PDS-Processamento Digital de Sinais-Resolucao-Prova-2Q22

Processamento Digital de Sinais 1ª Prova 2Q22 Nome Questão 1 3 pontos Calcule o resultado a convolução yn xn hn com os argumentos nesta ordem em que xn 13n un5 hn 12n un3 Questão 2 3 pontos Seja Yejω a TFTD da saída de um SLIT com resposta em frequência Hejω 1 1 5 ejω3 e entrada xn 2 exp0 3jπn Determine a expressão de Yejω e calcule a sua antitransformada yn Questão 3 2 pontos Seja xn exp0 4jπn Determine Yejω a TFTD de yn x3n ou seja yn é o resultado da subamostragem de xn pelo fator 3 Questão 4 2 pontos Calcule a expressão da transformada Z de xn 3n5 un 5 e determine a sua região de convergência ROC AVISOS LEIA ANTES DE TUDO Primeiro confira se a solução condiz com a lista de exercícios pedida Isso significa verificar quantidade de questões e seu conteúdo valores usados número de matrí culaRU Confira todas as contas e valores consultados em tabelas Mais de 99 dos erros são contas ou erro de digitação Resolução feita com auxílio de softwares como Python inclusive os gráficos e por tanto embora os resultados apresentados tenham apenas de algumas casas deci mais no cálculo foram usadas todas as casas permitidas exceto quando o enunci ado informa a precisão Sou da área de exatas então de imediato peço perdão para os possíveis erros grama ticais ou mal uso da língua culta Tento manter o texto e o raciocínio o mais simples e direto possível A resolução foi inteiramente baseada no arquivo enviado e nas instruções passadas Portanto tabelas ábacos referencial teórico simbologia metodologia e a formatação podem diferir do que o seu professor costuma usar Neste caso sugerese que ao passar a limpo se deva fazer as adaptações necessárias Este documento não foi escrito no Word ou LibreOffice por isso sua qualidade não se compara Ele foi redigido em LATEX2ε um sistema de preparação de documentos de alta qualidade voltado para áreas técnicas e científicas sendo o formato padrão em documentos de comunicação ou publicação científica O PDF gerado necessita de um visualizador de PDF para versões de PDF acima de 15 Então tome cuidado com apps de smartphones e prefira sempre o visualizador do Google Se gostou do meu serviço faça um comentário para os atendentes da MeuGuru e nos recomende Também aceito novas sugestões meu interesse é sempre melhorar o serviço Notação aproximadamente indica que é a função e é a sua transformada de Fourier uk função degrau unitário ou função Heaviside δk função impulso ou delta de Dirac xn hn convolução de x por h Comentários A resolução das questões estão feitas em passo a passo com a explicação do raciocínio tomado Utilizouse como referência principal o livro do Oppenheim DiscreteTime Signal Processing na sua 3ª edição em inglês Questão 1 Calcule o resultado da convolução yn xn hn em que xn 13n un5 hn 12n un3 Respostas Aplicando a equação da convolução temos yn Σ k to xkhnk Σ k to 13k uk5 12nk unk3 Σ k to 13k 12nk unk3 uk5 observe que para k 5 yn 0 logo yn Σ k5 to 13k 12nk unk3 Σ k5 to 13k 12n 12k unk3 Σ k5 to 13k 12n 2k unk3 Σ k5 to 23k 12n unk3 12n Σ k5 to 23k unk3 Observe que unk3 0 se nk3 0 nk 3 n 3 k n 3 k Para n 2 temos yn 0 n 2 Para n 2 temos yn 12n Σ k5 to n3 23k 12n 235 23n2 1 23 12n 325 23n2 53 35 12n 325 23n2 36 5 2n5 1n 20 3n3 n 2 Portanto para colocar em uma equação podemos escrever yn 36 5 2n5 1n 20 3n3 un2 Questão 2 Seja Yejω a TFTD da saída de um SLIT com resposta em frequência