na bobina secundaria i Converte 120 V ca em 60 V ca ii converte 120 V ca em 240 V ca iii converte 240 V ca em 60 V ca iv converte 240 V caem 120 V ca 1 CAPITULO 31 RESUMO Fasores e corrente alternada um alternador ou 2 o fonte ca produz uma fem que varia senoidalmente tim a best 313 com o tempo Uma corrente ou voltagem senoidal pode ser representada por um fasor um vetor que L fl 314 gira no sentido antihorario com velocidade angu qm V2 Or on lar w constante que é igual 4 frequéncia angular ola A Lon i Icoswt da grandeza senoidal Sua projegdo sobre 0 eixo Vo Vv 15 horizontal em qualquer instante representa o valor 9 49 instantaneo da grandeza Para uma corrente senoidal a corrente média reti ficada e a corrente quadratica média corrente efi caz sAo proporcionais 4 amplitude da corrente J Analogamente o valor da tens4o quadratica média tensao eficaz de uma grandeza senoidal é proporcio nal amplitude da tensao V Veja o Exemplo 311 Voltagem corrente e angulo de fase em gerala i Jcost 312 I voltagem instantanea v Vcos wt entre dois pontos em um circuito ca nao esta em fase com a vAd corrente instantaénea que passa por esses pontos A Vcoso grandeza é chamada de Angulo de fase da volta od gem em relacao 4 corrente O Resisténcia e reatancia avoltagemnosterminais Vp IR 317 de um resistor R esta em fase com a corrente A vol tagem nos terminais de um indutor L esté adiantada Vi JX 3113 0000 90 em relacao a corrente 90 ao passo que 7 CS i a voltagem nos terminais de um capacitor C esta Vo IXc 3119 i a b ti atrasada 90 em relacao a corrente pb 90 A qilllg amplitude da voltagem através de cada tipo de dis positivo é proporcional a amplitude de corrente J Um indutor possui reatancia indutiva X wl e um capacitor possui reatancia capacitiva Xc 1wC Veja os exemplos 312 e 313 Impedancia e 0 circuito LRC em série emum VIZ 3122 v 1x V Iz circuito ca genérico as amplitudes da voltagem e AY da corrente sao relacionadas pela impedancia Zdo Z V R wl 1 wOP oo ee circuito Para um circuito LRC em série os valores g oy de L Re Cea frequéncia angular w determinam a ee Ve Ve IR impedancia e o angulo de fase da voltagem em oL 1wC D Vo Xe relacao a corrente Veja os exemplos 314 e 315 tang R 3124 Poténcia em circuitos ca a entrada de poténcia Peg VI cosh wip média Pq de um circuito ca depende das amplitu Finca 3VIcos b des de voltagem e de corrente ou de forma equiva Vom Lqm Cos 313 lente seus valores eficazes e o Angulo de fase da f Hf voltagem em relacAo a corrente A grandeza cos N 3 Y t é denominada fator de poténcia Veja os exemplos Ww 316 e 317 402 Fisica Ill Ressonancia em circuitos ca em um circuito 1 3132 A LRC em série a impedancia tornase minima e a 0 VLC ore 05 200 0 amplitude da corrente tornase maxima a uma fre 04 quéncia angular chamada de frequéncia angular de 03 500 0 ressonancia Esse fendmeno constitui a ressonancia OT 2000 Na ressonancia a voltagem e a corrente estao em w rads fase e a impedancia Z possui valor igual ao da re O 1000 2000 sisténcia R Veja o Exemplo 318 Transformadores um transformador serve para V2 N I transformar correntes e voltagens emumcircuitoca V N G135 A mS Para um transformador ideal que nao perde nenhuma Vil Vol 3136 Bis energia quando a bobina do primario possui NV es TD te piras e a bobina do secundario possui N espiras os M We R valores das amplitudes das duas voltagens ou os Primario valores eficazes dessas voltagens sio relacionados Secundario pela Equagao 3135 Os valores das amplitudes ou os valores eficazes da voltagem e da corrente no primario sao relacionados com os respectivos va lores no secundario do transformador pela Equagao 3136 Veja o Exemplo 319 Problema em destaque Um circuito de corrente alternada Um circuito em série como o da Figura 3113a consiste em um utilizadas para achar as amplitudes de corrente e tensao em indutor de 150 mH um resistor de 125 e um capacitor de cada frequéncia angular 250 nF conectados a uma fonte ca com uma voltagem eficaz de EXECUTAR 350 V e frequéncia variavel a Em que frequéncias angulares As a Da amplitude de corrente sera igual a de seu valor maximo pos Determine a impedancia nas frequéncias ang ulares do item sivel b Nas frequéncias do item a quais séo a amplitude de a depo s explicite os valores da frequéncia angular corrente e a amplitude de tensdo em cada elemento do circuito 4 Determine a amplitude de tensao na fonte ca amplitude de incluindo a fonte ca corrente para cada uma das frequéncias angulares no item a Dica lembrese de fazer a distingéo entre amplitude e valor eficaz GUIA DA SOLUGAO 5 Use os resultados das etapas 3 e 4 para determinar as rea IDENTIFICAR E PREPARAR tancias em cada frequéncia angular Depois calcule as DLA amplitude de corrente maxima ocorre na frequéncia an amplitudes de tensdo para o resistor o indutor e o gular de ressonancia Esse problema trata de frequéncias capacitor angulares em que a amplitude de corrente é um tergo desse AVALIAR maximo 6 Alguma amplitude de tensao maior que a amplitude de 2 Escolha a equagao que lhe permitira achar as frequéncias tensao da fonte Se for isso significa que os resultados angulares em questéo bem como as equag6es que serao estao errados PROBLEMAS e ee eee niveis de dificuldade PC problemas cumulativos incorporando material de outros capitulos CALC problemas exigindo calculo DADOS problemas envolvendo dados reais evidéncia cientifica projeto experimental eou raciocinio cientifico BIO problemas envolvendo biociéncias QUESTOES PARA DISCUSSAO tensao de 220 V a 240 V Quais sao as vantagens e as desvan Q311 No Brasil nos Estados Unidos no Canad4e em mui tagens desses sistemas tos outros pafses a tensdo de 110 V a 120 V padronizada Q312 A corrente em uma linha de transmissao ca muda de enquanto em varios lugares da Europa é mais comum 0 uso da sentido 120 vezes por segundo e seu valor médio é igual a Capitulo 31 Corrente alternada 403 zero Explique como possivel transmitir energia elétricacom Q3117 Um transformador ideal possui N enrolamentos no pri esse sistema mario e N enrolamentos no secundario Se vocé dobrar somente Q313 Em um circuito ca por que a energia médiaem um indu 0 ntimero de enrolamentos no secundario por qual fator a a tor e em um capacitor é zero mas nao em um resistor amplitude da voltagem no secundario varia e b a resisténcia Q314 A Equacao 3114 foi deduzida usandose a relagéo i efetiva do circuito secundario varia dqdt entre a corrente e a carga no capacitor Na Figura 319aa Q3118 Um indutor um capacitor e um resistor sao todos corrente positiva cresce no sentido antihorario fazendo aumen conectados em série com uma fonte ca Se a resisténcia a tar a carga no capacitor Quando a placa esquerda for positiva indutancia e a capacitancia forem todas dobradas por qual mas seu valor estiver diminuindo com 0 tempo arelagéoidg fator cada uma das seguintes quantidades varia Indique se dt ainda sera correta ou deveremos usar i dqdt A relagéo elas aumentam ou diminuem a a frequéncia angular de res i dqdt continua valida quando a placa do lado direito positiva sondncia b a reatancia indutiva c a reatdncia capacitiva e seu mddulo aumenta ou diminui Explique d A impedancia dobra Q315 Uma lampada fluorescente em geral usa um indutor de Q3119 Vocé deseja dobrar a frequéncia angular de ressonancia compensagao chamado de reator para limitar a corrente no tubo de um circuito LRC em série alterando apenas os elementos Por que é melhor usar um indutor em vez de um resistor para de circuito pertinentes todos pelo mesmo fator a Quais vocé esse objetivo deverd mudar b Por qual fator vocé deverd mudélos Q316 A Equacao 319 afirma que Ug L didt Figura 318a Use a lei de Faraday para explicar por que o ponto a esta em um potencial mais elevado que o ponto b quando i flui no sentido EXERCICIOS indicado na Figura 318a e seu médulo esta aumentando A X Secdo 311 Fasor e corrente alternada Pressd0 Vap L dildt permanece valida quando i possui sentido 311 Vocé possui uma lampada especial com um filamento antihorario e seu médulo diminui ou a expresso correta seria muito delicado O fio se romperd se a corrente fluindo por ele Vab L dildt A expressao Vay L dildt permanece valida ultrapassar 150 A mesmo que por um instante Qual é a maior quando i esta no sentido horario e seu médulo aumenta ou di gorrente quadratica média que pode passar por essa lampada minui Explique 312 Umacorrente senoidal i J cos wt possui um valor eficaz Q317 E possivel o fator de poténcia de um circuito ca LRC em Igm 210 A a Qual é a amplitude da corrente b A corrente série ser igual a zero Justifique sua resposta em termos fisicos passa através de um retificador de onda completa Qual é 0 valor Q318 Em um circuito LRC em série a voltagem instanténea qa corrente retificada média c Qual é 0 maior valor Tqm OU Lm através do capacitor pode superar a voltagem da fonte no mesmo Explique usando um grafico de i e outro da corrente retificada instante Isso pode ser verdade para a voltagem através do indu 343 A voltagem através dos terminais de uma fonte ca varia tor E através do resistor Explique com o tempo de acordo com a Equagfio 311 A amplitude da Q319 Em um circuito LRC em série qual 0 valor do angulo voltagem é V 450 V Calcule a 0 valor eficaz ou 0 valor qua de fase e do fator de poténcia cos quando a resisténcia dratico médio da diferenca de potencial Vam b a diferenga de muito menor que a reatancia indutiva ou capacitiva e o circuito potencial média Vngq entre os dois terminais da fonte de tensdo esta operando fora da ressonancia Explique Co Q3110 Quando um circuito LRC em série é conectado através Segao 312 Resisténcia e reatancia de uma linha ca de 120 V a tensdo do capacitor pode superar 0 314 Um capacitor esta conectado através de uma fonte ca valor maximo estipulado mesmo quando sua voltagem maxima 44a amplitude de tensao 600 V e frequéncia de 800 Hz a estipulada de 200 V ou 400 V Como vocé explica isso Qual 0 angulo de fase para a voltagem da fonte em relagao Q3111 No Exemplo 316 Secdo 314 um secador de cabelo a corrente A voltagem da fonte esta atrasada ou adiantada em foi definido como um resistor puro Porém como a resisténcia elagado a corrente b Qual a capacitancia C do capacitor se a de aquecimento constituida por um fio enrolado eno motor do 4mplitude de corrente igual a 530 A ventilador existem bobinas um secador de cabelo também possui 315 Um indutor com L 950 mH esta conectado a uma uma indutancia Qualitativamente a inclusdo de uma indutancia fonte ca com uma amplitude de tensao de 450 V a Qual é o faz aumentar ou diminuir os valores de R de Ign de P angulo de fase para a tensao da fonte em relagao a corrente Q3112 Uma lampada e um capacitor de placas paralelas com A voltagem da fonte esta atrasada ou adiantada em relagao a ar entre as placas sao conectados em série a uma fonte caO que Corrente b Que valor para a frequéncia da fonte resulta em acontece com a luminosidade da lampada quando um dielétrico uma amplitude de corrente de 390 A é inserido entre as placas do capacitor Explique 316 Umacapacitancia C e uma indutancia L sao operadas na Q3113 Uma bobina enrolada em um tubo oco e uma lampada mesma frequncia angular a Em qual frequéncia angular elas siio conectados em série a uma fonte ca O que acontece Alumino terao a mesma reatancia b Se L 500 mH e C 350 pF sidade da lampada quando um bastio de ferro 6 inserido no tubo qual 0 valor numérico da frequéncia angular no item a e qual Q3114 Um circuito consiste em uma lampada um capacitore a reatancia de cada elemento um indutor conectados em série a uma fonte ca O que acontece 317 Capacitancia na cozinha O circuito de um refrigera com a luminosidade da lampada quando o indutor é removido dor contém um capacitor no sistema de partida Uma voltagem E quando o indutor é mantido no circuito mas 0 capacitor 6 com amplitude de 170 V e frequéncia igual a 600 Hz aplicada removido Explique através do capacitor e produz uma corrente com amplitude de Q3115 Um circuito consiste em uma lampada um capacitor 0850 A através do capacitor Qual 0 valor da capacitancia C e um indutor conectados em série a uma fonte ca E possivel necessdria que tanto o capacitor quanto o indutor sejam removidose quea 318 a Calcule a reatancia de um indutor de 0450 H para luminosidade da lampada permanega inalterada Explique frequéncias de 600 Hz e 600 Hz b Calcule a reatancia de um Q3116 E possivel usar um transformador ligandoo a uma capacitor de 250 pF para as mesmas frequéncias c Para qual fonte cc Explique O que ocorreria se vocé ligasse um trans frequéncia a reaténcia de um indutor de 0450 H possui valor formador projetado para 120 V ca em uma fonte de 120 V cc igual ao da reatancia de um capacitor de 250 F 404 Fisica lll 319 a Qual é a reatancia de um indutor de 300 H parauma Secao 314 Poténcia em circuitos de frequéncia de 800 Hz b Qual é a indutancia de um indutor corrente alternada cuja reatincia é igual a 120 O em 800 Hz c Qual éareatincia 3118 Um resistor com R 300 0 e um indutor sao conec de um capacitor de 400 wF em uma frequéncia de 800 Hz d tados em série por uma fonte ca com amplitude de tensao igual Qual é a capacitdncia de um capacitor cuja reatancia é igual a 4500 V A taxa com que a energia elétrica dissipada no resistor 120 O em 800 Hz é de 286 W Quais sdo a a impedancia Z do circuito b a am 3110 Indutor de um radio Vocé deseja obter uma ampli plitude da tensao no indutor c o fator de poténcia tude de corrente igual a 180 mA passando através de um indutor 3119 Ap otencia de determinado aparelho de CD que opera de 0450 mH uma parte de um circuito de um receptor de radio com uma tensao eficaz de 120 V igual a 200 W Supondo que o gant aparelho de CD se comporte como uma resisténcia pura calcule quando uma voltagem senoidal com amplitude de 120 V é apli Sl Ct as os a a poténcia instantanea maxima b a corrente eficaz c a cada nos terminais do indutor Qual é a frequéncia necessaria an a resisténcia desse aparelho 3111 Um indutor de 0180 H esté conectado em série com ae de 900 0 f A vol sd 3120 Os componentes de um circuito LRC em série pos um resistor uma fonte ca A voltagem atraves do suem os seguintes valores L 200 mH C 140 nFe R indutor vi 120 V sen480 rads4 a Deduza uma 350 O gerador possui tensao eficaz de 120 V e frequéncia de expressao para a voltagem v através do resistor b Qual 0 125 kHz Determine a a poténcia fornecida pelo gerador e b valor de vg em t 200 ms a poténcia dissipada no resistor 3112 Um resistor de 250 Q conectado em série aumca 3424 a Mostre que para um circuito LRC em série 0 pacitor de 480 j4F A voltagem nos terminais do capacitor édada fator de poténcia é igual a RZ b Um circuito LRC em série por Uc 760 V sen120 radst a Determine a reatancia possui Angulo de fase de 315 A amplitude de tensao da fonte capacitiva do capacitor b Deduza uma expressao para a volta igual a 900 V Qual é a amplitude de tensao no resistor gem Up através do resistor 3122 a Use os resultados da parte a do Exercicio 3121 3113 Umresistor de 150 0 é conectado em sérieaumindu para mostrar que a poténcia média fornecida pela fonte é dada tor de 0250 H e uma fonte ca A tensao nos terminais do resistor por Pmeq Tam R b Um circuito LRC em série possui R Up 380 V cos 720 radsf a Deduza uma expressio 960 0 e a amplitude da tens4o através do resistor é 360 V Qual para a corrente no circuito b Determine a reatancia indutiva a poténcia média fornecida pela fonte do indutor c Deduza uma expressio para a voltagem v nos 3123 Um circuito LRC em série com L 0120 H R terminais do indutor 240 01 e C 730 wF conduz uma corrente eficaz de 0450 A com oo uma frequéncia igual a 400 Hz a Calcule 0 angulo de fase e o Segao 3130 clrculto LR Cc em serie fator de poténcia do circuito b Qual é a impedancia do circuito 3114 Vocé dispde de um resistor de 200 0 de um indutor c Qual é a tensAo eficaz da fonte d Qual é a poténcia média de 0400 H e de um capacitor de 600 jzF Suponha que vocé faga fornecida pela fonte e Qual é a taxa média de conversiio de um circuito em série ligando o resistor e o indutorcomumafonte energia elétrica em energia térmica no resistor f Qual é a taxa de tensao com amplitude de voltagem igual a 300 Ve frequéncia média da conversdo de energia elétrica em outras formas de angular igual a 250 rads a Qual é a impedancia do circuito energia no capacitor g E no indutor b Qual é a amplitude da corrente c Calcule as amplitudes das 3124 Um circuito LRC em série é conectado a uma fonte voltagens através do resistor e do indutor d Qual 0 Angulo de ca de 120 Hz cuja tensao eficaz dada por Vg 800 V O cir fase da voltagem da fonte em relacio A corrente A voltagem da cuito possui uma resisténcia de 750 0 e uma impedancia igual fonte est4 atrasada ou adiantada em relacao a corrente e Faga 2 105 para essa frequéncia Qual a poténcia média fornecida um diagrama de fasores ao circuito pela fonte 3115 O resistor o indutor 0 capacitor e a fonte de tensao 3125 Umcircuito ca em série contém um resistor de 250 do Exercicio 3114 sao conectados formando um circuito LRC um indutor de 15 mH um capacitor de 35 WF e uma fonte de em série a Qual é a impedancia do circuito b Qual é a am potencia ca com amplitude de tensao igual a 45 V que opera a plitude da corrente c Qual é 0 angulo de fase da voltagem da ume frequéncia angular de 360 rads a Qual fator de Po f 8 4 téncia desse circuito b Determine a poténcia média fornecida onte em relac4o a corrente A voltagem da fonte esta adiantada a ae x para todo o circuito c Qual é a poténcia média fornecida para ou atrasada em relac4o 4 corrente d Calcule as amplitudes O resistor 0 capacitor e o indutor das voltagens através do resistor do indutor e do capacitor e Explique como a amplitude da tensdo entre as placas do capacitor Secao 315 Ressonancia em circuitos de pode ser maior que a amplitude da voltagem através da fonte corrente alternada 3116 Vocé dispde de um resistor de 200 0 de um indutorde 3126 Emumcircuito LRC em série a fonte operada em 0900 H de um capacitor de 600 uF e uma fonte de tensio com SUA frequéncia angular ressonante Nessa frequéncia a reatancia amplitude de tenso de 300 V e frequéncia angular de 250 rads Xc do capacitor 200 Me a amplitude de tensao pelo capacitor goa ox é de 600 V O circuito possui R 300 Qual é a amplitude de todos conectados em série a Quais so os valores de v Up Uy vcemt 200 ms Compare vg Uy UC comvu nesse instante tensao da fonte 5S al de V Vy 9 C V V 1 3127 Analisando um circuito LRC Vocé tem um resistor b Quais sao os valores Ce PR TLE VCs OMPAre COM VR de 200 um indutor de 0400 H um capacitor de 500 wF e uma Vi Vc Explique por que essas duas quantidades nao Sao 1guals fonte ca de frequéncia varidvel com uma amplitude de 300 V 3117 Em um circuito LRCem série a voltagem eficaz atra Vocé conecta todos os quatro elementos para formar um circuito vés do resistor igual a 300 V através do capacitor igual a em série a Em que frequéncia a corrente no circuito sera maior 900 V e através do indutor igual a 500 V Qual a voltagem Qual sera a amplitude de corrente nessa frequéncia b Qual sera eficaz da fonte a amplitude de corrente em uma frequéncia angular de 400 rads Capitulo 31 Corrente alternada 405 Nessa frequéncia a voltagem na fonte esta adiantada ou atrasadafornecer 120 V valor eficaz a um dispositivo eletr6nico porta em relacdo 4 corrente til A resisténcia de carga no secundario é igual a 50 a Qual 3128 Um circuito LRC em série é construido com um re a razao entre o ntimero de espiras do primario e 0 ntimero de sistor de 175 Q um capacitor de 125 wF e um indutor de 800 espiras do secundario desse transformador b Qual é 0 valor mH todos conectados através de uma fonte ca com frequéncia eficaz da corrente fornecida pelo secundario c Qual é a potén varidvel e uma amplitude de tensao de 250 V a Em qual fre cia média fornecida para a carga d Que resisténcia deveria ser quéncia angular a impedancia atingira seu valor minimo e qual conectada diretamente na fonte de 120 V para que ela consumisse é a impedancia nessa frequéncia b Na frequéncia angular no a mesma poténcia fornecida ao transformador Mostre que esse item a qual é a corrente maxima que passa pelo indutor c valor é igual a 50 0 vezes o quadrado da raz4o entre o nimero Na frequéncia angular do item a calcule a diferenga de poten de espiras do primario e 0 nimero de espiras do secundario cial através da fonte ca do resistor do capacitor e do indutor 3136 Um transformador para elevar a tensao Um trans no instante em que a corrente é igual 4 metade de seu maior formador conectado a uma fonte ca de 120 V valor eficaz deve valor positivo d No item c como as diferengas de potencial fornecer 13000 V valor eficaz para um antncio de ne6nio através do resistor do indutor e do capacitor estao relacionadas Para prevenir o risco de choque um fusivel é inserido no circuito a diferenga de potencial através da fonte ca primario o fusivel deve se fundir se a corrente eficaz superar 3129 Em um circuito LRC em série R 300 0 L 0 valor de 850 mA no secundario a Qual é a razdo entre o 0400 He C 600 x 10 F Quando a fonte ca opera na numero de espiras do primario e 0 nimero de espiras do secun frequéncia de ressonancia do circuito a amplitude da corrente dario desse transformador b Qual é a poténcia fornecida para igual a 0500 A a Qual é a amplitude de tensdo da fonte b 0 transformador quando a corrente eficaz no secundario é de Qual é a amplitude de tensfo através do resistor do indutore 850 mA c Qual deve ser a corrente maxima do fusivel inserido do capacitor c Qual é a poténcia média fornecida pela fonte no circuito primario 3130 Umcircuito LRC em série consiste em uma fonte com amplitude de tensao de 120 V e frequéncia angular de 500 rads um resistor com R 400 Q um indutor com L 300 He um PROBLEMAS capacitor com capacitdncia C a Para qual valor de C a ampli 3137 Uma bobina possui uma resisténcia de 480 Para uma tude da corrente no circuito seré maxima b Quando C tiver frequéncia de 800 Hz a tensdo através da bobina esta adiantada o valor calculado no item a qual seré a amplitude de tensio 523 em relacao a corrente Determine a indutancia da bobina através do indutor 3138 Quando um solenoide esté conectado a uma bateria 3131 Em um circuito LRC em série R 150 0 L cc de 480 V com resisténcia interna desprezivel a corrente no 0750 He C 00180 uF A fonte possui uma amplitude de solenoide é de 550 A Quando esse solenoide é conectado a uma tensao V 150 V e uma frequéncia igual 4 frequéncia de resso fonte ca com uma amplitude de tensio de 480 V e frequéncia nancia do circuito a Qual o fator de poténcia b Qual a angular de 200 rads a corrente no solenoide é igual a 360 A poténcia média fornecida pela fonte c O capacitor é substituido Qual a indutncia desse solenoide por outro com C 00360 BE e a frequéncia da fonte é ajustada 3139 Umcircuito LRC em série possui C 480 uF L para 0 novo valor da ressonancia Qual é entéo a nova poténcia 0520 H e amplitude de tensao na fonte V 560 V A fonte média fornecida pela fonte frequéncia de ressonancia do circuito Se a tensao no 3132 Emumcircuito LRC em série R 400 Q L 0350 opera na 4d 2 He C 00120 pF a Qual é a frequéncia angular de resso capacitor possu amplitde de 800 V qual 0 valor de R para o nancia do circuito b O capacitor pode suportar uma tensao resistor no circulto ee es maxima de 670 V Supondo que a fonte esteja operando com 3140 Cinco voltimetros com impedancia infinita calibrados a frequéncia de ressonancia qual é a amplitude de tensao ma P ara medir 0 valor eficaz da tensao sao conectados conforme xima que ela pode ter para que a voltagem do capacitor nao seja indicado na Figura P3140 Seja R 200 L 0400 H C excedida 60 uF e V 300 V Qual é a leitura de cada voltimetro quando 3133 Em um circuito LRC em série L 0280 He C a 200 rads b 1000 rads 40 wF A amplitude da voltagem da fonte é igual a 120 V a Figura P3140 Qual é a frequéncia angular de ressonancia do circuito b Quando a fonte opera com a frequéncia angular de ressonancia a amplitude da corrente no circuito é de 170 A Qual é a resistén cia R do resistor c Na frequéncia angular de ressonancia quais sao os valores maximos das voltagens nos terminais do indutor ele do capacitor e do resistor a ey b Secao 316 Transformadores 3134 Partiu Europa Sua amiga pretende levar um secador pO de cabelo para a Europa onde as tomadas elétricas geram uma tensao de 240 V em vez dos 120 V comumente usados no Brasil O secador gera 1600 W a 120 V a O que vocé deve fazer para fazer o secador funcionar em 240 V na Europa b Qual é a cor rente consumida pelo secador na Europa c Qual é a resisténcia que o secador parece ter quando opera a 240 V 3141 PC Umcapacitor de placas paralelas contendo placas 3135 Um transformador para abaixar a tensdo Um trans quadradas de 450 cm em cada lado com 800 mm de separacaio formador conectado a uma fonte ca de 120 V valor eficaz deve entre elas colocado em série com o seguinte uma fonte ca 406 Fisica Ill com frequéncia angular de 650 rads e amplitude de tenséo de tomada através do capacitor do circuito LRC em série Deduza 225 V um resistor de 750 Q e um solenoide idealcom900cm uma expressio para VsaidaVs a raz4o entre a amplitude da tensio de extensAo uma segao reta circular de 0500 cm de diametroe na saida e a amplitude da tenso da fonte em fungao da frequén contendo 125 espiras por centimetro Qual éa frequéncia angular cia angular w da fonte Mostre que quando w é grande essa razao de ressonancia desse circuito Ver Exercicio 3015 é proporcional aw e portanto muito pequena e mostre que 3142 e PC Um solenoide toroidal possui 2900 espiras en ela tende a no limite de frequéncias baixas roladas bem préximas area de segdo reta igual a 0450 cm 3 ralo Figura P3148 médio de 900 cm e resisténcia R 280 Ignore a variagao do campo magnético pela secAo reta do solenoide Qual é a am plitude da corrente no solenoide se ele estiver conectado a uma fonte ca com amplitude de tensao igual a 240 V e frequéncia V Cc Voaida de 495 Hz R L 3143 Um circuito em série possui uma impedancia de 600 e um fator de poténcia igual a 0720 em 500 Hz A tensao da fonte esta atrasada em relacao a corrente a Que elemento de 3149 e Umcircuito LRC em série é conectado a uma fonte circuito um indutor ou um capacitor deve ser ligado em serie cacomuma amplitude de tensao V constante e frequéncia angular com 0 circuito para fazer aumentar seu fator de poténcia b varidvel w a Mostre que a amplitude da corrente em funciio de Qual deve ser 0 valor desse elemento para que o fator de poténcia w dada por seja igual a 1 3144 Uma bobina grande de um eletroima esta conectada a l v uma fonte ca de 120 Hz A bobina possui resisténcia de 400 0 e VR wL 1wC 2 para essa frequéncia da fonte a bobina apresenta reatancia indu tiva igual a 250 a Qual é a indutancia da bobina b Qual b Mostre que a poténcia média dissipada no resistor é deve ser a tensfo eficaz da fonte sabendo que a bobina consome uma poténcia elétrica média de 450 W p VR2 3145 ee Em um circuito LRC em série R 300 0 Xc R2 wl 1wC 300 1 e X 500 A poténcia elétrica média consumida no resistor 600 W a Qual 0 fator de poténcia do circuito b c Mostre que Je P so ambos maximos quando w 1 VLC Qual é a tensao eficaz da fonte ou seja quando a frequéncia da fonte é igual 4 frequéncia de 3146 Para uma frequéncia w a reat4ncia de um certo capa ressonancia do circuito d Faga um grafico de P em fungao de w citor é igual A reatAncia de um certo indutor a Se a frequéncia paraV 100 V R 200Q L 20 He C 050 wF Compare variar para w 2 qual deverd ser a razio entre areatincia 0 resultado com a curva indicada com o distico de 200 1 na do indutor e a reat4ncia do capacitor Qual das duas reatancias é Figura 3119 Discuta 0 comportamento de J e de P nos limites a maior b Se a frequéncia variar para w w3 qual sera Dw razao entre as reatAncias do indutor e do capacitor Qual das duas 3150 eee Um circuito LRC em série é conectado a uma fonte reatncias é a maior c Se 0 capacitor e 0 indutor fossem co 4 que possui uma amplitude de voltagem constante Ve frequén nectados em série com um resistor de resisténcia R para formar angular variavel w Usando os resultados do Problema 3149 ss fet Anat desenvolva uma expresso para a a amplitude V da voltagem um circuito LRC em série qual seria a frequéncia angular du f A oo através do indutor em fungao de w b a amplitude V da volta rante a ressonancia do circuito oo gem através do capacitor em fungao de w c Facga um grafico 3147 Um filtro passaalta Uma aplicagao do circuito de V ede Veem funcao de w para V 100 V R 2002 L LRC em série consiste no uso de um filtro passaalta ou de um filtro passabaixa que filtram respectivamente os componentes ve H ee a 050 Br a Discute ne an ore dle ke e de de baixa frequéncia ou os componentes de alta frequéncia de um ve OC ites On e Fara qual valor de obtemos eo 7 Vc Qual é 0 significado desse valor de w determinado sinal Um filtro passaalta é indicado na Figura 3151 Emum circuito LRC em série o médulo do Angulo P3147 em que a tensao de saida tomada atraves da combina de fase é igual a 540 com a voltagem da fonte atrasada em rela gao LR A combinagao LR representa uma bobina de indugao ao a corrente A reatancia do capacitor é de 350 0 e a resisténcia que também possui uma resistencia pois seu enrolamento um do resistor é de 180 0 A poténcia média fornecida pela fonte é fio com um comprimento muito grande Deduza uma expres igual a 140 W Calcule a a reatancia do indutor b a corrente sao para VeaidaVs a Tazo eficaz c a tensdo eficaz da fonte entre a amplitude da tensao Figura P3147 3152 Em um circuito LRC em série 0 Angulo de fase é na saida e a amplitude da igual a 400 com a voltagem da fonte adiantada em relacao a tensdo da fonte em fungado corrente A reatancia do capacitor é de 400 0 e a resisténcia do da frequéncia angular w da V Cc resistor é de 