Aula 10: Projeto de Observadores no Espaço de Estados e Observabilidade

Aula 10 Projeto de Observadores no Espaço de Estados e Observabilidade Prof Erick Dario León Bueno de Camargo Email erickleonufabcedubr Universidade Federal do ABC ESTB02917 Análise e Controle de Sistemas Mecânicos 1o Quadrimestre de 2023 Prof Erick Dario León Bueno de Camargo Aula 10 Projeto de Observadores e Observabilidade Relembrando 1 Relembrando 2 Projeto do Observador no Espaço de Estados 3 Observabilidade Prof Erick Dario León Bueno de Camargo Aula 10 Projeto de Observadores e Observabilidade Relembrando Especificagoes de sistemas de 2 ordem no plano s jw Ly UPs jw x jon 1 jwg Poe 0 ty oO t t o CWn O4d ju IDG tf x IWn 1 JWd 1 Te 1 Toy Dado o grafico de pdlos de um sistema de 2 ordem subamortecido e frequéncia exponencial amortecida og magnitude da parte real do polo e frequéncia amortecida de oscilacgao wg parte imaginaria do polo 7 T 4 4 e T T cosdC p WnVYl2 wa wn Od 2 e UPe y 6 x 100 s6 depende de ou seja de 6 Prof Erick Dario Leén Bueno de Camargo Aula 10 Projeto de Observadores e Observabilidade Relembrando Sistemas de ordem 2 Admitindo um sistema de 3a ordem com dois pólos complexos e outro no eixo real sua resposta ao degrau unitário é dada por Cs RsGs 1 s bc s2 as bs c Expandindo em frações parciais temos Cs 1 s As B s2 as b C s c onde A ca c2 c2 b ca B ca2 c2a bc c2 b ca C b c2 b ca Quando c A 1 B a C 0 E a saída se aproxima a Cs 1 s s a s2 as b 2a ordem Prof Erick Dario León Bueno de Camargo Aula 10 Projeto de Observadores e Observabilidade Relembrando Projeto no Espaço de Estados O projeto de controladores no domínio da frequência não são capazes de lidar com sistemas com nãolinearidades e sistemas com múltiplas entradas e múltiplas saídas Além disso uma das dificuldades dos métodos no domínio da frequência é que após projetar a localização do par de pólos dominantes de 2a ordem temos que cruzar os dedos e torcer para que os pólos de ordem superior não afetem a aproximação de 2a ordem Isso ocorre porque um ganho um pólo e um zero ajustáveis não fornecem parâmetros suficientes para posicionar todos os pólos a malha fechada em localizações desejadas Prof Erick Dario León Bueno de Camargo Aula 10 Projeto de Observadores e Observabilidade Relembrando Projeto no Espaço de Estados Os métodos no espaço de estados resolvem esse problema introduzindo no sistema outros parâmetros ajustáveis permitindo posicionar adequadamente a posição de todos os pólos do sistema a malha fechada Por outro lado os métodos no espaço de estados não permitem adicionar zeros no sistema o que é possível com os métodos no domínio da frequência Prof Erick Dario León Bueno de Camargo Aula 10 Projeto de Observadores e Observabilidade Relembrando Projeto do Controlador no Espaço de Estados Em um sistema de controle com retroação típico a saída y é enviada de volta para a junção somadora No método no espaço de estados em vez de retroagir y retroagimos todas as variáveis de estado x com um ganho K OBS Linhas finas são escalares e linhas grossas são vetores Assim u pode ser definido como u r Kx Prof Erick Dario León Bueno de Camargo Aula 10 Projeto de Observadores e Observabilidade Relembrando Projeto do Controlador no Espaço de Estados Ao considerar a entrada como sendo u r Kx as equações do sistema ficam x Ax Bu Ax Br Kx A BKx Br y Cx A matriz do sistema pode ser reescrita como ABK 0 1 0 0 0 0 1 0 a0 k1 a1 k2 a2 k3 an1 kn e a equação característica do sistema a malha fechada fica detsI ABK sn an1 knsn1 a1 k2sa0 k1 0 Prof