Engenharia Economica

Valor Presente Líquido VPL Neste método os fluxos de caixa do projeto são convertidos ao valor presente momento t0 através da aplicação de uma taxa de desconto determinada que pode corresponder ao custo de capital da empresa ou à rentabilidade mínima aceitável em face do risco envolvido Exercício Um projeto de investimento inicial de R 6000000 gera entradas de caixa de R 2500000 nos próximos 5 anos em cada ano será necessário um gasto de R 500000 para manutenção Considerando uma TMA de 6 aa elaborar o fluxo de caixa e calcular o VPL deste projeto Exercício Uma empresa de informática procura definir um plano de crediário para venda de um modelo de Laptop cujo preço à vista foi estimado em R 199900 O capital de giro de suas operações é obtido exclusivamente por financiamento bancário Levandose em conta apenas as informações dadas pedese a configuração desse plano de crediário ao cliente para as seguintes situações a Em 6 vezes para um capital de giro de 28aa b Em 12 vezes para um capital de giro de 28aa Valor Presente Líquido Um projeto apresenta investimento inicial de R 70000 e entradas líquidas anuais de R 10000 R 50000 R 10000 R 10000 e R 18000 Elaborar o fluxo de caixa do projeto e calcular o valor presente líquido do projeto assumindo uma taxa de 12 aa Exercício Uma pessoa recebe um empréstimo de R 125000 em 09032009 a uma taxa de 10 aa e concorda pagar sua dívida em 09032014 com uma única aplicação feita na mesma data do financiamento A aplicação rende 058 am Pedese a O valor a ser pago no dia 09032014 b A taxa anual de juros equivalente da aplicação c O valor a ser aplicado em 09032009 Exercício Uma empresa de informática procura definir um plano de crediário para venda de um modelo de Laptop cujo preço à vista foi estimado em R 199900 O capital de giro de suas operações é obtido exclusivamente por financiamento bancário Levandose em conta apenas as informações dadas pedese a configuração desse plano de crediário ao cliente para as seguintes situações a Em 6 vezes para um capital de giro de 28aa b Em 12 vezes para um capital de giro de 28aa Série Uniforme de Pagamentos Representa um fluxo de pagamentos ou recebimentos constantes ao longo do tempo sob taxas e prazos conhecidos Sendo Vp ou C principal ou capital no início do período valor presente i taxa de juros n número de períodos Vf ou M valor futuro ou montante P valor da prestação no caso constante FAC in fator de acumulação de capital de uma série uniforme de pagamentos capitalizadas à taxa i durante n períodos FVA in fator de valor presente de uma série uniforme de n pagamentos descontada à taxa i Fórmulas FAC in 1in 1 i Valor Futuro Vf P x FAC in FVA in 1in 1 i1in Valor Presente Vp P x FVA in Engenharia Econômica junho2025 Eder Abensur Exemplo Fluxo de caixa do exemplo A Ano FCL FCL Acumulado 0 20000 20000 1 8500 11500 2 8500 3000 3 8500 5500 Fluxo de caixa do exemplo B Ano FCL FCL Acumulado 0 20000 20000 1 6500 13500 2 7500 6000 3 8500 2500 Este método determina o tempo necessário para recuperar os recursos investidos em um período O cálculo do prazo de retorno é feito da seguinte forma se as entradas líquidas de caixa forem constantes bastará dividir o investimento inicial pelas entradas anuais de caixa se as entradas líquidas forem diferentes elas deverão ser acumuladas até recuperar o valor investido apurandose o prazo de retorno Qual o prazo de retorno para as seguintes situações a Um projeto possui um investimento inicial de R 2000000 com entradas líquidas anuais de caixa estimadas em R 850000 b Um projeto possui um investimento inicial de R 2000000 com entradas líquidas anuais de caixa estimadas em R 6500 R 7500 e R 8500 Engenharia Econômica junho2025 Eder Abensur Prazo de Retorno Descontado Payback Descontado Este método determina o tempo necessário para recuperar os recursos investidos em um período considerando os fluxos de caixa descontados Esse método foi desenvolvido para corrigir o fato do payback clássico desconsiderar o valor do dinheiro