200 A poténcia média fornecida pela fonte é igual fonte Mostre que quando w R L a 150 W Calcule a a reatancia do indutor b a corrente eficaz pequena essa razao pro c a tensao eficaz da fonte porcional a e portanto é Veaiaa 3153 Um circuito LRC em série possui R 500 0 L pequena e mostre que ela 200 H C 0500 wF e V 100 V a Para w 800 rads cal tende a 1 no limite de fre cule Vr Vr Vce Usando um tinico conjunto de eixos faga um quéncias altas grafico de v Up Ut Uc em fungao do tempo Inclua dois ciclos 3148 Um filtro passabaixa A Figura P3148 mostraum de v em seu grAafico b Repita 0 item a para w 1000 rads filtro passabaixa veja o Problema 3147 a tensao de saida é c Repita o item a para w 1250 rads Capitulo 31 Corrente alternada 407 3154 O circuito LRC em paralelo Um resistor um in 3160 Em um circuito ca LRC em série a fonte possui dutor e um capacitor sao ligados em paralelo com uma fonte ca uma amplitude de tensao de 240 V R 900 Qe a reatancia com amplitude de voltagem V e frequéncia angular w Suponha do indutor é igual a 320 Q A amplitude de tensao no resistor é que a voltagem da fonte seja dada por v V cos wt a Mostre igual a 135 V a Qual é a amplitude de corrente no circuito b que a voltagem instantanea nos terminais de cada elemento vp Qual éa amplitude de tensdo através do indutor c Quais sio os vy Uc em qualquer instante é a mesma da fonte ve queiig dois valores que a reatAncia do capacitor pode ter d Para qual i ic em que i a corrente que passa na fonte e ig i ic S40 dos dois valores encontrados no item c a frequéncia angular é as correntes que passam no resistor no indutor e no capacitor menor que a frequéncia angular de ressonancia Explique respectivamente b Quais sao as fases de ig ie ic emrelagao 3161 Umaresisténcia R uma capacitancia C e uma indutin av Use fasores para representar as correntes i ig i ic Sobre cia L so ligadas em série a uma fonte de tensféo com amplitude o diagrama de fasores mostre as fases dessas quatro correntes Ye frequéncia angular varidvel w Sendo w wo a frequéncia em relagao a v c Use o diagrama de fasores do item b para angular da ressonAncia calcule a a corrente maxima no resis mostrar que a amplitude da corrente J para a corrente i que passa tor b a voltagem maxima através do capacitor c a voltagem na fonte é dada por J V72 Uc 11 d Mostre que 0 nxima através do indutor d a energia m4xima armazenada no resultado do item c pode ser escrito na forma J VZ com capacitor e a energia maxima armazenada no indutor Forneca UZ VIR oC 1oL suas respostas em funcao de R C Le V 3155 A impedancia em um circuito LRC em paralelo foi 3462 Largura da ressonancia Considere um circuito deduzida no Problema 3154 a Mostre que na ressonancia 4 LRC em série com um indutor de 180 H um capacitor de frequéncia angular wp 1VLC a impedancia Zé magna 9900 LF e um resistor de 300 2 A fonte possui uma voltagem portanto a corrente que passa pela fonte ca é minima b Um as ws resistor de 100 Q um capacitor de 0100 F e um indutor de eficaz Vom 600 Veuma frequencia angular varidvel w a 0300 H estado conectados em paralelo a uma fonte de tensao com Qual a frequéncia angular de ressonancia ao do circuito b amplitude de 240 V Qual é a frequéncia angular de ressonancia Qual o valor eficaz da corrente que passa no circuito Jqmo na Para esse circuito na frequéncia de ressonancia qual c acor Tessonancia c Quais sao os dois valores 2 da frequéncia rente maxima através da fonte d acorrente méxima no resistor de ressonancia para os quais a corrente eficaz igual 4 metade e acorrente méxima no indutor f a corrente méxima no ramo do valor da corrente durante a ressonancia d O valor lw que contém o capacitor define a largura da ressondncia Calcule Ign a largura 3156 Um resistor de 400 0 e um capacitor de 600 uF estéo da ressonancia para R 300 Q 300 Q e 300 Discuta como conectados em paralelo com um gerador ca que fornece uma seus resultados se comparam com os resultados da Segiio 315 tensAo eficaz de 180 V para uma frequéncia angular de 360 rads 3163 Um circuito LRC em série consome 220 W de uma Use os resultados do Problema 3154 Observe que como ndo linha ca de 120 V valor eficaz com 500 Hz O fator de poténcia existe indutor no circuito o termo 1wL nao esta presente naex é igual a 0560 e a voltagem da fonte esta adiantada em relacio a pressao de 1Z Calcule a a amplitude da corrente no resistor corrente a Qual é a resisténcia total R do circuito b Calcule b a amplitude da corrente no capacitor c o Angulo de faseda a capacitdncia de um capacitor em série capaz de produzir no corrente da fonte em relagao a tensao da fonte d a amplitude da circuito um fator de poténcia igual a 1 quando ele é conectado corrente através do gerador e A corrente da fonte esta atrasada ao circuito original c Qual é a nova poténcia consumida da ou adiantada em relagao 4 voltagem da fonte fonte de alimentaciio 3157 eee Um circuito LRC em série consiste em um capaci 3464 DADOS Uma colega sua estava fazendo medigGes de tor de 250 uF um indutor de 500 mH e um resistor de 750 um solenoide conectado a uma fonte de tensdo ca Infelizmente conectados através de uma fonte ca com amplitude de voltagem 4 saiu de férias antes de concluir a andlise e seu chefe lhe igual a 150 Vv e frequéncia variavel a Sob quais circunstancias pediu para terminar Vocé possui um grafico de 17 em funcao a poténcia media fornecida a0 carcuto equivale a2 Vgméqm de w Figura P3164 onde J é a corrente no circuito e w é a Sob as condigoes no item a qual a potencia média fornecida frequéncia angular da fonte Uma nota colada ao grafico diz que acada elemento de circuito e qual a corrente maxima que passa a amplitude de tenso da fonte foi mantida constante em 120 V pelo capacitor Calcule a resisténcia e a indutancia do solenoide 3158 Um circuito LRC em série possui R 600 0 L 0800 H e C 300 X 10F A fonte ca possui uma amplitude Figura P3164 de tensao igual a 900 V e frequéncia angular de 120 rads a VPA2 Qual é a energia maxima armazenada no indutor b Quando a 230 energia armazenada no indutor é maxima quanta energia esta armazenada no capacitor c Qual é a energia maxima armaze 190 nada no capacitor 150 3159 Em um circuito LRC em série a fonte possui uma amplitude de voltagem igual a 120 V R 800 Q e a reatancia 110 do capacitor é de 480 A amplitude de tensao nos terminais 3d do capacitor é igual a 360 V a Qual é a amplitude da corrente 70 0 1000 2000 3000 4000 rads no circuito b Qual é sua impedancia c Quais sao os dois valores da reatancia do indutor d Para qual dos dois valores 3465 e DADOS Vocé esta analisando um circuito ca que que vocé encontrou no item c a frequéncia angular é menor que contém um solenoide e um capacitor em série com uma fonte ca a frequéncia angular da ressonancia Explique que possui amplitude de tensdo de 900 V e frequéncia angular w 408 Fisica Ill Para diferentes capacitores no circuito cadaumcomcapacitancia da resistncia e use os resultados como o valor de R no restante conhecida vocé mede o valor da frequéncia we paraa quala da anilise b Use os dados em 80 Hz e 160 Hz para calcular a corrente no circuito é maxima Vocé desenha seus valores medi indutancia L e a capacitancia C do circuito c Qual é a frequén dos em um grafico de res EM fungao de 1C Figura P3165 cia de ressonancia para o circuito e quais séo a impedancia e 0 Vocé nota que a corrente maxima para cada valordeC éamesma Angulo de fase da frequéncia de ressonancia igual a 450 A Calcule a resisténcia e a indutancia do solenoide Figura P3165 PROBLEMAS DESAFIADORES Wre2 104 rad2s 3167 CALC Em um circuito LRC em série a corrente é 300 dada por i J cos wt As amplitudes das voltagens através do 250 resistor do indutor e do capacitor sfo respectivamente Vp Vr e Vc a Mostre que a poténcia instantanea através do resistor 200 é dada por pr Val cos wt 5 Ve I 1 cos2t O que essa 150 expressfo fornece para a poténcia média através do resistor b 100 Mostre que a poténcia instantanea através do indutor é dada por toed PL VIsenat cos wat 7VIsen 2at O que essa expressio 034 00 200 300 400 500 1C 10 F fornece para a poténcia média através do indutor c Mostre Oe que a poténcia instantanea através do capacitor é dada por pc 3166 DADOS Vocé recebe esta tabela de dados registra Vcsen wtcos wt pVcl sen 2 O que essa expressao fornece dos para um circuito com um resistor um indutor com resisténcia Para a poténcia média através do capacitor d Na Segao 314 desprezivel e um capacitor todos em série com uma fonte de Verificamos que a potncia instantanea fornecida pela fonte tensiao ca dada por p VI cos wt cos cos wt sen d sen wt Mostre que em qualquer instante o valor de p é dado pela soma pr 80 160 Pit De 3168 CALC a Para qual frequéncia angular a amplitude da voltagem através do resistor atinge seu valor maximo em um circuito LRC em série b Para qual frequéncia angular a am Aqui f a frequéncia da fonte de tensdo Z a impedancia do plitude da voltagem através do indutor atinge seu valor maximo circuito e o Angulo de fase a Use os dados nas duas fre c Para qual frequéncia angular a amplitude da voltagem através quéncias para calcular a resisténcia do resistor Dica use os re do capacitor atinge seu valor m4ximo Talvez seja conveniente sultados do Exercicio 3121 Calcule a média desses dois valores yocé usar como referéncia o Problema 3149 Problemas com contexto BIO CONVERTENDO CC EM CA Uma célula individual potencial elétrico que 0 eletrodo mede em relagao a um eletrodo como um 6évulo produzido nos ovarios normalmente é orga de referéncia distante também varia senoidalmente A diferenga nizada espacialmente conforme manifestado em parte pelas de potencial cc entre os dois extremos os dois pontos no fluido assimetrias na membrana celular Essas assimetrias incluem dis é ento convertida em uma diferenga de potencial ca em forma tribuigdes nao uniformes de mecanismos de transporte de iono de onda de seno O eletrodo de platina se comporta como um que resulta em uma corrente elétrica resultante entrando poruma capacitor em série com a resisténcia do fluido extracelular Essa regiao da membrana e saindo por outra Essas correntes celula resistncia chamada resisténcia de acesso Ra possui um valor res uniformes podem regular a polaridade celular levando no de cerca de p10a onde p é a resistividade do fluido normal caso dos é6vulos a polaridade embrionaria portanto os cientistas mente expressaem 0 cm e a é 0 raio do eletrodo em forma de estao interessados em medilas esfera A esfera de platina normalmente possui um didmetro de Essas correntes celulares se movem em malhas através do fluido 20 me uma capacitancia de 10 nF a resistividade de muitos extracelular A lei de Ohm requer que haja diferengas de vol fluidos bioldgicos é 100 Q cm tagem entre dois pontos quaisquer nesse fluido que transporta 3169 Qual é a impedancia cc do eletrodo supondo que ele se corrente ao redor das células Embora as correntes possam ser comporte como um capacitor ideal a 0 b infinita c V2 X significativas as diferencas de voltagem extracelulares sio mi 104 d V2 x 10 nusculas na ordem de nanovolts Se pudermos mapear as di 3170 Seo eletrodo oscila entre dois pontos afastados em 20 wm ferencas de voltagem no fluido fora de uma célula poderemos a uma frequéncia de 500077Hz qual é a impedancia do ele calcular a densidade de corrente usando a lei de Ohm supondo trodo a 0 b infinita c V2 x 104 Q d V2 x 10 que a resistividade do fluido seja conhecida Nao podemos medir 3171 O sinal do eletrodo oscilante é alimentado em um am essas diferengas de voltagem espacando dois eletrodos por 10 ou plificador que informa a tenséo medida como um valor eficaz 20 yum pois a impedancia cc a resisténcia desses eletrodos é alta 15 nV Qual é a diferenga de potencial entre os dois extremos e 0 ruido inerente nos sinais detectados nos eletrodos ultrapassa a 15 nV b 30 nV c 21 nV d 42 nV bastante as voltagens celulares 3172 Se a frequéncia em que o eletrodo oscila for aumentada Um método de medicao bemsucedido utiliza um eletrodo com para um valor muito elevado a impedancia do eletrodo a apro uma ponta em forma de esfera feita de platina que é movida ximase do infinito b aproximase de zero c aproximase de senoidalmente entre dois pontos no fluido fora de uma célulaO um valor constante mas diferente de zero d nao varia Capitulo 31 Corrente alternada 409 RESPOSTAS Resposta a pergunta inicial do capitulo e 0 resistor 0 circuito se assemelha ao indicado na Figura 317a Resposta iv O radio detecta simultaneamente as transmis entao J VR 50 V300 Q 017 A Quando 0 resistor e 0 sdes em todas as frequéncias Entretanto um radio est4em um capacitor sao removidos de modo que restem somente a fonte ca circuito LRC em série e em um dado instante qualquer ele e 0 indutor 0 circuito se assemelha ao indicado na Figura 318 sintonizado para ter uma ressonancia em uma Unica frequén entaéo J VX 50 V600 Q 0083 A Finalmente quando cia Logo a resposta do radio a essa frequéncia é muito maior o resistor e o indutor s4o removidos de modo que restem somente que sua resposta a qualquer outra frequéncia motivo pelo qual a fonte ca e 0 capacitor 0 circuito se assemelha ao indicado na vocé ouve somente uma estac4o transmissora pelo altofalante Figura 319a entéo J VX 50 V200 025 A do radio As vezes vocé pode ouvir uma segunda estagéo caso 314 Respostas a v b iv A energia nao pode ser ex a frequéncia dessa estac4o esteja suficientemente proxima afre traida do resistor visto que ela é dissipada em um resistor e nao quéncia sintonizada pode ser recuperada Em vez disso a energia deve ser extraida Respostas as perguntas dos testes do indutor que armazena a energia do campo magnético ou do de compreensao capacitor que armazena energia do campo elétrico A poténcia 311 Respostas a D b A c B d C Para cada fasor positiva significa que a energia esta sendo transferida da fonte a corrente real é representada pela projecdo desse fasor sobre 0 4 Para 0 circuito de modo que a poténcia negativa implica que eixo horizontal Todos os fasores giram no sentido antihorério 4 nergia esta sendo transferida de volta para a fonte em torno da origem com frequéncia angular w de modo que 315 Resposta ii A capacitancia C aumenta quando o es no instante indicado a projecdo do fasor A positiva porém Paamento entre as placas diminui veja a Segao 241 Logo a tendendo a zero a projecdo do fasor B é negativae se torna frequéncia de ressonancia fo wo2a 12 VLC diminui cada vez mais negativa a projegio do fasor C é negativa porém 316 Resposta ii iv i iii Pela Equagao 3135 a razao tendendo a zero a projecdo do fasor D positivae se tornacada de espiras N2N V2V de modo que o ntimero de espiras no vez mais positiva secundario é Nj N VV Portanto para os quatro casos temos 312 Respostas a iii b ii c i Para um resistor N2 100060 V120 V 50 espiras ti N2 1000 Vp IR portanto I VeR A amplitude da voltagem Vee a 240 V120 V 2000 espiras 1i1 Nz 100060 V resisténcia R nao variam com a frequéncia portanto a amplitude 240 V 25 espiras e iv Ny 1000120 V240 V da corrente permanece constante Para um indutor V IX 500 espiras Note que i iii e iv sao transformadores que IwL portanto I VwL A amplitude da voltagem V e a indu abaixam a tensdo com menos espiras no secundario que no pri tancia L sao constantes de modo que a amplitude da corrente MArio ao passo que ii um transformador que eleva a tensao diminui A medida que a frequéncia aumenta Para um capacitor mais espiras no secundario que no primario Vc IXc IwC portanto I VcwC A amplitude de voltagem Problema em destaque Vc e a capacitancia C sao constantes portanto a amplitude da a 835 X 10 rads e 319 X 10 rads corrente aumenta 4 medida que a frequéncia aumenta b Em 835 X 10 rads Vionte 495 V J 0132 A Ve 313 Resposta iv ii i iii Para o circuito no Exemplo 165 V V 165 V Vc 632 V 314 1 VZ 50 V500 2 010 A Quando o capacitore Em 319 X 10 rads Veonte 495 V J 0132 A o indutor séo removidos de modo que restem somente afonteca Vp 165 V Vi 632 V Vo 165 V 32 Objetos metálicos refletem não só a luz visível mas também as ondas de rádio Isso acontece porque na superfície de um metal i o componente do campo elétrico paralelo à superfície deve ser zero ii o componente do campo elétrico perpendicular à superfície deve ser zero iii o componente do campo magnético paralelo à superfície deve ser zero iv o componente do campo magné tico perpendicular à superfície deve ser zero v mais de uma dessas respostas é possível ONDAS ELETROMAGNÉTICAS OBJETIVOS DE APRENDIZAGEM Ao estudar este capítulo você aprenderá 321 Como são geradas as ondas eletromagnéticas 322 Como e por que a velocidade da luz está relacionada às constantes fundamentais da eletricidade e do magnetismo 323 Como descrever a propagação de uma onda eletromagnética senoidal 324 O que determina a quantidade de energia e momento linear transportada por uma onda eletromagnética 325 Como descrever as ondas eletromagnéticas estacionárias Revendo conceitos de 81 Momento linear 153 1 57 Ondas progressivas e ondas estacionárias em uma corda 164 Ondas de som estacionárias 234 Campo elétrico em um condutor 243 2 44 Densidade da energia elétrica permissividade de um dielétrico 281 2 88 Campo magnético de uma carga em movimento permeabilidade de um dielétrico 292 2 97 Lei de Faraday e equações de Maxwell 303 3 05 Densidade de energia magnética circuitos LC O que é a luz Por séculos essa pergunta foi feita pelos seres humanos sem que houvesse nenhuma resposta até a unificação da eletricidade com o magnetismo em uma única teoria conhecida como eletromag netismo cuja descrição é dada pelas equações de Maxwell Essas equações mostram que um campo magnético variável funciona como fonte de campo elétrico e que um campo elétrico variável funciona como fonte de campo magnético Esses campos e podem se sustentar mutuamente formando uma onda eletromagnética que se propaga através do espaço A luz visível emitida por um filamento de lâmpada incandescente é um exemplo de onda eletromagnética outros tipos de ondas eletromagnéticas são produzidos por estaçõesbase de wifi aparelhos de raios X e núcleos radioativos Neste capítulo usaremos as equações de Maxwell como a base teórica para o entendimento das ondas eletromagnéticas Mostraremos que essas ondas transportam energia e movimento linear Em ondas eletromagnéticas senoi dais os campos e variam senoidalmente com o tempo e com a posição com uma dada frequência e um dado comprimento de onda Os diversos tipos de ondas eletromagnéticas a luz visível o rádio os raios X e outras on das diferem entre si apenas pela frequência e pelo comprimento de onda Nosso estudo de óptica nos capítulos posteriores será baseado parcialmente na natureza eletromagnética da luz Diferentemente das ondas em uma corda ou do som se propagando em um fluido as ondas eletromagnéticas não precisam de um meio material para se propagar a luz de uma estrela que você vê em uma noite clara viajou sem nenhuma dificuldade por dezenas de anosluz através do espaço aproxima damente vazio Apesar dessa diferença as ondas eletromagnéticas e as ondas mecânicas possuem muitas características comuns e são descritas com base na mesma linguagem Antes de ler este capítulo seria conveniente fazer uma revisão das propriedades das ondas mecânicas discutidas nos capítulos 15 e 16 BookSEARSVol3indb 410 101115 709 PM Capitulo 82 Ondas eletromagnéticas 411 321 EQUACOES DE MAXWELL E ONDAS ELETROMAGNETICAS Em capitulos anteriores estudamos diversos aspectos de campos elétricos e magnéticos Aprendemos que quando os campos nao variam com 0 tempo como no caso de campos elétricos produzidos por cargas em repouso ou de campos mag néticos gerados por correntes estacionarias podemos analisar os campos elétricos e magnéticos separadamente sem considerar as interagdes entre esses campos Porém quando ocorrem variagdes dos campos com o tempo eles deixam de ser independentes A lei de Faraday veja a Sec4o 292 nos ensina que a variaca4o de um campo magnético produz um campo elétrico que se traduz pela fem induzida em transformadores e indutores A lei de Ampére incluindo o termo da corrente de deslocamento descoberta por Maxwell veja a Secao 297 mostra que um campo elétrico varidvel atua como uma fonte de campo magnético Essa interagéo mutua entre os dois campos é sintetizada completamente pelas equacgées de Maxwell apresentadas na Secao 297 Portanto quando um campo elétrico ou um campo magnético esta variando com o tempo ocorre uma indug4o do outro campo na regiao do espaco adjacente ao campo que esta variando Somos levados a considerar como Maxwell também considerou a possibilidade da ocorréncia de uma perturbacao eletromagnética constituida por campos elétricos e magnéticos variando com o tempo e que pode se propagar de uma regiao do espaco para outra mesmo quando n4o existe nenhuma matéria entre essas regides Tal perturbac4o caso exista deve apresentar as caracte risticas de uma onda e chaméla de onda eletromagnética é bastante apropriado Esse tipo de onda existe as ondas de radio e de televisao a luz os raios X e muitos outros tipos de radiago sao exemplos de ondas eletromagnéticas Nosso Figura 321 O fisico escocés James objetivo neste capitulo é mostrar como a existéncia de tais ondas est4 relacionada Clerk Maxwell 18311879 foi o aos princfpios basicos do eletromagnetismo que estudamos anteriormente e exa Primeiro pesquisador a entender verdadeiramente a natureza minar as propriedades dessas ondas fundamental da luz Ele também fez contribuigées importantes para a termodinamica a 6tica a Eletricidade magnetismo e luz astronomia e a fotografia em cores O entendimento te6rico das ondas eletromagnéticas na verdade seguiu um ca Albert Einstein descreveu seu Lo trabalho como a mais profunda e minho muito mais tortuoso do que 0 que acabamos de mencionar No inicio da 4 mais frutifera contribuicdo que a teoria eletromagnética no comego do século XIX dois sistemas diferentes de fisica recebeu desde os tempos unidades de carga elétrica eram usados um para problemas de eletrostatica e ou de Newton tro para fendmenos magnéticos envolvendo correntes Nos sistemas de unidades 7 a usados naquela época essas duas unidades de carga possuiam dimens6es fisicas 4 diferentes A dimenso da razdo entre essas duas grandezas era igual adimensio ae ee de velocidade e as medidas mostraram que essa razao possuia um valor numérico precisamente igual ao valor da velocidade da luz 30 x 10 ms Naquela época a os fisicos observaram que isso era uma extraordinaria coincidéncia e nao tinham UA como explicala y Pesquisando esse resultado Maxwell Figura 321 provou em 1865 que F uma perturbac4o eletromagnética poderia se propagar no espaco vazio com uma a velocidade igual 4 velocidade da luz e que a luz era provavelmente uma onda eletromagnética por natureza Ao mesmo tempo ele descobriu que os principios ee er basicos do eletromagnetismo podem ser descritos em quatro equagées que hoje sao alien conhecidas como equacédes de Maxwell discutidas na Segéo 297 Essas quatro equagoes sao 1 a lei de Gauss para os campos elétricos 2 a lei de Gauss para Os campos magnéticos mostrando a auséncia de monopolos magnéticos 3 a lei i de Faraday e 4 a lei de Ampére incluindo a corrente de deslocamento bE dA coe lei de Gauss 2918 ne 412 Fisica lll Figura 322 a Todo telefone os 5 celular emite sinais sob a forma de BdA 0 lei de Gauss para o magnetismo 2919 ondas eletromagnéticas que sao produzidas por cargas aceleradas en dp b Linhas de transmissao de Edl lei de Faraday 2920 energia elétrica transportam uma dt forte corrente alternada 0 que d significa que uma expressiva Bdl yo i ct co lei de Ampére 2921 quantidade de carga esta acelerando dt inte para a frente e para tras gerando ondas eletromagnéticas Essas ondas podem produzir um som semelhante Essas equacées se aplicam a campos elétricos e magnéticos no vdcuo Quando aum zumbido no radio do seu carro ym material est4 presente é necessdrio substituir as constantes elétrica ey e mag se vocé dirige proximo as linhas nética 49 pela permissividade e e pela permeabilidade yz do material Quando os a valores de e yz variam de um ponto para outro na regido de integragao entao e wx devem ser transferidos para o membro esquerdo das equagG6es 2918 e 2921 respectivamente e colocados dentro do sinal das respectivas integrais O valor c de na Equacao 2921 também deve ser incluido na integral que fornece dD dt De acordo com as equacées de Maxwell uma carga puntiforme em repouso produz um campo E estatico mas nao gera nenhum campo B enquanto uma carga puntiforme que se move com uma velocidade constante veja a Sec4o 281 produz tanto o campo E quanto 0 campo B As equacgdes de Maxwell também podem ser i usadas para mostrar que para uma carga puntiforme produzir ondas eletromagnéti cas necessario que a carga esteja acelerada De fato em cada situagao na qual a Re a energia eletromagnética é irradiada a fonte vem de cargas aceleradas Figura 322 b Geracao de radiacgao eletromagnética Um dos modos para fazer uma carga puntiforme emitir ondas eletromagnéticas consiste em fazéla oscilar com movimento harmGnico simples de maneira que ela possua uma aceleragao em quase todos os pontos de sua trajetéria a excegao ocorre quando a particula passa em sua posicado de equilibrio A Figura 323 mostra algumas linhas de campo elétrico produzidas por uma carga puntiforme oscilante As linhas de campo ndo sao objetos materiais porém pode ser util imaginalas como se fossem cordas que se estendem desde a carga puntiforme até o infinito Quando fazemos a carga oscilar para cima e para baixo produzemse ondas que se propagam a partir da carga através dessas cordas Observe que a carga nao emite ondas igualmente em todas as diregdes as ondas mais acentuadas se propagam em uma direcéo formando um Angulo de 90 com 0 eixo do movimento da carga ao passo que nao existe nenhuma onda se propagando ao longo do eixo da oscilacao Isso é exatamente 0 que o modelo das cordas indica Também existe uma per turbagéo magnética que se espalha para fora da carga e nao é indicada na Figura 323 Como as perturbacées elétricas e magnéticas se espalham ou se irradiam para fora da fonte podemos usar a expressao radiacaéo eletromagnética com 0 mesmo sentido de ondas eletromagnéticas Ondas eletromagnéticas com comprimentos de onda macroscépicos foram produzidas em laboratério pela primeira vez no ano de 1887 pelo fisico alemao Heinrich Hertz que deu nome a unidade de frequéncia no SI Como fonte ondula toria ele usou cargas oscilando em circuitos LC ver Secao 305 Hertz detectou as ondas eletromagnéticas resultantes usando outros circuitos sintonizados para a mesma frequéncia Ele também produziu ondas eletromagnéticas estaciondrias e mediu a distancia entre dois nds consecutivos meio comprimento de onda para determinar seu comprimento de onda Sabendo a frequéncia de ressonancia de seus circuitos ele entao determinou a velocidade da onda usando a relac4o entre com primento de onda e frequéncia v Af Desse modo verificou que a velocidade da onda eletromagnética era igual a velocidade da luz isso confirmava diretamente a previsado tedrica de Maxwell Capitulo 32 Ondas eletromagnéticas 413 Figura 323 Linhas do campo elétrico de uma carga puntiforme que oscila com movimento harm6nico simples vistas em cinco instantes durante um perfodo completo T da oscilagao As linhas de campo estado sobre o plano do desenho que contém a trajetéria da carga Para t 0 a carga puntiforme se move de baixo para cima e esta em sua posicgéo maxima A seta em cada parte da figura indica uma dobra nas linhas de E que se propagam para fora da carga puntiforme As linhas do campo magnético nao mostradas por maior clareza contém circunferéncias situadas em planos perpendiculares ao plano das figuras e sAo concéntricas ao eixo da oscilacao at 0 bt 74 ot 72 dt 374 tT O valor moderno da velocidade da luz que designamos pelo simbolo c é igual a 299792458 ms Recapitulando a Secdo 13 esse valor é a base do nosso pa drao de comprimento um metro é definido como a distancia que a luz viaja em 1299792458 segundo Para nossos propésitos c 300 x 10 ms suficien temente preciso Em prosseguimento a descoberta de Hertz Guglielmo Marconi e outros fi zeram as comunicacgoes por radio se tornarem uma realidade cotidiana Em um transmissor de radio cargas elétricas oscilam ao longo do comprimento de uma antena condutora produzindo perturbagdes de campos oscilantes semelhantes aos indicados na Figura 323 Visto que muitas cargas oscilam juntas em uma antena as perturbag6es sAo muito mais fortes que as produzidas por uma Unica carga os cilando e podem ser detectadas em distaéncias muito mais longas Em um receptor de radio a antena também é um condutor os campos das ondas que emanam de um transmissor distante exercem forgas sobre as cargas livres no interior da antena receptora produzindo uma corrente oscilante que é detectada e amplificada pelo circuito receptor Na maior parte do restante deste capitulo nossa preocupagao sera com as pro prias ondas eletromagnéticas e nao com o problema mais complexo de como elas sao produzidas Espectro eletromagnético O espectro eletromagnético abrange ondas eletromagnéticas de todas as fre quéncias e comprimentos de onda A Figura 324 mostra as faixas aproximadas de comprimento de onda e frequéncia para a parte do espectro mais comumente encontrada Apesar das grandes diferengas em seus usos e meios de produgao tratase de ondas eletromagnéticas com a mesma velocidade de propagacao no vacuo c 299792458 ms As ondas eletromagnéticas podem diferir em fre quéncia f e comprimento de onda A mas a relagéo c Af no vacuo se mantém AA para ca da uma TABELA 321 Comprimentos de onda de uma luz visivel Podemos detectar somente um pequeno segmento desse espectro diretamente através do nosso sentido da viséo Chamamos essa faixa de luz visivel Seus