Lista de Exercícios Resolvidos - Lei de Coulomb e Campo Elétrico

Exercícios Seção 213 Lei de Coulomb 211 Uma pequena esfera de chumbo de massa igual a 800 g possui excesso de elétrons com uma carga líquida igual a 320 109 C a Calcule o número de elétrons em excesso sobre a esfera b Quantos elétrons em excesso existem por átomo de chumbo O número atômico do chumbo é igual a 82 e sua massa atômica é 207 gmol 2112 Uma carga negativa de 0550 μC exerce uma força de baixo para cima de 0600 N sobre uma carga desconhecida situada a 0300 m diretamente abaixo da primeira a Qual é o valor da carga desconhecida módulo e sinal b Determine o módulo a direção e o sentido da força que a carga desconhecida exerce sobre a carga de 0550 μC 2121 BIO Pareamento de bases no DNA I Os dois lados da dupla hélice de DNA são ligados por pares de bases adenina timina citosina e guanina Em razão da forma geométrica dessas moléculas a adenina se liga à timina e a citosina se liga à guanina A Figura E2121 mostra a ligação de timina e adenina Cada carga na figura é e e a distância HN é de 0110 nm a Calcule a força resultante que a timina exerce sobre a adenina É uma força de atração ou repulsão Para manter os cálculos simples porém razoáveis considere apenas as forças decorrentes das combinações de OHN e NHN supondo que estas duas combinações sejam paralelas entre si Lembrese no entanto de que no conjunto OHN O exerce uma força tanto sobre H quanto N e de forma análoga o mesmo acontece no conjunto NHN b Calcule a força sobre o elétron no átomo de hidrogênio que fica a 00529 nm de distância do próton Em seguida compare a intensidade da força de ligação do elétron no hidrogênio com a força de ligação das moléculas de adeninatimina Figura E2121 Timina Adenina Seção 214 Campo elétrico e forças elétricas 2123 PC Um próton é colocado em um campo elétrico uniforme de 275 103 NC Calcule a o módulo da força elétrica sofrida pelo próton b a aceleração do próton c o módulo da velocidade do próton após 100 μs no campo supondo que ele parta do repouso Seção 215 Determinação do campo elétrico 2136 A Figura E2136 apresenta duas cargas puntiformes Q e q onde q é positiva que produzem o campo elétrico resultante exibido no ponto P A direção do campo é paralela à linha reta que liga as duas cargas a O que se pode concluir sobre o sinal e o módulo de Q Explique seu raciocínio b Se a carga q fosse negativa o campo elétrico poderia ter a direção e o sentido mostrados na figura Explique seu raciocínio Seção 217 Dipolos elétricos 2153 A distância entre duas cargas puntiformes q1 45 nC e q2 45 nC é igual a 31 mm formando um dipolo elétrico a Calcule o momento de dipolo elétrico módulo direção e sentido b As cargas estão no interior de um campo elétrico cuja direção forma um ângulo de 369 com o eixo que liga as cargas Qual é o módulo desse campo elétrico sabendo que o módulo do torque exercido sobre o dipolo elétrico é igual a 72 109 Nm EXERCÍCIOS Seção 222 Determinação do fluxo elétrico 221 Uma folha de papel plana com área igual a 0250 m² é orientada de modo que a normal ao plano forma um ângulo de 60 com a direção de um campo elétrico uniforme de módulo igual a 14 NC a Calcule o módulo do fluxo elétrico através da folha b A resposta do item a depende da forma geométrica da folha Por quê c Para qual ângulo φ entre a normal ao plano e a direção do campo elétrico o módulo do fluxo elétrico através da folha se torna i máximo e ii mínimo Explique Seção 223 Lei de Gauss 227 BIO Conforme discutimos na Seção 225 as células nervosas humanas possuem carga líquida negativa e o material no interior da célula é um bom condutor Se uma célula possui carga líquida igual a 865 pC determine o módulo a direção e o sentido para dentro ou para fora do fluxo elétrico líquido através do limite da célula Seção 225 Cargas em condutores 2213 Duas linhas retas carregadas uniformemente muito longas são paralelas e estão separadas por uma distância igual a 0300 m Cada linha carregada possui carga por unidade de comprimento igual a 520 μCm Qual é o módulo da força que uma linha carregada exerce sobre uma seção transversal de 00500 m da outra linha carregada Seção 231 Energia potencial elétrica 231 Uma carga puntiforme q1 240 μC é mantida em repouso na origem Uma segunda carga puntiforme q2 430 μC se desloca do ponto x 0150 m y 0 até o ponto x 0250 m y 0250 m Qual é o trabalho realizado pela força elétrica sobre a carga q2 Seção 232 Potencial elétrico 2312 Um objeto com carga q 600 109 C é liberado a partir do repouso no ponto A em uma região onde há um campo elétrico uniforme Depois de se deslocar até o ponto B 0500 m para a direita a carga possui energia cinética igual a 300 107 J a Se o potencial elétrico no ponto A é igual a 300 V qual é o potencial elétrico no ponto B b Determine o módulo a direção e o sentido do campo elétrico Seção 233 Determinação do potencial elétrico 2325 Uma casca esférica fina de raio R1 300 cm é concêntrica com uma casca esférica fina maior de raio R2 500 cm Ambas as cascas são feitas de um material isolante A casca menor possui carga q1 600 nC distribuída uniformemente sobre sua superfície e a casca maior possui carga q2 900 nC distribuída uniformemente sobre sua superfície Considere o potencial elétrico igual a zero a uma distância infinita de ambas as cascas a Qual é o potencial elétrico produzido pelas duas cascas nos pontos separados pelas seguintes distâncias de seu centro comum i r 0 ii r 400 cm iii r 600 cm b Qual é o módulo da diferença de potencial entre as superfícies das duas cascas Qual casca possui o maior potencial a interna ou a externa Seção 235 Gradiente de potencial 2341 CALC Uma esfera metálica com raio ra está apoiada sobre uma base isolada no centro de uma casca esférica metálica com raio externo rb Existe uma carga q na esfera interna e uma carga q na esfera externa a Determine o potencial Vr para as regiões i r ra ii ra r rb iii r rb Dica o potencial total é dado pela soma dos potenciais de cada esfera Considere V igual a zero para r infinito b Mostre que o potencial da esfera interna em relação à esfera externa é dado por Vab q 4πε0 1ra 1rb c Use a Equação 2323 e o resultado do item a para mostrar que o campo elétrico em qualquer ponto entre as esferas possui módulo dado por Er Vab 1ra 1rb 1 r2 d Aplique a Equação 2323 e o resultado do item a para calcular o campo elétrico em um ponto fora da esfera maior a uma distância r do centro sendor rb e Suponha que a carga na esfera externa não seja q mas uma carga negativa de módulo diferente digamos Q Mostre que as respostas dos itens b e c não se alteram porém a resposta do item d tornase diferente 2357 Um cristal iônico A Figura P2357 mostra oito cargas puntiformes distribuídas nos vértices de um cubo cuja aresta é igual a d Os valores das cargas são q e q como indicado Tratase do modelo da célula unitária de um cristal iônico cúbico Por exemplo no cloreto de sódio NaCl as cargas positivas são os íons Na as negativas são os íons CI a Calcule a energia potencial U desse arranjo Considere zero o potencial quando a distância entre as oito cargas for infinita b No resultado da parte a provavelmente você encontrou U 0 Explique a relação entre esse resultado e a observação da existência desses cristais na natureza 242 Cada placa de um capacitor com placas paralelas possui área igual a 982 cm2 e a distância entre as placas é de 328 mm A carga acumulada em cada placa possui módulo igual a 435 108 C As placas estão no vácuo a Qual é o valor da capacitância b Qual é a diferença de potencial entre as placas c Qual é o módulo do campo elétrico entre as placas Seção 242 Capacitores em série e em paralelo 2414 A Figura E2414 mostra um sistema de quatro capacitores em que a diferença de potencial através de ab é de 500 V a Determine a capacitância equivalente desse sistema entre a e b b Quanta carga é armazenada por essa combinação de capacitores c Quanta carga é armazenada em cada um dos capacitores de 100 μF e de 90 μF Seção 243 Armazenamento de energia em capacitores e energia do campo elétrico 2423 Um capacitor com placas paralelas de 580 μF imerso no ar e com uma distância entre as placas igual a 500 mm é submetido a uma diferença de potencial de 400 V Calcule a densidade de energia na região entre as placas em unidades de Jm3 Seção 244 Dielétricos 2433 Um capacitor de 125 μF é conectado a uma fonte de energia que mantém constante uma diferença de potencial de 240 V através das placas Um pedaço de material com constante dielétrica de 375 é colocado entre as placas preenchendo completamente o espaço entre elas a Quanta energia é armazenada antes e depois da inserção do dielétrico b Qual foi a variação da energia durante a inserção Ela aumentou ou diminuiu Seção 246 Lei de Gauss em dielétricos 2443 Um capacitor com placas paralelas possui o volume entre as placas preenchido com um plástico cuja constante dielétrica é K O módulo da carga de cada placa é igual a Q Cada carga possui área A e a distância entre as placas é igual a d a Use a lei de Gauss dada pela Equação 2423 para calcular o módulo do campo elétrico no dielétrico b Use o campo elétrico determinado no item a para calcular a diferença de potencial entre as placas c Aplique o resultado do item b para determinar a capacitância do capacitor Compare o resultado à Equação 2412 2450 Na Figura 249a considere C1 90 μF C2 40 μF e Vab 64 V Suponha que os capacitores carregados sejam desconectados da fonte e desconectados um do outro a seguir eles são novamente ligados entre si porém através das placas com cargas opostas O quanto a energia do sistema diminui EXERCÍCIOS Seção 251 Corrente 251 Raios Durante um raio de uma nuvem até o solo podem ocorrer correntes de até 25000 A que duram cerca de 40 μs Quanta carga é transferida da nuvem para a terra durante um raio Seção 252 Resistividade e Seção 253 Resistência 2510 a Em temperatura ambiente qual é a força do campo elétrico em um fio de cobre com calibre 12 diâmetro de 205 mm necessária para provocar um fluxo de corrente de 450 A b Qual seria o campo necessário caso o fio fosse feito de prata Seção 254 Força eletromotriz e circuitos 2525 Um cabo de transmissão de cobre que