Análise de Estabilidade de Sistemas em Malha Fechada

ESTA02117 Introdução ao Controle Discreto Aula 6 Análise de estabilidade de sistemas em malha fechada no plano z Prof Magno Enrique Mendoza Meza1 1Universidade Federal do ABC Engenharia de Instrumentação Automação e Robótica Programa de Pósgraduação em Engenharia Mecânica Grupo de Pesquisa Veículos Robóticos Subaquáticos TeleoperadosAutônomos para Inspeção e Intervenção VeRSTApi2 Email magnomezaufabcedubr Campus Santo André Bloco A Sala 7441 Magno Meza UFABCEIARPPGMEC ESTA02117 Aula 6 1 64 Sumário 1 Definições de estabilidade 2 Estabilidade pela posição 3 Condições de estabilidade Estabilidade assintótica 4 Métodos para testar a estabilidade absoluta 5 Teste de estabilidade de Jury 6 Análise de estabilidade via a transformação bilinear e o critério de estabilidade de RouthHurwitz 7 Resumo do critério de estabilidade de RouthHurwitz 8 Análise de resposta transitória e estado permanente 9 Análise de erro em estado permanente Magno Meza UFABCEIARPPGMEC ESTA02117 Aula 6 2 64 Sumário 1 Definições de estabilidade 2 Estabilidade pela posição 3 Condições de estabilidade Estabilidade assintótica 4 Métodos para testar a estabilidade absoluta 5 Teste de estabilidade de Jury 6 Análise de estabilidade via a transformação bilinear e o critério de estabilidade de RouthHurwitz 7 Resumo do critério de estabilidade de RouthHurwitz 8 Análise de resposta transitória e estado permanente 9 Análise de erro em estado permanente Magno Meza UFABCEIARPPGMEC ESTA02117 Aula 6 3 64 Definições de estabilidade Estabilidade é um requerimento básico para sistemas de controle discretos e contínuos Uma definição de estabilidade está baseada na magnitude da resposta do sistema em estado estacionário Se a resposta de estado estacionário for ilimitada então o sistema é dito instável Definição 1 Estabilidade assintótica Um sistema é assintoticamente estável se sua resposta em estado estacionário para qualquer condição inicial tende para zero assintoticamente isto é a resposta devido à condição inicial satisfaz lim k yk 0 1 Se a resposta devido à condição inicial permanece limitada mas não decai para zero o sistema é marginalmente estável Magno Meza UFABCEIARPPGMEC ESTA02117 Aula 6 4 64 Definições de estabilidade Um entrada limitada satisfaz a condição uk bu k 0 1 2 e 0 bu 2 Definição 2 Estabilidade BIBO Um sistema é BIBO estável Se sua resposta a qualquer entrada limitada permanece limitada isto é para qualquer entrada que satisfaz 2 a saída satisfaz yk by k 0 1 2 e 0 by 3 Magno Meza UFABCEIARPPGMEC ESTA02117 Aula 6 5 64 Sumário 1 Definições de estabilidade 2 Estabilidade pela posição 3 Condições de estabilidade Estabilidade assintótica 4 Métodos para testar a estabilidade absoluta 5 Teste de estabilidade de Jury 6 Análise de estabilidade via a transformação bilinear e o critério de estabilidade de RouthHurwitz 7 Resumo do critério de estabilidade de RouthHurwitz 8 Análise de resposta transitória e estado permanente 9 Análise de erro em estado permanente Magno Meza UFABCEIARPPGMEC ESTA02117 Aula 6 6 64 Estabilidade pela posição Um sistema de controle contínuo é estável se todos os seus polos estão situados no semiplano esquerdo do plano s No plano z o semiplano esquerdo do plano s corresponde a área interna do círculo unitário no plano z centrada na sua origem Portanto para que um sistema de controle discreto seja estável todos os seus polos devem estar situadas no interior do círculo unitário veja Figura σ Im z eT s s z jω 1 Re Figura 1 Região de estabilidade Magno Meza UFABCEIARPPGMEC ESTA02117 Aula 6 7 64 Estabilidade pela posição Considere o sistema mostrado na Figura et et rt Gs Hs ct Cs Es Es Rs Figura 2 Sistema discreto em malha fechada Da Figura se tem Cz Rz Gz 1 GHz 4 Magno Meza UFABCEIARPPGMEC ESTA02117 Aula 6 8 64 Estabilidade pela posicao ea esta equacdo pode ser expressa em funcdo dos zeros e