com De 380a450nm Violeta primentos de onda variam de cerca de 380 a 750 nm de 380 a 750 X 10 m com frequéncias correspondentes de aproximadamente 790 a 400 THz de 79 a 40 x 104 Hz Diferentes partes do espectro visivel evocam nos seres humanos as sensacoes de cores diferentes Os comprimentos de onda aproximados para cores no espectro visivel sao fornecidos na Tabela 321 De 620a750nm Vermelho 414 Fisica lll Figura 324 O espectro eletromagnético As frequéncias e os comprimentos de onda encontrados na natureza se estendem sobre um intervalo tao elevado que é necessario usar uma escala logaritmica para mostrar todas as bandas importantes Os limites entre as diversas bandas sao ligeiramente arbitrarios Comprimentos de onda em metros Radio Infravermelho mM Raios X P nisoons feta a 108 10 1090 101 102 103 104 105 Ql6 107 1018 109 1029 107 1022 Luz visiv Frequéncias em Hz BIO Aplicagao Visao As luzes brancas comuns incluem todos os comprimentos de onda visiveis En ultravioleta Muitos insetos e passaros tretanto usando fontes ou filtros especiais podemos selecionar uma faixa estreita podem ver comprimentos de onda de comprimento de onda dentro de uma faixa de alguns nm Essa luz é aproximada ultravioleta que os humanos nao mente monocromdatica de uma tinica cor Uma luz monocromatica absoluta com conseguem Como um exemplo a foto da aos 2 Looe ee esquerda mostra como as margaridas do um tinico comprimento de onda é uma idealizacgao inatingivel Quando usamos a género Rudbeckia so vistas por nds Afota Xpressao luz monocromatica com A 550 nm em referéncia a uma experiéncia da direita em falsa cor tirada com uma laboratorial na realidade queremos dizer uma pequena faixa de comprimento de camera sensivel ao ultravioleta mostra onda em torno de 550 nm A luz proveniente de um laser estA muito mais proxima como essas mesmas flores se parecem do monocromatico que a luz obtida de qualquer outra forma para as abelhas que as polinizar Observe Formas invisiveis de radiagao eletromagnética nao sao menos importantes que a 0 ponto central proeminente que nao é visvel aos humanos De modo semelhante luz visivel Nosso sistema de comunicagao global por exemplo depende das ondas muitos passaros com visao ultravioleta de radio a radio AM usa ondas com frequéncias de 54 10 Hza 16 X 10 Hz incluindo periquitos pardais e pavoes enquanto as transmissées de radio FM estio nas frequéncias de 88 X 10 Hza possuem padrdes de ultravioleta em seus 108 X 10 Hz As microondas também so usadas nas comunicacées por exem corpos 0 que os torna ainda mais vividos uns para com os outros do que a forma plo nos telefones celulares e nas redes sem fio e para radares meteoroldgicos em como se apresentam para nds frequéncias proximas de 3 X 10 Hz Muitas cameras possuem um dispositivo que emite um feixe de radiacao infravermelha analisando as propriedades da ra f diacgao infravermelha refletida do sujeito a camera determina a distancia dele e automaticamente ajusta o foco Os raios X sao capazes de penetrar a pele 0 que os torna inestimaveis na odontologia e na medicina Os raios gama 0 tipo de radiagao 7 eletromagnética com comprimento de onda mais curto so usados na medicina para os destruir células cancerigenas tC TESTE SUA COMPREENSAO DA SEGAO 321 a E possivel uma onda puramente elétrica 2 se propagar através do espaco vazio ou seja uma onda composta de um campo elétrico 4 porém sem campo magnético b E uma onda puramente magnética com campo magnético porém sem campo elétrico I 322 ONDAS ELETROMAGNETICAS PLANAS E A VELOCIDADE DA LUZ Agora estamos preparados para desenvolver as ideias basicas das ondas eletro magnéticas e suas relagdes com os principios do eletromagnetismo Nosso procedi mento sera postular uma configuraao de campo simples que possui comportamento ondulatério Vamos supor um campo elétrico E que possui apenas um componente y eum campo magnético B com apenas um componente z e admitir que ambos os campos se deslocam juntos ao longo do eixo Ox com uma velocidade c que nao conhecemos inicialmente A medida que prosseguirmos ficara claro por que escolhemos E e B perpendiculares a diregao da propagagao bem como perpendi Capitulo 832 Ondas eletromagnéticas 415 culares entre si A seguir vamos testar se esses campos sao fisicamente possiveis perguntando se eles sao consistentes com as equagdes de Maxwell particularmente com a lei de Ampére e com a lei de Faraday Verificaremos que a resposta é sim desde que c possua um determinado valor Mostraremos também que a equacdo de onda descrita no estudo das ondas mecanicas no Capitulo 15 pode ser deduzida usandose as equacgdes de Maxwell Uma onda eletromagnética plana simples Usando um sistema de coordenadas xyz Figura 325 imaginamos que 0 es Figura 325 Uma frente de onda paco inteiro seja dividido em duas regides por um plano perpendicular ao eixo Ox eletromagnética O plano que paralelo ao plano yz Em cada ponto a esquerda desse plano existe um campo Presenta a frente de onda se a a ays x3 desloca para a direita no sentido elétrico uniforme no sentido do eixo Oy e um campo magnético uniforme B we positivo de x com velocidade c no sentido do eixo Oz conforme indicado Além disso supomos que o plano da fronteira denominado frente da onda se desloca da esquerda para a direita ao longo y do eixo Ox com uma velocidade constante c ainda nao conhecida Logo EK e B E Frente de onda plana se deslocam da esquerda para a direita para regides previamente desprovidas de BY Eh campo com uma velocidade definida Essa situagao descreve de modo rudimentar Be AE uma onda eletromagnética Tal onda na qual em qualquer instante os campos sao Be E0 uniformes sobre qualquer plano perpendicular a diregao de propagacgao denomina i 0 B 0 se onda plana No caso indicado na Figura 325 os campos sao nulos para planos E i oo BY 5 E situados do lado direito da frente de onda e possuem os mesmos valores sobre os Be Ky planos situados do lado esquerdo da frente de onda mais adiante vamos considerar Be i ondas planas mais complexas 0 5 et sic No momento nao estamos preocupados com o problema da producdo efetiva eee eee eee SO uniformes sobre os planos atras da de tal configuragao de campo Em vez disso simplesmente perguntamos se ela é frente de onda porém sao nulos em consistente com as leis do eletromagnetismo ou seja com as equacdes de Maxwell todos os pontos situados na parte Inicialmente devemos verificar se a equacao de onda satisfaz a primeira e a se dianteira dela gunda equacao de Maxwell ou seja as duas leis de Gauss para os campos elétricos e magnéticos Para isso tomamos como superficie gaussiana uma caixa retangular com lados paralelos aos planos xy xz e yz Figura 326 No interior da caixa nao existe nenhuma carga elétrica O fluxo elétrico total e o fluxo magnético sao iguais a zero mesmo se parte da caixa estiver na regido em que E B 0 Esse ndo seria 0 caso se E ou B tivessem componentes ao longo do eixo Ox paralelos a direcdo de propagacao se a frente de onda estivesse dentro da caixa haveria um fluxo passando pelo lado esquerdo da caixa em x 0 mas nao pelo lado direito em x 0 Portanto para satisfazer as duas primeiras equagdes de Maxwell é necessario que 0 campo elétrico e o campo magnético sejam perpendiculares a direcgado de propagacao ou seja tratase de uma onda transversal A pr6xima equacdo de Maxwell a ser considerada é a lei de Faraday Figura 326 Superficie gaussiana para uma onda eletromagnética lana transversal ds P campo eletrico o mesmo na parte de Edl 321 O létrico é d dt cima e na parte de baixo da superficie vo Ca gaussiana portanto o fluxo elétrico total Para verificarmos se a onda satisfaz a lei de Faraday aplicamos essaleiaumre através da superficie é igual a zero tangulo efgh paralelo ao plano xy Figura 327a Como indica a Figura 327b para y uma sec4o reta no plano xy esse retangulo possui altura a e largura Ax No instante indicado a frente de onda avanga parcialmente através do retangulo e EF é zero ao longo do lado ef Para aplicarmos a lei de Faraday consideramos o vetor area dA 4 do retangulo efgh no sentido Oz Com essa escolha a regra da mao direita exige zB BID que a integral de EF dl seja feita no sentido antihordrio em torno do retangulo BB 6 Em cada ponto ao longo do lado ef FE é igual a zero Em cada ponto ao longo dos lados fg e he E é nulo ou perpendicular ao vetor dl Somente 0 lado gh contribui x para a integral Sobre esse lado E possui sentido oposto ao de dl e descobrimos 4 que o lado esquerdo da Equacao 321 é diferente de zero O campo magnético o mesmo nos lados esquerdo e direito da superficie gaussiana 5S 322 portanto o fluxo magnético total através Edl Ea da superficie é igual a zero 416 Fisica lll Figura 327 a Aplicacao da lei de Para satisfazer a lei de Faraday Equacgdo 321 deve haver um componente de Faraday para uma onda plana b B na diregao do eixo Oz perpendicular a EF de modo que nessa regiao exista um No intervalo de tempo dt o fluxo fl See A a uxo magnético através do retangulo efgh e uma derivada dDdt diferente magnético através do retangulo no plano xy cresce por dp que é de zero Na realidade em nossa onda B possui apenas o componente ao longo igual ao fluxo através do retangulo do eixo Oz Haviamos suposto que esse componente estava orientado no sentido sombreado de area igual aac dtou positivo do eixo Oz veremos se essa hipotese é consistente com a lei de Faraday he qe Bac dt Logo dD p Durante o intervalo de tempo df a frente de onda se desloca para a direita a uma PS 2ae distancia c dt na Figura 327b varrendo uma Area ac dt do retangulo efgh Durante a No intervalo dt a frente de onda esse intervalo o fluxo magnético Pz através do retangulo efgh cresce por dDz se desloca uma distancia c dt no Bac dt de modo que a taxa de variacgao do fluxo magnético é sentido positivo de x y d Bac 323 dt E 2 a x S 4 hE jz A Agora substituimos as equagoes 322 e 323 na lei de Faraday Equacao 321 BA Ry fF obtemos Ea Bac de modo que Bs gq BY Médulo do campo elétrico Modulo do campo magnético Onde eletromagnética 4 s a y i no vou S E cB Velocidade da luz 324 By By x Se Fosse 0 VACUO BBY a PC de ae Nossa onda so é consistente com a lei de Faraday quando a velocidade da onda c tal que os médulos de E e B sejam relacionados por meio da Equacao 324 b Vista lateral da situagao descrita Se tivéssemos escolhido para B o sentido negativo do eixo Oz surgiria um sinal no item a negativo adicional na Equacao 324 visto que E c e B sao grandezas positivas a y Ax solugao obtida seria impossivel Além disso qualquer componente de B ao longo do cdt kK eixo Oy paralelo a E nao contribuiria para o fluxo magnético varidvel Dp através ele f do retangulo efgh que paralelo ao plano xy e portanto nao seria parte da onda 2 4 y rT Finalmente vamos fazer um calculo semelhante usando a lei de Ampére a tl a ofa a tima equagao de Maxwell que restava Nao existe nenhuma corrente de condugao rte dA Jy ic 0 logo a lei de Ampére é dada por E B E0 e e e B0 d i dl poég 325 O dt Para verificarmos se nosso resultado consistente com a lei de Ampére ima ginemos agora que nosso retangulo esteja situado no plano xz Figura 328 e novamente examinamos a situacao no instante em que a frente de onda se deslocou parcialmente através do retangulo Consideramos 0 vetor area dA no sentido Oy Figura 328 a Aplicagao da lei de Ampére para uma onda plana Compare com a Figura 327a b No intervalo de tempo df 0 fluxo elétrico através do retangulo no plano xz cresce por um valor dz Esse aumento é igual ao fluxo através da area do retangulo sombreado ac dt ou seja dP Eac dt Portanto ddt Eac a No intervalo dt a frente de onda b Vista do topo da situagao no percorre uma distancia c dt no sentido item a positivo de x y O x eyeyey E 4 E0 S E B 2 E eleye B0 BAR eR fe gee f BY myo F dl ai a di tai IY g 5 h cdt kK e BA pas E x is BA Bo f k Ax Saal Zz a th a FA z cdte we Capitulo 832 Ondas eletromagnéticas 417 e portanto a regra da mao direita exige que a integral Bdl seja feita no sentido antihordrio em torno do retangulo O campo B é igual a zero em cada ponto ao longo dos lados ef e em cada ponto ao longo dos lados fg e he ele igual a zero ou perpendicular a dl Somente o lado gh no qual B e dl sao paralelos contribui para a integral e assim obtemos a dl Ba 326 Portanto o membro esquerdo da lei de Ampére Equacao 325 é diferente de zero oO membro direito também deve ser diferente de zero Portanto FE deve possuir um componente y perpendicular a B de modo que o fluxo elétrico P através do retangulo e a derivada ddt possam ser diferentes de zero Chegamos ao mesmo resultado obtido aplicandose a lei de Faraday em uma onda eletromagnética Ee B devem ser mutuamente perpendiculares Em um intervalo de tempo dt o fluxo elétrico através do retangulo aumentou por d Eac dt Como escolhemos dA no sentido Oy a variacao desse fluxo positiva a taxa de variagao do campo elétrico é dPe 327 Eac dt Substituindo as equacgdes 326 e 327 na lei de Ampére Equagao 325 encon tramos Ba eguoEac logo Modulo do campo magnético Médulo do campo elétrico Onda eletromagnética a a no vacuo B Ole ook Velocidade da 328 Constante Constante luz no vacuo elétrica magnética A onda considerada obedece a lei de Ampére somente quando as grandezas B c e E forem relacionadas pela Equacao 328 A onda também deve obedecer simul taneamente a lei de Ampére e a lei de Faraday portanto as equagdes 324 e 328 sao ambas satisfeitas Isso s6 ocorre quando epjzgc Ic ou seja 1 Constante elétrica Velocidade das ondas 329 Jetromagnéticas no vacuo exan ti 329 et 8 oéo Constante magnética Substituindo os valores numéricos dessas grandezas obtemos 1 C8 ReCouqDwDnoOoODaDauananann eee emu eee V885 X 101 CN m 47 X 107 NA 300 X 10 ms A onda que consideramos é consistente com todas as equagdes de Maxwell desde que a frente de onda se propague com a velocidade indicada que é a velo cidade da luz Note que o valor exato de c é definido como 299792458 ms 0 valor moderno de o é definido de modo a concordar com isso quando usado na Equacao 329 veja a Secdo 213 Principais propriedades das ondas eletromagnéticas Escolhemos uma onda simples para nosso estudo a fim de evitar complicagées matematicas porém este caso especial ilustra diversas caracteristicas importantes de todas as ondas eletromagnéticas 418 Fisica lll Figura 329 A regra da mao direita A onda é transversal tanto E quanto B sao perpendiculares a direcdo de pro para ondas eletromagnétigas Beo pagacao da onda Os campos eletricos e magnéticos também sao mutuamente sentido da propagacao perpendiculares O produto vetorial E B fornece a diregdo e o sentido da ae propagacao da onda Figura 329 Regra da mAo direita para uma onda eletromagnética 2 Arazao entre o médulo de E e 0 mdédulo de B é constante E cB 4 Aponte o polegar da sua mao direita 3 A onda se desloca no vacuo com uma velocidade definida e invariavel no sentido da propagacao da onda 4 Diferentemente das ondas mecAnicas que necessitam das particulas de um meio Imagine girar 90 0 vetor do campo para oscilar como 0 ar ou a 4gua e para transmitir a onda uma onda ele Bno sentido em oo centile Aicdos tromagnética nao necessita de nenhum meio campo BL Podemos generalizar essa discussdo para uma situagdo mais realista Suponha que todas as frentes de onda possuam forma de planos paralelos perpendiculares ao eixo Ox todos se propagando da esquerda para a direita com velocidade c Suponha 90 E que os campos EeB sejam os mesmos em todos os pontos no interior de uma tinica oO regiao entre os dois planos porém os campos variem de uma regiao para a outra c A onda resultante é uma onda plana mas uma onda na qual os campos variem ao B 2 x longo do eixo Ox Tal onda poderia ser construida superpondose as diversas ondas i simples que discutimos anteriormente indicadas na Figura 325 Isso é possivel Sentido da propagagao porque os campos E e B obedecem ao principio da superposicgao aplicado para as sentido de EX B ondas do mesmo modo que em situaces estdticas quando duas ondas se superpdem o campo elétrico total Eemcada ponto é dado pela soma vetorial de todos os campos E das ondas individuais e analogamente esse principio serve para o campo B total DADOS MOSTRAM Podemos estender o desenvolvimento anterior para mostrar que para as ondas cujos campos variam gradualmente as leis de Faraday e de Ampére também sao Ondas eletromagnéticas validas desde que todas as frentes de onda se propaguem com a velocidade c dada Quando os alunos recebiam pela Equagao 329 No limite quando a variagao gradual for infinitamente pequena um problema envolvendo teremos uma onda para a qual os campos E e B variam continuamente ao longo ondas eletromagneticas mais do eixo Ox A configuragao inteira do campo se propaga da esquerda para a direita we cee TesP osta com velocidade c Na Secao 323 vamos considerar ondas para as quais Ee B sio incorreta Erros fung6es senoidais de x e de t Como em cada ponto os médulos de Ee de B sio Esquecer que no vacuo relacionados por E cB as variacées periddicas dos dois campos em qualquer clotronntoncticas trafegam onda progressiva devem permanecer em fase na mesma velocidade c As ondas eletromagneticas possuem a Ppropriedade da polarizagao Na discus Como c Af as ondas com sao anterior a escolha do eixo Oy para E foi arbitraria Poderiamos igualmente alta frequéncia f possuem especificar 0 eixo Oz para E entao B deveria estar na diregao do eixo Oy Uma comprimento de onda A onda para a qual o vetor E permanece sempre paralelo a certo eixo denominase curto mas trafegam na linearmente polarizada ao longo desse eixo De modo mais geral qualquer onda mesma velocidade que as que se propague na direc4o Ox pode ser representada como uma superposicao de ondas com fbaixo e A longo ondas linearmente polarizadas na direcao do eixo Oy e na direc4o Oz No Capitulo Confusao a respeito das 33 estudaremos a polarizagao com mais detalhes direcdes de Ee Beo sentido da propagacao Os campos elétrico e magnético Deducgao da equacgao de onda eletromagnética clettomaendtca sfio sempre Vejamos agora uma dedugao alternativa da Equacao 329 para a velocidade das perpendiculares um ao outro ondas eletromagnéticas Ela utiliza mais desenvolvimentos matematicos que nossos A onda se propaga na tratamentos anteriores porém inclui uma deducao da equacao de onda para ondas diregio de E X B que é eletromagnéticas Essa parte da secao pode ser omitida sem a perda da continuidade perpendicular a ambos no capitulo EeB Durante nossa discussao sobre ondas mecanicas na Seao 153 mostramos que a funcao yx7 que representa o deslocamento em qualquer ponto da onda meca nica que se desloca ao longo do eixo Ox deve satisfazer uma equacao diferencial a Equagao 1512 2 2 dy x 2 14 y x ft 3210 ax var Capitulo 832 Ondas eletromagnéticas 419 A equacaéo anterior denominase equacao de onda e u a velocidade de pro pagacao da onda Para deduzirmos uma equagao correspondente para uma onda eletromagnética consideramos novamente uma onda plana Ou seja vamos supor que em qualquer instante E e B sao uniformes sobre planos perpendiculares ao eixo Ox a diregao de propagacao da onda Porém agora vamos fazer EF e B variar continuamente ao longo do eixo Ox entao cada onda uma funcao de x e de t Vamos considerar os valores de E e de B sobre dois planos perpendiculares ao plano Ox um situado no ponto x e o outro em x Ax Seguindo o mesmo procedimento adotado anteriormente aplicamos a lei de Figura 3210 Aplicagio da lei de Faraday em um retangulo situado sobre um plano paralelo ao plano xy como Faraday para um retangulo de altura indicado na Figura 3210 Essa figura é semelhante a Figura 327 Suponha quea base Ax paralelo ao plano xy extremidade esquerda do retaéngulo gh esteja no ponto xe que aextremidade direita a y ef esteja na posio x Ax No instante f os valores de E sobre esses dois lados x sao Ex t e Ey Ax ft respectivamente Quando aplicamos a lei de Faraday cary para esse retangulo verificamos que em vez de g Edl Eacomo antes temos gat he aS gE edl E x that Ey x Ax tha g ae of aEx Ax t Ex 1 3211 h v a i Para determinarmos o fluxo magnético p através desse retangulo supomos que a Ax seja suficientemente pequeno de modo que B possa ser considerado aproxima damente constante sobre o retangulo Nesse caso Bp BAx NA BAX tha Axe b Vista lateral da situacao no item a y dz 0B x ft a Ax dt Ot g je Ax f Usamos uma notagao com derivadas parciais porque B uma funcao de x e de f Ey Ey a Quando substituimos essa expressao e a Equacao 3211 na lei de Faraday dada h A 5 v pela Equacao 321 obtemos O OB al Ex Ax 1 Eyx1 a4 Ax Eyx Axt Eyx 1 aB Ax at Finalmente suponha que o retangulo seja contrafdo até formar uma tira estreita de modo que Ax tenda a zero Quando tomamos 0 limite da equacao anterior para Ax 0 obtemos OE yo dB 3212 ox ot A equacao anterior mostra que quando existe um componente B do campo magnético variando com o tempo também existe um componente E do campo elétrico que varia com x reciprocamente Vamos deixar guardada essa relacgao por enquanto em breve retornaremos a ela A seguir aplicamos a lei de Ampére ao retangulo indicado na Figura 3211 A integral de linha B dl tornase i dl Bx Ax ta Bx ia 3213 420 Fisica Ill Figura 3211 Aplicacao da lei de Supondo novamente que o retangulo seja muito estreito aproximamos o fluxo Ampeére para um retangulo de altura eétrico By através dele por Pg Ex DA Eyx tha Ax A taxa de variagao de ae base Ax paralelo ao plano xz se 5 E hecessaria para aplicar a lei de Ampére é dada por a Y d dEyx t x a Ax SAY s dt at IV Agora substituindo a relacdo anterior e a Equacao 3213 na lei de Ampére BA RE Equago 325 3 ae Ss quag QO dE x 2 Bx Ax Na Bx ha EoMo Ax z f x ne a7 segs oo 0 ES Dividindo ambos os membros por a Ax e tomando o limite quando Ax 0 obtemos b Vista do topo da situagao no item a 0 B Xx t 0 Ey x t 214 O ax oO at x k Ax at Entao surge a etapa final Fazemos a derivada parcial em relagao a x de ambos os Fr membros da Equacao 3212 e fazemos a derivada parcial em relagao a t de ambos B fe a os membros da Equacao 3214 Obtemos os seguintes resultados A v h e Eyxt Bx 2 Zz TN LN ax ox ot vB x t PE x t gy ox ot oho ar Combinando as duas equag6es anteriores para eliminar B finalmente encon tramos WPEx 1 Ex 1 equacdo da onda x2 o MO are eletromagnética no vacuo 3215 Essa expresso possui a mesma forma da equagao geral de uma onda Equacao 3210 Como o campo elétrico E deve satisfazer essa equagao ele se comporta como uma onda cuja configuracao se desloca através do espago com uma veloci dade definida Além disso comparando a Equagao 3215 a Equacao 3210 vemos que a velocidade da onda é dada por 1 1 e ou v 2 oHo v V oHO0 Esse resultado esta de acordo com a Equacgao 329 que fornece a velocidade c de propagacao das ondas eletromagnéticas Podemos mostrar que B também satisfaz a mesma equagao de onda para Ey a Equacao 3215 Para provar isso tomamos a derivada parcial da Equagao 3212 em relacao a t e a derivada parcial da Equacao 3214 em relacao a x e combinamos os resultados Deixamos essa demonstraao para vocé resolver TESTE SUA COMPREENSAO DA SEGAO 322 Para cada uma das seguintes ondas ele tromagnéticas indique 0 sentido do campo magnético a A onda se propaga no sentido positivo de z e esta no sentido positivo de x b a onda se propaga no sentido positivo de y e E esta no sentido negativo de z c a onda se propaga no sentido negativo de xe E esta no sentido positivo de z I Capitulo 82 Ondas eletromagnéticas 421 323 ONDAS ELETROMAGNETICAS SENOIDAIS As ondas eletromagnéticas senoidais sao diretamente andlogas as ondas meca nicas transversais em uma corda esticada que estudamos na Sec4o 153 Em uma onda eletromagnética senoidal Ee Bem qualquer ponto do espaco sao fungdes senoidais do tempo e em qualquer instante a variagd4o espacial dos campos tam bém é senoidal Algumas ondas eletromagnéticas senoidais sao ondas planasem comum com Figura 3212 Ondas que passam as ondas descritas na Secao 322 elas possuem a propriedade de que em cada ins através de uma pequena area a uma tante os campos sao uniformes sobre qualquer plano perpendicular A direcdo de distancia suficientemente grande de propagaciio O conjunto todo se desloca na direcio e no sentido de propagacio da 4 fonte podem ser tratadas como sw 7 mx ye ondas planas onda com velocidade c As diregdes de E e de B sao perpendiculares a direcdo de propagacao da onda e séo mutuamente perpendiculares de modo que a onda é Ondas que passam através de transversal As ondas eletromagnéticas produzidas por uma carga puntiforme os Se ecbee lifreaee pas cilando indicadas na Figura 323 sio um exemplo de ondas senoidais que ndo sao So ondas planas Porém se restringimos nossa observagao a uma regiao relativamente wg 24 pequena e para pontos muito afastados da fonte até mesmo essas ondas podem ser a 3 g i 5 consideradas aproximadamente ondas planas Figura 3212 Da mesma forma a wo i a superficie curva da Terra aproximadamente esférica parece ser plana para um observador no solo porque 0 raio da Terra é muito maior que o tamanho do obser yr rene de oestcas pn vador Nesta secao vamos restringir nossa discussao as ondas planas i A A frequéncia f o comprimento de onda A e a velocidade de propagacao da onda c de qualquer onda periddica sao relacionados pela equacao usual c Af Quando NW MWg a frequéncia f é de 10 Hz 100 Mhz comum para as transmissOes de radio FM comerciais 0 comprimento de onda é dado por 2 z he A 3 Xx 108 ms 3m Mas ondas que passam através de 108 Hz uma area pequena se propagam todas praticamente na mesma direcao portanto podemos tratalas como A Figura 324 mostra a proporcionalidade inversa entre 0 comprimento de onda ndas planas e a frequéncia Campos de uma onda senoidal A Figura 3213 mostra uma onda eletromagnética senoidal linearmente pola Figura 3213 Representagao dos rizada se propagando no sentido do eixo Ox Os campos elétrico e magnético campos elétricos e magnéticos em oscilam em fase E atinge seu valor maximo quando B atinge seu valor maximo e fungao de para uma onda eletromagnética plana senoidal E é igual a zero quando B é igual a zero Note também que em planos para os quais jinearmente polarizada Indicamos F esta no sentido y B esta no sentido z quando E esta no sentido y Best4é umcomprimento de onda no no sentido z Note que em todos os planos 0 produto vetorial E X B aponta no instante t 0 Os campos séo sentido da propagacao da onda 0 sentido x Mencionamos isso na Seco 322 indicados somente para pontos na lista de caracteristicas das ondas eletromagnéticas sobre 0 eixo Ox A onda se desloca no sentido Sos positivo do eixo Ox ou seja ATENCGAO Em uma onda plana E e B estao em toda parte A Figura 3213 pode passar y na mesma diregdoe no mesmo a impressao equivocada de que os campos elétrico e magnético existem somente ao longo sentido do vetor EX B do eixo x Na verdade em uma onda plana senoidal ha campos elétricos e magnéticos em E todos os pontos no espaco Imagine um plano perpendicular ao eixo x ou seja paralelo O B ao plano yz em um dado ponto e em um dado instante os campos possuem os mesmos B E valores em todos os pontos nesse plano Os valores sao diferentes em planos diferentes z x Uma onda eletromagnética pode ser descrita por meio de uma funcdo de onda E assim como fizemos na Secao 153 para ondas em uma corda Uma forma da fungao B de onda para uma onda transversal se propagando no sentido x ao longo de uma E somente componente y B somente componente z corda esticada é dada pela Equacao 157 yx 1 A cos kx wt 422 Fisica Ill em que yx ft o deslocamento transversal a partir do equilfbrio de um ponto da corda de coordenada x para um instante t A grandeza A 0 deslocamento maximo ou amplitude da onda w sua frequéncia angular igual a 277 vezes sua frequén cia f e k 0 nuimero de onda igual a 277A em que A 0 comprimento de onda Suponha que na Figura 3213 Eyx 0 e BAX t representem respectivamente os valores instantaneos do componente y de FE e do componente z de B e que Eyn4x Byax fepresentem os valores maximos ou amplitudes desses campos Nesse caso as fung6es de onda sao Ey t Emax cos kx ot Bx t Bmax cos kx ot 3216 Podemos também escrever as fung6es de onda usando vetores Onda plana Campo elétrico 7 Médulo do campo elétrico eletromagnética 4 jeomeeeeeeeeee Neier senoidal propagandose Ex t jE n4coskx wt de onda no sentido Ox ene ee ecr 3217 Bo KB nix coskx ot angular Campo magnético Médulo do campo magnético ATENGAO O simbolo k possui dois significados Note que designamos duas grandezas com a mesma letra k 0 vetor unitario k no sentido do eixo Oz e o nimero de onda k Tome cuidado para nao confundir As curvas senoidais indicadas na Figura 3213 representam os campos em fungao de x e de para t 0 ou seja Ex t 0 e Bx t 0 A medida que 0 tempo passa a onda se desloca para a direita com velocidade c As equacées 3216 e 3217 mostram que em qualquer ponto as oscilagées de E e de B estao em fase A partir da Equagao 324 as amplitudes devem ser relacionadas por Onda eletromagnética Amplitude do Amplitude do senoidal no vacuo campo elétrico campo magnético Eméx CBanix Velocidade da 3218 me LUZ NO VACUO Figura 3214 Representacao no Essas relagdes de fase e de amplitude também sao necessdrias para que Ex 1 instante t 0 de um comprimento e Bx t obedecgam as equagdes 3212 e 3214 obtidas da lei de Faraday e da lei de onda para uma onda de Ampére respectivamente Vocé é capaz de provar essa afirmacéo Veja o eletromagnética plana senoidal Problema 3234 linearmente polarizada que se desloca no sentido negativo do eixo A Figura 3214 mostra os campos Ee B de uma onda que se desloca no sentido Ox Os campos sao indicados negativo do eixo Ox Nos pontos para os quais E esta no sentido positivo de y B somente para pontos sobre 0 eixo esta no sentido negativo de z quando E esta no sentido negativo de y B esta no Ox Compare com a Figura 3213 sentido positivo de z Assim como no caso de uma onda