possui 100 km de comprimento e 100 cm de diâmetro carrega uma corrente de 125 A a Qual é a queda potencial através do cabo b Quanta energia elétrica é dissipada como energia térmica por hora 2531 No circuito indicado na Figura E2530 a bateria de 160 V é removida e depois inserida novamente com a polaridade invertida de modo que o terminal negativo passe a ficar próximo do ponto a Calcule a a corrente no circuito módulo e sentido b a voltagem Vba nos terminais da bateria de 160 V c a diferença de potencial Vac do ponto a em relação ao ponto c d Faça um gráfico do aumento e da queda de potencial no circuito veja a Figura 2520 Seção 255 Energia e potência em circuitos elétricos 2534 Quando um resistor com resistência R está ligado a uma bateria de lanterna de 150 V o resistor consome 00625 W de potência elétrica Suponha que cada bateria sempre possua resistência interna desprezível a Qual é a potência consumida pelo resistor quando é ligado a uma bateria de carro de 126 V Suponha que R permaneça constante quando há mudanças no consumo de potência b O resistor é ligado a uma bateria e consome 500 W Qual é a voltagem dessa bateria 2541 BIO Tratamento de insuficiência cardíaca Um desfibrilador cardíaco é usado para permitir que o coração comece a bater novamente depois de parar Isso é feito passando uma grande corrente de 12 A através do corpo a 25 V durante um tempo muito curto normalmente cerca de 30 ms Qual é a a potência que o desfibrilador fornece ao corpo e b a quantidade de energia transferida 2560 CALC A região entre duas esferas concêntricas condutoras com raios a e b está preenchida por um material condutor com resistividade ρ a Mostre que a resistência entre as esferas é dada por R ρ 4π1 a 1 b b Deduz a uma expressão para a densidade de corrente em função do raio em termos da diferença de potencial Vab entre as esferas c Mostre que o resultado da parte a se reduz ao resultado da Equação 2510 quando a distância entre as esferas L b a é pequena EXERCÍCIOS Seção 261 Resistores em série e em paralelo 261 Um fio uniforme de resistência R é cortado em três partes iguais Uma das partes forma um círculo e é conectada entre as outras duas partes Figura E261 Qual é a resistência entre as extremidades opostas a e b 2612 Na Figura E2611 a bateria possui fem igual a 350 V e resistência interna desprezível R₁ 500 Ω A corrente através de R₁ é de 150 A e a corrente através de R₃ é de 450 A Determine as correntes R₂ e R₃ Seção 262 Leis de Kirchhoff 2623 No circuito indicado na Figura E2623 a leitura do amperímetro A₁ é de 100 A e as baterias possuem resistência interna desprezível a Qual é a resistência de R b Determine as leituras dos outros amperímetros Seção 263 Instrumentos de medidas elétricas 2635 A resistência da bobina de um galvanômetro é igual a 250 Ω e a corrente necessária para atingir uma deflexão até o fundo da escala é de 500 μA a Mostre em um diagrama como converter o galvanômetro em um amperímetro capaz de fornecer uma leitura até o fundo da escala igual a 200 mA e calcule a resistência de shunt b Mostre como converter o galvanômetro em um voltímetro capaz de fornecer uma leitura até o fundo da escala igual a 500 mV e calcule a resistência em série 2649 No circuito indicado na Figura E2649 os capacitores estão inicialmente descarregados a bateria não possui resistência interna e o amperímetro é ideal Ache a leitura do amperímetro a logo após a chave S ser fechada e b após a chave estar fechada há muito tempo 2653 Um aquecedor elétrico de 1500 W é ligado a uma tomada de 120 V e o circuito possui um disjuntor de 20 A Você conecta um secador de cabelo na mesma tomada Ele possui quatro posições com potências máximas iguais a 600 W 900 W 1200 W e 1500 W Você começa com o secador na posição de 600 W e vai aumentando a potência até que o disjuntor salta Qual é a potência que faz o disjuntor saltar EXERCÍCIOS Seção 272 Campo magnético 271 Uma partícula com carga igual a 124 x 10⁸ C se move com velocidade instantânea v 419 x 10⁴ msî 385 x 10⁴ msĵ Qual é a força exercida sobre essa partícula por um campo magnético a B 140 Tî e b B 140 Tk Seção 273 Linhas do campo magnético e fluxo magnético 2710 Uma superfície plana quadrada com 340 cm de lado está no plano xy em z 0 Calcule o módulo do fluxo através dessa superfície produzido por um campo magnético B 0200 Tî 0300 Tĵ 0500 Tk Seção 274 Movimento de partículas carregadas em um campo magnético 2715 Um elétron no ponto A da Figura E2715 possui velocidade v₀ igual a 141 x 10⁶ ms Determine a o módulo a direção e o sentido do campo magnético que obriga o elétron a descrever uma órbita semicircular de A até B b o tempo necessário para que o elétron se desloque de A até B 2721 Um deutéron o núcleo de um isótopo do hidrogênio possui massa igual a 334 x 10²⁷ kg e carga e O deutéron descreve uma trajetória circular com raio igual a 696 mm em um campo magnético com módulo 250 T a Calcule a velocidade do deutéron b Determine o tempo necessário para ele fazer meia rotação c Por meio de qual diferença de potencial o deutéron deve ser acelerado para que adquira essa velocidade Seção 275 Aplicações do movimento de partículas carregadas 2727 Campos E e B perpendiculares Uma partícula com velocidade inicial v₀ 585 x 10³ msĵ entra em uma região com campos elétrico e magnético uniformes O campo magnético na região é B 135 Tk Calcule o módulo a direção e o sentido do campo elétrico na região considerando que não haja desvio para uma partícula de carga a 0640 nC e b 0320 nC Despreze o peso da partícula 2735 Um fio longo que conduz uma corrente de 450 A faz duas dobras de 90 como indica a Figura E2735 A parte dobrada do fio atravessa um campo magnético uniforme de 0240 T orientado como indica a figura e confinado a uma região limitada no espaço Determine o módulo a direção e o sentido da força que o campo magnético exerce sobre o fio Seção 277 Força e torque sobre uma espira de corrente 2740 Uma espira retangular de 50 cm x 80 cm possui plano paralelo a um campo magnético de 019 T A espira conduz uma corrente igual a 62 A a Qual é o torque que atua sobre a espira b Qual é o módulo do momento magnético da espira c Qual é o torque máximo que pode ser obtido sobre um fio com o mesmo comprimento total da espira e conduzindo a mesma corrente nesse campo magnético Seção 278 O motor de corrente contínua 2747 Em um motor cc com as bobinas de campo e o rotor conectados em paralelo Figura E2747 a resistência Rₓ das bobinas de campo é 106 Ω e a resistência Rᵣ do rotor é 59 Ω Quando uma diferença de potencial de 120 V é aplicada às escovas e o motor está rodando em plena velocidade fornecendo potência mecânica a corrente fornecida a ele é 482 A a Qual é a corrente nas bobinas de campo b Qual é a corrente no rotor c Qual é a fem induzida desenvolvida pelo motor d Quanta potência mecânica é desenvolvida por esse motor Seção 279 O efeito Hall 2749 A Figura E2749 indica uma placa de prata com dimensões z₁ 118 mm e y₁ 023 mm que conduz uma corrente igual a 120 A no sentido x A placa está em um campo magnético uniforme na direção y cujo módulo é igual a 095 T Aplique o modelo simplificado do efeito Hall apresentado na Seção 279 Sabendo que existem 585 x 10²⁸ elétrons livres por metro cúbico determine a o módulo da velocidade de arraste dos elétrons na direção do eixo Ox b o módulo a direção e o sentido do campo elétrico no eixo Oz produzido pelo efeito Hall c a fem Hall 2753 PC Reator nuclear Quando dois núcleos de deutéron carga e massa 334 x 10²⁷ kg se aproximam o suficiente a atração da força nuclear intensa vai fundilos e produzir um isótopo de hélio liberando grande quantidade de energia A abrangência dessa força é de aproximadamente 10¹⁵ m Esse é o princípio que rege o reator de fusão nuclear Os núcleos de deutéron se movem rápido demais para serem confinados por paredes físicas por isso são magneticamente confinados a Com qual velocidade os dois núcleos teriam de se mover para que no caso de uma colisão frontal eles se aproximem o suficiente para se fundirem Trate os núcleos como cargas puntiformes e suponha que uma distância de 10 x 10¹⁵ é necessária para a fusão b Qual intensidade do campo magnético é necessária para fazer os núcleos de deutéron com essa velocidade percorrerem um círculo de 250 m de diâmetro 2843 Cabo coaxial Um condutor sólido com raio a é suportado por discos isolantes no centro de um tubo condutor com raio interno b e raio externo c Figura E2843 O condutor central e o tubo conduzem correntes com o mesmo módulo I mas com sentidos contrários As correntes são distribuídas uniformemente ao longo da seção reta de cada condutor Deduz a uma expressão para o módulo do campo magnético a nos pontos no exterior do condutor sólido central porém no interior do tubo a r b b nos pontos no exterior do tubo r c Figura E2843 Seção 288 Materiais magnéticos 2852 Um solenóide toroidal com 400 espiras possui raio médio igual a 60 cm e conduz uma corrente de 025 A A permeabilidade relativa do núcleo é igual a 80 a Qual é o campo magnético no núcleo b Que parte do campo magnético resultante é produzida pelas correntes atômicas PROBLEMAS 2855 Duas cargas puntiformes q 800 μC e q 500 μC se movem como indicado na Figura P2855 com velocidades v 900 104 ms e v 650 104 ms Quando as cargas puntiformes estão nos locais indicados na figura quais são a o campo magnético produzido na origem e b a força EXERCÍCIOS Seção 292 Lei de Faraday 291 Uma espira de fio isolada com área de 00900 m2 está em um campo magnético uniforme com valor inicial de 380 T é perpendicular ao plano da espira e está diminuindo a uma taxa constante de 0190 Ts a Qual é a fem induzida nessa espira b Se a espira possui uma resistência de 0600 Ω determine a corrente induzida na espira Seção 293 Lei de Lenz 2915 Uma espira de fio circular está em uma região do espaço onde existe um campo magnético uniforme como indica a Figura E2915 O campo magnético está entrando no plano da figura Determine o sentido horário ou antihorário da corrente induzida na espira quando a B está aumentando b B está diminuindo c B permanece constante com um valor igual a B0 Explique seu raciocínio Figura E2915 Seção 294 Força eletromotriz