Movimento Oscilatório - Periodico Harmonico Simples e Sistema Massa-Mola

1 MOVIMENTO OSCILATÓRIO Movimentos oscilatórios periódicos Movimento harmónico simples MHS Sistema massamola Representação matemática do MHS Representação gráfica do MHS Definição de frequência e período Equações de movimento do MHS Energia no MHS Pendulo simples Oscilações amortecidas Oscilações forçadas MOVIMENTO OSCILATÓRIO Estamos familiarizados com diversos tipos de movimentos oscilatórios periódicos 2 mais exemplos de movimento oscilatório 3 outros exemplos de movimento oscilatório 4 Eletrões vibram em torno do núcleo frequência alta 1014 1017 Hz Vibrações atómicas e moleculares para estados excitados Os núcleos das moléculas vibram frequência intermediária 1011 1013 Hz Vibrações das moléculas de água v1 symmetric stretch v3 asymmetric stretch v2 bend x y z librations 6 Symmetrical stretching Antisymmetrical stretching Scissoring Rocking Wagging Twisting Ligações de átomos de carbono com hidrogénio são importantes na química da vida Vibrações CH2 mais exemplos de movimento oscilatório 7 Os átomos num sólido não estão completamente imóveis Eles vibram com uma amplitude pequena em torno da sua posição de equilíbrio MOVIMENTO PERIÓDICO O movimento periódico é o movimento dum corpo que se repete regularmente O corpo volta a uma dada posição depois dum certo intervalo de tempo fixo É um tipo especial de movimento periódico e acontece quando a força que age sobre a partícula e é dirigida sempre para a posição de equilíbrio é proporcional ao deslocamento da partícula em relação a posição de equilíbrio O MOVIMENTO HARMÓNICO SIMPLES MHS kx Fs Lei de Hooke 8 MOVIMENTO DO SISTEMA MASSAMOLA Um bloco de massa m é ligado a uma mola O bloco se desloca numa superfície horizontal sem atrito Quando a mola não está esticada nem comprimida o bloco está na posição de equilíbrio x 0 Vimos anteriormente que pela Lei de Hooke que kx Fs k é a constante elástica sF força restauradora x deslocamento A força restauradora está sempre dirigida para o ponto de equilíbrio é sempre oposta ao deslocamento O movimento do sistema massamola é um movimento harmónico simples 9 O bloco é deslocado para a direita de x 0 A posição é positiva A força restauradora é dirigida para a esquerda O bloco é deslocado para a esquerda de x 0 A posição é negativa A força restauradora é dirigida para a direita O bloco está na posição de equilíbrio x 0 A mola não está nem esticada nem comprimida A força é 0 10 ACELERAÇÃO De acordo com a segunda lei de Newton m x k a ma kx ma Fs A aceleração é proporcional ao deslocamento do bloco A aceleração não é constante m A k a Se o bloco é largado de uma posição x A então a aceleração inicial é O bloco continua até x A onde a sua aceleração é Quando o bloco passa pelo ponto de equilíbrio O sentido da aceleração é oposto ao sentido do deslocamento sinal menos Num corpo que se mova com um movimento harmónico simples MHS a aceleração é proporcional ao seu deslocamento mas tem um sentido oposto ao deslocamento as equações cinemáticas não podem ser aplicadas m A k a 0 a 11 O bloco continua a oscilar entre A e A MOVIMENTO DO BLOCO Sistemas reais estão sujeitos a atrito portanto não oscilam indefinidamente A força é conservativa Na ausência de atrito o movimento continua para sempre 12 AS FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS SIN E COS RESPEITAM ESTES REQUISITOS REPRESENTAÇÃO MATEMÁTICA DO MOVIMENTO HARMÓNICO SIMPLES 2 2 d x k a x dt m 2 k m Tratamos o bloco como sendo uma partícula Escolhemos que a oscilação ocorre ao longo do eixo x Aceleração Definimos x a 2 x dt x d 2 2 2 ou Precisamos de uma função que satisfaça