Modelagem Experimental de Sistema ARX no Scilab e Matlab

Observações sobre a Atividade 2 Como vamos trabalhar com uma simulação de um sistema com duas variáveis de estado 1 a etapa de modelagem experimental será realizada com base em um sistema AutoRegressivo com entradas eXógenas ARX de segunda ordem 2 No Scilab ou no Matlab você pode definir o sistema estimado como uma função de transferência no domínio z tal que se tenha o sistema 3 A função de transferência já nos dá condições suficientes para projetar e analisar a robustez do controlador no domínio da frequência que pode ser feita com base no diagrama de Bode do ganho de malha direta investigando as margens de ganho e de fase e também como o sistema responde em malha fechada 4 para uma referência do tipo degrau tal que não sejam violados os limites de saturação dos atuadores nem os limites de velocidade e sobressinal Além do projeto do controlador robusto para o sistema pediuse também que a simulação fosse investigada com base em uma representação no espaço de estado como a mostrada em 1 No entanto pode parecer bastante intuitivo utilizar o Scilab ou o Matlab para converter rapidamente ao espaço de estado por exemplo usandose a função tf2ss transfer function to state space mas não teremos como garantir que a base de estado utilizada é aquela base fisicamente representada pela velocidade e pela aceleração do quadricóptero Sendo assim para garantir que vamos ter um sistema discreto no espaço de estado e cujas variáveis e sejam a velocidade e a aceleração na representação discreta em espaço de estado teremos então que ter um modelo de estado contínuo previamente definido na base desejada para depois discretizálo Para obter o modelo contínuo vamos utilizar a Transformada w trazendo o sistema de volta ao domínio contínuo da frequência por uma transformação inversa de Tustin No quadro a seguir mostrase a forma no Scilab e no Matlab para tal transformação Scilab zz ws Gz syslinTs b0zb1z2a1za2 invTustin 1Ts2w1Ts2w Gw hornerGz invTustin Matlab Gz tf0 b0 b11 a1 a2Ts Gw d2cGz Tustin O seu sistema no domínio w sofrerá alterações na estrutura do polinômio do numerador aumentando o grau deste polinômio e ficando na forma a seguir 5 No entanto normalmente os zeros acrescentados pelo método da transformada w podem ser negligenciados e fazendose uso somente da contribuição DC do polinômio isto é para quando rads é possível aproximar o modelo para uma forma ideal para que possamos construir a representação no espaço de estado que estamos querendo O modelo contínuo aproximado do sistema é então descrito por 6 Com base neste modelo e considerando que é possível construir a representação do sistema no domínio do tempo contínuo para conversão ao espaço de estado como segue 7 Com base em 1 e aplicando esta base em 7 é possível obter o modelo no tempo contínuo no espaço de estado 8 9 Com base neste modelo definido na base escolhida em 1 então será possível obter o equivalente discreto via ZOH com o auxílio do Scilab ou do Matlab ou mesmo usando as equações mostradas no início do Capítulo 3 do material de aula Especificamente para o Scilab e Matlab os códigos são mostrados a seguir Scilab sysc syslinc ABCD sysd dscrsysc Ts Ad sysdA Bd sysdB Cd sysdC Dd sysdD Matlab sysc ss ABCD sysd c2d sysc AdBdCdDd ssdatasysd O modelo no tempo discreto em espaço de estado obtido será representado por 10 11 Esse sistema discreto no espaço de estado é constituído de duas equações matriciais a diferenças e poderá ser usado diretamente no código de simulação como se mostra no quadro a seguir Scilab ou Matlab x00 condições iniciais das variáveis de velocidade e aceleração x11x1 x21x2 y10 u10 for k 2N x Adx Bduk1 yk Cx x1kx1 x2kx2 end subplot211 plottx1 ylabelVelocidade ms xlabelTempo s subplot212 plottx2 ylabelAceleração ms2 xlabelTempo s