produzida pelo movimento 2924 Uma espira de fio retangular com dimensões de 150 cm por 800 cm e resistência R 0600 Ω está sendo puxada para a direita saindo de uma região de campo magnético uniforme O campo magnético possui módulo B 240 T e está direcionado para dentro do plano da Figura E2924 No instante em que a velocidade da espira é de 300 ms e ainda está parcialmente na região do campo que força módulo direção e sentido o campo magnético exerce sobre a espira Figura E2924 Seção 295 Campos elétricos induzidos 2936 Um anel metálico de 450 cm de diâmetro é colocado entre os polos norte e sul de grandes ímãs cujos planos da área são perpendiculares ao campo magnético Esses ímãs produzem um campo inicial uniforme de 112 T entre eles mas são gradualmente separados fazendo esse campo permanecer uniforme mas diminua regularmente em 0250 Ts a Qual é o módulo do campo elétrico induzido no anel b Em qual sentido horário ou antihorário a corrente flui do ponto de vista de alguém no polo sul do ímã 7 Seção 297 Corrente de deslocamento e equações de Maxwell 2942 Um capacitor de placas paralelas e cheio de ar está sendo carregado como indica a Figura 2923 As placas circulares possuem raio de 400 cm e em um dado instante a corrente de condução nos fios é de 0520 A a Qual é a densidade de corrente de deslocamento jD no espaço entre as placas b Qual é a taxa de variação do campo elétrico entre as placas c Qual é o campo magnético induzido entre as placas a uma distância de 200 cm do eixo d E a 100 cm Seção 298 Supercondutividade 2945 Nas vizinhanças do zero absoluto Bc tende a 0142 T para o vanádio que é um supercondutor do tipo I A fase normal do vanádio possui uma suscetibilidade magnética próxima de zero Considere um cilindro de vanádio longo e fino com seu eixo paralelo a um campo magnético externo B0 no sentido x Para pontos muito afastados das extremidades do cilindro por simetria todos os vetores magnéticos são paralelos ao eixo Ox Em temperaturas próximas do zero absoluto qual deve ser o campo magnético B e a magnetização M no interior e no exterior do cilindro longe das extremidades para a B0 0130 Tî e b B0 0260 Tî 2954 CALC Uma barra condutora de comprimento L 0200 m massa m 0120 kg e resistência R 800 Ω se move sem atrito sobre trilhos metálicos como indica a Figura 2911 Um campo magnético uniforme com módulo B 150 T está entrando no plano da figura A barra parte do repouso e sofre a ação de uma força constante com módulo F 190 N orientada para a direita Quantos segundos depois que a força é aplicada a barra atinge uma velocidade de 250 ms EXERCÍCIOS Seção 301 Indutância mútua 301 A indutância mútua entre duas bobinas é M 325 104 H A corrente i1 na primeira bobina cresce a uma taxa uniforme de 830 As a Qual é a fem induzida na segunda bobina Ela é constante b Suponha que a corrente esteja circulando na segunda bobina em vez de na primeira Qual é o módulo da fem induzida na primeira bobina Seção 302 Indutores e autoindutância 307 Um solenóide toroidal de 250 mH possui raio médio de 600 cm e área de seção reta igual a 200 cm2 a Quantas bobinas ele tem Faça a mesma suposição do Exemplo 303 b Com que taxa a corrente através dele deverá variar de modo que uma diferença de potencial de 200 V seja desenvolvida em seus terminais Seção 303 Energia do campo magnético 3016 Um indutor usado em uma fonte de alimentação de corrente contínua possui indutância igual a 120 H e resistência de 180 Ω Ele conduz uma corrente de 0500 A a Qual é a energia armazenada no campo magnético b Qual é a taxa de produção de energia térmica no indutor c Sua resposta do item b significa que a energia magnética está diminuindo com o tempo Explique Seção 304 O circuito RL 3023 Um indutor com indutância de 250 H e resistência igual a 80 Ω está conectado aos terminais de uma bateria com fem de 600 V e resistência interna desprezível Calcule a a taxa inicial do crescimento da corrente no circuito b a taxa de aumento da corrente no instante em que a corrente é igual a 0500 A c a corrente 0250 s depois que o circuito é fechado d a corrente estacionária final Seção 305 O circuito LC 3031 Em um circuito LC L 850 mH e C 320 μF Durante a oscilação a corrente máxima no indutor é igual a 0850 mA a Qual é a carga máxima do capacitor b Qual é o módulo da carga do capacitor quando a corrente no indutor possui módulo igual a 0500 mA Seção 306 O circuito LRC em série 3038 Um circuito LRC em série possui L 0600 H e C 300 μF a Calcule a frequência angular de oscilação para o circuito quando R 0 b Que valor de R oferece amortecimento crítico c Qual é a frequência de oscilação ω quando R tem metade do valor que produz amortecimento crítico 3048 CALC Considere o circuito na Figura 3011 com as duas chaves abertas Em t 0 a chave S1 é fechada enquanto S2 é mantida aberta a Use a Equação 3014 para derivar uma equação para taxa PR na qual a energia elétrica está sendo consumida no resistor Em termos de E R e L em que valor de t a taxa PR é máxima Qual é esse valor máximo b Use as equações 3014 e 3015 para deduzir uma equação para PL a taxa na qual a energia está sendo armazenada no indutor c Qual é o valor de PL em t 0 e quando t d Em termos de E R e L em que valor de t a taxa PL é máxima Qual é esse valor máximo e Obtenha uma expressão para PE a taxa na qual a bateria está fornecendo energia elétrica ao circuito Em termos de E R e L em que valor de t a taxa PE é máxima Qual é esse valor máximo 8 EXERCÍCIOS Seção 311 Fasor e corrente alternada 311 Você possui uma lâmpada especial com um filamento muito delicado O fio se romperá se a corrente fluindo por ele ultrapassar 150 A mesmo que por um instante Qual é a maior corrente quadrática média que pode passar por essa lâmpada Seção 312 Resistência e reatância 314 Um capacitor está conectado através de uma fonte ca cuja amplitude de tensão é 600 V e frequência de 800 Hz a Qual é o ângulo de fase ϕ para a voltagem da fonte em relação à corrente A voltagem da fonte está atrasada ou adiantada em relação à corrente b Qual é a capacitância C do capacitor se a amplitude de corrente é igual a 530 A 3110 Indutor de um rádio Você deseja obter uma amplitude de corrente igual a 180 mA passando através de um indutor de 0450 mH uma parte de um circuito de um receptor de rádio quando uma voltagem senoidal com amplitude de 120 V é aplicada nos terminais do indutor Qual é a frequência necessária Seção 313 O circuito LRC em série 3114 Você dispõe de um resistor de 200 Ω de um indutor de 0400 H e de um capacitor de 600 μF Suponha que você faça um circuito em série ligando o resistor e o indutor com uma fonte de tensão com amplitude de voltagem igual a 300 V e frequência angular igual a 250 rads a Qual é a impedância do circuito b Qual é a amplitude da corrente c Calcule as amplitudes das voltagens através do resistor e do indutor d Qual é o ângulo de fase da voltagem da fonte em relação à corrente A voltagem da fonte está atrasada ou adiantada em relação à corrente e Faça um diagrama de fasores 3119 A potência de determinado aparelho de CD que opera com uma tensão eficaz de 120 V é igual a 200 W Supondo que o aparelho de CD se comporte como uma resistência pura calcule a a potência instantânea máxima b a corrente eficaz c a resistência desse aparelho 3127 Analisando um circuito LRC Você tem um resistor de 200 Ω um indutor de 0400 H um capacitor de 500 μF e uma fonte ca de frequência variável com uma amplitude de 300 V Você conecta todos os quatro elementos para formar um circuito em série a Em que frequência a corrente no circuito será maior Qual será a amplitude de corrente nessa frequência b Qual será a amplitude de corrente em uma frequência angular de 400 rads Nessa frequência a voltagem na fonte está adiantada ou atrasada em relação à corrente Seção 316 Transformadores 3134 Partiu Europa Sua amiga pretende levar um secador de cabelo para a Europa onde as tomadas elétricas geram uma tensão de 240 V em vez dos 120 V comumente usados no Brasil O secador gera 1600 W a 120 V a O que você deve fazer para fazer o secador funcionar em 240 V na Europa b Qual é a corrente consumida pelo secador na Europa c Qual é a resistência que o secador parece ter quando opera a 240 V 3140 Cinco voltímetros com impedância infinita calibrados para medir o valor eficaz da tensão são conectados conforme indicado na Figura P3140 Seja R 200 Ω L 0400 H C 60 μF e V 300 V Qual é a leitura de cada voltímetro quando a ω 200 rads b ω 1000 rads Figura P3140 3154 O circuito LRC em paralelo Um resistor um indutor e um capacitor são ligados em paralelo com uma fonte ca com amplitude de voltagem V e frequência angular ω Suponha que a voltagem da fonte seja dada por v V cos ωt a Mostre que a voltagem instantânea nos terminais de cada elemento vR vL e vC em qualquer instante é a mesma da fonte v e que i iR iL iC em que i é a corrente que passa na fonte e iR iL e iC são as correntes que passam no resistor no indutor e no capacitor respectivamente b Quais são as fases de iR iL e iC em relação à v Use fasores para representar as correntes i iR iL e iC Sobre o diagrama de fasores mostre as fases dessas quatro correntes em relação a v c Use o diagrama de fasores do item b para mostrar que a amplitude da corrente I para a corrente i que passa na fonte é dada por I IR2 IC IL2 d Mostre que o resultado do item c pode ser escrito na forma I VZ com 1Z 1R2 ωC 1ωL2 EXERCÍCIOS Seção 322 Ondas eletromagnéticas planas e a velocidade da luz 321 a Sabendo que a distância entre a Terra e a Lua é de 384000 km quanto tempo leva a luz para viajar da Lua até a Terra b A luz emitida pela estrela Sirius leva 861 anos para chegar até a Terra Qual é a distância entre a Terra e Sirius em quilômetros 3211 Uma onda eletromagnética possui um campo elétrico dado por Eyt 310 105 Vmk cos ky 1265 1012 radst a Em que direção e sentido a onda eletromagnética está se propagando b Qual é o comprimento de onda c Escreva a equação vetorial para Byt Seção 324 Energia e momento linear em ondas eletromagnéticas 3216 BIO Tratamento de câncer com alta energia Os cientistas estão trabalhando em uma nova técnica para eliminar células cancerígenas removendoas com pulsos de luz de energia ultraalta na