Limites em Cálculo Diferencial e Integral II: Estudo de Funções de Duas Variáveis

UNIVERSIDADE FEDERAL DO VALE DO SÃO FRANCISCO CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL II Prof Tuanny Maciel 20222 Limites O conceito de limite nos foi apresentado no Cálculo Diferencial e Integral I Sabemos que se trata de estudar o comportamento de uma função nas proximidades de um determinado ponto Por exemplo qual a velocidade de um carro imediatamente antes de se chocar contra uma parede Quanto de uma determinada droga existe na corrente sanguínea de um paciente imediatamente antes de receber outra dose E se a função que estamos trabalhando é de duas variáveis como devemos entender o conceito de limite Continuaremos em busca do comportamento da função nas proximidades de um ponto no entanto esse ponto tem duas coordenadas uma relativa a 𝑥 e outra relativa a 𝑦 Vejamos o que ocorre com a função 𝑓 𝑥 𝑦 𝑠𝑒𝑛 𝑥 2𝑦 2 𝑥 2𝑦 2 nas proximidades de 0 0 1 0 0 5 0 2 0 0 2 0 5 1 0 1 0 0 455 0 759 0 829 0 841 0 829 0 759 0 455 0 5 0 759 0 959 0 986 0 990 0 986 0 959 0 759 0 2 0 829 0 986 0 999 1 000 0 999 0 986 0 829 0 0 841 0 990 1 000 1 000 0 990 0 841 0 2 0 829 0 986 0 999 1 000 0 990 0 986 0 829 0 5 0 759 0 959 0 986 0 990 0 986 0 959 0 759 1 0 0 455 0 759 0 829 0 841 0 829 0 759 0 455 A tabela nos mostra que para pares ordenados próximos de os valores da função estão 0 0 próximos de Isso ainda ocorre quando tomamos pares ordenados mais próximos do ponto em 1 discussão O gráfico da função é dado abaixo Nele podemos observar que a função assume valores próximos de em pontos nas proximidades da origem do plano Essa aproximação é tanto 1 𝑥 𝑦 𝑥𝑦 melhor quanto menor é a distância entre o ponto 𝑥 𝑦 e 0 0 Analisemos agora a tabela com os valores da função 𝑔 𝑥 𝑦 𝑥 2𝑦 2 𝑥 2𝑦 2 para pares ordenados próximos de 0 0 1 0 0 5 0 2 0 0 2 0 5 1 0 1 0 0 000 0 600 0 923 1 000 0 923 0 600 0 000 0 5 0 600 0 000 0 724 1 000 0 724 0 000 0 600 0 2 0 923 0 724 0 000 1 000 0 000 0 724 0 923 0 1 000 1 000 1 000 1 000 1 000 1 000 0 2 0 923 0 724 0 000 1 000 0 000 0 724 0 923 0 5 0 600 0 000 0 724 1 000 0 724 0 000 0 600 1 0 0 000 0 600 0 923 1 000 0 923 0 600 0 000 Os dados acima não nos apontam um valor único do qual a função se aproxima Fixando o valor de e considerando valores de próximos de zero é constante igual a como vemos 𝑥 0 𝑦 𝑔 1 no