Análise de Estruturas de Concreto Armado via Modelos de Bielas e Tirantes e Técnicas de Otimização Topológica

UNIVERSIDADE FEDERAL DE OURO PRETO ESCOLA DE MINAS DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA CIVIL PROGRAMA DE PÓSGRADUAÇÃO EM ENGENHARIA CIVIL ANÁLISE DE ESTRUTURAS DE CONCRETO ARMADO VIA MODELOS DE BIELAS E TIRANTES E TÉCNICAS DE OTIMIZAÇÃO TOPOLÓGICA Artur Hallack Ladeira Ouro Preto 2019 Universidade Federal de Ouro Preto Escola de Minas Departamento de Engenharia Civil Programa de PósGraduação em Engenharia Civil ANÁLISE DE ESTRUTURAS DE CONCRETO ARMADO VIA MODELOS DE BIELAS E TIRANTES E TÉCNICAS DE OTIMIZAÇÃO TOPOLÓGICA Artur Hallack Ladeira Área de concentração Estruturas e Construção Linha de Pesquisa Comportamento e Dimensionamento de Estruturas Orientador Prof DSc Amilton Rodrigues da Silva UFOP Ouro Preto 2019 ARTUR HALLACK LADEIRA ANÁLISE DE ESTRUTURAS DE CONCRETO ARMADO VIA MODELOS DE BIELAS E TIRANTES E TÉCNICAS DE OTIMIZAÇÃO TOPOLÓGICA Dissertação apresentada ao Programa de Pós Graduação do Departamento de Engenharia Civil da Escola de Minas da Universidade Federal de Ouro Preto como parte integrante dos requisitos para obtenção do título de Mestre em Engenharia Civil área de concentração Estruturas e Construção Orientador Prof DSc Amilton Rodrigues da Silva UFOP Ouro Preto 2019 Ladeira Artur Hallack Análise de estruturas de Concreto Armado via modelos de Bielas e Tirantes e técnicas de otimização topológica manuscrito Artur Hallack Ladeira 2019 100 f il color gráf tab Orientador Prof Dr Amilton da Silva Dissertação Mestrado Acadêmico Universidade Federal de Ouro Preto Departamento de Engenharia Civil Programa de Engenharia Civil Área de Concentração Estruturas e Construção 1 Método Bielas e Tirantes 2 Método dos Elementos Finitos 3 Método de Otimização Topológica TOM 4 Engenharia de estruturas Concreto Armado I Ladeira Artur Hallack II Silva Amilton da III Universidade Federal de Ouro Preto IV Título Bibliotecárioa Responsável Maristela Sanches Lima Mesquita CRB1716 SISBIN SISTEMA DE BIBLIOTECAS E INFORMAÇÃO L154a CDU 62401 Agradecimentos À Universidade Federal de Ouro Preto pela valiosa oportunidade de aprimorar meus conhecimentos Ao meu orientador professor Amilton Rodrigues da Silva pela excelência na orientação disponibilidade e paciência em responder às mesmas perguntas inúmeras vezes Aos colegas de turma pelo companheirismo e amizade durante essa jornada Aos demais professores e funcionários do PROPEC À CAPES pelo suporte financeiro Aos meus pais Roberto e Denise os quais proporcionam um ambiente familiar sadio e harmonioso E a Deus por me iluminar e dar forças nos momentos de incertezas dont worry about a thing Cause every little thing Gonna be alright Bob Marley VI Resumo da dissertação apresentada ao PROPECUFOP como parte dos requisitos necessários para a obtenção do grau de Mestre em Engenharia Civil O Modelo de Bielas e Tirantes MBT pode ser uma excelente alternativa para o dimensionamento de elementos estruturais em concreto armado submetidos a estado plano de tensão e para regiões que apresentem descontinuidade de ordem geométrica ou estática Nesse sentido o modelo permite uma melhor representação do comportamento estrutural e mecanismos de resistência nas estruturas de concreto Para tornar a concepção do modelo menos dependente da experiência do projetista o presente trabalho tem como objetivo a aplicação do modelo de bielas e tirantes em elementos estruturais e seu dimensionamento considerando a nãolinearidade dos materiais aliando a técnica de otimização topológica ESO Evolutionary Structural Optimization ao Método dos Elementos Finitos O critério de evolução do método de otimização topológica adotado considera a eliminação de elementosarmadura menos solicitados e ocorre em duas etapas Em um primeiro momento essa remoção é feita em nível de tensão considerando uma análise linear a qual gera o MBT e a configuração inicial para disposição das armaduras Em seguida é feita uma análise não linear onde são excluídas as armaduras dos elementos com menores níveis de deformação obtendose a configuração final e a consequente distribuição de armadura procurada Nesse contexto é possível obter soluções otimizadas de problemas complexos envolvendo o concreto estrutural São apresentados exemplos de cada etapa deste trabalho para comprovação e validação das técnicas implementadas Os MBTs obtidos apresentam boa concordância com os modelos normativos e com aqueles encontrados na literatura Além disso com a consideração da não linearidade dos materiais foi possível reduzir sobremaneira o consumo de aço em relação à análise linear Palavraschave Modelo de Bielas e Tirantes Método dos Elementos Finitos Otimização Topológica Concreto Armado VII Abstract of dissertation presented to PROPECUFOP as a partial fulfillment of the requirements for the degree of Master of Science in Civil Engineering The StrutandTie Models STM can be an excellent alternative for the design of reinforced concrete structural elements submitted to plane stress state and for regions with geometric or static discontinuity In this sense the model allows a better representation of structural behavior and resistence mechanisms in concrete structures In order to make the concept of the model less dependent on the experience of the designer the present work aims the automatic generation of the strutandtie models in structural elements and its dimensioning considering the physical nonlinearity of the materials combining the topological optimization technique ESO Evolutionary Structural Optimization to the Finite Element Method The evolution criterion of the adopted topological optimization method considers the elimination of less requested elements and occurs in two stages At first this removal is made at a stress level considering a linear analysis wich generates the STM and the initial configuration for steel bars arrangement Then a nonlinear analysis is performed where the reinforcement of the elements with the lowest deformation levels is exclude obtaining the final configuration and the consequent reinforcement distribuition sought In this context it is possible to obtain optimized solutions of complex problems involving structural concrete Examples of each step of this work are presented to prove and validate the implemented techniques The STM obtained show good agreement with the normative models and with those found in the literature Moreover by considering the nonlinearity of the materials it was possible to greatly reduce the steel consumption compared to the linear analysis Keywords StrutandTie Model Finite Element Method Topological Optimization Reinforced Concrete VIII LISTA DE FIGURAS Figura 21 Modelo de bielas e tirantes de viga parede Pantoja 2012 5 Figura 22 Analogia de Treliça 6 Figura 23 Divisão da estrutura em regiões B e D Adaptado de Fu 2001 8 Figura 24 Regiões com descontinuidade estática b d f ou geométrica a c e 9 Figura 25 Fluxograma do Modelo de bielas e tirantes 10 Figura 26 a Otimização Paramétrica de estrutura treliçada b Otimização de Forma c Otimização Topológica Bensøe e Sigmund 2002 14 Figura 31 Modelos de bielas e tirantes CEBFIP 2010 17 Figura 32 Modelo de bielas e tirantes a viga parede b apoio em dente c nó de pórtico Wight e Macgregor 2012 17 Figura 33 Modelo de bielas e tirantes definido pelo Processo do Caminho de Cargas Schafer e Schlaich1991 18 Figura 34 Modelo de bielas e tirantes obtido pelo padrão de fissuração Schlaich 1987 19 Figura 35 a Malha Elemento triangular de três nós b Graus de liberdade do elemento triangular 20 Figura 36 Definição das coordenadas naturais de triângulo Bathe 1982 22 Figura 37 Domínio paramétrico em coordenadas naturais Fish e Belytschko 2007 24 Figura 38 ESO retirada de elemento da malha Simonetti 2009 28 Figura 39 Algoritmo ESO em nível de tensão 30 Figura 310 Representação do tabuleiro de xadrez Sigmund e Perterson 1998 32 Figura 311 Fluxograma do algoritmo ESO quando há elementos a serem removidos para uma dada taxa de rejeição 33 Figura 312 Fluxograma do algoritmo ESO quando não há elementos a serem removidos para uma dada taxa de rejeição 35 IX Figura 313 Representação da topologia final para diferentes malhas a 2700 elementos b 4800 elementos c 17200 elementos Bendsøe e Sigmund 2004 35 Figura 314 a Domínio inicial para estrutura de Michell b Solução analítica 38 Figura 315 a Iteração 22 RR25 VR56 b Iteração 69 RR475 VR186 c Iteração 175 RR1075 VR600 d Modelo de bielas e tirantes 38 Figura 316 Consolo Curto Liang et al 2000 39 Figura 317 a b c Processo evolucionário d Modelo de bielas e tirantes Liang et al 2000 39 Figura 318 a Iteração 25 RR 110 VR 150 b Iteração 31 RR 110 VR 350 c Iteração 47 RR 160 VR550 40 Figura 319 Viga biapoiada submetida a ação de várias cargas Liang 2007 41 Figura 320 a Iteração 133 RR19 VF39 b Iteração 121 RR6 VF39 41 Figura 321 Topologia ótima obtida via SESO Simonetti 2009 42 Figura 322 a Domínio inicial b Topologia ótima via PBO Liang et al 2002a 42 Figura 323 a Iteração 192 RR19 VF35 b Iteração 139 RR10 VF35 c Projeto existente de uma ponte 43 Figura 324 Viga parede biapoiada com dois furos Liang et al 2000 44 Figura 325 a Iteração 47 RR 60 VR 180 b Iteração 102 RR 130 VR 400 c Iteração 184 RR 230 VR 580 44 Figura 326 a Topologia ótima via ESO b Topologia ótima via SESO Simonetti 2009 45 Figura 327 Topologias ótimas obtidas com RR 1 ER1 VF42 VI175 it1 RRc2 a ERc1 b ERc2 45 Figura 41 Curva tensãodeformação para o concreto comprimido CEBFIP 2010 47 X Figura 42 Curva tensãodeformação para o concreto tracionado CEBFIP 2010 48 Figura 43 Área das barras de aço e largura de influência para duas camadasDias 2016 52 Figura 44 Fluxograma ESORC 58 Figura 45 Viga biapoiada com abertura Adaptado de Schlaich et al 1987 59 Figura 46 Tensão principal máxima para análise linear 60 Figura 47 Tensão principal mínima para análise linear 60 Figura 48 a Topologia ótima obtida no presente trabalho Iteração 155 RR100 VR513 b Modelo de bielas e tirantes sugerido por Almeida et al 2013a c Distribuição de armadura proposta por Almeida et al 2013a 61 Figura 49 Discretização da viga parede em elementos triangulares de concreto simples e armado 63 Figura 410 Curva cargadeslocamento da viga parede para configuração de aço da Figura 49 64 Figura 411 Tensões principais máximas no concreto da viga parede considerando análise não linear 64 Figura 412 Tensões principais mínimas no concreto da viga parede considerando análise não linear 65 Figura 413 Tensões nas armaduras horizontais para configuração de aço da Figura 49 66 Figura 414 Tensões nas armaduras verticais para configuração de aço da Figura 49 66 Figura 415 Distribuição das armaduras após a retirada de 66 da armadura inicial 67 Figura 416 Distribuição final das armaduras após retirada de 935 da armadura inicial 68 XI Figura 417 Curvas cargadeslocamento obtidas durante o processo de otimização da armadura 68 Figura 418 Discretização da viga parede em elementos triangulares de concreto simples e armado 69 Figura 419 Curva cargadeslocamento da viga parede para configuração de aço da Figura 418 70 Figura 420 Tensões nas armaduras horizontais para configuração de aço da Figura 418 70 Figura 421 Tensões nas armaduras verticais para configuração de aço da Figura 418 71 Figura 422 Domínio de projeto do pilar de ponte Liang et al 2002b 72 Figura 423 Modelo de bielas e tirantes obtido Iteração 164 RR18 VR52 72 Figura 424 a Máximas tensões principais no modelo de bielas e tirantes e definição das barras tracionadas tirante T1 b Mínimas tensões principais no modelo de bielas e tirantes 73 Figura 425 Curva cargadeslocamento do pilar no ponto A 74 Figura 426 Tensões na armadura para P2750kN 74 Figura 427 Configuração inicial para o pilar de ponte e identificação do nó A 75 Figura 428 Configuração obtida após aplicação do algoritmo de otimização da armadura ESORC a 60 da armadura retirada b 87 da armadura retirada 75 Figura 429 Configuração da armadura adotada para análise não linear 76 Figura 430 Curvas cargadeslocamento para diferentes níveis de retirada de armadura 76 Figura 431 Curva cargadeslocamento para configuração da armadura mostrada na Figura 429 77 Figura 432 Tensão principal mínima para análise não linear da configuração da Figura 429 77 XII Figura 433 a Tensão na armadura horizontal para análise não linear da configuração da Figura 429 b Tensão na armadura vertical para análise não linear da configuração da Figura 429 78 Figura 434 Viga Contínua 79 Figura 435 Modelo de bielas e tirantes obtido via ESO 79 Figura 436 Máximas tensões principais no modelo de bielas e tirantes obtido e identificação dos tirantes T1 a T6 79 Figura 437 Mínimas tensões principais no modelo de bielas e tirantes obtido 80 Figura 438 Distribuição inicial de armadura para viga contínua 81 Figura 439 Configuração obtida via ESORC após retirada de 69 da armadura 81 Figura 440 Configuração da armadura adotada para análise não línea 82 Figura 441 Curva cargadeslocamento para configuração mostrada na Figura 440 83 Figura 442 Tensão principal mínima para análise não linear da configuração da Figura 440 83 Figura 443 Tensão na armadura na direção x para análise não linear da configuração da Figura 440 84 Figura 444 Tensão na armadura na direção y para análise não linear da configuração da Figura 440 84 Figura 445 a Diagrama de esforço cortante b Diagrama de momento fletor 85 XIII LISTA DE TABELAS Tabela 41 Dimensionamento da armadura dos tirantes Almeida et al 2013a 62 Tabela 42 Dimensionamento da armadura dos tirantes 73 Tabela 43 Dimensionamento da armadura dos tirantes 80 Tabela 44 Comparativo entre o dimensionamento via ESORC e via NBR 6118 2014 90 XIV SUMÁRIO 1 INTRODUÇÃO 1 11 Considerações Iniciais 1 12 Objetivos 2 13 Justificativa 2 14 Organização do Trabalho 3 2 REVISÃO BIBLIOGRÁFICA 5 21 Modelo de Bielas e Tirantes 5 22 Otimização Estrutural 10 3 OTIMIZAÇÃO ESTRUTURAL EVOLUCIONÁRIA ESO 16 31 Introdução 16 32 Formulação do Elemento Triangular 20 33 Formulação do ESO 27 34 Critério de escoamento de von Mises 30 35 Problemas Numéricos na Otimização Topológica 31 351 Tabuleiro de Xadrez Checkerboard 32 352 Dependência de Malha 35 353 Mínimos Locais 36 36 Exemplos Numéricos 37 361 Estrutura de Michell 37 362 Consolo Curto 39 363 Viga biapoiada com múltiplo carregamento 40 364 Estrutura de Ponte 42 365 Viga parede com furos 44 XV 4 DIMENSIONAMENTO ESTRUTURAL 46 41 Introdução 46 42 Formulação do Elemento Triangular Não Linear 47 43 ESORC 54 44 Exemplos Numéricos 59 441 Viga parede biapoiada com uma abertura 59 442 Pilar de Ponte 71 443 Viga Contínua 78 5 CONSIDERAÇÕES FINAIS 91 51 Conclusões 91 52 Sugestões para trabalhos futuros 92 REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS 94 1 1 INTRODUÇÃO 11 Considerações Iniciais No campo da Engenharia de Estruturas a procura por novas soluções construtivas capazes de conciliar economia desempenho e segurança exige um maior conhecimento do comportamento mecânico dos sistemas estruturais Para o dimensionamento da maior parte dos elementos lineares de concreto armado assumese a Hipótese de BernoulliEuler ou de Timoshenko de que seções planas permanecem planas após a flexão do elemento Assim é admitida uma distribuição linear de deformações ao longo da altura da seção transversal Essa hipótese torna a análise mais simplificada e gera bons resultados em elementos com comprimento bem maior que a sua altura justificando a análise unidimensional No entanto em alguns casos práticos uma análise bidimensional considerando estado plano de tensões ou deformações é mais adequada Por exemplo em vigas onde o cisalhamento é determinante no seu dimensionamento em regiões ou elementos estruturais nos quais a Hipótese de Bernoulli não descreva apropriadamente o comportamento estrutural ou distribuição de tensões Nessas regiões denominadas na literatura de Regiões D Descontinuity as tensões de cisalhamento são significativas e a distribuição de deformações é não linear Como exemplo citamse elementos estruturais como vigas parede consolos sapatas nós de pórticos blocos rígidos de fundação sobre estacas furos em vigas e dentes Gerber Dessa maneira para o entendimento dos mecanismos resistentes destas regiões especiais podese recorrer a outras alternativas de dimensionamento tais como o Método dos Elementos Finitos MEF e o Modelo das Bielas e Tirantes MBT O modelo de bielas e tirantes é um método simples no qual uma estrutura treliçada é idealizada no interior da região D de modo a representar o fluxo interno de tensões permitindo uma análise mais simplificada do comportamento físico do elemento estrutural No caso particular de estruturas de concreto armado os elementos comprimidos dessa treliça idealizada são verificados quanto à compressão em estado duplo de tensões sendo uma delas a tensão de resistência à tração do concreto Nas regiões dos elementos tracionados são colocadas armaduras de aço em quantidade 2 suficiente para gerar uma força de tração igual ou superior àquela definida pelos esforços internos na treliça idealizada Entretanto a não unicidade do modelo topológico torna a concepção dependente da experiência e da sensibilidade estrutural do projetista Sendo a armadura calculada e distribuída conforme o modelo topológico definido para o elemento estrutural de concreto armado a correta definição desse não somente gera economia como também está relacionada à segurança Diante disso este estudo apresenta uma metodologia para geração automática do modelo de bielas e tirantes via otimização topológica definindo a melhor configuração a ser adotada para a análise Em uma segunda etapa é feito o dimensionamento dos tirantes considerando material com comportamento não linear A dissertação a ser desenvolvida faz parte das seguintes linhas de pesquisa do PROPECDecivEMUFOP a saber Comportamento e Dimensionamento de Estruturas 12 Objetivos O presente trabalho tem como objetivo principal o estudo e investigação de técnicas para obtenção de modelos de bielas e tirantes aplicáveis a estruturas de concreto armado submetidas a estado plano de tensão via otimização topológica e o seu dimensionamento considerando material com comportamento não linear Para a realização do objetivo principal podese destacar os seguintes objetivos específicos implementação