faixa de 1012 W que duram um tempo extremamente curto alguns nanosegundos Esses pulsos curtos desarrumam o interior de uma célula sem fazer com que ela se exploda como fariam os pulsos longos Podemos modelar uma célula típica desse tipo como um disco de 50 μm de diâmetro com um pulso durando 40 ns e uma potência média de 20 1012 W Vamos considerar que a energia seja espalhada uniformemente pelas faces de 100 células para cada pulso a Quanta energia é dada à célula durante esse pulso b Qual é a intensidade em Wm2 fornecida à célula c Quais são os valores máximos dos campos elétrico e magnético no pulso 3223 Uma fonte de luz monocromática possui potência total igual a 600 W e irradia uniformemente em todas as direções uma luz de comprimento de onda igual a 700 nm Calcule Emáx e Bmáx para a luz de 700 nm a uma distância de 500 m da fonte 3228 Um raio laser possui diâmetro de 120 nm Qual é a amplitude do campo elétrico da radiação eletromagnética no raio se ele se exerce uma força de 38 109 N sobre uma superfície totalmente refletora Seção 325 Ondas eletromagnéticas estacionárias 3230 Uma onda eletromagnética estacionária em certo material possui frequência igual a 220 1010 Hz A distância entre dois planos nodais consecutivos do campo B é igual a 465 mm Calcule a o comprimento de onda da onda nesse material b a distância entre dois planos nodais adjacentes do campo E c a velocidade de propagação da onda 3234 CALC Considere uma onda eletromagnética senoidal tal que os campos sejam dados pelas equações E Emax î cos kx ωt e B Bmax k cos kx ωt ϕ com π ϕ π Mostre que se E e B satisfazem às equações 3212 e 3214 então concluímos que Emax cBmax é ϕ 0 O resultado ϕ 0 indica que os campos E e B oscilam em fase 3253 CALC As ondas eletromagnéticas se propagam em condutores de modo muito diferente da propagação em dielétricos e no vácuo Quando a resistividade do condutor for suficientemente pequena ou seja quando ele for um bom condutor o campo elétrico oscilante da onda produzirá uma corrente de condução oscilante que é muito maior que a corrente de deslocamento Nesse caso a equação de onda para o campo elétrico Ext Eyxt ĵ se propagando no sentido x no interior do condutor é dada por ²Eyxtx² μρ Eyxtt em que μ é a permeabilidade do condutor e ρ é sua resistividade a Uma solução para essa equação de onda é dada por Eyxt Emax ekc x cos kc x ωt em que kc ωμ2ρ Verifique essa solução substituindo Eyxt na equação de onda precedente b O termo exponencial mostra que a amplitude do campo elétrico diminui à medida que a onda se propaga Explique a razão desse efeito Dica o campo realiza trabalho para mover a carga no interior do condutor A corrente resultante desse movimento produz uma dissipação de calor i²R no interior do condutor fazendo sua temperatura aumentar De onde provém a energia para isso c Mostre que a amplitude do campo elétrico diminui por um fator 1e para uma distância determinada por 1kc 2ρωμ e calcule essa distância para uma onda de rádio com frequência f 10 MHz no cobre resistividade 172 108 Ω m e permeabilidade μ μ₀ Como essa distância é muito pequena as ondas eletromagnéticas praticamente não se propagam no interior do cobre Ao contrário elas são refletidas na superfície do metal A partir disso concluise que as ondas de rádio não penetram no cobre nem em outros metais explicandose por que a recepção das ondas de rádio é extremamente fraca no interior de um ambiente cercado por uma estrutura metálica 211 Uma pequena esfera de chumbo de massa igual a 800 g possui excesso de elétrons com uma carga líquida igual a 320 109 𝐶 a Calcule o número de elétrons em excesso sobre a esfera b Quantos elétrons em excesso existem por átomo de chumbo O número atômico do chumbo é igual a 82 e sua massa atômica é 207 gmol Resolução a Nós sabemos que o valor da carga elementar do elétron é dada por 𝑒 1602 1019 𝐶 e que pelo enunciado ter dito que há carga em excesso então esse valor é negativo Sendo assim podemos definir o número de cargas em excesso pela equação a seguir 𝑄 𝑛 𝑒 Onde 𝑄 32 109 𝐶 e 𝑒 1602 1019 𝐶 substituindo na fórmula 32 109 𝑛1602 1019 𝑛 2 1010 𝑒𝑙é𝑡𝑟𝑜𝑛𝑠 b Antes de definirmos o número de elétrons em excesso em um átomo de chumbo vamos encontrar a quantidade de matéria em mol no chumbo que pode ser obtida pela fórmula abaixo 𝑛 𝑚 𝑁 Onde 𝑚 é a massa e 𝑁 é a massa molar do chumbo 𝑛 8 103 𝑘𝑔 207 103 𝑘𝑔𝑚𝑜𝑙 003865 𝑚𝑜𝑙𝑠 Sendo assim podemos encontrar o número de átomos de chumbo N onde 𝑁𝐴 é o número de avogrado 𝑁 𝑛 𝑁𝐴 𝑁 003865 𝑚𝑜𝑙𝑠6022 1023 á𝑡𝑜𝑚𝑜𝑠𝑚𝑜𝑙 2328 1022 á𝑡𝑜𝑚𝑜𝑠 𝑑𝑒 𝑐ℎ𝑢𝑚𝑏𝑜 Por fim o número de excesso de elétrons é 𝑛 𝑁 2 1010 𝑒𝑙é𝑡𝑟𝑜𝑛𝑠 2328 1022 á𝑡𝑜𝑚𝑜𝑠 𝑑𝑒 𝑐ℎ𝑢𝑚𝑏𝑜 859 1013 𝑒𝑙é𝑡𝑟𝑜𝑛𝑠á𝑡𝑜𝑚𝑜 𝑑𝑒 𝑐ℎ𝑢𝑚𝑏𝑜 2112 Uma carga negativa de 0550 𝜇C exerce uma força de baixo para cima de 0600 N sobre uma carga desconhecida situada a 0300 m diretamente abaixo da primeira a Qual é o valor da carga desconhecida módulo e sinal b Determine o módulo a direção e o sentido da força que a carga desconhecida exerce sobre a carga de 0550 𝜇C Resolução 2121 Pareamento de bases no DNA I Os dois lados da dupla hélice de DNA são ligados por pares de bases adenina timina citosina e guanina Em razão da forma geométrica dessas moléculas a adenina se liga à timina e a citosina se liga à guanina A Figura E2121 mostra a ligação de timina e adenina Cada carga na figura é e e a distância HN é de 0110 nm a Calcule a força resultante que a timina exerce sobre a adenina É uma força de atração ou repulsão Para manter os cálculos simples porém razoáveis considere apenas as forças decorrentes das combinações de OHN e NHN supondo que estas duas combinações sejam paralelas entre si Lembrese no entanto de que no conjunto OHN O exerce uma força tanto sobre H quanto N e de forma análoga o mesmo acontece no conjunto NHN b Calcule a força sobre o elétron no átomo de hidrogênio que fica a 00529 nm de distância do próton Em seguida compare a intensidade da força de ligação do elétron no hidrogênio com a força de ligação das moléculas de adeninatimina Resolução 2123 Um próton é colocado em um campo elétrico uniforme de 275 103 NC Calcule a o módulo da força elétrica sofrida pelo próton b a aceleração do próton c o módulo da velocidade do próton após 100 ms no campo supondo que ele parta do repouso Resolução 2136 A Figura E2136 apresenta duas cargas puntiformes Q e q onde q é positiva que produzem o campo elétrico resultante exibido no ponto P A direção do campo é paralela à linha reta que liga as duas cargas a O que se pode concluir sobre o sinal e o módulo de Q Explique seu raciocínio b Se a carga q fosse negativa o campo elétrico poderia ter a direção e o sentido mostrados na figura Explique seu raciocínio Resolução 2153 A distância entre duas cargas puntiformes 𝑞1 45 𝑛𝐶 e 𝑞2 45 𝑛𝐶 é igual a 31 mm formando um dipolo elétrico a Calcule o momento de dipolo elétrico módulo direção e sentido b As cargas estão no interior de um campo elétrico cuja direção forma um ângulo de 369 com o eixo que liga as cargas Qual é o módulo desse campo elétrico sabendo que o módulo do torque exercido sobre o dipolo elétrico é igual a 72 109 𝑁 𝑚 Resolução 𝒃 22 1 Uma folha de papel plana com área igual a 0250 m2 é orientada de modo que a normal ao plano forma um ângulo de 60 com a direção de um campo elétrico uniforme de módulo igual a 14 NC a Calcule o módulo do fluxo elétrico através da folha b A resposta do item a depende da forma geométrica da folha Por quê c Para qual ângulo f entre a normal ao plano e a direção do campo elétrico o módulo do fluxo elétrico através da folha se torna i máximo e ii mínimo Explique suas respostas Resolução Letra a Letra b Letra c 227 Conforme discutimos na Seção 225 as células nervosas humanas possuem carga líquida negativa e o material no interior da célula é um bom condutor Se uma célula possui carga líquida igual a 865 pC determine o módulo a direção e o sentido para dentro ou para fora do fluxo elétrico líquido através do limite da célula Resolução 2213 Duas linhas retas carregadas uniformemente muito longas são paralelas e estão separadas por uma distância igual a 0300 m Cada linha carregada possui carga por unidade de comprimento igual a 520 mCm Qual é o módulo da força que uma linha carregada exerce sobre uma seção transversal de 00500 m da outra linha carregada Resolução 231 Uma carga puntiforme 𝑞1 240 𝜇𝐶 é mantida em repouso na origem Uma segunda carga puntiforme 𝑞2 430 𝜇𝐶 se desloca do ponto x0150 m y0 até o ponto x0250 m y0250 m Qual é o trabalho realizado pela força elétrica sobre a carga 𝑞2 Resolução 2312 Um objeto com carga 𝑞 600 109 C é liberado a partir do repouso no ponto A em uma região onde há um campo elétrico uniforme Depois de se deslocar até o ponto B 0500 m para a direita a carga possui energia cinética igual a 300 107 𝐽 a Se o potencial elétrico no ponto A é igual a 300 V qual é o potencial elétrico no ponto B b Determine o módulo a direção e o sentido do campo elétrico Resolução 2325 Uma casca esférica fina de raio 𝑅1 300 cm é concêntrica com uma casca esférica fina maior de raio 𝑅2 500 cm Ambas as cascas são feitas de um material isolante A casca menor possui carga 𝑞1 600 𝑛𝐶 distribuída uniformemente sobre sua superfície e a casca maior possui carga 𝑞2 900 𝑛𝐶 distribuída uniformemente sobre sua superfície Considere o potencial elétrico igual a zero a uma distância infinita de ambas as cascas a Qual é o potencial elétrico produzido pelas duas cascas nos pontos separados pelas seguintes distâncias de seu centro comum i 𝑟 0 ii 𝑟 400 𝑐𝑚 iii 𝑟 600 𝑐𝑚 b Qual é o módulo da diferença de potencial entre as superfícies das duas cascas Qual casca possui o maior potencial a interna ou a externa Resolução 2341 Uma esfera metálica com raio 𝑟𝑎 está apoiada sobre uma base isolada no centro de uma casca esférica metálica com raio externo 𝑟𝑏 Existe uma carga 𝑞 na esfera interna e uma carga 𝑞 na esfera externa a Determine o potencial Vr para as regiões i 𝑟 𝑟𝑎 ii 𝑟𝑎 𝑟 𝑟𝑏 iii 𝑟 𝑟𝑏 Dica o potencial total é dado pela soma dos potenciais de cada esfera Considere V igual a zero para 𝑟 infinito b Mostre que o potencial da esfera interna em relação à esfera externa é dado por 𝑉𝑎𝑏 𝑞 4𝜋𝜖0 1 𝑟𝑎 1 𝑟𝑏 c Use a Equação 2323 e o resultado do item a para