Projetos de Compensadores via o Método do Lugar das Raízes - Aula 7

ESTA02117 Introdução ao Controle Discreto Aula 7 Projeto de compensadores via o método do lugar das raízes Prof Magno Enrique Mendoza Meza1 1Universidade Federal do ABC Engenharia de Instrumentação Automação e Robótica Programa de Pósgraduação em Engenharia Mecânica Grupo de Pesquisa Veículos Robóticos Subaquáticos TeleoperadosAutônomos para Inspeção e Intervenção VeRSTApi2 Email magnomezaufabcedubr Campus Santo André Bloco A Sala 7441 Magno Meza UFABCEIARPPGMEC ESTA02117 Aula 7 1 93 Sumário I 1 Projeto baseado no lugar geométrico das raízes 2 Procedimento geral para construir o lugar geométrico das raízes 3 Cancelamento polozero 4 Estabilidade relativa 5 Projeto baseado no método do lugar das raízes 6 Projeto do compensador por atraso de fase 7 Projeto do compensador por avanço de fase Magno Meza UFABCEIARPPGMEC ESTA02117 Aula 7 2 93 Sumário II 8 Projeto do compensador por atrasoavanço de fase 9 Controladores discreto da família PID 10 Controlador PID discreto 11 Controlador PD discreto 12 Controlador PI discreto Magno Meza UFABCEIARPPGMEC ESTA02117 Aula 7 3 93 Sumário 1 Projeto baseado no lugar geométrico das raízes 2 Procedimento geral para construir o lugar geométrico das raízes 3 Cancelamento polozero 4 Estabilidade relativa 5 Projeto baseado no método do lugar das raízes 6 Projeto do compensador por atraso de fase 7 Projeto do compensador por avanço de fase 8 Projeto do compensador por atrasoavanço de fase 9 Controladores discreto da família PID 10 Controlador PID discreto 11 Controlador PD discreto 12 Controlador PI discreto Magno Meza UFABCEIARPPGMEC ESTA02117 Aula 7 4 93 Projeto baseado no lugar geométrico das raízes O método do lugar geométrico das raízes LGR desenvolvido para sistema em tempo contínuo pode ser estendido sem modificações a sistemas em tempo discreto devido a que a equação característica tem a mesma forma que o sistema contínuo no plano s OGATA 1995 Magno Meza UFABCEIARPPGMEC ESTA02117 Aula 7 5 93 Projeto baseado no lugar geométrico das raízes Condições de ângulo e magnitude Em muitos sistemas de controle em tempo discreto LIT a equação característica pode ter a seguinte forma 1 KFz 0 1 na qual Fz pode ser Fz GzHz ou Fz GHz Observe que Fz é a função de transferência pulsada em malha aberta A equação característica dada pela equação 1 pode ser escrita na forma KFz 1 Dado que Fz é uma quantidade complexa a última equação pode ser dividida em duas equações uma de ângulos e outra de magnitudes Condição de ângulo Fz 180o2 k 1 k 0 1 2 Condição de magnitude KFz 1 Os valores de z que satisfazem ambas condições são as raízes da equação característica 1 ou os polos em malha fechada Magno Meza UFABCEIARPPGMEC ESTA02117 Aula 7 6 93 Sumário 1 Projeto baseado no lugar geométrico das raízes 2 Procedimento geral para construir o lugar geométrico das raízes 3 Cancelamento polozero 4 Estabilidade relativa 5 Projeto baseado no método do lugar das raízes 6 Projeto do compensador por atraso de fase 7 Projeto do compensador por avanço de fase 8 Projeto do compensador por atrasoavanço de fase 9 Controladores discreto da família PID 10 Controlador PID discreto 11 Controlador PD discreto 12 Controlador PI discreto Magno Meza UFABCEIARPPGMEC ESTA02117 Aula 7 7 93 Procedimento geral para construir o lugar geométrico das raízes 1 Obtenha a equação característica 1 KFz 0 rearrumar esta equação de forma 1 Kz z1z z2 z zm z p1z p2 z pn 1 KFz 0 K 0 2 Determine os pontos de início e os pontos de término do lugar geométrico das raízes 3 Determine o LGR sobre o eixo real 4 O LGR é simétrico com relação ao eixo real Magno Meza UFABCEIARPPGMEC ESTA02117 Aula 7 8 93 Procedimento geral para construir o lugar geométrico ee raizes Determine as assintotas do LGR O ntmero de assintotas é igual ao numero de polos de Fz n menos o numero de zeros de Fz m com angulos dados por a 1802N 4 1 Angulo da assintota 1802N 1 N012 nm no qual n numero de polos finitos de Fz e m numero de zeros finitos de Fz Todas as assintotas se cruzam no eixo real A abscisa da intersecdo o6 contribuicdo polos contribuicdo zeros 033330eowTKaéXqC0O0OoauouaoOTuaauaaazs00000eomoum nm Uma vez que todos os polos e zeros complexos conjugados se apresentam em pares conjugados o sempre é uma quantidade real Magno Meza UFABCEIARPPGMEC ESTA02117 Aula 7 993 Procedimento geral para construir o lugar geométrico das raizes Encontre os pontos de separacdo de chegada e de entrada Os pontos de ramificacao sao dados pelas raizes de dFz dK 1 9 y K A gy dz