de um elemento finito triangular de três nós para análise em estado plano de tensão implementação de uma rotina de otimização topológica dentro de um Programa de Elementos Finitos implementação de uma rotina para dimensionar e detalhar a armadura a partir do modelo topológico definido Nas implementações será utilizado o programa de Elementos Finitos FEMOOP Finite Element Method Object Oriented Program Guimarães 1992 desenvolvido em linguagem C e estruturado de uma forma que novos elementos e algoritmos de análise sejam implementados sem a necessidade de conhecimento detalhado de sua estrutura de acordo com os conceitos da programação orientada a objetos 13 Justificativa O método das bielas e tirantes pode ser uma excelente alternativa para o projeto de estruturas de concreto armado em regiões com descontinuidade geométrica ou estática substituindo procedimentos empíricos por uma metodologia racional de projeto O 3 método consiste basicamente na análise de uma estrutura contínua através de uma treliça ideal definida a partir do fluxo de tensões de tração os tirantes e de compressão as bielas e a partir disso é realizado o dimensionamento estrutural No entanto a escolha do modelo topológico a partir dessa metodologia depende basicamente da experiência do projetista em compatibilizar a geometria dos fluxos internos de cargas e os pontos de apoios o que não é uma tarefa trivial Diante disso tornase relevante a investigação de técnicas de otimização para geração automática da topologia do modelo de bielas e tirantes assegurando a simplificação do processo de concepção e permitindo melhor entendimento do comportamento estrutural de elementos especiais Além disso a consideração do comportamento não linear do material permite um melhor aproveitamento da armadura a ser empregada A escolha do elemento triangular de três nós para a análise numérica de estruturas em estado plano de tensões devese ao fato de que esse elemento requer uma discretização do contínuo bastante detalhada permitindo assim definir as regiões de compressão e tração do modelo bielas e tirantes com mais refinamento Uma vez que em algumas etapas das análises a técnica de evolução utilizada no processo de otimização topológica ou de distribuição da armadura na estrutura plana de concreto consiste em eliminar o elemento ou a armadura do elemento da malha de elementos finitos por isso a exigência de uma malha bem refinada em consequência um elemento mais pobre em termos das funções de forma 14 Organização do Trabalho Este trabalho se inicia com a descrição dos objetivos e dos aspectos que motivaram a pesquisa sobre o tema análise e dimensionamento de elementos estruturais de concreto armado submetidos a estado plano de tensões através do Modelo de Bielas e Tirantes e de técnicas de otimização topológica No Capítulo 2 são apresentados conceitos definições e trabalhos relevantes que envolvem o MBT e a Otimização Estrutural Já no Capitulo 3 é desenvolvida a formulação do elemento finito triangular de três nós utilizado para as simulações numéricas considerando material com comportamento elásticolinear Paralelamente é apresentado o algoritmo evolucionário ESO e sua formulação Assim é possível obter o MBT desejado As rotinas implementadas são 4 verificadas e validadas por meio de exemplos numéricos cujos resultados são comparados com os obtidos na literatura O dimensionamento otimizado da armadura é feito no Capítulo 4 Inicialmente é apresentada a formulação do elemento finito triangular de três nós nãolinear físico e em seguida é descrito o algoritmo ESORC que elimina armadura nas direções x e y Os resultados encontrados são comparados com respostas extraídas de trabalhos encontrados na literatura Para uma das aplicações é feita também uma comparação com o dimensionamento segundo a NBR 6118 2014 No Capítulo 5 são apresentadas as considerações finais e conclusões acerca da pesquisa desenvolvida além de possibilidades para pesquisas futuras Por último são apresentadas as referências bibliográficas citadas ao longo do texto 5 2 REVISÃO BIBLIOGRÁFICA Este capítulo apresenta uma breve revisão bibliográfica acerca do modelo de bielas e tirantes e da otimização estrutural discutindo conceitos preliminares relacionados às suas aplicações no campo da engenharia de estruturas 21 Modelo de Bielas e Tirantes No MBT as bielas e tirantes representam campos de tensões de compressão e de tração respectivamente que surgem em decorrência dos carregamentos aplicados e das condições de contorno a que o elemento estrutural de concreto armado está submetido As interseções existentes entre as bielas tirantes eou cargas atuantes ações ou reações são denominados nós A Figura 21 apresenta o MBT para uma viga parede Figura 21 Modelo de bielas e tirantes de viga parede Pantoja 2012 Os primeiros estudos envolvendo o método de bielas e tirantes StrutandTie Models STM do inglês tiveram origem no início do século XX Ritter e Mӧrsch propuseram a partir de resultados experimentais a analogia do modelo de treliças para o dimensionamento a cisalhamento de vigas fletidas de concreto armado Segundo esse modelo admitese a substituição da viga original por uma treliça equivalente definida a partir da distribuição de tensões As barras tracionadas representam campos de tensão de tração tirantes enquanto as barras comprimidas 6 representam campos de tensão de compressão bielas A Figura 22 apresenta a denominada Analogia de Treliça Figura 22 Analogia de Treliça Pesquisas e estudos foram desenvolvidos no último século com o propósito de refinar e adequar a clássica analogia de treliça de Ritter e Mӧrsch aos resultados experimentais A aplicação desses conceitos a outros tipos de elementos estruturais representa portanto uma generalização da teoria caracterizando o modelo de bielas e tirantes Em geral essas publicações tratam sobre os princípios gerais de funcionamento e concepção dos modelos de bielas e tirantes abordando temas como procedimentos para definição das regiões com e sem descontinuidade geração dos modelos de treliças no interior do contínuo de concreto cálculo dos esforços internos diretrizes para verificação das tensões nas bielas e regiões nodais e cálculo e detalhamento da armadura necessária Entretanto foi a partir dos estudos desenvolvidos por Schlӓich et al 1987 que o tema ganhou forte impulso Além das vigas inicialmente analisadas esses pesquisadores estenderam a aplicação do modelo de bielas e tirantes a outros tipos de elementos estruturais tais como vigasparede consolos curtos sapatas blocos de fundação vigas com aberturas entre outros Schӓfer e Schlӓich 1991 propuseram ainda regras de caráter prático principalmente em relação à determinação das resistências das bielas e regiões nodais tornando possível a sistematização no dimensionamento de estruturas de concreto com descontinuidades estáticas eou geométricas Oliveira 1995 determinou os esforços internos nas bielas e tirantes de um modelo de treliça hiperestático Para tanto utilizou a técnica de Mínima Norma Euclidiana na análise de vigas esbeltas vigasparede consolo e nó de pórtico e validou sua formulação com exemplos da literatura 7 Souza 2004 estudou soluções alternativas de dimensionamento de vigasparede e blocos de fundação tais como o Método dos Elementos Finitos o Método das Bielas e o Método CordaPainel O autor propôs ainda critérios de análise dimensionamento e detalhamento de elementos especiais de concreto estrutural Santos 2006 realizou um estudo do modelo de bielas e tirantes em vigas de concreto armado cujos resultados das modelagens permitiram comparações com os resultados das verificações realizadas segundo os critérios da NBR 6118 2003 e do MC CEBFIP 1990 identificando também os aspectos de maior dificuldade na concepção de um modelo de bielas e tirantes Pesquisadores da Universidade de Illinois desenvolveram um programa computacional baseandose em resultados experimentais O programa CAST Computer Aided Strut and Tie utiliza uma interface simples que possibilita a criação e a modificação gráfica de modelos de bielas e tirantes com grande agilidade Além disso a obtenção dos esforços no modelo e a verificação da capacidade resistente das bielas e dos nós é feita de maneira automática conforme relatam Tjhin e Kuchma 2002 Além disso o programa realiza análises lineares e não lineares de modelos de bielas e tirantes seu dimensionamento e detalhamento Nepomuceno 2012 realizou uma análise de vigasparede aplicando o modelo de bielas e tirantes na predição de carga última comparando métodos analíticos e numéricos com o auxílio dos softwares CAST para uma análise linear e do Micro Truss Analyzer para uma análise não linear Pantoja 2012 analisou o desempenho do Modelo de Bielas e Tirantes via análise de confiabilidade O método permite avaliar as incertezas inerentes ao carregamento atuante e as respectivas resistências do concreto e do aço da estrutura analisada Os índices de confiabilidade são obtidos para mostrar a validade da formulação Simão 2014 realizou uma análise e dimensionamento de vigas de concreto armado com aberturas na alma utilizando o Modelo de Bielas e Tirantes submetidas a um carregamento distribuído ao longo do comprimento Verificouse que é possível realizar o dimensionamento das vigas com abertura sem que ocorra redução da capacidade de carga e que a redução da rigidez pode ser controlada de modo a garantir um correto comportamento estrutural Santos e Vieira 2016 desenvolveram um software para o dimensionamento de consolos curtos de concreto armado utilizando o MBT e baseado na NBR 9062 2006 8 Foi estudado um exemplo do livro do modelo de Bielas e Tirantes aplicados a estruturas de concreto armado Silva e Giongo 2000 e os resultados obtidos validam o funcionamento do software Conforme dito anteriormente o MTB é aplicado em elementos que apresentam descontinuidades de ordem geométrica eou estática Portanto o primeiro passo para a concepção do modelo é dividir a estrutura em regiões B e D Denominamse Regiões B aquelas em que a Hipótese de BernoulliEuler é válida ou seja regiões em que se pode assumir que a distribuição de deformação ao longo da altura da seção transversal seja linear Nesses casos costumase desprezar as deformações causadas pelo esforço cortante e o dimensionamento é feito do modo convencional Quando a hipótese anterior não é aplicável têmse as Regiões D cuja análise e dimensionamento são objetos de estudo do presente trabalho A Figura 23 ilustra regiões desse tipo Com base no Princípio de Saint Venant é possível definir as Regiões D de uma estrutura O Princípio de Saint Venant afirma que efeitos localizados causados por qualquer carga que age sobre um corpo serão dissipados ou atenuados em regiões suficientemente afastados do ponto de aplicação da carga Como regra geral que se aplica a muitos casos de carregamento e geometria podese afirmar que essa distância é no mínimo igual à maior dimensão da seção transversal carregada Figura 23 Divisão da estrutura em regiões B e D Adaptado de Fu 2001 9 No caso de regiões com geometria irregular a distribuição das deformações também é nãolinear e portanto o Princípio de Saint Venant também se aplica Desse modo as descontinuidades podem ser de ordem estática que ocorrem quando da aplicação de cargas concentradas eou reações de apoio ou geométricas como em aberturas em vigas nós de pórtico e mudanças bruscas na geometria Figura 24 Figura 24 Regiões com descontinuidade estática b d f ou geométrica a c e Após a identificação das zonas de descontinuidade de uma estrutura e conhecidos os esforços nos contornos das mesmas podese recorrer a alternativas de dimensionamento apropriadas como por exemplo o método das bielas e tirantes Em linhas gerais um projeto envolvendo o MBT apresenta o roteiro descrito nos passos I a VI a seguir e mostrado de forma esquemática pela Figura 25 I Identificação das regiões com descontinuidade através do Princípio de Saint Venant II Cálculo dos esforços solicitantes no contorno da região D Para tanto forças distribuídas devem ser substituídas por cargas concentradas equivalentes III Concepção do modelo topológico da treliça no interior do contínuo de concreto Os eixos das bielas e tirantes devem ser orientados para coincidirem aproximadamente com os eixos dos campos de tensões principais de compressão e tração respectivamente 10 IV Cálculos dos esforços nas barras da treliça V Verificação da resistência nas bielas e regiões nodais quanto ao esmagamento e cálculo da área de aço necessária para os tirantes O detalhamento da armadura deve assegurar a adequada condição de ancoragem além de prever armadura de pele mínima para controle da fissuração VI Aperfeiçoamento do modelo se necessário Figura 25 Fluxograma do Modelo de bielas e tirantes 22 Otimização Estrutural Em um problema de otimização desejase encontrar um conjunto de n variáveis de projeto contido num vetor x que minimize ou maximize a função objetivo Tratase portanto de um problema de extremização maximização ou minimização que pode ser resolvido com o uso de teorias matemáticas Além disso existem critérios de projeto impostos pelas restrições que precisam ser atendidos A região de projeto que reúne os pontos que obedecem às restrições do problema é denominada de região viável sendo frequentemente classificada em regiões de igualdade e desigualdade No contexto de engenharia de estruturas os problemas de otimização clássicos são a minimização de volume da energia de deformação da flexibilidade a maximização 11 da frequência natural crítica e a maximização da carga crítica de flambagem No caso das restrições as mais comuns são as equações de equilíbrio os estados limites últimos e de serviço e os limites impostos diretamente às variáveis de projeto Os primeiros estudos envolvendo otimização estrutural tiveram início com o trabalho precursor de Maxwell 1870 visando aliar desempenho estrutural com o menor volume de material possível Michell 1904 deu sequência ao trabalho de Maxwell estudando estruturas treliçadas submetidas a diferentes condições de carregamento buscando o menor peso de material verificando as tensões nas barras para cada caso de carregamento A utilização do Método dos Elementos Finitos MEF permitiu o avanço nos estudos relacionados à otimização topológica OT Isso se deve ao fato que a alteração da topologia da estrutura distribuição de material pode implicar numa constante atualização da malha de elementos finitos à medida em que o domínio físico do problema é modificado Dentre as técnicas existentes para a OT merece destaque o modelo desenvolvido por Bendsøe 1989 denominado SIMP Solid Isotropic and Material Penalization Considerando a necessidade de definição de regiões vazias ou não representase o material sólido com uma densidade artificial ρ1 e o material vazio com ρ0 Densidades artificiais intermediárias isto é para 0 ρ 1 tornamse desfavoráveis durante a otimização do problema uma vez que conduzem a um aumento de volume de material associado a pequenos ganhos de rigidez e portanto não têm interesse prático Dessa forma técnicas que penalizem esses elementos devem ser usadas para evitar a ocorrência deste tipo de região no domínio analisado Alguns algoritmos de otimização topológica baseados em densidade de material possuem seus códigos disponíveis na literatura técnica ou na web Vale citar os seguintes trabalhos 99 line topology optimization code Sigmund 2001 e An 88 line topology optimization code Andressen et al 2010 ambos escritos na linguagem MatLab Pantoja 2012 apresentou uma metodologia que contempla aspectos de geração automática da topologia e avaliação da segurança via confiabilidade dos modelos de bielas e tirantes aplicados a estruturas planas de concreto armado O algoritmo de otimização topológica SIMP Solid Isotropic Material with Penalization que faz uso 12 de densidades artificiais é utilizado como base para um encaminhamento de cargas ótimo e estaticamente admissível Apresentou também a influência da presença de elementos indutores do tipo armaduras na definição da topologia e concluiu que a otimização topológica com processos de indução é uma alternativa viável Uma técnica de otimização de layout encontrada na literatura é o método proposto por Xie e Steven 1993 denominado Otimização Estrutural Evolucionária Evolutionary Structural Optimization ESO A essência do método consiste na remoção gradual de regiões menos solicitadas com base num critério de penalidade baseado em tensões equivalentes de von Mises Isto é elementos com tensões abaixo de um determinado limite são removidos da malha a cada iteração num processo denominado hardkill Dessa forma é possível obter uma estrutura ótima para um dado volume remanescente Liang et al 2000 utilizaram a técnica de otimização estrutural evolucionária para geração automática de modelos de bielas e tirantes em estruturas de concreto armado em estado plano de tensões O método considerou a energia de deformação de elementos virtuais para realizar a remoção que é monitorada por um índice de performance Os elementos com menor contribuição para rigidez são sistematicamente removidos estabelecendo uma configuração final do modelo de bielas e tirantes com os mecanismos de transferência de cargas correspondentes O trabalho apresenta aplicações em vigasparede e consolo curto Uma variante do ESO é o AESO Additive Evolutionary Structural Optimization é apresentada por Querin et al 2000 na qual elementos são inseridos nos domínios da estrutura utilizando uma técnica de otimização evolutiva semelhante ao ESO Simonetti 2009 propôs uma nova estratégia evolucionária chamada de SESO Smoothing Evolutionary Structural Optimization cuja idéia central baseiase no fato de que se o elemento não for realmente necessário à estrutura sua contribuição de rigidez diminui gradativamente ou seja sua retirada ocorre de forma suave num processo batizado de softkill Para gerar modelos de bielas e tirantes e validar sua formulação foram testados diversos exemplos numéricos como um pilar de ponte viga de formato L e consolo curto 13 Estudos pioneiros de Xie e Steven 1996 abordaram o problema da maximização das freqüências naturais e a partir dessa publicação outras análises considerando problemas dinâmicos ganharam impulso Lanes 2013 abordou o problema de OT implementando o algoritmo