Determinantes e Independencia Linear - Resolvendo Equacoes Lineares com Algebra Matricial

Capítulo 6 Resolvendo Equações Lineares com Álgebra Matricial 61 DETERMINANTES E INDEPENDÊNCIA LINEAR Para que exista uma solução única um sistema de equações deve ter tantas equações independentes e consistentes quanto as variáveis como foi explicado no Capítulo 4 Para testar um sistema de equações lineares para dependência linear ou independência o determinante da matriz de coeficientes A é usado O determinante A de uma matriz 2 x 2 chamado de determinante de segunda ordem é obtido tomando o produto dos dois elementos na diagonal principal e subtraindose dele o produto dos dois elementos da diagonal secundária Dada uma matriz geral 2 x 2 A o determinante é A a11a22 a21a12 O determinante A que pode ser encontrado apenas para matrizes quadradas é um número único ou escalar Se A 0 dizse que o determinante desaparece e a matriz é chamada singular Uma matriz singular é aquela em que há dependência linear entre pelo menos duas das linhas ou colunas Se A 0 a matriz é não singular o que significa que todas as suas linhas e colunas são linearmente independentes O posto p de uma matriz é determinado pelo número máximo de linhas ou colunas linearmente independentes na matriz Veja o Exemplo 1 e o Problema 61 EXEMPLO 1 Os determinantes são calculados da seguinte forma dados Multiplicando os elementos na diagonal principal da esquerda para a direita 7 5 e subtraindo desse produto o produto dos elementos da diagonal principal 4 6 temos A 7 5 4 6 11 Como A 0 a matriz é não singular o que significa que não há dependência linear entre suas linhas ou colunas Com ambas as linhas e colunas linearmente independentes o posto de A é 2 escrita p A 2 Em contraste B 8 3 12 2 0 Como B 0 B é singular e existe dependência linear entre suas linhas e colunas Uma inspeção mais próxima revela que a linha 1 é igual a 4 vezes a linha 2 e a coluna 2 é igual a 15 vezes a coluna 1 Com apenas uma linha e coluna independentes p B 1 62 DETERMINANTES DE TERCEIRA ORDEM O determinante de uma matriz 3 x 3 chamado de determinante de terceira ordem pode ser encontrado de várias maneiras diferentes O método mais simples é apresentado aqui com referências a meios mais sofisticados listados abaixo Dado 1 Escreva a matriz da forma original e à direita repita as duas primeiras colunas como na Fig 61 2 Multiplique cada um dos três elementos na primeira linha da matriz original pelos dois elementos aos quais eles estão conectados por uma linha inclinada para baixo e adicione seus produtos 3 Multiplique cada um dos três elementos na última linha da matriz original pelos dois elementos aos quais eles estão conectados por uma linha inclinada para cima e subtraia a soma de seus produtos do total anterior Desta forma A a11a22a33 a12a23a31 a13a21a32 a31a22a13 a32a23a11 a33a21a12 A a11a22a33 a12a23a31 a13a21a32 a31a22a13 a32a23a11 a33a21a12 Para os métodos mais universais de expansão e cofator que são aplicáveis a todas as matrizes quadradas de quaisquer dimensões veja Dowling Schaums Outline of Introduction to Mathematical Economics Seções 113 e 114 Problemas 1123 a 1130 9 1 8 EXEMPLO 2 Dado que A Solução 4 6 5 3 7 2 ache A A 9 6 2 1 5 3 8 4 7 3 6 8 7 5 9 2 4 1 A 108 15 224 144 315 8 347 467 120 Como A 1 A é não singular e p A 3 Veja também o Problema 62 Para propriedades importantes de determinantes e suas aplicações veja Seção 115 e Problemas 114 a 1120 63 REGRA DE CRAMER PARA RESOLVER EQUAÇÕES LINEARES Além de testar a dependência linear os determinantes também podem ser úteis na solução de um sistema de equações lineares Um desses métodos é a regra de Cramer A regra de Cramer afirma que onde xi é a iésima variável desconhecida em um sistema de equações A é o determinante da matriz de coeficientes e Ai é o determinante de uma matriz especial formada a partir da matriz do coeficiente original substituindo a coluna de coeficientes de xi com o vetor coluna de constantes Veja os Exemplos 