no tempo O cálculo do prazo do retorno é feito da mesma forma que no payback clássico mas considerandose o fluxo de caixa descontado no tempo Um projeto possui um investimento inicial de R 2000000 com entradas líquidas anuais de caixa estimadas em R 850000 Para o exemplo determinar o PBD supondose uma taxa de 12 aa Prazo de Retorno Descontado Payback Descontado Este método determina o tempo necessário para recuperar os recursos investidos em um período considerando os fluxos de caixa descontados Esse método foi desenvolvido para corrigir o fato do payback clássico desconsiderar o valor do dinheiro no tempo O cálculo do prazo do retorno é feito da mesma forma que no payback clássico mas considerandose o fluxo de caixa descontado no tempo Um projeto possui um investimento inicial de R 2000000 com entradas líquidas anuais de caixa estimadas em R 850000 Para o exemplo determinar o PBD supondose uma taxa de 12 aa Payback Payback Descontado Ano FCL FCL acumulado Ano FCL Taxa FCL descontado FCL descontado acumulado 0 20000 20000 0 20000 12 7589 20000 1 8500 11500 1 8500 12 6776 12411 2 8500 3000 2 8500 12 6050 5635 3 8500 5500 3 416 Prazo anos 235 Prazo anos 293 Prazo meses 2824 Prazo meses 3518 Engenharia Econômica junho2025 Eder Abensur Exercício Um consumidor conclui que precisa contrair uma dívida de R 80000 em jan08 Para tanto ele utiliza a opção de crédito rotativo de seu Cartão de Crédito Ele pretende quitar a dívida em nov08 com o recebimento da primeira parcela do 13º salário equivalente a 50 do salário bruto Considerandose que seu salário em jan08 de R 200000 permanecerá inalterado que a taxa de juros da operação é de 49am e que a rolagem é somente da dívida inicial perguntase a Ele conseguirá quitar a dívida b Qual a dívida máxima que deveria assumir nessas condições Exemplo a 20000 8500 235 anos ou 2 anos e 4 meses ou 282 meses b Nos dois primeiros anos são recuperados R 1400000 R 6500 R 7500 restando R 6000 a serem cobertos pelos R 8500 do terceiro ano Então R 6000 R 8500 071 de um ano 85 meses Logo o prazo de retorno é de 271 anos ou 325 meses Introdução à Engenharia Econômica Qual será o valor futuro de uma aplicação de R 100000 realizada 010406 Data Rendimento Valor Mensal Final 010406 06589 100000 010506 06897 100586 010606 06947 101280 010706 07229 101983 010806 07448 102720 010906 06529 103486 011006 06884 104161 011106 06288 104878 011206 06530 105538 010107 07200 106227 010207 05725 106992 010307 06885 107604 010407 06278 108345 Prazo de Retorno Descontado Payback Descontado Este método determina o tempo necessário para recuperar os recursos investidos em um período considerando os fluxos de caixa descontados Esse método foi desenvolvido para corrigir o fato do payback clássico desconsiderar o valor do dinheiro no tempo O cálculo do prazo de retorno é feito da mesma forma que no payback clássico mas considerandose o fluxo de caixa descontado no tempo Um projeto possui um investimento inicial de R 2000000 com entradas líquidas anuais de caixa estimadas em R 850000 Para o exemplo determinar o PBD supondose uma taxa de 12 aa Payback Payback Descontado Ano FCL acumulado Ano FCL Taxa FCL FCL descontado aa descontado acumulado 0 20000 20000 0 20000 20000 1 8500 11500 1 8500 12 7589 12411 2 8500 3000 2 8500 12 6776 5635 3 8500 5500 3 8500 12 6050 416 Prazo anos 235 Prazo anos 293 Prazo meses 2824 Prazo meses 3518 Valor Presente Líquido VPL Neste método os fluxos de caixa do projeto são convertidos ao valor presente momento t0 através da aplicação de uma taxa de desconto determinada que pode corresponder ao custo de capital da empresa ou à rentabilidade mínima aceitável em face do risco envolvido Enunciado Qual será o valor futuro de uma aplicação de R 100000 realizada 010406 Para responder considerase capitalização composta com taxas mensais variáveis Se C0 é o capital inicial e ik é a taxa do mês k então o valor após n meses é VF C0 k1n 1 ik Essa fórmula decorre do fato de cada mês capitalizar o saldo do mês anterior multiplicando