ESO na plataforma de programação disponível no software comercial Abaqus para automatização na definição do modelo de bielas e tirantes O autor investigou a obtenção de estruturas ótimas submetidas a ações estáticas e dinâmicas sob restrições de volume de material e outros exemplos considerando a nãolinearidade geométrica sob restrições de outras variáveis de projeto A metodologia desenvolvida mostrouse simples e eficiente e os resultados obtidos ficaram próximos aos da literatura Guerra 2017 investigou métodos de dimensionamento para estruturas em concreto armado com comportamento não linear do material Para modelagem e análise dos elementos estruturais utilizou o software comercial Abaqus Já para a concepção dos modelos de bielas e tirantes lançou mão do algoritmo de otimização topológica evolucionária implementado por Lanes 2013 Por fim estabeleceu comparações entre os modelos de bielas e tirantes e quantidade de armaduras obtidos considerandose uma análise linear e nãolinear A otimização estrutural pode ser classificada conforme o tipo de variável de projeto Os tipos frequentemente encontrados na literatura são Otimização Paramétrica Size Optimization Otimização de Forma Shape Optimization e Otimização Topológica Topology Optimization Na otimização paramétrica variamse apenas as dimensões diâmetro base altura da seção transversal dos elementos com a forma e topologia fixas Por exemplo uma vez estabelecido que a seção seja retangular esta geometria não se altera apenas os valores da base e altura segundo as funções de restrição A Figura 26a ilustra esta abordagem Na otimização de forma o contorno da estrutura é alterado a cada iteração durante o processo de otimização mas a topologia permanece fixa conforme pode ser observado na Figura 26b Por fim a otimização topológica OT que otimiza a distribuição de material num domínio previamente definido domínio estendido Para estruturas discretas isto representa por exemplo variar o número de barras suas respectivas conectividades e 14 propriedades geométricas Já em estruturas contínuas são criados buracos na estrutura ver Figura 26c No presente estudo ênfase maior será dada à otimização de topologia em especial à técnica ESO Evolutionary Structural Optimization Figura 26 a Otimização Paramétrica de estrutura treliçada b Otimização de Forma c Otimização Topológica Bensøe e Sigmund 2002 Entretanto seja qual for o tipo de otimização paramétrica de forma ou topológica existem diferentes métodos para atacar um problema de otimização estrutural classificados em dois grandes grupos determinísticos e heurísticos Querin 1997 Nos métodos clássicos também chamados de métodos determinísticos a função objetivo e as restrições são dadas como funções matemáticas e relações funcionais É necessário também que a função objetivo seja contínua e diferenciável em relação às variáveis de projeto Nestes métodos são empregados teoremas que lhes garantem a convergência para uma solução ótima mas que não necessariamente é a solução ótima global Em geral a solução encontrada é extremamente dependente do ponto de partida fornecido podendo convergir para um ótimo local e por isso não possuem bom desempenho em otimizar funções multimodais isto é funções que possuem vários ótimos locais Como exemplo podese citar a programação linear e a programação não linear Já os métodos heurísticos de otimização estão baseados em regras e simplificações que permitem a busca de soluções em conjuntos não convexos com funções objetivo também não convexas e não diferenciáveis Além disso trabalham adequadamente com variáveis lógicas contínuas e discretas Por outro lado conforme afirmou Querin 15 1997 não garantem à condução da solução ótima final uma vez que não há prova de convergência Como decorrência podem levar à descoberta de soluções não convencionais que não poderiam ser vislumbradas por serem contra intuitivas Para utilização desta abordagem em problemas de otimização com restrições é comum empregar um método de penalização no qual um indivíduo é removido da população quando violar as restrições ou quando não for possível avaliar seu desempenho Outra forma de solução que contempla essa abordagem são as técnicas que imitam de forma simplificada fenômenos ou processos encontrados na natureza como é o caso dos Algoritmos Genéticos tratase de um algoritmo baseado no processo de seleção natural proposto por Darwin Tomase inicialmente uma população viável de soluções para o problema Tal população se reproduz e sofre mutações descartandose as soluções indivíduos que menos se ajustam ao propósito do problema Assim a cada geração um novo conjunto de possíveis soluções é criado até alcançar a solução ótima de maneira semelhante à evolução natural Dessa forma a otimização estrutural baseiase nos mais diversos métodos e critérios considerando leis matemáticas e mecânicas atuando como uma ferramenta poderosa durante a fase de concepção e projeto de estruturas 16 3 OTIMIZAÇÃO ESTRUTURAL EVOLUCIONÁRIA ESO Este capítulo apresenta o algoritmo de otimização topológica ESO implementado neste trabalho considerando material com comportamento linearelástico 31 Introdução A concepção do modelo de bielas e tirantes a ser adotado é comumente vista como uma espécie de lançamento estrutural É função da geometria do elemento das forças atuantes no seu contorno e do fluxo de tensões no seu interior Como não há uma sistematização da metodologia o que se observa na prática é a adoção de regras simplificadas de dimensionamento desses tipos de elementos estruturais Entretanto de um modo geral segundo Silva e Giongo 2000 na definição da topologia do modelo devem ser observados os seguintes aspectos tipos de seções atuantes ângulo entre bielas e tirantes área de aplicação das ações e reações número de camadas da armadura Schlӓich et al 1987 sugeriram uma modelagem feita considerando a geometria do modelo por meio das tensões elásticas e dimensionando a mesma pelo teorema do limite inferior da plasticidade ou seja considerando o campo de tensõesesforços na estrutura como estaticamente admissível em qualquer ponto do corpo a distribuição de esforços na estrutura deve satisfazer às condições de equilíbrio e de contorno bem como atender ao critério de escoamento A seguir são apresentadas de maneira resumida algumas alternativas encontradas na literatura para escolha do modelo de bielas e tirantes Modelos normativos Existem modelos padronizados para elementos estruturais do tipo consolos curtos blocos sobre estacas sapatas nós de pórtico vigas parede entre outros Se por um lado os modelos padronizados possibilitam o dimensionamento de elementos especiais de forma segura por outro têm o inconveniente de serem limitados a certos parâmetros geométricos e de carregamento As Figuras 31 e 32 trazem alguns exemplos 17 Figura 31 Modelos de bielas e tirantes CEBFIP 2010 Figura 32 Modelo de bielas e tirantes a viga parede b apoio em dente c nó de pórtico Wight e Macgregor 2012 Processo do Caminho de Cargas Load Path Approach Neste método devese assegurar inicialmente o equilíbrio externo da Região D considerando o carregamento atuante e as restrições de apoio existentes O caminho de cargas no interior da estrutura ocorre via campos de tensão de tração e compressão 18 sendo que duas ações opostas devem ser interligadas por caminhos mais curtos possíveis conforme pode ser visto na Figura 33 Se houver carregamentos distribuídos estes devem ser substituídos por cargas concentradas equivalentes de modo que as forças de um lado da estrutura após percorrerem um determinado caminho de carga encontrem do outro lado as ações que as equilibram Figura 33 Modelo de bielas e tirantes definido pelo Processo do Caminho de Cargas Schӓfer e Schlӓich1991 Os caminhos de carga entre forças atuantes e reações formam o modelo de bielas e tirantes Se necessário devem ser acrescentadas outras barras para equilíbrio dos nós Análise Linear Elástica Geralmente a distribuição das tensões elásticas no interior da estrutura de concreto é tomada como uma referência inicial para determinação da posição das bielas e tirantes Nesse caso com o auxílio de um programa de elementos finitos a direção das bielas pode ser definida a partir da direção média das tensões principais de compressão ao passo que os tirantes ficam determinados pela direção das tensões principais de tração Uma vez calculados os esforços nas barras da treliça idealizada devese verificar a resistência das bielas e regiões nodais e dimensionar a armadura dos tirantes Análise NãoLinear A partir de análises experimentais modelos podem ser concebidos observandose o padrão de fissuração do elemento Uma vez que a direção das fissuras se apresenta perpendicular ao fluxo de tensões de tração e paralela ao fluxo de tensões de 19 compressão haveria a possibilidade de traçar as trajetórias das bielas e tirantes A Figura 34 ilustra o procedimento para o caso de uma viga parede com carga concentrada Figura 34 Modelo de bielas e tirantes obtido pelo padrão de fissuração Schlӓich et al 1987 Processos de Otimização Um dos maiores problemas enfrentados na aplicação do MBT está na falta de uma metodologia sistemática e coerente Isso explica o emprego de soluções práticas simplificadas geralmente conservadoras mas que em algumas situações podendo ser até inseguras Diante deste cenário a geração automática de modelos de bielas e tirantes tem o intuito de tornar a escolha do modelo menos dependente da experiência do projetista auxiliandoo no dimensionamento seguro de elementos especiais Otimização topológica pode ser entendida como um método computacional capaz de lançar estruturas através da distribuição ótima de material em uma determinada região do espaço Para isso é utilizada uma combinação do Método dos Elementos Finitos um modelo para o comportamento do material e métodos de otimização Assim uma região do espaço é discretizada em elementos finitos de modo que se possa analisar seu comportamento e então é distribuído material de forma racionalizada através de algoritmos de otimização Pantoja 2012 20 No presente trabalho será empregada a técnica de otimização topológica no sentido de automatizar o processo de definição do MBT em estruturas submetidas a estado plano de tensão Portanto para alcançar esse objetivo a primeira etapa consiste na implementação de um elemento finito bidimensional cuja formulação é apresenta no item a seguir 32 Formulação do Elemento Triangular O elemento finito implementado neste trabalho é o elemento bidimensional triangular de três nós e dois graus de liberdade por nó conhecido como CST Constant Strain Triangle utilizado na simulação numérica por meio do Método dos Elementos Finitos de estruturas sob estado plano de tensões Seus graus de liberdade são dados pelos deslocamentos de translações nas direções dos eixos x e y que formam o plano do elemento triangular como mostrado na Figura 35 Figura 35 a Malha Elemento triangular de três nós b Graus de liberdade do elemento triangular O domínio do elemento triangular implementado é representado por um determinado volume de área triangular e espessura constante ao longo dessa área O elemento triangular bidimensional representa o plano médio desse domínio no qual as aproximações para um problema em estado plano de tensões desprezam as tensões que surgem no plano do elemento e um ponto nesse plano pode apenas deslocar mantendo se no plano Dessa forma as equações dos deslocamentos para o elemento são dadas por u xy e v xy 21 A partir do tensor de deformaçãodeslocamento de GreenLagrange e considerando pequenas mudanças de configurações obtêmse as equações das deformações dadas pelas Equações 31 a 33 x u x 31 y v y 32 xy y x u v 33 Considerando material homogêneo isotrópico e linear chegase à relação tensão deformação dada pela Equação 34 a seguir onde E é o módulo de elasticidade longitudinal do material e v o seu coeficiente de Poisson x x y y 2 xy xy σ 1 ν 0 ε E σ ν 1 0 ε 1v 1ν τ γ 0 0 2 34 Aplicando um campo de deformação virtual compatível ao elemento triangular deformável temse pelo princípio dos trabalhos virtuais V ij ij dV W int 35 onde é o operador variacional ij é o estado tensional real em um ponto qualquer no elemento e ij é o estado de deformação virtual em um ponto qualquer no elemento ou seja a deformação obtida devido ao campo de deslocamento virtual aplicado ao elemento Aplicando o operador variacional nas Equações 31 a 33 das deformações chegase às equações a seguir x u x 36 y v y 37 xy y x u v 38 Substituindo as Equações 36 a 38 na expressão do princípio do trabalho virtual e desprezando as tensões tangenciais e normais ao plano de normal na direção z chegase 22 à equação a seguir para o trabalho virtual interno Nessa equação t é a espessura do elemento triangular int x x y y y x xy A W t u v u v dA 39 Na aproximação por elementos finitos baseado em deslocamentos as equações dos deslocamentos são aproximadas por funções de forma associadas aos deslocamentos nodais q Para as funções de interpolação nos elementos triangulares é usual adotar as chamadas coordenadas naturais Para descrevêlas considerese a Figura 36a na qual está representado um triângulo de área A Figura 36 Definição das coordenadas naturais de triângulo Bathe 1982 Considerese um ponto P de coordenadas x y interno ao triângulo sendo A1 A2 A3 as áreas dos triângulos P23 P31 e P12 respectivamente Adotando as relações entre cada uma dessas áreas e a área total do triângulo chegase às seguintes equações 1 1 A A 310a 2 2 A A 310b 3 3 A A 310c 23 Pode ser facilmente depreendido da Figura 36a que quando o ponto P se move para um dos nós a correspondente coordenada natural assume o valor unitário e as demais se anulam O ponto P fica definido por 1 2 3 que são as coordenadas naturais do triângulo Como A1 A2 A3 A e sendo x1 x2 x3 e y1 y2 y3 as coordenadas dos vértices do triângulo podem ser estabelecidas o conjunto de Equações 311 Desta forma cada ponto do triângulo corresponde a um e apenas um conjunto 1 2 3 1 1 2 2 3 3 x x x x 311a 1 1 2 2 3 3 y y y y 311b 1 2 3 1 311c Para um ponto P de coordenada xy qualquer no interior do triângulo determinase as áreas dos três triângulos mostrados na Figura 36 pelas Equações 312 a 314 Já a área A do elemento triangular pode ser calculada pela Equação 315 1 1 3 2 2 3 2 2 2 A x x y y y y x x 312 1 2 1 3 1 3 1 1 2 A x x y y x x y y 313 1 3 2 1 1 2 1 1 2 A x x y y y y x x 314 1 1 3 2 3 2 3 1 3 2 A x x y y x x y y 315 Para que as áreas A1 A2 A3 e A da forma que foram definidas nas Equações 312 a 315 sejam positivas os nós 1 2 e 3 do triângulo da Figura 36a deve ser definidos de tal forma que o sentido de percurso do nó 1 ao 3 seja sempre antihorário Considerando 1 2 as equações das coordenadas paramétricas em função de x e y são dadas pelas equações a seguir 2 3 3 2 3 2 2 3 2 2 2 2 2 y y x x y y x x x y A A A x y 316 3 1 1 3 3 1 1 3 1 1 2 2 2 y y x x x x y y y x A A A x y 317 O conjunto de Equações 311 pode ser visto como um mapa entre o domínio paramétrico e o domínio cartesiano A Figura 37 representa esse mapeamento do elemento triangular da Figura 36a no espaço paramétrico 1 2 Nesse espaço 24 considerase ξ1 ξ e ξ2 η e portanto a partir da Equação 311c 𝜉3 1 𝜉 𝜂 Dessa forma para elementos triangulares de três nós as funções de forma em coordenadas naturais ficam 1 1 ξ N 318a 2 2 N 318b 3 3 1 N 318c Figura 37 Domínio paramétrico em coordenadas naturais Fish e Belytschko 2007 Definindo o vetor dos deslocamentos nodais por 1 2 3 1 2 3 q T u u u v v v e representando as funções de interpolação dadas pelo conjunto de Equações 319 pelo vetor coluna 1 2 3 T N N N definemse as equações aproximadas dos deslocamentos associadas aos deslocamentos nodais q q T T T T u v 319 Na Equação 319 é um vetor coluna nulo com três termos Sendo os deslocamentos u e v funções dos deslocamentos nodais os seus variacionais podem ser escritos a partir da seguinte expressão q q a T a sendo q o vetor dos deslocamentos nodais o operador diferencial e a substituído por u e v Substituindo esses variacionais na Equação 39 chegase ao trabalho virtual de um elemento triangular dado pela equação a seguir 25 int q q q q q y y x x T x y xy A v u u v W t dA 320 O trabalho virtual externo é dado por ext T Wext q f sendo ext f o vetor de forças externas no elemento dado pelas forças externas aplicadas diretamente na direção dos graus de liberdade do elemento e as forças nodais equivalentes obtidas a partir do carregamento externo atuando no contorno do elemento Da condição Wint Wext temse q q q q q q y y x x T T x y xy ext A v u u v t dA f 321 Sabendo que a expressão acima deve ser válida para qualquer campo de deslocamento virtual compatível q temse 0 f f ext int onde fint é o vetor de forças internas dado pela expressão fint q q q q y y x x x y xy A v u u v t dA 322 O vetor de forças internas para o elemento triangular da Equação 322 pode ser reescrito na forma apresentada pela equação a seguir f x x xy y int y y xy x A t dA 323 Utilizando o método de NewtonRapshon na solução do problema 0 f f ext int é necessária a determinação da derivada dessa expressão em relação aos deslocamentos nodais obtendo assim a matriz de rigidez tangente Sendo ext f constante em relação aos deslocamentos nodais a matriz de rigidez tangente é dada por 26 q q f K q q q T T xy x x y int T T A y xy y x t dA 324 Na Equação 324 a derivada da tensão normal na direção x em relação aos deslocamentos nodais é dada por q q q y x x x x x y 325 Da Equação 34 temse 1 2 E x x y logo as derivadas em relação às deformações x e y são dadas por 2 1 E e 2 1 E x respectivamente As derivadas das deformações lineares em relação aos deslocamentos nodais são dadas pelas expressões a seguir q q x x x u 326 q q y y y v 327 Substituindo as Equações 326 e 327 na derivada dos deslocamentos nodais Equação 325 temse 2 1 q x x y E 328 De forma análoga à descrita para tensão normal na direção x podese chegar às Equações 329 e 330 para as derivadas em relação aos deslocamentos nodais das outras tensões atuantes no elemento 2 1 q x y y E 329 27 21 q y xy x E 330 A seguir são determinadas as derivadas das funções de forma em relação aos eixos x e y 2 3 2 3 3 1 3 1 1 2 1 0 1 0 1 2 2 2 1 1 x x x y y y y y y y y A A A y y 331 3 2 3 2 1 3 1 3 2 1 1 0 1 0 1 2 2 2 1 1 y y y x x x x x x x x A A A x x 332 Para mudança do