gráfico abaixo x0 Se e está perto de zero a função é constante igual a 𝑦 0 𝑥 1 y0 Definição Dado o ponto e o número real a bola aberta de centro e raio é 𝑎 𝑏𝑅 2 𝑟 0 𝑎 𝑏 𝑟 o conjunto dos pontos cuja distância ao ponto é 𝐵 𝑎 𝑏 𝑟 𝑥𝑅 2 𝑎 𝑏 menor que 𝑟 𝐵 𝑎 𝑏 𝑟 𝑥𝑅 2 𝑥 𝑦 𝑎 𝑏 𝑟 Lembrese que a distância entre dois pontos e do plano é dada por 𝑥 𝑦 𝑎 𝑏 𝑥 𝑎 2 𝑦 𝑏 2 Definição Seja uma função de duas variáveis cujo domínio contém pontos arbitrariamente 𝑓 𝐷 próximos de Dizemos que o limite de quando tende a é e escrevemos 𝑎 𝑏 𝑓𝑥 𝑦 𝑥 𝑦 𝑎 𝑏 𝐿 𝑓 𝑥 𝑦 𝐿 se para todo número existe um número correspondente tal que se ε 0 δ 0 𝑥 𝑦 𝐷 𝑒 0 𝑥 𝑎 2 𝑦 𝑏 2 δ 𝑒𝑛𝑡ã𝑜 𝑓 𝑥 𝑦 𝐿 ε Em outros termos o que essa definição diz é que é o limite em de uma função de 𝐿 𝑎 𝑏 𝑓 duas variáveis se pudermos tornar os valores de tão próximos de quanto quisermos bastando para 𝑓 𝐿 isso tomar 𝑥 𝑦 suficientemente próximo de 𝑎 𝑏 Note que se pudermos tornar os valores de tão próximos de quanto quisermos temos 𝑓 𝐿 liberdade para escolher a distância máxima que esses valores podem estar de Chamamos essa 𝐿 distância de lêse épsilon Escolhido esse valor só queremos os pontos nas proximidades ε 𝑥 𝑦 de que façam com que a distância de para seja menor do que Para isso procuramos 𝑎 𝑏 𝑓 𝑥 𝑦 𝐿 ε qual raio deve ter a bola centrada em 𝑎 𝑏 que faça com que todos os seus pontos tenham imagem dentro do intervalo escolhido Esse raio é o que chamamos de lêse delta δ Exemplo 1 Considere a função 𝑓 𝑥 𝑦 𝑠𝑒𝑛𝑥 2𝑦 2 𝑥 2𝑦 2 Já vimos que nas proximidades de seus valores estão próximos de Suponha que escolhemos 0 0 1 isto é precisamos que os valores da função estejam entre ε 0 5 1 0 5 𝑓 𝑥 𝑦 1 0 50 5 𝑓 𝑥 𝑦 1 5 Observe as figuras que mostram o gráfico de e os planos e 𝑓 𝑧 0 5 𝑧 1 5 Se o limite desta função em é mesmo devemos conseguir encontrar uma bola aberta 0 0 1 com centro em tal que em qualquer ponto dela a função assuma valores entre e 0 0 0 5 1 5 Tentemos o raio δ 1 7 Analisando as imagens percebemos que para esse existem pontos internos à bola e cuja imagem não δ está no intervalo desejado Os retângulos pretos chamam atenção para esses pontos Vamos diminuir o raio para δ 1 3 Note que esse raio atende as nossas necessidades Todos os pontos internos à bola de centro e raio têm imagem no intervalo No entanto será que ele ainda seria uma 0 0 δ 1 3 0 5 1 5 boa escolha se mudássemos para A nossa