Prova Historia e Filosofia da Ciencia - IFRJ - Problema do Infinito e Quinto Postulado de Euclides

IFRJ INSTITUTO FEDERAL DE EDUCAÇÃO CIÊNCIA E TECNOLOGIA DO RIO DE JANEIRO CAMPUS VOLTA REDONDA 20232 PROF CARLOS TEIXEIRA HISTÓRIA E FILOSOFIA DA CIENCIA NOTA NOME Turma ESTA PROVA VS É UMA TAREFA INDIVIDUAL DE CADA ALUNO QUESTÃO 1 A professora Tatiana de Souza Lima Santos em sua DISSERTAÇÃO DE MESTRADO aponta no início do Capítulo 1 que o debate sobre o problema do infinito é filosófico tanto na matemática quanto nas outras áreas No caso da matemática a contagem dos números é o indicativo desse problema mas é notável que o entendimento de sucessão infinita na contagem não tem aplicação útil na antiguidade quando foi identificada Mas há uma visão diferente do entendimento da matemática pelos gregos nesse momento Explique a mudança de olhar dos gregos sobre a matemática que deu aos sábios a oportunidade de entender o problema do infinito mesmo não havendo utilidade prática para esse conceito QUESTÃO 2 Ainda no Capítulo 1 da DISSERTAÇÃO DE MESTRADO da professora Tatiana de Souza Lima Santos também levandose em conta o entendimento aristotélico a respeito do Infinito Potencial infinito que se pretende com a operação numérica e Infinito Atual um olhar direto sobre o objeto infinito vemos que comparando o entendimento de Cauchy sobre a Teoria do Limite com as perspectivas de sucessão infinita de por exemplo Pitágoras Zenão de Eleia Arquimedes Fibonnacci e Galielu há um diferença de interpretação Explique essa diferença na perspectiva do que é Infinito Atual e Infinito Potencial QUESTÃO 3 Ainda no Capítulo 1 da DISSERTAÇÃO DE MESTRADO da professora Tatiana de Souza Lima Santos vemos o modo inteligente como Cantor resolve o problema do tamanho do infinito Explique o processo de contagem que ele aplica entre o intervalo 0 e 1 para mostrar o esgotamento dos números naturais na contagem QUESTÃO 4 No entendimento das dificuldades aparentes inerentes a uma má leitura do QUINTO POSTULADO DE EUCLIDES explique porque a Solução Hiperbólica de Proclus é uma descrição de um fato geométrico que questiona a exclusividade do quinto postulado para quem só RETAS PARALELAS não se encontram no infinito QUESTÃO 5 Explique a tricotomia resultante da proposta de Sacchieri e qual das três impede que se efetua o argumento por absurdo que se queria e porquê QUESTÃO 6 No surgimento das geometrias nãoeuclidianas a perspectiva mudou quando se entendeu que o QUINTO POSTULADO de Euclides era uma construção da superfície plana De que modo o entendimento do conceito de plano mal definido por Euclides participou na fundação das ideias das geometrias nãoeuclidianas QUESTÃO 7 No final do século XIX a crise da Geometria Euclidiana afetou a matemática porque ela vinha sendo uma matemática apoiada no modelo lógico da geometria Ocorreu a migração da Matemática de um entendimento lógico que imitava Euclides para um entendimento lógico apoiado na Aritmética Um exemplo muito bonito desse aspecto a é mudança do entendimento de Função por Dirichlet Dirichlet e seus contemporâneos compreenderem que para definir função era necessário compreender antes o que era conjunto e o que era número real Algumas tentativas de construção do sistema dos números reais o continuum linear procuravam desvencilhar a análise da geometria e aproximála da aritmética A consequência foi a fundação na aritmética de uma Natureza da matemática Explique como o projeto Aritmético para a Matemática foi proposto e trabalhado no final do século XIX e começo do XX na proposta logicista QUESTÃO 8 A crise dos fundamentos vem do modo como a Escola Intucionista ou Construtivista entende o que é o objeto matemático Fundamentalmente essa escola não aceita a noção de infinito cantoriana Explique os motivos que fazem os Intucionistas rejeitarem as soluções dadas pela Teoria dos Conjuntos QUESTÃO 9 O Programa de Hilbert buscava definir a Natureza da Matemática em um tipo de exercício finitário das definições mais fundamentais da própria matemática isto é toda sentença matemática é tal que sua verdade se revela no fato de ser apresentada como uma sequencia finita de linhas consequentemente lógicas