Erick Dario León Bueno de Camargo Aula 10 Projeto de Observadores e Observabilidade Relembrando Projetando o Controlador Para aplicar a metodologia da alocação dos pólos adotamos os seguintes passos 1 Representar o processo a controlar na forma matricial 2 Fazer a retroação das variáveis de estado através dos ganhos ki 3 Determinar a equação característica do sistema a malha fechada do passo 2 4 Decidir a localização desejada de todos os pólos a malha fechada e determinar a equação característica equivalente 5 Igualar os coeficientes semelhantes das equações características obtidas nos passos 3 e 4 e determinar os valores dos ganhos ki Prof Erick Dario León Bueno de Camargo Aula 10 Projeto de Observadores e Observabilidade Relembrando Controlabilidade À primeira vista parece que o método descrito anteriormente funciona sempre para qualquer sistema Entretanto este não é o caso Existem casos em que algumas das variáveis de estado não podem ser controladas pela ação de controle u Nesses casos não será possível alocar os pólos do sistema onde se deseja Portanto em alguns sistemas o projeto com retroação de estado não é possível Prof Erick Dario León Bueno de Camargo Aula 10 Projeto de Observadores e Observabilidade Contr Um processo a controlar de ordem n cuja equagao de estado é z Ax Bu completamente controldvel se a matriz 2 n1 CuB AB AB A1B for de posto n onde Cyz é chamada matriz de controlabilidade 1Completamente controldvel significa que todas as varidveis de estado sao controlaveis 20 posto de uma matriz é igual ao ntmero de linhas ou colunas linearmente independentes a a 9Nace Prof Erick Dario Leén Bueno de Camargo Aula 10 Projeto de Observadores e Observabilidade Projeto do Observador no Espaço de Estados 1 Relembrando 2 Projeto do Observador no Espaço de Estados 3 Observabilidade Prof Erick Dario León Bueno de Camargo Aula 10 Projeto de Observadores e Observabilidade Projeto do Observador no Espaço de Estados Observador O projeto do controlador com retroação das variáveis de estado depende do acesso às variáveis de estado feito através de sensores Porém algumas vezes é impraticável medir certa variável por questões de custo exatidão ou disponibilidade Quando as variáveis de estado não estiverem disponíveis é possível estimar os estados Prof Erick Dario León Bueno de Camargo Aula 10 Projeto de Observadores e Observabilidade Projeto do Observador no Espaço de Estados Observador Um observador também chamado de estimador nada mais é que um modelo do processo a controlar e é usado para calcular as variáveis de estado que não estão acessíveis São enviados então os estados estimados ao invés dos estados reais ao controlador Prof Erick Dario León Bueno de Camargo Aula 10 Projeto de Observadores e Observabilidade Projeto do Observador no Espaço de Estados Observador Suponha um processo a controlar dado por x Ax Bu y Cx Podemos estimar as variáveis de estado através de um modelo do sistema dado por ˆx Aˆx Bu ˆy C ˆx O erro entre as variáveis reais e estimadas pode ser obtido subtraindo as equações anteriores x ˆx A x ˆx y ˆy C x ˆx Prof Erick Dario León Bueno de Camargo Aula 10 Projeto de Observadores e Observabilidade Projeto do Observador no Espaço de Estados Observador x Ax Bu x ˆx A x ˆx Podemos ver que a velocidade de convergência entre o estado real e o estado estimado é a mesma da resposta transitória do processo a controlar já que ambos possuem a mesma matriz A e portanto a mesma equação característica Prof Erick Dario León Bueno de Camargo Aula 10 Projeto de Observadores