polos da funcao de transferéncia em malha fechada como segue m K II zj Cz Rz 5 Iz na qual z sdo os zeros e pj sao os polos da funcdo de transferéncia Fazendo a expansdo em fracGes parciais ky z kn Z Cz Crz 6 Z Pl ZPn na qual Crz representa os termos remanescentes Magno Meza UFABCEIARPPGMEC ESTA02117 Aula 6 964 Estabilidade pela posicao ea A estabilidade do sistema definido pela equacdo 6 pode ser determinada pela localizacdo dos polos em malha fechada no plano z ou pelas raizes da equacao caracteristica Pz 1 GHz z piz pa Z Pn 0 como segue Para que o sistema seja estavel os polos em malha fechada ou as raizes da equacao caracteristica devem ficar dentro do circulo unitario no plano z Qualquer polo em malha fechada fora do circulo unitario faz instavel o sistema Observe que se aplicamos a transformada z inversa do iésimo termo da equacao 6 obtémse kz gol kj p Z Pi Se a magnitude do polo p 6 menor que 1 este termo aproximase de zero assim que k aproximase do infinito Magno Meza UFABCEIARPPGMEC ESTA02117 Aula 6 10 64 Estabilidade pela posição 1 Se um polo simples fica em z 1 então o sistema tornase criticamente estável Também o sistema se torna criticamente estável se um par de polos complexos conjugados ficam no círculo unitário no plano z Qualquer polo múltiplo em malha fechada sobre o círculo unitário faz o sistema instável 2 Os zeros em malha fechada não afetam a estabilidade absoluta e portanto podem ser localizados em qualquer lugar do plano z Observação 1 Um sistema de controle em malha fechada em tempo discreto linear e invariante no tempo de uma entrada e uma saída tornase instável se quaisquer dos polos em malha fechada ficam fora do círculo unitário eou qualquer polo múltiplo em malha fechada encontrase sobre o círculo unitário do plano z Magno Meza UFABCEIARPPGMEC ESTA02117 Aula 6 11 64 Sumário 1 Definições de estabilidade 2 Estabilidade pela posição 3 Condições de estabilidade Estabilidade assintótica 4 Métodos para testar a estabilidade absoluta 5 Teste de estabilidade de Jury 6 Análise de estabilidade via a transformação bilinear e o critério de estabilidade de RouthHurwitz 7 Resumo do critério de estabilidade de RouthHurwitz 8 Análise de resposta transitória e estado permanente 9 Análise de erro em estado permanente Magno Meza UFABCEIARPPGMEC ESTA02117 Aula 6 12 64 Condições de estabilidade Estabilidade assintótica Teorema 1 Estabilidade assintótica Na ausência do cancelamento polozero um sistema discreto linear invariante no tempo é assintoticamente estável se os polos da função de transferência ficam no interior da círculo unitário e marginalmente estável se os polos ficam na circunferência unitária e não existem polos repetidos Magno Meza UFABCEIARPPGMEC ESTA02117 Aula 6 13 64 Condicdes de estabilidade BIBO estabilidade Be BIBO estabilidade corresponde 4 resposta de um sistema a uma entrada limitada A resposta de um sistema para qualquer entrada é dada pela convolucao k yk So hk iu k 012 7 i0 na qual hk é a sequéncia da resposta impulsiva Teorema 2 Um sistema discreto linear é BIBO estavel se e somente se sua sequéncia da resposta impulsiva é absolutamente soméavel isto é S Ai 00 8 i0 Teorema 3 Um sistema discreto linear 6 BIBO estdvel se e somente se os polos da funcdo de transferéncia ficam no interior do circulo unitdrio Magno Meza UFABCEIARPPGMEC ESTA02117 Aula6 1464 Sumário 1 Definições de estabilidade 2 Estabilidade pela posição 3 Condições de estabilidade Estabilidade assintótica 4 Métodos para testar a estabilidade absoluta 5 Teste de estabilidade de Jury 6 Análise de estabilidade via a transformação bilinear e o critério de estabilidade de RouthHurwitz 7 Resumo do critério de estabilidade de RouthHurwitz 8 Análise de resposta transitória e estado permanente 9 Análise de erro em estado permanente Magno Meza UFABCEIARPPGMEC ESTA02117 Aula 6 15 64 Métodos para testar a estabilidade absoluta O método de