Lista de Exercícios Resolvidos - Números Complexos e Integrais

1 Calcule C z² dz sabendo que C é um caminho de i a i contido a no eixo imaginário b na parábola y² x 1 c na metade direita da circunferência de centro 00 e raio 1 d na metade esquerda da circunferência de centro 00 e raio 1 4 Se C é descrito por zt 2ei t 0 t 2π calcule a C Rez dz b C Rez dz c C Imz dz d C Imz dz e C z2 dz 5 Calcule C z²z² 1 dz sabendo que C é uma circunferência orientada positivamente descrita por cada uma das seguintes equações a z i 1 b z i 12 c z 12 i 2 d z 12 i 1 e z 1 1 7 Seja C um quadrado que tem extremidades de uma das diagonais nos pontos 1 i e 1 i descrito no sentido positivo Calcule cada uma das seguintes integrais a C 1z dz b C 1z²4 dz c C 14zi dz d C ezz dz e C ezz²1 z dz Lista de Exercícios Números Complexos Problema 1 Resposta a O caminho é dado por γt i 2it 1 2ti A integral é ₀¹ 1 2ti² 2 i dt 2i ₀¹ 1 2t² dt 2i ₁¹ u² du Assim temos que C z² dz 2i 1³3 1³3 43 i b A curva é dada por zt t² 1 ti Assim temos que C z² dz ¹¹ t² 1² 1² 2t i dt Resultando em C z² dz ¹¹ 2t t⁴ 2t² 2 dt i ¹¹ t⁴ 2t² 2 dt As integrais de polinômio são fáceis de serem calculadas C z² dz ¹¹ u² 2u 2 du i t⁵5 23 t³ 2t¹₁ i 4615 c A curva é dada por zt cost i sint com t π2 π2 C z² dz π2π2 1 sint i cost dt 2i d É o oposto do problema acima pela simetria ou seja C z² dz 2i Problema 2 Resposta a O caminho é dado por zt 2 cost 2i sint Assim ficamos com C Rez dz ₀²π 2 cost 2 cost 2i sint dt Desenvolvendo temos C Rez dz ₀²π 4 cos²t 4i sint cost dt Lembre que sin2t 2 sint cost cos²t 1 cos2t2 Assim temos C Rez dz π b O caminho é dado por zt 2 cost 2i sint Assim ficamos com C Rez dz ₀²π 2 cost 2 cost 2i sint dt ₀²π 2 cost 2 dt Desenvolvendo temos C Rez dz ₀²π 4 cost dt 0 c A integral é dada por C 2 sint2 sint i2 cost dt π Por analogia com a letra a d A integral é dada por C 2 sint2 sint 2i cost dt 0 Por analogia com a letra a e A integral é C 2 cost 22 2 sin2t 2 cost 2i sint dt Resultando em C 8 8 cost 2 cost 2i sint dt Problema 3 Resposta a Observe que z x yi e vale que x2 y 12 z 1 b Pelo que vimos x2 y 12 z 14 x2 y 12 14 c Pelo que vimos x 122 y 12 z 2 Resultando x 122 y 12 4 d Pelo que vimos x 122 y 12 z 1 Resultando x 122 y 12 1 e Neste caso x 12 y2 1 Problema 4 Resposta a O valor do teoremas dos resíduos 12πi 1z dz 1 a1 O coeficiente a1 1 e assim temos 12πi 1z dz 1 1z dz 2πi b O valor do teoremas dos resíduos 12πi 1z2 4 dz 1 a1 Observe que os pontos singulares da função são os z 2i Ambos estão fora do quadrado de extremidades em 1 i e 1 i Assim a integral é nula pelo teorema de Cauchy pois a função é analítica nesta região c O ponto singular é z 14 i Observe que 14z i 14z i4 e já está na forma de série de Laurent Pelo teorema do resíduo C 14z i dz 2πi 14 π2 i d Neste caso temos fz 1 z 12 z2 1n zn Dividido por z fica da forma ezz 1z 1 12 z 1n zn1 Assim o coeficiente é a1 1 e portanto resf0 1 e temos C ezz dz 2πi 1 2πi e O ponto z 2i está fora da região formada pelos 4 extremos e2zz 2i dz 0 Problema 5 Resposta a A série é ezz3 1z31 z 12 z2 13 z3 14 z4 1n 1n zn Resultando em ezz3 z3 z2 12 z1 13 14 z 1n 1n zn3 b A série é e1z2z6 1z6 1 z2 12 z4 13 z6 14 z8 1n z2n Resultando em e1z2z3 1 z8 12 z10 13 z12 14 z14 1n z2n6 c O seno hiperbólico é dado por sinh3z Σ n0 to 12n 1 3z2n1 Σ n0 to 12n 1 32n1 z2n1 A divisão fica sinh3zz3 Σ n0 to 12n 1 32n1 z2n2 3z2 276 z1 243120 d Observe que 1zz4 1z4 1 z z2 z3 z4 z5 zn Fazendo a simplificação 1zz4 z4 z3 z2 z1 1 z zn4 e A expressão é dada por 1z i1 ii z 1 ii z i z2 i1 z3 1 z4 Observa a derivação 2 1z3 ddz2 1z ddz2 1z 2 6ii z 121 z2 Assim temos 1z3 1 3ii z 61 z2 b Observe que z 3z 1 z 11 z z2 z3 1n zn Assim a1 0 pois também não tem z1 c Observe que 1z2 z2 Assim a1 0 também não há termo com z1 na série d Neste caso há dois polos i e i z1 z2 zz i 1z i 1 iz i1 1z i Resultando em z1 z2 2i 1 iz i1 2i z i2i 2i 2i 1 iz i1 1 z i2i z i2i2 Assim temos que resfi 2 e por analogia resfi 2 e Observe que 1z2 1 1z 1 1z 1 12 z 1 1z 1 Resultando em 1z2 1 z 11 1 12 z 1 14 z 12 Finalmente temos 1z2 1 z 11 12 z 12 14 z 12 O resíduo é dado por resf1 1 e resf1 1 As duas últimas estão repetidas