que se desloca no sentido y x em qualquer ponto as oscilagdes dos campos E e B dessa onda estao em fase A onda esta se deslocando dut torial E x B t tido d a0 d da N no sentido negativo dex produto vetoria aponta no sentido da propagacao da onda Nesse caso E mesmo sentido de as fungdes de onda sao x EXB O c a E zi a i Ex t fEmax cos kx of 3219 Sp LY 3 Bx t kByyg cos kx ot ze EY onda eletromagnética plana senoidal propagandose no sentido Ox E E somente componente y tye eg 4 B somente componente 2 As duas ondas senoidais indicadas nas figuras 3213 e 3214 sdo linearmente polarizadas no eixo Oy o campo EF permanece sempre paralelo ao eixo Oy A onda eletromagnética descrita no Exemplo 321 linearmente polarizada no eixo Oz Capitulo 32 Ondas eletromagnéticas 423 ESTRATEGIA PARA A SOLUGAO DE PROBLEMAS 321 ONDAS ELETROMAGNETICAS IDENTIFICAR os conceitos relevantes muitos dos conceitos que v c Verifique com cuidado se vocé sabe distinguir entre se aplicam 4s ondas mecanicas também se aplicam as ondas frequéncia normal f geralmente expressa em hertz e fre eletromagnéticas O novo aspecto é que as ondas eletromag quéncia angular w 27af expressa em rads Lembrese néticas sao descritas por duas grandezas o campo elétrico E também de que o nimero da onda é k 277A 0 campo magnético B em vez de por uma Unica grandeza 3 Concentrese nas relagdes fundamentais como a relagao como o deslocamento de um fio entre E e B levando em conta 0 méddulo a direcdo e 0 tido ea fi lativa a determinagao da velocidade d PREPARAR o problema por meio das seguintes etapas sentido a fase relativa a determinacao da velocidade da en onda e a natureza transversal das ondas 1 Faga um diagrama indicando 0 sentido da propagagao da onda e os sentidos de E e B AVALIAR sua resposta verifique se 0 resultado obtido é razoa 2 Identifique as variaveisalvo vel Para ondas eletromagnéticas no vacuo o médulo do campo EXECUTAR a solucdo conforme segue eee em teslas é muito ae por um fator de 300 x A a 10 que o médulo do campo elétrico em volts por metro Se a 1 Reveja o tratamento sobre ondas mecanicas senoidais nos sua resposta for diferente disso vocé provavelmente cometeu capitulos 15 e 16 Observe particularmente as quatro estra pe Lo x a um erro ao usar a relagdéo E cB Mais adiante nesta secao tégias para a solucao de problemas recomendadas naqueles lacio é dif das el tulos veremos que essa relacao é diferente para ondas eletromagné capt tou ticas em um meio material 2 Recorde as relagdes fundamentais para ondas periddicas v Afe w vk Para ondas eletromagnéticas no vacuo ee eae OE UM EEE OE ER Um laser de diéxido de carbono emite ondas eletromagnéticas w ck 300 X 108m s 6593 X 10 rad m senoidais que se propagam no vacuo no sentido negativo do eixo 4 Ox O comprimento de onda igual a 106 ym no infravermelho 178 X 10 rads ver Figura 324e 0 campo E é paralelo ao eixo Oz e seu médulo maximo Ey 15 MVm Escreva as equagGes vetoriais para Substituindo esses valores nas fungGes de onda vetoriais escritas Ee para B em fungao do tempo e da posigao anteriormente obtemos Ex t K15 X 10 Vim SOLUGAO SOLUGAO X cos593 X 10 radmx 178 X 10 rads4 IDENTIFICAR E PREPARAR as equacdes 3219 descrevem Bux t j50 x 1037 uma onda se deslocando no sentido negativo do eixo Ox com x cos5 93 X 10 radmx 178 X 104 radsf o campo E paralelo ao eixo Oy ou seja uma onda que esta linearmente polar izada ao longo do eixo y Em contraste aonda AVALIAR como era de esperar o médulo Byygx em teslas é muito eletromagnética deste exemplo linearmente polarizada ao longo menor que 0 médulo Ey4x em volts por metro Para verificar os do eixo Oz Nos pontos em que E esté no sentido positivo de z sentidos de E e B note que E X B estd no sentido de k X 7 B deve estar no sentido positivo de y para que o produto vetorial 7 Isso esta dentro da expectativa para uma onda que se propaga E X B aponte no sentido negativo do eixo Ox 0 sentido da pro n9 sentido negativo de Ox pagagao da onda A Figura 3215 indica uma onda que atende Nossas expresses para E t e Bx t nao sao as tinicas solu a esses requisitos 6es possiveis Podemos acrescentar uma fase aos argumentos EXECUTAR um par possivel de fungdes de onda que descrevem qa fungao cosseno de modo que kx wt se torne kx wt a onda mostrada na Figura 3215 dado por Para determinar o valor de temos de conhecer E e B seja como 3 fungdes de x em um dado instante f seja como fungdes de t em EG 1 KE max costar wt uma dada coordenada x Entretanto 0 enunciado do problema Bx t FBmax coskx wt nao inclui essa informagaéo O sinal positivo nos argumentos das fung6es cosseno indica que Figura 3215 Nosso esquema para este problema a onda esta se propagando no sentido negativo de x como era y de esperar A lei de Faraday exige que Emax CBmax Equacgao c 3218 portanto B Emix 15 X 10 Vm Fi Brag Ems IOV 5g x 07 0 p z c 30 X 10 ms Lembrese de que 1 V 1 Wbse 1 Wbm 1 T é Temos A 106 X 107 m portanto o ntimero de onda e a fre x quéncia angular sao dados por 3 5 E k 20 2mrad 593 x 10 radm E somente componente z Xr 106 X 10 m B somente componente y 424 Fisica lll Ondas eletromagnéticas na matéria Até o momento nossa discussao sobre as ondas eletromagnéticas se restringiu a ondas se propagando no vdcuo Contudo as ondas eletromagnéticas também podem se propagar na matéria considere a luz se propagando no ar na 4gua ou no vidro Nesta subsecao estendemos nossa andlise para ondas eletromagnéticas se propagando em materiais nao condutores ou seja em dielétricos Em um dielétrico a velocidade de propagagao da onda nao é a mesma veloci dade no vacuo e vamos designala por v em vez de c A lei de Faraday permanece inalterada porém na Equagao 324 deduzida a partir da lei de Faraday devemos substituir c por v Na lei de Ampére a corrente de deslocamento em vez de ser dada por egddt em que Pz 0 fluxo de E através de uma superficie é dada por e ddt Keoddt em que K é a constante dielétrica e e é a permissividade do dielétrico Introduzimos essas grandezas na Segao 244 Também devemos substi tuir a constante 1p na lei de Ampére por sz KMo em que K é a permeabilidade relativa do dielétrico e ys é a sua permeabilidade veja a Secgdo 288 Portanto as equacgoes 324 e 328 sao substituidas por EvB e BewvE 3220 Seguindo 0 mesmo procedimento usado para as ondas em vacuo encontramos Velocidade Permeabilidade Velocidade da luz no vacuo das ondas ws tlt iol 1 C 3221 Poe SS cmumdiciétrico VEE VKKm Voto WK Permissividade Constante permeabilidade Constante Constante dielétrica selativa elétrica Magnetica Para quase todos os dielétricos a permeabilidade relativa K aproxima damente igual a exceto para materiais ferromagnéticos isolantes Quando Kn 1 v cVK Como K é sempre maior que 1 a velocidade da onda ele tromagnética em um dielétrico nado magnético é sempre menor que a velocidade Figura 3216 O valor da constante no vacuo c de um fator igual a 1VK Figura 3216 A razdo entre a velocidade dieletrica K da agua 18 para no vacuo c e a velocidade em um material v é conhecida na 6ptica como o indice luz visivel entao a ve locidade daluz de refracgao n do material Quando K 1 visivel na agua é mas ene vew vacuo cerca de 1VWK 1 8 075 n VKK VK 3222 Em geral na equac4o anterior nao podemos usar os valores de K indicados na Tabela 241 porque tais valores foram medidos a partir de um campo elétrico constante Quando o campo elétrico oscila rapidamente nao existe tempo suficiente para que os dipolos sejam orientados na diregéo do campo como no caso da aga4o de um campo estatico Os valores de K medidos com campos oscilantes geralmente sao menores que os valores indicados naquela tabela Por exemplo para a agua 0 valor de K é igual a 804 quando 0 campo elétrico é estatico e cerca de 18 quando o campo varia com a frequéncia da luz Portanto a constante dielétrica K é na realidade uma funcao da frequéncia a fundo dielétrica BECEIIREZFAONDAS ELETROMAGNETICAS EM DIFERENTES MATERIA a Ao visitar uma joalheria certa noite vocé segura um dia com frequéncia de 900 MHz na faixa de radio FM passa do mante contra a iluminacao de um poste de rua O vapor de sédio vacuo para uma ferrita isolante um material ferromagnético aquecido do poste emite uma luz amarela com frequéncia de usado em cabos de computador para suprimir a interferéncia de 509 10 Hz Determine o comprimento de onda no vacuo radio Calcule o comprimento de onda no vacuo a velocidade a velocidade da propagacéo da onda no diamante e o compri da propagacao de onda na ferrita e o comprimento de onda na mento de onda no diamante Nessa frequéncia 0 diamante possui ferrita Nessa frequéncia a ferrita possui propriedades K 100 propriedades K 584 e K 100 b Uma onda de radio e K 1000 Continua Capitulo 82 Ondas eletromagnéticas 425 Continuagdao SOLUGAO b Seguindo as mesmas etapas do item a encontramos IDENTIFICAR E PREPARAR em cada caso determinamos o c 300 X 10 ms comprimento de onda no vacuo usando c Af Para usar a relacado Avacuo G 333 m f 900 X 10 Hz correspondente v Af para determinar o comprimento de onda em um meio material encontramos a velocidade vu das ondas ele c 300 X 108 ms 6 tromagnéticas em um meio pela Equacao 3221 que relaciona v Vferrita VER 400 1000 300 X 10 ms aos valores da constante dielétrica K e da permeabilidade relativa KKm 100 1000 Ky para o meio 6 i 300 10 EXECUTAR a 0 comprimento de onda no vacuo da luz de s6di0 Agerrita Persia 300 X 10 ms 333 X 10 m 333 cm f 900 X 10 Hz c 300 X 10 ms 7 Avacuo Tg 589 X 107 m 589nm AVALIAR a velocidade da luz em materiais transparentes esta Ff 509 X 10 Hz normalmente entre 02c e c nosso resultado no item a mostra que Ugiamante 0414c Como indicam os resultados obtidos no A velocidade da onda e 0 comprimento de onda no diamante s40jtem b a velocidade das ondas eletromagnéticas em materiais d ferrit 1 ita 0010 di 300 X 108 ms ensos como a ferrita para a qual Ugerrita c pode ser Udiamante 124 X 108 ms muito mais lenta que no vacuo VKK VV 584 100 8 A Ugiamante 124 X 10 ms dlamante f 509 X 104 Hz 244 X 107m 244 nm TESTE SUA COMPREENSAO DA SEGAO 323 A primeira das equac6es 3217 fornece o campo elétrico para uma onda plana medida em pontos ao longo do eixo x Para essa onda plana como o campo elétrico no ponto fora do eixo x difere da expressfo nas equagdes 3217 i A amplitude é diferente ii a fase é diferente iii tanto a amplitude quanto a fase sao diferentes iv nenhuma das alternativas 324 ENERGIA E MOMENTO LINEAR EM ONDAS ELETROMAGNETICAS Ondas eletromagnéticas transportam energia a energia solar é um exemplo bem conhecido Algumas aplicag6es praticas dessa energia ondulatoria sao fornos de microondas transmissores de radio e cirurgias oculares a laser Para compreender como utilizar essa energia é Util deduzirmos relagOes para a energia associada a uma onda eletromagnética Comegamos com a expressao deduzida nas seg6es 243 e 303 para a densidade de energia existente nos campos elétrico e magnético sugerimos que vocé faga agora uma revisdo daquelas dedug6es Especificamente as equacgdes 2411 e 3010 mostram que a densidade de energia total uw em uma regiao do espago vazio onde existem os campos E e B é dada por u begE B 20 240 3223 Para a onda eletromagnética no vacuo os médulos de Ee B sao relacionados por E B zy oMoE 3224 Combinando as equacées 3223 e 3224 podemos expressar a densidade de energia u em uma onda eletromagnética simples no vacuo mediante a relagao 1 1 2 2 2 u 7E9E po VeoHoE 0F 3225 426 Fisica lll Isso mostra que no vacuo a densidade de energia associada ao campo Eem nossa onda simples igual a densidade de energia associada ao campo B Geral mente o médulo do campo elétrico E é uma funcao da posicao e do tempo como no caso da onda senoidal indicada na Equacao 3216 portanto a densidade de energia uv de uma onda eletromagnética dada pela Equacao 3225 também é em geral uma fungao da posicao e do tempo Fluxo de energia eletromagnética e vetor de Poynting Figura 3217 Uma frente de onda As ondas eletromagnéticas que descrevemos sao ondas progressivas que trans eletromagnética no instante dr portam energia de uma regiao para outra Podemos descrever esse transporte de depois que ela atravessa um plano energia em termos da energia transferida por unidade de tempo e por unidade da de area A em repouso 4 ys drea da secdo reta ou em termos da poténcia por unidade de drea considerando No instante dt o volume entre 0 plano uma area perpendicular a diregao do deslocamento da onda estacionario e a frente de onda contém Para verificar como o fluxo de energia é relacionado aos campos considere um uma energia eletromagnética igual a plano em repouso perpendicular ao eixo Ox que para um dado instante coincide du we a 4 com a frente de onda Em um tempo dt depois desse instante a frente de onda se i deslocou para a direita até uma distancia ao plano dx c dt Considerando uma i ss area A sobre esse plano em repouso Figura 3217 notamos que a energia contida i cdt no espaco a direita dessa area passou através de sua superficie para atingir a nova é localizagao O volume dV da regiao relevante é dado pela area da base A multi Z f E Vetorde Plicada pela distancia c dt e a energia dU nessa regiao é dada pela densidade de By Poynting energia u multiplicada por esse volume O A 5 dU udV gE Ac dt z 4 x E ssa energia passa através da area A em um tempo d O fluxo de energia por unidade de tempo e por unidade de area que designaremos pela letra S dado por Plano Frente de onda em estaciondério um instante dr posterior S i aU eqck2 no vacuo 3226 Ad Usando as equag6es 324 e 329 podemos obter as seguintes formas alternativas 0 0 EB S F BF no vacuo 3227 V Epo Mo Mo Figura 216 Estes panels de A grandeza S possui unidades de energia por unidade de tempo e por unidade de node a ficarem frontais ao Sol area ou poténcia por unidade de area A unidade SI de S é 1 Js m ou Wm ou seja frontais ao vetor de Podemos definir uma grandeza vetorial que descreve 0 médulo a direcao e o Poynting das ondas sentido da taxa do fluxo de energia Introduzido pelo fisico inglés John Poynting eletromagneticas provenientes do 18521914 essa grandeza denominase vetor de Poynting Sol para que possam absorver o maximo de energia da onda feet yw Campo elétrico Vetor de Poynting 4 1s oon een S E X BCampo magnético 3228 0 Constante magnética te O vetor S aponta na direg4o e no sentido da propagaciio da onda Figura 3218 P Como E e B sao perpendiculares 0 médulo do vetor S é dado por S EB9 de ll F acordo com as equacgées 3226 e 3227 ele fornece o fluxo de energia por unidade a fe de tempo e por unidade de area através da seco reta perpendicular 4 diregao de Se propagacao da onda O fluxo total da energia por unidade de tempo poténcia P que n 7 a ys 2 yo a atravessa uma superficie fechada é obtido mediante a integral de S sobre a superficie p pSdi Para as ondas senoidais estudadas na Secdo 323 bem como para outras ondas mais complexas em qualquer ponto os campos magnético e elétrico variam com Capitulo 82 Ondas eletromagnéticas 427 o tempo de modo que o vetor de Poynting também é uma fungao do tempo em qualquer ponto Visto que as frequéncias das ondas eletromagnéticas tipicas sao muito elevadas a variagdo do vetor de Poynting com o tempo é tao rapida que é mais apropriado buscar seu valor médio O valor médio do médulo de Sem um dado ponto denominase intensidade da radiacao no ponto considerado A unidade SI de intensidade é a mesma de S 1 Wm Vamos examinar a intensidade da onda senoidal usando as express6es indicadas nas equacgodes 3217 Inicialmente substituimos EeBna Equacao 3228 1s Sx t Ex t X Bx t Mo 1 A jig dex coskx oft X kB cos kx at O produto vetorial dos vetores unitdrios é fj X kie coskx wt nunca é negativo portanto Sx 1 sempre aponta no sentido positivo de x 0 sentido da propagacao da onda O componente x do vetor de Poynting é Sy xt EmixBnéx coskx wt FmixBintx 1 cos2kx af Ho 20 A média temporal de cos2kx wf igual a zero porque em qualquer ponto essa funcado positiva durante uma metade do ciclo e negativa durante a outra metade Assim o valor médio do vetor de Poynting em um ciclo completo é dado por Sinéd 7Sinéa eM que EB BIO Aplicagao Cirurgia a laser Os Sméq lasers sao bastante usados na medicina 2 Mo como bisturis ultraprecisos sem sangue Eles podem alcancar e remover tumores Ou seja o valor médio de S para uma onda senoidal a intensidade J da onda maunéios ree ee ancas eons igual a 7 de seu valor maximo Usando as relagoes Emax Bmax oéo0 Ic cirurgia cerebral mostrada na figura podemos expressar a intensidade em diversas formas equivalentes A saida de poténcia do laser normalmente é inferior a 40 W menor que a de uma lampada incandescente comum Porém Intensidade de uma onda senoidal no vacuo essa poténcia concentrada em um ponto Amplitude do campo elétrico Amplitude do campo magnético de 01 a 20 mm de diametro de modo i M 2 5 ees Constante elétrica que a intensidade da luz igual ao valor 4 s EmixB max Emax ste 2 tenck2 3229 medio do vetor de Poynting pode chegar a re 219 inte 2 Ly max 250 max até 5 X 409 Wimr2 Valor médio do modulo Constante Vel Reader lineinokecena j do vetor de Poynting magnética a d oe Para uma onda se deslocando no sentido x representada pela Equacao 3219 o vetor de Poynting esta apontando no sentido x em todos os pontos porém o modulo é 0 mesmo que o da onda que se propaga no sentido x Vocé tera opor tunidade de verificar essas afirmacoées ATENGAO Vetor de Poynting versus intensidade Em qualquer ponto x 0 médulo do vetor de Poynting varia com o tempo Portanto a taxa instantanea com a qual a energia eletromagnética de uma onda plana senoidal chega a uma superficie nao é constante Isso 2 parece contradizer nossa experiéncia diaria pois as luzes solar de uma lampada ou do laser de um scanner de supermercado aparentemente nao variam na intensidade Contudo o vetor de Poynting dessas fontes varia com 0 tempo mas a variagao nao pode ser percebida porque a frequéncia da oscilagdo é extremamente elevada da ordem de 5 X 104 Hz para ee a luz visivel O que vocé percebe é 0 valor médio da taxa com a qual a energia atinge seus fri olhos sendo essa a razao pela qual se usa a intensidade 0 valor médio de S para descrever a forca da radiagao eletromagnética 428 Fisica Ill Em toda a discussao até aqui consideramos somente as ondas eletromagnéticas que se propagam no vacuo Contudo quando as ondas se deslocam em um meio dielétrico as expressdes para a densidade de energia Equacao 3223 o vetor de Poynting Equagao 3228 e a intensidade de uma onda senoidal Equacao 3229 devem ser modificados Verificase que as modificag6es necessdrias sao bem sim ples simplesmente substituir 9 pela permissividade e do dielétrico substituir wo pela permeabilidade py do dielétrico e substituir c pela velocidade v das ondas ele tromagnéticas no dielétrico E notavel como as densidades de energia nos campos Ee B sio iguais mesmo em um dielétrico Para a onda nao senoidal descrita na Seco 322 suponha que O méddulo do vetor de Poynting é dado por E 100 Vm 100 NIC Calcule o valor de B a densidade 4 de energia u e a taxa do fluxo de energia S por unidade de area S EB 100 Vm 333 x 10 T Mo 4a X 107TmA SOLUGAO 265 V Am 265 Wm IDENTIFICAR E PREPARAR nesta onda E e B sio uniformes na parte traseira da frente de onda e zero na dianteira Portanto AVALIAR podemos conferir 0 resultado obtido para S usando as varidveisalvo B ue S também devem ser uniformes na parte uma formula alternativa dada pela Equagao 3226 traseira da frente de onda Dado o valor do médulo E calculamos o médulo B usando a Equacdo 324 a densidade de energiau 5 gcE 885 X 10 C7N m 300 x 10 ms x usando a Equac4o 3225 e S usando a Equagaéo 3227 Note que 100 NC 265 Wm nao podemos usar a Equacao 3229 aplicavel somente a ondas os senoidais Como E e B possuem valores constantes sobre planos perpendi EXECUTAR de acordo com a Equaciio 324 culares situados na parte traseira da frente de onda a densidade de energia ue o modulo do vetor de Poynting S também possuem B E 100 Vm 333 X107T valores constantes sobre esses planos Na parte dianteira da frente c 300 X 10 ms de onda E 0e B 0 portanto u 0 e S 0 quando nao ha nenhum campo nao ha nenhuma energia no campo De acordo com a Equagao 3225 u eyE 885 X 10 1 CN m 100 NC 885 X 10 8 Nm 885 X 108 Jm Uma estacao de radio na superficie terrestre irradia ondas se Todaa poténcia irradiada passa através dessa superficie de modo noidais com uma poténcia média total igual a 50 kW Figura que a poténcia média por unidade de area ou seja a intensidade é 3219 Supondo que a emissora irradie uniformemente em todas 4 Lk 2 P P 500 10 W as diregdes acima do solo 0 que nao provavel em situagdes 7 796 x 1077 Wm reais determine as amplitudes Ey4 Bmax detectadas por um A 2mR 628 X 10 m satélite a uma distancia de 100 km da antena Pela Equacio 3229 J Sea Emmax2p9c de modo que ss Emax V 2p0CSmea IDENTIFICAR E PREPARAR temos a média da poténcia total do transmissor P A intensidade é a poténcia média por unidade de V2 4m X10 TmA 300 X 108 ms 796 X area para determinar a 100 km do transmissor dividimos P pela 107 Wm area da superficie hemisférica na Figura 3219 Para uma onda 945 X 102 Vm senoidal também é igual ao modulo do valor negativo Syq do vetor de Poynting de modo que podemos usar a Equagao 3229 De acordo com a Equacio 324 para determinar E4 a Equagao 324 resulta em Byax EXECUTAR a area da superficie hemisférica com raio r B Emax 3817xX10T 100 km 100 x 10 mé me A 27R 27100 X 10 m 628 x 10 m AVALIAR note que 0 médulo Ey4 comparavel a campos co mumente encontrados em laboratério porém o valor de By Continua Capitulo 832 Ondas eletromagnéticas 429 Continuagdao extremamente pequeno em comparacio a valores do campo B Figura 3219 Uma estagao de radio irradia ondas que descrevemos em capitulos anteriores Por essa razio quase interior da superficie hemisférica indicada todos os detectores de radiacdo eletromagnética respondem aos Satélite efeitos do campo elétrico porém no so sensiveis ao campo om magnético As antenas de radio em espira sAo excecao veja 0 Problema em destaque ao final deste capitulo Fluxo do momento linear eletromagnético e pressao da radiagao Mostramos que as ondas eletromagnéticas transportam energia Podemos tam bém mostrar que as ondas eletromagnéticas transportam momento linear p com uma densidade correspondente de momento linear momento linear dp por unidade de volume dV dada pelo médulo dp EB S av poe 2 3230 Esse momento linear é uma propriedade do campo ele nao é associado com a massa de uma particula que se move no sentido usual Também existe uma correspondente da taxa de fluxo do momento linear O vo lume dV ocupado por uma onda eletromagnética velocidade c que passou através de uma area A no tempo dt dado por dV Ac dt Substituindo na Equagao 3230 e reagrupando os termos verificamos que a taxa do fluxo do momento linear por unidade de area é dada por Moédulo do vetor de Poynting Médulo do campo elétrico Taxa de fluxo do ld 5 EB 4 Médulo do campo momento eee Cs adaeiadiaer Tea magnético 3231 eletromagnético A dt Cc Moe 4 Velocidade da Momento linear transferido por luz no vacuo unidade de area da superficie Constante magnética por unidade de tempo Podemos obter a taxa média dessa transferéncia de momento linear por unidade de area substituindo S na Equagao 3231 por Sineq I Esse momento linear responsavel por um fendmeno chamado de pressao da radiacao Quando uma onda eletromagnética é absorvida por uma superficie 0 momento linear da onda também é transferido para essa superficie Por simpli cidade vamos considerar uma superficie perpendicular a direg4o de propagaao Aplicando as ideias desenvolvidas na Secao 81 vemos que a taxa dpdt com a qual o momento linear é transferido para a superficie absorvedora é a forca reali zada sobre a superficie A forga média por unidade de area produzida pela onda ou pressdo da radiagGo Pyaq igual ao valor médio de dpdt dividido pela area A da superficie absorvedora Usamos 0 subscrito rad para distinguir a pressao da radiagao do momento linear para 0 qual também usamos a letra p De acordo com a Equacao 3231 a pressao da radiacdo dada por Smead I Prad pressao da radiacao onda totalmente absorvida 3232 430 Fisica lll Quando a onda é totalmente refletida a variagao do momento linear é duas vezes maior e a pressao da radiacgao é dada por Figura 3220 No centro desta nuvem de gas interestelar esta um 2Sméd 21 grupo de estrelas intensamente Prad pressao da radiacao onda totalmente refletida 3233 luminosas que exercem tremenda c c pressao de radiacdo 4 sua volta Por exemplo 1 lar di de el fi 1 Auxiliada por um vento de plo para a luz solar ireta antes de ela atravessar a atmosfera o valor particulas que emanam das estrelas 4 ou Siea aproximadamente igual a 14 kWm De acordo com a Equagao nos tltimos milhdes de anos a 3232 o valor correspondente da press4o média sobre uma superficie totalmente pressao de radiagéo criouumabolha gbhsorvedora é dentro da nuvem através de 70 anosluz 3 2 I 14 X10 Wm Prd OO 47 X10 Pa c 30 X 10 ms De acordo com a Equacao 3233 a pressdo média sobre uma superficie total mente refletora é igual ao dobro do valor anterior 2c ou 94 X 10 Pa Essas pressGes sao extremamente pequenas da ordem de 107 atm porém elas podem ser medidas com instrumentos suficientemente sensiveis A pressao da radiagao da luz solar no interior do Sol muito maior que na superficie da Terra veja o Problema 3237 No interior de estrelas com brilhos e massas maiores que os do Sol a pressAo da radiacao tao elevada que faz aumentar substancialmente a pressao do gas no interior da estrela e ajuda a impedir 0 colapso gravitacional da estrela sob a agdo de sua propria gravidade Em alguns casos a pressao de radiagao das estrelas pode exercer efeitos drasticos sobre 0 material que as circunda Figura 3220 Um satélite em 6rbita em torno da Terra possui painéis coletores F Prag A 47 X 10 Nm 40 m 19x 10 N de energia solar com 4rea total igual a 40 m Figura 3221 Sabendo que a radiacio solar é perpendicular 4 superficie do AVALIAR a poténcia absorvida é bastante substancial Parte dela painel e totalmente absorvida calcule a poténcia solar média ab pode ser usada para fornecer energia para os equipamentos no in sorvida e a forca média exercida pela pressdo da radiagao terior do satélite a parte restante da energia produz aquecimento do painel direta ou indiretamente em virtude da limitagao da SOLUGAO eficiéncia das fotocélulas existentes no painel IDENTIFICAR E PREPARAR este problema usa as relacGes entre A forga de radiacao total comparavel com 0 peso na Terra de Anat x x um grao de sal Contudo com 0 tempo essa forca pequena pode intensidade poténcia pressao da radiacao e forga Na discussao ne ot anterior calculamos a intensidade poténcia por unidade de ter um efeito sensivel sobre a 6rbita de um satelite artificial como 4rea da luz solar bem como a pressiio de radiaciio paq forca por mostrado na Figura 3221 e portanto a pressao da radiag4o deve unidade de area da luz solar sobre uma superficie absorvedora St considerada nos projetos desses satelites Calculamos esses valores para pontos acima da atmosfera na Figura 3221 Painéis solares sobre um satélite Orbita do satélite Multiplicando cada valor pela area dos painéis solares temos a poténcia média absorvida e a forca de radiacdo Sensor solar liquida sobre os painéis para manter os Ss Z EXECUTAR a intensidade poténcia por unidade de area é painéis voltados N FA 3 2 para o Sol if GF igual a 14 10 Wm Embora a luz solar nao seja uma onda i senoidal simples ainda podemos usar o fato de que a poténcia média P é dada pela intensidade J vezes a area A N Ke y RUT P IA 14 X 10 Wm 40 m EA 56 X 10 W 56kW A pressao da radiagao da luz solar sobre uma superficie absor Painéis solares vente Praq 47 X 10 Pa 47 X 10 Nm A forca total F a pressao pPyaq Vezes a area A Capitulo 82 Ondas eletromagnéticas 431 TESTE SUA COMPREENSAO DA SEGAO 324 A Figura 3213 mostra o comprimento de onda de uma onda eletromagnética senoidal em um instante t 0 Para qual dos quatro seguintes valores de x a a densidade de energia é maxima b a densidade de energia é minima c o médulo do vetor de Poynting instantaneo nao médio é maximo d o médulo do vetor de Poynting instantaéneo néo médio é minimo i x 0 i x A4 iti x N2 iv x 341 325 ONDAS ELETROMAGNETICAS ESTACIONARIAS As ondas eletromagnéticas podem ser refletidas pela superficie de um condutor Figura 3222 Representacao dos como uma lamina metalica polida ou de um dielétrico como uma placa de vidro campos elétrico e magnético de uma A superposicao de uma onda incidente com uma onda refletida forma uma onda 0Nda eletromagnética estacionaria estacionaria A situacao é andloga ao caso das ondas estaciondrias em uma corda plana linearmente polarizada quando wt 374 rad Em qualquer esticada estudadas na Segao 157 a plano perpendicular ao eixo Ox E é Uma placa muito fina de um condutor perfeito resistividade nula colocada maximo um antind quando B sobre 0 plano yz como na Figura 3222 atingida por uma onda eletromagnética um n6 zero e viceversa linearmente polarizada se propagando no sentido negativo do eixo Ox Conforme 4 medida que o tempo passa dissemos na Sec4o 234 o campo E nao pode possuir nenhum componente na di configuragao das ondas ndo se Le propaga da esquerda para a direita recao paralela a superficie de um condutor perfeito portanto no presente caso longo do eixo Ox em vez disso deve ser igual a zero em todos os pontos sobre 0 plano yz Contudo o campo elétrico em cada ponto os vetores E e B da onda eletromagnética incidente ndo nulo em todos os instantes sobre 0 plano simplesmente oscilam yz Porém esse campo elétrico oscilante produz correntes induzidas na superficie Condutor perfeito do condutor e essas correntes dao origem a um campo elétrico adicional O campo y plano nodal de E elétrico resultante dado pela soma vetorial do campo elétrico induzido e do campo pane antinodal elétrico