teste de estabilidade que pode ser aplicado diretamente à equação característica Pz 0 sem ter que resolver as raízes é o teste de estabilidade de Jury este revela a existência de qualquer raíz instável mas não fornece a sua localização Um outro método está baseado na transformação bilinear conjuntamente com o critério de estabilidade de Routh Magno Meza UFABCEIARPPGMEC ESTA02117 Aula 6 16 64 Sumário 1 Definições de estabilidade 2 Estabilidade pela posição 3 Condições de estabilidade Estabilidade assintótica 4 Métodos para testar a estabilidade absoluta 5 Teste de estabilidade de Jury 6 Análise de estabilidade via a transformação bilinear e o critério de estabilidade de RouthHurwitz 7 Resumo do critério de estabilidade de RouthHurwitz 8 Análise de resposta transitória e estado permanente 9 Análise de erro em estado permanente Magno Meza UFABCEIARPPGMEC ESTA02117 Aula 6 17 64 Teste de estabilidade de Jury Ao aplicar o teste de estabilidade de Jury a uma equação característica dada por Pz 0 construíse uma tabela cujos elementos se baseiam nos coeficientes de Pz Supondo que a equação característica Pz é um polinômio em z como segue Pz an zn an1 zn1 a1 z a0 9 no qual an 0 A tabela de Jury será como mostrada na Tabela Magno Meza UFABCEIARPPGMEC ESTA02117 Aula 6 18 64 Teste de estabilidade de Jury Tabela 1 Tabela de estabilidade de Jury para Pz Linha z0 z1 z2 z3 zn2 zn1 zn 1 a0 a1 a2 a3 an2 an1 an 2 an an1 an2 an3 a2 a1 a0 3 b0 b1 b2 b3 bn2 bn1 4 bn1 bn2 bn3 bn4 b1 b0 5 c0 c1 c2 c3 cn2 6 cn2 cn3 cn4 cn5 c0 2n 5 p0 p1 p2 p3 2n 4 p3 p2 p1 p0 2n 3 q0 q1 q2 Magno Meza UFABCEIARPPGMEC ESTA02117 Aula 6 19 64 Teste de estabilidade de Jury ea Os elementos correspondentes da linha 3 até 2n 3 sdo obtidos por meio das seguintes determinantes a0 Ank b k012n1 bo Dp1k Ck by k012n2 Po P3k k k012 4 P3 Pk Observacao 2 A ultima linha da tabela esté formada por trés elementos Os elementos de qualquer linha par sao simplesmente os inversos das linhas impares imediatamente anterior Magno Meza UFABCEIARPPGMEC ESTA02117 Aula 6 20 64 Teste de estabilidade de Jury os Um sistema com a equacao caracteristica Pz 0 dado pela equacao 9 é reescrito como Pz anz ap1z a1z4 a9 na qual a 0 é estavel se todas as condicdes seguintes sao satisfeitas Qe ao an Pz 0 0 para n par P 1P1 0 lna 0 para n impar 1P1 0 bo bn1 co n2 gol 42 Magno Meza UFABCEIARPPGMEC ESTA02117 Aula6 2164 Teste de estabilidade de Jury Observação 3 Para um sistema de segunda ordem a tabela contém uma única linha Para uma ordem adicional dois linhas adicionais são acrescentadas à tabela Para um sistema de ordem n existe um total de n 1 restrições O critério de Jury pode ser aplicado da seguinte maneira 1 Verificar as três condições P1 0 1nP1 0 e a0 an os quais não precisam ser calculados Parar o teste se quaisquer destas condições não for satisfeita 2 Formar a tabela e verificar cada uma das quatro condições acima indicadas para cada linha calculada Parar o teste se quaisquer condição não for satisfeita Magno Meza UFABCEIARPPGMEC ESTA02117 Aula 6 22 64 Teste de estabilidade de Jury Exemplo 1 Construa a tabela de estabilidade de Jury para a equação característica Pz a4 z4 a3 z3 a2 z2 a1 z a0 na qual a4 0 Escreva as condições de estabilidade Magno Meza UFABCEIARPPGMEC ESTA02117 Aula 6 23 64 Teste de estabilidade de Jury Be Solucdo do exemplo 1 links ee i ao a4 a4 ag 20 a3 a4 a1 20 a2 p a4 a2 2 1 ag ay bo bg bs bo a bo i 3 bo by co 4 bs be 2 PS fp wm Magno Meza UFABCEIARPPGMEC ESTA02117 Aula6 2464 Teste de estabilidade de Jury As condições de estabilidade são as seguintes 1 a0 a4 2 P1 a4 a3 a2 a1 a0 0 3 1nP1 P1 a4 a3 a2 a1 a0 0 n 4 par 4 b0 b3 c0 c2 Notese que o valor c1 ou para um sistema de ordem n o valor de q1 não é utilizado no teste de estabilidade e portanto o cálculo de c1 ou q1 pode ser omitido Magno Meza UFABCEIARPPGMEC ESTA02117 Aula 6 25 64 Teste de estabilidade de Jury Exemplo 2 Examine a