Espaços Vetoriais Notas de Aula

1. Introdução\n\nSabemos que o conjunto \\(\\mathbb{R}^2 = \\{(x,y) / x,y \\in \\mathbb{R}\\}\\) é conhecido geometricamente como o Plano Euclidiano. Dado um elemento do conjunto, olhamos \\((x,y) \\in \\mathbb{R}^2\\), temos que \\((x,y)\\) pode ser visto como:\n\nUm ponto \\(P(x,y)\\)\n\nUm vetor \\(\\vec{v} = (x,y)\\)\n\n\n\nEntão, se pode, em relação ao plano, estender-se para o espaço tridimensional que é a interpretação geométrica do conjunto \\(\\mathbb{R}^3\\).\n\n\n\n\n\n\n\n Embora se peça a noção geométrica dos conjuntos cujo vetor bem mais de 3 coordenadas, é possível estender essa ideia a conjuntos como \\(\\mathbb{R}^n, \\mathbb{R}^{n+1},...\\).\n\nEstes conjuntos podem ser chamados de Espaços Vetoriais.\n\nConsidere o conjunto \\(\\mathbb{R}^n = \\{(x_1,x_2,...,x_n) / x_i \\in \\mathbb{R}\\}\\).\n\nSeus elementos podem ser vistos como pontos ou vetores, e as mesmas operações que aprendemos na geometria analítica com os números de \\(\\mathbb{R}^2\\) e \\(\\mathbb{R}^3\\) podem se aplicar aos vetores do \\(\\mathbb{R}^n\\).\n\nPor exemplo:\n\n1) Seja \\(u = (x_1,x_2,...,x_n)\\) e \\(v = (y_1,y_2,...,y_n)\\) vetores do \\(\\mathbb{R}^n\\) e \\(\\alpha \\in \\mathbb{R}\\), um escalar.\n\nDefinimos:\n\n2) \\(u + v = (x_1 + y_1, x_2 + y_2, ... , x_n + y_n)\\)\n\n3) \\(\\alpha u = (\\alpha x_1, \\alpha x_2,...,\\alpha x_n)\\)\n\n4) \\(u.v = x_1y_1 + x_2y_2 + ... + x_ny_n\\)\n\n5) \\(||u|| = \\sqrt{x_1^2 + x_2^2 + ... + x_n^2}\\)\n\nO conjunto \\(\\mathbb{R}^n\\) munido das operações de soma de vetores e multiplicação por escalar, satisfaz uma série de propriedades que o cojem uma 'estrutura' do espaço vetorial. 2. Espaço Vetorial\n\nSeja \\(V\\) um conjunto não vazio no qual estão definidas duas operações:\n1. Adição: \\(V \\times V \\rightarrow V\\), multiplicação por escalar:\\( (u,v) \\mapsto u + v \\)\n\n(\\alpha,u) \\mapsto \\alpha u \\in V\n\nO conjunto \\( (V, +, .) \\) é chamado de espaço vetorial e deve satisfazer as seguintes propriedades:\n\nA) Em relação à adição:\nA1) \\((u + v) + w = u + (v + w)\\) para todo \\(u, v, w \\in V\\)\nA2) \\(u + v = v + u\\) para todo \\(u,v \\in V\\)\nA3) \\(\\exists 0 \\in V\\) tal que \\(u + 0 = u\\) para todo \\(u \\in V\\)\nA4) \\(\\forall u \\in V, \\exists (-u) \\in V\\) tal que \\(u + (-u) = 0\\)\n\nB) Em relação a multiplicação por escalar:\nB1) \\((\\alpha + \\beta)u = \\alpha u + \\beta u\\) para todo \\(\\alpha, \\beta \\in \\mathbb{R}, u \\in V\\)\nB2) \\(\\alpha (\\beta u) = (\\alpha \\beta)u\\) para todo \\(\\alpha, \\beta \\in \\mathbb{R}, u \\in V\\)\nB3) \\(1u = u\\) para todo \\(u \\in V\\)\nB4) \\(0u = 0 \\forall u \\in V\\)\n\nObservação:\n1) Os membros do espaço vetorial \\(V\\) são chamados de vetores, independentemente da sua natureza.