domínio de integração dA dxdy para d d utilizase a relação det J dA d d onde J é a matriz jacobiano da transformação das coordenadas x e y para as coordenadas paramétricas e dada pela equação seguir Assim detJ 2A J x y x y 333 33 Formulação do ESO A técnica ESO surge como uma alternativa ao rigor matemático de métodos clássicos de otimização Esse procedimento proposto por Xie e Steven 1993 apresenta uma base teórica simples cujo fundamento consiste na inserção de vazios na estrutura através da eliminação gradual dos elementos menos solicitados do domínio durante o processo de evolução Portanto para se obter a configuração ótima devese agregar ao estudo um nível de análise estrutural dependente de um domínio discreto o que torna o emprego do Método dos Elementos Finitos uma etapa do algoritmo de otimização Neste trabalho a representação matemática técnica ESO baseiase no conceito de tensão isto é o nível máximo de tensão na estrutura obtido por análises via MEF é tomado como um indicador do nível de eficiência de cada elemento Elementos com baixo nível de tensão são portanto sistematicamente removidos da estrutura A cada iteração novos elementos ineficientes são eliminados da malha e o procedimento se repete até que o campo de tensão atuante em todo o domínio seja praticamente constante 28 e muito próximo da tensão admissível do material ou que seja atingida a restrição de volume mínimo A Figura 38 ilustra o processo de retirada do elemento Figura 38 ESO retirada de elemento da malha Simonetti 2009 O critério de remoção é feito comparandose a tensão de von Mises de cada elemento com a tensão de von Mises máxima existente em toda a estrutura Portanto no fim de cada iteração todos os elementos que atendam à Inequação 334 serão eliminados A forma de retirada do elemento ocorre atribuindose baixos valores para seu módulo de elasticidade E1012 Desse modo evitase o remalhamento da estrutura o que simplifica muito a implementação computacional do método dentro de uma plataforma de um programa de elementos finitos No entanto os graus de liberdade de um nó conectados a elementos que tenham sido retirados da análise continuam produzindo equações na matriz de rigidez global da estrutura o que pode levar a um mau condicionamento dessa matriz Esse é o motivo da utilização de um módulo de elasticidade pequeno em vez de nulo para o elemento após a sua retirada da malha 𝜎𝑒 𝑣𝑀 RRi 𝜎𝑀𝑎𝑥 𝑣𝑀 334 onde 𝜎𝑒 𝑣𝑀 tensão de von Mises no elemento analisado RRi razão de rejeição na iésima iteração 0RRi10 𝜎𝑀𝑎𝑥 𝑣𝑀 máxima tensão de von Mises da iteração A razão de rejeição é usada para retardar o processo de remoção do elemento O ciclo de remoção ocorre até que não possam mais ser removidos elementos para um dado valor de RRi Quando isto ocorre um estado de equilíbrio é alcançado O processo 29 evolucionário é redefinido adicionandose à RRi uma razão de evolução ER A razão de rejeição é atualizada de acordo com a Equação 335 RRi1RRi ER i 012 335 O valor inicial da razão de rejeição RR0 é definido de forma empírica pelo usuário Entretanto segundo Querin 1997 para garantir melhor convergência os valores de RR0 e ER devem ser de aproximadamente 1 O processo se repete enquanto a estrutura não atingir o volume final VF definido pelo usuário ou seja 1 VR VF VT 336 onde VR é o volume retirado acumulado até aquela iteração VF é o volume final expresso em percentual por exemplo VF 04 implica que a retirada de elementos cessará quando o volume da estrutura atingir 40 do seu volume total inicial e VT o volume inicial total da estrutura Matematicamente o ESO pode ser escrito como 0 se j Γ j se j Γ D D 0 337 onde Dj matriz constitutiva do ponto j Ω D0 matriz constitutiva inicial Ω Γ Γ domínio da estrutura i vM e vM máx Γ RR conjunto dos elementos que não serão removidos i vM e vM máx Γ RR conjunto dos elementos que serão removidos Portanto o algoritmo ESO apresenta a seguinte marcha representada no fluxograma da Figura 39 1º Passo discretização do domínio e aplicação das condições de contorno e ações prescritas 30 2º Passo análise da estrutura via MEF e cálculo das tensões principais e tensões de von Mises em cada elemento 3º Passo retirar os elementos que satisfaçam a Inequação 335 dentro de um limite prédefinido de volume p 4º Passo repetir os passos 2 e 3 até que seja atingido o equilíbrio 5º Passo acréscimo da razão de rejeição conforme a Equação 336 e iniciar nova retirada de elementos repetindo os passos 2 3 e 4 Figura 39 Algoritmo ESO em nível de tensão 34 Critério de escoamento de von Mises A teoria da energia de distorção máxima formulada por von Mises estabelece que o escoamento de um material dúctil ocorre quando a energia de distorção por unidade de volume do material 𝑢𝑑 assume um valor crítico 𝑢𝑒𝑠𝑐 dado pela energia de distorção 31 por unidade de volume do mesmo material quando submetido a escoamento em um ensaio de tração simples Em termos de tensões principais a energia de distorção pode ser escrita como 𝑢𝑑 1 ʋ 6𝐸 𝜎1 𝜎22 𝜎2 𝜎32 𝜎3 𝜎12 338 Para o caso uniaxial 𝜎1 𝜎𝑒𝑠𝑐 𝜎2 𝜎3 0 e portanto 𝑢𝑒𝑠𝑐 1 ʋ 6𝐸 𝜎𝑒𝑠𝑐 02 0 𝜎𝑒𝑠𝑐2 1 ʋ 3𝐸 𝜎𝑒𝑠𝑐 2 339 Como o critério exige que 𝑢𝑑 𝑢𝑒𝑠𝑐 temse 𝜎1 𝜎22 𝜎2 𝜎32 𝜎3 𝜎12 2𝜎𝑒𝑠𝑐 2 340 Supondose que o escoamento ocorra para uma dada tensão de von Mises no elemento e ou seja 𝜎𝑒𝑠𝑐 𝜎𝑒 𝑣𝑀 então 𝜎𝑒 𝑣𝑀 2 2 𝜎1 𝜎22 𝜎2 𝜎32 𝜎3 𝜎12 341 Para o caso de estado plano de tensão com 𝜎3 0 e considerando 𝑢𝑑 𝑢𝑒𝑠𝑐 fica 𝜎12 𝜎1𝜎2 𝜎2 2 𝜎𝑣𝑀 2 342 Alternativamente podese determinar a tensão de von Mises em termos das tensões normais e de cisalhamento 𝜎𝑒𝑣𝑀 2 2 𝜎𝑥 𝜎𝑦2 𝜎𝑦 𝜎𝑧2 𝜎𝑧 𝜎𝑥2 6τ𝑥𝑦 2 τ𝑦𝑧 2 τ𝑥𝑧 2 2 343 E para o caso plano a tensão de von Mises é calculada para cada elemento pela Equação 344 𝜎𝑒𝑣𝑀 𝜎𝑥2 𝜎𝑥𝜎𝑦 𝜎𝑦2 3τ𝑥𝑦 2 344 35 Problemas Numéricos na Otimização Topológica Embora seja conceitualmente simples o ESO é um algoritmo de otimização discreta o que em geral resulta em problemas relacionados às instabilidades numéricas conforme detalhado em Sigmund e Petersson 1998 Estas instabilidades são 32 classificadas em três categorias tabuleiro de xadrez dependência da malha e os mínimos locais que serão brevemente abordados nos itens a seguir 351 Tabuleiro de Xadrez Checkerboard A instabilidade de tabuleiro de xadrez também conhecida na literatura como checkerboard é um problema bastante comum na otimização topológica de estruturas contínuas Caracterizase pela formação na topologia ótima de regiões contendo vazios sem material e sólidos com material de maneira alternada assumindo um aspecto semelhante a um tabuleiro de xadrez conforme indica a Figura 310 Figura 310 Representação do tabuleiro de xadrez Sigmund e Perterson 1998 Segundo Díaz e Sigmund 1995 esse fenômeno decorre de problemas numéricos na convergência do MEF causado pelo maucondicionamento das equações de equilíbrio Bendsøe e Sigmund 2004 sugeriram a utilização de elementos com função de interpolação de alta ordem como por exemplo elementos bilineares ou quadriláteros de oito nós uma vez que o enriquecimento do campo de deslocamentos pode prevenir a ocorrência desse tipo de fenômeno No presente trabalho apesar de ter sido utilizado o elemento triangular de três nós a redução desse tipo de instabilidade foi possível através da implementação de um código que controla a retirada de elementos que se encontram soltos na malha durante o processo evolucionário isto é elementos que não estejam conectados a nenhum outro elemento por meio de suas arestas A Figura 311 apresenta um desdobramento do algoritmo ESO da Figura 39 cuja descrição é dada a seguir 33 Figura 311 Fluxograma do algoritmo ESO quando há elementos a serem removidos para uma dada taxa de rejeição Para ficar mais clara a explicação será definida elmr como a lista de elementos a serem retirados elmrc a lista de elementos de contorno a serem retirados nelmr número de elementos de elmr e nelmrc número de elementos de elmrc O algoritmo cria uma lista vetor elmr com nelmr elementos candidatos a serem retirados em ordem crescente de razão de rejeição isto é elementos que atendam à Inequação 334 independentemente de o elemento ser de contorno ou de interior Elemento de contorno é o elemento que tem uma ou mais de suas arestas não conectada a nenhum outro elemento caso contrário o elemento é de interior A remoção dos elementos da lista elmr ocorre até que o volume retirado numa dada iteração Voli atinja o volume máximo permitido para ser retirado por iteração definido pelo parâmetro de entrada VI Para controlar a maneira como é feita a remoção de elementos entretanto foi criada a variável it que permite ao usuário forçar ou não a eliminação de elementos da malha que não estejam conectados a nenhum outro elemento por meio de suas arestas ou seja estariam conectados apenas pelos seus nós Assim quando it é 1 esses elementos soltos são retirados mesmo que não atendam à Inequação 334 Isso é feito através da função Retirar Elementos N que exclui da malha os primeiros elementos da lista elmr até que Voli VI ou esgote os elementos a serem retirados da lista elmr nesse caso Voli VI Após isso é iniciada a etapa de retirada dos elementos conectados apenas pelos seus nós Por outro lado quando it é 0 o algoritmo não retira os elementos soltos se não apresentarem tensão de von Mises baixa Ou seja o código 34 então chama a função Retirar Elementos que funciona como função Retirar Elementos N excluindo a etapa da retirada dos elementos soltos que não atendem à Inequação 334 Tanto para it 1 quanto para it 0 depois da remoção de todos os elementos do vetor elmr ou daqueles que são permitidos pelo parâmetro VI são verificados se existem elementos isolados ou trechos de elementos isolados e retiramse esses elementos Diferente de elementos soltos que estão conectados a outros elementos pelos seus nós elementos isolados não estão conectados a nenhum outro elemento nem pelas suas arestas e nem pelos seus nós O algoritmo implementado consegue identificar até três elementos conectados entre si e isolados dos demais Tanto para it 1 quanto para it 0 caso o volume retirado Voli ainda não tenha atingido o volume máximo permitido por iteração VI há a possibilidade de serem retirados elementos da malha que são exclusivamente do contorno até que Voli seja igual a VI Para tanto definiuse o parâmetro RRc razão de rejeição de elementos do contorno e sua correspondente razão de evolução ERc Entretanto isso só é feito para valores RRc maiores que RR Dessa forma a função Elementos Removidos Contorno cria uma lista com os elementos de contorno a serem retirados da malha ou seja elementos tais que 𝜎𝑒 𝑣𝑀 RRc 𝜎𝑀𝑎𝑥 𝑣𝑀 Após isso é chamada a função Retirar Elementos N caso it 1 ou Retirar Elementos caso it 0 para a retirada dos elementos da malha conforme descrito nos parágrafos anteriores Caso não haja nenhum elemento que atenda à Inequação 334 para uma dada razão de rejeição isto é quando a lista elmr estiver vazia nelmr 0 e o volume acumulado retirado VR ainda não tenha atingido o valor estipulado pelo usuário as taxas de retirada de elementos RR e RRc devem ser atualizadas e um novo ciclo de remoção iniciado Antes porém de atualizar RR e RRc o algoritmo verifica se existem elementos exclusivamente de contorno para serem retirados A função Elementos Removidos Contorno é novamente chamada para criar agora a lista elmrc de elementos exclusivamente de contorno Na Figura 312 nelmrc é o número de elementos da lista elmrc Mais uma vez isso só é feito se for definida uma taxa de rejeição RRc de elementos de contorno maior que a taxa de retirada RR para elementos quaisquer A Figura 312 ilustra esta etapa do código implementado 35 Figura 312 Fluxograma do algoritmo ESO quando não há elementos a serem removidos para uma dada taxa de rejeição 352 Dependência de Malha O problema da dependência de malha está relacionado com as diversas soluções finais obtidas para diferentes discretizações do domínio Portanto na OT ocorre uma alteração da topologia ótima cada vez que se aumenta a discretização e ao contrário do que era de se esperar a utilização de uma malha mais refinada nem sempre acarreta em melhores resultados Através da Figura 313 é possível perceber como a dependência de malha pode influenciar na topologia final Figura 313 Representação da topologia final para diferentes malhas a 2700 elementos b 4800 elementos c 17200 elementos Bendsøe e Sigmund 2004 Soluções comumente adotadas para minimizar o surgimento desse problema podem ser encontradas em Jog e Haber 1996 Sigmund e Petersson 1998 e Zhou et al 36 2001 Sigmund e Petersson 1998 concluíram que as aproximações adotadas para redução da dependência de malha também reduziam os efeitos do tabuleiro de xadrez Neste trabalho foi adotada a seguinte estratégia para cálculo das tensões nos elementos para representar as regiões a serem eliminadas durante o processo de otimização As tensões são avaliadas no ponto de Gauss do elemento no caso do elemento triangular de três nós implementado é utilizado apenas um ponto de Gauss para o processo de integração numérica Essa tensão é extrapolada para os nós do elemento para o elemento triangular de três nós por se tratar de um elemento de deformação constante a tensão em qualquer ponto do elemento assume o mesmo valor da tensão nos pontos de Gauss Suavização da tensão as tensões em um nó são calculadas através de uma média aritmética simples das tensões de todos os elementos incidentes nesse nó As tensões no elemento são recalculadas através da média das tensões dos três nós de conectividade elemento Dessa forma as cavidades são criadas automaticamente em pontos internos de baixa tensão e foi observado que a aplicação dessa estratégia diminui a ocorrência tanto do tabuleiro de xadrez quanto da dependência de malha durante o processo iterativo 353 Mínimos Locais O problema de ótimos locais está relacionado à natureza não convexa dos projetos de otimização topológica As provas de convergência dos algoritmos funcionam para programação convexa enquanto que para programação não convexa apenas garantese a convergência para pontos estacionários que não são necessariamente mínimos globais Os algoritmos de otimização global disponíveis são em sua maioria incapazes de lidar com uma grande quantidade de variáveis de projeto o que é o caso da otimização topológica Simonetti 2009 Segundo Sigmund e Petersson 1998 essa não convexidade permite que diversas soluções ótimas sejam encontradas dependendo da escolha dos parâmetros iniciais tais como número de elementos e geometria do domínio de projeto Mais especificamente para o ESO a adoção de diferentes parâmetros de entrada do problema como o RR razão de rejeição ER razão de evolução entre outros para uma mesma discretização 37 do domínio pode resultar em diferentes soluções Essa é portanto a grande desvantagem da OT que é extremamente sensível a pequenas modificações em seus parâmetros Sigmund e Petersson 1998 afirmam entretanto que o controle das outras duas instabilidades citadas anteriormente tendem a tornar convexos os problemas evitando a ocorrência desse tipo de problema na topologia final 36 Exemplos Numéricos Neste item são apresentadas algumas aplicações considerando o método ESO implementado Foram feitas análises elásticolineares em estruturas submetidas a estado plano de tensão O material é considerado homogêneo e isotrópico Para cada exemplo são definidas as propriedades mecânicas do material e o domínio inicial de projeto Além disso são especificados os seguintes parâmetros RR razão de rejeição ER razão de evolução VF volume final desejado VI volume máximo retirado por iteração VR volume total retirado até uma dada iteração número da iteração e malha de elementos finitos adotada São definidas também a razão de rejeição de elementos do contorno RRc e sua razão de evolução ERc Lembrando que esses parâmetros influenciam na análise somente se RRc for maior que RR e o volume retirado em uma dada iteração for menor que o volume máximo permitido a ser retirado por iteração VoliVI isso pode acontecer para valores pequenos de RR e grandes de VI 361 Estrutura de Michell O primeiro exemplo a ser apresentado tratase de uma viga simplesmente apoiada submetida a uma carga concentrada conforme indicado na Figura 314a comumente chamada na literatura de estrutura de Michell A solução analítica é mostrada na Figura 314b O material adotado foi o aço cujo módulo de elasticidade E200GPa coeficiente de Poisson ʋ03 e espessura igual a 1mm 38 Figura 314 a Domínio inicial para estrutura de Michell b Solução analítica O domínio foi discretizado numa malha de elementos triangulares de 96x40 O processo evolucionário teve início com uma razão de rejeição RR de 1 e uma razão de evolução ER de 075 O volume retirado VR de 60 do volume inicial e o volume máximo retirado por iteração VI de 175 Nesse exemplo a topologia ótima foi obtida com it0 e RRc0 A Figura 315 apresenta a evolução da estrutura Figura 315 a Iteração 22 RR25 VR56 b Iteração 69 RR475 VR186 c Iteração 175 RR1075 VR600 d Modelo de bielas e tirantes Deve ser ressaltado que foram realizados testes para it1 e RRcRR e para este exemplo a topologia ótima não apresentou diferenças significativas com a variação desses parâmetros 39 362 Consolo Curto Este exemplo apresenta um consolo curto projetado para suportar uma carga pontual de 500kN A Figura 316 traz as dimensões da estrutura em milímetros O módulo de elasticidade do concreto foi tomado igual a E28567MPa coeficiente de Poisson ʋ 015 e a espessura assumida como sendo igual a 300mm Figura 316 Consolo Curto Liang et al 2000 Este exemplo foi estudado por Liang et al 2000 usando um procedimento evolucionário com critério de parada em PI índice de performance da estrutura A Figura 317 apresenta a evolução da estrutura e o correspondente modelo de bielas e tirantes sugerido pelos autores no qual as bielas estão representadas por linha pontilhada e os tirantes por linha cheia Figura 317 a b c Processo evolucionário d Modelo de bielas e tirantes Liang et al 2000 40 No presente trabalho a estrutura foi modelada usando uma malha com 5664 elementos triangulares de três nós com 25 mm de lado Para obter a topologia ótima apresentada na Figura 318c os parâmetros adotados foram RR 001 ER005 VF45 VI005 it1 RRc003 e ERc003 Os campos de compressão bielas são representados em azul e os campos de tração tirantes em vermelho Figura 318 a Iteração 25 RR 110 VR 