estabilidade da equação característica Pz z4 12 z3 007 z2 03 z 008 0 Notese que para esta equação característica a4 1 a3 12 a2 007 a1 03 e a0 008 Magno Meza UFABCEIARPPGMEC ESTA02117 Aula 6 26 64 Teste de estabilidade de Jury Solução exemplo 2 Condições de estabilidade 1 a0 a4 é satisfeita 2 P1 a4 a3 a2 a1 a0 11200703008 009 0 é satisfeita 3 1nP1 P1 a4 a3 a2 a1 a0 1 12 007 03 008 189 0 n 4 par é satisfeita 4 Agora construise a tabela para verificar as condições b0 b3 c0 c2 Magno Meza UFABCEIARPPGMEC ESTA02117 Aula 6 27 64 Teste de estabilidade de Jury os tg oe a ee a pe ee le eee eee ee ee ee ee ee eee Magno Meza UFABCEIARPPGMEC ESTAO2117 Aula 6 28 64 Teste de estabilidade de Jury Da tabela obtemos b0 09936 0204 b3 c0 09456 0315 c2 Portanto ambos elementos da quarta condição são satisfeitos Satisfeitas todas as condições de estabilidade a equação característica dada é estável ou que todas as raízes estão dentro do círculo unitário no plano z Fatorando a equação característica se tem Pz z 08z 05z 05z 04 Magno Meza UFABCEIARPPGMEC ESTA02117 Aula 6 29 64 Teste de estabilidade de Jury Exemplo 3 Examine a estabilidade da equação característica Pz z3 11 z2 01 z 02 0 Notese que para esta equação característica a3 1 a2 11 a1 01 e a0 02 Magno Meza UFABCEIARPPGMEC ESTA02117 Aula 6 30 64 Teste de estabilidade de Jury Solução do exemplo 3 Condições de estabilidade 1 a0 02 1 a3 é satisfeita 2 P1 a3 a2 a1 a0 1 11 01 02 0 0 isto indica que pelo menos uma raíz em z 1 Portanto no máximo o sistema é criticamente estável 3 P1 a3 a2 a1 a0 1 11 01 02 18 0 n 3 impar é satisfeita 4 Agora verificamos a quarta condição do teste de Jury Cálculos simples dão b0 096 e b2 012 Daí b0 b2 é satisfeita Da análise concluímos que a equação característica dada tem uma raiz no círculo unitário z 1 e as outras raízes no interior do círculo unitário no plano z Portanto o sistema é criticamente estável Magno Meza UFABCEIARPPGMEC ESTA02117 Aula 6 31 64 Teste de estabilidade de Jury Exemplo 4 Um sistema de controle tem a seguinte equação característica Pz z3 13 z2 008 z 024 0 Determine a estabilidade do sistema Magno Meza UFABCEIARPPGMEC ESTA02117 Aula 6 32 64 Teste de estabilidade de Jury Solução do exemplo 4 Primeiro identificamos os coeficientes a3 1 a2 13 a1 008 a0 024 Condições de estabilidade 1 a0 024 1 a3 é satisfeita 2 P1 a3 a2 a1 a0 1 13 008 024 014 0 isto indica que a segunda condição é infringida Portanto o sistema é instável Magno Meza UFABCEIARPPGMEC ESTA02117 Aula 6 33 64 Teste de estabilidade de Jury Exemplo 5 Considere o sistema de controle com realimentação unitária em tempo discreto com período de amostragem T 1 segundo cuja função de transferência pulsada em malha aberta está dada por Gz K03679 z 02642 z 03679z 1 Determine a faixa de valores do ganho K para a estabilidade por meio do teste de estabilidade de Jury Magno Meza UFABCEIARPPGMEC ESTA02117 Aula 6 34 64 Teste de estabilidade de Jury Exemplo 6 Considere o sistema descrito por yk 06 yk 1 081 yk 2 067 yk 3 012 yk 4 xk na qual xk é a entrada e yk é a saída do sistema Determine a estabilidade do sistema Magno Meza UFABCEIARPPGMEC ESTA02117 Aula 6 35 64 Sumário 1 Definições de estabilidade 2 Estabilidade pela posição 3 Condições de estabilidade Estabilidade assintótica 4 Métodos para testar a estabilidade absoluta 5 Teste de estabilidade de Jury 6 Análise de estabilidade via a transformação bilinear e o critério de estabilidade de RouthHurwitz 7 Resumo do critério de estabilidade de RouthHurwitz 8 Análise de resposta transitória e estado permanente 9 Análise de erro em estado permanente Magno Meza UFABCEIARPPGMEC ESTA02117 Aula 6 36 64 Análise de estabilidade via a transformação bilinear e o critério de estabilidade de RouthHurwitz Existem várias técnicas de análise e projeto de sistemas de controle contínuo lineares invariantes no tempo tais como o critério de RouthHurwitz e o diagrama de