a equação diferencial de segunda ordem Procuramos uma função xt cuja segunda derivada é a mesma que a função original com um sinal negativo e multiplicada por Podemos construir uma solução com uma ou ambas as funções 2 13 Funções seno e cosseno senx cosx A fase do movimento é a quantidade Se a partícula está em x A para t 0 então REPRESENTAÇÃO GRÁFICA t A x t cos A seguinte função cos é uma solução da equação onde e A são constantes A é a amplitude do movimento esta é a posição máxima da partícula quer na direção positiva quer na negativa é a fase constante ou o ângulo de fase inicial é a frequência angular Unidade rads 0 xt é períodica e o seu valor é o mesmo cada vez que t aumenta de 2 radianos t 15 A caneta ligada ao corpo oscilante desenha uma curva sinusoidal no papel que está em movimento EXPERIÊNCIA Verificase assim a curva cosseno considerada anteriormente 16 O período T é o intervalo de tempo necessário para que a partícula faça um ciclo completo do seu movimento Os valores de x e v da partícula no instante t são iguais aos valores de x e v em t T 2 T O inverso do período chamase frequência A frequência representa o nº de oscilações executadas pela partícula por unidade de tempo A unidade é o ciclo por segundo hertz Hz 1 ƒ 2 T DEFINIÇÕES 17 EQUAÇÕES DO MOVIMENTO NO MHS 18 t A x t cos t A dt dx v sin t A dt d x a cos 2 2 2 m A k A v max m A k A a 2 max Energia cinética Energia Potencial 2 2 1 2 2 1 sin t A m mv K t kA K 2 2 2 1 sin 2 2 1 2 2 1 cos t k A kx U t kA U 2 2 2 1 cos ENERGIA NO MHS Energia do sistema massamola onde 2 2 k m m k 19 assim t A k 2 2 2 2 2 1 sin 20 U K EM 2 2 1 kA EM Energia Mecânica t kA t kA 2 2 2 1 2 2 2 1 cos sin 2 2 1 2 2 1 mv kx Pêndulo simples O pêndulo simples também pode exibir um movimento harmónico simples MHS O MHS acontece quando o fio faz um ângulo pequeno com a vertical pequena oscilação 21 Pêndulo simples Forças que atuam sobre a esfera 2 2 sin t d s F mg m dt mg P Peso Tensão T Força tangencial força restauradora O comprimento L do pêndulo é constante sin 2 2 L g dt d Para ângulos pequenos sin L g dt d 2 2 L s m x k dt x d 2 2 massa mola sistema Este resultado confirma que o movimento é o MHS 22 g L 2 2 L T g 23 A função que satisfaz a equação diferencial L g dt d 2 2 é cos max t onde é a frequencia angular o período cos sistema massa mola t A x 24 Exemplo 1 Considere um pêndulo de comprimento L com uma bola de massa M A bola está presa a uma mola de constante k Admita que o pêndulo e a mola estão simultaneamente em equilíbrio Determine para pequenas oscilações Resolução Mg Mg F sin pendulo kL kL kx F sin mola x kL Mg F F Ma mola pendulo M k L g ML M kL M L Mg L Força resultante que atua sobre a bola 2 M k L g ML 2 onde M k L g OSCILAÇÕES AMORTECIDAS Nos sistemas realistas estão presentes o ATRITO o movimento não oscila indefinidamente Neste caso a energia mecânica do sistema diminui no tempo e o movimento é conhecido como movimento amortecido Um exemplo de movimento amortecido A força de atrito pode ser expressa como kx bv ma F bv F atrito um corpo está ligado a uma mola e submerso num líquido viscoso dt kx b dx dt m d x 2 2 A equação do movimento amortecido é b é o coeficiente de amortecimento v a velocidade do corpo de massa m no fluido o atrito é proporcional à v 25 26 2 cos b t m x Ae t 2 2 k b m m OSCILAÇÕES AMORTECIDAS dt kx b dx dt m d x 2 2 A função x que satisfaz a equação diferencial é onde Exemplo Animations courtesy of Dr Dan Russell Kettering University OSCILAÇÕES FORÇADAS É possível compensar a perda de energia de um sistema amortecido aplicando uma força externa F t F dt kx b dx dt d x m 0 cosf 2 2 t F F 0 cosf A equação do