e Observabilidade Projeto do Observador no Espaço de Estados Observador Para aumentar a velocidade de convergência entre os estados reais e estimados podemos usar uma retroação Prof Erick Dario León Bueno de Camargo Aula 10 Projeto de Observadores e Observabilidade Projeto do Observador no Espaço de Estados Observador Nesse caso o erro entre as saídas do processo a controlar e do observador é enviado de volta às derivadas dos estados do observador Podemos assim projetar uma resposta transitória do observador que seja muito mais rápida que a do processo a controlar ou do sistema controlado a malha fechada Prof Erick Dario León Bueno de Camargo Aula 10 Projeto de Observadores e Observabilidade Projeto do Observador no Espaço de Estados Projeto do Observador O projeto do observador é separado do projeto do controlador De modo semelhante ao do projeto do vetor controlador K o projeto do observador consiste em calcular o vetor constante L de modo que a resposta transitória do observador seja mais rápida que a resposta da malha controlada Obtemos assim uma rápida atualização do vetor de estados estimado Prof Erick Dario León Bueno de Camargo Aula 10 Projeto de Observadores e Observabilidade Projeto do Observador no Espaço de Estados Projeto do Observador As equações do sistema são x Ax Bu y Cx Escrevendo as equações de estado do observador temos ˆx Aˆx Bu Ly ˆy ˆy C ˆx Subtraindo as equações acima obtemos x ˆx A x ˆx Ly ˆy A LC x ˆx y ˆy C x ˆx onde x ˆx é o erro entre o vetor de estado real e o vetor de estado estimado e y ˆy é o erro entre a saída real e a saída estimada Prof Erick Dario León Bueno de Camargo Aula 10 Projeto de Observadores e Observabilidade Projeto do Observador no Espaço de Estados Projeto do Observador Fazendo ex x ˆx temos ex A LCex y ˆy Cex O projeto do observador consiste em calcular os valores de L que levem a uma resposta desejada do erro A equação característica é detsI A LC 0 Os valores de L são mais facilmente encontrados se escrevermos as equações no espaço de estados em um formato diferente Prof Erick Dario León Bueno de Camargo Aula 10 Projeto de Observadores e Observabilidade Projeto do Observador no Espago de Estados Convertendo uma FT para EEE Dado um sistema com fungao de transferéncia da forma b ygM 1 4b b Gs n18 O18 Oo 8s dyn1s1a8 49 A representacao no espaco de estados na forma em varidveis de fase é 0 1 a 0 0 0 0 1s 0 0 L e u ao Gy AQ 8 Oy 1 y bo by ba tte bn1 Ja A representacaéo na forma canénica do observador é An1 1 0 O bn1 An2 0 1 tte 0 bn2 L foe fH u dog 0 0 O bo y 1 00 O x Prof Erick Dario Leén Bueno de Camargo Aula 10 Projeto de Observadores e Observabilidade Projeto do Observador no Espaço de Estados Projeto do Observador A equação do erro é dada por ex A LCex y ˆy Cex Assim representando o erro na forma canônica do observador temos que A LC an1 l1 1 0 0 an2 l2 0 1 0 a0 ln 0 0 0 e a equação característica fica detsIALC snan1l1sn1 a1ln1sa0ln 0 Prof Erick Dario León Bueno de Camargo Aula 10 Projeto de Observadores e Observabilidade Projeto do Observador no Espaço de Estados Projetando o Observador Para projetar o observador adotamos os seguintes passos 1 Encontrar as equações de estado para o processo estimado na forma canônica do observador 2 Determinar as equações de estado do erro entre o vetor de estados real e estimado ex x ˆx para o observador a malha fechada 3 Determinar a equação característica para o erro do sistema 4 Decidir a localização de todos os pólos a malha fechada e determinar a equação característica equivalente 5 