Bode baseadas nas propriedades de estabilidade do plano s no qual o limite de estabilidade é o eixo imaginário Sendo assim estas técnicas não podem ser aplicadas diretamente aos sistemas de controle discretos no plano z no qual o limite de estabilidade é o círculo unitário Outro método bastante utilizado na análise de estabilidade dos sistemas de controle em tempo discreto é o uso da transformação bilinear junto com o critério de estabilidade de RouthHurwitz O método requer a transformação do plano z a outro plano complexo o plano w O método é simples e direto porém a quantidade de cálculos requerida é bem maior que no critério de estabilidade de Jury Magno Meza UFABCEIARPPGMEC ESTA02117 Aula 6 37 64 Analise de estabilidade via a transformacao bilinear e o ea critério de estabilidade de RouthHurwitz A transformacao bilinear é definida por 17T2w z 1T2w a mesma ao ser resolvida em funcao de w da 2z1 w Tzil a qual mapeia o interior do circulo unitario do plano z no semiplano esquerdo do plano w isto é no plano z 0 circulo unitario é z el e este circulo no plano w sera 2z1 2eT1 2 ewT2 eo juT2 Tz41jewr Teel t1 T eivT24 jeT2 2 t 11 w j IF 9 Magno Meza UFABCEIARPPGMEC ESTA02117 Aula 6 38 64 Analise de estabilidade via a transformacao bilinear e o os critério de estabilidade de RouthHurwitz Seja j a parte imagindria de w a equacdo 11 pode ser escrita como 2 wT te 12 w 5ts5 12 No plano s se w é pequeno entao wT também é pequeno daqui a equacdo 12 fica 2 wT 2 wl r 13 78 5 5 13 Magno Meza UFABCEIARPPGMEC ESTA02117 Aula 6 39 64 Analise de estabilidade via a transformacao bilinear e o ea critério de estabilidade de RouthHurwitz Na analise de estabilidade utilizando a transformacao bilinear junto com o critério de estabilidade de RouthHurwitz primeiro substituise 1T2w teristi por z na equacAo caracteristica 1T2w P aes Pz z ap1z 1 ap2z 7 ap como mostrado a seguir 1T2w 1T2w 1T2w P2 ues Ant re n2 eee FoF 39 Entdo multiplicamos ambos lados da ultima equacdo por 1 T2w se obtém Qw baw bp1w 1 brw bo Uma vez que transformase Pz 0 em Qw 0 é possivel aplicar o critério de estabilidade de RouthHurwitz da mesma forma que os sistemas em tempo continuo Magno Meza UFABCEIARPPGMEC ESTA02117 Aula 6 40 64 Sumário 1 Definições de estabilidade 2 Estabilidade pela posição 3 Condições de estabilidade Estabilidade assintótica 4 Métodos para testar a estabilidade absoluta 5 Teste de estabilidade de Jury 6 Análise de estabilidade via a transformação bilinear e o critério de estabilidade de RouthHurwitz 7 Resumo do critério de estabilidade de RouthHurwitz 8 Análise de resposta transitória e estado permanente 9 Análise de erro em estado permanente Magno Meza UFABCEIARPPGMEC ESTA02117 Aula 6 41 64 Resumo do critério de estabilidade de RouthHurwitz 1 Dada a equação característica da forma Qw bn wn bn1 wn1 b1 w b0 0 formase a tabela de Routh como segue wn bn bn2 bn4 wn1 bn1 bn3 bn5 wn2 c1 c2 c3 d1 d2 d3 w1 p1 w0 q1 2 Só as duas primeiras linhas da tabela são obtidas da equação característica As demais são calculadas da seguinte maneira c1 bn1bn2 bnbn3 bn1 d1 c1bn3 bn1c2 c1 c2 bn1bn4 bnbn5 bn1 d2 c1bn5 bn1c3 c1 c3 bn1bn6 bnbn7 bn1 3 Uma vez que a tabela foi obtida o critério de RouthHurwitz estabelece que o número de raízes da equação característica com parte real positiva é igual ao número de mudanças do sinal dos coeficientes da primeira coluna da tabela 4 Suponhase que a linha wi1 contém somente zeros e a linha wi acima tem os coeficientes α1 α2 A equação α1wi α2wi2 0 é um fator da equação característica Magno Meza UFABCEIARPPGMEC ESTA02117 Aula 6 42 64 Resumo do critério de estabilidade de RouthHurwitz Exemplo 7 Considere a seguinte equação característica Pz z3 13 z2 008 z 024 0 Determine se alguma das raízes da equação característica se localiza fora do círculo unitário no plano z Utilize a transformação bilinear e o critério de estabilidade de RouthHurwitz Magno