F incidente é igual a zero tanto na superficie como no interior do condutor BS As correntes induzidas na superficie do condutor também dao origem a uma TAA onda refletida que se propaga para fora do plano no sentido x Suponha quea Ww i onda incidente seja descrita pelas fungdes de onda indicadas na Equagao 3219 E Xe x uma onda senoidal se propagando no sentido x e a onda refletida pela negativa x 3A4 das equagdes 3216 uma onda senoidal se propagando no sentido x Tomamos plano antinodal de E 0 negativo da onda dado pelas equacées 3216 de modo que os campos elétricos plano nodal de B incidentes e refletivos se anulam em x 0 0 plano do condutor onde o campo elétrico total deve ser igual a zero O principio da superposicao afirma que 0 campo FE resultante em qualquer ponto é dado pela soma vetorial do campo E da onda incidente com o campo elétrico da onda refletida e analogamente para o campo B resultante Portanto as fungdes de onda para a superposicdo das duas ondas sao dadas por Ey t Emax cos kx wt cos kx ot BAx 1 Byax cos kx wt cos kx ot Podemos expandir e simplificar essas express6es usando as identidades cos A B cosAcosB senA senB Os resultados sao Ey t 2Emax sen kx sen wt 3234 BAX t 2Bmax COS kx cos wt 3235 432 Fisica Ill A Equacao 3234 andloga a Equacgao 1528 para uma corda esticada Vemos que para x 0 o campo elétrico Ex 0 t sempre igual a zero Essa exigéncia é oriunda da natureza do condutor perfeito que desempenha um papel andlogo ao do ponto fixo na extremidade de uma corda vibrante Além disso Fx 1 igual a zero em qualquer instante em todos os pontos sobre os planos perpendiculares ao eixo Ox para os quais sen kx 0 Ou seja kx 0 7 277 Uma vez que k 27X as posicgdes desses planos sao dadas por Xr 3X x 0 7 A Qt planos nodais de E 3236 Esses planos constituem planos nodais do campo E eles sio equivalentes aos nos ou pontos nodais de uma onda estacionaria em uma corda vibrante Entre dois planos nodais adjacentes existem planos para os quais sen kx 1 sobre cada um desses planos o médulo Ex f atinge duas vezes em cada ciclo o valor maximo possivel de 2E4x Cada um desses planos constitui um plano antinodal de E que corresponde aos antinos das ondas estacionarias de uma corda O campo magnético total igual a zero para todos os instantes para os pontos dos planos determinados pela condiao cos kx 0 Esses sao os planos nodais do campo B e ocorrem onde A 3A 5A 3 x planos nodais de B 3237 44 4 Existem planos antinodais de B na metade da distancia entre dois planos nodais adjacentes A Figura 3222 mostra uma configuracgdo de ondas estacionarias para um dado instante de tempo O campo magnético ndo igual a zero sobre a superficie con dutora x 0 As correntes superficiais que criam um campo elétrico para fazer o campo resultante E exatamente igual a zero sobre a superficie produzem um campo magnético sobre a superficie Os planos nodais de cada um dos dois campos sao separados por metade do comprimento de onda Os planos nodais de E estio situa dos na metade dos de B e viceversa Compare a presente discussdo com a distingao entre os nés de pressao e os nds de deslocamento na Secao 164 O campo elétrico total é uma funcao seno de t e o campo magnético total uma fungao cosseno de t As variagées senoidais dos dois campos estao portanto defa sadas 90 em cada ponto Nos instantes para os quais sen wt 0 o campo elétrico igual a zero em todas as partes e 0 campo magnético apresenta seu valor maximo Quando cos wt 0 0 campo magnético é igual a zero em todas as partes e o campo elétrico apresenta seu valor maximo Isso contrasta com uma onda progressiva que se propaga em uma dada direcao como descrito separadamente pelas equag6es 3216 ou 3219 para a qual as variagdes senoidais de E e B estio sempre em fase em qualquer ponto E instrutivo verificar que as equacGes 3234 e 3235 satisfazem a equacao de onda indicada na Equacao 3215 Elas também satisfazem as equacdes 3212 e 3214 que sao formas equivalentes das leis de Faraday e de Ampére Ondas estacionarias em uma cavidade Vamos agora introduzir um segundo plano condutor paralelo ao primeiro e si tuado sobre 0 eixo Ox a uma distancia L desse plano A cavidade entre os dois planos é analoga ao caso de uma corda esticada presa nos pontos x Oe x L Os dois planos condutores devem ser planos nodais para 0 campo E uma onda estacionaria s6 podera se formar quando o segundo plano estiver situado sobre um ponto para o qual Ex t 0 de modo que L deve ser um miultiplo inteiro de 42 Os comprimentos de onda que satisfazem essa condiao sao dados por y n 123 3238 Capitulo 832 Ondas eletromagnéticas 433 As frequéncias correspondentes sao Figura 3223 Um forno de micro ondas produz ondas c c 123 cletromagnéticas estaciondrias com n n a 122 cm um comprimento de hn An 2L 3239 onda fortemente absor vido pela Agua existente nos alimentos Como Portanto existe um conjunto de modos normais cada um dos quais com uma a distancia entre dois nds frequéncia caracteristica uma dada forma de onda e configuracao nodal Figura consecutivos A2 61 cm 0 a alimento deve girar durante a 3223 Medindo as posigGes dos nds podemos determinar os comprimentos de gperacdo do forno Caso nao onda Se a frequéncia for conhecida a velocidade da onda podera ser calculada girasse as partes situadas sobre os Essa técnica foi aplicada pela primeira vez por Hertz na década de 1880 em suas ns pons onde a amplitude da investigac6es pioneiras sobre ondas eletromagnéticas permaneceriam frias Superficies condutoras nao sao apenas refletoras de ondas eletromagnéticas As reflexdes também ocorrem em uma interface entre dois materiais isolantes com pro p priedades dielétricas ou magnéticas diferentes O andlogo mecanico é uma junao i a de duas cordas com igual tenséo porém diferente densidade de massa linear Em geral a incidéncia de uma onda sobre tal superficie limitrofe é parcialmente trans o mitida para o segundo material e parcialmente refletida de volta ao primeiro Por 4 exemplo a luz é transmitida através de uma janela de vidro mas suas superficies be também refletem a luz Calcule a intensidade da onda estaciondria representada pelas Aplicando a identidade sen 2A 2 sen A cos A podemos escre equacG6es 3234 e 3235 ver a relacdo anterior na forma SOLUGAO 5x1 Emax Bmax Sen2kx sen2at IDENTIFICAR E PREPARAR a intensidade J da onda é dada pelo Mo valor médio Sq do médulo do vetor de Poynting Para de O valor médio de uma fungao seno sobre um nimero qualquer terminar Seq Vamos inicialmente usar a Equacao 3228 para de periodos é igual a zero Portanto a média temporal de S em encontrar o valor instantdneo de S e a seguir extraira médiade qualquer ponto é igual a zero 1 Smeq 0 um ntimero inteiro de ciclos da onda AVALIAR esse resultado j4 era esperado Formamos a onda esta EXECUTAR usando as func6es das equacGes 3234 e 3235 na cionaria pela superposicao de duas ondas de mesma frequéncia Equacio 3228 para o vetor de Poynting Ss obtemos e mesma amplitude se deslocando em sentidos opostos Toda a energia transferida por uma das ondas é completamente anulada Sx i ks i Xx Bx t pela quantidade de energia fornecida em sentido oposto pela Mo outra onda Quando usamos ondas eletromagnéticas para trans 1 A mitir poténcia é importante evitar as reflexGes que possam dar Mo 27Emax sen kxsenoot X 2kBmmsx COs kx cos wt origem a ondas estacionarias oa EmaxBmax a i ap 2senkx cos kx 2senwtcos wt iSx f Ondas eletromagnéticas estacionarias so produzidas em uma estaciondrias em uma corda O comprimento de onda mais longo cavidade com duas paredes paralelas fortemente condutoras e possivel e a frequéncia mais baixa possivel correspondem ao separadas por uma distancia de 150 cm a Calcule 0 compri modo n 1 nas equac6es 3238 e 3239 Usamos essas equagdes mento de onda A mais longo e a menor frequéncia fdas ondas para determinar os valores de A ef A seguir as equacées 3236 estacionarias entre as paredes b Para a onda estacionariacom 3237 fornecem as localizacées dos planos nodais de Ee BOs comprimento de onda mais longo em que pontos da cavidade planos antinodais de cada campo estio no centro entre os planos E possui seu médulo maximo Em que pontos F iguala zero podais adjacentes Em que pontos B possui seu médulo maximo Em que pontos ExECUTAR a a partir das equagdes 3238 e 3239 o compri B igual a zero mento de onda e a frequéncia que correspondem an 1 so SOLUGAO A 2L 2150 cm 300 cm IDENTIFICAR E PREPARAR somente certos modos normais so c 300 X 10 ms 10 possiveis para ondas eletromagnéticas em uma cavidade assim fi OL 2150 X 102m 100 X 10 Hz 10 GHz como somente certos modos normais sao possiveis para ondas Continua 434 Fisica lll Continuagdo b Para n 1 existe apenas a metade do comprimento de AVALIAR uma aplicacgao dessas ondas estaciondrias é para pro onda entre as duas paredes O campo elétrico possui planos duzir um campo oscilante E com uma frequéncia fixa que serve nodais E 0 nas paredes eum plano antinodal onde E tem para sondar o comportamento de uma pequena amostra de mate seu médulo maximo no centro entre as duas paredes O campo rial colocada no interior da cavidade Para submetermos a amos magnético apresenta planos antinodais nas paredes e um plano tra ao campo elétrico mais forte devemos colocala no centro da nodal no centro entre as duas paredes cavidade no plano antinodal de E TESTE SUA COMPREENSAO DA SEGAO 325 Na ondaestacionaria descrita no Exemplo 327 ha algum ponto na cavidade onde a densidade da energia seja igual a zero em todos os instantes Se sim onde Se nao por qué I CAPITULO 32 RESUMO Equagoes de Maxwell e ondas eletromagnéti cB 324 y CaS as ondas eletromagnéticas que se propagam no vacuo com velocidade igual 4 da luz c foram B oMocE 328 E a ea previstas pelas equacées de Maxwell O espectro B Eh mn x a 1 a 4 eletromagnético cobre frequéncias de no minimo 329 Be E 1 até 104 Hz e uma correspondente ampla gama V oHo BY E0 de comprimentos de onda A luz visivel com com Bi lo B0 primentos de onda de 380 nm a 750 nm constitui B z somente uma pequena parte desse espectro Em uma U FF E i onda plana E e B sao uniformes sobre qualquer Be Bs plano perpendicular a direcao de propagacao A lei de Faraday e a lei de Ampére fornecem relag6es entre os médulos de E e B para que essas duas relagGes sejam satisfeitas é necessaria uma expres s40 para c em termos de 9 e wo As ondas eletro magnéticas sdo transversais os campos E e B sio perpendiculares entre si e perpendiculares a direcao de propagacao O produto vetorial E X B fornece a direcao e o sentido de propagacao da onda Ondas eletromagnéticas senoidais as equagdes Fx 1 FEmsx cos kx wt 3217 y 3217 e 3218 descrevem uma onda eletromagnética E plana senoidal se propagando no vacuo no sentido A O B x Se a onda estiver se propagando no sentido x Bx 1 kKByax cos kx wt B BE substitua kx wt por kx wt Vejao Exemplo max CBmax 3218 9 321 J EB Ondas eletromagnéticas na matéria quando uma 1 1 1 onda eletromagnetica se desloca através de umdie Veu VKKp er létrico a velocidade de onda v é menor que a velo cidade da luz no vacuo c Veja o Exemplo 322 o 3221 V KKn Energia e momento linear nas ondas eletromag 12 3 y neticas a taxa do fluxo de energia poténcia por s oe AS 3228 cdi unidade de area para uma onda eletromagnética se EB E2 C P maxmax max Zz propagando no vacuo dada pelo vetor de Poynting J Smeg B A a4 2U0 2pgc S A intensidade J da onda é a média no tempo do OM A S modulo do vetor de Poynting Uma onda eletro 1 2 E2 z EB magnética também transporta momento linear Ao 2 wg BS atingir uma superficie uma onda eletromagnética Plano exerce uma press4o de radiag4o Paq Quando a Se QcE max 3229 estaciondrio Frente de onda em um instante dt posterior Capitulo 82 Ondas eletromagnéticas 435 superficie perpendicular a diregao de propagagéo dp EB e totalmente absorvida Pyaq Mc quando ocorre 4 dtc Moc 3231 reflex4o total na superficie Prag 21c Veja os exemplos 323 a 325 are do tluxo do momento linear eletromagnético Ondas eletromagnéticas estacionarias quando uma superficie refletora ideal é colocada em eatecrenrerere x 0 as ondas refletidas e incidentes formam ondas estacionarias Os planos nodais de E 5 formamse nos pontos kx 0 7 277 e os planos nodais de B formamse nos pontos kx A a2 372 572 Em cada ponto as variagGes senoidais de E e de B estéo defasadasem 90 z4 A IN Veja os exemplos 326 e 327 B R Problema em destaque Detectando ondas eletromagnéticas Uma espira de fio circular pode ser usadacomo umaantenade 4 Use o resultado do item 3 para escrever express6es para 0 radio Se uma antena com 180 cm de diametro estd localizada campo magnético em fungao do tempo nessa posicao e para a 250 km de uma fonte de 950 MHz com uma poténcia total o fluxo magnético em fungao do tempo através da espira de 550 kW qual é a fem induzida maxima na espira A orien 5 Use os resultados do item 4 para determinar a fem induzida taco da espira da antena e a polarizacao da onda aparecem na em funcao do tempo na espira A amplitude dessa fem é a Figura 3224 Suponha que a fonte irradie uniformemente em sua variavelalvo todas as direcGes AVALIAR 6 A fem induzida é grande o suficiente para ser detectada GUIA DA SOLU C AO Se for um receptor conectado a essa antena captara sinais da fonte IDENTIFICAR E PREPARAR 1 O plano da espira da antena é perpendicular direcio do Figura 3224 Uso de uma antena de espira circular para campo magnético oscilante da onda Isso causa um fluxo etectar ondas de radio magnético através da espira que varia senoidalmente com y Nas proximidades da espira o tempo Pela lei de Faraday isso produz uma fem igual em a onda se propaga no sentido x modulo a taxa de variagao do fluxo A varidvelalvo é 0 E ve modulo dessa fem 2 Selecione as equagdes necessdrias para determinar i a O B Antena de espira intensidade da onda na posic4o da espira a uma distancia B E circular no plano xy r 250 km da fonte de poténcia P 550 kW ii a am z y plitude do campo magnético variando senoidalmente nessa posicAo iii o fluxo magnético através da espira em fungao do tempo e iv a fem produzida pelo fluxo o E EXECUTAR Nas proximidades da espira B 3 Determine a intensidade de onda na posicao da espira E tem somente um componente y e B tem somente um componente z PROBLEMAS e ee eee niveis de dificuldade PC problemas cumulativos incorporando material de outros capitulos CALC problemas exigindo calculo DADOS problemas envolvendo dados reais evidéncia cientifica projeto experimental eou raciocinio cientifico BIO problemas envolvendo biociéncias QUESTOES PARA DISCUSSAO do carro Quando ele volta de Sao Francisco para Oakland pelo Q321 Se vocé medir o campo magnético e o campo elétrico em nivel inferior da ponte que possui nos dois lados uma estrutura um ponto do espago onde uma onda eletromagnética se propaga de ago para suportar o nivel superior a recepgao do radio é muito é possivel determinar a direcdo de onde a onda veio Explique fraca Qual 0 motivo dessa diferenga Q322 Quando um motorista dirige no nivel superior da ponte Q323 Dé exemplos de ondas eletromagnéticas encontradas em Bay Bridge no sentido de Oakland para Sao Francisco ele con nossa vida diaria O que existe de semelhante entre elas Quais segue sintonizar facilmente diversas estagdes emissoras no radio sao as diferengas 436 Fisica Ill Q324 Algumas vezes antncios de neénio desligados mas F na direcio z Bna direcéo x d Ena direcio y Bna localizados pr6ximo a uma emissora de radio com potncia ele direcaio z vada brilham fracamente durante a noite embora nao estejam 393 Umaonda eletromagnética senoidal est se propagando ligados O que produz esse brilho fraco no vacuo no sentido z Se em um dado instante e em um dado 0825 A Polarizagao uma propricdade e toss as one ponto do espaco o campo elétrico estiver no sentido x e possuir romagneticas ou apenas uma propriedade da uz Visivel AS médulo de 400 Vm quais sero o médulo a direcAo e o sentido ones vel dew poem Ser Potarzacas Quai propriedade fun do campo magnético da onda nesse mesmo ponto no espaco e amental das ondas que deve ser considerada Explique mesmo instante no tempo Q326 Suponha que uma carga puntiforme Positiva q estejainl 324 Considere a diregaio e o sentido do campo magnético e do cralmente i te lans sobre oo Ow a ae de uma onda campo elétrico indicados a seguir Para cada caso quais siio a dire eletromagnética plana descrita na Secéo 322 A carga se mo oa R Fp B R vera quando a frente da onda atingila Caso nao se mova por sao 0 sentido dep Topagagao d a onda E B BI b que nao Caso ela se mova descreva qualitativamente seu mo E E B Bi c E Ek B Bi d E Ei B Bk vn tod Lembrese de net eae onday os mesmos valores S e4o 323 Ondas eletromagnéticas senoidais em todos os pontos alras cla Trente cle onda 325 BIO Raios X médicos Os raios X médicos sao realiza Q327 wine ee Oe on pode ae ia campo etree dos com ondas eletromagnéticas que possuem um comprimento com modulo igual a m correspondenco auma Cilerena de onda em torno de 010 nm no ar Quais sao a frequéncia 0 de potencial de 1500 V entre a cabega e os pés de uma pessoa perfodo e o ntimero de onda dessas ondas com altura de 15 0 m sobre a qual 0 feixe incide Isso provoca 396 BIO Radiagao ultravioleta Ha duas categorias de raio one ice one sobre a re ror we i ultravioleta O ultravioleta A UVA possui um comprimento de Fara uma Caca onda senolda ce intensidade 7 a ampi onda que varia de 320 nm a 400 nm Ele nao é tao prejudicial tude do campo magnético é igual a B Qual seria a amplitude pele e necessdrio para a producao de vitamina D O UVB em termos de B em uma onda semelhante com 0 dobro da com comprimento de onda entre 280 nm e 320 nm é muito mais intensidade perigoso porque causa cancer de pele a Determine as faixas de a828 amptituds do camp ve ecmptes 32 1 iSeete 323 frequéncia de UVA e UVB b Quais sao as faixas dos nimeros de onda para UVA e UVB cerca de 100 vezes malor que campo magnético da Terra Se 327 Uma onda eletromagnética senoidal com um campo vocé iluminar uma bussola com o feixe desse laser ocorrerd uma eye z magnético de amplitude 125 wT e um comprimento de onda deflexao da bissola Por qué Z o oo de 432 nm se desloca no sentido x no vacuo a Qual é a fre Q3210 Muitos automéveis possuem antenas verticais para re rae 2 ays ae quéncia dessa onda b Qual é a amplitude do campo elétrico ceber ondas de emissoras de radio Explique como isso pode ays oe agssociado c Escreva as equacg6es para os campos elétrico e dar uma informac4o sobre a polarizacéo do campo elétrico E aa as magnético em funcao de x e de f na forma das equagoes 3217 das ondas eletromagnéticas provenientes das emissoras de radio ves 328 Uma onda eletromagnética com comprimento de onda Q3211 Se um feixe de luz transporta momento linear uma igual a 435 nm se desloca no vacuo no sentido z O campo pessoa que liga uma lanterna sente um recuo dela analogamente ae elétrico é paralelo ao eixo Ox e possui amplitude de 270 X ao caso do recuo de um rifle quando dispara Por que esse recuo 3 ae 10 Vm Qual é 0 valor a da frequéncia b Da amplitude nao é efetivamente observado d Stico c E a EB Q3212 Uma fonte de luz irradia uma onda eletromagnética 9 campo a c Escreva as equagoes vetoriais para senoidal de modo uniforme em todas as diregdes Essa onda para 1 exerce uma pressao média p sobre uma superficie perfeitamente 329 Considere uma onda eletromagnetica que se propaga refletora a uma distancia R dela Qual pressdo média em termos 2 at a Determine a frequéncia de uma onda com um compri de p essa onda exerceria sobre uma superficie perfeitamente ento de onda de i 50 km ii 50 um iii 50 nm b Qual absorvente que estivesse duas vezes mais distante da fonte o comprimento de onda em metros nan6émetros de 1 raios Q3213 Uma onda eletromagnética estaciondria transporta gama com frequéncia de 650 X 10 Hz e ii ondas de uma energia Ela transporta momento linear As respostas a essas eStagdo de radio AM na frequéncia de 590 kHz quest6es seriam as mesmas se a pergunta fosse sobre uma onda 3210 Ocampo elétrico de uma onda eletromagnética senoi eletromagnética progressiva Por qué dal obedece equagio E 375 Vm cos 199 X 107 radmx 597 X 10 rads a Qual é a velocidade da onda b Quais sao as amplitudes dos campos elétrico e magnético dessa EXERCICIOS onda c Quais so a frequéncia o comprimento de onda e o Segao 322 Ondas eletromagnéticas planas e periodo da onda Essa luz é visivel aos seres humanos a velocidade da luz 3211 Uma onda eletromagnética possui um campo elé 321 a Sabendo que a distancia entre a Terrae a Lua é de trico dado por Ey t 310 X 10 Vmk cos ky 1265 X 384000 km quanto tempo leva a luz para viajar da Lua até a 10 rads a Em que diregao e sentido a onda eletromagné Terra b A luz emitida pela estrela Sirius leva 861 anos para tica esta se propagando b Qual é o comprimento de onda c chegar até a Terra Qual é a distancia entre a Terra e Siriusem Escreva a equacao vetorial para By f quil6metros 3212 Uma onda eletromagnética possui um campo mag 322 Considere a diregao e o sentido do campo magnéticoe nético dado por Bx t 825 X 10 T cos 138 X do campo elétrico indicados a seguir Para cada caso quais sio 10 radmx w a Em que direcio e sentido a onda eletro a diregao e o sentido da propagagao da onda a E na direcéo magnética esta se propagando b Qual éa frequéncia fda onda x B na diregaéo y b E na direcao y B na diregao xc c Escreva a equagao vetorial para Ex f Capitulo 82 Ondas eletromagnéticas 437 3213 Umacerta estacao de radio emite ondas com frequéncia 93222 Uma onda eletromagnética senoidal emitida por um de 830 kHz Para uma dada distancia do transmissor a amplitude telefone celular possui comprimento de onda igual a 354 cm do campo magnético da onda eletromagnética é igual a 482 X ea amplitude do campo elétrico de 540 X 10 Vma uma 10 T Calcule a 0 comprimento de onda b o nimero de distancia de 250 m do telefone Calcule a a frequéncia da onda onda c a frequéncia angular d aamplitude do campo elétrico b a amplitude do campo magnético c a intensidade da onda 3214 Uma onda eletromagnética com frequéncia de 650Hz 3223 Uma fonte de luz monocromatica possui poténcia total se desloca em um material magnético isolante que possui cons igual a 600 W e irradia uniformemente em todas as diregdes tante dielétrica de 364 e permeabilidade relativa de 518 nessa uma luz de comprimento de onda igual a 700 nm Calcule En4x frequéncia O campo elétrico possui amplitude 720 x 103Vm e Bmax para a luz de 700 nm a uma distancia de 500 m da fonte a Qual a velocidade de propagacio da onda b Qualéocom 3224 Transmiss4o de televiso O canal ptblico de televi primento de onda c Qual é a amplitude do campo magnético sao KQED em Sao Francisco nos Estados Unidos transmite um 3215 Uma onda eletromagnética com frequéncia 570 X sinal de radio senoidal a uma poténcia de 777 kW Suponha que 10 Hz se propaga com uma velocidade de 217 X 10 msem a onda se propague uniformemente para um hemisfério acima do um dado pedago de vidro Determine a 0 comprimento de onda solo Em uma casa a 500 km de distancia da antena a qual é da onda no vidro b o comprimento de ondade uma ondacoma a pressdo média exercida pela onda sobre uma superficie total mesma frequéncia que se propaga no ar c 0 indice de refracgio mente refletora b quais s4o as amplitudes dos campos elétrico n do vidro para uma onda eletromagnética com essa frequéncia e magnético da onda e c qual é a densidade média da energia d aconstante dielétrica do vidro nessa frequéncia supondo que que essa onda transporta d Para a densidade de energia obtida a permeabilidade relativa seja igual a 1 no item c qual porcentagem advém do campo elétrico e qual orcentagem advém do campo magnético Secao 324 Energia e momento linear em P e Po magnenco 3225 Uma fonte de luz intensa irradia uniformemente em ondas eletromagnéticas LA todas as direcdes A uma distancia de 50 m da fonte a pressao de 3216 BIO Tratamento de cancer com alta energia Os os Z 7 oe oe radiacg4o sobre uma superficie perfeitamente absorvedora é 90 X cientistas estéo trabalhando em uma nova técnica para eliminar 6 2 As oy 10 Pa Qual é a poténcia média total da fonte células cancerfgenas removendoas com pulsos de luz de energia a 12 3226 Nos laboratérios de simulagao espacial da Nasa existe ultraalta na faixa de 10 W que duram um tempo extrema uma sala de 25 pés aproximadamente 76 m de comprimento mente curto alguns nanossegundos Esses pulsos curtos desar A a Lo 2 na qual um conjunto de lampadas produz no piso do laboratério rumam 0 interior de uma célula sem fazer com que ela se exploda 2 uma intensidade de 2500 Wm uma simulagao equivalente a in como fariam os pulsos longos Podemos modelar uma célula ti e an tensidade da luz solar nas vizinhangas do planeta Vénus Calcule pica desse tipo como um disco de 50 wm de diametro com um eer As a4 12 a pressdo da radiagao média em pascals e em atmosferas sobre pulso durando 40 ns e uma poténcia média de 20 X 10 W Ls a uma secao totalmente absorvedora do piso do laboratério b Vamos considerar que a energia seja espalhada uniformemente uma secao totalmente refletora do piso c Calcule a densidade pelas faces de 100 células para cada pulso a Quanta energia é ay Lo tf do momento linear médio momento linear por unidade de vo dada 4 célula durante esse pulso b Qual é a intensidade em Wm fornecida a célula c Quais sao os valores méximos dos lume da luz que atinge o piso 1étri Sti 10 3227 BIO Seguranga do laser Se o olho humano receber campos elétrico e magnético no pulso a P g P uma intensidade média maior que 10 x 10 Wmn pode haver 3217 Campos de uma lampada Podemos modelar de e Z A danos 4 retina Essa quantidade é denominada patamar de dano forma razoavel uma lampada incandescente de 75 W como uma A 4 wa da retina a Qual é a maior poténcia média em mW que um esfera com 60 cm de diametro Tipicamente apenas cerca de va vo raio laser com 15 mm de diadmetro pode ter e ainda ser consi 5 da energia vai para a luz visivel o restante vai em grande sox an oo derado seguro para ser visto de frente b Quais sao os valores parte para a radiag4o infravermelha no visivel a Qual é a ays ae a 2 oe maximos dos campos elétrico e magnético para o raio no item intensidade da luz visivel em Wm na superficie da lampada ne a c Quanta energia 0 raio no item a enviaria por segundo b Quais sAo as amplitudes dos campos elétrico e magnético 2 ys para a retina d Expresse o patamar de dano em Wcm nessa superficie para uma onda senoidal com essa intensidade qa ne 3228 Um raio laser possui diametro de 120 nm Qual é a 3218 Uma onda eletromagnética senoidal emitida por uma as aes 4 amplitude do campo elétrico da radiac4o eletromagnética no raio estacao de radio passa perpendicularmente através de uma janela a Le Z 2 eet se ele exerce uma forcga de 38 X 10 N sobre uma superficie aberta com area de 0500 m Na janela o campo elétrico da onda totalmente refletora possui valor eficaz de 00400 Vm Quanta energia essa onda ae Z 3229 Lasers de laboratério Lasers de HeNe sao frequen transporta através da janela durante um comercial de 300 s ys 2 10 temente usados em demonstrag6es de fisica Eles produzem 3219 Umasonda espacial que esté a20 X 10 mde uma es rae sw ays luz com comprimento de onda de 633 nm e uma poténcia de trela mede que a intensidade total da radiacgdo eletromagnética da eg 2 3 2 0500 mW espalhada por um feixe cilindrico com 100 mm de estrela é de 50 X 10 Vm Se a estrela irradia uniformemente i oe A ey diametro embora esses valores possam variar a Qual é a in em todas as diregdes qual sua poténcia média total soe a tensidade desse feixe de laser b Quais so os valores maximos 3220 O fluxo de energia da luz solar até a Terra é cerca de oe ae 4 2 a dos campos elétrico e magnético c Qual é a densidade média 14 kWm a Determine os valores maximos dos campos elé a de energia no feixe de laser trico e magnético para uma onda senoidal com essa intensidade b A distancia da Terra ao Sol é cerca de 15 X 10m Achea Segdo 325 Ondas eletromagnéticas estacionarias poténcia total irradiada pelo Sol 3230 Uma onda eletromagnética estaciondria em certo ma 3221 A intensidade de um feixe de laser cilindrico é de terial possui frequéncia igual a 220 x 10 Hz A distancia entre 0800 Wm2 A drea de seco reta do feixe 630 X 10mea dois planos nodais consecutivos do campo B é igual a 465 mm intensidade é uniforme através da secfo reta do feixe a Qual Calcule a o comprimento de onda da onda nesse material b é a poténcia média do laser b Qual é 0 valor eficaz do campo a distancia entre dois planos nodais adjacentes do campo E c elétrico no feixe a velocidade de propagagao da onda 438 Fisica Ill 3231 Forno de microondas As microondas de um forno 0 resultado aos valores fornecidos na Segao 324 para a luz solar possuem um comprimento de onda de 122 cm a Qual deve imediatamente antes de ela penetrar na atmosfera terrestre b A ser a largura desse forno para que possa conter cinco planos an pressdo do gas na superficie do Sol é aproximadamente igual a tinodais do campo elétrico ao longo de sua largura no padrao de 10 X 10 Pa para r R2 a pressao do gas é de cerca de 47 X onda estacionéria b Qual a frequéncia dessas microondas 103 Pa Comparando esses dados aos resultados que vocé obteve c Suponha que por um erro de fabricacao 0 forno tenha ficado no item a a pressdo da radiagado é um fator importante para 50 cm mais comprido que 0 especificado no item a Nessecaso determinar a estrutura do Sol Por qué qual teria de ser a frequéncia das microondas para ainda haver 3238 Um pequeno laser de hélioneénio emite luz verme cinco planos antinodais do campo elétrico ao longo da larguralha com poténcia igual a 580 mW concentrada em um feixe do forno com diametro de 250 mm a Calcule as amplitudes do campo 3232 Uma onda eletromagnética estaciondria no ar possuielétrico e do campo magnético da luz emitida b Calcule as frequéncia igual a 750 MHz a Qual é a distancia entre