Função Constante, Linear e Afim: Definições e Exemplos

84 3 Função constante função linear e função afim Função Constante 85 O gráfico da função constante é uma reta paralela ao eixo 𝑥 passando pelo ponto 0 𝑐 A imagem de 𝑓 é o conjunto 𝐼𝑚 𝑓 𝑐 Uma função 𝑓 de ℝ em ℝ recebe o nome de função constante quando a cada elemento 𝑥 ℝ associa sempre o mesmo elemento 𝑐 ℝ ou seja 𝑓 ℝ ℝ 𝑓 𝑥 𝑐 Exemplos Função Linear 86 O gráfico da função linear é uma reta que passa pela origem A imagem de 𝑓 é o conjunto 𝐼𝑚 𝑓 ℝ Uma função 𝑓 de ℝ em ℝ recebe o nome de função linear quando a cada elemento 𝑥 ℝ associa o elemento 𝑎𝑥 ℝ em que 𝑎 0 ou seja 𝑓 ℝ ℝ 𝑓 𝑥 𝑎𝑥 Exemplo Construir o gráfico da função linear 𝑦 2𝑥 Considerando que dois pontos distintos determinam uma reta e no caso da função linear um dos pontos é a origem basta atribuir a 𝑥 um valor não nulo e calcular seu valor em 𝑦 2𝑥 87 Observação A função linear que a cada elemento 𝑥 associa o próprio 𝑥 é chamada de função identidade 𝑓 ℝ ℝ 𝑓 𝑥 𝑥 O gráfico da função identidade é a reta bissetriz dos quadrantes ímpares Outra notação para essa função é 𝐼𝑑 ℝ ℝ 𝐼𝑑 𝑥 𝑥 Função Afim 88 Chamase função polinomial do 𝟏º grau ou função afim qualquer função 𝑓 de ℝ em ℝ dada por 𝑓 𝑥 𝑎𝑥 𝑏 em que 𝑎 e 𝑏 são números reais e 𝑎 0 𝑓 ℝ ℝ 𝑓 𝑥 𝑎𝑥 𝑏 𝑎 0 Exemplos a 𝑦 3𝑥 2 em que 𝑎 3 e 𝑏 2 b 𝑦 2𝑥 3 em que 𝑎 2 e 𝑏 3 c 𝑦 4𝑥 em que 𝑎 4 e 𝑏 0 Observe que se 𝑏 0 então a função afim 𝑦 𝑎𝑥 𝑏 se transforma na função linear 𝑦 𝑎𝑥 logo podemos dizer que a função linear é um caso particular da função afim Gráfico e Estudo do Sinal da Função Afim 89 Proposição O gráfico da função afim 𝑓 𝑥 𝑎𝑥 𝑏 com 𝑎 0 é uma reta Demonstração Tomemos três pontos distintos 𝐴 𝑥1 𝑦1 𝐵𝑥2 𝑦2 e 𝐶𝑥3 𝑦3 pertencentes ao gráfico dessa função Vamos mostrar que 𝐴 B e 𝐶 estão alinhados isto é pertencem a mesma reta Suponha por absurdo que 𝐴 𝐵 e 𝐶 não pertencem a uma mesma reta como mostra a figura abaixo Como 𝐴 𝐵 e 𝐶 são pontos do gráfico da função 𝑓 então suas coordenadas satisfazem a lei 𝑦 𝑎𝑥 𝑏 Assim ൞ 𝑦1 𝑎𝑥1 𝑏 𝐼 𝑦2 𝑎𝑥2 𝑏 𝐼𝐼 𝑦3 𝑎𝑥3 𝑏 𝐼𝐼𝐼 Fazendo 𝐼𝐼 𝐼 𝑦2 𝑦1 𝑎 𝑥2 𝑥1 𝑎 𝑦2 𝑦1 𝑥2 𝑥1 Fazendo 𝐼𝐼𝐼 𝐼𝐼 𝑦3 𝑦2 𝑎 𝑥3 𝑥2 𝑎 𝑦3 𝑦2 𝑥3 𝑥2 90 Desse modo temos que 𝑦2 𝑦1 𝑥2 𝑥1 𝑦3 𝑦2 𝑥3 𝑥2 ou seja os lados dos triângulos retângulos 𝐴𝐵𝐷 e 𝐵𝐶𝐸 são proporcionais Logo esses triângulos são semelhantes e seus ângulos são congruentes Em particular temos que 𝛼 𝛽 e isso não poderia ocorrer A contradição vem do fato de supormos que 𝐴 𝐵 e 𝐶 não pertencem a mesma reta Conclusão Os pontos 𝐴 𝐵 e 𝐶 estão alinhados e desse modo pertencem a mesma reta Desse modo está provado que o gráfico da função afim é uma reta 91 Observações 1 Vimos que o gráfico da função 𝑦 𝑎𝑥 𝑏 é uma reta Temos que 𝑎 coeficiente angular da reta mede a inclinação da reta em relação ao eixo 𝑂𝑥 𝑏 coeficiente linear é o ponto onde a reta corta o eixo 𝑂𝑦 𝑎 𝑦2 𝑦1 𝑥2 𝑥1 ou 𝑎 𝑡𝑔𝛼 92 2 O gráfico da função afim 𝑦 𝑎𝑥 𝑏 é crescente quando o valor de 𝑎 0 decrescente quando o valor de 𝑎 