por 1 ik Dados do problema de abril06 a março07 em percentuais mensais i1 05859 i2 06899 i3 06949 i4 07229 i5 07448 i6 06529 i7 06884 i8 06580 i9 07200 i10 05725 i11 06885 i12 06278 Com C0 1000 substituise na expressão VF 1000 k112 1 ik 1000 1005859 1006899 1006949 1007229 1007448 1006529 1006884 1006580 1007200 1005725 1006885 1006278 Para fins didáticos apresentase a evolução mensal truncada a 3 casas na escrita mantendo precisão nas contas V1 1000 1005859 1005859 V2 V1 1006899 1012796 V3 V2 1006949 1019832 V4 V3 1007229 1027205 V5 V4 1007448 1034855 V6 V5 1006529 1041612 V7 V6 1006884 1048782 V8 V7 1006580 1055683 V9 V8 1007200 1063284 V10 V9 1005725 1069372 V11 V10 1006885 1076734 V12 V11 1006278 1083494 Portanto o valor futuro da aplicação é VF R 1083494 Observação diferenças de poucos centavos podem ocorrer se a tabela original arredondar os rendimentos mês a mês antes de compor o saldo do mês seguinte Aqui mantevese a precisão interna nas multiplicações e apenas a escrita foi arredondada a 3 casas Enunciado Qual o prazo de retorno para as seguintes situações a Um projeto possui um investimento inicial de R 2000000 com entradas líquidas anuais de caixa estimadas em R 850000 b Um projeto possui um investimento inicial de R 2000000 com entradas líquidas anuais de caixa estimadas em R 6500 R 7500 e R 8500 Pelo método do payback clássico procurase o menor tempo em que o fluxo de caixa acumulado se torna negativo Quando o cruzamento ocorre dentro de um período interpolase dentro do próprio período dividindose o valor que falta recuperar ao fim do período anterior pela entrada do período em que ocorre o cruzamento a Entradas constantes 8500 aa Tabela de fluxos e acumulado Ano FCL R FCL acumulado R 0 20000 20000 1 8500 11500 2 8500 3000 3 8500 5500 O cruzamento ocorre entre os anos 2 e 3 A fração do 3º ano é fração 30008500 0353 Logo o prazo do retorno é PB 2 0353 2353 anos Em meses PBmeses 2353 12 28235 meses b Entradas não constantes 6500 7500 8500 Tabela de fluxos e acumulado Ano FCL R FCL acumulado R 0 20000 20000 1 6500 13500 2 7500 6000 3 8500 2500 O cruzamento ocorre entre os anos 2 e 3 A fração do 3º ano é fração 60008500 0706 Logo o prazo do retorno é PB 2 0706 2706 anos Em meses PBmeses 2706 12 32471 meses Síntese a PB 2353 anos 28235 meses b PB 2706 anos 32471 meses Enunciado Uma empresa de informática procura definir um plano de crédito para venda de um modelo de laptop cujo preço à vista foi estimado em R 199900 O capital de giro de suas operações é obtido exclusivamente por financiamento bancário Levandose em conta apenas as informações dadas pedese a configuração desse plano de crédito ao cliente em 6 parcelas mensais iguais 1ª parcela em 30 dias para um capital de giro de 28 aa Interpretação desejase o valor da prestação mensal P de uma anuidade ordinária de n 6 parcelas com taxa efetiva mensal equivalente a 28 aa A prestação deve ser tal que o valor presente na taxa do capital de giro seja igual ao preço à vista Taxa mensal equivalente a 28 aa im 1 028112 1 0020785 aprox 2079 am Como a 1ª parcela ocorre em 30 dias tratase de anuidade ordinária O valor presente VP de P por n meses a im é VP P FVAim n P 1 1 imnim Igualase ao preço à vista VP 1999 e resolvese para P P 1999 1 1 im6 im 1999 1 1 00207856 0020785 357819 Logo cada parcela deve ser R 357819 aproximando a centavos ao emitir o boleto Para conferir com a teoria apresentase a decomposição do valor presente das 6 parcelas na taxa im Cada parcela P no mês k vale hoje PVk P 1 imk Tabela de verificação do valor presente valores escritos com 3 casas mantendo precisão nas contas k P 1 imk PVk Acumulado 1 357819 0980 350533 350533 2 357819 0960 343396 693929 3 357819 0940 336404 1030332 4 357819 0921 329554 1359886 5 357819 0902 322844 1682730 6 357819 0884 316270 1999000 Como o acumulado retorna exatamente 1999 a anuidade encontrada é consistente com a taxa de capital de giro informada Resposta 6 parcelas mensais iguais de aproximadamente R 35782 com a primeira em 30 dias