dois densidades de energia médias associadas com o campo elétrico planos nodais consecutivos do campo E b Qual é a distancia com 0 campo magnético c Qual é a energia contida em um entre um plano nodal do campo E 0 plano nodal mais proximo comprimento do feixe igual a 100 m do campo B 3239 PC Dois refletores quadrados cada qual com 150 cm de lado e 400 g de massa esto localizados em extre midades opostas de uma haste delgada extremamente leve de PROBLEMAS 100 m e que pode girar sem atrito e no vacuo em torno de um 3233 BIO Cirurgia a laser Pulsos muito curtos de raios gixg perpendicular a ele em seu centro Figura P3239 Esses laser com alta intensidade sao usados para reparar partes desco refletores so suficientemente pequenos para serem tratados ladas da retina Os curtos pulsos de energia absorvidos pela retina ggmo massas puntiformes em cdlculos de momento de inércia unem as partes descoladas no lugar Em um procedimento desse ambos os refletores siio iluminados em uma face por uma onda tipo um raio laser tem um comprimento de onda de 810 nme ge Jyz senoidal com um campo elétrico de amplitude 125 NC fornece 250 mW de poténcia espalhados por uma regiao circular que recai uniformemente sobre ambas as superficies e sempre com 510 ym de diametro O humor vitreo 0 fluido transparente 9 atinge perpendicularmente ao plano de suas superficies Um que preenche a maior parte do olho possui um indice de refragao refJetor é coberto com um revestimento perfeitamente absorvedor de 134 a Se os pulsos do laser duram 150 ms quanta energia 9 outro com um revestimento perfeitamente refletor Qual é a é fornecida 4 retina a cada pulso b Qual pressio média o pulso aceleracao angular desse dispositivo do raio laser exerceria na incidéncia normal sobre uma superficie no ar se 0 raio fosse totalmente absorvido c Quais so 0 com Figura P3239 primento de onda e a frequéncia da luz do laser dentro do humor le 100 m vitreo d Quais sao os valores maximos dos campos elétrico e magnético no raio laser 3234 CALC Considere uma onda eletromagnética senoidal Eixo de rotagao tal que os campos sejam dados pelas equagoes E Emax COS kx othe B Bmaxk cos kx wt pcom7h7 3240 Uma fonte de ondas eletromagnéticas senoidais irradia Mostre que se E e B satisfazem as equagdes 3212 3214 ent yniformemente em todas as direcdes A 100 m dessa fonte a concluimos que Emax cBmax 0O resultado Oindica amplitude do campo elétrico é medida como 350 NC Qual é a que os campos E e B oscilam em fase amplitude do campo elétrico a uma distancia de 200 cm da fonte 3235 Um satélite a 575 km acima da superficie terrestre 3241 CALC PC Um condutor cilfndrico com secao reta transmite ondas eletromagnéticas senoidais com frequéncia de circular de raio a e resistividade p conduz uma corrente cons 924 MHz uniformemente em todas as diregdes com uma potén tante J a Determine o médulo a direcio e o sentido do vetor E cia de 250 kW a Qual a intensidade dessas ondas quandoelas em um ponto imediatamente abaixo da superficie do fio situado atingem um receptor na superficie terrestre diretamente abaixo a uma distAncia a do eixo central b Determine 0 mddulo a do satélite b Quais sao as amplitudes dos campos elétrico e direcao e o sentido do vetor B nesse mesmo ponto c Calcule magnético no receptor c Se o receptor possui um painel total 6 médulo a direcdo e 0 sentido do vetor de Poynting S nesse mente absorvedor que mede 150 cm por 400 cm orientado com mesmo ponto O sentido de S indica o sentido em que a energia seu plano perpendicular ao sentido percorrido pelas ondas qual eletromagnética flui para o interior ou para o exterior do con a forga média que essas ondas exercem sobre 0 painel Essa dutor d Use 0 resultado do item c para calcular a taxa de forga é grande o suficiente para causar efeitos significativos escoamento de energia para 0 interior do volume ocupado por um 3236 Para uma onda eletromagnética senoidal se propa comprimento do condutor Dica integre S sobre a superficie gando no vacuo como a onda descrita na Equagao 3216 mostre do volume considerado Compare o resultado a taxa da geracao que a densidade de energia média armazenada no campo elétrico de energia térmica no mesmo volume Explique por que a energia é a mesma que a armazenada no campo magnético dissipada na resisténcia de um condutor que conduz uma corrente 3237 O Sol emite energia sob forma de ondas eletromagné pode ser interpretada em termos de uma energia que penetra no ticas a uma taxa de 39 X 107 W Essa energia é produzida por solenoide através de suas paredes cilindricas reacg6es nucleares que ocorrem proximas ao centro do Sol a 3242 PC Uma espira de fio circular tem um raio de Calcule a intensidade da radiacao eletromagnéticae a pressio da 750 cm Uma onda no plano eletromagnético senoidal trafe radiagao sobre um objeto absorvedor na superficie do Sol raio gando no ar passa pela espira com a diregado do campo magnético r R 696 X 10 km e a uma distancia r R2 no interior da onda perpendicular ao plano da espira A intensidade da onda do Sol Despreze os efeitos de espalhamento das ondas quando no local da espira é de 00275 Wim eo comprimento de onda é elas se propagam radialmente a partir do centro do Sol Compare de 690 m Qual é a fem maxima induzida na espira Capitulo 82 Ondas eletromagnéticas 439 3243 Em uma dada experiéncia um transmissor de rédio exercida pelo Sol seja igual ao valor da forga oriunda da pressao emite ondas eletromagnéticas senoidais com frequéncia de da radiacao A luminosidade do Sol é de 39 x 102 W Sua res 1100 MHz em sentidos opostos dentro de uma cavidade estreita posta depende da distancia r entre a particula e 0 Sol Por qué com refletores em ambas as extremidades gerando um padrio d Explique por que existe uma probabilidade muito pequena de de onda estacionaria a Qual é a distancia que separa os planos que uma particula com raio menor que 0 que vocé encontrou no nodais do campo magnético b Se o padrao de onda estacio item c possa existir no espaco interplanetario do sistema solar naria é determinado como em sua oitava harm6nica qual é 0 Dica obtenha a razdo entre a expressAo de forga encontrada no comprimento da cavidade item a e a encontrada no item b 3244 Nikola Tesla um inventor do século XIX prop6s a 3248 DADOS A empresa onde vocé trabalha obteve e transmissao de poténcia elétrica através de ondas eletromagnéti armazenou cinco lasers em um depésito de suprimentos Vocé cas senoidais Considere a poténcia elétrica transmitida por um precisa determinar a intensidade da radiagdo eletromagnética feixe com secio reta de drea igual a 100 m Qual deveria ser a produzida por cada laser Os lasers sao marcados com especi amplitude do campo magnético e a amplitude do campo elétrico ficagdes mas infelizmente foram dadas informacgoes diferentes para que esse feixe pudesse transmitir uma poténcia elétricacom para cada laser pardvel 4 poténcia transmitida por linhas de transmissio moder Laser A poténcia 26 W didmetro do feixe cilindrico nas que operam com tensdes da ordem de 500 kV e correntes 26 mm da ordem de 1000 A Laser B amplitude do campo elétrico 480 Vm 3245 PC Sistema de posicionamento global GPS A Laser C amplitude do campo magnético 87 X 107 T rede GPS consiste em 24 satélites e cada um realiza duas 6rbi Laser D diaémetro do feixe cilindrico 18 mm forga na super tas em torno da Terra por dia Cada satélite transmite um sinal ficie totalmente refletiva 60 X 108N eletromagnético senoidal de 500 W ou até menos em duas Laser E densidade de energia média no feixe 30 X 1077 Jm frequéncias e uma delas é de 157542 MHz Suponha que um Calcule a intensidade para cada laser e ordene os lasers em ordem satélite transmita metade de sua poténcia em cada frequénciae de intensidade crescente Suponha que os raios laser tenham dis que as ondas se propaguem uniformemente em um hemisfério tribuicdes de intensidade uniformes sobre suas seg6es retas de cima para baixo a Qual é a intensidade média que umre 3249 e DADOS Visto que a velocidade da luz em um vacuo ceptor de GPS no solo diretamente abaixo do satélite recebe ou no ar possui um valor muito alto ela é muito dificil de ser Dica primeiro use as leis de Newton para determinar a altitude medida diretamente Para medir essa velocidade vocé realiza do satélite b Quais sdo as amplitudes dos campos elétricoe um experimento no qual mede a amplitude do campo elétrico magnético do receptor de GPS no item a e quanto tempo leva em um raio laser enquanto varia a intensidade do raio A Figura para o sinal atingir 0 receptor c Se 0 receptor for um painel P3249 é um grafico da intensidade J que vocé mediu em fungdo quadrado de 150 cm de lado que absorve todo 0 feixe de luz qual do quadrado da amplitude E do campo elétrico A linha reta é a pressdo média exercida pelo sinal sobre ele d Qualéocom pelo melhor ajuste para os seus dados tem uma inclinagado de primento de onda com o qual o receptor deve estar sintonizado 133 X 107 JV7 s a Explique por que os pontos de dados 3246 PC Velas solares A Nasa esta considerando seria desenhados dessa forma ficam pr6ximos de uma linha reta b mente a possibilidade de a propulsdo de naves espaciais usar o Use esse grafico para calcular a velocidade da luz no ar conceito de velas solares Uma nave espacial solar teria uma Figura P3249 grande vela feita com material leve e usaria a propulsao aprovei tando a energia e o momento linear da radiacao solar a A vela 1 Wm deve absorver ou refletir a luz solar Por qué b A poténcia total emitida pelo Sol é igual a 39 X 107 W Qual deve ser a drea 800 de uma vela para impulsionar uma nave espacial de massa igual 600 a 10000 kg no sentido contrario ao da fora de atracao gravita 400 cional do Sol Expresse sua resposta em quilémetros quadrados c Explique por que sua resposta do item b nao depende da 200 distancia entre a nave e o Sol 0 Enyae 105 V2m2 3247 PC O espaco sideral contém muitas particulas que 000 200 400 600 constituem a chamada poeira cdésmica A pressao oriunda da radiagdo emitida pelo Sol estabelece um limite inferior parao 3250 DADOS Como instrutor em um laboratério de fisica diametro dessas particulas Para verificar a origem desse limite vocé realiza um experimento com ondas estacionarias de micro considere uma particula esférica de poeira de raio Re massaes ondas semelhante as ondas estacionarias produzidas em um pecifica p a Escreva uma expressao para a forca gravitacional forno de microondas doméstico Um transmissor emite micro exercida pelo Sol massa M sobre a particula quando ela estaa ondas com frequéncia f As ondas sao refletidas por um refletor uma distancia r do Sol b Seja La luminosidade do Sol ou seja metalico plano e um receptor mede a amplitude do campo elé a taxa com a qual ele emite ondas eletromagnéticas Calcule a trico das ondas em funcao da posi4o na configuragao de onda forca exercida sobre a particula totalmente absorvedora oriunda estaciondria que é produzida entre o transmissor e o refletor da pressfo da radiacfo solar lembrando que a intensidade da Figura P3250 Vocé mede a distancia d entre os pontos de radiagao do Sol também depende da distancia r A grandezarele amplitude maxima ventres do campo elétrico em fung4o da vante para esse calculo é a area da secao reta da particulaendoa frequéncia das ondas emitidas pelo transmissor Os dados obtidos area de sua superficie Como parte da resposta diga porque vocé aparecem na tabela a seguir deve considerar essa area c A massa especifica de uma parti cula tipica de poeira césmica é da ordem de 3000 kgm Calcule qual deve ser o raio R da particula para que a forga gravitacional 440 Fisica lll Use os dados para calcular c a velocidade das ondas eletromag esse resultado informa a respeito do modelo da fisica classica néticas no ar Como cada valor medido tem algum erro expe para descrever 0 atomo rimental desenhe os dados de modo que os pontos de dados 3253 eee CALC As ondas eletromagnéticas se propagam em fiquem préximos de uma linha reta entfo use ainclinagéo dessa condutores de modo muito diferente da propagagao em dielétri linha para calcular o valor de c cos e no vacuo Quando a resistividade do condutor for suficien Figura P3250 temente pequena ou seja quando ele for um bom condutor o campo elétrico oscilante da onda produzira uma corrente de conducao oscilante que é muito maior que a corrente de deslo i e camento Nesse caso a equagao de onda para o campo elétrico E x 1 Ey tJ se propagando no sentido no interior do Transmissor Receptor Refletor condutor é dada por PE x t pb dE x f ax p ot PROBLEMAS DESAFIADORES 3251 eee PC Ondas eletromagnéticas sao produzidas por car em que p a permeabilidade do condutor e p sua resistividade gas aceleradas A taxa da emissao de energia de uma particula a Uma solucdo para essa equaciio de onda é dada por Ex 1 com carga q e aceleragao a é dada por Emaxe C cos kex wtem que ke Va 2p Verifique essa dE ga solucao substituindo Ey t na equagao de onda precedente b O termo exponencial mostra que a amplitude do campo elétrico dt 6mregc diminui 4 medida que a onda se propaga Explique a razao desse efeito Dica 0 campo realiza trabalho para mover a carga no em que c a velocidade da luz a Verifique se essa equagao esta interior do condutor A corrente resultante desse movimento pro dimensionalmente correta b Sabendo que um proton se desloca duz uma dissipaao de calor R no interior do condutor fazendo em um acelerador de partfcula com energia cinética de 60 MeV sua temperatura aumentar De onde provém a energia para isso percorrendo uma Grbita circular de raio igual a 0750 m qualéa c Mostre que a amplitude do campo elétrico diminui por um fragio de sua energia que ele irradia por segundo c Considere fator 1e para uma dist4ncia determinada por 1ke V2pop agora um elétron se deslocando nessa 6rbita com 0 mesmo raio e calcule essa distancia para uma onda de radio com frequéncia e a mesma velocidade Qual é a fragiio de sua energia que ele f 10 MHz no cobre resistividade 172 X 108 0 me per irradia por segundo meabilidade uw fo Como essa distancia é muito pequena as 3252 eee PC Modelo classico do Aatomo de hidrogénio ondas eletromagnéticas praticamente nao se propagam no interior Podemos considerar que o elétron de um dtomo de hidrogénio do cobre Ao contrario elas s4o refletidas na superficie do metal estd em uma Orbita circular com raio igual 200529 nmeenergia A partir disso concluise que as ondas de rddio nao penetram no cinética de 136 eV Caso o elétron se comportasse de maneira cobre nem em outros metais explicandose por que a recepcao tradicional qual seria a quantidade de energia que ele deveria das ondas de radio é extremamente fraca no interior de um am irradiar por segundo Veja o Problema desafiador 3251 O que biente cercado por uma estrutura metélica Problemas com contexto BIO NIVEL DE EXPOSICAO SEGURO AS ONDAS 3255 Dobrar a frequéncia de uma onda na faixa de 25 Hz a ELETROMAGNETICAS Existem muitos estudos sobre 3 kHz representa que variagao na intensidade maxima permitida os efeitos das ondas eletromagnéticas de diversas frequéncias de onda eletromagnética a Um fator de 2 b um fator de 1 sobre os seres humanos Usando esses estudos a International V2 c um fator de 5 d um fator de i Commission on NonIonizing Radiation Protection ICNIRP 3256 A ICNIRP também possui orientagdes para a exposicgao produziu orientag6es para limitar a exposig4o aos campos eletro do campo magnético para o publico em geral Na faixa de fre magnéticos visando a protecao contra efeitos adversos 4 satide quéncia de 25 Hz a 3 kHz essa orientagao afirma que a ampli Nas frequéncias de 1 Hz a 25 Hz 0 nivel de exposigéo maximo tude maxima permitida é 5f T onde f é a frequéncia em kHz da amplitude do campo elétrico E4 para piblico em geral é Qual é um limite mais rigoroso sobre a intensidade de onda 14kVm Diferentes orientag6es foram criadas para pessoas sub eletromagnética nessa faixa de frequéncia a orientacao sobre metidas a exposic40 ocupacional a radiaga4o Nas frequéncias de 0 campo elétrico ou a orientacdo sobre 0 campo magnético a 25 Hza3 kHz a Ey4 correspondente é 350f Vm onde féafre A orientago sobre 0 campo magnético pois em determinada quéncia em kHz Fonte ICNIRP Statement on the Guidelines frequéncia o campo magnético permitido é menor que 0 campo for Limiting Exposure to TimeVarying Electric Magnetic and elétrico permitido b A orientac4o sobre 0 campo elétrico pois Electromagnetic Fields up to 300 GHz 2009 Health Physics em determinada frequéncia a intensidade permitida calculada a 973 257258 partir da orientacgdo sobre 0 campo elétrico é menor c Depende 3254 Nos Estados Unidos a energia elétrica residencial é for da frequéncia em particular escolhida as duas orientag6es depen necida em uma frequéncia de 60 Hz de modo que ha interesse dem da frequéncia d Nem uma nem outra para qualquer particular na radiagaéo eletromagnética nessa frequéncia Com frequéncia dada as orientagdes representam a mesma intensidade base nas orientag6es da ICNIRP qual é a intensidade maximade de onda eletromagnética uma onda eletromagnética nessa frequéncia para a qual o publico em geral devera estar exposto a 77 Wm b 160 Wm c 45 kWm d 260 kWm Capitulo 82 Ondas eletromagnéticas 441 RESPOSTAS Resposta a pergunta inicial do capitulo 323 Resposta iv Em uma onda eletromagnética plana ideal Resposta i os metais s4o refletivos porque séo bons condu em qualquer instante os campos séo os mesmos em qualquer tores de eletricidade Quando uma onda eletromagnética atinge ponto de um plano perpendicular ao sentido da propagacao A um condutor o campo elétrico da onda ativa correntes sobre a onda plana descrita pelas equacgdes 3217 se propaga no sentido superficie do condutor que geram uma onda refletida Paraum de x portanto os campos dependem da coordenada x e do ins condutor perfeito o requisito de que 0 componente do campo tante t mas ndo dependem das coordenadas y e z elétrico paralelo a superficie deva ser zero implica queessaonda 324 Respostas a i e iii b ii e iv i e iii d refletida é tao intensa quando a onda incidente Metais foscos sao iii e iv Tanto a densidade de energia u quanto o médulo S do menos brilhantes porque sua superficie esta oxidadae é menos vetor de Poynting sao maximos onde os campos EeB possuirem condutiva 0 polimento do metal remove 0 6xido e expde 0 ma seus mddulos maximos O sentido dos campos nao importa terial condutor Pela Figura 3213 isso ocorre em x 0 ex A2 Tanto u quanto Respostas as perguntas dos testes S possuem um valor minimo igual a zero isso ocorre quando E de compreensao e B sao ambos iguais a zero Pela Figura 3213 isso ocorre em 321 Respostas a nao b nao Uma onda puramente A4 ex 304 elétrica teria um campo elétrico variante Esse campo necessa 325 Resposta nao Ha pontos em que E 0 em todos Os riamente gera um campo magnético através da lei de Ampére istantes nas paredes e a densidade de energia elétrica 3oE Equaciio 2921 portanto uma onda puramente elétrica é im Sempre igual a zero Também ha pontos em que B 0 em possivel De modo andlogo uma onda puramente magnética todos os instantes sobre o plano no centro entre as paredes e a é impossivel 0 campo magnético variante nesse tipo de onda densidade da energia magnética Bl 2Mo sempre igual a zero automaticamente geraria um campo elétrico através da lei de Entretanto ndo ha pontos em que tanto E quanto B sejam sem Faraday Equacao 2920 pre nulos Portanto a densidade de energia em qualquer ponto 322 Respostas a sentido positivo de y b sentido ne 28 onda estacionaria é sempre diferente de zero gativo de x c sentido positivo de y Vocé pode conferir essas Problema em destaque respostas usando a regra da mAo direita para demonstrar que 00368 V E X B emcada caso esté no sentido da propagacdo ou usando a regra indicada na Figura 329 BookSEARSVol3indb 442 101115 711 PM APENDICE O SISTEMA INTERNACIONAL DE UNIDADES O Sistema Internacional de Unidades abreviado por SI é 0 sistema desenvolvido pela Conferéncia Geral sobre Pesos e Medidas um congresso internacional e adotado por quase todos os paises industrializados do mundo O material apresentado a seguir foi adaptado do National Institute of Standards and Technology httpphysicsnistgovcuu Grandeza Nomedaumidade Simbolo Unidas bisicas do St feomprimento men mE massa dguilogremna ig SCS a 0 FO fcorrentseldiica SSsd pe SSSSSCSCSCSCSS SSCS HemperaturatermodindmicakewinSSSSSSSOSKSSCSS quantidade de substancia idimolSSCSCSCSSSSsmt SSSSSCSCiSSCSCSCSCSCSCSS fintensidadeominosaseandela eg Unidas derivadasdo SE Unidas equivalentes a a massa eapecifica Gensidade quilograma pormeto oibico kg sd wvelocidade i metroporsegundo ms velocidad angular radiano por segundo SSCsadwSSSSCiSCSSSSCSCS faccleragio SSs eto por segundo no quand ims SSSCSCdSCSSCSCSCSCS aceleragio angular radlano por segundo ao quadrado red pressio ensio mecinica pascal SCSCSSiPSSSSdiN CS visoosidede cinemitica metro quadrado porseguado we viscosidade dintmica newtonegundo por metro quadradoNvin SiS Fitensidade do campo magnéticoamptrepormetroSrASCSCSCSSdSCSCSCSCCSS fogamagnetomotiz iam CAC CS Humindncia SC andea por metro quadind idea SCYSCSSCSCSCSY Ee fenttopiaSSSSSSdoleporkeivin SSK SSS alorespesiico Sdi ole poqulograme kevin dSgKSSSiS condutividadetrmicawattpormetrokelvin Wim K Fintensidade da radiagio wattporestereorradino Swar SSCS atvidade de umafonteradivativa ibecquerel SSSBQSS 444 Fisica lll dose de radiagio gay SSSdCY We equivalente da dose de radiaglo Te Unidades suplementares do SI ingulo plano fain ed metro m O metro é um comprimento igual a distancia newton N O newton é a forga que fornece para uma percorrida pela luz no vacuo em um intervalo de tempo massa de quilograma uma aceleracgdo de um metro por igual a fragdo 1299792458 do segundo segundo por segundo quilograma kg O quilograma é uma unidade de massa joule J O joule é 0 trabalho realizado quando o ponto de igual 4 massa de um prototipo internacional do quilo aplicagao de uma forga constante de N é deslocado até grama O prot6tipo internacional do quilograma um uma distancia de metro na direao da forga cilindro de uma liga de platinairidio preservado em uma Z As fe 5 ea cs pia P watt W O watt é a poténcia que da origem a uma produ galeria da Agéncia Internacional de Pesos e Medidas em cao de energia com uma taxa igual a joule por segundo Sévres na Franga a volt V O volt é a diferenga de potencial elétrico entre segundo s O segundo 0 intervalo de tempo correspon sow we dois pontos de um condutor que transporta uma corrente dente a 9192631770 ciclos da radiagao emitida durante as Loe constante igual a 1 ampére quando a poténcia entre es a transicao entre dois niveis hiperfinos do estado funda Z a ses dois pontos é igual a 1 W mental do atomo de césio 133 5 weber Wb O weber é 0 fluxo magnético que ao atraves ampere A O ampére é uma corrente constante que ao oo gs uy sar um circuito com uma espira produz nela uma forga ser mantida em dois fios retilfineos e paralelos de com ae ye eletromotriz igual a V quando o fluxo é reduzido a primentos infinitos de secdes retas despreziveis e sepa ree J zero com uma taxa uniforme em um segundo rados por uma distancia de 1 m no vacuo produz entre os fios uma forga igual a 2 X 107N para cada metro de limen Im O dimen é 0 fluxo luminoso emitido em um comprimento dos fios Angulo sdlido igual a 1 estereorradiano por uma fonte La ontual uniforme cuja intensidade é igual a candela kelvin K O kelvin unidade de temperatura termodina P J S mica é a fraco igual a 127316 da temperatura termo farad F O farad a capacitancia de um capacitor que dinamica correspondente ao ponto triplo da agua possui uma diferenca de potencial de 1 V entre suas pla ear cas quando ele carregado por uma carga elétrica igual ohm Q O ohm é aresisténcia elétrica entre dois pontos de d 8 P 8 g a coulomb um condutor que transporta uma corrente de A quando uma diferenca de potencial constante de 1 volt aplicada henry H O henry a indutancia de um circuito fechado entre esses dois pontos esse trecho do condutor nio pode no qual uma forga eletromotriz de V é produzida ser fonte de nenhuma forga eletromotriz quando a corrente elétrica no circuito varia com uma taxa uniforme de A por segundo coulomb C O coulomb é a carga elétrica transportada P 8 em um segundo por uma corrente de A radiano rad O radiano é 0 angulo plano entre dois raios ao do circulo que cortam a circunferéncia formando um candela cd A candela a intensidade luminosa em d Lk Lk arco de comprimento igual ao raio dada direcao de uma fonte que emite uma radiacgao mo nocromatica com frequéncia igual a 540 X 10 hertz estereorradiano sr O estereorradiano é um Angulo s6 e cuja intensidade da radiac4o nessa direc4o equivale a lido que possuindo seu vértice no centro de uma esfera 1683 watt por estereorradiano corta a superficie da esfera formando uma calota cuja area superficial é equivalente a 4rea de um quadrado de moléculagrama mol O mol é a quantidade de uma sup ed 4 A lado igual ao raio da esfera substancia que contém um ntimero de unidades ele mentares equivalente ao ntimero de dtomos existentes prefixos do SI Os nomes dos multiplos e submultiplos das em 0012 kg de carbono 12 Essas unidades elementares unidades do SI podem ser formados usandose a lista dos devem ser especificadas e podem ser dtomos moléculas prefixos apresentados no Apéndice F fons elétrons outras particulas ou grupos de tais parti culas especificadas APENDICE B RELAGOES MATEMATICAS UTEIS Algebra xX eat gage goa a a Logaritmos Se log a x entéo a 10 loga logb logab loga logb logab loga nloga Selna x entdoae Ina Inb Inab Ina Inb Inab Ina nina pr1p Equacdo do segundo grau Se ax bx c 0 x waNee a Série binomial nn 1a nn 1n 2a a b a na b 4 2 3 Trigonometria No tridngulo retangulo ABC x y Definicé6es das fungées trigonomeétricas Cc sen a yr cos a xr tan a yx y Identidades sena sena cosa tana A x B cos a sen 2a 2 senacosa cos 2a cosa sena 2cosa112sena 1 1 cosa costa 1 cosa sen 4 a 2 2 2 sena sena sena B senacos B cos a sen B cosa cos a cos a B cos acos B sen a sen B sena 72 cosa sena senB 2sen a B cos 5a B cosa 72 sena cosa cos B 2cos a B cos 5 a B Para qualquer triangulo A B C nao necessariamente um triangulo retangulo C com lados a be ce angulos a Be y S b a Lei dos senos senp Seny a b c A Lei dos cossenos c a b 2ab cos y A c B 446 Fisica lll Geometria Comprimento de uma circunferéncia de raior C 27 r Area da superficie de uma esfera de raio r A 47 r Area de um circulo de raio r A7r Volume de um cilindro de raio re alturah Vamr7h Volume de uma esfera de raio r V4r PB Calculo diferencial e integral Derivadas 1 fn nx nax f eax ae dx dx x dx d d sen ax acosax cosax asen ax dx dx Integrais n1 d 1 ita n 1 oem tac ten n1 x a seraxav Jeosacax wesen sen axdx cosax cosaxdx sen ax Veg nd aresen 7 dx dx 1 x dx 1 x Infx VV a ere aes fwan2a lee vra a a x a3 a Vx2 a i lea Vie t a Séries de poténcias convergentes para os valores de x indicados nn1x nn 1n2 3 2x8 17x tat att ny DE MT D2 tanx x 2 4 x 22 2 3 3 15 315 2 3 lx 1 alte 2 todos EP tog Inl x 42 4 en senx x a1 51 71 odo x n x x 5 3 4 x 2 4 6 cosx 1 4 4 todo x 2 4 6 APENDICE CG ALFABETO GREGO Nome sC Maaittscula Miintiscula 0 Beta BC B Delta A pion ES tj OS ja Omion OO RPS Sem OS io UOCOSCS TABELA PERIODICA DOS ELEMENTOS Grupo 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 periddico 1 2 3 4 5 6 7 Para cada elemento indicase a massa at6mica média da mistura dos isdtopos do elemento que se encontram na natureza Para os elementos que n4éo possuem is6topos estdveis indicase entre parénteses a massa at6mica média aproximada do elemento de maior duracgao Todas as massas at6micas s4o expressas usandose unidades de massa atomica 1 u 166053892173 X 1077 kg que equivale a grama por mol gmol APENDICE FATORES DE CONVERSAO DAS UNIDADES COMPRIMENTO ACELERAGAO 1m 100 cm 1000 mm 10 um 10 nm 1 ms 100 cms 3281 péss 1 km 1000 m 06214 mi 1 cms 001 ms 003281 pés 1 m 3281 pés 3937 pol 1 pés 03048 ms 3048 cms 1 cm 03937 pol 1 mih s 1467 pés 1 pol 2540 cm 1 pé 3048 cm MASSA l yd 9144 cm 1 kg 10 g 00685 slug 1 mi 5280 pés 1609 km 1g 685 X 10 slug 1A10m 10 8cm 10 nm I slug 1459 kg 1 milha nautica 6080 pés lu 1661 x 10727 kg 1 anoluz 9461 x 10 m 1 kg possui uma massa de 2205 Ib quando g 980 ms AREA FORCA 1 cm 0155 pol 1 N 10 dina 02248 Ib 1m 104 cm 1076 pés 1 lb 4448 N 4448 x 10 dina 1 pol 6452 cm 1 pé 144 pol 00929 m PRESSAO 1 Pa 1 Nm 1450 X 1074 Ibpol 0209 Ibpé VOLUME 1 bar 10 Pa 1 litro 1000 cm 10 m 003531 pé 6102 1 Ibpol 6895 Pa pol 1 lbpé 4788 Pa 1 pe 002832 m 2832 litros 7477 galées 1 atm 1013 X 10 Pa 1013 bar 1 galao 3788 litros 147 lbpol 2117 lbpé 1 mm Hg torr 1333 Pa TEMPO 1 min 60s ENERGIA 1h 3600s 1J 10ergs 0239 cal 1 d 86400 s 1 cal 4186 J Com base em temperatura de 15 1a 36524 d 3156 X 10 1 pé Ib 1356 J 1 Btu 1055 J 252 cal 778 pés lb leV 1602 x 1095 ANGULO 1 kWh 3600 X 10J 1 rad 5730 180 1 001745 rad 7180 rad 1 rotagéo 360 27 rad EQUIVALENCIA ENTRE MASSA E ENERGIA 1 rotmin rpm 01047 rads 1 kg 8988 10 J lu9315 MeV 9 VELOCIDADE leV 1074 x 10 u 1 ms 3281 péss 1 pés 03048 ms POTENCIA 1 mimin 60 mih 88 péss 1W1Jls 1 kmh 02778 ms 06214 mih 1 hp 746 W 550 pés Ibs 1 mih 1466 péss 04470 ms 1609 kmh 1 Btuh 0293 W 1 furlongfortnight 1662 X 107 ms APENDICE CONSTANTES NUMERICAS Constantes fisicas fundamentais Velocidade da luz no vacuo c 299792458 x 10 ms Médulo da carga do elétron e 16021765335 X 10 C Constante gravitacional G 66738480 X 107 N m7kg Constante de Planck h 66260695729 x 10 J s Constante de Boltzmann k 1380648813 X 10773 K Ntimero de Avogadro Na 60221412927 x 107 moléculasmol Constante dos gases R 8314462175 Jmol K Massa do elétron Me 91093829140 x 107 kg Massa do proton Mp 167262177774 X 10 kg Massa do néutron My 167492735174 x 1027 kg Constante magnética Lo 4a X 1077 WbA m Constante elétrica 9 poe 8854187817 x 1071 CN m Arey 8987551787 X 10 N