dz Fz Determinar o Angulo de saida ou o angulo de chegada do LGR a partir dos polos complexos ou nos zeros complexos angulo de saida 180 S contribuiao polos S contribuigao zeros Magno Meza UFABCEIARPPGMEC ESTA02117 Aula 7 10 93 Procedimento geral para construir o lugar geométrico das raízes 9 Encontre os pontos onde os LGR cruzam o eixo imaginário Os pontos onde o LR cruza o eixo imaginário podem ser determinados definindo z jν na equação caraterística o que implica que o ganho K não é determinado e igualando a parte real a zero e resolvese em função de ν e de K Os valores de ν e K assim achados darão a localização donde os LR cruzam o eixo imaginário e o valor do ganho correspondente K respectivamente Magno Meza UFABCEIARPPGMEC ESTA02117 Aula 7 11 93 Procedimento geral para construir o lugar geométrico ee raizes Qualquer ponto dos LGR é um polo possivel em malha fechada Um determinado ponto sera um polo em malha fechada quando o valor de K satisfizer a condicdo de magnitude Reciprocamente a condicao de magnitude nos permite determinar o valor de ganho K em um lugar especifico no LR A condicao de magnitude é KFz 1 ou zzz2zzZm 1 sab enpolenpK 3 z pizZ po Z Pn Se o ganho K da funcao de transferéncia pulsada em malha aberta esta dado no problema entdo pela aplicacdo da condicao de magnitude equacao 3 é possivel localizar os polos em malha fechada para um K dado em cada uma das ramificacdes do LR pelo método de tentativa e erro Magno Meza UFABCEIARPPGMEC ESTA02117 Aula 7 1293 Sumário 1 Projeto baseado no lugar geométrico das raízes 2 Procedimento geral para construir o lugar geométrico das raízes 3 Cancelamento polozero 4 Estabilidade relativa 5 Projeto baseado no método do lugar das raízes 6 Projeto do compensador por atraso de fase 7 Projeto do compensador por avanço de fase 8 Projeto do compensador por atrasoavanço de fase 9 Controladores discreto da família PID 10 Controlador PID discreto 11 Controlador PD discreto 12 Controlador PI discreto Magno Meza UFABCEIARPPGMEC ESTA02117 Aula 7 13 93 Cancelamento polozero Definase Fz GzHz e considere que o denominador de Gz e o numerador de Hz envolvem fatores comuns então os polos e os zeros em malha aberta correspondentes se cancelam uns com os outros e se reduz a ordem da equação característica em um ou mais O gráfico do lugar geométrico das raízes de GzHz não mostrará todas as raízes da equação característica só as raízes da equação reduzida Para obter o conjunto completo de polos em malha fechada devese adicionar os polos cancelados ou polos de GzHz àqueles polos em malha fechada obtidos do desenho do lugar geométrico das raízes de GzHz Magno Meza UFABCEIARPPGMEC ESTA02117 Aula 7 14 93 Cancelamento polozero Exemplo 1 Consideremos o caso do sistema mostrado na Figura 1 no qual Gz z z1 z p1z p2 e Hz z p1 z p3 Analise o cancelamento polo zero de GzHz Gz Hz Rz Cz Figura 1 Sistema de controle em malha fechada Magno Meza UFABCEIARPPGMEC ESTA02117 Aula 7 15 93 Cancelamento polozero Solução O polo p1 de Gz e o zero p1 de Hz se cancelam resultando GzHz z z1 z p1z p2 z p1 z p3 z z1 z p2z p3 Contudo a função de transferência em malha fechada do sistema é Cz Rz Gz 1 GzHz z z1z p3 z p1z p2z p3 z z1 se observa que z p1 o polo cancelado de GzHz é um polo em malha fechada do sistema realimentado Magno Meza UFABCEIARPPGMEC ESTA02117 Aula 7 16 93 Cancelamento polozero Exemplo 2 Considere um sistema como mostrado na Figura 2 no qual Gcz é um compensador qualquer e G1z é a função de transferência pulsada do processo a ser controlado no qual G1z z z1 z p1z p2 Gcz z zc z pc e Hz 1 Rz G1z Gcz Hz Cz Figura 2 Sistema de controle em malha fechada Analise o cancelamento polo zero de GczG1z Magno Meza UFABCEIARPPGMEC ESTA02117 Aula 7 17 93 Cancelamento polozero Solução Supondo que no projeto do compensador Gcz escolheuse o seu zero como sendo zc p1 isto é ocorre um cancelamento de um polo de G1z com o zero de Gcz Seguese que GczG1z z zc z pc z z1 z p1z p2 z z1 z pcz p2 então a função de transferência em malha fechada tornase Cz Rz GczG1z 1 GczG1z z zcz z1 z p1z pcz p2 z z1 z z1 z pcz p2 z z1 Por causa do cancelamento de polos e zeros entre Gcz e G1z o sistema de terceira ordem tornouse em uma de segunda ordem Magno Meza UFABCEIARPPGMEC ESTA02117 Aula 7 18 93 Sumário 1 Projeto baseado no lugar geométrico das raízes 2 Procedimento geral para construir o lugar geométrico das raízes 3 Cancelamento polozero 4 Estabilidade relativa 5 Projeto baseado no método do lugar das raízes 6 Projeto do compensador por atraso de fase 7 Projeto do compensador