pergunta é qual seria um raio para que todos os ε 0 2 δ pontos na bola aberta de centro e raio satisfaça 0 0 δ 1 0 2 𝑓 𝑥 𝑦 1 0 2 A imagem à seguir mostra que não é adequado para essa tarefa δ 1 3 Tomemos Os gráficos confirmam que esse raio atende às condições impostas δ 1 Acima mostramos duas escolhas para Uma vez que o limite dessa função é para qualquer ε 1 escolhido encontraremos um raio para o qual todos os pontos da bola centrada em ε 0 δ 0 0 0 e de raio terão imagem no intervalo δ 1 ε 1 ε Definição Um caminho num conjunto é uma aplicação contínua definida em um 𝐴𝑅 2 𝑓 𝐼𝐴 intervalo 𝐼 Exemplo 2 A aplicação definida por 𝑓 𝑅 𝑅 2 𝑓 𝑡 𝑥 𝑡 𝑦 𝑡 𝑡 𝑡 é um caminho Teorema Se quando ao longo do caminho e quando 𝑓 𝑥 𝑦 𝐿1 𝑥 𝑦 𝑎 𝑏 𝐶1 𝑓 𝑥 𝑦 𝐿2 ao longo do caminho com então não existe o 𝑥 𝑦 𝑎 𝑏 𝐶2 𝐿1 𝐿2 𝑓 𝑥 𝑦 Exemplo 3 Mostremos que não existe Para isso segundo o Teorema anterior basta 𝑥 2𝑦 2 𝑥 2𝑦 2 encontrarmos caminhos distintos que façam a função tender a valores diferentes Para que possamos fazer tender a precisamos que este seja um ponto da imagem dos 𝑥 𝑦 0 0 caminhos Considere o caminho 𝐶1 𝑅 𝑅 2 𝑥 𝑥 𝑥 Para ele temos que 𝑥 2𝑦 2 𝑥 2𝑦 2 𝑥 2𝑥 2 𝑥 2𝑥 2 0 2𝑥 2 𝑥0 lim 0 0 Agora seja 𝐶2 𝑅 𝑅 2 𝑦 2𝑦 𝑦 Segue que 𝑥 2𝑦 2 𝑥 2𝑦 2 2𝑦 2𝑦 2 2𝑦 2𝑦 2 Como quando concluímos que 2𝑦0 𝑦0 𝑥 2𝑦 2 𝑥 2𝑦 2 4𝑦 2𝑦 2 4𝑦 2𝑦 2 3𝑦 2 5𝑦 2 3 5 3 5 Portanto com base no Teorema visto o limite não existe Exemplo 4 Analisemos o Vamos considerar dois caminhos distintos 𝑥𝑦 3 𝑥 2𝑦 6 𝐶1 𝑦 0 𝑦 𝑒 𝐶2 𝑦 𝑦 3 𝑦 Note que ambos passam pelo ponto Usando o primeiro deles encontramos 0 0 𝑥𝑦 3 𝑥 2𝑦 6 0𝑦 3 0 2𝑦 6 0 𝑦 6 0 0 O segundo nos dá 𝑥𝑦 3 𝑥 2𝑦 6 𝑦 3𝑦 3 𝑦 3 2 𝑦 6 Uma vez que quando podemos afirmar que 𝑦 30 𝑦0 𝑥𝑦 3 𝑥 2𝑦 6 𝑦 6 𝑦 6𝑦 6 𝑦 6 2𝑦 6 1 2 1 2 Logo o limite procurado não existe Observação O uso de caminhos é útil para mostrar que um limite não existe O mesmo não é válido para mostrar que o limite existe pois nesse caso seria necessário mostrar que por todos os caminhos a função se aproxima do mesmo valor Isso é impossível de ser feito uma vez que a quantidade de caminhos é infinita As propriedades do limite para funções de uma variável real ainda são válidas para funções de duas variáveis fazendose as adaptações necessárias Propriedades dos limites Seja uma constante e suponha que existem os limites 𝑘 𝑓 𝑥 𝑦 𝑒𝑔 𝑥 𝑦 Então 1 𝑓 𝑥 𝑦 𝑔𝑥 𝑦 𝑓 𝑥 𝑦 𝑔 𝑥 𝑦 2 𝑘𝑓 𝑥 𝑦 𝑓 𝑥 𝑦 