m7C Outras constantes Uteis Equivalente mecanico do calor 4186 Jcal 15 calorias Pressao da atmosfera padrao 1 atm 101325 x 10 Pa Zero absoluto OK 27315 C Elétronvolt lev 160217656535 x 107 J Unidade de massa at6mica lu 166053892173 X 1027 kg Energia de repouso do elétron mec 051099892811 MeV Volume de um gas ideal 0 C e atm 2241396820 litromol Fonte National Institute of Standards and Technology httpphysicsnistgovcuu Os nimeros entre parénteses indicam as incertezas dos di gitos finais dos nimeros principais por exemplo o nimero 1645421 significa 16454 00021 Os valores que ndo possuem incertezas s4o exatos Apéndice F 451 Dados astronémicost Sol 199 x 10 696 x 108 Lua 735 X 1022 174 x 10 384 x 108 273 d Merctirio 330 x 107 244 x 108 579 x 101 880 d Vénus 487 x 1074 605 X 10 108 x 10 2247 d Terra 597 x 1074 637 X 10 150 x 101 3653 d Marte 642 x 1073 339 X 10 228 x 10 6870 d Jupiter 190 x 1077 699 x 107 778 x 10 1186 Saturno 568 x 1076 582 x 107 143 x 107 2945 a Urano 868 x 1025 254 x 107 287 x 107 8402 a Netuno 102 x 1076 246 X 107 450 x 10 1648 a Plutao 131 X 1022 115 x 10 591 x 101 2479 a Fonte NASA httpsolarsystemnasagovplanets Para cada corpo 0 raio é 0 seu raio médio e 0 raio orbital é a distancia média entre 0 corpo e o Sol para os planetas ou medida a partir da Terra no caso da Lua Em agosto de 2006 o International Astronomical Union reclassificou Plutaéo e outros pequenos corpos na 6érbita do Sol como planetas andes Prefixos para as poténcias de dez a oP pico 105 pet Exemplos 1 femtémetro 1 fm 107 m 1 milivolt 1 mV 1037 V 1 picossegundo 1 ps 107 s 1 quilopascal 1 kPa 10 Pa 1 nanocoulomb 1 nC 107C 1 megawatt 1 MW 10 W 1 microkelvin 1 uK 10K 1 gigahertz 1 GHz 10 Hz BookSEARSVol3indb 452 101115 712 PM PROBLEMAS IMPARES CAPITULO 21 2149 a 114 X 10 NC em direcao ao centro 2191 wRY Ro 211 a 200 x 10 b 859 x 10 8 302 x 10 NIC em direcdo b 213 34 x 10 mis prston ab centro do disco 40 V Rls 1 63 X 10 mis elétron 146 X 105 NC em diregdo A carga ti a y ne 2151 a 70 NC b 175 X 10 NV VRox 417 2153 a 14 x 107 C m de q para qy ofl I 219 a 0742 uC b 0371 uC 148 uC c Zt mis K R QL a 221 X 104 ms b 860 NIC eyR Ro 21413 0750nC 2155 a p alinhado na mesma diregao 2115 18 X 104 N na diregao x ou na diregao oposta de 2 s x 2117 x 0144m b estavel p alinhado na mesma diregao de 2a V2egmR Ry 2119 258 uN na direcio y E instavel p alinhado na diregao oposta 2193 a qy 800 uC qo 300 pC 2121 a 880 X 10 N atracao 2157 a 1680 N da carga de 500 wC b 749 N na direcaio x b 822 X 108 N cerca de 10 vezes para a carga de 500 wC c x 0248 m maior que a forga de ligagao b 223 N m sentido hordrio 2195 b q0q20 c 0843 uC d 562 N 2123 a 440 x 10N b 263 X10 ms QO 1 1 263 X 10 mis 2159 b 1 2V2 afastando do centro 2197 a merlaes aire 2125 a 330 X 10 NC Aesquerda b 142 ns 8rregk 3 s qiet 2199 opgao c 180 X 10 NC a direita do quadrado 21101 opeao b 2127 a 219 uC b 102 X 107 NIC 2161 a 863 X 10 N 552 X 10 N Oe OPS 2129 a 364 NC b nao 273 wm para baixo b 102 X 104 N 326 abaixo do eixo x 2131 179 X 10 ms 2163 b 280 uC c 395 V2 V2 2165 341 X 10 NC a esquerda CAPITULO 22 2133 j 4 4 2167 entre as cargas 024 m da carga de 0500 nC 221 a 18NmC b nado i 0 Gi 90 039 0927 2169 emx d3q 409 223 a 353 X 10N m2C b 313 pC 2135 a 633 kms b 159 kms 642 225 TPE 2137 a0 2171 a Para longe do vértice vazio 227 0977 N m7C para dentro b para x a treol 229 a0 b 122 x 10 NIC ax 3q 1 radialmente para dentro By a 2 a Amen 2 v2 3 Para 0 centro 364 X 107 NIC radialmente para dentro 0 do quadrado 2211 a 117 X 10N mC Para x a 2173 a 60 X 1023 b 41 X 102 N b nenhuma mudanga E 4 wta gravitacional 510 kN elétrica 2213 00810 N 0 2779 x7 ay c sim elétrica nao gravitacional 2215 135 x 10 2175 2190 kms 2217 a 647 X 10 NIC diregio ty para x a 5 5 b 72 x 10 NIC diregao y put ete 2177 q MUG Sem Gy mvo sen 2a 2219 a 573 wCm b 647 X 10 NC a QE9 2 ay 2eE eE b 565 X 10N m2C d Ing 0418 m d 289 m 2221 a 0260 wCm b 1960 NC 2139 a i 574 NIC direcao x ii 268 NC 0 2223 a 656 X 1077 J b 120 X 10 ms direco x iii 404 NC diregdo x 2179 a E Inca 4 E 0 2225 a 600 nC b 100 nC b i 920 X 1077N diregao x Tega X a XP 2227 ale entre 0 fora ii 430 X 107 N direcao x vy 2 4 i 2929 a 2wRo 6 ZF ey A iii 648 X 107N diregao x d4megar rta or 2meor 2141 104 x 107 NIC em diregiio 2231 116 kms acarga de 200 uC 2181 a 799 nC b 240 nC 2233 102 2143 a 8740 NIC a direita 2183 a 156 NC direcdo x c menor 2235 a 750 N m7C b 0 b 6540 NIC a direita d 47 c 577 NIC diregao x 140 x 1075 N adireita 0185 EE2 d dentro e fora 2145 173 X 108 N em direcao ao x ame oa 2237 a 0598 nC b dentro e fora ponto entre os elétrons 2187 a 625 X 104 NC 225 sentido anti 2239 a 5 A radialmente para fora 2147 a E EyE0 b Ey 2660 NIC hordrio a partir do eixo apontando Teor Ey 0 E 2660 NIC diregao x para a direita no ponto P b A radialmente para fora Ey 129 NIC Ey 510 NIC b 100 x 1074 N oposto a 2eor E 526 NIC 284 sentido antihordrio a direcdo do campo elétrico d A interna A externa partir do eixo x 2189 a 115 X 10 NIC a esquerda 2241 a oe b d E 0 E 1380 NIC b 158 X 10 NC d esquerda 29 2Teor E 1380NIC diregio y c 158 X 10 NC a direita Sao iguais 454 Fisica lll ne ql 1 2415 a série b 5000 2243 a r R0Rr 2R Grey 2 a MV ZG 2417 a O Oy 224 MC O3 448 uC radialmente para fora q fl 1 Qa 672 HC b Vi V2 56 V 1 20 ii V Zt ii V 0 V3 112 V V4 168 V c 112 V r 2R radialmente 2419 a Q 156 uC Q2 260 wC direg 7 0 E12 b V V2 520 V para fora Amregr 2421 a 193 nF b 482 nC c 162 nC 2245 ai0 ii 0 iii radialmente 2343 a E Ay 2Bx Ey yt CE0 d 25 V 27egr b x CA y 2BCIA 2423 00283 Jm para fora qualquer valor de z 2425 a 900 pF b 00152 m c 45 kV 34 2345 a 0762 nC d 180 pJ iv 0 v tadialmente para fora 2347 a 0360 pJ b x 0074 m 2427 a Uy 4Ug b Oy 2Q C Ey 2E 2megr 2349 42 x 10V 2429 a 242 uC b O35 77 uC b i 0 ii 2q Git 2q iv 6 2351 a 479 MeV 766 X 103J O75 165 wC c 266 mJ gO b 517 X 10 4m d U35 085 mJ U75 2247 a dren para o centro da casca b 0 2353 a 215 wJ b 283 kV 354 kVm 181 mJ e 220 V mer 2355 a 785 X 104 Vim43 2431 a 160 nC b 805 2249 a a b EQ 105 X 10 Vmx13 2433 a 360 mJ antes 135 mJ depois 29 r c 313 X 105 N em direcAo ao anodo b 99 mJ aumentou a 146q2 2435 a 0620 Cm b 128 b q 2maa E 5 2357 2437 00135 m 2251 RID 2359 478V Deal IOLY 228 Or 3p 2361 a i V A2rrInba 41 0 b On eA 2253 c 4 ii V A2rrepInbr iii V 0 2443 a b c K KQ 4ieoR d A2zrpInba oAK eoAK d e 2R3 Q 2363 a 176 X 10 N para baixo 2445 a 421 b 0054 F 3aregR b 193 10 mis 2447 a 0531 pF b 0224 mm pod x para baixo c 0822 cm 2449 a 00160 C b 533 V c 4263 d 2143 2255 b x d fora da placa 3e0 Jal d 153 e 329 cm 2451 a 158 J b 721 wd 2365 a 971 kVm b 303 pC 2453 a 25 pF x d dentro da placa Pri 2367 3 b Q 550 wC Qo 370 UC O3 Qa 3eqd 5 dreoR 180 wC Os 550 uC V 65 V V2 2257 b pb 2369 360kV 87 V V3 V4 43 V V5 65 V 39 2371 a 500 g 216 ms 127 ms 1500 g 2455 Cz 600 ME C3 450 ME 2259 a fio retilineo carregado A esfera 720 ms 424 ms 2457 a 76 uC b 14mJ c 11 V d 13 mJ uniformemente carregada B O xta 2459 a 23 wF b A 150 X 107 Cm 2373 a Gmena b Q 970 uC Qo 640 uC Cc 47 V p 281 x 103 Cm3 2461 a 391 b 228 V 2261 i 377 NIC ii 653 NC iii 274 NC Q a Va y 2463 167 pF iv 0 Greoa in y 2465 0185 pJ 2263 opgao a 2467 b 238 nF 2265 opcao b 24 2H 2469 a C 600 WF C 300 pF Arre gt 4reqy b mesma carga Cy armazena mais energia i 2375 ai b3 c C armazena mais carga e energia CAPITU LO 23 2377 to sera b 7260 kms 2471 a primeiro conectado b 144 cm 231 0356J 6 23 X 10 K 64 X 10K c desconectado 233 346 x 1013 J 216 MeV 2379 a A 60 Vm B 40 Vm3 2473 opgao c 235 a 125 ms b 0323 m C 20 Vim D 10 V1 2475 opgio a 237 194 10 5N 20 m 30 n 60 239 a 136 kms muito tempo depois da partida b 0 0 0 100 V 0 050 m 050 m b 245 X 107 ms logo apés a partida 050 m 80 V 67 Vm 100 m CAPITULO 25 2311 q2 100 m 100 m 20 V 21 Vm 2313 742 ms mais rapidamente 2381 0 479 X 10 C gota 159x PC SL LOC io 6 2315 a 0 b 0750 mJ c 206 mJ gota 2 809 x 107 C gota 3 253 312 x 10 b 151 x 10 Afm 2317 a 0 b I75 kV c 0875 J 323 X 10 C gota 4 0111 mms 2319 a 737 V b 704V 82 x 108J d 3 gota 1 5 gota 3 2 gota 4 d tanto b quanto aumentariam q I 2 e 160 x 10 gota 1 159 X 10C 255 a 110 min b 440 min c vg Id 2321 b V aly Troal i gota 2 162 X 109 C gotas 3 4 257 a 330C b 41 A 161 x 10 8c 259 90 pA x aa3 0 V 2383 101 x 107 m Ll x 107 m 2511 106 x 10 m b 000105 C Ameox 254 x 104 m 2513 a 0206 mV b 0176 mV 2323 a b b 800 Vm c 480 wJ 2385 oped b 2515 a 121 Vm b 00145 Q 0182 V 2325 a i 180 V ii 270 V Git 450 V 2517 0125 0 b 719 V casca interna 2519 a 467 X 108 Q b 672 x 1070 9327 a oscilatori Xx 107 ms 2521 a 11 A b 31 V 0282 9329 fo osetitore Lon 10 mis CAPITULO 24 2523 a 9954 Q b 00158 0 2331 a 949 nCm b nao menor c 0 241 a 100kV b 226 cm 800 pF 2525 a 274 V b 123 MJ 2333 a 782 kV b 0 243 a604V b908cm 1840 kVm 2527 a 0 b 50 V 50V 2335 0474 d 163 weChm 2529 308 V 0067 Q 180 0 2337 a 800 kVm b 192 LN c 0864 pJ 245 a 120 uC b 60 uC 480 WC 2531 a LAl A sentido hordrio d 0864 pJ 247 a 105 mm b 840 V b 137 V c 10 V 2339 760 V 249 a 435 pF b 230 V 2533 a 0471 A sentido antihordrio b 152 V 2341 a V 1 2411 a 150 pF b 309 cm c 312 kKNC 2535 a 1440 b 2400 Ameor th 2413 a 175 cm b 255 nC c 100 W 0833 A 60 W 0500 A Respostas dos problemas impares 455 2537 a 298 W b 0248 A 2627 a 800 A b 360 V 540 V 2743 a A b 290 rads 2539 a 31 W b 72 W c 41 W c 900 2 2745 a NIAB0 b 0 NIAB c NIAB 0 2541 a 300 W b 090 J 2629 a 160 A superior 140 A meio d 0 NJAB 2543 a 26 MJ b 0063 L c 16h 020 A inferior b 104 V 2747 a 113 A b 369 A c 982 V d 362 W 2545 123 2631 a 364 V b 0500 A 2749 a 47 mms 2547 a 240 W b 40 W c 200 W 2633 a 214 V a b 0050 A 0 para baixo b 45 X 1073 Vim direciio z 2549 a 155 X 10 5 2635 a 0641 Q b 975 O c 53 pV 2551 a 365 X 10 Qm b 172A 2637 a 179 V b 227 V c 214 Fy 258 mms 2639 a 0849 WF b 289 s 2751 Tj b Fa V2 2553 0060 0 2641 a 0 b 245 V 0 d 327 mA 2555 a 25 mA b 214 wVm c 855 wVm e a 245 V b 0 c 113 mC d 0 2753 a 83 X 10 ms b 014 T d 0180 mV 2643 a 421 ms b 0125 A 2755 345 T perpendicular a 2557 a 80 C b nao 2645 192 wC velocidade inicial da moeda 9559 oe 2647 136 2757 a 389 pC Onn 2649 a 0937 A b 0606 A b 760 x 104 msé 570 x 10 ms7 2561 a 0362 b 894 V ee sow HC b 463 O 0 126 ms 290 em d 288 X 107 Hz 2563 a 10kQ b 100 V 10 W 3655 a22 A44 V07 W 759 00200 m 0 0874 m 2565 a R 7890 b R 14027 b 163 W o brilho aumenta om 2567 a 1 b 00429 O 2657 a 022 V b 0464 A 2761 Ms tan 0 direita para esquerda rR 2659 I 0848 A Ib 214 A 5 0171 A LB 2569 a 171 2 b 176 wVm 2661 Inoo 521 A l4o0 LILA Is00 632 A 2763 a 846 mT b 272 cm 22 cm sim c esquerda 547 4 direita 116 WO 2663 a 109 V nao b 135s 2765 a ILB ddireita b vm 1960 km 2571 a 204 V b 199 J 2665 a 186 V terminal positivo superior 2ILB 2573 667 V b 300 A para cima c 2000 2767 197 N 683 sentido hordario a 2575 b nao c sim d 940 W e 412 W 2667 a 120V b 171A 4210 partir do segmento da esquerda pol 1 YoA PPy 2769 0024 T diregaio y 2577 a R mr ts f 2669 a Pi Po b Pi P 2771 a Feo 0 ap 120 N para pol 2671 a 135 W b 831 ms c 0337 W dentro da pagina For Vell 2673 a 114 V b 263 V c 266 V 120N para fora da pagina b Ex 0 2675 a 180 V ba c 600 V b 0 Tp9 Tre 0 TOR 360 N m L d ambas diminuem em 360 4C d 360 N m sim e para fora e 2677 a Vr04 248 V Vsgo 652 V 2773 0444N7 1 b 3840 O 626 V d nao 2775 b esquerda BoLI2 acima IBoL VY o J 2679 17 MQ 31 uF direita BoLI2t c Vx a 2681 a 123 ms inclinagao abaixo 0 c IBoLj 1 795 wC valor de y A 3D e b 247 0 159 V 122 ms d 119 V 2777 a IAk b Be 7 2579 opgao c 2685 b 4 c 32 MQ 40 x 103 2581 opgao d 34 X 1074 088 g P pg 22 TA IA 2687 opcao d 2779 b 185 X 1082 kg 120 kV CAPITULO 26 832 X 10 més 561 3R4 CAPITULO 7 2781 i hen 172 ws c 608 mm 263 225 W 271 a 668 X 104 Nk 2783 opgio c 265 a 350 A b 450 A c 315 A b 668 X 104 Nf 727 X 104 N7 2785 opgiio a 967 Oe A 273 a positivo b 00505 N 275 9490 kms 269 soe o ous oun 217 B 0175 T B 0256 T b By CAPITULO 28 es c 0 90 A ew Pe ore P wn 279 a 146T no plano xz a 40 do eixo 281 w cute b 0 092 wT 485 W f maior resisténcia b wy YON no plano xe a partir 283 a 600 nT para fora da paginaem A e B 2611 a 1 800 A J 120 A b 840 V de 50 do eixo Y para o eixo z b 0120 wT para fora da pagina c 0 2613 500 O J300 800 A 1400 900 A 2711 a 305 mWb b 183 mWb c0 285 a0 b 31 wTk c 0462 uTk 1600 400 A I129 300 A 0713 78 Wb 0 LSS mWb o d 131 wTj 2615 a 150 A h 1h 14 0500 A vem en 287 975 nTk b Py 101 W Pp P3 Py 715 0160 mT em diregao 289 a 0440 wT para fora da pagina pagina b 0111 us BSP P 8 112 W lampada R 217 793 X 1079N em direcdo ao sul b 167 nT para fora da pagina c 0 1 133 A In 1 0667 A 65 vss 2811 a 500 pT b 500 pT P 800 W P P3 200 W 2719 a 284 x 10 mis negativo 177 pIG7 0 e brilho mais intenso R e b sim a mesma 2813 176 wT para dentro da pdgina R3 menos brilho Ri 2721 a 835 kms b 262 ns c 727 kV 2815 a 08 mT b 40 wT é 20 vezes maior 2617 180 V 300 A 2723 0838 mT 2817 250 wA 2619 1010s 2725 a 160 x 10 Nj b sim 2819 a 100 A b em todos os pontos 2621 a 0100 A b P4oo 40 W Pgoo 80 W helicoidal nao 140 cm diretamente acima do fio 120 W L400 0300 A 2727 a 7900 NIC 7 b 7900 NIC 7 c todos os pontos diretamente a leste do fio Igo 0150 A 2729 00445 T para fora da pagina 2821 a 010 wT b 219 wT a 468 Paoo 360 W Pgo0 2731 a 492 kms b 996 x 1076 kg do eixo x para o eixo y 180 W f540W 2733 20 cm c 79 wT g série lampada 800 Q paralelo 2735 0724 N 634 abaixo da direcao 2823 a 0 b 667 uT para o topo da pagina lampada 400 h paralelo atual no segmento superior do fio c 754 pT a esquerda 2623 a 2000 b Ao 400 A A3 120 A 2737 a 817 V b 113 ms 2825 a 0 b0 c 040 mT a esquerda Ag 140 A As 800 A 2739 aa b 321 kg 2827 a P 41 wT para dentro da pagina 2625 a 200 A b 5000 c 420 V d 350 A 2741 b Fog 120 N c 0420Nm Q 25 wT para fora da pagina 456 Fisica Ill b P 90 wT para fora da pagina Q 299 a 544 mV b sentido hordario c0129J d 402 wH 90 wT para dentro da pagina 2911 a bAv b sentido horario 3021 917 2829 a 600 N repulsivo b 240 wN c bAv sentido antihorario 3023 a 240 As b 0800 As c 0413 A 2831 46 wNm repulsivo nao 2913 104 rads d 0750 A 2833 038 wA 2915 a sentido antihordrio b sentido hordrio 3025 a 173 ws b 307 ws Molly b c nenhuma corrente induzida 3027 a 0250 A b 0137 A 329 V3 c 2835 4R 30 2917 a C sentido antihorario d 0462 ms A sentido horari 2837 a 251 wT b 503 wT nao seme o nora 3029 153 V Pe ee b em direcao ao fio 3031 a 443 nC b 358 nC 2839 180 A sentido antihordrio 2919 arab b b pare b parz 2841 a 305A b 383 X 104 Tm 919 a a para b b b paraa c b paraa 3033 a 250 mH b 900 nC 0540 pi 2843 a poli2mr b 0 2921 a sentido horario d 658 mA 2845 a 283 mT b 350 zT nao b nenhuma corrente induzida 3035 a 105 rads 596 ms b 0720 mC qe ee c sentido antihordrio 432 mJ d 0542 mC seas i aren b10 Leon m 2923 132 mA sentido antihordrio e 0050 A sentido antihordrio seat an tr 2925 a 0675 V b b 225 Vm b paraa f Uc 245 mJ U 187 mJ 2853 a i 113 mT ii 468 MAm Gii588T 49 5 on 0 hen 3037 a 750 nC b 159 kHz 212 mJ 2855 a 100 wT para dentro da 5009 3 ooV b Donen nao 3039 a 298 rads b 838 O pagina b 749 nNj 29 a 300 V b b paraa 3041 a 876 kHz b 135 ms c 2420 0 c 0800 N a direita d 600 W para cada 2857 a no plano dos fios entre eles a 2931 a sentido antihorério b 424 mW 3043 a 0288 wH b 142 wV 0300 m do fio de 750 A 2 33 Oak Sh Mm orane am 3045 20 kms cerca de 30 vezes menor b no plano dos fios a 0200 m do fio de sone 0 aN a hordrio b 0 3047 Moi Hoi oil a 0 sentido hordrio a b d oe inb 2859 a 5 Tc 10 wih afietardecce Setio c 0225 A sentido antihordrio 2ar amr 4a nbia indo 5 dB dB eR dB bol b 325 NC afastandose do fio c nao 2937 a ar2 d Inba 2861 a 81 A b 24 X 103 Nm dt 2 dt 21 dt oa 9 ara fora da pgvine 3049 a 500 H b 317 m nao 2863 a 200 A para fora da pagina aB aB b 213 wT para cima c 206 wT e aR aB f 7R g7R 3051 222 WF 931 wH 2865 232A 4 dt dt dt 3053 a 0896 mJ b 0691 A 0 ugNla2 2939 921 Als 3055 a 240 mV b 155 mA c 721 nJ 2867 a a x 2941 0950 mV d 520 uC 180 nJ 2943 a 0599 nC b 600 mA c 600 mA 3057 a 0 200 V b 0267 A 0 1 1 2945 a interior B 0 M 0103 MAmi 0147 A 90 V exterior B 0130 Tf M 0 3059 a Ay Aq 0800 A Az Az 0 x a2 a23 x a22 3 oe oe V 400 V V V3 V1 Vs 0 b interior e exterior oa an b Ay 0480 A A 0160 A B 0260 Ti M 0 432 poNI A3 0320 A Ay 0 V c d 202mT e 00 2947 a37A b 133 mA 240 V V 0 V3 V4 5 a 3 c sentido antihordrio Vs 7 16 OV 192 pC 31 lr 16 2869 a b i B 2949 162 uV 3061 a 600 V b a c 600V dc QR QR olabv 7 1 2951 a b sentido hordrio 960 V f b g 156 V hd Mol 2mrr a 3063 a 0 Vac 0 Vey 360 V Gi B TT 2953 a 179 mV b a para b b 0180 A Vge 90 V Vey 270 V 2955 ol W4ar c ig 0180 A 1 e020 9 Igr 2 10020 2871 b B Holo c 2 i Holv Vac 90 V L e KO 2arr a 2957 a ae Ind Lid ba 0 Vep 90 V 300 7 0020 9 3065 a Ay Ay 0455 A Ay A30 2 B Molor re 2959 a 0165 V b 0165 V 0 00412 V b Ay 0585 A Ay 0320 A 2na a 2961 a BL7vR A3 0160 A Ay 0107 A ek RRtL 2873 a B poln2 diregao x 2063 a qr dB nv esquerda 3067 a vp RR Rr Re RRit b B poln2 diregdo x 2d 4 poln2 uh Lolo ardB io to ve 300 V 300 A d 667 0 2875 a Ip 27bdle 815A b mr b para o topo da pagina c 0 e ee Tm a hs Tr 2 dt 3069 b 50 0 85 H c 17 kJ 20 kW ew 1 Mol e 1 2965 508 a i eT RD Se RC d 3071 a i le in e S 0 SG 2967 a 03071 s b369T ca d 2268 R Ry qn CU R2 6 175 wT r a 326 pT Rmg tan mg tan ore iy 2969 a a para b Rng tan o meme b iy 0 i 960 mA 2877 a nao 65 A 120m LB cos iB i 192 A in 0 1 LRy 1 R9C 5 Rng tan Rnvg tan b d 16 ms e 94 mA f 022 s 1 poQo 2 d 5s amesma 373 opciio b 2879 b LB LB 2g 4aARCd 3075 opgao c 2881 ao b 2971 opgao c 81 opgao b 2973 opgao c 2883 opcao c z CAPITULO 31 CAPITULO 29 CAPITULO 30 ere 301 a 0270 V sim b 0270 V 313 318 V b0 291 a 171 mV b 285 mA 303 632 wH 315 a 90 adiantada b 193 Hz 293 a Q NBAIR c nao 305 a 196H b 711 mWb 317 133 WF 295 a 34 V b sentido antihorario 307 a 1940 b 800 Als 319 a 15100 b 0239 H c 4970 297 a moi27r para dentro da pagina 309 a 0250 H b 0450 mWb 166 uF L 3011 a 468 mV ba 3111 a 125 V cos480 rad st b 717 V 6 Lar inoa 3013 a 1000 b 209 0 3113 a i 00253 A cos720 radst aur 2a 3015 b 0111 wH b 1800 MoL di 3017 2850 6 v 456 V sen720 radsf a nba G 0506 wv 3019 a 0161 T b 103 kIm 3115 6012 b 499 mA c 706 atrasada Respostas dos problemas impares 457 d Vp 998 V Vy 499 V Vo 333 V Vv VIL v IL v2 3223 120 Vm 400 nT 3117 500V 3161 aE ve wea 3225 850 kW 3119 a 400 W b 0167 A c 7200 v2 3227 a 018 mW b 274 Vim 0913 wT 3121 b 767 V e aa c 018 mis d 0010 Wem TO etwouzeneise NS eaten dua wow SM OSI OREM 80 3165 2000 018 H 3125 a 0302 b 0370 W 3231 a 305 cm b 246 GHz c 211 GHz 0502 3167 a 3Val b 0 0 3233 a 0375 mJ b 408 mPa c 604 c 0370 W resistor 0 0 3169 opeio b 33 0 b 408 mPa c nm 3127 a 113 Hz 150 mA b 761 mA atrasada 3171 opedo d 035 6 oe 1 Wha tht en NIC 3129 Bey OE ON w 710 x 10 T 120 x 108 N nao 3131 00 750 Ww S 750 Ww 3237 aemr R 64 MWm2 021 Pa em 3133 945 rads b 706 0 CAPITULO 32 r RI2 260 MWm 085 Pa b nao Vi Ve 450 V Ve 120V 321 a 128 b 815 X 103 km or o a won do da corrente 3135 10 6 240 A 288 W 5000 323 133 nT diregao y b w Ina sentido antihordrio se a 3137 0124 H 325 30 x 10 Hz 33 x 10s corrente for para fora da pdgina 3139 2300 63 X10 rads 2 3141 359 X 107 rads 327 a 694 x 104 Hz b 375 Vm c radialmente para dentro 3143 a indutor b 0133 H c Ex 1 75 Vim X cos145 X 2aa 3145 a 0831 b 161 W 10 radmx 436 X 10 rads pe 3147 Veaisa Rawk Bux 1 125 wT x cos145 x ap TR vy 7 7 10 radmx 436 X 10 rads4 3243 a 1363 m b 1090 m s R ot a 329 a i 60 kHz ii 60 x 103 Hz 3245 ay 995 X 107 Wim oe iii 60 x 101 Hz 6 271 pWm 903 X 105 T 673 ms 3151 a 102 b 0882 A c 270 V b i 462 X 104m 462 X 102 nm 3 55 102 Pa 0190 3153 a Vp 486 V V 155 V ii 508 m 508 X 10 nm 3 Ve 243 V 609 3211 a diregdo y b 0149 mm 3087 a oom ay 6 019 wm nio b Vp 100 V Vz Ve 400 V 0 c B 103 mT cos422 X 104 radmy 3 dcr Vr 486 V Vi 243 V 1265 X 10 radsfé 3249 b 300 X 108 ms Vo 155 V 609 3213 a 361 m b 00174 radm 3251 b 139 x 107 254 x 108 3155 b 5770 rads 240 A d 240 A c 522 X 10 rads d 00144 Vim 3253 6 660 um 0139 A 0139 A 3215 a 0381 um b 0526 wm 3255 opcdo d 3157 a w 28800 rads de modo que 60 c 138 d 190 b Pr 0375 W P Pc 0 0100 A 3217 a 330 Wm b 500 Vm 17 nT 3159 a 0750 A b 1602 341 0 6190 3219 25 x 10 W d 3410 3221 a 024 mW b 174 Vm BookSEARSVol3indb 458 101115 713 PM Sobre a capa do livro O projeto arquitetônico exibido na capa deste livro foi baseado em um desenho feito por Leonardo da Vinci em 1502 para ser uma ponte de pedra na Turquia As anotações de Leonardo da Vinci permaneceram cerca de 500 anos na obscuridade Finalmente em 2001 o artista norueguês Vebjörn Sand em colaboração com a Administração de Estra das da Noruega transformou em realidade aquele desenho de Leonardo da Vinci e projetou esta elegante ponte que foi cons truída nas proximidades de Oslo O caminho para pedestres na parte superior da ponte é sustentado por três arcos parabólicos Capítulo 21 Abertura Mikael DamkierShutterstock 215 Clayton StalterJournalCourierThe Image Works 218a Richard MegnaFundamental Photographs Appl p 690 KnapeGetty Images Appl p 695 Matt9122Shutterstock 2129a Richard MegnaFundamental Photographs 2130b OtnaYdurShutterstock Appl p 709 Mark SmithScience Source PP2198101 Dados de Detection and Learning of Floral Electric Fields by Bumblebees Dominic Clarke et al Science April 5 2013 Vol 340 no 6128 pp 6669 http wwwsciencemagorg Capítulo 22 Abertura U S Department of Energy Appl p 726 Oxford ScientificGetty Images 2210 Akgima ges Appl p 738 David Furness Keele UniversityScience Source 2227b Peter TerrenTesladownunder Appl p 741 Yevgeniy11Shutterstock Capítulo 23 Abertura Ted Kurihara PhotographyThe Image BankGetty Images 239 John F KennedyNASA 2311 Vladyslav DanilinFotolia Appl p 760 StockLiteShutters tock Appl p 762 BSIPNewscom 2317 KeystoneHulton ArchiveGetty Images 2322 USGS Appl p 773 3d4Medi calcomMotifCorbis Capítulo 24 Abertura Damir SagoljReuters 243 Nejron PhotoShutterstock 244 Andrew Lambert Photography Science Source 247 Eric SchraderPearson Education Appl p 791 OtnaYdurShutterstock 2411 Sandia National Labo ratories Appl p 800 Ernest PrimGetty Images Appl p 802 Pearson Science Capítulo 25 Abertura JGITom GrillGetty Images 254 Eric SchraderPearson Education 255 StockbyteStockbyteGetty Images Appl p 822 Dr David Furness Keele University Science Source 258 TFoxFotoShutterstock 2512 Lau rence GoughShutterstock Appl p 828 Andrew J Martinez Science Source 2515 Richard MegnaFundamental Photo graphs p 847 tabela Fonte Based on F Vollrath e D Ed monds Consequences of electrical conductivity in an orb spiders capture web Naturwissenschaften Dezembro de 2013 10012 pp 116369 Capítulo 26 Abertura 06photoShutterstock 262 Claro Cor tesReuters 265 John P Surey 2613 John P Surey Appl p 859 Gary OmblerDorling Kindersley 2618 Richard Megna Fundamental Photographs Appl p 864 Science Source 2625a Vladimir ArndtShutterstock 2625b Evgeny Tomeev Shutterstock Capítulo 27 Abertura Michael FlippoFotolia 272b Fotolia Appl p 884 Robert Smithage fotostockGetty Images Appl p 885 luminaimagesShutterstock 2714ab Richard Megna Fundamental Photographs 2717b Richard MegnaFunda mental Photographs 2720a NASA 2720b Roman Krochuk Shutterstock 2721 Lawrence Berkeley National Laboratory Appl p 901 Simon FraserScience Source 2740 Jeremy BurgessScience Source Capítulo 28 Abertura CERNEuropean Organization for Nu clear Research Appl p 925 Terra NASA Appl p 925 Lua GodrickShutterstock 288 Pearson Education 2811 Jeremy WalkerScience Source Appl p 932 James SteidlFo tolia Appl p 939 Pearson Education Appl p 944 Dr Ken neth Scarberry Capítulo 29 Abertura JabejonEGetty Images Appl p 956 Simon FraserUniversity of DurhamScience Source 299 Ma ximilian Stock LtdScience Source 2919a Kim KulishCor bis NewsCorbis 2919b Susan Allan ParkerAlamy Appl p 973 NASAJPLCaltech 2927 Richard MegnaFundamen tal Photographs Capítulo 30 Abertura EschCollectionPhotonicaGetty Ima ges 302 Shutterstock Appl p 994 Ron ChappleThe Image BankGetty Images 307 TurleytFotolia Appl p 999 SOHONASA 3010 Science Source Capítulo 31 Abertura Roger A Freedman 315 Rubberball Mike KempGetty Images 3114 Lawrence MigdaleScience Source Appl p 1030 Mauro FermarielloScience Source Appl p 1039 Katharina WittfeldShutterstock 3122 Tho mas BarratShutterstock 3123 Roger A Freedman Capítulo 32 Abertura JLImagesAlamy 321 citação Fonte Albert Einstein in James Clerk Maxwell A Commemoration Volume Nova York The Macmillan Company 1931 p 71 321 BettmannCorbis 322a Daniel LaflorVettaGetty Ima ges 322b sss78Fotolia Appl p 1054 Ted KinsmanScience Source 3216 Dudarev MikhailShutterstock 3218 Craig Holmes PremiumAlamy Appl p 1065 Alexander Tsiaras Science Source 3220 NASA 3223 grzymkiewiczGetty Images PP325456 Dados de ICNIRP Guidelines For Limi ting Exposure To TimeVarying Electric Magnetic and Elec tromagnetic Fields up to 300 Ghz Health Physics 74 4 494522 1998 CRÉDITOS BookSEARSVol3indb 459 101115 713 PM BookSEARSVol3indb 460 101115 713 PM Nota os números de página seguidos de f indicam figuras aqueles seguidos de t indicam tabelas 1 newton por coulomb 14 A Aceleração da gravidade 15 Aceleradores de partículas cíclotrons 229 253 Alternadores 311312 376377 Altofalantes 237 386 Ampère 9 10 147 273274 Ampère André 220 Amperímetros 159 192193 voltímetros e 159 193194 Amplitude de ondas eletromagnéticas 422 Amplitude de corrente 377 Amplitude de tensão 379 382 Análise de isótopos estáveis 257 Ângulo de fase 382 388389 Aparelhos sistemas de distribuição de potência em 201205 Ar ionização 9091 rigidez dielétrica do 130 90 Armazenamento de energia em capacitores 786 112113 120124 Ver também Capacitores Aston Francis 234 Autoindutância 347351 Ver também Indutância Automóveis sistemas de distribuição de potência 201 204 sistemas de ignição 354 B Bactéria 295 Baterias carregando 164 como fonte de corrente 159 potência em 162 Bednorz Johannes 152 Biot e Savart lei de 267 Blindagem 63 Blindagem eletrostática 63 Bobina de ignição 354 Bobinas campos magnéticos de 274277 de exploração 333 Helmholtz 299 indutância de Ver Indutância Tesla 346 torque magnético em 241242 Bobinas de exploração 333 Buracos em semicondutores 147 C Cabo coaxial 284 Cadeias atenuadoras 216 Câmeras unidade de flash 121122 Campo gravitacional 15 Campo vetorial 16 Campos elétricos 1318 armazenamento de energia em 112 campos magnéticos e 323326 carga de teste para 14 como grandeza vetorial 98 corrente e 146147 da carga puntiforme 1517 da esfera condutora carregada 5657 da esfera oca 60 da Terra 6465 de carga de linha uniforme 5758 de distribuições de carga simétricas 66t de esfera carregada uniformemente 5960 de ondas eletromagnéticas 412 421422 431432 de placas condutoras paralelas 5859 113 determinação do 1824 98 dipolo elétrico e 2530 direção de 16 24 distribuição de carga e 4346 5354 6t Ver também Lei de Gauss do capacitor 112 113 em condutores 16 6465 fluxo de 4346 4749 Ver também Fluxo elétrico forças elétricas e 1318 induzidos 320322 integral de linha de 280 lei de Gauss para 4365 277 411 412 módulo de 16 24 não eletrostáticos 321322 327 no vácuo 122 orientação molecular em 130132 placas paralelas carregadas 5859 planos nodaisantinodais 432 potencial elétrico e 83 8486 9699 resistividade e 150 superposição de 19 trabalho realizado por 7679 Ver também Energia potencial elétrica unidades para 14 85 uniformes 25 Campos elétricos induzidos 320322 Campos magnéticos 219 221224 cálculo de 267 cargas de teste para 223224 críticos 328 da Terra 219 223 de carga móvel 221223 264266 de condutor cilíndrico longo 282 292t de condutor reto conduzindo corrente 269272 de condutor reto longo 271 278 292t de espiras circulares 274277 de motores 235 de ondas eletromagnéticas 421422 431432 de solenoide 283 284 292t do corpo humano 223 do elemento de corrente 266269 efeito Hall e 247249 fontes de 263290 325328 integral de linha de 280 lei de Gauss para 277 411412 415 medição de 223224 329 módulo de 222223 228 movimento em 228232 no eixo do indutor 275276 notação para 222 planos nodaisantinodais de 432 sentido de 221222 superposição de 266267 vetor 221 264 Campos magnéticos críticos 328 Campos não eletrostáticos 306 321 Câncer 86f 290f Capacitância 111 112 cálculo de 113116 equivalente 117 unidades 112 114 versus coulombs 113 Capacitância equivalente 117 Capacitores 111124 aplicações 111 armazenamento de carga em 120121 armazenamento de energia em 112 120124 capacitância 111 112 Ver também Capacitância ÍNDICE REMISSIVO BookSEARSVol3indb 461 101115 713 PM 462 Física III carregando 196198 324325 cilíndrico 116 circuito com 120 com placas paralelas 113 124130 descarregando 199201 dielétricos em 125 eletrolítico de duas camadas 127 em circuitos ca 383385 393 em paralelo 118120 183 em série 116118 119 182 energia do campo elétrico e 122 123 esféricos 115 no vácuo 113114 122 reatância capacitiva 384 símbolos para 112 versus resistores 182 183 Capacitores de placas paralelas 113 dielétrico em 124130 Capacitores eletrolíticos de duas camadas 127 Carga de teste 1415 para campos magnéticos 223224 Carga elétrica 25 atração e repulsão e 23 campo elétrico e 4346 5354 Ver também Lei de Gauss conservação de 45 186 densidade de 19 dipolo elétrico e 2530 distribuição de Ver Distribuição de carga e abelhas 41 em capacitores 112 Ver também Capacitores em condutores 55 6165 estrutura da matéria e 34 fluxo e 4346 Ver também Fluxo elétrico força magnética na 221223 induzida 6 7 130132 ligadas 131132 livre 131 módulo da 9 na superfície fechada 44 nas células nervosas 68 173 negativa 2 notação para 196 pontual Ver Cargas puntiformes positiva 2 quantizada 5 superposição de forças e 11 valores típicos para 10 variações no tempo 196 versus polos magnéticos 219220 Carga por indução 67 polarização e 7 Cargas induzidas 7 modelo molecular de 130132 polarização e 7 126127 Cargas ligadas 131 Cargas livres 131 Cargas puntiformes 8 campos elétricos de 1517 Ver também Carga elétrica dentro da superfície esférica 51 dentro da superfície fechada 44 dentro da superfície não esférica 5152 dipolo elétrico e 2530 energia potencial elétrica de 7881 força entre 12 linhas de campo magnético para 265266 ondas eletromagnéticas de 412 superposição