por avanço de fase 8 Projeto do compensador por atrasoavanço de fase 9 Controladores discreto da família PID 10 Controlador PID discreto 11 Controlador PD discreto 12 Controlador PI discreto Magno Meza UFABCEIARPPGMEC ESTA02117 Aula 7 19 93 Estabilidade relativa O método do lugar das raízes é útil para pesquisar os efeitos do ganho do sistema e do período de amostragem sobre a estabilidade absoluta ou relativa do sistema em malha fechada Magno Meza UFABCEIARPPGMEC ESTA02117 Aula 7 20 93 Estabilidade relativa Exemplo 3 Considere o sistema da Figura 3 na qual Gcz é o controlador digital G1s 1 s 1 é a função de transferência da planta e a função de transferência do ZOH é Ghs 1 eTs s Suponha que o controlador digital é do tipo proporcionalintegral Gcz K1 az1 1 z1 K z a z 1 Rz G1s Cz ZOH Gcz Figura 3 Sistema de controle digital Desenhe o lugar das raízes para o sistema para valores diferentes de T determine os valores críticos de K para cada caso e localize os polos em malha fechada correspondentes a K 2 para os casos Magno Meza UFABCEIARPPGMEC ESTA02117 Aula 7 21 93 Estabilidade relativa os Solucao Primeiro obteremos a transformada z de Gps Gis le 1 B Zi Grs Gis i 1 1z1z4 lz ix 5 1 1 771zZ22 z s1 zi Z Z 7 Z z1 ze Tl 1 eT 6b zet zc Magno Meza UFABCEIARPPGMEC ESTA02117 Aula 7 2293 Estabilidade relativa Solução onde b 1 eT c eT e considere a 0 9 eT Serão obtidas expressões algébricas de maneira geral para um período de amostragem T A equação característica é 1 Gz z2 Kb 1 cz c abK 0 e a função de transferência da trajetória direta tornase Gz GczZ Ghs G1s K z a z 1 b z c K b z a z 1z c 4 Magno Meza UFABCEIARPPGMEC ESTA02117 Aula 7 23 93 Estabilidade relativa Solução 1 A função de transferência em malha aberta Gz tem dois polos z 1 z c e um zero em z a 2 O ponto de partida de saída e de chegada de entrada é determinado escrevendo a equação característica na forma da equação 2 K z 1z c b z a 5 e diferenciando K com relação a z e igualando a zero Magno Meza UFABCEIARPPGMEC ESTA02117 Aula 7 24 93 Estabilidade relativa os Solucao dK z2azacac dz bz a 7 resulta em 212 at a1ac isto é Za a1ac e zaa1ac Magno Meza UFABCEIARPPGMEC ESTA02117 Aula7 2593 Estabilidade relativa os Solucao Observe que a substituicdo de z a a 1a c na equacao 5 1 2 resulta no valor de K 5 va cVa 1 e quando zaa1ac resulta no valor de 1 2 K 5 va ctvVa 1 sendo ambos valores positivos Zaa1ac 0 ponto de partida de saida verdadeiro e zZaa1ac 0 ponto de chegada de entrada verdadeiro Magno Meza UFABCEIARPPGMEC ESTA02117 Aula 7 26 93 Estabilidade relativa ea Solucao O valor critico do ganho K para este caso é obtido utilizando a condicao de magnitude que podese obter da equacdo 4 como segue bz a 1 leneal c K Desde que o ganho critico Ke corresponda ao ponto z 1 substituimos 1 por z na equacdo 6 obtémse b1 a 1 1NC10 K Magno Meza UFABCEIARPPGMEC ESTA02117 Aula 7 2793 Estabilidade relativa os Solucao seguese que o ganho critico tem a seguinte expressdo 21 x 2 b1 a Os polos em malha fechada que correspondem a K 2 podem ser determinados como 1cKb1cK b 4c Kab Zee 2 Magno Meza UFABCEIARPPGMEC ESTA02117 Aula 7 28 93 Estabilidade relativa Solução 4 Efeitos do período de amostragem T sobre as características da resposta transitória A resposta ao degrau unitário pode ser dado por Cz K bz a z2 K b 1 cz c K b aRz onde Rz 1 1 z1 obtémse K bz1 z2a 1 K b 1 cz1 c K b a z2 1 1 z1 Magno Meza UFABCEIARPPGMEC ESTA02117 Aula 7 29 93 Estabilidade relativa Solução A resposta à rampa unitária pode ser dada por Cz K bz a z2 K b 1 cz c K b aRz onde Rz Tz1 1 z12 obtémse K bz1 z2a 1 K b 1 cz1 c K b a z2 Tz1 1 z12 Magno Meza UFABCEIARPPGMEC ESTA02117 Aula 7 30 93 Estabilidade relativa os Solucao e a constante de erro estatico de velocidade K é oo 1 zGz Ky jim SS i 2 K bz a m a zoizT z1zc ie oe 2 z1zTzc Kb1a zT1c Magno Meza UFABCEIARPPGMEC ESTA02117 Aula 7 3193 Estabilidade relativa Solução Portanto o erro em estado permanente em resposta a uma entrada rampa unitária é ess 1 Kv z T 1 c K b 1 a Considerese um período de amostragem T 0 5 s a Figura 7 mostra a resposta do sistema ao degrau unitário a Figura 10 mostra o esforço de controle ao degrau unitário e a Figura 13 mostra a resposta do sistema à rampa unitária A Tabela 1 mostra uma comparação dos diferentes parâmetros de estabilidade relativa para períodos de amostragem T 0 5 1 0 e 2 0 s Magno Meza UFABCEIARPPGMEC ESTA02117 Aula 7 32 93 Estabilidade relativa Tabela 1 Tabela de comparação do sistema para diferentes períodos de amostragem Período T 0 5 Período T 1 0 Período T 2 0 Polos