\n\n2) Se na definição acima tivéssemos tomado para escalares o conjunto \\(\\mathbb{C}\\), \\(V\\) seria um espaço vetorial complexo. Exemplos: São espaços vetoriais.\n\n1) Pn\n2) \n3) O espaço Pn = {a0, a1, ..., an / a1 ≠ 0} munido das operações:\n\nSolução:\n(a1, a2, ..., an) + (b1, b2, ..., bn) = (a1 + b1, a2 + b2, ..., an + bn)\n\n• multiplicação por escalar:\n\na(l0, a1, ..., an) = (a·a0, a·a1, ..., a·an)\n\n4) M2(R) = {{a b} / {c d}} é um espaço vetorial.\n\nDe modo que Mnn(R) são espaços vetoriais.\n\n5) Pn = {a0 + a1x + a2x² + ... + anxn} munido das operações:\n\n• O conjunto V = {f, g: Pn → R} munido das operações:\n\n• Solução:\nf + g: Pn → R\nx ↦ (f + g)(x) = f(x) + g(x)\n\n• multiplicação por escalar:\ndf: Pn → R\nx ↦ (αf)(x) = α·f(x) 7) O conjunto V = {(x1, x2) / x1, x2 ∈ R} com as operações:\n\n• Solução:\n(x1, x2) ⊕ (x2, x3) = (x1 + x2, x2 + x3)\n\n• multiplicação por escalar:\nα·(x, x²) = (α·x, α²·x²)\n\nDe fato, valem para este conjunto os axiomas.\n\nA1) [(x1, x1²) ⊕ (x2, x2²)] ⊕ (x3, x3²) = (x1 + x2 + x3, x1² + x2² + x3²) = (x1, x1²) ⊕ [(x2, x2²) ⊕ (x3, x3²)]\nA2) [(x2, x2²)] ⊕ (x2, x2²) = (x2 + x2, x2² + x2²) = (x2, x2²)\nA3) (0, 0) ⊕ (x1, x1²) = (x1 + 0, x1² + 0) = (x1, x1²)\n\nM1) (α·β)(x1, x2²) = (αβ·x1, α²·β²·x2²)\nM2) (α + β)(x1, x2) = (α + β)x1, (α + β)²x2²\n= (α·x1, α²·x2²)\n\nM3) α·0 ⊕ (x2, x2²) = α·(x2, x2²) = (αx2, α²x2²)\n\nM4) 1 ⊕ (x1, x2²) = (1·x1, 1·x2²) = (x2, x2²) 8) O conjunto V = {(x1, y1) / x1, y2 > 0} munido das operações de adição e multiplicação por escalar definidas por:\n\n(x1, y1) ⊕ (x2, y2) = (x1 + x2, y1 + y2)\n\n• 0 ⊕ (x, y) = (x, y)\n\nExemplo: O conjunto P3 = {a0, a1, a2, a3} munido das operações:\n\{(a, b) + (c, d), (a + c, b + d)\nK(a · b) = (Ka, Kb)\n\nnão é um espaço vetorial.\n\nDe fato, vamos mostrar que (R², +, ·) não satisfaz a propriedade A2.\n\nSeja μ = (a, b) ∈ R² então a·b sobre os vetores em R,.\n\nPara outro lado,\ndu + dμ = d(a·b) + β·(a, b) = (dα·b + βa, b)\n= (dα·a + βa, b)\n\nLogo,\n(α + β)μ ≠ α·μ + β·μ\n\nPrincipais Propriedades de um Espaço Vetorial:\n\nSeja (V, +, ·) um espaço vetorial qualquer. São válidas em V as seguintes propriedades:\n\nP1. ∀ d ∈ R tem-se d·0 = 0\nd·0 + d·(0 + 0) = d·0 + d·0\nd·0 - d·0 = 0·d + 0·0 =\n0 = d·0 + 0 ⇒ (d·0 = 0) P2) ∀ μ ∈ V, bem se μ ≠ 0.