mostrar que o campo elétrico em qualquer ponto entre as esferas possui módulo dado por 𝐸𝑟 𝑉𝑎𝑏 1𝑟𝑎 1𝑟𝑏 1 𝑟2 d Aplique a Equação 2323 e o resultado do item a para calcular o campo elétrico em um ponto fora da esfera maior a uma distância r do centro sendo 𝑟 𝑟𝑏 e Suponha que a carga na esfera externa não seja 𝑞 mas uma carga negativa de módulo diferente digamos 𝑄 Mostre que as respostas dos itens b e c não se alteram porém a resposta do item d tornase diferente Resolução Para iii r rb Nessa região estamos fora das duas esferas assim temos que V 14πε0 qr 14πε0 qr V 0 Agora vamos para o item b O potencial na esfera interna é dado por Va q4πε0 1ra 1rb Já que estamos em uma região dentro das duas esferas Agora o potencial na esfera externa é V 0 Pois estamos em uma região fora das duas esferas então temos que Vab q4πε0 1ra 1rb Vamos para o item c A equação 2323 é a seguinte Er Vr Ele quer que usemos essa equação para mostrar que o campo elétrico em qualquer ponto entre as esferas é dado pela equação lá do enunciado O potencial de um ponto entre as esferas é dado por V q4πε01r 1rb Então temos que derivar isso em relação r então Vr q4πε0 1r² Então Er q4πε0 1r² Do item b temos que Vab q4πε0 1ra 1rb q Vab4πε0 1ra 1rb Então temos que Er Vab1ra 1rb 1r² Agora o item d A equação 2323 é a seguinte Er Vr Ele quer que usemos essa equação para encontrar o campo em um ponto com r rb O potencial de um ponto com r rb é V 0 Logo temos que Er 0 Finalmente o item e o último Se a casca externa tiver uma carga Q diferente os potenciais dentro da camada externa só irão sofrer um pequeno deslocamento de V 14πε0 Qrb Logo os resultados de b e c se mantém os mesmos Mas por conta dessa diferença de carga o potencial fora das esferas é dado por V 14πε0 qr 14πε0 Qr V 14πε0rq Q Logo a deriva de V com relação a r não vai ser mais zero logo o campo nessa região vai ser diferente de zero mudando o resultado do item d 2357 A Figura P2357 mostra oito cargas puntiformes distribuídas nos vértices de um cubo cuja aresta é igual a d Os valores das cargas são q e q como indicado Tratase do modelo da célula unitária de um cristal iônico cúbico Por exemplo no cloreto de sódio NaCl as cargas positivas são os íons Na as negativas são os íons Cl a Calcule a energia potencial U desse arranjo Considere zero o potencial quando a distância entre as oito cargas for infinita b No resultado da parte a provavelmente você encontrou U0 Explique a relação entre esse resultado e a observação da existência desses cristais da natureza Resolução 242 Cada placa de um capacitor com placas paralelas possui área igual a 982 cm2 e a distância entre as placas é de 328 mm A carga acumulada em cada placa possui módulo igual a 435 108 𝐶 As placas estão no vácuo a Qual é o valor da capacitância b Qual é a diferença de potencial entre as placas c Qual é o módulo do campo elétrico entre as placas Resolução 2414 A Figura E2414 mostra um sistema de quatro capacitores em que a diferença de potencial através de ab é de 500 V a Determine a capacitância equivalente desse sistema entre a e b b Quanta carga é armazenada por essa combinação de capacitores c Quanta carga é armazenada em cada um dos capacitores de 100 mF e de 90 mF Resolução Letra a letra b Agora queremos a carga armazenada por essa combinação de capacitores Temos a capacitância equivalente e depois o potencial Vab Logo temos Ceq QVab Q VabCeq Q 50 347 106 Q 1735 106 C letra c Queremos agora Q1 e Q4 que são as cargas nos capacitores de 10μF e de 9μF A carga em capacitores que estão em série é a mesma Funciona mais ou menos assim O capacitor de 10μF possui uma carga Q essa carga é divida entre os capacitores de 5μF e de 8μF e depois a carga se une e o capacitor de 9μF terá essa mesma carga Q Portanto a carga do sistema de capacitores é exatamente a carga armazenada no capacitor de 10μF e no de 9μF Q1 Q4 Q Então Q1 1735 106 C Q4 1735 106 C 2423 Um capacitor com placas paralelas de 580 mF imerso no ar e com uma distância entre as placas igual a 500 mm é submetido a uma diferença de potencial de 400 V Calcule a densidade de energia na região entre as placas em unidades de Jm3 Resolução 2433 Um capacitor de 125 𝜇F é conectado a uma fonte de emergia que mantém constante uma diferença de potencial de 240 V através das placas Um pedaço de material com constante dielétrica de 375 é colocado entre as placas preenchendo completamente o espaço entre elas a Quanta energia é armazenada antes e depois da inserção do dielétrico b Qual foi a variação da energia durante a inserção Ela aumentou ou diminuiu Resolução 2343 Um capacitor com placas paralelas possui o volume entre as placas preenchido com um plástico cuja constante dielétrica é K O módulo da carga de cada placa é igual a Q Cada carga possui área A e a distância entre as placas é igual a d a Use a lei de Gauss dada pela Equação 2423 para calcular o módulo do campo elétrico no dielétrico b Use o campo elétrico determinado no item a para calcular a diferença de potencial entre as placas c Aplique o resultado do item b para determinar a capacitância do capacitor Compare o resultado à Equação 2412 Resolução 2450 Na Figura 249a considere 𝐶1 90 𝜇𝐹 𝐶2 40 𝜇𝐹 e 𝑉𝑎𝑏 64 𝑉 Suponha que os capacitores carregados sejam desconectados da fonte e desconectados um do outro a seguir eles são novamente ligados entre si porém através das placas com cargas opostas O quanto a energia do sistema diminui Resolução Q2 256 104 C Então a carga total antes dos capacitores serem desconectados é QTa Q1 Q2 832 104 C E a carga depois deles serem desconectados e ligados pelas placas de carga oposta é QTd Q2 Q1 32 104 C Agora temos que achar a capacitância equivalente nas duas situações a capacitância equivalente vai ser a mesma já que eles foram ligados em paralelo de novo Assim Ceq C1 C2 9 106 4 106 Ceq 13 106 F Agora temos tudo o que precisamos para calcular a energia antes e depois deles serem desconectados Começando com a energia antes temos Ua QTa22Ceq Ua 832 1042 213 106 Ua 267 102 J 251 Durante um raio de uma nuvem até o solo podem ocorrer correntes de até 25000 A que duram cerca de 40 ms Quanta carga é transferida da nuvem para a terra durante um raio Resolução 2510 a Em temperatura ambiente qual é a força do campo elétrico em um fio de cobre com calibre 12 diâmetro de 205 mm necessária para provocar um fluxo de corrente de 450 A b Qual seria o campo necessário caso o fio fosse feito de prata Resolução Letra a Letra b 2525 Um cabo de transmissão de cobre que possui 100 km de comprimento e 100 cm de diâmetro carrega uma corrente de 125 A a Qual é a queda potencial através do cabo b Quanta energia elétrica é dissipada como energia térmica por hora Resolução Letra a Letra b 2531 No circuito indicado na Figura E2530 a bateria de 160 V é removida e depois inserida novamente com a polaridade invertida de modo que o terminal negativo passe a ficar próximo do ponto a Calcule a a corrente no circuito módulo e sentido b a voltagem 𝑉𝑏𝑎 nos terminais da bateria de 160 V c a diferença de potencial 𝑉𝑎𝑐 do ponto a em relação ao ponto c d Faça um gráfico do aumento e da queda de potencial no circuito veja a Figura 2520 Resolução Letra a Letra b Letra c Letra d 2534 Quando um resistor com resistência R está ligado a uma bateria de lanterna de 150 V o resistor consome 00625 W de potência elétrica Suponha que cada bateria sempre possua resistência interna desprezível a Qual é a potência consumida pelo resistor quando é ligado a uma bateria de carro de 126 V Suponha que R permaneça constante quando há mudanças no consumo de potência b O resistor é ligado a uma bateria e consome 500 W Qual é a voltagem dessa bateria Resolução O enunciado nos diz que a resistência R está conectada a uma fonte de 15 V e consome uma potência de 00625 W Então podemos encontrar a resistência com a seguinte fórmula 𝑃 𝑉2 𝑅 Isolando a resistência 𝑅 𝑉2 𝑃 15 𝑉2 00625 𝑊 36 Ω Letra a Agora podemos calcular a potência quando está conectada a uma fonte de 126 𝑉 𝑃 𝑉2 𝑅 126 𝑉2 36 Ω 441 𝑊 Letra b A tensão pode ser calculada usando a mesma fórmula 𝑉2 𝑅 𝑃 𝑉 ඥ36 Ω5 W 1342 𝑉 2541 Um desfibrilador cardíaco é usado para permitir que o coração comece a bater novamente depois de parar Isso é feito passando uma grande corrente de 12 A através do corpo a 25 V durante um tempo muito curto normalmente cerca de 30 ms Qual é a a potência que o desfibrilador fornece ao corpo e b a quantidade de energia transferida Resolução 2560 A região entre duas esferas concêntricas condutoras com raios a e b está preenchida por um material condutor com resistividade r a Mostre que a resistência entre as esferas é dada por 𝑅 𝜌 4𝜋 1 𝑎 1 𝑏 b Deduza uma expressão para a densidade de corrente em função do raio em termos da diferença de potencial 𝑉𝑎𝑏 entre as esferas c Mostre que o resultado da parte a se reduz ao resultado da Equação 2510 quando a distância entre as esferas 𝐿 𝑏 𝑎 é pequena Resolução A corrente que passa nessa região será de Vab IR I Vab rho 4pi 1a 1b Vab rhoba4piab Vab4piab rhoba Então a densidade de corrente será J IA Vab4piab rhoba4pir2 Vab ab rhobar2 Considerando um raio r qualquer Rearrumando o que encontramos R rho 4pi 1a 1b Temos R rho 4pi ba ab Onde L b a e a b então R rho L 4p a2 Como a área da esfera é de 4pir2 então a equação R rho L A se faz válida novamente Pois b vai ser muito parecido com a diminuindo a área amarela 261 Um fio uniforme de resistência R é cortado em três partes iguais Uma das partes forma um círculo e é conectada entre as outras duas partes Figura E261 Qual é a resistência entre as extremidades opostas a e b Resolução 2612 Na Figura E2611 a bateria possui fem igual a 350 V e resistência interna desprezível 𝑅1 500 𝑉 A corrente através de 𝑅1 é de 150 A e a corrente através de 𝑅3 é de 450 A Determine as correntes 𝑅2 e 𝑅3 Resolução 2623 No circuito indicado na Figura E2623 a leitura do amperímetro A1 é de 100 A e as baterias possuem resistência interna desprezível a Qual é a resistência de R b Determine as leituras dos outros amperímetros Resolução I5 700 A Aplique a regra do loop ao loop 1 epsilon1 300 A400 Ohms I3 300 Ohms 0 epsilon1 120 V 800 A300 Ohms 360 V Aplique a regra do loop ao loop 2 epsilon2 500A600 Ohms I3 300 Ohms 0 