Gz Polos Gz Polos Gz z 1 e z 0 6065 z 1 e z 0 3678 z 1 e z 0 1353 Ponto de partida Ponto de partida Ponto de partida K 0 4647 e z 0 3799 K 0 62 e z 0 5879 K 0 7791 e z 0 2308 Ponto de chegada Ponto de chegada Ponto de chegada K 2 1518 e z 0 7118 K 1 6127 e z 0 1742 K 1 2835 e z 0 0128 Para K 2 Para K 2 Para K 2 Polos malha fechada Polos malha fechada Polos malha fechada z12 0 4098 j0 095 z1 0 2828 e z2 0 1792 z1 0 7014 e z2 0 1074 Kv 1 8165 Kv 1 3378 Kv 0 8782 ess 0 5505 ess 0 7475 ess 1 1387 Mp 3 96 Mp 26 42 Mp 72 93 tss 2 5 tss 3 0 tss 24 0 Ganho crítico Ganho crítico Ganho crítico Kc 5 2824 Kc 3 2513 Kc 2 34 Magno Meza UFABCEIARPPGMEC ESTA02117 Aula 7 33 93 Estabilidade relativa Conclusões As características da resposta transitória do sistema de controle em tempo discreto dependem do período de amostragem T T grande tem efeitos prejudiciais sobre a estabilidade relativa do sistema Para K dado aumentar T faz com que o sistema de controle em tempo discreto seja menos estável ou se torne instável Ao reduzir T é permitido que o valor crítico de K seja maior para estabilidade observe a Tabela 1 Reduzir T mais e mais faz que o sistema se comporte como um sistema em tempo contínuo Para um sistema de segunda ordem o coeficiente de amortecimento relativo ζ é indicador da estabilidade relativa Mp só se a frequência de amostragem for suficientemente alta Se a frequência de amostragem for baixa predizer a estabilidade relativa a partir do valor do fator de amortecimento relativo ζ será errado Magno Meza UFABCEIARPPGMEC ESTA02117 Aula 7 34 93 Estabilidade relativa 15 1 05 0 05 1 15 1 08 06 04 02 0 02 04 06 08 1 System sysdma Gain 516 Pole 0951 Damping Overshoot Frequency rads System sysdma Gain 0464 Pole 0717 Damping Overshoot Frequency rads System sysdma Gain 215 Pole 0368 Damping Overshoot Frequency rads System sysdma Gain 201 Pole 0408 00917i Damping Overshoot Frequency rads LGR para T05 e polos com K2 Eixo real Eixo imaginário Figura 4 T 0 5 s Magno Meza UFABCEIARPPGMEC ESTA02117 Aula 7 35 93 Estabilidade relativa 15 1 05 0 05 1 15 1 08 06 04 02 0 02 04 06 08 1 System sysdma Gain 323 Pole 0989 Damping Overshoot Frequency rads System sysdma Gain 0619 Pole 0496 Damping Overshoot Frequency rads System sysdma Gain 161 Pole 0161 Damping Overshoot Frequency rads System sysdma Gain 22 Pole 0319 Damping Overshoot Frequency rads LGR para T1 e polos com K2 Eixo real Eixo imaginário Figura 5 T 1 0 s Magno Meza UFABCEIARPPGMEC ESTA02117 Aula 7 36 93 Estabilidade relativa 15 1 05 0 05 1 15 1 08 06 04 02 0 02 04 06 08 1 System sysdma Gain 237 Pole 103 Damping Overshoot Frequency rads System sysdma Gain 078 Pole 023 000856i Damping Overshoot Frequency rads System sysdma Gain 128 Pole 000121 Damping Overshoot Frequency rads LGR para T2 e polos com K2 Eixo real Eixo imaginário Figura 6 T 2 0 s Magno Meza UFABCEIARPPGMEC ESTA02117 Aula 7 37 93 Estabilidade relativa 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 0 02 04 06 08 1 12 14 Resposta ao degrau para T 05 Mp 39617 ts25 Tempo Amplitude Figura 7 T 0 5 s Magno Meza UFABCEIARPPGMEC ESTA02117 Aula 7 38 93 Estabilidade relativa 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 0 02 04 06 08 1 12 14 Resposta ao degrau para T 1 Mp 264241 ts3 Tempo Amplitude Figura 8 T 1 0 s Magno Meza UFABCEIARPPGMEC ESTA02117 Aula 7 39 93 Estabilidade relativa 0 5 10 15 20 25 30 0 02 04 06 08 1 12 14 16 18 Resposta ao degrau para T 2 Mp 729329 ts24 Tempo Amplitude Figura 9 T 2 0 s Magno Meza UFABCEIARPPGMEC ESTA02117 Aula 7 40 93 Estabilidade relativa 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 08 1 12 14 16 18 2 Esforço de controle da resposta ao degrau para T 05 Tempo Amplitude Figura 10 T 0 5 s Magno Meza UFABCEIARPPGMEC ESTA02117 Aula 7 41 93 Estabilidade relativa 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 08 1 12 14 16 18 2 Esforço de controle da resposta ao degrau para T 1 Tempo Amplitude Figura 11 T 1 0 s Magno Meza UFABCEIARPPGMEC ESTA02117 Aula 7 42 93 Estabilidade relativa 0 5 10 15 20 25 30 02 04 06 08 1 12 14 16 18 2 Esforço de controle da resposta ao degrau para T 2 Tempo Amplitude Figura 12 T 2 0 s Magno Meza UFABCEIARPPGMEC ESTA02117 Aula 7 43 93 Estabilidade relativa 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Tempo Amplitude Resposta à rampa para T 05 ess055051 Kv 18165 Figura 13 T 0 5 s Magno Meza UFABCEIARPPGMEC ESTA02117 Aula 7 44 93 Estabilidade relativa 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Tempo Amplitude Resposta à rampa para T 1 ess074749 Kv 13378 Figura 14 T 1 0 s