Igualar os coeficientes semelhantes das equações características obtidas nos passos 3 e 4 e determinar os valores dos ganhos li Prof Erick Dario León Bueno de Camargo Aula 10 Projeto de Observadores e Observabilidade Projeto do Observador no Espaço de Estados Exemplo de Projeto do Observador Projete um observador para o processo a controlar dado por Gs s 4 s 1s 2s 5 s 4 s3 8s2 17s 10 O observador deverá responder 10 vezes mais rápido que a malha controlada O processo controlado deve ter uma ultrapassagem de 208 e tempo de assentamento de 4s Prof Erick Dario León Bueno de Camargo Aula 10 Projeto de Observadores e Observabilidade Projeto do Observador no Espago de Estados Projetando o Observador PASSO 1 O primeiro passo é encontrar as equacgoes de estado para o processo estimado na forma canénica do observador O processo estimado possui as mesmas equacodes do processo a s4 controlar Assim sendo Gs temos s 8s 175 10 8 1 0 0 zAgBu 17 0 1e1fu 10 0 0 4 yCé1 0 0 Prof Erick Dario Leén Bueno de Camargo Aula 10 Projeto de Observadores e Observabilidade Projeto do Observador no Espaço de Estados Projetando o Observador PASSO 2 O segundo passo é determinar as equações de estado do erro entre o vetor de estados real e estimado ex x ˆx Temos então que ex A LCex 8 l1 1 0 17 l2 0 1 10 l3 0 0 ex Prof Erick Dario León Bueno de Camargo Aula 10 Projeto de Observadores e Observabilidade Projeto do Observador no Espaço de Estados Projetando o Observador PASSO 3 O terceiro passo é determinar a equação característica para o erro do sistema Assim detsI A LC s3 8 l1s2 17 l2s 10 l3 Prof Erick Dario León Bueno de Camargo Aula 10 Projeto de Observadores e Observabilidade Projeto do Observador no Espaço de Estados Projetando o Observador PASSO 4 O quarto passo é decidir a localização de todos os pólos a malha fechada e determinar a equação característica equivalente O processo controlado deve ter uma ultrapassagem de 208 e tempo de assentamento de 4s Um sistema de 2a ordem com essas características é dado por s2 2s 5 com pólos em 1 2j Para tornar o observador 10 vezes mais rápido a parte real dos pólos do observador deve ser 10 vezes os pólos dominantes do sistema Mantendo a ultrapassagem percentual os pólos do observador ficam em 10 20j O terceiro pólo não deve afetar a aproximação de 2a ordem feita e portanto deve estar pelo menos 10 vezes à esquerda dos pólos dominantes por exemplo em 100 Assim o polinômio característico do erro do observador fica s 100s2 20s 500 s3 120s2 2500s 50000 Prof Erick Dario León Bueno de Camargo Aula 10 Projeto de Observadores e Observabilidade Projeto do Observador no Espaço de Estados Projetando o Observador PASSO 5 O quinto passo é igualar os coeficientes semelhantes das equações características obtidas nos passos 2 e 3 e determinar os valores dos ganhos li Como o polinômio característico do passo 3 é dado por s3 8 l1s2 17 l2s 10 l3 e o polinômio característico do passo 4 é dado por s3 120s2 2500s 50000 temos l1 112 l2 2483 l3 49990 Prof Erick Dario León Bueno de Camargo Aula 10 Projeto de Observadores e Observabilidade Projeto do Observador no Espaço de Estados Projetando o Observador simulação Neste exemplo apenas x1 é conhecida e estamos estimando x2 e x3 pelo observador O sistema controlado possui Ts 4s logo o erro do observador deve apresentar Ts 04s 10 mais rápido Considerando x0 05 05 05T e ˆx0 05 00 00T Prof Erick Dario León Bueno de Camargo Aula 10 Projeto de Observadores e Observabilidade Projeto do Observador no Espaço de Estados Exemplo 1 Dado o sistema abaixo