150 b Iteração 31 RR 110 VR 350 c Iteração 47 RR 160 VR550 Assim como no exemplo anterior a topologia ótima obtida adotandose it0 pouco variou em relação àquela da Figura 318c 363 Viga biapoiada com múltiplo carregamento A Figura 319 apresenta a geometria inicial do problema bem como as condições de contorno e carregamento aplicado onde P140kN e P220kN O domínio foi discretizado numa malha de 3600 elementos triangulares de três nós 41 Figura 319 Viga biapoiada submetida a ação de várias cargas Liang 2007 A Figura 320a apresenta a configuração ótima obtida adotandose os seguintes parâmetros RR1 ER1 VF39 VI5 it0 RRc0 e ERc0 Essa topologia foi obtida após 133 iterações do algoritmo de otimização topológica implementado neste trabalho Já a topologia ótima ilustrada na Figura 320b foi alcançada após 121 iterações O processo evolucionário teve início com uma razão de rejeição RR igual a 1 e uma razão de evolução ER de 1 O volume retirado por iteração VI igual a 1 Além disso adotouse it1 RRc 003 e ERc003 Nas duas situações o volume final desejado é igual a 39 do volume inicial o material utilizado apresenta módulo de elasticidade longitudinal E200GPa coeficiente de Poisson ʋ030 e a espessura considerada é de 10 mm Este exemplo mostra como a configuração ótima é sensível à variação dos parâmetros iniciais para um mesmo volume final Figura 320 a Iteração 133 RR19 VF39 b Iteração 121 RR6 VF39 42 A Figura 321 apresenta o resultado obtido por Simonetti 2009 empregando a técnica SESO Figura 321 Topologia ótima obtida via SESO Simonetti 2009 364 Estrutura de Ponte A Figura 322a apresenta o problema proposto por Liang e Steven 2002 cuja configuração ótima obtida pelos autores está ilustrada na Figura 322b Foi utilizado um método chamado PBO PerformanceBased Optimization no qual a estrutura foi discretizada numa malha de 90x30 elementos quadriláteros de quatro nós Tratase de uma ponte com tabuleiro central submetida a uma carga uniformemente distribuída modelado através de cargas concentradas de 500kN em todos os nós da face superior do tabuleiro Na presente análise foi considerado um material com módulo de elasticidade E200GPa coeficiente de Poisson ʋ03 e espessura de 30cm Adotouse uma malha com 5400 elementos triangulares de três nós Figura 322 a Domínio inicial b Topologia ótima via PBO Liang et al 2002a O algoritmo implementado impede a retirada de elementos nos quais o carregamento externo está aplicado bem como de elementos onde são impostas as condições de contorno 43 Na Figura 323a é apresentada a configuração final alcançada após 192 iterações do algoritmo Os seguintes parâmetros foram adotados RR1 ER15 volume final VF35 volume retirado por iteração VI12 e it0 logo RRc0 e ERc0 Redefinindo os dados iniciais foi possível obter a topologia ótima ilustrada na Figura 323b Nesse caso it1 RRc2 e ERc3 e os demais valores foram mantidos ou seja RR1 ER15 volume final VF35 e volume retirado por iteração VI12 Nesse caso o processo evolucionário encerrou após 139 iterações Os campos de compressão bielas são representados em azul e os campos de tração tirantes em vermelho Através da Figura 323c é possível perceber que esse resultado se aproxima da configuração de uma ponte real e como o modelo de bielas e tirantes é útil na fase de concepção estrutural Figura 323 a Iteração 192 RR19 VF35 b Iteração 139 RR10 VF35 c Projeto existente de uma ponte 44 365 Viga parede com furos A Figura 324 ilustra o domínio inicial do problema cujas dimensões estão em milímetros A viga parede de espessura igual a 100 mm foi discretizada numa malha refinada de 4660 elementos triangular O material utilizado apresenta módulo de Young E30088MPa e coeficiente de Poisson ʋ015 Figura 324 Viga parede biapoiada com dois furos Liang et al 2000 O processo evolucionário teve início com uma razão de rejeição RR igual a 1 e uma razão de evolução ER de 1 O volume final desejado igual a 42 do volume inicial e taxa de retirada de material por iteração VI igual a 175 Nesse exemplo it0 RRc0 e ERc 0 A estrutura evoluiu para a seguinte forma ótima veja Figura 325 Figura 325 a Iteração 47 RR 60 VR 180 b Iteração 102 RR 130 VR 400 c Iteração 184 RR 230 VR 580 Simonetti 2009 resolveu este mesmo problema utilizando duas técnicas distintas ESO e SESO As formas ótimas são apresentadas na Figura 326 45 Figura 326 a Topologia ótima via ESO b Topologia ótima via SESO Simonetti 2009 Mais uma vez convém destacar que foram feitos testes alterandose os parâmetros de entrada e que embora o algoritmo seja bastante sensível a essas variações nessa aplicação isso não ficou evidenciado Por exemplo foram observadas pequenas modificações na topologia ótima em relação à configuração da Figura 325c com os seguintes parâmetros RR 1 ER1 VF42 VI175 it1 RRc2 e ERc1 Já para it1 RRc2 e ERc3 a diferença é um pouco mais visível A Figura 327 ilustra essa situação Figura 327 Topologias ótimas obtidas com RR 1 ER1 VF42 VI175 it1 RRc2 a ERc1 b ERc2 46 4 DIMENSIONAMENTO ESTRUTURAL 41 Introdução Neste capítulo é apresentada uma estratégia para dimensionamento estrutural de elementos de concreto armado submetidos a estado plano de tensão O algoritmo ESO descrito no capítulo anterior permite obter o modelo de bielas e tirantes considerando material isotrópico e uma análise elástico linear via Método dos Elementos Finitos De posse desse modelo pode ser feita uma verificação do concreto nas bielas comprimidas e o cálculo da armadura necessária para suportar os esforços de tração apresentados nos tirantes Sendo a forma da estrutura mantida igual ao domínio inicial da análise do algoritmo ESO o modelo de dimensionamento descrito no parágrafo anterior pode gerar resultados conservadores Dessa forma nesse capítulo o resultado obtido do algoritmo ESO é utilizado para definir uma configuração inicial da quantidade e disposição da armadura Em seguida a partir de uma análise não linear considerando essa configuração inicial de aço percebese que em geral a curva cargadeslocamento ultrapassa o esforço solicitante para um nível de deslocamento aceitável e que portanto é possível otimizar a quantidade de armadura Isso é feito através de uma adaptação do algoritmo ESO que é chamado neste trabalho de algoritmo ESORC Evolutionary Structural Optimization Reinforced Concrete A aplicação do procedimento ESORC em estruturas que apresentam não linearidade não difere em relação às estruturas lineares sendo que a análise não linear de elementos finitos deve ser utilizada Nesse caso entretanto o cálculo das tensões passa a ser dependente dos modelos constitutivos adotados para os materiais Dessa forma na análise nãolinear de estruturas em concreto armado por elementos finitos é fundamental um modelo constitutivo capaz de representar as nãolinearidades do concreto e do aço de forma que o comportamento da formação e propagação de fissuras esmagamento e perda de encaixe dos agregados e escoamento do aço sejam descritos realisticamente ao longo da história de carregamento da estrutura Além disso ao adotar uma relação constitutiva nãolinear entre as tensões e as deformações caso do concreto armado o vetor das forças internas passa a depender não 47 linearmente do vetor de deslocamentos q logo a equação 0 f f ext int apresentada na seção 32 será não linear tornando necessário a implementação de um método eficiente para solução das equações de equilíbrio São apresentados três exemplos para ilustrar a formulação empregada e para o terceiro exemplo os resultados são comparados com o dimensionamento via NBR 6118 2014 A primeira etapa portanto é a implementação do elemento triangular não linear que será descrita no item a seguir 42 Formulação do Elemento Triangular Não Linear O elemento triangular apresentado nesta seção para análise não linear de estruturas planas de concreto armado difere do elemento triangular do capítulo anterior apenas na definição da matriz constitutiva e no cálculo dos esforços internos e suas derivadas A curva tensãodeformação para o material concreto usado nesse trabalho é apresentada nas Figura 41 e 42 Os modelos dessas curvas foram definidos pelo Comitê Europeu de Concreto CEB 2010 e são praticamente coincidentes com os modelos adotados pela NBR 6118 2014 diferenciando apenas no comportamento após o início do esmagamento do concreto onde o modelo do CEB considera um amolecimento do concreto enquanto que no modelo da NBR 6118 a tensão se mantém constante para um aumento de deformação até a deformação limite de compressão Figura 41 Curva tensãodeformação para o concreto comprimido CEBFIP 2010 48 Figura 42 Curva tensãodeformação para o concreto tracionado CEBFIP 2010 Conforme sugerido por Rots et al 1984 e usado também por Huang et al 2003 é empregado um modelo bilinear para a degradação do módulo de elasticidade do concreto após a fissuração Já para o aço das barras de reforço o comportamento é considerado elástico perfeitamente plástico Para solução do problema não linear é usado um método incremental de análise no qual a cada passo considerase material com comportamento linear cujo módulo de elasticidade é dado pela tangente à curva tensãodeformação Assim é possível avaliar a matriz constitutiva para as situações do concreto após a fissuração e esmagamento aplicando a lei de Hooke Após a fissuração ou esmagamento o comportamento do concreto é considerado ortotrópico apresentando características diferentes para cada direção principal Neste trabalho os subscritos 1 e 2 são utilizados para indicar as direções principais em que a direção 1 é a de maior deformação principal O critério de falha proposto pela NBR 6118 2014 para o concreto é adotado para o desenvolvimento deste trabalho Segundo este critério o concreto é considerado ortotrópico quando as deformações principais ε1 e ε2 estiverem dentro da região de falha Nesse caso a relação tensãodeformação é desacoplada para as direções principais e a matriz constitutiva do material é representada pela Equação 44 O concreto apresenta comportamento ortotrópico após a fissuração ou esmagamento ou seja apresenta características diferentes para cada direção principal As direções principais são calculadas sendo indicadas nesse trabalho pelos subscritos 1 49 e 2 em que a direção 1 é a de maior deformação principal Para o desenvolvimento deste trabalho é considerado o critério de falha sugerido pela NBR 6118 2014 para o concreto Se as deformações principais ε1 e ε2 estiverem dentro da região de falha o concreto é considerado ortotrópico com a relação tensãodeformação desacoplada para as direções principais dessa forma a matriz constitutiva do material é dada pela Equação 41 1 12 2 1 1 2 2 0 0 0 0 0 0 D E E G G 41 Na Equação 41 as tangentes à curva tensãodeformação do concreto nos pontos 1 e 2 representam E1 e E2 respectivamente Já o módulo de elasticidade transversal é dado por e É possível expressar a matriz de rigidez na direção dos eixos ortogonais x e y a partir de D12 como descrito a seguir As tensões e deformações principais podem ser relacionadas com as tensões e deformações em relação aos eixos x e y quaisquer da forma τ12 R τxy 42 ε12 R εxy 43 onde 2 2 2 2 cos 2 cos 2 1 1 2 2 cos2 2 2 sen sen sen sen sen sen R 44 1 2 1 1 E G 1 2 2 2 E G 50 2 2 2 2 1 cos 2 2 1 cos 2 2 2 2 cos2 ε R sen sen sen sen sen sen 45 O ângulo é o ângulo de rotação dos eixos principais em relação aos eixos x e y Substituindo as Equações 42 e 43 na relação tensãodeformação dada em relação às direções principais 12 12 12 τ D ε e como as matrizes de rotação são ortogonais ou seja R 1 RT temse 12 τ R D R ε T xy xy 46 logo 12 D R D R T xy 47 Expandindo a Equação 47 chegase à matriz constitutiva para a relação tensão deformação dada no sistema de referência xy cujos termos são dados pelas Equações 49 à 414 11 12 13 22 23 33 Dxy D D D D D Sim D 48 2 cos 2 2 1 2 1 4 2 4 1 11 G sen G E sen E D 49 4 2 2 1 2 1 2 4 1 12 G G E E sen D 410 cos 2 cos 2 1 2 2 2 1 2 2 1 13 G G E sen E sen D 411 2 cos 2 2 1 2 1 4 2 4 1 22 sen G G E E sen D 412 cos 2 cos 2 1 2 2 2 1 2 2 1 23 G G E E sen sen D 413 51 cos 2 2 2 2 1 2 1 2 1 2 4 1 33 G G E E sen D 414 No caso particular de material isotrópico quando as deformações principais estiverem fora da região de falha do concreto temse E1 E2 E G1 G2 G e a matriz Dxy da Equação 48 assume a forma reduzida dada pela Equação 415 2 1 0 1 0 1 1 0 0 2 Dxy E v 415 A relação entre as constantes de Lamé e o módulo de elasticidade do material e o coeficiente de Poisson são 1 v2 E e 1 50 v E G Para o caso geral da relação tensãodeformação para o elemento analisado temse a Equação 416 dada a seguir 11 12 13 22 23 33 x x y y xy xy D D D D D Sim D 416 De forma análoga ao elemento triangular linear apresentado no capítulo 3 desse trabalho chegase ao vetor de força interna Equação 417 e à matriz de rigidez tangente para o elemento não linear Equação 418 f x x xy y int y y xy x A N N dA N N 417 q q K q q T T xy x x y T T A y xy y x N N t dA N N 418 Os esforços internos Nx Ny e Nxy que aparecem no vetor de forças internas são definidos nas Equações 419 a 421 Como as deformações são constantes ao longo da espessura do elemento as tensões também serão exceto nos pontos de mudança de material A taxa de armadura é transformada numa camada equivalente de aço como 52 descrito no parágrafo seguinte e contribui apenas nas deformações lineares na direção das barras 1 nx c s c xi x x x x i xi A N t S 419 1 ny yi c s c y y y y i yi A N t S 420 xy xy N t 421 Na definição dos esforços internos devem ser consideradas as barras de reforço Sendo a espessura equivalente de aço dada pela área da barra dividida pelo espaçamento entre as barras nas Equações 419 e 420 é feito o somatório do número de camadas de barras na seção levando em conta a área da barra yi A disposta na direção y e distribuída com um espaçamento yi S ao longo da direção x conforme ilustrado na Figura 43 O mesmo vale para barras dispostas na direção x Na Equação 419 s x e c x são respectivamente as tensões no aço e no concreto na direção x Nos somatórios das Equações 419 e 420 as tensões são consideradas positivas ou negativas para acrescentar área de aço e retirar área de concreto desconsiderar a contribuição do concreto Como não é considerado efeito de flexão no elemento triangular para análise de estado plano de tensões as armaduras devem ser dispostas de forma simétrica em relação ao plano médio do elemento ou seja z1 z2 na Figura 43 Figura 43 Área das barras de aço e largura de influência para duas camadasDias 2016 53 Na Equação 418 a derivada do esforço normal na direção x em relação aos deslocamentos nodais é dada por 1 q q q q s c nx x x xi x x i xi N A t S 1 q q q q q nx y xy x x x x x xi x s c i x y xy xi N A t E E S 422 Para facilitar a notação os produtos c s S A E E xi xi e c s S A E E yi yi serão substituídos respectivamente por xi e yi nas próximas expressões Da Equação 416 temse xy y x x D D D 13 12 11 logo as derivadas em relação às deformações x y e xy presentes na Equação 422 são dadas por 11 D 12 D e 13 D respectivamente Para a segunda parcela da equação são consideradas tensões apenas na direção longitudinal ao eixo da barra ou seja estado uniaxial de tensões logo as derivadas serão dadas pelos módulos de elasticidade longitudinais obtidos pelas tangentes à curva tensão deformação dos materiais Já as derivadas das deformações em relação aos deslocamentos nodais são dadas pelas Equações 423 à 425 q q x x x u 423 q q y y y v 424 q y xy x 425 Substituindo as Equações 424 e 425 na derivada dos deslocamentos nodais Equação 422 temse 11 13 12 13 1 0 q nx x y x x xi y x i D D N t D D 426 De forma análoga à descrita para tensão normal na direção x podese chegar às Equações 427 e 428 para as derivadas em relação aos deslocamentos nodais das outras tensões atuantes no elemento 54 12 23 22 23 1 q nx x y y yi y y x i D D N t D D 427 13 33 23 33 q x y xy y x D D N D D 428 A seguir são determinadas as derivadas das funções de forma em relação aos eixos x e y 2 3 2 3 3 1 3 1 1 2 1 0 1 0 1 2 2 2 1 1 x x x y y y y y y y y A A A y y 429 3 2 3 2 1 3 1 3 2 1 1 0 1 0 1 2 2 2 1 1 y y y x x x x x x x x A A A x x 430 Para mudança do domínio de integração dA dxdy para d d utilizase a relação det J dA d d onde J é a matriz jacobiano da transformação das coordenadas x e y para as coordenadas paramétricas e dada pela equação seguir Dessa forma detJ 2A J x y x y 431 43 ESORC Como dito anteriormente a técnica ESORC desenvolvida neste trabalho é utilizada para otimizar a quantidade de armadura obtida através do MBT gerado pela análise elásticolinear via ESO O ESORC adota o mesmo princípio do algoritmo ESO entretanto com uma aplicação diferente qual seja eliminação da armadura dos elementos que não atendam a um critério de eficiência O processo de otimização topológica do ESORC conduz a uma distribuição de armadura ótima a partir da qual é possível propor a configuração final procurada Dessa forma já que para armadura é considerado estado uniaxial de tensão e sua capacidade resistente é definida por limites de deformação optouse no ESORC por identificar o nível de eficiência de cada elemento em termos de deformações que no 55 caso são obtidas por análises não lineares via MEF Então elementos com baixo nível de deformação terão sua armadura sistematicamente removida A cada iteração novos elementos poderão ter aço retirado e o processo se repete até que seja atingido o critério de parada do algoritmo Inicialmente portanto é feita uma análise não linear da estrutura em estado plano de tensões na qual é utilizado um método incremental com controle de deslocamento de um grau de liberdade de um determinado nó definido pelo usuário Assim é possível construir uma curva cargadeslocamento durante o processo que é finalizado quando o fator que define a proporção do carregamento externo aplicado atingir 100 Se para esse carregamento total aplicado o nível de deslocamento na estrutura é aceitável pode se dizer que a estrutura suporta o carregamento aplicado caso contrário não O processo incremental também pode ser interrompido antes de se alcançar o carregamento total o que ocorre quando se atinge o número máximo de passos fornecido pelo usuário ou quando há singularidade na matriz de rigidez Esse último caso pode ocorrer quando se tem plastificação total de parte da estrutura Para os deslocamentos obtidos na última análise do