3 e 4 e os Problemas 63 e 64 EXEMPLO 3 A regra de Cramer é usada abaixo para resolver o sistema 2 x 2 de equações lineares 3x 8x 7x 9x 41 61 1 Expresse as equações em forma de matriz AX B 2 Encontre o determinante de A A 3 9 7 8 29 Como A 0 A é não singular e as duas equações são linearmente independentes A possibilidade de uma solução única existe 3 Para encontrar a solução para x1 substitua a coluna 1 de A que contém os coeficientes de x1 pelo vetor coluna das constantes B formando uma nova matriz A1 Encontre o determinante de A1 A1 41 9 7 61 58 e use a fórmula da regra de Cramer 2 4 Para encontrar o valor de x2 substitua a coluna 2 de A que contém os coeficientes de x2 com o vetor coluna de constantes B formando uma nova matriz A2 EXEMPLO 4 O sistema de 3 x 3 de equações lineares abaixo é resolvido com a regra de Cramer Encontrando o determinante de A usando o método do Exemplo 2 A 4 1 1 2 8 5 7 3 3 5 1 7 3 8 4 1 3 2 4 80 63 35 96 6 147 137 10 0 Formando uma nova matriz A1 substituindo a coluna 1 de A os coeficientes de x1 com a coluna de constantes B em preparação para encontrar x1 Encontrando o determinante de A1 A1 35 1 1 2 8 40 7 25 3 40 1 7 3 8 35 1 25 2 35 640 525 280 840 50 1200 1170 30 e usando a fórmula da regra de Cramer Substituindo a coluna 2 da matriz original A pela coluna de constantes B para encontrar x 2 Formando uma nova matriz A3 substituindo a coluna 3 de A pela coluna de constantes em preparação para encontrar x3 Um benefício da regra de Cramer é que ela permite a solução de uma variável sem resolver todo o sistema Veja os Problemas 68 a 614 64 MATRIZES INVERSAS Uma matriz inversa A1 que existe apenas para uma matriz quadrada não singular A é uma matriz única satisfazendo a relação AA1 I A1A Portanto multiplicar uma matriz pela sua inversa resulta numa matriz identidade Desta forma a matriz inversa na álgebra linear desempenha muito a função do número inverso ou recíproco na álgebra comum A inversão de uma matriz com o método gaussiano é explicada na Seção 65 A derivação de uma matriz inversa a partir da matriz adjunta é demonstrada em Dowling Schaums Outline ofIntroduction to Mathematical Economics Section 117 and Problem 1131 65 MÉTODO GAUSSIANO DE ENCONTRAR UMA MATRIZ INVERSA O método gaussiano é uma maneira conveniente de inverter uma matriz Basta configurar uma matriz aumentada com a matriz de identidade à direita Em seguida aplique as operações de linha até que a matriz de coeficientes à esquerda seja convertida em uma matriz de identidade Nesse ponto a matriz à direita será a matriz inversa A justificativa para esse método pode ser vista em algumas etapas matemáticas Começando com a matriz aumentada A I e multiplicando ambos os lados pela matriz inversa A1 A1 Al IA1 Da Seção 64 e do Problema 531 isso reduz para I A1 Em que a matriz identidade está agora à esquerda e a matriz inversa está à direita Veja o Exemplo 5 e os Problemas 65 a 67 EXEMPLO 5 Para usar o método de eliminação de Gauss para encontrar a inversa configurar uma matriz aumentada com a matriz de identidade à direita Em seguida reduza a matriz de coeficientes à esquerda para uma matriz de identidade aplicando as operações de linha descritas nas Seções 59 e 510 da seguinte maneira l Divida a linha 1 por 4 para obter 1 na posição a11 Subtraia 3 vezes a linha 1 da linha 2 e 5 vezes a linha 1 da linha 3 para limpar a primeira coluna 1 05 175 025 0 0 0 05 275 075 1 0 0 05 775 125 0 1 2 Multiplique a linha 2 por 2 para obter 1 na posição a22 Subtraia 2 vezes a linha 2 da linha 1 e da linha 3 para limpar a segunda coluna 1 0 45 05 1 0 0 1 55 15 2 0 0 0 5 2 1 1 3 Divida a linha 3 por 5 para obter 1 na posição a33 Subtrair 45 vezes a linha 3 da linha 1 e adicionar 55 vezes a linha 3 com a linha 2 para limpar a terceira coluna 1 0 0 23 19 09 0 1 0 37 31 11 0 0 1 04 02 02 Com a matriz identidade agora à esquerda podemos identificar a matriz inversa à direita que quando simplificada lêse A1 é igual a 23 19 09 37 31 11 04 02 02 EXEMPLO 