de 11 Carros Ver Automóveis Células nervosas 61f 151f 216 Ciclos de histerese 290 Cíclotron 229 253 Circuito retificador de onda completa 378 Circuitos abertos 203 autoindutância e 347351 completos 149 156162 constantes de tempo para 198199 357 corrente alternada Ver Circuitos de corrente alternada corrente contínua Ver Circuitos de corrente contínua criticamente amortecidos 364 curtocircuito 161 202204 diagramas de 159 energia em 162164 força eletromotriz e 156158 incompletos 156 indutores em 347350 Ver também Indutância junções nó em 186 LC 356363 LRC em série 363366 386389 malhas em 186 oscilações dos 359363 ponte 186191 potência em 162166 RC 196201 regras de Kirchhoff para 186191 RL 354359 sobrecargas dos 202204 subamortecidos 364365 superamortecidos 364 tempo de relaxação de 199 variações de potencial em torno de 161162 Circuitos ponte 186 Circuitos abertos 203 Circuitos cc Ver Circuitos de corrente contínua Circuitos completos 149 156160 Circuitos criticamente amortecidos 364 Circuitos de corrente alternada 149 180 ângulo de fase e 382 388389 capacitores em 383385 fasores e 377 impedância de 388389 indutores em 381382 386 potência em 391394 resistência e reatância em 380386 resistores em 380381 386 ressonância em 395397 séries LRC 386391 transformadores e 397400 Circuitos de corrente contínua 149 180205 em automóveis 201 em sistemas de distribuição de potência 201205 instrumentos de medidas para 191196 leis de Kirchhoff para 186191 RC 196201 resistores em série e em paralelo nos 180185 Circuitos elétricos Ver Circuitos Circuitos superamortecidos 365 Coeficiente de temperatura da resistividade 151 Comprimentos de onda da luz 413414 frequência e 421 Comutadores 245246 312 Concentração de partículas na corrente 148 Condução metálica 167169 Condução por buracos 248 Condutividade base microscópica da 167169 elétrica 151 178 térmica 151 Condutividade elétrica 151 Condutor conduzindo uma corrente forças magnéticas sobre 235238 Condutores 58 buracos em 248 campos elétricos em 16 6465 campos magnéticos de 269272 carga elétrica em 55 6165 concentração de partículas em 147148 condutividade 151 densidade de corrente em 147149 diodos de 155 em capacitores 112 fluxo de corrente em 146147 força de interação entre 272274 força magnética de 272274 forças magnéticas sobre 235238 metálicos 167169 movimento de elétrons em 146147 não ôhmicos não lineares 151 ôhmicos lineares 151 resistência de 152156 158 resistividade de 150152 semicondutores 151 155 249 supercondutores 152 316 superfícies equipotenciais e 9596 Condutores lineares 151 Condutores não lineares 151 Conservação de carga elétrica 45 regra dos nós de Kirchhoff e 186 Conservação de energia com força elétrica 7980 Conservação de energia mecânica 76 Conservação de força eletrostática 187 Constante dielétrica 125 Constantes elétricas fundamentais 910 versus constante dielétrica 126 Constantes elétricas fundamentais 910 Contador Geiger 106 Corrente 145 146149 alternada 149 atraso 393 campo elétrico e 146147 capacitor 383385 386t BookSEARSVol3indb 462 101115 713 PM Índice remissivo 463 carga elétrica na 146147 concentração de partículas na 148 condução 324 consumindo 158 contínua 149 180 Ver também Circuitos de corrente contínua convencional 147 deslocamento 323326 direção da 146147 153 236 em circuitos 156159 força eletromotriz e Ver Indutância indutância e 343 Ver também Indutância indutor 381382 386t induzida 305 322323 399400 lei de Ohm e 150 153 leis de Kirchhoff para 186191 medição 191192 movimento de elétrons 146147 notação para 196 resistência e 152156 resistor 380381 386t retificada média 378 retificador de onda completa 378 senoidal 378379 Ver também Corrente alternada unidades 910 147 valor quadrático médio 378379 variação no tempo 196 velocidade de arraste e 146 147149 versus densidade de corrente 149 Corrente alternada 149 180 376402 aplicações 201205 medição 377379 retificada média 378 retificada 378 riscos 398 valor quadrático médio 378379 Corrente alternada retificada 378 Corrente atrasada 393 Corrente contínua 149 180 perigos da 398 Corrente convencional 147 Corrente de condução 324 Corrente de deslocamento 323326 Corrente elétrica Ver Corrente Corrente induzida 305306 módulo da 316 sentido da 315316 318 Corrente quadrática média 378379 Corrente retificada média 378 Corrente senoidal 378 Ver também Corrente alternada Correntes parasitas 322323 em transformadores 400 Coulomb 112113 versus capacitância 113 Curie constante 287 Curie lei de 287 Curie Pierre 287 Curtocircuito 149 203 Curva de magnetização 289 Curvas de magnetização 289 de ressonância 396 resposta 396 Curvas de resposta 396 Curvas de ressonância 396 D dArsonval galvanômetro de 191 195 242 378 Declinação magnética 219 Densidade de corrente de deslocamento 325 de corrente 148 de energia magnética 352354 de energia 122 425426 de fluxo magnético 228 linear de carga 19 superficial de carga 19 volumétrica de carga 19 Densidade de corrente do vetor 147149 Densidade de corrente 148 resistividade e 150 versus corrente 149 vetor 148 Densidade de energia 122 425426 Densidade de energia magnética 352354 Densidade de fluxo magnético 228 Densidade linear de carga 19 Densidade superficial de carga 19 Densidade volumétrica de carga 19 Descarga de corona 9091 Diagramas de circuitos 159 Diagramas de fasor 377 Diamagnetismo 285 288 329 Dielétricos 124130 lei de Gauss e 132134 ondas eletromagnéticas em 424425 permissividade de 127 polarização de 126127 130132 Diferença de potencial 85 Ver também Voltagem capacitância e 112 medição da 192 notação para 196 resistência e 182183 variável no tempo 196 Diodos 155 Dipolos elétricos 2530 130 241 Ver também Dipolos elétricos magnéticos 240 241 Dipolos elétricos 2530 130 241 campo de 2930 energia potencial de 2729 força em 2627 torque em 2627 241 Dipolos magnéticos 240 243244 de ímãs 243244 em campos magnéticos não uniformes 243 energia potencial para 241 força e torque em 238244 Disco fluxo elétrico através de 49 Disjuntores 202203 Distribuição de carga 1819 campos elétricos e 4346 5354 66t Ver também Lei de Gauss estática 81 DNA pareamento de base no 34 102 Domínios magnéticos 288 E Edison Thomas 376 Elementos isótopos do 234 Eletrocardiograma 84f Eletromagnetismo 1 220 Eletrômetro 125 Eletromiografia 193f Elétrons momento angular dos 285286 relação cargamassa para 233234 descoberta de 234 em campos magnéticos 230 massa dos 3 234 movimento orbital dos 146 spin dos 286 carga dos 34 10 Ver também Carga elétrica Elétronvolts 86 Eletrostática 1 2 Energia campo elétrico 122 campo magnético 351354 custos da 204 em circuitos elétricos 162164 em circuitos LC 362 em ondas eletromagnéticas 425430 potência e 162166 unidades para 86 Energia do campo magnético 351354 Energia mecânica conservação da 7576 Energia potencial 76 do capacitor 120124 do dipolo elétrico 2729 elétrica 7599 Ver também Energia potencial elétrica em torno dos circuitos 161162 para dipolos magnéticos 241 trabalho e 76 Energia potencial elétrica 7599 com diversas cargas puntiformes 8081 conceitos alternativos da 8182 de duas cargas puntiformes 7879 energia do campo elétrico e 122 no campo uniforme 7678 nos capacitores 112113 Ver também Capacitores potencial elétrico e 86 versus força elétrica 79 Enrolamento primário 398 Enrolamentos 397398 Equação de onda eletromagnética 418420 Equação de onda para ondas eletromagnéticas 418420 Equações de Maxwell Ver Equações de Maxwell onda eletromagnética 418420 onda Ver Equação de onda Equações de Maxwell 220 304 323328 411414 BookSEARSVol3indb 463 101115 713 PM 464 Física III ondas eletromagnéticas e 411414 Esferas campo elétrico de 5657 5960 carga puntiforme dentro 51 fluxo elétrico por 51 Espectômetro de massa de Bainbridge 234 Espectro eletromagnético 413414 Espectrômetro de massa 234 257 Espiras secundárias 398 Estimulação magnética transcraniana 305f 341 Estrutura atômica 3 Experimento do balde de gelo de Faraday 63 F Farad 112 Faraday dínamo de disco 319 Faraday experimento de balde de gelo 63 Faraday lei da indução 304 306314 318 ondas eletromagnéticas e 411 412 415 424 Ver também Equações de Maxwell Faraday Michael 24 63 220 Faraday número 143 Fasor 376380 Fator de potência 393 Fem Ver Força eletromotriz fem Fem alternada senoidal 376377 Fem autoinduzida reatância indutiva e 347 Fem induzida 246 305306 Ver também Indução eletromagnética aplicação da 305 fluxo magnético e 306 309 sentido da 308310 Ferromagnetismo 288290 Fibrose cística 8f Filtros passaalta 385 passabaixa 383 Filtros passabaixa 383 Fios campo magnético de 269272 278280 281282 força de interação entre 273274 lei de Ampère para 278280 281282 Fios de aterramento 204 Fluxo Ver Fluxo elétrico Fluxo magnético Fluxo de corrente direção do 146147 Fluxo de energia eletromagnética 426428 Fluxo de energia eletromagnética 426428 Fluxo do momento linear eletromagnético 429430 Fluxo elétrico analogia de fluxo de fluido para 4647 carga e 4346 carga englobada e 4446 determinação de 4650 do campo elétrico não uniforme 4849 do campo elétrico uniforme 4748 lei de Gauss para 4365 para fora versus para dentro 4445 48 Fluxo magnético 22528 cálculo do 306307 campos elétricos induzidos e 320322 efeito Meissner e 329 em transformadores 329 fem induzida e 306 309 lei de Faraday e 306314 lei de Gauss para magnetismo e 225228 lei de Lenz e 315316 supercondutividade e 328330 unidades para 227 Fonte ca 377 Ver também Circuitos de corrente alternada Fonte de fem 157 energia potencial para dentro 163 energia potencial para fora 162 resistência interna da 158159 Força elétrica conservação de energia com 7980 campo elétrico e 1318 soma vetorial de 11 versus energia potencial elétrica 79 trabalho realizado por 7680 83 em partículas não carregadas 78 lei de Coulomb e 813 direção da 89 unidades de 910 versus força gravitacional 1011 Força eletromotriz fem 156158 alternada senoidal 376377 autoinduzida 347 383 corrente e Ver Indutância de motor elétrico 246 de realimentação 246 do movimento 317319 em transformadores 398 Hall 247248 induzida 246 305306 medição de 195196 origem da 157 159 163164 Força eletromotriz do movimento 317319 Força eletrostática conservação de 187 integral de linha para 76 280 Força gravitacional por unidade de massa 15 versus força elétrica 10 Forças elétricas Ver Força elétrica eletromotrizes 156158 eletrostáticas 187 magnéticas 221223 Forças conservativas trabalho realizado por 76 Forças magnéticas efeito Hall e 247249 em altofalantes 237 em condutores com corrente 235238 em espiras de corrente 238244 em motores elétricos 245 entre condutores paralelos 272274 módulo de 222 sentido das 221223 unidades para 223 Fotografia Ver Câmeras Franklin Benjamin 2 Frequência angular de ondas eletromagnéticas 421422 Frequência angular de ressonância 395 Frequência ciclotrônica 229 Frequência de ressonância 395 Função de onda para ondas eletromagnéticas 421 Número de onda 422 Função dielétrica 424 Fusível 202203 G Gaiola de Faraday 63 Galvanômetro de dArsonval 191 195 242 378 Garrafas magnéticas 230 Gauss 223 Gauss Carl Friedrich 51 Geradores com haste deslizante 313314 315 conversão de energia em 314 corrente alternada 376377 corrente contínua 312313 homopolares 319 Geradores com haste deslizante 313314 319 Geradores de corrente contínua 312313 Geradores homopolares 319 Gradiente de potencial 9699 H h constante de Planck 285 Hall efeito 247249 Helmholtz bobinas 299 Henry 345 Henry Joseph 220 Hertz 412 Hertz Heinrich 412 433 Histerese 290 I Imagens por ressonância magnética RM 240f 261 276f 374 Ímãs atraindo objetos não magnetizados 244 barra 243244 dipolos magnéticos dos 243244 momento magnético dos 243244 permanentes 219 285 Ímãs em barra 243244 Ímãs permanentes 219 285 Impedância 388389 Impressoras a laser 3 91 Inclinação magnética 219 Índice de refração 424 Índice refrativo Ver Índice de refração Indução eletromagnética 304330 alteração do fluxo magnético e 305306 campos elétricos induzidos e 320322 BookSEARSVol3indb 464 101115 714 PM Índice remissivo 465 correntes parasitas e 322323 equações de Maxwell e 304 323328 experiências com 305306 força eletromotriz produzida pelo movimento e 317319 lei de Faraday e 304 306314 lei de Lenz e 309 315316 supercondutores e 316 328330 Indutância 343366 autoindutância 347351 circuitos RL e 354359 energia de campo magnético e 351354 mútua 343347 Indutância mútua 344347 Indutores 347351 em circuitos ca 381383 386t 392 energia armazenada em 351354 reatância indutiva de 382 versus resistores 352 Integral de linha 76 de campos elétricos 280 de campos magnéticos 280 de força eletrostática 76 280 Integral de superfície 49 Intensidade da radiação eletromagnética 427 Interruptores de falta de terra 204 Ionização 4 efeito corona e 9091 Íons 4 Íons negativos 4 Íons positivos 4 Isolantes 58 Isótopos 234 J Joule por coulomb 83 K Kirchhoff leis de 186191 325 L Lado neutro da linha 201202 Lado quente da linha 201202 Lâmpadas fluorescentes 350 LC circuitos 359363 Lei de Ampère 277284 Ver também Equações de Maxwell aplicações da 281284 corrente de deslocamento e 324325 enunciado geral da 280 generalização 324325 ondas eletromagnéticas e 411 417 424 para um condutor longo e retilíneo 278279 Lei de Biot e Savart 267 Lei de conservação universal 5 Lei de Coulomb 1 813 constante de proporcionalidade na 9 enunciado da 9 lei de Gauss e 51 superposição de forças e 11 Lei de Gauss 4365 aplicações da 5561 carga e fluxo elétrico e 4346 carga puntiforme no interior de uma superfície esférica e 51 carga puntiforme no interior de uma superfície não esférica e 5152 condutores com cavidades e 6162 96 condutores sólidos e 5560 dielétricos e 132134 forma geral da 5354 formulação qualitativa da 46 para campos elétricos 4365 277 411 412 Ver também Equações de Maxwell para campos magnéticos 277 411412 415 Ver também Equações de Maxwell para magnetismo 227 teste experimental da 6264 visão geral 5154 Leis de conservação universais 5 Lenz lei de 309 315316 318 Ligação em paralelo 118 Ligação em série 116117 181 Linha de corrente 24 Linhas de campo Ver Linhas de campo elétrico Linhas de campo elétrico 9495 cargas puntiformes e 5354 412 ondas eletromagnéticas e 412 superfícies equipotenciais e 9394 Linhas de força magnéticas 227 Linhas do campo magnético 219 225228 extremidade 230 fluxo magnético e 225228 para carga móvel 265266 para elemento de corrente 268 sentido de 265266 versus linhas de força magnéticas 227 Linhas elétricas domésticas 204205 lado ligado 201202 lado neutro 201202 LRC circuitos em série 363366 ângulo de fase e 388389 com fonte de ca 386391 impedância em 388389 395 potência em 391394 ressonância em 394397 LRC ressonância em circuitos paralelos 396 Luz comprimentos de onda da 413414 velocidade da 411 414420 visível 413 Luz laser 414 Luz monocromática 414 Luz visível 413 M Magnetismo 219220 lei de Gauss para 227 movimento de elétrons e 220 Magnetização de saturação 289 Magnetização 243244 268 286290 diamagnetismo e 288 ferromagnetismo e 288290 magnéton de Bohr e 285286 paramagnetismo e 286288 saturação 289 Magnétons Bohr 285286 Magnéton de Bohr 285286 Magnetron 229 Malhas de corrente Ver também Dipolos magnéticos campos magnéticos de 274277 força e torque em 238242 momento magnético de 240 276 no magnetismo 285286 Marcapassos 198f Marconi Guglielmo 413 Massa da molécula 234 do átomo 3 234 do elétron 3 233234 do nêutron 3 do próton 3 Massa atômica medida da 234 Massa de teste 15 Massa molecular medição da 234 Materiais magnéticos 284290 diamagnéticos 288 ferromagnéticos 288290 magnéton de Bohr 285286 paramagnéticos 286288 permeabilidade relativa de 287 Maxwell James Clerk 325 411 Maxwell teoria ondulatória 411414 Medição da gordura 389f Megaohm 154 Meissner efeito de 329 Membrana celular 9698 130f 140 Microcoulomb 10 Microfarad 114 Microfone condensador 113 Miliampère 147 Millikan experimento de gota de óleo de 109 Millikan Robert 234 Moléculas polares 130131 Moléculas polares 130131 Momento angular de elétrons 285286 Momento de dipolo magnético Ver Momento magnético Momento do dipolo elétrico 26 Momento magnético 240 243244 alinhamento do 284290 da espira de corrente 240 276 módulo do 286 notação para 286 sentido do 240 vetor 241 Monopolos magnéticos 219220 Motores de corrente contínua 245247 Motores elétricos corrente contínua 245247 força magnética em 235 BookSEARSVol3indb 465 101115 714 PM 466 Física III Motores elétricos 235 245247 Motores em série 246 Motores shunt 246 Movimento harmônico amortecido 364 Movimento harmônico simples MHS versus oscilação elétrica 362 Müller Karl 152 Multímetros digitais 195 N Nanopartículas 290f Nêutrons massa de 3 Nó em circuitos 186 Núcleo atômico 3 4 O Ondas eletromagnéticas 410434 polarização de Ver Polarização rádio 410 413414 transversais 415 421 Ondas de rádio 410 413414 Ondas eletromagnéticas 410434 amplitude de 422 aplicações de 413414 campos elétricos de 412 421422 431432 campos magnéticos de 421422 431432 direção 418 e segurança 440 em dielétricos 424 energia em 425430 equações de Maxwell e 411414 estacionárias 412 431434 frequência angular de 422 frequência de 421 funções de onda 421422 geração de 412413 intensidade de 427428 módulos de 416 momento linear de 429430 na matéria 424425 número de onda para 422 planas 414417 polarização de 418 Ver também Polarização pressão de radiação e 430 propriedades das 417418 refletidas 431433 regra da mão direita para 418 senoidais 421425 superposição de 431432 transversais 415 418 unidades para 412 velocidade 411412 414420 433 vetor de Poynting das 426428 Ondas eletromagnéticas planas 414417 Ondas eletromagnéticas senoidais 421425 Ondas estacionárias eletromagnéticas 412 431434 Distribuição de cargas estáticas 81 Ondas transversais eletromagnéticas 415 Onnes Heike Kamerlingh 152 Oscilação elétrica 359360 em circuitos LC 360361 P Paramagnetismo 286288 Pararaios 91 Partículas atômicas 34 Ver também Elétrons Nêutrons Prótons Partículas carregadas movimento em campos magnéticos 228231 Passaalta filtros 385 Permeabilidade 287 Permeabilidade relativa 287 Permissividade do dielétrico 127 Picoampère 147 Picofarad 114 Planck constante de 285 Plano antinodal 432 Planos nodais 432 Poeira cósmica 439 Polaridade de célula 408 Polarização 7 25 111 126127 cargas induzidas e 7 126127 corpos carregados e 7 131 de dielétricos 126127 130132 de ondas eletromagnéticas 418 linear 418 linhas do campo elétrico e 25 Polarização linear 418 de onda eletromagnética 418 Polo norte N 219 Polo sul S 219 Polos magnéticos 219 versus carga elétrica 219220 Ponto da fonte 1517 264 Ponto do campo 1415 264 Pósitrons movimento em campos magnéticos 230 Potência em circuitos elétricos 162166 391394 energia e 204 medição de 193194 para motores elétricos 246 Potenciais de ação 216 341 Potencial Ver Potencial elétrico Potencial de membrana 9698 143 Potencial elétrico 8289 cálculo de 84 campo elétrico e 83 8486 9699 circuitos elétricos e 162166 como grandeza escalar 83 98 de a com relação a b 83 energia potencial elétrica e 7582 linhas de campo e 9495 máximo 9091 superfícies equipotenciais e 9396 trabalho realizado por 83 unidades de 83 86 Potenciômetros 195196 Precipitadores eletrostáticos 107 Pressão da radiação 429430 Pressão radiação 429430 Problemas de eletrostática 10 Propriedades de simetria dos sistemas 43 Prótons carga 10 massa 4 Q Quarks 3 259 Quiloohm 154 Quilowatthora 204 R Radiação eletromagnética 412413 Ver também Ondas eletromagnéticas Radiação câncer e 86f 290f Rádios sintonia 396 transmissores e receptores de 413 RC circuitos 196201 216 Reatância capacitiva 384 Reatância indutiva 382 Reator magnético 350 Reatores 347351 Redes de circuitos 186 Reflexão de ondas eletromagnéticas 433 Resistência 152156 equivalente 181 182 interna 158159 162 medição da 191196 193194 Resistência de acesso 408 Resistência equivalente 181 182 Resistência interna 158159 Resistividade 150152 do metal 167169 temperatura e 151152 Resistores 154155 dissipação de energia em 164 em circuitos ca 380381 386t 391392 em circuitos cc 180185 em paralelo 182183 em série 181182 entrada de potência 163 potência em 391392 resistência equivalente e 181183 shunt 192 taxa de potência em 163 versus capacitores 182 versus indutores 352 Resistores paralelos 182183 Resistores shunt 192 Ressonância magnética RM 240f 261 276f 374 Ressonância 395 em circuitos ca 394394 Retificadores 378 BookSEARSVol3indb 466 101115 714 PM Índice remissivo 467 Rigidez dielétrica 130 do ar 90 130 RL circuitos 354359 diminuição da corrente em 358 Rotores 245246 Ruptura dielétrica 124125 129130 Rutherford espectrometria 109 S Seletor de velocidade 232 Semicondutores 248 buracos em 248 cargas em movimento nos 146147 condução em 147 diodos de 155 resistividade de 150151 Sensores de semáforo 350 Série resistores em 181182 Sistemas de distribuição de potência 201205 Sistemas de fiação automóvel 201 204 domésticos 201204 Sistemas de fiação domésticos 201205 398399 Sistemas de GPS 439 Sistemas propriedades de simetria dos 43 Sobrecargas do circuito 202204 Sol 353f Solenoide toroidal campo magnético da 284 292t Solenoides 242 243 283 284 292t Spin elétron 286 Spin do elétron 286 SQUIDs Superconducting Quantum Interference Devices 330 Subamortecimento 364365 Superconducting Quantum Interference Devices SQUIDs 330 Supercondutores 152 316 328330 Superfície fechada fluxo elétrico por 44 Superfície Gaussiana 53 versus superfície equipotencial 96 Superfícies equipotenciais 9396 condutores e 9596 versus Superfície gaussianas 96 Superposição de campos elétricos 19 de campos magnéticos 266267 de forças 11 princípio da 11 19 Suscetibilidade magnética 287 T Temperatura crítica 328 resistividade e 151152 Temperatura crítica 328 Tempo de relaxação 199 Tempo livre médio 167 Tempo livre médio 67 Constante de tempo para circuito 198199 357 Teorema do trabalhoenergia 76 Termistores 152 Terra campos magnéticos da 219 223 Tesla indutores 346 Tesla Nikola 223 Thomson experimento em de 233234 Thomson J J 7172 233234 Thomson modelo para o átomo de 7172 Torque magnético 238344 no dipolo elétrico 241 sobre espiras de corrente 238344 Torque magnético 238244 Trabalho energia potencial e 7678 realizado para carregar capacitor 120121 realizado por campos elétricos 7678 Ver também Energia potencial elétrica realizado por força conservativa 7576 realizado por força elétrica 7679 83 realizado por força eletromotriz 157158 realizado por potencial elétrico 83 Transformador para abaixar a tensão 397399 Transformador para elevar a tensão 397399 Transformadores 346 397400 Tubos de raios catódicos para medição do campo magnético 223224 U Unidade de flash da câmera 121122 Unidades de medida para capacitância 112 114 para campo elétrico 14 85 para potencial elétrico 83 86 para ondas eletromagnéticas 412 para fluxo magnético 227 para força magnética 223 para indutância mútua 345 para resistência 154 para corrente elétrica 910 147 para força elétrica 910 V Vacâncias 147 Vácuo campos elétricos no 122 capacitores no 113114 122 energia do campo elétrico no 122 permissividade do 127 Valor quadrático médio da tensão 202 Van Allen cinturões de radiação 230 Van de Graaff gerador eletrostático 63 Variação magnética 219 Velocidade de arraste 146 corrente e 147148 efeito de Hall e 247248 Velocidade de arraste 146 147149 Velocidade escalar da luz 411 414420 de ondas eletromagnéticas 411412 433 Vetor de Poynting 426427 Visão ultravioleta 414f Volt 83 elétron 86 Volt por metro 86 Voltagem 83 Ver também Diferença de potencial capacitor 383385 corrente e 153155 doméstica 202 em circuitos ac 394397 Hall 247249 indutor 381382 medição de 193 nos terminais 158159 resistor 380381 386t senoidal 379 transformadores e 397400 valor quadrático médio da 202 Voltagem nos terminais 158 Voltímetros 83 159 193 amperímetros e 193194 379 digitais 195 Volume equipotencial 9596 W Weber 227 Westinghouse George 376 Wheatstone ponte de 214 Z Z máquina 122 BookSEARSVol3indb 467 101115 714 PM BookSEARSVol3indb 468 101115 714 PM SOBRE OS AUTORES Roger A Freedman é conferencista de física na Universidade da Califórnia em Santa Bárbara UCSB Ele fez a graduação no campus da Universidade da Califór nia em San Diego e Los Angeles e as pesquisas para sua tese de doutorado versaram sobre teoria nuclear na Universidade de Stanford sob a orientação do professor J Dirk Walecka O dr Freedman ingressou na UCSB em 1981 depois de ter trabalhado por três anos em pesquisa e ensino de física na Universidade de Washington Na UCSB lecionou no Departamento de Física bem como no College of Creative Studies um setor da universidade destinado a alunos de graduação altamente moti vados e competentes Ele publicou trabalhos de pesquisa em física nuclear física das partículas elementares e física do laser Ultimamente tem lutado para tornar as aulas de física uma experiência mais interativa com o uso de sistemas de resposta em sala de aula e vídeos préaula Nos anos 1970 o dr Freedman trabalhou como letrista de revistas de quadrinhos e ajudou a organizar a San Diego ComicCon atualmente a maior convenção de cultura popular do mundo durante seus primeiros anos Hoje quando não está le cionando ou debruçado sobre um computador dr Freedman está voando ele tem licença de piloto comercial ou com sua esposa Caroline animando os remadores da equipe masculina e feminina da UCSB À MEMÓRIA DE HUGH YOUNG 19302013 Hugh D Young foi professor emérito de física na Universidade Carnegie Mellon em Pittsburgh Pennsylvania Ele estudou na CarnegieMellon tanto na graduação quanto na pósgraduação obtendo o título de PhD na teoria de par tículas fundamentais sob a orientação do professor Richard Cutkosky Young começou a trabalhar na Carnegie Mellon em 1956 e aposentouse em 2004 Ele também atuou duas vezes como professor visitante na Universidade da Califórnia em Berkeley A carreira do professor Young girou inteiramente em torno do ensino de graduação Ele escreveu diversos livros de física em nível de graduação e em 1973 foi coautor com Francis Sears e Mark Zemansky dos famosos livros de introdução à física Além de sua participação no livro University Physics de Sears e Zemansky ele foi autor de College Physics dos mesmos autores O professor Young obteve o título de bacharel em performance de órgão pela Carnegie Mellon em 1972 e foi organista associado por vários anos na Catedral de St Paul em Pittsburgh Ele frequentemente se aventurava no deserto para caminhar escalar ou explorar cavernas com os alunos do Explorers Club da Carnegie Mellon que fundou como aluno de graduação e depois assessorou O professor Young e sua esposa Alice hospedavam até 50 alunos a cada ano para jantares de Ação de Graças em sua casa Sempre generoso dr Young expressava sua admiração de forma ardente Estendo meus cordiais agradecimentos aos meus colegas da Carnegie Mellon em especial aos professores Robert Kraemer Bruce Sherwood Ruth Chabay Helmut Vogel e Brian Quinn por discussões estimulantes sobre pedagogia da Física e por seu apoio e incentivo du rante a elaboração das sucessivas edições deste livro Agradeço também às muitas gerações de estudantes da Carnegie Mellon por me ajudarem a entender o que é ser um bom professor e um bom escritor e por me mostrarem o que fun ciona ou não É sempre um prazer e um privilégio expressar minha gratidão à minha esposa Alice e minhas filhas Gretchen e Rebecca pelo amor apoio e amparo emocional durante a elaboração das sucessivas edições deste livro Quem dera todos os homens e mulheres fossem abençoados com o amor que elas me dedicam Nós da Pearson apre ciamos seu profissionalismo boa índole e cooperação Sentiremos falta dele BookSEARSVol3indb 469 101115 714 PM 470 Física III A Lewis Ford é professor de física na Universidade AM do Texas Ele recebeu o grau de Bachelor of Arts BA na Universidade Rice em 1968 e o título de PhD em físicoquí mica na Universidade do Texas em Austin em 1972 Depois de um pósdoutorado de um ano na Universidade de Harvard ele começou a trabalhar na faculdade de física da Universidade AM do Texas em 1973 e ali permanece até hoje Suas pesquisas versam sobre física atômica teórica particularmente em colisões atômicas Na Universidade AM do Texas lecionou em diversos cursos de graduação e de pósgraduação porém se dedicou mais à física básica BookSEARSVol3indb 470 101115 714 PM ISBN 9788543015910 Engenharia w w w p e a r s o n c o m b r Física w w w p e a r s o n c o m b r svpearsoncombr A Sala Virtual oferece para professores apresentações em PowerPoint manual de soluções e exercícios adicionais em inglês Para estudantes exercícios adicionais Este livro também está disponível para compra em formato ebook Para adquirilo acesse nosso site 14e ELETROMAGNETISMO YOUNG FREEDMAN III FÍSICA Desde sua primeira edição esta obra tem sido referência por sua ênfase nos princípios fundamentais de física e em como aplicálos Estruturado de maneira clara e com uma didática minuciosa aliada a uma extensa gama de exercícios e exemplos explicativos este livro permite que os alunos desenvolvam habilidades de identificação estabele cimento execução e avaliação de problemas Fundamental para estudantes dos cursos de graduação em matemática física e para todos os ramos da engenharia esta 14a edição foi totalmente atualizada e revisada para oferecer um aprendizado eficaz por meio de uma abordagem mais explicativa somada a uma quantidade maior de figuras fotos e exercícios E todo esse conteúdo é complementado por notas explicativas nas principais equações quadros com os erros mais comuns conteúdo atualizado da física moderna e aplicações de biociência o que o torna a grande referência para os estudiosos da área SEARS ZEMANSKY 14e YOUNG FREEDMAN SEARS ZEMANSKY FÍSICA III ELETROMAGNETISMO ELETROMAGNETISMO III FÍSICA 14e YOUNG FREEDMAN SEARS ZEMANSKY VIRA VIRA VIRA VIRA 9788543015910SEARSFÍSICA IIIindd 1 18122015 102746