Enunciado Um consumidor conclui que precisa contrair uma dívida de R 80000 em jan08 Para tanto ele utiliza a opção de crédito em rotativo de seu cartão de crédito Ele pretende quitar a dívida em nov08 com o recebimento da primeira parcela do 13º salário equivalente a 50 do salário bruto Considerandose que seu salário em jan08 de R 200000 permanecerá inalterado que a taxa de juros da operação é de 49 am e que a rolagem é somente da dívida inicial perguntase a Ele conseguirá quitar a dívida b Qual a dívida máxima que deveria assumir nessas condições A operação é com juros compostos mensais Se C0 é a dívida inicial i é a taxa mensal e n é o número de meses o saldo devido após n meses é Dn C0 1 in Usase essa expressão porque em cada mês o saldo do mês anterior é multiplicado por 1 i Entre jan08 e nov08 decorrem n 10 meses A taxa é i 0049 am a Verificase se a parcela de 13º salário metade do salário cobre o saldo D10 800 1 004910 800 104910 104910 1613447662 D10 800 1613447662 1290758 A quantidade disponível em nov08 é 05 2000 1000 Como 1000 1290758 ele não consegue quitar a dívida b Para descobrir a dívida inicial máxima C0max que poderia ser liquidada com os mesmos 1000 em nov08 inquietese P10 1000 e isolese C0 1000 C0max 104910 C0max 1000104910 C0max 10001613449662 619791 Resposta a Não O saldo em nov08 é R 1290758 e a pessoa teria R 1000 b A dívida inicial máxima para quitar com a metade do salário é R 619791 Enunciado Uma empresa de informática procura definir um plano de crediário para venda de um modelo de laptop cujo preço à vista foi estimado em R 199900 O capital de giro de suas operações é ostido exclusivamente por financiamento Bancário Levandose em conta apenas as informações dadas pedese a configuração desse plano de crediário ao cliente para as seguintes situações a Em 6 vezes para um capital de giro de 28 aa b Em 12 vezes para um capital de giro de 28 aa Interpretação desejase o valor da prestação mensal P de uma anuidade ordinária primeira parcela em 30 dias Para taxa anual efetiva 28 a taxa mensal equivalente é im 1 028112 1 0020784728 aprox 2078 am Para uma anuidade ordinária com n parcelas iguais P o valor presente é VP P FVAim n P 1 1 imnim Como o preço à vista é VP 1999 isolase P P 19991 1 imnim 1999 im1 1 imn a n 6 P6 1999 00207847281 1 00207847286 357819 Portanto 6 parcelas mensais de aproximadamente R 357819 b n 12 P12 1999 00207847281 1 002078472812 189937 Portanto 12 parcelas mensais de aproximadamente R 189937 As expressões usadas correspondem à equivalência financeira no instante t0 o somatório dos valores presentes das parcelas descontados a im deve igualar o preço à vista Enunciado Um projeto de investimento inicial de R 6000000 gera entradas de caixa de R 2500000 nos próximos 5 anos em cada ano será necessário um gasto de R 500000 para manutenção Considerando uma TMA de 6 aa elaborar o fluxo de caixa e calcular o VPL deste projeto Fluxo de caixa conforme a teoria As entradas e saídas anuais podem ser consolidadas em um fluxo líquido anual FCL igual a 25000 5000 20000 Assim o diagrama de caixa é t anos 0 1 2 3 4 5 FCL R 60000 20000 20000 20000 20000 20000 Cálculo do VPL O valor presente líquido a uma taxa i 6 aa é VPL sum t0 to 5 FCLt1it 60000 sum t1 to 5 20000 1 006t Escrevendo termo a termo valores presentes dos cinco recebimentos temse 200001061 18867925 200001062 17799929 200001063 16792386 200001064 15841873 200001065 14945163 Somando os valores presentes das entradas VPentradas 18867925 17799929 16792386 15841873 14945163 84247276 Finalmente VPL 84247276 60000 24247276 Comentário técnico Como os recebimentos líquidos formam uma série uniforme também se pode usar o fator de valor presente de anuidade FVAi n 1 1 in i VPL 60000 20000 FVA006 5 60000 20000 4212 24247276 coincidindo com o resultado detalhado Conclusão o projeto apresenta VPL R 24247276 a 6 aa logo é economicamente atrativo nessa TMA Enunciado Um projeto apresenta investimento inicial de R 70000 e entradas líquidas anuais de R 10000 R 50000 R 10000 R 