Hejω 1 1 05 ejω3 e entrada xn 2 e03 jπ ω Determine a expressão de Yejω e calcule a sua transformada inversa yn Respostas Sabemos que a saída de um sistema é yn xn hn e aplicando a TFTD segue Yejω Xejω Hejω Portanto primeiro devemos achar Xejω feito por tabela logo xn 2 ej03 π ω Xejω 2 2π δω 03π 4π Σ k to δω 03π 2π k Assim temos Yejω 4π 1 05 ejω3 Σ k to δω 03 π 2 π k Aplicando a inversa de Fourier temos yn 12π from π to π Yejω ejωn dω 2 from π to π ejωn 1 05ejω3 from k to δω 03π 2πk dω observe que o intervalo de integração é de π a π logo os temos 2πk para k 0 não serão considerados e portanto temse yn 2 from π to π ejωn 1 05ejω3 δω 03π dω Lembrando que fx δx a dx fa então temos yn 2 ej03πn 1 05ej03π3 A Transformada de Fourier 9 FOURIER TRANSFORM THEOREMS In addition to the symmetry properties a variety of theorems presented in Sections 9197 relate operations on the sequence to operations on the Fourier transform We will see that these theorems are quite similar in most cases to corresponding theorems for continuoustime signals and their Fourier transforms To facilitate the statement of the theorems we introduce the following operator notation Xejω Fxn xn F1Xejω xn F Xejω That is F denotes the operation of taking the Fourier transform of xn and F1 is the inverse of that operation Most of the theorems will be stated without proof The proofs which are left as exercises Problem 81 generally involve only simple manipulations of variables of summation or integration The theorems in this section are summarized in Table 2 TABLE 2 FOURIER TRANSFORM THEOREMS Sequence Fourier Transform xn X ejω yn Yejω 1 a xn b yn a X ejω b Yejω 2 xn nd nd an integer ejωnd X ejω 3 ejω0 n xn X ejω ω0 4 xn X ejω X ejω if xn real 5 n xn j dX ejωdω 6 xn yn X ejω Yejω 7 xn yn 12π from π to π X ejθ Yejθω dθ Parsevals theorem 8 from n to xn2 12π from π to π X ejω2 dω 9 from n to xn yn 12π from π to π X ejω Y ejω dω TABLE 3 FOURIER TRANSFORM PAIRS Sequence Fourier Transform 1 δn 1 2 δn n0 ejωn0 3 1 n from k to 2π δω 2π k 4 an un a 1 1 1 a ejω 5 un 1 1 ejω from k to π δω 2π k 6 n 1 an un a 1 1 1 a ejω2 7 rn sin ωp n 1 sin ωp un r 1 1 1 2 r cos ωp ejω r2 ej2ω 8 sin ωc nπ n X ejω 1 ω ωc 0 ωc ω π 9 xn 1 0 n M 0 otherwise sinωM 1 2 sinω2 ejω M2 10 ejω0 n from k to 2π δω ω0 2π k 11 cosω0 n ϕ from k to π ejφ δω ω0 2πk π ejφ δω ω0 2πk or inverse transforms Often by using the theorems and known transform pairs it is possible to represent a sequence in terms of operations on other sequences for which the transform is known thereby simplifying an otherwise difficult or tedious problem Examples 2225 illustrate this approach Example 22 Determining a Fourier Transform Using Tables 2 and 3 Suppose we wish to find the Fourier transform of the sequence xn an un 5 This transform can be computed by exploiting Theorems 1 and 2 of Table 2 and transform pair 4 of Table 3 Let x1n an un We start with this signal because it is the most similar signal to xn in Table 3 The table states that X1 ejω 1 1 a ejω 168 To obtain xn from x1n we first delay x1n by five samples ie x2n x1n 5 Theorem 2 of Table 2 gives the corresponding frequencydomain relationship X2 ejω ej5ω 1 a ejω 169 3 xn ej 04πn x3n ej 04π 3n ej 12 π n x3n ej ω0 n ω0 12 π Xej ω0 n 2π w w0 Nesse caso 2π w 12 π Valor de Tabela 4 xn 3n5 un5 xn6 3n1 un1 xn6 3 3N un12 tabela ζn un1 ζ ζ σ Zxn6 3 Z3N un12 Zxn6 3 ζ ζ 3 Zxn6 z6 Zxn z6 Xz Xz 3 z z 3 z6 Xz 3 z5 z 3 ROC z 3