Áreas e Distâncias - Introdução ao Cálculo de Áreas Sob Curvas

51 Áreas e Distâncias Agora é um bom momento para ler ou reler Uma Apresentação do Cálculo Lá são discutidas as ideias unificadoras do cálculo e a seção ajuda a colocar em perspectiva de onde saímos e para onde iremos Nesta seção vamos descobrir que na tentativa de encontrar a área sob uma curva ou a distância percorrida por um carro encontramos o mesmo tipo especial de limite O Problema da Área Nós começamos tentando resolver o problema da área encontre a área da região S que está sob a curva y fx de a até b Isso significa que S ilustrada na Figura 1 está limitada pelo gráfico de uma função contínua f onde fx 0 pelas retas verticais x a e x b e pelo eixo x Ao tentarmos resolver o problema da área devemos nos perguntar qual é o significado da palavra área Essa questão é fácil de ser respondida para regiões com lados retos Para um retângulo a área é definida como o produto do comprimento e da largura A área de um triângulo é a metade da base vezes a altura A área de um polígono pode ser encontrada dividindoo em triângulos como na Figura 2 e a seguir somandose as áreas dos triângulos Não é tão fácil no entanto encontrar a área de uma região com lados curvos Temos uma ideia intuitiva de qual é a área de uma região Mas parte do problema da área é tornar precisa essa ideia intuitiva dando uma definição exata de área Lembrese de que ao definir uma tangente primeiro aproximamos a inclinação da reta tangente por inclinações de retas secantes e então tomamos o limite dessas aproximações Uma ideia similar será usada aqui para as áreas Em primeiro lugar aproximamos a região S utilizando retângulos e depois tomamos o limite das áreas desses retângulos à medida que aumentamos o número de retângulos Os exemplos a seguir ilustram esse procedimento EXEMPLO 1 Use retângulos para estimar a área sob a parábola y x² de 0 até 1 a região parábolica S ilustrada na Figura 3 SOLUÇÃO Observamos primeiro que a área de S deve estar em algum lugar entre 0 e 1 pois S está contida em um quadrado com lados de comprimento 1 mas certamente podemos fazer melhor que isso Suponha que S seja dividida em quatro faixas S1 S2 S3 e S4 traçando as retas verticais x 14 x 12 e x 34 como na Figura 4a Podemos aproximar cada faixa por um retângulo com base igual à largura da faixa e altura igual ao lado direito da faixa veja a Figura 4b Em outras palavras as alturas desses retângulos são os valores da função fx x² nas extremidades direitas dos subintervalos 0 14 14 12 12 34 e 34 1