movimento amortecido para oscilações forçadas é 27 A amplitude do movimento permanecerá constante se o aumento de energia for igual à diminuição da energia por cada ciclo Exemplo Animations courtesy of Dr Dan Russell Kettering University Quando a frequência angular da força aplicada frequência forçadaé igual à frequência angular natural ocorre um aumento na amplitude 0 4 0 0 2 2 2 2 0 2 0 f f F m A RESSONÂNCIA 0 f Amáximo A Chamase RESSONÂNCIA a esse aumento espectacular na amplitude 28 onde é a frequência angular natural do oscilador 2 2 2 2 0 2 0 4 f f F m A A amplitude de uma oscilação forçada é 0 onde é a frequência angular da força aplicada no oscilador f Foi estabelecida a condição de ressonância a ponte caiu 29 Exemplo 2Tacoma bridge 0 f Em 1940 ventos constantes causaram vibrações na ponte de Tacoma desencadeando sua oscilação numa frequência próxima de uma das frequências naturais da estrutura da ponte 134 O deslocamento de um objeto oscilando em função do tempo é mostrado na Figura 1330 Quais são a a frequência b a amplitude c o período d a frequência angular desse movimento xcm 100 100 ts 0 50 100 150 Figura 1330 Exercício 134 1323 Um corpo de 0500 kg ligado à extremidade de uma mola ideal de constante k 450 Nm executa um movimento harmônico simples com amplitude igual a 0040 m Calcule a a velocidade máxima do cavaleiro b a velocidade do cavaleiro quando ele está no ponto x 0015 m c o módulo da aceleração máxima do cavaleiro d a aceleração do cavaleiro quando ele está no ponto x 0015 m e a energia mecânica total do cavaleiro quando ele está em qualquer ponto 1336 Um disco metálico fino de massa igual a 20 x 103 kg e raio igual a 220 cm está suspenso em seu centro por uma longa fibra Figura 1332 O disco depois de torcido e libertado oscila com um período igual a 10 s Calcule a constante de torção da fibra 1355 Cada um dos dois pêndulos mostrados na Figura 1334 consiste em uma sólida esfera uniforme de massa M sustentado por uma corda de massa desprezível porém a esfera do pêndulo A é muito pequena enquanto a esfera do pêndulo B é bem maior Calcule o período de cada pêndulo para deslocamentos pequenos Qual das esferas leva mais tempo para completar uma oscilação 1391 Uma barra metálica delgada e homogênea de massa M possui um pivô em seu centro por onde passa um eixo perpendicular à barra Uma mola horizontal cuja constante é k possui uma extremidade presa na parte inferior da barra e sua outra extremidade está rigidamente presa a um suporte Quando a barra é deslocada formando um pequeno ângulo θ com a vertical Figura 1340 e libertada mostre que a oscilação é um movimento harmônico angular e calcule seu período Sugestão Suponha que o ângulo θ seja suficientemente pequeno para que as relações sen θ θ e cos θ 1 sejam aproximadamente válidas O movimento é harmônico simples quando d²θdt² ω²θ e o período é então dado por T 2πω 1368 Um bloco de massa M repousa sobre uma superfície sem atrito e está preso a uma mola horizontal cuja constante é k A outra extremidade da mola está presa a uma parede Figura 1336 Um segundo bloco de massa m repousa sobre o primeiro O coeficiente de atrito estático entre os blocos é μs Ache a amplitude máxima da oscilação para que o bloco superior não deslize sobre o bloco inferior 1389 Na Figura 1339 a esfera de cima é libertada a partir do repouso colide com a esfera de baixo que está em repouso e grudase a ela Ambas as molas têm 500 cm de comprimento A esfera de cima possui uma massa de 20 kg e está inicialmente a uma altura 100 cm acima da esfera de baixo cuja massa é igual a 30 kg Ache a frequência e o deslocamento angular máximo do movimento após a colisão