processo incremental descrito no parágrafo anterior isto é quando 100 do carregamento externo é aplicado são calculadas as deformações nos elementos nas direções em que podem existir armadura ou seja direções x e y Essas deformações como dito anteriormente são utilizadas como tomada de decisão para verificar quais elementos terão suas armaduras retiradas na próxima iteração do método ESORC Evidentemente se essas deformações forem negativas ou muito pequenas implica em uma possível retirada total dessas armaduras Assim a razão entre a deformação na direção x do elemento pela deformação máxima na direção x entre todos os elementos da malha tem que ser menor que a razão de rejeição RRi O mesmo se aplica para deformação na direção y Matematicamente o critério de remoção da armadura pode ser escrito como max e RRi 432 onde e deformação no elemento analisado na direção x ou y RRi razão de rejeição na iésima iteração 0RRi10 max máxima deformação da iteração na direção x ou y 56 Semelhante ao ESO a razão rejeição é usada para retardar o processo de remoção da armadura que ocorre até que não possa mais ser removido aço do elemento para um dado valor de RRi O processo evolucionário é redefinido adicionandose à RRi uma razão de evolução ER A razão de rejeição é atualizada de acordo com a Equação 433 RRi1RRi ER i 012 433 No algoritmo ESORC os elementos podem ser de 4 tipos Tipo 1 elementos com armadura nas direções x e y Tipo 2 elementos com armadura apenas na direção x Tipo 3 elementos com armadura apenas na direção y Tipo 4 elementos de concreto apenas Durante o processo evolucionário dependendo da relação entre a deformação nas direções x e y e da deformação máxima nas direções x e y os elementos do Tipo 1 podem ser alterados para o Tipo 2 ou 3 ou 4 os elementos do Tipo 2 por sua vez podem se tornar do Tipo 4 e elementos do Tipo 3 podem se tornar do Tipo 4 Assim a cada iteração do ESORC uma quantidade de elementos dos tipos 1 2 ou 3 podem ser alterada Essa quantidade depende do parâmetro de entrada VS que limita o volume de armadura retirada por iteração e também da taxa de rejeição RRi No contexto do ESORC elemento de interior é aquele elemento com armadura e que esteja conectado por meio de suas arestas a elementos que também têm armadura Já elemento de contorno é o elemento com armadura e que pelo menos uma de suas arestas não esteja conectada a outro elemento ou que esteja conectada a um elemento sem armadura nas duas direções Assim como no ESO nesse algoritmo podese optar por retirar armadura de elementos de contorno ou de interior ou de ambos O usuário controla essa retirada de elementos através da variável de entrada VC que define a razão do volume inicial de armadura a partir do qual o algoritmo passa a retirar aço apenas dos elementos de contorno Em outras palavras enquanto a relação entre o volume retirado de armadura e o volume total inicial de armadura for menor que VC o aço pode ser retirado tanto de elementos de contorno quanto de interior caso contrário apenas de contorno Por exemplo para VC06 indica que após a retirada de 60 do volume de armadura o algoritmo passa a retirar aço exclusivamente dos elementos de contorno O objetivo desse controle foi evitar ao final do processo o surgimento de 57 regiões muito fragmentadas de área de aço o que dificultaria a definição final prática para disposição final das armaduras Resumidamente o algoritmo ESORC pode ser dividido na seguinte sequência de passos representada esquematicamente pelo fluxograma da Figura 44 1º Passo discretização do domínio e aplicação das condições de contorno e ações prescritas No domínio discretizado são identificados os diferentes tipos de elementos Tipo 1 2 3 e 4 Para isso pode ser utilizado uma configuração inicial da distribuição de aço definida a partir da resposta obtida da análise linear do algoritmo ESO 2º Passo análise não linear da estrutura via MEF É utilizado um método incremental com controle de deslocamento até se ter 100 do carregamento externo aplicado 3º Passo Se obteve sucesso no 2º Passo são calculadas as deformações nas direções x e y para cada elemento Caso contrário o algoritmo é encerrado definindo a última configuração de aço como sendo a configuração ótima 4º Passo Retirar a armadura dos elementos que satisfaçam a Inequação 432 direção x y ou ambas dentro de um limite prédefinido de volume VS e para a razão de rejeição RRi para aquela iteração 5º Passo Voltar ao 2º passo até que não se possa retirar a armadura de mais nenhum elemento para a razão de rejeição considerada 6º Passo Atualizar a razão de rejeição conforme a Equação 433 e iniciar nova retirada de aço dos elementos 58 Figura 44 Fluxograma ESORC Durante o 4º passo do algoritmo descrito acima é construída a lista de elementos com ordem prioritária de retirada das armaduras Essa ordem é definida pela ordem crescente da razão entre a deformação no elemento pela deformação máxima na estrutura plana direções x e y Com exceção para os valores negativos dessas razões onde a ordem é invertida Ou seja a lista de elementos é composta primeiro pelos valores negativos das razões max e em ordem decrescente e posteriormente pelos valores positivos dessas razões em ordem crescente Considerando que as estruturas analisadas estão sempre submetidas a carregamentos que geram tensões de tração e compressão então max maior deformação linear na direção x ou y da estrutura plana é positiva Dessa forma o critério de prioridade definido no parágrafo anterior implica na retirada primeiro das armaduras comprimidas com deformações muito pequenas depois nas barras comprimidas de maior deformações e por último nas barras tracionadas de menores deformações 59 44 Exemplos Numéricos Neste item são apresentadas algumas aplicações considerando o método ESORC implementado neste trabalho São feitas análises não lineares e o dimensionamento de estruturas submetidas a estado plano de tensões Para cada exemplo são definidas as propriedades mecânicas do material e o domínio inicial de projeto Além disso são especificados os seguintes parâmetros RR razão de rejeição ER razão de evolução VS volume máximo de armadura que pode ser retirado por iteração VC razão do volume inicial de armadura a partir do qual o algoritmo passa a retirar aço apenas dos elementos no contorno número da iteração e malha de elementos finitos adotada 441 Viga parede biapoiada com uma abertura O primeiro exemplo de aplicação é um elemento estrutural extraído de Schlӓich et al 1987 Esse exemplo também é estudado em Almeida et al 2013a Tratase de uma viga parede biapoiada com um furo de 400mm de espessura submetida a uma carga concentrada de 3000kN cuja geometria em milímetros e condições de contorno estão apresentados na Figura 45 Figura 45 Viga biapoiada com abertura Adaptado de Schlӓich et al 1987 60 Primeiramente é feita uma análise linear considerando módulo de elasticidade Ecs 20820 MPa e coeficiente de Poisson ʋ 015 Nas Figuras 46 e 47 são apresentadas as tensões principais na viga parede Figura 46 Tensão principal máxima para análise linear Figura 47 Tensão principal mínima para análise linear É possível observar da Figura 46 que as tensões máximas de tração maior tensão principal concentramse na parte inferior da viga parede e também no contorno do furo Nessas regiões a tensão de tração é superior à resistência de tração do concreto havendo a necessidade de armadura para ajudar o concreto Já na Figura 47 observase que as tensões máximas de compressão menor tensão principal atingem valores próximos ao da resistência à compressão do concreto somente no ponto de aplicação da carga Quase toda a viga apresenta tensões de 61 compressão abaixo de 40 MPa valor esse bem inferior ao limite de resistência à compressão do concreto De uma forma geral o nível de tensões principais observados pela análise linear é baixo indicando que a viga está com folga em termos de espessura e que precisaria de pouca armadura em lugares específicos Para obter o modelo de bielas e tirantes aplicando o algoritmo baseado no método ESO descrito no capítulo precedente a viga foi discretizada em uma malha refinada de 6600 elementos triangulares Além disso os parâmetros adotados para se chegar à topologia ótima foram razão de rejeição RR igual a 1 e uma razão de evolução ER de 1 O volume final desejado igual a 48 do volume inicial e taxa de retirada de material por iteração VI igual a 175 Nesse exemplo it0 RRc0 e ERc 0 A estrutura evoluiu para a configuração mostrada na Figura 48a As regiões em vermelho e azul indicam respectivamente regiões de tração tirantes e regiões de compressão bielas A Figura 48b apresenta o modelo de bielas e tirantes proposto por Almeida et al 2013a e a Figura 48c o respectivo esquema e distribuição das armaduras Figura 48 a Topologia ótima obtida no presente trabalho Iteração 155 RR100 VR513 b Modelo de bielas e tirantes sugerido por Almeida et al 2013a c Distribuição de armadura proposta por Almeida et al 2013a 62 O esforço em cada tirante ou biela pode ser calculado multiplicandose a tensão média de cada membro pela correspondente área da seção transversal a qual é dada pelo produto da espessura da viga pela altura média do membro Desse modo é possível calcular as áreas de aço necessárias nas regiões dos tirantes e avaliar a resistência do concreto em cada biela Neste exemplo para aplicação do algoritmo ESORC implementado neste trabalho será adotada uma taxa de armadura baseada no dimensionamento dos tirantes apresentado por Almeida et al 2013a qual seja Tabela 41 Dimensionamento da armadura dos tirantes Almeida et al 2013a Tirante Esforço MN Asnec cm2 Esforço no tirante MN Área de aço cm2 Nº de barras T1 150 3460 150 As1 3460 2 x 5 φ 20 T2 224 5153 0966 T2 As2 4975 2 x 7 φ 20 T4aux 001 As4 2 x 2 φ 20 T4 220 5070 0707 T4 As3 3585 2 x 5 φ 20 0707 T4 As3 3585 2 x 5 φ 20 A Tabela 41 apresenta a média dos esforços obtidos em cada tirante da Figura 48c Os tirantes T2 e T4 são inclinados de 150 e 450 respectivamente em relação à horizontal Assim as barras longitudinais As2 que representam o tirante T2 são calculadas a partir da componente horizontal do esforço O tirante T4 é representado pela malha ortogonal As3 que se estende pelas arestas superior e à direita da cavidade Os autores sugerem ainda um reforço adicional As4 inclinado de 450 Na Figura 49 é mostrada a discretização da viga parede em uma malha estruturada de elementos triangulares de três nós e 100mm para as dimensões dos seus catetos Os retângulos coloridos na figura definem os elementos que foram considerados com armadura A quantidade de barras de aço foi transformada em uma espessura equivalente de aço em toda área do elemento Por exemplo o retângulo vermelho inferior corresponde à configuração do tirante T1 De acordo com a Tabela 41 esse tirante é formado por 5 barras de 20mm e é distribuído ao longo da altura de 500mm entre o lado inferior da viga e o furo em ambas as faces laterais da viga parede Assim a espessura equivalente é calculada da seguinte forma 2 2 2 5 2 4 3141 cm 63 distribuídos em 500mm junto a cada face logo 314150 0628cm2cm ou 000628m2m Ou seja as 10 barras de 20mm são substituídas por uma chapa de aço de espessura de 0628cm altura de 50cm e comprimento igual ao comprimento das barras A distribuição de aço apresentada na Figura 49 é portanto equivalente às armaduras distribuídas horizontal e verticalmente da Figura 48c com exceção da armadura inclinada que não consta já que o elemento triangular para análise não linear física de concreto armado implementado nesse trabalho considera apenas armadura nas direções x e y global da estrutura plana Figura 49 Discretização da viga parede em elementos triangulares de concreto simples e armado O gráfico da Figura 410 mostra a curva cargadeslocamento da viga parede para distribuição de armadura da Figura 49 considerando análise não linear Para o concreto foi admitida resistência à compressão de 19MPa Já para a armadura foi considerado aço CA50 com tensão limite de escoamento de 434MPa e Es 210GPa Observase dessa curva que a viga parede da Figura 49 suporta um carregamento bem maior do que o carregamento de 3000kN utilizado por Almeida et al 2013a para definir sua taxa de aço 64 Figura 410 Curva cargadeslocamento da viga parede para configuração de aço da Figura 49 As Figuras 411 e 412 apresentam os campos de tensões principais máximas e mínimas respectivamente gerados pela análise não linear da viga parede Esses campos de tensões foram impressos para o último passo do processo incremental que gerou a curva cargadeslocamento mostrada na Figura 410 Ou seja para uma carga P concentrada de 4300kN Figura 411 Tensões principais máximas no concreto da viga parede considerando análise não linear 65 Como pode ser observado nas Figura 411 e 412 a análise não linear gera tensões principais de tração na maior parte da viga parede Além disso é possível perceber que regiões no contorno do furo e a parte inferior da viga parede estão sob estado duplo de tensões principais de tração indicando regiões problemáticas para o concreto O canto superior esquerdo da viga parede também está submetido a estado duplo de tensões principais de tração no entanto essa região não faz parte das regiões de bielas e tirantes da viga parede mostrada na Figura 48a Ou seja não são tão necessárias no caminho da carga até os apoios Também é possível constatar que o concreto está com certa folga já que em nenhum ponto temse tensão normal de compressão maior ou igual à resistência do concreto à compressão Figura 412 Tensões principais mínimas no concreto da viga parede considerando análise não linear Nas Figuras 413 e Figura 414 são mostradas as tensões nas armaduras na direção x e y respectivamente Observase nas duas figuras que para uma força atuante de 4300kN a armadura trabalha com certa folga nas duas direções apesar de já apresentar em alguns pontos tensão próxima à tensão de escoamento do aço 66 Figura 413 Tensões nas armaduras horizontais para configuração de aço da Figura 49 Figura 414 Tensões nas armaduras verticais para configuração de aço da Figura 49 Uma análise é feita na viga parede desse exemplo utilizando o código ESORC de otimização da armadura implementado nesse trabalho Os parâmetros adotados foram os seguintes a razão de rejeição RR teve início com 15 e sua taxa de evolução ER de 15 o volume limite de retirada de armadura por iteração VS de 2 e VC 70 A partir de uma configuração inicial para armadura que apresenta curva carga deslocamento que ultrapasse o esforço solicitante para um nível de deslocamento aceitável o algoritmo vai eliminando as armaduras nas direções x e y dos elementos 67 menos solicitados Essa verificação é feita através das deformações nas direções das armaduras no elemento Foi considerada inicialmente que todos os elementos triangulares da viga parede apresentassem uma taxa de armadura de 0628cm2cm para as duas direções horizontal e vertical Na Figura 415 é apresentada a configuração da armadura após a retirada de 66 da armadura inicial nessa figura Mat1 representa elementos triangulares de concreto armado com taxas de armadura de 0628cm2cm nas duas direções Mat2 representa elementos triangulares de concreto armado com taxa de armadura de 0628cm2cm na direção x Mat3 representa elementos triangulares de concreto armado com taxa de armadura de 0628cm2cm na direção y e Mat4 representa elementos triangulares de concreto simples Figura 415 Distribuição das armaduras após a retirada de 66 da armadura inicial Na Figura 416 é apresentada a configuração final obtida pelo algoritmo Essa configuração representa uma redução de 935 da armadura inicial considerada 68 Figura 416 Distribuição final das armaduras após retirada de 935 da armadura inicial Na Figura 417 são apresentadas curvas cargadeslocamentos para diferentes níveis de retirada de armadura durante o processo de otimização Constatase que as curvas obtidas para uma configuração com 90 e 50 do total da armadura atingem a carga de 3000kN para uma flecha no meio do vão da viga parede de 42mm e 46mm respectivamente enquanto que para 65 do total da armadura o deslocamento foi de 91mm Figura 417 Curvas cargadeslocamento obtidas durante o processo de otimização da armadura 69 A partir da resposta obtida pelo algoritmo ESORC implementado nesse trabalho Figura 416 definiuse a distribuição de armadura mostrada na Figura 418 De maneira análoga ao que foi feito na Figura 49 a quantidade de barras de aço foi transformada em uma espessura equivalente de aço em toda área do elemento Por exemplo duas barra de 20mm espaçada a cada 100mm fornecem uma espessura equivalente de 0628cm2cm Assim nessa figura Mat1 Mat2 e Mat3 representam respectivamente um material de concreto armado com 0628cm2cm na direção x e y 0628cm2cm na direção x e 0628cm2cm na direção y Já Mat4 representa um material de concreto simples A discretização da malha de elementos finitos adotada é a mesma mostrada na Figura 49 Figura 418 Discretização da viga parede em elementos triangulares de concreto simples e armado Na Figura 419 é mostrada a curva cargadeslocamento para a configuração da armadura mostrada na Figura 418 Observase que a configuração analisada apresenta nível de deslocamento aceitável 89mm para a carga de 3000kN carregamento analisado sendo que o processo incremental avançou até o limite de 123mm de flecha no meio do vão da viga parede para uma carga de 3800kN 70 Figura 419 Curva cargadeslocamento da viga parede para configuração de aço da Figura 418 Na Figura 420 e na Figura 421 são apresentadas as tensões nas armaduras horizontais e verticais da configuração mostrada na Figura 418 para carga de 3800kN Figura 420 Tensões nas armaduras horizontais para configuração de aço da Figura 418 Observase um nível de tensões nas armaduras bem maior que o apresentado para a configuração da Figura 49 mostrando um melhor aproveitamento dessa armadura 71 Figura 421 Tensões nas armaduras verticais para configuração de aço da Figura 418 Portanto comparandose as curvas cargadeslocamento e as tensões nas armaduras para configuração de aço antes e após a aplicação do algoritmo ESORC é possível notar que o resultado obtido pelo ESORC apresenta um menor consumo de aço sem que houvesse um aumento exagerado na flecha do nó analisado para o carregamento de 3000kN Isso foi