Meza UFABCEIARPPGMEC ESTA02117 Aula 6 43 64 Resumo do critério de estabilidade de RouthHurwitz Exemplo 8 Considere o sistema da Figura na qual T 0 1 s e G1s K ss 1 1 eTs s G1s Rs Cs T Figura 3 Sistema de controle do Exemplo 8 Qual é a faixa de valores de K para que o sistema seja estável Utilize a transformação bilinear e o critério de estabilidade de RouthHurwitz Magno Meza UFABCEIARPPGMEC ESTA02117 Aula 6 44 64 Resumo do critério de estabilidade de RouthHurwitz Exemplo 9 Considere o sistema da Figura na qual T 1 s e G1s K ss 1 Qual é a faixa de valores de K para que o sistema seja estável Utilize a transformação bilinear e o critério de estabilidade de RouthHurwitz Magno Meza UFABCEIARPPGMEC ESTA02117 Aula 6 45 64 Sumário 1 Definições de estabilidade 2 Estabilidade pela posição 3 Condições de estabilidade Estabilidade assintótica 4 Métodos para testar a estabilidade absoluta 5 Teste de estabilidade de Jury 6 Análise de estabilidade via a transformação bilinear e o critério de estabilidade de RouthHurwitz 7 Resumo do critério de estabilidade de RouthHurwitz 8 Análise de resposta transitória e estado permanente 9 Análise de erro em estado permanente Magno Meza UFABCEIARPPGMEC ESTA02117 Aula 6 46 64 Análise de resposta transitória e estado permanente A estabilidade absoluta é um requerimento básico em todos os sistemas de controle bem como uma boa estabilidade relativa e uma boa precisão em estado permanente seja em tempo contínuo ou em tempo discreto Aqui estudase as características das respostas transitória e em estado permanente de sistemas de controle em malha fechada A resposta transitória corresponde a parte da resposta devida aos polos do sistema em malha fechada e a resposta em estado permanente corresponde a parte da resposta devido aos polos da função de entrada ou excitação Sistemas de controle em tempo discreto são frequentemente analisados com entrada standard como a entrada degrau rampa e senoidal Magno Meza UFABCEIARPPGMEC ESTA02117 Aula 6 47 64 Análise de resposta transitória e estado permanente Especificações da resposta transitória Em muitos casos práticos as características de desempenho desejadas dos sistemas de controle em tempo contínuo ou em tempo discreto são especificadas em termos de quantidades no domínio do tempo Isto ocorre porque os sistemas com armazenamento de energia não podem responder de maneira instantânea e sempre mostram respostas transitórias quando estão sujeitos à entrada ou perturbações As características de desempenho de um sistema de controle estão especificadas em termos da sua resposta transitória a uma entrada degrau unitária devido ao fato que a função degrau unitária é fácil de ser gerada e é suficientemente drástica para fornecer informação útil da resposta transitória e da resposta em estado permanente do sistema Magno Meza UFABCEIARPPGMEC ESTA02117 Aula 6 48 64 Análise de resposta transitória e estado permanente Especificações da resposta transitória A resposta transitória de um sistema de controle digital pode ser caracterizada não só pelo fator de amortecimento relativo e frequência natural amortecida mas também pelo Tempo de atraso td Tempo de subida tr Tempo de pico tp Máximo sobresinal Mp e Tempo de acomodação ts em resposta a uma entrada degrau Magno Meza UFABCEIARPPGMEC ESTA02117 Aula 6 49 64 Análise de resposta transitória e estado permanente Especificações da resposta transitória t 0 td tr tp ts Mp 0 5 Tolerˆancia de 2 ou 5 ct 1 Figura 4 Curva da resposta ao degrau unitário mostrando as especificações da resposta transitória td tr tp Mp e ts Magno Meza UFABCEIARPPGMEC ESTA02117 Aula 6 50 64 Análise de resposta transitória e estado permanente Especificações da resposta transitória Definição das especificações da resposta transitória 1 Tempo de atraso td é o tempo necessário para que a resposta transitória alcance metade do valor de regime permanente pela primeira