0 Justificativas Para 𝑎 0 Se 𝑥1 𝑥2 então 𝑎𝑥1 𝑎𝑥2 Daí 𝑎𝑥1 𝑏 𝑎𝑥2 𝑏 Logo 𝑓 𝑥1 𝑓𝑥2 Para 𝑎 0 Se 𝑥1 𝑥2 então 𝑎𝑥1 𝑎𝑥2 Daí 𝑎𝑥1 𝑏 𝑎𝑥2 𝑏 Logo 𝑓 𝑥1 𝑓𝑥2 93 3 Estudo do sinal Estudemos o sinal da função afim 𝑓 𝑥 𝑎𝑥 𝑏 Zero ou raiz 𝑓 𝑥 0 𝑎𝑥 𝑏 0 𝑥 𝑏 𝑎 Temos dois casos possíveis 1º 𝑎 0 função é crescente 𝑦 0 𝑎𝑥 𝑏 0 𝑥 𝑏 𝑎 𝑦 0 𝑎𝑥 𝑏 0 𝑥 𝑏 𝑎 2º 𝑎 0 função é decrescente 𝑦 0 𝑎𝑥 𝑏 0 𝑥 𝑏 𝑎 𝑦 0 𝑎𝑥 𝑏 0 𝑥 𝑏 𝑎 Exemplos 94 1 Construa o gráfico de cada função afim e faça o estudo do sinal a 𝑓 𝑥 2𝑥 1 b 𝑓 𝑥 𝑥 3 2 Obtenha a equação da reta que passa pelos pontos a 𝑃1 2 e 𝑄3 2 b 𝑅1 1 e 𝑆1 2 3 Um vendedor recebe um salário fixo e mais uma parte variável correspondente à comissão sobre o total vendido em um mês O gráfico seguinte informa algumas possibilidades de salário em função das vendas a Encontre a lei da função cujo gráfico é essa reta b Qual é a parte fixa do salário c Alguém da loja disse ao vendedor que se ele conseguisse dobrar as vendas seu salário também dobraria Isso é verdade 95 Observação Importante É possível obter a equação de uma reta se conhecermos o seu coeficiente angular e um ponto por onde ela passa Seja 𝑟 uma reta com coeficiente angular 𝑎 e que passa pelo ponto 𝑃0𝑥0 𝑦0 Se 𝑃𝑥 𝑦 é um ponto genérico de 𝑟 então 𝑎 𝑦 𝑦0 𝑥 𝑥0 𝑦 𝑦0 𝑎 𝑥 𝑥0 𝑦 𝑦0 𝑎𝑥 𝑥0 Exemplo Determine a equação da reta que possui coeficiente angular 𝑎 3 e que passa pelo ponto 5 2 Temos que 𝑎 3 𝑥0 5 e 𝑦0 2 logo 𝑦 𝑦0 𝑎 𝑥 𝑥0 𝑦 2 3 𝑥 5 𝑦 2 3𝑥 15 𝑦 3𝑥 13 Resolução de Inequações 96 Podemos aplicar o estudo do sinal da função afim para auxiliar na resolução de inequações Exemplo Resolva em ℝ as seguintes inequações a 2 3𝑥 1 𝑥 7 b 1 4𝑥 2𝑥 5 0 c 4𝑥8 26𝑥 0 d 𝑥2 1𝑥 2 e 1 𝑥1 2 𝑥2 f 12𝑥34𝑥 4𝑥 0 g 𝑥 𝑥1 𝑥 Exercícios 97 1 Construa os gráficos das seguintes funções de ℝ em ℝ a 𝑦 𝑥 2 b 𝑦 𝑥 1 c 𝑦 2𝑥 d 𝑦 5 2 2 Um hotel oferece a seus hóspedes duas opções para uso da rede wifi no acesso à internet 1ª Pagamento de uma taxa fixa de R 1800 por dia com acesso ilimitado 2ª Cobrança de R 250 por hora de acesso com valor proporcional no fracionamento da hora minuto a Escreva para cada opção oferecida a lei da função que relaciona o preço 𝑝 em reais pago por esse serviço em função do tempo 𝑡 com 0 𝑡 24 em horas de acesso b Se escolher a 1a opção quanto pagará a mais um cliente que usou a rede por 5 horas em certo dia na comparação com a 2a opção c Por quanto tempo de uso diário da rede wifi seria indiferente a escolha de qualquer um dos planos 98 3 Na figura estão representados os gráficos de duas funções 𝑓 ℝ ℝ e 𝑔 ℝ ℝ definidas por 𝑓 𝑥 2𝑥 3 e 𝑔 𝑥 𝑎𝑥 𝑏 Calcule o valor de 𝑔8 5 Explicite o domínio da seguinte função 𝑓 𝑥 𝑥1 12𝑥 4 Determine a equação da reta que passa pelo ponto 1 0 e possui coeficiente angular 3 99 6 Três planos de telefonia celular são apresentados na tabela abaixo a Qual é o plano mais vantajoso para alguém que utilize 25 minutos por mês b A partir de quantos minutos de uso mensal o plano A é mais vantajoso do que os outros dois