Magno Meza UFABCEIARPPGMEC ESTA02117 Aula 7 45 93 Estabilidade relativa 0 5 10 15 20 25 30 0 5 10 15 20 25 30 Tempo Amplitude Resposta à rampa para T 2 ess11387 Kv 08782 Figura 15 T 2 0 s Magno Meza UFABCEIARPPGMEC ESTA02117 Aula 7 46 93 Sumário 1 Projeto baseado no lugar geométrico das raízes 2 Procedimento geral para construir o lugar geométrico das raízes 3 Cancelamento polozero 4 Estabilidade relativa 5 Projeto baseado no método do lugar das raízes 6 Projeto do compensador por atraso de fase 7 Projeto do compensador por avanço de fase 8 Projeto do compensador por atrasoavanço de fase 9 Controladores discreto da família PID 10 Controlador PID discreto 11 Controlador PD discreto 12 Controlador PI discreto Magno Meza UFABCEIARPPGMEC ESTA02117 Aula 7 47 93 Projeto baseado no método do lugar das raízes O procedimento de projeto é adicionar polos e zeros via um controle discreto de maneira que desloque o lugar geométrico das raízes da equação característica para um local mais apropriado no plano z Considere o sistema mostrado na Figura 16 o qual tem a equação característica 1 KGczGz 0 7 Rz Cz Gcz Gps 1 eTs s Figura 16 Sistema de controle discreto Magno Meza UFABCEIARPPGMEC ESTA02117 Aula 7 48 93 Projeto baseado no método do lugar das raízes no qual K é o ganho adicionado que é variado para gerar o lugar geométrico das raízes Então um ponto zk que fica no lugar geométrico das raízes dado pela equação 7 z zk se segue K 1 GczkGzk 8 GczkGzk 180 9 Desde que seja permitido que o ganho K varie de 0 até infinito um valor de K sempre existirá de maneira que a equação 8 seja satisfeita Então a condição para que um ponto zk esteja no lugar geométrico das raízes é simplesmente a equação 9 Magno Meza UFABCEIARPPGMEC ESTA02117 Aula 7 49 93 Sumário 1 Projeto baseado no lugar geométrico das raízes 2 Procedimento geral para construir o lugar geométrico das raízes 3 Cancelamento polozero 4 Estabilidade relativa 5 Projeto baseado no método do lugar das raízes 6 Projeto do compensador por atraso de fase 7 Projeto do compensador por avanço de fase 8 Projeto do compensador por atrasoavanço de fase 9 Controladores discreto da família PID 10 Controlador PID discreto 11 Controlador PD discreto 12 Controlador PI discreto Magno Meza UFABCEIARPPGMEC ESTA02117 Aula 7 50 93 Projeto do compensador por atraso de fase Este tipo de compensador é projetado quando os polos dominantes já pertencem ao lugar geométrico das raízes mas é necessário aumentar uma constante de erro estático de maneira a diminuir o erro de estado estacionário Consideremos o compensador de primeira ordem como segue Gcz z zc z pc 10 no qual zc e pc são reais definamos a contribuição angular do compensador como sendo Gcz θ 11 Neste projeto o ganho K é utilizado para satisfazer o requerimento de erro de estado estacionário Magno Meza UFABCEIARPPGMEC ESTA02117 Aula 7 51 93 Projeto do compensador por atraso de fase Be Da equacao 11 a contribuicdo angular do compensador é ZZ pty 22 Pe zZojw no qual z o jw seja um par polos complexos conjugados desejados em malha fechada Como tratase de um compensador por atraso de fase a contribuicao devera ser negativa e como essa nao deve alterar significativamente o lugar geométrico das raizes a mesma devera estar contida no seguinte intervalo B 60 Magno Meza UFABCEIARPPGMEC ESTA02117 Aula 7 5293 Projeto do compensador por atraso de fase os Procedimento de projeto do compensador por atraso de fase Obter os polos dominantes em malha fechada Determinar o valor do ganho para satisfazer o requerimento de estado estacionario Escolher uma contribuicdo angular do compensador por atraso de fase dentro da faixa 560 Escolher arbitrariamente o zero Zz ou polo pe do compensador bem proximo a 1 obter p ou Z segundo o caso utilizando as equacdes 2k tg 0 0 w te 0 ope w Pc 12 w tg 9 0 pe tg 0 o w tg 0 oz wz Po DEFT 13 tg 0 0 zw Magno Meza UFABCEIARPPGMEC ESTA02117 Aula 7 5393 Projeto do compensador por atraso de fase Exemplo 4 Considere o sistema da Figura 16 com T 0 01 seg e Gps K ss 1s 2 Projetar um compensador por atraso de fase que resulta uma constante de erro estático de velocidade Kv de 5 s1 com mínima modificação da posição dos polos dominantes em malha fechada Magno Meza UFABCEIARPPGMEC ESTA02117 Aula 7 54 93 Projeto do compensador por atraso de fase Solução Solução no quadro Magno Meza UFABCEIARPPGMEC ESTA02117 Aula 7 55 93 Projeto do compensador por atraso de fase 10 8 6 4 2 0 2 6 4 2 0 2 4 6 LGR para T001 sem e com compensação Eixo real Eixo imaginário Figura 17 Lugar geométrico da raízes do sistema