vez 2 Tempo de subida tr é o tempo necessário para que a resposta transitória passe de 0 a 100 do seu valor final pela primeira vez 10 a 90 5 a 95 3 Tempo de pico tp é o tempo necessário para que a resposta transitória alcance o primeiro pico de sobresinal 4 Máximo sobresinal Mp é o valor máximo de pico da curva de resposta medido a partir da unidade e ocorre no tempo de pico Se o valor final em estado permanente da resposta difere da unidade então utilizase o sobresinal percentual máximo definido por Sobresinal percentual máximo ctp c c 100 O valor do máximo sobresinal em porcentagem indica em forma direta a estabilidade relativa do sistema 5 Tempo de acomodação ts é o tempo necessário para que a curva de resposta alcance valores em uma faixa em torno de 2 ou 5 do valor final dependendo do critério adotado permanecendo indefinidamente O tempo de acomodação está relacionado com a constante de tempo de maior valor no sistema de controle Magno Meza UFABCEIARPPGMEC ESTA02117 Aula 6 51 64 Análise de resposta transitória e estado permanente Análise de erro em estado permanente Uma característica importante associada à resposta transitória é o erro de estado permanente O desempenho em estado permanente é julgado pelo erro de estado permanente devido à entrada degrau rampa e aceleração Qualquer sistema físico de controle sofre de erro em estado permanente em resposta à certos tipos de entrada Um sistema pode não apresentar erro para uma entrada degrau mas o mesmo sistema pode apresentar erro a uma entrada rampa e isso depende do tipo da função de transferência em malha aberta Considere o sistema de controle em tempo contínuo cuja função de transferência em malha aberta GsHs está dada por GsHs KTa s 1Tb s 1 Tm s 1 sNT1 s 1T2 s 1 Tp s 1 O termo sN no denominador representa um polo de multiplicidade N na origem Classificase o sistema segundo o número de integradores na função de transferência em malha aberta Um sistema é dito ser do tipo 0 tipo 1 tipo 2 se N 0 N 1 N 2 respectivamente Magno Meza UFABCEIARPPGMEC ESTA02117 Aula 6 52 64 Análise de resposta transitória e estado permanente Análise de erro em estado permanente Sistema Erros em estado permanente em resposta a Entrada degrau Entrada rampa Entrada de aceleração Sistema de tipo0 Finito Infinito Infinito Sistema de tipo1 Nulo Finito Infinito Sistema de tipo2 Nulo Nulo Finito Conforme aumenta o número do tipo a precisão aumenta Porém ao aumentar o tipo o problema de estabilidade se complica Sempre será necessário um meio termo entra a precisão em estado permanente e a estabilidade relativa característica da resposta transitória Os sistemas de controle em tempo discreto podem ser classificados segundo o número de polos em malha aberta em z 1 Um polo em malha aberta em z 1 corresponde a um integrador na malha Suponha que a função de transferência em malha aberta é dada pela equação função de transferência em malha aberta 1 z 1N Bz Az na qual BzAz não contém nem polos nem zeros em z 1 O sistema pode ser classificado como um sistema de tipo 0 tipo 1 ou tipo 2 se N 0 N 1 ou N 2 respectivamente O tipo de sistema define as características do sistema em estado permanente ou a precisão em estado permanente Magno Meza UFABCEIARPPGMEC ESTA02117 Aula 6 53 64 Análise de resposta transitória e estado permanente Análise de erro em estado permanente Considere o sistema de controle em tempo discreto mostrada na Figura na qual G1s é a função de transferência do processo 1 eTs s G1s Rz Cz rt ct Hs bt Figura 5 Sistema de controle em tempo discreto Magno Meza UFABCEIARPPGMEC ESTA02117 Aula 6 54 64 Sumário 1 Definições de estabilidade 2 Estabilidade pela posição 3 Condições de estabilidade Estabilidade assintótica 4 Métodos para testar a estabilidade absoluta 5 Teste de estabilidade de Jury 6 Análise de estabilidade via a transformação bilinear e o critério de estabilidade de RouthHurwitz 7 Resumo