3 𝑓 𝑥 𝑦 𝑔𝑥 𝑦 𝑓 𝑥 𝑦 𝑔 𝑥 𝑦 4 𝑓 𝑥𝑦 𝑔𝑥𝑦 𝑓 𝑥𝑦 𝑔 𝑥𝑦 𝑠𝑒𝑔 𝑥 𝑦 0 Exemplo 5 Utilizando as propriedades acima juntamente com 𝑥 𝑎 𝑦 𝑏 𝑐 𝑐 podemos facilmente calcular o 𝑥 2 3𝑦 Note que a função é resultado da adição de outras duas funções e Para aplicarmos a 𝑥 2 3𝑦 Propriedade 1 precisamos garantir que o limite de cada uma delas existe Já sabemos que e 𝑥 1 𝑦 2 Pela Propriedade 3 𝑥 2 𝑥 𝑥 11 1 e de acordo com a Propriedade 2 3𝑦 3𝑦 32 6 Portanto 𝑥 2 3𝑦 𝑥 2 3𝑦 1 6 7 Observação Antes de utilizar qualquer uma das propriedades é necessário estabelecer se suas condições são satisfeitas Sendo assim não podemos utilizar a Propriedade 3 para 𝑥 3𝑥𝑦 2 𝑥 2𝑦 2 𝑥 𝑦 00 lim 𝑥 𝑥 2𝑦 2 𝑥 2𝑦 2 pois como já vimos 𝑥 𝑦 00 lim 𝑥 2𝑦 2 𝑥 2𝑦 2 não existe Teorema do Confronto Se quando está próximo de exceto possivelmente em 𝑓𝑥 𝑦𝑔𝑥 𝑦ℎ𝑥 𝑦 𝑥 𝑦 𝑎 𝑏 e 𝑎 𝑏 𝑓 𝑥 𝑦 ℎ 𝑥 𝑦 𝐿 então 𝑔 𝑥 𝑦 𝐿 Exemplo 6 Vamos calcular Para isso começamos observando que podemos reescrever a 𝑥 2𝑦 𝑥 2𝑦 2 função da seguinte forma 𝑥 2𝑦 𝑥 2𝑦 2 𝑥 2 𝑥 2𝑦 2 𝑦 Lembrese que 0𝑥 20𝑥 2 𝑥 2 𝑦 2 Se considerarmos então 𝑥 𝑦0 0 0𝑥 2 𝑥 2 𝑦 2 0 𝑥 2𝑦 2 𝑥 2 𝑥 2𝑦 2 𝑥 2𝑦 2 𝑥 2𝑦 2 0 𝑥 2 𝑥 2𝑦 2 1 Suponha Segue que 𝑦 0 0 𝑥 2 𝑥 2𝑦 2 10𝑦 𝑥 2 𝑥 2𝑦 2 𝑦1𝑦0 𝑥 2𝑦 𝑥 2𝑦 2 𝑦 Para 𝑦 0 0 𝑥 2 𝑥 2𝑦 2 10𝑦 𝑥 2 𝑥 2𝑦 2 𝑦1𝑦0 𝑥 2𝑦 𝑥 2𝑦 2 𝑦 Uma vez que 𝑥𝑦 00 lim 0 0 𝑒 𝑥𝑦 00 lim 𝑦 0 pelo Teorema do Confronto 𝑥 2𝑦 𝑥 2𝑦 2 0 Continuidade No estudo dos limites vimos que dado um ponto do plano e uma função definida 𝑃𝑎 𝑏 𝑓 nas proximidades dele exceto possivelmente no próprio ponto o limite pode existir ou não Algumas funções tem um comportamento irregular nas proximidades de um ponto específico Já para outras quando os pontos considerados estão próximos daquele que está sendo estudado a função sofre pouca variação tem limite e este é exatamente o valor da função em 𝑎 𝑏 Definição Uma função de duas variáveis é dita contínua em se 𝑓 𝑎 𝑏 𝑓𝑥 𝑦 𝑓 𝑎 𝑏 Dizemos que é contínua em se for contínua em todo ponto de 𝑓 𝐷 𝑓 𝑎 𝑏 𝐷 A definição acima nos diz que pequenas variações nos pontos que estão sendo escolhidos no domínio da função em torno de causam pequenas variações entre os valores assumidos 𝑎 𝑏 𝑓𝑥 𝑦 e o valor Isto faz com que o gráfico da função não tenha rupturas neste ponto 𝑓 𝑎 𝑏 É importante ressaltar que diferente da definição de limite onde não precisamos que a função esteja definida no ponto para a continuidade isto é obrigatório Perceba