sem e com compensação Magno Meza UFABCEIARPPGMEC ESTA02117 Aula 7 56 93 Projeto do compensador por atraso de fase 0 10 20 30 40 50 60 70 80 0 02 04 06 08 1 12 14 Tempo Amplitude Resposta ao degrau para T 001 Sem compensação Com compensação Figura 18 Resposta ao degrau do sistema sem e com compensação Magno Meza UFABCEIARPPGMEC ESTA02117 Aula 7 57 93 Projeto do compensador por atraso de fase 0 10 20 30 40 50 60 70 80 0 10 20 30 40 50 60 70 80 Tempo Amplitude Resposta à rampa para T001 ess02 Kv 5 Sem compensação Com compensação Rampa Figura 19 Resposta à rampa do sistema sem e com compensação Magno Meza UFABCEIARPPGMEC ESTA02117 Aula 7 58 93 Sumário 1 Projeto baseado no lugar geométrico das raízes 2 Procedimento geral para construir o lugar geométrico das raízes 3 Cancelamento polozero 4 Estabilidade relativa 5 Projeto baseado no método do lugar das raízes 6 Projeto do compensador por atraso de fase 7 Projeto do compensador por avanço de fase 8 Projeto do compensador por atrasoavanço de fase 9 Controladores discreto da família PID 10 Controlador PID discreto 11 Controlador PD discreto 12 Controlador PI discreto Magno Meza UFABCEIARPPGMEC ESTA02117 Aula 7 59 93 Projeto do compensador por avanço de fase Consideremos o compensador de primeira ordem como mostrado na equação 10 e cuja contribuição angular é definida como na equação 11 a mesma deverá ser positiva As equações 12 e 13 serão utilizadas também para o projeto do compensador por avanço de fase Magno Meza UFABCEIARPPGMEC ESTA02117 Aula 7 60 93 Projeto do compensador por avanço de fase Procedimento projeto por avanço de fase 1 Escolher a posição da raíz desejada zd 2 Determinar a contribuição angular θ do compensador 3 Escolher o zero do compensador zc Para simplificar o procedimento localizase o zero do compensador para cancelar um polo de Gz Escolhido o zero do compensador utilizar a equação 13 para determinar o polo do compensador 4 Escolher o ganho K do sistema compensado ou a localização do polo do compensador pc zc de forma que o compensador seja de avanço de fase Magno Meza UFABCEIARPPGMEC ESTA02117 Aula 7 61 93 Projeto do compensador por avanço de fase Exemplo 5 Considere o seguinte sistema de controle digital Figura 20 na qual Gcz é o controlador discreto G1s 1 ss 2 Rz G1s Cz ZOH Gcz Figura 20 Sistema de controle digital No plano z projete um controlador digital de forma que os polos dominantes em malha fechada tenham ζ 0 5 e ts 2 s Determine o período de amostragem T s Obtenha a resposta do sistema de controle digital projetado para uma entrada degrau unitária e obtenha a constante de erro estático de velocidade Kv do sistema Magno Meza UFABCEIARPPGMEC ESTA02117 Aula 7 62 93 Projeto do compensador por avanço de fase Solução Solução no quadro Magno Meza UFABCEIARPPGMEC ESTA02117 Aula 7 63 93 Projeto do compensador por avanço de fase 0 05 1 15 2 25 3 35 4 0 02 04 06 08 1 12 14 Tempo Amplitude Mp 16285 ts202 Figura 21 Resposta ao degrau unitário Magno Meza UFABCEIARPPGMEC ESTA02117 Aula 7 64 93 Projeto do compensador por avanço de fase 0 05 1 15 2 25 3 35 4 4 2 0 2 4 6 8 10 12 14 16 Tempo Amplitude Esforço de controle Figura 22 Esforço de controle do sistema ao degrau unitário Magno Meza UFABCEIARPPGMEC ESTA02117 Aula 7 65 93 Sumário 1 Projeto baseado no lugar geométrico das raízes 2 Procedimento geral para construir o lugar geométrico das raízes 3 Cancelamento polozero 4 Estabilidade relativa 5 Projeto baseado no método do lugar das raízes 6 Projeto do compensador por atraso de fase 7 Projeto do compensador por avanço de fase 8 Projeto do compensador por atrasoavanço de fase 9 Controladores discreto da família PID 10 Controlador PID discreto 11 Controlador PD discreto 12 Controlador PI discreto Magno Meza UFABCEIARPPGMEC ESTA02117 Aula 7 66 93 Projeto do compensador por atrasoavanço de fase Consideremos os compensadores de primeira ordem por atraso e por avanço de fase como mostrados na equação 10 e cuja contribuição angular é definida como na equação 11sendo negativa para o atraso e positiva para o avanço As equações 12 e 13 serão utilizadas também para o projeto do compensador por atrasoavanço de fase Magno Meza UFABCEIARPPGMEC ESTA02117 Aula 7 67 93 Projeto do compensador por atrasoavanço de fase Procedimento projeto do compensador por atrasoavanço de fase 1 Projetase um compensador por avanço de fase 2 Para o sistema resultante do passo anterior projetase um compensador por atraso de fase ou viceversa Magno Meza UFABCEIARPPGMEC ESTA02117 Aula 7 68 93 Projeto do compensador por atrasoavanço