epsilon2 300V 80A300 Ohms 54 V Aplique a regra do loop ao loop 3 200 A R epsilon1 epsilon2 0 R epsilon2 epsilon1 200 A 54 0 V 360 V 200 A 900 Ohms Aplique a regra do loop ao loop 4 como uma verificação de nossos cálculos 200 A R 300 A 400 Ohms 500 A 600 Ohms 0 200 A900 Ohms 20 V 300 V 0 180 V 180 V 0 2535 A resistência da bobina de um galvanômetro é igual a 250 V e a corrente necessária para atingir uma deflexão até o fundo da escala é de 500 𝜇A a Mostre em um diagrama como converter o galvanômetro em um amperímetro capaz de fornecer uma leitura até o fundo da escala igual a 200 mA e calcule a resistência de shunt b Mostre como converter o galvanômetro em um voltímetro capaz de fornecer uma leitura até o fundo da escala igual a 500 mV e calcule a resistência em série Resolução Letra a Letra b 2649 No circuito indicado na Figura E2649 os capacitores estão inicialmente descarregados a bateria não possui resistência interna e o amperímetro é ideal Ache a leitura do amperímetro a logo após a chave S ser fechada e b após a chave estar fechada há muito tempo Resolução Letra a Letra b 2653 Um aquecedor elétrico de 1500 W é ligado a uma tomada de 120 V e o circuito possui um disjuntor de 20 A Você conecta um secador de cabelo na mesma tomada Ele possui quatro posições com potências máximas iguais a 600 W 900 W 1200 W e 1500 W Você começa com o secador na posição de 600 W e vai aumentando a potência até que o disjuntor salta Qual é a potência que faz o disjuntor saltar Resolução 271 Uma partícula com carga igual a 124 108 𝐶 se move com velocidade instantânea 𝑣 419 104 𝑚𝑠î 385 104 𝑚𝑠 Qual é a força exercida sobre essa partícula por um campo magnético a 𝐵 140 𝑇î e b 𝐵 140 𝑇𝑘 Resolução Letra a Letra b 2310 Uma superfície plana quadrada com 340 cm de lado está no plano xy em 𝑧 0 Calcule o módulo do fluxo através dessa superfície produzido por um campo magnético 𝐵 0200 𝑇î 0300 𝑇𝑗 0500 𝑇𝑘 Resolução 2715 Um elétron no ponto A da Figura E2715 possui velocidade v0 igual a 141 106 𝑚𝑠 Determine a o módulo a direção e o sentido do campo magnético que obriga o elétron a descrever uma órbita semicircular de A até B b o tempo necessário para que o elétron se desloque de A até B Resolução Letra a Letra b 2721 Um dêuteron o núcleo de um isótopo do hidrogênio possui massa igual a 334 1027 𝑘𝑔 e carga e O dêuteron descreve uma trajetória circular com raio igual a 696 mm em um campo magnético com módulo 250 T a Calcule a velocidade do dêuteron b Determine o tempo necessário para ele fazer meia rotação c Por meio de qual diferença de potencial o dêuteron deve ser acelerado para que adquira essa velocidade Resolução 2725 Um próton 𝑞 160 1019 𝐶 𝑚 167 1027 𝑘𝑔 se desloca em um campo magnético uniforme 𝐵 0500 𝑇î Em t 0 o próton possui componentes de velocidade 𝑣𝑥 150 105 𝑚𝑠 𝑣𝑦 0 e 𝑣𝑧 200 105 𝑚𝑠 ver Exemplo 274 a Quais são o módulo a direção e o sentido da força que atua sobre o próton Além do campo magnético existe um campo elétrico no sentido x dado por 𝐸 200 104 𝑉𝑚î b O próton terá um componente de aceleração no sentido do campo elétrico c Descreva a trajetória do próton O campo elétrico altera o raio da hélice Explique d Para t T2 em que T é o período do movimento circular do próton qual é o componente x do deslocamento do próton a partir de sua posição inicial 𝑡 0 Resolução letra c O próton tem um movimento circular e com o campo magnético exercendo uma força sobre ele ele passa a descrever a trajetória de uma hélice Quando colocamos o campo elétrico ele vai exercer uma força na mesma direção alterando assim o passo da hélice Mas não altera o raio da trajetória letra d Queremos agora saber a posição do próton no eixo x para t T2 T é o período movimento Mas como vamos achar x Equação horária da posição x x0 v0 t ax t22 Como sabemos que o tempo que queremos é metade do período Então T 2pi omega 2pim qB T 2pi 167 1027 16 1019 05 T 1312 107 s Então o instante t será t 1312 107 2 t 656 108 s 2735 Um fio longo que conduz uma corrente de 450 A faz duas dobras de 90 como indica a Figura E2735 A parte dobrada do fio atravessa um campo magnético uniforme de 0240 T orientado como indica a figura e confinado a uma região limitada no espaço Determine o módulo a direção e o sentido da força que o campo magnético exerce sobre o fio Resolução 2740 Uma espira retangular de 50 cm 80 cm possui plano paralelo a um campo magnético de 019 T A espira conduz uma corrente igual a 62 A a Qual é o torque que atua sobre a espira b Qual é o módulo do momento magnético da espira c Qual é o torque máximo que pode ser obtido sobre um fio com o mesmo comprimento total da espira e conduzindo a mesma corrente nesse campo magnético Resolução 2747 Em um motor cc com as bobinas de campo e o rotor conectados em paralelo Figura E2747 a resistência 𝑅𝑓 das bobinas de campo é 106 Ω e a resistência 𝑅𝑟 do rotor é 59 Ω Quando uma diferença de potencial de 120 V é aplicada às escovas e o motor está rodando em plena velocidade fornecendo potência mecânica a corrente fornecida a ele é 482 A a Qual é a corrente nas bobinas de campo b Qual é a corrente no rotor c Qual é a fem induzida desenvolvida pelo motor d Quanta potência mecânica é desenvolvida por esse motor Resolução Letra c A queda potencial através do rotor Ir Rr ε deve ser igual à diferença de potencial V Ir Rr ε ε V Ir Rr 120V 369A59Ω 982V Letra d A saída de energia mecânica é a entrada de energia elétrica menos a taxa de dissipação de energia elétrica na resistência do motor A entrada de energia elétrica para o motor é Pen IV 482A120V 578W A perda de energia elétrica nas duas resistências é Pperda If2 Rf Ir2 Rr 113A2 106Ω 369A2 59Ω 216W A potência mecânica de saída é Psaida Pen Rperda 578W 216W 362W A saída de potência mecânica é a potência associada à fem induzida ε é Psaida Pε ε Ir 982V369A 362W que concorda com o cálculo acima 2749 A Figura E2749 indica uma placa de prata com dimensões 𝑧1 118 𝑚𝑚 e 𝑦1 023 𝑚𝑚 que conduz uma corrente igual a 120 A no sentido x A placa está em um campo magnético uniforme na direção y cujo módulo é igual a 095 T Aplique o modelo simplificado do efeito Hall apresentado na Seção 279 Sabendo que existem 585 1028 elétrons livres por metro cúbico determine a o módulo da velocidade de arraste dos elétrons na direção do eixo 𝑂𝑥 b o módulo a direção e o sentido do campo elétrico no eixo 𝑂𝑧 produzido pelo efeito Hall c a fem Hall Resolução 2753 Quando dois núcleos de dêuteron carga e massa 334 1027 𝑘𝑔 se aproximam o suficiente a atração da força nuclear intensa vai fundilos e produzir um isótopo de hélio liberando grande quantidade de energia A abrangência dessa força é de aproximadamente 1015 𝑚 Esse é o princípio que rege o reator de fusão nuclear Os núcleos de dêuteron se movem rápido demais para serem confinados por paredes físicas por isso são magneticamente confinados a Com qual velocidade os dois núcleos teriam de se mover para que no caso de uma colisão frontal eles se aproximem o suficiente para se fundirem Trate os núcleos como cargas puntiformes e suponha que uma distância de 10 1015 é necessária para a fusão b Qual intensidade do campo magnético é necessária para fazer os núcleos de dêuteron com essa velocidade percorrerem um círculo de 250 m de diâmetro Resolução 2759 Suponha que o campo elétrico entre as placas na Figura 2724 seja igual a 188 104 𝑉𝑚 e que o campo magnético em ambas as regiões seja igual a 0682 T Se a fonte contém os três isótopos do criptônio 82Kr 84Kr e 86Kr e os íons possuem uma carga única determine a distância entre as linhas formadas pelos três isótopos sobre o detector de partículas Suponha que as massas atômicas dos isótopos em unidades de massa atômica sejam dadas pelos respectivos números atômicos 82 84 e 86 Uma unidade de massa atômica 1𝑢 166 1027 𝑘𝑔 Resolução 281 Uma carga puntiforme de 600 𝜇C se move com velocidade constante igual a 80 106 𝑚𝑠 ao longo do eixo Oy de um sistema de referência No momento em que ela está na origem do sistema de referência qual é o campo magnético que ela produz nos seguintes pontos a 𝑥 0500 𝑚 𝑦 0 𝑧 0 b 𝑥 0 𝑦 0500 𝑚 𝑧 0 c 𝑥 0 𝑦 0 𝑧 0500 𝑚 d 𝑥 0 𝑦 0500 𝑚 𝑧 0500 𝑚 Resolução Letra a Já na letra b temos r 05j r 05m Então v r 0 Pois multiplicação vetorial de j com j nos dá 0 logo B 0 Ja na letra c temos r 05k r 05 Então v r 4 106 i Então B 107 6 106 4 106 i 053 192 105 T i 289 Um fio retilíneo conduz uma corrente de 100 A Figura E289 ABCD é um retângulo com um ponto D no meio de um segmento de 110 mm do fio e um ponto C no fio Determine o módulo a direção e o sentido do campo magnético produzido por esse segmento a no ponto A b no ponto B c no ponto C Resolução 2815 Os relâmpagos podem conduzir correntes de até 20 kA aproximadamente Podemos modelar tal corrente como o equivalente de um fio muito longo e retilíneo a Se você tiver o azar de estar a 50 m de distância de um relâmpago a que tamanho de campo magnético você ficaria exposto b Como esse campo se compara a outro em que você se expõe estando a 50 cm de distância de uma corrente doméstica longa e retilínea de 10 A Resolução 2821 Um fio retilíneo longo está situado sobre o eixo Oy e conduz uma corrente 𝐼 800 𝐴 no sentido 𝑂𝑦 Figura E2821 Além do campo magnético produzido pelo fio existe um campo magnético uniforme 0 com módulo igual a 150 106 𝑇 apontando no sentido Ox Calcule o módulo a direção e o sentido do campo magnético total nos seguintes pontos sobre o plano xz a 𝑥 0 𝑧 100 𝑚 b 𝑥 100 𝑚 𝑧 0 c 𝑥 0 𝑧 025 𝑚 Resolução Agora para a letra b nós temos o campo magnético causado pela corrente igual a Bi 4π 107 8j 2π 1 i 2 107 8j 1 i 16 106 T k Bi Então a soma dos dois campos nos dará Bo Bi 15 106 T i 16 106 T k Cujo módulo desse campo será de B 152 162 106 2193 106 T E o sentido desse campo será de θ tg1 16 15 4685 entre os eixos x e z Para a letra c Bi 4π 107 8j 2π 025k 2 107 8j 4k 64 106 T i Logo a soma dos dois campos magnéticos serão de Bo Bi 64 15 106 79 106 T i Logo a magnitude do campo será de B 79 106 T Com sentido em i 2828 Três fios paralelos muito longos conduzem correntes de módulo igual a I com os sentidos indicados na Figura E2828 Sabendo que a distância entre dois fios adjacentes é igual a d calcule o módulo a direção e o sentido da força magnética