projete um observador 10 vezes mais rápido que o sistema controlado que deve ter Tp 3148s e Ts 4s Gs 100s 10 ss 3s 12 OSB Para sistemas de 2a ordem Tp π ωd e Ts 4 σd 1 Encontrar as equações de estado para o processo estimado na forma canônica do observador 2 Determinar as equações de estado do erro entre o vetor de estados real e estimado ex x ˆx para o observador a malha fechada 3 Determinar a equação característica para o erro do sistema 4 Decidir a localização de todos os pólos a malha fechada e determinar a equação característica equivalente 5 Igualar os coeficientes semelhantes das equações características obtidas nos passos 3 e 4 e determinar os valores dos ganhos li Prof Erick Dario León Bueno de Camargo Aula 10 Projeto de Observadores e Observabilidade Projeto do Observador no Espaço de Estados Exemplo 1 Dado o sistema abaixo projete um observador 10 vezes mais rápido que o sistema controlado que deve ter Tp 3148s e Ts 4s Gs 100s 10 ss 3s 12 Resp Equação característica do sistema original s3 15s2 36s Equação característica do sistema controlado s3 15 l1s2 36 l2s l3 Pólos desejados 1 1j e 10 10 10 10j e 100 Equação característica desejada s3 120s2 2200s 20000 Igualando os coeficientes l1 105 l2 2164 l3 20000 Prof Erick Dario León Bueno de Camargo Aula 10 Projeto de Observadores e Observabilidade Projeto do Observador no Espaço de Estados Exemplo 2 Dado o sistema abaixo projete um observador 10 vezes mais rápido que o sistema controlado que deve ter Tp 3148s e Ts 2s Gs s 10 s 1s 3s 12 OSB Para sistemas de 2a ordem Tp π ωd e Ts 4 σd 1 Encontrar as equações de estado para o processo estimado na forma canônica do observador 2 Determinar as equações de estado do erro entre o vetor de estados real e estimado ex x ˆx para o observador a malha fechada 3 Determinar a equação característica para o erro do sistema 4 Decidir a localização de todos os pólos a malha fechada e determinar a equação característica equivalente 5 Igualar os coeficientes semelhantes das equações características obtidas nos passos 3 e 4 e determinar os valores dos ganhos li Prof Erick Dario León Bueno de Camargo Aula 10 Projeto de Observadores e Observabilidade Projeto do Observador no Espaço de Estados Exemplo 2 Dado o sistema abaixo projete um observador 10 vezes mais rápido que o sistema controlado que deve ter Tp 3148s e Ts 2s Gs s 10 s 1s 3s 12 Resp Equação característica do sistema original s3 16s2 51s 36 Equação característica do sistema controlado s3 16 l1s2 51 l2s 36 l3 Pólos desejados 2 1j e 20 10 20 10j e 200 Equação característica desejada s3 240s2 8500s 100000 Igualando os coeficientes l1 224 l2 8449 l3 99964 Prof Erick Dario León Bueno de Camargo Aula 10 Projeto de Observadores e Observabilidade Observabilidade 1 Relembrando 2 Projeto do Observador no Espaço de Estados 3 Observabilidade Prof Erick Dario León Bueno de Camargo Aula 10 Projeto de Observadores e Observabilidade Observabilidade Observabilidade Ao projetar um observador estamos essencialmente usando a saída de um sistema para deduzir as variáveis de estado Se alguma das variáveis de estado não tiver nenhum efeito sobre a saída então não podemos calcular esta variável de estado observando a saída do sistema Prof Erick Dario León Bueno de Camargo Aula 10 Projeto de Observadores e Observabilidade Observabilidade Observabilidade A observabilidade é então a capacidade de se deduzir as variáveis de estado com base no conhecimento da entrada ut e da saída yt O projeto de observadores é viável apenas para sistemas observáveis as especificações