de fase Exemplo 6 Considere o seguinte sistema de controle digital Figura 23 na qual Gcz é o controlador discreto G1s 4 ss 0 5 Rz G1s Cz ZOH Gcz Figura 23 Sistema de controle digital No plano z projete um controlador digital de forma que os polos dominantes em malha fechada tenham ζ 0 5 e a frequência natural não amortecida de 5 rads e a constante de erro estático de velocidade seja de 80 s1 Determine o período de amostragem T s Obtenha a resposta do sistema de controle digital projetado para uma entrada degrau unitária e obtenha a constante de erro estático de velocidade Kv do sistema Magno Meza UFABCEIARPPGMEC ESTA02117 Aula 7 69 93 Projeto do compensador por atrasoavanço de fase Solução Solução no quadro Magno Meza UFABCEIARPPGMEC ESTA02117 Aula 7 70 93 Sumário 1 Projeto baseado no lugar geométrico das raízes 2 Procedimento geral para construir o lugar geométrico das raízes 3 Cancelamento polozero 4 Estabilidade relativa 5 Projeto baseado no método do lugar das raízes 6 Projeto do compensador por atraso de fase 7 Projeto do compensador por avanço de fase 8 Projeto do compensador por atrasoavanço de fase 9 Controladores discreto da família PID 10 Controlador PID discreto 11 Controlador PD discreto 12 Controlador PI discreto Magno Meza UFABCEIARPPGMEC ESTA02117 Aula 7 71 93 Controladores discreto da família PID O controle PID é muito utilizado no setor industrial devido a sua facilidade de sintonia e implementação motivo pelo qual será estudado e está composto por três termos que são o controle proporcional derivativo e integral veja Figura 24 O termo proporcional auxilia principalmente aumentando a velocidade da resposta do sistema o termo derivativo fornece uma ação preventiva para reduzir o sobresinal e as oscilações da resposta e o termo integral proporciona uma ação que reduz a área sob et o que leva à redução do erro de estado estacionário Magno Meza UFABCEIARPPGMEC ESTA02117 Aula 7 72 93 Controladores discreto da família PID KP KI s Es KDs Us Figura 24 Controlador PID continuo Para o projeto e implementação de um PID discreto é necessário estudarmos algumas aproximações numéricas De maneira gráfica se faz uma breve referência a três aproximações numéricas muito utilizadas como mostra a Figura 25 Magno Meza UFABCEIARPPGMEC ESTA02117 Aula 7 73 93 Controladores discreto da família PID Figura 25 Aproximações numéricas Magno Meza UFABCEIARPPGMEC ESTA02117 Aula 7 74 93 Controladores discreto da família PID Formas discretas de implementar a integração e derivação Aproximação integração retangular Backward ou Aproximação explícita de Euler GI cz KI T z 1 Aproximação integração retangular Forward ou Aproximação implícita de Euler GI cz KI Tz z 1 Aproximação integração de transformação Bilinear ou Método de Tustin GI cz KI T 2 z 1 z 1 Magno Meza UFABCEIARPPGMEC ESTA02117 Aula 7 75 93 Controladores discreto da familia PID ea Formas discretas de implementar a integracao e derivacao O método mais comum de aproximacdo da derivacdo de et em t T que resulta em uma funcdo de transferéncia realizavel fisicamente é rad ekT ek 1T dt tT T z1 Gz Kp c D Tz Magno Meza UFABCEIARPPGMEC ESTA02117 Aula 7 76 93 Sumário 1 Projeto baseado no lugar geométrico das raízes 2 Procedimento geral para construir o lugar geométrico das raízes 3 Cancelamento polozero 4 Estabilidade relativa 5 Projeto baseado no método do lugar das raízes 6 Projeto do compensador por atraso de fase 7 Projeto do compensador por avanço de fase 8 Projeto do compensador por atrasoavanço de fase 9 Controladores discreto da família PID 10 Controlador PID discreto 11 Controlador PD discreto 12 Controlador PI discreto Magno Meza UFABCEIARPPGMEC ESTA02117 Aula 7 77 93 Controlador PID discreto KP GI cz Ez Uz GD c z Figura 26 Controlador PID discreto Gcz KP GI cz GD c z Magno Meza UFABCEIARPPGMEC ESTA02117 Aula 7 78 93 Controlador PID discreto Aproximação integração retangular Backward ou Aproximação explícita de Euler Gcz KPT KDz2 KIT 2 KPT 2KDz KD Tzz 1 Aproximação integração retangular Forward ou Aproximação implícita de Euler Gcz KPT KD KIT 2z2 KPT 2KDz KD Tzz 1 Aproximação integração de transformação Bilinear ou Método de Tustin Gcz 2KPT 2KD KIT 2z2 KIT 2 2KPT 4KDz 2KD 2Tzz 1 O controlador PID discreto tem dois polos um em z 0 e outro em z 1 Também tem dois zeros que podem ser reais ou um par complexo conjugado Magno Meza UFABCEIARPPGMEC ESTA02117 Aula 7 79 93 Sumário 1 Projeto baseado no lugar geométrico das raízes 2 Procedimento geral para construir o lugar geométrico das raízes 3 Cancelamento polozero 4 