resultante por unidade de comprimento sobre cada fio Resolução 2833 O campo magnético em torno da cabeça foi medido como sendo de aproximadamente 30 108 𝐺 Embora as correntes que produzem esse campo sejam bastante complicadas podemos ter uma estimativa bruta de seu tamanho modelandoas como uma única espira de corrente circular com 16 cm de diâmetro a largura típica de uma cabeça Qual é a corrente necessária para produzir esse campo no centro da espira Resolução 2843 Um condutor sólido com raio 𝑎 é suportado por discos isolantes no centro de um tubo condutor com raio interno b e raio externo c Figura E2843 O condutor central e o tubo conduzem correntes com o mesmo módulo I mas com sentidos contrários As correntes são distribuídas uniformemente ao longo da seção reta de cada condutor Deduza uma expressão para o módulo do campo magnético a nos pontos no exterior do condutor sólido central porém no interior do tubo a r b b nos pontos no exterior do tubo r c Resolução B μ0 I 2πr Esse campo magnético é o campo que estará presente na região a r b pois a lei de Ampere ela age em superfícies fechadas e cheias não em regiões vazadas então devemos englobar a região 0 r a na análise Já a região externa ao tubo é vista como E as integral de linha nessa região será de B dl μ0 I μ0 I 0 Então B 0 Isso quer dizer que não há nenhum campo magnético para fora do fio Então você não vai sentir nenhum campo magnético para fora do seu fixo axial por termos na região duas correntes de sentido contrário o que é ótimo 2852 Um solenoide toroidal com 400 espiras possui raio médio igual a 60 cm e conduz uma corrente de 025 A A permeabilidade relativa do núcleo é igual a 80 a Qual é o campo magnético no núcleo b Que parte do campo magnético resultante é produzida pelas correntes atômicas Resolução Letra a Letra b 2855 Duas cargas puntiformes 𝑞 800 𝜇𝐶 e 𝑞 500 𝜇𝐶 se movem como indicado na Figura P2855 com velocidades 𝑣 900 104 𝑚𝑠 e 𝑣 650 104 𝑚𝑠 Quando as cargas puntiformes estão nos locais indicados na figura quais são a o campo magnético produzido na origem e b a força magnética módulo direção e sentido que a carga q exerce sobre q Resolução Letra a Letra b 291 Uma espira de fio isolada com área de 00900 𝑚2 está em um campo magnético uniforme com valor inicial de 380 T é perpendicular ao plano da espira e está diminuindo a uma taxa constante de 0190 Ts a Qual é a fem induzida nessa espira b Se a espira possui uma resistência de 0600 V determine a corrente induzida na espira Resolução 2915 Uma espira de fio circular está em uma região do espaço onde existe um campo magnético uniforme como indica a Figura E2915 O campo magnético está entrando no plano da figura Determine o sentido horário ou anti horário da corrente induzida na espira quando a B está aumentando b B está diminuindo c B permanece constante com um valor igual a B0 Explique seu raciocínio Resolução Letra a Letra b Letra c 2924 Uma espira de fio retangular com dimensões de 150 cm por 800 cm e resistência 𝑅 0600 Ω está sendo puxada para a direita saindo de uma região de campo magnético uniforme O campo magnético possui módulo B 240 T e está direcionado para dentro do plano da Figura E2924 No instante em que a velocidade da espira é de 300 ms e ainda está parcialmente na região do campo que força módulo direção e sentido o campo magnético exerce sobre a espira Resolução 2936 Um anel metálico de 450 cm de diâmetro é colocado entre os polos norte e sul de grandes ímãs cujos planos da área são perpendiculares ao campo magnético Esses ímãs produzem um campo inicial uniforme de 112 T entre eles mas são gradualmente separados fazendo esse campo permanecer uniforme mas diminua regularmente em 0250 Ts a Qual é o módulo do campo elétrico induzido no anel b Em qual sentido horário ou antihorário a corrente flui do ponto de vista de alguém no polo sul do ímã Resolução Letra a Letra b 2945 Nas vizinhanças do zero absoluto 𝐵𝑐 tende a 0142 T para o vanádio que é um supercondutor do tipo I A fase normal do vanádio possui uma suscetibilidade magnética próxima de zero Considere um cilindro de vanádio longo e fino com seu eixo paralelo a um campo magnético externo 𝐵0 no sentido x Para pontos muito afastados das extremidades do cilindro por simetria todos os vetores magnéticos são paralelos ao eixo Ox Em temperaturas próximas do zero absoluto qual deve ser o campo magnético 𝐵 e a magnetização 𝑀 no interior e no exterior do cilindro longe das extremidades para a 𝐵0 0130 𝑇î e b 𝐵0 0260 𝑇î Resolução Letra a Letra b 2954 Uma barra condutora de comprimento 𝐿 0200 𝑚 massa 𝑚 0120 𝑘𝑔 e resistência 𝑅 800 Ω se move sem atrito sobre trilhos metálicos como indica a Figura 2911 Um campo magnético uniforme com módulo 𝐵 150 𝑇 está entrando no plano da figura A barra parte do repouso e sofre a ação de uma força constante com módulo 𝐹 190 𝑁 orientada para a direita Quantos segundos depois que a força é aplicada a barra atinge uma velocidade de 250 ms Resolução 301 A indutância mútua entre duas bobinas é 𝑀 325 104 𝐻 A corrente 𝑖1 na primeira bobina cresce a uma taxa uniforme de 830 As a Qual é a fem induzida na segunda bobina Ela é constante b Suponha que a corrente esteja circulando na segunda bobina em vez de na primeira Qual é o módulo da fem induzida na primeira bobina Resolução Letra a Letra b 307 Um solenoide toroidal de 250 mH possui raio médio de 600 cm e área de seção reta igual a 200 𝑐𝑚2 a Quantas bobinas ele tem Faça a mesma suposição do Exemplo 303 b Com que taxa a corrente através dele deverá variar de modo que uma diferença de potencial de 200 V seja desenvolvida em seus terminais Resolução 3016 Um indutor usado em uma fonte de alimentação de corrente contínua possui indutância igual a 120 H e resistência de 180 V Ele conduz uma corrente de 0500 A a Qual é a energia armazenada no campo magnético b Qual é a taxa de produção de energia térmica no indutor c Sua resposta do item b significa que a energia magnética está diminuindo com o tempo Explique Resolução 3023 Um indutor com indutância de 250 H e resistência igual a 80 V está conectado aos terminais de uma bateria com fem de 600 V e resistência interna desprezível Calcule a a taxa inicial do crescimento da corrente no circuito b a taxa de aumento da corrente no instante em que a corrente é igual a 0500 A c a corrente 0250 s depois que o circuito é fechado d a corrente estacionária final Resolução Letra a Letra b Letra c Letra d 3031 Em um circuito LC 𝐿 850 𝑚𝐻 e 𝐶 320 𝜇𝐹 Durante a oscilação a corrente máxima no indutor é igual a 0850 mA a Qual é a carga máxima do capacitor b Qual é o módulo da carga do capacitor quando a corrente no indutor possui módulo igual a 0500 mA Resolução 3038 Um circuito LRC em série possui 𝐿 0600 𝐻 e 𝐶 300 𝑚𝐹 a Calcule a frequência angular de oscilação para o circuito quando 𝑅 0 b Que valor de R oferece amortecimento crítico c Qual é a frequência de oscilação 𝜔 quando R tem metade do valor que produz amortecimento crítico Resolução Agora vamos para o item b Temos que achar o valor de Rc para que 1LC Rc2 4L2 Isolando R Rc2 4LC Rc 4LC Substituindo os valores de L e C temos Rc 4063 106 Rc 8944 Ω 3048 Considere o circuito na Figura 3011 com as duas chaves abertas Em 𝑡 0 a chave 𝑆1 é fechada enquanto 𝑆2 é mantida aberta a Use a Equação 3014 para derivar uma equação para a taxa 𝑃𝑅 na qual a energia elétrica está sendo consumida no resistor Em termos de 𝜖 R e L em que valor de t a taxa 𝑃𝑅 é máxima Qual é esse valor máximo b Use as equações 3014 e 3015 para deduzir uma equação para 𝑃𝐿 a taxa na qual a energia está sendo armazenada no indutor c Qual é o valor de 𝑃𝐿 em 𝑡 0 e quando t d Em termos de E R e L em que valor de t a taxa PL é máxima Qual é esse valor máximo e Obtenha uma expressão para 𝑃𝐸 a taxa na qual a bateria está fornecendo energia elétrica ao circuito Em termos de E R e L em que valor de t a taxa PE é máxima Qual é esse valor máximo Resolução Agora o item d quer que encontremos t que faz PL ser máximo para isso vamos usar nossos conhecimentos de cálculo e vamos derivar PL em função de t e igualar a zero e calcular t que faz isso acontecer Para o item e temos que achar Pe usando o fato de que PE ie E depois temos que fazer a mesma coisa que vamos fazer em d para achar o instante em que Pe é máximo e o valor dele nesse instante Começando com o item a Temos que a potência dissipada pelo resistor é dada por PR i2R Usando a equação que temos para a corrente i ficamos com PR εR 1 eRtL2 R ε2R2 1 2eRtL e2RtL R Assim temos que PR ε2R 1 2eRtL e2RtL Esse cara vai ter seu valor máximo quando t pois assim as exponenciais vão a zero e temos que PR ε2R Vamos para o item b A potência de energia armazenada no indutor é dada por PL iεL Temos que εL L didt No passo 1 vimos que didt εL eRtL Agora juntando tudo temos PL εR 1 eRtL L εL eRtL PL ε2R1 eRtL eRtL Agora vamos para o item c Temos que achar o valor de PL pra t 0 e t então vamos pegar a expressão que encontramos no item anterior e achar esses caras Começando com t 0 PL ε2R 1 eR0L eR0L PL ε2R1 1 1 Então temos que PL 0 Agora para t temos PL ε2R 1 eRL eRL PL ε2R1 0 0 Assim temos que PL 0 Agora vamos para o item d Esse item temos que encontrar o valor de t uqe faz PL máximo Então vamos usar aquela jogada do cálculo que vimos no passo 1 temos dPLdt ε2R RL eRtL eRtL RL 1 eRtL eRtL 0 ε2L eRtL 2eRtL 1 0 Então para isso ser verdade temos que 2eRtL 1 0 2eRtL 1 eRtL 12 Aplicando ln nos dois lados temos RtL ln12 t L ln 2R Agora temos que achar o valor de PL para esse t temos PL ε2R 1 eRL L ln 2R eRL L ln 2R ε2R 1 eln 2 eln 2 ε2R 1 eln 12 eln 12 ε2R 1 12 12 Então temos que PL ε24R Vamos para o item e Aqui temos que achar o valor de t que faz Pε ser máximo temos que Pε iε Usando a expressão que conhecemos para i temos Pε εR 1 eRtL ε Pε ε2R 1 eRtL Olhando essa expressão podemos ver que ela só vai ser máxima quando 1 eRtL 1 Então eRtL 0 311 Você possui uma lâmpada especial com um filamento muito delicado O fio se romperá se a corrente fluindo por ele ultrapassar 150 A mesmo que por um instante Qual é a maior corrente quadrática média que pode passar por essa lâmpada Resolução 314 Um capacitor está conectado através de uma fonte ca cuja amplitude de tensão é 600 V e frequência