do critério de estabilidade de RouthHurwitz 8 Análise de resposta transitória e estado permanente 9 Análise de erro em estado permanente Magno Meza UFABCEIARPPGMEC ESTA02117 Aula 6 55 64 Analise de erro em estado permanente Be SupGe que o sistema é estavel de maneira que o teorema do valor final pode ser aplicado para determinar os valores em estado permanente Da Figura se tem que o erro atuante et rt bt Considere o erro atuante em estado permanente nos instantes de amostragem Notese que a partir do teorema de valor final temos lim ekT lim 1zEz 14 k oo zl Para o sistema mostrado na Figura definese Gis Gz1zZ S s Magno Meza UFABCEIARPPGMEC ESTA02117 Aula 6 5664 Analise de erro em estado permanente os G H GHz 1zzZ SSP A Entao temse Cz Gz Rz 1 GHz e Ez Rz Bz Rz GHzEz ou 1 Magno Meza UFABCEIARPPGMEC ESTA02117 Aula 6 5764 Analise de erro em estado permanente ea A equacao 15 na equacdo 14 se obtém ess lim la R 16 j Z Rz 6s zl 1 GHz Como nos sistemas de tempo continuo sao considerados trés tipos de entradas degrau unitario rampa unitaria e aceleracdo unitaria Magno Meza UFABCEIARPPGMEC ESTA02117 Aula 6 5864 Analise de erro em estado permanente Be Constante de erro estatico de posiao Para uma entrada degrau unitaria rt 1t temos 1 Rz 2 esta equacdo na equacdo 16 0 erro em estado permanente em resposta a uma entrada degrau unitario pode ser obtido como segue 1 1 1 ss Mi 1 z7ty Jim zal 2 i GHz1 zoil GHz Se se define a constante de erro estatico de posiao K como segue Kp lim GHz 17 zl entdo 0 erro em estado permanente em resposta a uma entrada degrau unitaria pode ser obtida da equacao 1 ss 7 18 ITK 18 O erro em estado permanente em resposta a uma entrada degrau unitaria chega ser nulo se K 00 0 que requer que GHz tenha pelo menos um polo em z 1 Magno Meza UFABCEIARPPGMEC ESTA02117 Aula6 5964 Analise de erro em estado permanente Be rt t1t temse Tz Rz z 1 z12 esta equacdo na equacdo 16 obtémse li 1 2 1 Tz li T ess HIM Z Ss lim x zl 1 GHz 1 z71 z1 1 zGHz Se se define a constante de erro estatico de velocidade Ky com segue 1z7GHz Ky lim 19 an T entdo o erro em estado permanente em resposta a uma entrada rampa unitaria pode ser dado por 1 SS 77 20 es 7 20 Se K 00 entdo o erro em estado permanente em resposta a uma entrada rampa unitaria é nula Isto requer que GHz possua um polo duplo em z 1 Magno Meza UFABCEIARPPGMEC ESTA02117 Aula6 6064 Analise de erro em estado permanente Be Constante de erro estatico de aceleracio Para uma entrada de aceleracao unitaria rt t 1t temse 2 151 Rz T1zz 21 z13 esta ultima equado na equacdo 16 obtémse 4 1 Te1 z74 T és5 lim 1 zz lim zl 1 GHz 21 27 zi 1 z1GHz Se se define a constante de erro estatica de aceleracdo K como segue 1 z7 GHz K lim 21 2 T entdo o erro em estado permanente chega ser 1 ss 77 22 z 22 O erro em estado permanente em resposta a um entrada de aceleracdo unitaria chega a ser nulo se K oo Isto requer que GHz possua um polo triplo em z 1 Magno Meza UFABCEIARPPGMEC ESTA02117 Aula6 6164 Análise de erro em estado permanente Observação 4 O erro aqui é a diferença entre a entrada de referência e a saída Sistema Erros em estado permanente em resposta a Entrada degrau Entrada rampa Entrada de aceleração rt 1 rt t rt 1 2 t2 Sistema de tipo0 1 1Kp Sistema de tipo1 0 1 Kv Sistema de tipo2 0 0 1 Ka Magno Meza UFABCEIARPPGMEC ESTA02117 Aula 6 62 64 Análise de erro em estado permanente Configurações típicas em malha fechada et rt Hs Es Rs Gs ct Cs Kp lim z1 GHz Kv lim z1 1 z1GHz T Ka lim z1 1 z12GHz T 2 et rt Hs Es Rs Gs ct Cs Kp lim z1 GzHz Kv lim z1 1 z1GzHz T Ka lim z1 1 z12GzHz T 2 rt Rs et Es Cs G2s dt Ds G1s Hs ct Kp lim z1 G1zHG2z Kv lim z1 1 z1G1zHG2z T Ka lim z1 1 z12G1zHG2z T 2 rt Rs et Es Cs G2s dt Ds G1s Hs ct Kp lim z1 G1zG2zHz Kv lim z1 1 z1G1zG2zHz T Ka lim z1 1 z12G1zG2zHz T 2 Magno Meza UFABCEIARPPGMEC ESTA02117 Aula 6 63 64 Bibliografia I Magno Meza UFABCEIARPPGMEC ESTA02117 Aula 6 64 64