10000 e R 18000 Elaborar o fluxo de caixa do projeto e calcular o valor presente líquido do projeto assumindo uma taxa de 12 aa Fluxo de caixa segundo a teoria No instante t0 ocorre o investimento inicial e nos anos 1 a 5 ocorrem as entradas indicadas O diagrama temporal pode ser representado assim t anos 0 1 2 3 4 5 FCL R 70000 10000 50000 10000 10000 18000 Cálculo do VPL Pela definição com taxa i 12 aa VPL sum t0 to 5 FCLt1it 70000 10000112 500001122 100001123 100001124 180001125 Escrevendo os valores presentes termo a termo mantendo a fórmula e apresentando os resultados com 3 casas 10000112 8928571 500001122 39859694 100001123 7117802 100001124 6355181 180001125 10213683 Somando VPL 70000 8928571 39859694 7117802 6355181 10213683 VPL 2474932 Conclusão O valor presente líquido do projeto a 12 aa é VPL R 2474932 Como VPL 0 o projeto é economicamente aceitável nessa taxa mínima de atratividade Enunciado Série Não Uniforme Se Pagamentos Mecanismo Geral Calcular o V0 da série abaixo utilizando uma taxa de desconto de 1 aa fazendo um equilíbrio intermediário na data 1 A linha do tempo indica recebimentos nos instantes t123456 iguais a 10150254040 Pela teoria de equivalência financeira para somar valores em datas diferentes é preciso trazêlos a uma mesma data usando a taxa de desconto Como o enunciado pede um equilíbrio intermediário em t1 cada fluxo em t é descontado para t1 por 1it1 com i001 aa e depois o resultado único em t1 é trazido para t0 Valor equivalente em t1 VA sumt16 Ft1it1 101010 151011 01012 251013 401014 401015 Substituindo e apresentando os termos parciais 10000 15101 14851 0 251013 24265 401014 38439 401015 38059 Somando em t1 VA 125614 Agora trazse esse valor para t0 dividindo por 1i pois há um mês entre t0 e t1 V0 VA1i 125614101 124370 Resposta V0 R 124370 Exemplo Fluxo de caixa do exemplo A Ano FCL FCL Acumulado 0 20000 20000 1 8500 11500 2 8500 3000 3 8500 5500 Fluxo de caixa do exemplo B N 0 1 2 3 N1 N Vp Vvp VF Vp 1 λN ρ 1 λN1 1 λN2 1 λ2 1 λ0 VF Vp 1 λN1 ρ 1 λN 1 λN1 1 λ3 1 λ0 SN aq q a1 q 1 a1 q λ1 aN 1 λN VF Vp 1 λN1 ρ 1 λN 1 λ 1 λN 1 1 ρλ ρ 1 λN 1 Vp ρ 1 λ N 1 ι 1 λN FVA FAC Série Não Uniforme de Pagamentos Mecanismo Geral Calcular o Vp da série abaixo utilizando uma taxa de desconto de 1 am fazendo um equilíbrio intermediário na data 1 10 15 0 25 40 40 0 1 2 3 4 5 6 10 10 x 1010 1485 15 x 1011 000 0 x 1012 2426 25 x 1013 3844 40 x 1014 3806 40 x 1015 1243712561 x 1011 12561 Engenharia Econômica junho2025 Eder Abensur Prazo de Retorno Payback Este método determina o tempo necessário para recuperar os recursos investidos em um período O cálculo do prazo de retorno é feito da seguinte forma se as entradas líquidas de caixa forem constantes bastará dividir o investimento inicial pelas entradas anuais de caixa se as entradas líquidas forem diferentes elas deverão ser acumuladas até recuperar o valor investido apurandose o prazo de retorno Exercício Uma empresa de informática procura definir um plano de crediário para venda de um modelo de Laptop cujo preco à vista foi estimado em R 199900 O capital de giro de suas operações é obtido exclusivamente por financiamento bancário Levandose em conta apenas as informações dadas pedese a configuração desse plano de crediário ao cliente em 6 parcelas mensais iguais 1ª parcela em 30 dias para um capital de giro de 28 aa Valor Presente Líquido VPL Neste método os fluxos de caixa do projeto são convertidos ao valor presente momento t0 através da aplicação de uma taxa de desconto determinada que pode corresponder ao custo de capital da empresa ou à rentabilidade mínima aceitável em face do risco envolvido 1200 2000 4000 0 45 65 90 6000 Exercício Um contribuinte com restituição de imposto de renda a receber em ago08 no valor de R 130000 recebe proposta de seu banco de antecipação da restituição em maio08 com um deságio de 20 Considerandose que a remuneração da caderneta de poupança é de 06am perguntase a A proposta deve ou não ser aceita b Qual o desconto que o cliente deveria propor