possível já que se aumenta a quantidade de armadura trabalhando mais próxima do seu limite de escoamento 442 Pilar de Ponte Este exemplo foi proposto por Liang et al 2002b e estudado também por Almeida et al 2013b Tratase de um pilar de ponte projetado para suportar quatro cargas concentradas de 2750kN transferidas por quatro vigas de açoconcreto O pilar tem espessura de 15m e é admitido como sendo engastado na fundação A geometria condições de contorno e ações do problema estão indicados na Figura 422 com dimensões em milímetros e kN 72 Figura 422 Domínio de projeto do pilar de ponte Liang et al 2002b Num primeiro momento é feita uma análise linear para obter o modelo de bielas e tirantes Para tanto será utilizado o algoritmo ESO conforme descrito no Capítulo 3 O domínio foi discretizado numa malha refinada com 12260 elementos finitos triangulares As propriedades do material isotrópico utilizado são módulo de elasticidade E 286GPa e coeficiente de Poisson ʋ 015 O processo evolucionário teve início com uma razão de rejeição RR igual a 4 e uma razão de evolução ER de 2 O volume final desejado igual a 48 do volume inicial e taxa de retirada de material por iteração VI igual a 175 Nesse exemplo it0 RRc0 e ERc 0 A Figura 423 apresenta o MBT alcançado As regiões em vermelho e azul indicam respectivamente regiões de tração tirantes e regiões de compressão bielas Figura 423 Modelo de bielas e tirantes obtido Iteração 164 RR18 VR52 73 Na Figura 424a e b são apresentadas as tensões principais máximas e mínimas respectivamente no MBT da viga analisada considerando comportamento linear do material Também na Figura 424a está assinalada a região retangular utilizada para definir as dimensões e força média de tração no tirante T1 Figura 424 a Máximas tensões principais no modelo de bielas e tirantes e definição das barras tracionadas tirante T1 b Mínimas tensões principais no modelo de bielas e tirantes Na Tabela 42 são apresentadas as áreas da seção transversal as tensões médias de tração e as forças axiais no tirante mostrado na Figura 424a É indicada também a área das barras de aço CA50 obtidas considerando que estejam trabalhando sob tensão menor ou igual à tensão de escoamento de cálculo Tabela 42 Dimensionamento da armadura dos tirantes Tirante Área seção transversal m2 Tensão média de tração kPa Força axial kN Área de aço CA50 cm2 T1 05865 5500 3226 742 Na Figura 425 é apresentada a curva cargadeslocamento do nó A ponto inferior da aba esquerda do pilar para distribuição de armadura apenas na direção x dentro da região do tirante T1 mostrado na Figura 424a Para obter essa taxa de armadura longitudinal a área de aço calculada na Tabela 42 foi transformada em uma espessura equivalente de aço em toda área do tirante T1 do pilar Ou seja 742 cm2distribuídos ao longo da altura de 391 cm do tirante T1 resulta em 1898cm2cm Na análise não linear usando o método incremental descrito na Seção 42 foi considerado aço CA50 fyd 434MPa e Es 210GPa e concreto com fck26MPa 74 Observase do gráfico da Figura 425 que o pilar apresenta um deslocamento aceitável 81mm para o carregamento de 2750kN aplicado O método incremental prosseguiu até a carga de 3600kN para uma flecha de 14 mm Figura 425 Curva cargadeslocamento do pilar no ponto A Na Figura 426 é apresentada a tensão na armadura do tirante T1 para o carregamento de 2750 kN Observase que para esse nível de carregamento boa parte da armadura encontrase com tensões bem abaixo da tensão de escoamento do aço indicando que possa ser feita uma redução da área de aço obtida pela análise linear Figura 426 Tensões na armadura para P2750kN Na Figura 427 é proposta a configuração inicial da distribuição da armadura definida a partir do modelo biela tirante obtido da análise linear Para a taxa de armadura longitudinal foi utilizado o valor 1898cm2cm como definido anteriormente 75 Para armadura transversal foi considerado um terço da taxa longitudinal Assim na Figura 427 Mat1 representa um material de concreto armado com 001898m2m na direção x e 000632m2m na direção y Mat2 apresenta armadura na direção x 001898m2m e Mat3 na direção y 000632m2m Já Mat4 representa os elementos apenas de concreto cujo fck26MPa Figura 427 Configuração inicial para o pilar de ponte e identificação do nó A A partir da Figura 427 e aplicando o algoritmo ESORC com RR 2 ER 2 VS 2 VC 60 é possível definir uma nova configuração eliminando a armadura menos solicitada A distribuição final foi obtida após a retirada de 87 da armadura e está indicada na Figura 428b Na Figura 428a é mostrada a configuração obtida após a retirada de 60 da armadura Figura 428 Configuração obtida após aplicação do algoritmo de otimização da armadura ESORC a 60 da armadura retirada b 87 da armadura retirada 76 Com base no resultado gerado pelo ESORC é possível propor a configuração final mostrada na Figura 429 onde Mat1 Mat2 Mat3 Mat4 são os mesmos materiais descritos para Figura 427 Nessa configuração existe um consumo de aço de 51974cm3 Esse valor é obtido multiplicando a taxa de armadura na direção x 1898cm2cm pela altura da camada de aço na direção x 293cm e pelo comprimento das barras na direção x 85m somado ao valor obtido multiplicando a taxa de armadura na direção y0632cm2cm pela largura da camada de aço na direção y 45cm e pelo comprimento das barras na direção y 166m Esse consumo é razoavelmente menor que o consumo de 63070cm3 724cm2 vezes 85m obtido conforme dimensionamento utilizando os resultados da análise linear do MBT Figura 429 Configuração da armadura adotada para análise não linear Na Figura 430 são mostradas as curvas cargadeslocamento obtidas da análise não linear do pilar durante a análise do algoritmo de retirada das armaduras considerando curvas para 20 74 e 87 da armadura retirada Figura 430 Curvas cargadeslocamento para diferentes níveis de retirada de armadura 77 Na Figura 431 é mostrada a curva cargadeslocamento obtida na análise não linear do pilar com a configuração apresentada na Figura 429 Observase na figura que o pilar apresenta um deslocamento vertical do nó A de 108mm para o carregamento de 2750kN Figura 431 Curva cargadeslocamento para configuração da armadura mostrada na Figura 429 A Figura 432 apresenta análise de tensões principais mínimas máxima tensão de compressão no concreto para a configuração da armadura mostrada na Figura 429 após análise não linear Essa figura foi construída a partir do campo de tensão obtido para o passo do método incremental referente ao carregamento de 2750kN Observase nesta figura que as tensões máximas de compressão no concreto se encontram bem abaixo da tensão limite 085fcd exceto nos pontos de aplicação dos carregamentos concentrados e nas interseções das bielas comprimidas Figura 432 Tensão principal mínima para análise não linear da configuração da Figura 429 78 A Figura 433 é análoga à Figura 432 considerando agora a análise de tensões nas armaduras horizontal e vertical para a configuração mostrada na Figura 429 após análise não linear Observase nesta figura que as tensões na armadura são bem maiores que aquelas obtidas para configuração definida a partir do modelo biela tirante Isso é um indicativo que armadura está otimizada para a configuração obtida pelo ESORC o que foi provado pelo cálculo da quantidade de aço apresentado anteriormente nesse item Figura 433 a Tensão na armadura horizontal para análise não linear da configuração da Figura 429 b Tensão na armadura vertical para análise não linear da configuração da Figura 429 Comparandose o dimensionamento considerando análise linear e não linear é possível afirmar que a análise não linear conduziu a um menor consumo de aço Isso foi possível devido ao melhor aproveitamento das armaduras isto é essas passaram a trabalhar com níveis mais elevados de tensão 443 Viga Contínua Nesse exemplo é estudada uma viga contínua com três apoios carregada na metade de seus vãos por cargas concentradas de 600kN conforme indicado na Figura 434 A viga é de concreto armado fck 25MPa tem seção transversal retangular 15x70cm É utilizado aço CA50 para as armaduras longitudinal e transversal a serem determinadas Devido à simetria somente o vão da esquerda da viga é analisado Inicialmente é apresentado o dimensionamento considerando o algoritmo ESORC implementado neste trabalho e o resultado será comparado com o dimensionamento seguindo as prescrições da NBR 6118 2014 79 Figura 434 Viga Contínua Na Figura 435 é apresentado o MBT obtido usando o algoritmo ESO descrito nesse trabalho As propriedades do material isotrópico utilizado são módulo de elasticidade E 300GPa e coeficiente de Poisson ʋ 020 O domínio foi discretizado numa malha refinada de 9600 elementos triangulares Para obter a topologia ótima foram adotados os seguintes parâmetros razão de rejeição RR igual a 1 e uma razão de evolução ER de 1 o volume final desejado igual a 40 do volume inicial e taxa de retirada de material por iteração VI igual a 1 Figura 435 Modelo de bielas e tirantes obtido via ESO Na Figura 436 são apresentadas as máximas tensões principais no modelo de biela e tirante da viga analisada considerando comportamento linear do material Figura 436 Máximas tensões principais no modelo de bielas e tirantes obtido e identificação dos tirantes T1 a T6 80 Na Figura 437 são apresentadas as mínimas tensões principais no MBT da viga analisada considerando comportamento linear do material Observase nesta figura que as áreas em amarelo ou cores abaixo de amarelo na escala de cores apresentam tensões de compressão acima da tensão limite considerada para o material 25MPa No entanto como a viga tem seção cheia provavelmente essa configuração para o modelo de biela e tirante seja confiável para a determinação das áreas de aço para os tirantes Isso só será evidenciado após a análise não linear considerando alma cheia e armadura calculada e posicionada conforme os tirantes do MBT Figura 437 Mínimas tensões principais no modelo de bielas e tirantes obtido A Tabela 43 apresenta as áreas da seção transversal as tensões médias de tração e as forças axiais nos tirantes da Figura 437 É indicada também a área das barras de aço CA50 obtidas considerando que estejam trabalhando sob tensão menor ou igual à tensão de escoamento de cálculo fyd 434 MPa Tabela 43 Dimensionamento da armadura dos tirantes Tirante Área seção transversal cm2 Tensão média de tração kPa Força axial kN Área de aço CA50 cm2 T1 T2 T3 T4 T5 T6 787 915 1837 1720 2100 457 16000 19000 24000 18000 30000 14000 126 174 441 310 630 64 29 40 101 71 145 15 81 Na Figura 438 é mostrada a configuração inicial da distribuição da armadura definida a partir do MBT obtido da análise não linear À exemplo do que foi feito no exemplo precedente a área de aço calculada na Tabela 43 foi transformada em uma espessura equivalente de aço em toda área do elemento Por exemplo para o tirante T5 temse da análise linear 145cm2 de aço Dividindose esse valor pela altura de T5 14cm chegase à taxa de 001036m2m A partir desse valor adotaramse duas barras de 16mm espaçadas de 36cm diâmetro da barra mais 2cm o que fornece 2 2 2 2xπx16 4 36 1116cm cm 00111 6m m Para armadura transversal adotouse duas barras de 16mm espaçadas de 12cm estribos com dois ramos verticais Assim na Figura 438 Mat1 representa um material de concreto armado com 001116m2m na direção x e 000335m2m na direção y Mat2 apresenta armadura na direção x 001116m2m e Mat3 na direção y 000335m2m Já Mat4 representa os elementos apenas de concreto Figura 438 Distribuição inicial de armadura para viga contínua Aplicando o modelo implementado para avaliação não linear da configuração inicial mostrada na Figura 438 e definindo uma nova configuração eliminando a armadura menos solicitada de acordo com o algoritmo ESORC apresentado nesse trabalho chegase à configuração final mostrada na Figura 439 Os parâmetros de entrada foram razão de rejeição RR de 15 taxa de evolução ER de 15 volume máximo de retirada de aço por iteração VS de 2 e volume a partir do qual a retirada de armadura ocorre apenas nos elementos de contorno VC de 45 Figura 439 Configuração obtida via ESORC após retirada de 69 da armadura 82 Com base no resultado do ESORC é definida uma configuração final regular para armadura conforme indicado na Figura 440 na qual os tirantes T1 correspondem à armadura transversal 12 estribos T2 corresponde à armadura longitudinal de tração para o momento fletor positivo e T3 representa a armadura longitudinal de tração para o momento fletor negativo As áreas de aço CA50 dos tirantes T1 T2 e T3 são respectivamente 29cm2 78cm2 e 136cm2 Na Figura 440 também está indicado como foi calculada a área de aço para o tirante T1 e a correspondente taxa de armadura que foi obtida dividindose a área pela espessura dos tirantes 25cm Os demais tirantes seguem raciocínio inteiramente análogo Assim na Figura 440 Mat1 representa um material de concreto armado com 001114m2m na direção x e 00116m2m na direção y Mat2 apresenta armadura apenas na direção x 001114m2m e Mat3 na direção y 00116m2m Já Mat4 representa os elementos apenas de concreto Figura 440 Configuração da armadura adotada para análise não línear Na Figura 441 é mostrada a curva cargadeslocamento obtida da análise não linear da viga com configuração apresentada na Figura 440 Observase que a viga apresenta um deslocamento vertical no meio do vão de 93mm para o carregamento de 600kN O método incremental avançou até a carga de 807kN para um deslocamento de 14mm 83 Figura 441 Curva cargadeslocamento para configuração mostrada na Figura 440 Na Figura 442 é apresentada a análise das tensões principais mínimas máximas tensões de compressão no material concreto da viga contínua analisada para a configuração de aço mostrada na Figura 440 Nesta figura observase que poucas regiões do concreto apresentam tensões iguais ou próximas à tensão limite do concreto 085fcd Figura 442 Tensão principal mínima para análise não linear da configuração da Figura 440 Já as Figura 443 e 444 apresentam a análise de tensões nas direções das armaduras da viga Observase dessas figuras que boa parte da armadura apresenta tensões iguais ou próximas à tensão limite de escoamento do aço fyd 84 Figura 443 Tensão na armadura na direção x para análise não linear da configuração da Figura 440 Figura 444 Tensão na armadura na direção y para análise não linear da configuração da Figura 440 4431 Cálculo da armadura longitudinal segundo prescrições da NBR 6118 2014 Para o dimensionamento das armaduras da viga segundo a NBR 6118 2014 serão considerados os seguintes parâmetros Seção transversal retangular 15x70cm concreto C25 fck25MPa aço CA50 coeficientes de ponderação γc14 e γs 115 Na Figura 445 são apresentados os diagramas de cortante e momento para a viga contínua mostrada na Figura 434 85 Figura 445 a Diagrama de esforço cortante b Diagrama de momento fletor Para altura útil ou seja altura da viga menos a distância entre o centro de gravidade da armadura tracionada e a face tracionada da seção será adotado inicialmente d65cm Já a distância d entre o centro de gravidade da armadura comprimida à face comprimida da seção será adotado o valor de 3cm Os limites entre os domínios 2 3 e 4 considerando aço CA50 e concreto do Grupo I de resistência fck50MPa são 2lim 026 026 65 169 x d cm 3lim 063 063 65 4095 x d cm Cálculo da Armadura Mínima e Máxima de Flexão A armadura mínima de tração em elementos estruturais armados deve ser determinada pelo dimensionamento da seção a um momento fletor mínimo dado pela expressão a seguir respeitada a taxa mínima absoluta de 015 min 0 sup 08 d ctk M W f 3 3 4 0 12 15 70 12 12250 35 I bh W cm y y 86 3 2 sup 13 1303 25 333 ctk ct m f f MPa min 08 12250 0333 32634 Md kN cm De posse desse valor é possível determinar da posição x da linha neutra empregando a equação que segue 068 04 d mín w cd M b x f d x 25 32634 068 15 65 04 2804 x 14 x x cm Portanto 2 3263 115 50 04 65 04 2804 115 d s mín yd M A cm f d x Para seção retangular e concreto C25 a taxa mínima definida pela norma deve atender a seguinte restrição 2 2 min 015 000151570 158 115 s c A A cm cm Logo 2 min 158 sA cm Já para a armadura longitudinal máxima a soma das armaduras de tração e compressão não pode ter valor maior que 4Ac Assim para a seção retangular analisada temse 2 smáx c A 4 A 004 15 70 420 cm Cálculo da Armadura Longitudinal de Flexão Para o máximo momento fletor negativo cujo valor de cálculo é dado por d M 3375 kNm 33750 kNcm a posição x da linha neutra pode ser determinada da seguinte forma 25 068 04 33750 068 15 65 04 14 Logo 3687 d w cd M b x f d x x x x cm Sendo 2lim 3lim 169 3687 4095 x x x cm logo a seção se encontra no domínio 3 87 A relação x x d deve ser verificada 3687 65 057 045 x portanto é necessária armadura dupla Assumindo 045 045 65 2925 x d cm e aplicando esse valor na equação a seguir temse a primeira parcela do momento fletor dada por 1 25 068 04 068 15 2925 65 04 2925 14 d w cd M b x f d x 1 28397 M d kN cm A segunda parcela do momento fletor resistente pode ser determinada da seguinte maneira 2 1 33750 28397 d d d M M M 2 5353 M d kN m Para aço CA50 e 3 45 007 d d e para 2 435 435 sd MPa kN cm a armadura comprimida resulta 2 5353 198 435 653 d s sd M A cm d d Considerando que no domínio 3 a sd σ na armadura é igual a fyd as áreas de armaduras tracionadas podem ser determinadas como segue 2 1 28397 1250 50 04 65 04 2925 115 d s yd M A cm d x 2 2 5353 198 435 653 d s sd M A cm d d Portanto a área total de armadura tracionada é 2 1 2 1250 198 1650 s s s A A A cm E ainda 2 2 s s1 s2 s A A A A 1250 198 198 1650cm Asmáx 420 cm No caso do máximo momento fletor positivo seu valor de cálculo é 28125 28125 Md kN m kN cm 88 A posição x da linha neutra pode ser obtida da seguinte forma 25 068 04 28125 068 15 65 04 14 Logo 2889 d w cd M b x f d x x x x cm Sendo 2lim 3lim 169 2889 4095 x x x cm a seção está no domínio 3 A relação x x d deve ser verificada 2889 65 044 045 x portanto deve ser usada armadura simples Assim 2 28125 1210 1210 50 04 65 04 2889 115 d s s mín s máx yd M A cm A A f d x 4432 Cálculo da armadura transversal segundo prescrições da NBR 6118 2014 Como a seção transversal é retangular a indicação de Leonhardt e Mӧnnig 1979 é de que o ângulo de inclinação das diagonais de compressão aproximase de 30º Portanto a armadura transversal pode ser