umas das outras a que Hilbert chama de demonstração Verdadeiro é o que é demonstrável O golpe dado por Godel no Programa de Hilbert é exatamente na relação entre o que é verdadeiro e o que é demonstrável Explique como se deu a crítica de Godel nesse aspecto sobre o Programa de Hilbert ATIVIDADE DE HISTÓRIA E FILOSOFIA DA CIÊNCIA 1 Essa mudança ocorreu de acordo com o desenvolvimento do pensamento abstrato e à busca dos gregos em compreenderem a natureza que fundamentava o universo Foi quando eles iniciaram os estudos em conceitos matemáticos como entidades distintas das aplicações práticas imediatas dando espaço para questionamentos acerca do infinito e também de outros conceitos importantes 2 A diferença entre o Infinito Atual e o Infinito Potencial está atrelada ao entendimento do infinito como um conceito matemático O Infinito Atual se trata de uma visão direta do objeto infinito e o Infinito Potencial se relaciona com o entendimento de um infinito que é abordado através das operações numéricas como por exemplo na Teoria do Limite de Cauchy 3 Ele aplicou o processo de contagem chamado diagonalização onde ele construiu um argumento onde listou os números reais nesse intervalo em uma tabela e pôde demonstrar que mesmo que se continue a contar os números naturais sempre haverá números no intervalo que não correspondem a nenhum número natural provando então a existência da natureza infinita e não enumerável desse conjunto 4 A Solução Hiperbólica de Proclus desafia a exclusividade do quinto postulado de Euclides ao afirmar que um fato geométrico que questiona a ideia de que apenas retas paralelas não se encontram no infinito Assim essa solução apresenta que é possível desenvolver uma geometria consistente sem aderir unicamente ao quinto postulado dando espaço para a compreensão de outras possibilidades geométricas para além da geometria euclidiana tradicional 5 A tricotomia de Sacchieri se trata da divisão dos casos possíveis ao tentar demonstrar o quinto postulado de Euclides por meio do método de redução ao absurdo Os três casos são a reta corta as paralelas a reta é paralela a uma das paralelas e a reta é coincidente com uma das paralelas A terceira opção em que a reta é coincidente com uma das paralelas impede a realização do argumento por absurdo já que não permite a criação de uma contradição lógica necessária para a aplicação desse método de demonstração 6 Ao perceber que o quinto postulado de Euclides era uma construção feita unicamente para a geometria plana os matemáticos passaram a se perguntar sobre a natureza do espaço e a definição de plano Essa ambiguidade na definição de plano fez surgir o desenvolvimento de geometrias nãoeuclidianas que exploram diferentes concepções de espaço e de paralelas resultando em novas e inovadoras teorias geométricas 7 Esse projeto tinha como objetivo fundamentar a matemática na aritmética e na lógica Isso envolvia a tentativa de reduzir todos os conceitos matemáticos fundamentais incluindo os da análise matemática a construções a partir de números naturais e lógica O objetivo era estabelecer uma base sólida para a matemática a desvinculando da geometria e a deixando mais próxima da aritmética o que gerou uma mudança de paradigma na compreensão da natureza da matemática e sua fundamentação lógica 8 Para os Intucionistas a aceitação do infinito como um conjunto completo e acabado vai contra a sua visão construtivista da matemática que enfatiza a necessidade de construir objetos matemáticos de forma finita e passo a passo por meio de processos construtivos explícitos Eles questionam a validade de aceitar conjuntos infinitos como entidades matemáticas bem definidas preferindo uma abordagem que se baseia em construções finitas e processos efetivos 9 A crítica de Gödel ao Programa de Hilbert se deu por meio do Teorema da Incompletude que apontou que em qualquer sistema formal capaz de expressar aritmética terá proposições verdadeiras que não são demonstráveis dentro desse sistema Contradizendo a ideia central do Programa de Hilbert de que toda sentença matemática verdadeira seria demonstrável baseandose em uma sequência finita de linhas logicamente consequentes