6 Como por definição AA1 I a precisão de uma inversa sempre pode ser verificada multiplicandose a matriz original pela inversa para certificarse de que o produto é uma matriz identidade Usando A e A 1 do Exemplo 5 Observe que ao verificar uma matriz inversa testando o produto de A1A cada elemento na diagonal principal da matriz do produto deve ser igual a 1 e cada elemento da diagonal principal deve ser igual a 0 Isso é conveniente porque se tiver ocorrido um erro apenas os elementos correspondentes aos elementos que não são iguais a 0 ou 1 nos locais apropriados devem ser verificados 66 RESOLVENDO EQUAÇÕES LINEARES COM UMA MATRIZ INVERSA Uma matriz inversa pode ser usada para resolver equações matriciais Se Anxn Xnx1 Bnx1 e o inverso A1 existe a multiplicação de ambos os lados da equação por A1 seguindo as leis de conformabilidade tem como resultado A1nxn Anxn Xnxl A1nxn Bnxl Observe acima que A1 é conformável com Anxn Xnxl e Bnxl somente pela esquerda Agora da Seção 64 A1A I então Inxn Xnxl A1 nxn Bnxl Xnxl A1nxn Bnxl A solução do sistema de equações é dada pelo produto do inverso da matriz de coeficientes A1 e o vetor de coluna das constantes B que por sua vez será um vetor de coluna Veja o Exemplo 7 e os Problemas 65 a 67 e 615 EXEMPLO 7 A inversão de matriz é usada abaixo para resolver o sistema de equações do Exemplo 4 para x1 x2 e x3 que na forma de matriz Substituindo a inversa A1 que foi encontrada no Exemplo 5 e multiplicando Assim compare esta resposta e o trabalho envolvido com o do Exemplo 4 em que o mesmo problema foi resolvido com a regra de Cramer 67 DETERMINANTES ESPECIAIS Para determinantes especiais que têm usos importantes para a economia os negócios e a matemática em geral como o jacobino o hessiano o hessiano fronteiriço e o discriminante ver Dowling Introdução à economia matemática capítulo 12 Problemas resolvidos DETERMINANTES 61 Para cada uma das seguintes matrizes 2 x 2 encontre o determinante para determinar se a matriz é singular ou não singular e indique a posto da matriz A 5 4 2 9 2 Com A 0 A não é singular As linhas e colunas portanto são linearmente independentes Com duas linhas e colunas linearmente independentes o posto de A é 2 p A 2 b B 12 20 15 11 B 12 11 2015 168 B é não singular p B 2 c Com C 0 C é singular Há dependência linear entre suas linhas e colunas Como há na verdade apenas uma linha independente e uma coluna independente p C 1 Uma inspeção mais detalhada revela que a linha 1 é 15 vezes a linha 2 e a coluna 2 é 125 vezes a coluna 1 d O determinante não existe porque apenas as matrizes quadradas têm determinantes Com apenas duas linhas a posto mais alta possível da matriz é 2 p D 2 62 Para cada uma das seguintes matrizes 3 x 3 encontre o determinante e indique a posto da matriz a Escrevendo a matriz original e repetindo as duas primeiras colunas Como A 0 A é não singular Todas as três linhas e colunas são linearmente independentes e pA 3 b B não é singular p B 3 c Como C 0 C é singular e todas as três linhas e colunas não são linearmente independentes Portanto p C 0 3 Embora o teste determinante aponte para a existência de dependência linear ele não especifica a natureza da dependência Aqui a linha 3 é 175 vezes a linha 2 Para testar se duas linhas ou colunas em C são independentes aplique o teste determinante às várias submatrizes Começando com a submatriz 2 x 2 no canto superior esquerdo Com C 0 existem duas linhas e colunas linearmente independentes em C e p C 2 REGRA DO CRAMER 63 Use a regra de Cramer para resolver as variáveis desconhecidas em cada um dos seguintes sistemas 2 x 2 de equações simultâneas a 8x1 3x2 14 9x1 2x2 24 Expressando as equações em forma de matriz Substituindo a primeira coluna de A que contém os coeficientes da primeira variável x1 com a coluna de constantes B e tomando o determinante Em seguida substituindo a segunda coluna da matriz A original que contém os coeficientes da segunda variável x2 com a coluna de constantes B b l0x 12y 27 18x 4y 