que o que a definição 𝑎 𝑏 exige é que o limite exista e seja igual a Portanto é obrigatório que esteja definida neste 𝑓 𝑎 𝑏 𝑓 ponto pois caso contrário não poderíamos calcular tal valor Exemplo 1 Como já vimos anteriormente este é o gráfico da função 𝑓 𝑥 𝑦 𝑥 2𝑦 2 𝑥 2𝑦 2 Algumas coisas nos levam facilmente a perceber que esta não é uma função contínua em A primeira delas é que este ponto não pertence ao domínio da função Ainda que pertencesse 0 0 como já vimos o limite nele não existe O gráfico completa nossas conclusões mostrando que em temos uma ruptura 0 0 Observação Se não é contínua em dizemos que neste ponto ela é descontínua 𝑓 𝑎 𝑏 Exemplo 2 Considere Esta função está definida para todo par ordenado de 𝑔 𝑥 𝑦 𝑥 2 3𝑦 números reais Escolhendo um deles por exemplo pelas propriedades dos limites temos 3 4 𝑥 2 3𝑦 𝑥𝑥 3𝑦 𝑥 𝑥 3 𝑦 33 34 9 12 3 Note que 𝑔 3 4 3 2 34 9 12 3 Ou seja 𝑔 𝑥 𝑦 𝑔 3 4 Portanto é contínua em O mesmo ainda é verdade para qualquer outro ponto do domínio 𝑔 3 4 Isto significa que a função é contínua no 𝐷𝑜𝑚 𝑔 Observação Dizemos que uma função é contínua se ela é contínua em todos os pontos de seu 𝑓 domínio Formalmente se 𝑓 𝑥 𝑦 𝑓 𝑎 𝑏 para todo 𝑎 𝑏 𝐷𝑜𝑚 𝑓 Propriedades da Continuidade Seja uma constante e suponha que e sejam contínuas em 𝑘 𝑓 𝑔 Então são contínuas em 𝑎 𝑏 𝑎 𝑏 1 𝑓 𝑔𝑥 𝑦 2 𝑘𝑓 𝑥 𝑦 3 𝑓𝑔𝑥 𝑦 4 desde que 𝑓 𝑔 𝑥 𝑦 𝑔 𝑎 𝑏 0 As propriedades acima são resultantes das propriedades do limite Exemplo 3 Uma função polinomial de duas variáveis é uma soma de termos da forma onde 𝑐𝑥 𝑚𝑦 𝑛 𝑐 é uma constante e Pelo uso das Propriedades 2 e 3 acima podemos afirmar que cada uma 𝑚 𝑛𝑁 das parcelas é uma função contínua pois e o são Lembrese que 𝑐𝑥 𝑚𝑦 𝑛 𝑓 𝑥 𝑦 𝑥 𝑔 𝑥 𝑦 𝑦 Da Propriedade uma vez que é a soma destes termos 𝑥 𝑎 𝑓 𝑎 𝑏 𝑒 𝑦 𝑏 𝑔 𝑎 𝑏 1 concluímos que uma função polinomial é sempre contínua Por exemplo é uma função polinomial de duas variáveis logo é contínua 𝑃 𝑥 𝑦 3𝑥 2𝑦 3 5𝑥 3𝑦 4 2𝑥 6𝑦 3 Exemplo 4 Um função é dita racional se é a razão entre duas funções polinomiais Assim 𝑓 𝑥 𝑦 3𝑥 3𝑦5𝑦 2 2𝑥 27𝑥𝑦 é uma função racional Por ser o quociente entre duas funções polinomiais com base na Propriedade 4 das funções contínuas 𝑓 é contínua Observe que estamos dizendo que em qualquer ponto de seu domínio a função é contínua Se nos perguntássemos se é contínua em a resposta seria 𝑓 7 2 não pois 2𝑥 2 7𝑥𝑦 27 2 77 2 98 