\n\n0μ = (0 + 0)μ = 0μ + 0μ\n0μ - 0μ = 0μ + 0μ - 0μ\n0 = 0μ + 0 => 0μ = 0\n\nP3) Sejam d ∈ B e μ ∈ V.\n\nαμ = 0 (⇔) α = 0 ou μ = 0\n\n(⇐) P1 e P2\n\n(⇒) Suponha que αμ = 0 e α ≠ 0\nα^(-1)(αμ) = α^(-1)0 = 0\n=> 0 = (α^(-1)α)μ = 1μ = μ => μ = 0\n\nP4) Sejam d ∈ B e μ ∈ V. Então se\n(-d)μ + d(−μ) = −(dμ)\n\nPara um lado,\n(-d)μ + dμ = (d + (-d))μ = 0μ = 0\n=> dμ + (-d)μ = 0\n\nPara o outro lado,\n(dμ) + (−αμ) = 0 (de princípio de sinítico)\n=> dμ + (-α)μ = dμ + (+(-α)μ) - dμ\n=> (-α)μ = -(dμ)\n\n* As outras igualdades paramos de maneira análoga. P5) ∀ d, ρ ∈ B e μ ∈ V bem se\n(-α - β)μ = dμ - βμ\n\n(-α - β)μ = (α + (-β))μ = dμ + (+β)μ = dμ - βμ\n\nP6) ∀ d ∈ B e μ₁, μ₂ ∈ V bem se\n\nd(μ₁ - μ₂) = dμ₁ - dμ₂\n\nα(μ · ν) = d(μ + ν) - d(ν + μ) = dμ + dν - dν - dμ\n=> d(μ · ν) = dμ - dν\n\nP7) Dado β, α₁, α₂, ... , αₙ ∈ B, μ₁, μ₂, ... , μₙ ∈ V, bem se\nβ = ∑(βₖ)μₖ\n\nβ = ∑(βₖ)μₖ\n\nP8) Encontre um único vetor nulo em V\n\nsejam 0 e 0’ vetores nulos em V. Temos que:\n0 = 0 + 0’ + 0’ + 0 = 0’\n\nP9) Cada vetor μ ∈ V admite apenas um simétrico\n(-μ) ∈ V.\n\nSejam μ₁ e μ₂ elementos opostos a μ.\nTemos que:\n\noμ = -μ + 0 = -μ + (μ + μ) = (-μ + μ) + μ = 0 + μ₁ = μ₁\n\nP10) Dado μ ∈ V, tem-se que (-μ) = μ (0 oposto de)\n\nsabemos que:\n(-μ + μ = μ + (-μ) = 0\nlogo, μ = o oposto de (-μ). P11) Lei do cancelamento da adição\nSe μ₁, μ₂ e w ∈ V tal que μ₁ + μ₂ + μ + w, então μ₂ = w\n\n(-μ₁) + (μ₂ + v) + 1 = (-μ) + w\n(-μ₁) + μ + μ = (-μ₁ + μ) + (-μ + μ)\n0 + 0 + w => μ = w\n\nEssas propriedades garantem que podemos fazer\ncontas com os vetores como fazemos com os números reais.\n\nExemplo: considere no ℝ² os vetores μ₁(3,3), μ₂(3,-2), e μ₃(3,2). Resolva a equação\n\nequação xμ + yμ + z w = w\n\nna incógnita x e y. Substituindo μ₁, μ₂, w temos:\n\nx = 1/2(6(3,2) - 3(1,1) - 21(3,-2))\n= 1/5(18 - 3 - 6, 12 - 3 + 4)\n= 1/5(9, 13)\n= μ = (9/5, 13/5) Ejemplo 2. Sea u = (1+i, 3-i), v = (1-i, 2i) y w = (2, 3+i)\n\nvalores de a, b y c tales que u = z0 + pw.\n\nd = z + pw = u\n\nd (1-a, 2i) + \u03b2(2, 3i) = (1+i, 3-i)\n\n(1 + \u03b2, \u03b2 + 2(1)) = (1+i, 3-i)\n\nd = z \n\n- d = z\n\n=> 3/\u03b2 = 3 => \u03b1 - \u03b2 = 1\n\n\u03b2 = z \u00b7 d - z\n\nEjemplo 3: En espacio vectorial P3 (R) sean\n\nf(g) = x3 - 3 x + b - 1\n\ng(h) = x2 + t + y\n\nH(x) = x + y\n\na) Calcule 2f(t) + 3g(b) - H(t)\n\n2f(t) + 3g(t) - H(t) = 2(t3 - 1) + 3(t2 - t - 1) - 4(t + 2)\n = 2t3 + 3t2 - t - 13\n\nb) ¿Es cierto que 7(g(t) + k(g(t)) = H(x)?\n\nf(t) + k(g(t)) = t3 - 4 + k(t2 - 1) = t3 + kt2 - kt - k - 1\n\nComo D(j + x0) = 3 \n= 2 D(h) = 1 no es cierto k