dimensionada com o Modelo de Cálculo II com θ30º No entanto por simplicidade e a favor da segurança será usado o Modelo de Cálculo I no qual se supõe a treliça clássica de RitterMӧrsc com o ângulo θ de inclinação das diagonais comprimidas fixo e igual a 45º pois a armadura resultante será maior do que aquela do Modelo de Cálculo II com θ30º Trecho da viga com 41225 Vd kN Para não ocorrer o esmagamento do concreto que compõe as bielas comprimidas devese ter 2 Sd Rd V V com 2 027 1 250 ck Rd cd w f V f b d com fck em MPa 2 25 25 027 1 027 1 15 65 41925 250 250 14 ck Rd cd w f V f b d kN 2 41225 41925 Sd Rd V kN V kN portanto não ocorrerá esmagamento das bielas Para efeito de comparação com a armadura a ser calculada primeiramente será determinada a armadura mínima para estribo vertical α90º e aço CA50 89 20 ct m sw mín w ywk f A b f cm2m A resistência média do concreto à tração direta conforme o item 825 da NBR 6118 2014 é 3 2 2 3 03 03 25 2565 ct m ck f f MPa 2 20 056515 195 50 Asw mín cm m Para calcular a armadura transversal devem ser calculadas as parcelas da força cortante que serão absorvidas pelos mecanismos complementares ao de treliça Vc e pela armadura Vsw de tal modo que Sd c sw V V V Na flexão simples a parcela Vc é determinada como segue 0 06 c c ctd w V V f b d inf 2 07 07 2565 128MPa 0128 kNcm 14 ctk ct m ctd c c f f f Dessa forma temse Vc 06 0128 15 65 7488 kN o que nos fornece Vsw 41225 7488 33737 kN podendo assim obter a taxa de armadura de cisalhamento como apresentada a seguir 2 2 33737 01324 1324 392 392 65 sw sw sw mín A V cm cm cm m A s d Trecho da viga com Vd 18750 kN O dimensionamento desse trecho segue raciocínio inteiramente análogo ao trecho anterior Assim para verificação da compressão nas bielas temse 2 18750kN 41925 kN Sd Rd V V Portanto não ocorrerá esmagamento das bielas O esforço cortante resistente considerando escoamento da armadura de cisalhamento é 18750 7488 11262 kN sw sd c V V V Dessa forma chegase a taxa de armadura de cisalhamento dada a seguir 2 2 11262 00442 442 392 392 65 sw sw sw mín A V cm cm cm m A s d 90 Dessa forma após analisar o problema da viga contínua por duas diferentes metodologias é apresentada a Tabela 44 com a comparação entre o dimensionamento da armadura feito através do algoritmo ESORC e aquele considerando as prescrições normativas da NBR 6118 2014 Tabela 44 Comparativo entre o dimensionamento via ESORC e via NBR 6118 2014 ESORC NBR 6118 Md 3375 kNm T3136cm2 As198 cm² As1450 cm² Md28125kNm T2 78 cm² As1211 cm² Vd1875 kN 3T13x116348 cm2m Asw435 cm²m Vd4125 kN 9T19x1161044 cm²m Asw1317 cm²m Como pode ser constatado pela Tabela 44 o modelo de viga preconizado pela NBR 6118 2014 conduz à maior quantidade de aço tanto para a armadura longitudinal tirantes T2 e T3 quanto para os estribos tirante T1 revelandose portanto em um modelo visivelmente a favor da segurança Por outro lado as taxas de armaduras obtidas com a utilização do ESORC se aproximam das taxas médias de armaduras frequentemente encontradas nos projetos estruturais de vigas indicando a viabilidade econômica e segurança do método Adicionalmente devese ressaltar que essa taxa poderia ser ainda diminuída pelo ajuste do modelo já que a resposta do ESORC como dito anteriormente é bastante sensível aos parâmetros de entrada do algoritmo 91 5 CONSIDERAÇÕES FINAIS 51 Conclusões Este trabalho possui basicamente dois objetivos principais o primeiro consiste no desenvolvimento de um programa para minimização do volume de estruturas contínuas submetidas a restrições de tensão ou deformação máxima na estrutura O outro objetivo trata do dimensionamento estrutural incorporando teorias que descrevessem o comportamento do material concreto armado o mais próximo da realidade o que foi possível adotando no processo um modelo constitutivo que considera o comportamento não linear do material ao invés de modelos de bielas e tirantes comumente empregados para o projeto estrutural Ambos os objetivos foram alcançados Para as aplicações do capítulo 3 observouse que os modelos de bielas e tirantes obtidos com a formulação implementada são muito próximos daqueles encontrados na literatura e nas considerações normativas vigentes Logo verificase que a implementação desenvolvida para o elemento finito triangular de três nós e para o algoritmo de otimização evolucionária ESO foi bem sucedida permitindo realizar análises lineares para estruturas submetidas a estado plano de tensões Devese ressaltar que a otimização topológica via ESO é bastante sensível aos parâmetros de entrada RR e ER o que exige testes numéricos preliminares para evitar singularidades na estrutura Constatouse também que quanto mais uniforme for a malha de elementos finitos mais suavidade na forma e na topologia é alcançada Além disso as instabilidades numéricas inerentes ao processo evolucionário foram reduzidas através de estratégias que controlam tanto a retirada de elementos soltos na malha quanto a avaliação das tensões nos elementos conforme descrito no Capítulo 3 Com relação ao dimensionamento nos três exemplos foi possível otimizar a taxa de aço dos tirantes através do algoritmo ESORC sem que isso acarretasse entretanto em aumento excessivo dos deslocamentos eou redução da capacidade de carga do elemento estrutural Portanto o dimensionamento considerando a não linearidade física dos materiais conduziu a um menor consumo de aço em relação ao dimensionamento considerando as tensões obtidas de uma análise elásticolinear Isso se deve a um melhor aproveitamento das armaduras que passam a trabalhar com níveis de tensões mais próximas do seu limite de escoamento 92 Para o exemplo da viga contínua a comparação entre o dimensionamento via ESO RC e através da NBR 6118 2014 permite afirmar que a norma brasileira adota parâmetros conservadores que conduzem a uma taxa de aço a favor da segurança O ESORC por sua vez se mostra como uma alternativa viável sob o ponto de vista econômico e de segurança estrutural Por fim considerando as simulações numéricas realizadas é possível afirmar que a proposta do trabalho e suas soluções são relevantes para a engenharia de estruturas por dois motivos fornecer aos projetistas estruturais um melhor entendimento do MBT simplificando seu processo de concepção e o dimensionamento considerando o comportamento não linear do material torna as soluções mais confiáveis na medida em que está sendo adotado no processo um modelo constitutivo que representa o comportamento do material de maneira mais realista 52 Sugestões para trabalhos futuros Devese ressaltar que este estudo agrupa diferentes linhas de pesquisas existentes no PROPEC Mecânica Computacional Comportamento e Dimensionamento de Estruturas e Otimização Estrutural Dessa maneira as metodologias propostas e desenvolvidas nesta pesquisa podem servir de base para inúmeras aplicações e investigações tanto no sentido de generalizar sua funcionalidade em modelos reais de engenharia quanto de calibrar e confirmar os resultados encontrados Com relação ao MBT seria interessante testar outro tipo de elemento finito bidimensional ou até mesmo estender sua aplicação a elementos sólidos para análise tridimensional da estrutura Sugerese também estudar outros critérios para avaliação do desempenho estrutural e a consequente geração do MBT Estender a plataforma implementada de modo a permitir o completo dimensionamento e detalhamento do elemento estrutural Ou seja verificação dos parâmetros de resistência das bielas de concreto e das regiões nodais verificação da ancoragem da armadura e atendimento a outros requisitos normativos Indicase também a realização de investigações mais aprofundadas em relação aos parâmetros de entrada para o algoritmo de otimização e em relação aos problemas numéricos associados à obtenção da topologia ótima 93 Neste trabalho os elementos podem apresentar apenas armadura nas direções x eou y Outra sugestão portanto seria permitir a existência de elementos com armadura inclinada que podem surgir em casos práticos como no exemplo da viga parede do Capítulo 4 Para otimizar e melhorar a funcionalidade do programa FEMOOP utilizado na implementação computacional deste trabalho seria interessante o desenvolvimento de uma interface gráfica de pré e pósprocessamento em substituição ao arquivo de texto com as informações necessárias para avaliação numérica desejada Isso tornaria o processo de análise mais rápido e o software mais simples de ser manipulado por qualquer usuário 94 REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS ACI 318 2008 Building Code Requirements for Structural Concrete and Commentary ACI 318R08American Concrete Institute Farmington Hills Michigan ASSOCIAÇÃO BRASILEIRA DE NORMAS TÉCNICAS NBR 6118 Projeto de Estruturas de Concreto Procedimentos Rio de Janeiro 2014 ASSOCIAÇÃO BRASILEIRA DE NORMAS TÉCNICAS NBR 9062 Projeto e Execução de Estruturas de Concreto Prémoldado Rio de Janeiro 2006 ALMEIDA V S SIMONETTI H L AND NETO L O Comparative analysis of strutandtie models using Smooth Evolutionary Structural Optimization Engineering Structures 56 16651675 2013a ALMEIDA V S SIMONETTI H L NETO L O Análise de modelos de bielas e tirantes para estruturas de concreto armado via uma técnica numérica Revista Ibracon de Estruturas e Materiais Volume 6 nº1 p 139157 ISSN 19834195 2013b ANDRESSEN E CLAUSEN A SCHEVENELS M LAZAROV B S SIGMUND O Efficient Topology Optimization in Matlab Using 88 Lines of Code Struct Multidisc Optim EducationalArticle 2010 BATHE KJ Finite element procedures in engineering analysis Englewood Cliffs PrenticeHall NJ 1982 BENDSØE M P Optimal shape design as a material distribution problem structural optimization v1 p 193202 1989 BENDSØE MP e SIGMUND O Topology Optimization Springer Berlin 2002 BENDSØE MP e SIGMUND O Topology Optimization theory methods and applications Berlin SpringerVerlag ISBN 3540429921 2004 CEB FIP MODEL CODE 1990 Comité EuroInternational du Beton Thomas Telford 1993 95 CEBFIP MODEL CODE Fip Bulletin 55 Model Code 2010 First complete draft vol 1 Internacional Federation for Structural Concrete 2010 DIAS L E S Análise numérica de cascas de concreto ligadas com conexão deformável a vigas de aço usando elementos finitos de casca e interface Dissertação Mestrado Escola de Minas Universidade Federal de Ouro Preto Ouro Preto 2016 DÍAZ A e SIGMUND O Checkerboard Patterns in Layout Optimization Structural Optimization vol 10 PP 4045 1995 FILHO A C Detalhamento das estruturas de concreto pelo método das bielas e dos tirantes Caderno de engenharia UFRGS Rio Grande do Sul Brasil 1996 FISH J e BELYTSCHKO T A first Course in Finite ElementsJohn Wiley Sons Ltd England 2007 FRANCO M I E Vigasparede Comparação entre diferentes metodologias de cálculo Dissertação de Graduação Universidade Federal do Rio Grande do Sul Rio Grande do Sul Brasil 2015 FU C C The StrutAndTieModel of Concrete Structures The Maryland State Higway Administratio Palestra proferida em 21 de Agosto 2001 GUERRA M B B F Modelos de concepção para estruturas em concreto armado com comportamento não linear obtidos pelo método de bielas e tirantes e otimização topológica Tese de Doutorado Universidade Federal de Minas Gerais Belo Horizonte MG Brasil 2017 GUIMARÃES L G S Disciplina Orientada a Objetos para Análise e Visualização Bidimensional de Modelos de Elementos Finitos Dissertação de Mestrado PUC Rio Departamento de Engenharia Civil 1992 HARDJASAPUTRA H Evolutionary structural optimization as tool in finding strut andtiemodels for designing reinforced concrete deep beam Proceeding of 5th International Conference of Euro Asia Civil Engineering Forum EACEF5 2015 96 HUANG Z BURGESS I W PLANK R J Modelling membrane action of concrete slabs in composite buildings in fire Part I Theoretical development Journal of Structural Engineering n 8 v 129 p 10931102 2003 JOG CS e HABER RB Stability of finite element models for distributed parameter optimization and topology design Computer Methods in Applied Mechanics and Engineering v 130 n 34 pp 203226 1996 LANES R M Investigação de um método de otimização topológica evolucionária desenvolvido em script Dissertação de Mestrado Universidade Federal de Minas Gerais Belo Horizonte MG Brasil 2013 LEONHARDT F MÖNNIG E Construções de Concreto v1 2 e 3 Rio de Janeiro Editora Interciência 1979 LIANG Q Q Performancebased optimization of Structures Theory and applications Spon Press London 2005 LIANG Q Q Automated performancebased optimal design of continuum structures under multiple load cases 5th Australian Congress on Applied Mechanics Australia 2007 LIANG Q Q e STEVEN GP A performancebased optimization method for topology design of continuum structures with mean compliance constraints Computer Methods in Applied Mechanics and Engineering v191 pp 14711489 2002a LIANG Q Q UY B e STEVEN GP PerformanceBased Optimization for Strut andTie modeling of Structural Concrete Journal of Structural Engineering v128 n 6 pp 815823 2002b LIANG Q Q XIE Y M STEVEN GP Topology optimization of strutandtie models in reinforced concrete structures using an evolutionary procedure ACI Structural Journal 972322330 2000 97 MAXWELL J Clerk On Reciprocal Figures Frames and Diagrams of Forces Transactions of the Royal Society of Edinburgh v 26 ed nº 01 January p 140 1870 MICHELL A G M The limits of economy of material in framestructures Philosophy Magazine 8 p589597 1904 NARCISO S P S Determinação de Modelos de Escoras e Tirantes para Análise em Estruturas de Betão Armado Dissertação de Mestrado Faculdade de Engenharia da Universidade do Porto Porto Portugal 2009 MONTOYA JP MESEGUER G A MORÁN C F Hormigón Armado Design of Concrete Structures McGrawHill 11th edition New York 1991 NEPOMUCENO C L Análise de VigasParede aplicando Modelo de Biela e Tirante e Microtreliça Dissertação de Mestrado em Estruturas e Construção Civil Departamento de Engenharia Civil e Ambiental Universidade de Brasília Brasília DF Brasil 2012 NGUYEN T H A computacional paradigm for multiresolution topology optimization MTOP Structural and Multidisciplinary Optimization vol 41 n 4 PP 525 539 2009 OLIVEIRA L D Projeto de Estruturas de Concreto Armado pelo Modelo Biela Tirante via Mínima Norma Euclidiana Dissertação de mestrado Departamento de Engenharia Civil da Universidade de BrasíliaUNB Brasília 108p 1995 PANTOJA J C Geração Automática via Otimização Topológica e Avaliação de Segurança de Modelos de Bielas e Tirantes Tese de Doutorado PUCRJ Rio de Janeiro 2012 QUERIN OM Evolutionary Structural Optimization stress based formulation and implementation PhD dissertation University of Sydney1997 QUERIN O M STEVEN GP XIE Y M Evolutionary structural optimisation using an additive algorithm Finite Elements in Analysis and Design v 34 Issues 34 p 291308 2000 98 ROTS J G et al The need for fracture mechanics options in finite element models for concrete structures Proceedings Int Conf On Computer Aided Analysis and Design of Concrete Structures F Damjanic et al eds Pineridge Press Part 1 1932 1984 SANCHES R P Otimização estrutural evolucionária usando malhas hexagonais Dissertação Mestrado em Engenharia Mecânica Faculdade de Engenharia Mecânica Universidade Estadual de Campinas Unicamp Campinas 2011 SAINTVENANT A J C B Memoire sur la Torsion des Prismes Mem Divers Savants vol 14 pp 233560 1855 SANTOS D Análise de vigas de concreto armado utilizando modelos de bielas e tirantes Dissertação de Mestrado Escola de Engenharia de São Carlos Universidade de São Paulo São Carlos SP Brasil 2006 SANTOS G G M Análise sistemática de vigasparede biapoiadas de concreto armado Dissertação de Mestrado Pontifícia Universidade Católica do Rio de Janeiro Rio de Janeiro Brasil 1999 SANTOS K F VIEIRA D V Software Para Dimensionamento de Consolos Curtos De Concreto IX Congresso Brasileiro de Pontes e Estruturas Rio de Janeiro Brasil 2016 SCHÄFER K SCHLÄICH J Consistent Design of Structural Concrete Using Strut AndTie Models Colóquio sobre Comportamento e Projeto de Estruturas Rio de Janeiro Brasil 1988 SCHÄFER K SCHLÄICH J Design and Detailing of Structural Concrete Using StrutandTie Models The Structural Engineer vol69 n6 1991 SCHLAICH J SCHÄFER K JENNEWEIN M Toward a Consistent Design of Structural Concrete PCI Journal vol 32 n 3 pp75150 1987 SIGMUND O A 99 line topology optimization code written in Matlab Structural and Multidisciplinary Optimization Berlin v 21 n 2 pp 120127 2001 99 SIGMUND O e PETERSSON J Numerical instabilities in topology optimization a survey on procedures dealing with checkerboards mesh dependencies and local mínima Structural Optimization vol 16 PP 6875 1998 SILVA R C e GIONGO J S Modelos de bielas e tirantes aplicados a estruturas de concreto armado Escola de Engenharia de São Carlos Universidade de São Paulo São Carlos SP Brasil 2000 SIMÃO D W G Análise e dimensionamento de vigas de concreto armado com aberturas na alma Dissertação de Mestrado Programa de Pósgraduação em Engenharia Civil e Ambiental Universidade Federal de Pernambuco Recife PE Brasil 2014 SIMONETTI H L Otimização topológica de estruturas bidimensionais Dissertação de Mestrado Universidade Federal de Ouro Preto Ouro Preto MG Brasil 2009 SOUZA R A Análise dimensionamento e verificação de elementos especiais em concreto armado utilizando o método dos elementos finitos e o método das bielas Revista Internacional de Métodos Numéricos para Cálculo y Diseño em Ingeniería vol 22 n1 pp 3144 2006 SOUZA R A Concreto Estrutural análise e dimensionamento de elementos com descontinuidades Tese de doutorado USP Escola Politécnica da Universidade de São Paulo Departamento de Engenharia e Fundações São Paulo 2004 TJHIN T N KUCHMA D A ComputerBased Tools for Design by Strutand Tie Method Advances and Challenges ACI Structural Journal v99 n5 p586594 2002 WIGHT JK MACGREGOR JG Reinforced Concrete Mechanics and Design Ed PrenticeHall International UK Limited 3rd ed p 879972 London 2012 XIE Y M STEVEN G P A simple evolutionary procedure for structural optimization Computers Structures v 49 Issue5 p 885896 1993 100 XIE Y M STEVEN G P Evolutionary structural optimization for dynamic problems ComputersStructures v 58 Issue 6 pp 10671073 1996 ZHOU M SHYY YK and THOMAS HL Checkerboard and minimum member size control in topology optimization Structural and Multidisciplinary Optimization Vol 21 pp 152158 2001