98 0 Isto não contraria o que falamos acima pois este ponto não pertence ao domínio da função De forma geral toda função racional é contínua Exemplo 5 A função não é contínua em porque neste ponto não está 𝑔 𝑥 𝑦 3𝑥 2𝑦 𝑥 2𝑦 2 0 0 definida Contudo é contínua em qualquer outro já que é racional e Note que 𝐷𝑜𝑚 𝑔 𝑅 2 0 0 o limite existe na origem De fato 3𝑥 2𝑦 𝑥 2𝑦 2 𝑥 2 𝑥 2𝑦 2 3𝑦 Sabemos que 0 𝑥 2 𝑥 2𝑦 2 1 Como quando pelo Teorema do Confronto 𝑦0 𝑥 𝑦 0 0 3𝑥 2𝑦 𝑥 2𝑦 2 0 Podemos definir uma função que é igual a em e que seja contínua em todo Basta 𝑔 𝑅 20 0 𝑅 2 fazermos 𝑓 𝑥 𝑦 3𝑥 2𝑦 𝑥 2𝑦 2 𝑠𝑒 𝑥 𝑦 0 0 0 𝑠𝑒 𝑥 𝑦 0 0 Veja que o limite existe em todos os pontos e em é exatamente o valor da função nele Quando 0 0 é possível redefinir a função para que ela passe a ser contínua em um ponto dizemos que a descontinuidade é removível Isto ocorre quando o limite existe mas a função não está definida ou assume um valor diferente do limite encontrado Abaixo vemos o gráfico de 𝑓 Com as propriedades dadas podemos gerar muitas outras funções contínuas utilizando a soma o produto o produto por escalar ou o quociente Também conseguimos funções contínuas a partir de outras usando a composição ou seja a composição de funções contínuas é ainda uma função contínua Exemplo 6 Seja Sabemos que as funções e 𝑓 𝑥 𝑦 𝑠𝑒𝑛 𝑥 𝑦 𝑔 𝑡 𝑡 são contínuas a segunda por ser a soma de duas funções contínuas de duas ℎ 𝑥 𝑦 𝑠𝑒𝑛 𝑥 𝑦 variáveis Concluímos que é contínua 𝑓 Funções de três variáveis ou mais Do mesmo jeito que foi feito para limites é possível estender o conceito de continuidade para funções com três ou mais variáveis Definição Uma função de variáveis é dita contínua em se 𝑓 𝑛 𝑎1 𝑎2 𝑎𝑛 𝑓 𝑥1 𝑥𝑛 𝑓 𝑎1 𝑎𝑛 Ela será dita contínua em um conjunto 𝐷𝐷𝑜𝑚 𝑓 se for contínua em cada ponto de 𝐷 Podemos facilitar a escrita utilizando a notação vetorial 𝑥 𝑥1 𝑥2 𝑥𝑛 Neste caso estamos nos valendo da correspondência biunívoca entre os vetores de componentes com os pontos de coordenadas Assim a função pode ser vista 𝑥1 𝑥𝑛 𝑥1 𝑥𝑛 como dependente de variáveis de um ponto com coordenadas ou de um vetor com 𝑛 𝑛 𝑛 componentes Exemplo 7 Tome a função Ela está definida para todo ponto de 𝑔 𝑥 𝑦 𝑧 𝑠𝑒𝑛 𝑥𝑦 𝑧 𝑦𝑧 2 que tenha terceira coordenada não negativa Como as funções envolvidas são contínuas o mesmo é 𝑅 3 válido para 𝑔 Texto baseado em STEWART J Cálculo V2 Ed Thomson Pioneira 2010