Estabilidade relativa 5 Projeto baseado no método do lugar das raízes 6 Projeto do compensador por atraso de fase 7 Projeto do compensador por avanço de fase 8 Projeto do compensador por atrasoavanço de fase 9 Controladores discreto da família PID 10 Controlador PID discreto 11 Controlador PD discreto 12 Controlador PI discreto Magno Meza UFABCEIARPPGMEC ESTA02117 Aula 7 80 93 Controlador PD discreto No qual KI 0 Gcz KPT KDz KD Tz O controlador PD discreto tem um polo em z 0 e um zero em KDKPT KD os quais ficam no eixo real positivo dentro do círculo unitário O controlador PD é um caso especial do controlador por avanço de fase Magno Meza UFABCEIARPPGMEC ESTA02117 Aula 7 81 93 Sumário 1 Projeto baseado no lugar geométrico das raízes 2 Procedimento geral para construir o lugar geométrico das raízes 3 Cancelamento polozero 4 Estabilidade relativa 5 Projeto baseado no método do lugar das raízes 6 Projeto do compensador por atraso de fase 7 Projeto do compensador por avanço de fase 8 Projeto do compensador por atrasoavanço de fase 9 Controladores discreto da família PID 10 Controlador PID discreto 11 Controlador PD discreto 12 Controlador PI discreto Magno Meza UFABCEIARPPGMEC ESTA02117 Aula 7 82 93 Controlador PI discreto No qual KD 0 Aproximação integração retangular Backward ou Aproximação explícita de Euler Gcz KPzKP KIT z 1 Aproximação integração retangular Forward ou Aproximação implícita de Euler Gcz KP KIz KP z 1 Aproximação integração de transformação Bilinear ou Método de Tustin Gcz 2KP KITz KIT 2KP 2z 1 O controlador PI é um caso especial do controlador por atraso de fase Magno Meza UFABCEIARPPGMEC ESTA02117 Aula 7 83 93 Controlador PD discreto Exemplo 7 Considere o seguinte sistema de controle digital Figura 27 na qual Gcz é o controlador discreto G1s 1 ss 2 Rz G1s Cz ZOH Gcz Figura 27 Sistema de controle digital No plano z projete um controlador digital PD de forma que os polos dominantes em malha fechada tenham ζ 0 5 e ts 2 s Supondo que o período de amostragem T 0 02 s obtenha a resposta do sistema de controle digital projetado para uma entrada degrau unitária e obtenha a constante de erro estático de velocidade Kv do sistema Magno Meza UFABCEIARPPGMEC ESTA02117 Aula 7 84 93 Controlador PD discreto Solução Solução no quadro Magno Meza UFABCEIARPPGMEC ESTA02117 Aula 7 85 93 Controlador PD discreto 3 25 2 15 1 05 0 05 1 15 2 2 15 1 05 0 05 1 15 2 05 Root Locus Real Axis Imaginary Axis Figura 28 Lugar geométrico da raízes do sistema sem e com compensação Magno Meza UFABCEIARPPGMEC ESTA02117 Aula 7 86 93 Controlador PD discreto 0 05 1 15 2 25 3 35 4 0 01 02 03 04 05 06 07 08 09 1 Tempo Amplitude Resposta ao degrau unitário Mp 0 ts 096 Figura 29 Resposta ao degrau do sistema com controle PD Magno Meza UFABCEIARPPGMEC ESTA02117 Aula 7 87 93 Controlador PD discreto 0 05 1 15 2 25 3 35 4 50 0 50 100 150 200 Tempo Amplitude Esforço de controle Figura 30 Esforço de controle a uma entrada degrau unitária Magno Meza UFABCEIARPPGMEC ESTA02117 Aula 7 88 93 Controlador PI discreto Exemplo 8 Considere o seguinte sistema de controle digital Figura 31 na qual Gcz é o controlador discreto G1s 1 s 1s 10 Rz G1s Cz ZOH Gcz Figura 31 Sistema de controle digital No plano z projete um controlador digital de forma que o sistema tenha erro de estado estacionário nulo um coeficiente de amortecimento de 0 7 e um tempo de assentamento de 1 s Supondo que o período de amostragem é T 0 02 s obtenha a resposta do sistema de controle digital projetado para uma entrada degrau unitária e obtenha a constante de erro estático de velocidade Kv do sistema Magno Meza UFABCEIARPPGMEC ESTA02117 Aula 7 89 93 Controlador PI discreto Solução Solução no quadro Magno Meza UFABCEIARPPGMEC ESTA02117 Aula 7 90 93 Controlador PID discreto Exemplo 9 Considere o seguinte sistema de controle digital Figura 32 na qual Gcz é o controlador discreto G1s 1 ss 2 Rz G1s Cz ZOH Gcz Figura 32 Sistema de controle digital No plano z projete um controlador digital PID de forma que os polos dominantes em malha fechada tenham ζ 0 5 e ts 2 s Supondo que o período de amostragem T 0 02 s obtenha a resposta do sistema de controle digital projetado para uma entrada degrau unitária e obtenha a constante de erro estático de velocidade Kv do sistema Magno Meza UFABCEIARPPGMEC ESTA02117 Aula 7 91 93 Controlador PID discreto Solução Solução no quadro Magno Meza UFABCEIARPPGMEC ESTA02117 Aula 7 92 93 Bibliografia I OGATA K DiscreteTime Control Systems New Jersey Prentiece Hall 1995 Magno Meza UFABCEIARPPGMEC ESTA02117 Aula 7 93 93