para essas saídas fazendo com que o controlador seja incapaz de cumprir não podem ser determinados através dos sensores na saída do sistema Em um sistema não observável os valores de alguns de seus estados Prof Erick Dario León Bueno de Camargo Aula 10 Projeto de Observadores e Observabilidade Observabilidade Observabilidade Um processo a controlar de ordem n cujas equações de estado e de saída são dadas por x Ax Bu y Cx é completamente observável3 se a matriz OM C CA CA2 CAn1 for de posto n onde OM é chamda matriz de observabilidade 3Completamente observável significa que todas as variáveis de estado são observáveis Prof Erick Dario León Bueno de Camargo Aula 10 Projeto de Observadores e Observabilidade Bremplo de tete de ober dad Considere o sistema descrito pelas equagées de estado e de saida a seguir 0 1 0 0 z Ax Bu 0 0 1a0u 4 3 2 1 yCxz0 5 1 la As linhas da matriz de observabilidade sao dadas por C05 1 0 1 0 CA0 5 1 0 0 1 4 3 3 4 3 2 a a NAG Prof Erick Dario Leén Bueno de Camargo Aula 10 Projeto de Observadores e Observabilidade Observabilidade Exemplo de teste de observabilidade 0 1 0 0 1 0 CA0 5 1 0 0 1 0 0 1f 4 3 2 4 3 2 0 O 1 0 5 1 4 3 2 12 13 9 8 2 1 A matriz de observabilidade On fica entao 0 5 1 Om 4 3 3 12 13 9 Como o determinante da matriz Oyy é naonulo essa matriz 3 x 3 é naosingular e o posto de On é 3 Concluimos que o sistema é observavel j que o posto de Ong igual 4 ordem do sistema Prof Erick Dario Leén Bueno de Camargo Aula 10 Projeto de Observadores e Observabilidade 3 Verifique se o sistema descrito pela equagaéo de estado a seguir é observavel 2 1 3 2 z ArBu 0 2 1ljet 1 fu 7 8 9 2 yCaz4 6 8 Cc CA 2 OBS Ou cA cant O P Brae DAO Prof Erick Dario Leén Bueno de Camargo Aula 10 Projeto de Observadores e Observabilidade 3 Verifique se o sistema descrito pela equagaéo de estado a seguir é observavel 2 1 3 2 z ArBu 0 2 1ljet 1 fu 7 8 9 2 yCaz4 6 8 Cc CA 2 OBS Ou cA cant Resp observavel 4 6 8 Om 64 80 78 674 848 814 O P Brae DAO Prof Erick Dario Leén Bueno de Camargo Aula 10 Projeto de Observadores e Observabilidade Observabilidade Exemplo 4 Dado o sistema abaixo verifique se o sistema é observável e em caso afirmativo projete um observador 10 vezes mais rápido que o sistema controlado que deve ter Tp π 2 s e Ts 4s Gs s 5 s 1s 2s 3 OSB Para sistemas de 2a ordem Tp π ωd e Ts 4 σd 1 Encontrar as equações de estado para o processo estimado na forma canônica do observador 2 Determinar as equações de estado do erro entre o vetor de estados real e estimado ex x ˆ x para o observador a malha fechada 3 Determinar a equação característica para o erro do sistema 4 Decidir a localização de todos os pólos a malha fechada e determinar a equação característica equivalente 5 Igualar os coeficientes semelhantes das equações características obtidas nos passos 3 e 4 e determinar os valores dos ganhos li OM C CA CA2 CAn1 Prof Erick Dario León Bueno de Camargo Aula 10 Projeto de Observadores e Observabilidade Observabilidade Exemplo 4 Dado o sistema abaixo verifique se o sistema é observável e em caso afirmativo projete um observador 10 vezes mais rápido que o sistema controlado que deve ter Tp π 2 s e Ts 4s Gs s 5 s 1s 2s 3 Resp Equação característica do sistema original s3 6s2 11s 6 Equação característica do sistema controlado s3 6 l1s2 11 l2s 6 l3 Pólos desejados 1 2j e 10 10 10 20j e 100 Equação característica desejada s3 120s2 2500s 50000 Igualando os coeficientes l1 114 l2 2489 l3 49994 Prof Erick Dario León Bueno de Camargo Aula 10 Projeto de Observadores e Observabilidade