55 Resolvendo para x a primeira variável como na parte a Agora resolvendo para y a segunda variável também como na parte a c 15p1 4p2 39 7p1 22p2 163 d 20Q1 45Q2 950 36Q1 50Q2 1400 64 Use a regra de Cramer para resolver as variáveis desconhecidas em cada um dos seguintes sistemas 3x3 de equações simultâneas a 3X1 8X2 2X3 67 4X1 6X2 9X3 36 7X1 X2 5X3 49 Resolvendo para x1 x2 e x3 b 5p1 p2 2p3 6 2pl 9p2 p3 14 3p1 p2 8p3 58 c 16x 3y 10z 8 4x 18y 14z 12 28x 42y 6z 18 MATRIZES INVERSAS 65 a Encontre a matriz inversa A1 e b resolva as variáveis desconhecidas usando a matriz inversa dado que 3X1 7X2 41 8X1 9X2 61 a Usando o método de eliminação de Gauss da Seção 65 e Exemplo 5 e configurando a matriz aumentada A matriz inversa foi obtida seguindo os passos l Multiplicando a linha 1 por 3 para obter 1 na posição a11 2 Subtraindo 8 vezes a linha 1 da linha 2 para limpar a coluna 1 3 Multiplicando a linha 2 por 29 para obter 1 na posição a22 4 Subtraindo 3 vezes a linha 2 da linha 1 para limpar a coluna 2 5 A matriz de identidade agora fica à esquerda da barra e a inversa à direita b Para achar a solução do sistema seguiuse o procedimento da Seção 66 e Exemplo 7 Compare as respostas e o trabalho envolvido com o Exemplo 3 em que o mesmo problema foi resolvido usando a regra de Cramer 66 Refaça o problema 65 dado que 8X1 3X2 14 9X1 2x2 24 Foram seguidos os seguintes passos para achar a matriz inversa 1 Configurando a matriz aumentada 2 Multiplicando a linha 1 por 18 para obter 1 na posição a11 3 Subtraindo 9 vezes a linha 1 da linha 2 para limpar a coluna 1 4 Multiplicando a linha 2 por 811 para obter 1 na posição a22 5 Subtraindo 38 vezes a linha 2 da linha 1 para limpar a coluna 2 6 A matriz identidade fica agora no lado esquerdo da barra e a inversa à direita da barra b A solução do sistema é encontrada multiplicando as duas matrizes A 1 e B usando operações simples de coluna e linha Compare as respostas aqui com as do Problema 63 a 67 Refazer o Problema 65 dado que 3x1 8x2 2x3 67 4x1 6x2 9x3 36 7x1 x2 5x3 49 Para achar a inversa foram seguidos os passos l Multiplique a linha 1 por 13 para obter 1 na posição a11 2 Subtraia 4 vezes a linha 1 da linha 2 e 7 vezes a linha 1 da linha 3 para limpar a primeira coluna 3 Multiplique a linha 2 por 314 para obter 1 na posição a22 4 Subtrair 83 vezes a linha 2 da linha 1 e adicionar 533 vezes a linha 2 à linha 3 para limpar a segunda coluna 5 Multiplique a linha 3 por 14331 para obter 1 na posição a33 6 Subtraia 307 vezes a linha 3 da linha 1 e adicione 1914 vezes a linha 3 à linha 2 para limpar a terceira coluna 7 A matriz identidade está à esquerda A inversa à direita b Compare estas respostas com as do Problema 64 a APLICAÇÕES ECONÔMICAS E DE NEGÓCIOS 68 Use a regra de Cramer para encontrar o nível de equilíbrio do preço P e da quantidade Q dados Oferta 7P 14Q 42 Demanda 3P 12Q 90 Compare com o Problema 425 Problemas Suplementares DETERMINANTES 616 Encontre os determinantes de cada uma das seguintes matrizes 2 x 2 617 Encontre os determinantes de cada uma das seguintes matrizes 3 x 3 REGRA DE CRAMER 618 Use a regra de Cramer para resolver cada um dos seguintes sistemas de equações a 4x 5y 92 7x 6y 128 b 13x 4y 29 8x 9y 41 c 2x 7y 26 3x 5y 8 d 6x 7y 244 15x 8y 202 619 Resolva cada uma das seguintes equações usando a regra de Cramer a 3X1 7X2 4X3 11 2X1 8X2 5X3 18 9X1 6X2 2X3 53 b 5x1 8x2 2x3 59 6x1 4x2 7x3 52 x1 9x2 4x3 90 c 4x1 9x2 2x3 28 2x1 7x3 53 5x2 8x3 50 d 4x2 3x3 57 8x1 5x3 7 6x1 7x2 78 MATRIZES INVERSAS 620 Encontre a matriz inversa para cada uma das seguintes matrizes 2 x 2 621 Encontre a matriz inversa para cada uma das seguintes matrizes 3 x 3 NEGÓCIOS E APLICAÇÕES ECONÔMICAS 622 Use a regra de Cramer ou a inversão de matrizes para encontrar o preço de equilíbrio Pe e a quantidade Qe em cada um dos seguintes mercados a Oferta 8P 16Q 400 Demanda 5P 20Q 710 b Oferta 7P 21Q 546 Demanda 22P 11Q 440 c Oferta 30P 6Q 492 Demanda 16P3 2T 304 d Oferta 6P 24Q 2130 Demanda 15P 5Q 525