de 800 Hz a Qual é o ângulo de fase 𝜙 para a voltagem da fonte em relação à corrente A voltagem da fonte está atrasada ou adiantada em relação à corrente b Qual é a capacitância C do capacitor se a amplitude de corrente é igual a 530 A Resolução 3110 Você deseja obter uma amplitude de corrente igual a 180 mA passando através de um indutor de 0450 mH uma parte de um circuito de um receptor de rádio quando uma voltagem senoidal com amplitude de 120 V é aplicada nos terminais do indutor Qual é a frequência necessária Resolução 3114 Você dispõe de um resistor de 200 Ω de um indutor de 0400 H e de um capacitor de 600 mF Suponha que você faça um circuito em série ligando o resistor e o indutor com uma fonte de tensão com amplitude de voltagem igual a 300 V e frequência angular igual a 250 rads a Qual é a impedância do circuito b Qual é a amplitude da corrente c Calcule as amplitudes das voltagens através do resistor e do indutor d Qual é o ângulo de fase da voltagem da fonte em relação à corrente A voltagem da fonte está atrasada ou adiantada em relação à corrente e Faça um diagrama de fasores Resolução c A equação 317 nos diz que VR IR E a equação 3113 diz que VL IXL Agora o que nos resta é substituir o valor de R que o enunciado nos dá e os valores de XL e I descobrir nos passos 2 e 3 respectivamente Ou seja VR 0134 A200 Ω 268 V VL 0134 A100 Ω 134 V d Como o exercício pede em relação a corrente sabemos que é a corrente que achamos do circuito resistor e indutor então de acordo com a equação 3124 tg φ XLR 100 Ω200 Ω φ arctg 12 046 Em graus o resultado seria φ 266 e 319 A potência de determinado aparelho de CD que opera com uma tensão eficaz de 120 V é igual a 200 W Supondo que o aparelho de CD se comporte como uma resistência pura calcule a a potência instantânea máxima b a corrente eficaz c a resistência desse aparelho Resolução 3127 Você tem um resistor de 200 V um indutor de 0400 H um capacitor de 500 𝜇F e uma fonte ca de frequência variável com uma amplitude de 300 V Você conecta todos os quatro elementos para formar um circuito em série a Em que frequência a corrente no circuito será maior Qual será a amplitude de corrente nessa frequência b Qual será a amplitude de corrente em uma frequência angular de 400 rads Resolução 3134 Sua amiga pretende levar um secador de cabelo para a Europa onde as tomadas elétricas geram uma tensão de 240 V em vez dos 120 V comumente usados no Brasil O secador gera 1600 W a 120 V a O que você deve fazer para fazer o secador funcionar em 240 V na Europa b Qual é a corrente consumida pelo secador na Europa c Qual é a resistência que o secador parece ter quando opera a 240 V Resolução 3140 Cinco voltímetros com impedância infinita calibrados para medir o valor eficaz da tensão são conectados conforme indicado na Figura P3140 Seja 𝑅 200 Ω 𝐿 0400 𝐻 𝐶 60 𝜇𝐹 e 𝑉 300 𝑉 Qual é a leitura de cada voltímetro quando a 𝜔 200 𝑟𝑎𝑑𝑠 b 𝜔 1000 𝑟𝑎𝑑𝑠 Resolução Então temos que achar Z que é dado por Z R² XL XC² Temos que fazer essas contas para cada frequência angular Vamos começar com o item a onde ω 200 rads Vamos encontrar primeiro XL XC Z e Iqm Temos que XL é dado por XL ωL XL 20004 XL 80 Ω Agora vamos para XC temos XC 1ωC XC 12006 10⁶ XC 8333 Ω Agora podemos calcular Z temos Z R² XL XC² Z 200² 80 8333² Z 7794 Ω Então temos que a corrente Iqm é dada por Iqm VqmZ Iqm V2Z Iqm 3027794 Então temos que Iqm 0027 A Agora podemos calcular as voltagens em cada voltímetro Temos V1 IqmR V1 0027200 V1 54 V Agora para V2 temos V2 IqmXL V2 002780 V2 216 V Para V3 temos que V3 IqrmXC V3 00278333 V3 225 V Agora para V4 temos V4 V2 V3 V4 216 225 V4 203 V E por último V5 onde temos que V5 V2 V5 302 V5 212 V Vamos com o item b onde ω 1000 rads Vamos encontrar primeiro XL XC Z e Iqrm Temos que XL é dado por XL ωL XL 100004 XL 400 Ω Agora vamos para XC temos XC 1ωC XC 110006 106 XC 1667 Ω Agora podemos calcular Z temos Z R2 XL XC2 Z 2002 400 16672 Z 3073 Ω Então temos que a corrente Iqrm é dada por Iqrm VqrmZ Iqrm V2Z Iqrm 3023073 Então temos que Iqrm 0069 A Agora podemos calcular as voltagens em cada voltímetro Temos V1 IqrmR V1 0069200 V1 138 V Agora para V2 temos V2 IqrmXL V2 0069400 V2 276 V Para V3 temos que V3 IqrmXC V3 00691667 V3 115 V 3154 Um resistor um indutor e um capacitor são ligados em paralelo com uma fonte ca com amplitude de voltagem 𝑉 e frequência angular 𝜔 Suponha que a voltagem da fonte seja dada por 𝑣 𝑉𝑐𝑜𝑠 𝜔𝑡 a Mostre que a voltagem instantânea nos terminais de cada elementos 𝑣𝑅 𝑣𝐿 e 𝑣𝐶 em qualquer instante é a mesma da fonte 𝑣 e que 𝑖 𝑖𝑅 𝑖𝐿 𝑖𝐶 em que 𝑖 é a corrente que passa na fonte e 𝑖𝑅 𝑖𝐿 e 𝑖𝐶 são as correntes que passam no resistor no indutor e no capacitor respectivamente b Quais são as fases de 𝑖𝑅 𝑖𝐿 e 𝑖𝐶 em relação à 𝑣 Use os fasores para representar as correntes 𝑖 𝑖𝑅 𝑖𝐿 e 𝑖𝐶 Sobre o diagrama de fasosres mostre que as fases dessas quatro correntes em relação a 𝑣 c Use o diagrama de fasores do item b para mostrar que a amplitude da corrente 𝐼 para a corrente 𝑖 que passa na fonte é dada por 𝐼 ඥ𝐼𝑅 2 𝐼𝐶 𝐼𝐿2 d Mostre que o resultado do item c pode ser escrito na forma 𝐼 𝑉𝑍 com 𝐼𝑍 ඥ𝐼𝑅2 𝜔𝐶 1𝜔𝐿2 Resolução Letra C Poxa sabemos que a impedância do circuito RLC em série é Z R² XL XC² Substituindo os valores 160 80² XL 480² E isolando XL XL 480² 160² 80² XL 480 160² 80² XL 13856 480 Então os dois valores para a reatância indutiva são XL1 61856Ω ou XL2 34144Ω Ora é verdade que para valores de ω menores que o de ressonância a reatância indutiva deve ser menor que a capacitiva ω ω0 XL XC Então o único valor que satisfaz sabendo que XC 480Ω é XL 34144Ω 321 a Sabendo que a distância entre a Terra e a Lua é de 384000 km quanto tempo leva a luz para viajar da Lua até a Terra b A luz emitida pela estrela Sirius leva 861 anos para chegar até a Terra Qual é a distância entre a Terra e Sirius em quilômetros Resolução 3211 Uma onda eletromagnética possui um campo elétrico dado por 𝐸𝑥 𝑡 310 105 𝑉𝑚𝑗 cos𝑘𝑦 1265 1012 𝑟𝑎𝑑𝑠𝑡 a Em que direção e sentido a onda eletromagnética está se propagando b Qual é a frequência 𝑓 da onda c Escreva a equação vetorial para 𝐵𝑥 𝑡 Resolução 3216 Os cientistas estão trabalhando em uma nova técnica para eliminar células cancerígenas removendoas com pulsos de luz de energia ultraalta na faixa de 1012 W que duram um tempo extremamente curto alguns nanossegundos Esses pulsos curtos desarrumam o interior de uma célula sem fazer com que ela se exploda como fariam os pulsos longos Podemos modelar uma célula típica desse tipo como um disco de 50 𝜇m de diâmetro com um pulso durando 40 ns e uma potência média de 20 1012 𝑊 Vamos considerar que a energia seja espalhada uniformemente pelas faces de 100 células para cada pulso a Quanta energia é dada à célula durante esse pulso b Qual é a intensidade em W𝑚2 fornecida à célula c Quais são os valores máximos dos campos elétrico e magnético no pulso Resolução 3223 Uma fonte de luz monocromática possui potência total igual a 600 W e irradia uniformemente em todas as direções uma luz de comprimento de onda igual a 700 nm Calcule 𝐸𝑚á𝑥 e 𝐵𝑚á𝑥 para a luz de 700 nm a uma distância de 500 m da fonte Resolução 3228 Um raio laser possui diâmetro de 120 nm Qual é a amplitude do campo elétrico da radiação eletromagnética no raio se ele exerce uma força de 38 109 𝑁 sobre uma superfície totalmente refletora Resolução 3230 Uma onda eletromagnética estacionária em certo material possui frequência igual a 220 1010 𝐻𝑧 A distância entre dois planos nodais consecutivos do campo 𝐵 é igual a 465 mm Calcule a o comprimento de onda da onda nesse material b a distância entre dois planos nodais adjacentes do campo 𝐸 c a velocidade de propagação da onda Resolução 3234 Considere uma onda eletromagnética senoidal tal que os campos sejam dados pelas equações 𝐸 𝐸𝑚á𝑥𝑗 cos𝑘𝑥 𝜔𝑡 e 𝐵 𝐵𝑚á𝑥𝑘 cos𝑘𝑥 𝜔𝑡 𝜙 com 𝜋 𝜙 𝜋 Mostre que se 𝐸 e 𝐵 satisfazem às equações 3212 e 3214 então concluímos que 𝐸𝑚á𝑥 𝑐𝐵𝑚á𝑥 e 𝜙 0 O resultado 𝜙 0 indica que os campos 𝐸 e 𝐵 oscilam em fase Resolução 3253 As ondas eletromagnéticas se propagam em condutores de modo muito diferente da propagação em dielétricos e no vácuo Quando a resistividade do condutor for suficientemente pequena ou seja quando ele for um bom condutor o campo elétrico oscilante da onda produzirá uma corrente de condução oscilante que é muito maior que a corrente de deslocamento Nesse caso a equação de onda para o campo elétrico 𝐸𝑥 𝑡 𝐸𝑦𝑥 𝑡𝑗 se propagando no sentido x no interior do condutor é dada por 2𝐸𝑦𝑥 𝑡 𝑥2 𝜇 𝜌 𝐸𝑦𝑥 𝑡 𝑡 em que 𝜇 é a permeabilidade do condutor e 𝜌 é sua resistividade a Uma solução para essa equação de onda é dada por 𝐸𝑦𝑥 𝑡 𝐸𝑚á𝑥𝑒𝑘𝐶𝑥 cos𝑘𝐶𝑥 𝜔𝑡 em que 𝑘𝐶 ඥ𝜔𝜇2𝜌 Verifique essa solução substituindo 𝐸𝑦𝑥 𝑡 na equação de onda precedente b O termo exponencial mostra que a amplitude do campo elétrico diminui à medida que a onda se propaga Explique a razão desse efeito Dica o campo realiza trabalho para mover a carga no interior do condutor A corrente resultante desse movimento produz uma dissipação de calor 𝑖2𝑅 no interior do condutor fazendo sua temperatura aumentar De onde provém a energia para isso c Mostre que a amplitude do campo elétrico diminui por um fator 1e para uma distância determinada por 1𝑘𝐶 ඥ2𝜌𝜔𝜇 e calcule essa distância para uma onda de rádio com frequência 𝑓 10 𝑀𝐻𝑧 no cobre resistividade 172 108 𝑉 𝑚 e permeabilidade 𝜇 𝜇0 Como essa distância é muito pequena as ondas eletromagnéticas praticamente não se propagam no interior do cobre Ao contrário elas são refletidas na superfície do metal A partir disso concluise que as ondas de rádio não penetram no cobre nem em outros metais explicandose por que a recepção das ondas de rádio é extremamente fraca no interior de um ambiente cercado por uma estrutura metálica Resolução Sendo ²Exc² μδExρδt Então 2Emax kc² ekc x sinkc x ωt μρ Emax ekc x ω sinkc x ωt Isso só é verdade se 2 kc²ω μρ Ou kc ωμ2ρ Letra b A energia na onda é dissipada pelo aquecimento i²R do condutor Letra c Ey Ey0e kc x 1 Então x 1kc 2ρωμ 2172 108Ωm2π10 106 Hzμ0 660 105 m Quanto mais baixa a frequência das ondas maior é a distância que elas podem penetrar em um condutor Um dielétrico isolante tem uma resistividade muito maior e essas ondas podem penetrar a uma maior distância nesses materiais