Lista de Exercícios Resolvidos - Funções, Gráficos e Equações Exponenciais

OBSERVAÇÕES i Resolva os exercícios à mão de maneira legível e organizada ii Numere as folhas coloque as questões em ordem e organize em um único arquivo pdf iii Apresente o desenvolvimento e o raciocínio de forma organizada e clara em cada uma das questões Questões sem justificativas não serão aceitas Questões 1ª Questão 6 pontos Considere as funções de uma variável real fx x² 2x 2 gx lnx e h g o f função composta de g e f Marque para as afirmativas a seguir V Verdadeiro ou F Falso e justifique suas respostas 1 O gráfico de f é uma parábola com concavidade voltada para cima e o seu valor mínimo é 1 2 A função f não possui raízes reais e é sempre positiva 3 ge² 2 4 h1 0 5 hx 0 para todo x R 6 A função h é injetora 2ª Questão 6 pontos Construa os gráficos das seguintes funções e determine o conjunto imagem a fx x² 2x 3 b fx 2x 2 x 3 c fx 3ˣ 2 3ª Questão 6 pontos a Determine em R o conjunto solução das inequações i x² 5x 6x² 16 0 ii 2 3x2x² 3x 2 0 b Determine em R o conjunto solução das seguintes equações exponenciais iii 22x1 3 2x2 32 iv 32x3 32x2 2 32x 22x5 22x1 4ª Questão 6 pontos O dono de uma sorveteria vende em média 300 caixas de picolés por R2000 Entretanto ele percebeu que cada vez que diminuía R100 no preço da caixa vendia 40 caixas a mais Quanto ele deveria cobrar pela caixa para que sua receita fosse máxima 5ª Questão 6 pontos Sabese que o número de bactérias em uma cultura depois de um tempo t é dado por Nt N₀ ert em que N₀ é o número inicial de bactérias e r é a taxa de crescimento relativo Em quanto tempo o número de bactérias dobrará se a taxa de crescimento relativo é de 5 por minuto Considere ln 2 06931 1 fx x² 2x 2 gx lnx gof hx lnx² 2x 2 a Como sabemos função do 2º grau é dada por ax² bx c Quando a 0 que é o nosso caso então a parábola tem concavidade para cima O valor mínimo é dado por yᵥ Δ4a yᵥ 2² 412 41 1 Alternativa verdadeira b Calculando as raízes temos x₁₂ 2 2² 412 21 x₁ 2 2i2 1 i e x₂ 2 2i2 1 i Dessa forma fx não apresenta raízes reais e como seu yᵥ 1 fx é sempre positiva Alternativa verdadeira c ge² lne² 2 lne 2 Alternativa verdadeira 1 d hx lnx² 2x 2 h1 ln1² 21 2 h1 ln1 0 Alternativa Verdadeira e Como x² 2x 2 é sempre positiva então hx que é dada por hx lnx² 2x 2 também é maior ou igual que zero Observando o gráfico vemos isso Alternativa verdadeira f Para que uma função seja injetora fx₁ fx₂ onde x₁ e x₂ são números quaisquer Isso não acontece na função hx já que ela apresenta uma concavidade Então hx não é injetora Alternativa falsa 2a fx x2 2x 3 x1 1 x11 3 f0 3 yv 4 Como yv 4 então a imagem é dada Img fx 4 b fx 2x2 x3 f0 5 f1 4 f3 8 O valor mínimo da função é 4 logo Img fx 4 2c fx 3x 2 O valor mínimo de fx é 2 porém nunca chega a ser 2 Img fx 2 3 a I x2 5x 6x2 16 0 Fatorando as equações temos x2 5x 6 x2x3 x2 16 x4x4 Assim x2x3x4x4 0 observando os intervalos temos 2 x 3 ou x 4 ou x 4 3 a II 2 3x 2x2 3x 2 0 Fatorando a equação 2x2 3x 2 2x 1x 2 2 3x 2x 1x 2 0 De 2 3x temos que x 23 De 2x 1x 2 temos que 2 x 12 b iii 22x1 3 2x2 32 Podemos rescrever 2x2 21 3 2x 22 32 Considerando u 2x u2 2 3 u 22 32 2u2 12u 32 0 u1 8 e u2 2 2x 2 Não existe solução Sabendo u 2x u1 8 2x 8 x 3 bi 32x3 32x2 232x 22x5 22x1 32x33 32x32 32x21 22x25 22x21 32x27 9 2 22x32 2 32x20 22x30 Aplicando ln ln20 2x ln3 ln30 2x ln2 x ln32 2ln3 ln2 x 12 4 Sabemos que a renda é dada R np n número de caixas p preço Para o novo preço temos Rx 300 40x20 1x Rx 6000 300x 800x 40x2 Rx 40x2 500x 6000 O xv que relaciona o preço com a renda é dado xv 500 240 625 4 Substituindo o valor de xv 625 na função do preço P 20 x 20 625 1375 reais Então a receita máxima séria se o preço for 1375 reais 5 Como dado no enunciado Nt N0 e rt e a taxa er é de 5 e queremos dobrar o número de bactérias então 2 N0 N0 e 005 t 2 e 005 t ln2 005 t lne1 06931 005 t t 06931 005 13862 logo t 14 minutos